Problemas resueltos-factorizacion

PROBLEMAS RESUELTOS
CASO I cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común
CASO II factor comun por agrupación de terminos
CASO III trinomio cuadrado perfecto
CASO IV Diferencia de cuadrados perfectos
CASO V Trinomio cuadrado perfecto por adicion y sustraccion
CASO VI Trinomio de la forma x2 + bx + c

Algebra Baldor

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U

H1U

U

H2U

U

Erving Quintero Gil
Ing. Electromecánico
Bucaramanga – Colombia
2010

1

FACTORIZACION CASO 1 (Pág. 144 Baldor).
CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN
a) Factor común monomio
Problema 1.
Descomponer en factores a2 + 2a
a2 y 2a contienen el factor común que es a.
Escribimos el factor común “a” como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis
escribimos los cocientes de dividir;
a2 ÷ a = a y 2a ÷ a = 2 y tendremos:
a2 + 2ª = a (a + 2)
Problema 2.
Descomponer 10b – 30 ab2
Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos 10 por que siempre se
saca el mayor factor común. De las letras, el único factor común es b por que esta en los dos
términos de la expresión dada y la tomamos con su menor exponente b.
El factor común es 10b. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los
cocientes de dividir
10b ÷ 10b = 1 y -30ab2 ÷ 10b = - 3ab y tendremos:
10b – 30 ab2 = 10 (1 - 3ab)
Problema 3.
Descomponer m (x + 2) + x + 2
Esta expresión podemos escribirla;
m (x + 2) + (x + 2) = m (x + 2) + 1 (x + 2)
Factor común (x + 2). Tendremos;
m (x + 2) + 1 (x + 2) = (x + 2) (m+1)

Problema 4.
Descomponer a (x + 1) – x – 1
Introduciendo los dos últimos términos en un paréntesis precedido del signo (-) se tiene:
a (x + 1) – x – 1 = a (x + 1) – (x + 1)
a (x + 1) – x – 1 = a (x + 1) – 1(x + 1)
Factor común (x + 1). Tendremos;
a (x + 1) – x – 1 = (x + 1) (a - 1)
Problema 5.
Factorar 2x (x + y + z) – x – y – z
Introduciendo los tres últimos términos en un paréntesis precedido del signo (-) se tiene:
2x (x + y + z) – x – y – z = 2x (x + y + z) – (x + y + z)
2x (x + y + z) – x – y – z = 2x (x + y + z) – 1(x + y + z)
Factor común (x + y + z). Tendremos;

3

2x (x + y + z) – x – y – z = (x + y + z) (2x - 1)
Problema 6.
Factorar (x - a) (y + 2) + b(y + 2)
Factor común (y + 2). Dividiendo los dos términos de la expresión dada entre (y + 2) tenemos:

(x - a )(y + 2) = (x - a)
(y + 2 )

y

b (y + 2 )
=b
(y + 2 )

Luego:
(x - a) (y + 2) + b(y + 2) = (y + 2) (x – a + b)
Problema 7.
Descomponer (x+ 2) (x – 1) – (x – 1) (x – 3)
Factor común (x - 1). Dividiendo los dos términos de la expresión dada entre (x - 1) tenemos:

(x + 2)(x - 1) = (x + 2)
(x - 1)

y

- (x - 1)(x - 3)
= - (x - 3)
(x - 1)

Luego:
(x+ 2) (x – 1) – (x – 1) (x – 3) = (x – 1) [ (x + 2) – (x – 3)]
(x+ 2) (x – 1) – (x – 1) (x – 3) = (x – 1) [ x + 2 – x + 3]
(x+ 2) (x – 1) – (x – 1) (x – 3) = (x – 1) [ 2 + 3]
(x+ 2) (x – 1) – (x – 1) (x – 3) = (x – 1) [ 5]
(x+ 2) (x – 1) – (x – 1) (x – 3) = 5 (x – 1)
Problema 8.
Factorar x (a – 1) + y (a – 1) – a + 1
Introduciendo los dos últimos términos en un paréntesis precedido del signo (-) se tiene:
x (a – 1) + y (a – 1) – a + 1 = x (a – 1) + y (a – 1) – (a – 1)
x (a – 1) + y (a – 1) – a + 1 = x (a – 1) + y (a – 1) – 1(a – 1)
Factor común (a - 1). Tendremos;
x (a – 1) + y (a – 1) – a + 1 = (a – 1) (x + y - 1)
CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN
EJERCICIO # 89 Pagina 145
Problema 89.1 Algebra Baldor (Pagina 145)
Descomponer a2 + ab
a2 y ab contienen el factor común que es “a“.
Escribimos el factor común “a“ como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos
los cocientes de dividir;
a2 ÷ a = a y ab ÷ a = b y tendremos:
a2 + ab = a (a + b)
Descomponer x2 + x
x2 y x contienen el factor común que es “x“.

4

Escribimos el factor común “x“ como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos
x2 ÷ x = x
y
x÷x=1
y tendremos:
x2 + x

= x (x + 1)

Descomponer x3 + 4x4
x3 y 4x4 contienen el factor común que es “x3“.
Escribimos el factor común “x3“ como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos
x3 ÷ x3 = 1 y
4x4 ÷ x3 = 4x
y tendremos:
x3 + 4x4 = x3 (1 + 4x)
Descomponer ab - bc
ab y bc contienen el factor común que es “b“.
Escribimos el factor común “b“ como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos
ab ÷ b = a
y
-bc ÷ b = - c y tendremos:
ab - bc = b (a – c)
Descomponer 2a2 x + 6ax2
Los coeficientes 2 y 6 tienen como factor comun 2. De las letras, el único factor común es “ax“ por
que esta en los dos términos de la expresión dada.
El factor común es “2ax“. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los
2a2 x ÷ 2ax = a
y
+ 6ax2 ÷ 2ax = 3x
y tendremos:
2a2 x + 6ax2 = 2ax (a + 3x)
Descomponer 9a3x2 - 18ax3
Los coeficientes 9 y 18 tienen como factor común 9. De las letras, el único factor común es “ax2 “ por
que esta en los dos términos de la expresión dada.
El factor común es “9ax2 “. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los
9a3x2 ÷ 9ax2 = a2

y

- 18ax3 ÷ 9ax2 = - 2x

y tendremos:

9a3x2 - 18ax3 = 9ax2 (a2 – 2x)
Descomponer 35m2n3 - 70m3
Los coeficientes 35 y 70 tienen como factor común 35. De las letras, el único factor común es “m2 “
por que esta en los dos términos de la expresión dada.
El factor común es “35m2 “. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los

5

35m2n3 ÷ 35m2 = n3

- 70m3 ÷ 35m2 = - 2m

y

y tendremos:

35m2n3 - 70m3 = 35m2 (n3 – 2m)
Descomponer 24a2xy2 - 36x2y4
Los coeficientes 24 y 36 tienen como factor común 12. De las letras, el único factor común es “xy2 “
por que esta en los dos términos de la expresión dada.
El factor común es “12xy2 “. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los
24a2xy2 ÷ 12xy2 = 2a2

y

- 36x2y4

÷ 12xy2 = - 3xy2

y tendremos:

24a2xy2 - 36x2y4 = 12xy2 (2a2 - 3xy2)
Descomponer 4x2 - 8x + 2
Los coeficientes 4, 8 y 2 tienen como factor común 2. Las letras NO TIENEN factor común.
El factor común es “2 “. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los
4x2 ÷ 2 = 2x2

- 8x ÷ 2 = - 4x

y

2 ÷2=1

y tendremos:

4x2 - 8x + 2 = 2 (2x2 - 4 + 1)
Descomponer a3 - a2x + ax2
a3 , a2x y ax2 contienen el factor común que es “a“.
Escribimos el factor común “a“ como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos
a3 ÷ a = a2
- a2x ÷ a = - ax
y ax2 ÷ a = x2
y tendremos:
a3 - a2x + ax2 = a (a2 – ax + x2)
Descomponer x3 + x5 - x7
x3 , x5 y x7 contienen el factor común que es “x3 “.
Escribimos el factor común “x3 “ como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos
x3 ÷ x3 = 1
x5 ÷ x3 = x2
y - x7 ÷ x3 = - x4
y tendremos:
x3 + x5 - x7 = x3 (1 + x2 – x4)
Descomponer 34ax2 + 51a2y - 68ay2
Los coeficientes 34, 51 y 68 tienen como factor común 17. De las letras, el único factor común es “a “
por que esta en los tres términos de la expresión dada.

6

El factor común es “17a“. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los
34ax2 ÷ 17a = 2x2

51a2y ÷ 17a = 3ay

y

- 68ay2 ÷ 17a = - 4y2

y tendremos:

34ax2 + 51a2y - 68ay2 = 17a (2x2 + 3ay - 4y2)
a2b2c2 - a2c2x2 + a2c2y2 = a2c2 (b2 - x2 + y2)
93a3x2y - 62a2x3y2 - 124a2x = 31a2x (3axy - 2x2y2 - 4)
29)

a6 - 3a4 + 8a3 - 4a2 = a2 (a4 - 3a2 + 8a - 4)

31)

x15 - x12 + 2x9 - 3x6 = x6 (x9 - x6 + 2x3 - 3)

33) 16x3y2 - 8x2y - 24x4y2 - 40x2y3 = 8x2y (2xy - 1 - 3x2y - 5y2)
35) 100a2b3c - 150ab2c2 + 50ab3c3 - 200abc2 = 50abc (2ab2 - 3bc + b2c2 - 4c)
37)

a2 - 2a3 + 3a4 - 4a5 + 6a6 = a2 (1 - 2a + 3a2 - 4a3 + 6a4)

39)

a20 - a16 + a12 - a8 + a4 - a2 = a2 (a18 - a14 + a10 - a6 + a2 - 1)
Ejercicio # 90 pag. 146

Ejercicio # 90.2 pag. 146
Factorar o descomponer en dos factores
x (a + 1) - 3 (a + 1) =
(a + 1) (x – 3)
m (a - b) + (a – b) n =
(a – b) (m + n)
a (n + 2) + n + 2 =
(n + 2) (a +1)
8)
a2 + 1 - b (a2 + 1) =
2
1 (a + 1) - b (a2 + 1)
(a2 + 1) (1 – b)
1 – x + 2a (1 – x) =
1(1 – x) + 2a (1 – x)
(1 – x) (1 + 2a)

7

12)

- m – n + x (m + n) = -1 (m + n) + x (m + n)
(m + n) (-1 + x) = (m + n) (x - 1)

4m ( a2 + x – 1) + 3n ( x – 1 + a2) =
4m ( a2 + x – 1) + 3n (a2 + x – 1) =
(a2 + x – 1) (4m + 3m)
16)
(x + y) (n + 1) - 3 (n + 1) =
(n + 1) (x + y – 3)
(a + 3)(a + 1) - 4(a + 1) =
(a + 1) (a + 3 – 4) =
(a + 1) (a – 1)
a (x – 1) – (a +2)(x – 1) =
(x – 1) (a – a – 2) =
(x – 1) (-2)
(a + b) (a – b) - (a – b) (a – b) =
(a – b) (a + b – a + b)
(a – b) (2b)
(x + m) (x + 1) - (x + 1) (x – n) =
(x + 1) (x + m – x + n)
(x + 1) (m + n)
(a + b – 1) (a2 + 1) - a2 – 1 =
(a + b – 1) (a2 + 1) - 1(a2 + 1)
(a2 + 1) (a + b – 1)
3x ( x – 1) - 2y (x – 1) + z (x – 1) =
(x – 1) (3x – 2y + z)
x (a +2) – a – 2 + 3 (a + 2) =

