125631265 cap-2-parte-1

P
xy
yx
xz
zx
zy
yz
xx
yy
zz
x
y
z
P
POSITIVA
yCARA
POSITIVA
xCARA
POSITIVA
zCARA
NEGATIVA
xCARA
Capítulo II
ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
2.1) Matrices de Esfuerzos y Deformaciones Unitarias. Forma Diferencial
de las Ecuaciones de Equilibrio (Ecuaciones de Navier).
2.1.1) Matrices  ;
Consideremos un sólido estructural en equilibrio y un prisma infinitesimal recortado de
su interior:
Consideraremos únicamente los
Medios Continuos no Polares
(Las fuerzas de sección no
contienen momentos).
En el caso general, en cada
cara del prisma actuarán tres
componentes de esfuerzo.
Esfuerzos
ZZZYZX
YZYYYX
XYXYXX
zCARA
yCARA
xCARA



(Sobre las caras positivas)
Nota: si no se consideran las
FUERZAS MÁSICAS, en las
caras opuestas (negativas)
actúan esfuerzos de la misma
intensidad y sentido contrario.
Convenio:
Esfuerzos positivos, según las direcciones y sentidos indicados en la gráfica anterior.

Mecánica de Sólidos Mg. Ingº Carlos Esparza Díaz
212


y
x
Definición:
La matriz 













ZZZYZX
YZYYYX
XYXYXX
se denomina MATRIZ DE ESFUERZOS
Como una respuesta del sólido a los esfuerzos actuantes indicados, se generan las
deformaciones unitarias siguientes:
ZZZYZX
YZYYYX
XYXYXX
zCARA
yCARA
xCARA



Definición:
La matriz 













ZZZYZX
YZYYYX
XYXYXX
se denomina MATRIZ DE DEFORMACIONES
UNITARIAS
Las matrices  ;  definen el Estado Tensional / Deformacional en el punto P del
sólido.
PROPIEDAD: las matrices  ;  son matrices 3 × 3 SIMÉTRICAS.
Por la Ley de Reciprocidad del Esfuerzo Cortante, tenemos:
ZYYZZXXZYXXY ;; 
Por la definición de Deformación Unitaria Cortante y propiedad conmutativa de la
suma:


YX
XY
YXXY 
Similar para los otros planos:
XZZXYZZY ; 
Debido a la simetría de las matrices  ;  , para su
determinación basta conocer, en cada caso, seis magnitudes o componentes.
TRES ESFUERZOS NORMALES Y TRES ESFUERZOS CORTANTES, PARA LA
MATRIZ .
TRES DEFORMACIONES UNITARIAS NORMALES Y TRES DEFORMACIONES
CORTANTES, PARA LA MATRIZ  .
NOTA.
Las matrices de esfuerzo y de deformaciones unitarias  ;  , se relacionarán entre si
a través de constantes elásticas apropiadas (características del material), mediante
una matriz denominada Matriz de Constantes Elásticas..

213
2.1.2) Forma Diferencial de las Ecuaciones de Equilibrio (Ecuaciones de Navier)
En Estática se formulan ecuaciones del equilibrio para partículas discretas y cuerpos
rígidos, en términos de fuerzas y/o momentos.
En Mecánica de Sólidos, interesa establecer las ecuaciones del equilibrio en términos
de los esfuerzos desarrollados en el interior de los sólidos deformables.
Consideremos un volumen elemental recortado de un sólido deformable, para el cual
la configuración deformada (en equilibrio) sea un prisma rectangular sometido a
esfuerzos y fuerzas másicas.
Fuerzas Másicas (de cuerpo o de volumen): Las que influencian directamente los
elementos de masa a través del cuerpo o del sólido. Se las define en términos de
Unidades de Fuerza por Unidad de Volumen (o unidad de masa). Así los efectos de la
gravedad, efectos electromagnéticos,... etc.
Deduciremos la ecuación de equilibrio correspondiente a la dirección X; en las otras
direcciones (Y Z) la deducción es similar.
Sea XB la función distribución de Fuerzas por Unidad de Volumen en dirección OX.
(Consideramos únicamente los esfuerzos que generan fuerzas en dirección OX).
0dxdydzBdydx-dydxdy
z
dxdz-dxdzdy
y
dydz-dydzdx
x
0F
xzx
zx
zx
yX
yX
yX
X
X
X






























Simplificando, tenemos:
y
xz
dyy
yxyx



dzz
zx
zx

dy
dV
Bx
dxdz
x
zx






 



dxvariaciónlaadebida
deVariación
x
x
x
dx
x
 másicafuerza
dzdydxBdVB xx 
yx

214
 i0B
zyx
x
zxxyx









Reiterando el procedimiento en las direcciones Y, Z se deducen ecuaciones análogas
a la  i :
( )ii0=B+
z
τ
+
y
σ
+
x
τ
y
yzyxy

∂
∂
∂
∂
∂
∂
 iii0B
zyx
z
zyzxy









Definición) Las ecuaciones  i ,  ii ,  iii se denominan Ecuaciones Diferenciales
del Equilibrio (Ecuaciones de Navier).
Expresan condiciones para el equilibrio en términos de esfuerzos y distribuciones de
fuerzas másicas.
  zyx B,B,BB VECTOR DE FUERZAS MÁSICAS
NOTAS:
1. Las ecuaciones de Navier son independientes del material. Esto significa que son
validas en régimen elástico o inelástico.
2. No existen ecuaciones en número suficiente para determinar, a partir de ellas, las
seis componentes de esfuerzo desconocidas. Esto nos indica que en el Análisis de
Esfuerzos, los problemas son Estáticamente Indeterminados.
3. Las ecuaciones de equilibrio 0M  se consideraron al estudiar la simetría de la
matriz de esfuerzos  (Ley de Reciprocidad del Esfuerzo Cortante).
4. Si además el sólido estuviese en movimiento, las ecuaciones de Navier siguen
siendo válidas, agregando el término representativo de las fuerzas de inercia
(Principio de DI
Alambert):
0IFIF0F CxCxx 
2.2) Ley Generalizada de Hooke
2.2.1) Ley de Hooke en Tres Direcciones Ortogonales. Ecuaciones de Lamé
Consideremos un prisma recto de material elástico, lineal e isotrópico, sometido a
esfuerzo normal en tres direcciones ortogonales (No incluimos la presencia de Fuerzas
Másicas).

215
Para cada dirección, la deformación unitaria total, es la suma de una DEFORMACIÓN
UNITARIA LONGITUDINAL Y DOS DEFORMACIONES TRANSVERSALES. Por
comodidad, puede usarse el Principio de Superposición:
Para cada dirección aplicaremos la Ley de Hooke (uniaxial) y la definición de Relación
de Poisson:
1
E
'''
E
'''
E
'''
E
''
E
''
E
''
E
'
E
'
E
'
z
y
z
y
z
x
y
y
y
y
y
x
x
y
x
y
x
x




























Por el principio superposición, las deformaciones unitarias totales, son:
y
x
z
y
x
z
y
x
z NORMALESFUERZO
DETRIAXIALESTADO






G
E
MATERIAL
= + +
y
x
z
y
x
z y
y
x
x
z
z
z
y
x



xADEBIDAS
NESDEFORMACIO

z
y
x
'
'
'



yADEBIDAS
NESDEFORMACIO

z
y
x
''
''
''



z
y
x
'''
'''
'''



zADEBIDAS
NESDEFORMACIO

TOTALES
NESDEFORMACIO
MATE
RIAL

216
2
''''''
''''''
''''''
zzzz
yyyy
xxxx









Reemplazando las ecs.1) en las ecs 2) y simplificando, tenemos:
  
  
  
3
E
1
E
1
E
1
yxzz
zxyy
zyxx













Def). Las ecuaciones (3) constituyen la Ley Generalizada de Hooke (para esfuerzos
normales en tres direcciones ortogonales).
Notas)
1. Si el material es elástico, lineal e isotrópico, los elementos de la matriz  y sus
correspondientes de la matriz  , se relacionan mediante las ecuaciones:
  
  
  
4
G
1
G
1
G
1
E
1
E
1
E
1
yzyz
xzxz
xyxy
yxzz
zxyy
zyxx
























Estas ecuaciones nos permiten obtener las Deformaciones Unitarias Normales y
Cortantes, conociendo los esfuerzos y las características elásticas (E, G) del material.
2. Las ecuaciones (4) pueden invertirse para obtener los esfuerzos en función de las
deformaciones unitarias normales y cortantes. Se obtienen:
 
 
 
 1.5
2
2
2
zyxzz
zyxyy
zyxxx










 2.5
G
G
G
zyzy
xzxz
xyxy










217
y
x
c
r
'y'x
Definición). Las ecuaciones (5.1) para ,, zyx  se denominan Ecuaciones de
LAMÉ (del Estado Triaxial de Esfuerzos Normales). Las constantes elásticas
, están dadas por:
    
G
211
E
;G
12
E





 (5.3)
denominadas Constantes Elásticas de Lamé.
2.2.2) Definiciones.
i) INVARIANTE: cantidad cuyo valor no depende del sistema de coordenadas de
referencia.
 2
rA Invariante
Las coordenadas del centro (C) cambian si se
consideran otros sistemas de coordenadas. Las
coordenadas del centro C no son invariantes.
ii)La suma zyx  (traza de la matriz  ) se denomina Primer Invariante de
Esfuerzos: zyx1 
La suma zyx  (traza de la matriz  ) se denomina Primer Invariante de
Deformaciones Unitarias. zyx1 
Entre 1 y 1 se verifica la relación 11
E
21



(La invarianza 1 se demostrará al estudiar la Transformación General de Esfuerzos).
iii) El invariante zyx1  es numéricamente igual al cambio Unitario de
Volumen.
0
zyx1
V
V
 ; siendo V0 el volumen inicial.
Por consiguiente el variante θ1 mide el cambio de volumen por unidad de volumen.
iv) Un estado de esfuerzos definido por la matriz
 0p
00
00
00














 se llama ESTADO HIDROSTÁTICO DE ESFUERZOS.
(Estado volumétrico ó Estado de comprensión triaxial). Recuerda al principio de
Pascal: La presión hidrostática es la misma en todas las direcciones.

