Ma 06 2007

C u r s o : Matemática
Material N° 06
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 5
UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD
RAZONES Y PROPORCIONES
RAZÓN es el cuociente entre dos cantidades. Se escribe
a
b
o a : b.
Y se lee “a es a b”; a se denomina antecedente; b se denomina consecuente.
EJEMPLOS
1. Para un terreno de 0,6 km de largo y 200 m de ancho, la razón entre largo y ancho es
A) 3 : 1.000
B) 3 : 1
C) 3 : 100
D) 1 : 3
E) 0,6 : 2
2. Los puntos M, N, P y Q, son puntos medios del cuadrado ABCD (fig. 1). Entonces, ¿en qué
razón están las áreas de las regiones achuradas y en blanco respectivamente?
A)
8
3
QA D
B)
5
8 fig. 1MP
C)
3
8
D)
5
3 B CN
E)
3
5

PROPORCIÓN es la igualdad de dos razones. Se escribe
x
a
=
y
b
o x : a = y : b
Y se lee “x es a a como y es a b”; x y b se denominan extremos; a e y se denominan medios.
TEOREMA FUNDAMENTAL
En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
OBSERVACIÓN: Si x : a = y : b, entonces existe una constante k, denominada constante de
proporcionalidad, tal que:
x = ka , y = kb ; k ≠ 0
(x : a = y : b) (x · b = y · a)
EJEMPLOS
1. El valor de x en la proporción
x 2 x + 1
=
3 4
−
es
A) -1
B) -3
C) -5
D) 3
E) 11
2. Si u : v = 3 : 10 y u : w = 1 : 2 , entonces ¿cuál de las siguientes alternativas es
falsa, sabiendo que v = 30?
A) u2
= 81
B) w – v = -12
C)
w
2
= 9
D) 2w = 36
E) u – v = 21
2

SERIE DE RAZONES es la igualdad de más de dos razones.
La serie de razones
x y z
a b c
= = también se escribe como x : y : z = a : b : c
EJEMPLOS
1. Si a : b = 3 : 5 y b : c = 5 : 9 , entonces a : b : c =
A) 3 : 9 : 10
B) 3 : 5 : 9
C) 5 : 9 : 3
D) 3 : 9 : 5
E) 6 : 18 : 5
2. Las edades de tres hermanas: María, Carmen y Lucía, son entre sí como 2 : 5 : 3. Si sus
edades suman 30 años, entonces la edad de Lucía es
A) 15 años
B) 9 años
C) 6 años
D) 3 años
E) 1 año
3. Si
a b
= =
1 2
c
3
y a + b + c = 36, entonces c – b es
A) 1
B) 3
C) 6
D) 9
E) 12
3

PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Dos variables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores
correspondientes es constante.
1
1
x
y
= 2
2
x
y
= 3
3
x
y
= ........... = n
n
x
y
= k
Así por ejemplo, en la tabla de la figura 1, las cantidades ubicadas en las filas A y B son
directamente proporcionales.
A 3 4 5 x
B 9 12 15 y
Por lo tanto se deduce que
x 1
=
y 3
OBSERVACIONES :
En una proporción directa, si una cantidad aumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta
(disminuye) el mismo número de veces.
El gráfico de una proporcionalidad directa corresponde a una línea recta que pasa por el
origen (fig. 2).
fig. 2
yn
y3
xnx3
y1
y2
x2x1
X
Y
Recta
fig. 1
EJEMPLOS
1. A y B son magnitudes directamente proporcionales. Respecto a la siguiente tabla
los valores de x e y son respectivamente
A 5 x 15
B 30 42 y
A) 7 y 90
B) 7 y 60
C) 6 y 72
D) 8 y 90
E) 9 y 54
4

2. Si 2x varía directamente con y e y = 4 cuando x = 3, entonces ¿cuál es el valor de
2x cuando y = 16?
A)
1
12
B)
1
3
C) 3
D) 6
E) 12
3. Según el gráfico de la figura 3, x e y son magnitudes directamente proporcionales.
Entonces, ¿cuál es el valor de a?
6
x2 3
y
A)
1
3 a
fig. 3
B) 3
C) 6
D) 9
E) 12
4. Dos obreros, A y B, reciben como pago por un trabajo $ 275.000. ¿Cuánto le toca a cada
uno si A trabajó 2 días y B trabajó 3 días?
A B
A) $ 137.500 $ 137.500
B) $ 91.666 $ 183.334
C) $ 55.000 $ 220.000
D) $ 110.000 $ 165.000
E) Ninguna de las anteriores
5

