149100403678968

Índice
Bloque 1
Sentido numérico y pensamiento algebraico..........................................................................6
Factorizar expresiones.............................................................................................................6
Forma, espacio y medida........................................................................................................ 22
Criterios de congruencia de triángulos................................................................................... 22
Posiciones relativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias...................... 26
Ángulos en la circunferencia.................................................................................................. 29
Cálculo de ángulos, arcos, sectores circulares y de la corona. .............................................. 33
Manejo de la información........................................................................................................ 37
Razón de cambio................................................................................................................... 37
Organización y representación de la información................................................................... 39
Autoevaluación bloque 1. ....................................................................................................... 41
Bloque 2
Sentido numérico y pensamiento algebraico. ............................................................................ 44
Ecuaciones no lineales. ......................................................................................................... 44
Factorización en la resolución de ecuaciones........................................................................ 53
Figuras semejantes................................................................................................................ 56
Criterios de semejanza de triángulos. .................................................................................... 58
Índices de diversas situaciones.............................................................................................. 62
Simulación. ............................................................................................................................ 65
Autoevaluación bloque 2 ........................................................................................................ 67
Bloque 3
Sentido numérico y pensamiento algebraico........................................................................ 71
Funciones y expresiones algebraicas. ................................................................................... 71
Fórmula general..................................................................................................................... 74

Teorema de Tales.................................................................................................................. 79
Homotecia de figura............................................................................................................... 81
Gráficas de relaciones funcionales. ....................................................................................... 83
Forma y posición de la curva. ................................................................................................ 85
Gráficas formadas por secciones rectas y curvas. ................................................................. 89
Autoevaluación bloque 3..................................................................................................... 91
Bloque 4
Sentido numérico y pensamiento algebraico........................................................................ 94
Sucesiones numéricas y figurativas. ...................................................................................... 94
Teorema de Pitágoras en la resolución de problemas. .......................................................... 98
Razones trigonométricas. .................................................................................................... 100
Manejo de la información...................................................................................................... 103
Crecimiento aritmético y geométrico. ................................................................................... 103
Representación de la información........................................................................................ 105
Autoevaluación bloque 4................................................................................................... 107
Bloque 5
Sentido numérico y pensamiento algebraico...................................................................... 110
Ecuación lineal, cuadrática y sistema de ecuaciones........................................................... 110
Forma, espacio y medida...................................................................................................... 115
Cilindros, conos y esferas.................................................................................................... 115
Justificación de fórmulas...................................................................................................... 122
Estimar y calcular volúmenes............................................................................................... 124
Manejo de la información...................................................................................................... 127
Gráficas de caja-brazos. ...................................................................................................... 127
Medidas de localización del centro: ..................................................................................... 130
Autoevaluación del bloque................................................................................................ 133

Cuadernillo de actividades para el desarrollo de habilidades matemáticas. 3º secundaria.
6
Bloque 1
Sentido numérico y pensamiento algebraico.
FFaaccttoorriizzaarr eexxpprreessiioonneess..
Simplificar procedimientos siempre ha sido un gran reto; cuando se logra, se considera una situación
notable. Esta es la razón por lo que a determinadas multiplicaciones (productos) con expresiones
algebraicas se les considera como productos notables.
Cuadrado de un binomio.
Ejemplo:
El resultado es un trinomio cuadrado perfecto.
1.
2.
3.
4. (– )
5. =
El cuadrado de un binomio se obtiene sumando el
cuadrado del primer término, el doble producto del
primer término por el segundo y el cuadrado del
segundo término.
Resuelve:

7
Producto de binomios conjugados.
Ejemplo: El resultado es una diferencia de
cuadrados.
Resuelve:
1.
2. (– )
3.
4.
5.
6.
El producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del término común,
menos el cuadrado del otro término.

8
Producto de dos binomios que tienen un término común.
Ejemplo:
Resuelve:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
El producto de dos binomios que tienen un término común, se obtiene sumando el
cuadrado del término común, el producto de este término por la suma de los términos
no comunes y el producto de estos dos últimos.

9
Factorización:
Factorizar es ver una suma como una multiplicación. La siguiente información da fundamento a este
conocimiento y habilidad. La factorización se basa en el:
Axioma distributivo
∀ a, b ∧ c ∈ R; ab + ac = a (b+c) ∧ ba + ca = (b+c) a
“Para todo número a, b y c que pertenecen a los números reales; la expresión ab + ac representa el
mismo número que la expresión a (b + c).”
La factorización es un proceso de transformación de una suma a producto.
Es decir, expresar un sumando o la suma en una multiplicación:
Suma de
términos
(polinomio)
Producto de
factoresFactorización
Estado inicial Estado final
Transformación

10
Factor común monomio
P r o c e d i m i e n t o:
1. Se identifica el factor común.
2. Se divide cada término del polinomio entre el factor común.
3. Se escribe el factor común y a continuación, dentro de un paréntesis, los cocientes hallados en el
paso anterior (cada uno con su respectivo signo).
Ejemplo:
Resuelve:
1. a2
+ab =
2. b+b2
=
3. x2
+x =
4. 3a3
– a2
=
5. x3
-4x4
=

11
6. 5m2
+15m3
=
7. ab-bc =
8. X2
y+x2
z =
9. 2a2
x+6ax2
=
10. 8m2
-12mn =
11. 9a3
x2
-18ax3
=
12. 15c3
d2
+60c2
d3
=

12
Factor común polinomio
1. Se identifica el factor común.
2. Se divide cada término del polinomio entre el factor común.
3. Se abren dos paréntesis, en el primero se escribe el factor común y en el segundo los cocientes
hallados en el paso anterior (cada uno con su respectivo signo).
Ejemplo:
Resuelve:
1. a(x+1)+b(x+1) =
2. x(a+1)-3(a+1) =
3. 2(x-1)+y(x-1) =
4. m(a-b)+(a-b)n =
5. 2x(n-1)-3y(n-1) =

13
6. a(n+2)+n+2 =
7. x(a+1)-a-1 =
Factor común por agrupación de términos
1. Se agrupan los términos convenientemente, utilizando paréntesis.
2. Se saca factor común de cada uno de los paréntesis.
3. Se realiza una segunda factorización (el factor común será, en este caso, el paréntesis).
Ejemplo:
Resuelve:
1. a2
+ab+ax+bx =
2. am-bm+an-bn =

14
3. ax-2bx-2ay+4by =
4. a2
x2
-3bx2
+a2
y2
-3by2
=
5. 3m-2n-2nx4
+3mx4
=
6. x2
-a2
+x-a2
x =
7. 4a3
-1-a2
+4ª =

15
Trinomio cuadrado perfecto
Definición: Una cantidad es un cuadrado perfecto cuando es el resultado del producto de dos factores
iguales.
Un trinomio cuadrado perfecto es de la forma general y es el producto
de los factores ; de tal manera que:
1. Se ordena el trinomio.
2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos.
3. Se halla el doble producto de las raíces obtenidas en el paso anterior.
4. Si el producto hallado en el paso anterior es igual al segundo término del trinomio y si el primero y
tercer términos tienen igual signo, se trata de un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza como tal.
5. Se escribe dentro de un paréntesis las raíces cuadradas del primer y tercer término, separadas por
el signo del segundo término, y el paréntesis elevado al cuadrado.
Ejemplo:
Resuelve:
1. a2
-2ab+b2
=
2. a2
+2ab+b2
=

16
3. x2
-2x+1 =
4. y4
+1+2y2
=
5. a2
-10a+25 =
6. 9-6x+x2
=
7. 16+40x2
+25x4
=
Diferencia de cuadrados
1. Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo.
2. Se abren dos paréntesis.
3. En el primer paréntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia, de las raíces halladas en
el paso 1.
Ejemplo:

17
Resuelve:
1. x2
-y2
=
2. a2
-1 =
3. a2
-4 =
4. 9-b2
=
5. 1-4m2
=
6. 16-n2
=
7. a2
-25 =
8. 1-y2
=

18
Trinomio de la forma x2
+bx+c
1. Se ordena el trinomio.
2. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio.
3. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada
uno de los paréntesis.
4. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio.
5. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio;
éste será el signo que separe el binomio del segundo paréntesis.
6. Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del
segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio.
7. Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del
segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio.
8. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo término del
primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis.
9. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar
la búsqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8.
Nota: para factorizar de esta forma es necesario que la parte literal del segundo término sea la raíz
cuadrada de su correspondiente parte literal en el primer término.
Ejemplo:
Resuelve:
1. x4
+5x2
+4 =

19
2. x6
-6x3
-7 =
3. x8
-2x4
-80 =
4. x2
y2
+xy-12 =
5. (4x)2
-2(4x)-15 =
6. x8
y8
-15ax4
y4
-100a2
=
7. (a-1)2
+3(a-1)-108 =
8. m2
+abcm-56a2
b2
c2
=
9. (7x2
)2
+24(7x2
)+128 =

20
Suma o diferencia de cubos
1. Se abren dos paréntesis.
2. En el primer paréntesis se escribe la suma o la diferencia, según el caso, de las raíces cúbicas de
los dos términos.
3. En el segundo paréntesis se escribe el cuadrado de la primera raíz, menos (si es una suma de
cubos) o más (si es una diferencia de cubos) el producto de la primera raíz por la segunda, mas el
cuadrado de la segunda raíz.
Ejemplo:
Resuelve:
1. 1+a3
=
2. 1-a3
=
3. x3
+y3
=

21
4. m3
-n3
=
5. a3
-1 =
6. 64a3
-729 =
7. a3
b3
-x6
=
8. 27m6
+343n9
=
9. 216-x12
=

22
Forma, espacio y medida.
CCrriitteerriiooss ddee ccoonnggrruueenncciiaa ddee ttrriiáánngguullooss..
Congruencia. Dícese que dos figuras son congruentes cuando pueden hacerse coincidir en todas sus
partes; esto es, cuando son iguales.
Triángulos congruentes.
Dos triángulos son congruentes si existe una correspondencia biyectiva entre sus vértices
Tal que los lados y los ángulos correspondientes son congruentes, es decir,
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
Existe congruencia en dos triángulos si sus lados y sus ángulos correspondientes lo son.
Criterios de congruencia de triángulos:
Si los tres lados de un triángulo son respectivamente congruentes a los tres lados de otro triángulo,
entonces los dos triángulos son congruentes.
Si los tres ángulos de un triángulo son respectivamente congruentes a los tres ángulos de otro
triángulo, ¿son entonces congruentes los triángulos?
A
B
C
A’
B’
C’
Criterio – Lado, lado, lado

23
Si dos lados y el ángulo que forman en un triángulo son respectivamente congruentes a los dos
lados y el ángulo comprendido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.
Si dos triángulos rectángulos tienen sus catetos congruentes, ¿qué podemos expresar de los
mismos?
Dos triángulos son congruentes si tienen iguales respectivamente un lado y los ángulos adyacentes a
ese lado.
Dos ángulos son adyacentes a un lado cuando ese lado es común a los dos ángulos.
Estos tres criterios de congruencia de triángulos, se aceptan por el momento como axiomas, serán
una especie de referencia inicial. Con ellos se podrán demostrar interesantes propiedades de
polígonos.
A partir de este triángulo isósceles
Por cierto ¿por qué es isósceles?
1. Traza la mediana AM; en el ̂ (triángulo isósceles de arriba)
2. ¿Qué puedes afirmar?
Criterio – Lado, ángulo, lado
Criterio – Ángulo, lado, ángulo
A
B C

24
3. Tomando como referencia el Criterio-De los tres lados ¿qué puedes aseverar?
4. Si los ángulos ̂ y ̂ son congruentes, ¿Qué podemos asegurar de la mediana?
5. De la congruencia de los triángulos mencionados se deduce también que:
¿Cuánto miden entre los dos? ________________
y…¿Cada uno de ellos? ________________
En este contexto ¿qué podemos sostener de ̅̅̅̅̅?
Teorema:
En todo triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes.
6.
7.
8.
A
B C
A
CB
A
CB

