2011 minitab-15

Dra. Josefa Marín Fernández
Departamento de Estadística e Investigación Operativa
Facultad de Matemáticas. Universidad de Murcia

Manual de MINITAB 15
(con aplicaciones a las
Ciencias de la Documentación)

Murcia, 2011

Contenidos

1. Introducción a Minitab 7
1.1. Elementos de Minitab para Windows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Barra de menús . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Entrada de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4. Grabación de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5. Lectura de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6. Opciones principales del menú Calc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.1. Operaciones por filas mediante la opción Calc⇒Calculator . . . . . . . . . 11
1.6.2. Operaciones por columnas mediante la opción Calc⇒Column Statistics . . . 12
1.6.3. Operaciones por filas mediante la opción Calc⇒Row Statistics . . . . . . . 14
1.6.4. Tipificación de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.5. Creación de datos por patrón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.6. Creación de resultados aleatorios de una distribución conocida . . . . . . . . 15
1.7. Opciones principales del menú Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7.1. Apilamiento de columnas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7.2. Desapilamiento de columnas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7.3. Ordenación de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7.4. Codificación o clasificación de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8. Algo más sobre la ventana Session . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9. Algo más sobre la ventana Proyect Manager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.10. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Estadística descriptiva 21
2.1. Distribución de frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Estadística descriptiva con la opción Stat ⇒Basic Statistics ⇒Display Descriptive
Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Representaciones gráficas con la opción Stat ⇒Basic Statistics ⇒Display Descrip-
tive Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4. Representaciones gráficas con la opción Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3

4 Contenidos

2.4.1. Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.2. Diagrama de sectores o de pastel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.3. Diagrama de barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.3.1. Diagrama de barras simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.3.2. Diagrama de barras agrupado (o apilado) . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.4. Diagramas bivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.4.1. Diagrama de dispersión o nube de puntos . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.4.2. Representación gráﬁca de una función y=f(x) . . . . . . . . . . . . 29
2.5. Correlación y regresión lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3. Variables aleatorias 35
3.1. Muestras aleatorias de las distribuciones usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Función de densidad y función de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3. Función de distribución (probabilidad acumulada) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4. Inversa de la función de distribución (percentiles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4. Contrastes no paramétricos en una población 43
4.1. Contraste de aleatoriedad de la muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2. Contrastes de Normalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3. Contraste chi-cuadrado sobre independencia de dos variables aleatorias . . . . . . . 44
4.3.1. Datos en una tabla de doble entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3.2. Datos en dos (o tres) columnas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5. Contrastes paramétricos en una población 51
5.1. Contrastes sobre la media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.1.1. Contraste sobre la media cuando la desviación típica poblacional es conocida 51
5.1.2. Contraste sobre la media cuando la desviación típica poblacional es desconocida 53
5.2. Contrastes sobre la varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3. Contrastes sobre la proporción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6. Contrastes paramétricos en dos poblaciones 59
6.1. Comparación de dos varianzas con muestras independientes . . . . . . . . . . . . . 59
6.2. Comparación de dos medias con muestras independientes . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2.1. Comparación de dos medias con muestras independientes y varianzas pobla-
cionales desconocidas pero iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2.2. Comparación de dos medias con muestras independientes y varianzas pobla-
cionales desconocidas y distintas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.3. Comparación de dos medias con muestras apareadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Contenidos 5

6.4. Comparación de dos proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7. Contrastes no paramétricos en dos o más poblaciones 73
7.1. Contraste de homogeneidad con dos o más muestras independientes (Kruskal-Wallis) 73
7.2. Contraste de homogeneidad con dos o más muestras apareadas (Friedman) . . . . . . 74
7.3. Contraste chi-cuadrado sobre homogeneidad de dos o más poblaciones . . . . . . . . 75

1
Introducción a Minitab

1.1. Elementos de Minitab para Windows
Al ejecutar Minitab 15 aparece la pantalla de la Figura 1.
Como en cualquier otra aplicación Windows, esta pantalla inicial puede modificarse en cuanto al
tamaño y a la disposición de sus elementos. Se trata de una ventana típica de una aplicación Windows
que, de arriba a abajo, consta de los siguientes elementos:

En la primera línea aparece la barra de título con el nombre de la ventana y los botones de
minimizar, maximizar y cerrar.
En la segunda línea está la barra de menús con los 10 menús que luego comentaremos.
Las líneas tercera y cuarta conforman la barra de herramientas donde, mediante botones con ico-
nos, se representan algunas de las operaciones más habituales. Si pasamos el puntero del ratón
por cualquiera de ellos, aparecerá en la pantalla un texto indicando la función que se activa.
Después aparece la ventana de sesión (Session). Es la parte donde aparecen los resultados de los
análisis realizados. También sirve para escribir instrucciones, como forma alternativa al uso de
los menús.
A continuación tenemos la hoja de datos (Worksheet). Tiene el aspecto de una hoja de cálculo, con
filas y columnas. Las columnas se denominan C1, C2, . . ., tal como está escrito, pero también
se les puede dar un nombre, escribiéndolo debajo de C1, C2, . . . Cada columna es una variable
y cada fila corresponde a una observación o caso.
En la parte inferior aparece (minimizada) la ventana de proyecto (Proyect Manager). En Minitab
un proyecto incluye la hoja de datos, el contenido de la ventana de sesión, los gráficos que se
hayan realizado, los valores de las constantes y de las matrices que se hayan creado, etc.

Para activar la ventana de sesión (Session) podemos hacer clic sobre ella o podemos hacer clic
sobre su icono en la barra de herramientas (primer icono de la Figura 2). Para activar la hoja de
datos (Worksheet) podemos hacer clic sobre ella o podemos hacer clic sobre su icono en la barra de

7

8 Dra. Josefa Marín Fernández

Figura 1: Pantalla inicial de Minitab 15

herramientas (segundo icono de la Figura 2). Para activar la ventana de proyecto (Proyect Manager)
podemos maximizarla o podemos hacer clic sobre su icono en la barra de herramientas (tercer icono
de la Figura 2).

Figura 2: Iconos para activar las ventanas de sesión, de datos o de proyecto

1.2. Barra de menús
A continuación se da un resumen de lo que se puede encontrar en la barra de menús:

File: Mediante este menú se pueden abrir, crear o grabar los diferentes archivos que Minitab emplea,
ya sean de datos, instrucciones, resultados o procesos. Igualmente, es posible controlar las tareas
de impresión.
Edit: Permite realizar las tareas habituales de edición: modiﬁcar, borrar, copiar, pegar, seleccionar,
etc.

Manual de MINITAB 15 (con aplicaciones a las Ciencias de la Documentación) 9

Data: Este menú permite, entre otras cosas, efectuar modificaciones en los archivos de datos: extraer
un subconjunto de datos, apilar y desapilar, ordenar, codificar, etc.
Calc: Aquí se encuentran todas las opciones relativas a la modificación y generación de nuevas varia-
bles, cálculo de los estadísticos, introducción de datos por patrón, cálculo de las distribuciones
de probabilidad, etc.
Stat: Mediante este menú se accede a los diferentes análisis estadísticos que se pueden realizar con
los datos.
Graph: Permite la creación y edición de diversos tipos de gráficos. Algunos de ellos son también
accesibles a través de determinadas técnicas estadísticas.
Editor: Tiene distintas opciones según esté activada la ventana de sesión o la hoja de datos. Con
la ventana de sesión activada permite, por ejemplo, que se pueda escribir en dicha ventana en
lenguaje de comandos.
Tools: Entre otras cosas, permite personificar la barra de herramientas y la barra de menús.
Windows: Dispone de las funciones habituales para controlar las ventanas.
Help: Proporciona ayuda al usuario en el formato típico de Windows.

Para salir del programa se selecciona la opción File ⇒Exit o se pulsa el botón de la esquina superior
derecha: × .

1.3. Entrada de datos
Antes de realizar ningún análisis estadístico es necesario tener un conjunto de datos en uso, para
lo cual podemos proceder de cuatro formas:

Escribirlos a través del teclado.
Obtenerlos desde un archivo.
Pegarlos.
Generarlos por patrón o de forma aleatoria.

Para introducir datos a través del teclado, activamos, en primer lugar, la ventana de datos. En la
parte superior aparece C1, C2, C3, . . . y debajo un espacio en blanco para poner el nombre de cada
variable. La flechita del extremo superior izquierdo de la hoja de
£ £
datos señala hacia dónde se mueve
el cursor al pulsar la tecla ¢ ↓;
Intro ¡ Por defecto apunta hacia abajo, ¢ ¡ si se hace clic sobre ella, apuntará
.
£
→.
hacia la derecha, ¢ ¡ Para escribir datos por columna no hay más que situarse en la casilla del caso 1,
£
teclear el dato y pulsar la tecla ¢ Intro ¡ La casilla activa se moverá hacia abajo. Si tecleamos datos que
.
no son numéricos podemos observar que junto a CJ aparece un guión y la letra T (es decir, CJ − T ),
lo que significa que Minitab reconoce que la variable es cualitativa (o de texto).
Por ejemplo, podemos introducir los datos de la Figura 3, correspondientes a las calificaciones de
una muestra de 8 alumnos en un determinado examen y el tiempo empleado en realizar dicho examen.

Si el nombre de la variable (columna) no es suficientemente explicativo, podemos escribir una
descripción de la variable para poder consultarla en cualquier momento. Para ello, hacemos clic sobre


Figura 3: Ejemplo para introducir datos a través del teclado

el nombre de la variable (o sobre su número de columna: CJ); pulsamos con el botón derecho del
ratón y seleccionamos Column⇒Description.
Para cambiar el formato de una variable (columna) numérica, hacemos clic sobre el nombre de la
variable (o sobre su número de columna: CJ); pulsamos con el botón derecho del ratón y selecciona-
mos Format Column⇒Numeric. Esta opción es importante, por ejemplo, para cambiar el número de
decimales que se muestran en la hoja de datos.
Una hoja de datos puede contener hasta 4 000 columnas, 1 000 constantes y hasta 10 000 000 de
ﬁlas, dependiendo de la memoria que tenga el ordenador.

1.4. Grabación de datos
Una vez introducidos los datos, éstos pueden guardarse en un archivo para poder ser utilizados en
cualquier otro momento.
Para guardar únicamente la hoja de datos hay que seleccionar File⇒Save Current Worksheet As (si
vamos a grabar el archivo de datos por primera vez y, por tanto, vamos a ponerle un nombre a dicho
archivo) ó File⇒Save Current Worksheet (si el archivo de datos ya tiene nombre pero queremos guardar
los últimos cambios realizados). Por ejemplo, podemos guardar los datos de la Figura 3 en un archivo
que denominaremos Notas_Tiempo.mtw. Para ello, elegimos la opción File⇒Save Current Worksheet As;
en Guardar en seleccionamos la carpeta en la que vamos a grabar esta hoja de datos; en Nombre escribi-
mos Notas_Tiempo (Minitab le asigna automáticamente la extensión .mtw) y, por último, pulsamos en
Guardar.
Si queremos grabar toda la información (la hoja de datos, el contenido de la ventana de sesión, los
gráﬁcos que se hayan realizado, los valores de las constantes y de las matrices que se hayan creado,
etc.) usaremos la opción File⇒Save Project As (si vamos a grabar el proyecto de Minitab por primera
vez y, por tanto, vamos a ponerle un nombre a dicho archivo) ó File⇒Save Project (si el proyecto ya
tiene nombre pero queremos guardar los últimos cambios realizados). Es muy importante diferenciar
entre archivos de datos (.mtw) y archivos de proyectos (.mpj).
También se puede guardar solamente la ventana de sesión. Para ello, la activamos y seleccionamos
la opción File⇒Save Session Windows As.