8

x (a +2) - 1(a + 2) + 3 (a + 2) =
(a +2) ( x - 1 + 3) = (a +2) (x + 2)
(3x + 2) (x + y – z) - (3x + 2) - (x + y – 1) (3x + 2) =
(3x + 2) (x + y – z) - 1 (3x + 2) - (x + y – 1) (3x + 2) =
(3x + 2) (x + y – z – 1 – x – y + 1) =
(3x + 2) (- z)
CASO II
FACTOR COMUN POR AGRUPACIÓN DE TERMINOS
EJERCICIO # 91 pagina 148
Problema 91.1 Algebra Baldor
a2 + ab + ax + bx =
a (a + b) + x (a + b) = (a + b) (a + x)
a2 + ab + ax + bx = (a + b) (a + x)
ax – 2bx – 2ay + 4by =
x (a – 2b) –2y (a – 2b) = (a – 2b) (x – 2y)
ax – 2bx – 2ay + 4by = (a – 2b) (x – 2y)
3m – 2n – 2nx4 + 3mx4 =
3m + 3mx4 – 2n – 2nx4 = 3m (1 + x4) – 2n (1 + x4)
3m – 2n – 2nx4 + 3mx4 = (1 + x4) (3m – 2n)
4a3 – 1 – a2 + 4a =
4a + 4a3 – 1 – a2 =
4a (1 + a2) – 1(1 + a2)
4a3 – 1 – a2 + 4a = (1 + a2) (4a – 1)
3abx2 – 2y2 – 2x2 + 3aby2 =
3abx2 + 3aby2 – 2x2 – 2y2 =
3ab (x2 + y2) – 2 (x2 + y2) =
3abx2 – 2y2 – 2x2 + 3aby2 = (x2 + y2) (3ab – 2)
4a3x – 4a2b + 3bm – 3amx =
4a3x – 4a2b – 3amx + 3bm =
4a2 (ax – b) - 3m (ax – b) =
4a3x – 4a2b + 3bm – 3amx = (ax – b) (4a2 – 3m)
3x3 – 9ax2 – x + 3a =
3x2 (x – 3a) - 1(x – 3a) =
3x3 – 9ax2 – x + 3a = (x – 3a) (3x2 – 1)

9

CASO III
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
EJERCICIO # 92 pagina 151
Factorar o descomponer en dos factores:
a2 + 2ab + b2 =
La raíz cuadrada de a2 es a
La raíz cuadrada de b2 es b
El segundo termino es: 2(a) (b) = 2ab
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
y4 + 1 + 2y2 =
y4 + 2y2 + 1 =
La raíz cuadrada de y4 es y2
La raíz cuadrada de 1es 1
El segundo termino es: 2(y2) (1) = 2 y2
= (y2 + 1)2
9 – 6x + x2 =
La raíz cuadrada de 9 es 3
La raíz cuadrada de x2 es x
El segundo termino es: 2(3) (x) = 6x
9 – 6x + x2 = (3 – x)2
1 + 49a2 – 14a = 1– 14a + 49a2
La raíz cuadrada de 49a2 es 7a
El segundo termino es: 2(1) (7a) = 14a
1– 14a + 49a2 = (1 – 7a)2
1 – 2a3 + a6 =
La raíz cuadrada de a6 es a3
El segundo termino es: 2(1) (a3) = 2a3
1 – 2a3 + a6 = (1 – a3)2

10

a6 – 2a3 b3 + b6 =
La raíz cuadrada de b6 es b3
El segundo termino es: 2(a6) (b3) = 2a6 b3
a6 – 2a3 b3 + b6 = (a3 – b3)2
9b2 – 30a2 b + 25a4 =
La raíz cuadrada de 9b2 es 3b
La raíz cuadrada de 25a4 es 5a2
El segundo termino es: 2(3b) (5a2 ) = 30a2 b
9b2 – 30a2 b + 25a4 = (3b – 5a2)2
CASO IV DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS
REGLA PARA FACTORIZAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS
Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo.
Se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo
Ejemplo:
Factorizar 1 – a2
1 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 1.
a2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “a”.
Multiplica la suma de las raíces, (1 + a) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (1 - a)
1 – a2 = (1 + a) * (1 - a)
Ejemplo:
Factorizar 16x2 – 25y4
16 x2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 4 x.
25 y4 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 5 y2.
Multiplica la suma de las raíces, (4x + 5y2) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (4 x – 5 y2)
16x2 – 25y4 = (4x + 5y2) * (4 x – 5 y2)
Ejemplo:
Factorizar 49 x2 y6 z10 – a12
49 x2 y6 z10 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 7 x y3 z5
a12 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es a6.
Multiplica la suma de las raíces, (7 x y3 z5 + a6) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (7 x y3 z5 – a6)
49 x2 y6 z10 – a12 = (7 x y3 z5 + a6) * (7 x y3 z5 – a6)

11

Ejemplo:
Factorizar

a 2 b4
4
9

a2
a
es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es
.
4
2
b4
b2
es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es
9
3
a b2
Multiplica la suma de las raíces, ( +
) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
3
2
b2
a
sustraendo (
–
)
3
2
a 2 b4 ⎛ a b2 ⎞ ⎛ a b2
⎟*⎜ =⎜ +
4
9 ⎜2
3 ⎟ ⎜2 3
⎝
⎠ ⎝

⎞
⎟
⎟
⎠

Ejemplo:
Factorizar a2a – 9b4m
a2a es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es aa
9b4m es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 3b2m
Multiplica la suma de las raíces, (aa + 3b2m ) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (aa – 3b2m )
a2a – 9b4m = (aa + 3b2m ) *(aa – 3b2m )

12

EJERCICIO # 93 Pagina 152
Factorizar o descomponer en dos factores
x2 – y2
x2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “x”.
y2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “y”
Multiplica la suma de las raíces, (x + y) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (x - y)
x2 – y2 = (x + y) * (x - y)

13

a2 – 1
a2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “a”.
1 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 1
Multiplica la suma de las raíces, (a + 1) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (a - 1)
a2 – 1 = (a + 1* (a - 1)
a2 – 4
a2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “a”.
sustraendo (a - 2)
a2 – 1 = (a + 2) * (a - 2)
9 – b2
9 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 3
b2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “b”
Multiplica la suma de las raíces, (3 + b) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (3 - b)
9 – b2 = (3 + b) * (3 - b)
1 – 4m2
4m2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 2m
Multiplica la suma de las raíces, (1 + 2m) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (1 – 2m)
1 – 4m2 = (1 + 2m) * (1 – 2m)
16 – n2
n2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “n”
Multiplica la suma de las raíces, (4 + n) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (4 - n)
16 – n2 = (4 + n) * (4 - n)

14

a2 – 25
a2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “a”
sustraendo (a - 5)
a2 – 25 = (a + 5) * (a - 5)
1 – y2
y2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “y”
Multiplica la suma de las raíces, (1 + y) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (1 – y)
1 – y2 = (1 + y) * (1 – y)
4a2 – 9
4a2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “2a”
Multiplica la suma de las raíces, (2a + 3) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (2a - 3)
4a2 – 9 = (2a + 3) * (2a - 3)
25 – 36a4
36a4 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 6a2.
Multiplica la suma de las raíces, (5 + 6a2) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (5 – 6a2)
25 – 36a4 = (5 + 6a2) * (5 – 6a2)
1 – 49 a2 b2
49 a2 b2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 7ab
Multiplica la suma de las raíces, (1 + 7ab) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (1 – 7ab)

15

1 – 49 a2 b2 = (1 + 7ab) * (1 – 7ab)
4x2 – 81y4
4x2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 2x
81y4 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 9y2.
Multiplica la suma de las raíces, (2x + 9y2) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (2x – 9y2)
4x2 – 81y4 = (2x + 9y2) * (2x – 9y2)
a2b8 – c2
a2b8 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es ab4
c2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “c”
Multiplica la suma de las raíces, (ab4 + c) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (ab4 – c)
a2b8 – c2 = (ab4 + c) * (ab4 – c)
100 – x2y6
x2y6 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “xy3”
Multiplica la suma de las raíces, (10 + xy3) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (10 – xy3)
100 – x2y6 = (10 + xy3) * (10 – xy3)
a10 – 49 b12
a10 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es a5
49 b12 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 7b6
Multiplica la suma de las raíces, (a5 + 7b6) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (a5 - 7b6)
a10 – 49 b12 = (a5 + 7b6) * (a5 - 7b6)

16

25x2y4 – 121
25x2y4 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 5xy2
Multiplica la suma de las raíces, (5xy2 + 11) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (5xy2 - 11)
25x2y4 – 121 = (5xy2 + 11) * (5xy2 - 11)
100 m2 n4 – 169 y6
100 m2 n4 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 10mn2
169 y6 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 13 y3
Multiplica la suma de las raíces, (10mn2 + 13 y3) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (10mn2 - 13 y3)
100 m2 n4 – 169 y6 = (10mn2 + 13 y3) * (10mn2 - 13 y3)
a2 m4 n6 – 144
a2 m4 n6 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es am2n3
Multiplica la suma de las raíces, (am2n3 + 12) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (am2n3 - 12)
a2 m4 n6 – 144 = (am2n3 + 12) * (am2n3 - 12)
196 x2 y4 – 225 x12
196 x2 y4 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 14 xy2
225 x12 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 15x6
Multiplica la suma de las raíces, (14 xy2 + 15x6) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (14 xy2 - 15x6)
196 x2 y4 – 225 x12 = (14 xy2 + 15x6) * (14 xy2 - 15x6)
256 a12 – 289 b4 m10
256 a12 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 16 a6
289 b4 m10 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 17 b2 m5

17

Multiplica la suma de las raíces, (16 a6 + 17 b2 m5) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la
del sustraendo (16 a6 - 17 b2 m5)
256 a12 – 289 b4 m10 = (16 a6 + 17 b2 m5) * (16 a6 - 17 b2 m5)
1 – 9 a2 b4 c6 d8
9 a2 b4 c6 d8 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 3 a2 b2 c3 d4
Multiplica la suma de las raíces, (1 + 3 a2 b2 c3 d4 ) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (1 – 3 a2 b2 c3 d4 )
1 – 9 a2 b4 c6 d8 = (1 + 3 a2 b2 c3 d4 ) * (1 – 3 a2 b2 c3 d4 )
CASO ESPECIAL
Ejemplo:
Factorizar (a + b)2 – c2
La regla empleada en los ejemplos anteriores es aplicable a las diferencias de cuadrado en que uno
o ambos cuadrados son expresiones compuestas.
Así, en este caso, tenemos:
La raíz cuadrada de (a + b)2 es (a + b)
La raíz cuadrada de c2 es “c”
Multiplica la suma de las raíces, (a + b + c) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (a + b - c)
(a + b)2 – c2 = (a + b + c) (a + b - c)
Ejemplo:
Factorizar 4x2 - (x + y)2
La raíz cuadrada de 4x2 es 2x
La raíz cuadrada de (x + y)2 es (x + y)
Multiplica la suma de las raíces, [2x + (x + y)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo [2x - (x + y)]
4x2 - (x + y)2 = [2x + (x + y)] * [2x - (x + y)]
4x2 - (x + y)2 = [2x + x + y] * [2x - x - y]
4x2 - (x + y)2 = [3x + y] * [x - y]
Ejemplo:
Factorizar (a + x)2 - (x + 2)2
La raíz cuadrada de (a + x)2 es (a + x)
La raíz cuadrada de (x + 2)2 es (x + 2)
Multiplica la suma de las raíces, [(a + x) + (x + 2)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo [(a + x) - (x + 2)]

18

(a + x)2 - (x + 2)2 = [(a + x) + (x + 2)] * [(a + x) - (x + 2)]
(a + x)2 - (x + 2)2 = [a + x + x + 2] * [a + x - x - 2]
(a + x)2 - (x + 2)2 = [a + 2x + 2] * [a - 2]

19

Descomponer en dos factores y simplificar si es posible
(x + y)2 – a2
La raíz cuadrada de a2 es “a”
Multiplica la suma de las raíces, (x + y + a) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (x + y - a)
(x + y)2 – a2 = (x + y + a) * (x + y - a)
4 – (a + 1)2

