Ma 11 2007
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Este documento presenta conceptos básicos de geometría sobre ángulos y triángulos. Define ángulos agudos, rectos, obtusos, extendidos y completos. Explica clasificaciones de ángulos según su posición y suma de medidas. Cubre teoremas sobre la suma de ángulos interiores y exteriores de triángulos. Finalmente, clasifica triángulos según sus lados y ángulos. Incluye 20 ejercicios de aplicación de estos conceptos.
Ma 11 2007
- 1. C u r s o : Matemática Material N° 11 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 9 UNIDAD: GEOMETRÍA ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS DE ACUERDO A SU MEDIDA Ángulo nulo : Es aquel que mide 0°. Ángulo agudo : Es aquel que mide más de 0° y menos de 90°. Ángulo recto : Es aquel que mide 90°. Ángulo obtuso : Es aquel que mide más de 90° y menos de 180°. Ángulo extendido : Es aquel que mide 180°. Ángulo completo : Es aquel que mide 360°. EJEMPLOS 1. Si α es un ángulo agudo, entonces el ángulo BOC de la figura 1 es fig. 1 D A B C 2α α 6α 0 3α A) agudo B) recto C) obtuso D) extendido E) completo 2. ¿Cuál de las siguientes opciones es siempre verdadera? A) La suma de un ángulo agudo con un obtuso resulta extendido B) La mitad de un obtuso es un ángulo recto C) La suma de un ángulo obtuso con uno extendido resulta completo D) La suma de dos ángulos rectos con un extendido resulta completo E) La suma de dos ángulos agudos resulta un recto 3. En la figura 2, α = 3β y δ = 2β, entonces 2δ = α δβ A) 120° fig. 2B) 60° C) 45° D) 30° E) 15°
- 2. CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN Ángulos consecutivos : Son aquellos que tienen el vértice y un lado en común. Ángulos adyacentes o : Son aquellos que tienen el vértice y un lado en común y los otros par lineal dos lados sobre una misma recta. Ángulos opuestos por el : Son aquellos que tienen el vértice en común y que los lados de vértice uno son las prolongaciones de los lados del otro. OBSERVACIONES Bisectriz de un ángulo : Es el rayo que divide al ángulo, en dos ángulos de igual medida (congruentes). Rectas perpendiculares : Son dos rectas que al cortarse forman un ángulo recto. EJEMPLOS L1 ⊥ L2 L2 L1 α y β opuestos por el vértice, α ≅ βαβ α ≅ βα β C AO B β α α y β adyacentes O C B Aα β α y β consecutivos 1. En la figura 1, si α + β = 250º y β + λ = 270º, entonces β – λ = λ βα A) 110º B) 90º C) 70º fig. 1 D) 50º E) 30º 2. En la figura 2, se cumple que α = δ y β = λ. Entonces, α + 4β + 2λ + 5δ = α λ δ β A) 180° B) 360° fig. 2C) 720° D) 1080° E) ninguna de las anteriores 2
- 3. CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS DE ACUERDO A LA SUMA DE SUS MEDIDAS Ángulos complementarios : Son dos ángulos cuyas medidas suman 90°. Si α y β son complementarios, α es el complemento de β y β es el complemento de α. El complemento de un ángulo x es 90° – x. Ángulos suplementarios : Son dos ángulos cuyas medidas suman 180°. Si α y β son suplementarios, α es el suplemento de β y β es el suplemento de α. El suplemento de un ángulo x es 180° – x EJEMPLOS 1. El complemento de un ángulo α es igual al doble de dicho ángulo. ¿Cuánto mide α? A) 60° B) 45° C) 30° D) 20° E) 15° 2. El suplemento de un ángulo 3β es 60°. ¿Cuánto mide β? A) 120° B) 90° C) 60° D) 40° E) 20° 3. Si α y 5β son ángulos suplementarios, entonces α en función de 5β es A) 90° – 5β B) 5β – 90° C) 180° – 5β D) 5β – 180° E) 180° + 5β 3
