12.juego

El juego como recurso didáctico
en el aula de Matemáticas
Adela Salvador
Universidad Politécnica de Madrid

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Introducción
¿Se debe jugar en la clase de
Matemáticas?
Ventajas e inconvenientes
¿Qué es un juego?
Fases, estrategias... de un juego
– Análisis de algunos juegos
¿Juego cooperativo?
Más juegos

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Introducción
Es importante potenciar la reflexión de los
alumnos y alumnas sobre la actividad
manipulativa que desarrollan, pues esta
reflexión es la base para la construcción de
sus propias ideas matemáticas.
Por esta razón, el papel de los recursos en el
aula de matemáticas cobra una importancia
cada vez mayor, considerándose incluso el
interés de tener un "taller de matemáticas" o
"laboratorio de matemáticas".
En particular considerar al juego como un
recurso

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¿Se debe jugar en la clase de
Matemáticas? Debate
Un grupo debe defender que una clase
de Matemáticas es algo serio, donde
nunca se debe jugar.
Otro grupo debe defender que el juego
puede ser adecuado y beneficioso en la
clase de Matemáticas
Cada grupo debe aportar razones

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Un juego bien elegido puede servir para
introducir un tema, ayudar a
comprender mejor los conceptos o
procesos, afianzar los ya adquiridos,
adquirir destreza en algún algoritmo o
descubrir la importancia de una
propiedad, reforzar automatismos y
consolidar un contenido.

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Ayuda a los estudiantes a adquirir altos
niveles de destreza en el desarrollo del
pensamiento matemático.
Sirve para enseñar contenidos y estrategias
de la resolución de problemas.
Una clase con un juego es una sesión
motivada desde el comienzo hasta el final,
produce entusiasmo, diversión, interés,
desbloqueo y gusto por estudiar matemáticas.
Atiende las peculiaridades individuales de
cada alumno(a).

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Mediante el juego el alumnado no sólo
se divierte, sino que desarrolla su
personalidad y estado anímico.
Un niño que no juega no es feliz.
Un juego conduce al estudiante a la
conquista de su autonomía, y a la
adquisición de una conducta que le
ayudará en sus actividades.

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Según Piaget, los juegos ayudan a construir
una amplia red de dispositivos que permiten
al niño la asimilación total de la realidad,
incorporándola para revivirla, dominarla,
comprenderla y compensarla. De tal modo el
juego es esencialmente de asimilación de la
realidad por el yo.
Piaget. (1985): “Seis estudios de Psicología”. Ed. Planeta.
Barcelona. Pág. 20.

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Otro autores argumentan que a través del juego se
crea un espacio intermedio entre la realidad objetiva y
la imaginaria, lo que permite realizar actividades que
realmente no se podrían llevar a cabo.
Esta idea fue compartida por Vigosky, que menciona
que este espacio supone una zona de desarrollo
potencial de aprendizaje.
El juego promueve el conocimiento de los objetos y su
uso.
Se distinguen dos tipos de juegos, uno libre y otro
juego estructurado mediante reglas. Cualquiera de los
dos son necesarios para el desarrollo intelectual y
social.

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Miguel de Guzmán, relaciona al juego y la
enseñanza de las matemática mediante el
siguiente pensamiento:
“El juego y la belleza están en el origen de
una gran parte de la matemática. Si los
matemáticos de todos los tiempos se la han
pasado tan bien jugando y han disfrutado
tanto contemplando su juego y su ciencia,
¿por qué no tratar de aprender la matemática
a través del juego y de la belleza?”

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"La matemática ha sido y es arte y
juego y esta componente artística y
lúdica es tan consubstancial a la
actividad matemática misma que
cualquier campo del desarrollo
matemático que no alcanza un cierto
nivel de satisfacción estética y lúdica
permanece inestable"
GUZMÁN, M. (1989): Juegos y matemáticas Revista SUMA, nº4,
61-64.

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Teorías matemáticas muy importantes
han surgido teniendo como origen algún
juego o pasatiempo lo que nos lleva a
pensar que el juego ayuda en el
desarrollo intelectual fomentando la
creatividad y el ingenio.

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El juego constituye una forma de relación y
comunicación entre el alumnado y un
instrumento de asimilación e integración en el
mundo de los adultos. Tiene un claro valor
educativo y resulta ser un valioso elemento
metodológico. Sin embargo, nuestro sistema
educativo lo considera una actividad poco
"seria", no adecuada para los procesos de
aprendizaje que tienen lugar en el aula.

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El juego es un instrumento didáctico que
puede ayudarnos en una pedagogía activa, a
"hacer matemáticas en la clase de
matemáticas", frente un aprendizaje pasivo y
verbalista; a tener en cuenta los procesos
intelectuales y los afectivos, al intercambio de
actitudes y puntos de vista, a la participación
activa, al trabajo colectivo, a propiciar la
creatividad y la imaginación.

Adela Salvador 15
Es también un elemento de motivación, de
estimulación y exploración.
Mediante el juego se pueden crear situaciones de
máximo valor educativo y cognitivo que permitan
experimentar, investigar, resolver problemas,
descubrir y reflexionar.
Todo esto puede ser conducido a la construcción del
conocimiento, al aprendizaje significativo.
Las implicaciones de tipo emocional, el carácter
lúdico, el desbloqueo emocional, la desinhibición,
son fuente de motivación, es una forma distinta de
acercarse al conocimiento muy diferente de la que
tiene lugar en las situaciones de aprendizaje
tradicionales.

