2. reg.lin.multiple
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Este documento describe los métodos de regresión lineal múltiple para analizar la asociación entre una variable dependiente y múltiples variables independientes. Explica cómo se pueden incluir variables cuantitativas y cualitativas en un modelo de regresión, y cómo se estiman los parámetros del modelo usando el método de mínimos cuadrados. También describe cómo organizar los datos en matrices para facilitar la resolución de las ecuaciones de regresión.
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E( ˆ ) =
b. VARIANZA Y COVARIANZA DE ˆ
Var-cov( ˆ )=
12
)'(
XX
Demostración:
Var-cov( ˆ )=E( ˆ -E( ˆ ))( ˆ -E( ˆ ))’
Var-cov( ˆ )=E( ˆ - )( ˆ - )’
Observe que:
')'(ˆ
')'(ˆ
')'(')'(ˆ
)(')'(ˆ
')'(ˆ
1
1
11
1
1
XXX
XXX
XXXXXXX
XXXX
XYdondeYXXX
Var-cov( ˆ )=E[( ')'( 1
XXX
)( ')'( 1
XXX
)’]
Var-cov( ˆ )=E[
11
)'('')'(
XXXXXX ]
Var-cov( ˆ )=
11
)'()'(')'(
XXXEXXX
Observe: nIE 2
)'( (Demostración para el lector)
Var-cov( ˆ )=
121
)'(')'(
XXXIXXX n
Var-cov( ˆ )=
121
)'(')'(
XXIXXXX n
Var-cov( ˆ )=
12
)'(
XX](https://image.slidesharecdn.com/2-140707121224-phpapp01/85/2-reg-lin-multiple-13-320.jpg)
2. reg.lin.multiple
- 1. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas 230 REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE: 1.1. INTRODUCCIÓN: En los trabajos de Investigación es necesario emplear técnicas estadísticas que permitan interpretar los resultados y de estas forma poder llegar a conclusiones valederas que permitan al investigador aceptar o rechazar Hipótesis planteadas inicialmente e inclusive formular nuevas hipótesis, una de esas técnicas de gran utilidad es el análisis de regresión que permite estudiar la asociación entre dos o más variables. REGRESIÓN: Consiste en determinar una relación funcional entre las variables con el fin de que se pueda predecir el valor de una variable (dependiente) en base a otra(s) variables (independientes). CORRELACIÓN: Consiste en determinar la variación conjunta de las variables, su grado de relación y su sentido (positivo o negativo). Los modelos para un análisis de regresión múltiple son similares a los de regresión lineal simple, excepto que contienen más términos y pueden servir para proponer relaciones más complejas que una línea recta en lugar de usar un modelo de línea recta E(y) =β0 + β1 X , para modelar el componente determinístico podríamos emplear el modelo cuadrático E(y) =β0 + β1X + β2X2 También conocido como modelo de segundo orden se representa gráficamente como una parábola en contraste con los modelos de línea recta o modelos de primer orden. Si por añadidura pensamos incluir en el modelo otra variable una gráfica de E(y) como función de X1, X2 describe una superficie de respuesta en el plano (X1,X2) y el modelo de primer orden es: E(y) =β0 + β1 X1 + β1X2 (describe una superficie plana) sin embargo en la mayor parte de las aplicaciones de la vida real esperaríamos una curvatura en la superficie de respuesta y utilizaríamos un modelo de tercer orden: 3 25 2 1421322110E(y) XXXXXX para modelar la relación. Estos modelos e denominan modelos lineales generales porque E(y) es función lineal de los PARÁMETROS desconocidos β0, β1, β2... El modelo X yE 1 0)( no es un modelo lineal porque E(y) no es función lineal de los parámetros β0 + β1
