Geometria del triangulo

GEOMETRÍA
DEL TRIÁNGULO
Prof. Carlos A. Blanco

ÍNDICE
1. Introducción
I. Clasificación de triángulos
II. Propiedades
2. Construcción de triángulos
3. Criterios de igualdad de triángulos
4. Triángulos semejantes
5. Puntos y rectas notables del triángulo
6. Teorema de Pitágoras
I. Demostración del teorema de Pitágoras
7. Teorema de Tales
8. Teoremas del cateto y de la altura
I. Teorema del cateto: Demostración
II. Teorema de la altura: Demostración

PARA FIJAR IDEAS…
Para fijar ideas, en un
triángulo de vértices A,
B y C, nombraremos los
ángulos con la misma
letra mayúscula del
vértice y los lados con
la letra minúscula
correspondiente al
vértice opuesto.

CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
Equilátero
Escaleno
Isósceles
Acutángulo
Rectángulo
Obtusángulo
3 lados iguales
2 lados iguales
3 lados diferentes
3 ángulos agudos
1 ángulo recto
1 ángulo obtuso

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
En el caso del triángulo rectángulo, los lados reciben nombres
especiales.
El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.
Cateto Mayor
CatetoMenor
Los lados adyacentes al ángulo recto se llaman catetos.

PROPIEDADES BÁSICAS (I)
La suma de los
ángulos de un
triángulo es 180º
180º

PROPIEDADES BÁSICAS (II)
Propiedad triangular:
Cada lado es menor que
la suma de los otros dos.
Esto equivale a decir que
el lado mayor es menor
que la suma de los otros
dos 𝑎 < 𝑏 + 𝑐

Eso si, al menos uno de esos datos debe ser un lado.
CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS
Un triángulo tiene tres lados y tres ángulos.
El hecho de que el triángulo sea una figura indeformable hace
que sólo con conocer tres de esos seis datos se puede
construir un único triángulo.
Para determinar un triángulo se deben conocer tanto los lados
como los ángulos.

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS (I)
1. Si se conocen los tres lados (y estos verifican la propiedad
triangular) se forma un único triángulo
a
b
c • Colocamos el lado mayor (a)
como base
• Desde el vértice izquierdo,
trazamos un arco con la
longitud del lado b
• Colocamos el lado b
• Desde el vértice derecho,
trazamos un arco con la
longitud del lado c
• Colocamos el lado c

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS (II)
2. Si se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre
ellos, se puede formar un único triángulo.
• Colocamos el lado mayor (a)
como base
• Colocamos el ángulo C en el
vértice izquierdo del lado a
• Unimos el extremo del lado a
con la medida del lado b,
formando el lado c
• Prolongamos el otro lado del
ángulo C
a
b
C
• Trazamos un arco con la medida
de lado b

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS (III)
3. Si se conoce un lado y los ángulos adyacentes a dicho
lado, se puede formar un único triángulo.
• Colocamos el lado mayor (a)
como base
• Colocamos el ángulo C en el
vértice izquierdo del lado a
• Prolongamos los lados de los
ángulos hasta que se corten en
un punto, formando b y c
• Colocamos el ángulo B en el
vértice derecho del lado a
a
BC

Eso si, al menos uno de esos datos debe ser un lado.
CRITERIOS DE IGUALDAD
Para que dos triángulos sean iguales, deben tener en común
los tres lados y los tres ángulos.
El hecho de que el triángulo sea una figura indeformable y en
virtud de las construcciones anteriores, si dos triángulos
tienen en común tres de los datos anteriores, serán iguales.

CRITERIOS DE IGUALDAD (I)
1. Si dos triángulos tienen en común los tres lados, los dos
triángulos son iguales.
De la primera de las construcciones anteriores, se deduce el
primero criterio de igualdad de triángulos:

CRITERIOS DE IGUALDAD (II)
2. Si dos triángulos tienen en común dos lados y el ángulo
comprendido entre ambos, los dos triángulos son
iguales.
De la segunda de las construcciones anteriores, se deduce el
segundo criterio de igualdad de triángulos:

CRITERIOS DE IGUALDAD (III)
3. Si dos triángulos tienen en común un lado y los dos
ángulos adyacentes a ese lado, los dos triángulos son
iguales.
De la tercera de las construcciones anteriores, se deduce el
tercer criterio de igualdad de triángulos:

TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Por definición, dos triángulos son semejantes si tienen los
ángulos iguales y los lados proporcionales.
Sin embargo, sólo serán necesarias algunas de estas
condiciones para que dos triángulos sean semejantes.
Tenemos los siguientes criterios de semejanza de triángulos:

TRIÁNGULOS SEMEJANTES (I)
1. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos en
común, puesto que entonces también tendrían el tercer
ángulo en común.