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Es importante destacar el papel del
profesorado durante el juego como agente
orientador de los procesos de aprendizaje de
matemáticas por los alumnos y alumnas.
Se puede jugar sin aprender nada.
Lo importante es saber sacar partido de las
ventajas del juego para el aprendizaje.

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En los juegos puede encontrarse una gran
riqueza matemática y, por otra parte muchos
profundos teoremas matemáticos tienen una
formulación o la apariencia de un juego
(teorema de los cuatro colores, problema del
billar triangular, problema de la aguja). Al
analizar los juegos podemos encontrar en
ellos gran riqueza en temas matemáticos y
muchas posibilidades para promover el
aprendizaje de las Matemáticas.

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De la misma forma que el
investigador matemático se plantea
los problemas en forma de juego,
la mejor manera de despertar el
interés y el deseo de descubrir a
los alumnos y alumnas es
presentando un juego, una
paradoja, un truco de magia o una
experiencia.

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Un juego bien elegido desde el
punto de vista metodológico puede
servir para introducir un tema,
ayudar a comprender mejor los
conceptos o los procesos, afianzar
los ya adquiridos, adquirir
destreza en un algoritmo o
descubrir la importancia de una
propiedad, reforzar automatismos o
consolidar un contenido.

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Es una fuente de ideas con la que
interesar a los alumnos y alumnas
por las matemáticas. Las ventajas
de este recurso didáctico son
innumerables: entusiasmo,
diversión, interés, desbloqueo,
motivación. Las matemáticas se
verán como algo útil y lleno de
interés.

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Para seleccionar
adecuadamente los juegos es
necesario conocer las
necesidades e interés de
aquellos a los que vayan
dirigidas las actividades.

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Es inherente al juego la utilización de:
una pedagogía activa,
un trabajo en grupo donde se fomentará
el desarrollo de la expresión oral,
la reflexión acerca del razonamiento seguido
para llegar a una solución,
ya que al jugar los alumnos y alumnas deben
hablar, discutir, compartir, para después
comprobar y explicar.

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En resumen:
Las Matemáticas son arte y juego, y
en los juegos hay Matemáticas.

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¿Qué es un juego?
El diccionario de la Real Academia,
menciona varias acepciones, y de ellas,
la primera dice:
“Ejercicio recreativo sometido a reglas y
en el que se gana o se pierde”.

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¿Qué es un juego?
“Gran Enciclopedia Larousse” define el
juego como:
“Actividad de orden físico o mental, no
impuesta que no busca ningún fin
utilitario, y a la que uno se entrega para
divertirse y obtener placer”.

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¿Qué es un juego?
Analizando ambas definiciones se
observa que los elementos que
caracterizan a un juego son:
Actividad recreativa, sirve para
divertirse
Puede ser una actividad tanto física
como mental
Existen unas reglas a las que atenerse
No busca ningún fin utilitario.

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¿Qué es un juego?
El niño o la niña juega y con el
juego se prepara para la vida. La
persona adulta también juega. El
juego es una actividad
diferenciada de la vida cotidiana
que produce placer y debe tomarse
en serio. Es una actividad libre,
pero con una cierta función. Tiene
sus reglas.

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¿Qué es un juego?
Un juego comienza estableciendo unas
reglas que definen la función de unos
objetos, de igual forma que comienza una
teoría matemática. Al jugar se adquiere
práctica con esas reglas y se adquieren
técnicas que dan buen resultado. Son los
ejercicios elementales y la adquisición de
automatismos. Podemos continuar
estableciendo paralelismos entre las
características del juego y de las
Matemáticas.

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Los procesos de pensamiento útiles
en el desarrollo de la matemática
son, por la semejanza entre
matemática y juego, los mismos que
se desarrollan en el juego. Las
fases de la resolución de
problemas, las estrategias
heurísticas, los métodos y
herramientas son similares a los
que pueden utilizarse en la
exploración de un juego.

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En un juego se encuentran las
siguientes fases:
1ª fase de juego de libre
desarrollo,
2ª fase de creación de relaciones
de comunicación con los demás,
3ª fase de situación de juego
simbólico y
4ª fase de expresión de la
creatividad.

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1.- Comprender el problema o reglas de
juego
En un problema:
– Comprender qué se pide.
– Comprender qué quiero encontrar
– Comprender qué datos tengo
En un juego
– Comprender los requisitos.
– Comprender los movimientos.
– Comprender cómo se gana

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2.- Concebir un plan
En un problema
– Existe un problema parecido
– Formular conjeturas
– Seleccionar posibles estrategias
En un juego
– ¿He jugado algún juego similar?
– Seleccionar posibles estrategias

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3.- Ejecutar el plan
En un problema
– Examinar la validez de cada conjetura
En un juego
– ¿Qué movimientos de ataque oposición
hacen que el jugador progrese?

Adela Salvador 34
4.- Examinar el resultado
Se ha resuelto el problema:
– ¿Cuál es la estrategia general?
– ¿Se puede usar otra estrategia?
– ¿Funciona con otros problemas similares?
– Modifica el problema.
En un juego
– ¿Es la estrategia seleccionada la mejor posible?