- 2. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas 231 Podemos incluir variables cuantitativas y cualitativas en el modelo, éstas variables son denominadas ficticias, dicotomas o de índice. Ejemplo: Si E(y): Tiempo medio para ejecutar un trabajo X : Día de la semana en que se ejecuta en trabajo X1= 1 Si la observación se hace en domingo 0 Si no es así. X2= 1 Si la observación se hace en lunes 0 Si no es así. X3= 1 Si la observación se hace en martes 0 Si no es así. X4= 1 Si la observación se hace en miércoles 0 Si no es así. X5= 1 Si la observación se hace en jueves 0 Si no es así. X6= 1 Si la observación se hace en viernes 0 Si no es así. Podemos escribir el modelo: 6655443322110E(y) XXXXXX Las variables ficticias introducen al parámetro β apropiado ( de que puede ser positivo o negativo) dependiendo del día de la semana. Así: En domingo X1= 1, X2 = X3, ...., = X6 = 0 y el valor medio de Y es: E(y) =β0 + β1(1) E(y) =β0 + β1 En lunes E(y) =β0 + β2 En martes E(y) =β0 + β3 En miércoles E(y) =β0 + β4 En jueves E(y) =β0 + β5 En viernes E(y) =β0 + β6 En sábado se asigna 0 a todas las variables ficticias y el valor medio de Y es: E(y) =β0 Se recomienda seleccionar el modelo de regresión apropiado para una situación en particular. Ningún método estadístico puede compensar una mala selección del modelo. Propondremos un análisis más profundo al respecto en una próxima sesión. En el presente su pondremos que se ha seleccionado un modelo razonable para la situación y nos concentraremos en el procedimiento de ajuste del modelo a un conjunto de datos y en los métodos asociados de inferencia estadística. Después de haber seleccionado una porción determinística de un modelo de regresión, esto es para E(y) agregamos un componente ε a fin de compensar el error aleatorio, de modo que se tiene:
- 3. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas 232 Y = E(y) + ε Componente aleatorio Componente Deterministico El componente aleatorio ε debe obedecer los supuestos del modelo de regresión lineal: Tenga distribución normal con media 0 y varianza σ2 . Esto implica que la media de Y equivale al componente deterministico kk XX ...E(y) 110 Para todos los valores de las variables independientes X1, X2, X3,..., Xk la varianza de ε es constante. La distribución de probabilidad de ε es normal. Los errores aleatorios asociados a cualquier par de Y son independientes (en sentido probabilístico). 1.2. DESCRIPCIÓN DE LOS DATOS Y DEL MODELO: Los datos consisten de n observaciones sobre una variable independiente o respuesta Y y de K variables independientes: X1, X2, X3, ..., Xk. Si kn y Xij es la ij-ésima observación o nivel de la variable Xj , donde i=1,2,3,...,n; j=1,2,3,..,k. Las observaciones usualmente son presentadas de la siguiente manera: Observaciones Y X1 X2 X3 ... Xk 1 Y1 X11 X12 X13 ... X1K 2 Y2 X21 X22 X23 ... X2K 3 Y3 X31 X32 X33 ... X3K . . . . . ... . . . . . . ... . . . . . . ... . n Yn Xn1 Xn2 Xn3 … Xnk
- 4. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas 233 Las relaciones entre la variable Y con las variables X1, X2, X3, ..., Xk, donde cada observación (Xi1 Xi2 Xi3 ... Xik , Y) satisface el modelo lineal general de regresión siguiente: iikkiii XXXX ...Y 3322110i Cada modelo describe un hiperplano en el espacio k-dimensional formado por {Xi } Donde: Yi: Variable dependiente ( respuesta) X1, X2, X3, ..., Xk: variables independientes. Podrían en realidad representar los cuadrados cubos productos cruzados u otras funciones (sen, log. Etc.) de las variables de predicción. Lo esencial es que se pueden medir sin error cuando se observe un valor de Y y que no intervengan parámetros desconocidos. βj: Parámetros de la regresión . constantes desconocidas. Expresan el incremento en la variable respuesta Y que se corresponde a una unidad de incremento en Xj cuando otras variables Xi ji se mantienen constantes. εi: Vector aleatorio de errores supuestos. Los coeficientes βj : 0,k son estimados por el método de mínimos cuadrados, así: El modelo: iikkiii XXXX ...Y 3322110i Despejando εi y elevando al cuadrado ambos miembros: (εi)2 = 2 3322110i ))...((Y ikkiii XXXX
