Clase 2 Generalidades de los triángulos 2015.ppt
- 1. PPTCES020MT22-A15V1 Clase Generalidades de los triángulos MT-22
- 2. Síntesis de la clase Ángulos Clasificación Suplementarios Complementarios Cuadriláteros Agudo Recto Obtuso Extendido Cóncavo Completo Relaciones Polígonos Convexo Cóncavo Regular Irregular Trapezoide Trapecio Paralelógramo Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide
- 3. Aprendizajes esperados •Identificar los elementos primarios de un triángulo y sus propiedades. •Reconocer los elementos secundarios de un triángulo y sus propiedades. •Clasificar los triángulos según las medidas de sus lados y de sus ángulos. •Aplicar propiedades del triángulo rectángulo, en particular, aplicar el teorema de Pitágoras. •Aplicar propiedades de triángulos equiláteros e isósceles. •Aplicar propiedades generales de triángulos.
- 4. Pregunta oficial PSU 54. ¿Cuál de los siguientes tríos de números NO es pitagórico? A) 18, 24, 30 B) 9, 12, 15 C) 15, 20, 25 D) 12, 16, 24 E) 5, 12, 13 Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2014.
- 5. 1. Definición 2. Propiedades 3. Clasificación 4. Triángulo rectángulo 5. Triángulo equilátero 6. Triángulo isósceles
- 6. 1. Definición 1.1 Elementos primarios El triángulo es un polígono de tres lados, cuyos elementos primarios son: • Vértices: intersección de dos lados. • Lados : segmentos que delimitan el triángulo. A B C a b c = c AB = a BC = b AC Teorema: “La suma de dos lados debe ser siempre mayor que la medida del tercer lado”. a + b > c b + c > a a + c > b ¿Podría dibujarse un triángulo de lados: 10, 2 y 12 cm? Verificando el teorema se tiene: 10 + 12 > 2 2 + 12 > 10 Como una de ellas no se cumple, NO es posible dibujar dicho triángulo. 10 + 2 = 12
- 7. 1. Definición 1.1 Elementos primarios • Ángulos interiores: se forman por la intersección de dos lados, en el interior de la figura. • Ángulos exteriores : son los ángulos adyacentes a los ángulos interiores. y ´´ y ´son los ángulos exteriores del triángulo ABC. C A B son los ángulos interiores del triángulo ABC.
- 8. Teoremas: •“La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º”. • “En todo triángulo, a mayor ángulo, se opone mayor lado y viceversa”. 1 80° • “La suma de los ángulos exteriores de todo triángulo es 360º”. ´´ ´360° • “Cada ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores NO adyacentes a él”. ’ = + ’ = + ’ = + 1. Definición 1.1 Elementos primarios C A B
- 9. 1. Definición 1.2 Elementos secundarios Es el segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. En la figura, CD es la altura (hC) desde el vértice C. A B C hC D El ortocentro (H) es el punto de intersección de las alturas (hA , hB, hC). A B C H • Altura (h)
- 10. 1. Definición 1.2 Elementos secundarios Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. El baricentro o centro de gravedad (G) es el punto de intersección de las transversales de gravedad. tC En la figura, CD es la transversal de gravedad (tC) desde el vértice C y D es el punto medio del lado AB. • Transversal de gravedad (tc)
- 11. 1. Definición Propiedad del centro de gravedad o baricentro (G) El centro de gravedad (G), divide a cada transversal en razón 2:1. D, E y F: Puntos medios AE = tA BF = tB CD = tC G: Centro de gravedad Ejemplo: En la figura, G es centro de gravedad. Si BG = 8 cm, entonces GF = 4 cm.
- 12. 1. Definición 1.2 Elementos secundarios Recta perpendicular a un segmento, trazada en su punto medio. En la figura, está representada la simetral del lado AB, que pasa por su punto medio D. A B C S El punto de intersección de las simetrales se llama circuncentro y corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. D, F y G: Puntos medios. E: Circuncentro • Simetral (S)
- 13. 1. Definición 1.2 Elementos secundarios Rayo que dimidia un ángulo, es decir, lo divide en 2 partes iguales. B C D A bC El punto de intersección de las bisectrices se llama incentro y corresponde al centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. E: Incentro • Bisectriz (bc)
- 14. 1. Definición 1.2 Elementos secundarios Es el segmento que une los puntos medios de dos lados consecutivos. La mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de él. Al trazar las tres medianas de un triángulo, se forman 4 triángulos iguales entre sí. El área de cada uno es la cuarta parte del área total del triángulo original. D, E y F: Puntos medios DF, DE y EF: Medianas • Mediana (Md)
- 15. A B C a b c hC hA hB Área = base ∙ altura 2 Para obtener el área y perímetro en un triángulo cualquiera se utilizan las siguientes fórmulas: A B C a b c Perímetro = a + b + c Perímetro = 10 + 17 + 21 Perímetro = 48 Área = base ∙ altura 2 Área = 21 ∙ 8 2 Área = 84 Ejemplo: Determinar el área y perímetro del triángulo de la figura. D C 21 17 10 B A 8 2. Propiedades Área y perímetro
- 16. 3. Clasificación Según ángulos Según lados Acutángulo Todos sus ángulos interiores son agudos. Rectángulo Tiene un ángulo recto. Obtusángulo Tiene un ángulo obtuso. Escaleno Todos sus lados y ángulos son distintos. Ejemplo: Isósceles Tiene solo 2 lados congruentes y el lado distinto es la base. (Base) Equilátero Tiene todos sus lados y ángulos congruentes.
