factorizacion.pdf
- 1. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO ESCUELA PREPARATORIA DE IXTLAHUACO Tema: 3.2. Casos de factorización. L.S.C. Lucia Hernández Granados Julio – Diciembre 2017
- 2. Tema: Definición de Factorización Resumen Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta. La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto dado. Palabras clave: expresión, monomios, polinomios, productos, residuos, diferencia, factor, diferencia.
- 3. Tema: Definición de Factorización Abstract Factoring an algebraic expression is to find two or more factors whose product is equal to the proposed expression. The factorization can be considered as the inverse operation to multiplication, since the purpose of the multiplication is to find the product of two or more factors; while in factorization, we look for the factors of a given product. keywords: expression, monomials, polynomials, products, residues, difference, factor, difference.
- 4. Objetivo General: Identificar y aplicar los diferentes casos de Factorización.
- 5. INTRODUCCIÓN Para entender la operación algebraica llamada factorización es preciso repasar los siguientes conceptos: Cualquier expresión que incluya la relación de igualdad (=) se llama ecuación . Una ecuación se denomina identidad si la igualdad se cumple para cualquier valor de las variables; si la ecuación se cumple para ciertos valores de las variables pero no para otros, la ecuación es condicional . Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos de constantes y variables; 2x, – a, 3x son algunos ejemplos de términos. La parte numérica de un término se denomina coeficiente .
- 6. Una expresión que contiene un solo término se denomina monomio ; si contiene dos términos se llama binomio y si contiene tres términos, es un trinomio . Un polinomio es una suma (o diferencia) finita de términos. En este contexto, el grado es el mayor exponente de las variables en un polinomio. Por ejemplo, si el mayor exponente de la variable es 3, como en ax 3 + bx 2 + cx , el polinomio es de tercer grado . Una ecuación lineal en una variable es una ecuación polinómica de primer grado ; es decir, una ecuación de la forma ax + b = 0 . Las potencias de un número se obtienen mediante sucesivas multiplicaciones del número por sí mismo. El término a elevado a la tercera potencia, por ejemplo, se puede expresar como a·a·a o a 3
- 7. Factorización: es una expresión algebraica donde se hallan dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta. Un factor es cada uno de los números que se multiplican para formar un producto. Es decir identificar un factor que se repita en ambas expresiones. 3.1 CONCEPTO DE FACTORIZACIÓN.
- 8. 3.2 CASOS DE FACTORIZACIÓN 1. Factor común 2. Factor común por agrupación 3 Trinomio Cuadrado perfecto 4. Diferencia de cuadrados 5. Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción 6. Trinomio de la forma 7. TRINOMIO DE LA FORMA 8. Cubo Perfecto de Binomios 9. Suma o Diferencia de Cubos perfectos 10. Suma o diferencia de dos potencias iguales
- 9. Es una expresión algebraica en la que se utilizan exponentes naturales de variables literales que constan de un solo término, un número llamado coeficiente. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponentes naturales. EL PRIMER CASO: FACTORES QUE SE DIVIDE EN DOS PARTES QUE SON: FACTOR COMÚN MONOMIO Y FACTOR COMÚN POLINOMIO 𝟒𝒙𝟑 + 𝟖𝒙𝟒 − 𝟑𝟐𝒙𝟓 = 𝟒𝒙𝟑 (𝟏 + 𝟐𝒙 − 𝟖𝒙𝟒) Termino en común X Se toma al exponente mas pequeño = 3 Se observa que son números divisibles de 4 𝟒𝒂𝒃𝟑 + 𝟓𝒂𝟒𝒃 − 𝟕𝒂𝟓𝒃𝟐 = 𝒂𝒃(𝟒𝒃𝟐 + 𝟓𝒂𝟓 − 𝟕𝒂𝟒𝒃) Termino en común ab Se toma al exponente mas pequeño Se observa que no son números divisibles
- 10. Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo. SEGUNDO CASO: FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN 8bx + 8ax - ay + 10a - by + 10b = (8bx-by+10b) + (8ax-ay+10a) = b(8x-y+10) + a(8x-y+10) = (b + a) (8x-y+10) Termino en común b y a Se agrupan en un paréntesis acorde a la literal que se repitan 𝟒𝒂𝒃 + 𝟔𝒃𝒙 − 𝟑𝒙𝒛 + 𝟐𝒂𝒛 − 𝟏𝟐𝒙𝒚 − 𝟖𝒂𝒚 = (𝟒𝒂𝒃 + 𝟐𝒂𝒛 − 𝟖𝒂𝒚 )+ (6bx - 3xz-12xy = 2a(2b+z+4y) +3x(2b+z+4y) = (2a+3x) (2b+z+4y) Termino en común a y x Se agrupan en paréntesis Se observa que los coeficientes son múltiplos de 2 y 3 Y 2ª y 3x multiplican al mismo polinomio Se observa que a y b multiplican al mismo termino Si realizamos la multiplicación nos debe dar el mismo polinomio
