Clase 2 Geometría ppt 2008 (PPTminimizer).ppt
- 2. Aprendizajes esperados: • Identificar los elementos primarios de un triángulo y sus propiedades. • Reconocer los elementos secundarios de un triángulo y sus propiedades. • Clasificar los triángulos según sus lados y ángulos.
- 3. 1. Definición 2. Elementos primarios Triángulos I 2.1 Vértices 2.2 Lados 2.3 Ángulos interiores 2.4 Ángulos exteriores 3. Elementos secundarios 3.1 Altura 3.2 Bisectriz 3.3 Simetral 3.4 Mediana 3.5 Transversal de gravedad
- 4. 4. Generalidades en un triángulo cualquiera 4.1 Área o superficie 4.2 Perímetro o longitud 5. Clasificación de triángulos 5.1 Según sus ángulos 5.2 Según sus lados
- 5. 1.Definición 1. Triángulo Es un polígono de tres lados. 2. Elementos primarios • Vértices: Corresponde a la intersección de dos trazos, los que se identifican con letras mayúsculas. En la figura, los vértices son A, B y C. A B C
- 6. • Lados: En la figura, los trazos AB, BC y CA, corresponden a los lados del triángulo ABC, los que se identifican con letras minúsculas. A B C a b c AB = c, BC = a, AC = b Teorema: La suma de dos lados debe ser siempre mayor que el tercero. a + b > c b + c > a a + c > b
- 7. Determinar si existe el triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 7 cm. Para determinar si existe el triángulo, debemos verificar que se cumple el teorema. Ejemplo: 3 + 4 = 7 No se cumple. 4 + 7 > 3 Sí se cumple. 3 + 7 > 4 Sí se cumple. Como una de ellas NO se cumple, no existe dicho triángulo.
- 8. Teorema: La diferencia positiva de dos lados debe ser siempre menor que el tercero. a - b < c b - c < a a - c < b Ejemplo: Determinar si existe el triángulo cuyos lados miden 8 cm, 5 cm y 2 cm. Para determinar si existe el triángulo, debemos verificar que se cumple el teorema. 8 - 5 = 3 > 2 No se cumple. 8 - 2 = 6 > 5 No se cumple. 5 - 2 = 3 < 8 Sí se cumple. Como una de ellas NO se cumple, no existe dicho triángulo.
- 9. • Ángulos interiores: A B C y son los ángulos interiores del triángulo ABC. Son aquellos que se forman por la intersección de dos lados, en el interior de la figura. Teorema: La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º
- 10. Ejemplos:
- 11. Teorema: En todo triángulo, a mayor ángulo, se opone mayor lado y viceversa. Ejemplo: A B C a b c En el triángulo de la figura, c > a > b
- 12. • Ángulos exteriores: ´ ´ y ´ son los ángulos exteriores del triángulo de la figura. Son los suplementos de los ángulos interiores. Teorema: La suma de los ángulos exteriores de todo triángulo es 360º. ´´ ´
- 13. Teorema: Cada ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores NO adyacentes a él. ’ = + ’ = + ’ = + Ejemplo:
- 14. 3. Elementos Secundarios • Altura (h): Es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. En la figura, CD es la altura (hc) desde el vértice C. Ortocentro (H): Es el punto de intersección de las alturas (hc , ha, hb). A B C H A B C hc D
- 15. • Bisectriz (b): Es el segmento que “dimidia” un ángulo, es decir, lo divide en 2 partes iguales. En la figura, el ACD = DCB = B C D A bc
- 16. Incentro: Punto de intersección de las bisectrices, que corresponde al centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Ejemplo: E: Incentro
- 17. A B C S • Simetral (S): Es la perpendicular levantada desde el punto medio de un lado. En la figura, está representada la simetral levantada desde D, punto medio del lado AB.
- 18. Circuncentro: Punto de intersección de las simetrales y corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. D, F y G: Puntos medios. E: Circuncentro
- 19. • Mediana: Es el segmento que une los puntos medios de dos lados consecutivos. La mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de él. D, E y F: Puntos medios. DF, DE y EF: Medianas DE// BC y DE = BC 2 EF// AC y EF = AC 2 DF// AB y DF = AB 2
- 20. Al trazar las tres medianas de un triángulo, se forman 4 triángulos iguales. El área de cada uno, es ¼ del área total del triángulo ABC.
- 21. • Transversales de gravedad (t): Es el segmento que une el vértice con el punto medio del lado opuesto. tc tc: transversal desde C D: Punto medio del lado AB Centro de gravedad o baricentro(G): Punto de intersección de las transversales. El centro de gravedad (G), divide a cada transversal en razón 2:1.
- 22. D, E y F: Puntos medios. AE = ta BF = tb CD = tc G: Centro de gravedad Ejemplo: En la figura, G es centro de gravedad. Si BG = 8 cm, entonces GF = 4 cm.
- 23. 4. Generalidades en un triángulo cualquiera • Área o Superficie (A): Corresponde al semiproducto entre la base y la altura del triángulo. Área = Base ∙ Altura 2 A = A B C a b c hc ha hb 2 c∙ hc a∙ha 2 = 2 b∙hb =
- 24. Ejemplo: Determinar el área del triángulo de la figura: En este caso, se tiene el valor de la base AB=8, y la altura que cae sobre su prolongación, CD = 3. Luego su área es: A = 2 8∙3 = 12
- 25. • Perímetro o longitud (P): Corresponde a la suma de los lados del triángulo. A B C a b c P = a + b + c Ejemplo: P = 15 + 18 + 22 P = 55
- 26. 5. Clasificación de triángulos • Según sus ángulos: -Acutángulo: -Rectángulo: -Obtusángulo: Es aquel que tiene todos sus ángulos interiores agudos (menores a 90º). Es aquel que tiene un ángulo recto (90º). Es aquel que tiene un ángulo obtuso (mayor que 90º y menor que 180º). Ej.: Ej.: Ej.:
- 27. • Según sus lados: -Escaleno: Es aquel que tiene todos sus lados distintos, a b c. Ejemplo: -Isósceles: Es aquel que tiene 2 lados iguales y una base. Ejemplo: (Base) CBA = BAC =
- 28. Ejemplo: Se dice que el triángulo de la figura, es “isósceles de base AB”, o bien, “isósceles en C”. -Equilátero: Es aquel que tiene todos sus lados iguales. (Base) En la figura, el triángulo ABC es equilátero: AB = BC = AC. Sus ángulos interiores también son iguales.
- 29. Los contenidos revisados anteriormente los puedes encontrar en tu libro, desde la página 215 a la 220.