- 5. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas 234 Aplicando el operador de sumatoria en ambos miembros de la igualdad: 2 3322110i 11 2 ))...((Y ikkiii n i n i i XXXX Derivando parcialmente con respecto a βj e igualando a cero buscamos minimizar la suma de los cuadrados del error aleatorio: SSEYi n i n i i 2 i 11 2 )ˆ(Y Obteniéndose un sistema de ecuaciones lineales simultaneas llamadas ecuaciones normales de mínimos cuadrados del modelo: 0 0 SSE 0 1 SSE 0 2 SSE . . . 0 k SSE Examinemos la primera ecuación: Si tomamos la primera derivada parcial de SSE con respecto a β0 obtenemos: )1))(...((Y2 3322110i 10 ikkiii n i XXXX SSE
- 6. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas 235 Introduciendo el operador SUMATORIA e Igualando a cero, queda: 0)...(Y 3322110i ikkiii XXXXn Osea: (despejando e intercambiado miembros): iikkiii YXXXXn ...3322110 Esta es una ecuación lineal en los β parámetros. Las ecuaciones de mínimos cuadrados restantes todas lineales en los β parámetros son: iiikikiiii YXXXXXXX 11212 2 1110 ... iiikikiiii YXXXXXXX 22 2 2212120 ... . . . iikikkiikiikik YXXXXXXX 2 22110 ... Luego el sistema es: iikkiii YXXXXn ...3322110 iiikikiiii YXXXXXXX 11212 2 1110 ... iiikikiiii YXXXXXXX 22 2 2212120 ... . . . iikikkiikiikik YXXXXXXX 2 22110 ... El sistema tiene p = k +1 ecuaciones e incógnitas
- 7. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas 236 Como puede verse, escribir k+1 ecuaciones lineales de mínimos cuadrados ya cuesta trabajo, resolverlos simultáneamente a mano es todavía más difícil. Una forma fácil de expresar las ecuaciones y resolverlos es mediante el álgebra de Matrices y obtener fórmulas para las estimaciones de los coeficientes de regresión lineal de mínimos cuadrados, SSE, estadísticas de prueba, intervalos de confianza y de predicción. 1.2.1. ECUACIONES DE MINIMOS CUADRADOS Y SU RESOLUCION: ENFOQUE MATRICIAL. Es preciso acomodar los datos en matrices siguiendo un patrón específico: Supondremos que el modelo es: Y = βo + β1X1 + β2X2 + β3 X3 +…+βk Xk + ε Donde: X1 X2 X3 … Xk: Variables de predicción ε : error aleatorio p = k +1: número de parámetros del modelo k: Número de variables de predicción Supongamos que se tiene una muestra de tamaño n ( kn ) que se denota así: Valor Variables explicatorias Error de aleatorio Datos Y X1 X2 X3... Xk ε 1 Y1 X11 X12 X13...X1K ε1 2 Y2 X21 X22 X23...X2K ε2 3 Y3 X31 X32 X33...X3K ε3 . . . . . .... . . . . . .... . . . . . .... n Yn Xn1 Xn2 Xn3… Xnk εk
- 8. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas 237 En notación matricial: En forma desarrollada puede verse así: 1 3 2 1 1 2 1 0 npn3n2n1 3p333231 2p232221 1p131211 1n 3 2 1 . . . . . .. XXXX1 ...... ...... ...... X...XXX1 X...XXX1 X...XXX1 Y . . . Y Y Y nxnpxk nxp nx Ynx1 = Xnxp . βpx1 + ε nx1 Matriz de error Matriz de parámetros coeficientes De regresión k: n°de variables X´s p= k +1 n° de parámetros Matriz de datos x´s Matriz de los datos Y´s OBSERVACIONES: La primera columna de X es una columna de unos, es decir estamos insertando un valor de X, específicamente X0 como coeficiente de βo donde X0 es una variable que siempre toma valores iguales a 1. Hay una columna en la matriz X para cada parámetro β Un punto de datos en particular se identifica mediante filas específicas de las matrices Y y X. Ejemplo: el Valor de Y para el punto de datos 3, osea y3 está en la tercera fila de la matriz Y y sus valores correspondientes de X1 X2 X3 … Xk aparecen en la tercera fila de la matriz X. Con ésta notación el modelo lineal general se pude expresar en la forma de matriz como: Y = Xβ + ε