1.5. Lectura de datos
Un archivo sólo puede ser recuperado de la forma en que fue grabado. Si se ha grabado como hoja
de datos (.mtw) se recupera con la opción File⇒Open Worksheet. Si se ha grabado como proyecto de
Minitab (.mpj) se recupera con la opción File⇒Open Proyect.
Normalmente los archivos de datos de Minitab 15 se encuentran en C:Archivos de programaMinitab
15EnglishSample Data y, como ya sabemos, llevan la extensión .mtw.
Por ejemplo, podemos abrir el archivo de datos Pulse.mtw. Su contenido fue recogido en una clase
de 92 alumnos. De cada estudiante se observó su pulso antes de correr, Pulse1; su pulso después de
correr, Pulse2; si corrió o no, Ran (1=Sí corrió, 2=No corrió); si es fumador o no, Smokes (1=Sí fuma,
2=No fuma); el sexo, Sex (1=Hombre, 2=Mujer); su altura en pulgadas, Height; su peso en libras,
Weight; y su nivel de actividad física, Activity (0=Ninguna actividad física, 1=Baja, 2=Media, 3=Alta).
Se puede encontrar más información de este archivo de datos con la opción Help⇒Help⇒Indice. Bajo
la frase Escriba la palabra clave a buscar se teclea Pulse.mtw y después se hace clic en Mostrar o se hace
doble clic sobre el nombre de dicho archivo.
Con la opción File⇒Open Worksheet se pueden leer otros tipos de archivos de datos, como hojas
de cálculo de Excel, Lotus 1-2-3, dBase, etc. Para tener información más detallada sobre el tipo de
archivos que se pueden leer, se puede seleccionar File⇒Open Worksheet y, en el cuadro de diálogo
resultante, se hace clic sobre Ayuda.

1.6. Opciones principales del menú Calc
Si queremos que en la ventana de sesión (Session) aparezcan los comandos que va a utilizar Minitab
en las opciones que vamos a explicar en los siguientes apartados, activamos la ventana de sesión y
luego seleccionamos Editor⇒Enable Commands.

1.6.1. Operaciones por filas mediante la opción Calc⇒Calculator
En este apartado vamos a ver el modo de generar nuevas variables mediante transformaciones
efectuadas sobre los valores de las variables ya definidas.
Para practicar esta opción tendremos abierto el archivo de datos Pulse.mtw.
En la Tabla 4 se encuentran recogidos los operadores aritméticos, relacionales y lógicos que están
permitidos. Tanto las expresiones aritméticas como las lógicas se evalúan de izquierda a derecha.
Todas las expresiones entre paréntesis se evalúan antes que las que están fuera de los paréntesis y ante
varios operadores en el mismo nivel, el orden de preferencia (de mayor a menor) es el que figura en
la Tabla 4 (de arriba hacia abajo).
Para construir una nueva variable mediante transformaciones de otras ya existentes, se tiene que
elegir la opción Calc ⇒Calculator, con lo que se abre una ventana que tiene cinco partes fundamentales:
arriba a la derecha está el lugar para escribir el nombre de la nueva variable (Store result in variable), a
la izquierda aparece la lista de variables y constantes existentes, a la derecha está el lugar destinado a
la definición de la nueva variable (Expression), debajo hay una calculadora y la lista de funciones que
se pueden utilizar (Functions).
En primer lugar se asigna un nombre a la variable que queremos generar, escribiendo el mismo en
el cuadro Store result in variable. Normalmente se va a tratar de una variable nueva, pero también cabe


() Paréntesis < Menor que
∗∗ Exponenciación > Mayor que
∗ Multiplicación <= Menor o igual que
/ División >= Mayor o igual que AND Operador Y
+ Suma = Igual que OR Operador O
− Resta <> No igual que NOT Operador NO
(a) Operadores aritméticos (b) Operadores relacionales (c) Operadores lógicos

Tabla 4: Operaciones aritméticas, relacionales y lógicas

la posibilidad de especificar una de las ya existentes. En tal caso la modificación consistirá en sustituir
los valores antiguos de la variable con los nuevos resultantes de la transformación numérica que se
efectúe.
Una vez que se ha asignado el nombre a la variable, el siguiente paso es definir la expresión que va
a permitir calcular los valores de la misma. Tal expresión se escribe en el cuadro Expression y puede
constar de los siguientes elementos: nombres de variables del archivo original, constantes, operadores
y funciones. Para escribir dicha expresión, se puede teclear directamente pero es recomendable em-
plear la calculadora, la lista de variables y constantes y la lista de funciones (haciendo clic dentro
del recuadro Expression y haciendo doble clic sobre la variable, sobre la constante o sobre la función).
Una vez que hemos terminado de escribir la expresión, pulsamos en OK.
Por ejemplo, del archivo de datos Pulse.mtw vamos a calcular la media geométrica de las variables
Pulse1 y Pulse2 (raíz cuadrada del producto de ambas variables; es decir, producto de ambas variables
elevado a 1/2). Para ello, seleccionamos la opción Calc⇒Calculator; en Store result in variable tenemos
que teclear la posición de la columna que contendrá los resultados (una columna, CJ, que esté vacía)
o el nombre que queremos darle a dicha columna.
En este cuadro de diálogo (en realidad, en todos los cuadros de diálogo de Minitab), cuando haya
que escribir el nombre de una nueva variable (columna) y el nombre contenga espacios en blanco,
guiones, paréntesis, etc., entonces hay que escribirlo entre comillas simples. La comilla simple
suele estar en la misma tecla que el símbolo de cerrar interrogación.
En nuestro ejemplo, junto a Store result in variable vamos a teclear ‘Media geométrica Pulse1 Pulse2’.
En Expression tenemos que colocar (utilizando, como hemos dicho, la calculadora y la lista de va-
riables) la operación que se realiza para determinar la media geométrica indicada: (‘Pulse1’ *
‘Pulse2’)**(1 / 2). Por último, pulsamos en OK.

1.6.2. Operaciones por columnas mediante la opción Calc⇒Column
Statistics
La opción Calc⇒Column Statistics calcula, para una columna (variable), uno de los estadísticos
siguientes:

n
Sum suma xi
i=1


n
xi
i=1
Mean media aritmética x=
n
n
(xi − x)2
i=1
Standard deviation desviación típica corregida S=
n−1
Minimum mínimo dato xmin
Maximum máximo dato xmax
Range recorrido total R = xmax − xmin
Median mediana=valor que deja por debajo de él el 50 % de los datos
n
Sum of squares suma de cuadrados x2
i
i=1

N total número total de casos=N nonmissing+N missing
N nonmissing número de casos para los cuales sabemos el resultado de la variable = n
N missing número de casos para los cuales no sabemos el resultado de la variable

El resultado del estadístico calculado se puede almacenar (opcionalmente) en una constante, si lo
indicamos en Store result in.
Por ejemplo, del archivo de datos Pulse.mtw vamos a determinar la desviación típica corregida de
los datos de la columna Height y vamos a guardar el resultado en una constante que vamos a denominar
desv-Altura. Para ello, seleccionamos Calc⇒Column Statistics; activamos la opción Standard deviation;
hacemos clic en el recuadro que hay a la derecha de Input variable y seleccionamos (haciendo doble
clic sobre su nombre) la columna Height; en Store result in tecleamos ‘desv-Altura’ (con comillas simples,
al principio y al ﬁnal, por llevar guiones) y pulsamos en OK. Minitab guarda esta constante también
como K1 (o, en general, KJ, con J = 1, 2, 3, . . .). Esta constante se puede consultar, en cualquier
momento, en la ventana Proyect Manager (concretamente, en WorksheetsPulse.mtwConstants) y puede
ser utilizada en cálculos posteriores.
£
Importante ¡ No
¢ es posible cambiar el número de decimales de los resultados que aparecen en la ventana
de sesión. Hay una forma de aumentar el número de decimales de un resultado
solamente en el caso en que sea posible almacenar dicho resultado en una constante; es decir,
si en el cuadro de diálogo en el cual estamos solicitando a Minitab que calcule dicho resultado
aparece la opción de guardar el resultado. Si, por ejemplo, tenemos guardado un resultado en
la constante K1 y queremos tener una precisión de 6 decimales, hacemos lo siguiente: selec-
cionamos Data⇒Copy⇒Constants to Column; hacemos clic en el recuadro que hay debajo de
Copy from constants y seleccionamos (haciendo doble clic sobre su nombre) la constante K1;
en In current worksheet, in column tenemos que teclear la posición de la columna que contendrá
el resultado (una columna, CJ, que esté vacía) o el nombre que queremos darle a dicha columna.


Recordemos que si el nombre contiene espacios en blanco, guiones, paréntesis, etc., hay que
escribirlo entre comillas simples. Si hemos puesto un nombre a esta columna, desactivamos Na-
me the column containing the copied data. Por último, pulsamos en OK. Una vez que tenemos la
constante K1 copiada en una columna, podemos cambiar su formato como hemos visto ante-
riormente: hacemos clic sobre el nombre de la variable (o sobre su número de columna: CJ);
pulsamos con el botón derecho del ratón; seleccionamos Format Column⇒Numeric; activamos
Fixed decimal; en Decimal places tecleamos 6 y pulsamos en OK.

1.6.3. Operaciones por filas mediante la opción Calc⇒Row Statistics
La opción Calc⇒Row Statistics calcula los mismos estadísticos del apartado anterior, pero por filas,
en vez de por columnas. En este caso, a diferencia del anterior, es totalmente necesario rellenar el
recuadro Store result in ya que los resultados forman una nueva variable o columna.
Por ejemplo, del archivo de datos Pulse.mtw vamos a hallar la media aritmética (por filas) de la
variables Pulse1 y Pulse2 y guardar los resultados en una nueva columna (variable) que denominaremos
Media aritmética Pulse1 Pulse2. Para ello, seleccionamos Calc⇒Row Statistics; activamos la opción Mean;
hacemos clic en el recuadro que hay debajo de Input variables y seleccionamos (haciendo doble clic
sobre sus nombres) las columnas Pulse1 y Pulse2; en Store result in tecleamos ‘Media aritmética Pulse1
Pulse2’ (con comillas simples, al principio y al final, por tener espacios en blanco) y pulsamos en OK.
Las operaciones realizadas con esta opción también pueden realizarse mediante Calc⇒Calculator.

1.6.4. Tipificación de datos
Esta opción se entenderá mejor cuando estudiemos la tipificación de una variable aleatoria Normal
(Tema 6).
Con la opción Calc⇒Standardize se calcula, en una nueva columna (variable), los datos tipificados
o estandarizados de una de las columnas de nuestra hoja de datos. Hay varias formas de tipificar los
datos pero la más usual es la siguiente: Si xi son los datos de la muestra, x es la media (aritmética)
y s es la desviación típica, los datos tipificados o estandarizados son zi = (xi − x)/s. Esto se logra
dejando activada la opción subtract mean and divide by standard deviation.
Por ejemplo, vamos a crear una nueva variable (columna), que denominaremos Pulse1 Tipificada, que
contendrá los datos de Pulse1 tipificados. Para ello, seleccionamos Calc⇒Standardize; en Input columns
seleccionamos (haciendo doble clic sobre su nombre) la columna Pulse1; en Store results in tecleamos
‘Pulse1 Tipificada’ (con comillas simples, al principio y al final, por tener espacios en blanco); dejamos
activada la opción Substract mean and divide by standard deviation y pulsamos en OK.
Las operaciones realizadas con esta opción también pueden realizarse mediante Calc⇒Calculator.

1.6.5. Creación de datos por patrón
Con la opción Calc⇒Make Patterned Data se generan datos siguiendo un determinado patrón.
Por ejemplo, si queremos generar una lista de los siguientes 100 números: 0 01, 0 02, 0 03, . . ., 1,
seguiremos los siguientes pasos:
Como estos datos no tienen nada que ver con los datos del archivo Pulse.mtw, abrimos una nueva
hoja de datos con la opción File⇒New. En el cuadro de diálogo que aparece seleccionamos Minitab


Woorksheet. A esta nueva hoja de datos Minitab le asignará el nombre Worksheet J, siendo J un
número natural. Luego podemos cambiarle el nombre con la opción File⇒Save Current Worksheet As.
Seleccionamos, a continuación, la opción Calc⇒Make Patterned Data⇒Simple Set of Numbers. En Store
patterned data in podemos teclear C1 o un nombre, por ejemplo ‘Patrón entre 0 y 1’ (con comillas simples,
al principio y al final, por tener espacios en blanco). En From first value tecleamos 0,01, en To last value
escribimos 1 y en In steps of ponemos 0,01. Tanto en List each value como en List the whole sequence deja-
mos lo que está puesto por defecto, que es 1. Una vez obtenida la nueva columna vamos a denominar
Ejemplo_Practica_1.mtw a la nueva hoja de datos utilizando la opción File⇒Save Current Worksheet As.

