2 2-1-logaritmos

APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

VOL. 2, NO. 2, MAYO 2003

HISTORIA DE LOS LOGARITMOS
M.O. Francisco Javier Tapia Moreno

MARCO HISTÓRICO
El paso de la Edad Media a los tiempos modernos estuvo marcado por transformaciones
cuyos resultados generaron un nuevo estilo de vida. A fines del siglo XV, con la decadencia
del feudalismo en Europa, aumenta el poder de una nueva clase social, la burguesía. Ésta
comienza a otorgar préstamos a interés, condenados hasta ese entonces como usura. El
advenimiento del capitalismo, que estimula la acumulación de riquezas y justifica el lucro,
se ve afianzado, además, por los grandes descubrimientos geográficos, que permiten a
algunos puertos europeos convertirse en pequeñas capitales financieras y bancarias. Son
tiempos de grandes cambios culturales y, sobre todo, de un apasionado retorno a las fuentes
antiguas. En cuanto a la ciencia, se origina un proceso de secularización de la misma, donde
el científico es generalmente el burgués. El hombre comienza a observar la naturaleza, a
experimentar, a usar su razón con verdadero espíritu de investigación. La Matemática,
prácticamente inactiva en Europa desde el siglo IV d.C. en que murieron Pappus y
Diofanto, también reaparece en esta época. Afortunadamente, los árabes, que habían
traducido los antiguos manuscritos griegos, fueron durante más de medio milenio los leales
guardianes de aquellos conocimientos, a los que agregaron sus propios descubrimientos.
Italia abre el camino con Scipio Ferro (1465-1526), Niccolo Fontana -apodado Tartaglia(1500-1557) y Girolamo Cardano (1501-1576). En Alemania surgen Stifel, Durero y
Copérnico. La escena se traslada nuevamente a Italia con Galileo Galilei (1564-1642). Vive
en esta época también el gran astrónomo alemán Johann Kepler (1571-1630). En la última
mitad de siglo XVI Francia produce a François Viète, Escocia a John Napier y en Suiza
nace Jobst Burgi.

CAUSAS DEL DESCUBRIMIENTO
A partir del siglo XVI, los cálculos que se precisaban hacer, debido principalmente a la
expansión comercial y al perfeccionamiento de las técnicas de navegación, eran de tal
magnitud que surgía la necesidad de encontrar algoritmos menos laboriosos que los
utilizados hasta entonces, es decir, algoritmos de la multiplicación, de la división, etc.
El descubrimiento de los logaritmos no se produjo aisladamente, por un único proceso. Dos
caminos condujeron a su hallazgo: los cálculos trigonométricos para las investigaciones
astronómicas aplicables a la navegación, y el cálculo de las riquezas acumuladas en lo que
se refiere a las reglas de interés compuesto. Ambos caminos inspiraron respectivamente a
John Napier y a Jobst Bürgi en el descubrimiento de los logaritmos.
Henry Briggs, quien fue el primero que hizo las tablas logarítmicas en base 10, en el año
1631, en su obra Logarithmall Arithmetike, explica el objetivo de la invención de los
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logaritmos: "Los logaritmos son números inventados para resolver más fácilmente los
problemas de aritmética y geometría... Con ellos se evitan todas las molestias de las
multiplicaciones y de las divisiones; de manera que, en lugar de multiplicaciones, se hacen
solamente adiciones, y en lugar de divisiones se hacen sustracciones. La laboriosa
operación de extraer raíces, tan poco grata, se efectúa con suma facilidad... En una palabra,
con los logaritmos se resuelven con la mayor sencillez y comodidad todos los problemas,
no sólo de aritmética y geometría, sino también de astronomía."