- 9. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas 238 La matriz β contiene a los parámetros βo, β1, β2, β3,…,βp de modo que resolver el sistema nos dará como resultado, las estimaciones de mínimos cuadrados de cada uno de ellos, denotados por: ' 3210 )ˆˆˆˆˆ(ˆ y el modelo de estimación es YydondeXy ˆ,ˆ Ahora bien: ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS Utilizamos las matrices de datos Y y X, sus transpuestas y la matriz ' 3210 )ˆˆˆˆˆ(ˆ , podemos escribir las ecuaciones de mínimos cuadrados, así: * El modelo: ˆXy Despejando ε ˆXy Elevando al cuadrado en ambos miembros , en notación matricial es multiplicar por la izquierda en cada miembro por su transpuesta correspondiente: )ˆ()'ˆ(' XyXy ))'ˆ(')(ˆ(' XyXy ˆ)'ˆ()'ˆ()ˆ(''' XXyXXyyy yXXy )'ˆ()ˆ(' ˆ)'ˆ()ˆ(')ˆ(''' XXXyXyyy Se obtiene: ˆ''ˆ)ˆ('2'' XXXyyy Derivando con respecto a ˆ para minimizar ' que es la suma de cuadrados del error: ˆ'2'2 ˆ ' XXyX
- 10. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas 239 Igualando a cero: 0ˆ'2'2 XXyX Obtenemos: yXXX 'ˆ' Para despejar ˆ multiplicamos en ambos miembros de la igualdad por (X’X)-1 que es la inversa de la matriz X’X: (X’X)-1 X’X ˆ = (X’X)-1 X’y Por tanto: PARA EL CÁLCULO, A PARTIR DE: 1 3 2 1 1 2 1 0 npn3n2n1 3p333231 2p232221 1p131211 1n 3 2 1 . . . . . .. XXXX1 ...... ...... ...... X...XXX1 X...XXX1 X...XXX1 Y . . . Y Y Y nxnpxk nxp nx SE ESCRIBE: ˆ = (X’X)-1 X’y
- 11. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas 240 nxppxn XX nkn3n2n1 3k333231 2k232221 1k131211 nk3k2k1k n33313 n2322212 n1312111 XXXX1 ...... ...... ...... X...XXX1 X...XXX1 X...XXX1 XXXX . XXXX XXXX XXXX 1111 ' 23 El producto resulta: pxpiki XX XX ikiniki32iki1ik iki3 2 i3i3i2i3i1i3 iki2i3i2 2 i2i2i1i2 iki1i3i1i2i1 2 i1i1 iki3i2i1 XXXXXXX XXXXXXXX XX...XXXXXX XX...XXXXXX X...XXXn ' X’X: Es una matriz no singular, es matriz cuadrada. El cálculo de su inversa se realiza mediante: (X’X)-1 = (1/|X’X|)adjunta(X’X)
- 12. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas 241 1 33 22 11 1 1n 3 2 1 nk3k2k1k n33313 n2322212 n1312111 Y . . . Y Y Y XXXX . XXXX XXXX XXXX 1111 ' 23 pxnik i i i i nxpxn YX YX YX YX Y YX Luego el vector de parámetros es: K YXXX 2 1 0 1 ')'(ˆ Y el modelo de regresión estimado es: ˆˆ ,1,1;ˆˆˆ 1 0 XY kjniXY ij k j ji 1.3. CARACTERÍSTICAS DE LOS ESTIMADORES ˆ DE MINIMOS CUADRADOS a. ESPERANZA MATEMÁTICA DE ˆ E( ˆ ) = Demostración: E( ˆ )= )(')'()')'( 11 XXXXEYXXXE E( ˆ )= )')'(')'(( 11 XXXXXXXE E( ˆ )= )(')'()( 1 EXXXE
- 13. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas 242 E( ˆ ) = b. VARIANZA Y COVARIANZA DE ˆ Var-cov( ˆ )= 12 )'( XX Demostración: Var-cov( ˆ )=E( ˆ -E( ˆ ))( ˆ -E( ˆ ))’ Var-cov( ˆ )=E( ˆ - )( ˆ - )’ Observe que: ')'(ˆ ')'(ˆ ')'(')'(ˆ )(')'(ˆ ')'(ˆ 1 1 11 1 1 XXX XXX XXXXXXX XXXX XYdondeYXXX Var-cov( ˆ )=E[( ')'( 1 XXX )( ')'( 1 XXX )’] Var-cov( ˆ )=E[ 11 )'('')'( XXXXXX ] Var-cov( ˆ )= 11 )'()'(')'( XXXEXXX Observe: nIE 2 )'( (Demostración para el lector) Var-cov( ˆ )= 121 )'(')'( XXXIXXX n Var-cov( ˆ )= 121 )'(')'( XXIXXXX n Var-cov( ˆ )= 12 )'( XX
