2007f3n1
- 1. Ministerio ´ OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMATICA Sociedad Matem´tica a de Educaci´n o (ONEM 2007) Peruana Tercera fase - Nivel 1 19 de octubre del 2007 - La prueba tiene una duraci´n m´xima de 2 horas. o a - No est´ permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros. a - Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar tus c´lculos. a - Ingresa tu respuesta en la computadora cada vez que resuelvas un problema y graba tus respuestas. En caso de empate se tomar´ en cuenta la hora de la ultima grabaci´n de tus a ´ o respuestas. - Puedes llevarte la hoja con los enunciados de los problemas. ´ EN TODOS LOS CASOS LA RESPUESTA ES UN NUMERO ENTERO POSITIVO. 1. Gast´n compr´ regalos en tres tiendas. En la primera pag´ la mitad del dinero que o o o llevaba por la compra del regalo para su esposa y pag´ S/.3 por la envoltura. En la o segunda gast´ la mitad de lo que le quedaba en el regalo de su hija y tambi´n pag´ S/.3 o e o por la envoltura. En la tercera gast´ la mitad de lo que le quedaba en el regalo de su o suegra y nuevamente pag´ S/.3 por la envoltura. Si al final se qued´ con S/.3, ¿cu´nto o o a dinero ten´ Gast´n antes de entrar a la primera tienda? ıa o 2. En cada casilla del siguiente tablero se debe escribir un n´mero natural de tal forma u que la suma de los n´meros escritos en dos casillas vecinas cualesquiera sea siempre un u n´mero impar: u ¿Cu´l es la mayor cantidad de n´meros pares que puede haber en el tablero? a u Nota.-Dos casillas son vecinas si tienen un lado com´n. u Olimpiada Nacional Escolar de Matem´tica 2007 a 1
- 2. Ministerio ´ OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMATICA Sociedad Matem´tica a de Educaci´n o (ONEM 2007) Peruana 3. Un n´mero N tiene 3 cifras, es m´ltiplo de 3 y cumple que el producto de sus cifras es u u 288. Halla la suma de las cifras de N . 4. En las panader´ Panduro y Trigo Seco, el precio del pan es el mismo, pero am- ıas bas panader´ ofrecen diferentes ofertas. La panader´ Panduro regala un pan por la ıas ıa compra de 9 panes y la panader´ Trigo Seco regala dos panes por la compra de 17 ıa panes. Mercedes, con cierta cantidad de dinero, compra pan en la panader´ Panduro ıa y aprovechando la oferta recibe 72 panes. ¿Cu´ntos panes recibir´ si con la misma can- a a tidad de dinero realizara la compra en la panader´ Trigo Seco, tambi´n aprovechando ıa e la oferta? 5. El m´ximo com´n divisor de los n´meros ab29b y ac4c2 es 168. Calcula la diferencia a u u del mayor menos el menor de dichos n´meros. u 6. Sea A = {1, 2, 3, . . . , 2007} el conjunto formado por los 2007 primeros n´meros na- u turales. B es un subconjunto de A que tiene la siguiente propiedad: “La suma de dos elementos cualesquiera de B nunca es 2008”. ¿Cu´l es la mayor cantidad de elementos a que puede tener B? 7. ¿Cu´ntos n´meros de cuatro cifras, todas distintas de cero, tienen la propiedad de que a u al multiplicar sus cuatro cifras se obtiene un n´mero que es m´ltiplo de 7 pero no de u u 49? 8. Durante muchos a˜os, Jos´ sale a pescar diariamente. Comenzando el 28 de Julio del n e 2007, cada d´ le dice a su esposa: “hoy traer´ m´s pescados que hace dos d´ pero ıa e a ıas, menos que hace una semana”. ¿Cu´ntos d´ seguidos, como m´ximo, Jos´ puede decir a ıas a e la verdad? 9. Daniela debe formar conjuntos disjuntos usando algunos de los n´meros del conjunto u {1, 2, . . . , 200} de tal modo que en cada uno de ellos se cumpla que el mayor elemento es igual al producto de los restantes. ¿Cu´l es la mayor cantidad de estos conjuntos que a Daniela puede formar? 10. ¿Cu´ntas fichas de la forma a pueden colocarse, como m´ximo, en el siguiente tablero a Olimpiada Nacional Escolar de Matem´tica 2007 a 2
- 3. Ministerio ´ OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMATICA Sociedad Matem´tica a de Educaci´n o (ONEM 2007) Peruana si las fichas pueden rotarse pero no pueden cubrir ninguna casilla pintada de negro? ´ GRACIAS POR TU PARTICIPACION 3