Logaritmos

DEL ORIGEN DE LOS
LOGARITMOS HASTA
NUESTROS DÍAS
27 MARZO DE 2015 - BIBLIOTECA IES ORÓSPEDA
MIGUEL A. JORQUERA

Arquímedes
287 a.C - 212 a.C.
JOHN NAPIER
1550-1617
HENRRY BRIGGS
1561-1630
Stifel 1487-1567
1614 el primer libro 1617 y 1624 tablas de logaritmos

Algunas aplicaciones de
los logaritmos
Métodos eficientes para calcular fenómenos astronómicos (eclipses, órbitas
planetarias, etc.)
Métodos rápidos de realizar cálculos científicos
Potencias de exponente que no es entero positivo
Escalas para medir intensidad de sonido, intensidad de terremotos (escala
de Richter), etc.
El pH
Medir el brillo de las estrellas o magnitud aparente
Desintegración radiactiva. Datación por carbono-14
Enfriamiento de cuerpos

El origen de los números
Contar
Registro de la propiedad (animales y tierras) y
transacciones financieras
Primera notación numérica conocida, aparte de
contar, data del año 8000 a. C. en arcillas de
Mesopotamia
Origen de los símbolos numéricos y quizá de la
escritura

Sigue la aritmética
Métodos para sumar, restar, etc.
Ábaco
Algoritmos con lápiz y papel
Los científicos necesitaban hacer cálculos cada vez más
elaborados.
Tardaban meses e incluso años
Los algoritmos e instrumentos mecánicos ayudaban poco

Primera aproximación de
Arquímedes
Comparación de sucesiones
aritméticas y geométricas
Arriba progresión aritmética
(Logaritmos)
Abajo progresión geométrica
(Antilogaritmos)
Para multiplicar dos números de
abajo sumamos sus
correspondientes de arriba y
cogemos el de abajo

Arriba progresión aritmética de diferencia 1(Logaritmos)
Abajo progresión geométrica de razón 2 (Antilogaritmos)
4 x 16 = 64 porque 2 + 4 = 6 que corresponde con 64

Siguiente aproximación de
Stifel
En 1544 vuelve a aparecer otra comparación
de sucesiones en la obra “Arithmetica integra”
del matemático alemán Michael Stifel
En esta obra se encuentra por primera vez el
cálculo con potencias de exponente racional y
la regla
La suma/resta/multiplicación/división arriba
corresponde con la
multiplicación/división/potenciación/raíz de
abajo

John Napier
John Napier, barón de Merchiston, llamado
también Neper o Nepair
Edimburgo (Escocia), 1550 - 4 de abril de 1617
El primero en definir los logaritmos y el punto
decimal
No fue a la escuela hasta cumplir los 13 años
Su preocupación fundamental era el Apocalipsis
y predijo el fin del mundo
Pillar a los sirvientes que robaban tras acariciar a
un gallito con hollín
En 1614 publicó su obra “Mirifici Logarithmorum
Canonis Descriptio” (Descripción del maravilloso
canon de logaritmos)

Puesto que nada es más aburrido, compañeros
matemáticos, en la práctica de las artes matemáticas,
que el gran retraso sufrido en el tedio de las
multiplicaciones y divisiones largas y pesadas, el
hallazgo de proporciones y en la extracción de raíces
cuadradas y cúbicas, y … los muchos errores
escurridizos que pueden surgir; yo he estado dándole
vueltas a mi cabeza de cómo podría ser capaz de
solventar las dificultades mencionadas para que sea un
arte segura y rápida. Al final, después de pensar
mucho, finalmente he encontrado un modo asombroso
de acortar los procedimientos… es una tarea agradable
exponer el método para el uso público de los
matemáticos.