218
Si el material es elástico, lineal e isotrópico, tenemos:
 ppp
E
21
1 


  1
213
E
p 

 , es decir 1Kp  , siendo
 

213
E
K el
denominado MÓDULO DE COMPRESIBILIDAD DEL MATERIAL. (MÓDULO
VOLUMÉTRICO, Bulks). K: representa un valor de esfuerzo de compresión necesario
para producir una deformación volumétrica igual a la unidad (K es el valor de –p para
generar θ1 = 1).
EJEMPLOS
1) En el interior de un sólido, los esfuerzos están dados por la matriz
 
   















2
32
22
z200
0y3y
3
1
xy1
0xy1yx
(unidades de esfuerzo)
Determinar la distribución de Fuerzas Másicas, si el equilibrio debe satisfacerse en
todo punto del sólido.
Esfuerzos yx2
x   xy1 2
xy  0zx 
 y3y
3
1 3
y  0yz  2
z z2
Reemplazando en las Ecuaciones de Navier (ecs i, ii, iii), obtenemos:
   
0B0Bz400
0B0B03y3
3
1
y-1
0B0B0xy2xy2
zz
yy
22
xx



Luego, vector de fuerzas másicas es: B = (0, 0, -4z) (vector típico de efectos de peso
propio).
2) Demostrar la igualdad.
G3K
GK9
E

 , donde
E: Modulo de Elasticidad Lineal
G: Modulo de Rigidez.
K: Modulo Volumétrico.
Sabemos que:
  )i(1g2E 
)ii(
E
21
11 


)iii(K 1 
De (iii) y (ii) obtenemos
1
E
21
K
p




(Estado hidrostático de esfuerzos).
Por definición de 1 :

219
A
B
C
D
"10"24
"2
  3
E
21
K
1
3
E
21
K
p





 




De donde   )iiii(21K3E 
Entre las ecuaciones (i ) y (iiii) eliminamos la relación de Poisson  . Obtenemos:
K6
E
2
1
1
G2
E
 de donde despejamos E, para obtener finalmente:
G3K
GK9
E


3) Una varilla de latón AD está acoplada a cierto dispositivo que aplica un
confinamiento (presión lateral) de 8,000 lb/pulg2
en la porción BC de la varilla.
Sabiendo que E = 15 ×106
lb/pulg2
y 33.0 , determinar:
(i) El cambio en la longitud AD; (ii) El cambio en el diámetro en la sección central
de la varilla.
i) En un punto tal como se
presenta estado de confinamiento
lateral.
2
zx lgpulb000,8
0y  (no hay esfuerzo normal)
Usamos la ley generalizada de Hooke en dirección OY:
Tenemos   zxyy
E
1
 . Reemplazando valores:
  
6-
y
6y
10x352
000,8000,833.00
1015
1




En cambio en la longitud AD será yL
x
x
z
z

220
   .lgpu1052.31035210 3611 

(Notar que solo la longitud L = 10’’ está afectada por el confinamiento)
ii) Cambio en el diámetro:
  
  
diámetro)delón(disminuci10x33.357
800033.08000
1015
1
E
1
6-
x
6x
zyxx





Luego xdd 
  6
1033.357''2d 

adaslgpu1066.714d 6

4) La placa representada está restringida, de tal manera que no puede dilatarse ni
contraerse en dirección Y, pero puede hacerlo libremente en las direcciones X, Z.
Las superficies de la placa perpendiculares al eje Z están libres de esfuerzo. Si se
produce un cambio uniforme de temperatura (ΔT°), hallar zxy ,,  .
Para cada dirección las deformaciones unitarias totales, son:
      
      
      3T
E
1
2T
E
1
1T
E
1
yxzz
zxyy
zyxx
TOTAL
TOTAL
TOTAL






Condición → restricción → 0
TOTAL
y  luego:
   TEzxx  ( haciendo 0
TOTAL
y  )
Reemplazando datos
0z
0x


, tenemos  TE0y 
Reemplazando los valores ,, zyx  en la ecuación (1) tenemos:
x
y y
z
T
0
;;E
0 TÉRMICAELÁSTICATOTAL
:GENERALEN
NESDEFORMACIO


221
     T11
E
1 2
0x TOTAL

Reemplazando en la ecuación (3), tenemos:
   







 T
E
1 0
z TOTAL
5) Una placa rectangular de espesor “d” está comprendida entre dos planos paralelos
rígidos cuya separación es invariable. La placa está sometida a las fuerzas
indicadas P y Q. Calcular la presión que ejerce la placa sobre los planos rígidos.
Como el espesor “d” de la placa no puede cambiar debe ser 0z  . Luego:
  yxz
E
1
o 
De donde obtenemos  yxz 
Reemplazando los esfuerzos normales, obtenemos 






ad
P
bd
Q
z
La presión total ejercida sobre los planos rígidos, es:
 abzPTOTAL
 (área indicada).













d
a
Q
d
b
P
bd
Q
ad
P
abTOTALP (compresión sobre los planos rígidos).
Nota: Observar que 0z  NO IMPLICA NECESARIAMENTE 0z 
6) En el sistema representado, calcular las nuevas dimensiones de las aristas del
bloque rectangular.
Barras Elásticas





1
1
1
E
A
(cuatro, simétricamente ubicadas)
Bloque Prismático





2
2E
c.b,a,inicialessarista
x
y y
z
P
P
P
P
P
P
Q Q
Q
Q
;E 
a
b
d
a
b
d

222
F
R
F
F
F
Reacciones:
 1F4R 
Esfuerzos en el bloque:
ab
R
x  (compresión en dirección de x)
y (Dato)
0z  (Dato)
Deformaciones unitarias (bloque): (Ley Generalizada de Hooke)
  zy2x
2
x
E
1

  zx2y
2
y
E
1

  yx2z
2
z
E
1

Reemplazando los esfuerzos tenemos:
x
y
z
b
c
a
a
c
b
p
p
p
p
Frente
Planta
 
 2Bloque
1ElásticasBarras

223
 





 0p
ab
R
E
1
2
2
x












 0
ab
R
p
E
1
2
2
y












 p
ab
R
0
E
1
2
2
z
Simplificando:
 2p
ab
R
E
1
2
2
x 






 3
ab
R
p
E
1
2
2
y 






 4p
ab
R
E
1
2
2
z 












Cambios de longitud (bloque):
 5p
ab
R
E
c
c 2
2
xx 






Cambio de longitud (barra elástica):
 6
AE4
Rc
AE
FL
1111

Condición (paredes rígidas) → Δx = Δ, luego:
11
2
2 AE4
RC
p
ab
R
E
c






 de donde obtenemos R:
ab
1
AE4
E
p
R
11
2
2



Conocida la fuerza R, reemplazamos su valor en las ecuaciones (2), (3), (4), para
obtener las deformaciones unitarias en el bloque.















 p
1
AE4
abEE
1
2
11
2
2
2
x















1
AE4
abE
p
p
E
1
11
2
2
2
2
y ;



























 p
1
AE4
abE
p
E
1
11
2
2
2
2
z
Las nuevas dimensiones de las aristas del bloque serán:
a’ = a ( 1 + εy ); b’ = a ( b + εz ); c’ = c ( 1 + εx )

224
7) Sobre un cubo de 1 m. de arista, cuyo material es elástico lineal quiere inducirse el
Estado de Deformación Unitaria dado por la matriz:











k200
0ky2k2
0k2kx2
, donde (x,
y, z), son las coordenadas de cualquier punto del sólido, expresadas en cm. Se
conoce que 25
cmKg10x6.2E  ; 3.0 ; 5
10K 
 .
Calcular los esfuerzos requeridos en las caras del bloque.
Con los valores E,  determinamos las constantes de Lamé:
  
   
  
25
5
cm/Kg105.1
6.013.01
3.0106.2
211
E






   
25
5
cm/Kg10
3.012
106.2
12
E






Usamos las ecuaciones de Lamé para calcular los esfuerzos requeridos en las caras
del sólido (Ecuaciones 5.1):
 zyxxx 2  (y similares)
             555555
x 102y102x102105.1x102102 

(Las deformaciones εx, εy, εz, → se obtienen de la matriz  ).
Simplificando se obtiene 3y3x7x 
De manera similar procedemos para las direcciones y,z. obtenemos:
3y7x3y  ; 7y3x3z 
A partir de las ecuaciones para esfuerzo cortante (ecs 5.2) obtenemos;
xyxy G
x
y
z
A
B
C
D
E
F
G
o

225
  210210 55
xy  
( recordar que G = μ)
( K2xy  , de la matriz  )
De manera similar tenemos:
0xz  , 0yz 
Resumen de ecuaciones para los esfuerzos
3y3x7x  2xy 
3y7x3y  0xz 
7y3x3z  0yz 
A partir de estas ecuaciones pueden hallarse los esfuerzos en cada cara del prisma.
Cara plano )cm/Kg( 2
 )cm/Kg( 2

OCDE……………… y = 0 ……… 3x3y  …… 2xy 
ABGF……………… y = 100 cm …… 703x3y  …… 2xy 
AOFE……………… x = 0 ………… 3y3x  …… 2xy 
CBGD……………… x = 100 (cm) …… 703x3x  …… 2xy 
OABC……………… Z = 0 ……… 7y3x3z  …… 0
EFGD……………… Z = 100 (cm) …… 7y3x3z  …… 0
x
y
z
A
B
C
D
E
G
o
F
703y3x 
3y3x 
703x3y 
3x3y 
7y3x3z 
7y3x3z 

226
x
y
z
A
B
C
a
b
c
8) Un prisma rectangular de aristas a, b, c está solicitado por tres fuerzas normales A,
B, C paralelas a las aristas. Hallar la relación entre estas seis magnitudes para que
el volumen del prisma no cambie. Considerar el prisma de material elástico lineal
(E;  ).
Esfuerzos
bc
A
x 
ac
B
y 
ab
C
z 
Deformaciones unitarias:    zyxx
E
1













ab
c
ac
B
bc
A
E
1
x →   cCbBaA
abcE
1
x 
De manera similar, obtenemos:
  cCaAbB
abcE
1
y  ;   bBaAcC
abcE
1
z 
Condición: 0V  → 0zyx  (ver sección 2.2.2)
Reemplazando las deformaciones unitarias, tenemos:
       0bBaAcCcCaAbBcCbBaA
abcE
1

Simplificando →    0ccbBaA21
abcE
1

Como   021
abcE
1
 ; la condición buscada será:
  0cCbBaA 
9) Se hace descender, en el océano, una esfera sólida de acero de 100 mm de
diámetro, hasta donde la presión es Pa10x90 6
. Sabiendo que Pa10x200E 9
 ;
3.0 , determinar:
i) La reducción del diámetro de la esfera.

227
ii) La reducción del volumen de la esfera.
iii) El aumento porcentual de la densidad de la esfera.
Principio de Pascal pzyx 
Deformaciones unitarias
   zyxx
E
1
   p
E
12
ppp
E
1
x


Similar para zy paray  .Obtenemos:
p
E
12
zyx


Reemplazando valores numéricos:
   
  
4
9
6
zyx 108.1
10200
109016.0 



i)    .m108.1108.11.0ddd 54
x


ii)   44
0
TOTAL
zyx1 104.5108.13
V
V 


 (cambio unitario del
volumen)     3743
TOTAL m1083.2104.505.0
3
4
V 

iii) LnVLnmLnp
v
m
p  , de donde:
V
dV
p
dp
 (puesto que m es constante)
Reemplazando valores: 4
4
7
104.5
10236.5
1083.2
p
dp 






(volumen inicial de la esfera)
0
0
0
0 054.0
p
dp

10) Una barra cilíndrica, de material elástico lineal (E,  ) está sometida a comprensión
p, según se indica en el esquema. Lateralmente la barra está confinada por un
tubo cilíndrico de pequeño espesor y módulo elástico 1E . Hallar los esfuerzos
normales en la barra.