- 14. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas 243 c. Los errores estándar y la covarianza de los estimadores jˆ se determinan mediante los elementos de la matriz (X’X)-1 cuya notación es: ij pxpkkkkkk k k k c ccccc ccccc ccccc ccccc XX 3210 223222120 113121110 003020100 1 )'( Los elementos de la diagonal proporcionan los valores que se necesitan para calcular los errores estándar de los estimadores. De modo que: Var-cov( jˆ )= jjc2 Luego: Los errores estándar de los estimadores de jˆ son: aleatorioerrordeldesviaciólaesDondecSE jjj ,)ˆ( Los elementos que están fuera de la diagonal proporcionan valores necesarios para calcular las covarianzas de los parámetros, digamos jˆ , jiDondei ˆ cov( ji ˆˆ )= jiij cc 22 Estas covarianzas son necesarias para determinar la varianza de la ecuación de predicción, o cualquier otra función lineal de parámetros. Desempeñan un papel el el establecimiento de un intervalo dre confianza para E(y) y un intervalo de predicción para Y
- 15. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas 244 ESTIMADOR DE 2 . VARIANZA DE EN EL MODELO DE REGRESIÓN MÚLTIPLE Las varianzas de los estimadores de los parámetros y de Yˆ dependen del valor de 2 (varianza del error aleatorio ) que aparece en el modelo y casi nunca se se le conoce por adelantado, debemos usar los datos de la muestra para estimar su valor pn SSE pn YXYY ''ˆ'2 COMPONENTES DE LA SUMA DE CUADRADOS DEL TOTAL DE Y SCT = SCR + SCE Suma de cuadrados del total de Y. 2 ' YnYYSCT Suma de cuadrados de la regresión 2 'ˆ YnYXSCR Suma de cuadrados del error (residual) YXYYSCT 'ˆ' Varianza explicada SCR/n Varianza no explicada SCE/n-p 1.4. PRUEBA DE HIPÓTESIS EN LA REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE
- 16. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas 245 a. Prueba para la significación de la regresión Hipótesis H0: β1= β2= β3=…=βK=0 H1: Por lo menos uno de los parámetros es distinto de cero ANÁLISIS DE VARIANZA Fuente de Variación Suma de cuadrados G. L. Cuadrados medios FC REGRESIÓN SCR K CMR CMR/CME ERROR SCE n-p CME TOTAL SCT n-1 Donde: n es tamaño de la muestral o número de datos k número de variables independiente p número de parámetros Rechazar H0 Si Fc es mayor que F(k, n-p) El rechazo de H0 implica que al menos una de las variables de regresión tienen una contribución significativa en el modelo. b.PRUEBAS SOBRE LOS COEFICIENTES INDIVIDUALES DE REGRESIÓN Estas pruebas son útiles para determinar el valor potencial de cada una de las variables de regresión del modelo, así el modelo puede ser mas eficaz con la inclusión de variables adicionales o quizá con la eliminación de una o más regresoras presentes en el modelo Hipótesis H0 : jˆ =0 H1 : jˆ ≠0 ESTADÍSTICA DE PRUEBA
- 17. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas 246 jj j O c T 2 ˆ ˆ DECISIÓN: Rechazar H0 si |To|> tn-p para un % de significación CONCLUSIÓN Si no se rechaza la hipótesis H0 indica que el regresor Xj puede eliminarse del modelo 1.5. MEDIDAS DE ADECUACION DEL MODELO a. Coeficiente de determinación múltiple Es una medida de la magnitud de la reducción en la variabilidad de Y, obtenida mediante el empleo de variables de regresión X1 X2 X3 … Xk. 10,1 22 R SCT SSE SCT SSR R R2 grande no necesariamente implica que el modelo de regresión sea bueno, pues la adición de una variable al modelo siempre aumenta R2 sin importar si la variable es o no estadísticamente significativa. RR 2 Es el coeficiente de correlación múltiple entre Y y el conjunto de variables de regresión X1 X2 X3 … Xk R es una mediad de asociación lineal que existe entre Y y X1 X2 X3 … Xk. Cuando k=1 tenemos el coeficiente de correlación simple entre Y y X