25
9. Demuéstrese que la distancia AB de un lado a otro de una laguna puede hallarse así:
En un punto conveniente P se clava una vara. Mirando en la dirección a AP, se hace clavar una
estaca en A’, haciendo PA’= PA. De igual manera se determina B’, mirando de B a P y haciendo PB’
= PB. Después se mide la distancia A’B’.
10. ¿Cómo puedes justificar que en el siguiente paralelogramo sus lados opuestos son iguales?
A B
P
A’B’

26
PPoossiicciioonneess rreellaattiivvaass eennttrree rreeccttaass yy uunnaa cciirrccuunnffeerreenncciiaa yy eennttrree cciirrccuunnffeerreenncciiaass..
¿Qué es lo esencial en una rueda?
Las figuras geométricas que representan a las ruedas son los círculos.
Definición. Llámese círculo una figura plana limitada por una curva cerrada cuyos puntos equidistan
de un punto interior llamado centro.
La curva se llama circunferencia. Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano
equidistantes de un punto fijo del plano – el centro.
Radio. Segmento rectilíneo que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.
Longitud constante todos los radios de una circunferencia son iguales
La circunferencia queda siempre determinada por su centro y su radio.
Secante

27
Cuerda. Segmento rectilíneo que une dos puntos de una circunferencia.
Arco. Es una parte cualquiera de la circunferencia comprendida entre dos puntos. Estos dos puntos
se llaman extremos del arco. Nomenclatura , el subíndice m y ma, hacen
referencia a los dos arcos generados por dichos puntos; (m) menor y (ma) mayor respectivamente.
Desde luego que si existe un esquema, el arco es explícitamente claro.
Diámetro. Es una cuerda que contiene el centro de la circunferencia.
Secante. Es cualquier recta que corta una circunferencia de dos puntos.
Tangente. Es cualquier recta que contiene uno y sólo un punto de la circunferencia, el cual se llama
punto de tangencia y se dice que la recta y la circunferencia son tangentes en ese punto.
De acuerdo a las posiciones de las rectas tangentes a la circunferencia
1. Traza los radios y . Mide con tu transportador el ángulo que forma cada tangente
con el radio por el punto de tangencia y en los espacios siguientes registra la información obtenida.
2. En base al ejercicio anterior como defines la recta tangente:
3. Observa la siguiente figura

28
4. ¿Qué sucede con la recta secante cuando el punto coincide con el punto ?
5. Las siguientes circunferencias manifiestan distintas posiciones, analízalas.
6. Elije el enunciado que corresponda a cada una de las posiciones de las circunferencias y anota su
número en el recuadro.
1. Circunferencias
secantes
2. Circunferencias
ajenas externas
3. Circunferencias
ajenas internas
4. Circunferencias
concéntricas
5. Circunferencias
tangentes externas
6. Circunferencias
tangentes internas

29
ÁÁnngguullooss eenn llaa cciirrccuunnffeerreenncciiaa..
Ángulo central
Angulo inscrito
Ángulo semi-inscrito
Ángulo interior
Ubicación: Vértice en el centro sus lados dos
radios.
Medida: La medida de un arco es la de su ángulo
central correspondiente;
Ubicación: Vértice en la circunferencia y sus lados
dos secantes.
Medida: La mitad del arco que abarca;
.
Ubicación: Vértice en la circunferencia y sus lados
una secantes y una tangente.
Medida: La mitad del arco que abarca;
.
Ubicación: Su vértice es interior a la circunferencia
y sus lados secantes a ella.
Medida: La mitad de la suma de las medidas de
los arcos que abarcan sus lados y las
prolongaciones de sus lados;
.

30
Ángulo exterior
1. Observa la figura de arriba, identifica ángulos (ubicación y medida) y expresa tu generalización.
Ubicación: Vértice es un punto exterior a la
circunferencia y sus lados son:
Secantes a ellas.
Uno tangente y otro secante.
Tangentes a ella.
Medida: La mitad de la diferencia de los arco que
abarcan sus lados sobre la circunferencia;
.

31
Ejemplo: Halla el valor de x si el y el
El ángulo es un ángulo central cuyo arco correspondiente es ; luego,
Verificación:
Encuentra la medida del ángulo o arco que se te indica.
2. Halla la medida del
3. Halla la medida del 4. Halla la medida del

32
5. Analiza la figura siguiente, en donde , halla:
a) La medida del
b) La medida del
6. Escribe en los espacios la clasificación que corresponda; ángulo central o ángulo inscrito.

33
CCáállccuulloo ddee áánngguullooss,, aarrccooss,, sseeccttoorreess cciirrccuullaarreess yy ddee llaa ccoorroonnaa..
La porción de círculo limitada por dos radios se conoce como sector circular.
El área de un circulo mayor menos el área de un circulo menor, es el área de una corona circular.
1. Determina y anota la medida de cada uno de los ángulos marcados en rojo.
2. Analiza las siguientes figuras y calcula lo que se indica:
D
A
B
C
E
a) Calcula el b) Calcula x

34
3. En las siguientes figuras aparecen cuatro polígonos regulares inscritos en una circunferencia.
En cada uno de los polígonos mencionados, la circunferencia se ha dividido en arcos iguales
(completar):
Tres de 120o
Si la circunferencia tiene una longitud de 60 cm. ¿Cuánto medirá cada uno de los arcos?
4. ¿Qué puedes afirmar de este cálculo?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
5. En esta figura la circunferencia se ha dividido en 360 partes iguales. Cada una de estas partes
recibe, por definición, el nombre de grado.
Para calcular la longitud del arco de circunferencia que
corresponde a un grado, dividimos la longitud de la circunferencia
entre 360:
Si el arco de circunferencia midiera n grados, nº, su longitud
sería:
La longitud de un arco de 120o
de una circunferencia de 6 cm de
radio es:

35
6. Calcula la medida de arcos y el área de sectores circulares en circunferencias que tienen su centro
en un vértice de un polígono regular y su radio está relacionado al lado del polígono.
a) Indica la figura sombreada que determina el punto P.
b) Expresa el perímetro de la figura anterior.
c) ¿Cuánto mide el área de esa parte de la figura?
d) Determina el área del sector circular que genera el hexágono regular de 2 cm de lado.
e) ¿Cuánto mide el perímetro de la flor? Si el hexágono donde se encuentra inscrita la flor es de 2
cm de lado y 1.73 cm de apotema.
f) ¿Cuánto mide el área de la flor?
3cm
2cm

36
7. La fotografía muestra una fuente y las dimensiones de su base.
8. En una zona recreativa de forma circular de 120 m de radio, se encuentra una fuente también
circular de 4 m de radio, ¿cuál es el área de la zona recreativa?
Recuerda que:
¿Cuánto mide el área de la superficie de la base de la
fuente?

37
Manejo de la información.
RRaazzóónn ddee ccaammbbiioo..
Cuando dos conjuntos de cantidades están relacionadas entre sí, se puede estudiar el cambio o
incremento de una cantidad respecto al cambio o incremento de la otra.
Al cociente que se obtiene al dividir el incremento de una cantidad entre el incremento
correspondiente a la otra se le llama razón de cambio.
Ejemplo: La siguiente gráfica muestra los cambios en el precio de un artículo durante los primeros
meses del año. ¿Cuál es el incremento mensual del precio del artículo, suponiendo que fue el mismo
cada mes?
Incremento en el precio de un artículo
En la gráfica el cambio en el precio se indica en la dirección vertical y el cambio en el tiempo en la
dirección horizontal.
De acuerdo a lo anterior:
1. ¿Cuál será el costo del artículo en el sexto mes?
¿Qué significaría que la pendiente entre el tercero y el cuarto mes fuera mayor?

38
2. La siguiente gráfica muestra los cambios en el precio de un artículo durante los primeros meses del
año.
3. La siguiente gráfica muestra la distancia recorrida por dos automóviles y la cantidad de gasolina
que consumieron.
a) ¿Cuál es el incremento del artículo por
mes?
b) ¿Cuál es la razón de cambio del
artículo?
a) ¿Cuál es la razón de cambio del automóvil
rojo?
b) ¿Cuál es la razón de cambio del automóvil
azul?
c) ¿Qué automóvil tuvo un mejor rendimiento?

39
OOrrggaanniizzaacciióónn yy rreepprreesseennttaacciióónn ddee llaa iinnffoorrmmaacciióónn..
En los grados anteriores los alumnos han estudiado diversas representaciones estadísticas (barras,
circulares, pictogramas, tablas de frecuencias, polígonos, etc.) y gradualmente las han utilizado para
comunicar información proveniente de estudios sencillos o encuestas, diarios o revistas. Realizamos
las siguientes actividades para fortalecer esta habilidad.
1. En la panadería “El Pípila” se ha realizado un control de las piezas vendidas en el día y la siguiente
gráfica nos muestra los resultados.
¿Cuántas piezas se vendieron en total? _________________
¿Cuál es el producto más vendido? _________________
¿Cuál es el producto menos vendido? _________________
¿De cuales productos se vendieron más de cien unidades? _________________
2. Observa el siguiente gráfico:
Bolillo TelerasConchas Cuernitos
R = Carne
A= Pescado
V= Verdura
Nota: todas las barras conservan
el mismo orden.
R A V

40
En el se muestra el consumo de tres comidas principales durante la semana en un restaurante.
Completa la tabla con los datos que te ofrece la gráfica y posteriormente contesta:
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
Carne
Pescado
Verdura
¿Qué día presentó más consumo de pescado? _________________
¿Cuál días registro menor consumo de verdura? _________________
¿Qué día se consumió más carne que pescado? _________________
3. Observa el siguiente conjunto de fichas:
Construye una tabla en donde organices la información:
Elabora el gráfico correspondiente:

41
Autoevaluación bloque 1.
1. Subraya el resultado de
5. Subraya la factorización que corresponde a
8. Subraya la expresión representa el área del rectángulo.
9. En el paralelogramo con vértices ABCD se ha denotado con M al punto medio del lado DC. Se ha
prolongado el lado BC hasta que se interseque con la recta que pasa por AM y al punto de
intersección se le ha llamado T. Los triángulos AMD y TMC son congruentes por que criterio.
Recuerda subrayar el resultado

42
10. En la circunferencia de centro O se inscribió el hexágono regular ABCDEF y se trazó la recta
secante que pasa por los vértices B y F. Sin utilizar transportador, calcula la medida de FBO.
11. Sin utilizar transportador, determina la medida de los ángulos señalados.
12. El cuadrado de la figura mide 4 cm de lado y la circunferencia mayor tiene radio igual a 2.83 cm.
¿Cuánto mide el área de la corona? (considera
13. El cuadrado de la figura mide 4 cm de lado. Los dos arcos son parte de dos circunferencias.
¿Cuánto mide el área de la figura sombreada? (considera
14. La siguiente gráfica muestra los cambios en el precio de un artículo durante los primeros meses
del año. ¿Cuál es la razón de cambio del artículo?

43
15. La siguiente gráfica muestra la distancia recorrida por dos automóviles y la cantidad de gasolina
que consumieron. ¿Qué pendiente representa mejor rendimiento?
0
16. Las gráficas que aparecen a continuación representan la distancia recorrida por un automóvil en
función del tiempo. ¿Qué gráfica representa el hecho de que el automóvil lleve una velocidad
constante en todo momento?
17. De acuerdo con la siguiente gráfica, se muestra la razón de cambio que representa el costo de la
gasolina con respecto al tiempo en años. ¿Cuál de las siguientes observaciones es la correcta?
Los costos conforme el tiempo avanza disminuyen.
Los costos de la gasolina se han mantenido constantes.
La gasolina ha ido en aumento en estos años.
El tiempo no influye en los costos de la gasolina.
a) b) c) d)

44
Bloque 2
EEccuuaacciioonneess nnoo lliinneeaalleess..
Las ecuaciones y funciones cuadráticas desempeñan un papel importante en el estudio de la
matemática y la física; por ejemplo, en la resolución de problemas sobre áreas de figuras
geométricas, en el estudio del movimiento uniformemente acelerado, etc.
Una ecuación con una incógnita es de segundo grado si después de efectuar las operaciones
indicadas, quitar paréntesis y denominadores, trasponer términos al primer miembro y simplificar
resulta que el mayor exponente de la incógnita es dos.
Ejemplo:
La ecuación
Reacomoda las siguientes expresiones algebraicas para la identificación de ecuación de segundo
grado:
1.
2.
3.