1.6.6. Creación de resultados aleatorios de una distribución conocida

La utilidad principal de esta opción la veremos en el capítulo 3.
En Minitab podemos generar datos de distribuciones usuales utilizando la opción Calc⇒Random
Data.
Por ejemplo, en el archivo de datos Ejemplo_Practica_1.mtw vamos a generar 100 datos de una dis-
tribución Uniforme en el intervalo (0, 1) (es decir, 100 números aleatorios comprendidos entre 0 y 1).
Para ello, seleccionamos la opción Calc⇒Random Data⇒Uniform; en Number of rows of data to generate
ponemos 100; en Store in column escribimos el nombre de la nueva columna: ‘100 datos de U(0,1)’ (con
comillas simples, al principio y al final, por tener espacios en blanco y paréntesis); en Lower endpoint
tecleamos 0 y en Upper endpoint escribimos 1.

1.7. Opciones principales del menú Data
Sólo se explicarán algunas de las opciones más utilizadas del menú Data. En el cuadro de diálogo
de cada opción existe un botón Help que la explica bastante bien.

1.7.1. Apilamiento de columnas

Con la opción Data⇒Stack⇒Columns se pueden apilar varias columnas en una sola. Opcionalmente
se puede indicar de qué columna procede cada valor mediante una nueva variable (subíndices). Si no
se hace esta indicación no se podrá identificar la procedencia de cada dato.
Para practicar esta opción vamos a apilar los datos de la columna Patrón entre 0 y 1 y de la colum-
na 100 datos de U(0,1) del archivo de datos Ejemplo_Practica_1.mtw. Para ello, seleccionamos la opción
Data⇒Stack⇒Columns; activamos el recuadro Stack the following columns y seleccionamos (haciendo
doble clic sobre sus nombres) las dos columnas que queremos apilar: ‘Patrón entre 0 y 1’ ‘100 datos de
U(0,1)’; en Store stacked data in activamos la opción Column of current worksheet y tecleamos la posición
de una columna que esté vacía, por ejemplo, C3. En Store subscripts in tecleamos la posición de la
columna en la que queremos guardar la procedencia de cada dato, por ejemplo, C4. Es conveniente
dejar activada la opción Use variable names in subscript column.


1.7.2. Desapilamiento de columnas
La opción Data⇒Unstack columns permite separar una columna en varias según los valores de la
columna de alguna variable (que contiene los subíndices). Esta opción es la contraria de la explicada
en el apartado anterior.
Por ejemplo, de la hoja de datos Pulse.mtw vamos a desapilar los resultados de la variable Pulse2
(pulso después de correr) según los resultados de la variable Ran (¿corrió o no?). Para ello, selec-
cionamos Data⇒Unstack Columns; en Unstack the data in seleccionamos (haciendo doble clic sobre su
nombre) la variable o columna Pulse2; en Using subscripts in seleccionamos (haciendo doble clic sobre
su nombre) la columna que contiene la procedencia de cada dato, que es Ran; en Store unstacked data in
activamos la opción After last column in use y dejamos activado Name the columns containing the unstaked
data.

1.7.3. Ordenación de los datos
La opción Data⇒Sort ordena los datos de una columna según los resultados de una o varias colum-
nas. Lo normal es ordenar una columna según los resultados de dicha columna. Esto es lo que vamos
a explicar.
Por ejemplo, en la hoja de datos Pulse.mtw vamos a crear una nueva variable (columna), designada
por Pulse1 ordenado, que contenga los resultados de la variable Pulse1 ordenados de menor a mayor.
Para ello, seleccionamos Data⇒Sort; en Sort column seleccionamos (haciendo doble clic sobre su nom-
bre) la variable Pulse1; en By column volvemos a seleccionar la misma columna. Si dejamos desactivada
la opción Descending la ordenación se hará de menor a mayor resultado, que es lo que queremos. En
Store sorted data in activamos Column of current worksheet y tecleamos el nombre que queremos ponerle
a dicha columna: ‘Pulse1 ordenado’ (con comillas simples, al principio y al final, por tener espacios en
blanco).
Tenemos que tener cuidado con la ordenación de columnas debido a que los resultados de esta
nueva variable no guardan correspondencia con los casos originales. Por ejemplo, la primera persona
observada tiene un pulso antes de correr (resultado de Pulse1) igual a 64 pulsaciones por minuto, no 48
pulsaciones por minuto, como nos ha salido en el primer lugar de la columna Pulse1 ordenado. Como
podemos observar, el menor valor de Pulse1 es 48 y el mayor valor es 100.

1.7.4. Codificación o clasificación de datos
La opción Data⇒Code permite la clasificación o codificación de los datos de una columna. Se
puede codificar transformando datos numéricos en datos numéricos, datos numéricos en datos de
texto, datos de texto en datos de texto, datos de texto en datos numéricos, etc.
Por ejemplo, con la hoja de datos Pulse.mtw podemos codificar la variable Pulse1 de la forma si-
guiente:

intervalo de Pulse1 nueva categoría
[48,65] Pulso bajo
(65,83] Pulso medio
(83,100] Pulso alto


Para ello, seleccionamos Data⇒Code⇒Numeric to Text. En Code data from columns seleccionamos
(haciendo doble clic sobre su nombre) la variable Pulse1. En Store coded data in column escribimos el
nombre la nueva variable, por ejemplo, ‘Codificación de Pulse1’ (con comillas simples, al principio y al
final, por tener espacios en blanco). En la primera línea de Original values escribimos 48:65 (todos los
resultados comprendidos entre 48, incluido, y 65, incluido) y en la primera línea de New escribimos
Pulso bajo. En la segunda línea de Original values escribimos 65:83 (todos los resultados comprendidos
entre 65, sin incluir, y 83, incluido) y en la segunda línea de New escribimos Pulso medio. En la tercera
línea de Original values escribimos 83:100 (todos los resultados comprendidos entre 83, sin incluir, y
100, incluido) y en la tercera línea de New escribimos Pulso alto.

1.8. Algo más sobre la ventana Session
Ya hemos visto que una de las utilidades de la ventana de sesión es la de servir para la presentación
de los comandos aplicados en cada opción de las que hemos realizado. Además, podemos repasar
resultados obtenidos con anterioridad moviéndonos hacia arriba en dicha ventana. Los resultados
incluidos en la ventana de sesión pueden grabarse como un archivo de texto (.txt) activando dicha
ventana y seleccionando File⇒Save Session Window As. También podemos usar las opciones de marcar,
copiar y pegar para pasar los resultados obtenidos a editores de texto. Además, es posible imprimir
todos sus contenidos activando dicha ventana y seleccionando File⇒Print Session Window.
Una vez seleccionada la ventana de sesión, la activación de la opción Editor⇒Enable Commands
permite ejecutar los comandos de Minitab. Por ejemplo, si tecleamos en la ventana de sesión (tras
£
MTB >) Mean C1 y pulsamos el botón ¢ Intro ¡ el programa calcula media aritmética de los datos de la
, £
columna C1 de la hoja de datos activa. Si escribimos Let K2=1/3 y pulsamos el botón ¢ Intro ¡ el programa
,
guarda el valor 1/3 en la correspondiente constante. Si tecleamos ahora Print K2, el programa nos da el
valor de dicha constante.
Lógicamente, es más sencillo el manejo de Minitab utilizando los menús, pero los comandos
pueden incorporarse posteriormente a los programas (macros) que construyamos. Además, una vez
habilitado el lenguaje de comandos, cuando ejecutemos una opción del menú, ésta se escribirá en la
ventana de sesión, con lo que podremos ver cuál es la sintaxis concreta del comando que queremos
utilizar.
Para que el contenido de la ventana de sesión pueda modificarse, debemos activar dicha ventana y
seleccionar Editor⇒Output Editable, con lo que podemos rectificar fácilmente cualquier error, modificar
comandos ejecutados anteriormente o simplemente preparar los resultados para ser imprimidos.
Una vez activada la opción Editor⇒Output Editable, la ventana de sesión es el lugar en el que se
ejecutan los macros o programas, tanto los que construyamos nosotros como los que incluye Minitab
o los realizadas por otros usuarios. Los macros llevan la extensión .mac y normalmente están incluidos
en el directorio C:Archivos de programaMinitab 15EnglishMacros. En la versión 15 de Minitab sola-
mente se incluyen cuatro macros, pues los resultados del resto de los macros de la versión anterior
pueden conseguirse con distintas opciones de los menús.

1.9. Algo más sobre la ventana Proyect Manager
Esta ventana presenta toda la información disponible en forma de directorios. Resulta ser especial-
mente útil cuando se maneja una gran cantidad de datos. El directorio Session nos muestra, de forma


resumida y organizada, la información correspondiente a dicha ventana. El directorio History presenta
(en lenguaje de comandos) todas las operaciones que hemos realizado. A diferencia de lo que ocu-
rría con la ventana de sesión, no sirve para ejecutar comandos ni macros, y en él no se muestran los
resultados de la ejecución de los comandos. En este directorio aparece solamente el programa de las
operaciones que hemos realizado, y su contenido puede consultarse o copiarse directamente para la
realización de macros. Los directorios de datos, Worksheets, contienen información sobre las columnas
(variables), constantes y matrices manejadas en cada ventana de datos que se esté utilizando. Ade-
más, indican el número de datos incluidos en una columna, así como los datos ausentes de la misma
(Missing).

1.10. Ejercicios propuestos
Ejercicio 1.1 En la Tabla 5 se muestra el número anual de usuarios de una biblioteca determinada y
el número anual de préstamos durante 10 años elegidos al azar.

año usuarios préstamos

1 296 155
2 459 275
3 602 322
4 798 582
5 915 761
6 1145 856
7 1338 1030
8 1576 1254
9 1780 1465
10 2050 1675

Tabla 5

a) Crea un nuevo proyecto de Minitab.
b) Introduce los datos (sin incluir, obviamente, la primera columna, que indica el número de
caso). Pon los siguientes nombres a las dos variables: Usuarios y Préstamos. Graba la hoja
de datos en un archivo denominado Prestamos.mtw
c) Calcula, en una nueva columna, la variable que indica el porcentaje anual de préstamos
por usuario, resultado de multiplicar por 100 el resultado de dividir el número anual de
préstamos entre el número anual de usuarios. Pon a la nueva variable el siguiente nombre:
PPU. Haz que los resultados aparezcan con tres decimales. Pon una etiqueta descriptiva a
esta variable. Vuelve a grabar la hoja de datos.
d) Calcula el mínimo y el máximo de la variable PPU.
e) Clasiﬁca los datos de la variable PPU en 4 categorías o intervalos de la misma amplitud.
Llama a la nueva variable Intervalos PPU. Las categorías han de denotarse como lo hacemos
en las clases de teoría; es decir, [a, b] o (a, b] (sustituyendo, obviamente, a y b por los
límites de los intervalos de clase). Vuelve a grabar la hoja de datos.


f) Graba el proyecto con el siguiente nombre: Ejercicio1-1.mpj
Ejercicio 1.2 En la Tabla 6 aparece el número anual de transacciones de referencia y el número anual
de transacciones de referencia finalizadas en 20 biblioteca elegidas al azar.

biblioteca tipo de biblioteca transacciones de referencia transacciones de referencia finalizadas

1 1 11500 9400
2 1 8600 7200
3 1 20400 18100
4 1 5800 4600
5 1 6500 5800
6 1 13700 10900
7 1 12400 11200
8 1 5300 4700
9 1 6700 5600
10 1 15600 12500
11 2 1900 1700
12 2 9600 7800
13 2 8400 6900
14 2 6200 4900
15 2 7700 5900
16 2 5600 4200
17 2 6200 4900
18 2 4800 3500
19 2 3800 2600
20 2 2400 2200

