2011f1n3
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La prueba de matemáticas consta de 15 preguntas de opción múltiple sobre temas como números enteros, álgebra, geometría y estadística. Los estudiantes tienen 2 horas para completarla sin usar calculadoras ni consultar apuntes.
2011f1n3
- 1. Ministerio ´ VIII Olimpiada Nacional Escolar de Matematica Sociedad Matem´tica a de Educaci´n o (ONEM 2011) Peruana Primera Fase - Nivel 3 30 de junio de 2011 - La prueba tiene una duraci´n m´xima de 2 horas. o a - No est´ permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros. a - Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar tus c´lculos. a - Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la prueba. En caso de empate se tomar´ en cuenta la hora de entrega. a - Puedes llevarte las hojas con los enunciados de las preguntas. MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS 1. Sean A, B, C, D y E enteros positivos tales que: A + B = B + C = C + D = D + E = 3, ¿cu´ntos valores puede tomar A + B + C + D + E? a A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2. En la siguiente figura el rect´ngulo grande ha sido dividido en tres rect´ngulos congruentes. a a Si el ´rea del rect´ngulo grande es 54, calcula su per´ a a ımetro. A)6 B)9 C)15 D) 30 E)60 3. Dentro de una caja grande se colocan 3 cajas medianas, dentro de cada una de ´stas se e colocan 4 cajas peque˜as y dentro de cada una de estas ultimas se colocan 3 canicas. ¿Cu´l n ´ a es la diferencia entre el n´mero total de cajas y el n´mero de canicas? u u A) 12 B) 20 C) 15 D) 10 E) 18 4. Las siguientes dos sumas tienen la misma cantidad de sumandos S1 = 1 + 2 + 3 + 4 + · · · S2 = 100 + 99 + 98 + 97 + · · · . Si ambas sumas dan el mismo resultado, ¿cu´ntos t´rminos hay en cada suma? a e A) 54 B) 72 C) 67 D) 100 E) 50 1
- 2. Ministerio Primera Fase - Nivel 3 Sociedad Matem´tica a de Educaci´n o Peruana 5. En la siguiente figura el tri´ngulo grande es equil´tero y los puntos D, E, F, G, H e I, son a a puntos medios. ¿Qu´ porcentaje del ´rea del tri´ngulo ABC es el ´rea del tri´ngulo GHI? e a a a a B E I F H G A C D A) 6 % B) 16 % C) 6.25 % D) 0.625 % E) 4 % 6. Determina cu´ntos n´meros primos p cumplen la condici´n: a u o 8! + 1 < p < 8! + 9. Aclaraci´n: La expresi´n n! denota el producto de los primeros n enteros positivos. Por o o ejemplo, 3! = 1 × 2 × 3. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 7. En la siguiente figura, tenemos que reemplazar las letras A, B, C, D, E por los n´meros 1, 2, u 3, 4, 5 (sin repetir) de tal modo que los n´meros A + B + C y D + B + E sean m´ltiplos de u u 3, ¿de cu´ntas formas se puede hacer esto? a D A B C E A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 12 8. Los ´ngulos de un cuadril´tero est´n en progresi´n geom´trica. Si la medida del ´ngulo mayor a a a o e a es 27 veces la medida del menor, ¿cu´l es la diferencia entre el mayor y menor ´ngulo? a a A) 216◦ B) 261◦ C) 234◦ D) 240◦ E) 243◦ 9. Sabino compr´ varios helados a 2 soles cada uno, y Huaman´ compr´ otra cantidad de helados o ı o a 3 soles cada uno. Si juntos compraron menos de 15 helados y gastaron m´s de 15 soles cada a uno, ¿cu´ntos helados compraron en total? a A) 13 B) 14 C) 9 D) 12 E) 11 2