- 4. PARES DE ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL ÁNGULOS ALTERNOS: ALTERNOS EXTERNOS ALTERNOS INTERNOS 1 con 7 2 con 8 3 con 5 4 con 6 Los ángulos alternos entre paralelas tienen la misma medida. ÁNGULOS CORRESPONDIENTES 1 con 5 2 con 6 3 con 7 4 con 8 Los ángulos correspondientes entre paralelas tienen la misma medida. ÁNGULOS COLATERALES COLATERALES EXTERNOS COLATERALES INTERNOS 1 con 8 2 con 7 4 con 5 3 con 6 Los ángulos colaterales entre paralelas suman 180°. T L1 // L2 L2 L1 5 8 7 6 4 2 3 1 EJEMPLOS 1. En la figura 1 AB // CD . Entonces, la clasificación de β corresponde a un ángulo C D A β 6β – 280° A) agudo B B) recto C) obtuso D) extendido fig. 1 E) completo 2. En la figura 2, AB // CD . ¿Cuánto mide β? 4 A) 15° A 5β – 70° 3β B D fig. 2 C B) 20° C) 25° D) 30° E) 35°
- 5. ÁNGULOS EN TRIÁNGULOS TEOREMAS La suma de las medidas de los ángulos interiores es igual a 180°. La suma de las medidas de los ángulos exteriores es igual a 360°. α + β + γ = 180º γ’ γ C β β’ A B αα’ α’ + β’ + γ’ = 360º La medida de cada ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a él. α’ = β + γ β’ = α + γ γ’ = α + β EJEMPLOS 1. En el triángulo de la figura 1, el valor del ángulo x es fig. 1C A B D 46° 18° 35° x A) 19° B) 23° C) 29° D) 58° E) 116° 2. En el ∆GHI de la figura 2, el valor de x es 5 A) 45° B) 75° C) 135° D) 150° E) 210° 3. El valor de γ en el ∆DEF de la figura 3 con G ∈ DE , es fig. 2 I 2x-15 xG H γ fig. 3F GED 4γ 150° A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°
- 6. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS Según sus lados Según sus ángulos Escaleno: Tiene sus tres lados de distinta medida. Isósceles: Tiene sólo dos lados de igual medida. Equilátero: Tiene sus tres lados de igual medida. Acutángulo: Tiene sus tres ángulos agudos. Rectángulo: Tiene un ángulo recto. Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso. EJEMPLO 1. La clasificación del triángulo de la figura 1, es fig. 1 4x 30º x A C A) escaleno y acutángulo B) escaleno y rectángulo C) isósceles y acutángulo BD) isósceles y obtusángulo E) isósceles y rectángulo 2. En la figura 2, ∆ABC equilátero y ∆BDC rectángulo isósceles, ¿cuál es la medida del x? fig. 2 A B D C x A) 45º B) 60º C) 75º D) 105º E) 135º 6
- 7. EJERCICIOS 1. Sea α un ángulo. Si el triple de α es un ángulo agudo, entonces α puede tomar el(los) valor(es): I) α = 28° II) α = 14° III) α = 31° A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo I y II E) I, II y III 2. ¿Cuál es la medida del x en la figura 1? 150º100º xx A) 110º B) 75º C) 65º fig. 1D) 60º E) 55º 3. En la figura 2, L1 // L2, el valor de x es L2 L1 x 100ºA) 60º B) 70º C) 80º fig. 2D) 100º E) 120º 4. En el ∆ABC de la figura 3, AC = BC . ¿Cuál es la medida del x? A) 30º fig. 3 150º x A C B B) 60º C) 75º D) 80º E) 150º 7
- 8. 5. Si α es la mitad de β en la figura 4, entonces el γ = α γ β fig. 4 A) 30º B) 45º C) 60º D) 75º E) 85º 6. En la figura 5, L es una recta, x + y = 120º, z + v = 90º y x = v. ¿Cuál es el valor de x? L x y z w v A) 15º B) 75º C) 100º fig. 5 D) 105º E) 150º 7. En la figura 6, L1 // L2 , L3 // L4 y α + β = 50°. Entonces, el suplemento de β es L2 L1 α γ β L3 A) 25° B) 50° fig. 6 C) 90° L4D) 130° E) 155° 8. En la figura 7, α + β = δ y α = 2β, ¿cuánto mide el β? 8 A) 60º fig. 7 δ β A α B C B) 90º C) 45º D) 30º E) 120º
- 9. 9. En la figura 8, si el triángulo ABC es rectángulo en A y α + β = 120º, entonces α + γ = C fig. 8γ β A α B A) 90º B) 120º C) 140º D) 150º E) 160º 10. En la figura 9, AB // L, ¿cuál es el valor de α + β? B 50º A α β L C A) 105º B) 120º C) 130º D) 150º fig. 9 E) 175º 11. Si el triángulo ABC de la figura 10, es rectángulo en C, entonces el complemento del x mide 46° x A B C fig. 10A) 22° B) 36° C) 44° D) 46° E) 34° 12. El valor de γ en el ∆DEF de la figura 11, con G ∈ DE, es A) 20º D F E G 80º γ 5γ fig. 11 B) 30º C) 80º D) 100º E) 120º 9