Tabla 6

b) Introduce los datos (sin incluir, obviamente, la primera columna, que indica el número
de caso). Pon los siguientes nombres a las variables: Tipo, TR y TRF. Pon una etiqueta
descriptiva a cada variable. En lo que respecta a la variable Tipo hay que dejar claro que el
valor 1 significa biblioteca pública y el valor 2 significa biblioteca universitaria. Graba la
hoja de datos en un archivo denominado Transacciones.mtw
c) Crea una nueva variable, denominada Tipo biblioteca, que contenga las categorías de la va-
riable Tipo designadas de la siguiente manera: bib. pública (en vez de 1) y bib. universitaria
(en vez de 2). Vuelve a grabar la hoja de datos.
d) Calcula, en una nueva columna, la variable que indica el porcentaje de transacciones de
referencia finalizadas, que se determina multiplicando por cien el resultado de dividir el
número anual de transacciones de referencia finalizadas entre el número anual de transac-
ciones de referencia. Pon a la nueva variable el siguiente nombre: Porcentaje TRF. Haz que


los resultados aparezcan con 5 decimales. Pon una etiqueta descriptiva a esta variable.
Vuelve a grabar la hoja de datos.
e) Desapila los resultados de la variable Porcentaje TRF según los resultados de la variable
Tipo biblioteca. Calcula la media aritmética de estas dos nuevas columnas. Interpreta los
resultados.
f) Ordena los datos de la variable Porcentaje TRF en orden creciente. Pon un nombre ade-
cuado a la nueva columna. Pon una etiqueta descriptiva a esta columna. A partir de esta
ordenación determina el valor mínimo y el valor máximo de Porcentaje TRF.
g) Clasiﬁca los datos de la variable Porcentaje TRF en 3 categorías o intervalos de la misma am-
plitud. Llama a la nueva variable Intervalos Porcentaje TRF. Las categorías han de denotarse
como lo hacemos en las clases de teoría; es decir, [a, b] o (a, b] (sustituyendo, obviamente,
a y b por los límites de los intervalos de clase). Vuelve a grabar la hoja de datos.
h) Graba el proyecto con el siguiente nombre: Ejercicio1-2.mpj

2
Estadística descriptiva

2.1. Distribución de frecuencias
Con Minitab, para determinar la distribución de frecuencias de una (o más variables) utilizamos
la opción Stat⇒Tables ⇒Tally Individual Variables.
Para practicar esta opción, podemos abrir el archivo de datos (Worksheet) Pulse.mtw. Recordemos
que su contenido fue recogido en una clase de 92 alumnos. De cada estudiante se observó su pulso
antes de correr, Pulse1; su pulso después de correr, Pulse2; si corrió o no, Ran (1=Sí corrió, 2=No
corrió); si es fumador o no, Smokes (1=Sí fuma, 2=No fuma); el sexo, Sex (1=Hombre, 2=Mujer); su
altura en pulgadas, Height; su peso en libras, Weight; y su nivel de actividad física, Activity (0=Ninguna
actividad, 1=Baja, 2=Media, 3=Alta).
Si queremos saber el número de casos (frecuencia absoluta) y el porcentaje de cada una de las
categorías de la variable Activity, utilizamos la opción Stat⇒Tables⇒Tally Individual Variables; en el re-
cuadro Variables seleccionamos, de la lista de variables de la izquierda, la columna ‘Activity’ y en Display
activamos Counts y Percents. Podemos ver, en la ventana de sesión (Session), que hay 21 alumnos con
nivel alto de actividad física, y que un 66’3 % de ellos tiene un nivel medio de actividad física.

2.2. Estadística descriptiva con la opción Stat ⇒Basic
Statistics ⇒Display Descriptive Statistics
En el capítulo anterior vimos que la opción Calc⇒Column Statistics calcula, para una columna (o
variable), uno de los estadísticos siguientes: Sum (suma), Mean (media arimética), Standard deviation
(desviación típica corregida), Minimum (mínimo resultado), Maximum (máximo resultado), Range (reco-
rrido o amplitud total), Median (mediana), Sum of squares (suma de cuadrados), N total (número total de
casos o tamaño muestral), N nonmissing (número de casos para los cuales sabemos el resultado de la
variable) y N mising (número de casos para los cuales no sabemos el resultado de la variable).
A continuación vamos a trabajar con una opción mucho más amplia, que nos permite, entre otras
cosas, calcular más de un estadístico y trabajar con más de una variable (columna) a la vez.

21


La opción Stat⇒Basic Statistics⇒Display Descriptive Statistics de Minitab permite obtener los esta-
dísticos más importantes de las columnas (variables) de la hoja de datos. También permite calcularlos
separando los valores de una columna según el valor de otra. Además puede realizar una serie de
gráficas que nos permiten resumir la información contenida en los datos.
Para practicar esta opción, vamos a calcular los estadísticos descriptivos más importantes de las
variables Pulse1, Height y Weight de la hoja de datos Pulse.mtw. Para ello, seleccionamos Stat⇒Basic
Statistics⇒Display Descriptive Statistics y en el recuadro Variables del cuadro de diálogo resultante se-
leccionamos, de la lista de columnas que tenemos a la izquierda, las tres variables ‘Pulse1’, ‘Height’ y
‘Weight’. A continuación pulsamos en Statistics. Nos aparece un nuevo cuadro de diálogo en el cual se
pueden elegir los estadísticos que queremos determinar de las variables que hemos seleccionado en
el recuadro Variables. Haciendo clic sobre el botón Help se obtiene información sobre el significado de
cada uno de estos estadísticos. Los estadísticos que podemos seleccionar son los siguientes:

n
xi
i=1
Mean media aritmética x=
n
S
SE of mean error estándar de la media √x
n
n
(xi − x)2
i=1
Standard deviation desviación típica corregida Sx =
n−1
Variance varianza corregida 2
Sx
sx
Coefficient of variation coeficiente de variación media CV = · 100 %
|x|
First quartile primer cuartil Q1
Median mediana Me = Q2
Third quartile tercer cuartil Q3
Interquartile range recorrido intercuartílico RI = Q3 − Q1
Trimmed mean media de los datos eliminando el 5 % de los menores y el 5 % de los mayores
n
Sum suma xi
i=1

Minimum mínimo dato xmin
Maximum máximo dato xmax
Range recorrido o rango R = xmax − xmin
N nonmissing número de casos para los cuales sabemos el resultado de la variable = n
N missing número de casos para los cuales no sabemos el resultado de la variable
N total número total de casos=N nonmissing+N missing
Cumulative N número acumulado de casos (solo cuando se ha rellenado el recuadro By variables)
Percent porcentaje de casos (solo cuando se ha rellenado el recuadro By variables)


Cumulative percent porcentaje acumulado de casos (solo cuando se ha rellenado el recuadro By variables)
n
Sum of squares suma de cuadrados x2
i
i=1
n
(xi − x)3
m3 i=1
Skewness coeficiente de asimetría g1 = , con m3 =
s3
x n
n
(xi − x)4
m4 i=1
Kurtosis coeficiente de apuntamiento g2 = − 3, con m4 =
s4
x n
MSSD media de los cuadrados de las sucesivas diferencias

Siguiendo con nuestro ejemplo (cálculo de los estadísticos más importantes de las variables Pulse1,
Height y Weight), podemos seleccionar todos los estadísticos menos Cumulative N, Percent y Cumulative
percent. Podemos comprobar, por ejemplo, que la suma de los datos de la variable Pulse1 es 6704 y la
suma de los cuadrados de los datos de la misma variable es 499546.
Con la misma hoja de datos (Pulse.mtw) podemos calcular los estadísticos de la variable Pulse2
(Pulso después de correr) separando sus resultados según los valores de la variable Ran (¿corrió o no
corrió?). Para ello, seleccionamos Stat⇒Basic Statistics⇒Display Descriptive Statistics; en el recuadro
Variables del cuadro de diálogo resultante seleccionamos la variable ‘Pulse2’; y en By variables (Optional)
seleccionamos la variable ‘Ran’. En consecuencia, en la ventana de sesión aparecen los resultados
de los mencionados estadísticos de la variable Pulse2 separados para cada grupo de resultados de la
variable Ran. Por ejemplo, podemos comprobar que para el grupo de personas que sí corrió (Ran=1) la
media del pulso es 92 51 y la mediana es 88, mientras que para el grupo de personas que no corrió
(Ran=2) la media del pulso es 72 32 y la mediana es 70.

2.3. Representaciones gráficas con la opción Stat
⇒Basic Statistics ⇒Display Descriptive Statistics
El botón Graphs del cuadro de diálogo que aparece con la opción Stat⇒Basic Statistics⇒Display
Descriptive Statistics permite elegir alguno de los siguientes gráficos (por defecto no se realiza ninguno)
de las variables que hemos seleccionado en el recuadro Variables:
Histogram of data o histograma, que agrupa los datos en intervalos, representando sobre ellos rec-
tángulos de área proporcional a la frecuencia absoluta de cada intervalo;
Histogram of data, with normal curve o histograma al que se le superpone la curva de la distribu-
ción normal de media igual a media muestral de la variable seleccionada y desviación típica
igual a la desviación típica corregida muestral de dicha variable;
Individual value plot o gráfico de valores individuales, que representa los datos en forma de puntos,
y


Boxplot of data o diagrama caja-bigote, que representa los valores mínimo y máximo (extremos
de los bigotes), los cuartiles Q1 y Q3 (extremos de la caja) y la mediana. Dentro de la caja
tendremos el 50 % de los datos de la muestra y en cada bigote tendremos el 25 % de los datos
más extremos. Este último tipo de gráfico nos permite visualizar tanto el valor central como
la dispersión de los datos, y es muy útil a la hora de comparar datos de distintas muestras o
grupos.

Por ejemplo, con la hoja de datos Pulse.mtw vamos a dibujar el histograma (con la curva normal
superpuesta) de la variable Height.

2.4. Representaciones gráficas con la opción Graph
Además de los gráficos que se obtienen con la Stat⇒Basic Statistics⇒Display Descriptive Statistics,
podemos crear representaciones gráficas con el menú Graph.
Una opción importante de todos los gráficos creados a través del menú Graph es que haciendo clic
sobre ellos con el botón derecho del ratón y activando la opción Update Graph Automatically del menú
contextual que aparece, el gráfico cambia automáticamente al modificar los datos con que se han
construido (ya sea añadiendo, modificando o eliminando).

2.4.1. Histograma
Se puede obtener el histograma de una variable con la opción Graph⇒Histogram. Esta opción ofrece
4 tipos: Simple, With Fit, With Outline and Groups y With Fit and Groups.
Por ejemplo, podemos hacer el histograma simple de la variable Weight de la hoja de datos Pul-
se.mtw. Para ello, seleccionamos la opción Graph⇒Histogram. De las cuatro opciones que aparecen
seleccionamos Simple. En el cuadro de diálogo resultante seleccionamos la variable ‘Weight’ para po-
nerla en el recuadro Graph variables. Podemos cambiar el aspecto que tendría el gráfico por defecto,
pulsando en los botones que aparecen en este cuadro de diálogo: Scale, Labels, Data View, Multiple Graphs
y Data Options. Para más información sobre las acciones de estos botones, pulsar el botón Help del mis-
mo cuadro de diálogo. En principio, podríamos dejar todas las opciones por defecto a la hora de
realizar este primer histograma.
El histograma resultante podemos copiarlo en el portapapeles, haciendo clic sobre el gráfico con
el botón derecho del ratón y seleccionando, del menú contextual que resulta, la opción Copy Graph.
De esta manera, podríamos pegarlo en otro programa bajo Windows, por ejemplo, uno de edición de
gráficos. También podemos almacenarlo en la ventana de proyecto, Proyect Manager (concretamente en
el directorio ReportPad) haciendo clic sobre el gráfico con el botón derecho del ratón y seleccionando,
del menú contextual que resulta, la opción Append Graph to Report. También tenemos la posibilidad de
grabarlo en varios formatos (gráfico propio de Minitab, mgf, jpg, png, bmp, etc.). Para ello solo tenemos
que cerrar el gráfico (botón × ) y pulsar en Sí cuando Minitab nos pregunte si queremos guardar el
gráfico en un archivo aparte.
Una vez obtenido el histograma es posible cambiar su aspecto. Para ello, hacemos doble clic sobre
la parte del gráfico que queremos cambiar. Aparece, entonces, una nueva ventana que nos permite
hacer dicha transformación. Los cambios más usuales son: cambio en la escala del eje horizontal,
cambio en el eje vertical, aspecto de las barras, intervalos sobre los que se sitúan las barras, aspecto
de la ventana del gráfico y cambio en las proporciones del gráfico. Para practicar con estas opciones


vamos a cambiar el histograma simple de la variable Weight de la hoja de datos Pulse.mtw de la siguiente
manera:

Que el título sea Histograma de la variable ‘Peso’, en letra Arial, cursiva, negrita, de color azul
oscuro y con un tamaño de 10 puntos.
Que las barras sean de color azul claro con una trama de relleno oblicua y con los bordes de
color azul oscuro.
Que haya 7 intervalos de la misma amplitud y que en el eje horizontal aparezcan los límites de
los intervalos (no los puntos medios).
Que el texto del eje horizontal sea Peso de los alumnos, en libras, en letra Arial, cursiva, no
negrita, de color azul oscuro y con un tamaño de 9 puntos.
Que en el eje vertical se muestren 13 marcas (ticks), en letra Arial, de color azul oscuro y con
un tamaño de 8 puntos.
Que el texto del eje vertical sea Frecuencia absoluta, en letra Arial, cursiva, no negrita, de color
azul oscuro y con un tamaño de 9 puntos.