PRECURSORES: ARQUÍMEDES Y STIFEL
Los orígenes del descubrimiento, o invención, de los logaritmos se remontan hasta
Arquímedes, en la comparación de las sucesiones aritméticas con las geométricas. Para
comprender tal comparación escribamos, por ejemplo, las siguientes dos sucesiones:
1
2

2
4

3
8

4
16

5
32

6
64

7
8
9
128 256 512

A los números de la primera sucesión, que es aritmética, los llamaremos logaritmos; a los
de la segunda sucesión (la de abajo), que es geométrica, los llamaremos antilogaritmos.
La regla de Arquímedes, según expresa Hoeben, dice que "para multiplicar entre sí dos
números cualesquiera de la sucesión de abajo, debemos sumar los dos números de la
sucesión de arriba situados encima de aquellos dos. Luego debe buscarse en la misma
sucesión de arriba dicha suma. El número de la sucesión inferior que le corresponda
debajo será el producto deseado".
Esta comparación de dos sucesiones vuelve a aparecer en el siglo XVI, en los trabajos de
un matemático alemán, Miguel Stifel (1487-1567), quien publicó en Nuremberg su
"Arithmetica integra" en el año 1544. En esta obra se encuentra por primera vez el cálculo
con potencias de exponente racional cualquiera y, en particular, la regla de la
multiplicación: a n a m a n m , para todos los números racionales n, m.
Stifel da también la primera tabla de logaritmos que existe, aunque en forma muy
rudimentaria. Contiene sólo los números enteros desde -3 hasta 6, y las correspondientes
potencias de 2:
-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

1/8 1/4 1/2

1

2

4

8

16

32

64

A los números de la sucesión superior los denominó exponentes.
Pero para hacer realmente aplicables los logaritmos al cálculo numérico, le faltaba a Stifel
todavía un medio auxiliar importante, las fracciones decimales; y sólo cuando se
popularizaron éstas, después del año 1600, surgió la posibilidad de construir verdaderas
tablas logarítmicas.
6


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En una parte de su libro, Stifel hace la siguiente observación: "Se podría escribir todo un
libro nuevo sobre las propiedades maravillosas de esos números, pero debo ponerme coto a
mí mismo en este punto y pasar de largo con los ojos cerrados". Más adelante agrega: "La
adición en la sucesión aritmética corresponde a la multiplicación en la geométrica, lo
mismo que la sustracción en aquélla corresponde a la división en ésta. La simple
multiplicación en la sucesión aritmética, corresponde a la multiplicación por sí mismo,
potenciación, en la geométrica; y la división en la primera corresponde a la extracción de la
raíz en la segunda, algo así como la división por dos, corresponde a la extracción de la raíz
cuadrada".
Por ejemplo, si se tuviera que multiplicar 2 por 16, sólo se tendría que sumar los números
de la sucesión aritmética que se hallan encima de éstos, es decir, 1 y 4, obteniéndose 5.
Debajo de éste encontramos el número 32 de la sucesión geométrica, que es el resultado de
la multiplicación. Para efectuar una división se realiza una sustracción. Así, 256 dividido
32, se hace 8 – 5 = 3, debajo del cual se ve el número 8, que es el resultado de la división.
La potenciación, llamada por Stifel "multiplicación por sí mismo", se efectúa por la suma
"consigo mismo" del correspondiente número aritmético. Es decir, para hacer 64 se suma
tres veces el número 2, que es el correspondiente en la sucesión aritmética al número 4. O
sea, 2+2+2 = 6 o 2 3 6 , debajo del cual encontramos el 64, lo que significa que este
número es el cubo de 4. La radicación se obtiene mediante la división. Así, la raíz cúbica de
64, se obtiene dividiendo al número 6, que es el correspondiente número aritmético de 64,
por 3. Es decir, 6 3 = 2, debajo del cual encontramos el 4.

