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Pensamientomatemático3/SecundariaOmarViguerasHerrera
Pensamiento
matemático 3Secundaria
Omar Vigueras Herrera
Pensamiento
matemático 3
Secundaria
Este material fue elaborado para el Programa de Fortalecimiento de la Calidad en Educación
Básica, en específico para el Proyecto Local “La escuela secundaria, un lugar donde todos y todas
concluimos nuestros estudios”; por lo que no podrá comercializarse por ninguna vía, ya que es
para uso exclusivo de la Administración Federal de Servicios Educativos en el Distrito Federal.
Este programa es público, ajeno a cualquier partido político. Queda prohibido el uso para fines
distintos a los establecidos en el programa.

3
Bloque 1 8
Desafío 1. Las carreras 10
Prácticas
1. Ecuaciones de segundo grado 12
2. Congruencia y semejanza de figuras 14
3. Criterios de congruencia y de semejanza 16
4. Proporcionalidad y gráficas 18
5. Gráficas cuadráticas 20
6. Eventos mutuamente excluyentes
e independientes 22
7. Encuestas y estadísticas 24
Matemáticas curiosas 30
Bloque 2 28
Desafío 2. Teorema de Pitágoras 30
Prácticas
8. Problemas de factorización 32
9. Rotación y traslación 34
10. Simetría axial y central 36
11. El Teorema de Pitágoras 38
12. Ejercicios del Teorema de Pitágoras 40
y complementarios 42
Bloque 3 46
Desafío 3. Ecuaciones cuadráticas 48
Prácticas
14. Fórmula general 50
15. Problemas de congruencia y semejanza 52
16. Teorema de Tales 54
17. Homotecia 56
18. Gráficas de funciones cuadráticas 58
19. Gráficas de diferentes formas 60
20. Eventos independientes 62
Índice
Bloque 4 66
Desafío 4. Seno, coseno y tangente 68
Prácticas
21. Sucesiones cuadráticas 70
22. Sólidos de revolución 72
23. Elementos de una línea recta 74
24. Elementos de un triángulo rectángulo 76
25. Las razones trigonométricas 78
26. La razón de cambio 80
27. Análisis en las gráficas 82
Bloque 5 86
Desafío 5. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 88
Prácticas
28. Ecuaciones de segundo grado y problemas 90
29. Las cónicas 92
30. Volumen de cilindros y conos 94
31. Problemas de volumen de cilindros y conos 96
32. Modelos no lineales 98
33. Juegos justos 100
5 1
6
2
Pensamiento matemático 3
Fue elaborado por Ek Editores S. A. de C. V. para la Coordinación Sectorial de Educación
Secundaria, perteneciente a la Dirección General de Operación de Servicios Educativos,
de la Administración Federal de Servicios Educativos en el Distrito Federal.
Presentación 4
Metodología 6
Autor
Edición y revisión técnica
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Coordinación de arte y diseño
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Diseño de interiores y formación
Lylyán del Carmen Ramírez Ramírez
Diseño de portada
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Imágenes
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Primera edición: febrero de 2015
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de la Industria Editorial Mexicana
Reg. Núm. 3728
ISBN edición digital: 978-607-8248-50-6
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4 5
• Ideas diferentes del maestro sobre lo que signi-
fica enseñar y aprender.
Se trata entonces de que el docente proponga proble-
mas interesantes, debidamente articulados, para que
los alumnos aprovechen lo que ya saben y avancen en
el uso de técnicas y razonamientos cada vez más efica-
ces. Lo que se pretende con esta estrategia didáctica
es lo siguiente:
• Lograr que los alumnos se acostumbren a buscar
por su cuenta cómo resolver los problemas que
se les plantean, mientras el docente observa y
cuestiona a los equipos de trabajo, tanto para
conocer los procedimientos y argumentos que
se ponen en práctica, como para aclarar dudas,
destrabar procesos y lograr que los alumnos
avancen.
• Acostumbrarlos a leer y analizar los enunciados
de los problemas.
• Lograr que los alumnos aprendan a trabajar de
manera colaborativa.
Esta estrategia didáctica ayuda a la correcta implemen-
tación del currículo en Matemáticas, la transformación
de la práctica docente, el logro de los aprendizajes y
una mejora en la calidad educativa, ya que permite:
• Centrar la atención en los estudiantes y en sus
procesos de aprendizaje.
• Planificar para potenciar el aprendizaje.
• Generar nuevos ambientes de aprendizaje.
• Trabajar en colaboración para construir el apren-
dizaje.
• Generar materiales para favorecer el aprendizaje.
• Incorporar temas de relevancia social.
• Reorientar el liderazgo.
• Incorporar la tutoría y la asesoría académica en
el aula.
• La evaluación continua y, por tanto, a los docen-
tes les permite evaluar para aprender.
Actualmente los requerimientos de la sociedad a la es-
cuela son muy diferentes de los de hace veinte años,
debido al gran avance tecnológico en las comunicacio-
nes y la electrónica, áreas que han cambiado la forma
de vida de casi todos los habitantes del planeta. El gran
avance tecnológico ha hecho que la sociedad de todo
el mundo sufra cambios, creándose nuevas sociedades
en el ámbito de las Tecnologías de la Información y las
Comunicaciones (TIC), y dando origen a la Sociedad de
la Información y a las Sociedades del Conocimiento.
Entiéndase por Sociedad de la Información aquella en
la cual la creación, distribución y manipulación de la in-
formación forman parte importante de las actividades
culturales y económicas, basándose en los progresos
tecnológicos como la red de Internet, la cual juega un
papel fundamental para el acceso e intercambio de in-
formación.
Las Sociedades del Conocimiento, concepto más com-
plejo, se refieren a los cambios en las áreas tecnológi-
cas y económicas, basadas en la educación, formación
de los nuevos ciudadanos y nuevas formas de trabajo.
Estos cambios en nuestra sociedad son las causas de
los actuales requerimientos a la educación actual, y por
tanto a la escuela y a los maestros, ya que se necesita
un nuevo tipo de ciudadano más acorde con la era tecno-
lógica que se está viviendo y que posea competencias
que le permitan desarrollarse en este tipo de socie-
dades.
Los nuevos ciudadanos, hoy nuestros alumnos, necesi-
tan adquirir competencias personales, sociales y profe-
sionales, diferentes de las nuestras, y que hoy resultan
imprescindibles.Esta presencia de la tecnología en mu-
chas de las actividades que realizamos actualmente
exige a su vez que los programas de estudio contem-
plen nuevas temáticas y que el profesorado tenga de-
terminados conocimientos, competencias y actitudes
relacionados con las TIC, y que se comprometa con la
búsqueda de estrategias adecuadas a los nuevos re-
querimientos sociales.
De acuerdo con lo anterior, se requiere el cambio de rol
del profesor para hacer frente a estos requerimientos,
centrándose la labor docente en el aprendizaje del
alumno y tomando el papel de facilitador del conoci-
miento y guía del alumno en el aprendizaje.
La forma de trabajar la asignatura de Matemáticas en el
salóndeclasestambiénexigeuncambio,yaquesenece-
sita que el alumno desarrolle determinadas habilidades y
destrezas para que sea competente en los aprendizajes
esperados del Plan y de los Programas de Estudio.
La estrategia que se propone para el trabajo de la
asignatura de Matemáticas, de acuerdo con los re-
querimientos sociales de la actualidad, se basa en los
principios pedagógicos que marca el Acuerdo 592, el
cual establece utilizar secuencias de situaciones pro-
blemáticas, contextualizadas lo más cercano al entor-
no de los alumnos, que despierten el interés de éstos
y los inviten a reflexionar, a encontrar diferentes for-
mas de resolver los problemas, a formular argumentos
que validen los resultados y que permitan llevar a cabo
una evaluación continua e integral de la asignatura. Al
mismo tiempo, las situaciones problémicas planteadas
deberán aplicar justamente los conocimientos y las ha-
bilidades que se requieren desarrollar.
Porotra parte, la solución de las situaciones planteadas
deben construirse en el entendido de que existen diver-
sas estrategias posibles de las cuales hay que usar al
menos una, en la cual el alumno debe usar sus conoci-
mientos previos para comprender dicha situación.
El reto para el alumno consiste en reestructurar algo
que ya sabe, ya sea para modificarlo, ampliarlo, recha-
zarlo o para volver a aplicarlo en una nueva situación.
Este tipo de reto implica que la actividad intelectual
fundamental en estos procesos de estudio se apoya
más en el razonamiento que en la memorización, origi-
nando que el conocimiento de reglas, algoritmos, fór-
mulas y definiciones solo sea importante en la medida
en que los alumnos lo puedan usar para solucionar pro-
blemas y reconstruir en caso de olvido. Esta estrategia
didáctica implica enfrentar a los alumnos y a los docen-
tes a nuevos retos que requieren:
• Actitudes distintas del alumno frente al conoci-
miento matemático.
Presentación

6 7
6. Inicio de los trabajos. El docente indica a los
alumnos en cuanto tiempo deben solucionar la
actividad. Por lo general, las actividades están
diseñadas para que las resuelvan en un tiempo
máximo de 20 minutos, pero queda a criterio del
docente en función de los avances de su grupo.
Es posible que algunas actividades se tengan
que desarrollar en más de una sesión de clases,
pero cuando no sea este el caso, el docente
debe distribuir el tiempo de tal forma que pueda
llevar a cabo las actividades posteriores.
7. Monitoreo de los equipos de trabajo. El moni-
toreo consiste en supervisar el desarrollo de los
trabajos de los equipos, asesorando y guiando a
los alumnos en la resolución de la actividad, pero
sin darles la respuesta, sólo ofreciendo suge-
rencias sobre la información que necesitan para
llegar a su objetivo. Una forma de hacer esto
es formulando preguntas a los integrantes del
equipo, pero sin dar las respuestas. En esta fase
es cuando el docente registra las observacio-
nes grupales e individuales con el propósito de
evaluar las acciones y reacciones de los alum-
nos, así como ajustar la estrategia de acuerdo
con el grupo.
8. Puesta en común. La puesta en común es la
discusión y análisis, entre los integrantes de los
equipos, de la situación problemática plantea-
da, en la cual presentan y explican sus procedi-
mientos y estrategias de solución, y tiene como
objetivo la socialización de los aprendizajes ad-
quiridos en los equipos de trabajo con los demás
integrantes de los otros equipos.
Cada equipo de trabajo pasa al frente a presen-
tar la forma en la cual solucionaron el desafío. El
docente debe propiciar, por medio de cuestiona-
mientos, el análisis de las respuestas dadas, de
tal forma que induzca a los alumnos a comprobar
cuál es la respuesta correcta.
El maestro no debe dar la respuesta, ésta la de-
ben obtener los alumnos. Esto es con el fin de
que adquieran confianza en las soluciones que
dan y que las verifiquen, y de esta forma hacer-
los independientes del maestro en este aspecto
para que, en forma gradual, el alumno se haga
responsable de sus decisiones.
9. Cierre de la sesión. Se refiere a las conclusiones
del maestro con respecto a las observaciones
de los trabajos que se llevaron a cabo; también
tiene que ver con dejar actividades complemen-
tarias, con respecto al tema tratado, o trabajos
de investigación si así se requieren.
Metodología
Para la implementación en el aula de la estrategia didác-
ticadescrita,sedebenconsiderarlossiguientespuntos.
• El rol del docente cambia al dejar de ser la fuente
de información única de los alumnos y convertir-
se en un facilitador del aprendizaje y guía.
• El maestro no explica procedimientos, ayuda a
los alumnos a reconstruirlos por medio de situa-
ciones problemáticas contextualizadas, en lo
posible, al entorno del alumno.
• Ésta es una estrategia para trabajar en el salón
de clases el programa de estudios, no un libro de
tareas.
• Los alumnos son responsables de sus respues-
tas.
• Es labor del profesor fortalecer la comunicación y
propiciar que alumnos con mayores dificultades
de aprendizaje sean incluidos en las discusiones.
• Las dudas de los alumnos no reciben respuestas
como tales, sino que se induce a que encuentren
la respuesta por medio de preguntas.
• Hacer que los alumnos aprendan de sus propios
errores, motivándolos para que exploren sobre
nuevas soluciones.
• Respetar las opiniones de cada uno de los inte-
grantes y permitirles que expresen tanto sus
preguntas como sus aportaciones.
A continuación se describe un procedimiento general
para la aplicación de la estrategia en el aula.
1. Indicaciones sobre la forma de trabajo. El do-
cente proporciona las indicaciones para llevar a
cabo los trabajos de esa sesión, como los mate-
riales que se utilizarán, da las indicaciones con
respecto a la comunicación entre ellos, los espa-
cios en los cuales pueden llevar a cabo las acti-
vidades, su rol como docente durante el tiempo
que dure la actividad, y algunas otras recomen-
daciones acordes con el aula.
2. Acondicionamiento del aula. En función del
tamaño del aula y el tipo de muebles, las indi-
caciones del desafío a trabajar y el número de
alumnos, el docente toma la decisión sobre la
organización y acondicionamiento del aula para
llevar a cabo las actividades correspondientes
a la sesión. Se recomienda acomodar en forma
circular a los alumnos de cada equipo o frente a
frente cuando se trabaja en parejas..
3. Integración de los equipos de trabajo. Se reco-
mienda que los equipos se conformen de manera
heterogénea y al azar, ya que uno de los objeti-
vos en el trabajo colaborativo por equipos es la
interacción y unión entre todos los alumnos del
grupo, y no la división entre ellos, es decir, que
los más adelantados en la asignatura formen su
equipo y los más atrasados formen otro, ya que
también se pretende el aprendizaje entre ellos.
Se recomienda mínimo dos y máximo cinco alum-
nos por equipo.
4. Presentación de la situación problemática
(Actividad). Una vez formados los equipos de
trabajo, el docente presenta la actividad al grupo
de acuerdo con el contexto de la situación pro-
blemática planteada. Esta acción se debe llevar
a cabo en un tiempo máximo de cinco minutos.
5. Distribución de las actividades. Aunque cada
alumno debe tener su material, en el momento
de trabajar en el aula por equipos, el docente
sólo debe permitir un material por equipo de tra-
bajo, esto con el fin de que se fomente el trabajo
colaborativo, ya que si se entrega uno por alum-
no, la tendencia es trabajar de forma individual.