- 11. Es igual al cuadrado de un binomio. Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados. TERCER CASO: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 4a2 +12ab + 9b2= (2a+3b)2 Primer termino y ultimo termino tengan raíz exacta 𝟒𝒂𝟐 𝟗𝒃𝟐 𝟒𝒂 3b = (2a+3b) Se colocan entre paréntesis Se eleva al cuadrado El signo se define en el segundo termino. (2)(2a)(3b) = (2a+3b)2
- 12. Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces. CUARTO CASO: DIFERENCIA DE CUADRADOS 16x2 - 49y2 = (3y-2x) (3y+2x) Primer termino y ultimo termino tengan raíz exacta 𝟏𝟔𝒙𝟐 𝟒𝟗𝒚𝟐 𝟒𝒙 3y = (4a 3b) (4a 3b) Se colocan entre paréntesis dos veces Se agrega un signo positivo y otro negativo = (4a + 3b) (4a - 3b)
- 13. Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia de cuadrados. QUINTO CASO: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION https://sites.google.com/site/nucleodelpensamiento/matematicas/noveno/f actorizacion/trinomio-cuadrado-perfecto-por-adicion-y-sustraccion
- 14. Que cumplen las condiciones siguientes: • El coeficiente del primer término es 1 • El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado. • El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. • El tercer termino es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo termino y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa SEXTO CASO: TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c x2 + 10x + 16 = (x + 8) (x + 2) Primer termino y ultimo termino tengan raíz exacta 𝒙𝟐 𝟏𝟔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔: 16x1= 16 4x4=16 2x8=16 = (x + 8) (x + 2) Se buscan dos números que multiplicados te den el tercer termino y sumados o restados te den el segundo termino Solo esta cumple que al sumar nos da 10
- 15. Condiciones que debe cumplir un trinomio de la forma ax2+bx+c El primer término tiene un coeficiente mayor que 1 y tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado. El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa. El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o negativa sin ninguna letra en común con el 1 y 2 términos. SEPTIMO CASO: TRINOMIO DE LA FORMA ax2+bx+c
- 16. 1. Tener cuatro términos. 2. Que el primer término y el último sean cubos perfectos. 3. Que el segundo término sea más o menos el triplo de la primera raíz cúbica elevada al cuadrado que multiplica la raíz cúbica del último término. 4. Que el tercer término sea el triplo de la primera raíz cúbica por la raíz cubica del último término elevada al cuadrado OCTAVO CASO: CUBO PERFECTO DE BINOMIOS 8a3 -36a2b+54ab2-27b3 Primer termino y ultimo termino tengan raíz cubica exacta 3 8𝑎3 3 27𝑏3 𝟐𝒂 3b = (2a -3b)3 Se colocan entre paréntesis Se eleva al cuadrado El signo se define en el segundo termino. (3)(2a) 2(-3b)=-36a 2 b (3)(2a) (3b)2=54ab 2
- 17. Pasos para resolver el ejercicio: 1. Descomponemos en dos factores. 2. En el primer factor se escribe la suma o la diferencia según sea el caso, de las raíces cúbicas de los dos términos. 3. En el segundo factor se escribe la raíz del primer termino elevada al cuadrado, empezando con el signo menos y de ahí en adelante sus signos alternados (si es una suma de cubos) o con signo más (si es una diferencia de cubos) el producto de la primera raíz por la segunda, más el cuadrado de la segunda raíz. NOVENO CASO: SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS 27x3 + 125 y3 = (3x+5y3) (9x2-15x y3+25y6) 3 27𝑥3 3 125𝑦3 3𝒙 5y = (2a -3b) 3 (3𝑥 + 5y) (9x2-15x y+25y2)
- 18. Criterio 1: an – bn es divisible por a - b siendo n par o impar Criterio 2: an – bn es divisible por a + b siendo n impar Criterio 3: an – bn es divisible por a + b siendo n es par Criterio 4: an + bn nunca es divisible por a - b DECIMO CASO: SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS x7 + 128 = (x+2) 7 𝑥 7 128 X 2
- 19. Bibliografía del tema: BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Baldor. (2009). Álgebra. México: Publicaciones Cultural/Grupo editorial Patria https://sites.google.com/site/nucleodelpensamiento/matematicas/noveno/fact orizacion/trinomio-cuadrado-perfecto-por-adicion-y-sustraccion