JOHN NAPIER
Durante la última parte del siglo XVI, Dinamarca llegó a ser un importante centro de
estudios sobre problemas relacionados con la navegación. Dos matemáticos daneses,
Wittich y Clavius (cuya obra De Astrolabio se publicó en 1593), sugirieron la aplicación de
las tablas trigonométricas para abreviar los cálculos, mediante el uso de las fórmulas del
seno y del coseno de la suma de dos ángulos. Este recurso de cálculo sirvió probablemente
de inspiración al escocés John Napier (1550-1617), cuyo nombre latinizado es Neper, en la
deducción de un método sencillo para multiplicar senos de ángulos por un proceso de
adición directa. El descubrimiento de Napier fue ávidamente acogido por los astrónomos
Tycho Brahe y Johann Kepler. En el año 1614 en Edimburgo aparecen sus Mirifici
logarithmorum canonis descriptio, o “descripción de la maravillosa regla de los
logaritmos”, es decir, las primeras tablas de logaritmos; sin embargo, no se describe aquí la
forma en que fueron construidas. A inicios de 1619, dos años después de su muerte, aparece
el procedimiento utilizado, bajo el título Mirifici logarithmorum canonis constructio, es
decir, “construcción de la maravillosa regla de los logaritmos”.
Napier fue el inventor de la palabra logaritmo (del griego "logos", razón, y "arithmos",
número: número de razones, pues en el caso de ser el logaritmo un número entero, es el
número de factores que se toman de la razón dada (base) para obtener el antilogaritmo.
Además, introdujo los logaritmos mediante una concepción cinemática, cuyo origen, según
él se imaginaba, era un movimiento sincrónico, una especie de fluctuación entre dos
sucesiones. A continuación se describe esta concepción.
7


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Sean un segmento AB y una semirrecta HF. Supongamos que los móviles c e i parten
simultáneamente de A y H con la misma velocidad inicial y en dirección a B y F,
respectivamente (ver Figura 1).

Figura 1.
Supongamos que el móvil c tiene una velocidad numérica igual a la distancia y; además, el
móvil i se desplaza con una velocidad uniforme numéricamente igual a su velocidad inicial.
Napier definió la longitud x como el logaritmo de y.
Recurriendo al cálculo diferencial e integral podemos escribir:
y = Velocidad de c =

dy
dt

Velocidad de c en A = Velocidad de c en i =

dx

,

dt

por lo cual

dy

(1)

dt

y

y, además,
dt

dx
velocidad de c en A

(2)

Napier toma el valor 107 para la velocidad de c en A, con el objeto de eliminar la dificultad
surgida al utilizar fracciones.
Partiendo de (1) e integrando, tendremos:
ln y

t

K

donde K es un número real.
Si t = 0, entonces K = ln 107 (ya que longitud de AB es 107 ). Así,
ln y

t

ln 107

(3)

Ahora bien, de (2), 107dt = dx, integrando se tiene que, x = 107t. Por lo tanto, el logaritmo
que Napier define es:
8


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7

x 10 t
7

10 ln 10

7

ln y , por (3),
7

107 ln

10
y

.

Esto es,
10 7 log 1
e

y
10 7 .

JOBST BÜRGI
El descubrimiento de los logaritmos es un claro ejemplo de lo habituales que resultan las
duplicidades en las innovaciones. Hoy se sabe que el relojero y constructor de instrumentos
suizo Jobst Bürgi (1552-1632), se hallaba en posesión de este conocimiento antes que
Napier, incluso se afirma que concibió la idea del logaritmo ya en el año 1586, estimulado
por las observaciones antes mencionadas de Stifel, y en el Libro de cálculo de Simón Jacob
(1565). Pero, según se dice, fue por falta material de tiempo que no lo dio a conocer,
motivo por el cual el astrónomo Kepler pudo echarle en cara el hecho de "haber dejado en
el desamparo al hijo de su espíritu, en vez de educarlo para la publicidad". Se dice que así
procedió, pues, como se le decía en latín, era un "secretorum suorum custos" (guardián de
sus secretos).
Hubo que esperar hasta el año 1620 para que Bürgi publicara en Praga sus tablas
logarítmicas bajo el título Arithmetische und geometrische Progress Tabulen. Estas tablas
se publicaron en circunstancias exteriores desfavorables, pues el 8 de noviembre de 1620
fue tomada Praga, y permanecieron desconocidas. Bürgi vió que el valor práctico de las
sucesiones de Stifel es aplicable con provecho en el caso de que sus respectivos términos se
aproximen uno al otro, lo más posible. A la vez observó que las propiedades logarítmicas
no se extendían solamente sobre la sucesión de potencias de base dos, sino sobre sucesiones
con cualquier razón racional q.