20

La raíz cuadrada de (a + 1)2 es (a + 1)
Multiplica la suma de las raíces, [2 + (a + 1)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo [2 - (a + 1)]
4 – (a + 1)2 = [2 + (a + 1)] * [2 - (a + 1)]
4 – (a + 1)2 = [2 + a + 1] * [2 - a - 1]
4x2 - (x + y)2 = [3 + a] * [1 - a]
9 – (m + n)2
La raíz cuadrada de (m + n)2 es (m + n)
Multiplica la suma de las raíces, [3 + (m + n)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo [3 - (m + n)]
9 – (m + n)2 = [3 + (m + n)] *[3 - (m + n)]
9 – (m + n)2 = [3 + m + n] *[3 -m - n]
9 – (m + n)2 = [3 + m + n] *[3 -m - n]
(m - n)2 – 16
La raíz cuadrada de (m - n)2 es (m - n)
La raíz cuadrada de 16 es “4”
Multiplica la suma de las raíces, (m – n + 4) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (m – n - 4)
(m - n)2 – 16 = [(m – n + 4)] *[(m – n - 4)]
(x - y)2 – 4z2
La raíz cuadrada de (x - y)2 es (x - y)
La raíz cuadrada de 4z2 es “2z”
Multiplica la suma de las raíces, (x – y + 2z) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (x – y – 2z)
(x - y)2 – 4z2 = (x – y + 2z) * (x – y – 2z)
(a + 2b)2 – 1

21

La raíz cuadrada de (a + 2b)2 es (a + 2b)
Multiplica la suma de las raíces, (a + 2b + 1) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (a + 2b - 1)
(a + 2b)2 – 1 = (a + 2b + 1) * (a + 2b - 1)
1 – (x – 2y)2
La raíz cuadrada de (x – 2y)2 es (x – 2y)
Multiplica la suma de las raíces, [1 + (x – 2y)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo [1 - (x – 2y)]
1 – (x – 2y)2 = [1 + (x – 2y)] * [1 - (x – 2y)]
1 – (x – 2y)2 = [1 + x – 2y] * [1 - x + 2y]
(x + 2a)2 – 4x2
La raíz cuadrada de (x + 2a)2 es (x + 2a)
La raíz cuadrada de 4x2 es “2x”
Multiplica la suma de las raíces, (x + 2a + 2x) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (x + 2a - 2x)
(x + 2a)2 – 4x2 = [(x + 2a + 2x)] * [(x + 2a - 2x)]
(x + 2a)2 – 4x2 = [x + 2a + 2x] * [x + 2a - 2x]
(x + 2a)2 – 4x2 = [3x + 2a ] * [2a - x]
Problema 94.9Algebra Baldor (Pagina 154)
(a + b)2 - (c + d)2
La raíz cuadrada de (a + b)2 es (a + b)
La raíz cuadrada de (c + d)2 es (c + d)
Multiplica la suma de las raíces, [(a + b) + (c + d)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo [(a + b) - (c + d)]
(a + b)2 - (c + d)2 = [(a + b) + (c + d)] * [(a + b) - (c + d)]
(a + b)2 - (c + d)2 = [a + b + c + d] * [a + b - c - d]

22

(a - b)2 - (c - d)2
La raíz cuadrada de (a - b)2 es (a - b)
La raíz cuadrada de (c - d)2 es (c - d)
Multiplica la suma de las raíces, [(a - b) + (c - d)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo [(a - b) - (c - d)]
(a - b)2 - (c - d)2 = [(a - b) + (c - d)] * [(a - b) - (c - d)]
(a - b)2 - (c - d)2 = [a - b + c - d] * [a - b - c + d]
(x + 1)2 – 16x2
Multiplica la suma de las raíces, (x + 1 + 4x) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (x + 1 - 4x)
(x + 1)2 – 16x2 = (x + 1 + 4x) * (x + 1 - 4x)
(x + 1)2 – 16x2 = (1 + 5x)] * (1 - 3x)
64 m2 – (m – 2n)2
La raíz cuadrada de 64 m2 es 8m
La raíz cuadrada de (m – 2n)2 es (m – 2n)
Multiplica la suma de las raíces, [8m + (m – 2n)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo [8m - (m – 2n)]
64 m2 – (m – 2n)2 = [8m + (m – 2n)] * [8m - (m – 2n)]
64 m2 – (m – 2n)2 = [8m + m – 2n] * [8m - m + 2n]
64 m2 – (m – 2n)2 = [9m – 2n] * [7m + 2n]
(a - 2b)2 - (x + y)2
La raíz cuadrada de (a - 2b)2 es (a - 2b)
Multiplica la suma de las raíces, [(a - 2b) + (x + y)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo [(a - 2b) - (x + y)]

23

(a - 2b)2 - (x + y)2 = [(a - 2b) + (x + y)] * [(a - 2b) - (x + y)]
(a - 2b)2 - (x + y)2 = [a - 2b + x + y] * [a - 2b - x - y]
(2a - c)2 - (a + c)2
La raíz cuadrada de (2a - c)2 es (2a - c)
La raíz cuadrada de (a + c)2 es (a + c)
Multiplica la suma de las raíces, [(2a - c) + (a + c)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo [(2a - c) - (a + c)]
(2a - c)2 - (a + c)2 = [(2a - c) + (a + c)] * [(2a - c) - (a + c)]
(2a - c)2 - (a + c)2 = [2a - c + a + c] * [2a - c - a - c]
(2a - c)2 - (a + c)2 = [3a ] * [a - 2c]
(x + 1)2 – 4x2
Multiplica la suma de las raíces, (x + 1 + 2x) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (x + 1 - 2x)
(x + 1)2 – 4x2 = (x + 1 + 2x) * (x + 1 - 2x)
(x + 1)2 – 4x2 = (1 + 3x)] * (1 - x)
36x2 – (a + 3x)2
La raíz cuadrada de 36 x2 es 6x
La raíz cuadrada de (a + 3x)2 es (a + 3x)
Multiplica la suma de las raíces, [8m + (m – 2n)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo [8m - (m – 2n)]
36x2 – (a + 3x)2 = [6x + (a + 3x)] * [6x - (a + 3x)]
36x2 – (a + 3x)2 = [6x + a + 3x] * [6x - a - 3x]
36x2 – (a + 3x)2 = [9x + a ] * [3x - a ]
a6 – (a - 1)2
La raíz cuadrada de (a - 1)2 es (a - 1)

24

Multiplica la suma de las raíces, [a3 + (a - 1)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo [a3 - (a - 1)]
a6 – (a - 1)2 = [a3 + (a - 1)] * [a3 - (a - 1)]
a6 – (a - 1)2 = [a3 + a - 1] * [a3 - a + 1]
(a - 1)2 - (m - 2)2
La raíz cuadrada de (a - 1)2 es (a - 1)
La raíz cuadrada de (m - 2)2 es (m - 2)
Multiplica la suma de las raíces, [(a - 1) + (m - 2)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo [(a - 1) - (m - 2)]
(a - 1)2 - (m - 2)2 = [(a - 1) + (m - 2)] * [(a - 1) - (m - 2)]
(a - 1)2 - (m - 2)2 = [a - 1 + m - 2] * [a - 1 - m + 2]
(a - 1)2 - (m - 2)2 = [a + m - 3] * [a - m + 1]
(2x - 3)2 - (x - 5)2
La raíz cuadrada de (2x - 3)2 es (2x - 3)
La raíz cuadrada de (x - 5)2 es (x - 5)
Multiplica la suma de las raíces, [(2x - 3) + (x - 5)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo[(2x - 3) - (x - 5)]
(2x - 3)2 - (x - 5)2 = [(2x - 3) + (x - 5)] * [(2x - 3) - (x - 5)]
(2x - 3)2 - (x - 5)2 = [2x - 3 + x - 5] * [2x - 3 - x + 5]
(2x - 3)2 - (x - 5)2 = [3x - 8] * [x + 2]
1 – (5a + 2x)2
La raíz cuadrada de (5a + 2x)2 es (5a + 2x)
Multiplica la suma de las raíces, [1 + (5a + 2x)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo [1 - (5a + 2x)]
1 – (5a + 2x)2 = [1 + (5a + 2x)] * [1 - (5a + 2x)]
1 – (5a + 2x)2 = [1 + 5a + 2x] * [1 - 5a - 2x]
(7x + y)2 – 81

25

La raíz cuadrada de (7x + y)2 es (7x + y)
Multiplica la suma de las raíces, (7x + y + 9) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del
sustraendo (7x + y - 9)
(7x + y)2 – 81 = (7x + y + 9) * (7x + y - 9)
CASOS ESPECIALES
COMBINACIÓN DE LOS CASOS III Y IV
Estudiamos a continuación la descomposición de expresiones compuestas en las cuales mediante
un arreglo conveniente de sus términos se obtiene uno o dos trinomios cuadrados perfectos y
descomponiendo estos trinomios (CASO III) se obtiene una diferencia de cuadrados (CASO IV)
Ejemplo:
Factorizar a2 + 2ab + b2 – 1
Aquí tenemos que a2 + 2ab + b2 es un trinomio cuadrado perfecto; luego
a2 + 2ab + b2 – 1 = (a2 + 2ab + b2) – 1
Factorando el trinomio
a2 + 2ab + b2 – 1 = (a + b)2 – 1
Factorando la diferencia de cuadrados
a2 + 2ab + b2 – 1 = [(a + b) + 1] * [(a + b) - 1]
a2 + 2ab + b2 – 1= [a + b + 1] * [a + b - 1]
Ejemplo:
Descomponer a2 + m2 – 4b2 – 2am
Ordenando esta expresión, podemos escribirla:
a2 - 2am + m2 – 4b2
Aquí tenemos que a2 - 2am + m2 – 4b2 es un trinomio cuadrado perfecto; luego
a2 - 2am + m2 – 4b2 = (a2 - 2am + m2 ) – 4b2
a2 - 2am + m2 – 4b2 = (a - m)2 – 4b2
a2 - 2am + m2 – 4b2 = [(a - m) + 2b] * [(a - m) – 2b]
a2 - 2am + m2 – 4b2 = [a - m + 2b] * [a - m – 2b]
Ejemplo:
Descomponer 9a2 – x2 + 2x – 1
Introduciendo los tres últimos términos en un paréntesis precedido del signo (-) para que x2 y 1 se
hagan positivos, tendremos:
9a2 – x2 + 2x – 1 = 9a2 – (x2 - 2x + 1)