Se cree que Naiper fue el inventor de los
logaritmos naturales, cuya base es el número e
pero esto es FALSO
Realmente utilizó la base 0.9991

Jobst Bürgi 1552-1632
Relojero suizo que tenía la idea de logaritmo antes
que Naiper pero que no le dio tiempo de publicarlo
Cuando Jobst Bürgi publicó sus tablas en Praga en
el año 1620 resulta que esta ciudad fue tomada y
las tablas permanecieron desconocidas

Henry Briggs 1561-1630
Las tablas de Napier causaron
un gran impacto en toda Europa
pero especialmente en Henry
Briggs profesor de geometría de
Oxford
Viajó a Edimburgo a visitar a
Napier y estuvieron 15’ sin
hablar y contemplándose con
admiración
Briggs modificó algunas cosas y
entre los dos llegaron a unos
acuerdos

Ejemplo de la invención de
los logaritmos
Sumar 2 números de 10 cifras => 10 pasos
Multiplicar 2 números de 10 cifras => 200 pasos
10.000 x 1.000 = (10x10x10x10)x(10x10x10)=
10.000.000
4 ceros + 3 ceros = 7 ceros
Se intenta buscar la misma idea para cualquier
número

¡¡Esto es todavía más complicado!!
Sí y No

Imaginemos que tenemos una tabla de potencias de
1,001
La tabla aunque es costosa
sólo hay que hacerla una vez
y después todos pueden
utilizarla
983 es el logaritmo de 2,67
1256 es el logaritmo de 3,51
Naiper utilizó la base 0,9991
y las tablas no eran buenas.
Briggs propuso 1,0000000001
y salen mejores tablas
y después la base 10

Otro error que observó Briggs en los logaritmos de Napier fue que
no había relación entre
log 12,3456 y log 1,23456
Es un número muy difícil para luego operar
Hay que buscar una base tal que para que log 10 = 1
La base es a=10
Es lo que acordaron Napier y Briggs
Las tablas de logaritmos sólo necesitarían ir del 1 al 10

Primeras tablas de
logaritmos
Briggs publicó en 1617 “Logaritmos del primer
millón” tablas de logaritmos enteros del 1 al 1000
aproximando a 14 cifras decimales
En 1624 publicó tablas de logaritmos del 1 al
20.000 y del 90.000 al 100.000 con la misma
precisión
Otros siguieron publicando tablas de logaritmos de
funciones trigonométricas…

El nacimiento de potencias
de exponente no entero
positivo
¿Qué quiere decir ?
Nuestras definiciones tienen que ser consistentes
con la ecuación:
Entonces
¿Qué pasa con ?
De igual forma:

¿Qué pasa con ?
De modo que multiplicado por sí mismo es x. El
único número con esta propiedad es la raíz
cuadrada de x. Entonces
De igual forma se deduce que
También se deduce que
Podemos calcular raíces cuadradas y cúbicas fácilmente
usando una tabla de logaritmos

El uso de los logaritmos desde su
invención hasta la década de los
80
Las tablas se hicieron indispensables para
científicos, ingenieros, topógrafos y navegantes
Cada vez eran más indispensables porque la
ciencia progresaba
Los logaritmos fueron una parte fuerte del
currículum escolar de matemáticas
Calculadora analógica de bolsillo para logaritmos

Regla de cálculo
En 1632 William Oughtred construlló la primera regla de cálculo
Dos varillas móviles marcadas según lo que se quiera calcular

Multiplicación de 2 por 3
en una regla de cálculo
Las reglas están marcadas usando una escala logarítmica
log(2)+log(3)=log(2x3) según la fórmula
log(2x3)=log(6) según la regla de abajo
2x3=6
Para multiplicar 2,67 pro 3,51 colocamos el 1 de la regla de arriba en el 2,67
de abajo y miramos el valor bajo 3,51 que será 9,37

Euler en el siglo XVIII descubriría las relaciones
entre la exponencial y el logaritmo

Aplicaciones actuales de
los logaritmos
Datación por el método del carbono-14
La sábana santa de Turín
La mesa redonda del rey Arturo
Determinar la hora de un fallecimiento

Willard Libby (1908-1980)
El Carbono-14 ó radiocarbono es un isótopo del
carbono que está presente en los materiales
orgánicos
La técnica fue inventada por Willard Libby en la
década de los cuarenta con la que ganó un
premio Nobel de Química en 1960
Las plantas ajustan el carbono atmosférico durante
la fotosíntesis y el nivel de radiocarbono en plantas
y animales cuando mueren es similar al de la
atmósfera en ese momento. A partir de la muerte
el nivel decrece permitiendo estimar la fecha de
muerte hasta 60000 años
La ley de desintegración atómica determina el
ritmo al que se desintegran los elementos
radiactivos ya que se puede predecir la velocidad