228
x
z
x
ó


c c
En la barra interior, la deformación unitaria en dirección X, es:
      )1.(..........
11
xx
E
xzyx
E
x  
En el tubo de confinamiento:
 
d
2
dd
2
d
e2
LdLe2
1
x
c
x
c
xc





 





(Compresión)
dd
d
1
x
c


 (esfuerzo circunferencial)
Deformación unitaria:
 
)2(
Edd
d
E
'
11
x
1
c
x 





P
L
d
1d
1E
;E 
x
y
z
:barralaen
cúbicosElementos

229
x
y
z
o
x x
Compatibilidad:  xx ' igualamos (1) y (2)
  
  11
x
xx
Edd
d
p
E
1


 , de donde obtenemos:
 
z
11
x
dd
d
E
E
1
p










 (Compresiones).
11) Una barra prismática, de material elástico lineal (E;  ) está sometida al estado de
esfuerzos











000
000
00
. Determinar:
i) La superficie transformada de una esfera de ecuación x2
+ y2
+ z2
= R2
en el
interior de la barra.
ii) El volumen encerrado por la nueva superficie.
Considerar el origen “O” como punto fijo durante la deformación de la barra.
0yz  (dato)
Deformaciones unitarias (barra):
Ley Generalizada de Hooke:
   
E
1
E
1
zyxx
Similarmente:
E
y

 ;
E
z


También: ozxyzxy  (ver matriz  ).
Campo de Desplazamientos:
)1(
x
u
E
1
x
u
x 







230
)2(
y
v
Ey
v
y 








)3(
z
w
Ez
w
z 








Integrando las ecuaciones (1), (2), (3), tenemos:
  )4(z,yfx
E
u 1 


  )5(z,xfy
E
v 2 


  )6(y,xfz
E
w 3 


Deteminamos las funciones f1 (y; z); f2 (x; z); f3 (x; y) usando las
condiciones para distorsión nula 0zxyzxy  . Sabemos que:
z
u
x
w
;
z
v
y
w
;
x
v
y
u
yzyzxy


















Luego tenemos:
     
     
     
  barra.ladeZY,X,PtodoPara
***0
x
f
z
f
:6y4De
**0
y
f
z
f
:6y5De
*0
x
f
v
f
:5y4De
31
32
21





















De (*) notamos que f1 y f2 han de ser funciones de z
De (**) notamos que f2 y f3 han de ser funciones de x
De (***) notamos que f1 y f3 han de ser funciones de y
Luego 332211 Cf;Cf;Cf 
Desplazamientos:
Reemplazamos f1, f2 y f3 en las ecuaciones (4), (5) y (6):
1Cx
E
u 


2y C
E
v 


3z C
E
w 


Si el origen es punto fijo

















0z
0y
0x
para
0w
0v
0u

231
Es
decir:
Por lo
tanto:
x
y
z
o
r
0r
u
'P
 z,y,xP
Con el cual determinamos que 0CCC 321  . En consecuencia el Campo de
Desplazamiento se define por:
x
E
u

 ; y
E
v 

 ; z
E
w 


P  Esfera
P’  Nueva superficie
(Transformada de la esfera)
   












wz,vy,uxr
w,v,uz,y,xr
urr
'z'y'x
0

Es decir:
z
y
E
z'zwz'z
E
y'yuy'y
x
E
x'xux'x








Por lo tanto:































 

E
1
'z
z
E
1z'z
E
1
'y
y
E
1y'y
E
1
'x
x
E
1x'x
Superficie inicial: x2
+ y2
+ z2
= R2
(esfera)
Superficie transformada:
2
2
2
2
2
2
2
R
E
1
'z
E
1
'y
E
1
'x
x 





 







 







 

 (Elipsoide de revolución alrededor del eje x)

232
 
 























21
E
1R
3
4
V
EEE
1R
3
4
V
1VV
V
VV
3
FINAL
3
FINAL
zyxINICIALFINALzyx
INICIAL
INICIALFINAL
12) Un material elástico (E,  , α) originalmente llena una cavidad con lados 2a y altura
h, en un bloque rígido, según se indica en el esquema. Encima del material
elástico se coloca una tapa rígida y se aplica una fuerza de comprensión F a ésta,
al mismo tiempo que se incrementa la temperatura.
Expresar el movimiento de la tapa en función de F, T y las constantes elásticas
del material. Despreciar cualquier efecto de fricción.
Establecemos, en primer lugar los ejes coordenados como se indica en los esquemas.
Se excluye la posible fricción → El material deformable no se adhiere a las paredes del
bloque rígido ni a la tapa durante la deformación.
Con “c” indicaremos el movimiento de la tapa (supuesto positivo según el eje “y”
indicado).
Como el material deformable es elástico lineal, usamos las ecuaciones de la Ley de
Hooke Generalizada, más el efecto de temperatura:
    
    
    
 1
T
E
1
T
E
1
T
E
1
yxzz
zxyy
zyxx



x
y
z
F
F
x
c
aa
h
a2
a2
Deformable
Material
y

233
Debido a la carga aplica, en el material sólo ocurren esfuerzos normales. Por la
restricción del bloque rígido, el material sólo experimentará deformaciones normales
en dirección Y. 0; zxy 
Por la simetría (sección transversal cuadrada) .zx 
(Puede verificarse haciendo 0;0 zx  en la 1° y la 3° ecuaciones (1))
Reemplazando en la ecuación (1):
( ) TΔαE+σ+σνσ=0 zyx -
De donde obtenemos:
)2(T
1
E
1
yx 






Reemplazando la ecuación (2) en la segunda de las ecuaciones (1) encontramos que:
)3(TE
1
1
1
21
E y
2



















El esfuerzo en dirección y es: ( ) )4(compresión
a4
F
=σ 2y 
También, la deformación unitaria en dirección y, es )5(
h
c

Reemplazando las ecuaciones (4) y (5) en (3) y simplificando obtenemos:
ó
 






























T
a4K3
F
1
1
h
c
TE
a4
F
21
1
1
E
1
h
c
2
2
Siendo K el módulo de compresibilidad del material.
Si ΔT = 0  F comprime el material y c es negativo  
Si ΔT ≠ 0, la fuerza F requerida para mantener la tapa en su posición inicial
(cuando 0c  ), es:
 TK3a4F 2

13) (Ecuaciones diferenciales del equilibrio en Coordenadas Polares). Al estudiar la
distribución de esfuerzos en anillos, discos giratorios y otras piezas curvas, es
conveniente emplear Coordenadas Polares:

234




 : Angulo polar.
: Radio vector.
 : Esfuerzo Normal en
dirección radial.
 : Esfuerzo Normal en
dirección tangencial.
Consideremos un elemento plano definido en coordenadas polares.
(Esfuerzos en el elemento polar, indicando la variación de los mismos al variar el radio
vector y el ángulo polar. No incluimos distribución de fuerzas másicas).
Estableciendo el Equilibrio de Fuerzas en dirección radial, tenemos:
   
0
2
sen
2
senp
pp













































Efectuado operaciones, obtenemos:






dibujo.
delplanoalunitario,
espesordeElementos






 






p





p





p



 




235
0
22
pp




















Simplificando la sumatoria anterior, y dividiendo entre  , obtenemos:
0
222

















 

Llevando al límite, cuando 0;  , tenemos:
0





 

Expresión que puede escribirse:
0





 


Finalmente
 *0
1









 
Estableciendo, ahora, el equilibrio de FUERZAS en dirección tangencial (ortogonal a la
dirección radial), tenemos:
 **0
21











Las ecuaciones (*), (**) son las ecuaciones de equilibrio, expresadas en términos de
esfuerzos, en un sistema plano de coordenadas polares. No se incluyen las posibles
distribuciones polares de fuerzas Másicas.
2.3) Esfuerzos Sobre Planos de Orientación Arbitraria. Transformación General
de Esfuerzos.
2.3.1) Esfuerzos Sobre Planos de Orientación Arbitraria.
Consideremos un prisma elemental, sometido al estado general de esfuerzos definido
por la matriz  .














zzyzx
yzyyx
xzxyx
Pueden ser definidos los vectores siguientes:
  xzxyxx ,; Vector esfuerzo sobre la cara X positiva.
  yzyxyy ,; Vector esfuerzo sobre la cara Y positiva.

236
  zzyzxz ,; Vector esfuerzo sobre la cara Z positiva.
De manera equivalente, en función de los valores unitarios .k,j,i
 1
kji
kji
kji
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx



En general x , y , z , son vectores no paralelos a los vectores unitarios k,j,i
respectivamente.
Consideremos, ahora, el vector esfuerzo sobre un plano inclinado ABC que pasa por
un punto P del sólido.
 xzxyxx ,, 
 yzyyxy ,, 
 zzyzxz ,, 
i
j
k
x
y
z
contrario.sentido
yintensidadmismalade
EsfuerzoVectoresactúan
opuestascaraslasEn
AB
C
x
y
z
P
xy
z
N
P


237
N Vector Unitario Normal al plano ABC
knjmilN  .
Ecuación cartesiana del plano qnzmylx  .
Cosenos directores de la normal al plano l2
+ m2
+ n2
= 1
Sobre el plano ABC, para el equilibrio, se desarrollará un VECTOR ESFUERZO.
P
Vector esfuerzo sobre el plano inclinado ABC. Generalmente P
 no es normal
al plano ABC.
El vector esfuerzo P
 puede expresarse en función de sus componentes cartesianas
rectangulares.
)2(kji zPyPxPP 
Debemos encontrar las componentes zPyPxP ,,  en función de los elementos de la
matriz  y de los cosenos directores l, m, n, de la normal al plano inclinado ABC.
La suma vectorial de las fuerzas actuantes sobre el tetraedro OABC nos permite
escribir:
)3(nml zyxP 
(Vector esfuerzo en el punto P).
Reemplazando las expresiones (1) y (2) en (3), tenemos:
 
 
 kjin
kjim
kjilkji
zyzxz
yzyxy
xzxyxzPyPxP



Simplificando y recordando las condiciones para igualad de vectores, obtenemos:
xy
z


 N



cosn
cosm
cosl

238
 4
nml
nml
nml
zzyzxPz
yzyyxPy
xzxyxPx



Las ecuaciones (4) definen las Componentes Cartesianas Rectangulares del Vector de
Esfuerzos P , en función de las componentes del Vector Normal Unitario N y de los
elementos de la Matriz de Esfuerzo  .
Matricialmente, las ecuaciones (4) se expresan:





































n
m
l
zzyzx
yzyyx
xzxyx
Pz
Py
Px
Nó P 
Vector columna de los cosenos directores de la normal al plano
inclinado ABC.
Definición:
El esfuerzo normal en un plano que pasa por P, es la Proyección Ortogonal del
Vector p sobre el Vector Normal UnitarioN .
EsfuerzoPN  Normal en el plano ABC.
EsfuerzoPS  Cortante en el plano ABC (en la dirección S).
(Dirección S normal con N ).
La magnitud del esfuerzo Normal, es:
escalar)(ProductoNPPN 
En términos de componentes rectangulares, tenemos:
   
PzPyPxPN
PzPyPxPN
nσmσlσσ
knjmilkσjσiσσ


 
B
C
N
P
PN
PS
s
 PzPyPxP ,, 

239
  kz,y,x 
 normalN
x y
z
0P
Reemplazamos Pxσ , Pyσ , Pzσ por sus valores dados en las ecuación (4) y
simplificando, tenemos:
....(5)..........2mn2ln2lmσnσmσlσ yzxzxyz
2
y
2
x
2
PN ττ 
La magnitud del esfuerzo cortante, PS , en dirección S, es:
...(6)..........σσσσσ
σσσ
2
PN
2
Pz
2
Py
2
PxPS
2
N
2
PPS


Notas:
1. Vector Gradiente
Sea 0P un punto sobre la gráfica de
  kz,y,x 
El vector unitario normal, es:


N
Siendo  el vector gradiente:
k
x
j
x
i
x 







 , evaluando en
el punto 0P .
2. Recordando las operaciones del álgebra matricial, el esfuerzo normal sobre el
plano inclinado ABC (ec.5) puede escribirse:
 
NσNσ
ó
n
m
l
σl m nσ
T
PN
PN














Siendo











n
m
l
N el vector columna de cosenos directores de la normal al plano
inclinado ABC.