26

9a2 – (x2 - 2x + 1)= 9a2 - (x - 1)2
9a2 - (x - 1)2 = [3a + (x – 1)] * [3a - (x - 1)]
9a2 - (x - 1)2 = [3a + x – 1] * [3a - x + 1]
9a2 - (x - 1)2 = [3a + x – 1] * [3a - x + 1]
9a2 – x2 + 2x – 1= [3a + x – 1] * [3a - x + 1]
Ejemplo:
Descomponer 4x2 – a2 + y2 – 4xy + 2ab – b2
El termino 4xy nos sugiere que es el segundo termino de un trinomio cuadrado perfecto cuyo primer
termino tiene x2 y cuyo tercer termino tiene y2.
El termino 2ab nos sugiere que es el segundo termino de un trinomio cuadrado perfecto cuyo primer
termino tiene a2 y cuyo tercer termino tiene b2. Pero –a2 y –b2 son negativos, se introduce este ultimo
trinomio en un paréntesis precedido del signo (-)
ordenando
4x2 – a2 + y2 – 4xy + 2ab – b2 = 4x2 – 4xy + y2 - a2 + 2ab – b2
4x2 – a2 + y2 – 4xy + 2ab – b2 = (4x2 – 4xy + y2) - (a2 - 2ab + b2)
(4x2 – 4xy + y2) - (a2 - 2ab + b2)
(2x – y)2 - (a - b)2
(2x – y)2 - (a - b)2 = [(2x – y) + (a - b)] * [(2x – y) - (a - b)]
(2x – y)2 - (a - b)2 = [2x – y + a - b] * [2x – y - a + b]
4x2 – a2 + y2 – 4xy + 2ab – b2 = [2x – y + a - b] * [2x – y - a + b]
Ejemplo:
Factorar a2 – 9n2 – 6mn + 10ab + 25b2 – m2
El termino 10ab nos sugiere que es el segundo termino de un trinomio cuadrado perfecto cuyo
primer termino tiene a2 y cuyo tercer termino tiene b2.
El termino 6mn nos sugiere que es el segundo termino de un trinomio cuadrado perfecto cuyo primer
termino tiene m2 y cuyo tercer termino tiene n2.
ordenando
a2 + 10ab + 25b2 – m2 – 6mn – 9n2
Agrupando
a2 + 10ab + 25b2 – m2 – 6mn – 9n2 = (a2 + 10ab + 25b2) – (m2 + 6mn + 9n2)
(a2 + 10ab + 25b2) – (m2 + 6mn + 9n2)
(a +5b)2 - (m + 3n)2
(a + 5b)2 - (m + 3n)2 = [(a + 5b) + (m + 3n)] * [(a + 5b) - (m + 3n)]
(a + 5b)2 - (m + 3n)2 = [a + 5b + m + 3n] * [a + 5b - m - 3n]
a2 – 9n2 – 6mn + 10ab + 25b2 – m2 = [a + 5b + m + 3n] * [a + 5b - m - 3n]

27

a2 + 2ab + b2 – x2
Agrupando y factorando el trinomio
(a2 + 2ab + b2) – x2
(a + b)2 - x2
(a + b)2 - x2 = [(a + b) + x] * [(a + b) - x]
(a + b)2 - x2 = [a + b + x] * [a + b - x]
a2 + 2ab + b2 – x2 = [a + b + x] * [a + b - x]
x2 – 2xy + y2 – m2
(x2 – 2xy + y2 ) – m2
(x - y)2 - m2
(x - y)2 - m2 = [(x - y) + m] * [(x - y) - m]
(x - y)2 - m2 = [x - y + m] * [x - y - m]
x2 – 2xy + y2 – m2 = [x - y + m] * [x - y - m]
m2 + 2mn + n2 - 1
(m2 + 2mn + n2) – 1
(m + n)2 - 1

28

(m + n)2 - 1 = [(m + n) + 1] * [(m + n) - 1]
(m + n)2 - 1 = [m + n + 1] * [m + n - 1]
m2 + 2mn + n2 - 1 = [m + n + 1] * [m + n - 1]
a2 – 2a + 1 – b2
(a – 2a + 1) – b2
(a – 1)2 – b2
(a – 1)2 – b2 = [(a - 1) + b] * [(a - 1) - b]
(a – 1)2 – b2 = [a - 1 + b] * [a - 1 - b]
a2 – 2a + 1 – b2 = [a - 1 + b] * [a - 1 - b]
n2 + 6n + 9 - c2
(n2 + 6n + 9) – c2
(n + 3)2 – c2
(n + 3)2 – c2 = [(n + 3 ) + c] * [(n + 3 ) - c]
(n + 3)2 – c2 = [n + 3 + c] * [n + 3 - c]
n2 + 6n + 9 - c2 = [n + 3 + c] * [n + 3 - c]
a2 + x2 + 2ax - 4
Ordenando, agrupando y factorando el trinomio
a2 + x2 + 2ax – 4 = a2 + 2ax + x2 – 4
(a2 + 2ax + x2) - 4
(a + x)2 – 4
(a + x)2 – 4 = [(a + x ) + 2] * [(a + x ) - 2]
(a + x)2 – 4 = [a + x + 2] * [a + x - 2]
a2 + x2 + 2ax – 4 = [a + x + 2] * [a + x - 2]
a2 + 4 – 4a – 9b2
a2 + 4 – 4a – 9b2 = a2 – 4a + 4 – 9b2
(a2 – 4a + 4) – 9b2
(a – 2)2 – 9b2

29

(a – 2)2 – 9b2= [(a - 2) + 3b] * [(a - 2) - 3b]
(a – 2)2 – 9b2= [a - 2 + 3b] * [a - 2 - 3b]
a2 + 4 – 4a – 9b2 = [a - 2 + 3b] * [a - 2 - 3b]
x2 + 4y2 – 4xy – 1
x2 + 4y2 – 4xy – 1 = x2 – 4xy + 4y2 – 1
(x2 – 4xy + 4y2) – 1
(x – 2y)2 – 1
(x – 2y)2 – 1 = [(x – 2y) + 1] * [(x – 2y) - 1]
(x – 2y)2 – 1 = [x – 2y + 1] * [x – 2y - 1]
x2 + 4y2 – 4xy – 1 = [x – 2y + 1] * [x – 2y - 1]
a2 – 6ay + 9y2 - 4x2
a2 – 6ay + 9y2 - 4x2 = (a2 – 6ay + 9y2) – 4X2
(a – 3y)2 – 4x2
(a – 3y)2 – 4x2 = [(a – 3y) + 2x] * [(a – 3y) - 2x]
(a – 3y)2 – 4x2 = [a – 3y + 2x] * [a – 3y - 2x]
a2 – 6ay + 9y2 - 4x2 = [a – 3y + 2x] * [a – 3y - 2x]
4x2 + 25y2 – 36 + 20xy
4x2 + 25y2 – 36 + 20xy = 4x2 + 20 xy + 25y2 – 36
(4x2 + 20 xy + 25y2) – 36
(2x + 5y)2 – 36
(2x + 5y)2 – 36 = [(2x + 5y) + 6] * [(2x + 5y) - 6]
(2x + 5y)2 – 36 = [2x + 5y + 6] * [2x + 5y - 6]
4x2 + 25y2 – 36 + 20xy = [2x + 5y + 6] * [2x + 5y - 6]
9x2 – 1 + 16a2 – 24ax
9x2 – 1 + 16a2 – 24ax = 9x2 – 24ax + 16a2 – 1
(9x2 – 24ax + 16a2) – 1
(3x - 4a)2 – 1

30

(3x - 4a)2 – 1 = [(3x - 4a) + 1] * [(3x - 4a) - 1]
(3x - 4a)2 – 1 = [3x - 4a + 1] * [3x - 4a - 1]
9x2 – 1 + 16a2 – 24ax = [3x - 4a + 1] * [3x - 4a - 1]
1 + 64 a2 b2 – x4 – 16ab
1 + 64 a2 b2 – x4 – 16ab = 64 a2 b2 – 16ab + 1 – x4
(64 a2 b2 – 16ab + 1) – x4
(8ab - 1)2 – x4
(8ab - 1)2 – x4 = [(8ab - 1) + x2] * [(8ab - 1) - x2]
(8ab - 1)2 – x4 = [8ab - 1 + x2] * [8ab - 1 - x2]
1 + 64 a2 b2 – x4 – 16ab = [8ab - 1 + x2] * [8ab - 1 - x2]
a2 – b2 – 2bc – c2
a2 – b2 – 2bc – c2 = a2– b2 – 2bc – c2
a2 – b2 – 2bc – c2 = a2– (b2 + 2bc + c2)
a2– (b2 + 2bc + c2)
a2 - (b + c)2
a2 - (b + c)2 = [a + (b + c)] * [a - (b + c)]
a2 - (b + c)2 = [a + b + c] * [a - b - c]
a2 – b2 – 2bc – c2 = [a + b + c] * [a - b - c]
1 - a2 + 2ax – x2
1 - a2 + 2ax – x2 = 1 – (a2 - 2ax + x2)
1 – (a2 - 2ax + x2)
1 - (a - x)2
1 - (a - x)2 = [1 + (a - x)] * [1 - (a - x)]
1 - (a - x)2 = [1 + a - x] * [1 - a + x]
1 - a2 + 2ax – x2 = [1 + a - x] * [1 - a + x]
m2 – x2 – 2xy – y2

31

m2 – x2 – 2xy – y2 = m2 – (x2 + 2xy + y2)
m2 – (x2 + 2xy + y2)
m2 - (x + y)2
m2 - (x + y)2 = [m + (x + y)] * [m - (x + y)]
m2 - (x + y)2 = [m + x + y] * [m - x - y]
m2 – x2 – 2xy – y2 = [m + x + y] * [m - x - y]
c2 – a2 + 2 a - 1
c2 – a2 + 2 a – 1 = c2 – (a2 - 2a + 1)
c2 – (a2 - 2a + 1)
c2 - (a - 1)2
c2 - (a - 1)2 = [c + (a - 1)] * [c - (a - 1)]
c2 - (a - 1)2 = [c + a - 1] * [c - a + 1)]
c2 – a2 + 2 a – 1 = [c + a - 1] * [c - a + 1)]
9 – n2 – 25 – 10n
9 – n2 – 25 – 10n = 9 – n2 – 10n – 25
9 – (n2 + 10n + 25)
9 - (n + 5)2
9 - (n + 5)2 = [3 + (n + 5)] * [3 - (n + 5)]
9 - (n + 5)2 = [3 + n + 5] * [3 - n - 5]
9 - (n + 5)2 = [8 + n ] * [-2 - n ]
9 - (n + 5)2 = - [8 + n ] * [2 + n ]
9 – n2 – 25 – 10n = - [8 + n ] * [2 + n ]
4 a2 – x2 + 4x - 4
4 a2 – x2 + 4x – 4 = 4 a2 – (x2 - 4x + 4)
4 a2 – (x2 - 4x + 4)
4a2 - (x - 2)2
4a2 - (x - 2)2 = [2a + (x - 2)] *[2a - (x - 2)]
4a2 - (x - 2)2 = [2a + x - 2] *[2a - x + 2]
4 a2 – x2 + 4x – 4 = [2a + x - 2] *[2a - x + 2]

32

1 – a2 – 9n2 – 6an
1 – a2 – 9n2 – 6an = 1 – a2 – 6an – 9n2
1 – (a2 + 6an + 9n2 )
1 - (a + 3n)2
1 - (a + 3n)2 = [1 + (a + 3n)] * [1 - (a + 3n)]
1 - (a + 3n)2 = [1 + a + 3n] * [1 - a - 3n]
1 – a2 – 9n2 – 6an = [1 + a + 3n] * [1 - a - 3n]
25 – x2 – 16y2 + 8xy
25 – x2 – 16y2 + 8xy = 25 – x2 + 8xy – 16y2
25 – (x2 - 8xy + 16y2)
25 - (x – 4y)2
25 - (x – 4y)2 = [5 + (x – 4y)] * [5 - (x – 4y)]
25 - (x – 4y)2 = [5 + x – 4y] * [5 - x + 4y]
25 – x2 – 16y2 + 8xy = [5 + x – 4y] * [5 - x + 4y]
9x2 – a2 – 4m2 + 4am
9x2 – a2 – 4m2 + 4am = 9x2 – a2 + 4am – 4m2
9x2 – (a2 - 4am + 4m2 )
9x2 - (a – 2m)2
9x2 - (a – 2m)2 = [3x + (a – 2m)] * [3x - (a – 2m)]
9x2 - (a – 2m)2 = [3x + a – 2m] * [3x - a + 2m]
9x2 – a2 – 4m2 + 4am = [3x + a – 2m] * [3x - a + 2m]

33

Ejercicios 95 Algebra Baldor (Pagina 155)