45
4.
5.
6.
7. –
8.
9.
10.
11.

46
Del ejercicio anterior se advierten dos modelos de ecuaciones de segundo grado:
La ecuación completa de segundo grado suele identificarse también como ecuación cuadrática
completa cuya forma general es:
Si una ecuación de segundo grado con una incógnita, después de efectuadas las reducciones
posibles, carece de término independiente o del término de primer grado (lineal) en
se dice que es incompleta.
Las formas generales de las ecuaciones incompletas de segundo grado son:
Resolución de la ecuación incompleta de segundo grado sin término independiente.
1. Se arregla la ecuación en la forma general
2. Se obtiene factor común ; como el aprendido en la página 11
3. Una solución es
4. Se resuelve la ecuación de primer grado que se obtiene igualando a cero el binomio de dentro del
paréntesis. La solución de esta ecuaciones la segunda raíz de la ecuación dada.
Ecuación completa de segundo gradoEcuación incompleta de segundo grado
Término cuadrático Término independiente
Término lineal

47
Ejemplo: Resolver la ecuación
Pasemos al primer miembro:
, y reduciendo,
Ya está en la forma en la que . Saquemos factor común
una raíz es la otra raíz se obtiene resolviendo la ecuación:
Resuelve:
1.
2.
3.
4.
5.

48
6.
7.
8.
Resolución de la ecuación incompleta de segundo grado sin término en .
1. Se reacomoda la ecuación a la forma
2. Se traslada al segundo miembro
3. Se divide entre el coeficiente de
4. Se halla la raíz cuadrada del segundo miembro, teniendo en cuenta el doble signo
5. Si el radicando es negativo las raíces son imaginarias.
6. Si el radicando es positivo las raíces son reales, una positiva y otra negativa
Ejemplo Resolver la ecuación
Ya está en la forma en la que ,
Traslademos al segundo miembro. Resulta:
Dividamos entre : ; √ Separando las dos raíces:

49
Resuelve:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

50
Se recomienda continuar en el tema con problemas que permitan plantear ecuaciones, por lo que se
ofrece un modelo de apoyo para resolver problemas; basado en los estudios de George Polya.
Modelo de apoyo para resolver problemas.
1. Entender qué es un problema.
Problema en matemáticas se define como una situación que es nueva para el individuo a quien se
pide resolver.
2. La competencia planteamiento y resolución de problemas implica:
y
3. La mejor manera de fortalecer la habilidad práctica es:
y
4. Fases del proceso
5. Conductas requeridas
1.- Observación 2.- Organización 3.- Formación de diagramas
4.- Exploración 5.- Deliberación 6.- Toma de decisiones
7.- Formulación 8.- Operación 9.- Verificación
Es significativo que te familiarices con los problemas y que intentes darles solución. En el transcurso del cuadernillo, contarás con más
información conceptual pertinente que te ayude a resolver problemas.
Información conceptual Habilidad práctica
Trabajando en problemas
Estudiando el proceso de
planteamiento y solución de ellos

51
Resuelve los siguientes problemas:
1- Pensé un número y lo elevé al cuadrado. Al resultado lo multipliqué por 4 y al final obtuve
100. Si no pensé en el 5, ¿de qué número se trata?
2. El cuadrado del dinero que tengo, aumentado en su cuádruple y disminuido en 160 es igual a
$8 000.00 ¿Cuánto dinero tengo?
3. Tres veces el cuadrado de un número se le sumó 8. Como resultado se obtuvo 83.
4. El largo de un terreno rectangular mide el doble del ancho. El terreno tiene 162 m2
de área.
5. ¿Cuál es la medida de la arista de un cubo cuyo volumen es de 343 cm3
?
Es importante identificar cuál de las dos soluciones es válida, porque las dos
soluciones resuelven la ecuación pero no siempre el problema.
V=342 cm
3
Arista

52
Ejemplo de solución de la ecuación cuadrática con la aplicación de construcciones
geométricas a la usanza del precursor en resolución de ecuaciones Mohammed ibn Musa al-Jwarizmi
(siglo IX D.C.)
1. Reacomodo para operar con coeficientes positivos
2. Visualización geométrica
3. La ecuación podemos expresarla de la siguiente manera
4. Completemos la figura anterior, añadiendo cuatro cuadros de de lado en los extremos
5. Del cuadrado nuevo, su área es:
6. La longitud de un lado del anterior cuadrado es:
7. Esta longitud se puede expresar , con la siguiente igualdad
8. Se transforma así nuestra ecuación original, con el procedimiento de reducción de al-Jwarizmi para
obtener el valor de x:

53
FFaaccttoorriizzaacciióónn eenn llaa rreessoolluucciióónn ddee eeccuuaacciioonneess..
Con las primeras figuras se puede formar un rectángulo como el siguiente, cuyo trinomio que
representa su área es:
1.- Representa la expresión algebraica que corresponde a la base. _______________________
2. Da la expresión algebraica que corresponde a la altura _______________________
El área del rectángulo es de 42 cm2
3. ¿Cuál es la ecuación que se tiene que resolver para obtener
el valor de z? _______________________
4. ¿Cuál de las dos soluciones de la ecuación resuelve el problema? _______________________
5. ¿Cuántos centímetros mide z? _______________________
Resolución de una ecuación completa de segundo grado por factorización; correspondiente a
la factorización estudiada en la página 19 (Trinomio de la forma )
1. La factorización encontrada se iguala a cero.
2. Se iguala cada factor a cero y se obtienen las raíces.
Ejemplo
a. Sea la ecuación
El primer miembro es el producto de dos factores binomio:

54
La ecuación puede escribirse así:
Para que este producto sea igual a cero, debe serlo uno de los factores, es decir, es cero
cuando
y cuando
Las dos raíces de la ecuación son:
b. La ecuación
El trinomio del primer miembro es igual a
Luego la ecuación es: de donde
Resuelve:
1.
2.
3. 8x
4.
5.

55
6.
7.
8.
9.
10. Imagina que el rectángulo siguiente tiene un área de 54 cm2
. ¿Cuánto mide su base y su altura?
Escribe la expresión algebraica que representa su base
_____________________________________________
Sin medir, encuentra la longitud de la altura y la base resolviendo:

56
FFiigguurraass sseemmeejjaanntteess..
1. Indica con un si o un no los relojes que no estén a escala con respecto a este
Cuando dos figuras están a escala, las medidas de los lados de una de las figuras son proporcionales
a las medidas de los lados de la otra.
2. Se quiere ampliar la siguiente fotografía de de tal manera que el homólogo del lado que
mide mida ¿Cuánto debe medir el otro lado?

57
3. En base a la siguiente figura y utilizando instrumentos de medición, contesta:
De los siguientes trapecios, ¿cuál está hecho a escala respecto al anterior? Identifica, en el trapecio a
escala, los vértices correspondientes a A, B, C, D y anótales A’, B’, C’ y D’ respectivamente.
¿En qué te fijaste para elegir el trapecio hecho a escala? ____________________
Mide los segmentos y luego calcula las siguientes razones o cocientes:
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
¿Cómo son entre sí los cocientes: iguales o diferentes? ____________________
Anoten la medida de los ángulos interiores:

58
CCrriitteerriiooss ddee sseemmeejjaannzzaa ddee ttrriiáánngguullooss..
Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos ángulos de otro triángulo, entonces los
triángulos son semejantes.
Demostración: Supongamos que
1. Marcamos en los lados del de tal
manera que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅. Entonces, el
por el axioma C-LAL de congruencia de
triángulos afirmar que el .
2. Sabemos que y por hipótesis
resulta que
3. Por teorema de Tales:
Los son semejantes.
Corolario. Si
II y los son semejantes.
4. Podemos afirmar que:
es decir, los lados correspondientes de los triángulos
son proporcionales y los ángulos correspondientes de
los triángulos son:
B’’
C’’A’
B’
C’
Criterio - De dos ángulos

59
Si un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es congruente con un ángulo agudo de otro triángulo
rectángulo, entonces dichos triángulos son semejantes.
1. En el triángulo rectángulo siguiente se ha trazado la altura. Por lo tanto, el triángulo ADC es
rectángulo.
¿Por qué el es semejante al ? Localiza los lados correspondientes y completa las
siguientes igualdades:
2. En la siguiente figura ̅̅̅̅ II ̅̅̅̅̅
a) Los ángulos marcados con una línea son congruentes. ¿Por
qué?
b) Los ángulos BCA y AC’B’ son congruentes. ¿Por qué?
c) ¿Por qué son congruentes los triángulos?
d) Escribe las proporciones entre los lados.
e) Si ¿cuánto mide ?
f) Si ¿cuánto mide ?
a b c
d e f
D D
C
A
B
C
B’
C’

60
Si en dos triángulos se tiene que:
, entonces los triángulos son semejantes.
3. En la siguiente figura se sabe que:
a) ¿Son semejantes ? ¿Por qué?
b) Si ¿cuánto mide ?
c) Si ¿cuánto mide ?
d)
a b
c d
4. Identifica la variable a buscar y resuelve el problema:
Criterio – De dos lados
A
B’
C’
B
C

61
Si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres lados de otro, entonces los triángulos
son semejantes.
La Gran Pirámide de Guiza, construida por Keops (Jufu), es una de las siete Maravillas del Mundo.
Cuenta la leyenda que Tales visitó Egipto, según testimonio de Josepho y de Aecio, quien le atribuye,
además, una teoría sobre las crecidas del Nilo (De placitis reliquiae, IV, 1, 1). Refuerzan esta noticia
Plinio (Hist. Nat. XXXVI, 82) y Plutarco (Septem sapientium convivium, 147a) que informan que Tales
descubrió la forma de conocer la altura de las pirámides.
5. En base a la siguiente información, calcula la altura de la pirámide. La sombra que proyecta la
pirámide es de 153.5m, la sombra del bastón de 1.5m es de 1.7m.
Criterio – De tres lados

62
ÍÍnnddiicceess ddee ddiivveerrssaass ssiittuuaacciioonneess..
Llámese índice a los números indicadores, que describen los cambios o evolución de una variable.
Frecuentemente los índices están asociados a cantidades que representan precios o valor, pero
también se utilizan para analizar cambios en variables como el tiempo, la situación geográfica,
ingresos económicos o cualquier otra característica.
Ejemplo: Supongamos que te ofrecen la siguiente información: Para la producción de granos en una
comunidad agrícola de Valle de Santiago Gto., se tiene la cantidad de toneladas producidas en
ciertos meses, el precio por tonelada y como valor, el producto de las toneladas producidas por el
precio de cada tonelada.
Mes
Cantidad de
toneladas
Precio en miles
de pesos
Valor
Enero 120 2 240
Febrero 150 3.5 525
Marzo 210 3.8 798
Abril 114 3.9 444.6
Para saber la evolución de la cantidad de toneladas de grano en cada mes, o del precio por tonelada
o del valor del producto, será necesario establecer un punto de partida, es decir, el mes desde el cual
se iniciarán las mediciones de los cambios. Si se toma como referencia el mes de enero, se tendrá
una tabla de porcentajes como la siguiente (completa los datos):
Mes
Cantidad de
toneladas
Precio en miles
de pesos
Valor
Enero 100% 100% 100%
Febrero 175%
Marzo
Abril 95%
En este sentido, un número índice es una cantidad porcentual relativa a un periodo base determinado
y sirve para medir la evolución de una variable.