8 9
Bloque1 En este bloque estudiarás:
Resolución de ecuaciones de
segundo grado y sus gráficas.
Criterios de congruencia y de
semejanza.
La diferencia entre eventos
complementarios, mutuamente
excluyentes e independientes.
Contenido
Desafío 1
Las carreras
Prácticas
1. Ecuaciones de segundo grado
2. Congruencia y semejanza de figuras
3. Criterios de congruencia
y de semejanza
4. Proporcionalidad y gráficas
5. Gráficas cuadráticas
e independientes
7. Encuestas y estadísticas
Matemáticas curiosas
5 1
6
2

10 11
Desafío 1
Consigna
Esta actividad debe llevarse a cabo en equipos de 2 a 4 integrantes.
1. En su cuaderno o en una cartulina, dibujen un tablero como el que se
muestra.
2. Consigan un par de dados por equipo (de preferencia de diferente color) y
dos fichas, una roja y una azul o dos pedazos de papel.
Reglas
3. Jueguen dos carreras de la siguiente manera:
Carrera 1. Esta carrera se juega con solo un dado. La ficha roja avanza una
casilla si al lanzar el dado cae 5 o 6, la ficha azul avanza una casi-
lla si el dado cae en 1, 2 o 3. Si sale 4 ambas fichas retroceden una
casilla (si están en la salida no retroceden).
Carrera 2. Esta carrera se juega con dos dados. La ficha roja avanza una ca-
silla si la suma de los dados es 1, 2, 3, 4, 5, 10, 11 o 12, la ficha azul
avanza una casilla si la suma de los dados es 6, 7, 8 o 9.
Durante la carrera, organicen la participación del equipo, de modo que uno
de los integrantes del equipo lanza el dado, otro avanza la ficha que le corres-
ponda y uno más registra el número que salió en el dado.
Antes de iniciar el juego, predigan qué ficha llegará en primero y segundo lu-
gar y por qué.
Que los alumnos
interpreten de
forma adecuada el
espacio muestral
en una situación
de probabilidad.
Con esta actividad,
además de poner en
juego nuevamente
la probabilidad
frecuencial y
la probabilidad
clásica, se pretende
que establezcan
conexiones con
el cálculo de
probabilidades.
Intención didáctica
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Las carreras
SALIDA
LLEGADA
1
2
3
4
56
7
8
9
10
12
13
14
15
16 17
18
19
20
11

12 13
Explica por qué
una ecuación de
segundo grado
puede tener hasta
dos soluciones.
Pregunta de reflexión
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Matemáticas
rápidas
1. ¿Qué número debes
poner en el cuadro
para que se cumpla
la igualdad?
a) 2 + = 13
b) 5 + = 3
c) (5)( ) = 20
d) ( )(7) = 49
2. Anota el resultado
como se muestra
en el ejemplo.
2
3
= (2)(2)(2) = 8
a) 3
3
=
b) 7
2
=
c) 12
2
=
d) (−2)
2
=
Una ecuación cuadrática con una incógnita es una igualdad en la que, des-
pués de simplificarla; el exponente mayor de la incógnita es dos. Por ejem-
plo, las ecuaciones de la columna izquierda son ecuaciones de segundo grado
mientras que las de la derecha no lo son.
Son ecuaciones cuadráticas No son ecuaciones cuadráticas
2x2
+ 3x − 1 = x2
+ 2 2x2
+ 3x − 1 = 2x2
+ 2
3x2
− 1 = 2 2x2
+ 3x − 1 = x3
+ 2
x2
= 0 2x2
+ 3x + 1
La solución de una ecuación de segundo grado con una incógnita es un
número que al ser cambiado por la incógnita y realizar las operaciones hace
valida la igualdad. Por ejemplo:
El siguiente problema se resuelve utilizando una ecuación de segundo grado.
En un terreno rectangular la medida del ancho es el doble de la medida del
frente. Si el área del terreno es de 98 metros cuadrados, ¿cuáles son las medidas?
Ecuaciones de segundo grado Actividades
Práctica 1
El número 1 es solución de la ecua-
ción x2
− 2x + 1 = 0. Al sustituir 1 en
lugar de x y realizar las operaciones
del lado izquierdo de la igualdad
queda:
(1)2
− 2(1) + 1 =
(1)(1) − 2(1) + 1 =
1 − 2 + 1 = 0
El número 2 no es solución de la
ecuación x2
− 2x + 1 = 0. Al sustituir 2
en lugar de x y realizar las operacio-
nes del lado izquierdo de la igualdad
queda:
(2)2
− 2(2) + 1 =
(2)(2) − 2(2) + 1 =
4 − 4 + 1 = 1
Se utiliza la letra x para denotar el frente del terreno
y entonces el enunciado “la medida del ancho es el
doble de la medida del frente” indica que la medida
del ancho del terreno es de 2x. Como el área (frente
por ancho) del terreno es de 98 metros cuadrados,
la ecuación que representa el problema es:
x(2x) = 98
y de forma simplificada:
2x2
= 98.
Para resolver la ecuación 2x2
= 98;
Se divide la ecuación entre 2: x2
=
98
2
= 49;
Después, se aplica la raíz cuadrada en cada lado de la ecuación: x = √49 = 7.
Es decir, el frente del terreno mide 7 metros y el ancho 14 metros.
Frente
Ancho
1. En un parque se va a construir una fuente circular que ocupe una superfi-
cie de 28.26 m2
. ¿Cuál debe ser el radio del círculo en donde irá la fuente?
2. En un terreno rectangular la medida del ancho es el triple de la medida del
frente. Si el área del terreno es de 243 m2
, ¿cuáles son las medidas del frente
y del ancho?

3. Determina para cada ecuación cuál o cuáles de los números indicados son
sus soluciones.
Ecuación Valores
a) 3x2
= 12 1, 0, −1, −2.
b) 3x2
− 3 = 24 0, 1, 2, 3
c) x2
+ x − 2 = 0 −2, 0, 1, 2
4. Escribe una ecuación que tenga como soluciones al 1 y al 3.
5. Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones.
a) 2x2
= 72 Soluciones:
b) 2x2
+ 2x = 0 Soluciones:
c) x2
− 7x = 0 Soluciones:
d) x2
+ 3x = −2 Soluciones:
e) x2
+ 4x = −4 Soluciones:

14 15
Toda figura es
congruente a ella
misma. ¿Es cierto que
también toda figura es
semejante a sí misma?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Matemáticas
rápidas
1. Marcas las figuras
que tienen la misma
forma que la
siguiente:
Práctica 2
Dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y las mismas medidas,
incluso si una de ellas se encuentra en diferente posición respecto de la otra.
Dos figuras geométricas son congruentes cuando hay una correspondencia
entre los vértices de una y los vértices de la otra, de tal manera que se cum-
pla que la distancia entre dos vértices correspondientes de una figura y la otra
sea la misma. Además, el ángulo comprendido entre dos pares de lados de una
figura debe medir lo mismo que el ángulo comprendido entre los pares de lados
correspondientes en la otra.
Por ejemplo, los triángulos ABC y DEF son congruentes:
El vértice A es correspondiente con el vértice F, el B con el D y el C con el E, en
este caso la medida del lado a es igual a la medida f, la del lado b a la del lado d
y la del lado c al lado e. También el ángulo en el vértice A es igual al ángulo en el
vértice F, el de B con el de D y el de C con el de E.
Cuando dos o más figuras tienen la misma forma pero diferente tamaño, se di-
cen que son figuras semejantes. Es decir, dos figuras son semejantes cuando
una de ellas es reducción o ampliación de la otra.
Dos figuras geométricas son semejantes cuando hay una correspondencia entre
los vértices de una y los vértices de la otra y existe una relación de proporcio-
nalidad directa entre la medida de lados correspondientes. Además, los ángulos
comprendidos entre las parejas de lados correspondientes miden lo mismo.
Por ejemplo, los cuadriláteros ABCD y EFGH son semejantes.
Congruencia y semejanza de figuras Actividades
1. Usa tu juego de geometría para determinar si las siguientes figuras son con-
gruentes.
a)
b)
2. Construye dos figuras semejantes a la siguiente; una a razón 2 a 1 y una a
razón 1 a 2.
El vértice A se corresponde con el vértice F, el B con el G, el C con el H y el D con
el E. En este caso las medidas del cuadrilátero ABCD son el doble de las medidas
del cuadrilátero EFGH. A la constante de proporcionalidad que permite encon-
trar las medidas del cuadrilátero ABCD a partir de las del cuadrilátero EFGH se
le llama razón de semejanza. En este caso es de 1 a 2.
f
e d
E
F
D
a
c
b
C
A B
f
F
C
c
d
b
a
B
D
A
E
H
G
h
e
g
Y
Z
X
K
L
J
L M
N
O
X
Y
Z
W
2 cm
5 cm

16 17
¿Todo triángulo
es semejante y
también congruente
a sí mismo?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Práctica 3
Para decir que dos triángulos son congruentes no es necesario verificar las me-
didas de todos los lados y ángulos; los criterios de congruencia son condiciones
necesarias y suficientes para verificarlo.
Criterios de congruencia
y de semejanza
Matemáticas
rápidas
1. Marca las figuras que
sean semejantes a la
siguiente.
Criterio 1: lado, lado, lado
(LLL). Dos triángulos son
congruentes si los tres lados
de uno miden lo mismo que
los tres lados del otro.
Criterio 2: lado, ángulo, lado (LAL). Dos
triángulos son congruentes si dos de los
lados de uno y el ángulo comprendido
entre estos dos lados, miden lo mismo
que los dos lados y el ángulo entre ellos
del otro triángulo.
Criterio 3: ángulo, lado, ángulo
(ALA). Dos triángulos son con-
gruentes si dos ángulos de uno y
el lado común, miden lo mismo
que dos ángulos y el lado común
del otro triángulo.
También hay tres criterios que permiten determinar si dos triángulos son se-
mejantes.
Criterio 1: ángulo, ángulo, ángulo (AAA).
Dos triángulos son semejantes si los tres
ángulos de uno miden lo mismo que los
tres ángulos del otro.
Criterio 2: lado, lado, lado (LLL). Dos triángulos son
semejantes si existe una relación de proporcionali-
dad directa entre la medida de los lados de uno y la
medida de los lados del otro.
Criterio 3: lado, ángulo, lado (LAL). Dos trián-
gulos son semejantes si dos lados de uno son
proporcionales a dos del otro y los ángulos
comprendidos entre estas parejas de lados
miden lo mismo.
S
R T
B
A C
F
G H
P
RQ
E D
F
S R
T
Actividades
1. Determina el criterio que justifica que los siguientes pares de triángulos
son congruentes.
a) El triángulo grande es isósceles y la división que forma los dos triángulos
es la mediatriz de la base.
b) El cuadrilátero es un romboide y la división que forma los dos triángulos
es una de sus diagonales.
2. Determina el criterio que usarías para justificar que los siguientes pares de
triángulos son semejantes.
a)
b)
c) Las líneas que forman los dos triángulos son paralelas.
21
30
157
10
5
5
10
4 8
15
25
20
B
C
A
P
O
Q
4
3
12
16
6
8 10

18 19
Matemáticas
rápidas
1. Indica si cada
enunciado es
verdadero (V) o falso
(F).
a) En una relación de
proporcionalidad
directa hay
que sumar la
constante de
proporcionalidad
para obtener
la cantidad
correspondiente
a cualquiera de las
cantidades. ( )
b) En una relación de
proporcionalidad
hay que
multiplicar por
la constante de
proporcionalidad
para obtener
la cantidad
correspondiente
a cualquiera de las
cantidades. ( )
¿En qué tipo
de problemas
la gráfica asociada
no es una línea recta?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Práctica 4 Proporcionalidad y gráficas Actividades
1. En el siguiente plano cartesiano grafica los puntos que se representan en
la tabla.
2. Ubica en el siguiente plano cartesiano los puntos que aparecen en las ta-
blas y determina cuál de las gráficas está asociada a una relación de pro-
porcionalidad directa. Usa un color diferente para cada gráfica.
Cuando resolvemos un problema es útil tener varias representaciones de éste.
Entre las más usadas está la representación gráfica, la representación alge-
braica y las tablas de datos.
Por ejemplo:
La siguiente tabla muestra algunas medidas de equivalencias entre las escalas
de temperatura en grados Celsius y en grados Fahrenheit.
La representación gráfica de esta relación es:
Si se representa a los grados Celsius con la letra C y a los grados Fahrenheit con
la letra F, la expresión algebraica que permite calcular la temperatura en grados
Celsius a partir de saber la temperatura en grados Fahrenheit es:
C = 5
9
(F − 32)
Usualmente se utilizan las letras x y y para representar las cantidades relacio-
nadas de dos conjuntos correspondientes. Cuando la representación gráfica de
un problema sea una línea recta entonces la expresión algebraica que le corres-
ponde es de la forma:
y = mx + b
Este tipo de expresiones son llamadas lineales, donde el número b es la ordenada
al origen, es decir, el punto en que la recta intersecta al eje y. Cuando la gráfica
de una de estas expresiones pasa por el origen (punto de coordenadas (0, 0)),
la relación entre los conjuntos es una relación de proporcionalidad directa y su
expresión algebraica asociada es de la forma:
y = kx
Donde k es la constante de proporcionalidad.
Grados Fahrenheit Grados Celsius
95 35
77 25
59 15
32 0
23 −5
Velocidad de un automóvil
Tiempo
en horas
Distancia recorrida
en kilómetros
20 1660
10 830
5 415
1 83
0 0
Grados Celsius
10 20 50
Gráfica 1
x y Punto (x,y)
10 15 (10, 15)
8 13 (8, 13)
6 11 (6, 11)
4 9 (4, 9)
2 7 (2, 7)
Gráfica 2
x y Punto (x,y)
10 15 (10, 15)
8 12 (8, 12)
6 9 (6, 9)
4 6 (4, 6)
2 3 (2, 3)
Gráfica 3
x y Punto (x,y)
10 9 (10, 9)
8 7 (8, 7)
6 5 (6, 5)
4 3 (4, 3)
2 1 (2, 1)
GradosFahrenheit
10
20
30
40
50
60
70
80

20 21
Matemáticas
rápidas
1. Para cada uno de
los valores de x
evalúa la expresión
y = 3x − 1:
a) x=1,y=
b) x=−1,y=
c) x=2,y=
d) x=5,y=
Práctica 5 Gráficas cuadráticas
Hay situaciones de la naturaleza y problemas de diferentes ramas de la ciencia
en donde dos conjuntos de cantidades se relacionan mediante una expresión
cuadrática (no lineal). Al estudiar una relación entre dos conjuntos de cantida-
des es muy importante tener en cuenta su gráfica y la expresión algebraica que
la representa.
Tiempo
(en segundos)
Altura
(en metros)
10 490
8 313.6
6 176.4
4 78.4
2 19.6
1 4.9
0 0
La representación gráfica de esta relación es:
Si se representa con la letra t al tiempo en que tarda el objeto en llegar al piso
y con la letra a la altura desde donde se deja caer el objeto, la expresión alge-
braica que relaciona estas dos cantidades es:
a = (9.8)t2
Cuando la representación algebraica de un problema sea una expresión don-
de una de las variables esté al cuadrado, se dice que la expresión algebraica es
cuadrática. Su expresión en general es de la forma:
y = ax2
+ bx + c
Las gráficas asociadas a estas expresiones son curvas llamadas parábolas.
¿Cuál es la diferencia
entre las gráficas
de las expresiones
y = 2x2
y y = 6x2
?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Actividades
1. Completa la tabla calculando el área de un cuadrado cuya medida de sus
lados viene en la primera columna. Luego, ubica en el plano cartesiano
los puntos que determinan los datos que completaste en la tabla y traza la
gráfica.
2. Una inversión a dos años con interés compuesto produce una ganancia de
acuerdo con la siguiente expresión algebraica.
I = P (r2
+2r)
Donde I representa la ganancia, P representa el capital y r la tasa de inversión.
Completa la tabla para encontrar las diferentes ganancias a partir de dife-
rentes tasas, y viceversa, cuando el capital invertido es de $5000.00.
Variación del área
Medida del lado Área del cuadrado
1
2
3
4
5
6
% 8 8.5 9 9.5 10
(r2
+2r) 0.177
I 995.13
En el plano cartesiano efectúa la gráfica usando los datos de la tabla. En
el eje x representa la ganancia y en el eje y, la tasa de interés.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
550
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
Altura (m)
Tiempo (s)
Por ejemplo:
Al dejar caer un objeto desde dife-
rentesalturastardadiferentestiem-
pos en llegar al piso. La distancia y
el tiempo son los dos conjuntos de
cantidades que están relacionados
con la caída de los objetos. La tabla
muestra los tiempos que se regis-
traron al dejar caer al piso una pesa
de medio kilogramo desde diferen-
tes alturas.