BASES DE NAPIER Y BÜRGI
Existe la creencia general de que Napier ha sido el inventor de los logaritmos naturales,
cuya base es el número e. Pero esto es absolutamente falso. Es sabido que Bürgi utilizó
como base, aunque él mismo no lo supiera, el número
1

1

104

2.7184593 

10 4

que está muy cercano al verdadero valor de e = 2.718281828....
9


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Bürgi partió de una progresión aritmética de primer término 0 y razón 10 y último término
32,000. Estos números, que serían nuestros logaritmos, los denomina números rojos. La
progresión geométrica correspondiente empieza con el número 108 y la razón (que elige, al
igual que Napier, cercana a la unidad, para lograr de este modo que los sucesivos términos
de la progresión geométrica difieran muy poco entre sí) es 1 10 4 . Estos son sus números
negros. La tabla es de doble entrada, entrando con los números rojos, de manera que Bürgi
construyó una tabla de antilogaritmos. Para poder comprobar el surgimiento del número e
en el sistema de Bürgi, debemos multiplicar a cada término de la progresión aritmética por
10 5 . Si elegimos un término rojo, por ejemplo 10, y su correspondiente negro,
1 10 4 10 8 podemos efectuar la siguiente deducción:
10

4

4

log a 1 10

loga 1 10

4

108

loga 108
4

log a 1 10

Por lo tanto,
a10

4

1 10

4

y de aquí,
a

1 10

4 10

4

e

2.718281828

La tabla de Napier no daba los logaritmos de la sucesión de los números naturales, sino de
los valores de los senos de 0º a 90º; en ella, para obviar los números negativos y para que
los términos de su progresión geométrica fueran potencias enteras muy próximas a un seno
dado, eligió como razón un número próximo a la unidad, pero menor que ella: 0.9999999.
En realidad, Napier no habla de base alguna, pero la que se deduce de sus cálculos se
aproxima mucho a la expresión
1
1
1
10
e
3

14

que es algo menor que la recíproca del logaritmo natural.

Una comparación de los logaritmos de Napier y Bürgi se hace en las tablas siguientes:

10


Tabla de
Napier

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Tabla de
Bürgi

1

10 7 1 10

7

10(1)

2

10 7 1 10

7 2

10(2) 108 1 10

4 2

3

10 7 1 10

7 3

10(3) 108 1 10

4 3



N



10 7 1 10



108 1 10



10(n) 108 1 10

7 n





4

4 n



HENRY BRIGGS
Las tablas de Napier, aparecidas en 1614, causaron un gran impacto en toda Europa, pero
especialmente en Henry Briggs (1561-1630), profesor de geometría de Oxford. Briggs
visitó a Napier en Edimburgo y, después de una discusión, llegaron a la conclusión de que
el logaritmo de 1 debía ser igual a 0, mientras que el logaritmo de 10 debía ser igual a 1.
Así nacen los logaritmos de "base vulgar" o logaritmos de Briggs. La tarea de construir la
primera tabla de logaritmos en base 10 fue asumida por Briggs, puesto que Napier no
poseía ya fuerzas para emprender un trabajo de esa envergadura.
En SIGMA, El Mundo de las Matemáticas, aparece el siguiente relato del primer encuentro
entre el barón de Merchiston, John Napier, y Henry Briggs:
"no podía tener tranquilidad en sí, hasta que no hubiera visto a la noble persona de cuya
sola invención éstos eran... Mr. Briggs señala un día determinado para encontrarse en
Edimburgo; pero falló en su propósito, de modo que Lord Napier temía que no viniera.
Sucedió que un día, cuando John Marr y Lord Napier estaban hablando de Mr. Briggs:
'Ah, John -decía Merchiston-, ahora Mr. Briggs no vendrá', en el mismo instante alguien
llama a la puerta; John Marr se apresuró a bajar y resultó ser, para su gran alegría, Mr.
Briggs. Conduce a Mr. Briggs a la habitación de Milord, donde estuvieron casi un cuarto
de hora, cada uno contemplando al otro con admiración, antes de que se dijera ni una
palabra; finalmente, Mr. Briggs comenzó: 'Milord, he emprendido este largo viaje para ver
a vuestra persona, y para saber mediante qué mecanismo de inventiva o ingenio pensásteis
por primera vez en esta ayuda tan excelente para la astronomía, a saber, los logaritmos.
Pero, Milord, me extraña que, habiéndolos descubierto vos, nadie los haya descubierto
antes, cuando ahora que los conocemos parece tan fácil.' "
11


