Ma 17 2007
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Este documento presenta información sobre perímetros y áreas de diferentes figuras geométricas planas como cuadrados, rectángulos, rombos, trapecios, triángulos y círculos. Define fórmulas para calcular el perímetro y área de cada figura. Luego, proporciona ejemplos resueltos de problemas que involucran el cálculo de perímetros y áreas usando dichas fórmulas. Finalmente, presenta algunos teoremas como el de Pitágoras y conceptos como figuras equivalentes.
Ma 17 2007
- 1. C u r s o : Matemática Material N° 17 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 14 UNIDAD: GEOMETRÍA PERÍMETROS Y ÁREAS Perímetro de un polígono, es la suma de las longitudes de todos sus lados. El perímetro se denotará por p y el semiperímetro por s. Área es la medida que le corresponde a toda la región poligonal. El área se denotará por Á. Área base por la altura Nombre Figura Perímetro Área Cuadrado 4a a2 2 d 2 Rectángulo 2a + 2b a ⋅ b Rombo 4a h · a Romboide 2a + 2b a · h1 = b · h2 Triángulo a + b + c a b b ha h c h 2 2 2 ⋅ c⋅ ⋅ = = Trapecio a + b + c + d a c h 2 +⎛ ⎞ ⋅⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Circunferencia y Círculo Dπ = 2πr πr2 Sector circular AB + 2r con AB = 2 r 360º α π⋅ 2 r 360º α π⋅O A B α Área base por la altura dividido por dos a a a a a a b b h a d b c a a a a O r A B C ab c ha hc hb h d bb a a h1 h2
- 2. EJEMPLOS 1. Si el área de un cuadrado es 144 cm2 , entonces su perímetro mide A) 12 cm B) 36 cm C) 48 cm D) 81 cm E) 288 cm 2. Si el perímetro del rectángulo ABCD de la figura 1, es 8a + 8b y BC = 2a + 3b, entonces DC es D C 2 A) a + 2b B) 2a + b C) 4a + 6b fig. 1 A fig. 1 D) 4a + 2b B E) 6a + 5b 3. Si en el rombo ABCD de la figura 2, AB = 10 cm y DE= 7 cm, su área es D CA) 140 cm2 B) 70 cm2 C) 40 cm2 D) 35 cm2 E B fig. 2E) ninguno de los valores anteriores A 4. En la figura 3, el triángulo ABC es isósceles de base AB . Si CD = 12 cm y AD = 5 cm, entonces su área es C A) 15 cm2 B) 30 cm2 C) 40 cm2 D) 60 cm2 fig. 3 E) 120 cm2 D BA 5. En la figura 4, ABCD es un trapecio rectángulo. Si DC = 10 cm, AD = 12 cm y AB = 15 cm, entonces el perímetro y el área son, respectivamente, D C A) 37 cm y 120 cm2 fig. 4 B) 50 cm y 150 cm2 C) 50 cm y 180 cm2 D) 90 cm y 300 cm2 E) 150 cm y 600 cm2 BA 6. En la figura 5, se tiene dos circunferencias concéntricas de centro O. Si OB = 6 cm y AB = 4 cm, entonces el área de la región achurada es B A • O A) 2π cm2 B) 8π cm2 C) 16π cm2 fig. 5D) 32π cm2 E) 64π cm2
- 3. TEOREMA DE PITÁGORAS En todo triángulo rectángulo, la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre sus catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre su hipotenusa. a a 2 a Triángulos Notables 60º 2a a 3 a Ternas pitagóricas 3 4 5 5 12 13 a b c a2 + b2 = c2 c2 b2 a2 EJEMPLOS 1. La suma de todos los trazos de la figura 1, es 8 3k 4k 17 A) 46 B) 49 C) 54 fig. 1D) 61 E) 64 2. En el triángulo rectángulo ABC de la figura 2, se sabe que AB = 10 y CB = 5. Entonces, ¿cuál es el área del triángulo? C A) 25 B) 25 3 fig. 2 C) 25 3 2 D) 25 5 2 A B E) 50 3 3. En el triángulo rectángulo ABC de la figura 3, se tiene que AD = BD = 3. Entonces, AC + BC = C BDA A) 6 B) 9 fig. 3 C) 6 2 D) 12 2 E) 6 + 6 2 3
- 4. FIGURAS EQUIVALENTES Son aquellas que tienen igual área. En todo triángulo: Cada transversal de gravedad lo divide en dos triángulos equivalentes. Las tres transversales lo dividen en seis triángulos equivalentes. A1 A2 A B C D D es el punto medio de BC A1 = A2 D, E, F puntos medios A1 = A2 = A3 = A4 = A5 = A6 D C EA4 A3 A2 F G A5 A1 A6 BA EJEMPLOS 1. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 1, CD es transversal de gravedad. Si AB = 10 cm y AC = 6 cm, ¿cuánto es el área del triángulo DBC? A) 12 cm2 B) 15 cm2 C) 20 cm2 D) 24 cm2 E) 48 cm2 BD C A fig. 1 2. En el triángulo equilátero ABC de la figura 2, DE , EF y FD son medianas. Si AC = 20 cm, ¿cuánto es el área del trapecio ABEF? CA) 150 3 cm2 B E D F A B) 100 3 cm2 fig. 2 C) 75 3 cm2 D) 25 3 cm2 E) 150 3 4 cm2 4