TRIÁNGULOS SEMEJANTES (II)
2. Dos triángulos son semejantes si tienen los lados
proporcionales.

TRIÁNGULOS SEMEJANTES (III)
3. Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo en
común y los lados adyacentes son proporcionales.

TRIÁNGULOS SEMEJANTES
Dos triángulos diremos que están en posición de Thales, si
tienen un ángulo en común y los lados opuestos son
paralelos.
Obviamente, dos triángulos que estén en la posición de
Thales serán semejantes.

C
A
B
PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DEL
TRIÁNGULO: ORTOCENTRO
• Altura: perpendicular a un
lado que pasa por el vértice
opuesto.
• Las tres alturas de un
triángulo se cortan en un
mismo punto.
• Este punto recibe el nombre
de ortocentro.
• Se suele designar con la
letra H.
H

C
A
B
TRIÁNGULO: BARICENTRO (I)
• Mediana: segmento que va
de un vértice al punto
medio del lado opuesto.
• Las tres medianas se cortan
en un mismo punto.
• Este punto se llama
baricentro.
• Se suele designar con la
letra G.
G
P
N
M

TRIÁNGULO: BARICENTRO (II)
PROPIEDADES
• El baricentro tiene la
propiedad de ser el centro
de los pesos del triángulo,
(suponiendo que los
vértices tengan el mismo
peso)
• Además, la distancia desde
un vértice al baricentro es el
doble que la distancia desde
el baricentro hasta el punto
medio del lado.
C
A
B
G
x
2x

TRIÁNGULO: CIRCUNCENTRO
• Mediatriz: perpendicular a un
lado que pasa por el punto
medio de dicho lado.
• Las tres mediatrices de un
mismo punto.
de circuncentro.
• Representamos este punto
por O.
• Tiene la propiedad de ser el
centro de la circunferencia
circunscrita.
C
A
B
O
P
N
M

TRIÁNGULO: INCENTRO
• Bisectriz: recta que divide al
ángulo en dos partes iguales.
• Las tres bisectrices de un
mismo punto.
de incentro.
• Representamos este punto
por I.
• Tiene la propiedad de ser el
centro de la circunferencia
inscrita.
C
A
B
I

b
c
a
a2
c2
b2
TEOREMA DE PITÁGORAS
• En un triángulo rectángulo se
cumple el teorema de
Pitágoras:
• El cuadrado de la hipotenusa
es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos.
222
cba 
• Geométricamente significa
que el cuadrado construido
sobre la hipotenusa tiene la
misma superficie que los
cuadrados construidos sobre
los catetos.

TEOREMA DE PITÁGORAS:
DEMOSTRACIÓN
a2
c2
b2
• Partimos de dos cuadrados iguales, de lados b + c
• Los dividimos en cuadrados y triángulos rectángulos del
siguiente modo.
• Quitamos triángulo a triángulo para ver que las figuras
resultantes son idénticas.
=

TEOREMA DE THALES
Una versión simplificada del teorema nos dice que si dos
triángulos tienen los ángulos iguales, entonces tienen los
lados proporcionales:
'''' BA
AB
CB
BC
CA
AC


TEOREMAS DEL CATETO Y DE LA ALTURA
• Como consecuencia del teorema de Thales, tenemos dos
teoremas aplicados sobre triángulos rectángulos.
• Si apoyamos un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa
y trazamos la altura correspondiente, se pueden observar
tres triángulos rectángulos: ABC, PAC y PBA
• Cada uno de los dos triángulos menores son semejantes
al mayor (puesto que son triángulos rectángulos que
tienen un ángulo agudo igual)
• Por tanto, dichos triángulos menores son también
semejantes entre sí.
C B
A
P

b
m
TEOREMA DEL CATETO:
DEMOSTRACIÓN
Como se ha dicho, uno de los triángulos menores es
semejante al mayor, y por tanto:

m
b
b
a
mab 2
a
b
Para las demostraciones, a será la hipotenusa, b y c los
catetos, h la altura y m y n las proyecciones de los catetos.

m
h
n
h
TEOREMA DE LA ALTURA:
DEMOSTRACIÓN
Como se ha dicho, ambos triángulos menores son
semejantes entre sí, y por tanto:

h
m
n
h
mnh 2

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