PROPORCIONALIDAD INVERSA
Dos variables, x e y, son inversamente proporcionales si el producto entre sus valores
correspondientes es constante
x1 · y1 = x2 · y2 = x3 · y3 = .......... = xn · yn = k
Así por ejemplo, en la tabla de la figura 1, las cantidades ubicadas en las filas A y B son
inversamente proporcionales
A 2 3 5 x
B 15 10 6 y
Por lo tanto se deduce que x · y = 30
OBSERVACIONES:
En una proporcionalidad inversa, si una cantidad aumenta (o disminuye) n veces, la otra
disminuye (o aumenta) el mismo número de veces.
El gráfico de una proporcionalidad inversa corresponde a una hipérbola equilátera (fig. 2).
k : constante
fig. 1
yn
y3
y2
y1
x1
Y
x2 x3 xn
fig. 2
X
EJEMPLOS
1. Las cantidades ubicadas en las columnas A y B, en la tabla de la figura 3, son
inversamente proporcionales. ¿Cuál es el valor de M + N?
A BA) 38
B) 36 6 3
4 M
N 18
fig. 3C) 5,5
D) 5
E) 4,5
6

2. Las variables x e y son inversamente proporcionales. Cuando x vale 60, y vale 90.
¿Cuánto vale x, cuando y vale 120?
A) 30
B) 40
C) 45
D) 60
E) 90
3. De acuerdo a la información entregada en el gráfico de la figura 4, el cual representa una
hipérbola, ¿cuál es el valor de C – D?
A) -8
B) -4
C) 4
D) 8
E) Ninguna de las anteriores
2
y
D
C 8
4
2
fig. 4
x
4. 8 empleados hacen un trabajo en 20 días. Para hacer el mismo trabajo en 5 días, ¿cuántos
empleados más se necesitarían?
A) 2
B) 12
C) 16
D) 24
E) 32
7

EJERCICIOS
1. ¿Cuál de las siguientes igualdades no es proporción?
A) 5 : 35 = 2 : 14
B) 2 : 8 = 3 : 12
C) 7 : 11 = 5 : 8
D) 3 : 18 = 5 : 30
E) 1 : 2 = 12 : 24
2. Si
x
y
= -15, entonces los valores de x e y, respectivamente, pueden ser:
I) -15 y -1
II) -15 y 1
III) 105 y -7
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
3. ¿Cuál es el valor de x si
5x + 5 6x + 4
=
5 7
?
A) 3
B) -3
C)
1
3
D) -
1
3
E) 11
4. Si A : B = 5 : 2 y A – B = 6, entonces A · B =
A) 10
B) 14
C) 22,5
D) 28
E) 40
8

5. Si
3 x y 1
= e =
4 12 5 10
2
, entonces ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son)
verdadera(s)?
I) x = 2y – 3
II) y – x = -3
III)
x 2
=
y 3
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
6. Si a : b = 1 : 2 y b : c = 3 : 2, entonces cuando a = 3, c =
A) 3
B) 4
C) 6
D) 8
E) 9
7. Si p : q = 2 : 1, q : r = 2 : 1, entonces ¿cuál(es) de las aseveraciones siguientes es(son)
verdadera(s)?
I) p > r
II) q < r
III) q > p
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
8. Si M : N = 2 : 3, entonces es(son) siempre verdadera(s)?
I) M + N = 5
II) N – M = 1
III) 6M = 4N
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
9

9. Si
2
a
=
4b
1
y b = 20, entonces a =
A) 20
B) 25
C) 100
D) 200
E) 400
10. Si x : y : z = 4 : 3 : 2 y 2x + 4y – 3z = 28 , entonces el valor de y es
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
11. Al dividir 253 en partes proporcionales a los números 2, 5, 7 y 9, ¿cuál es la parte menor?
A) 11
B) 22
C) 77
D) 99
E) 121
12. En la tabla de la figura 1, A y B son magnitudes directamente proporcionales. ¿Cuáles
son los valores de x e y , respectivamente?
A) 8 y 72
A 7 x 12B) 8 y 60
C) 7 y 72
B 42 48 y fig. 1
D) 8 y 2
E) 6 y 72
13. En el gráfico de la figura 2, x e y son cantidades directamente proporcionales. Entonces, el
valor de a – 1 es
fig. 2
y
a a + 1
7
5
A) 1,5
B) 2,5
C) 3,5
D) 4,0
E) 5,0
x
10