63
Con los datos de las siguientes tablas define números índices; tres índices por tabla.
1. Matrícula universitaria.
Facultad
Total
Agronomía Arquitectura
Bellas
artes
Economía Ingeniería Pedagogía
Sexo
Mujer 240 3 2 140 40 15 440
Hombre 190 12 3 210 250 2 667
Total 430 15 5 350 290 17 1 107
Completa las celdas de las siguientes tablas:
Índice matrícula
total
Total
Porcentaje que
representa
Índice
matrícula
por sexo
Hombres
(IMT) 39.74%
Índice de mayor
matrícula por
facultad
Agronomía Economía
38.84%
2. Religión. Sugerencia utiliza los totales del campo que consideres.
Región económica
Total
África
América
latina
Asia/Pacífico
Europa
oriental
OCDE
Oriente
medio
Religión
mayoritaria
Animista 4 0 0 0 0 0 4
Budista 0 0 7 0 0 0 7
Católica 5 20 1 5 10 0 41
Hindú 0 0 1 0 0 0 1
Judía 0 0 0 0 0 1 1
Musulmana 6 0 5 1 0 15 27
Ortodoxa 0 0 0 6 1 1 8
Protestante 2 1 1 2 10 0 16
Taoísta 0 0 2 0 0 0 2
Tribal 1 0 0 0 0 0 1
Total 18 21 17 14 21 17 108

64
3. Nivel de felicidad.
Nivel de felicidad
Total
Alto Medio Bajo
Región del país
Norte 185 412 76 673
Sureste 149 215 47 411
Oeste 133 245 42 420
Total 467 872 165 1 504

65
SSiimmuullaacciióónn..
Simulación es un recurso que consiste en diseñar, para una situación aleatoria real y complicada,
una segunda situación aleatoria cuyos eventos tengan la misma probabilidad de ocurrir que en la
primera, con la ventaja que en esta nueva situación podemos observar, calcular y utilizar los
resultados para obtener información de la situación original.
Ante las votaciones en las que se elige al presidente del país, es común que antes de dicho evento se
hable de “encuestas” que señalan como “virtual ganador” a tal o cual candidato. ¿Cómo creen que se
obtiene esta información?
Lo que se hace regularmente es obtener una muestra representativa de la población total, es decir,
que refleje las características de ésta (por ejemplo, edad, nivel socioeconómico, género). A esa
muestra se le aplica la encuesta y con ello se tiene un resultado que se presume será parecido al de
las votaciones reales. También se utilizan programas de cómputo que simulan la situación sin
necesidad de hacer encuestas.
1. Un agente de ventas sabe que cada vez que visita un cliente tiene 15% de probabilidad de hacer
dos ventas, 45% de probabilidad de hacer sólo una y 40% de no vender nada. Si en una ocasión
tiene cita con seis clientes.
¿Cuánto puede esperar ganar ese día si por cada venta que realiza gana $115.00?
La Probabilidad clásica también se conoce como probabilidad
teórica.
Probabilidad clásica Probabilidad
frecuencial
Cuando tiene una
visita, ¿cuáles son
sus probabilidades?
Construye una ruleta casera como la que se
muestra en la imagen y gira la manecilla. Registra la
zona en la que para, realiza esta operación veinte
veces procurando impulsar la manecilla con la
misma fuerza. Registra tus resultados en la tabla
que se te proporciona.

66
Es importante que el recurso de simulación considere los mismos resultados posibles y las mismas
probabilidades que las de la situación original, razón por la cual el concepto y cálculo de los valores
de la probabilidad frecuencial son necesarios.
En relación a los resultados obtenidos, ¿cuál es el resultado que más veces apareció?
_________________
2. De acuerdo a los resultados de la simulación, ¿cuál es la probabilidad de realizar dos ventas?
_________________
3. ¿Cuál es la probabilidad de hacer solo una venta? _________________
4. Si consideras los resultados de la simulación con la ruleta ¿cuál es la probabilidad de realizar solo
una venta?
_________________
5. En la fábrica de focos A, se sabe que la producción tiene un 20% de focos defectuosos; mientras
que la de la fábrica B tiene un 25%. Si se junta el mismo número de focos de cada fábrica y se
escoge uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el foco escogido sea de la fábrica A y no tenga
defecto?
Genera una simulación del problema anterior

67
Autoevaluación bloque 2.
1. Hallar un número, diferente de cero, sabiendo que su cuadrado es igual al duplo del número
multiplicado por 6.
2. El área de un rectángulo es de 33 m2
y la base mide 8 m más que la altura. Calcular las
dimensiones.
3. El área del rectángulo es 120 u2
. Subraya la ecuación que hay que resolver para saber cuántas
unidades mide su altura.
4. El volumen del cubo es 125 cm3
. El área de una de sus caras es:
7. Se quiere ampliar la siguiente fotografía de de tal manera que el homólogo del lado que
mide mida ¿Cuánto debe medir el otro lado?
A = 33 m2
x+8
x
Recuerda que se subraya el resultado.

68
8. Subraya las igualdades que corresponden a la semejanza de de estos triángulos.
9. Araceli encontró la razón de semejanza correcta en los triángulos ABC y CDE que se representan
en la siguiente figura:
10. ¿Cuál es la distancia de la casa de Román al punto de observación, siguiendo el recorrido?
11. Observa el siguiente dibujo y de acuerdo con los datos proporcionados en él, indica con cuál de
las siguientes expresiones podemos calcular la altura (D) del árbol.
( )
C
D
D
¿Cuál de las siguientes opciones muestra la relación de semejanza
que obtuvo Araceli?

69
12. Llámese índice a:
Los valores que adquiere una variable. Los números primos.
Los números indicadores, que describen los cambios o evolución de una variable.
Los cambios en los precios de un producto.
13. Un estudio que comenzó en 1990 analiza el salario promedio mensual de un joven que acaba de
empezar a trabajar. Dicho estudio tomó medidas cada 5 años, hasta el 2005, obteniendo los
siguientes resultados:
Determina el valor del índice que presente mayor variación entre un periodo quinquenal y otro.
14. La siguiente tabla muestra el número de bibliotecas públicas en operación en la República
Mexicana de 2003 a 2006.
En 2005, la población en la República Mexicana era de 103 263 388 personas. ¿Cuántos habitantes
por biblioteca hubo en 2005?
Año Salario ($)
1990 7 500
1995 9 500
2000 13 000
2005 18 000
Año
Número de
bibliotecas
Índice
(en porcentajes)
Variación
2003 6 610 100 0%
2004 6 810 103.0257 3.0257%
2005 7 010 106.0514 6.0514%
2006 7 210 109.0771 9.0771%

70
15. En la fábrica de focos A, se sabe que la producción tiene un 20% de focos defectuosos; mientras
que la de la fábrica B tiene un 25%. Si se junta el mismo número de focos de cada fábrica y se
escoge uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el foco escogido sea de la fábrica A y no tenga
defecto?
¿Cuál de los siguientes experimentos simula el problema anterior?
Una bolsa con 200 canicas: 20 rojas, 25 azules y 155 amarillas; se extrae una canica, se anota el
color y se regresa la canica a la bolsa.
Una bolsa con 200 canicas: 100 rojas y 100 azules, 20 de las canicas rojas y 25 de las azules
están marcadas con una “d”; se extrae una canica, se anota el color y si tiene o no la letra “d”; luego
se regresa la canica a la bolsa.
Dos bolsas de canicas: la primera tiene 20 canicas azules y 80 rojas, y la segunda bolsa tiene 25
canicas azules y 75 canicas rojas; se extrae una canica de cada bolsa, se anota el color y se
regresan.
Dos bolsas de canicas: la primera tiene 100 canicas rojas, 20 están marcadas con una “d”, y la
segunda bolsa tiene 100 canicas azules y 25 están marcadas con una “d”; se extrae una canica de
cada bolsa, se anota el color de cada una y si tiene o no la letra “d”; luego se regresan las canicas a
la bolsa.
16. Una camioneta de transporte colectivo realiza un recorrido en el que hay 10 paradas fijas. Si al
salir de la terminal se han subido cuatro personas desconocidas entre sí, ¿cuál es la probabilidad de
que dos personas bajen en una misma parada?
¿Cuál de los siguientes experimentos simula el problema anterior?
En una bolsa se ponen cuatro papelitos numerados del 1 al 4. En otra bolsa, se ponen diez
papelitos numerados del 1 al 10. Se extrae un papelito de cada bolsa, se anotan los números y se
regresa cada uno a su bolsa. Se hacen cuatro extracciones.
En una bolsa se ponen diez papelitos numerados del 1 al 10. Se extrae un papelito, se anota el
número y el papelito no se regresa a la bolsa. Se hacen cuatro extracciones.
En una bolsa se ponen diez papelitos numerados del 1 al 10. Se extrae un papelito, se anota el
número y se regresa a la bolsa. Se hacen cuatro extracciones.
En una bolsa se ponen cuatro papelitos numerados del 1 al 4. Se extrae un papelito, se anota el
número y se regresa a la bolsa. Se hacen cuatro extracciones.

71
Bloque 3.
FFuunncciioonneess yy eexxpprreessiioonneess aallggeebbrraaiiccaass..
Un trinomio de segundo grado define una función haciendo corresponder a cada número real , el
valor numérico del polinomio Esta función recibe el nombre de función cuadrática.
Representando el valor numérico del polinomio por . Se obtiene la función:
La gráfica de esta función es una curva llamada parábola. La trayectoria de un proyectil, el cable que
sostiene un puente colgante, etc., son ejemplos de figuras parabólicas
La función

72
1. Se construye una tabla de valores
2. Se llevan los puntos sobre un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares
3. Se unen los puntos mediante una curva continua
Ejemplo
Representar gráficamente la función
Construyamos una tabla de valores dando a una serie de valores crecientes y calculando los
correspondientes de Cada par de valores correspondientes se representa gráficamente por un
punto y el conjunto de todos los puntos es la gráfica.
Esta parábola tiene las siguientes características: pasa por el origen, es tangente al eje de las , es
simétrica respecto al eje de las y se abre hacia arriba, es decir, dirige su concavidad hacia la parte
positiva del eje de las .
1. Resuelve el siguiente ejercicio: las tablas siguientes muestran las relaciones entre números de
acuerdo a un enunciado algebraico. Selecciona la expresión que corresponda a la relación de
números de cada tabla.
Tabla 1 Tabla 2 Tabla 3 Tabla 4
Valor1 Valor2 Valor1 Valor2 Valor1 Valor2 Valor1 Valor2
1 5 1 1 -2 5 1 1
2 7 2 8 -1 2 2 3
3 9 3 27 0 1 3 6
4 11 4 64 1 2 4 10
5 13 5 125 2 5 5 15
6 15 6 216 3 10 6 21
Fórmula Tabla
x y puntos
-4 16 (-4,16)
-3 9 (-3,9)
-2 4 (-2,4)
-1 1 (-1,1)
0 0 (0,0)
1 1 (1,1)
2 4 (2,4)
3 9 (3,9)
4 16 (4,16)

73
Representa con una expresión algebraica, la regla que rige la variación de los siguientes casos:
2. La distancia y recorrida por un automóvil que va a una velocidad constante durante un tiempo t.
3. El área del círculo en función del radio r.
4. El área del círculo en función del diámetro d.
5. El área del círculo en función de la circunferencia c.
6. Representar gráficamente la función
7. Representar gráficamente la función

74
FFóórrmmuullaa ggeenneerraall..
Resolución de una ecuación completa de segundo grado completando cuadrados
(Antecedentes para entender y conocer la fórmula general).
Este nuevo método consiste en hacer que el binomio formado por los dos términos que contienen a la
incógnita quede en el primer miembro y completarlo para obtener un trinomio cuadrado perfecto,
resolviendo después la ecuación por descomposición en factores.
1. Se traslada el término independiente al segundo miembro
2. Si el coeficiente de es distinto de la unidad, se dividen los dos miembros entre dicho coeficiente
3. Se agrega a los dos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente de obteniéndose así, en
el primer miembro, un trinomio cuadrado perfecto
4. Se expresa el primer miembro como el cuadrado de un binomio
5. Se extrae la raíz cuadrada de ambos miembros
6. Se despeja el valor de obteniéndose las dos raíces de la ecuación
7. Se comprueban las raíces
Ejemplo
Sea la ecuación
Las raíces son:
( )

75
Resuelve:
1.
2.
3.
4.
5.
6.

76
7.
8.
Resolución de la ecuación completa de segundo grado aplicando la fórmula general.
A partir de la ecuación completa , la fórmula que permite resolver rápidamente la
ecuación es:
√
Demostración de la fórmula a partir del procedimiento anterior, ya estudiado.
Ecuación
√
√
√
√
√

77
1. Se lleva la ecuación a la forma
2. Se identifican los coeficientes a, b y c, con su respectivo signo
3. Se hallan las raíces de la ecuación aplicando la fórmula general
√
Ejemplo Resolver la ecuación aplicando la fórmula general
Comparando esta ecuación con la fórmula general, se tiene:
Sustituyendo estos valores en la fórmula resulta:
√
√
√
Separando las raíces:
Resuelve:
1.
2.

