10 clase 10_circulo_2
- 1. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril Segundaclase de círculo Posiciónrelativa de dos circunferenciasenel plano La posiciónrelativaentre doscircunferenciasvienedeterminadaporladistanciaentre suscentros (d) y el valorde sus radiosR y R'. Se tienenloscasossiguientes: Exteriores Secantes Interiores La distanciaentre los centros,d, es mayor que la suma de los radios. Las circunferencias no tienen puntos en común. La distanciad es menor que la suma de los radiosy mayor que su diferencia. Tienen dos puntos en común. La distanciaentre los centros es mayor que cero y menor que la diferencia entre los radios. Una circunferencia está dentro de la otra, y por tanto no tienen puntos en común. Tangentes Exteriores Tangentes Interiores Concéntricas La distancia entrelos centros es igual a la suma de los radios. El centro de cada circunferencia es exterior a la otra y tienen un punto en común, punto de tangencia. La distancia entrelos centros es igual a la diferencia entre los radios. El centro de una de las circunferencias está dentro de la otra. Tienen un punto en común. Tienen el mismo centro. La distancia d=0. No tienen puntos en común, salvo que R=R', en este caso son la misma circunferencia.
- 2. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril Definiciones: Cuerda común esel segmentode rectaque une lospuntosde intersecciónde doscircunferencias secantes. El segmentoque une loscentrosde doscircunferenciasse llamalíneade loscentros. Teorema La líneade loscentrosde los círculossecantesesla mediatrizde lacuerdacomún. Dato o hipótesis: - O y O´ centro de círculos que se cortan - AB cuerdacomún - OO´ líneade los centros Tesisa demostrar: - OO´ perpendicularbisectrizde AB Recta tangente común a dos circunferencias Dadas dos circunferencias cuya distancia entre centros es d, podemos trazar rectas tangentes a ambas circunferencias simultaneamente. Dependiendo de si estas tangentes cruzan o no la recta que une loscentros,lasllamaremos rectastangentescomunesinterioryexteriorrespectivamente. En la gráficaAB tangente externayCDtangente interna.Dependiendode laposiciónrelativade las circunferenciasse podrántazar4, 3, 2 o ningunatangente común. Ejemplo:endoscircunferencias C y C’, tangentes externas, se pueden trazar 3 tangentes comunes, una interna y dos externas.
- 3. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril TEOREMA Si dos círculos son tangentes, la línea de los centros pasa por el punto de contacto. Dato o hipótesis: - O y O´ centro de círculos tangentesenP Tesisa demostrar: - OO´ pasa por P Aplicaciones: 1. Demostrar que las tangentes externas comunes y también las internas son iguales. Tesis: AB=CD ; EF=GH 2. Demostrar que la línea de los centros pasa por el punto de corte de las rectas tangentes comunes.
- 4. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril 3. Demostrarque la tangente internacomúnde loscircunferenciastangentesexternas biseca la tangente externa común. 4. H : PQ tangente externa común y PM=MQ T : <1 =? 5. H: AC tangente a circulo O2 T: <X=? Tarea: 1. Si por los puntos de corte P y Q , de dos círculos secantes se trazan dos secantes comunes cualquieras, a las dos circunferencias,lossegmentosque unensusextremosencada circunferencia son paralelos. 2. Dos circunferenciasigualesOy O´ se cortan en A y B, por el punto A se traza la secante común CAD. Demostrar que el triángulo CBD es isósceles. 3. DoscircunferenciasOyO´tangentesexternasenA.Setraza lasrectas BAE y BD tangente a las Circunferencia O´. la cual corta a la circunferenciaOenC.Demostrarque ADesbisectrizdel ánguloCAE. 4. H: AB paralela a DC T: demostrar que ABDC es paralelogramo
- 5. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril 5. H: círculos O1 y O2 tangentes AC tangente aO2 T: <BDC = 45° POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA Cuando un polígono tiene todos sus vértices en la circunferencia, el polígono recibe el nombre de polígono inscrito en una circunferencia. En el caso de que todos los lados del polígono sean tangentes a la circunferencia, el polígono se llama circunscrito. Ejemplo: Una propiedadimportante de lospolígonosregularesesque siempre puedenserinscriptiblesy circunscriptibles,existeunarelacióndirectaentre lalongituddel radiodel círculocircunscrito,el radiode círculo inscrito,llamadoapotemadel polígonoy el ladodel polígonoregular. Asípor ejemplo: Apotema(radiodel círculoinscrito) del triánguloequilátero,yel radiodel círculocircunscrito. El Lado de un triánguloequiláteroinscrito es: La alturadel triánguloes ℎ = 𝑙2 − ( 𝑙 2 )2 ℎ = √ 3 4 𝑙 = √3 2 𝑙 El apotemaesla terceraparte de laaltura por larazón de divisiónde la medianaporel baricentro
