Ma 12 2007
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Este documento presenta información sobre la congruencia de triángulos y elementos secundarios. Define la congruencia de triángulos como cuando existe una correspondencia entre sus vértices de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes. Presenta postulados de congruencia de triángulos y ejemplos de su aplicación. También describe elementos secundarios como alturas, bisectrices, transversales de gravedad y más. Finalmente, incluye ejercicios para practicar estos conceptos.
Ma 12 2007
- 1. C u r s o : Matemática Material N° 12 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 10 UNIDAD: GEOMETRÍA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y ELEMENTOS SECUNDARIOS CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS DEFINICIÓN Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices, de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes. R A C ∆ ABC ≅ ∆ PQR ⇒ QP AB ≅ PQ AC ≅ PR CB ≅ RQ A ≅ P B ≅ Q C ≅ R B EJEMPLOS 1. Los triángulos PQR y TNM de la figura 1, son escalenos. Si ∆PQR ≅ ∆TNM, entonces ¿cuál de las siguientes proposiciones es falsa? A) PQ ≅ TN B) PR ≅ TM C) QR ≅ NM D) QRP ≅ NMT E) PQR ≅ TMN M T N R P Q Fig. 1 2. En la figura 2, ∆ ABC ≅ ∆ DEF con D ∈ BC , AC // DF , BDE = 80º y ACB = 40º, ¿cuál es la medida del DEF? A) 40º B) 60º C) 80º D) 90º Fig. 2 C F ED BA E) No se puede determinar
- 2. POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS c α C BA β C’ c’ α B’A’ β β B’c’ α C’ A’ b’ B C α A b c C BA c b a C’ c’ B’A’ b‘ a’ γ C BA c b < c B’c’ C’ A’ γ b b’ LLA > : Dos triángulos son congruentes cuando tiene dos lados y el ángulo opuesto al mayor de esos lados respectivamente iguales. LLL : Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales. LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales. ALA : Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos adyacentes a ese lado. EJEMPLOS 1. En la figura 1, DC ⊥ AD y CB ⊥ AB . Si DAC ≅ BAC, entonces el triángulo CAB es congruente con el triángulo DCA en su orden 2 A) ACD B) ADC C) CAD D) DCA A B C D Fig. 1 E) CDA 2. El triángulo ABC de la figura 2, es isósceles de base AB , CD ⊥ AB y AD = DB . Entonces, ¿cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es(son) congruentes? I) ∆ADE con ∆BDE II) ∆AEC con ∆BEC III) ∆ADC con ∆BDC A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III Fig. 2 C E A D B
- 3. C 3 A B E H = ORTOCENTRO (punto de intersección de las alturas) F H D C I = INCENTRO (punto de intersección de las bisectrices) γγ A B I β α βα G = CENTRO DE GRAVEDAD (punto de intersección de las transversales de gravedad) A D F B C G E ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO ALTURA Es la perpendicular que va desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. BISECTRIZ Es el trazo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes TRANSVERSAL DE GRAVEDAD Es el trazo que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. OBSERVACIÓN: Si ∆ABC rectángulo en C, entonces CD .= AD = DB FE // AB FD // BC DE // AC A D B F E C SIMETRAL Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado del triángulo. MEDIANA Es el segmento de recta que une los puntos medios de los lados del triángulo. OBSERVACIÓN: O = CIRCUNCENTRO (punto de i de las simetrales) ntersección A B C O ∆ADF ≅ ∆DBE ≅ ∆FEC ≅ ∆EFD
- 4. EJEMPLOS 1. En la figura 1, el ∆ABC es equilátero y el ∆DEA es rectángulo isósceles. Si CE es altura, entonces α + β + γ = C D B γ β α A E fig. 1 A) 105º B) 120º C) 135º D) 150º E) 165º 2. En la figura 2, CD es bisectriz del C. ¿Cuál es la medida del x? B fig. 2 x 60º A 70º D A) 10º B) 20º C) 50º D) 60º E) 110º C 3. En el ABC de la figura 3, CE es transversal de gravedad y CE = BE. La medida del x es A 70º E B C x A) 40º B) 70º C) 80º D) 90º fig. 3 E) no se puede calcular 4. En la figura 4, RS es simetral de AB y AD // RS . ¿Cuál es la medida del x? S x 49º A B C 49º fig. 4 R DA) 139º B) 90º C) 51º D) 49º E) 41º 5. En el triángulo PQR de la figura 5, PRQ = 80º y DE es mediana. ¿Cuánto mide el x? R QD E 55º x P fig. 5A) 35º B) 45º C) 50º D) 55º E) 60º 4