Análisis de juegos
El juego de la rana

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EL JUEGO DE LA RANA
3.- EDAD DE LOS ALUMNOS(AS): 12-13 años
4.- CLASE DE JUEGO: Juego de estrategia.
Solitario - cooperativo
5.- MATERIAL NECESARIO: Una ficha diseñada
6.- COMPETENCIAS: Realiza el juego con el
menor número de movimientos. Intercambiando
las posiciones de las fichas negras con las blancas
Brihuega, J; Molero, M; Salvador, A. (1996): “Didáctica de
las Matemáticas”. Edit. Complutense Madrid. Pág. 141.

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Enunciado:
Se necesitan un cierto número de fichas de
dos colores, blancas y negras por ejemplo.
Se colocan las fichas blancas a la izquierda
de un espacio libre y a la derecha las fichas
negras.
El objetivo del juego es, con el menor número
posible de movimientos, intercambiar las
posiciones de las fichas
Las reglas son las siguientes:
1.- Las fichas blancas sólo pueden moverse hacia la derecha y
las negras sólo hacia la izquierda.
2.- Una ficha puede moverse a una casilla adyacente si está
vacía.
3.- Una ficha también puede saltar, sobre otra de distinto color,
a una casilla vacía, en el sentido permitido.
Cada movimiento consiste en mover una sola ficha

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Ha sido tratado por muchos autores:
BELL, A. W. (1976): The Learning of General Mathematical
Strategies, Univ. Nottingham.
HERNÁN, F. (Grupo Cero de Valencia) (1985): Investigaciones
"Nueva Revista de Enseñanzas Medias", nº 7.
MERCHÁN F. (1994): El salto de la rana. Revista "Suma" nº 14-
15, 50-59.
MORATA, M. (1994): Los Juegos en la Educación Matemática,
taller de "Matemáticas y Coeducación. Jornadas sobre
Matemáticas y Coeducación", Ed. OECOM "Ada Byron".
Madrid.
Además de por:
Brihuega, J; Molero, M; Salvador, A. (1996):
“Didáctica de las Matemáticas”. Edit. Complutense
Madrid. Pág. 141.

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EL JUEGO DE LA RANA
Antes de seguir leyendo juega
un poco para comprender las
reglas del juego y su
dificultad.

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EL JUEGO DE LA RANA
Al proponer el juego a un grupo de
alumnos y alumnas comienzan jugando.
Esta fase se corresponde con la fase
introductoria o "de abordaje" de la
resolución de problemas. Es
comprender las reglas del juego. El
profesor/a deja un tiempo de juego libre
sin intervenir más que para aclarar, si
es preciso, las normas.

Adela Salvador 41
EL JUEGO DE LA RANA
En la fase exploratoria se seleccionan
posibles estrategias. Por ejemplo podemos
seleccionar particularizar. Propone el
profesor/a que primero se juegue con sólo
dos fichas una de cada color y rápidamente
todos ven que con tres movimientos se
consigue el objetivo. Después propone jugar
con dos, tres, cuatro, cinco fichas y
confeccionar una tabla.

Adela Salvador 42
EL JUEGO DE LA RANA
Comienzan las complicaciones. Deben
buscarse estrategias ganadoras. Estamos en
la fase de ejecutar el plan. A la vista de las
tablas ¿estamos seguros que son los
mínimos movimientos? Los alumnos y
alumnas van jugando y discutiendo en el
grupo sus estrategias de juego y sus tablas.
Llegan a un acuerdo respecto de la tabla: "El
número de movimientos son: 3, 8, 15, 24, 35,
..."

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EL JUEGO DE LA RANA
Hasta ahora el juego lo hemos podido
utilizar para aplicar el concepto de
sucesión, el término n-ésimo de una
sucesión o incluso utilizar diferencias
finitas para calcularlo.

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EL JUEGO DE LA RANA
En la siguiente fase deben buscar una
fórmula que generalice el resultado e
intentar probarla.
Hacen la conjetura de que la fórmula
buscada es:
an=n2+2n.

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EL JUEGO DE LA RANA
Otras estrategias que pueden emplear para
recordar cuales han sido los movimientos
que van haciendo es buscar una buena
notación. Llamar 0 al hueco inicial, y
numerar con números positivos las
posiciones de la derecha y con negativos a
los de la izquierda. Podemos indicar el primer
movimiento de la ficha blanca como (-1,0) si
va de la casilla -1 a la casilla 0, y el primer
movimiento de la ficha negra como (1,-1) si
salta de la casilla 1 a la casilla -1.

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EL JUEGO DE LA RANA
Se pueden representar gráficamente
estos pares ordenados y buscar
pautas y regularidades. Buscar una
recursión. Es conveniente que analices
las estrategias heurísticas que tu has
empleado.

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EL JUEGO DE LA RANA
Veamos ahora como un juego tan sencillo
puede utilizarse como elemento motivador de
otros muchos contenidos del curriculo. Al
representar los pares ordenados estaremos
aplicando conceptos como par ordenado,
abscisa, ordenada, ejes de coordenadas.
Si ahora el profesor/a pide que se unan
mediante una poligonal los pares ordenados
que representan cada movimiento, por orden,
desde el primero hasta completar el juego, se
obtendrán distintas figuras según el número
de fichas.