- 5. EJERCICIOS 1. El perímetro de la figura 1, es 3 cm A) 15 cm 12 cm 4 cm B) 19 cm C) 32 cm D) 37 cm fig. 1 E) 47 cm 2. La longitud de AB , en la figura 2, es D 1 cm 1 cm 1 cm C E A B1 cm A) 26 cm B) 10 cm fig. 2 C) 6 cm D) 4 cm E) 6 cm 3. En la figura 3, el perímetro del rectángulo ABCD es 22 cm y EBCF es un cuadrado de área 9 cm2 . ¿Cuánto mide el área del rectángulo AEFD? D F CA) 15 cm2 B) 16 cm2 C) 18 cm2 D) 24 cm2 fig. 3 E) 33 cm2 A E B 4. En la figura 4, el cuadrado DEFG tiene igual área que el rectángulo ABCD de lados 3 cm y 12 cm. ¿Cuál es la medida de GB ? FG 3 cm C E D BA A) 54 cm B) 36 cm C) 12 2 cm D) 20 cm E) 15 cm fig. 4 12 cm 5
- 6. 5. La figura 5, está formada por tres cuadrados congruentes. Si cada uno de los triángulos achurados tiene un área de 10 mm2 , ¿cuál es el área total de la figura? A) 30 mm2 B) 40 mm2 C) 45 mm2 D) 60 mm2 E) 90 mm2 fig. 5 6. En el rectángulo ABCD de la figura 6, AB = 4 cm y BC = 3 cm. Si en cada esquina hay un cuadrado de lado 2a cm, ¿cuánto es el área achurada? A D CA) ( ) cm2 12 2a− 2 B) ( ) cm2 12 4a− 2 C) ( ) cm2 12 8a− 2 D) ( ) cm2 12 32a− 2 fig. 6 E) ( ) cm2 12 16a− 2 B 7. El cuadrado ABCD de la figura 7, está dividido en cuatro rectángulos congruentes. Si cada uno de los rectángulos tiene un perímetro de 20 cm, ¿cuánto es el área del cuadrado? A) 32 cm2 D CB) 48 cm2 C) 64 cm2 D) 80 cm2 E) 144 cm2 fig. 7 A B 6
- 7. 8. En el cuadrado ABCD que muestra la figura 8 se ha dibujado un triángulo equilátero ABE de altura 4 3 cm. Entonces, el perímetro del cuadrado es D E C A) 64 cm B) 32 cm C) 24 cm fig. 8 D) 16 cm E) 12 cm BA 9. ABCD es un cuadrado que tiene un perímetro de 48 cm (fig. 9). Si AE = 13 cm, ¿cuál es el área del trapecio ABCE ? 7 A) 30 cm2 B) 44 cm2 C) 84 cm2 CED D) 114 cm2 E) 144 cm2 fig. 9 A B 10. La figura 10, muestra cuatro triángulos rectángulos escalenos congruentes entre sí. Si se unen como piezas de un puzzle, ¿cuál(es) de las siguientes figuras siempre es(son) posible(s) formar? I) Un rectángulo. II) Un rombo. III) Un cuadrado. fig. 10 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III
- 8. 11. Si en un cuadrado de lado b, cada lado aumenta en 2 unidades, entonces el perímetro A) aumenta en 4b + 8 unidades B) aumenta en 4b + 4 unidades C) aumenta en 2 unidades D) aumenta en 4 unidades E) aumenta en 8 unidades 12. En la figura 11, el cuadrado PQRS está formado por el rectángulo A y por los triángulos isósceles rectángulos congruentes B, C, D y E. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones corresponde(n) a un área equivalente a las tres cuartas partes del área del cuadrado? S R I) A + B + C 8 II) 2(B + C + D + E) III) A 2 + 2D + 2E A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III A E D C B A fig. 11 D) I, II y III P QE) Ninguna de ellas 13. La figura 12 está formada por cuatro rectángulos congruentes. Si c = 1 d 3 , entonces el perímetro de la figura achurada es igual a c d A) 7d B) 8c + 4d fig. 12C) 10c + 10d D) 6c + d E) 22c
- 9. 14. En el triángulo equilátero ABC de lado 16 cm de la figura 13, se trazan las medianas. Si en el triángulo resultante se trazan nuevamente las medianas, ¿cuánto es el área del trapecio achurado? 9 A) 48 3 cm2 B) 24 3 cm2 C) 16 3 cm2 D) 12 3 cm2 E) 4 3 cm2 15. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 14, AD y CE son transversales de gravedad. Si AC = 15 cm y CB = 8 cm, el área del triángulo EBD es A) 7,5 cm2 B) 15 cm2 C) 30 cm2 D) 10 cm2 E) 5 cm2 16. Las siguientes figuras están construidas a partir de un cuadrado de lado a (a > 9). ¿En cuál(es) de ellas se verifica que el área sombreada es a2 – 9? I) II) III) fig. 13 A BD A E C D B fig. 14 a - 1 9 a a a a - 4 1a 3 3 a F E C a a - 3 A) Sólo en I B) Sólo en I y en II C) Sólo en I y en III D) Sólo en II y en III E) En I, en II y en III
