Practica 1
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Este documento presenta 10 casos diferentes para factorizar expresiones algebraicas. Explica cómo factorar polinomios cuando tienen un factor común, cuando pueden agruparse términos con factores comunes, cuando son trinomios cuadrados perfectos, o cuando son la suma o diferencia de cuadrados perfectos. También cubre cómo factorar trinomios de la forma x2 + bx + c o ax2 + bx + c, cubos perfectos de binomios, y la suma o diferencia de cubos perfectos o potencias iguales.
Practica 1
- 1. ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL ANEXA A LA NORMAL DE CUAUTITLAN IZCALLI MAESTRA: ROCIO RIVERAARNAIZ MATERIA: INFORMATICA Y COMPUTACION II ALUMNA: PAULA ANDREA CORTES LEON GRADO: 1° GRUPO: 2 TURNO: MATUTINO
- 3. DESCOMPONER EN FACTORES O FACTORAR • Es convertir una expresion algebraica en el producto indicado de sus factores
- 4. FACTOAR UN POLINOMIO • No todo polinomio se puede descomponer en dos o mas factores distintos de 1, pues del mismo modo que en aritmetica, hay numeros primos que solo son divisibles por ellos mismos y por 1.
- 5. Caso 1 Cuando todos los terminos de un polinomio tienen un factor comun
- 6. • Es "algo" (número, letras, una "expresión algebraica") que está multiplicando en todos los términos. Tiene que estar en todos los términos, por eso es "común" (común a todos). • Por ejemplo, en 2.a + 2.b + 2.c, está el factor común "2"; porque en todos los términos está multiplicando el número 2.
- 7. • Divido a todos los términos por ese factor. La división entre números ya la conocemos. La división entre letras iguales (potencias de igual base) se hace restando los exponentes. "Los números se dividen con los números", "las letras con las letras iguales". Por ejemplo: 4a - 8b + 6c = Allí el factor común es 2, entonces divido todos los términos por 2. El resultado de esa división es: 2a - 4b + 3c
- 8. Caso 2 Factor comun por agrupacion de terminos
- 9. • Consiste en agrupar entre paréntesis los términos que tien en factor común,separados los grupos por el signo del pri mer término de cada grupo. • La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal que los dos términos que se agrupen tengan algún factor comú n, y siempre que las cantidades que quedan dentro del pa réntesis después de sacar el factor común en cada grupo, sean exactamente iguales. • Después de lo anterior se utiliza el procedimiento del cas o I, Factor Común
- 10. • Ejemplos: • a) ax +bx +ay +by = (a+b)(x+y) • Agrupar términos que tienen factor común: (ax+bx) + (ay+by) • Factorando por el factor común: x(a+b) + y(a+b) • Formando factores: uno con los términos con factor común y otros con los términos no comunes (a+b)(x+y), que es la solución.
- 11. Caso 3 Trinomio cuadrado perfecto
- 12. Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto • Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y tercer términos tienen raíz cuadrada exacta y positiva, y el segundo término es el doble del producto de sus raíces cuadradas. • Ejemplo: a^2-4ab+4b^2 es cuadrado perfecto porque: • Raíz cuadrada de a^2 = a • Raíz cuadrada de 4b^2 = 2b • y el doble producto de estas raíces es 2(a)(2b) = 4ab
- 13. Regla para factorar un trinomio cuadrado perfecto • Se extrae la raíz cuadrada del primero y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término del trinomio. • El binomio que se forma, que son las raíces cuadradas del trinomio, se multiplica por sí mismo o sea se eleva al cuadrado.
- 14. • Ejemplo: a^2-4ab+4b^2 = (a-2b)(a-2b) = (a-2b)^2 • Raíz cuadrada de a^2 = a ; raíz cuadrada de 4b^2 = 2b • –> se forma el binomio (a -2b) y este se multiplica por sí mismo (a-2b)(a-2b) o sea se eleva al cuadrado, que sería (a -2b)^2 , que es la Solución. • Recuerda que el signo del binomio es el signo que tiene el segundo término del trinomio.
- 15. Caso 4 Diferencia de cuadrados perfectos
- 16. • Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a- b)(a+b), uno negativo y otro positivo. • O en una forma más general para exponentes pares • Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.
- 17. • Ejemplo:
- 18. Caso 5 Trinomio cuadrado perfecto por adicion y sustraccion
- 19. • Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces , el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie. • Para que un trinomio de estos se convierta en un trinomio cuadrado perfecto, se debe sumar y restar un mismo número (semejante al segundo término) para que el segundo término sea el doble producto de las raíces cuadradas del primer y último término. A este proceso se le denomina completar cuadrados.