Adela Salvador 48
EL JUEGO DE LA RANA
Al observar estas figuras y compararlas entre
si, se pueden trabajar conceptos
geométricos. Por ejemplo, las figuras
obtenidas son simétricas respecto a la
bisectriz del segundo y cuarto cuadrante.
Cada figura contiene a las figuras obtenidas
con un número menor de fichas. Los puntos
correspondientes a fichas de un mismo color
están a un mismo lado de la recta y=x, en un
mismo semiplano. Si comienzan jugando las
otras fichas, las figuras ahora obtenidas son
simétricas a las anteriores, de eje de simetría
la recta y=x.

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EL JUEGO DE LA RANA
También se puede calcular el área encerrada
por estas figuras. Todas las figuras son
cerradas excepto para el caso de una sola
ficha de cada color. Se revisa el cálculo de
áreas de cuadrados, rectángulos, triángulos,
trapecios, paralelogramos... Al preguntarnos
cuanto vale el área total según el número de
fichas, tenemos un nuevo ejemplo de
sucesión, que ahora es una progresión
aritmética de término general 8n-7.

Adela Salvador 50
EL JUEGO DE LA RANA
Por último, F. Hernán comenta
que es posible plantear este
mismo juego de forma mucho
más abierta, permitiendo que
alumnos y alumnas elaboren
las reglas del juego. De este
modo la riqueza de
posibilidades aumenta.

Adela Salvador 51
EL JUEGO DE LA RANA
En resumen:
Este juego puede servirnos para
aplicar técnicas de resolución de
problemas analizando fases,
métodos, estrategias heurísticas y
la búsqueda de un modelo
matemático.
Puede utilizarse como elemento
motivador para introducir o para
aplicar conceptos en sucesiones o
en geometría.

Adela Salvador 52
Llegar a cien
Vamos a analizar un juego,
fácil de jugar, que ilustra
bien las técnicas de
resolución de problemas en el
aula, y que tiene una
estrategia ganadora sencilla,
pero no obvia. Es un juego de
dos jugadores.

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Llegar a cien
Cada jugador/a elige por turnos un
número entre 1 y 10 y lo suma a los
números elegidos anteriormente. Gana
el primer jugador/a que consigue sumar
exactamente cien. ¿Puedes hallar
alguna estrategia ganadora?

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Llegar a cien
Antes de seguir leyendo,
juega.

Adela Salvador 55
Llegar a cien
Para proponer este juego en el aula
sugerimos las siguientes pautas:
Jugar en la pizarra, en voz alta, algunas
partidas, para aclarar las reglas del juego.
Dejar jugar a los alumnos y alumnas
libremente, durante un corto espacio de
tiempo. Es la fase de libre desarrollo del
juego. Podemos animar a que anoten las
partidas para luego poder reflexionar sobre
ellas.

Adela Salvador 56
Llegar a cien
En la segunda fase, de creación de relaciones, el
profesor/a invita a comenzar el análisis del juego.
Posibles sugerencias son:
a) Particularizar, simplificando el juego: llegar sólo
hasta 20, elegir números entre 5 y 10, partir de un
valor próximo a cien y desde ese punto terminar la
partida.
b) Analizar si hay elecciones buenas o malas.
c) Suponer el problema resuelto: buscar
posiciones desde las que siempre se pueda ganar, o
buscar posiciones desde las que se pueda llegar a
una posición ganadora.
El profesor/a anota, en la pizarra, una lista de los
descubrimientos del alumnado.

Adela Salvador 57
Llegar a cien
La tercera fase de situación de juego
simbólico comienza solicitando a los alumnos
y alumnas que hagan una conjetura, que
escriban una descripción de una regla que
permita ganar siempre la partida y
comprueben la regla.
¿Es posible ganar a alguien que aplica esa
regla?
¿Se puede convencer al resto que esa
estrategia es ganadora?
Cada alumno o alumna debe confeccionar y
entregar un informe donde explique sus
hallazgos y sus métodos.

Adela Salvador 58
Llegar a cien
La cuarta fase de expresión de la creatividad
consiste en modificar el juego, en generalizarlo.
Posible sugerencias son:
i) Suponer que el primero que llega a cien pierde.
ii) Acotar de otra forma los números que se pueden
sumar.
iii) Ganar el primero que llega a 127.
iv) Sólo poder sumar 5, 10 o 25 y ganar el primero
que llega a cien.
Permitir que elaboren un trabajo de investigación y
escriban sobre su propio juego es una forma de
expresión de la creatividad.

Adela Salvador 59
Juego cooperativo
El juego cooperativo se caracteriza, por
eliminar la competencia, no hay nadie
que pierda o gane. La meta que se
persigue no es ganar sino obtener un
determinado objetivo de equipo, éstas
actividades constituyen los contenidos
transversales de la educación.

Adela Salvador 60
Juego cooperativo
Es una primera reflexión para hablar de
educación para la paz si nos proponemos
actividades sin competición y sin necesidad
de que trabaje uno en contra de otro. Porque
la competición produce sentimiento de
frustración y hace sentir a las personas como
torpes. Los juegos cooperativos favorecen el
desarrollo de capacidades nuevas a quienes
por sus limitaciones se ven excluidos o se
autoexcluyen en el aula.