34

CASO V
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION
Ejemplo:
Factorar x4 + x2y2 + y4
Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto.
La raíz cuadrada de x4 es x2.
La raíz cuadrada de y4 es y2.
El doble producto de estas raíces es 2x2y2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino x2y2 se convierta en 2x2y2 lo
cual se consigue sumándole x2y2 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma
cantidad que se suma, x2y2

x4 + x2y2 + y4
+ x2y2
- x2y2
x4 + 2x2y2 + y4 - x2y2 = (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2
Factorando el trinomio cuadrado perfecto.
(x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2
(x2 + y2)2 - x2y2
(x2 + y2)2 - x2y2 = [(x2 + y2) + xy] * [(x2 + y2) - xy]
(x2 + y2)2 - x2y2 = [x2 + y2 + xy] * [x2 + y2 - xy]
x4 + x2y2 + y4= [x2 + xy + y2 ] * [x2 – xy + y2]
Ejemplo:
Descomponer 4a4 + 8a2 b2 + 9b4
La raíz cuadrada de 4a4 es 2a2.
La raíz cuadrada de 9b4 es 3b2.
El doble producto de estas raíces es 2 * 2a2 * 3b2 =12 a2 b2 luego este trinomio no es cuadrado
perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 8a2 b2 se convierta en 12 a2
b2 lo cual se consigue sumándole 4a2 b2 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la
misma cantidad que se suma, 4a2 b2
4a4 + 8a2 b2 + 9b4
+ 4a2 b2
- 4a2 b2
4a4 + 12a2 b2 + 9b4 - 4a2 b2 = (4a4 + 12a2 b2 + 9b4 ) - 4a2 b2
(4a4 + 12a2 b2 + 9b4 ) - 4a2 b2
(2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2
(2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2 = [(2a2 + 3b2) + 2ab] * [(2a2 + 3b2) - 2ab]
(2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2 = [2a2 + 3b2 + 2ab] * [2a2 + 3b2 - 2ab]
4a4 + 8a2 b2 + 9b4= [2a2 + 2ab + 3b2 ] * [2a2 – 2ab + 3b2 ]

35

Ejemplo:
Descomponer a4 - 16a2 b2 + 36b4
La raíz cuadrada de a4 es a2.
La raíz cuadrada de 36b4 es 6b2.
El doble producto de estas raíces es - 2 * a2 * 6b2 = - 12 a2 b2 luego este trinomio no es cuadrado
perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino - 16a2 b2 se convierta en - 12
a2 b2 lo cual se consigue sumándole 4a2 b2 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la
misma cantidad que se suma, 4a2 b2
a4 -16a2 b2 + 36b4
+ 4a2 b2
- 4a2 b2
a4 + 12a2 b2 + 36b4 - 4a2 b2 = (a4 + 12a2 b2 + 36b4 ) - 4a2 b2
(a4 + 12a2 b2 + 36b4 ) - 4a2 b2
(a2 + 6b2)2 - 4a2 b2
(a2 + 6b2)2 - 4a2 b2 = [(a2 + 6b2) + 2ab] * [(a2 + 6b2) - 2ab]
(2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2 = [a2 + 6b2 + 2ab] * [a2 + 6b2 - 2ab]
4a4 + 8a2 b2 + 9b4= [a2 + 2ab + 6b2 ] * [a2 – 2ab + 6b2 ]
Ejemplo:
Descomponer 49m4 – 151m2 n4 + 81n8
La raíz cuadrada de 49m4 es 7m2
La raíz cuadrada de 81n8 es 9n4
El doble producto de estas raíces es - 2 * 7m2 * 9n4 = - 126 m2 n4 luego este trinomio no es cuadrado
perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino – 151m2 n4 se convierta en
- 126 m2 n4 lo cual se consigue sumándole 25 m2 n4. Pero para que el trinomio no varíe hay que
restarle la misma cantidad que se suma, - 25 m2 n4
49m4 – 151m2 n4 + 81n8
+ 25 m2 n4

- 25 m2 n4

49m4 – 126m2 n4 + 81n8 - 25 m2 n4 = (49m4 – 126m2 n4 + 81n8 ) - 25 m2 n4
(49m4 – 126m2 n4 + 81n8 ) - 25 m2 n4
(7m2 – 9n4)2 - 25 m2 n4
(7m2 – 9n4)2 - 25 m2 n4 = [(7m2 – 9n4) + 5mn2] * [(7m2 – 9n4) - 5mn2]
(7m2 – 9n4)2 - 25 m2 n4 = [7m2 – 9n4 + 5mn2] * [7m2 – 9n4 - 5mn2]
49m4 – 151m2 n4 + 81n8= [7m2 + 5mn2 – 9n4] * [7m2 - 5mn2 – 9n4 ]

36

a 4 + a2 + 1
El doble producto de estas raíces es 2 * a2 * 1 = 2 a2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino a2 se convierta en 2a2 lo cual
se consigue sumándole a2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad
que se suma, - a2
a4 + a2 + 1 + a2 - a2 = a4 + 2a2 + 1 - a2
(a4 + 2a2 + 1) - a2
(a2 + 1)2 - a2
(a2 + 1)2 - a2 = [(a2 + 1) + a ] * [(a2 + 1) - a ]
(a2 + 1)2 - a2 = [a2 + 1 + a ] * [a2 + 1 - a ]
a4 + a2 + 1 = [a2 + a + 1] * [a2 - a + 1 ]
m 4 + m 2 n2 + n 4
La raíz cuadrada de m4 es m2
La raíz cuadrada de n4 es n2
El doble producto de estas raíces es 2 * (m2) * (n2) = 2 m2 n2 luego este trinomio no es cuadrado
perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino m2 n2 se convierta en 2 m2
n2 lo cual se consigue sumándole m2 n2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la
misma cantidad que se suma, - m2 n2
m4 + m2 n2 + n4 = m4 + m2 n2 + m2 n2 + n4 - m2 n2
(m4 + 2m2 n2 + n4) - m2 n2
(m2 + n2)2 - m2 n2
(m2 + n2)2 - m2 n2 = [(m2 + n2) + mn ] * [(m2 + n2) - mn ]
(m2 + n2)2 - m2 n2 = [m2 + n2 + mn ] * [m2 + n2 - mn ]
m4 + m2 n2 + n4 = [m2 + n2 + mn ] * [m2 + n2 - mn ]
x8 + 3x4 + 4
La raíz cuadrada de x8 es x4
El doble producto de estas raíces es 2 * (x4) * (2) = 4 x4 luego este trinomio no es cuadrado perfecto.

37

Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 3x4 se convierta en 4 x4 lo
cual se consigue sumándole x4. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma
cantidad que se suma, - x4
x8 + 3x4 + 4 = x8 + 3x4 + x4 + 4 - x4
(x8 + 4x4 + 4) - x4
(x4 + 2)2 - x4
(x4 + 2)2 - x4 = [(x4 + 2) + x2 ] * [(x4 + 2) - x2 ]
(x4 + 2)2 - x4 = [x4 + 2 + x2 ] * [x4 + 2 - x2 ]
x8 + 3x4 + 4 = [x4 + x2 + 2 ] * [x4 - x2 + 2 ]
a4 + 2a2 + 9
El doble producto de estas raíces es 2 * a2 * 3 = 6 a2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 2a2 se convierta en 6a2 lo
cual se consigue sumándole 4a2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma
cantidad que se suma, - 4a2
a4 + 2a2 + 9 + 4a2 - 4a2 = a4 + 6a2 + 9 - 4a2
(a4 + 6a2 + 9) - 4a2
(a2 + 3)2 - 4a2
(a2 + 3)2 - 4a2 = [(a2 + 3) + 2a ] * [(a2 + 3) - 2a ]
(a2 + 3)2 - 4a2 = [a2 + 3 + 2a ] * [a2 + 3 - 2a ]
a4 + 2a2 + 9 = [a2 + 2a + 3] * [a2 - 2a + 3 ]
a4 - 3a2 b2 + b4
La raíz cuadrada de b4 es b2
El doble producto de estas raíces es - 2 * (a2 )* (b2) = - 2a2 b2 luego este trinomio no es cuadrado
perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino - 3a2 b2 se convierta en - 2a2
b2 lo cual se consigue sumándole a2 b2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma
cantidad que se suma, - a2 b2
a4 - 3a2 b2 + a2 b2 + b4 - a2 b2 = a4 - 2a2 b2 + b4 - a2 b2
(a4 - 2a2 b2 + b4 ) - a2 b2

38

(a2 -b2)2 - a2 b2
(a2 -b2)2 - a2 b2 = [(a2 -b2) + ab ] * [(a2 -b2) - ab ]
(a2 -b2)2 - a2 b2 = [a2 -b2 + ab ] * [a2 -b2 - ab ]
a4 - 3a2 b2 + b4 = [a2 + ab - b2] * [a2 - ab - b2]
x4 - 6x2 + 1
El doble producto de estas raíces es - 2 * (x2) * (1) = - 2 x2 luego este trinomio no es cuadrado
perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino - 6x2 se convierta en - 2 x2
lo cual se consigue sumándole 4 x2 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma
cantidad que se suma, - 4 x2
x4 - 6x2 + 1 = x4 - 6x2 + 4 x2 + 1 - 4 x2
(x4 - 2x2 + 1) - 4 x2
(x2 - 1)2 - 4 x2
(x2 - 1)2 - 4 x2 = [(x2 - 1) + 2x ] * [(x2 - 1) - 2x ]
(x2 - 1)2 - 4 x2 = [x2 - 1 + 2x ] * [x2 - 1 - 2x ]
x4 - 6x2 + 1 = [x2 + 2x - 1] * [x2 - 2x - 1]
4a4 + 3a2 b2 + 9b4
La raíz cuadrada de 9b4 es 3b2
El doble producto de estas raíces es 2 * (2a2 )* (3b2) = 12a2 b2 luego este trinomio no es cuadrado
perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 3a2 b2 se convierta en 12a2
b2 lo cual se consigue sumándole 9a2 b2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la
misma cantidad que se suma, - 9a2 b2
4a4 + 3a2 b2 + 9a2 b2 + 9b4 - 9a2 b2 = 4a4 +8a2 b2 + 9b4 - 9a2 b2
(4a4 + 12a2 b2 + 9b4 ) - 9a2 b2
(2a2 + 3b2)2 - 9a2 b2
(2a2 + 3b2)2 - 9a2 b2 = [(2a2 + 3b2) + 3ab ] * [(2a2 + 3b2) -3ab ]
(2a2 + 3b2)2 - 9a2 b2 = [2a2 + 3b2 + 3ab ] * [2a2 + 3b2 - 3ab ]

39

4a4 + 3a2 b2 + 9b4 = [2a2 + 3ab + 3b2] * [2a2 - 3ab + 3b2]
4x4 - 29x2 + 25
La raíz cuadrada de 4x4 es 2x2
El doble producto de estas raíces es - 2 * (2x2) * (5) = - 20 x2 luego este trinomio no es cuadrado
perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino - 29x2 se convierta en - 20x2
lo cual se consigue sumándole 9 x2 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma
cantidad que se suma, - 9 x2
4x4 - 29x2 + 25 = 4x4 - 29x2 + 9 x2 + 25 - 9 x2
(4x4 - 20x2 + 25) - 9 x2
(2x2 - 5)2 - 9 x2
(2x2 - 5)2 - 9 x2 = [(2x2 - 5) + 3x ] * [(2x2 - 5) - 3x ]
(2x2 - 1)2 - 25 x2 = [2x2 - 5 + 3x ] * [2x2 - 5 - 3x ]
4x4 - 29x2 + 25 = [2x2+ 3x - 5] * [2x2 - 3x - 5]
x8 + 4x4y4 + 16y8
La raíz cuadrada de 16y8 es 4y4
El doble producto de estas raíces es 2 * (x4) * (4y4) = 8 x4 y4 luego este trinomio no es cuadrado
perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 4x4y4 se convierta en 8x4y4
lo cual se consigue sumándole 4x4y4 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma
cantidad que se suma, - 4x4y4
x8 + 4x4y4 + 16y8 = x8 + 4x4y4 + 4x4y4 + 16y8 - 4x4y4
(x8 + 8x4y4 + 16y8) - 4x4y4
(x4 + 4y4)2 - 4x4y4
(x4 + 4y4)2 - 4x4y4 = [(x4 + 4y4) + 2x2y2 ] * [(x4 + 4y4) - 2x2y2 ]
(x4 + 4y4)2 - 4x4y4 = [x4 + 4y4 + 2x2y2 ] * [x4 + 4y4 - 2x2y2 ]
x8 + 4x4y4 + 16y8 = [x4 + 2x2y2 + 4y4] * [x4 - 2x2y2 + 4y4]
16m4 - 25 m2 n2 + 9n4