78
3.
4.
5.
6.
7.

79
TTeeoorreemmaa ddee TTaalleess..
Cuando dos rectas que se intersecan son cortadas por dos o más paralelas, se cumple que las
medidas de los segmentos formados por las paralelas que intersecan a una de las rectas son
proporcionales a las medidas de los segmentos correspondientes formados por las paralelas que
intersecan a la otra.
Ejemplo: El triángulo OPP´ es semejante al triángulo OQQ´ porque sus lados correspondientes son
proporcionales y sus ángulos son iguales
1. Observa la siguiente figura.
2. Considera las medidas que se dan de algunos de los segmentos y completa la tabla.
Recta m Recta n
Razón entra las medidas de los segmentos formados por las
paralelas
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅´=
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅´=
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
Teorema de Tales

80
3. Divide un segmento AB en dos partes tales que la razón entre las medidas de las dos partes sea
2:3.
4. Divide un segmento cualquiera en partes cuya razón sea, respectivamente:
5. El siguiente esquema muestra tres terrenos que colindan uno a uno. Los límites laterales son
segmentos perpendiculares a la calle 8 y el frente total de los tres terrenos en la calle 9 mide 120
metros. Determina la longitud de cada uno de los lotes de la calle 9.

81
HHoommootteecciiaa ddee ffiigguurraa..
El concepto de homotecia es un subconjunto del de semejanza.
Ejemplo dos figuras son homotéticas si:
 A. Sus lados correspondientes son proporcionales.
 B. Sus ángulos correspondientes son iguales.
 C. Sus lados correspondientes (homólogos) son paralelos.
 D. Por sus puntos homólogos (vértices) hacemos pasar una recta, observamos que todas las
rectas se intersecan en un mismo punto llamado centro de homotecia.
1. Identifica las propiedades A, B, C y D en la figura anterior; escribe la letra correspondiente sobre
la figura anterior.
Para la construcción de figuras homotéticas.
a) Elegimos un espacio en el plano y colocamos el centro de homotecia, cercano a la figura original.
b) Trazamos una recta, desde cada uno de los vértices de dicha figura al centro de homotecia.
c) Reproducimos nuevos puntos sobre estas rectas, a una distancia proporcional (razón homotética)
de los vértices de la figura origen hacia el punto de homotecia. Desde luego podemos extender las
rectas pasando la figura origen o hacia el otro lado del centro de homotecia y construir otra u otras
figuras homotéticas. Si las figuras están situadas del mismo lado del centro de homotecia, se dice que
esta homotecia es directa y si están situadas del otro lado, hablamos de homotecia inversa.

82
2. Construye una figura homotética, aplicando una razón homotética inversa (negativa) al pentágono
ABCDE, el vértice correspondiente (homólogo) al vértice A es A3.
a) ¿Cuánto mide OA?
b) ¿Por cuál numero tienes que multiplicar OA para obtener OA3?
c) Con la mecánica anterior, localiza los demás puntos.
3. Identifica y construye figuras homotéticas en el siguiente ejercicio, a partir de las propiedades
revisadas.

83
GGrrááffiiccaass ddee rreellaacciioonneess ffuunncciioonnaalleess..
La gráfica asociada a la relación entre tiempo y distancia de un cuerpo con aceleración constante, es
una curva conocida como parábola.
Por otro lado, cuando la gráfica es una parábola, la relación es cuadrática.
1. El siguiente dibujo muestra una canica a punto de caer por una rampa (plano inclinado) de 400 cm
de largo.
Usando fotografía de estroboscopio, se mide la distancia que la canica ha recorrido en cada segundo
transcurrido desde que se soltó. En la tabla que se muestra a continuación se indica el resultado de
esta medición.
Tiempo 0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s
Distancia 0 cm 10 cm 40 cm 90 cm 160 cm 250 cm
¿Cuál de estas gráficas representa la relación entre el tiempo y la distancia recorrida por la canica?
____________
a b c d

84
2. Localiza los puntos relacionados de la tabla anterior en el siguiente plano cartesiano.
Posteriormente dibuja la gráfica.
3. En base a la gráfica; aproximadamente, ¿qué distancia lleva recorrida la canica cuando han
transcurrido 2.5 segundos?
_________
4. ¿Qué distancia lleva recorrida la canica cuando han transcurrido 3.5 segundos?
_________
La gráfica asociada a la relación entre tiempo y distancia de un cuerpo con aceleración constante (por
ejemplo, la caída de una canica en un plano inclinado) es una curva conocida como parábola. En la
siguiente gráfica se ha dibujado una parábola. La gráfica que corresponde al ejemplo de la canica es
la parte derecha de una parábola.
5. De las siguientes gráficas ¿cuál describe el movimiento de una canica en un plano inclinado,
impulsada desde abajo hacia arriba?:
Distancia en
centímetros.
Tiempo en
segundos.

85
FFoorrmmaa yy ppoossiicciióónn ddee llaa ccuurrvvaa..
En las gráficas de las funciones cuadráticas, hay valores en la expresión que hacen que la forma y
posición de los puntos sobre la grafica se modifiquen.
Ejemplo: En una familia de rectas que tienen la misma pendiente (a constante) y distinta ordenada al
origen (b diferente) entonces todas las rectas son paralelas.
1. Completa las tablas calculando los valores de y para cada uno de los valores de x.
-2 -2 -2
-3 -3 -3
-2 -2 -2
-1 -1 -1
0 0 0
1 1 1
2 2 2
3 3 3
2. Ubica en el plano cartesiano los puntos de las coordenadas (x,y) que obtuviste en las tablas
anteriores y traza las gráficas de las expresiones correspondientes.

86
3. La intersección de las tres gráficas, ¿en qué punto es? _______________________
En la expresión correspondiente a una parábola, el número b es llamado ordenada al origen.
4. En el plano cartesiano siguiente se encuentran las gráficas de tres parábolas
Se dice que la parábola rosa está más abierta que la parábola azul y más cerrada que la parábola
verde
5. En base a la información de las gráficas anteriores completa la tabla siguiente:
¿Qué parábola esta más abierta, o bien
¿Por qué?
¿En que expresión el coeficiente del término de segundo grado es mayor, en o bien en
?
¿Qué parábola está más abierta que todas las demás?
¿Qué coeficiente del término de segundo grado tiene esa parábola?
Expresión
algebraica
Ordenada al
origen
Coeficiente del
término de
segundo grado
V
VR
R
A
A

87
6.-Las siguientes gráficas muestran los cambios en el parámetro a de la expresión y = ax2
+ b, pon
bajo la gráfica la expresión que le corresponde a cada una de las gráficas.
7. En el siguiente plano cartesiano se encuentran las graficas de las expresiones: y = x2
– 1;
y = 3x2
– 1
a) ¿La gráfica de la parábola y = x2
– 1 estará más abierta o más cerrada que la parábola
y = 3x2
– 1?
b) ¿A qué expresión corresponde la parábola rosa?
A R

88
8. Completa la siguiente tabla para encontrar los elementos de las parábolas.
Parábola
Ordenada al
origen
Coeficiente del
término de
segundo grado
Para dónde abre
la parábola (hacia
arriba o hacia
abajo)
Vértices
9. Completa la siguiente tabla para encontrar los elementos de las parábolas.
Parábola
Ordenada al
origen
Coeficiente del
término de
segundo grado
Para dónde abre
la parábola (hacia
arriba o hacia
abajo)
Vértices
10. Haz la gráfica de la parábola y = (x – 2)2
+ 1 y responde lo que se pide.
a) ¿Cuál es la ordenada al origen de la parábola?
b) ¿Cuál es vértice de la parábola?

89
GGrrááffiiccaass ffoorrmmaaddaass ppoorr sseecccciioonneess rreeccttaass yy ccuurrvvaass..
Con frecuencia encontramos situaciones en las que la gráfica asociada a dos cantidades que varían
una respecto de la otra resulta ser la unión de dos o más segmentos de líneas rectas y curvas.
Ejemplo:
Para este recipiente Para este recipiente
La gráfica que representa el aumento del nivel del agua
respecto al tiempo es:
La gráfica que representa el aumento del nivel del agua
respecto al tiempo es:
Y para el recipiente formado con la unión de los recipientes anteriores
La gráfica que representa el aumento del nivel del agua respecto del tiempo es la unión de las gráficas
correspondientes a cada una de las partes.
1. Las gráficas que aparecen a continuación representan la altura que alcanza un elevador en
movimiento en función del tiempo.
Indica ¿qué gráfica representa el hecho de que el elevador se detuvo en cada piso? _________
A B C D

90
2. Relaciona el llenado de cada recipiente con una de las gráficas.
3. Realiza un bosquejo de la gráfica que corresponde al llenado del siguiente recipiente, suponiendo
que el agua cae de manera constante.
4. Realiza un bosquejo de la gráfica que corresponde al llenado del siguiente recipiente, suponiendo
que el agua cae de manera constante.
Recipiente RecipienteGráfica Gráfica

91
AAuuttooeevvaalluuaacciióónn bbllooqquuee 33..
1. Representa con una expresión algebraica, la regla que rige la variación del siguiente caso.
El volumen de un cubo (y) en función de la longitud de la arista (x).
2. A un cartón rectangular cuyos lados miden 4 cm y 5 cm se le ha recortado en cada esquina un
cuadrado de lado x. De las siguientes expresiones, ¿cuál permite calcular el área y del cartón sin las
esquinas?
3. En la ecuación aplicando la fórmula general
¿Cuál es el valor de a, b y c?
4. Resolver la ecuación aplicando la fórmula general.
5. Resolver la ecuación aplicando la fórmula general.
6. Determina lo que debe medir el segmento CD para que las rectas AC y BD sean paralelas.
7. Dos niños participarán en una prueba de velocidad en un circuito como el que se muestra en la
figura:
Considera: PR = 6.4 m, PO = 5 m y OV = 5 m
Subrayar el resultado
Ambos salen del punto P y el primero tiene que llegar
al punto V, pasando por el punto O. El segundo tiene
que llegar al punto K pasando por el punto R.
¿Cuántos metros recorre el segundo niño cuando va
del punto R al punto K.