Adela Salvador 61
Juego cooperativo
A nadie nos gustan las situaciones
opresivas, en las que en lugar de
preocuparnos por nuestro trabajo,
tengamos que intranquilizarnos por los
fallos, la crítica o el rechazo. Eliminar
que se den este tipo de situaciones
hará que todo el trabajo sea mucho
más relajado, mucho más creativo y
mucho más humanizado.

Adela Salvador 62
Juego cooperativo
No se trata en absoluto de obligar a
cooperar a los alumnos y alumnas
porque “haya que ser solidarios”, sino
de ofrecer situaciones, cada vez más,
que fomenten la amistad, la
colaboración y el trabajo en grupo como
algo necesario y divertido, sin
necesidad de que alguien gane o
pierda.

Adela Salvador 63
Juego cooperativo
Investigaciones recientes muestran que
la interacción y la cooperación entre al
alumnado cuando se enfrentan a las
metas de grupo y la búsqueda común
de estrategias para la resolución de un
determinado problema suelen ofrecer
mejores resultados.

Adela Salvador 64
Juego cooperativo
Terry Orlick, en su libro “Libres para
cooperar, libres para crear” afirma:
Lo mágico de los juegos cooperativos
gira en torno a varias libertades que
ayudan el desarrollo de la cooperación,
de los buenos sentimientos y del apoyo
mutuo.

Adela Salvador 65
Juego cooperativo
Libres para competir
La estructura interna de los juegos
cooperativos rechaza la competición.
Las personas que aceptan el éxito
competitivo, no sólo son capaces de destruir
a otros sino también destruirse a sí mismas y
a sus familiares, manifestando altos niveles
de angustia, depresión, agresividad
destructiva y abandono.

Adela Salvador 66
Juego cooperativo
Libres para crear
Construir cooperativamente es crear, es
sinónimo de echar cimientos para una
sociedad pacífica. Los juegos cooperativos
han desarrollado el pensamiento creativo de
diversos pueblos y continuarán haciéndolo
evitando que los participantes se involucren
en tareas estáticas y rígidas.

Adela Salvador 67
Juego cooperativo
Libres de exclusión
Los juegos competitivos expulsan a las
personas brutalmente, alimentando
sentimientos de rechazo y desconfianza
eliminado mejorar destrezas. En este
sentido los juegos verdaderamente
cooperativos rechazan dividir a los
jugadores en ganadores y perdedores.

Adela Salvador 68
Juego cooperativo
Libres para elegir
Cuando tratamos al alumnado como seres
autónomos responsables, comienza a
comportarse como persona capaz de sentirse
importante y se mejora el control personal
resolviendo muchos problemas, logrando
tomar decisiones por sí mismas. Una
experiencia temprana de cooperación,
creatividad y elección permitirá a más
personas ser más felices en la cooperación y
más sanos en la competición

Adela Salvador 69
Juego cooperativo
Libres de agresión
En las sociedades pacíficas los
alumnos son libres de agresión y ésta
se consigue cuando los juegos son
cooperativos.

Adela Salvador 70
Juego cooperativo
“Una vez que los niños y niñas están
familiarizados con diversos tipos de
actividades y diferentes maneras de jugar
juntos de forma constructiva, se encuentran
en una mejor posición para elegir entre
opciones cooperativas, competitivas e
individuales. Una experiencia temprana de
cooperación, creatividad y elección permitirá
a más personas ser más felices en la
cooperación y más sanos en la competición.
(Orlick; 1995).

Adela Salvador 71
Juego cooperativo
“La característica distintiva de los juegos
cooperativos frente a todos los otros juegos,
viejos o nuevos, es su estructura interna. Los
juegos cooperativos han desarrollado el
pensamiento creativo de diversos pueblos y
continúan haciéndolo, nunca deberían ser tan
rígidos y estáticos que impidieran la entrada
a la creatividad y a la sensibilidad de los y las
participantes. Ninguna regla debería verse
como algo inflexible”
(Orlick; 1995).

Adela Salvador 72
Juego cooperativo
Una actividad interesante desde el punto de
vista del análisis de juegos cooperativos
consiste en modificar juegos tradicionalmente
competitivos en otros en los cuales la
colaboración entre los y las participantes es
necesaria para concluir el juego. Resulta un
ejercicio de imaginación, que no siempre es
fácil, y en el que hay reflexionar hasta llegar
a algo que sea realmente bueno, pero
cuando se consigue los resultados son más
que gratificantes.
Taller: Hacer que el juego de la rana y llegar
a cien sean juegos cooperativos

Adela Salvador 74
Algunos juegos
1. LA MOSCA ANTOJADIZA
2. LAS TORRES DE HANOI
3. CUATRO OPERACIONES
4. EL DADO GANADOR
5. CUADRADOS MÁGICOS
6. TRIÁNGULO MÁGICO
7. NÚMEROS CURIOSOS
8. JUEGO CON EDADES
9. LLEGAR AL CIELO
10. ESTRELLA DE ORO
11. SUMA MÁXIMA Y SUMA MÍNIMA
12. COLECCIÓN SOMA
13. DOS JARRAS
14. DOMINÓS, BARAJAS, JUEGOS DE TABLERO

Adela Salvador 75
LA MOSCA ANTOJADIZA
4.- CLASE DE JUEGO: Juego de estrategia,
solitario, cooperativo
5.- MATERIAL NECESARIO: Una ficha
diseñada
6.- COMPETENCIAS: Familiarización con las
estrategias de resolución de problemas.
Cubillo, S. (1998): Módulo: “Resolución de
problemas”. Cátedra. UNSAAC.