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En el año 1617, año de la muerte de Napier, Briggs publicó sus Logarithmorum chilias
prima, que comprende los logaritmos de los números 1 a 1,000, con una precisión de 14
decimales. En 1624 en su obra Arithmetica logarithmica, ya aparece la palabra
característica (parte entera). La palabra mantisa (parte decimal) fue utilizada por primera
vez por Wallis en 1693. Las tablas que aparecen en la obra de Briggs contienen los
logaritmos decimales de los números 1 a 20,000 y de 90,000 a 100,000, con 14 cifras
decimales de precisión.
Existen más de veinte obras sobre este tema publicadas entre 1614 y 1631, incluida una de
Adrián Vlacq y E. Decker, quienes en 1628 publicaron en Holanda los logaritmos desde 1 a
100,000, aproximados hasta 10 cifras decimales. Edward Wright (1559-1615) publicó una
traducción inglesa del tratado de Napier, aparecido en 1614, en la que se encuentran
algunos logaritmos naturales. John Speidell, en una obra titulada New logarithmes,
publicada en Londres en 1619, reajusta los logaritmos de Napier introduciendo, a partir de
las funciones trigonométricas, los logaritmos naturales (de base e). El inventor de la "Regla
de cálculo", William Oughtred, establece las propiedades

a) log m n
log m
log n
m
b) log
log m log n
n
c) log x n n log x

LOGARITMOS Y ANTILOGARITMOS
Como se vio anteriormente, Stifel propuso dos sucesiones: una aritmética (que llamamos
logaritmos) y otra geométrica (que llamamos antilogaritmos). Pero esta primitiva tabla de
logaritmos y antilogaritmos no es suficiente para poder llevar a cabo multiplicaciones y
otras operaciones, a no ser que sea posible ampliarla y completarla de modo que comprenda
todos los números cuyo producto se desea obtener. Para distinguir los logaritmos
correspondientes a una determinada sucesión geométrica, de los logaritmos
correspondientes a otra sucesión geométrica, designamos por a la base de la sucesión y
escribimos esta a como adjetivo matemático en la parte inferior derecha, para señalar qué
tablas de logaritmos estamos usando.
El logaritmo de un número p en una cierta base a es el exponente al que debe elevarse la
base a para obtener dicho número p. Análogamente, si m es el logaritmo de p en una base a,
entonces p es el antilogaritmo de m en dicha base. En símbolos:

p

am

m

log a p

o bien,
p

antilog a m .

Esta notación permite escribir la regla de la multiplicación en otra forma:
12


q

a

n

n

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log a q

o bien,
q

anti log a n .

Entonces,
p q

am

n

m n

loga p q

,

y de aquí,
p q

anti log a m

n

anti log a loga p loga q

.

Esta conclusión expresa que, en una cierta base, el logaritmo del producto de dos números
es igual a la suma de los logaritmos de dichos números en la misma base. Del mismo modo
pueden deducirse las reglas conocidas restantes.

TABLAS EN BASE 2
Toda tabla de logaritmos es a la vez tabla de antilogaritmos. Como ejemplo de tabla
logarítmica, de tres decimales, podemos escribir la siguiente, basada en la progresión
geométrica 2 n , es decir, con base igual a 2:
n

N

anti log 2 n

0

1

1.000

0.5

2

1

2

1.5

23

log 2 N

2

4

1.414
2.000
2.828
4.000

2.5

25

3

8

8.000

3.5

27

11.314

16

16.000

4
...

...
13

5.657

......