- 3. Ministerio Primera Fase - Nivel 3 Sociedad Matem´tica a de Educaci´n o Peruana 10. En una clase mixta de 35 estudiantes hay 19 mujeres. Adem´s, 7 hombres aprobaron arit- a m´tica, 6 hombres aprobaron ´lgebra, 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ninguno de los e a dos cursos, 5 estudiantes aprobaron los dos cursos y 11 estudiantes aprobaron solamente aritm´tica. ¿Cu´ntas mujeres aprobaron solamente ´lgebra? e a a A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 11. En la figura se muestra un trapecio ABCD de lados paralelos BC y AD. Si AB = BC = a, CD = 2a y AD = 3a, calcula el valor de sec β. B C b A D √ A) 3 B) 4 C) 2 D) 5 E) 5 12. Sean a, b, c tres n´meros que est´n en progresi´n aritm´tica, tales que si los aumentamos en u a o e 1, 4 y 9, respectivamente, obtenemos tres n´meros que son directamente proporcionales a los u n´meros 1, 3 y 6. Halla el valor de a + b + c. u A) 12 B) 30 C) 9 D) 6 E) 18 13. Sea θ un ´ngulo agudo y x = sen θ + cos θ, determina el valor de: a N = (sec θ + csc θ) − (tan θ + cot θ) 2 1 2 2 1 A) B) C) D) E) x2 + 1 x2 + 1 x+1 x2 − 1 x+1 14. Coral´ una chica supersticiosa, al enumerar las 200 p´ginas de su diario, comenz´ del 1, ı, a o pero excluyo aquellos n´meros donde las cifras 1 y 3 aparecen juntas en cualquier orden. Por u ejemplo, los n´meros 31 y 137 no aparecen en el diario, pero el 103 s´ aparece. ¿Cu´l fue el u ı a n´mero que escribi´ en la ultima p´gina de su diario? u o ´ a A) 210 B) 212 C) 213 D) 214 E) 215 15. M es igual al producto o a la suma de 2 y 7. N es igual al producto o a la suma de 3 y 9. P es igual al producto o a la suma de 4 y 8. Q es igual al producto o a la suma de 5 y 10. ¿Cu´l es el unico valor posible para M + N + P + Q, entre los valores mostrados? a ´ A) 87 B) 88 C) 89 D) 90 E) 91 3
- 4. Ministerio Primera Fase - Nivel 3 Sociedad Matem´tica a de Educaci´n o Peruana 16. En un cuadril´tero ABCD, el punto P divide al segmento AC en la raz´n de 1 a 3 (con a o AP < P C). Si las ´reas de las regiones triangulares ABD y BDC son 70 m2 y 30 m2 , a respectivamente, entonces el ´rea de la regi´n triangular P BD es: a o A) 42 m2 B) 39 m2 C) 40 m2 D) 44 m2 E) 45 m2 17. ¿Cu´ntos tri´ngulos escalenos tienen lados de longitudes enteras y per´ a a ımetro menor que 13? A) 1 B) 2 C)3 D) 4 E) 8 18. El producto de los d´ıgitos de un cuadrado perfecto de cuatro d´ ıgitos es 54. Calcula el resto al dividir dicho cuadrado perfecto entre 28. A) 1 B) 0 C) 3 D) 20 E) 12 19. Sea ABCD un rombo tal que ∠ABC = 120◦ . Se ubica en la regi´n exterior del rombo un o punto P tal que ∠P AB = 50◦ y ∠P CB = 70◦ , calcula la medida de ∠P BA. A) 70◦ B) 80◦ C) 60◦ D) 100◦ E) 90◦ 20. Hay un tablero de 4 × 4 dibujado en la pizarra y Carlos debe pintar cada casilla de blanco o de negro, de tal modo que en cada fila y en cada columna haya 2 casillas de cada color. ¿De cu´ntas maneras Carlos puede pintar el tablero? a A) 72 B) 36 C) 96 D) 90 E) 108 ´ GRACIAS POR TU PARTICIPACION 4