2.4.2. Diagrama de sectores o de pastel
Este gráfico resume los datos de una columna contando el número de datos iguales y represen-
tándolos mediante sectores proporcionales al número de datos de cada clase. Se utiliza con datos
cualitativos o de tipo discreto con pocos resultados distintos. Se obtiene con la opción Graph⇒Pie
Chart.
Por ejemplo, podríamos hacer el diagrama de sectores de los datos de la columna Activity de la
hoja de datos Pulse.mtw. Para ello, en el cuadro de diálogo que resulta al seleccionar Graph⇒Pie Chart,
dejamos activada la opción Chart counts of unique values y seleccionamos la columna ‘Activity’ en el
recuadro Categorical variables. Podemos cambiar el aspecto que tendría el gráfico por defecto, pulsando
en los botones que aparecen en este cuadro de diálogo: Pie Options, Labels, Multiple Graphs y Data Options.
En principio, podríamos dejar todas las opciones por defecto a la hora de realizar este primer diagrama
de sectores.
Igual que ocurría con el histograma, una vez obtenido el diagrama de sectores podemos copiarlo
en el portapapeles, o almacenarlo en el directorio ReportPad de la ventana Proyect Manager, o grabarlo
en un archivo aparte. También es posible cambiar su aspecto una vez obtenido, haciendo doble clic
sobre la parte del gráfico que queremos cambiar. Para practicar vamos a cambiar el anterior gráfico
de sectores de la siguiente manera:

Que el título sea Gráfico de sectores de la variable ‘Actividad Física’, en letra Verdana, cursiva,
negrita, de color rojo oscuro y con un tamaño de 10 puntos.
Que junto a los sectores circulares aparezca la frecuencia absoluta y el porcentaje de cada
categoría (clic sobre uno de los sectores circulares con el botón derecho del ratón, opción Add,
Slice Labels).

Vamos a aprender a hacer un diagrama de sectores cuando tenemos en una columna las categorías
de una variable y en otra columna las frecuencias absolutas de dichas categorías. Por ejemplo, vamos


Figura 7: Idioma de los libros de una biblioteca

a realizar el diagrama de sectores de los datos de la Figura 7, correspondientes a los idiomas en que
están escritos los libros de los estantes de una determinada biblioteca.
Como estos datos no tienen nada que ver con los datos del archivo Pulse.mtw, abrimos una nueva
hoja de datos con la opción File⇒New. En el cuadro de diálogo que aparece seleccionamos Minitab
Woorksheet. A esta nueva hoja de datos Minitab le asignará el nombre Worksheet J, siendo J un
número natural. A continuación introducimos los datos tal como se muestra en la Figura 7. Luego
guardamos esta hoja de datos con el nombre IdiomaLibros.mtw (File⇒Save Current Worksheet As). Para
dibujar el diagrama de sectores seleccionamos Graph⇒Pie Chart. En el cuadro de diálogo resultante,
activamos la opción Chart values from a table; seleccionamos la columna ‘Idioma’ en el recuadro Catego-
rical Variable; seleccionamos la columna ‘No de estantes’ en el recuadro Summary variables y pulsamos en
OK. Como ya sabemos, podemos modificar este gráfico.

2.4.3. Diagrama de barras
2.4.3.1. Diagrama de barras simple

Este tipo de gráfico se utiliza con datos cualitativos o de tipo discreto con pocos resultados distin-
tos. El diagrama de barras se construye colocando en el eje horizontal los resultados (o categorías) de
la variable y subiendo, sobre ellos, unas barras (rectángulos o segmentos rectilíneos) de altura igual
a la frecuencia absoluta (o la frecuencia relativa o el porcentaje) de cada resultado (o categoría). Se
obtiene con la opción Graph⇒Bar Chart.
Por ejemplo, podríamos hacer el diagrama de barras de los datos de la columna Activity de la hoja de
datos Pulse.mtw. Para ello, en el cuadro de diálogo que resulta al seleccionar Graph⇒Bar Chart, dejamos
activada la opción Counts of unique values del recuadro Bars represent y dejamos también activado el
modelo Simple del diagrama de barras. En el cuadro de diálogo resultante, seleccionamos la columna
‘Activity’ en el recuadro Categorical Variables. Como las categorías son números concretos (0, 1, 2 y 3) es
más riguroso que, en vez de barras, aparezcan solamente segmentos rectilíneos; por tanto, activamos
el botón Data View y en el cuadro de diálogo resultante activamos solo la opción Proyect lines.
Igual que ocurría con los gráficos anteriores, una vez obtenido el diagrama de barras podemos
copiarlo en el portapapeles, o almacenarlo en el apartado ReportPad de la ventana Proyect Manager,
o grabarlo en un archivo aparte. También es posible cambiar su aspecto, una vez obtenido, haciendo
doble clic sobre la parte del gráfico que queremos cambiar. Podemos observar, además, que si hacemos
clic sobre el gráfico (para activarlo) y luego pasamos el ratón por encima de las barras, se nos indica la
frecuencia absoluta de cada categoría. Para practicar vamos a cambiar el diagrama de barras anterior
de la siguiente manera:

Que el título sea Diagrama de barras de la variable ‘Actividad Física’, en letra Comic Sans
MS, cursiva, negrita, de color rojo y con un tamaño de 11 puntos.


Que las barras (líneas) sean de color rojo y de un tamaño (grosor) de 3 puntos.
Que en el eje vertical se muestren 13 marcas (ticks), en letra Arial, no negrita, de color rojo y
con un tamaño de 10 puntos.
Que el texto del eje vertical sea Frecuencia absoluta, en letra Arial, cursiva, no negrita, de color
rojo y con un tamaño de 9 puntos.
Que el texto del eje horizontal sea Actividad Física (0=Ninguna, 1=Baja, 2=Media, 3=Alta),
en letra Arial, cursiva, no negrita, de color rojo y con un tamaño de 8 puntos.
Que en la parte superior de cada barra aparezca la frecuencia absoluta de cada categoría (clic
sobre una de las barras con el botón derecho del ratón, opción Add, Data Labels, dejar activado
Use y-values labels).

Vamos a aprender a hacer un diagrama de barras cuando tenemos en una columna las categorías de
una variable y en otra columna las frecuencias absolutas de dichas categorías. Por ejemplo, vamos a
realizar el diagrama de barras de los datos de la Figura 7, correspondientes a los idiomas en que están
escritos los libros de los estantes de una determinada biblioteca. En primer lugar, abrimos la hoja de
datos IdiomaLibros.mtw. Para dibujar el diagrama de barras seleccionamos Graph⇒Bar Chart, activamos
la opción Values from a table del apartado Bars represent; activamos el modelo Simple del apartado One
column of values y pulsamos en OK. En el cuadro de diálogo resultante, seleccionamos la columna ‘No
de estantes’ en el recuadro Graph variables; seleccionamos la columna ‘Idioma’ en el recuadro Categorical
Variable y pulsamos en OK. Como ya sabemos, podemos modificar este gráfico.

2.4.3.2. Diagrama de barras agrupado (o apilado)

Con la opción Graph⇒Bar Chart existe la posibilidad de seleccionar una nueva variable para de-
terminar las barras dentro de cada grupo; esto se realiza seleccionando Cluster (para un diagrama de
barras agrupado según los resultados de otra variable) o Stack (para un diagrama de barras apilado
según los resultados de otra variable). Por ejemplo, con el archivo de datos Pulse.mtw vamos a hacer
el diagrama de barras de la variable Activity en grupos definidos por la variable Sex. Para ello, en el
cuadro de diálogo que resulta al seleccionar Graph⇒Bar Chart, dejamos activada la opción Counts of
unique values del recuadro Bars represent y activamos el modelo Cluster del diagrama de barras. En el si-
guiente cuadro de diálogo seleccionamos, de la lista de variables de la izquierda, las columnas ‘Activity’
y ‘Sex’ para ponerlas en el recuadro Categorical variables. Una vez obtenido dicho diagrama de barras es
conveniente modificarlo para que sea más explicativo, por ejemplo vamos a hacer lo siguiente:

Que el título sea Diagrama de barras de la variable ‘Actividad Física’ en grupos definidos por
la variable ‘Sexo’, en letra Verdana, negrita, de color morado y con un tamaño de 9 puntos.
Que las barras tengan distinto color según los resultados de la variable Sex y que aparezca
una leyenda explicativa (doble clic sobre una de las barras, en el cuadro de diálogo resultante
seleccionar la carpeta Groups, en el recuadro Assign attributes by categorical variables seleccionar
la variable Sex.)
Que en el eje vertical se muestren 10 marcas (ticks), en letra Verdana, no negrita, de color
morado y con un tamaño de 10 puntos.
Que el texto del eje vertical sea Frecuencia absoluta, en letra Verdana, no negrita, de color
morado y con un tamaño de 11 puntos.


Que en el eje horizontal todo esté escrito con la fuente Verdana, no negrita, de color morado y
con un tamaño de 9 puntos. Que en dicho eje aparezcan los nombres de las variables en español:
Actividad Física en vez de Activity, y Sexo en vez de Sex. Que en el mismo eje los resultados
de la variable Sex no sean 1 y 2 sino Hombre y Mujer. Y los resultados de la variable Activity
no sean 0, 1, 2 y 3 sino Ninguna, Poca, Media y Alta.

Vamos a aprender a hacer un diagrama de barras agrupado (o apilado) cuando tenemos los datos
en una tabla de doble entrada. Por ejemplo, vamos a realizar el diagrama de barras agrupado de los
datos de la Figura 8, correspondientes al número de citas en diferentes campos de investigación y en
tres distintos años.

Figura 8: Citas anuales en distintos campos de investigación

En primer lugar, abrimos una nueva hoja de datos con la opción File⇒New. En el cuadro de diálogo
que aparece seleccionamos Minitab Woorksheet. A continuación introducimos los datos tal como se
muestra en la Figura 8. Luego guardamos esta hoja de datos con el nombre Citas.mtw. Para dibujar el
diagrama de barras agrupado seleccionamos Graph⇒Bar Chart, activamos la opción Values from a table
del apartado Bars represent; activamos el modelo Cluster del apartado Two-way table y pulsamos en OK. En
el cuadro de diálogo resultante, seleccionamos las columnas ‘1970’, ‘1980’ y ‘1990’ en el recuadro Graph
variables; seleccionamos la columna ‘Campo investigación’ en el recuadro Row labels; activamos Rows
are outermost categories and columns are innermost y, por último, pulsamos en OK. Como ya sabemos,
podemos modificar este gráfico.

2.4.4. Diagramas bivariantes
2.4.4.1. Diagrama de dispersión o nube de puntos

La opción Graph⇒Scatterplot realiza una gráfica con los datos (bivariantes) de dos columnas de la
misma longitud.
Por ejemplo, con la hoja de datos Pulse.mtw podemos dibujar el diagrama de dispersión, con la
recta de regresión superpuesta, de la altura en pulgadas, Height, sobre el peso en libras, Weight. Para
ello, seleccionamos la opción Graph⇒Scatterplot; en el cuadro de diálogo que aparece seleccionamos
With Regression y pulsamos en OK. En el siguiente cuadro de diálogo, en el recuadro Y Variables se-
leccionamos, de la lista de variables de la izquierda, la columna ‘Height’; y en el recuadro X Variables
seleccionamos, de la lista de variables de la izquierda, la columna ‘Weight’. Podemos cambiar el aspec-
to que tendría el gráfico por defecto, pulsando en los botones que aparecen en este cuadro de diálogo:
Scale, Labels, Data View, Multiple Graphs y Data Options. En principio, podríamos dejar todas las opciones
por defecto a la hora de realizar este primer diagrama de dispersión. Se puede comprobar que el dia-
grama de dispersión o nube de puntos se agrupa cerca de una línea recta, lo que significa que hay una
relación lineal fuerte entre las dos variables.