240
z
x y
A B
C
P''4 ''2
''6
EJEMPLOS
1. En un sólido la matriz de esfuerzos es  2
pulgKlb
210
135
057












 . Determinar el
Vector Esfuerzo en un plano que pasa por un punto del sólido, y es paralelo al plano
ABC.
Plano ABC:
12z2y6x3
1
6
z
2
y
4
x


Cosenos directores del vector normal al plano
ABC:
7
2
263
2
n
7
6
263
6
m,
7
3
263
3
l
222222222







Vector esfuerzo:




































72
76
73
210
135
057
Pz
Py
Px
Efectuando el producto indicado, tenemos:
k
7
10
j
7
5
i
7
9
:luego
710
75
79
P
Pz
Py
Px






2. El estado de esfuerzos en un sólido viene dado por
0z20
z20y5
0y5xy3
2
2











(Unidades de esfuerzo), siendo (x, y, z) las coordenadas de cualquier punto del
sólido. Determinar el vector esfuerzo actuante en el punto  3,1,2P0  ubicado
sobre el cilindro 4zy 22


241
Vector unitario normal:
4zy
04zy:siendoN
22
22





Vector gradiente:
 
  













2
3
,
2
1
,0Nk
2
3
j
2
1
i0
3220
k32j2i0
N
:luego
k32j2i0
3,1,2Penevaluandokz2jy2i0
222
0
En el punto 0P , la matriz de esfuerzos es:
0320
3205
056











Vector esfuerzo:
23
21
0
0320
3205
056
Pz
Py
Px


































Efectuando el producto, e identificando elementos, obtenemos:
25Px  3Py  3Px 
Luego: k3j3i
2
5
P 
x
y
z
N
4zy 22


3
,1,2

242
3. La matriz de esfuerzos en un punto es
012
11
210
y










 calcular y , de manera
que el Vector Esfuerzo en un plano que pasa por ese punto, sea nulo. Encontrar el
Vector Unitario Normal para ese plano libre de esfuerzos.
Vector esfuerzo P :
desconocidos
n
m
l
012
11
210
y
Pz
Py
Px


































Efectuando el producto e identificando componentes, tenemos:
n2mPx  ; nml yPy  ; ml2Px 
Condición P = 0. Entonces se requiere:
 1....................0n2m 
 2............0nml y 
 3..................0ml2 
2ml(3)de;2mn(1)De  Reemplazando en (2):
  01m0
2
m
m
2
m
yy 




 


0m  es imposible, puesto que ocasionaría 0lnm 
Entonces 101 yy 
Para este valor, las ecs. (1), (2), (3) quedan:
0ml2
0nml
0n2m



Que las resolvemos bajo la condición:
1nml 222
 (cosenos directores)
6
1
n;
6
2
m;
6
1
l:Obtenemos  
Los vectores unitarios normales al plano libre de esfuerzos son:
k
6
1
j
6
2
i
6
1
N  

243
M
1P
2P
1n 2n
4. Sean 21 PyP los vectores esfuerzo correspondientes a dos planos que pasan por
un punto M, Sean 21 nyn las normales a dichos planos. Demostrar que la
proyección de 21 nsobreP es igual a la proyección de sobre 12 nsobreP .
Debemos probar que:
 *...............n·Pn·P 1221 
Estado de esfuerzos en el
punto M:
zyzxz
yzyxy
xzxyx














El vector esfuerzo P1 es:


































1
1
1
zyzxz
yzyxy
xzxyx
z1
y1
x1
c
b
a
P
P
P
Desarrollando el producto, encontramos:
 cba,cba;cbaP 1z1yz1xz1yz1y1xy1xz1xy1x1 
La proyección de 2121 n·Pes,nsobreP luego:
**).........(..........cccb
cabcbbbaacabaan·P
21z21yz
21xz21yz21y21xy21xz21xy21x21


De manera similar obtenemos la proyección de 12 nsobreP :
*)*........(*..........cccb
cabcbbbaacabaan·P
21z21yz
21xz21yz21y21xy21xz21xy21x12


Comparando (**) con (***) obtenemos (*):
1221 n·Pn·P 
Nota: Este resultado, se denomina Ley de Reciprocidad Generalizada.
5. El estado de esfuerzos en un punto es
cb
ca
ba













 donde a, b y c son
constantes y  es un valor dado no nulo. Encontrar las constantes a, b y c de
manera que el vector esfuerzo sobre el plano octaédrico sea nulo.

244
  cos,cos,cosN
A
B
C
z
x
y
ABC es el plano
octaédrico, si:
3
1
cos
1coscoscos 222



Normal al plano octaédrico:
3
1
,
3
1
,
3
1
Nó
3
1
,
3
1
,
3
1
N
'













Vector esfuerzo sobre el plano octaédrico:


























31
31
31
cb
ca
ba
OCT
Desarrollando el producto, obtenemos:







3
σ
3
cσ
3
bσ
,
3
cσ
3
σ
3
aσ
,
3
bσ
3
aσ
3
σ
σOCT
Condición dada:  0,0,00OCT  luego:
      0σcσbσ
3
1
;0cσσaσ
3
1
;0bσaσσ
3
1

De donde (como es 0 obtenemos:
 *
01cb
0c1a
0ba1








Resolviendo el sistema (*), tenemos:
a = -1/2 b = -1/2 c= -1/2
6. El estado de esfuerzos en un sólido es
0cx0
cx0cx
0cx0











 donde c es una
constante.

245
i) Probar que se satisfacen las ecuaciones del equilibrio, cuando el vector de
fuerzas másicas es nulo.
ii) Determinar el vector esfuerzo en  7,4,4P0  sobre el plano 7zy2x2  y
sobre la esfera 81zyx 222

i) Las componentes de esfuerzo son:
0;cx;0;0;cz;0 zyzyxyxyx 
Reemplazando en las ecuaciones de Navier, notamos que se verifican sólo cuando
0BBB zyx 
ii) Plano 7zy2x2  punto  7,4,4P0 
07zy2x2 
Vector normal al plano:


n (evaluando en 0P )
k
3
1
j
3
2
i
3
2
122
kj2i2
n
222




Vector esfuerzo en el punto 0P :
3
8
,c
3
18
,c
3
14
31-
32
32
0c40
c40c7
0c70
0
0
P
P





























Esfera 81zyx 222

 
k14j8i8
kz2jy2ix281zyx 7,4,4
222

 
Luego: k
9
7
j
9
4
i
9
4
1488
k14j8i8
n
222







Vector esfuerzo:
kc
9
16
j0ic
9
28
916c
0
928c-
97
94-
94
0c40
c40c7
0c70
0
0
P
P


































7. En el punto P el estado de esfuerzos es
3507
0217
7714












 determinar:
i) El vector esfuerzo en un plano que contiene a P y es paralelo al plano BGE.
ii) El vector esfuerzo en un plano que contiene a P y es paralelo al plano BGFC.
iii) Las componentes de esfuerzo normal y esfuerzo cortante en el plano BGFC.

246
i) Hallamos la ecuación del plano BGE:
12z3y2x61
4
z
6
y
2
x

Los cosenos directores de la normal al plano, son:
7
3
n
7
2
m
7
6
l
326
3
n
326
2
m
326
6
l
222222222







El vector esfuerzo P es:























73
72
76
3507
0217
7714
P
Efectuando el producto, obtenemos:
k9j12i11ó
9
12
11
PP 











(Siendo k,j,i los vectores direccionales unitarios)
ii) Hallamos la ecuación del plano BGFC:
4zx21
4
z
2
x

Los cosenos directores de la normal al plano son:
5
1
n0m
5
2
l
12
1
n0m
12
2
l
2222





El vector esfuerzo, es:

























51
0
52
3507
0217
7714
P
Efectuando el producto, obtenemos:
x
y
z
A
B C
P''4
''2
''6
D
E
F
G

247
k
5
21
j
5
14
i
5
21
ó
521
514
521
PP 













iii) Sobre el plano BGFC, el esfuerzo normal, es:
normal)e(component
5
63
5
21
0
5
42
512
514
521
5
1
0
5
2
51
0
52
3507
0217
7714
5
1
0
5
2
:luego
51
0
52
NdondeNN
N
N
N
N

































































La componente de esfuerzo cortante  , es:
5
696.37
5
63
5
21
5
14
5
21
2222
2
N
2
P


























Nota:
Los esfuerzos N y  están expresados en las mismas unidades de esfuerzo que los
elementos de la matriz  .
2.3.2) Transformación General de Esfuerzos
i) Propiedad: “Conociendo las componentes de esfuerzo, referidas a tres superficies
ortogonales en un punto, pueden calcularse las componentes de esfuerzo que actúan
sobre cualquier otra superficie que pasa por el punto referido.”

248
Consideremos un tetraedro infinitesimal OABC, recortado de un sólido en equilibrio. En
los planos coordenados actúan esfuerzos dados por la matriz  .
La superficie ABC tiene como vector unitario normal  nznynx a,a,an  y sobre ella
actúa el esfuerzo normal n y el esfuerzo cortante s  1aaa:recordar
2
nz
2
ny
2
nx 
La magnitud del esfuerzo normal, es:
 










 
nz
ny
nx
nznynxn
a
a
a
aaa
Desarrollando las operaciones matriciales, obtenemos:
 1
aaaaaaa
aaaaaaaa
2
nzznynzzynxnzzxnznyyz
2
nyynxnyyxnznxxznynxxy
2
nxxn







Nota) Observar la coincidencia con la fórmula deducida en la sección anterior (ec.5),
con el cambio de nomenclatura para los cosenos directores del vector normal unitario:
nznynx anamal 
n
y x
z
xyyx
xz
zx
yz
zy
n
A B
C
x y
z
s
s
o
P

249
A
B
C
s
n
P
La igualdad (1) demuestra que el esfuerzo normal actuante sobre cualquier superficie
que contiene al punto para el cual está definido el estado de esfuerzos (mediante la
matriz  ), depende únicamente de las componentes de esfuerzo y de los cosenos
directores de la normal a la superficie de interés.
Sean szsysx a,a,a los cosenos directores
de una dirección s (contenida en el plano
ABC y normal al vector n ).
Recordar: sz
2
sy
2
sx
2
aaa  = 1
0aaaaaa sznzsynysxnx 
Estableciendo el equilibrio tetraedro OABC,
puede establecerse una expresión, similar a
la ec. (1), para el esfuerzo cortante s :
 2
aaaaaaaa
aaaaaaaaaa
sznzzsynzzysxnzzxsznyyz
synyysxnyyxsznxxzsynxxysxnxxs







La igualdad (2) demuestra que el esfuerzo cortante s , en la dirección s , depende
únicamente del estado de esfuerzos  y de los cosenos directores de las direcciones
n y s .
Las ecs. (1) y (2) nos permiten calcular los esfuerzos sobre cualquier superficie que
pase por el punto dado, en función de los elementos de la matriz  y de los cosenos
directores de n y s (ortogonales).