14. Si b kilos de clavos valen $ a , entonces
1
2
kilo valdrá
A) 2ab
B)
a
2
C)
b
2a
D)
2b
a
E)
a
2b
15. La razón entre el contenido de un estanque y su capacidad es 2 : 3. Si para llenarlo se
necesitan 15 litros, ¿cuál es la capacidad del estanque?
A) 15 litros
B) 20 litros
C) 25 litros
D) 30 litros
E) 45 litros
16. Hernán, Miguel y Osvaldo compraron un número de rifa y cuyos aportes fueron: Hernán
$ 800, Miguel $ 500 y Osvaldo $ 700. Si obtuvieron un premio de $ 280.000, ¿cuánto le
correspondió del premio a Miguel al realizarse el reparto en forma proporcional a lo
aportado?
A) $ 50.000
B) $ 70.000
C) $ 80.000
D) $ 98.000
E) $ 112.000
17. Las edades de Juan y Pedro están en la razón 1 : 3. Si Juan tiene 10 años, ¿cuánto suman
sus edades?
A) 20 años
B) 30 años
C) 40 años
D) 50 años
E) 60 años
11

18. Los trazos p y q, de la figura 3, están en la razón
p p p r
A) 2 : 4 r r
p q
B) 2 : 3,5 fig. 3
C) 1 : 7
D) 1 : 3,5
E) 2 : 8
19. En un liceo mixto de 1.400 alumnos, por cada cinco mujeres hay dos hombres. ¿Cuántos
alumnos son hombres?
A) 160
B) 400
C) 840
D) 1.000
E) 1.240
20. En una fiesta, por cada 7 caramelos que recibió Lalo, Pepe recibió 5. Si Lalo recibió 70
caramelos más que Pepe, ¿cuántos caramelos recibió Lalo?
A) 245
B) 175
C) 120
D) 98
E) 50
21. Se debe repartir US$ 45.000 entre los hermanos S y T en partes proporcionales a sus
edades. Si éstas son 6 y 9 años, respectivamente, entonces la diferencia positiva de lo
que reciben, expresada en dólares, es
A) 5.000
B) 9.000
C) 15.000
D) 27.000
E) 36.000
12

22. El gráfico de la figura 4, muestra la hipérbola que resultó del estudio que se hizo en una
campaña militar, en que se determinó la cantidad de días que dura cierta cantidad de
alimentos, de acuerdo al número de soldados que los consumen. En base a la información
proporcionada por este gráfico, se puede deducir que
Cantidad de
soldados
2
Cantidad
de días
12
t
p q
6
4
2
fig. 4
A) p + q = 54
B) t = 72
C) t > q
D) t < p
E) t = 4p
23. Las cantidades a2
y b son inversamente proporcionales. Si para a = 2, se obtiene b = 3,
entonces ¿cuál sería el valor de a, asociado a b =
4
3
?
A)
1
2
B)
2
3
C)
3
4
D)
3
2
E) 3
24. En una guarnición hay 4.800 soldados con alimentos para 48 días. Si la dotación disminuyera
a 3.200 hombres, ¿para cuántos días alcanzarían los alimentos?
A) 80
B) 72
C) 64
D) 60
E) 32
25. Si 10 obreros construyen una casa en 6 meses, ¿cuánto tiempo se demorarían 12 obreros en
construir una casa similar, trabajando el mismo número de horas al día?
A) 7 meses y 6 días
B) 6 meses y 6 días
C) 5 meses
D) 4 meses y 24 días
E) 4 meses y 12 días
13

14
26. Una ciudad A dista 50 km de una ciudad B. ¿Cuánto demora una persona en ir de A a B?
(1) El primer día camina 10 km.
(2) Camina a razón de 10 km diarios.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
27. Una persona crece 5 cm por año aproximadamente, hasta los 23 años. ¿Cuánto medirá a los
21 años?
(1) Al nacer midió 50 cm.
(2) A los 12 años medía 1,1 m.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
28. x + y =
(1) x : y = 3 : 2
(2) x : 3 = y : 2
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
29. Si a y b son números positivos, ¿en qué razón están las cantidades a y b?
(1) a2
= 18b y b = 8
(2) 2a – 3b = 0
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

30. En un curso la relación de niñas a niños es de 8 a 7, respectivamente. Se puede determinar
el número de niñas si:
(1) La razón de los que estudian y no estudian es 4 a 1.
(2) Las niñas que no estudian son 6, y todos los niños estudian.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
RESPUESTAS
CLAVES PÁG. 8Ejemplos
Págs. 1 2 3 4
1. C 11. B 21. B
2. D 12. A 22. A
3. B 13. A 23. E
4. E 14. E 24 B
5. C 15. E 25. C
6. B 16. B 26. B
7. A 17. C 27. D
8. C 18. D 28. E
9. C 19. B 29. D
10.D 20. A 30. C
1 B D
2 E E
3 B B C
4 A
5 E D D
6 C
7 C B D
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