- 6. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril Aplicamos el teoremade Pitágoras yobtnemos Aplicación: Si se tiene un polígono regular de n lados de longitud l, de perímetro P y apotema a, descomponiéndolo en n triángulos iguales con base l y altura a se obtendría el área del polígono con la relación: Area = 𝑛(𝑙𝑎) 2 = 𝑃𝑎 2 El círculo como límite: si tomamos un polígonoregular inscrito de n lados y volvemos a n variable haciéndolocrecerindefinidamente,entonceselperímetro yel áreadelpolígonose vuelventambién variablescreciendoindefinidamente,el límite del perímetroeslacircunferencia,yde igual manera el límite del área del polígono es el círculo. El perímetrode lacircunferenciaesigual a 2 π r endonde π (pi) eslarelaciónentre lalongitudde una circunferenciaysudiámetro,engeometríaeuclidiana.Esunnúmeroirracional yuna de las constantesmatemáticasmásimportantes.Se empleafrecuentemente enmatemáticas,físicae ingeniería.El valornuméricode π, truncadoa susprimerascifras,esel siguiente: Entoncesel límite del perímetrodel polígonoconntendiendoal infinitoesigual a 2r. lim 𝑛→∞ ( 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜) = 2 𝜋 𝑟
- 7. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril Cuandoel númerode ladosde polígonocrece al infinitoel valorde radiode círculoinscritoo apotemacrece aproximándose cadavezmásal radiodel círculo circunscrito. Y el área del polígonotiende al áreadel círculo,entoncesel límite del áreadel polígonocon n tendiendoal infinitoesigual al áreade la circunferencia. Áreael circulo= lim 𝑛→∞ ( 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜) Área el circulo= 𝑃𝑎 2 = 2πr∗r 2 , de donde Área del circulo = π r2 Figuras circulares: Sector circular: Se denomina sector circulara la porción de círculo comprendido entre un arco de circunferencia y sus respectivos radios delimitadores. Área del sector circular: si llamamos al ángulocentral del sector circularpara determinarel área del sectorhacemosunareglade tres:si para un ángulocentral de 2radianesse tiene unaáreade 2r2 , para un ángulo de enradianes, qué área se tendrá, obteniéndose: Área(sectorcircular) = 𝑟2Ɵ 2 (enradianes Cuandoel ángulocentral estaexpresadoengradostendríamos: Área(sectorcircular) = π 𝑟2Ɵ 360° (engrados Segmento circular: En geometría, un segmento circular (osegmento de un círculo) es la porción de un círculo limitada por una cuerday el arco correspondiente. Área: el área del segmentocircularse obtienecomodiferenciaentre lasáreasdel sectorcirculary del triánguloisóscelescorrespondiente. Con el valorde enradianes. Corona o anillo circular: Es el espaciocomprendidoentre doscírculosconcéntricos.
- 8. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril Aplicaciones: La Circunferenciaestáinscritaenel cuadradode lado8 cm. Calcularel área sombreadade lafigura. Determine el áreasombreada,si O:centrode la circunferencia,r =85 cm y α esigual a la mitaddel suplementode 110°. Calcule el áreaachurada enel rectánguloABDCsi, AB= 2 cm y BD= 35 cm En la figura se muestra cuatro semicírculos de radio 9cm. El entro de los semicírculos son los puntos medios de los lados del cuadrado, ¿Cuál es el área del circulo interior que es tangente a los cuatro semicírculos? Tarea: 1. El cuadrado de la figura tiene perímetro 48u. y las cuartas circunferencias tiene radio 9u cada una determinar el área sombradas.
- 9. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril 2. Dos circunferencias C(O, r), C(O′, r) donde r = 1 y cada una de ellas pasando por el centro de la otra, se cortan en A y B, Hallar: a) Las medidas de los ángulos BCO′, O′AB b) La longitud del perímetro del rombo OAO′B c) El área del rombo. d) La superficie común a los dos círculos. 3. Demostrar que la suma de las áreas de las lúnulas (áreas sombreadas) construidas sobre un triángulo rectángulo es igual al área de dicho triangulo. 4. ¿Cuál es el valor del área sombreada?, si el arco AB es el arco de una cuarta circunferencia de radio 4, los puntos C y D son los puntos medios de OA y OB respectivamente, y E es el punto donde se cortan los segmentos BC y AD.