250
x y
z
o
'y
'x
'z
ii) Ecuaciones para la Transformación General de Esfuerzos
PROBLEMA
Conocida la matriz  ,
referida al sistema x, y, z,
encontrar la matriz ’
asociada con el sistema x’
y’ z’.
(x, y, z): ortogonal
(x’, y’, z’): ortogonal)
(x y z) rotación (x’ y’ z’)
Para encontrar 'x
(Esfuerzo Normal en la
dirección X’)
Podemos usar la ec. (1),
anterior, con el cambio
apropiado en la nomencla-
tura.
Entonces, en la ec. (1) en vez de usar n para la dirección de una superficie (su
normal), usamos x’ (normal a la superficie coordenada z’ o’ y’). Reemplazando n por x’
en la ec. (1), tenemos:
 3
aaaaaaa
aaaaaaaa
2
z'xzy'xz'xzyx'xz'xzxz'xy'xyz
2
y'xyx'xy'xyxz'xx'xxzy'xx'xxy
2
x'xxn







Donde: x'xa coseno director entre el eje x’ y el eje x.
y'xa  coseno director entre el eje x’ y el eje y.
etc.
En forma semejante, pueden hallarse expresiones para los esfuerzos normales 'y y
'z Se obtienen:
 4
aaaaaaa
aaaaaaaa
2
z'yzy'yz'yzyx'yz'yzxz'yy'yyz
2
y'yyx'yy'yyxz'yx'yxzy'yx'yxy
2
x'yx'y







 5
aaaaaaa
aaaaaaaa
2
z'zzy'zz'zzyx'zz'zzxz'zy'zyz
2
y'zyx'zy'zyxz'zx'zxzy'zx'zxy
2
x'zx'z







También el esfuerzo cortante 'z'x puede calcularse a partir de la ec. (2) en forma
análoga a las usadas para determinar los esfuerzos normales en el sistema rotado (x’
y’ z’). Obtenemos:
 6
aaaaaaaa
aaaaaaaaaa
z'zz'xzy'zz'xzyx'zz'xzxz'zy'xyz
y'zy'xyx'zy'xyxz'zx'xxzy'zx'xxyx'zx'xx'z'x







y similares para 'y'x , 'z'y .
Las ecuaciones para la transformación de esfuerzos, ecuaciones (3), (4), (5), (6),….
Se escriben consistentemente en forma matricial:

251
x
y
z
'y
'x
'z
 matriz referida a las coordenadas (x ,y, z).
' matriz referida a las coordenadas (x’, y’, z’).
Ambos sistemas de coordenadas son respectivamente ortogonales.
MATRIZ DE
TRANSFORMACIÓN DE
COORDENADAS: A
(MATRIZ DE COSENOS
DIRECTORES)
aaa
aaa
aaa
A
z'zy'zx'z
z'yy'yx'y
z'xy'xx'x











(También denominada
matriz rotación de
coordenadas).
En base a esta matriz A , las ecs. (3), (4), (5), (6), se
escriben consistentemente:
T'
AA 
Siendo:
rotación.dematrizladeatranspuestA
rotación.dematrizA
z'.y'x'sistemaelenesfuerzosdematriz
z.x ysistemaelenesfuerzosdematriz
T
'




Recordar A
T
: se intercambian filas con columnas en la matriz A
aaa
aaa
aaa
A
z'zy'zx'z
z'yy'yx'y
z'xy'xx'x
T











Recordar también las condiciones de ortonormalidad.
EJEMPLOS
1) Demostrar zyx
zyn '''''  (Primer invariante de esfuerzos).
Sumando respectivamente las ecs. (3), (4) y (5), tenemos:




z'yx'yxzy'yx'yxy
2
x'yx
2
z'xzy'xz'xzyx'xz'xzx
z'xy'xyz
2
y'xyx'xy'xyx
z'xx'xxzy'xx'xxy
2
x'xx'z'y'x
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa
x y z
x’ x'xa y'xa z'xa
y’ x'ya y'ya z'ya
z’ x'za y'za z'za

252



x'zy'zxzz'zy'zyz
2
y'zy
2
z'yzy'yz'yzyx'yz'yzx
z'yy'yyz
2
y'yyx'yy'yyx
aaaaa
aaaaa
aaaaa
2
z'zzy'zz'zzyx'zz'zzx
z'zy'zyz
2
y'zyx'zy'zyx
aaaaa
aaaaa


Expresión que puede arreglarse de la manera siguiente:
   
    

y'zx'zy'yx'yy'xx'xxy
2
z'z
2
z'y
2
z'xz
2
y'z
2
y'y
2
y'xy
2
x'z
2
x'y
2
x'xx'z'y'x
aaaaaaaaa
aaaaaa
Por las condiciones de ortonormalidad, los coeficientes que multiplican a los esfuerzos
normales x , y , z valen UNO (son la suma de cuadrados de cosenos directores.
Condición de normalidad). También los coeficientes que multiplican a los esfuerzos
cortantes ...,xy etc. Valen CERO (condición de ortogonalidad).
En consecuencia:
zyx'z'y'x 
(Denominado PRIMER INVARIANTE DE ESFUERZOS).
2) Dado el estado de esfuerzos  PaM
0050
0050
505010












 , hallar 'x , siendo x’ la
dirección k3j2i  .
Vector Unitario en dirección x’:
14
3
a;
14
2
a;
14
1
aDirectoresCosenos
k
14
3
j
14
2
i
14
1
321
k3j2i
'x
z'xy'xx'x
22





Usamos la ecuación (escalar) de transformación (ec. 3) (Ver Pág. 261)
2
z'xzy'xz'xzyx'xz'xzxz'xy'xyz
2
y'xyx'xy'xyxz'xx'xxzy'xx'xxy
2
x'xxn
aaaaaaa
aaaaaaaa


Reemplazando valores de los cosenos directores:
14
3
a;
14
2
a;
14
1
a z'xy'xx'x 
Tenemos:

253
     
     
     
2
2
2
n
14
3
0
14
2
14
3
0
14
2
14
3
50
14
3
14
2
0
14
1
0
14
1
14
2
50
14
3
14
1
50
14
2
14
1
50
14
1
10




























































































Efectuando operaciones, obtenemos:
 PaM43.6
'
PaM
14
90
14
150
14
100
14
150
14
100
14
10
x'x
'x


3) El estado de esfuerzos en un punto P, referido al sistema de coordenadas x, y, z
es
30000
000
00100










 . Determinar la matriz de esfuerzos correspondiente a un
sistema de ejes obtenido mediante la rotación de 45º, del sistema x y z alrededor del
eje z, en sentido horario cuando se mira hacia el punto.
Matriz de rotación A
 













100
02222
02222
A
Respecto al sistema rotado x’ y’ z’ , la matriz de esfuerzos, es:
T
AA' 
x y z
x’ º45cos º135cos º90cos
y’ º45cos º45cos º90cos
z’ º90cos º90cos º0cos
x y
z
'y
'x
'z
P
0
45
0
45

254
T
AσA'σ 
Efectuando el triple producto matricial,
tenemos:











30000
05050
05050
'
4) En un punto de un sólido, la matriz de esfuerzos está dada por
 KPa
8000100
000
1000500












 , en el sistema inicial de referencia x, y, z. Un nuevo
sistema de referencia x’ y’ z’ se obtiene girando el sistema inicial 30º alrededor del eje
z, según se indica. Determinar la matriz esfuerzos referida al sistema x’ y’ z’.
Usaremos la expresión matricial:
T
AA' 
Definimos la matriz de transformación de coordenadas A :
X Y z
x’ º30cos º30cos º30cos
y’ º30cos º30cos º30cos
z’ º30cos º30cos º30cos
x
y
z
'y
'x
'z
o
0
30
0
30

255









 

100
0866.05.0
05.0866.0
A
T
 T
AA' 









 




































100
0866.05.0
05.0866.0
8000100
000
1000500
100
0866.05.0
05.0866.0
'z'y'z'x'z
'z'y'y'x'y
'z'x'y'x'x
Desarrollando el triple producto matricial, tenemos:
 KPa
800506.86
50125216
6.86216375
'z'y'z'x'z
'z'y'y'x'y
'z'x'y'x'x



























Notar que:
.Esfuerzos)deInvarianteimer(Prσ+σ+σ=σ+σ+σ
KPa300=800+0+500=σ+σ+σ
KPa300=800+125375=σ+σ+σ
zyx'z'y'x
zyx
'z'y'x
→
5) Respecto al sistema x y z, la matriz de esfuerzos es:
k00
0k0
00k










 determinar la
matriz de esfuerzos referida al sistema x’ y’ z’.
x’: Dirección octaédrica.
x
y
z
'y
'x
o
'z



4

256
Usaremos: T
AA' 
Debemos encontrar la matriz de transformación: A
Como el eje x’ forma ángulos iguales con los ejes x, y, z, es conocida la primera fila de
la matriz A .
También, como el ángulo entre z’ y z es
4

, se conocerá el elemento z'za (= cos 45)
de la matriz A .
Datos:
2
1
a:también
3
1
cos
1coscoscos
cosaaa
z'z
222
z'xy'xx'x




Condiciones:
'zdedirectorescosenos1aaa
'ydedirectorescosenos1aaa
2
x'z
2
y'z
2
x'z
2
x'y
2
y'y
2
x'y


(Provienen del coseno de  entre dos direcciones):








'z'y0aaaaaa
'z'x0aaaaaa
'y'x0aaaaaa
z'zz'yy'zy'yx'zx`y
z'zz'xy'zy'xx'xx`x
z'yz'xy'yy'xx'yx`x
Reemplazando en las 5 ecuaciones anteriores los valores
conocidos, determinamos el sistema siguiente:
)2(1
2
1
aa
)1(1aaa
2
y'z
2
x'z
2
x'y
2
y'y
2
x'y




)5(0a
2
1
aaaa
)4(0
2
1
aa0
2
1
3
1
a
3
1
a
3
1
)3(0aaa0a
3
1
a
3
1
a
3
1
z'yy'zy'yx'zx`y
y'zx'xy'zx'x
z'yy'yx'yz'yy'yx'y






Las ecuaciones (1), (2), (3), (4), (5) determinan un sistema de cinco ecuaciones con
cinco incógnitas:
x'ya , y'ya , z'ya , x'za , y'za
A partir de las ecuaciones (2) y (4), obtenemos:
x y z
x’ x'xa y'xa z'xa
y’ x'ya y'ya z'ya
z’ x'za y'za z'za

257
0a x'z 
2
1
a y'z 
Reemplazando estos valores en (5), obtenemos y'ya = z'ya (*)
Esta condición la reemplazamos en (1) y (3):
(*)
6
1
aia,consecuenceny
6
1
a,
6
2
a
:obtenemosdonde
0a2ay1a2a
z'y
y'yx'y
y'yx'y
2
y'y
2
x'y



Tenemos completada la matriz de rotación A
 
  













21210
616162
313131
A
Finalmente, reemplazamos en: T
AA' 
 
 
 
  


















































21210
616131
316231
K00
0K0
00K
21210
616162
313131
'z'z'y'z'x
'z'y'y'y'x
'z'x'y'x'x
Desarrollando el triple producto matricial:
























k00
0k0
00k
zyzxz
yzyxy
xzxyx
6) La matriz de esfuerzos
kkk
kkk
kkk










 está
referida al sistema x y z. Hallar la matriz referida
al sistema x’ y’ z’, según se indica en el esquema.
x y z
x’ 31 31 31
y’  62 61 61
z’ 0  21 21

258
Los ejes y’, z, z’ están en un mismo plano vertical.
Los ejes x’, x, y están en un mismo plano vertical.
Determinaremos la matriz de transformación de coordenadas A :
Existen cinco elementos conocidos:
313131
32aa
0aa
A y'yx'y
y'xx'x











Similar al ejemplo anterior, empleamos las condiciones de ortonormalidad:
0
3
1
3
2
3
1
a
3
1
a
00
3
1
a
3
1
a
00aaaa
1
3
2
aa
1aa
y'yx`y
y'xx`x
y'yy'xx'yx`x
2
y'y
2
x`y
2
y'x
2
x`x





Resolviendo este sistema, obtenemos:
61a
61a
21a
21a
y'y
x`y
y'x
x`x




313131
326161
02121
A















Luego:




x
y
z
'y
'x
'z
3
2
cosarc

259
x
y
z
n
P

P

N
s







































31320
316121
316121
kkk
kkk
kkk
313131
326161
02121
'
Desarrollando el triple producto matricial, obtenemos:
k300
000
000
'











7) Referida al sistema x y z, la matriz de esfuerzos es:
00
00
00
3
2
1













 demostrar
que el esfuerzo cortante sobre un plano octaédrico, está dado por:
     2
13
2
32
2
21OCT
3
1

n Vector normal unitario a
uno de los planos
octaédricos.
P Vector esfuerzo sobre
el plano octaédrico.