92
8. Determina lo que debe medir el segmento CD para que las rectas AC y BD sean paralelas.
9. ¿Cuál de las siguientes figuras presenta una homotecia con valor de -1? (considera el punto O
como el centro de homotecia)
10. Observa las siguientes pirámides hexagonales:
Si la distancia del centro de homotecia (0) al punto marcado con la letra A en la figura I es de 3u y su
altura (h) es de 6u, ¿cuál será la medida de la altura (h´) de la pirámide II si la distancia de el punto A
de la figura I al punto A´ de la figura II es 4u?
11. El siguiente dibujo se muestra una canica a punto de caer por una rampa (plano inclinado) de 300
cm de largo.
Usando fotografía de estroboscopio, se mide la distancia que la canica
ha recorrido en cada segundo transcurrido desde que se soltó. En la
tabla que se muestra a continuación se indica el resultado de esta medición.
Tiempo 0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s
Distancia 0 cm 10 cm 30 cm 80 cm 150 cm 230 cm
a b
c d

93
¿Cuál de estas gráficas representa la relación entre el tiempo y la distancia recorrida por la canica?
12. ¿Cuál de las siguientes representaciones corresponden a la distancia recorrida por un objeto en
caída libre al vacío?
13. En el siguiente plano cartesiano se encuentran las graficas de las expresiones:
¿A qué expresión corresponde la parábola rosa?
14. En la expresión , ¿cuál es la ordenada al origen?
15. Relaciona el llenado del siguiente recipiente con una de las gráficas.
a b c d
a b c d
R=Rosa
A=Azul
RA

94
Bloque 4
SSuucceessiioonneess nnuumméérriiccaass yy ffiigguurraattiivvaass..
Se entiende por sucesión a un conjunto de números o figuras que se encuentran en algún orden.
Existen problemas en los que se trata de predecir el término que sigue en una sucesión como la
mostrada: 6, 13, 20, 27, 34, , … Sin embargo, hay sucesiones que presentan mayor dificultad para
hallar el número siguiente, como en: 5, 11, 21, 35, 53, … En estos casos puede aplicarse el llamado
método de diferencias.
5
6
11 4
10
21 4
14
35 4
18
53
1. Completar los procesos de encontrar el sexto y séptimo término de la sucesión
a. 3, 6, 11, 18, 27, ,… b. 4, 13, 28, 49, 76, ,…
3
6
11
18
27
4
13
28
49
76
c. 4, 8, 14, 22, 32, , ,… d. 3, 3, 5, 9, 15, , ,…
4
8
14
22
32
3
3
5
9
15
4
Para que el patrón continúe en la tercera columna, ¿qué número debe
venir después del 18 en la segunda columna? ¿Qué número debe venir
después del 53 en la primera columna?
Este método de encontrar términos faltantes de una sucesión se le
llama método de diferencias

95
2. 3n-1 es la regla de una sucesión. Obtén los primeros cinco términos de esta sucesión y encuentra
sus diferencias. ¿Cuántas columnas se deben calcular para encontrar una de valores constantes?
1
2
3
4
5
3. n2
+2n-1; n3
-1 son las reglas de sucesiones. Encuentra la columna donde estén los valores
constantes
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5

96
¿Qué relación observas entre los valores constantes y las expresiones?
Las funciones cuadráticas pueden servir para generar sucesiones de números. La siguiente tabla
tiene una lista de algunos números figurativos.
Configuración Número poligonal
Cálculo del enésimo
término
Sucesión
Triangulares 1, 3, 6, 10, …
Cuadrados 1, 4, 9, 16, …
Pentagonales 1, 5, 12, 22, …
Hexagonales 1, 6, 15, 28, …
4. Llenar las celdas vacías
Número figurativo
Enésimo término
Como expresión de segundo
grado
Valores de a, b y c
Triangulares
Cuadrados
Pentagonales
Hexagonales

97
5. Observa la siguiente sucesión de figuras.
Escribe la sucesión de medidas de las bases de los rectángulos
Escribe la sucesión de números con las alturas de los rectángulos
Encuentra la sucesión de números correspondientes a las áreas de la sucesión de figuras.
¿Cuántos cuadritos formarán la figura que se halla en la posición n?
6. Reflexiona en la siguiente disposición de cubos.
Enuncia la expresión algebraica que establece el número de cubos que forman la figura que ocupa la
enésima posición de la sucesión.
7. Encuentra las formulas para obtener cualquier término de las siguientes sucesiones:
Sucesión Diferencia Expresión general
2, 4, 6, 8, 10,…
3, 5, 7, 9, 11,…
2, 7, 12, 17, 22,…
2, 5, 8, 11, 14,…
5, 2, -1, -4, -7,…

98
TTeeoorreemmaa ddee PPiittáággoorraass eenn llaa rreessoolluucciióónn ddee pprroobblleemmaass..
En todo triángulo rectángulo, si a y b son las medidas de los catetos y c la medida de la hipotenusa
se cumple que:
Es decir, el área del cuadrado de lado c (hipotenusa) es igual a la suma de las áreas de los
cuadrados del lado a y el lado b (catetos).
1. En una escuela se quiere adaptar un salón para las clases de danza. Se han comprado algunos
espejos para el salón con las siguientes medidas:
Teorema de Pitágoras
Existe un inconveniente: la entrada
del salón mide 2m de alto y 1m de
ancho.
a) ¿Cuáles son los espejos que
pueden pasar por esta entrada?
b) ¿Cómo lo puedes determinar?
c) Si la media del largo de los espejos
que se compraron es de 2.5m, ¿cuál
es la medida máxima del ancho que
puede tener un espejo para pasar por
esa entrada?
Se quiere colocar un espejo de 2.5m x
2.5m en uno de los salones de la
escuela. Los salones tienen una única
entrada con las siguientes
dimensiones.
d) ¿En qué salones es posible que
entre el espejo?
e) ¿Por qué?

99
2 . Una antena de TV mide 10m de altura y está fijada con alambres, uno de los cuales mide 18m.
a) ¿A qué distancia de la base de la antena queda fijo el alambre de 18m sobre el piso, si se usa toda
la longitud del alambre?
b) En la misma antena de TV, otro de los alambres está fijo al piso a una distancia de 9m de la base.
¿Cuál es la longitud de ese alambre?
3 . El tamaño de una pantalla de televisión se define como la longitud de la diagonal de la pantalla en
pulgadas.
a) Una pantalla mide 56’’ de ancho y 42’’ de alto, ¿qué
longitud mide la diagonal de esta pantalla?
b) ¿Si la diagonal de una pantalla es de 25´´? Da por lo
menos dos combinaciones de medidas.

100
RRaazzoonneess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass..
El Canadarm 2; un brazo manipulador robótico gigantesco de la estación Espacial Internacional, es
operado controlando los ángulos de sus articulaciones. Calcular la posición final del astronauta en el
extremo del brazo requiere un uso repetido de las funciones trigonométricas de esos ángulos que
se forman por los varios movimientos que se realizan.
http://www.aexa.tv
El seno de un ángulo es igual al inverso multiplicativo de la cosecante del mismo ángulo.
El valor de estas razones está relacionado con el del ángulo, de tal modo que a cada valor
corresponde un valor único de la razón. Es decir, que estas razones son funciones del ángulo.
A estas razones se las conoce como funciones trigonométricas de los ángulos.
1. De estos siete triángulos en donde se distinguen los ángulos A, B, C, D, E, F y G. Completa la tabla
posterior.
B
a
A C
c
b
Rosa
Morado
Verde
Azul
Rojo
Amarillo
Naranja

101
Cateto
adyacente
(cm)
Cateto
opuesto
(cm)
Hipotenusa
(cm)
Triángulo verde
(ángulo A)
Triángulo rojo
(ángulo B)
Triángulo naranja
(ángulo C)
Triángulo amarillo
(ángulo D)
Triángulo azul
(ángulo E)
Triángulo morado
(ángulo F)
Triángulo rosa
(ángulo G)
2. A determinada hora del día un edificio proyecta una sombra de
150m sobre un punto en el piso formando un ángulo de 40o
desde
el punto en el piso hasta la parte más alta del edificio, como se
muestra en la figura. ¿Qué altura tiene el edificio?
3. En un faro situado a
40m sobre el nivel del mar,
se observa un barco bajo
un ángulo de 24o
, como se
muestra en la figura. ¿A
qué distancia se encuentra
el barco del faro?

102
4. El ángulo desde la horizontal hasta tu recta visión presenta dos casos:
a) Si miras hacia arriba, medirás el ángulo de
elevación.
b) Si miras hacia abajo, medirás el ángulo de
depresión.
El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un ángulo de depresión de
12o
. Un buzo es bajado 40m hasta el fondo del mar. ¿Cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo
para encontrar los restos del naufragio?
5. Un árbol de hoja perenne está sostenido por un alambre que se extiende desde 1.5 pies debajo de
la parte superior del árbol hasta una estaca en el suelo. El alambre mide 24 pies de largo y forma un
ángulo de 58° con el suelo. ¿Qué altura tiene el árbol?

103
CCrreecciimmiieennttoo aarriittmmééttiiccoo yy ggeeoommééttrriiccoo..
En la naturaleza se pueden encontrar distintas formas de reproducción de las especies, lo que nos ha
llevado a vincular dichas generaciones con los crecimientos exponenciales y proporcionales;
relacionados a su vez con sucesiones geométricas y aritméticas respectivamente.
En las sucesiones geométricas sus términos son el resultado de multiplicar el término anterior por un
número fijo, llamado razón común; este número, se puede obtener también elevándolo a algún
exponente.
En las sucesiones aritméticas sus términos son el resultado de sumar al término anterior un número
fijo llamado diferencia común; de esta forma se da un crecimiento lineal y proporcional.
Ejemplo gráfico de crecimiento exponencial y lineal.
1. ¿Cuál de las siguientes sucesiones crece exponencialmente?
a) 5, 15, 45, 135…
b) 2, 6, 9, 12…
c) 3, 12, 27, 48…
d) 5, 10, 15, 20…
a) 5, 8, 11, 14…
b) 2, 6, 18, 54…
c) 3, 12, 27, 48…
d) 2, 6, 10, 14…

104
3. Se sabe que una población de conejos aumenta el 10% cada año. Si actualmente hay 1 000
conejos en esa población, ¿cuántos conejos habrá dentro de 3 años?
4. Se sabe que una población de conejos aumenta el 5% cada año. Si actualmente hay 2 000 conejos
en esa población, ¿cuántos conejos habrá dentro de 3 años?
5. Juan planea invertir $10 000 pesos por 3 años. El banco ha ofrecido pagarle el 10% de intereses
cada año y una empresa le ha ofrecido pagar 1 100 pesos cada año. ¿Con cuál de las dos ofertas
ganará más dinero?
6. María planea invertir $10 000 pesos por 3 años. El banco ha ofrecido pagarle el 20% de intereses

105
RReepprreesseennttaacciióónn ddee llaa iinnffoorrmmaacciióónn..
Para tener idea del comportamiento de un fenómeno es necesario consultar datos sobre diversos
aspectos de ese fenómeno. Así, por ejemplo, alrededor del crecimiento de estalactitas y estalagmitas
en una gruta se pueden plantear y analizar diversas preguntas, como las siguientes:
1. ¿Qué son y cómo crecen las estalactitas y las estalagmitas?
Las siguientes tablas muestran cómo han crecido una estalactita y su correspondiente estalagmita
durante los últimos 6 años.
La cueva tiene 2 m de alto. Cuando se medio por primera vez se observó un perfil como el siguiente:
2. Transcurridos dos años desde la primera medición, ¿qué tan cerca estarán las dos puntas?
3. ¿Y en seis años?
4. Realiza una predicción acerca del momento en que se unirán las estalactitas y las estalagmitas.
Justifica tu respuesta.

106
Algunos aspectos a estudiar con respecto a la población.
5. Para dar respuesta a las preguntas siguientes, tienes que investigar sobre los campos de la tabla
posterior; ¡pero del censo anterior! y comparar.
Población Guanajuato Estados Unidos Mexicanos
Población total, 2010 5,486,372 112,336,538
Población total hombres, 2010 2,639,425 54,855,231
Población total mujeres, 2010 2,846,947 57,481,307
Relación hombres-mujeres, 2010 92.7 95.4
Hogares, 2010 1,266,772 28,159,373
Hogares con jefe hombre, 2010 964,206 21,243,167
Hogares con jefe mujer, 2010 302,566 6,916,206
Tamaño promedio de los hogares, 2010 4.3 3.9
6. ¿En qué porcentaje se incrementó la población de México y del estado de Guanajuato en relación
al censo anterior?
En relación a los hogares:
7. ¿Qué podemos analizar respecto a la diferencia que existe entre el país y el estado?
8.- Comparando estos datos con el censo anterior ¿qué ha ocurrido?

107
AAuuttooeevvaalluuaacciióónn bbllooqquuee 44..
1. ¿Cuál es el sexto término de la siguiente sucesión? 3, 6, 11, 18, 27, ,…
2. ¿Cuál es el sexto y séptimo término de la siguiente sucesión? 4, 8, 14, 22, 32, , ,…
,41
3. 3n-1 es la regla de una sucesión. Obtén los primeros cinco términos de esta sucesión y encuentra
sus diferencias. ¿Cuántas columnas se deben calcular para encontrar una de valores constantes?
1
2
3
4
5
4. ¿Cuántos cubos tendría la cuarta sucesión figurativa?
5. ¿Cuál es la fórmula para obtener la siguiente sucesión? 2, 7, 12, 17, 22, …
n+1
Figura 1
Figura 2
Figura 3

108
6. Una escalera está recargada sobre una pared de 4 m de altura y el pie de la escalera está a 4 m de
la barda. ¿Cuánto mide la escalera?
7. A una cerca de madera se le necesita colocar un travesaño para reforzarla. ¿Cuál es la longitud
que debe tener el travesaño, si la cerca tiene 3 m de largo y 1.5 m de alto?
8. ¿Cuál es el perímetro del trapecio?
9. Observamos el punto más alto de una torre bajo un ángulo de sobre la horizontal. Si nos
alejamos 350 metros, lo vemos bajo un ángulo de . ¿A qué altura se encuentra la torre?
10. Encuentra la altura de la torre y la longitud del tirante que la sostiene.