Adela Salvador 76
ENUNCIADO DEL PROBLEMA.
Se han colocado sobre una mesa 25 monedas.
Viene una mosca volando y se posa sobre
una de las monedas, se le ocurre que le
gustaría patear todas las monedas, anulando
y pasando de una moneda a otra (que la
toque) sin volar y sin repetir monedas.
¿Podría hacerlo? ¿Cuál sería su itinerario?1

Adela Salvador 77
Este es un juego solitario, pero se
puede discutir en grupo de forma
cooperativa
Debes leer detenidamente el problema
hasta comprenderlo, y luego utilizando
el plan de ataque, diseña los trazos
correspondientes.
Utiliza la estrategia “Hazlo más fácil”

Adela Salvador 78
LAS TORRES DE HANOI
3.- EDAD DE LOS ALUMNOS: 12-13 años.
4.- CLASE DE JUEGO: Juego de estrategia,
cooperativo
5.- MATERIAL NECESARIO: Tres pedazos de
alambres fijos colocados en madera con fichas
circulares de tres tamaños diferentes.
6.- COMPETENCIAS: Al finalizar este juego
establecer una ley de formación
Gómez, I. (1992): “Desarrollo de diversos juegos de
estrategia para la utilización en el aula”. Épsilon 22.
Pág. 12

Adela Salvador 79
8.- ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Tengo 3 varillas. Sobre la varilla 1 están
aplicados n discos de madera A, B, C de
diámetros decrecientes el problema consiste
en llevar estos discos a varilla 3 respetando
las reglas siguientes:
a) No se puede desplazar más de un disco
en cada movimiento.
b) Un disco sólo puede descansar sobre otro
de diámetro superior.
1 2 3

Adela Salvador 80
Se pide el número mínimo número de
elementos para desplazar n discos.
Establecer una ley de formación de la
sucesión.
Hazlo más fácil: Comienza con 1 disco,
luego 2... Haz una tabla
Solución: m = 2n - 1

Adela Salvador 81
CUATRO OPERACIONES
En este juego se trata de completar los cuadros en
blanco con una cifra para que se cumplan las
igualdades indicadas. Sólo deben emplearse las
cifras del 1 al 9 sin que se repita ninguna en dos
casillas
3

Adela Salvador 82
EL DADO GANADOR
Construye tres dados tetraédricos con las
siguientes numeraciones en sus caras: Dado
A: 6-3-3-3; Dado B: 5-5-2-2; Dado C: 4-4-4-1.
Si eres el primer jugador, ¿qué dado debes elegir? Si eres el
segundo jugador, ¿qué dado debes elegir?
¿Es un juego equitativo? ¿Tienen la misma posibilidad siendo el
primero o siendo el segundo?
Si la respuesta es negativa, ¿existe alguna evaluación de las
diferencias entre las dos opciones?
¿Depende de los dados que se elijan?
Corbalán, F. (1998): “Juegos Matemáticos para Secundaria y
Bachillerato”. Edit. Síntesis. Madrid. Pág.184.

Adela Salvador 83
CUADRADOS MÁGICOS
Dibuja el cuadrado mágico 3× 3, completa los
casilleros en blanco, de manera que
sumados, horizontalmente, verticalmente y
diagonalmente sumen 15
Idem los números del 1 al 16 en un tablero
de 4 x 4.
Idem del 1 al 25 en un tablero del 5 x 5.
¿Cómo completar el cuadrado mágico, de
forma que la suma de los números de cada
fila, cada columna y cada diagonal sea 42?
Todos los números son de dos cifras.

Adela Salvador 84
TRIÁNGULO MÁGICO
Coloca todos los números del 1 al 9 de tal
manera que la suma de los cuatro números
de cada lado del triángulo sumen 23
Jimeno, M. (1994): “Curiosidades y pasatiempos matemáticos”.
Labor Barcelona. Pág.3.

Adela Salvador 85
NÚMEROS CURIOSOS
En este juego empieza restando el 9 con el 1,
considera al minuendo como un número
descendente en una unidad y al sustraendo
ascendente en otra unidad hasta que el último dígito
sea 1.
9 - 1 = ---
98 - 21 = ----
987 – 321 = ----
En los productos siguientes mutiplique lo indicado y
observa lo que obtienes
12345679x 12345679x 12345679x 12345679x
9 27 18 45
Calabría, M. (1990): “Juegos Matemáticos”. Edit. Akal. Madrid. Pág.13.

Adela Salvador 86
JUEGO CON EDADES
Adivina la edad de tu compañero/a. Para ello dile que
multiplique su edad por 10 y el número de personas
de tu casa por 9. Para obtener su edad resta ambos
números y se obtiene la edad y el número de
personas de su casa.
Por ejemplo: Si la edad a adivinar es:
45 y el número de personas es 5,
entonces:
45 × 10 = 450
5×9 = 45.
Hallamos la diferencia 405, entonces:
40+5 = 45 es la edad y 5 el número de
personas.

