Ma 09 2007

C u r s o : Matemática
Material N° 09
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 8
UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
PLANTEAMIENTOS I
En los problemas de planteamientos aparecen expresiones o vocablos que debemos traducir a
lenguaje matemático.
EJEMPLOS
1. Traducir las siguientes expresiones a lenguaje matemático:
a. El doble de x ...........................
b. El cuadrado de x ...........................
c. El triple de x ...........................
d. El cubo de x ...........................
e. El cuádruplo de x ...........................
f. La cuarta potencia de x ...........................
g. El quíntuplo de x ...........................
h. La quinta potencia de x ...........................
i. La diferencia entre a y b ...........................
j. La diferencia entre b y a ...........................
k. El exceso de a sobre b ...........................
l. La semisuma de a y b ...........................
m. x aumentado en a unidades ...........................
n. x disminuido en a unidades ...........................
o. x es a unidades mayor que y ...........................
p. x es a unidades menor que y ...........................
q. El producto de a y b ...........................
r. x veces a ...........................
s. El cuociente entre a y b ...........................
2. El enunciado: “El cuadrado del triple de la suma de a y b es mayor en tres unidades que el
triple de la suma de los cuadrados de a y b” se expresa por
A) 3(a + b)2
= 3(a2
+ b2
) + 3
B) [3(a + b)]2
= 3(a + b)2
+ 3
C) [3(a + b)]2
= 3(a2
+ b2
) + 3
D) [3(a + b)]2
= 3(a2
+ b2
) – 3
E) 3(a + b)2
= 3(a2
+ b2
) – 3

ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS DE PLANTEAMIENTO
Existen diversos tipos de problemas de planteamientos, sin embargo en todos ellos es
conveniente:
Leer total y cuidadosamente el problema, antes de empezar a resolver.
Hacer un listado de incógnitas y datos.
Hacer un diagrama de la situación planteada, si el caso lo requiere.
Plantear y resolver la(s) ecuación(es) si el caso lo requiere.
Comprobar la(s) solución(es).
EJEMPLOS
1. Si al triple del sucesor de n se le resta el antecesor del antecesor de n y al resultado se le
agrega el cuádruplo de n , resulta
A) 6n + 5
B) 6n + 3
C) 6n + 2
D) 6n + 1
E) 5n + 5
2. El número cuyo quíntuplo excede a 21 en lo mismo que 42 excede al doble del número, es
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 21
3. Una tabla se divide en dos partes, de tal forma que el trozo mayor corresponde a dos veces
la parte menor, más cinco unidades. Si la tabla mide 50 cm, ¿a cuánto es igual la
diferencia entre el trozo mayor y el menor respectivamente?
A) 15 cm
B) 20 cm
C) 25 cm
D) 30 cm
E) 35 cm
2

PROBLEMAS CON FRACCIONES
Son problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fracción de un número.
La fracción
a
b
de un número x se calcula multiplicando
a
b
por x.
EJEMPLOS
1. En un curso de 40 alumnos, la mitad escribe, un quinto calcula y el resto lee. ¿Cuántos
alumnos leen?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
2. Si Emilio gana $ B y gasta las dos quintas partes, ¿cuál de las siguientes expresiones
representa el ahorro de Emilio, en pesos?
A) B –
2
5
B)
2B
5
C) B :
2
5
B
D)
2B
2
E) B –
2
5
B
3. Julio compra un televisor a crédito en $ 3A, pagando un cuarto al contado y el resto en
nueve cuotas iguales. ¿Cuál es el valor de cada cuota?
A) $
9A
4
B) $
A
4
C) $
A
9
D) $
A
12
E) $
A
36
3