3
1
,
3
1
,
3
1
n
El esfuerzo sobre el plano
octaédrico, es:










































3
3
3
31
31
31
00
00
00
3
2
1
P
El esfuerzo normal sobre el plano octaédrico, es:
   321
3
2
1
N
3
1
31
31
31
00
00
00
313131 


























El esfuerzo cortante, será:

260

 
   
     2
13
2
32
2
21OCT
2
321
2
3
2
2
2
1
2
N
2
POCT
3
1
:entransformaseQue
9
1
3
1


2.4) Esfuerzos y Direcciones Principales. Diagonalización de la Matriz 
Un problema de gran interés en el análisis de esfuerzos, consiste en determinar los
máximos valores de los esfuerzos normales y sus direcciones correspondientes.
El esfuerzo normal que actúa sobre una cara de un prisma será máximo, cuando en
esta cara, los esfuerzos cortantes sean nulos.
(  máximo cuando 0 )
En consecuencia, la matriz de esfuerzos 
deberá transformarse en una matriz diagonal
 T
T: transformación de similaridad.
Los ejes 1-2-3 denominan EJES PRINCIPALES DE ESFUERZO
 321
3
2
1
T
zyzxz
yzyxy
xzxyx
00
00
00





























1
2
2
3
1
3
DIAGONALNO: DIAGONALATRIZM:
x
y
z

261
1
2
3
1N
Definición)
Los esfuerzos 321 ,,  se denominan ESFUERZOS PRINCIPALES. Sus direcciones
correspondientes, se denominan DIRECCIONES PRINCIPALES. Los planos donde
actúan los esfuerzos principales, se denominan PLANOS PRINCIPALES.
Sean  111 n,m,lN  el vector unitario normal paralelo al eje principal 1.
 
 
 1,zcosn
1,ycosm
1,xcosl
1
1
1



El vector esfuerzo sobre el plano
cuya normal es 1N , es:
(*)N1
Si en el plano indicado, los esfuerzos cortantes son nulos 1N (condición de
paralelismo de vectores).
La igualdad (*) nos queda:
(**)NN 11 
Siendo  un escalar por determinar. En términos de sus componentes, la ecuación (**)
es:





































1
1
1
zzyzx
yzyyx
xzxyx
1
1
1
n
m
l
n
m
l
Efectuando el producto matricial, e, identificando componentes, tenemos:
1z1zy1zx1
1yz1y1yx1
1xz1xy1x1
nmln
nmlm
nmll



Ecuaciones que determinan el sistema lineal homogéneo siguiente:
 
 
 
 









0nml
0nml
0nml
1z1zy1zx
1yz1y1yx
1xz1xy1x

262
Sistema lineal de ecuaciones homogéneas, que notación matricial se expresa:
 
 
 
 







































0
0
0
n
m
l
1
1
1
zzyzx
yzyyx
xzxyx
(Las incógnitas son los cosenos directores 111 n,m,l ).
Una condición del Álgebra Lineal, expresa:”Para que el sistema de ecuaciones
homogéneas   ó   admita soluciones diferentes de la solución trivial
 0nml 111  , es necesario que: 0)sdet(  “
En consecuencia, la condición requerida es:
 
 
 
0
zzyzx
yzyyx
xzxyx




Definición)
El determinante del anterior sistema de ecuaciones lineales homogéneas )sdet( se
denomina DETERMINANTE CARACTERISTICO. La ecuación 0)sdet(  se denomina
ECUACIÓN CARACTERÍSTICA. Las raíces de la ecuación característica se
denominan RAICES CARACTERÍSTICAS.
Nota:
Las raíces características vienen a ser los valores buscados del escalar λ. También se
denominan Valores Característicos.
Encontradas las raíces características, mediante el sistema   ó   se encontrarán
los cosenos directores correspondientes (Un juego para raíz característica).
Notas:
 Debido a que  es una matriz simétrica de orden 3, las tres raíces de la ecuación
característica son REALES (Teorema del Álgebra Lineal).
 Cada raíz característica es un valor del ESFUERZO PRINCIPAL. Por lo general,
las raíces se ordenan  321321 ó  .
 Sustituyendo el valor el valor de cada raíz característica en el sistema   ó   y
recordando que 1nml 222
 ; se determinan tres sistemas de COSENOS
DIRECTORES.
 Cada juego de cosenos directores, define una DIRECCIÓN PRINCIPAL. Puede
demostrarse que las tres DIRECCIÓNES PRINCIPALES son mutuamente
ORTOGONALES.
 En los planos principales NO actúan esfuerzos cortantes. En consecuencia, la
matriz que define el estado PRINCIPAL DE ESFUERZOS es una matriz diagonal:

263
00
00
00
3
2
1














Por esto, el proceso de calcular las raíces y los valores característicos, se denomina
DIAGONALIZACIÓN DE LA MATRIZ DE ESFUERZOS (Problema de vectores y
valores propios)-
 Al formular la ecuación características se obtiene un polinomio de la forma
03
2
2
2
1
3
 , donde
1 PRIMER INVARIANTE DE ESFUERZOS.
2 SEGUNDO INVARIANTE DE ESFUERZOS.
3 TERCER INVARIANTE DE ESFUERZOS.
Sus valores están dados por:
y
2
xzx
2
yzz
2
xyyzxzxyzyx3
2
yz
2
xz
2
xyxzzyyx2
zyx1
2 


EJEMPLOS
1) Hallar los esfuerzos principales correspondientes al estado de esfuerzos dado por
la matriz  pulglb
20080150
8000
15000
2











Ecuación Característica:
 
 
 
0
20080150
8000
15000




Desarrollando el determinante, obtenemos:
 
0900,28200
TICOCARACTERÍSPOLINOMIO
23
   
Resolviendo la ecuación característica, obtenemos las raíces características:
23.97;23.297;0 321 
Los esfuerzos PRINCIPALES son:
pulg
lb
23.97;0;
pulg
lb
23.297 21121 
2) El estado de esfuerzos en un punto es  MPa
100
031
013












 . Determinar los
esfuerzos principales y sus direcciones correspondientes.

264
 
 
 
0
100
031
013




Desarrollando el determinante, obtenemos:
    0131
2

Raíces Características: 4;2;1 321 
Esfuerzos Principales: MPa1;MPa2;MPa4 111 
MATRIZ DIAGONAL:  MPa
100
020
004











Direcciones Principales:
Para 4 :
El sistema   nos queda
0
0
0
n
m
l
4100
0431
0143
1
1
1


































De donde obtenemos las ecuaciones lineales:
0n0n3
ml0ml
ml0ml
11
1111
1111



Que las resolvemos con las condiciones 1nml
2
1
2
1
2
1 
10ll
2
1
2
1 
En consecuencia:
0n
21m
21l
1
1
1




Vector unitario correspondiente a la primera dirección principal:
 0,21,21N1 
Para 2 :
0
0
0
n
m
l
2100
0231
0123
2
2
2



































265
0n0n
ml0ml
ml0ml
22
2222
2222



Que las resolvemos con las condiciones 1nml
2
2
2
2
2
2 
1l2
2
2 
En consecuencia:
0n
21m
21l
2
2
2



Vector unitario correspondiente a la segunda dirección principal:
 0,21,21N2 
Para 1 :
0
0
0
n
m
l
1100
0131
0113
3
3
3


































3333
3333
m2l0m2l
2ml0ml2


 0ml 33 
1n1mnl 3
2
3
2
3
2
3 
Vector unitario correspondiente a la tercera dirección principal:
 1,0,0N3 
Nota:
LOS EJES PRINCIPALES 1-2-3 pueden referirse a los ejes iniciales x, y, z mediante
una tabla de cosenos directores:
Se define la matriz















100
02121
02121
B

La matriz diagonal  satisfacerá la condición:
T
BB 




































 











100
02121
02121
100
031
013
100
02121
02121
100
020
004
Encontrando los productos escalares N1
.
N2; N1
.
N3; N2
.
N3 se comprueba que las tres
direcciones principales con mutuamente ortogonales.
x y z
1 21 21 0
2 21 21 0
3 0 0 1

266
3) Dada la matriz de esfuerzos  MPa
202060
204040
604020













 , hallar los esfuerzos
principales y sus correspondientes direcciones.
 
 
 
0
202060
204040
604020




Desarrollando el determinante, obtenemos:   
CÚBICAECUACIÓN
23
0000,40600040 
Resolviendo la ecuación característica, obtenemos:
 MPa83.63;44.6;39.97 321 
Los esfuerzos principales son:
 
 
 MPa83.63-
MPa44.6
MPa97.39
1
1
1



 MPa
83.6300
044.60
0039.97












Direcciones principales
Reemplazando 39.971  en el sistema   ; o en su equivalente   ; obtenemos:
     
 
    0n39.9720m20l60
0n20m39.9740l40
0n60m40l39.9720
111
111
111



Que se resuelve condicionada con: 1nml
2
1
2
1
2
1 
Obtenemos:
4402.0n6116.0m6574.0l 111 
Que constituyen los cosenos directores de la ra
1 dirección principal.
Reiterando el procedimiento, obtenemos los cosenos directores de la rada
3y2
dirección principal:
7919.0n0807.0m6053.0l
4232.0n7871.0m4488.0l
333
222



267
A
B
Nota:
Es útil recordar las condiciones de ortonormalidad:
 
 
1cba
1cba
0ccbbaaBA
unitariosVectores
c,b,aB
c,b,aA
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
222
111





En todos los casos, las matrices  y caracterizan
el mismo ESTADO DE ESFUERZOS.
4) Para el estado de esfuerzos  pulglb
6000300
0500200
3002000
2










 se conoce que en
un punto dado, uno de los esfuerzos principales es 749  pulglb 2
¿Qué valor tiene el
esfuerzo de compresión máximo en el punto y qué dirección tiene?
Para facilitar las operaciones numéricas:
 pulglbK
6.003.0
05.02.0
3.02.00
2











Ecuación Característica:  
 
