3 clase 3
- 1. Desarrollode laclase 3 Triángulo.- definición: triangulo es un polígono de tres lados; tres puntos A,B,C no colineales siempre determinan un triángulo ABC. Clasificaciónde los triángulos Por sus lados: triánguloequilátero,cuandolostresladosdel triángulosondel mismotamaño. triánguloisósceles si tienedosladosde lamismalongitud. triánguloescalenosi todossusladostienenlongitudesdiferentes Equilátero Isósceles Escaleno Por sus ángulos: Triángulorectángulo:si tiene un ángulointeriorrecto(90°).A losdosladosque conforman el ángulorectose lesdenomina catetosyal ladoopuestohipotenusa. Triángulooblicuángulo:cuandoningunode susángulosinterioressonrectos(90°).Por ello,lostriángulosobtusángulosyacutángulossonoblicuángulos. Triánguloobtusángulo:si unode susángulosinterioresesobtuso(mayorde 90°);losotros dos sonagudos(menoresde 90°). Triánguloacutángulo:cuandosustresángulosinterioressonmenoresde 90°. Trianguloequiángulo:cuandosustres ángulos soniguales A B C
- 2. Rectángulo Obtusángulo Acutángulo Oblicuángulos Propiedadesgeométricasde los triángulos: La sumade los ángulos interiores de un triánguloesigual a180°. Hipótesis a,b , c ángulosinternosde triangulo Tesis:a+b+c= 180° Demostración : Construcciónauxiliar.- por el vértice C,se traza la recta n paralelaal ladoAB del triángulo Así que: - losángulos"a" soniguales, poralternosinternos - losángulos “b” soniguales, porlamismarazón Por lotanto a+b+c= 180°, por ser n unarecta. Corolario: El valor de un ánguloexteriorde untriánguloesigual alasuma de los dos interiores no adyacentes.
- 3. Hipótesis:α ánguloexternodel triánguloABC Tesis: α = A + B Demostración: α + C = 180° (poradyacentes) A+B+C = 180° (porángulosinternosde triángulo) Por lotanto α + C = A+B+C (doscantidadigualesaunatercera sonigualesentre sí) de donde α = A+B (si restocantidadesigualesalostérminosde unaigualdadobtengootra igualdad). Corolarios: En todo triangulolamedidadel ánguloexterioresmayorque cualquierángulointeriorno adyacente. La sumade las medidasde losángulosagudosde untriángulorectánguloessiempreigual a 90°. La medidade cadaángulode un triánguloequiánguloes60°. Rectas y puntosNotablesdel triángulo Medianasy Baricentro Se llamamedianaa la recta que une un vértice con el puntomedio (bisector) del ladoopuesto.En un triánguloABC,las tres medianasse cruzan en un punto denominado G, llamadoBaricentroque es el centro de gravedaddel triángulo.Ademásel Baricentrodista doble del vértice que del punto medio del lado.
- 4. Mediatricesy Circuncentro La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular en su punto medio. Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de sus lados. El punto donde se cortan las tres mediatrices generalmente se denominaconlaletra O yse llamaCircuncentro, equidista,esdecir,estálamisma distancia de los tres vértices A, B y C, y constituye el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices. La circunferencia se llama Circunferencia Circunscrita. Alturas y Ortocentro ALTURAS:se llamaalturaenuntriánguloalaperpendiculartrazadadesdeunvérticeal ladoopuesto. En un triángulo ABC, las tres alturas se cruzan en un punto llamado Ortocentro. Bisectricese Incentro Se llamabisectrizalarectaque divide unánguloendospartesiguales. Lasbisectricesdeuntriángulo son lasbisectricesde susángulos internos.El puntoI donde se cortan las tresbisectricesinteriores
- 5. se llama Incentro, equidista de los tres lados y por eso podemos construir una circunferencia de centroI tangente alosladosdel triángulo.Dichacircunferenciase llamaCircunferenciaInscritayes la circuferenciamás"grande"que se puede definircompletamente contenidadentrodeltriángulo. Los puntos Incentro, Baricentro,Ortocentro,y Circuncentro que son determinadospor las líneas notables son los denominados puntos notables del triángulo. Tarea (Esta tarea puede realizarse a mano o utilizandoel programa Geogebrade distribución libre que puede ser descargado de la siguiente dirección. http://www.download366.info/geogebra?utm_source=google&utm_medium=cpc&utm_campaign =366_EC_Productividad&utm_content=Geogebra&utm_term=geogebra En un triángulo Escaleno obtusángulo cualquiera, en un triángulo Rectángulo cualquiera, en un triángulo equilátero, y en un triángulo isósceles acutángulo, realizar el grafico de todas las líneas notables (todas en el mimo triangulo) estos gráficos deben tener ( en el caso de ser realizado a mano) el procedimiento de construcción de cada una de las líneas notables y todas deben ser graficadas. El objetivo escontestar, apoyándose conlaconstruccióngraficarealizadalassiguientes preguntas: En general de los puntos notables: ¿Hay algún caso particular en el que los cuatro puntos (baricentro, ortocentro, circuncentro e incentro) estén alineados? ¿Y qué coincidan en un mismo punto? ¿Cómo son entre sí las circunferencias circunscrita e inscrita cuando el triángulo es equilátero? ¿se comprueba, en los cuatro casos que las rectas notables (medianas, mediatrices, alturas y bisectrices) siempre se intersectan en el mismo punto (puntos notables)? Medianas ¿Se comprueba, midiendo los segmentos, la razón de división del baricentro en cada una de las medianas con respecto a sus extremos? (las medidas deben ser escritas en el trabajo)
- 6. Mediatrices ¿se comprueba, mediante mediciones,que enlaintersección de lastres mediatricesse encuentra el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices? (las medidas debenser escritas en el trabajo) ¿En cuáles casos el circuncentro se encuentra dentro del triángulo? ¿Cómodebe serel triánguloparaque el circuncentrose encuentre sobre el triángulo?,ental caso, puedes describir ¿en dónde se encuentra el circuncentro? Alturas ¿Cuáles condiciones deben existir para que el ortocentro se encuentre dentro del triángulo? ¿Cuáles condiciones deben existir para que el ortocentro se encuentre afuera del triánguo? ¿Y para que el ortocentro coincida con el triángulo? Bisectrices ¿Cuál es la razón por la cual en la intersección de las tres bisectrices se encuentra el centro de la circunferencia inscrita en la circunferencia? Compruebe su conclusión con medidasrealizadas (las medidas deben ser escritas en el trabajo) Fuente http://geogebra.geometriadinamica.org/ventana_rectas_notables.html Nota en la dirección electrónica encontrara una aplicación interactiva del tema tratado. Problemas de aplicación: Demostrar que el ángulo formado por dos bisectrices externas de una triangulo es igual a 2 rad disminuido en la mitad del ángulo interno en el tercer vértice. Determine el valor del ángulo α en el triángulo de la figura: El triángulo ABC de la figura es isósceles, con AC = BC. El trazo AD es bisectriz del ángulo CAB, y la medida del ángulo ECD = 100°. Calcular la medida del ángulo Y.
- 7. Considerando que el triángulo ABC es equilátero, y que BE es bisectriz del ángulo CBD, determine el valor del ángulo “x”: Determinar el valor de x -y, considerando que AC=BC En el triángulode la figura,AB = BC = CA. El segmentoCDdivide el ánguloACBde tal forma que =2. Determine la medida del ángulo x Hallar X°
- 8. a) 50° b) 60° c) 65° d) 70° e) 80° En untriánguloABC,el ánguloA mide 58°.¿Cuántomide el ángulo BDCdonde Desel punto de intersección de las bisectrices de los ángulos B y C? a) 125º b) 119º c) 110º d) 95º e) 102º Hallar el ánguloformado por la intersecciónde lasbisectricesde losángulosexterioresde los ángulos agudos de un triángulo Rectángulo a) 60º b) 45º c) 30º d) 65º e) 90º El ánguloB de un triánguloABCmide 40º. ¿Cuántomide el ánguloAECdonde E es el punto de intersección de las bisectrices del ángulo interior A y ángulo exterior C? a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 50º De la figura AB = BE; BD = DC; el triángulo ABD es:
- 9. A) isósceles B) equilátero C) acutángulo D) rectángulo E) obtusángulo Según el grafico. Hallar el valor de “” A) 10° B) 20° C)30° D) 40° E) 50° Calcular “x”, si: - = 18° A) 16º B) 17º C) 18º D) 19º E) 36º Calcular “x”, si AB = BC y TC = TD A) 10º B) 15º C) 20º D) 30º E) 40º