PROBLEMAS DE DÍGITOS
Un número está escrito en notación ampliada o desarrollada si se expresa x como la suma de
las cantidades que resulten de multiplicar cada dígito de dicho número por la potencia de diez
correspondiente a su posición (... centena, decena, unidad, décima, centésima ...)
abcde = a · 102
+ b · 101
+ c · 100
+ d · 10-1
+ e · 10-2
Para los problemas de dígitos debemos usar la notación ampliada, donde en el sistema decimal un
número de la forma xyz queda representado por x ⋅ 102
+ 101
y + z ⋅ 100
EJEMPLOS
1. El desarrollo de 324,65 en notación decimal posicional es
A) 3 · 102
+ 2 · 101
+ 4 · 100
+ 6 · 10-1
+ 5 · 10-1
B) 3 · 102
+ 2 · 101
+ 4 · 100
+ 6 · 10-2
+ 5 · 10-1
C) 3 · 102
+ 2 · 101
+ 4 · 100
+ 6 · 10-1
+ 5 · 10-2
D) 3 · 102
+ 2 · 101
+ 4 · 100
+ 6 · 10-1
+ 5
E) 3 · 102
+ 2 · 101
+ 4 · 100
+ 6 · 10-1
+ 5 · 0,02
2. Si x es un número de dos dígitos, en que el dígito de las unidades es a y el dígito de las
decenas es b, entonces el antecesor de x es
A) a + b – 1
B) 10a + b – 1
C) 10b + a – 1
D) 100b + 10a – 1
E) 10(b – 1) + a
3. Si los dígitos de un número de dos cifras suman 9 y el dígito de las decenas es x, entonces
el número es
A) 10x + 9
B) x + (9 – x)
C) 10(9 – x) + x
D) 10x + (9 – x)
E) 10x + 9x
4

PROBLEMAS DE EDADES
En estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras diferentes
indicando en una línea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas, presentes o futuras,
según corresponda:
Edad pasada
(hace b años)
Edad actual
Edad futura
(dentro de c años)
x – b x x + c
y – b y y + c
EJEMPLOS
1. La edad de una persona es 35 años. ¿Cuántos años tenía hace (6 – E) años?
A) 29 + E
B) 29 – E
C) -29 + E
D) 41 – E
E) 41 + E
2. El triple de la edad que yo tenía hace 2 años es el doble de la que tendré dentro de 6 años.
¿Qué edad tendré en dos años más?
A) 12 años
B) 14 años
C) 16 años
D) 18 años
E) 20 años
3. Carla tiene quince años más que Pedro. Hace cinco años la edad de Carla era dos veces la
edad que tenía Pedro. ¿Qué edad tendrá Carla en cinco años más?
A) 20 años
B) 25 años
C) 30 años
D) 35 años
E) 40 años
5

EJERCICIOS
1. Al escribir en lenguaje algebraico la diferencia entre el triple de a y el cuadrado de b resulta
A) 3a – b2
B) 3(a – b2
)
C) (3a – b)2
D) b2
– 3a
E) a3
– b2
2. El triple del cuadrado de k, es cinco unidades mayor que P, se expresa como
A) 3k2
– 5 = P
B) 3k2
+ 5 = P
C) (3k)2
+ 5 = P
D) 3(2k) – 5 = P
E) (3k)2
– 5 = P
3. El exceso de la edad de un Padre sobre la edad de su Hijo es de m años. Entonces, en p
años más la diferencia de sus edades, en años, será
A) m + p
B) p – m
C) m – p
D) p
E) m
4. Dos amigos deciden regalar a su Profesora una flor que tiene un valor de $ 750. Si uno de
ellos aporta el doble que el otro y sabiendo que el menor aporte fue $ x, entonces la
ecuación que representa tal situación es
A)
x
2
= 750 – x
B) -x = 750 + 2x
C) 2x = x – 750
D) 2x = 750 + x
E) 2x = 750 – x
6

5. Entre Carlos y Angélica recorrieron 1.700 metros. Si Carlos recorrió 150 metros más que
Angélica, ¿cuántos metros recorrió Carlos?
A) 925
B) 850
C) 800
D) 775
E) 750
6. Una persona gana $ a anuales y gasta $ b trimestrales, ¿cuánto logra ahorrar en un año?
A) a – b
B) a – 2b
C) a – 3b
D) a – 4b
E) a – 5b
7. Un pastelero vende
3
5
de una torta y reparte en partes iguales el resto entre sus ocho hijos.
¿Qué parte de la torta le tocó a cada hijo?
A)
1
5
B)
1
10
C)
1
20
D)
1
24
E)
1
30
8.
x x
+ 2 =
5 2
− 1
es la trascripción matemática de cuál(es) de los siguientes enunciados:
I) La mitad de un número disminuido en 1, excede en 2 a la quinta parte de
ese mismo número.
II) La quinta parte de un número, aumentada en 2, resulta ser la mitad del
número disminuido en 1.
III) La quinta parte de un número es 2 unidades menor que la mitad del número
disminuido en 1.
A) Sólo II
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) Sólo I, II y III
7