Hay otros métodos de datación como el de
URANIO-PLOMO que puede datar materiales
hasta 4000 millones de años
Estos tipos de datación se utilizan mucho en
ATAUERCA
Ver programa Lab24 en TV a la carta del día
24/03/2015 http://www.rtve.es/television/lab24/

Si x(t) es la cantidad de cierta sustancia radiactiva en el instante t.
Se ha comprobado que x’(t)=-k x(t)
Por lo tanto
Un parámetro importante que debe considerarse es la vida media que es
el tiempo que transcurre desde que se tienen x0 gramos hasta que
quedan x0/2 gramos
La vida media depende exclusivamente de la constante k, que puede determinarse
y que para el carbono-14 k=0,0001245

Sabiendo la diferencia entre la proporción de 14C que
debería de contener un fósil si aún estuviese vivo
(semejante a la de la atmósfera en el momento en el
que murió) y la que realmente contiene, se puede
conocer la fecha de su muerte

Es una tela de lino de 4.4 x 1.1 metros en la que
aparecen la imagen anterior y la posterior de un
hombre con barba que parece haber sido
crucificado y, después envuelto en una tela
En 1350 las primeras referencias históricas
Al principio fue propiedad de Godofredo de
Charney, pero no se sabe cómo llegó hasta él
A su muerte se depositó en la iglesia de Lirey
(Francia) y empezó a recibir visitas pensando que
era de Jesús

En 1532 un incendio dañó parcialmente la sábana
En 1578 se llevó a Turín y permaneció en el olvido
hasta que en 1898 un fotógrafo descubrió detalles
no observados hasta la fecha
En 1983, la Casa de Saboya legó la sábana al
Vaticano quedando bajo la custodia del arzobispo
de Turín
Actualmente se exhibe tras el altar mayor de la
catedral de Turín

¿Será la sábana santa de Turín una copia más
de las que existen o será la original?
Fechar la tela sería un buen análisis y unos
resultados de unos 2000 años de edad apoyaría la
idea de que el sudario es verdadero
Durante mucho tiempo la Iglesia se opuso a un
análisis por carbono-14, principalmente porque la
cantidad de tela necesaria era grande

A finales de 1970 aparece la espectrometría de
masas por acelerador (AMS) que ya no necesitaba
tanta tela para la prueba
En 1986 siete laboratorios elaboraron un protocolo
experimental
En 1987 el arzobispo de Turín seleccionó a tres
laboratorios (Arizona, Oxford y Zurich)
El 21 de abril de 1988 se obtuvieron las muestras
bajo testigos y con grabación

Se cortó del sudario un único pedazo de 1x7 cm y se
dividió en tres muestras de 50 miligramos
Esta medición calcularía cuándo se cosecha el lino con el
que se confeccionó la tela. El resultado de las pruebas
sería la fecha en que las últimas partículas de carbono-14
se fijaron en las plantas antes de la siega
Los resultados se publicaron en 1989
Arizona: 646 más/menos 31 a.p. (referencia a 1950)
Oxford 750 más/menos 30 a.p.
Zurich 676 más/menos 24 a.p.

En conclusión la sábana está fechada entre 1275 y
1381
No pudo ser el sudario de la sepultura de Jesús
Se solapa de forma sospechosa con la época en
que apareció por primera vez
Es una falsificación medieval

SÁBANA SANTA Carbono 14 ¿Prueba Definitiva?
https://www.youtube.com/watch?v=ledjYkyUaG0

No todo el mundo admite los resultados
Otros científicos dijeron que las muestras no eran
correctas y que los resultados estaban trucados
Para una certeza absoluta hay que recurrir a la fe

ESPERO QUE DESPUÉS DE
ESTA PEQUEÑA CHARLA
VEÁIS LOS LOGARITMOS
CON OTROS OJOS
GRACIAS POR
VUESTRA ATENCIÓN

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