- 10. 13. En el triángulo ABC de la figura 12, se traza la transversal DE, ¿cuánto mide el ángulo x? C A) 63° fig. 12 D E x 54º 47° 16° A B B) 70° C) 117° D) 103° E) Ninguna de las anteriores 14. En la figura 13, DAB = CBA. Entonces, el x mide A) 80° D CB) 100° B E A x 110° C) 110° fig. 13 D) 120° E) 140° 15. En la figura 14, L es recta y α = 54º. Entonces, ¿cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) igual(es) al triple de β? I) β + α II) 2α αβ L β β α III) 180 – 2α fig. 14 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III 16. ¿Cuánto mide el x en el ∆MNL de la figura 15? fig. 15 2α α M L α x 120º O N A) 60º B) 40º C) 30º D) 20º E) 10º 10
- 11. 17. De acuerdo a la información suministrada en la figura 16, ¿cuál es la medida del x? fig. 16 R 40° x α α T α A) 110° B) 120° C) 150° D) 160° E) 170° Q SP 18. En la figura 17, γ = 2β, β = 2α, γ = 40º y δ = 70º. ¿Cuánto mide el x? 11 A) 40º B) 60º C) 70º D) 130º E) 140º 19. En el triángulo ABC de la figura 18, AE y CD son bisectrices de los ángulos CAB y ACB respectivamente. Entonces, el ángulo x mide A) 146º B) 158º C) 168º D) 68º E) 36º 20. En el ∆ABC de la figura 19, si M es punto medio de AB y MCB = MBC = 30º, entonces el ACB mide A 68° x E C D B fig. 18 δ x C A B fig. 17 γ βα C A B fig. 19 M A) 120º B) 100º C) 90º D) 80º E) 60º
- 12. 21. En el triángulo ABC de la figura 20, rectángulo en C, CD ⊥ AB y AE es bisectriz del A. Si AFD = 57º, entonces la medida del ABC es fig. 20 E C F BDA A) 24º B) 26º C) 28º D) 34º E) 57º 22. Si el triple del complemento de (α – 30°) es igual al suplemento de (α – 40°), entonces α mide A) 25° B) 70º C) 80° D) 100° E) 155° 23. En la figura 21, L1, L2, L3 y L4 son rectas tales que L3 // L4 y L3 es bisectriz del ángulo obtuso formado por L1 y L2. El valor de x es L1 L2 L3 2x x + 30° L4 fig. 21 A) 20° B) 30° C) 60° D) 70° E) 50° 24. En un triángulo ABC, uno de sus ángulos interiores mide 20º más que el otro, pero 35º menos que el tercero. ¿Cuál es el complemento del menor? A) 25º B) 35º C) 55º D) 65º E) 75º 12
- 13. 25. En el triángulo de la figura 22, el ángulo β es igual a CA) 2γ + α fig. 22 E α α DA B γ βB) 2γ – α C) γ + α D) 2γ E) γ 26. En la figura 23, AD // CB . Se puede determinar que AB es bisectriz del CAD si: A D C B (1) ∆ACB rectángulo en C. (2) BAD = 45º A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola fig. 23 C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 27. En el ∆PQR de la figura 24, S es punto medio de PQ . Se puede determinar que el ∆PQR es isósceles si: (1) RS PQ⊥ fig. 24 β 55º α S R Q P γβ α L1 L (2) α ≅ β A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 28. En la figura 25, L1 // L2 si: fig. 25 (1) α + β = 180º (2) α + β = β + γ A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola L2C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 13
- 14. 29. En la figura 26, se puede determinar la medida del α si: (1) AC // BD C D A B β α (2) 7α = 2β A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola fig. 26 C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 30. El ∆ABC de la figura 27 es rectángulo si: F C DE A B (1) BAC = ABC (2) AFB = 135° ; AD y BE son bisectrices. A) (1) por sí sola fig. 27B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional RESPUESTAS CLAVES PÁGINA 7Ejemplos Págs. 1 2 3 1 B D A 2 D D 3 C D C 4 A E 5 C B A 6 D C 1. D 11. C 21. A 2. E 12. A 22. B 3. C 13. C 23. E 4. C 14. E 24. C 5. C 15. C 25. E 6. A 16. D 26. C 7. E 17. C 27. D 8. D 18. E 28. D 9. D 19. A 29. C 10. C 20. C 30. B DSIMA11 Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://clases.e-pedrodevaldivia.cl/ 14