Adela Salvador 87
LLEGAR AL CIELO
Para dos jugadores. Cooperativo
5.- MATERIAL NECESARIO: Un tablero de
nueve líneas
6.- COMPETENCIAS: Identifica e interpreta
el juego buscando estrategias ganadoras.
Brihuega, J; Molero, M; Salvador, A. (1996):
“Didáctica de las Matemáticas”. Edit.
Complutense. Madrid. Pág. 144

Adela Salvador 88
LLEGAR AL CIELO
En muchos juegos interviene el
azar. Bastantes de estos juegos
son modelos de procesos físicos o
biológicos, como los juegos de la
vida, o el estudio de procesos de
nacimiento y muerte. Analizaremos
el siguiente juego, "llegar al
cielo", no como modelo, sino
únicamente como instrumento para
aumentar la comprensión sobre el
comportamiento del azar.

Adela Salvador 89
Es un juego de dos jugadores y se juega sobre un tablero formado
por líneas horizontales.
El jugador A intenta que su árbol crezca hasta el "cielo" y el jugador
B trata de impedírselo.
El jugador A lanza una moneda. Si sale cara, se alarga una rama
del árbol, y si sale cruz, se alargan dos ramas.
El jugador B lanza una moneda una vez por cada rama que haya
dibujado A. Si sale cara detiene el crecimiento de esa rama
colocando una ficha en su extremo. Si sale cruz, la rama
permanece viva y puede seguir reproduciéndose.
A continuación el jugador A lanza de nuevo una moneda por cada
rama que esté viva.
Y así sucesivamente. El jugador A si consigue llegar al cielo. En
caso contrario gana B.
¿Tiene ventaja alguno de los jugadores?

Adela Salvador 90
Concepto de azar
Concepto de probabilidad
Frecuencia relativa
Frecuencia absoluta
Frecuencia acumulada
Porcentajes
Histograma
Polígono de frecuencias

Adela Salvador 91
LLEGAR AL CIELO
Lo conveniente es comenzar jugando y anotando los
resultados para tener la seguridad de que se
comprenden las reglas del juego. Se observa que el
juego es ventajoso para B. Se pueden plantear
entonces otras cuestiones como: ¿En qué proporción
tendrían que ir las apuestas para que el juego fuese
justo? ¿Cuánto tarda A, por término medio, en llegar
al cielo? ¿Cuánto tarda B, por término medio, en
ganar a A?

Adela Salvador 92
LLEGAR AL CIELO
Calcular la probabilidad de que
gane uno de los jugadores de forma
teórica es complicado, incluso
utilizando un diagrama de árbol o
una cadena de Markov. Al llevar
este juego a una clase y jugar y
anotar los resultados se puede
confeccionar una tabla con los
resultados de todos. Analizando la
tabla podemos dar respuesta a las
cuestiones.

Adela Salvador 93
LLEGAR AL CIELO
El profesor/a debe seguir planteando
preguntas para conseguir mejorar la
comprensión de las reglas del azar. Una de
las estrategias de resolución de problemas
es la de particularizar. Se puede sugerir a los
alumnos y alumnas que trabajen con una
única capa, luego con dos, y así con
sucesivos casos particulares.
Confeccionamos tablas para cada caso.

Adela Salvador 94
Modificar el número de líneas horizontales
menor que 9 o mayor que 9 y conjeturar en
cada caso si tiene ventaja el jugador A o el
jugador B.
1º.- Dibuja una tabla de frecuencias para nueve
jugadas
2º.- Tabula convenientemente y calcula la
frecuencia relativa, frecuencia absoluta
frecuencia acumulada y el porcentaje.
3º.- Dibuja en diagrama de barras,
histogramas, polígono de frecuencias ...

Adela Salvador 95
LLEGAR AL CIELO
Utilizar el ordenador, o la
calculadora, para simular el
juego un número grande de
veces proveerá de gran número
de resultados.

Adela Salvador 96
LLEGAR AL CIELO
La siguiente fase consiste en
buscar una fórmula recursiva
y comprobar el ajuste entre
los resultados experimentales
y los teóricos. Si llamamos
pn a la probabilidad de que
gane B al jugar con n capas
obtenemos la expresión:
8pn+1=3+4pn+pn
2

Adela Salvador 97
LLEGAR AL CIELO
En la fase de generalización se puede
estudiar la manera de modificar el juego para
que sea más equilibrado.
El enunciado queda abierto. Por ejemplo,
podemos estudiar que ocurre si el jugador A,
cuando sale cara, añade cuatro ramas y,
cuando sale cruz, añade sólo una. Ahora el
juego ha dejado de ser un "problema" para
convertirse en una "investigación". Tenemos
muchas nuevas posibilidades para continuar.

Adela Salvador 98
ESTRELLA DE ORO
3.- EDAD DE ALUMNOS(AS): 12-13 años
4.- CLASE DE JUEGO: Juego de
estrategia. Solitario-cooperativo
5.- MATERIAL NECESARIO: Ficha
diseñada
6.- COMPETENCIAS: Identifica,
interpreta y resuelve el juego planteado.
Corbalan, F. (1996): “Estrategias utilizadas por
alumnos de secundaria en la resolución de
juegos”. Suma 23. Pág. 24.