22 23
Matemáticas
rápidas
1. Si lanzas un dado,
¿qué es más
probable que ocurra?
a) Obtener un 3.
b) Obtener cualquier
número.
c) Obtener un
número par.
Práctica 6 Eventos mutuamente excluyentes
e independientes
En el cálculo de probabilidades es importante distinguir los diferentes tipos de
eventos que existen. A continuación mencionamos algunos de estos eventos.
Evento simple. Es cuando solamente hay una posibilidad de ocurrencia del
evento dentro de todo el espacio muestral.
Por ejemplo, al lanzar un dado de seis caras, el evento obtener número tres, es
un evento simple, ya que su probabilidad de ocurrencia es de 1
6
.
Eventos equiprobables. Son dos o más eventos que tienen la misma probabi-
lidad de ocurrir.
Por ejemplo, al lanzar un dado de seis caras se pueden definir los siguientes
eventos:
Evento 1: Obtener un dos o un tres.
Evento 2: Obtener un cuatro o un cinco.
Los eventos 1 y 2 son equiprobables, dado que ambos tienen un tercio de pro-
babilidad de ocurrir.
Eventos mutuamente excluyentes. Es cuando la ocurrencia de uno no afecta
la ocurrencia del otro.
Por ejemplo, al lanzar un dado se pueden definir los eventos:
Evento 1: obtener un número par.
Evento 2: obtener un tres.
Estos eventos son mutuamente excluyentes. La probabilidad de ocurrencia del
evento 1 es de 1
2
y la del evento 2 es de 1
6
.
Eventos complementarios.Son aquellos que son mutuamente excluyentes y la
suma de sus probabilidades es igual a 1.
Por ejemplo, al lanzar un dado se tienen los siguientes eventos:
Evento 1: obtener uno o dos.
Evento 2: obtener tres, cuatro, cinco o seis.
Loseventos1yel2soncomplementarios,laprobabilidaddeocurrenciadelevento
1 es de 1
3
y la probabilidad de ocurrencia del evento 2 es de 2
3
. La suma de estos
valores es igual a 1; esto es, 1
3
+ 2
3
= 3
3
= 1.
Eventos independientes. Son aquellos en los que su ocurrencia no depende de
la ocurrencia de los eventos anteriores.
Por ejemplo, considera el experimento de lanzar dos dados numerados, uno de
ellos es rojo y el otro azul. El evento en el dado azul se obtiene un número par, es
independiente de cualquier evento definido para el dado rojo.
¿Qué diferencia
hay entre posible
y probable?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
5 1
6
4
3
2
Actividades
1. En una urna se tienen 6 fichas rojas y 3 azules, además las fichas están
numeradas del 1 al 9.
Calcula la probabilidad de los eventos descritos en cada inciso.
a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una ficha roja?
b) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una ficha azul?
c) Si todas las fichas azules tienen números impares, ¿cuál es la probabi-
lidad de sacar una ficha roja o una ficha con un número impar?
Considera que las fichas están numeradas del 1 al 9 iniciando por las azules.
d) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha azul que tenga un número
par?
e) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha azul que tenga un número
impar?
f) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha roja que tenga un número
par?
g) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha roja que tenga un número
impar?
h) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha que no sea azul o que no
tenga un número par?
i) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha que no sea azul o que no
tenga un número impar?
j) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha que no sea roja o que no
tenga un numero par?
k) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha que no sea roja o que no
tenga un número impar?
l) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha roja que sea una ficha impar?
2. De los eventos de arriba indica al menos dos parejas de eventos que sean
complementarios.
3. Inventa dos parejas de eventos que sean independientes entre ellos
Evento 1:
Evento 2:
Evento 3:
Evento 4:

24 25
1. La siguiente
gráfica muestra la
preferencia de los
alumnos de una
secundaria por los
colores que en ella
se indican.
Color favorito
Azul
Rojo
Verde
Morado
a) ¿Qué color tiene
el doble de
preferencia
que el verde?
b) ¿Entre qué pareja
de colores la
preferencia es
la misma que la
del morado?
Matemáticas
rápidas
Práctica 7 Encuestas y estadísticas
En la estadística es muy importante tener en cuenta los siguientes conceptos
para poder tomar decisiones de manera adecuada.
Población. Es el conjunto de todos los elementos sobre el cual se está realizan-
do la toma de datos o la observación de alguna o algunas características. En la
mayoría de los casos se comparan poblaciones para establecer similitudes y
diferencias.
Muestra. Cuando se va a hacer un estudio de alguna característica en específico
de un grupo o parte de una población, es importante establecer el tamaño de
una muestra (un grupo pequeño respecto al total de la población) ya que sería
difícil y costoso entrevistar y obtener datos de toda la población. El tamaño de
una muestra es siempre menor que el tamaño de la población.
Muestreo. Son las técnicas usadas para establecer el levantamiento de datos
de la población. Normalmente se establece un cuestionario o entrevista como
técnica principal del muestreo. También se entiende por muestreo a la acción
o las acciones a realizar.
Encuesta. Son una serie de preguntas que se pueden realizar mediante un
cuestionario o una entrevista acerca de algunas de las características corres-
pondientes a la población. Es importante mencionar que en la toma de datos
no se deben alterar los mismos, ya que de hacerlo puede provocar que se efec-
túen tomas de decisiones incorrectas.
Manejo de la información. Es el análisis cuantitativo de todos los datos del
muestreo. Generalmente se establecen los instrumentos por analizar mediante
la encuesta para poder presentar los datos, ya sea en forma de gráficas o tablas
para poder establecer comparaciones con otros estudios hechos anteriormente.
Por ejemplo, si queremos saber el desempeño de los alumnos en la materia
español en una secundaria, es importante tener en cuenta:
• La población es el total de alumnos inscritos en la secundaria en la que se va
a hacer el estudio.
• La muestra debe incluir el mismo porcentaje de hombres que de mujeres res-
pecto de la población total y porcentajes correspondientes dependiendo de
la cantidad de alumnos en cada grado.
• La muestra debe de incluir estudiantes de las diferentes estructuras socioeco-
nomicas del país, en porcentajes significativos.
• El tipo de preguntas debe de ir enfocado al aprovechamiento de la materia
español y referentes a los aprendizajes de dicha materia.
• Se debe indicar si el estudio va a ser anónimo y si los datos se van a manejar
de manera confidencial.
• Se debe decidir la manera en que se va a manejar la información y como se
va a presentar la misma.
¿Por qué es
importante hacer
un estudio de las
enfermedades en los
niños y los adultos?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Actividades
1. Se va a determinar el tipo de programas que les gusta más a los alumnos
de secundaria. El estudio distinguirá entre programas deportivos, series de
televisión, caricaturas, películas y telenovelas.
Responde las siguientes preguntas.
a) ¿Cuál es la población de estudio?
b) ¿Cuáles son las características más importantes que debe cubrir la muestra?
c) Indica qué tipo de muestreo utilizarían.
d) Elabora al menos tres preguntas que incluirías en la encuesta.
e) Apliquen la encuesta y presenten los resultados usando gráficas circula-
res o de barras.
2. Se va a determinar si los materiales que se utilizan en el laboratorio de
química son suficientes para poder realizar los experimentos.
Contesten las siguientes preguntas.
a) ¿Cuál es la población de estudio?
b) ¿Cómo se deben seleccionar los alumnos que intervendrán en el estudio?
c) ¿Cuáles son las características más importantes que debe cubrir la mues-
tra?
d) Indica qué tipo de muestreo utilizarían.
e) Elabora al menos tres preguntas que incluirías en la encuesta.
f) Apliquen la encuesta y presenten los resultados usando gráficas circula-
res o de barras.

26 27
Adivina la edad
Puedes adivinar la edad de cualquier persona siguiendo el pro-
cedimiento que a continuación se describe:
a) Pide a alguien que le asigne a cada mes del año un núme-
ro, es decir, enero es 1, febrero es 2, etc. Pide que identifi-
que el número que corresponde al mes en que nació. (Por
ejemplo, supongamos que nació el 22 de noviembre de
2000, entonces el mes es el 11)
b) Pide que duplique el número correspondiente al mes de
su nacimiento y le sume 5 al resultado. (De acuerdo con
el ejemplo, el doble de 11 es 22; 22 + 5 = 27)
c) Luego indícale que el resultado que obtuvo lo multipli-
que por 50. (En este caso, 27 × 50 = 1350)
d) Ahora indica que al resultado anterior le sume su edad.
(1350 + 14 = 1364)
e) Pide que te dé el número resultante y réstale mentalmente
250. (1364 – 250 = 1114)
f) El número que obtendrás tiene tres o cuatro cifras. La in-
terpretación de esta cantidad es la siguiente:
• Las dos últimas cifras corresponden a la edad que tiene
la persona.
• La primera o las dos primeras cifras corresponden
al mes de nacimiento. (En el ejemplo, el resultado es
1114, las dos primeras cifras son el mes de nacimien-
to: noviembre; y las dos últimas cifras son la edad: 14
años).
Practica este truco con tus amigos y familiares. ¡Sorpréndelos!
NotasMatemáticas
curiosas

28 29
Bloque2
28 29
Contenido
Desafío 2
Teorema de Pitágoras
Prácticas
8. Problemas de factorización
9. Rotación y traslación
10. Simetría axial y central
11. El Teorema de Pitágoras
12. Ejercicios del Teorema de Pitágoras
y complementarios
Transformaciones (reflexión,
rotación o traslación) que se
aplican a una figura para obtener
la figura transformada.
Problemas que implican el uso
del teorema de Pitágoras.
En este bloque estudiarás:

30 31
Consigna
En parejas efectúen el siguiente procedimiento.
1. Reúnan el siguiente material:
• 3 hojas de papel (puede ser de colores).
• Juego de geometría.
2. En cada una de las hojas de papel construyan lo que se indica.
a) Dibujen un triángulo rectángulo que tenga las medidas del que se mues-
tra (aproximadamente en el centro de la hoja).
Desafío
b) En la primera hoja construyan triángulos equiláteros sobre cada uno de
los lados del triángulo, es decir, uno sobre el lado de 4.5 cm, uno sobre el
lado de 6 cm y uno más sobre el lado de 7.5 cm.
c) En la segunda hoja construyan cuadrados que tenga la medida de cada
uno de los lados, uno sobre cada lado.
d) En la tercera hoja construyan una semicircunferencia que su diámetro
sea la medida del lado sobre cada uno de ellos.
3. Con la construcción de la hoja 2, sabemos que el área de los cuadrados cons-
truidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la
hipotenusa.
a) ¿Sucede lo mismo con el área de los triángulos equiláteros construidos
sobre los catetos, respecto del área del triángulo equilátero construido
sobre la hipotenusa? Expliquen.
b) ¿Sucede lo mismo con el área de las semicircunferencias construidas
sobre los catetos, respecto del área de la semicircunferencia construida
sobre la hipotenusa? Expliquen.
c) Calcula las áreas de los triángulos y las semicircunferencias para verificar
tu respuesta.
Que los alumnos
comprendan de
manera empírica el
teorema de Pitágoras.
Si bien, el teorema de
Pitágoras se enuncia
de manera algebraica,
su enunciado
geométrico ampliado
es representativo
de la situación.
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Teorema de Pitágoras
2
4.5 cm
7.5 cm
6 cm