- 5. ALGUNOS TEOREMAS REFERENTES A UN TRIÁNGULO ISÓSCELES Y/O EQUILÁTERO En todo triángulo isósceles coinciden los elementos secundarios correspondientes al lado distinto. En todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios correspondientes a cualquier lado. Además, coinciden los puntos singulares. α α BA D C AC = BC AB ≠ BC CD = hc = tc = by = sc C 30 30 30 F E BD G 30 30 30 A EJEMPLOS 1. El triángulo DEF de la figura 1 es isósceles de base DF . R es punto medio de DF y DFE = 50º. ¿Cuánto mide el ángulo REF? fig. 1 R D E F A) 25º B) 30º C) 40º D) 50º E) 80º 2. En el triángulo equilátero ABC de la figura 2, E es punto medio de AB y BD es bisectriz del ángulo ABC. ¿Cuánto es el suplemento de x + y? C A) 150º y x D fig. 2 B) 120º C) 90º D) 60º E) 30º A E B 5
- 6. EJERCICIOS 1. En el triángulo ABC de la figura 1, BD es bisectriz del ABC. Si CAB = 70º y ACB = 50º, entonces ¿cuánto mide el ángulo x? C fig. 1 A B D x A) 30º B) 50º C) 60º D) 70º E) 100º 2. Si en el triángulo DEF de la figura 2, MN es mediana, entonces el ángulo NMD mide fig. 2 40º F NM D A) 40º B) 100º C) 120º D) 130º E) 140º E 3. En el triángulo SRT de la figura 3, TH es altura, α = 110º y β = 140º. ¿Cuál es la medida del ángulo x? 6 A) 20º B) 30º C) 50º fig. 3 x R β HS T α D) 60º E) 70º 4. En el triángulo ABC de la figura 4, AC = CD = DB . ¿Cuál es la medida del x? B fig. 435º D A C x A) 35º B) 40º C) 60º D) 70º E) 110º
- 7. 5. En la figura 5, los puntos A, B y D son colineales, ∆ABC ≅ ∆DBE, α = 36º y CBE = 20º, ¿cuánto mide el BED? C E fig. 5 α A) 20º B) 36º C) 64º D) 108º E) 116º DBA 6. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 6, CD es altura. ¿Cuál es la medida del ángulo x? C E B D x fig. 6 25º 40º A) 140º B) 135º C) 125º D) 115º E) 100º A 7. ¿Qué pareja(s) de triángulo(s) es(son) congruente(s)? I) II) III)15 10º 150º 5 7 30º 30º 7 5 12 115º 30º 12 150º65º 1520º 150º A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 8. ¿Cuánto mide el x en el ∆ABC de la figura 7, si DE es mediana? C fig. 7 A B D x α 2α E 72º A) 90º B) 72º C) 60º 7
- 8. D) 48º E) 42º 9. En la figura 8, ∆QRP ≅ ∆DFE. Si QP ≅ PR , ¿cuánto mide el ángulo exterior HEF? Q P H E F 58º A) 62º B) 64º fig. 8 C) 74º D) 106º E) 116º D R 10. Las siguientes figuras están formadas por dos triángulos equiláteros. ¿En cuál(es) de ellas se puede asegurar que los triángulos son congruentes? I) II) III) A) Sólo en I B) Sólo en II C) Sólo en III D) Sólo en II y III E) En ninguna de ellas 11. Los triángulos de la figura 9, son congruentes según el criterio 60º 4 3 70º 7 70º 50º A) LAL fig. 9 B) LLA C) ALA D) LLL E) AAA 12. Los triángulos PQR y STU de la figura 10, son congruentes. Si PQ = QR = 5 cm, VU = 3 cm y TV es transversal de gravedad, ¿cuánto mide PR ? A) 2 8 fig. 10 P Q V S T UR B) 3 C) 4 D) 5
- 9. E) 6 13. En la figura 11, ∆ABC rectángulo en C y ∆BED isósceles de base BD . ¿Cuál es la medida del x? fig. 11 A B CD x 30º E A) 40º B) 35º C) 30º D) 20º E) 15º 14. En la figura 12, si el ∆ABC es rectángulo en C y CD es altura, ¿cuáles de las afirmaciones siguientes nos permiten asegurar que los triángulos ADC y BDC son congruentes? I) ∆ABC isósceles. fig. 12 C D II) AD ≅ DC III) D punto medio de AB . A) Sólo I y II B) Sólo I y III C) Sólo II y III A B D) I, II y III E) Ninguna de ellas 15. En el triángulo ABC de la figura 13, CD es transversal de gravedad y CD = AD . Si CAD = 60º, entonces el ángulo DCB mide C fig. 13 A) 20º B) 25º C) 30º D) 40º E) 5º BA D 16. En la figura 14, ∆ABC ≅ ∆NMT. Si CAB = 40º y NMT = 80º, entonces es falso que A) ABC ≅ NMT 9 fig. 14 N T C A B M B) el NTM mide 60º C) el ∆MNT es escaleno D) NT ≅ AC E) el TNM mide 80º