40

El doble producto de estas raíces es - 2 * (4m2) * (3n2) = - 24 m2 n2 luego este trinomio no es
cuadrado perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino -25m2 n2 se convierta en -24
m2 n2 lo cual se consigue sumándole m2 n2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la
misma cantidad que se suma, - m2 n2
16m4 - 25 m2 n2 + 9n4 = 16m4 - 25 m2 n2 + m2 n2 + 9n4 - m2 n2
(16m4 - 24 m2 n2 + 9n4) - m2 n2
(4m2 - 3n2)2 - m2 n2
(4m2 - 3n2)2 - m2 n2 = [(4m2 - 3n2) + mn ] * [(4m2 - 3n2) - mn ]
(4m2 - 3n2)2 - m2 n2 = [4m2 - 3n2 + mn ] * [4m2 - 3n2 - mn ]
16m4 - 25 m2 n2 + 9n4 = [4m2 + mn - 3n2] * [4m2 - mn - 3n2]
25a4 + 54a2 b2 + 49b4
El doble producto de estas raíces es 2 * (5a2 )* (7b2) = 70a2 b2 luego este trinomio no es cuadrado
perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 54a2 b2 se convierta en 70a2
b2 lo cual se consigue sumándole 16a2 b2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la
25a4 + 54a2 b2 + 16a2 b2 + 49b4 - 16a2 b2 = 25a4 +70a2 b2 + 49b4 - 16a2 b2
(25a4 + 70a2 b2 + 49b4 ) - 16a2 b2
(5a2 + 7b2)2 - 16a2 b2
(5a2 + 7b2)2 - 16a2 b2 = [(5a2 + 7b2) + 4ab ] * [(5a2 + 7b2) - 4ab ]
(5a2 + 7b2)2 - 16a2 b2 = [5a2 + 7b2 + 4ab ] * [5a2 + 7b2 - 4ab ]
25a4 + 54a2 b2 + 49b4 = [5a2 + 4ab + 7b2] * [5a2 - 4ab + 7b2]
36x4 - 109 x2y2 + 49y4
El doble producto de estas raíces es - 2 * (6x2) * (7y2) = - 84 x2 y2 luego este trinomio no es
cuadrado perfecto.

41

Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino - 109 x2 y2 se convierta en
-84 x2 y2 lo cual se consigue sumándole 25 x2 y2 . Pero para que el trinomio no varíe hay que
restarle la misma cantidad que se suma, - 25x2 y2
36x4 - 109 x2y2 + 49y4 = 36x4 - 109 x2y2 + 25 x2 y2 + 49y4 - 25 x2 y2
(36x4 - 84x2y2 + 49y4) - 25 x2 y2
(6x2 - 7y2)2 - 25 x2 y2
(6x2 - 7y2)2 - 25 x2 y2 = [(6x2 - 7y2) + 5xy ] * [(6x2 - 7y2) – 5xy ]
(6x2 - 7y2)2 - 25 x2 y2 = [6x2 - 7y2 + 5xy ] * [6x2 - 7y2 – 5xy ]
36x4 - 109 x2y2 + 49y4 = [6x2 + 5xy - 7y2] * [6x2– 5xy - 7y2]
81m8 + 2m4 + 1
El doble producto de estas raíces es 2 * (9m4) * (1) = 18 m4 luego este trinomio no es cuadrado
perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 2m4 se convierta en 18m4 lo
cual se consigue sumándole 16m4. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma
cantidad que se suma, - 16m4
81m8 + 2m4 + 1 = 81m8 + 16m4 + 2m4 + 1 - 16m4
(81m8 + 18m4 + 1) - 16m4
(9m4 + 1)2 - 16m4
(9m4 + 1)2 - 16m4 = [(9m4 + 1) + 4m2 ] * [(9m4 + 1) - 4m2 ]
(9m4 + 1)2 - 16m4 = [9m4 + 1 + 4m2 ] * [9m4 + 1 - 4m2 ]
81m8 + 2m4 + 1 = [9m4 + 4m2 + 1] * [9m4 - 4m2 + 1]
c4 – 45c2 + 100
La raíz cuadrada de c4 es c2
El doble producto de estas raíces es - 2 * (c2) * (10) = - 20 a2 luego este trinomio no es cuadrado
perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino – 45c2 se convierta en
– 20c2 lo cual se consigue sumándole 25c2 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la
misma cantidad que se suma, - 25c2
c4 – 45c2 + 100 = c4 – 45c2 + 25c2 + 100 - 25c2

42

c4 – 20c2 + 100 - 25c2
(c2 - 10)2 - 25c2
(c2 - 10)2 - 25c2 = [(c2 - 10) + 5c ] * [(c2 - 10) – 5c ]
(c2 - 10)2 - 25c2 = [c2 - 10 + 5c ] * [c2 - 10 – 5c ]
c4 – 45c2 + 100 = [c2 + 5c - 10] * [c2 – 5c - 10]
4a8 – 53 a4 b4 + 49b8
El doble producto de estas raíces es - 2 * (2a4 )* (7b4) = - 28 a4 b4 luego este trinomio no es
cuadrado perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino – 53 a4 b4 se convierta en
- 28 a4 b4 lo cual se consigue sumándole 25 a4 b4. Pero para que el trinomio no varíe hay que
restarle la misma cantidad que se suma, - 25 a4 b4
4a8 – 53 a4 b4 + 49b8 = 4a8 – 53 a4 b4 + 25 a4 b4 + 49b8 - 25 a4 b4
4a8 – 28 a4 b4 + 49b8 - 25 a4 b4
(4a8 – 28 a4 b4 + 49b8) - 25 a4 b4
(2a4 - 7b4)2 - 25 a4 b4
(2a4 - 7b4)2 - 25 a4 b4 = [(2a4 - 7b4) + 5a2 b2 ] * [(2a4 - 7b4) - 5a2 b2 ]
(2a4 - 7b4)2 - 25 a4 b4 = [2a4 - 7b4 + 5a2 b2 ] * [2a4 - 7b4 - 5a2 b2 ]
4a8 – 53 a4 b4 + 49b8 = [2a4 + 5a2 b2 - 7b4] * [2a4 - 5a2 b2 - 7b4]
49 + 76n2 + 64n4
El doble producto de estas raíces es 2 * (7 )* (8n2) = 112 n2 luego este trinomio no es cuadrado
perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 76n2 se convierta en 112n2
lo cual se consigue sumándole 36n2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma
cantidad que se suma, - 36n2
49 + 76n2 + 64n4 = 49 + 76n2 + 36n2 + 64n4 - 36n2
49 + 112n2 + 64n4 - 36n2
(49 + 112n2 + 64n4) - 36n2
(7 + 8n2)2 - 36n2

43

(7 + 8n2)2 - 36n2 = [(7 + 8n2) + 6n ] * [(7 + 8n2) – 6n ]
(7 + 8n2)2 - 36n2 = [7 + 8n2 + 6n ] * [7 + 8n2 – 6n ]
49 + 76n2 + 64n4 = [8n2 + 6n +7] * [ 8n2 – 6n + 7 ]
25x4 - 139x2 y2 + 81y4
cuadrado perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino - 139x2 y2 se convierta en
- 90x2y2 lo cual se consigue sumándole 49x2y2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle
la misma cantidad que se suma, - 49x2y2
25x4 - 139x2 y2 + 81y4 = 25x4 - 139x2 y2 + 49x2y2 + 81y4 - 49x2y2
(25x4 - 90x2 y2 + 81y4) - 49x2y2
(5x2 – 9y2)2 - 49x2y2
(5x2 – 9y2)2 - 49x2y2 = [(5x2 – 9y2) + 7xy ] * [(5x2 – 9y2) - 7xy ]
(5x2 – 9y2)2 - 49x2y2 = [5x2 – 9y2 + 7xy ] * [5x2 – 9y2 - 7xy ]
25x4 - 139x2 y2 + 81y4 = [5x2 + 7xy – 9y2] * [5x2 - 7xy – 9y2]
49x8 + 76x4y4 + 100y8
El doble producto de estas raíces es 2 * (7x4) * (10y4) = 140 x4 y4 luego este trinomio no es cuadrado
perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 76x4y4 se convierta en
140x4y4 lo cual se consigue sumándole 64x4y4 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle
la misma cantidad que se suma, - 64x4y4
49x8 + 76x4y4 + 100y8 = 49x8 + 76x4y4 + 64x4y4 + 100y8 - 64x4y4
(49x8 + 140x4y4 + 100y8) - 64x4y4
(7x4 + 10y4)2 - 64x4y4
(7x4 + 10y4)2 - 64x4y4 = [(7x4 + 10y4) + 8x2y2 ] * [(7x4 + 10y4) - 8x2y2 ]
(7x4 + 10y4)2 - 64x4y4 = [7x4 + 10y4 + 8x2y2 ] * [7x4 + 10y4 - 8x2y2 ]
49x8 + 76x4y4 + 100y8 = [7x4 + 8x2y2 + 10y4] * [7x4 - 8x2y2 + 10y4]

44

CASO V TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION
Algebra Baldor (Pagina 157)

45

4 - 108x2 + 121x4
El doble producto de estas raíces es - 2 * (2) * (11x2) = - 44 x2 luego este trinomio no es cuadrado
perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino - 108x2 se convierta en
-44x2 lo cual se consigue sumándole 64 x2 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la
misma cantidad que se suma, - 64 x2
4 - 108x2 + 121x4 = 4 - 108x2 + 64 x2 + 121x4 - 64 x2
(4 - 44x2 + 121x4) - 64 x2
(2 - 11x2)2 - 64 x2
(2 - 11x2)2 - 64 x2 = [(2 - 11x2) + 8x ] * [(2 - 11x2) - 8x ]
(2 - 11x2)2 - 64 x2 = [2 - 11x2 + 8x ] * [2 - 11x2 - 8x ]
4 - 108x2 + 121x4 = [2 + 8x - 11x2] * [2 - 8x - 11x2]
121x4 - 133x2y4 + 36y8
cuadrado perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino - 133x2y4 se convierta en
- 132x2y4 lo cual se consigue sumándole x2y4. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la
misma cantidad que se suma, - x2y4
121x4 - 133x2y4 + 36y8 = 121x4 - 133x2y4 + x2y4 + 36y8 - x2y4
(121x4 - 132x2y4 + 36y8) - x2y4
(11x2 – 6y4)2 - x2y4
(11x2 – 6y4)2 - x2y4 = [(11x2 – 6y4) + xy2 ] * [(11x2 – 6y4) - xy2 ]
(11x2 – 6y4)2 - x2y4 = [11x2 – 6y4 + xy2 ] * [11x2 – 6y4 - xy2 ]
121x4 - 133x2y4 + 36y8 = [11x2 + xy2 – 6y4] * [11x2 - xy2 – 6y4]
144 + 23n6 + 9n12