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Los números n de la sucesión aritmética son logaritmos, los números N de la sucesión
geométrica 2 n son antilogaritmos. Así, log2 2.828 1.5 y anti log 2 1.5 2.828. Si quisiéramos
multiplicar, por ejemplo, 2.828 5.657, se procedería del siguiente modo.
La tabla dice:
log 2 2.828 1.5

antilog 2 1.5

2.828

log 2 5.657

antilog 2 2.5

5.657

2.5

Luego:

2.828 5.657
anti log 2 log 2 2.828 log 2 5.657
anti log 2 (1.5

2.5)

anti log 2 4
16

TABLAS EN BASE 10
Para las aplicaciones prácticas, la base de las tablas logarítmicas es 10, por ser 10 la base de
nuestro sistema de numeración. Esto simplifica los cálculos de las tablas logarítmicas por la
siguiente razón: siendo 10 la base, los números fundamentales de las tablas están
contenidos en las dos sucesiones
Log

-2

-1

0

1

2

3

Antilog

0.01

0.1

1 10 100 1000

Podría hacerse, por ejemplo, el siguiente cálculo:
1

log10 3.162 log10 10

log10 10 2

0.5 ,

es decir,

10

3.162

log10 3.162 0.5

.

Si quisiéramos saber, por ejemplo, el log10 31.62 , se procedería de la siguiente forma:

14


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log10 31.62
log10 3.162 10
log10 3.162

log10 10

0.5 1
1.5
De manera similar:

log10 316.2
log10 3.162 100
log10 3.162

log10 100

0.5 2
2.5
Es decir, que a pesar de que se altere el lugar del punto decimal en un número, no se
modifica en nada el valor de la cantidad que está a la derecha del punto decimal en su
logaritmo. Por lo tanto, si tuviéramos los logaritmos de todos los números comprendidos
entre 1 y 10, a intervalos suficientemente pequeños, tendríamos todo lo necesario para
multiplicar logarítmicamente. Supongamos que necesitáramos multiplicar 1.536 77. Las
tablas nos darían:
log10 1.536

0.1864

log10 7.7

0.8865

log10 77

1.8865

Entonces
1.536 77
anti log1 0 0.1864 1.8865
anti log1 0 2.0729
anti log1 0 2 0.0729
10 2

0.0 7 2 9

10 2 10 0.0 7 2 9
100 anti log1 0 0.0729
100 1.83
118.3

El resultado de la multiplicación anterior es aproximado, con un error menor de tres
centésimas, dado que se han usado tablas con sólo cuatro cifras decimales.

15


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CONSTRUCCIÓN DE UNA TABLA EN BASE 10
Para construir una tabla de logaritmos en una base 10, puede comenzarse por construirse
una tabla de antilogaritmos. Por ejemplo:
Antilog

1

2

3

4

5

6

...

Y calcularse sus logaritmos de la forma siguiente:
1 10 0

log10 1 0

Luego, por multiplicación hallamos: 21 0 = 1024 que sólo difiere de 1000 en menos del
2.5%,
10

2

3
10

3

10

100.3

2 10

log10 2

0.3

Nuevamente por multiplicación:

39

19 683 20 000 2 10000

100.3 10 4

10 4.3

4.3

3 10 9

100.48

log10 3

0.48.

Y así, sucesivamente, obtenemos el siguiente esquema de tabla de logaritmo:

N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Antilog n

log N
0
0.3
0.48
0.6
0.7
0.78
0.84
0.9
0.95
n

N

log N

20
30
40
50
60
70
80
90
Antilog n

1.3
1.48
1.6
1.7
1.78
1.84
1.9
1.95
n

CONSTRUCCIÓN DE LA TABLA DE BRIGGS
Briggs, al formar su tabla de logaritmos, escribió una sucesión aritmética cualquiera
(logaritmos) cuyo primer término era 1, y una sucesión geométrica (antilogaritmos) cuyo
16


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primer término era precisamente la razón o base de esta sucesión. Por ejemplo si la razón es
10:
n

log10 N

N

antilog10 n

1
0.875

10
7

10 8

7.4980

0.750

3
10 4

5.6234

0.625

5
10 8

4.2170

0.500

1

10 2

0.375

3.1623

3

10 8

2.3714

0.250

1
10 4

1.7783

0.125

1
10 8

1.3385

0

1

Extrayendo raíces de grado más elevado, podrán hacerse tan pequeños como se desee los
intervalos entre los números de la columna de la izquierda (logaritmos).