- 18. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas 247 PROBLEMAS PROPUESTOS DE REGRESION LINEAL MULTIPLE 1. dados los siguientes datos: X1 X2 Y 1 4 6.4 3 3 4.3 4 2 2.2 Donde: X1: Precio en soles X2: Ingreso en cientos de soles, Y: Demanda de cuadernos en miles de unidades a) Calcular la ecuación de la demanda e interpretar sus pendientes. b) Si los errores estándar de 1 y 2 son respectivamente 0.006 y 0.005 en una muestra de tamaño n=10. Probar si es significativo el aporte del ingreso al modelo. Como debería ser el modelo? ( Usar 5% de significancia) 2. En un estudio de 125 trabajadores expuestos a compuestos químicos contaminados con dioxina (Y) en un trabajador (medido en partes por millon) con variables independientes: X1: Logaritmo de los años de exposición a la dioxina. X2: Número de años de la primera exposición. X3: Edad(en años). X4: Índice de masa corporal. Los resultados computarizados según Eviews se muestran en el siguiente cuadro: Variable coeficiente error estándar t-estadístico C 1.721 0.770 2.24 X1 0.566 0.054 10.48 X2 -0.085 0.018 -4.72 X3 0.044 0.010 4.40 X4 0.075 0.021 3.57........ a) Probar la significación del modelo b) Probar la significación de los parámetros de regresión e indicar el efecto sobre el nivel de dioxina en un trabajador. c) Describir el modelo de regresión lineal e interpretar el coeficiente de correlación y determinación. d) Qué aporte técnico consideraría Ud. respecto a los resultados obtenidos en éste análisis. 3. Dados los siguientes datos: X1 X2 Y 2 1 1.1 3 2 2.2 1 1 1.2 Donde: X1: Precio en soles X2: Ingreso en cientos de soles,
- 19. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas 248 Y: Demanda de cuadernos en miles de unidades a) Calcular la ecuación de la demanda e interpretar sus pendientes. b) Si los errores estándar de 1 y 2 son respectivamente 0.006 y 0.005 en una muestra de tamaño n=15. Probar si es significativo el aporte del ingreso al modelo. Como debería ser el modelo? ( Usar 1% de significancia) 3. En un estudio de 30 trabajadores expuestos a compuestos químicos contaminados con dioxina (Y) en un trabajador (medido en partes por millon) con 4 variables independientes: X1: Logaritmo de los años de exposición a la dioxina. X2: Número de años de la primera exposición. X3: Edad(en años). X4: Índice de masa corporal. Los resultados computarizados según Eviews se muestran en el siguiente cuadro: Variable coeficiente error estándar t-estadístico C 1.721 0.770 2.24 X1 0.566 0.054 10.48 X2 -0.085 0.018 -4.72 X3 0.044 0.010 4.40 X4 0.075 0.021 3.57........ a) Probar la significación del modelo b) Probar la significación de los parámetros de regresión e indicar el efecto sobre el nivel de dioxina en un trabajador. c) Describir el modelo de regresión lineal e interpretar el coeficiente de correlación y determinación. d) Qué aporte técnico consideraría Ud. respecto a los resultados obtenidos en éste análisis. 4. Se tiene la información sobre ventas, puntuaciones de prueba y calificación de desempeño para una muestras de vendedores: VENDEDOR VENTA PUNTUACIÓN CALIFICACIÓN DE SEMANAL DE PRUEBA DESEMPEÑO 1 5 4 2 2 12 7 5 3 4 3 1 4 8 6 4 5 11 10 6 a) ¿Cuál es la ecuación de regresión múltiple?. b) Supóngase que un solicitante de empleo en el departamento de ventas tuvo una puntuación de 6.0 en la prueba y una calificación de desempeño de 3.8 ¿Cuáles son las ventas estimadas del solicitante.