46

El doble producto de estas raíces es 2 * (12) * (3n6) = 72 n6luego este trinomio no es cuadrado
perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 23n6se convierta en 72n6
lo cual se consigue sumándole 49n6. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma
144 + 23n6 + 9n12 = 144 + 23n6 + 49n6 + 9n12 - 49n6
(144 + 72n6 + 9n12) - 49n6
(12 + 3n6)2 - 49n6
(12 + 3n6)2 - 49n6 = [(12 + 3n6) + 7n3 ] * [(12 + 3n6) – 7n3 ]
(12 + 3n6)2 - 49n6 = [12 + 3n6 + 7n3 ] * [12 + 3n6 – 7n3 ]
144 + 23n6 + 9n12 = [12 + 3n6 + 7n3 ] * [12 + 3n6 – 7n3 ]

CASO ESPECIAL
FACTORAR UNA SUMA DE CUADRADOS
En general una suma de dos cuadrados no tiene descomposición en factores racionales, es decir,
factores en que no haya raíz, pero hay suma de cuadrados que, sumándoles y restándoles una
misma cantidad, puede llevarse al caso anterior y descomponerse.
Ejemplo:
a4 + 4b4
Para que esta expresión sea un trinomio cuadrado perfecto, hace falta que su segundo termino sea:
El doble producto de estas raíces es 2 * (a2)* (2b2) = 4a2 b2
Lo cual se consigue sumándole 4a2 b2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma
cantidad que se suma, - 4a2 b2
a4 + 4b4 = a4 + 4a2 b2 + 4b4 - 4a2 b2
a4 + 4a2 b2 + 4b4 - 4a2 b2
(a4 + 4a2 b2 + 4b4) - 4a2 b2
(a2 + 2b2)2 - 4a2 b2
((a2 + 2b2)2 - 4a2 b2= [(a2 + 2b2) + 2a b ] * [(a2 + 2b2) - 2a b]
((a2 + 2b2)2 - 4a2 b2= [a2 + 2b2 + 2a b ] * [a2 + 2b2 - 2a b]
a4 + 4b4 = [a2 + 2a b + 2b2] * [a2 - 2a b + 2b2]
x4 + 64y4

47

El doble producto de estas raíces es 2 * (x2)* (8y2) = 16x2 y2
Lo cual se consigue sumándole 16x2 y2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma
cantidad que se suma, - 16x2 y2
x4 + 64y4 = x4 + 16x2 y2+ 64y4 - 16x2 y2
x4 + 16x2 y2+ 64y4 - 16x2 y2
(x4 + 16x2 y2+ 64y4) - 16x2 y2
(x2 + 8y2)2 - 16x2 y2
(x2 + 8y2)2 - 16x2 y2 = [(x2 + 8y2) + 4xy ] * [(x2 + 8y2) – 4xy]
(x2 + 8y2)2 - 16x2 y2 = [x2 + 8y2 + 4xy ] * [x2 + 8y2 – 4xy]
x4 + 64y4 = [x2 + 4xy + 8y2] * [x2 – 4xy + 8y2]


4x8 + y8
El doble producto de estas raíces es 2 * (2x4)* (y4) = 4x4 y8
Lo cual se consigue sumándole 4x4 y8. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma
cantidad que se suma, - 4x4 y8

48

4x8 + y8 = 4x8 + 4x4 y8+ y8 - 4x4 y8
4x8 + 4x4 y8+ y8 - 4x4 y8
(4x8 + 4x4 y8+ y8) - 4x4 y8
(2x4 + y4)2 - 4x4 y8
(2x4 + y4)2 - 4x4 y8= [(2x4 + y4) + 2x2 y4 ] * [(2x4 + y4) – 2x2 y4]
(2x4 + y4)2 - 4x4 y8= [2x4 + y4 + 2x2 y4 ] * [2x4 + y4 – 2x2 y4]
4x8 + y8 = [2x4 + 2x2 y4 + y4] * [2x4 – 2x2 y4+ y4]
a4 + 324b4
El doble producto de estas raíces es 2 * (a2)* (18b2) = 36a2 b2
Lo cual se consigue sumándole 36a2 b2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma
cantidad que se suma, - 36a2 b2
a4 + 324b4 = a4 + 36a2 b2 + 324b4 - 36a2 b2
a4 + 36a2 b2 + 324b4 - 36a2 b2
(a4 + 36a2 b2 + 324b4) - 36a2 b2
(a2 + 18b2)2 - 36a2 b2
(a2 + 18b2)2 - 36a2 b2 = [(a2 + 18b2) + 6ab ] * [(a2 + 18b2) – 6ab]
(a2 + 18b2)2 - 36a2 b2 = [a2 + 18b2 + 6ab ] * [a2 + 18b2 – 6ab]
a4 + 324b4 = [a2 + 6ab + 18b2] * [a2 – 6ab + 18b2]
4m4 + 81n4
El doble producto de estas raíces es 2 * (2m2)* (9n2) = 36m2 n2
Lo cual se consigue sumándole 36m2 n2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la
misma cantidad que se suma, - 36m2 n2
4m4 + 81n4 = 4m4 + 36 m2 n2 + 81n4 - 36 m2 n2
4m4 + 36 m2 n2+ 81n4 - 36 m2 n2
(4m4 + 36 m2 n2+ 81n4) - 36 m2 n2
(2m2 + 9n2)2 - 36 m2 n2
(2m2 + 9n2)2 - 36 m2 n2 = [(2m2 + 9n2) + 6mn ] * [(2m2 + 9n2) – 6mn]
(2m2 + 9n2)2 - 36 m2 n2 = [2m2 + 9n2 + 6mn ] * [2m2 + 9n2 – 6mn]

49

4m4 + 81n4 = [2m2 + 6mn + 9n2] * [2m2 – 6mn + 9n2]
4 + 625x8
El doble producto de estas raíces es 2 * (2)* (25x4) = 100x4
Lo cual se consigue sumándole 100x4. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma
cantidad que se suma, - 100x4
4 + 625x8 = 4 + 100x4 + 625x8 - 100x4
4 + 100x4 + 625x8 - 100x4
(4 + 100x4 + 625x8) - 100x4
(2 + 25x4)2 - 100x4
(2 + 25x4)2 - 100x4 = [(2 + 25x4) + 10x2 ] * [(2 + 25x4) – 10x2]
(2 + 25x4)2 - 100x4 = [2 + 25x4 + 10x2 ] * [2 + 25x4 – 10x2]
4 + 625x8 = [25x4 + 10x2 + 2 ] * [25x4 – 10x2 + 2]
64 + a12
El doble producto de estas raíces es 2 * (8)* (a6) = 16 a6
Lo cual se consigue sumándole 16 a6. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma
cantidad que se suma, - 16 a6
64 + a12 = 64 + 16 a6 + a12 - 16 a6
64 + a12 = 64 + 16 a6 + a12 - 16 a6
(64 + 16 a6 + a12) - 16 a6
(8 + a6)2 - 16 a6
(8 + a6)2 - 16 a6 = [(8 + a6) + 4a3 ] * [(8 + a6) – 4a3]
(8 + a6)2 - 16 a6 = [8 + a6 + 4a3 ] * [8 + a6 – 4a3]
64 + a12 = [a6 + 4a3 + 8 ] * [a6 – 4a3 + 8]
1 + 4n4

50

El doble producto de estas raíces es 2 * (1)* (2n2) = 4n2
Lo cual se consigue sumándole 4n2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma
1 + 4n4 = 1 + 4n2 + 4n4 - 4n2
1 + 4n4 = 1 + 4n2 + 4n4 - 4n2
(1 + 4n2 + 4n4 ) - 4n2
(1 + 2n2)2 - 4n2
(1 + 2n2)2 - 4n2 = [(1 + 2n2) + 2n ] * [(1 + 2n2) – 2n]
(1 + 2n2)2 - 4n2 = [1 + 2n2 + 2n ] * [1 + 2n2 – 2n]
1 + 4n4 = [2n2 + 2n + 1 ] * [2n2 – 2n + 1]

Problema 97 Algebra Baldor (Pagina 158)

64x8 + y8
El doble producto de estas raíces es 2 * (8x4)* (y4) = 16x4y4
Lo cual se consigue sumándole 16x4y4. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma
cantidad que se suma, - 16x4y4
64x8 + y8 = 64x8 +16x4y4 + y8 - 16x4y4
64x8 +16x4y4 + y8 - 16x4y4
(64x8 +16x4y4 + y8) - 16x4y4
(8x4 + y4)2 - 16x4y4

51

(8x4 + y4)2 - 16x4y4 = [(8x4 + y4) + 4x2y2 ] * [(8x4 + y4) – 4x2y2]
(8x4 + y4)2 - 16x4y4 = [8x4 + y4 + 4x2y2 ] * [8x4 + y4 – 4x2y2]
64x8 + y8 = [8x4 + 4x2y2 + y4] * [8x4– 4x2y2 + y4]
81a4 + 64b4
El doble producto de estas raíces es 2 * (9a2)* (8b2) = 144a2 b2
Lo cual se consigue sumándole 144a2 b2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la
81a4 + 64b4 = 81a4 + 144a2 b2 + 64b4 - 144a2 b2
81a4 + 144a2 b2 + 64b4 - 144a2 b2
(81a4 + 144a2 b2 + 64b4) - 144a2 b2
(9a2 + 8b2)2 - 144a2 b2
(9a2 + 8b2)2 - 144a2 b2 = [(9a2 + 8b2) + 12ab ] * [(9a2 + 8b2) – 12ab]
(9a2 + 8b2)2 - 144a2 b2 = [9a2 + 8b2 + 12ab ] * [9a2 + 8b2 – 12ab]
81a4 + 64b4 = [9a2 + 12ab + 8b2] * [9a2 – 12ab + 8b2]
CASO VI
TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c
Trinomios de la forma x2 + bx + c son trinomios como
x2 + 5x + 6
a2 – 2a – 15
m2 + 5m – 14
y2 – 8y + 15
que cumplen las condiciones siguientes:
•

El coeficiente del primer termino es 1

•

El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.

•

El segundo termino tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es
una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

•

El tercer termino es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo termino y
es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

52

REGLA PRACTICA PARA FACTORAR UN TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c
•

El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es “x”, o sea la raiz
cuadrada del primer termino del trinomio.

•

En el primer factor, después de “x” se escribe el signo del segundo termino del trinomio y en
el segundo factor, después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del
segundo termino del trinomio por el signo del tercer termino del trinomio.

•

Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos numeros cuya
suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor
absoluto del tercer término del trinomio. Estos numeros son los segundos terminos de los
binomios.

•

Si los dos factores binomios tienen en el medio signos distintos se buscan dos numeros cuya
diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor
absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos numeros es el segundo término
del primer binomio y el menor, el segundo termino del segundo binomio.