Igual que ocurría con los gráficos anteriores, una vez obtenido el diagrama de dispersión se puede
copiar en el portapapeles, o almacenar en el apartado ReportPad de la ventana Proyect Manager, o grabar
en un archivo aparte. También es posible cambiar su aspecto, una vez obtenido, haciendo doble clic
sobre la parte del gráfico que queremos modificar. Para practicar, vamos a modificar el diagrama de
dispersión anterior de la siguiente manera:

Que el título sea Diagrama de dispersión de la ‘Altura’ frente al ‘Peso’, en letra Times New
Roman, cursiva, negrita, de color rojo y con un tamaño de 14 puntos.
Que los símbolos sean rombos rojos de tamaño 1.
Que en el eje horizontal se muestren 14 marcas (ticks), en letra Times New Roman, no negrita,
de color rojo y con un tamaño de 12 puntos.
Que el texto del eje horizontal sea Peso de los alumnos, en libras, en letra Times New Roman,
cursiva, no negrita, de color rojo y con un tamaño de 12 puntos.
Que en el eje vertical se muestren 10 marcas (ticks), en letra Times New Roman, no negrita, de
color rojo y con un tamaño de 12 puntos.
Que el texto del eje vertical sea Altura de los alumnos, en pulgadas, en letra Times New Roman,
cursiva, no negrita, de color rojo y con un tamaño de 12 puntos.
Que la recta de regresión sea de color rojo y de tamaño 2.

2.4.4.2. Representación gráfica de una función y=f(x)

La opción Graph⇒Scatterplot es la que se utiliza para hacer la representación gráfica de una de-
terminada función f (x). Para ello es necesario tener en una columna los valores de x (generalmente
creados por patrón) y en otra columna los resultados de y = f (x) (generalmente calculados a partir
de la opción Calc⇒Calculator). Por ejemplo, vamos a hacer la representación gráfica de la función
f (x) = x2 + 2x − 4 en el intervalo [−3, 3]. Para ello se procede de la siguiente manera:

1) Se abre una hoja de datos nueva (File, New, Minitab Worksheet).
2) Mediante la opción Calc⇒Make Patterned Data⇒Simple Set of Numbers se crea una nueva columna
que denominaremos x y que contendrá todos los números comprendidos entre el -3 y el 3 con
un incremento de 0, 01. Se puede comprobar que en la columna x hay un total de 601 números.
3) En otra columna se calculan los resultados de la función función f (x) = x2 + 2x − 4 para cada
valor de la columna x. Para hacerlo, se selecciona Calc⇒Calculator; en Store result in variable te-
cleamos ‘f(x)’; en Expression tenemos que colocar, utilizando la calculadora y la lista de variables
que aparecen en este cuadro de diálogo, la siguiente expresión: ‘x’**2+2*‘x’-4
4) Para representar gráficamente la función se elige la opción Graph⇒Scatterplot, después se elige
With connect line. En el siguiente cuadro de diálogo, en Y variables se selecciona, de la lista de
variables de la izquierda, la columna ‘f(x)’ y en X variables se selecciona la columna ‘x’. Sería
conveniente quitar los puntos del gráfico, dejando sólo la línea de conexión, para lo cual se
hace doble clic sobre la curva, en Attributes⇒Symbols se marca la opción Custom y en Type se
selecciona None (buscando hacia arriba). Luego se hace un clic dentro del gráfico, pero no sobre
la curva.
También se puede lograr lo mismo de la siguiente manera: se elige la opción Graph⇒Scatterplot;
se selecciona Simple; en el siguiente cuadro de diálogo, en Y variables se selecciona la columna


‘f(x)’ y en X variables se selecciona la columna ‘x’; se activa el botón Data View y en el cuadro de
diálogo resultante se deja activada solamente la opción Connect line.

2.5. Correlación y regresión lineal
En el apartado 2.4.4 hemos visto cómo obtener (y cómo modificar) el diagrama de dispersión o
nube de puntos de una variable estadística bidimensional.
Para obtener el coeficiente de correlación lineal de Pearson se selecciona Stat⇒Basic Statistics
⇒Correlation. En el cuadro de diálogo que aparece, en el recuadro de la izquierda está la lista de
variables, de las cuales podemos seleccionar dos o más.
Por ejemplo, de la hoja de datos Pulse.mtw vamos a calcular el coeficiente de correlación lineal de
Pearson entre las variables Altura en pulgadas, Height, y Peso en libras, Weight y lo vamos a guardar
para poder aumentar el número de decimales que se obtienen. Para ello, seleccionamos Stat⇒Basic
Statistics⇒Correlation. En el cuadro de diálogo resultante hacemos clic en el recuadro que hay debajo
de Variables y seleccionamos, de la lista de variables de la izquierda, las columnas ‘Height’ y ‘Weight’;
desactivamos Display p-values y activamos Store matrix (display nothing) y pulsamos en OK. Minitab no
muestra el resultado en la ventana de sesión pero guarda, con el nombre CORR1 (en general, CORRj,
con j = 1, 2, . . .), la matriz de correlaciones siguiente:

1, 00000 0, 78487
0, 78487 1, 00000

lo cual quiere decir que el coeficiente de correlación lineal entre las variables Height y Weight es igual
a 0 78487. Por tanto, la fuerza de la relación lineal entre estas dos variables es moderada. El primer
1 significa que el coeficiente de correlación lineal entre Height y Height es igual a 1 (lo cual es lógico)
y, por supuesto, el segundo 1 significa que el coeficiente de correlación lineal entre Weight y Weight es
igual a 1.
Para aumentar el número de decimales del resultado del coeficiente de correlación lineal entre
las variables Height y Weight hacemos lo siguiente: seleccionamos Data⇒Copy⇒Matrix to Column; hace-
mos clic en el recuadro que hay debajo de Copy from matrix y seleccionamos (haciendo doble clic sobre
su nombre) la matriz CORR1; en In current worksheet, in columns tenemos que teclear las posiciones de
dos columnas (CJ y CK que estén vacías) que contendrán las dos columnas de la matriz de correlacio-
nes. Podemos dejar activada la opción Name the column containing the copied data. Por último, pulsamos
en OK. Ahora ya podemos aumentar el número de decimales como hemos visto en el capítulo anterior:
hacemos clic sobre el nombre de la variable (o sobre su número de columna: CJ); pulsamos con el
botón derecho del ratón; seleccionamos Format Column⇒Numeric; activamos Fixed decimal y en Decimal
places tecleamos, por ejemplo, 8 y pulsamos en OK. Podemos observar que el resultado del coeficiente
de correlación lineal entre las variables Height y Weight es igual a 0 78486641.
La opción Stat⇒Basic Statistics⇒Covariance es similar a lo que acabamos de explicar pero en lugar
de determinar el coeficiente de correlación lineal entre cada par de variables calcula lo que Minitab
llama covarianza, pero que en realidad es la covarianza corregida (similar a la covarianza, pero divi-
diendo por (n − 1) en vez de por n; siendo n el tamaño muestral). La covarianza corregida, Sxy , está


relacionada con la covarianza, sxy , de la siguiente manera:
n
(xi − x)(yj − y)
i=1 n
Sxy = = sxy .
n−1 n−1
De esto se deduce que el coeficiente de correlación lineal de Pearson se puede calcular de cualquiera
de las dos formas siguientes:
sxy Sxy
rxy = = .
sx sy Sx Sy

Para obtener la ecuación de la recta de regresión (mínimo cuadrática) de una variable cuantitativa
Y sobre otra variable cuantitativa X, se selecciona la opción Stat ⇒Regression ⇒Regression.
Puesto que hemos obtenido anteriormente el coeficiente de correlación lineal entre las variables
Height y Weight, vamos ahora a encontrar la ecuación de la recta de regresión de la variable Weight sobre
la variable Height (de la hoja de datos Pulse.mtw). Para ello, seleccionamos la opción Stat ⇒Regression
⇒Regression; en el cuadro de diálogo resultante seleccionamos la variable ‘Weight’ en Response y la
variable ‘Height’ en Predictors; pulsamos en Results y, en el cuadro de diálogo resultante, activamos la
opción Regression equation, table of coefficients, s, R-squared, and basic analysis of variance y pulsamos en OK;
en el siguiente cuadro de diálogo volvemos a pulsar en OK. En la ventana de sesión aparecen varios
resultados, la mayoría de los cuales no pueden ser interpretados en este momento pues todavía no
hemos explicado la parte de Estadística Inferencial. Lo que a nosotros nos interesa en este momento
son los resultados de los coeficientes de regresión, que son: A = −204 74, B = 5 0918, siendo la
ecuación de la recta de regresión Y = A + B X; donde Y =Weight (peso) y X=Height (altura). Es decir,
la ecuación de la recta de regresión de la variable Weight sobre la variable Height es:

Weight = −204 74 + 5 0918 · Height

Ejercicio 2.1
b) Abre la hoja de datos Prestamos.mtw (datos del Ejercicio 1.1).
c) Determina la distribución de frecuencias de la variable Intervalos PPU.
d) Para las variables Usuarios, Préstamos y PPU calcula todas las medidas descriptivas que
hemos estudiado en las clases teóricas.
e) Dibuja el diagrama de dispersión, con la recta de regresión superpuesta, de la variable
Préstamos sobre la variable Usuarios. Modifícalo de la siguiente forma:
Que el título sea Diagrama de dispersión del ‘No anual de préstamos’ frente al ‘No
anual de usuarios’ en letra Verdana, itálica, negrita, de color rojo y con un tamaño de
9 puntos.
Que los símbolos sean cuadrados rellenos, de color verde oscuro y de tamaño 2.
Que en el eje horizontal se muestren 20 marcas (ticks) y que los números sean de
color azul y con un tamaño de 8 puntos.


Que el texto del eje horizontal sea Número anual de usuarios, en letra Verdana, itálica,
no negrita, de color rojo y con un tamaño de 11 puntos.
Que en el eje vertical se muestren 18 marcas (ticks) y que los números sean de color
azul y de un tamaño de 8 puntos.
Que el texto del eje vertical sea Número anual de préstamos, en letra Verdana, itálica,
no negrita, de color rojo y con un tamaño de 11 puntos.
Que la recta de regresión sea de color rojo y de tamaño 2.
f) Calcula, con una precisión de 6 decimales, el coeficiente de correlación lineal entre las
variables Préstamos y Usuarios.
g) Determina la ecuación de la recta de regresión de la variable Préstamos sobre la variable
Usuarios.
h) Dibuja el histograma simple de la variable PPU.
Que haya 4 intervalos de la misma amplitud y que en el eje horizontal aparezcan los
límites de los intervalos (no los puntos medios).
Que el título sea Histograma del ‘Porcentaje anual de préstamos por usuario’, en
letra Times New Roman, negrita, de color rojo oscuro y con un tamaño de 14 puntos.
Que las barras sean de color rojo claro con una trama de relleno horizontal y con los
bordes de color rojo oscuro, de tamaño 2.
Que el texto del eje horizontal sea Porcentaje anual de préstamos por usuario, en
letra Times New Roman, cursiva, no negrita, de color rojo oscuro y con un tamaño de
12 puntos.
rojo oscuro y con un tamaño de 12 puntos.
Que el texto del eje vertical sea Frecuencia absoluta, en letra Times New Roman,
cursiva, no negrita, de color rojo oscuro y con un tamaño de 12 puntos.
i) Dibuja el gráfico de sectores de la variable Intervalos PPU.
Que el título sea Gráfico de sectores de la variable ‘Intervalos PPU’, en letra Verda-
na, cursiva, negrita, de color azul oscuro y con un tamaño de 12 puntos.
Que junto a los sectores circulares aparezca la frecuencia absoluta y el porcentaje de
cada categoría.
En la leyenda, tanto la fuente de la cabecera como la fuente del cuerpo sea Verdana,
de color azul oscuro y con un tamaño de 10 puntos.
j) Graba el proyecto con el siguiente nombre: Ejercicio2-1.mpj
Ejercicio 2.2
b) Abre la hoja de datos Transacciones.mtw (datos del Ejercicio 1.2).
c) Determina la distribución de frecuencias de la variable Intervalos Porcentaje TRF.
d) Para las variables TR, TRF y Porcentaje TRF calcula las medidas descriptivas siguientes: mí-
nimo, primer cuartil, mediana, tercer cuartil, máximo, recorrido, recorrido intercuartílico,
media, varianza corregida, desviación típica corregida, suma de los datos y suma de los
cuadrados de los datos.
e) Calcula la media, la mediana y la desviación típica corregida de la variable Porcentaje TRF
separando sus resultados según los valores de la variable Tipo Biblioteca.