- 10. 17. La diagonal del cuadrado ABCD (fig. 15), mide 12 2 , y la del rectángulo PQRS mide 4 5 . Si DP = PQ = QC , ¿cuál es el perímetro de la figura? RS QP CD A) 58 B) 64 C) 70 D) 72 E) 74 fig. 15 A B 18. ABCD es un cuadrado de lado 4 2 cm y M, N, P, Q son puntos medios de sus lados (fig. 16). ¿Cuánto mide el perímetro del rectángulo MNRS? QD M B P R C S A) 16 cm B) 18 cm C) 20 cm D) 22 cm E) 24 cm fig. 16 A N 19. Si el lado del hexágono regular ABCDEF de la figura 17, mide 3 cm, ¿cuánto mide su área? E D A) 9 3 2 cm2 BA CF B) 3 3 4 cm2 C) 3 3 2 cm2 fig. 17 D) 9 3 cm2 E) 6 3 cm2 10
- 11. 20. Un atleta corre alrededor de una pista circular. Al dar tres vueltas y media a la pista ha recorrido 2.100 metros. Considerando π = 3 , ¿cuánto mide el radio de la pista? A) 60 m B) 75 m C) 100 m D) 125 m E) 150 m 21. En la figura 18, AB , AO y OB son semicircunferencias. Si AO = OB , entonces ¿cuál es el área de la región achurada? 11 A) 8π cm2 B) 16π cm2 C) 32π cm2 D) 38π cm2 OA 8 cm fig. 18 B E) 64π cm2 22. En la figura 19, el perímetro de la circunferencia de centro O es 10 π cm y BP = 8 cm. Si PC y PA son tangentes en C y A respectivamente, ¿cuánto es el perímetro del cuadrilátero APCO? A O P• B C A) 30 cm B) 34 cm C) 36 cm D) 47 cm E) 60 cm fig. 19 23. En la circunferencia de la figura 20, el radio mide 12 cm. ¿Cuál es la longitud del arco CD? D C 60º A) 4π cm B) 8π cm C) 12π cm D) 24π cm fig. 20E) 48π cm
- 12. 24. En la figura 21, las tres circunferencias son concéntricas, con centro en O. Si OA = AB = BC = 2 cm, entonces el área de la región achurada es B C O A 60º A) 6π cm2 B) 4π cm2 C) 3π cm2 fig. 21 D) 2π cm2 E) π cm2 25. En el triángulo ABC isósceles rectángulo en B de la figura 22, BC = 2 cm y O es el centro de la semicircunferencia inscrita. ¿Cuánto mide el diámetro de la semicircunferencia? C A) ( )4 2 4− cm fig. 22 A B O•O• B) ( )4 2 4+ cm C) ( )4 3 4− cm D) ( )2 2 2+ cm E) ( )2 2 2− cm 26. En el triángulo ABC de la figura 23, AC = CB y CD ⊥ AB . El perímetro del ∆ADC se puede determinar si: (1) AC = 10 cm y AB = 12 cm fig. 23 D C BA (2) CD = 8 cm y AD = DB = 6 cm A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 12
- 13. 27. Se puede calcular el área del rombo de la figura 24, si: (1) AC = 8 cm y BC = 5 cm (2) DB = 6 cm y el perímetro del rombo ABCD mide 20 cm. C A B DA) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) fig. 24 E) Se requiere información adicional 28. Se puede calcular el área del hexágono ABCDEF de la figura 25, si (1) Se conoce el perímetro del hexágono. E D (2) ABCDEF es hexágono regular. F A B C A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) fig. 25 E) Se requiere información adicional 29. La figura 26, muestra una circunferencia de centro O y un trapecio isósceles OABC. Se puede calcular el área de la región achurada si: (1) COD = 60º y CB = 6 cm A C B DO (2) D punto medio de OA y OC = CB . fig. 26 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 13
- 14. 30. G es un punto cualquiera del interior del rectángulo ABCD de la figura 27. Se puede saber cuál es el área de la región achurada si: (1) El perímetro del rectángulo ABCD mide 18 cm. (2) El área del rectángulo ABCD mide 18 cm2 . G D C A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) fig. 27 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional A B RESPUESTAS Ejemplos Págs. 1 2 3 4 5 6 2 C B B D B C 3 D C C 4 A C 1. C 7. C 13. E 19. A 25. A 2. D 8. B 14. D 20. C 26. D 3. A 9. D 15. B 21. C 27. D 4. E 10. D 16. E 22. B 28. C 5. D 11. E 17. B 23. B 29. C 6. E 12. C 18. C 24. A 30. B CLAVES PÁG. 5 DSIMA17 Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://clases.e-pedrodevaldivia.cl/ 14