32 33
Práctica 8
¿Por qué las
ecuaciones de
segundo grado pueden
tener una o dos
soluciones?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Matemáticas
rápidas
1. Resuelve las
siguientes
operaciones:
a) 3(5+2)=

b) −7(−2−1)=

c) 3(−5+3)=
d) (−3 + 2) 2 =
Resolver problemas que impliquen la solución de ecuaciones de segundo gra-
do, puede ser más simple si se identifican los factores de estas ecuaciones. El
proceso para conocer estos factores se conoce como factorización. Si se reco-
noce el tipo de ecuación que se debe resolver, es posible conocer de antemano
la factorización que se debe realizar.
Por ejemplo, el desarrollo del binomio al cuadrado (x + 3)2
da como resultado
x2
+ 6x + 9, por tanto, si partimos de la expresión x2
+ 6x + 9, la podemos poner
como el producto de (x + 3)(x + 3).
Para resolver ecuaciones de segundo grado por factorización se hace lo siguiente:
• Primero se iguala a cero la ecuación; x2
+ 5x + 6 = 0
• Luego se busca la factorización; dos números que sumados den como resul-
tado el coeficiente del termino en x (en este caso 5) y multiplicados den el
término independiente (en este caso 6). Los números buscados son 2 y 3.
• Una vez encontrados los números se colocan en los binomios: (x + 3)(x + 2) = 0.
• Finalmente, las soluciones de la ecuación son x1
= −3 y x2
= −2.
• Por último, se verifica si los valores encontrados son soluciones de la ecua-
ción original. Para ello se sustituyen en lugar de x y se realizan las operaciones
para comprobar la igualdad. Para −3:
(−3)2
+ 5(−3) + 6 = 9 − 15 + 6 = 0
Para −2:
(−2)2
+ 5(−2) + 6 = 4 − 10 + 6 = 0
Ahora observa el siguiente método. Si se tiene la ecuación x2
− 8x = 0, se reescri-
be la ecuación de la siguiente forma:
0 = x2
− 8x = (x + __)(x + __)
Sebuscandosnúmerosquesumadosden −8ymultiplicadosden0.Losnúmeros
son −8 y 0.
x2
− 8x = (x − 8)(x + 0).
Las soluciones son: x1
= 8 y x2
= 0.
También hay ecuaciones con una sola solución. Por ejemplo, la ecuación
x2
+ 8x + 16 = 0 se factoriza como:
x2
+ 8x + 16 = (x + 4)(x + 4)
Las dos soluciones de esta ecuación son ambas iguales a −4.
Problemas de factorización
1. Resuelve los siguientes problemas.
a) Para la ecuación 10x − x2
, calcula el valor cuando:
• x = 5.
• x = 10.
b) La altura de un rectángulo mide x y su altura x + 4.
• Escribe la fórmula para calcular el área del rectángulo.
• Si el área del rectángulo es de 32 cm2
, ¿cuáles son las medidas del rec-
tángulo?
c) ¿Qué números consecutivos dan como resultado 56?
d) Escribe una ecuación de segundo grado en la que los números 7 y 11
sean las soluciones.
e) Si los catetos de un triángulo rectángulo miden x y x + 1 centímetros, y
el área del triángulo es de 120 centímetros cuadrados, ¿cuál es la medida
de cada cateto?
Actividades

34 35
1. Realiza las transformaciones de las siguientes figuras.
a) Una traslación de la figura A desplazándola dos unidades hacia la dere-
cha y cinco unidades hacia abajo.
b) Una rotación de la figura B respecto al eje x.
2. Realiza las transformaciones de las siguientes figuras.
a) Una reflexión de la figura A respecto a la recta l y luego una traslación de
siete unidades hacia la derecha y tres unidades hacia abajo.
En algunas ocasiones requerimos copiar un dibujo o un mapa, para ello es im-
portante tomar en cuenta que las formas no deben cambiar.
Las siguientes definiciones nos serán útiles para poder trazar figuras en el plano
cartesiano, ya sea en la misma o distinta posición.
Traslación
Una traslación es cuando una figura cambia de lugar sin cambiar de orienta-
ción. Por ejemplo, la figura roja es la traslación de la figura azul; en este caso la
figura se trasladó ocho unidades (o cuadros) hacia la derecha.
Reflexión
La reflexión de una figura se da como en un espejo. Para trazar la reflexión de
una figura respecto a una recta, se trazan líneas perpendiculares a la recta des-
de esta a los puntos de la figura y copiar su medida del otro lado de la recta a
partir de esta.
Por ejemplo:
En el plano la figura A es la original. La figura B es una traslación de la figura
A, se movió cinco unidades hacia abajo y cuatro unidades hacia la derecha. La
figura C es una rotación de la figura A respecto al eje x. La figura D es una re-
flexión de la figura C respecto del eje y.
Práctica 9
Matemáticas
rápidas
1. Responde verdadero
o falso para cada
enunciado.
a) Todos los
cuadrados tienen
la misma forma y
el mismo tamaño:
b) Todos los
triángulos
rectángulos
son de la misma
forma:
Rotación y traslación
¿Una rotación
respecto a una
línea cambia de
posición la figura?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Actividades
D C
A
B
A
P
l
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
A
B
y
x

36 37
Práctica 10
Matemáticas
rápidas
¿Todos las formas
y figuras tienen
un eje de simetría?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
1. Responde verdadero
o falso para cada
enunciado.
a) Si se traza una
mediatriz sobre
un ladodeun
triángulo
equilátero se
forman dos
triángulos
semejantes:

b) Si se traza la
bisectriz del
ángulo diferente
de un triángulo
isósceles los
triángulos
formados no son
semejantes:

Hacer el trazo de figuras semejantes midiendo ángulos y medidas de lados pue-
de llegar a ser complicada y de mucho trabajo. Sin embargo, la simetría axial y la
simetría central nos permitirán explorar de una mejor manera las propiedades
de las figuras semejantes.
Simetría central
La simetría central es la que se da cuando dos figuras son simétricas con res-
pecto a un punto. Para trazar una figura simétrica a otra con respecto al punto,
se trazan rectas que van desde cada vértice de la figura al punto y se prolongan
más allá de este. Después, se miden las rectas de los vértices al punto y se copia
la medida en las prolongaciones de cada recta. En estas medidas se marcan
los vértices de la nueva figura para trazarla. Observa este procedimiento en la
siguiente figura.
Para trazar una figura de la mitad del tamaño de la original se debe dividir cada
distancia, de los vértices de la figura al punto, entre dos y en estas medidas mar-
car los vértices de la nueva figura y trazarla.
Simetría axial
La simetría axial se da cuando dos figuras son simétricas con respecto a una
recta (eje de simetría). Para trazar una figura simétrica con respecto a una recta,
se trazan rectas perpendiculares al eje de simetría que vayan desde cada vértice
de la figura y se prolonguen la misma distancia más allá del eje. Observa este
procedimiento en la siguiente figura.
Simetría axial y central
C
B
A
O
A´
B´
C´
A
B
C
A´
B´
C´
e
1. Traza las figuras que se indican.
a) Un triángulo simétrico al verde del doble de tamaño. El eje de simetría
debe ser el punto A.
b) Un triángulo simétrico al verde de la mitad de tamaño. El eje de simetría
debe ser el punto B.
2. Utiliza la simetría axial para completar la siguiente figura.
Actividades
A
B
P

38 39
1. Utiliza los datos de las figuras para completar la tabla.

Actividades
Práctica 11
Si los lados de un
triángulo cumplen
la relación del teorema
de Pitágoras, ¿se
trata de un triángulo
rectángulo?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
En un triángulo rectángulo, a los lados que forman el ángulo recto se les llama
catetos y al lado opuesto al ángulo recto se le llama hipotenusa.
A la relación que tienen las medidas de los lados en cualquier triángulo rectán-
gulo se le conoce comoTeorema de Pitágoras, el cual dice: la suma del cuadrado
de cada uno de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
En la siguiente imagen se muestra un triángulo rectángulo cuyos lados miden
3, 4 y 5 centímetros respectivamente. Si se contruye un cuadrado en cada lado
del triángulo y se calcula el área de cada uno, se obtiene que la suma del área de
los cuadrados que se forman en los catetos es igual al área del cuadrado que se
forma en la hipotenusa. Como puedes ver, se cumple el Teorema de Pitágoras.
El Teorema de Pitágoras
Matemáticas
rápidas
1. Resuelve.
a) 3
2
+ 4
2
=

b) 60
2
+ 5
2
=

c) (1.5)
2
+2
2
=
c = 5 cm
b = 4 cm
a=3cm
AA
= 9 cm2
BB
= 16 cm2
CC
= 25 cm2
hipotenusa
cateto
cateto
a
b
c Teorema de Pitágoras
a2
+ b2
= c2
13 cm
12 cm
5cm
A
C
B
17 cm
15 cm
8cm
A
C
B
61 cm
60 cm
11 cm
C B
A
Triángulo A2
B2
A2
+ B2
C2
a)
b)
c)
¿Cuál o cuáles de los triángulos no es un triángulo rectángulo?
2. Determina si las siguientes medidas de los lados de un triángulo cumplen la
relación del teorema de Pitágoras.
a) Catetos: 1.5 cm y 2 cm; hipotenusa, 2.5 cm.
b) Catetos: 6 cm y 2.5 cm; hipotenusa, 6.5 cm.
c) Catetos: 1cm y 2 cm; hipotenusa, 2 cm.
d) Catetos: 6 cm y 8 cm; hipotenusa, 9 cm.
e) Catetos: 6 cm y 8 cm; hipotenusa, 10 cm.
f) Catetos: 10 cm y 4 cm; hipotenusa, 11 cm.
3. Construye los triángulos del ejercicio anterior que cumplen con el Teorema
de Pitágoras.
b)
c)
a)
A
B
C

40 41
Práctica 12
¿Por qué el teorema
de Pitágoras no
funciona para todos
los triángulos?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
ElTeorema de Pitágoras se puede utilizar cuando se desconoce una de las medi-
das de un triángulo rectángulo. En el siguiente ejemplo se conocen las medidas
de los catetos del triángulo rectángulo pero se desconoce la hipotenusa.
Para conocer el valor de la hipotenusa (x) se escribe la relación del Teorema de
Pitágoras y se sustituyen los valores conocidos.
82
+ (15)2
= x2
Se resuelve la ecuación: 64 + 225 = x2
x2
= 289
x = √289 = ±17
Finalmente, como la medida del lado es positiva, se descarta la solución nega-
tiva. Por tanto, la hipotenusa del triángulo mide 17 cm.
Analiza la forma en que se resuelve el siguiente problema: si la base de un trián-
gulo isósceles mide 4 cm y su altura mide 8 cm, ¿cuál es la longitud de los lados
del triángulo?
Se traza la figura correspondiente, en la cual se puede ob-
servar que los catetos miden 2 cm y 8 cm, respectivamente,
y lo que hace falta conocer es la hipotenusa. Se escribe la
relación del Teorema de Pitágoras:
22
+ 82
= x2
Se resuelve la ecuación: 4 + 64 = x2
x2
= 68
x = √68 = ±8.24
La medida de los dos lados es de 8.24 cm.
Ejercicios del Teorema de Pitágoras
Matemáticas
rápidas
1. Resuelve.
a) 52
− 42
= 2
b) 602
− 52
= 2
c) (2.5)2
−22
= 2
15 cm
x
8 cm
4 cm
8cm
Actividades
1. Calcula la altura de la casa si sabemos que la escalera mide 18 metros, está
colocada a 5 metros del edificio y apoyada en la pared.
2. Calcula la altura de un triángulo equilátero que mide 4 centímetros de cada
lado.
3. Calcula la medida que falta en cada triángulo.
a)
b)
18metros
5 metros
4 cm
4cm
4cm
c
b
5
13
12 9

42 43
Práctica 13
¿Hay eventos que
son excluyentes
y que no sean
complementarios?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Para calcular la probabilidad de que ocurran ciertos eventos, es importante sa-
ber identificar de que tipo de eventos se tratan.
Regla de la suma
Sirve para calcular la probabilidad de que dados dos eventos (A y B), ocurra al
menos uno de ellos. La probabilidad de que ocurra el evento A, o bien, el evento
B, se calcula como la suma de la probabilidad de que ocurra cada evento por
separado menos la probabilidad de que ocurran los eventos de manera simul-
tánea. Es decir:
P(A o B) = P(A) + P(B) − P (A y B)
Un caso particular es cuando la probabilidad de ocurrencia simultánea de dos
eventos diferentes es igual a cero. Por ejemplo, si se va a lanzar un dado y el evento
A es que salga 2, mientras que el evento B es que salga 4, P(A) = 1
6
y P(B) =
1
6
,
pero la probabilidad de que salga un 2 y un 4 a la vez es cero, es decir, P(A y B) = 0.
Por otro lado, si el evento C es que el dado caiga en 2 o en 4 (C = A o B) la proba-
bilidad es:
P(A o B) = P(A) + P(B) =
1
6
+
1
6
=
2
6
De este modo es importante identificar este tipo de situaciones. Dos eventos
son mutuamente excluyentes si no hay posibilidad de que ocurran de manera
simultánea, en este caso la probabilidad de ocurrencia es simplemente la suma
de las probabilidades.
También existen eventos que pueden complementarse entre sí. Por ejemplo, si
se va a lanzar un dado y el evento A es que salga un número impar, entonces el
evento complementario de A es que al lanzar el dado salga un número impar.
Dos eventos A y B son complementarios si:
• La probabilidad de ocurrencia de A y B de manera simultánea es cero.
• La probabilidad de que ocurra A o de que ocurra B es uno (1).
Al complemento de un evento A se le nombra A´.
Porejemplo,enelcasodequeeleventoAseaqueallanzarundadosalgaunnúme-
ro par, su complemento A´ es que salga un número impar y además se cumple que
no puede salir un número par e impar a la vez, es decir, P(A y A´) = 0.
La probabilidad de ocurrencia es P(A o A´) = P (A) + P(A´) = 1.
Eventos mutuamente excluyentes
y complementarios 1. En una urna hay 3 canicas blancas, 4 negras y 8 amarillas. Calcula la probabi-
lidad de que ocurran los siguientes eventos.
a) Se saque una canica blanca.
b) Se saque una canica que no sea amarilla.
c) Se saque una canica blanca o amarilla.
d) Se saque una canica que sea negra o amarilla.
2. A una excursión asistieron 42 niños de 14 años, 66 niños de 15 años y 32 ni-
ños de 16 años. Uno de los niños se separa de los demás para ir al sanitario.
Calcula la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos.
a) Que el niño que se separó no tenga 16 años.
b) Que el niño que se separó tenga 14 años; o bien, 16 años
c) Que el niño que se separó tenga 15 o 16 años
3. Para la fiesta de cumpleaños de Rebeca, llegaron 56 niños, las características
de éstos son: 18 compañeros de escuela, 12 familiares, 20 compañeros de
su clase de natación y 6 llegaron sin invitación. Uno de los asistentes se fue
antes de que se partiera el pastel. Calcula la probabilidad de cada uno de los
siguientes eventos.
a) El invitado que se fue va a la misma clase de natación o llego sin invitación.
b) El invitado que se fue es un familiar.
c) El invitado que se fue es un familiar o un compañero de escuela.
d) El invitado que se fue va a su clase de natación o es un compañero de
escuela.
Actividades
Matemáticas
rápidas
1. Indica qué región
de la figura tiene
mayor área.
4 cm
2 cm

44 45
Multiplicaciones por 2 y mitades
Lee el siguiente relato.
Hace algunos años cuando estudiaba en la facultad de ciencias
de la UNAM, me encontré con un compañero que me dijo que
solamente sabía multiplicar por dos y sacar mitades. Yo no creí
que hubiera llegado a la facultad sin saber multiplicar por otras
cantidades.
Él me dijo que sí sabía multiplicar por cualquier número pero
solamente usaba multiplicaciones por 2 y sacaba mitades.
Incrédulo le dije que si me podía explicar.
-¡Por supuesto!- me dijo, -dime qué números quieres que multi-
plique-
Yo le dije: -Multiplica 28 por 17-
Y en un pedazo de papel escribió lo siguiente.
Número que
disminuye (a la mitad)
Número que
aumenta (al doble)
Suma
28 17
14 34
7 68 68
3.5→3 136 136
1.5→1 272 272
476
Después de efectuar su procedimiento, finalmente me dijo: -El
resultado es 476-.
Le pedí que me explicara que hizo y me dijo: -En cada colum-
na coloqué uno de los factores. Al primer factor le fui sacando su
mitad, si el resultado es decimal lo redondeo hacia abajo. Al otro
factor lo fui duplicando. Finalmente, sumé los resultados que da
el duplicar el segundo factor, pero solamente aquellos que corres-
ponden a las cifras impares que dan al sacar la mitad del primer
factor. El número que me dio es el resultado de multiplicar los dos
factores (28 y 17).
Practica este procedimiento y trata de averiguar por qué funciona.
Matemáticas
curiosas
Notas

46 47
Bloque3 Contenido
Desafío 3
Ecuaciones cuadráticas
Prácticas
14. Fórmula general
15. Problemas de congruencia
y semejanza
16. Teorema de Tales
17. Homotecia
18. Gráficas de funciones cuadráticas
19. Gráficas de diferentes formas
20. Eventos independientes
Problemas que implican el uso de
ecuaciones de segundo grado.
Problemas de congruencia
y semejanza.