f) Dibuja el diagrama de dispersión, con la recta de regresión superpuesta, de la variable TRF
sobre la variable TR. Modifícalo de la siguiente forma:
Que el título sea Nube de puntos y recta de regresión en letra Verdana, negrita, de
color azul y con un tamaño de 12 puntos.
Que los símbolos sean triángulos rellenos, de color magenta y de tamaño 1.
Que en el eje horizontal se muestren 10 marcas (ticks) y que los números sean de
color azul y de un tamaño de 9 puntos.
Que el texto del eje horizontal sea Número anual de transacciones de referencia, en
letra Verdana, itálica, no negrita, de color azul y con un tamaño de 10 puntos.
azul y de un tamaño de 9 puntos.
Que el texto del eje vertical sea Número anual de transacciones de referencia finali-
zadas, en letra Verdana, itálica, no negrita, de color azul y con un tamaño de 9 puntos.
Que la recta de regresión sea de color morado y de tamaño 2.
g) Calcula, con una precisión de 6 decimales, el coeficiente de correlación lineal entre las
variables TR y TRF.
h) Determina la ecuación de la recta de regresión de la variable TRF sobre la variable TR.
i) Dibuja el diagrama de barras de la variable Intervalos Porcentaje TRF en grupos definidos por
la variable Tipo Biblioteca.
Que las barras tengan distinto color según los resultados de la variable Tipo Biblioteca
y que aparezca una leyenda explicativa.
Que el título sea Diagrama de barras agrupado, escrito con letra Arial, negrita, de
color rojo oscuro y con un tamaño de 16 puntos.
Que el texto del eje vertical sea Frecuencia absoluta, escrito con letra Arial, negrita,
de color rojo oscuro y con un tamaño de 12 puntos.
Que en el eje horizontal todo esté escrito con la fuente Arial, de color rojo oscuro y
con un tamaño de 10 puntos.
j) Graba el proyecto con el siguiente nombre: Ejercicio2-2.mpj

Ejercicio 2.3 El gasto de una biblioteca, en euros, durante un año determinado, es:

Gasto en personal 6570
Gasto en libros 3450
Otros gastos 2380

b) Guarda los datos en el archivo GastoBiblioteca.mtw
c) Haz un diagrama de barras y modifícalo a tu gusto.
d) Haz un gráfico de sectores y modifícalo a tu gusto.
e) Graba el proyecto con el siguiente nombre: Ejercicio2-3.mpj

Ejercicio 2.4 La estadística de fotocopias de 4 bibliotecas (A, B, C y D), durante un año, está reco-
gida en la siguiente tabla:


A B C D
Reproducción de catálogos 16110 3640 0 3400
Trabajo del personal de la biblioteca 63350 11360 3080 5500
Préstamo interbibliotecario 2600 1090 560 250
Copias para usuarios de la biblioteca 43540 58040 1980 0

b) Guarda los datos en el archivo TipoFotocopias.mtw
c) Haz un diagrama de barras agrupado y modifícalo a tu gusto.
d) Graba el proyecto con el siguiente nombre: Ejercicio2-4.mpj

Ejercicio 2.5 El número de descriptores (keywords) de 72 artículos de investigación viene dado por:

No de descriptores 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
o
N de artículos 5 8 12 7 9 9 10 5 3 2 1 1

b) Guarda los datos en el archivo Keywords.mtw
c) Haz un diagrama de barras en el cual las barras sean segmentos rectilíneos. Modifícalo a
tu gusto.

3
Variables aleatorias

3.1. Muestras aleatorias de las distribuciones usuales
Como ya se ha visto anteriormente, en Minitab podemos generar datos de distribuciones usuales
utilizando la opción Calc⇒Random Data. Esta opción permite generar una muestra de datos de cual-
quier columna de la hoja de datos actualmente abierta o de una de las distribuciones de probabilidad
que aparecen listadas.
En primer lugar, vamos a crear una nueva hoja de datos que llevará por nombre Probabilidad.mtw.
A continuación, vamos a crear una columna, en dicha hoja de datos, que lleve por nombre ‘100 datos
de N(5,2)’ y que contenga 100 datos aleatorios procedentes de una distribución N (5, 2) (Normal de
media 5 y desviación típica 2). Para ello, seleccionamos Calc⇒Random Data⇒Normal; en Number of
rows of data to generate tecleamos 100; en Store in column tecleamos el nombre ‘100 datos de N(5,2)’; en
Mean tecleamos 5 y en Standard deviation ponemos un 2.
A continuación vamos a hacer el histograma, con la curva Normal superpuesta, de la muestra
aleatoria obtenida en la columna ‘100 datos de N(5,2)’. Para ello, recordemos que hay que seleccionar la
opción Graph⇒Histogram. En el cuadro de diálogo resultante elegimos With Fit. En el siguiente cuadro
de diálogo, en Graph variables seleccionamos, de la lista de variables que tenemos a la izquierda, la
columna ‘100 datos de N(5,2)’ y pulsamos en OK. En la representación gráﬁca podemos apreciar que el
histograma está cerca de la curva Normal superpuesta, lo cual es lógico puesto que hemos creado
una muestra de una distribución Normal. También podemos ver, en la leyenda que aparece en la parte
superior derecha del gráﬁco, que la media de la muestra obtenida se aproxima a 5 y la desviación
típica se aproxima a 2.

3.2. Función de densidad y función de probabilidad
Minitab puede calcular el resultado de la función de densidad (o de la función de probabilidad)
para un valor concreto o para una lista de valores. Para ello hay que elegir la opción Calc⇒Probability

35


Distributions y a continuación el nombre de la variable aleatoria: Chi-square (chi-cuadrado de Pearson),
Normal, F (de Snedecor), t (de Student), etc.
Dentro del cuadro de diálogo que aparecerá hay que seleccionar Probability Density (para las distri-
buciones continuas) o Probability (para las distribuciones discretas).
Para entender mejor el interés de esta opción, vamos a determinar los resultados de la función
de densidad de una distribución N (0, 1) (Normal Estándar) para una lista de valores que vamos a
crear (todos los números comprendidos entre -4 y 4, con un incremento de 0, 01). Luego haremos la
representación gráfica de esta función de densidad. Para ello se procede de la siguiente manera:

a) Mediante la opción Calc⇒Make Patterned Data⇒Simple Set of Numbers crearemos una nueva co-
lumna que denominaremos ‘x de -4 a 4’ y que contendrá todos los números comprendidos entre
el -4 y el 4 con un incremento de 0, 01. Podemos comprobar que en la columna ‘x de -4 a 4’ hay
801 números.
b) En otra columna se calculan los resultados de la función de densidad de la variable aleato-
ria Normal Estándar para cada valor de la columna ‘x de -4 a 4’. Para hacerlo, se selecciona
Calc⇒Probability Distributions⇒Normal; se activa Probability density; en Mean y en Standard deviation
se deja lo que aparece por defecto (cero y uno, respectivamente); en Input column se selecciona,
de la lista de variables de la izquierda, la columna ‘x de -4 a 4’ y en Optional storage se teclea el
nombre de la columna que contendrá los resultados de la función de densidad; por ejemplo, ‘f(x)
N(0,1)’.
c) Finalmente, para representar gráficamente la función de densidad de la variable aleatoria Nor-
mal Estándar se elige la opción Graph⇒Scatterplot, después se elige With connect line. En el si-
guiente cuadro de diálogo, en Y variables se selecciona, de la lista de variables de la izquierda, la
columna ‘f(x) N(0,1)’ y en X variables se selecciona la columna ‘x de -4 a 4’. Sería conveniente quitar
los puntos del gráfico, dejando sólo la línea de conexión, para lo cual se hace doble clic sobre la
curva, en Attributes⇒Symbols se marca la opción Custom y en Type se selecciona None (buscando
hacia arriba). Luego se hace un clic dentro del gráfico, pero no sobre la curva.

Ahora vamos a calcular los resultados de la función de probabilidad de la distribución discreta
B(200, 0 4) (Binomial de parámetros n = 200 y p = 0 4), vamos a hacer su representación grafica y
vamos a averiguar el valor de la media de dicha variable aleatoria discreta. Para ello procedemos de
la siguiente manera:

1) Mediante la opción Calc⇒Make Patterned Data⇒Simple Set of Numbers crearemos una nueva co-
lumna que denominaremos ‘x de 0 a 200’ y que contendrá todos los resultados posibles de la
distribución B(200, 0 4), que, como sabemos, son: 0, 1, 2, · · · , 200.
2) Calculamos los resultados de la función de probabilidad de B(200, 0 4) para todos y cada uno
de los valores de la columna ‘x de 0 a 200’. Para ello, seleccionamos la opción Calc⇒Probability
Distributions⇒Binomial; activamos Probability; en Numbers of trials tecleamos 200; en Event probabi-
lity tecleamos 0,4; en Input column elegimos, de la lista de variables de la izquierda, la columna ‘x
de 0 a 200’ y en Optional storage tecleamos el nombre de la columna que contendrá los resultados
de la función de probabilidad; por ejemplo, ‘p(x) B(200,0,4)’.
3) Ahora vamos a hacer la representación gráfica bidimensional que tiene en el eje horizontal los
resultados de la columna ‘x de 0 a 200’ y en el eje vertical los resultados de la columna ‘p(x)
B(200,0,4)’. Para ello, se selecciona la opción Graph⇒Scatterplot, después se elige With connect
line. En el siguiente cuadro de diálogo, en Y variables se selecciona, de la lista de variables de la


izquierda, la columna ‘p(x) B(200,0,4)’ y en X variables se selecciona la columna ‘x de 0 a 200’. Como
ya hemos dicho anteriormente, sería conveniente quitar los puntos del gráfico, dejando sólo la
línea de conexión.

Se puede comprobar que esta representación gráfica se aproxima mucho a la curva de densidad
de una distribución Normal, lo cual se debe a lo siguiente: cuando n es grande y p no se acerca
√
a 0 ni a 1, entonces B(n, p) se aproxima a N (np, npq), siendo q = 1 − p.

4) También vamos a calcular la media teórica de la distribución B(200, 0 4). Recordemos que la
media de una distribución discreta es E(X) = xi · p(xi ). Por tanto, usamos la opción Calc
⇒Calculator. En Store result in variable tecleamos el nombre de la columna que contendrá los
resultados de los productos xi · p(xi ); por ejemplo, ‘x p(x)’; en Expression ponemos (empleando
la lista de variables y la calculadora de dicho cuadro de diálogo) ‘x de 0 a 200’*‘p(x)
B(200,0,4)’. Ahora tenemos que calcular la suma de todos los resultados de la columna
‘x p(x)’, para lo cual elegimos la opción Calc⇒Column Statistic; activamos Sum; en Input variable
seleccionamos, de la lista de variables de la izquierda, la columna ‘x p(x)’ y dejamos desactivada
la opción Store result in. En la ventana de sesión podemos ver el resultado de la media, que es
igual a E(X) = n · p = 200 · 0 4 = 80.