- 20. • Ejemplo: m4 + 6m2 + 25. • Para que m4 + 6m2 + 25, sea un trinomio cuadrado perfecto, el segundo término debe ser igual a 10m2. Por esto, se le debe sumar y restar al trinomio es 4m2 , pues 6m2 + 4m2 = 10m2
- 21. Caso 6 Trinomio de la forma x2+bx+c
- 22. • Los trinomios de esta forma tienen las siguientes características: • 1. El coeficiente del primer término es 1. • 2. La variable del segundo término es la misma que la del primer término pero con exponente a la mitad. • 3. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo términos del trinomio.
- 23. • Para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c, se buscan dos números m y n, tales que, x2 + bx + c = (x + m)(x + n); donde m + n = b y m.n = c • Esto quiere decir, que la suma o resta de estos dos números sea igual al coeficiente del segundo término y su producto sea el tercer término; los signos de los factores es: en el primer factor se escribe el signo del segundo término del trinomio y para el segundo factor se multiplican el signo del segundo término con el signo del tercer término.
- 24. Caso 7 Trinomio de la forma ax2+bx+c
- 25. Condiciones que debe cumplir un trinomio de la forma ax^2 +bx +c • El primer término tiene un coeficiente mayor que 1 y tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado. • El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa. • El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o negativa sin ninguna letra en común con el 1° y 2° términos.
- 26. • Antes de descomponer el trinomio en dos factores binomios, se procede así: como ejemplo: 6x^2 -7x -3 • 1°) Se multiplica el coeficiente del primer término ” 6 ” por todo el trinomio, dejando el producto del 2° término indicado: 6(6x^2 -7x +3) = 36x^2 -6(7x) -18 • 2°) Se ordena tomando en cuenta que 36x^2 = (6x)^2 y 6(-7x) = -7(6x), escribiéndolo de la siguiente manera: (6x)^2 -7(6x) -18 • 3°) Luego se procede a factorar (6x)^2 -7(6x) -18 como un problema del Caso VI. con una variante que se explica en el Inciso 6°
- 27. • 4°) Se forman 2 factores binomios con la raíz cuadrada del primer término del trinomio: (6x- )(6x+ ) • 5°) Se buscan dos #s cuya diferencia sea -7 y cuyo producto sea -18 ; y esos #s son -9 y +2 porque: -9 +2 = -7 y (-9)(2) = -18 –> = (6x-9)(6x+2) • 6°) Aquí está la variante: Como al principio multiplicamos el trinomio por “6”, entonces ahora los factores binomios encontrados, los dividimos entre “6”
- 28. • (6x-9)(6x+2) / 6 ; como ninguno de los binomios es divisible entre “6” entonces descomponemos el “6” en dos factores (3 y 2), de manera que uno divida a un factor binomio y el segundo divida al otro. Así: (6x-9) / 3 y (6x+2) / 2 , y estos cocientes quedarían así: (2x- 3)(3x+1). que sería la Solución.
- 29. Caso 8 Cubo perfecto de binomios
- 30. Una expresión algebraica ordenada con respecto a una letra es un cubo perfecto, si cumple las siguientes condiciones • Tener cuatro términos • El primer y último término sean cubos perfectos (tienen raíz cúbica exacta). • El segundo término es tres veces el producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del último término. • El tercer término sea tres veces, el producto de la raíz del primer término por el cuadrado de la raíz del último término.
- 31. • El primer y tercer términos son positivos, el segundo y el cuarto términos tienen el mismo signo (positivo o negativo). Si todos los términos son positivos, el polinomio dado es el cubo de la suma de las raíces cúbicas del primer y último términos. Y si los términos son alternadamente positivos y negativos el polinomio dado es el cubo de la diferencia de las raíces.
- 32. • La raíz cúbica de un monomio se obtiene extrayendo la raíz cúbica de su coeficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3. • Ejemplo: La raíz cúbica de 8a3b6 es 2ab2. Por qué: (2ab2) = (2ab2)(2ab2)(2ab2) = 8a3b6
- 33. Caso 9 Suma o diferencia de cubos perfectos
- 34. CARACTERÍSTICAS DE LA EXPRESIÓN A FACTORIZAR • El número de monomios que la conforma son dos (2). La raiz del primer y segundo monomio tienen que ser raíces cúbicas perfectas. Válido para operaciones tanto de suma como de resta entre los monomios.
- 35. procedimiento • Organizar los monomios de mayor a menor exponente. Sacar la raíz cúbica al primer y segundo término. Colocar dentro de un paréntesis la suma o diferencia de las raíces de acuerdo al signo que se tiene en la expresión. Multiplicar por otro paréntesis en el que se coloca la primera raíz elevada al cuadrado, luego la multiplicación de las dos raíces, y por último la segunda raíz elevada al cuadrado. Verificar que la expresión da el ejercicio que se quiere desarrollar.
- 36. • EJEMPLO: FACTORIZAR: a3 - 8 SOLUCIÓN: a3 - 8 = (a - 2) . ( a2 + 2 a + 4 ) raíces cúbicas: a 2
- 37. Caso 10 Suma o diferencia de dos potencias iguales