48 49
Consigna
En equipos de tres compañeros, planteen y resuelvan los siguientes proble-
mas.
1. El profesor Luis pidió el apoyo de algunos padres de los alumnos de una se-
cundaria para cercar un terreno con forma rectangular de 750 m2
, que será
destinado a construir un vivero y un pequeño huerto. Como parte de los
trabajos de construcción, se usaron 110 m de malla para cercar el terreno.
Con estos datos, el profesor Luis debe entregar un proyecto con las dimen-
siones del terreno y los costos que se requerirán. Ayúdalo a encontrar algu-
nos de esos datos.
a) ¿Cuáles son las medidas del terreno?
Largo:
Ancho:
Desafío
2. El profesor consideró que era oportuno compartir algunos problemas si-
milares al del terreno con sus alumnos:
a) Los lados de un triángulo rectángulo son tres números enteros conse-
cutivos, ¿qué números son estos?
Catetos: y
Hipotenusa:
b) En la ecuación x2
− kx + 36 = 0, ¿qué valor tiene k?
Valor de k :
3. Compartan sus resultados con otros equipos.
4. Comente qué procedimientos emplearon para dar respuesta a cada una de
las situaciones.
Que los alumnos
resuelvan
problemas en
los que deban
plantear y resolver
una ecuación de
segundo grado con
una incógnita.
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Ecuaciones cuadráticas
3

50 51
¿Por qué hay
ecuaciones de
segundo grado
que no tienen solución?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Matemáticas
rápidas
1. Calcula el valor de
y para cada uno de
los valores de x en la
expresión.
x2
− 6x + 3 = y
• x = −2, y =
• x = −1, y =
• x = 0, y =
• x = 1, y =
• x = 2, y =
Para encontrar las soluciones de una ecuación de segundo grado con una in-
cógnita el método más eficiente es el de la fórmula general.
Una ecuación de la forma:
ax2
+ bx + c = 0
Tiene como solución:
x = −b ± √b − 4ac
2a
2
Esta última es la fórmula general. Nota que la letra a representa el coeficiente
del término cuadrático, la b representa el coeficiente del término lineal y la
letra c representa el término independiente.
El primer paso para aplicar la fórmula es igualar la ecuación a cero.
Por ejemplo en la ecuación:
2x2
− 6x + 3 = 0
Los valores de los coeficientes son:
a = 2
b = −6
c = 3
Se sustituyen en la fórmula general:
x = −(−6) ± √(−6) − 4(2)(3)
2(2)
2
Se realizan las operaciones:
x = 6 ± √36 − 24
4
= 6 ± √12
4
Se toma la raíz positiva y luego la negativa para encontrar las dos soluciones:
x1
=
6 + √12
4
= 2.36 x2
=
6 − √12
4
= 0.63
Fórmula generalPráctica 14 1. Resuelve las siguientes ecuaciones con la fórmula general.
a) 2x2
+ 4x − 6 = 0
b) 7x2
+ 21x − 28 = 0
c) −x2
+ 4x −7 = 0
d) 12x2
− 3x + 3 = 0
2. El área del rectángulo es de 91 cm2
. Encuentra la medida de cada uno de los
lados.
3. Calcula el perímetro del triángulo si se sabe que su área es de 6 cm2
.
Actividades
x + 1
x
x + 6
x

52 53
1. Determina el valor de x en cada una de las siguientes figuras. Utiliza los crite-
rios de congruencia y semejanza.
a) La sombra de un edificio se proyecta a 100 m de la pared. Si se coloca
una regla de 1 m a una distancia de 1.28 m de donde termina la
sombra, como se muestra en la imagen, la sombra de la regla coincide
con la del edificio. ¿Cuál es la altura del edificio?
b) Dos vigas de 5.7 m de largo se colocan como se muestra en la figura.
Si en la base las vigas quedan separadas por 1.8 m y la altura del
triángulo mayor es 4 veces la del triángulo más pequeño, ¿a qué
distancia quedaron los extremos superiores de las vigas?
Si las vigas forman dos triángulos isósceles, ¿a qué distancia del suelo
se cruzan las vigas?
¿Crees que para el
cálculo de medidas
que no se puedan
hacer directamente,
solamente se pueden
utilizar los criterios
de congruencia y
semejanza? Explica tu
respuesta.
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Matemáticas
rápidas
1. Determina si los
enunciados son
verdaderos o falsos.
a) Si una figura A es
congruente a una
figura B y la figura
B no es
congruente
a una figura C.
Entonces la figura
A no es
congruente
a la figura C.

b) Si una figura A
es semejante
a una figura B
y la figura B es
semejante a una
figura C.
Entonces
la figura A es
semejante a la
figura C.

Práctica 15 Problemas de congruencia
y semejanza
Los criterios de semejanza y de congruencia son útiles para determinar algu-
nas medidas y resolver problemas. Por ejemplo, para determinar el valor de x
en la siguiente figura.
PodemosidentificarquelostriángulosABDyDBCsoncongruentesdebidoaque:
• El lado AB mide lo mismo que el lado BC.
• El lado BD es común a ambos triángulos.
• Ambos triángulos son triángulos rectángulos.
De este modo, por el criterio de congruencia Lado, Lado, Lado (LLL) los triángu-
los ABD y DBC son congruentes. Por tanto, el segmento CD (x) mide 4.7.
Ahora, observa lo que sucede cuando dos triángulos son semejantes.
Como las rectas BE y CD son paralelas, los ángulos en B y C son iguales, lo mis-
mo que en E y D. Por el criterio ángulo, ángulo, ángulo (AAA), los triángulos
ABE y ACD son semejantes.
Los segmentos correspondientes son proporcionales, 2a
a
= x + 3
x + 1
, pero como
2a
a
= 2, entonces:
2 =
x + 3
x + 1
Se despeja la ecuación: 2(x + 1) = x + 3, 2x + 2 = x + 3, 2x − x = 3 − 1, por último
x = 2.
Actividades
x + 1
7 − 2x
3b
b
x
12
1.8 cm
1.28 m
1m
100 m
x
4.7
A
B C
D
a
a
x + 3
x + 1
A
B
C D
E

54 55
¿Qué sucede en el
teorema de Tales
si todas las rectas
son paralelas?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Práctica 16
Matemáticas
rápidas
1. Determina si los
enunciados son
verdaderos o falsos.
a) Si una figura A es
congruente a una
figura B y la figura
B escongruente
aunafigura C.
Entonceslafigura
A escongruente
alafiguraC.

b) Si una figura A
es semejante
a una figura B
y la figura B no es
semejante a una
figura C.
Entonces
la figura A es
semejante a la
figura C.

Teorema de Tales
El teorema de Tales proporciona una herramienta poderosa para calcular me-
didas desconocidas y también dividir segmentos en partes iguales.
Una de las versiones del teorema de Tales dice:
“Si a dos rectas cualesquiera (como las rectas l1
y l2
) son cortadas transversal-
mente por dos o más rectas paralelas entre sí (como las rectas r1
, r2
y r3
) enton-
ces los segmentos de recta que se forman tienen una relación de proporciona-
lidad directa”.
La relación de proporcionalidad que se forma es:
AB
A´ B´
=
BC
B´ C´
O bien
AB
A´ B´
=
AC
A´ C´
O bien
BC
B´ C´
=
AC
A´ C´
1. Utiliza el teorema deTales para calcular el valor de x.
2. Resuelve el siguiente problema.
En la colonia de Juan hay dos avenidas que atraviesan tres calles paralelas
como se muestra en el mapa.
• Juan vive en la esquina de Jazmín y Av. Las Flores.
• La distancia de la casa de Juan a la tintorería es de 134 metros.
• La distancia de la casa de Juan a la farmacia es de 103 metros.
• Claudia vive en la esquina de la Rosa y Av. Los Pinos.
• LadistanciadelacasadeClaudiaalosabarrotesdonManoloesde207metros.
¿Qué distancia hay de la casa de Claudia a la heladería?
Actividades
17
x
7
13
2x − 6
x − 4
4
3
C. de la Rosa
C. de Jazmín
C. Violeta
Av.LasFlores
Av.LosPinos
Claudia
Tintorería
La plancha de vapor
Abarrotes
Don Manolo
Juan
Helados
Polo Norte
Farmacia
San Tito
a) b)
l1
A
B
A´
B´
l2
r1
r2
r3

56 57
1. Dibuja una figura semejante al siguiente triángulo donde cada una de las me-
didas de la nueva figura mida la tercera parte de la original.
2. Dibuja una figura semejante a la siguiente. Su tamaño debe ser más grande
que el de la original. Utiliza el centro de homotecia.
3. Las siguientes figuras son homotéticas encuentra el centro de homotecia y
determina la razón de semejanza entre las figuras.
Matemáticas
rápidas
1. Tacha las figuras que
son semejantes
a la figura roja.
¿Qué relación hay
entre la simetría
central y la homotecia?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Práctica 17 Homotecia
Una homotecia es una transformación hecha en alguna figura geométrica de
tal manera que la figura resultante es semejante a la figura original.
Para trazar una figura homotética a otra se hace lo siguiente.
Se elige un punto fuera de la figura, se trazan rectas de ese punto a cada uno
de los vértices de la figura y se prolongan.
Para hacer una figura del doble del tamaño de la original, se copia la distancia
de cada vértice al punto y la colocamos sobre la recta que une al vértice.
Finalmente, se unen los puntos y la figura formada tiene el doble del tamaño
de la original.
Para hacer una figura del triple del tamaño de la original, se realizan los mis-
mo pasos, pero ahora se copia el doble de la distancia. Para hacer una figura
de la mitad del tamaño, se divide la medida entre dos y se copia del punto
hasta antes de cada vértice. El punto se llama centro de la homotecia.
Actividades

58 59
Una función cuadrática en general es de la forma:
f(x)= y =ax2
+ bx + c
Para elaborar la gráfica de una ecuación cuadrática se construye una tabla de
valores para determinar los puntos donde pasará la gráfica.
Por ejemplo, para las ecuaciones.
• y = x2
− 2
• y = −x2
+ 3
La tabla de valores para cada una de ellas es:
Después, se ubican los puntos correspondientes en el plano cartesiano.
A este tipo de curvas se les llama parábolas.
Matemáticas
rápidas
1. Calcula el valor para
y cuando el valor de
x es de −2, −1,0,1,2.
y = 2x + 3
Práctica 18 Pregunta de reflexión
¿Por qué la
parábola se
considera cónicas?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Gráficas de funciones cuadráticas
Valor
de x
Valor de y = x2
− 2
−3 y = (−3)2
− 2 = 9 − 2 = 7
−2 y = (−2)2
− 2 = 4 − 2 = 2
−1 y = (−1)2
− 2 = 1 − 2 = −1
0 y = (0)2
− 2 = 0 − 2 = −2
1 y = (1)2
− 2 = 1 − 2 = − 1
2 y = (2)2
− 2 = 4 − 2 = 2
3 y = (3)2
− 2 = 9 − 2 = 7
Valor
de x
Valor de y = −x2
+ 3
−3 y = −(−3)2
− 2 = −9 + 3 = −6
−2 y = −(−2)2
− 2 = −4 + 3 = −1
−1 y = −(−1)2
− 2 = −1 + 3 = 2
0 y = −(0)2
− 2 = 0 + 3 = 3
1 y = −(1)2
− 2 = −1 + 3 = 2
2 y = −(2)2
− 2 = −4 + 3 = −1
3 y = −(3)2
− 2 = −9 + 3 = −6
y = x2
− 2
y = −x2
+ 3
Actividades
1. La familia delValle quiere cercar un terreno con 100 m de alambrada.
• Escribe la fórmula para calcular el perímetro de un rectángulo de base a
y altura b.
• Escribe la fórmula para calcular el área de un rectángulo de base a
y altura b.
• Despeja b de la fórmula del perímetro.
• En la siguiente tabla están anotados los valores de la base a. Completa la
tabla con los valores de la altura b de forma que el perímetro sea 100 m y
comprueba el valor del área respectiva.
a b = 50 − a 2a + 2b = 100 A = ab
10 100 m 400
20 100 m 600
30 100 m 600
40 100 m 400
• En el siguiente plano cartesiano localiza los puntos de la tabla.
• Según la gráfica, ¿entre qué valores se encuentra el valor máximo
del área?