Es conocida la propiedad por la cual si tomamos tres números consecutivos cualesquiera a,
b y c de una sucesión aritmética el segundo de ellos es la media aritmética de los otros dos,
es decir b

a c
. Análogamente, dados tres números consecutivos cualesquiera A, B, C de
2

una sucesión geométrica, el segundo de ellos es la media geométrica de los otros dos, es
A C.
decir: B

Utilizando esta propiedad, Briggs convirtió una tabla de antilogaritmos (o sea, que tiene los
logaritmos a intervalos regulares, en la columna de la izquierda), en una tabla de logaritmos
(que tiene los antilogaritmos a intervalos regulares, en la columna de la izquierda). En la
siguiente tabla puede verse una aplicación de este método a las sucesivas aproximaciones
del valor del log10 5 :

17


N

VOL. 2, NO. 2, MAYO 2003

antilog10 n

n

log10 N

A=1
B = 10

a=0
b=1
1
2

C

A B

3.162277

c

D

B C

5.623413

d

E

C D

4.216964

e

1
2

c d

0.625

F

D E

4.869674

f

1
2

d

0.6875

G

E F

5.232091

g

H

F G

5.048065 h

I
J

4.958067 i

G H
H I

j

5.002865

1
2

0.75

e

e

f

0.71875

f

1
2
1
2

0.5

b c

1
2

a b

g

0.703125

g

0.6953125

h i

1
2

h

0.6992187

Se evidencia aquí la laboriosidad de hombres como Briggs y Vlacq, que calcularon sus
logaritmos con 14 y 10 cifras decimales exactas, respectivamente.

ANALOGÍAS ENTRE LOS SISTEMAS DE BÜRGI Y NAPIER
Con el fin de observar la relación que hay entre ambos sistemas, calculemos, por ejemplo,
en el sistema de logaritmos de Bürgi, las potencias correspondientes a dos términos
consecutivos de la progresión geométrica de razón 1.0001 = 1+10-4. Tomemos como
exponentes y, y + 1, con y entero:
1 10

4

y

x,

1 10

4

y 1

Por sustracción, se deduce que
dx

x dx

1 10
1 10
x 10
x
10 4

x

4 y 1
4 y

1 10
1 10

4

18

4

4 y

1

x

dx


VOL. 2, NO. 2, MAYO 2003

Una vez determinado el valor de x correspondiente a un valor de y, Bürgi obtiene el que
corresponde al siguiente, y + 1, por adición a x de x4 .
10

Con el propósito de completar sus tablas e intercalar términos en sus progresiones, toma las
potencias correspondientes a dos exponentes y, y + dy:
x

1 10

4 y

x dx

1 10

4 y dy

Siguiendo un razonamiento análogo al anterior, obtenemos:
dx

1 10

4 y

1 10

4 dy

1

x dy 10

4

dy

1 dy 10 4 . Hoy en día se
(Nota: Ya Bürgi había detectado esta aproximación: 1 10 4
puede obtener por la aproximación del polinomio de orden 1 de Taylor
f x
f x0
f x0 x x0 , de la siguiente manera:
Sea f(x) = x d y , entonces f'(x) =
dy x d y 1 . Si tomamos x0 = 1 y x =1+10-4, obtenemos dicha aproximación.)

De la fórmula anterior, obtenemos la expresión más general:
dy
dx

10 4
x

(1)

Tenemos así, una ecuación de diferencias para el sistema de logaritmos de Bürgi, que éste
mismo aplicó para el cálculo de su tabla.
De igual modo se deduce que los logaritmos de Napier satisfacen la ecuación de diferencias
10 7
x

dy
dx

(2)

Finalmente podemos observar la íntima relación entre ambos sistemas. Haciendo un
cambio de escala, en lugar de y, z

y
10

4

, y tomemos en lugar de dy a dz

obtendremos, reemplazando en (1):
dz 10 4
dx

10 4
x

de donde
dz
dx

19

1
x.

dy
104

, entonces


VOL. 2, NO. 2, MAYO 2003

De la misma forma podemos trabajar la ecuación de diferencia de Napier, mediante un
dy
y
cambio de escala, llamemos en lugar de y, z
; y tomemos en lugar de dy a dz
,
7
10
10 7
así obtendremos, reemplazando en (2):
dz 10 7
dx

10 7
x

por lo tanto,
dz
dx

1
x.