Ejemplo
Factorar x2 + 5x + 6
El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”.
x2 + 5x + 6 = (x

) * (x

)

En el primer binomio después de “x” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +5x
tiene signo (+).
En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el
signo de +5x por el signo de +6 y se tiene que (+) * (+) = (+)
x2 + 5x + 6 = (x +

) * (x +

)

Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea
5 y cuyo producto sea 6. Estos numeros son 2 y 3, luego.
x2 + 5x + 6 = (x + 2) * (x + 3)
Ejemplo
Factorar x2 - 7x + 12
x2 - 7x + 12 = (x

) * (x

)

En el primer binomio después de “x” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -7x
tiene signo (-).
signo de -7x por el signo de +12 y se tiene que (-) * (+) = (-)
x2 - 7x + 12 = (x -

) * (x -

)

x2 - 7x + 12 = (x - 4) * (x - 3)

53

Ejemplo
Factorar x2 + 2x - 15
x2 + 2x – 15 = (x

) * (x

)

tiene signo (+).
signo de +2x por el signo de -15 y se tiene que (+) * (-) = (-)
x2 + 2x – 15 = (x +

) * (x -

)

Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia
sea 2 y cuyo producto sea 15. Estos numeros son 5 y 3, luego.
x2 - 7x + 12 = (x + 5) * (x - 3)

Ejemplo
Factorar x2 - 5x - 14
x2 - 5x – 14 = (x

) * (x

)

tiene signo (-).
signo de -5x por el signo de -14 y se tiene que (-) * (-) = (+)
x2 - 5x – 14 = (x -

) * (x +

)

x2 - 5x – 14 = (x - 7) * (x + 2)

Ejemplo
Factorar a2 – 13a + 40
El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de a2 o sea “a”.
a2 – 13a + 40 = (a

) * (a

)

En el primer binomio después de “a” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -13x
tiene signo (-).
En el segundo binomio, después después de “a” se escribe el signo que resulta de multiplicar el
signo de -13a por el signo de +40 y se tiene que (-) * (+) = (-)
a2 – 13a + 40= (a -

) * (a -

)

a2 – 13a + 40 = (a - 8) * (a - 5)

54

Ejemplo
Factorar m2 – 11m - 12
El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de m2 o sea
“m”.
m2 – 11m – 12 = (m

) * (m

)

En el primer binomio después de “m” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -11m
tiene signo (-).
En el segundo binomio, después después de “m” se escribe el signo que resulta de multiplicar el
signo de -11m por el signo de -12 y se tiene que (-) * (-) = (+)
m2 – 11m – 12 = (m -

) * (m +

)

sea 11 y cuyo producto sea 12. Estos numeros son 12 y , luego.
m2 – 11m – 12 = (m - 12) * (m + 1)
Ejemplo
Factorar n2 + 28n - 29
El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de n2 o sea “n”.
n2 + 28n – 29 = (n

) * (n

)

En el primer binomio después de “n” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +28n
tiene signo (+).
En el segundo binomio, después después de “n” se escribe el signo que resulta de multiplicar el
signo de +28n por el signo de -29 y se tiene que (+) * (-) = (-)
n2 + 28n – 29 = (n +

) * (n -

)

n2 + 28n – 29 = (n + 29) * (n - 1)
Ejemplo
Factorar x2 + 6x - 216
x2 + 6x – 216 = (x

) * (x

)

tiene signo (+).
x2 + 6x – 216 = (x +

) * (x -

)

sea 6 y cuyo producto sea 216.
Para hallarlos, descomponemos en sus factores primos el tercer termino.

55

216
108
54
27
9
3
1

2
2
2
3
3
3

Ahora, formamos con estos factores primos dos productos.
Por tanteo, variando los factores de cada producto, obtendremos los dos numeros
que buscamos.
2*2*2 = 8 3*3*3 =27
27 – 8 = 19 no sirve, se necesita que la diferencia sea 6
2*2*2*3 = 24 3*3 = 9
24 – 9 = 15 no sirve
2*2*3 = 12 3*3*2 = 18
18 - 12 = 6 y 18 * 12 = 216

Estos numeros son 18 y 12 y , luego.
x2 + 6x – 216 = (x + 18 ) * (x - 12 )

Ejemplo
Factorar a2 – 66a + 1080
a2 – 66a + 1080 = (a

) * (a

)

En el primer binomio después de “a” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -66a
tiene signo (-).
a2 – 66a + 1080 = (a -

) * (a -

)

Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma
Para hallarlos, descomponemos en sus factores primos el tercer termino.
1080
540
270
135
45
15
5
1

2
2
2
3
3
3
5

Ahora, formamos con estos factores primos dos productos.
Por tanteo, variando los factores de cada producto, obtendremos los dos numeros que
buscamos.
2*2*2*3 = 24 3*3*5 = 45
24 + 45 = 69 no sirve, se necesita que la suma sea 66
2*2*3 *3 = 36 2*3*5 = 30
36 +30 = 66 y 36 * 30 = 1080

Estos numeros son 36 y 30 , luego.
a2 – 66a + 1080 = (a - 36) * (a - 30)
x2 + 7x + 10
x2 + 7x + 10 = (x

) * (x

)

tiene signo (+).

56

x2 + 7x + 10 = (x +

) * (x +

)

x2 + 7x + 10 = (x + 5) * (x + 2)

CASO VI

TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c

57

x2 – 5x + 6
x2 – 5x + 6 = (x

) * (x

)

tiene signo (-).
x2 – 5x + 6 = (x -

) * (x -

)

x2 – 5x + 6 = (x - 3) * (x - 2)

x2 + 3x - 10
x2 + 3x – 10 = (x

) * (x

)

tiene signo (+).
x2 + 3x – 10 = (x +

) * (x -

)

sea 3 y cuyo producto sea 10. Estos numeros son 5 y 2 , luego.
x2 + 3x – 10 = (x + 5) * (x - 2)
x2 + x - 2
x2 + x – 2 = (x

) * (x

)

En el primer binomio después de “x” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +x
tiene signo (+).
signo de +x por el signo de -2 y se tiene que (+) * (-) = (-)
x2 + x – 2 = (x +

) * (x -

)


58

x2 + x – 2 = (x + 2) * (x - 1)
a2 + 4a + 3
a2 + 4a + 3 = (a

) * (a

)

En el primer binomio después de “a” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +4a
tiene signo (+).
signo de +4a por el signo de +3 y se tiene que (+) * (+) = (+)
a2 + 4a + 3 = (a +

) * (a +

)

a2 + 4a + 3 = (a + 3) * (a + 1)
m2 + 5m - 14
“m”.
m2 + 5m – 14 = (m

) * (m

)

En el primer binomio después de “m” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +5m
tiene signo (+).
signo de +5m por el signo de -14 y se tiene que (+) * (-) = (-)
m2 + 5m – 14 = (m +

) * (m -

)

sea 5 y cuyo producto sea 14. Estos numeros son 7y 2, luego.
m2 + 5m – 14 = (m + 7) * (m – 2)
y2 – 9y + 20
El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de y2 o sea “y”.
y2 – 9y + 20 = (y

) * (y

)

En el primer binomio después de “y” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -9y
tiene signo (-).
En el segundo binomio, después después de “y” se escribe el signo que resulta de multiplicar el
signo de -9y por el signo de +20 y se tiene que (-) * (+) = (-)
y2 – 9y + 20 = (y -

) * (y -

)

59

y2 – 9y + 20 = (y - 5) * (y - 4)
x2 – 6 – x = x 2 – x - 6
x2 – x – 6 = (x

) * (x

)

En el primer binomio después de “x” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -x
tiene signo (-).
signo de -x por el signo de - 6 y se tiene que (-) * (-) = (+)
x2 – x – 6 = (x -

) * (x +

)

x2 – x – 6 = (x - 3) * (x + 2)
x2 – 9x + 8
x2 – 9x + 8 = (x

) * (x

)

tiene signo (-).
x2 – 9x + 8 = (x -

) * (x -

)

x2 – 9x + 8 = (x - 8) * (x - 1)
c2 + 5c - 24
El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de c2 o sea “c”.
c2 + 5c – 24 = (c

) * (c

)

En el primer binomio después de “c” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +5c
tiene signo (+).
signo de +5c por el signo de -24 y se tiene que (+) * (-) = (-)

60

c2 + 5c – 24 = (c +

) * (c -

)

c2 + 5c – 24 = (c + 8) * (c – 3)
x2 – 3x + 2
x2 – 3x + 2 = (x

) * (x

)

tiene signo (-).
x2 – 3x + 2 = (x -

) * (x -

)

x2 – 3x + 2 = (x - 2) * (x - 1)
a2 + 7a + 6
a2 + 7a + 6 = (a

) * (a

)

tiene signo (+).
signo de +7a por el signo de +6 y se tiene que (+) * (+) = (+)
a2 + 7a + 6 = (a +

) * (a +

)

a2 + 7a + 6 = (a + 6) * (a + 1)
y2 – 4y + 3
El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de y2 o sea “y”.
y2 – 4y + 3 = (y

) * (y

)

En el primer binomio después de “y” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -4y
tiene signo (-).

61

signo de -4y por el signo de +3 y se tiene que (-) * (+) = (-)
y2 – 4y + 3 = (y -

) * (y -

)

y2 – 4y + 3 = (y - 3) * (y - 1)
12 – 8n + n2 = n2 – 8n + 12
El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de n2 o sea “n”.
n2 – 8n + 12 = (n

) * (n

)

En el primer binomio después de “n” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -8n
tiene signo (-).
signo de -8n por el signo de +12 y se tiene que (-) * (+) = (-)
n2 – 8n + 12 = (n -

) * (n -

)

n2 – 8n + 12 = (n - 6) * (n - 2)
x2 + 10x + 21
x2 + 10x + 21 = (x

) * (x

)

tiene signo (+).
x2 + 10x + 21 = (x +

) * (x +

)

x2 + 10x + 21 = (x + 7) * (x + 3)
a2 + 7a - 18
El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raiz cuadrada de a2 o sea “a”.
a2 + 7a – 18 = (a

) * (a

)

62

tiene signo (+).
signo de +5c por el signo de -18 y se tiene que (+) * (-) = (-)
a2 + 7a – 18 = (a +

) * (a -

)

a2 + 7a – 18 = (a + 9) * (a – 2)
m2 – 12m + 11
“m”.
m2 – 12m + 11 = (m

) * (m

)

En el primer binomio después de “m” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -12m
tiene signo (-).
signo de -12m por el signo de +11 y se tiene que (-) * (+) = (-)
m2 – 12m + 11 = (m -

) * (m -

)

m2 – 12m + 11 = (m - 11) * (m - 1)
x2 – 7x - 30
x2 – 7x – 30 = (x

) * (x

)

tiene signo (-).
signo de -7x por el signo de - 30 y se tiene que (-) * (-) = (+)
x2 – 7x – 30 = (x -

) * (x +

)

x2 – 7x – 30 = (x - 10) * (x + 3)
n2 + 6n - 16
El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raiz cuadrada de n2 o sea “n”.

63

n2 + 6n – 16 = (n

) * (n

)

En el primer binomio después de “n” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +6n
tiene signo (+).
signo de +6n por el signo de -16 y se tiene que (+) * (-) = (-)
n2 + 6n – 16 = (n +

) * (n -

)

n2 + 6n – 16 = (n + 8) * (n – 2)
20 + a2 – 21a = a2 – 21a + 20
El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raiz cuadrada de a2 o sea “a”.
a2 – 21a + 20 = (a

) * (a

)

En el primer binomio después de “a” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -21a
tiene signo (-).
a2 – 21a + 20 = (a -

) * (a -

)

a2 – 21a + 20 = (a - 20) * (a - 1)
y2 + y - 30
El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raiz cuadrada de y2 o sea “y”.
y2 + y – 30 = (y

) * (y

)

En el primer binomio después de “y” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +y
tiene signo (+).
En el segundo binomio, después después de “y” se escribe el signo que resulta de multiplicar el
signo de +y por el signo de -30 y se tiene que (+) * (-) = (-)
y2 + y – 30 = (y +

) * (y -

)

y2 + y – 30 = (y + 6) * (y – 5)

64

CASOS ESPECIALES
El procedimiento anterior es aplicable a la factorizacion de trinomios que siendo de la forma
x2 + bx + c difieren algo de los estudiados anteriormente.
Ejemplos
Factorar x4 – 5x2 – 50
El primer termino de cada factor binomio sera la raiz cuadrada de x4 o sea x2
x4 – 5x2 – 50 = (x2 -

) * (x2 +

)

x4 – 5x2 – 50 = (x2 - 10 ) * (x2 + 5 )
Ejemplos
Factorar x6 + 7x3 – 44
El primer termino de cada factor binomio sera la raiz cuadrada de x6 o sea x3
x6 + 7x3 – 44 = (x3 +

) * (x3 -

)

x6 + 7x3 – 44 = (x3 + 11 ) * (x3 - 4)
Ejemplos
Factorar a2b2 – ab – 42
El primer termino de cada factor binomio sera la raiz cuadrada de a2b o sea ab
a2b2 – ab – 42 = (ab -

) * (ab +

)

a2b2 – ab – 42 = (ab - 7 ) * (ab + 6 )

65

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