60 61
Matemáticas
rápidas
1. ¿Qué tipos de
gráficas conoces?
¿Cómo se llaman
las gráficas que
están compuestas
por varios tipos?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Hay muchas situaciones que se pueden plantear elaborando gráficas. En los
siguientes problemas construirás gráficas formadas por diferentes secciones.
Gráficas de diferentes formas
Actividades
1. Un repartidor sale del servicio de paquetería en su motocicleta a las 13:30
de la tarde. En quince minutos llega a su primer lugar de reparto que se en-
cuentra a 8 km de distancia.Veinte minutos después se traslada al segundo
lugar de reparto que se encuentra a 12 km de distancia. Completa la gráfica
para determinar la distancia recorrida respecto al tiempo del recorrido del
repartidor.
Tiempo en horas Distancia recorrida en kilómetros
13:30 0
13:45 8
14:05
20
En el siguiente plano cartesiano completa el recorrido del repartidor.
2. Otro repartidor que se traslada en bicicleta salió, junto con el repartidor ante-
rior del servicio de paquetería a las 13:30 y la velocidad promedio a la que iba
fue de 15 kilómetros por hora. Si él se traslada al segundo lugar de entrega:
• ¿Cuánto tiempo tarda en llegar?
• En el mismo plano cartesiano del ejercicio anterior grafica el recorrido del
repartidor en bicicleta (usa un color diferente).
3. En una cisterna, que tiene una capacidad de 5 000 litros, hay tres tipos de
llaves. La siguiente gráfica muestra el flujo de agua que tiene cada una
de las llaves.
¿Cuál de las tres llaves tiene mayor presión al empezar a llenar?
4. Daniela sale de casa y camina a la parada de autobús y espera el transporte
que la lleva a la biblioteca. La gráfica muestra el recorrido de Daniela.
• ¿Qué distancia hay de la casa de Daniela a la biblioteca?
• ¿Cuántos minutos tardó en llegar el autobús?13:30 13:45 14:00 14:15 14:30 14:45 15:00 15:15
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
Tiempo (horas)
Distancia(km)
Tiempo (h)
1 25 3 4
5000
4000
3000
2000
1000
Capacidad(l)
20 40 60 80 100 120
5
4
3
2
1
Tiempo (min)
Distancia(km)

62 63
1. Considera el
lanzamiento de
un dado y calcula
las siguientes
probabilidades.
a) Que salga un
número impar.
b) Que salga un
número par.
c) Que salga un
número menor o
igual que 5.
d) Que salga un
número menor
que 3.
Matemáticas
rápidas
¿Qué diferencia
hay entre eventos
mutuamente
excluyentes y eventos
independientes?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Algunos cálculos de probabilidades pueden ser complejos, por esta razón es
importante saber identificar el tipo de eventos que se están estudiando.
Por ejemplo, si se lanzan dos dados, uno rojo y uno azul, la probabilidad de que
al sumar los números que salen sea 3 es 2
36
, ya que solo es posible sumar 3 si
el dado rojo sale uno y el azul sale 2, o el rojo sale 2 y el azul sale 1. En este caso
solamente hay dos casos favorables y el número de casos totales es 36.
Sin embargo, la probabilidad, de que la suma de los dados sea 2 es
1
36
, pues
solamente hay un caso favorable (que en los dos dados salga 1). En este caso
se considera el evento A de que salga 1 en el dado rojo y el evento B que salga
1 al lanzar el dado azul. Ambos eventos tienen la misma probabilidad de ocu-
rrir, 1
6
.
La probabilidad de que ocurran A y B de manera simultánea es:
P(A) ∙ P(B) =
1
6
∙
1
6
=
1
36
Cuando dos eventos cumplen esta propiedad se dice que son independientes.
Es decir, dos eventos A y B son independientes si la probabilidad de que ocu-
rran los dos de manera simultánea es igual al producto de las probabilidades
de cada uno de ellos:
P(A y B) = P(A) ∙ P(B)
Otro tipo de situaciones en donde se presentan estos eventos es cuando se
combinan dos situaciones diferentes. Por ejemplo, si se lanza un dado y se ex-
trae una bola de una urna que tiene 7 bolas rojas y 8 bolas negras, y el evento
C es que salga un número par en el dado y que salga una bola roja, este evento
es la combinación de los eventos A y B, donde;
• Evento A: que salga un número par en el dado (P(A) =
1
2
)
• Evento B: que salga una bola roja de la urna (P(B) =
7
15
)
Entonces:
P(C) = P(A y B) = P(A) ∙ P(B) =
1
2
∙
7
15
=
7
30
Eventos independientes Actividades
1. Se van a lanzar tres monedas al mismo tiempo. Calcula la probabilidad de que
en las tres monedas el resultado sea águila. Además, expresa el evento como
eventos independientes.
2. Ana y Araceli tiran un dado al mismo tiempo. Si en alguno de los dados sale un
2 entonces Ana gana, pero si en los dos dados sale un 2, ambas pierden. ¿Cuál
es la probabilidad de que ambas pierdan?
3. Si se lanzandos dados, ¿cuál esla probabilidad de que enuno de ellos salgaun
número impar y en el otro dado salga un número par?
4. Para hacer una rifa se vendieron 1000 boletos. Cada boleto tiene un número
de tres cifras que van desde el número 000 hasta el número 999. Para elegir el
número ganador se va a determinar una de las siguientes reglas.
• Regla 1: Se hacen 1000 boletos (uno de cada número), se meten a una urna y
de ella se saca el boleto ganador.
• Regla 2: Se hacen tres urnas, se colocan números del 0 al 9 en cada una de
ellas y luego se extrae un número de cada una de ellas para formar el núme-
ro ganador.
Calculalaprobabilidadquehayencadaregladequeunnúmeroarbitrariosea
el ganador.

64 65
Números capicúa
Se dice que número es capicúa si se lee de izquierda a derecha
igual que de derecha a izquierda. Por ejemplo.
El número 55 es un número capicúa.
El 121 también es un número capicúa.
El 23432577523432 es otro.
Una conjetura en matemáticas es el hecho de que, a partir de
cualquier número, siempre se puede encontrar un número ca-
picúa.
Por ejemplo, si empezamos con el 13, hay que sumarle a este
número el mismo número solamente con sus cifras invertidas y
al resultado aplicarle el mismo proceso, en algún paso el núme-
ro obtenido es un número capicúa.
De esta forma:
13 + 31 = 44
Este número ya es un número capicúa. Probemos ahora con 96.
96 + 69 = 165, no es capicúa.
165 + 561 = 726, no es capicúa.
726 + 627 = 1353, no es capicúa.
1353 + 3531 = 4884, ya es un número capicúa.
Practica este procedimiento y encuentra al menos cinco núme-
ros capicúa.
Matemáticas
curiosas
Notas

66 67
Bloque4 Contenido
Desafío 4
Seno, coseno y tangente
Prácticas
21. Sucesiones cuadráticas
22. Sólidos de revolución
23. Elementos de una línea recta
24. Elementos de un triángulo rectángulo
25. Las razones trigonométricas
26. La razón de cambio
27. Análisis en las gráficas
Expresiones generales
cuadráticas para definir el
enésimo término de una
sucesión.
Problemas que implican el uso
de las razones trigonométricas
seno, coseno y tangente.
El significado del rango y la
desviación media.

68 69
Consigna
En parejas, planteen y resuelvan los siguientes problemas.
Don Emilio es el encargado del mantenimiento de una zona habitacional.
Como parte de sus tareas, la administración del lugar le ha solicitado que
haga un conteo del número de lámparas fundidas y, la altura a la que se en-
cuentran, para sustituirlas por otras nuevas.
Debido a que no tiene una escalera lo suficientemente larga, recurrió a un
método indirecto de medición que consiste en utilizar un clinómetro para
calcular el ángulo de elevación que se forma entre la horizontal y la línea de
visión del observador y al objeto (en este caso la lámpara).
Los datos que obtuvo fueron que a una distancia de
7 metros, el ángulo de elevación es de 60°. Además,
el clinómetro lo empleó a una altura de 1.5 m res-
pecto del piso.
1. Respondan las siguientes preguntas.
a) En el triángulo que se forma, ¿el lado
de 7 m es cateto o hipotenusa?

b) El lado correspondiente a la
altura, ¿es cateto o hipotenusa?

c) ¿Qué razón trigonométrica involucra estos lados y el ángulo?

d) Con los datos que acaban de definir, ayuden a Don Emilio a calcular la
altura de las lámparas.
Altura =
2. Apliquen el razonamiento anterior y resuelvan.
En una revista de interés general, se menciona que de la base de un monte
a la cúspide hay una distancia de 650 metros y la pendiente es de 30 gra-
dos.
¿Cuál es la altura del monte?

3. Compartan sus respuestas con otros compañeros e identifiquen qué cál-
culos hicieron para obtener las respuestas.
Que los alumnos
planteen y resuelvan
problemas de
distancias poco
accesibles,
usando las razones
trigonométricas
seno, coseno y
tangente.
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Seno, coseno y tangente
Desafío 4
altura = ?
1.5 m
7 m
60O
x
)30o
650m

70 71
¿Para qué se usa
la fórmula general
de una sucesión de
figuras?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Matemáticas
rápidas
1. Escribe los tres
términos que siguen,
en cada sucesión.
a) 1, 3, 5, 7, 9, ,
, ,…
b) 4, 8, 12, 16, 20
, , , …
Sucesiones cuadráticasPráctica 21 1. Observa la siguiente sucesión de figuras y completa la tabla.
1 2 3 4 5
Número de figura 1 2 3 4 5 6 7
Número de puntos de la figura 2 6
Número de líneas de la figura 1 7
a) Completa la tabla para calcular la fórmula general que define la sucesión
de puntos que tiene la figura.
Sucesión 2 6 12 20
Primeras diferencias entre
términos consecutivos 6 − 2 12 − 6 20 − 12
4 6 8
Segundas diferencias en-
tre términos consecutivos
6 − 4 8 − 6
2 2
b) Usa las ecuaciones de la tabla y calcula la fórmula general de la sucesión
de puntos que tienen las figuras.
2a = 2
3a + b = 4
a + b + c = 2
2. Para la siguiente sucesión de figuras, construye en tu cuaderno las tablas para
obtener la fórmula general de la sucesión del número de puntos de cada figura.
1 2 3 4 5
Actividades
En las sucesiones, tanto numéricas como de figuras, se puede encontrar la
regla de correspondencia que determina las características de cualquiera de
los términos de la sucesión.
Por ejemplo, en la sucesión 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,…, el primer término de la suce-
sión es t1
= 2, el segundo es t2
= 4, el tercer término es t3
= 6, y así sucesivamente;
en general el n-esimo término o lugar de la sucesión es tn
= 2n.
Hay métodos para encontrar la expresión algebraica de ciertas sucesiones de
números o figuras. Por ejemplo, la sucesión 5, 8, 11, 14, 17, 20,… se coloca en
una tabla como la siguiente:
Sucesión 5 8 11 14 17 20
Diferencia entre
términos consecutivos
8 − 5 11 − 8 14 − 11 17 − 14 20 − 17
3 3 3 3 3
Observa que la primera diferencia de términos consecutivos es constante, en
este caso 3. La regla general que modela la sucesión es de la forma 3n + b, y
para encontrar el valor de b solo hay que sustituir en el primer término.
5 = 3(1) + b = 3 + b
Es decir b = 2. Por tanto, la fórmula general de la sucesión es 3n + 2.
Para sucesiones más complejas, como 6, 11, 18, 27, 38,…, se elabora una tabla
como la siguiente:
Sucesión 6 11 18 27 38 51
Primeras diferencias entre
11 − 6 18 − 11 27 − 18 38 − 27 51 − 38
5 7 9 11 13
Segundas diferencias entre
7 − 5 9 − 7 11 − 9 13 − 11
2 2 2 2
Esta expresión es de la forma: an2
+ bn + c, donde los números a, b y c cumplen:
2a = 2
3a + b = 5
a + b + c = 6
Así, a = 1, b = 2 y c = 3.
La expresión algebraica es n2
+ 2n + 3.

72 73
Matemáticas
rápidas
Práctica 22
1. Indica cuales de
los siguientes
nombres son cuerpos
geométricos.
a) Cuadrado
b) Cubo
c) Triángulo
d) Pirámide
e) Prisma
f) Esfera
g) Cilindro
h) Cono
¿Cuántas caras
tiene un cilindro y
cuántas un cono?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Un sólido de revolución es el que se obtiene al girar una figura geométrica
plana sobre un eje.
Por ejemplo:
Si se hace girar un rectángulo sobre uno de sus lados se obtiene un sólido o
cuerpo geométrico llamado cilindro, como se muestra en la figura.
Si se hace girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos se obtiene
un sólido o cuerpo geometrico llamado cono, como se muestra en la figura.
Si tomamos medio círculo y lo hacemos girar con respecto al diámetro se ob-
tiene un cuerpo geométrico llamado esfera, como se muestra en la figura.
Sólidos de revolución
Eje de giroEje de giro
Eje de giroEje de giro
Eje de giro Eje de giro
1. En un pedazo de cartulina copia este desarrollo plano y construye un cono.
2. Copia en una cartulina el desarrollo plano del cilindro y ármalo. Elabora una
explicación de cómo se hacen las medidas para el desarrollo plano.
Actividades
r
2pr
r
a

74 75
1. Escribe el valor de la pendiente de las siguientes rectas; además, mide con tu
transportador y determina cuál recta tiene mayor pendiente.
a)
b)
c)
Práctica 23
Matemáticas
rápidas
1. Indica en cada una
de las expresiones
cuál es la ordenada
al origen.
a) y = 3x + 2
b) y = 5x -2
c) y = -2x2
+ 1
d) y = x3
+ 4
La pendiente de una recta es el ángulo de inclinación que tiene la recta con
respecto a eje horizontal, como se ve en las siguientes figuras.
La recta azul y la recta roja tienen diferente inclinación a simple vista. Observa
que se marcó el ángulo que forma cada recta con el eje x. El ángulo de incli-
nación de la recta roja es mayor que el ángulo de inclinación de la recta azul.
Hay varias formas de encontrar la pendiente de una recta; por ejemplo, la
ecuación de la recta y = ax + b, el número a resulta en la pendiente.
Observa la gráfica de la siguiente ecuación:
y =
2
3
x + 1
La pendiente es
2
3
e indica que cada que cada vez que se avanzan tres unida-
des hacia la derecha se avanzan dos unidades hacia arriba como se muestra
en la gráfica.
Elementos de una línea recta
¿Si dos rectas tienen
la misma pendiente
entonces son la
misma recta?
Pregunta de reflexiónActividades
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas

76 77
Práctica 24
En dos triángulos rectángulos semejantes, se cumple cierta relación entre al-
gunos de los cocientes que relacionan las medidas de sus lados.
Por ejemplo:
Los triángulos son semejantes pues hay una relación de proporcionalidad di-
recta entre las medidas de sus lados.
Observa que el ángulo A tiene la misma medida en ambos triángulos. Al lado
opuesto al ángulo A se le llama cateto opuesto al ángulo A, al lado que forma el
ángulo A, se le llama cateto adyacente al ángulo A.
Para estos ángulos se calculan los cocientes formados por las medidas de sus
lados como se muestra en la tabla.
Triángulo naranja
Cociente entre el cateto
opuesto al ángulo A
y la hipotenusa
adyacente al ángulo A
y la hipotenusa
opuesto al ángulo A
y el cateto adyacente
CO
H
=
6
10
= 0.6
CA
H
=
8
10
= 0.8
CO
CA
=
6
8
= 0.75
Y en el triángulo azul.
Triángulo azul
opuesto al ángulo A y la
hipotenusa
adyacente al ángulo A y
la hipotenusa
opuesto al ángulo A y el
cateto adyacente
CO
H
=
3
5
= 0.6
CA
H
=
4
5
= 0.8
CO
CA
=
3
4
= 0.75
Estas medidas no cambian para los triángulos rectángulos semejantes entre
sí.
Elementos de un triángulo
rectángulo
1. Lee los siguientes
enunciados y
marca con ü los
que correspondan
a propiedades del
triángulo rectángulo.
( ) Tiene dos
ángulos
agudos.
( ) Cumple
la relación
del teorema
de Pitágoras.
( ) Los ángulos
que no son
rectos miden
lo mismo.
1. Para cada uno de los siguientes triángulos, mide los lados y el ángulo A co-
rrespondientes. Completa la tabla para calcular los cocientes con respecto a
los ángulos indicados.
a)
Medida del ángulo A:
Cateto opuesto
entre hipotenusa para
el ángulo A
Cateto adyacente
el ángulo A
Cateto opuesto
entre cateto adyacente
al A

b)
MedidadelánguloA:
Cateto opuesto
el ángulo A
Cateto adyacente
el ángulo A
Cateto opuesto
entre cateto adyacente
al A
Dados dos triángulos
rectángulos
semejantes entre
sí, ¿por qué solo se
hacen los cocientes
para los ángulos
agudos?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Actividades
Cateto adyacente
al ángulo A
Cateto
opuesto
al ángulo A
Cateto
opuesto
al ángulo A
Cateto adyacente
al ángulo A
10 cm6 cm
8 cm
Hipotenusa
A
Cateto adyacente
al ángulo A
Cateto
opuesto
al ángulo A
4 cm
3 cm
5 cm
A
Matemáticas
rápidas

78 79
Práctica 25
Matemáticas
rápidas
1. Indica si es posible
construir un único
triángulo con
las siguientes
indicaciones.
a) Que tenga un
ángulo recto.
b) Que tenga dos
ángulos de 45°.
c) Que dos de sus
lados midan 8 cm.
¿Solamente existen
estas tres razones
trigonométricas?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Para cualquiera de los ángulos agudos en un triángulo rectángulo, se dan
nombres específicos a los cocientes estudiados en la práctica anterior, de la
siguiente manera:
Seno del ángulo A es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo A y la hipo-
tenusa.
sen(A) =
CO
H
Coseno del ángulo A es el cociente entre el cateto adyacente al ángulo A y la
hipotenusa.
cos(A) =
CA
H
Tangente del ángulo A es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo A y el
cateto adyacente al ángulo A.
tan(A) = CO
CA
Estas tres razones o cocientes son llamadas razones trigonométricas y son
muy importantes en la resolución de problemas que implican lados y ángulos
de triángulos rectángulos.
Observa que las razones trigonométricas se definieron para la medida de un
ángulo específico; es decir, si el ángulo cambia los catetos opuesto y adya-
cente cambian con relación al ángulo, por tanto, las razones trigonométricas
también cambian.
Las razones trigonométricas
A
Cateto adyacente al ángulo A
Cateto
opuesto
al ángulo A
Hipotenusa
1. Usa tu calculadora para obtener los siguientes valores.
Razón trigonométrica Medida del ángulo A
sen(48°) = cos(A) = 1367
tan(12°) = tan(A) = 1
cos(69°) = sen(A)= 0.5
tan(80°) = tan(A) = 2
2. Usa tu calculadora para obtener el valor del ángulo para cada uno de los
siguientes casos.
Medida del ángulo A Razón trigonométrica
sen(A) = 0.9563 cos (32°) =
tan(A) = 9.0036 tan (78°) =
cos(A) = 0.9858 sen (21°) =
tan(A) = 4846 tan (10°) =
3. Calcula el valor de x para cada uno de los siguintes triángulos.
b)a)
d)c)
f)e)
Actividades
8 cm
x
40° x
50°
9cm
33 cm
42°
x
20°
12 cm
x
x
14 cm
30°
38°
18 cm
x

80 81
a) ¿Qué competidor va más rápido, el azul o el verde?
b) ¿Qué competidor llegó en segundo lugar?
c) ¿Qué relación hay entre la pendiente y la velocidad a la que corrió cada
competidor?.
2. En el gimnasio hay un aparato que se requiere mucha fuerza para usarlo. La
gráfica muestra la fuerza que se debe usar y la distancia que se desplaza el
aparato.
a) ¿Cuál es la razón de cambio de la gráfica anterior?
b) ¿Qué fuerza hay que ejercer para que el resorte se estire un metro?
3. Una cisterna con agua se vaciará para su limpieza. La gráfica muestra la re-
lación entre la altura que tiene el agua de la cisterna y el tiempo transcurrido
durante el vaciado.
a) ¿Cuál es la razón de cambio asociada a la gráfica?
b) ¿Qué altura tenía el agua en la cisterna a la hora y media de iniciado el
vaciado de la misma?
Práctica 26
Cuando dos conjuntos de cantidades están relacionados, al dar un valor para
una de las cantidades se obtiene otro valor para su correspondiente cantidad
en el otro conjunto. Es importante medir qué tanto cambian estos valores; es
decir, si aumentamos cierta cantidad a otra fija, cómo se refleja esto respecto
a sus correspondientes cantidades.
Cuando una relación entre dos conjuntos es lineal la razón de cambio es
siempre constante y la constante es la pendiente de la recta.
Observa la siguiente gráfica y la relación que la representa. Por cada unidad
que se desplaza en el eje x hacia la derecha hay que desplazarse dos unidades
hacia arriba en el eje y.
La razón de cambio es
2
1
= 2. Que es la pendiente de la recta.
La razón de cambio
Matemáticas
rápidas
1. Calcula el valor
de y para cada
uno de los valores
de x indicados.
y =
1
3
x + 1
Para:
x = 2, y =
x = 3, y =
x = 4, y =
Actividades
¿La razón de
cambio siempre
es constante?
y = 2x − 2
1. La siguiente gráfica muestra la distancia recorrida y el tiempo que hicieron
dos competidores en 1000 metros.
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Fuerza(N)
Estiramiento (cm)
50
1000
Distancia(m)
Tiempo (h)
2
1
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Distancia(m)
Tiempo (min)
10
1000
0

82 83
Práctica 27
Matemáticas
rápidas
¿Para qué se
usan las medidas
de dispersión?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Cuando analizamos los conjuntos de datos para elaborar gráficas y analizar
la información obtenida, es importante tener en cuenta las siguientes defini-
ciones.
Si ya calculaste el promedio o media geométrica del conjunto de datos, es con-
veniente encontrar la media para determinar que tanto se alejan estos entre sí.
Desviación media
La desviación media de un conjunto de datos es el promedio de la diferencia
entre el valor absoluto de la media y cada uno de los datos.
Dx
=
x1
− x + x2
− x + ... + xn
− x
N
Por ejemplo:
LascalificacionesdeAnaenlos5bimestresfueron:10,8,4,10y4.Supromedioes:
P = 10 + 8 + 4 + 10 + 4
5
=
36
5
= 7.2
La desviación media es
DM
=
10 − 7.2 + 8.7.2 + 4 −7.2 + 10 − 7.2 + 4 − 7.2
5
=
2.8 + 0.8 + −3.2 + 2.8 + − 3.2
5
= 2.56
Rango
El rango de un conjunto de datos es la diferencia que hay entre el mayor de los
datos y el menor.
Por ejemplo, en el caso de las calificaciones de Ana el rango es:
Rango =10 − 4 = 6
Las estaturas (en metros) de un grupo de 10 amigos son:
1.42 1.40 1.41 1.35 1.43 1.50 1.55 1.49 1.49 1.43
El rango para este conjunto de datos es:
Rango = 1.55 − 1.35 = 0.2
Análisis en las gráficas
1. Calcula la media, la
moda y la mediana
del siguiente
conjunto de datos.
Datos: 10, 9, 11, 15,
13, 12, 11, 13, 15,
20, 15, 13, 12, 11.
Media:
Moda:
Mediana:
1. Juan tuvo las siguientes calificaciones por bimestre: 7, 7, 7, 8 y 8. Calcula el
promedio y la desviación media de este conjunto de datos.
a) Compara los promedios de Ana y de Juan y determina a quién le fue
mejor.
b) Compara las desviaciones medias para Ana y Juan y determinen cuál es
mayor y si eso indica algo significativo en la situación.
2. En un estudio, para comparar el aprovechamiento de los estudiantes del
turno matutino y vespertino de primero de secundaria, se obtuvieron los
datos que se muestran en la siguiente tabla.
Matutino 6 10 10 8 8 7 9 6 8 5 8 8 7 9 9 10 9 10 6 7
Vespertino 10 10 6 8 9 5 10 10 6 6 8 9 8 10 10 7 6 5 7 10
a) Completalasiguientetablausandolosdatosanteriores. Despuésresponde
las preguntas.
Calificación
Matutino Vespertino
No. de estudiantes No. de estudiantes
5
6
7
8
9
10
Total
Indicador Calificación Calificación
Media
Mediana
Moda
Desviación Media
Rango
b) ¿Cuántos estudiantes están en los extremos, es decir, con calificaciones
de 10 o de 5?
c) ¿Qué indicador de tendencia central (media, mediana o moda) muestra
estas diferencias?
d) ¿Qué medida de dispersión (desviación, media o rango) muestra estas
diferencias?
Actividades

84 85
Los puentes de Königsberg
En el siglo XVIII, en una ciudad llamada Königsberg (situada
en la antigua Prusia, hoy Kaliningrado, perteneciente a Rusia)
había siete puentes que conectaban cada una de las orillas del
río Pregel con dos islas interiores.
Se dice que los puentes eran el orgullo del pueblo de Königs-
berg, pues su arquitectura era muy hermosa; además, decían
que era imposible recorrerlos todos (los siete puentes) pasando
una sola vez por cada uno de ellos.
La siguiente imagen representa la forma en que estaban situa-
dos los puentes.
Determina si es posible un recorrido que pase solamente una
vez por cada uno de los puentes.
Matemáticas
curiosas
Notas

86 87
Bloque5 Contenido
Desafío 5
Ecuaciones y sistemas de ecuaciones
Prácticas
28. Ecuaciones de segundo grado
y problemas
29. Las cónicas
30. Volumen de cilindros y conos
31. Problemas de volumen
de cilindros y conos
32. Modelos no lineales
33. Juegos justos
Problemas que involucran ecuaciones
lineales, sistemas de ecuaciones y
ecuaciones de segundo grado.
Problemas que implican calcular el
volumen de cilindros y conos.
Lectura y representación gráfica y
algebraica de relaciones lineales y
cuadráticas.
Problemas de probabilidad de
eventos complementarios,
mutuamente excluyentes e
independientes.

88 89
Desafío
Consigna
En equipos de tres compañeros, planteen y resuelvan los siguientes proble-
mas:
1. La familia Godínez se iniciará en el cultivo de café, ya que la región en
donde viven tiene las condiciones de clima y altura propicias para ello. Los
Godínez calcularon una inversión inicial que les permite cultivar una su-
perficie rectangular de 1000 metros cuadrados y disponen de 140 metros
de malla para cercarlo.
¿Cuáles son las medidas del largo y del ancho del terreno destinado al cul-
tivo del café?
a) Largo:
b) Ancho:
2. Don Genaro, líder productor de café de aquella región, recomendó a la fa-
milia Godínez sembrar dos tipos de café:
• La semilla del tipo A, con un costo de $40.00 por hectárea.
• La semilla del tipo B, con un costo de $60.00 por hectárea.
Además, el costo de la mano de obra que deberán pagar es:
• $200.00 para sembrar la semilla del tipo A.
• $100.00 para sembrar la semilla del tipo B.
Si van a invertir $4800.00 en semillas y $14000.00 en mano de obra, ¿cuán-
tas hectáreas de cada cultivo se van a sembrar?
a) Hectáreas con semillas del tipo A:
b) Hectáreas con semillas del tipo B:
3. Un agricultor vendió a la familia Godínez 18 costales de semillas de café
del tipo A y 13 costales de semillas del tipo B, todo por $3500.00.
Si cada costal de semillas del tipo B es cuatro veces el costo de un costal de
semillas del tipo A, ¿cuál es el valor de cada costal?
a) Costal de semillas del tipo A:
b) Costal de semillas del tipo B:

Que los alumnos
planteen y resuelvan
problemas de
ecuaciones de primer
grado, de segundo
grado o sistemas de
ecuaciones lineales.
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Ecuaciones y sistemas
de ecuaciones
5

90 91
¿Hay más ecuaciones
de otros grados que
se puedan resolver?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Matemáticas
rápidas
1. Calcula el valor que
falta en cada caso.
a) 2+ = 15
b) 2( ) + 3 = 23
c) 17 − ( ) = 17
Ecuaciones de segundo grado
y problemas
Actividades
Práctica 28
El planteamiento de un problema es importante para poder determinar qué
tipo de ecuaciones son las que se van a resolver. Hasta el momento has re-
suelto ecuaciones de primer y segundo grado con una o dos incógnitas. Ahora
aprenderás a resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, es
decir, dos ecuaciones que representen un mismo problema.
Manolo tiene $290.00 en monedas de $5.00 y de $10.00. Si en total tiene 35
monedas, ¿cuántas son de $5.00 y cuántas de 10.00?
Para resolver el problema se realiza lo siguiente:
• Con la letra x se representa el número de monedas de $5.00.
• Con la letra y se representa el número de monedas de $10.00.
• Por un lado, los $290.00 que tiene Manolo se representa con la ecuación
5x + 10y = 290.
• Por otro lado, el total de monedas se representa con la ecuación x + y = 35.
De esta forma tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
{5x + 10y = 290
x + y = 35
Para resolverla se despeja una de las variables de una de las ecuaciones. En
este caso x de la segunda ecuación:
x = 35 − y
Se sustituye el valor obtenido de x en la primera ecuación y se despeja la se-
gunda variable:
5(35 − y) + 10y = 290
Es decir:
5y = 115
y = 23
Se sustituye el valor de y en el despeje de la primera variable:
x = 35 − 23 = 12
y = 23 y x = 12 son soluciones del sistema de ecuaciones lineales.
Por tanto, Manolo tiene 23 monedas de $10.00 y 12 monedas de $5.00.
1. Resuelve los siguientes problemas. Plantea y resuelve una ecuación de primer
grado, una ecuación de segundo grado, o bien un sistema de ecuaciones.
a) Un caballo le dice a un asno, “¡Yo no debería de cargar tantos sacos de
maíz!, yo fui hecho para correr, no para cargar”. El asno le contesta: “No
te quejes tanto, si yo cargara uno de tus sacos entonces llevaría el doble
de sacos de los que tienes; y si tu cargaras uno de los sacos que llevo yo,
entonces llevaríamos el mismo número de sacos”. ¿Cuántos sacos de
maíz carga el caballo y cuántos el asno?
b) Lourdes es 6 años mayor que Lucía y la suma de los cuadrados de sus
edades es igual a 356. ¿Qué edad tiene cada una?
c) La siguiente figura tiene un perímetro de 270 cm. ¿Cuál es el valor de x?
x
x
x
x
x
x

92 93
1. Determina el radio de la sección circular que se obtiene al cortar un cono de
34.2 cm de altura y 22.5 cm de diámetro a 15 cm del vértice del cono sobre
el eje.
2. Un cono de 14 cm de altura y 7 cm de radio se corta paralelo a la base de
manera que el cono pequeño que resulta tiene un radio de 5.7 cm. ¿A qué
altura desde la base se hizo el corte?
3. La pantalla de una lámpara tiene las medidas que se indican en la imagen.
¿Qué diámetro tiene la parte circular de arriba de la lámpara?