0
6.003.0
05.02.0
3.02.0




Desarrollando el determinante, obtenemos: 0069.017.01.1 23

Como un esfuerzo principal es 0.749  pulglbK 2
el polinomio característico debe ser
divisible por  0.749-
Efectuando la división, el cociente es:
00929.0351.02

Ecuación algebraica cuyas raíces son:
  ypulgKlb5275.0' 2
  2
pulgKlb1765.0'' 
Por tanto, el esfuerzo de compresión máximo es  2
pulgKlb1765.0
Para esa raíz característica, hallamos los cosenos directores correspondientes

268
x
y
'y
'x
0
30
0
30
0
0
0
n
m
l
1765.06.003.0
01765.05.02.0
3.02.01765.0

































Efectuando el producto se tiene las tres ecuaciones:
0n7765.0l3.0
0m6765.0l2.0
0n3.0m2.0l1765.0



Que se resuelve con la condición: 1nml 222

Obtenemos: 347.0n266.0m899.0l 
La dirección pedida es k347.0j266.0i899.0N 
5) Los esfuerzos principales en un punto son 1,000 y 500 2
pulglb ¿Qué valor tienen
los esfuerzos que actúan en la dirección de unos ejes que forman un ángulo de 30º, en
sentido horario, con los ejes principales?
Matriz de esfuerzos principales 






000,50
0000,1
()
Notar que se trata de un estado
bidimensional de esfuerzos.
x, y ejes principales
x’, y ejes principales
Encontramos la matriz rotación A







 

2321
2123
A
La matriz de esfuerzos en el sistema x’, y’ es:
T
AA' 
x y
X’ cos 30º cos 120º
Y’ cos 60º cos 30º

269
1
2
2
3
1 3
 
unitariovector
n,m,ln 






















 

2321
2123
000,50
0000,1
2321
2123
'
Efectuando el producto matricial triple, encontramos:
  

























 'pulglb
6253125
3125875
'
'y'y'x
'y'x'x2
2.5) Esfuerzos Octaédricos. Estados Medio y Desviador de Esfuerzos. Elipsoide
de Esfuerzos.
i) Esfuerzos Octaédricos
Un plano cuya normal forma ángulos, iguales con las DIRECCIONES PRINCIPALES
de esfuerzos, se denomina PLANO OCTAÉDRICO.







3
1
,
3
1
,
3
1
n
Propiedad: sobre un plano octaédrico actúan los esfuerzos:
 
     2
13
2
32
2
21OCT
321OCT
3
1
CORTANTE
3
1
NORMAL


En efecto, en el plano octaédrico donde 






3
1
,
3
1
,
3
1
n
El esfuerzo normal es:





























31
31
31
σ00
0σ0
00σ
3
1
,
3
1
,
3
1
3
2
1
OCT
Desarrollando los productos:

270
 321OCT σσσ
3
1

El vector esfuerzo sobre el plano octaédrico, es:























31
31
31
σ00
0σ0
00σ
3
2
1
P
3
σ
,
3
σ
,
3
σ 321
P







El esfuerzo cortante sobre el plano octaédrico, es:
 2
321
2
3
2
2
2
1
OCT
2
OCT
2
POCT
9
1
3333
1








Simplificando, puede escribirse:
     2
13
2
32
2
21OCT
3
1

ii) Estados Medio y Desviador de Esfuerzos
Muchos trabajos experimentales en laboratorios de ensayo y resistencia de materiales
han demostrado que el inicio de la fluencia, en varios tipos de materiales, depende de
la magnitud del esfuerzo normal  zyxm
3
1
 , al cual se denomina Esfuerzo
Normal Medio.
En varios problemas nos interesará descomponer el estado de esfuerzos   en una
superposición de dos ESTADOS: dm 
Donde: m Estado Medio de Esfuerzos (Estado esférico)
d Estado Desviador de Esfuerzos

271
















































mzyzxz
yzmyxy
xzxymx
zyzxz
yzyxy
xzxyx
3
zyx
00
0
3
zyx
0
00
3
zyx
Donde:
3
zyx
m


En el estado desviador de esfuerzos:
0
3
2
3
2
3
2
1
zyxzyxzyx
1







Si el material es elástico, lineal e isotrópico:
El cambio unitario de volumen es: 11
21



 es decir, para este caso 01 
Propiedad:
Como en el Estado Medio de Esfuerzos, no existen esfuerzos cortantes, no se
presentan distorsiones angulares. Es decir, el estado medio es responsable de los
cambios DE VOLUMEN (sin alterar la FORMA).
Como la deformación volumétrica unitaria es NULA en el Estado Desviador de
Esfuerzos, no se generan cambios de volumen. Es decir, el estado medio es
responsable de los cambios DE FORMA (sin alterar el VOLUMEN). Estas
consideraciones serán utilizadas al estudiar los criterios de Falla de Materiales.
Nota:
Diagonalizando la matriz del estado desviador de esfuerzos  d se determinarán los
ESFUERZOS DESVIADORES PRINCIPALES.
+=
y
x
z
xy
yx
xz
zx
yz
zy
xy
yx
xz
zx
yz
zy
mx 
my 
mz 
m
m
m
m
MEDIOESTADO

GENERALESTADO
d
DESVIADORESTADO


272
Ejemplo:
Hallar los esfuerzos desviadores principales asociados con la matriz de esfuerzos:
 MPa
100
0106
0610












 .
Encontramos la matriz del estado desviador, a partir de:
dm 
Estado medio:































700
070
007
3
11010
00
0
3
11010
0
00
3
11010
m
m
Estado desviador: md 


































6-00
036-
06-3
700
070
007
100
0106
0610
d
Sean s"" los esfuerzos principales desviadores.
Ecuación característica:
0
s-6-00
0s-36-
06-s-3

Desarrollando el determinante y simplificando, obtenemos:
   
MPa6sMPa3sMPa9s
:luego
03s9-ss-6-
321 

Son los esfuerzos desviadores principales.
iii) Elipsoide de Esfuerzos.
Definición: El lugar geométrico de los extremos de los vectores de esfuerzo total,
correspondientes a todos los planos que pasan por un punto, se denomina
ELIPSOIDE DE ESFUERZOS (ó ELIPSOIDE DE LAMÉ).

273
2
1
3
xP
yP
zP
La ecuación del elipsoide de esfuerzos puede ser referida al triedro de direcciones
principales de esfuerzo.
Vector esfuerzo P :



















































3
2
1
z
y
x
Pz
Py
Px
n
m
l
n
m
l
00
00
00
1ó1
1nml:Pero
l;l;l
2
3
2
Pz
2
2
2
Py
2
1
2
Px
2
3
Pz
2
2
Py
2
1
Px
222
3Pz2Py1Px






































Es la ecuación del elipsoide de esfuerzos.
El elipsoide de esfuerzos
representa la distribución
de las magnitudes del
esfuerzo total en un
ESPACIO DE
ESFUERZOS.
1 2
3
x y
z
P
p
 n,m,ln 
 n,m,lnunitarianormalconP,porpasaquePlano 

274
EJEMPLOS
1) En un punto P , los esfuerzos principales son 121  ; 32  ; 63  . Determinar
el vector esfuerzo y su componente normal en el plano octaédrico que pasa por P .
Cosenos directores del plano octaédrico nml 
3
1
nml1lll 222

Vector esfuerzo sobre el plano octaédrico:
k
3
6
j
3
3
i
3
12
36
33
312
31
31
31
600
030
0012
N
OCT
OCT
OCT








































 
La componente normal será NN
T
OCT  
3
31
31
31
600
030
0012
3
1
,
3
1
,
3
1
OCT
OCT































2) Probar que la componente normal del esfuerzo en un plano octaédrico es igual a
un tercio del primer invariante de esfuerzos.
Cosenos directores de un plano octaédrico:
3
1
nml 
Vector esfuerzo en el plano octaédrico:
k
3
j
3
i
3
31
31
31
00
00
00
N
321
OCT
3
2
1
OCT
OCT
































 
Componente normal del vector esfuerzo en el plano octaédrico:
NN
T
OCT  
































31
31
31
00
00
00
3
1
3
1
3
1
3
2
1
OCT
Desarrollando el producto, tenemos:

275
2
1
3
x y
z
P
 *
3333
321321
OCT








Dada la matriz














3
2
1
00
00
00
, el primer invariante de esfuerzos es la traza de la
matriz:
 **I 3211 
Comparando    :**y*
1OCT I
3
1

2.6) Esfuerzos Cortantes Máximos
Dado el estado general de esfuerzos mediante la matriz  , es posible determinar los
planos donde actúan los esfuerzos cortantes de máxima o mínima intensidad. Para
simplificar los desarrollos algebraicos, es conveniente trabajar con la matriz de
esfuerzos en el estado principal   .















3
2
1
00
00
00
s.principalesdireccione
detriedroalreferida
Al rotar el prisma, en sus caras actúan
nuevamente esfuerzos normales y
cortantes. El propósito es determinar los
valores EXTREMOS de los ESFUERZOS
CORTANTES y, a su vez, determinar los
planos donde estos actúan.
Sea  n,m,lN  entonces, las componentes del vector esfuerzo total, son:
P
máx

p
N
N
x
y
z
buscado
Plano s)principale
sdireccionelasa(referido
buscadoplanoalnormal
unitarioVector:N

276



















































3
2
1
z
y
x
Pz
Py
Px
n
m
l
n
m
l
00
00
00
Es decir: kljlil 321P 
La componente de esfuerzo normal N (sobre el plano buscado) es: NPN 
   
2
3
2
2
2
1N
321N
nml
knjmilknjmil

 
La componente de esfuerzo cortante, cumple la condición:
 2
3
2
2
2
1
2
Pz
2
Py
2
Px
2
2
N
2
P
2
nml
:decires;


Reemplazando las componentes PzPyPx ,,  dadas por (*) tenemos:
   **nmlnml 2
3
2
2
2
1
22
3
22
2
22
1
2

Como  depende de los cosenos directores (buscados) n,m,l al variar la dirección del
vector normal N , también variará la intensidad del esfuerzo cortante  .
 (ó 2
 ) resultan ser funciones de tres variables direccionales: n,m,l ; sujetas a la
ecuación de condición 1nml 222
 .
Estamos frente a un problema de valores extremos condicionados:
“Hallar los valores extremos de:
 nmlnml 2
3
2
2
2
1
22
3
22
2
22
1
2

con la ecuación de restricción 1nml 222
 ”.
El problema puede solucionarse por algún procedimiento de Optimización Matemática
(por ejemplo usando Multiplicadores de Lagrange)
Sea      ***1nmlnmlnmlF 2222
3
2
2
2
1
22
3
22
2
22
1 
Las condiciones de valor extremo son:
01nml;0
n
F
;0
m
F
;0
l
F 222









(Es evidente que el máximo de F también da el máximo de  )
Encontrando las derivadas parciales y simplificando, se plantea un sistema de cuatro
ecuaciones con cuatro incógnitas  ,n,m,l .