Queda claro que en ambos sistemas llegamos a la misma ecuación de diferencias. Veamos
ahora una interpretación geométrica de ambos sistemas.
Si partimos de la ecuación de diferencias
dy
dx

1
,
x

dy

dx
x .

obtenemos
(3)

Tomemos una partición {1, h1, h2, ..., hn, x} en el intervalo [1, x] para un x cualquiera.
Podemos pensar que dy irá variando para cada valor hi de la partición, ya que
dx
dh
dyk y k y k 1 . De (3) obtenemos que dy k
(en particular, dy dy k
).
h
x
1
y averigüemos el área de cada uno de los
x
"rectángulos inferiores" que dependerá de la partición que hayamos tomado (ver Figura 2).

Por otra parte, observemos el gráfico de f x

20


VOL. 2, NO. 2, MAYO 2003

Figura 2.
Por ejemplo,
dh2
h2

Área del rectángulo inferior A.

En general,
dh
h

Área de un rectángulo inferior cualquiera.

Para hallar el área total debemos sumar todos los rectángulos inferiores. De este modo
x

obtenemos:
k 1

x

dh
, pero por ser dh
h
h

dy k tendremos que la
k 1

x

x

dh
h

k 1

yx

yk

dy k .

x

Definamos y0 = 0 entonces

dy k

yk

k 1

yk

y1



1

k 1

y1

y0

yx

y2

yk

yk

y0

1

yx
x

Pero yx es y, ya que es éste el que depende de x, por lo tanto obtenemos y
k 1

dh
h

.

De esta interpretación se llega inmediatamente, como veremos a continuación, a los
logaritmos naturales, mediante los conocimientos actuales del cálculo integral.
Pensemos una partición en que h 0 para que el valor del área de cada rectángulo se
aproxime más a la de la zona sombreada y como el intervalo [1, x] es continuo, integramos
para calcular el área
x

y
1

dh
h

x

ln h 1

21

ln x ln 1


VOL. 2, NO. 2, MAYO 2003

Pero para poder aceptar esta interpretación del logaritmo debe comprobarse que se cumpla
la propiedad fundamental, por la cual el logaritmo del producto es la suma de los
logaritmos de los factores; lo que puede demostrarse muy fácilmente. Este último análisis
se corresponde también con el proceso histórico. En el año 1650, gracias a los adelantos en
geometría analítica y en el cálculo infinitesimal, pudo llegarse a los resultados anteriores.
Con estos descubrimientos, de principios del siglo XVII, se lograron efectuar operaciones
que anteriormente ni siquiera podían pensarse.
A inicios del siglo XVIII el gran matemático Leonard Euler descubriría las profundas
relaciones entre la función exponencial ax = b y su inversa x log a b.
En palabras de Egmont Colerus: Sin embargo, aún no se sospechaba que el nuevo método
calculístico, sobre todo en sus últimos principios constructivos, simultáneamente se
transformaría en eje de toda la Matemática infinitesimal. Nadie pensaba aún en que la
función logarítmica se habría de transformar en un puente tendido sobre el camino que
lleva a la solución de integraciones, aparentemente insolubles. Y menos aún se pensaba en
el futuro del mágico número e, para el cálculo de intereses y de probabilidades.

REFERENCIAS
[1] Arquímides Caballero, Lorenzo Martínez, Jesús Bernardez (1976). Tablas Matemáticas.
Esfinge, México.
[2] Collette, Jean Paul (1986). Historia de las Matemáticas I -México, Siglo XXI ediciones.
[3] Edwards, Charles Henry (1937). The Historical Development of the Calculus.
Springer-Verlang, New York, 1979.
[4] Newman, James R. (1994) - Sigma El Mundo de las Matemáticas - Barcelona, Grijalbo.

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