9. El enunciado: “A un número c se le resta su triple y este resultado se multiplica por el
cuadrado del doble de c”, se escribe
A) c – 3c · 2c2
B) c – 3c · (2c)2
C) (c – 3c) · (2c)2
D) (c – 3c) · 2c2
E) (c – 3) · (2c)2
10. Hace 4 años Ana tenía 6 y Camila b años. ¿Cuál será la suma de sus edades en b años más?
A) (14 + 3b) años
B) (14 + 2b) años
C) (14 + b) años
D) (10 + 3b) años
E) (6 + 3b) años
11. Un atleta lanza la bala en tres ocasiones obteniendo tres marcas distintas. En el primer
lanzamiento alcanzó a metros, en el segundos b metros más que en el primero y en tercero
c metros menos que en el segundo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
siempre verdadera(s)?
I) La distancia lograda en el primer lanzamiento es mayor que la alcanzada en
el tercero.
II) (b – c) metros representa la diferencia alcanzada entre el segundo y el tercer
lanzamiento.
III) (a + b – c) metros representa la marca del tercer lanzamiento.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) I, II y III
12. La señora Carmen compró 4 kilogramos de pan y 3 kilogramos de carne y pagó $ a. Si el
kilogramo de pan vale $ b, ¿cuánto cuesta el kilogramo de carne?
A) $ (a – 4b)
B) $
a 4b
3
−
C) $
+a 4b
3
D) $
a b
3
−
E) $ (a – b)
8

13. En un local de flores se vende claveles por unidades. Pedro y Jorge compran un ramo de
claveles cada uno; el ramo de Pedro tiene 9 claveles y le costó $ a. ¿Cuánto pagó Jorge por
su ramo si tiene 3 claveles más que el de Pedro?
A) $ 3a
B) $ 12a
C) $
a
3
D) $
3a
4
E) $
4a
3
14. Dos números pares consecutivos son tales que el triple del mayor excede en 6 al doble del
menor. ¿Cuál es la suma de los números?
A) 0
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
15. De una población de quelonios perece
2
7
del total más 9, sobreviviendo sólo
4
7
del total.
¿Cuántos quelonios murieron?
A) 18
B) 27
C) 36
D) 45
E) 63
16. Antonio pide un vaso de leche y le sirven sólo dos tercios de la capacidad del vaso. Si él
bebe sólo tres cuartos del contenido y quedan 40cc, ¿cuál es la capacidad del vaso?
A) 90 cc
B) 120 cc
C) 160 cc
D) 180 cc
E) 240 cc
9

17. De los x dulces que tiene Pedro, le regala la sexta parte a Carlos, y a Mario le regala
cuatro más que a Carlos, quedándose con ocho. ¿Cuál es la ecuación que permite
determinar el número x?
A)
2x
6
+ 4 = 8
B)
2x
6
+ 4 = x
C)
2x
6
+ 12 = x
D)
x
6
+ 12 = x
E)
x
6
+ 4 = 8
18. A y B llevan 15 años de matrimonio. La Sra. A siempre se rebaja la edad en 5 años y el
Sr. B es 5 años mayor que ella. Si el Sr. B tiene x años, ¿cuál será la edad de la Sra. A,
según ella, cuando cumplan 50 años de matrimonio?
A) (x – 5) años
B) (x + 25) años
C) (x + 30) años
D) (x + 35) años
E) (x + 40) años
19. En una prueba de 70 preguntas, Darío omite diez de ellas. Si la cuarta parte de las
preguntas que respondió correctamente es igual al número de las que respondió
incorrectamente, ¿cuántas preguntas respondió correctamente?
A) 12
B) 14
C) 45
D) 48
E) 56
20. Las Edades de Pedro, Juan y Diego suman 90 años. Pedro tiene 4 años más que Juan y
éste tiene 7 años más que Diego. ¿Cuántos años tiene Juan?
A) 24
B) 29
C) 30
D) 31
E) 35
10