109
12. Se sabe que una población de conejos aumenta el 10% cada año. Si actualmente hay 1 000
conejos en esa población, ¿cuántos conejos habrá dentro de 3 años?
13. María planea invertir $10 000 pesos por 3 años. El banco ha ofrecido pagarle el 20% de intereses
14. La siguiente tabla muestra el número de horas a la semana que ven televisión los alumnos de una
escuela:
Horas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Alumnos 10 4 7 20 25 22 16 12 8 15 5 3 2 0 1
De las siguientes gráficas, ¿cuál representa mejor esta situación?
a b
c d

110
Bloque 5
EEccuuaacciióónn lliinneeaall,, ccuuaaddrrááttiiccaa yy ssiisstteemmaa ddee eeccuuaacciioonneess..
Plantear y resolver problemas mediante el uso de ecuaciones resulta ser uno de los objetivos de la
competencia matemática, por lo que es importante desarrollar esta capacidad.
Ejemplo:
Hallar un número, diferente de cero, sabiendo que su cuadrado es igual al duplo del número
multiplicado por 6.
 Sea el número que buscamos.
 El cuadrado del número es
 El duplo es
La ecuación, de acuerdo con el problema es:
y pasando al primer miembro
Resolviendo la ecuación, que es una ecuación incompleta del tipo
De las dos soluciones, sólo es valida, de acuerdo con las condiciones del problema, la segunda, o
sea, El número buscado es 12
Comprobación.
El número
Duplo del número
Cuadrado del número
Duplo del número por

111
Recuerda utilizar el Modelo de apoyo para resolver problemas, ¡no olvides verificar!
Resuelve:
1. El área de un rectángulo es de y la base mide más que la altura. Calcular las
dimensiones.
2. Diversas personas se deben repartir un premio de $200 en partes iguales. Al hacer el reparto,
cinco de ellas desisten a su parte a favor de las demás y entonces a cada una de las restantes le
corresponde $20 más. ¿Cuántas personas eran antes de realizar el reparto?
3. Hallar tres números enteros consecutivos, tales que la suma de los cuadrados de los dos menores
sea igual al cuadrado del mayor, más doce unidades.
4. En una tienda un artículo de $56 se vende, en barata; rebajado en un tanto por ciento igual al
precio de venta. ¿Cuál es el precio de venta?
5. Hallar un número distinto de cero, tal que el triple de su cuadrado sea igual a 6 veces el mismo
número.
6. Un número es igual al cuadrado de otro y la suma de ambos es 42 ¿cuáles son estos números?
7. Hallar dos números pares consecutivos, cuyo producto sea igual a 224.

112
8. El terreno cuadrado que se ilustra abajo tiene un área de , se desea utilizar únicamente
la parte que aparece coloreada en la figura. Si es la medida del lado de ese cuadrado que se va a
usar, ¿qué medida es ?
9. El área del cuadrado de color, en la siguiente ilustración, es de . ¿Cuánto mide el lado del
cuadrado mayor?
10. En el plano de la fachada de un edificio antiguo, un arqueólogo observa que algunos datos se han
borrado. (Ver la figura siguiente) ¿Cuáles son esos datos, si se sabe que todas las medidas que
faltan son iguales y que además el área de todas las fachadas es ?

113
11. La base de un triángulo mide más que la altura y el área es de . Calcular la base y la
altura.
En su libro “Diálogos sobre dos nuevas ciencias” (1637) Galileo Galilei estudia por primera vez con
toda precisión la caída libre de los cuerpos y señala fórmulas para resolver problemas relativos a
dicho movimiento. Por ejemplo, para calcular el tiempo t que tarda en caer un objeto que ha sido
lanzado desde una altura a, con una velocidad inicial v, aplicaba la fórmula:
12. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo un objeto que es lanzado desde la Torre de Pisa (40 m de
altura) con una velocidad inicial de 10 m por segundo?
13. Una pelota con una rapidez horizontal de rueda por una mesa con una altura de
¿Cuánto tiempo le tomará llegar al suelo? ¿Qué tan lejos llegará de un punto en el piso directamente
abajo del bode de la mesa?
14. Encontrar dos números cuya suma es 11 y el producto 30.

114
15. Se necesitan 76m de tela para la confección de cortinas. Si la tela encoge un 5%, ¿cuántos
metros deberán comprarse?
16. Un objeto se vende en barata en $105.40 con una rebaja del 15% del precio normal. ¿Cuál era el
precio normal?
17. Al comenzar el año escolar un alumno compra 6 libros y 7 cuadernos por $199.00 Para completar
su equipo de trabajo le faltan 2 libros y 3 cuadernos que compra posteriormente por $71.00 ¿Cuánto
le cuesta cada libro y cada cuaderno suponiendo que todos los libros tienen el mismo precio y todos
los cuadernos también?
18. En una función de cine se recaudaron $2 500.00 Si hay boletos de $10.00 y $6.00, ¿cuántos
boletos se vendieron de cada clase, si en total asistieron 350 personas?

115
CCiilliinnddrrooss,, ccoonnooss yy eessffeerraass..
Un cilindro sólido es un cuerpo geométrico que puede generarse cuando un rectángulo gira en torno
a uno de sus lados o a un segmento paralelo a ellos. Por tal motivo, es un sólido de revolución y se
le llama así porque un significado de revolución es vuelta o giro. Un cono sólido es un cuerpo
geométrico que puede generarse cuando un triángulo isósceles gira en torno a su eje de simetría. La
esfera es un cuerpo geométrico que puede generarse cuando un círculo se gira en torno a uno de
sus ejes. Por tal motivo, el cono y la esfera también son sólidos de revolución.
Superficie cilíndrica. Denomínese superficie cilíndrica la engendrada por una recta que se mueve de
tal modo que es siempre paralela a una recta fija y pasa por una curva fija cuyo plano no contiene la
recta fija.
Generatriz. Llámese generatriz de una superficie cilíndrica tanto la recta que la engendra como toda
recta que representa ésta en una de sus posiciones.
Cilindro. Llámese cilindro un sólido limitado por una superficie cilíndrica y dos superficies planas
paralelas.
La sección de un cilindro determinada por un plano que contiene una generatriz es un paralelogramo.
Las bases de un cilindro son iguales.
1. Marca en el recuadro los desarrollos planos con los que se puede construir un cilindro recto sin que
se desperdicie papel.
Cilindro

116
2. Ten presente el siguiente desarrollo para armar un cilindro.
El desarrollo plano del cilindro está constituido por dos secciones planas circulares llamadas bases y
una superficie curva que es un rectángulo.
El ancho del rectángulo tiene de medida donde r es el radio de las bases y la altura del
rectángulo corresponde a la altura del cilindro. Construye un cilindro
a) Obtén el perímetro del círculo
b) ¿Cuánto debe medir el ancho del rectángulo?
c) ¿Qué relación debe existir entre el ancho del
rectángulo y el perímetro del circulo?
Recuerda agregar pestañas para poder pegar
todas las secciones planas.

117
Superficie cónica. Llámese superficie cónica toda superficie engendrada por una recta que se
mueve de tal modo que siempre corta una curva plana fija y pasa por un punto exterior al plano de
esta curva. La curva fija se llama directriz; el punto fijo, vértice.
Generatriz. Llámese generatriz de una superficie cónica la recta que engendra la superficie y también
toda recta que representa una de las posiciones por que pasa aquélla; esto es, toda recta que va del
vértice a la directriz.
Cono. Llámese cono todo sólido limitado por una superficie cónica y por un plano que corta todas las
generatrices.
Toda sección de un cono determinada por un plano que pasa por el vértice es un triángulo.
Toda sección paralela a la base de un cono circular es un círculo.
1. Marca en el recuadro los desarrollos planos con los que se puede construir un cono sin que se
desperdicie papel.
Cono

118

119
2. La circunferencia siguiente es de 3cm de radio y el sector circular sombreado es de un ángulo
central de 120o
.
El desarrollo plano del cono está formado por una superficie plana circular llamada base y una
superficie lateral curva que es un sector circular.
Si consideramos R al radio del sector circular que forma la superficie lateral del cono y r al radio de la
base del cono, para calcular el ángulo del circular (x) se establece la siguiente proporción:
Construye un cono.
a) ¿Cuál es la medida de la
circunferencia
b) ¿Qué proporción de la
circunferencia completa es el arco
del sector circular?
c) ¿Cuál es la medida del arco del
sector circular?
d) La superficie lateral del cono es
generada por el sector circular
¿cuánto debe medir el perímetro
de la base del cono
e) El radio de la base del cono
¿cuánto debe medir?

120
Esfera. Llámese esfera un sólido limitado por una superficie en donde todos sus puntos equidistan de
un punto interior.
Este punto se llama centro. La superficie se llama superficie esférica, y a veces esfera también. La
mitad de una esfera se llama hemisferio o semiesfera. Los términos radio y diámetro tienen
significados análogos a los dados al tratar el circulo.
Igualdad de los radios y diámetros. Es claro que todos los radio de una esfera son iguales y que
también los son todos los diámetros; que esferas iguales tienen radios iguales y que esferas de radios
iguales son iguales.
Toda sección plana de una esfera es un círculo.
Todos los puntos de un círculo de una esfera equidistan de cada polo del círculo.
1. ¿Cuál de los siguientes objetos genera una esfera al girar entorno al eje?
No es posible hacer de forma exacta el desarrollo plano de una esfera. Los mapas de la tierra que
vemos frecuentemente son desarrollos aproximados.
Sin embargo existen varias maneras de “aplanar” una esfera, pero hay una en particular que tiene
buenas propiedades, como la de conservar ángulos. Es la denominada proyección estereográfica.
Consideremos la esfera 2-dimensional de radio 1 (con centro el origen de coordenadas (0, 0, 0)):
Le quitamos el polo norte (0, 0, 1). Consideremos también un plano tangente al polo sur (0, 0,-1)
(podríamos considerar en su lugar el plano que contiene al ecuador).
La idea es proyectar cada punto de la esfera sobre el plano, de la siguiente manera: Tomamos un
punto de la esfera y trazamos una línea recta que una el polo norte con este punto hasta cortar con el
plano. ¡El punto de corte es el que buscamos!
Esfera

121
Para que quede más claro puedes ver la siguiente imagen:
2. Esfera terrestre. La Tierra tiene forma de esfera, y presenta unos elementos imaginarios que
sirven para situar puntos sobre su superficie.
Sobre el siguiente dibujo de la esfera terrestre, señala.
a) Los polos.
b) El eje terrestre.
c) De rojo, el meridiano cero.
d) De azul, dos meridianos.
e) De verde, el ecuador.
f) De amarillo, dos paralelos.