- 10. 17. ¿En qué triángulo al trazar cualquier bisectriz se forman dos triángulos congruentes? A) Rectángulo isósceles B) Isósceles acutángulo C) Rectángulo escaleno D) Equilátero E) En ninguno 18. En el ∆ABC (fig. 15), AD es transversal gravedad y CAD = BAD. Entonces, la medida del ángulo ADB es C A) 110º D fig. 15B) 100º C) 90º D) 80º E) 60º A B 19. Los ángulos exteriores de un triángulo están en la razón 3 : 2 : 3, luego el triángulo es A) escaleno obtusángulo B) escaleno rectángulo C) isósceles obtusángulo D) isósceles rectángulo E) isósceles acutángulo 20. ¿En cuál de las alternativas se encuentra el dato que falta para afirmar que los triángulos ABC y DEF de la figura 16, son congruentes? CA) AB ≅ DE F B) C ≅ F 60º C) AC // DF E 40º D) B ≅ E E) No se requiere dato adicional 80º 80º80º fig. 16 A B D 10
- 11. 21. El ∆ABC de la figura 17, es equilátero. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) EPD = 120º II) Si P punto medio de AB , entonces ∆APE ≅ ∆BPD. III) Si CE ≅ CD, entonces P es punto medio de AB . C A B D P E fig. 17A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 22. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) Dos triángulos rectángulos que tienen un cateto respectivamente congruente, son congruentes. B) Si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa congruente, son congruentes. C) Si dos triángulos rectángulos tienen dos ángulos correspondientes congruentes, son congruentes. D) Si dos triángulos rectángulos tienen dos lados correspondientes congruentes, son congruentes. E) Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo respectivamente congruentes, son congruentes. 23. Los triángulos ABD y ACD de la figura 18, son congruentes por el(los) criterio(s): I) LAL II) ALA 10 10 A D α α C B E 7 7 III) LLL fig. 18 A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 11
- 12. 24. En los triángulos ABC y DEF de la figura 19, se sabe que AC // DF, CB // EF, AD = EB , GE = GD y AC = BC . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Si ∆AGC ≅ ∆BGC, entonces ∆DGF ≅ ∆EGF. II) Cuadrilátero ADFC ≅ Cuadrilátero BEFC. III) CG = 2FG C F BEGA D A) Sólo I fig. 19 B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III 25. En el ∆ABC de la figura 20, ¿cuál de las siguientes afirmaciones permite demostrar que CF es bisectriz del ACB? C A B D F E fig. 20A) CD CE≅ y DFC ≅ EFC B) AD EB y CD CE≅ ≅ C) CD CE y DF EF≅ ≅ D) DF EF≅ y DFA ≅ EFB E) CD CE≅ y CDF ≅ CEF 26. En el ∆PQR de la figura 21, RS es altura y PS = SQ . El ∆PQR es equilátero si: R P QS fig. 21 (1) ∆PSR ≅ ∆QSR (2) SPR = 60º A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) 12
- 13. E) Se requiere información adicional 27. En el ∆MNP de la figura 22, se puede afirmar que los triángulos RON y ROP son congruentes si: (1) R punto medio de NP . M NO R fig. 22P (2) ∆MOP equilátero. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 28. En la figura 23, ∆PQR ≅ ∆PST y T pertenece a RQ . Se puede determinar la medida del ángulo PTR si: R (1) QPS = 50º 13 (2) STP = 65º A) (1) por sí sola fig. 23 QP T B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional S 29. Los triángulos ABC y BAD son congruentes (fig. 24). Se puede determinar la medida del AEB si: C D (1) BAD = 40º (2) CE ≅ EB ≅ DE ≅ EA A) (1) por sí sola fig. 24 A B E B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
- 14. 30. ∆ADC ≅ ∆BEC (fig.25). El ∆DEC es equilátero si: (1) DAC = 30º 14 (2) ADC = 120º A) (1) por sí sola fig. 25 A D E C B B) (2) por sí sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional RESPUESTAS 1. E 11. C 21. E 2. D 12. E 22. D 3. A 13. C 23. C 4. D 14. D 24. C 5. C 15. C 25. C 6. D 16. E 26. B 7. D 17. D 27. D 8. D 18. C 28. D 9. E 19. D 29. A 10. C 20. A 30. B 1 E C 2 C E 4 C B D B B 5 C E Ejemplos Págs. 1 2 3 4 5 CLAVES PÁG. 7 DSIMA12 Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://clases.e-pedrodevaldivia.cl/