- 17. 4. Triángulo rectángulo 4.1 Generalidades H ipotenusa Cateto 1 Cateto 2 • Los catetos corresponden a los lados del triángulo que forman el ángulo recto. • La hipotenusa corresponde al lado del triángulo opuesto al ángulo recto. Ejemplo a b c a: b: c: Hipotenusa Cateto 1 Cateto 2
- 18. 4. Triángulo rectángulo 4.2 Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo se cumple que: “el cuadrado de la hipotenusa es igual la suma de los cuadrados de los catetos.” C B A 2 AC 2 BC 2 AB + = Ejemplo 5 cm 4 cm x cm 2 4 2 x 2 5 + = 16 2 x 25 + = 16 2 x 25 - = 2 x 9 = x 3 =
- 19. 4.3 Propiedades En el triángulo rectángulo isósceles de lado a de la figura, se cumple que: A C B Ejemplo: En la figura, determinar la medida del lado BC (hipotenusa). A C B CBA = 45° BC = 4 2 AC = 4 y 45° 4 4 2 4. Triángulo rectángulo • Triángulo rectángulo isósceles
- 20. tC : transversal Si M es punto medio de AB, entonces AM MB CM 4. Triángulo rectángulo 4.3 Propiedades Ejemplo: Si en la figura, CD es transversal de gravedad, determine el DCB. D es punto medio Por lo tanto, DCB = 40° Si CD es transversal de gravedad, El triángulo CDB es isósceles de base BC AD DB CD CBA DCB 40° 40° • Triángulo rectángulo y transversal de gravedad
- 21. 5.1 Propiedades AB BC CA 5. Triángulo equilátero Las alturas, transversales, bisectrices y simetrales coinciden sobre la misma recta. Por lo tanto, el ortocentro, centro de gravedad, incentro y circuncentro coinciden. 2 3 a h 4 3 a A 2 30º30º 60º 60º h a a a 2 a 2 con a: lado del triángulo 2 3 a • Área (A) y altura (h) de un triángulo equilátero
- 22. Determine el área de un triángulo equilátero, cuya altura mide cm. 3 3 Sea x la medida del lado, entonces: Como el lado del triángulo mide 6 cm, su área será: 2 3 x h 2 3 x 3 3 2 x 3 6 = x 3 9 A 4 3 36 A 4 3 6 A 2 cm2 A partir de la altura determinaremos el lado. 5. Triángulo equilátero 5.2 Ejemplo
- 23. 5. Triángulo equilátero Relación entre el triángulo equilátero y la circunferencia circunscrita h = r + 2 r h = 2 3r h = 3r Relación entre el triángulo equilátero y la circunferencia inscrita 5.3 Relaciones en la circunferencia
- 24. 6. Triángulo isósceles Propiedades Las alturas y transversales que se trazan desde los vértices congruentes, miden lo mismo. hA = hB tA = tB La altura, transversal, bisectriz y simetral que llegan a la base, coinciden sobre la misma recta. x = 50° DBA = 40° y ADB = 90° Si el triángulo es isósceles en B, entonces la base es AC. Si D es punto medio, entonces BD es transversal. BD es altura, bisectriz y simetral. 40° 90° = 50° Ejemplo: En la figura, el triángulo ABC es isósceles en B y D es punto medio de AC. Determine la medida del ángulo x.
- 25. 54. ¿Cuál de los siguientes tríos de números NO es pitagórico? A) 18, 24, 30 B) 9, 12, 15 C) 15, 20, 25 D) 12, 16, 24 E) 5, 12, 13 Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2014. Pregunta oficial PSU ALTERNATIVA CORRECTA D
- 26. Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 1 E Ángulos y polígonos Aplicación 2 D Ángulos y polígonos ASE 3 A Ángulos y polígonos Aplicación 4 C Ángulos y polígonos Aplicación 5 B Ángulos y polígonos ASE 6 D Ángulos y polígonos ASE 7 E Ángulos y polígonos Aplicación 8 A Ángulos y polígonos ASE 9 E Ángulos y polígonos ASE 10 D Ángulos y polígonos Aplicación 11 A Ángulos y polígonos ASE 12 B Ángulos y polígonos Aplicación
- 27. Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 13 C Ángulos y polígonos ASE 14 E Ángulos y polígonos Comprensión 15 C Ángulos y polígonos Comprensión 16 A Ángulos y polígonos Aplicación 17 C Ángulos y polígonos ASE 18 A Ángulos y polígonos ASE 19 A Ángulos y polígonos Aplicación 20 B Ángulos y polígonos ASE 21 C Ángulos y polígonos ASE 22 D Ángulos y polígonos ASE 23 C Ángulos y polígonos ASE 24 D Ángulos y polígonos ASE 25 D Ángulos y polígonos ASE
- 28. Síntesis de la clase secundarios primarios área perímetro según sus ángulos según sus lados acutángulo rectángulo obtusángulo escaleno isósceles equilátero vértices lados ángulos interiores ángulos exteriores Triángulos Elementos Generalidades Clasificación altura simetral bisectriz transversal mediana Teorema de Pitágoras Catetoa² + Catetob²=Hipotenusa²
- 29. Prepara tu próxima clase En la próxima sesión, resolveremos el Generalidades y ángulos en la circunferencia
- 30. Propiedad Intelectual Cpech RDA: 186414 ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL. Equipo Editorial Matemática