Adela Salvador 99
ENUNCIADO
En la figura de la estrella que observas elige un
vértice cualquiera que tenga ficha, cuenta a partir de
la ficha elegida dos vértices que forman con el inicial
una línea recta, quita la ficha que está en el último
vértice que hemos contado. Continua el
procedimiento hasta eliminar las 9 fichas y quedarte
con sólo una

Adela Salvador 100
SUMA MÁXIMA Y SUMA
MÍNIMA
EDAD DE ALUMNOS: 12-16 años.
Cooperativo
5.- MATERIAL NECESARIO: Ficha diseñada
6.- COMPETENCIAS: Desarrolla destrezas de
cálculo mental en la adición multiplicación en N
Molla, A. (2000): Módulo de Recursos II. Cátedra

Adela Salvador 101
ENUNCIADO
En la ficha debes colocar los números del 1 al 9 en
los cuadrados vacíos, multiplicando los dos números
de los 2 cuadrados adyacentes y escribe el producto
en el círculo que hay entre los cuadrados. Sumando
los números que hay en todos los círculos obtener el
mayor posible de la suma de los productos (suma
máxima) entre 2000- 2400 y la menor entre 1000-
2000 (Suma mínima)

Adela Salvador 102
COLECCIÓN SOMA
EDAD DE ALUMNOS(AS): 11 –16 años
4.- CLASE DE JUEGO: Puzzle. solitario - cooperativo
5.- MATERIAL NECESARIO: Policubo – cubos de
madera
6.- COMPETENCIAS: Realizar comparaciones entre
objetos formados por policubos y demostrar las
equivalencias de volúmenes de diferentes objetos
formados por policubos.
Corbalán, F. (1998): “Juegos Matemáticos para Secundaria y
Bachillerato”. Edit. Síntesis. Madrid.

Adela Salvador 103
ENUNCIADO
Utilizando los policubos manipula y
representa las figuras simétricas, luego
trace todas las formas de los bicubos,
tricubos y tetracubos.
Con 6 tetracubos y 1 tricubo se
construyen los objetos de la colección
soma. (perro, pato, ganso, etc.)

Adela Salvador 104
DOS JARRAS
Después de haberse perdido muchas horas en el
desierto, Juan llegó a un oasis y se creyó salvado,
pero los guardianes del agua sólo dejaron satisfacer
su sed con la siguiente condición: Juan debería
recoger exactamente 4 litros de agua con la ayuda
de un vasija de 3 litros y otra de 5. ¿Cómo lo hace?
Calabría, M. (1990): “Juegos Matemáticos”. Edit. Akal. Madrid. Pág.8.

Adela Salvador 105
a) ¿Qué harías para medir exactamente 6
litros de agua con la sóla ayuda de dos
vasijas una de 9 y otra de 4 litros?
b) ¿Qué harías para medir exactamente 7
litros de agua sí sólo dispones de dos
vasijas, una de 9 litros de agua y otra de 5
litros?
En cada caso explicar las estrategias
realizadas.

Adela Salvador 106
DOMINÓS, BARAJAS,
JUEGOS DE TABLERO
Otra forma de utilizar el valor motivador
del juego en la clase de matemáticas es
usarlo para reforzar automatismos o en
recuperación. Se pueden adquirir
barajas, dominós y juegos de tablero
adecuados para trabajar con números
decimales, fracciones, ecuaciones, etc.

Adela Salvador 107
DOMINÓS, BARAJAS,
JUEGOS DE TABLERO
También es posible fabricarlos en el "taller de
matemáticas". Vamos a suponer que
queremos fabricar un dominó que sirva para
trabajar con las funciones trigonométricas. El
material necesario es una simple cartulina de
donde recortar las fichas o fichas de madera
y pegatinas. Se juega con las mismas reglas
del juego clásico del dominó.

Adela Salvador 108
DOMINÓS, BARAJAS,
JUEGOS DE TABLERO
Tendremos que seleccionar 7
valores, por ejemplo:
0, 1, 1/2, √3/2, -1, -1/2, √2/2
Para cada uno de los valores
buscaremos siete formas de
expresarlos. Por ejemplo:
1/2 = cos60º = sen30º = cos300º
= sen150º = cosπ/3 = senπ/6.

Adela Salvador 109
DOMINÓS, BARAJAS,
JUEGOS DE TABLERO
El proceso de diseño de estos
juegos clásicos es ya de por
si interesante.
Diseñar un juego

Adela Salvador 110
Bibliografía
1. BELL, A. W. (1976): The Learning of General Mathematical
Strategies, Univ. Nottingham.
2. BORRÁS, E y MORATA, M. (1989): Generación y resolución
de problemas: dos ejemplos. Rev. SUMA nº 4, 15-20.
3. Brihuega, J; Molero, M; Salvador, A. (1996): “Didáctica de las
Matemáticas”. Edit. Complutense Madrid.
4. GUZMÁN, M. (1989): Juegos y matemáticas Revista SUMA,
nº4, 61-64.
5. HERNÁN, F. (Grupo Cero de Valencia) (1985): Investigaciones
"Nueva Revista de Enseñanzas Medias", nº 7.
6. MERCHÁN F. (1994): El salto de la rana. Revista "Suma" nº 14-
15, 50-59.
7. MORATA, M. (1994): Los Juegos en la Educación
Matemática, taller de "Matemáticas y Coeducación. Jornadas
sobre Matemáticas y Coeducación", Ed. OECOM "Ada Byron".
Madrid.
8. VANNIER, E. y CHAUVEAU, P. (1979): Como jugar y divertirse
con su calculadora de bolsillo. Ed. Altalena. Madrid.

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