11
21. La suma de tres números es 100. El exceso del primero sobre el tercero es 9 y la diferencia
del segundo con el tercero es 7. Entonces, la suma del mayor con el menor es
A) 63
B) 65
C) 66
D) 71
E) 72
22. El dígito de las unidades de un número de dos cifras es igual al antecesor del dígito de las
decenas. Si el dígito de las decenas es n, entonces el valor del antecesor del triple del
número es
A) 33n – 31
B) 33n – 6
C) 33n – 4
D) 33n – 3
E) 33n – 2
23. Un número de dos cifras disminuido en 35 resulta igual al doble del dígito x de las decenas.
Si la suma de los dígitos del número es igual a 7, ¿qué ecuación permite hallar este número?
A) [x + (7 – x)] – 35 = 2x
B) [10x + (7 – x)] – 35 = 20x
C) [10x + (x – 7)] – 35 = 2x
D) [10x + (7 – x)] – 35 = 2x
E) [10x + (7 – x)] – 35 = 2(7 – x)
24. Todos los alumnos de un curso se reparten los gastos de un paseo en partes iguales. Si
cada uno pone $ 2.500 faltan $ 24.000 para cancelar los gastos y si cada uno pone $ 4.000
sobran $ 12.000. Si todos los alumnos pagan su cuota, ¿cuánto es el gasto total?
A) $ 60.000
B) $ 80.000
C) $ 84.000
D) $ 87.000
E) $ 96.000

12
25. La edad de Fernando es la mitad de la de Juan. Hace tres años Fernando tenía un tercio de
la edad que tendrá Juan en nueve años más. ¿Cuánto será la suma de las edades en dos
años más?
A) 50 años
B) 52 años
C) 54 años
D) 56 años
E) 58 años
26. ¿Qué diferencia de edad tiene Pedro con su hijo?
(1) Pedro tiene el triple de la edad de su hijo.
(2) Hace 30 años Pedro tenía la edad actual de su hijo.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
27. En un avión viajan 140 pasajeros, de los cuáles 80 son extranjeros y el resto son chilenos.
¿Cuántas mujeres chilenas viajan en el avión?
(1) El número de hombres chilenos duplica el número de las mujeres chilenas.
(2) Del total de pasajeros, 105 son hombres.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
28. En cada día, de Lunes a Jueves, gané $ 600 más de lo que gané el día anterior. ¿Cuánto
gané el Miércoles?
(1) El Jueves gané el quíntuplo de lo que gané el Lunes.
(2) El Lunes gané $ 450.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola

29. En un curso faltaron a clases
2
5
de los alumnos. Se puede determinar el número de alumnos
del curso si:
(1) Asistieron 24 alumnos.
(2) Faltaron 16 alumnos.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
30. ¿Cuál es el valor de
a
b
?
(1)
1 3a 6a
a =
a 2 4b
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
(2) b =
b
a
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
13

RESPUESTAS
Ejemplos
Págs.
1 2 3
1
a. 2x h. x5
o. x – a = y o x = y + a
b. x2
i. a – b p. x + a = y o x = y – a
c. 3x j. b – a q. a ⋅ b
d. x3
k. a – b r. x ⋅ a
e. 4x l.
a b
2
+
s.
a
b
f. x4
m. x + a
g. 5x n. x – a
C
2 A C B
3 D E B
4 C C D
5 A E E
CLAVES PÁG. 6
1. A 11. C 21. B
2. A 12. B 22. C
3. E 13. E 23. D
4. E 14. B 24. C
5. A 15. B 25. E
6. D 16. E 26. B
7. C 17. C 27. A
8. E 18. B 28. D
9. C 19. D 29. D
10. A 20. D 30. A
DSIMA09
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