277
El sistema referido, es:
  
  
  
 ****
1nml
0nml2n
0nml2m
0nml2l
222
2
3
2
2
2
13
2
3
2
3
2
2
2
12
2
2
2
3
2
2
2
11
2
1




Un conjunto de soluciones para  **** y los correspondientes valores de los
esfuerzos cortantes asociados  *** , es:
 A
01n0m0l
00n1m0l
00n0m1l



Los esfuerzos cortantes dados por  A son evidentemente los VALORES MÍNIMOS.
Notar, además que las direcciones dadas por  A son las direcciones principales de
esfuerzos (por eso, los esfuerzos cortantes son NULOS).
Un segundo conjunto de soluciones de  **** , es:
 B
2
0n
2
1
m
2
1
l
22
1
n0m
2
1
l
22
1
n
2
1
m1l
21
13
32






De los tres valores  , el mayor es
2
13 
 puesto que los esfuerzos principales
están ordenados 321 
2
13
MÁ X

 que actúa en el plano cuya normal
tiene por cosenos directores.
Dicho plano, es el plano bisector del ángulo diedro formado por los planos principales
donde actúan el esfuerzo principal mayor  1 y el esfuerzo principal menor 3 .

278
Por ley de reciprocidad del esfuerzo cortante, en un plano perpendicular al plano de
esfuerzo cortante máximo, también actuará MÁX
 .
En resumen: Para calcular el MÁX
 , basta determinar los esfuerzos principales mayor,
menor 31, puesto que
2
13
MÁX

 . Mediante operaciones vectoriales es
posible encontrar el vector normal unitario correspondiente a los planos de esfuerzo
cortante máximo.
Nota. Se definen “Esfuerzos Cortantes Principales” a los valores dados por las
ecuaciones (B).
2
,
2
,
2
13
1
3
32
3
2
21
2
1






máx

3
1
045
0
45
principal
planoPrimer
principal
planoTercer
(Bisector)
MÁXIMOCORTANTES
ESFUERZOSdePlano
m
áx

m
áx

MÁXIMOCORTANTES
ESFUERZOSel
actúandondePlano

279
Donde los índices NO INDICAN FRACCIONES, sino es una convención para indicar
que el esfuerzo cortante actúa en el plano que forma 45º con los planos donde actúan
los esfuerzos principales respectivos.
( 
2
1 Indica que el cortante actúa en el plano bisector del diedro formado por los
planos donde actúan 21 y  ).
EJEMPLOS
1) El estado de esfuerzos en un punto es
1120
1260
005











 . Encontrar el máximo
esfuerzo cortante.
Ecuación característica: 0
1120
1260
005




Desarrollando el determinante, obtenemos las raíces características mediante la
ecuación.     010155  10155 321 
Esfuerzos principales: 15510 321 
Luego el esfuerzo principal máximo es 5.12
2
)15(10
2
13
MÁX




 (en las
mismas unidades que los esfuerzos dados en la matriz)
Este esfuerzo actúa en los planos bisectores de los planos principales donde actúan






1
331 y .
2) En un punto P los esfuerzos principales son tales que 3122  . Encontrar el
vector normal unitario del plano en el que
4
y 31
2N

 .
2
1
3
2
1
3
2
1 3
2
1
3
)Normales(
incipalesPrEsfuerzos
incipalesPrtestancorEsfuerzos
cosCúbi
Elementos

280
Con respecto a las direcciones principales, el esfuerzo normal N está dado por
2
3
2
2
2
1N nml  . El esfuerzo cortante está dado por
 nmlnml 2
3
2
2
2
1
22
3
22
2
22
1
2

Condiciones del problema:
3122 
4
;
4
;
4
3131
N
31
2






Reemplazando en las educaciones para  yN , tenemos:
 
 **
4
nm
2
l
4
*nm
2
l
2
3122
3
2
2
3122
1
2
31
22
3
2312
1
31






 





 





 



Además, teneos la condición:  ***1nml 222

A partir de las ecuaciones  * y  *** se obtienen de la condición:
   nl0ln 22
31 
Reemplazando “n” por “l ” en la ecuación  ** y teniendo presente que la condición
 *** ahora es 22
ml21  , obtenemos:
8
1
l2
 ; de donde
2
1
l  . Por consiguiente
2
1
n  .
De 22
ml21  obtenemos:
2
3
m 
El vector normal unitario, es









22
1
,
2
3
,
22
1
N
Nota: Los valores negativos de n,m,l ; definen el otro sentido del mismo vector.
3) Para la matriz de esfuerzos
)5(0a
2
1
aaaa
)4(0
2
1
aa0
2
1
3
1
a
3
1
a
3
1
)3(0aaa0a
3
1
a
3
1
a
3
1
z'yy'zy'yx'zx`y
y'zx'xy'zx'x
z'yy'yx'yz'yy'yx'y






determinar los esfuerzos
principales, el máximo esfuerzo cortante y el esfuerzo cortante octaédrico.

281
x
y
z
y
x
xy
xy
y
x
Estado bidimensional de esfuerzos
Ecuación característica:
Desarrollando el determinante y
simplificando:
Las raíces características son: -49.951''951.63' 
Por consiguiente, los esfuerzos principales son
MPa951.63=σMPa951.63=σ 21
En este caso, el máximo esfuerzo cortante, es:
MPa951.56
2
951.49951.63
2
MÁX
21
MÁX





El esfuerzo cortante octaédrico, es:
     
     
MPa62.46
951.63951.4995.49951.63
3
1
3
1
OCT
222
OCT
2
31
2
32
2
21OCT



Nota: Recordar que los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo NO se
representan en los mismos planos.
Los esfuerzos bidimensionales se presentan en innumerables aplicaciones de la
Mecánica de Sólidos. Por su utilidad, en la sección siguiente estudiaremos en detalle
el caso del Estado Bidimensional de Esfuerzos (denominado también ESTADO

282
x
y
z
x
xy
yx
xy
yx
y
y
x
y
x
xy
xy
y
x
x
y
PLANO DE ESFUERZOS). Una aplicación importante del estado plano de esfuerzos,
es el estudio de los Recipientes de Pared Delgada sometidos a presión.
2.7) Estado Plano de Esfuerzos
2.7.1) Definiciones
Si dos caras paralelas de un elemento prismático, representativo del estado de
esfuerzos en un sólido, están LIBRES DE ESFUERZO se presentan EL ESTADO
PLANO DE ESFUERZOS.
Seleccionemos al eje z como el eje perpendicular a las caras libres de esfuerzo.
La matriz de esfuerzos, es:
zyzxz
yzyxy
xzxyx














Que para el caso, puede representarse:
yxy
xyx











(Matriz representativa del estado de plano
de esfuerzos).
Esfuerzos del estado plano con signo
positivo (CONVENIO).
2.7.2) Transformación de Esfuerzos Bidireccionales
El estado plano de esfuerzos es bastante usado y útil, por cuanto aproximadamente
corresponde a innumerables situaciones físicas de interés en Ingeniería.
En esta sección estudiaremos las ecuaciones de transformación de esfuerzos, cuando
se cambia el sistema de coordenadas de referencia. Sólo analizaremos el caso de
rotación de coordenadas, dejando el eje “z” invariante.

283
y
x
'y
'x
''
YX

''
YX

'
X

'
Y

'
Y

'
X



Nota: Tener en cuenta que estamos frente a un caso particular de la transformación de
esfuerzos estudiaremos en la sección 2.3.2.
Para el caso, el estado de esfuerzos (en el sistema rotado) viene dado por la matriz













000
0
0
'y'y'x
'y'x'x













000
0
0
'y'y'x
'y'x'x
La matriz transformación de coordenadas es:













100
0cossen
0sencos
A
La matriz de esfuerzos  en el sistema rotado, se expresa por T
AA' 
Luego:

















































100
0cossen
0sencos
000
0
0
100
0cossen
0sencos
000
0
0
yyx
xyx
'y'y'x
'y'x'x
X y z
x’ cos 







2
cos
2
cos

y’ 







2
cos cos
2
cos

z’
2
cos

2
cos

0cos

284
Desarrollando los productos matriciales, e identificando los respectivos elementos,
tenemos:
     *
cossen2cossen
sencoscossen
cossen2sencos
xy
2
y
2
x'y
22
xyyx'y'x
xy
2
y
2
x'x



Conviene expresar las ecuaciones  * en términos del ángulo doble:
   
 
   
 **
2sen2cos
2
1
2
1
2cos2sen
2
1
2sen2cos
2
1
2
1
xyyxyx'y
xyyx'y'x
xyyxyx'x



Las ecuaciones  * o sus equivalentes  ** son las ecuaciones de transformación de
esfuerzos planos por rotación de coordenadas.
Nota:
Observar que  yx'yx' primer invariante de esfuerzos (sumar la primera y
tercera de las ecuaciones  ** )
2.7.3) Esfuerzos Principales
Ecuación característica: 0
yyx
xyx



Desarrollando el determinante obtenemos:     0
2
xyyxyx
2

Raíces característica:
   
2
4
2
xy
2
yxyx
1


   
2
4
2
xy
2
yxyx
2


Los Esfuerzos Principales, son:
   
   
2
4
2
4
2
xy
2
yxyx
1
2
xy
2
yxyx
1





285
Para determinar p haremos
0'y'x 
(Condición para Esfuerzos
Principales).
  02cos2sen
2
1
pxypyx 
de donde obtenemos:
yx
xy2
2tan



La ecuación anterior define dos valores de p2 separados 180º y, por tanto, define dos
valores de p separados 90º (Uno corresponde a la dirección x’ y el otro a la dirección
y’).
Def.) Las direcciones x’, y’ a lo largo de las cuales actúan los esfuerzos principales se
denominan Direcciones Principales. Los planos donde actúan los esfuerzos
principales, se denominan Planos Principales.
2.7.4) Esfuerzo Cortante Máximo.
Efectuada la rotación de coordenadas, el esfuerzo cortante es,
   2cos2sen
2
1
xyyxxy
para hallar su valor máximo, hacemos 0
d
d 'y'x



de donde obtenemos
xy
yx
s
2
2tan



p
x
y
'y
'x
2
1
2
1
y
x
y
x
xy
xy
sprincipaleesfuerzosdeEstado
sprincipaleplanos
p
x
y
'y
'x
2
1
2
1

286
Ecuación que nos permite calcular dos valores s2 separados entre sí 180º .Por
consiguiente, obtenemos dos valores de s separados entre si 90º.
La magnitud del máximo Esfuerzo Cortante, es:
  





















xy
yx
xy
xy
yx
yxMÁX
2
arctancos
2
arctansen
2
1
Evaluando la composición de funciones, tenemos:
  xy
22
xyxy
2
2
yx
MÁX
4
2
1
2







 

Si efectuamos la diferencia de esfuerzos principales   xy
2
xy21 4
En consecuencia:
2
21
MÁX


(Coincidente con las expresiones para el caso general).
Notas)
1. Consideremos las ecuaciones para determinar los s correspondientes a los
esfuerzos principales y al esfuerzo cortante máximo.
yx
xy
p
2
2tan


 (Esfuerzos Principales)
 
xy
yx
s
2
2tan


 (Esfuerzo Cortante Máximo)
MÁX

'y
'x
'y
'x
'S
'x
'y
x
y
MáximoCortanteEsfuerzodePlanos

287
Observemos que p2tan  12tan s  que es la condición de perpendicularidad. En
consecuencia p2 y s2 están separados 90º.Por tanto p y s están separados 45º.
 
s.principaleesfuerzos
deplanoslospor
formadodiedro
delbisectoresson
τdeplanosLos
finalizaral2.6.2,SecciónRecordar
MÁX










MÁX
deplano
alnormalDirección

1S
1P
º451P1S 
 1
PRINCIPAL
DIRECCION


2
PRINCIPA
L
DIRECCIO
N

2P
2S º452p2S 
MÁX
de
plano
al
normal
Dirección


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