- 20. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas 249 c) Probar si existe regresión lineal múltiple entre las variables ventas, puntuación y calificación, usar un nivel dignificancia de 1% y 5%. d) Probar si la variable puntuación de la prueba mejora el modelo una vez que la variable calificación de desempeño esta incluida en el modelo y si la variable calificación de desempeño mejora el modelo una vez que la variable puntuación esta incluida en el modelo. Nivel significancia 5%. e) Probar si existe efecto debido a la variable puntuación. Nivel de significancia de 5% (prueba t). f) Probar si la variable calificación de desempeño debe estar en el modelo (usar los coeficientes de correlación parcial, con un error del 5%. g) Encontrar los intervalos de confianza 1 y 2, al 95% de probabilidad. 5. Al ingeniero de control de calidad de una industria le interesa pronosticar la resistencia a la fusión de un alambre de acero fabricado, con base en su diámetro exterior y la cantidad de molibdeno contenida en el metal. Como experimento, selecciona cuatro tramos de alambre, mide a diámetro exterior y determina el contenido de molibdeno. Después mide la resistencia a la tensión de cada tramo de alambre. Los resultados son: RESIST. A LA TENSION (psi) DIAM. EXTERIOR (cm) ANT. DE MOLIBD. 11 3 6 9 2 5 16 4 8 12 3 7 a) ¿Cuál es la resistencia pronosticada a la tensión de un alambre de acero que tenga un diámetro exterior de 3.5 cm. y 6.4 unidades de molibdeno. b) Explique que significa el valor b1 y b2 en la ecuación. c) Probar si existe regresión lineal múltiple entre la variable resistencia a la tensión y las variables diámetro exterior. Cantidad de molibdeno. Usar el nivel de significancia al 1% y 5%. d) Calcular e interpretar el coeficiente de determinación. e) Probar si la variable diámetro exterior mejora el modelo una vez que la variable cantidad de molibdeno está incluida en el modelo y si la variable cantidad de molibdeno mejora el modelo una vez que la variable diámetro exterior está incluida en el modelo. Usar un nivel de significancia del 5%. f) Probar si existe efecto debido a la variable diámetro exterior. Usar un nivel de significancia del 5%.
- 21. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas 250 g) Probar si la variable cantidad de molibdeno debe estar en el modelo de regresión. Usar los coeficientes de correlación parcial. Usar el nivel significancia de 5%. h) Encontrar los intervalos de confianza 1 y 2, con una confianza del 5%. i) Probar si la variable diámetro exterior debe estar en el modelo de regresión. Usar los coeficientes de correlación parcial. Usar el nivel de significancia de 5%. 6. El señor López es presidente de una organización de profesores en el distrito de Rupa Rupa. Al prepararse para futuras negociaciones, al señor López le gustaría investigar la estructura de sueldos de los profesores del distrito. Considera que existe 2 factores que afectan el sueldo de un profesor; año de experiencia y una calificación de la efectividad de la enseñanza dada por el director. Una muestra de 8 profesores dio como resultado los datos que siguen. SUELDO AÑOS DE EXPERIENCIA CALIFICACIÓN (ciento de soles) 5.5 8 55 6.1 10 78 5.8 9 67 6.8 11 75 7.2 14 61 6.5 12 50 7.0 13 39 6.3 11 49 a) Qué sueldos estimaría usted para un profesor con 5 años de experiencia una calificación del director de 72 b) Realice una prueba de hipótesis global para determinar alguno de los coeficientes de regresión netos son diferentes de cero. Margen de error de 5%. c) Realice una prueba de hipótesis para los coeficientes individuales de regresión ¿Considera usted eliminar cualquiera de las variables independientes usar un nivel de significancia de 1% y 5%. d) Determine los residuos. e) Probar si la variable años de experiencia debe estar en el modelo de regresión usar los coeficientes de correlación parcial, con un error del 5%. f) Encontrar los intervalos de confianza para 1 y 2, con 1% de error. 7. El gerente de ventas distrital de un fabricante importante de automóviles está estudiando las ventas. De manera específica le gustaría determinar que factores afectan el número de automóviles vendidos en una distribución. Para investigar selecciona al azar 12