4. La luz de una lámpara del alumbrado público forma un cono luminoso
cuyo diámetro en la base mide 2.5 m. Para calcular la altura de la lámpara,
alguien colocó paralelamente al piso una lámina que fue levantada hasta
que el diámetro del cono de luz midió 2 m. Si en ese punto la lámina estaba
a un metro del suelo, calcula la altura de la lámpara.
¿Cuántas cónicas
conoces?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Matemáticas
rápidas
1. Indica qué es un
cuerpo geométrico
y cuáles de ellos
conoces.
Las cónicas Actividades
Práctica 29
Así como las figuras geométricas pueden formar otras figuras geométricas, los
cuerpo geométricos tienen la misma capacidad e incluso propriedades que
sirven para generar otro tipo de figuras planas.
Por ejemplo, si se tiene un cilindro o un cono y se hacen cortes sobre ellos con
un plano (como si fuera un cuchillo), las caras que resultan del corte sobre el
sólido tienen particularidades y formas muy específicas.
En la imagen se muestran las diferentes formas que resultan de cortar un
cono y un cilindro dependiendo de la inclinación del plano.
En particular, cuando se corta un cono y estos de forma paralela a su base,
la curva que se forma es un círculo y el radio cada vez es menor mientras se
acercan los cortes al pico del cono.
El radio de los círculos, al hacer el corte, junto con la altura a la que se hace
dicho corte, son cantidades directamente proporcionales.
h´
r´
h
r
Círculo
Elipse
Parábola
Hipérbola
30 cm
15 cm

94 95
Para calcular el volumen de un cilindro o de un cono, se aplican las siguientes
fórmulas.
Volumen del cilindro:
V = pr2
h
Donde V es el volumen del cilindro, r es el radio del círculo de la base y h es la
altura del cilindro.
Volumen del cono:
V = pr2
h
3
Donde V es el volumen del cono, r es el radio del círculo de la base y h es la
altura del cono.
¿Qué otros cuerpos
geométricos
tienen volumen
y cómo se calcula?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Matemáticas
rápidas
1. Calcula el volumen
de los siguientes
sólidos.
a)
b)
Volumen de cilindros y conos Actividades
Práctica 30
2 cm
3 cm
2 cm
2 cm
2 cm
1 cm
Radio
Altura
1. La anaconda es una serpiente que habita en el Amazonas, la cual puede llegar
a medir 10.5 m de largo y 32 cm de diámetro. Si se supone que su cuerpo es un
cilindro perfecto, ¿cuál es su volumen?, ¿cuánto mide el área de la superficie
que cubre su piel?
2. Uno de los árboles más altos del mundo son las Secuoyas. Algunos de estos
enormes árboles tienen nombre, como es el caso del National Geopraphic
Tree, secuoya de forma cilíndrica con una altura de 112.71 m y 4.3 m de diá-
metro en la base. ¿Qué volumen tiene?
3. Los silos tipo torre son estructuras construidas con diversos materiales, como
hormigón, acero, madera, cemento, entre otros; suelen emplearse para alma-
cenar granos o materiales. Calcula el volumen que puede contener el silo de
la siguiente figura. Considera únicamente las partes conformadas por el cono
inferior y el cilindro.Base
Altura
4.57 m
6.45 m Cilindro
2.8 mCono

96 97
A continuación se resuelve un problema usando las fórmulas del volumen de
un cilindro o de un cono.
Los siguientes dos recipientes serán usados para hornear la base de un pastel.
Determina cuál de ellos tendrá un mayor volumen (es decir, alcanzará para
más personas).
Para el cilindro verde el volumen es:
V = (3.14) (10)2
(6.5) = 314(6.5) = 2041 cm3
.
Para el cilindro azul el volumen es:
V = (3.14) (8)2
(7.5) = (200.96)(7.5) = 1507.2 cm3
.
Por tanto, el recipiente verde tiene mayor capacidad.
La siguiente figura muestra un cono de papel de los que se usan para beber
agua. Determina cuántos mililitros de agua le caben (recuerda que un milili-
tro es un centímetro cubico).
Su volumen es:
V = (3.14)(3)2
(10)
3
= (28.26)(10)
3
= 282.6
3
= 94.2
Si no se sabe
la altura de un
cilindro, ¿se puede
calcular su volumen?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Matemáticas
rápidas
1. ¿Qué envases o
recipientes conoces
que tengan la forma
de un cono o de un
cilindro?
Problemas de volumen de cilindros
y conos
Actividades
Práctica 31
a) Dos cilindros tienen la misma altura de 10 cm, pero la capacidad de cada
uno de ellos son distintos. La del primero es de 2 litros y la del segundo
es de 1 litro. Calcula el radio de cada uno de los cilindros.
b) Una copa de vidrio tiene las dimensiones que se indican en la imagen.
Determina qué cantidad de líquido le cabe si está completamente llena.
2. Dos cilindros tienen la misma base pero diferente altura. El primero tiene
capacidad de un litro y el segundo de dos litros. Cuál es la altura de cada
uno de los cilindros.
8 cm
5 cm
10 cm
6.5 cm
8 cm
7.5 cm
10 cm
6 cm

98 99
¿Por qué son
importantes
las relaciones
cuadráticas?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Matemáticas
rápidas
1. Resuelve los
siguientes acertijos.
a) ¿Quién es el hijo
de mis padres
que no es mi
hermano?
b) Piensa un
número,
multiplícalo por
2, agrégale 10,
divídelo por la
mitad, quítale
el número que
pensaste, y el
número que te
quedó es 5. ¿Para
qué número se
obtiene este
resultado?
Modelos no linealesPráctica 32
Como ya aprendiste, la gráfica asociada a una situación que relaciona dos
conjuntos de cantidades, brinda información acerca de la manera en que es-
tán relacionados esos conjuntos.
Particularmente, estudiaste las relaciones cuya gráfica asociada es una línea
recta y su expresión algebraica es de la forma:
y = mx + b
Cuando la relación entre dos conjuntos de cantidades es cuadrática, la expre-
sión asociada a la situación es de la forma:
y = ax2
+ bx + c
Por ejemplo:
El peso ideal de una persona adulta depende de su estatura. Si E representa la
estatura de la persona medida en centímetros, la fórmula que permite deter-
minar el peso ideal de una persona, medido en kilogramos, es:
P = 0.75 E − 62.5
Para determinar si Guillermina está dentro de su peso ideal, si se sabe que ella
mide 1.65 metros y pesa 63 kilógramos. Se utiliza la fórmula anterior, recor-
dando que la estatura se debe poner en centímetros.
P = 0.75(165)− 62.5 = 123.75 − 62.5 = 61.25
Por lo que Guillermina está 1.75 kg por encima de su peso ideal.
b) El volumen del cilindro se calcula usando la fórmula
V = pr2
h
Donde la letra V representa el volumen, r el radio de la base y h la altura.
• Escribe una fórmula para calcular la altura de un cilindro si se conoce
el radio de la base y el volumen del cilindro.
• Usa la fórmula que encontraste para calcular la altura de un cilindro
en el que el radio de la base mide 3 cm y el volumen es de 2826 cm3
.
Considera a p como 3.14.
• Escribe una fórmula para calcular el radio del círculo de la base si se
conoce la altura y el volumen del cilindro.
c) El volumen de un cono se calcula usando la fórmula
V =
(pr2
h)
3
Donde la letra V representa el volumen, r el radio de la base y h la altura.
• Escribe una fórmula para calcular la altura de un cono si se conoce el
radio de la base y el volumen del cono.
• Escribe una fórmula para calcular el radio del círculo de la base en un
cono si se conoce la altura y el volumen del cono.
• Usa la fórmula que encontraste para calcular la altura de un cono en
el que el radio de la base mide 3 cm y el volumen es de 2826cm3
. Con-
sidera a p como 3.14.
a) La forma más común de medir la temperatura es en grados centígrados
y en grados Fahrenheit. La fórmula para cambiar de grados centígrados a
grados Fahrenheit es:
F = (1.8) C + 32
Donde C representa la temperatura en grados centígrados y F la tempe-
ratura en grados Fahrenheit.
Escribe la fórmula que permitE calcular la temperatura en grados
centígrados a partir de conocer la temperatura en grados Fahrenheit.
Actividades

100 101
¿Qué diferencia hay
entre probabilidad
clásica y probabilidad
frecuencial?
Mis respuestas
Mis dudas
y preguntas
Matemáticas
rápidas
1. Indica la diferencia
entre azar y
probabilidad.
Juegos justos
Actividades
Práctica 33
Cuando participamos en un juego es importante determinar si el juego es de
azar o no; estos es, si su resultado puede predecirse con toda seguridad. Por
ejemplo, los siguientes son juegos de azar:
• Lanzar una moneda.
• Lanzar dos dados.
• Sacar una bola de una urna.
Si en un juego de azar todos los resultados posibles tienen la misma probabi-
lidad de ocurrencia, se dice que los eventos son equiprobables y en ese caso
se dice que el juego es justo.
Por ejemplo:
Al lanzar un dado, el evento de que el dado caiga en el número 1 tiene la mis-
ma probabilidad de que caiga el 2, o el 3, o el 4, o el 5 o el 6. En este caso todos
tienen 1
6
de probabilidad de ocurrir, por tanto, estos seis eventos son equipro-
bables.
Por otra parte, el evento que caiga el número 1 y el evento que salga un nú-
mero par, no son equiprobables; pues el primero tiene 1
6
de probabilidad de
ocurrir mientras que el segundo tiene 1
2
de probabilidad.
1. Valentina y Jesús jugaron a lanzar dos dados. Valentina gana si la suma de
los dados es un número par. Jesús gana si la suma de los dados es impar.
a) Completa la tabla para conocer el espacio muestral.
Suma de los dados Casos posibles
2 (1, 1)
3 (1, 2), (2, 1)
4
5
6
7
8
9
10
11
12
b) ¿Los eventos son equiprobales?. Explica tu respuesta.

2. En una feria hay un puesto en el que se puede ganar un premio si el juga-
dor tira un dado y sale 6.
Un jugador que participó y perdió muchas ocasiones, protestó diciendo
que el dado estaba alterado. Para probar esto tiró 120 veces el dado y apun-
tó los resultados. Según él, si el dado fuera legal debía salir 20 veces el nú-
mero 6 y salieron 5.
a) ¿Estás de acuerdo con el participante?
b) Explica tu respuesta.
c) ¿Qué harías tú para saber si un dado es legal?
3. Para reunir dinero y poder hacer su fiesta de fin de cursos, los alumnos de
tercer grado van a rifar una pantalla plana. Ellos hicieron 100 boletos y so-
lamente vendieron 72. Amelia dice que se pongan los 100 números en una
urna; y Carmen dice que no, que solamente pongan los números de los 72
que se vendieron.
a) Teresa compró tre boletos. Si la rifa se lleva a cabo como dice Amelia, ¿qué
probabilidad tiene Teresa de ganar la rifa?
b) Si la rifa se lleva a cabo como dice Carmen, ¿qué probabilidad tieneTeresa
de ganar la rifa?
4. El juego del melate consiste en escoger seis numeros de una planilla en la
que aparecen los primeros 56 números. El total de combinaciones posibles
es de:
56 × 55 × 54 × 53 × 52 × 51
a) Calcula el número de combinaciones ganadoras posibles.
b) Calcula la probabilidad de que al comprar un boleto, éste sea el ganador.
c) Si Juana compró un boleto y el primer número en salir es uno de los que
eligió, ¿qué probabilidad de ganar tiene Juana?
5. Al lanzar dos dados, se suman el número de puntos que marcan ambos.
Indica qué eventos son equiprobables.
( ) Que la suma sea igual a 6.
( ) Que la suma sea igual a 7.
( ) Qué la suma sea igual a 8.

102 103
¡Más área!
En una cartulina se ha dibujado un cuadrado de 8 cm de lado y se
ha marcado en su interior una cuadricula por cada centímetro.
Luego, se marcaron dos triángulos A y B y dos trapecios C y D,
como lo muestra la figura 1.
BA
DC
Figura 1
El área total del cuadrado es de 64 cm2
.
En una segunda construcción, supuestamente se han reprodu-
cido los dos triángulos A y B, así como los dos trapecios C y D;
acomodados como se muestra en la figura 2.
B
D
AC
Figura 2
El rectángulo formado tiene 13 cm de largo y 5 cm de ancho, por
lo que su área es de 65 cm2
, esto es, ¡1 cm2
más que la figura 1!
De acuerdo con la construcción, el área de la figura 1 debe ser
igual al área de la figura 2, pues ambas están formadas por las
mismas partes.
¿Cómo es esto posible? ¿Hay algún error o engaño?
Matemáticas
curiosas
Notas

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