122
JJuussttiiffiiccaacciióónn ddee ffóórrmmuullaass..
El volumen de un cilindro circular es igual al producto de la base por la altura.
Sea C un cilindro circular de base b, altura h y volumen V.
Demostrar que
Ejemplo:
Demostración. Supóngase inscrito en C un prisma de base regular b’ y volumen V’.
Cuando se aumenta indefinidamente el numero de caras,
Ahora bien, es siempre igual a
por tanto,
L.Q.Q.D.
Corolario. El volumen de un cilindro de revolución de radio r y altura h es .
1. Justificar que

123
El volumen de un cono circular es igual a un tercio del producto de la base por la altura.
Sea V el volumen de un con circular de base b y altura h.
Demostrar que
Ejemplo:
Demostración. Supóngase inscrita en el cono una pirámide de base regular b’ y volumen V’.
Si el número de caras de la pirámide se aumenta indefinidamente,
Y por tanto
L.Q.Q.D
Corolario. En todo cono circular de radio r y altura h
2. Justificar que

124
EEssttiimmaarr yy ccaallccuullaarr vvoollúúmmeenneess..
El Volumen de un cilindro, al igual que el de un prisma, se multiplica el área de su base por su
altura. Dado que la base de un cilindro siempre es un círculo, el volumen se calcula multiplicando el
valor de por el radio al cuadrado y por la altura.
1. Calcula el volumen de los siguientes cilindros.
El volumen de un cono, al igual que el de una pirámide, es la tercera parte del área de su base por
su altura. Dado que la base de un cono siempre es un círculo, el volumen se calcula multiplicando el
valor de por el radio al cuadrado y por la altura y el resultado se divide entre tres.
2. ¿Qué cantidad de agua consideras que le cabe a un cono de papel con las medidas indicadas.
4.6 cm
r = 3 cm
7 cm
r = 2.5 cm
3 cm
10 cm

125
3. Los siguientes cuerpos con superficies curvas tienen exactamente la misma medida de la base y la
altura.
a) ¿Cuál tiene mayor volumen?
b) ¿Cuántas veces más volumen crees que tenga?
4. Una copa en forma de cono mide 6 cm de radio en la base del cono y 10 cm de altura.
Carlos pide que le sirvan sólo la mitad de lo que le cabe a la copa. La persona que sirve pone líquido
hasta la mitad de la altura. Carlos se molesta porque le sirvieron menos líquido del que había pedido.

126
a) ¿Cómo supo Carlos que le sirvieron menos?
b) ¿Cuánto líquido le dieron de menos?
5. Un vaso en forma de cilindro mide 6 cm de diámetro y 12 cm de altura. Al vaso le cabe…_______
a) menos de un cuarto de litro de leche.
b) más de un cuarto de litro de leche.
c) exactamente un cuarto de litro de leche.
d) más de medio litro de leche.
6. Una jarra en forma de cilindro mide 12 cm de diámetro y 20 cm de altura. A la jarra le
caben …______
a) más de 2 litros de agua.
b) menos de 2 litros de agua.
c) exactamente 2 litros de agua.
d) más de 3 litros de agua.

127
GGrrááffiiccaass ddee ccaajjaa--bbrraazzooss..
Los procedimientos gráficos, son útiles para ofrecer un rápido resumen visual de una gran cantidad
de medidas; en suficientes ocasiones un dibujo vale más que mil datos numéricos.
La gráfica estadística llamada caja-brazos (boxplot o de bigotes) se construye a partir de la
mediana.
La mediana es una de las medidas de tendencia central y se define como el valor que ocupa la
posición central cuando los datos se ordenan de menor a mayor. Por lo tanto, la mediana divide los
datos ordenados en dos conjuntos de igual número de datos.
Una gráfica caja-brazos es una representación que divide en cuatro partes el total de datos.
Construcción de la gráfica en tres pasos:
Paso 1
Se determina el valor de la mediana (Me) y a partir de él, se forman dos grupos
de datos: La primera mitad (de 0 a 50% de los datos) y la segunda mitad (de
51% a 100%).
Paso 2
Cada mitad se divide en dos grupos, en los que se identificará también su
mediana. Cada grupo corresponde a un 25% de los datos.
Paso 3
Se identifican el valor más pequeño de los datos que es el extremo inferior y el
valor más grande que es el extremo superior.

128
1. A los 20 alumnos de un grupo se les preguntó acerca del tiempo que requieren para desplazarse
de su casa a la escuela. Los tiempos en minutos fueron:
20, 20, 15, 5, 30, 15, 25, 10, 20, 5, 40, 35, 30, 30, 20, 10, 10, 25, 15, 25
¿Cuál de las siguientes gráficas caja-brazos representa este conjunto de datos?
2. El número de aciertos que un grupo de alumnos obtuvo en la prueba de ingreso a preparatoria fue
el siguiente:
75, 97, 71, 65, 84, 27, 108, 91, 122, 82, 96, 58, 94, 43, 116, 123, 91, 120, 94, 43
¿Cuál de las siguientes gráficas caja-brazos representa este conjunto de datos?

129
3. A un grupo de alumnos se les preguntó:
¿Cuántas horas al día de su tiempo libre dedican a la lectura, sin tomar en cuenta las que dedican a
sus libros de texto?
Los siguientes datos corresponden a los resultados de esa pregunta:
Valor mínimo
(extremo inferior)
25% Mediana 50% 75%
Valor máximo
(extremo superior)
0 horas al día 2 horas al día 4 horas al día 6 horas al día 8 horas al día
a) Construye la gráfica caja-brazos con los datos anteriores
4. Sabemos que el 75% de los alumnos de un grupo obtuvo una calificación menor a 8 en el examen
de matemáticas. ¿Cuál de las siguientes opciones representa los resultados del grupo?
a) Gráfica A
b) Gráfica B
c) Cualquiera de las dos gráficas
d) Ninguna de las dos gráficas

130
MMeeddiiddaass ddee llooccaalliizzaacciióónn ddeell cceennttrroo::
 La media
 La mediana
 La moda
Media (media aritmética, promedio)
La media aritmética ̅ de un conjunto de n medidas es simplemente su suma dividida entre n
Si los pesos, con aproximación de kilogramos de cinco hombres son 72, 83, 94, 69, 80 kilogramos
encuentre la media aritmética.
̅
Mediana (me)
La mediana de una colección de datos ordenados en orden de magnitud es el valor medio o la media
aritmética de los dos valores medios.
Sean los números 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 8, 10 la mediana es 6
Sean los números 5, 5, 7, 9, 11, 12, 15, 18; su mediana es
Moda (mo)
La moda de una serie de números es aquel valor que se presenta con mayor frecuencia, es decir, es
el valor más común. La moda puede no existir, incluso si existe puede no ser única.
El sistema 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18 tiene de moda 9
El sistema 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16 no tiene moda
El sistema 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 tiene dos modas, 4 y 7 por lo que se llama bimodal; una
distribución que tiene una sola moda se llama unimodal.
Hasta el momento se han repasado los valores centrales de la distribución, pero también es
importante conocer si los valores en general están cerca o alejados de estos valores centrales, es por
lo que surge la necesidad de estudiar medidas de dispersión.

131
Rango
Es la primera medida que vamos a estudiar, se define como la diferencia existente entre el valor
mayor y el menor de la distribución. Lo notaremos como R. Realmente no es una medida muy
significativa en la mayoría de los casos, pero indudablemente es muy fácil de calcular.
Desviación media o desviación promedio ( ̅
Es el promedio de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media de la muestra.
̅
La primera desviación es: | | ̅
Varianza (V)
La varianza es el promedio de los cuadrados de las desviaciones de la media
Desviación estándar (Ds)
La desviación estándar es quizá la medida más importante de dispersión usada en la teoría
estadística y se define como la raíz cuadrada de la varianza
√

132
4. De acuerdo a la siguiente tabla obtén las medidas de tendencia central y de dispersión de uno de
los cuatro municipios referidos en el periodo 2005. Construye la gráfica boxplot.

133
AAuuttooeevvaalluuaacciióónn ddeell bbllooqquuee 55..
1. El área de un rectángulo es de y la base mide m más que la altura. Calcular las
dimensiones.
2. Hallar tres números enteros consecutivos, tales que la suma de los cuadrados de los dos menores
sea igual al cuadrado del mayor, más doce unidades.
3. El rendimiento de un automóvil es de 8 km por litro de gasolina en la ciudad y de 12 km por litro en
autopista. Si recorrió en total 472 km y consumió 42 litros de gasolina, ¿cuántos kilómetros se
recorrieron en la ciudad y cuántos en autopista?
4. El terreno cuadrado que se ilustra abajo tiene un área de , se desea utilizar únicamente
la parte que aparece coloreada en la figura. Si es la medida del lado de ese cuadrado que se va a
usar, ¿qué medida es ?
5. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo un objeto que es lanzado desde la Torre de Pisa (40m de
altura) con una velocidad inicial de 10m por segundo?

134
6. Carlos amarró con una cuerda un medio círculo como se muestra abajo.
Tomó el otro extremo de la cuerda, la trasladó alrededor de su cabeza rápidamente y notó que se
formaba un cuerpo geométrico. ¿Cuál de las siguientes figuras representa el cuerpo geométrico que
Carlos vio?
7. Tenemos sobre una mesa una gelatina en forma de cono recto a la cual se le realiza un corte con
una cuchilla, tal como se muestra en el dibujo:
¿Cuál es la figura que se puede ver en el corte hecho por la cuchilla?
a b c d

135
8. Observa el siguiente dibujo que representa un planeta de juguete al que se le hicieron algunos
cortes a diferentes distancias:
Si se representa la variación de la longitud de los radios de los círculos obtenidos con respecto a las
diferentes alturas en la esfera, entonces, ¿cuál de las siguientes tablas representará correctamente
está variación?
9. Un rectángulo que mide 2 cm de base y 3 cm de altura, se gira tomando como eje uno de sus lados
mayores. ¿Cuál de los siguientes desarrollo planos corresponde al cuerpo que se genera?
10. Un vaso en forma de cilindro mide 6 cm de diámetro y 12 cm de altura. Al vaso le cabe…
a
b
c
d
a b c d

136
11. A los 20 alumnos de un grupo se les preguntó acerca del tiempo que requieren para desplazarse
de su casa a la escuela. Los tiempos en minutos fueron:
20, 20, 15, 5, 30, 15, 25, 10, 20, 5, 40, 35, 30, 30, 20, 10, 10, 25, 15, 25
¿Cuál de las siguientes gráficas cajabrazos representa este conjunto de datos?
12. El número de aciertos que un grupo de alumnos obtuvo en la prueba de ingreso a preparatoria fue
el siguiente:
75, 97, 71, 65, 84, 27, 108, 91, 122, 82, 96, 58, 94, 43, 116, 123, 91, 120, 94, 43
¿Cuál de las siguientes gráficas caja-brazos (boxplot) representa este conjunto de datos?
13. Sabemos que el 25% de los alumnos de un grupo obtuvo una calificación menor a 7 en el examen
de matemáticas. ¿Cuál de las siguientes opciones representa los resultados del grupo?
a b c d

137
14. Una empresa divide a sus obreros en dos clases. Si tanto la clase A como la clase B tienen la
misma mediana en sueldo. ¿En cuál de las siguientes gráficas se representa correctamente los
sueldos de las 2 clases de obreros?
15. En una encuesta se preguntó cuantas veces al año salían de viaje y con los resultados se hizo la
siguiente gráfica caja brazos:
¿Cuál fue el máximo de veces que alguien salió de viaje?
a b
c d

138
RReeffeerreenncciiaass
BBiibblliiooggrrááffiiccaass
Castillo Macías, Araceli et. al. Matemáticas III. Vol. I y II México, D.F. SEP. 2008.
Mancera Martínez, Eduardo. Matemáticas 3. México, D.F. Santillana. 2009. 415pp.
Escareño, Fortino y Olga Leticia López,. Matemáticas 3. México, D.F. Trillas. 2009. 256pp.
Santaló, Marcelo y Vicente Carbonell. Matemáticas cuarto curso. México, D.F. Porrua 6te
ed. 1978. 373pp.
Caballero C., Arquímedes et. al. Matemáticas tercer curso. México. Esfinge vigésima quinta ed. 1989. 237pp.
Cardenas Trigos, Humberto et. al. Matemáticas tercer curso educación media básica. México, D.F. CECSA.
1983. 310pp.
Polya, G. Cómo plantear y resolver problemas. México, D.F. Trillas. 1965. 216pp.
Wenworth, Jorge y David Eugenio Smith. Geometría plana y del espacio. México, D.F. Porrua 19a
ed. 1995.
469pp.
Cuellar, Juan Antonio. Matemáticas II para bachillerato. México, D.F. McGraw-Hill Interamericana. 2005. 282pp.
National Council of Teachers of Mathematics. Recopilación, organización e interpretación de datos. Trad. de
Federico Velasco Coba. México, D.F. Trillas. 1970. 58pp.
National Council of Teachers of Mathematics. Sugerencias para resolver problemas. Trad. de Federico Velasco
Coba. México, D.F. Trillas. 1970. 83pp.
Digitales
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http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Historia/MateOspetsuak/Thales2.asp
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