- 22. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas 251 distribuidores . De estos últimos obtiene el número de automóviles vendidos el último mes los minutos de publicidad en la televisión comprados el último mes y el número de vendedores de tiempo completo empleados en la distribución. La información es como sigue: AUTOS VENDIDOS PUBLICIDAD FUERZA DE VENTA 127 18 10 138 15 15 159 22 14 144 23 12 139 17 12 128 16 12 161 25 14 180 26 17 102 15 7 163 24 16 106 18 10 149 25 11 a) Determine la ecuación de regresión ¿Cuántos automóviles esperaría usted que se vendieran en una distribuidora con 20 vendedores y que paga 15 minutos de publicidad .ea b) Realice una prueba global de hipótesis para determinar si algunos de los coeficiente netos de regresión difiere de cero. Error al 5%. c) Realice una prueba de hipótesis para los coeficientes individuales de regresión. ¿Consideraría eliminar algunas de la variables independientes de error al 5%. d) Calcular los coeficientes de correlación parcial. e) Calcular e interpretar el coeficiente de correlación múltiple. 8. Un economista especializado en agricultura está estudiando la relación entre el ingreso per cápita de un distrito y el porcentaje de la población que se dedica a la agricultura y el número medio de años de educación para las personas mayores de 25 años de edad. Se seleccionan al azar 20 distritos rurales. a) Determine la ecuación de regresión. El distrito “X” tiene 12% de fuerza de trabajo dedicada a la agricultura y la media de años de educación es 15 ¿Cuál es el ingreso estimado para el distrito. b) Realice una prueba global de hipótesis para determinar si algunos de los coeficientes netos de regresión difiere de cero. Error al 5%. c) Realice una prueba de hipótesis para los coeficientes individuales de regresión ¿Consideraría eliminar algunas de la variables independientes de Error al 5%. d) Determine los residuos.
- 23. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas 252 e) Encontrar e interpretar los intervalos de confianza para los coeficientes de regresión parcial, con 99% de confianza. f) Calcular e interpretar el coeficiente de determinar múltiple. g) Calcular e interpretar los coeficientes de correlación parcial. ING. PER CAPITA %DE PERSONAS EDUCACIÓN (miles de soles) 1.96 10.2 10.6 1.94 13.4 16.9 1.60 10.2 15.1 1.98 10.8 14.9 2.18 10.3 15.0 1.82 13.3 16.0 1.82 11.3 16.0 2.14 10.3 15.1 1.52 12.7 12.9 2.48 8.5 10.1 2.14 12.6 16.0 1.92 12.8 10.4 2.64 9.7 13.7 2.58 9.5 14.0 2.02 10.5 10.2 1.98 10.6 13.0 2.48 8.4 15.2 1.33 9.6 13.8 9. Se desarrolla un modelo de regresión para predecir la capacidad de un suelo para absorber contaminantes químicos. Para ello se toman 10 observaciones del índice de absorción del suelo (Y) y de dos regresores: X1= cantidad de mineral de hierro que puede extraerse, X2: cantidad de bauxita. Algunas cantidades necesarias para ajustar el modelo son: 1.17991 -7.30982E-3 7.3006E-4 (X’X)-1 = -7.30982E-3 7.9799E-5 -1.237113E-4 7.3006E-4 -1.237113E-4 4.6576E-4 a) Estime los coeficientes de regresión del modelo b) ¿Cuál el el valor predicho del índice de absorción Y, cuando X1=200 y X2=50? La suma de cuadrados del total para Y es 742.00 c) Pruebe la significancia de la regresión al 1% d) Estime 2 e) Estime el error estándar del estimador de 1 f) Pruebe la significación de 1 al 1% ¿Qué conclusión puede obtenerse sobre la utilidad de x1 como variable de regresión en este modelo? g) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para el coeficiente de regresión 1 h) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para el índice de absorción promedio del suelo cuando X1=200 y X2=50. i) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para el índice de absorción del suelo cuando X1=200 y X2=50.