3.3. Función de distribución (probabilidad acumulada)
Para calcular el resultado de la función de distribución de una variable aleatoria, F (t) = P (X ≤
t), hay que elegir la opción Calc⇒Probability Distributions y a continuación el nombre de la variable
aleatoria. Dentro del cuadro de diálogo que aparece hay que seleccionar Cumulative Probability.
Por ejemplo, vamos a calcular la probabilidad P (X ≤ −1 36), siendo X una variable aleatoria
Normal Estándar. Como P (X ≤ −1 36) = F (−1 36), para calcular su resultado seleccionamos la
opción Calc⇒Probability Distributions⇒Normal; activamos Cumulative Probability; en Mean y en Standard
deviation dejamos lo que aparece por defecto (cero y uno, respectivamente). No activamos la opción
Input column sino la opción Input constant, en donde colocamos el valor -1,36. Podemos almacenar el
resultado en una constante tecleando en el recuadro Optional storage una K seguida de un número
o poniendo un nombre a dicho resultado. Si no rellenamos el recuadro Optional storage, el resultado
aparece en la ventana de sesión. Se puede comprobar que la probabilidad pedida es P (X ≤ −1 36) =
F (−1 36) = 0 086915.
Si queremos calcular probabilidades de los tipos P (X > a), P (a < X < b), etc., tenemos
que utilizar lápiz y papel, y aplicar las propiedades de la probabilidad para llegar a expresiones en
las que sólo aparezcan probabilidades del tipo P (X ≤ x) (función de distribución), pues éstas son
las que calcula Minitab. No tenemos que olvidar, por ejemplo, que si X es una variable aleatoria
continua, entonces P (X = a) = 0 para todo a, por lo que se cumplen las siguientes igualdades:
P (X ≤ x) = P (X < x), P (X ≥ x) = P (X > x), · · · . Pero si X es una variable aleatoria discreta,
las probabilidades P (X ≤ x) y P (X < x) no son (en general) iguales.
Como ya hemos dicho, cuando n es grande y p no se acerca a 0 ni a 1, entonces B(n, p) se aproxima
√
a N (np, npq), siendo q = 1 − p. Vamos a poder observarlo con el siguiente ejemplo:
Sea X una variable aleatoria B(200, 0 4) y sea Y una variable aleatoria Normal de media 80 y
desviación típica 6’928203. Vamos a comprobar (mediante una representación gráfica conjunta) que
las funciones de distribución de ambas variables son muy parecidas. La solución es la siguiente:


a) Calculamos los resultados de la función de distribución de B(200, 0 4) para todos y cada uno de
los valores de dicha columna ‘x de 0 a 200’. Para ello, seleccionamos la opción Calc⇒Probability
Distributions⇒Binomial; activamos Cumulative probability; en Numbers of trials tecleamos 200; en
Event probability tecleamos 0,4; en Input column elegimos, de la lista de variables de la izquierda,
la columna ‘x de 0 a 200’ y en Optional storage tecleamos el nombre de la columna que contendrá
los resultados de la función de distribución de la Binomial; por ejemplo, ‘F(x) B(200,0,4)’.

b) Calculamos los resultados de la función de distribución de N (80, 6 928203) para los mis-
mos valores de x, es decir, para los valores de la columna ‘x de 0 a 200’. Para ello, se elige
Calc⇒Probability Distributions⇒Normal; se activa Cumulative probability; en Mean se teclea 80; en
Standard deviation se pone 6,928203; en Input column elegimos, de la lista de variables de la iz-
quierda, la columna ‘x de 0 a 200’ y en Optional storage tecleamos el nombre de la columna que
contendrá los resultados de la función de distribución de la Normal; por ejemplo, ‘F(x) N(80,6,9)’.

c) Ahora vamos a superponer, en un mismo gráfico, las dos funciones de distribución. Para ello, se
selecciona la opción Graph⇒Scatterplot⇒With connect line. En el cuadro de diálogo que aparece,
junto al 1 en Y variables seleccionamos la columna ‘F(x) B(200,0,4)’ y en X variables seleccionamos
la columna ‘x de 0 a 200’, y junto al 2 en Y variables seleccionamos la columna ‘F(x) N(80,6,9)’ y
en X variables seleccionamos otra vez la columna ‘x de 0 a 200’. Luego pulsamos Multiple graphs y
en el cuadro de diálogo resultante activamos Overlay on the same graph. Como ya hemos dicho
anteriormente, sería conveniente quitar los puntos del gráfico, dejando sólo la línea de conexión.

3.4. Inversa de la función de distribución (percentiles)

En ocasiones, en lugar de querer calcular probabilidades de sucesos, se desea justamente lo con-
trario, conocer el valor x que hace que la probabilidad del suceso (X ≤ x) sea igual a un valor
determinado p; es decir, hallar x para que se cumpla P (X ≤ x) = p; esto no es más que calcular
percentiles de variables aleatorias. Para calcular el resultado de los percentiles de una variable alea-
toria hay que elegir la opción Calc⇒Probability Distributions y a continuación el nombre de la variable
aleatoria. Dentro del cuadro de diálogo que aparece hay que seleccionar Inverse cumulative probability.
Por ejemplo, vamos a calcular el valor x que verifica P (X ≤ x) = 0 98, cuando X ≡ χ2 (chi- 20
cuadrado de Pearson con 20 grados de libertad). Para ello seleccionamos la opción Calc⇒Probability
Distributions⇒Chi-Square. En el cuadro de diálogo activamos Inverse cumulative probability. Dejamos lo
que aparece por defecto (cero) en Noncentrality parameter. En Degrees of freedom tecleamos 20. No ac-
tivamos la opción Input column sino la opción Input constant, en donde colocamos el valor 0,98. Pode-
mos almacenar el resultado en una constante tecleando en el recuadro Optional storage una K seguida
de un número o poniendo un nombre a dicho resultado. Si no rellenamos el recuadro Optional sto-
rage, el resultado aparece en la ventana de sesión. Se puede comprobar que el valor x que verifica
P (X ≤ x) = 0 98 es 35 0196; es decir, P (X ≤ 35 0196) = 0 98, siendo X ≡ χ2 . 20
Si queremos calcular el valor a tal que las probabilidades de los tipos P (X > a), P (|X| < a),
P (|X| > a), etc., sean iguales a un cierto resultado, tenemos que utilizar lápiz y papel, y aplicar las
propiedades de la probabilidad para llegar a expresiones en las que sólo aparezcan ecuaciones del tipo
P (X ≤ x) = p (percentiles), pues éstas son las que calcula Minitab.


Ejercicio 3.1 Genera 10000 datos aleatorios procedentes de una variable aleatoria Binomial de pará-
metros n = 50 y p = 0 25. Calcula la media de esta columna de datos aleatorios.

Ejercicio 3.2 Haz la representación gráﬁca de la función de probabilidad de una variable aleatoria
Binomial de parámetros n = 50 y p = 0 25.

Ejercicio 3.3 Haz la representación gráﬁca de la función de distribución de una variable aleatoria
Binomial de parámetros n = 50 y p = 0 25.

Ejercicio 3.4 Sea X una variable aleatoria Binomial de parámetros n = 50 y p = 0 25. Calcula:

a) P (X = 10).
b) P (X ≤ 12).
c) P (X ≥ 3).
d) P (X < 5).
e) P (X > 7).
f) P (10 < X < 20).
g) P (10 ≤ X < 20).
h) P (10 < X ≤ 20).
i) P (10 ≤ X ≤ 20).

Ejercicio 3.5 Si Z es una variable Normal Estándar, determina:

a) P (Z ≤ 2 21).
b) P (Z < 3 47).
c) P (Z ≤ −1 75).
d) P (Z > 2 46).
e) P (Z ≥ 3 24).
f) P (Z > −3 08).
g) P (1 12 ≤ Z ≤ 2 68).
h) P (−0 85 < Z < 1 27).
i) P (−2 97 < Z ≤ −1 33).

Ejercicio 3.6 Si X es una variable Normal con media 8 46 y desviación típica 1 14, halla:

a) P (X ≤ 9 11).
b) P (X < 12 33).
c) P (X ≤ 6 41).
d) P (X > 10 52).
e) P (X ≥ 12 61).
f) P (X > 4 01).


g) P (6 11 ≤ X ≤ 11 91).
h) P (7 53 < X < 10 33).
i) P (5 05 ≤ X < 6 83).

Ejercicio 3.7 Halla el valor de los siguientes cuantiles:

a) Z0 58 .
b) Z0 42 .
c) Z0 999 .
d) Z0 001 .

Ejercicio 3.8 Genera 10000 datos aleatorios procedentes de una distribución chi-cuadrado de Pear-
son con 100 grados de libertad. Calcula la media de esta columna de datos aleatorios. Haz un
histograma de los datos aleatorios generados, con la curva Normal superpuesta. ¿Puedes extraer
alguna conclusión?

Ejercicio 3.9 Haz la representación gráfica de la función de densidad de una variable aleatoria chi-
cuadrado de Pearson con 100 grados de libertad. Los valores del eje horizontal pueden ser todos
los comprendidos entre 0 y 200 con un incremento de 0 1.

Ejercicio 3.10 Haz la representación gráfica de la función de distribución de una variable aleatoria
chi-cuadrado de Pearson con 100 grados de libertad. Los valores del eje horizontal pueden ser
todos los comprendidos entre 0 y 200 con un incremento de 0 1.

Ejercicio 3.11 Calcula el valor de los siguientes cuantiles:

a) χ2 , 0 01 .
6

b) χ2 , 0 99 .
6

c) χ2 , 0 975 .
72

Ejercicio 3.12 Sea X una variable aleatoria que sigue una distribución chi-cuadrado de Pearson con
15 grados de libertad. Determina el valor de a que verifica la siguiente igualdad:

a) P (X ≤ a) = 0 05.
b) P (X > a) = 0 99.


a) t26 , 0 9 .
b) t26 , 0 1 .
c) t75 , 0 8 .

Ejercicio 3.14 Sea X una variable aleatoria que sigue una distribución t de Student con 20 grados de
libertad. Determina el valor de a que verifica la siguiente igualdad:

a) P (X ≤ a) = 0 99.
b) P (X ≥ a) = 0 25.



a) F8 , 6 , 0 975 .
b) F25 , 50 , 0 01 .
c) F45 , 35 , 0 01 .

Ejercicio 3.16 Sea X una variable aleatoria que sigue una distribución F de Snedecor con 10 grados
de libertad en el numerador y 8 grados de libertad en el denominador. Determina el valor de a
que veriﬁca la siguiente igualdad:

a) P (X < a) = 0 9.
b) P (X > a) = 0 05.

4
Contrastes no paramétricos en una
población

4.1. Contraste de aleatoriedad de la muestra

El contraste de las rachas sobre aleatoriedad de una muestra se realiza mediante la opción Stat
⇒Nonparametrics ⇒Run Test. Esta prueba no puede utilizarse si los valores de la variable han sido
ordenados en el archivo de datos.
Como ya sabemos, este contraste se basa en el concepto de racha, que es una secuencia de ob-
servaciones de un mismo tipo precedida y continuada por otro tipo de observaciones o por ninguna.
Esto supone que los datos son sólo de dos tipos; es decir, que la variable está dicotomizada. Si esto
no sucediera, se pueden reducir los datos a dos tipos mediante lo siguiente: asignar un símbolo (por
ejemplo, “+”) a los datos que son mayores que la media (o la mediana) y otro símbolo (por ejemplo,
“−”) a los que son menores o iguales que la media (o la mediana, respectivamente).
Con los datos del archivo Pulse.mtw vamos a comprobar si se puede aceptar, con un nivel de sig-
niﬁcación de 0 05, que la muestra de resultados de la variable Pulse1 es aleatoria. Vamos a realizar la
dicotomización de los datos a través de la mediana, por lo cual la calculamos previamente. Podemos
comprobar que dicha mediana es 71. Ahora seleccionamos Stat ⇒Nonparametrics ⇒Run Test. En el
cuadro de diálogo resultante, activamos el recuadro Variables (haciendo clic dentro de él); selecciona-
mos (haciendo doble clic sobre su nombre) la columna ‘Pulse1’. Si dejamos activada la opción Above
and below the mean la variable se dicotomizaría a través de su media. Como queremos dicotomizar a
través de la mediana, activamos Above and below y tecleamos el valor de la mediana; es decir, 71. Pul-
sando en OK podemos comprobar, en la ventana de sesión, que el p-valor es 0 294, mayor que el nivel
de signiﬁcación elegido (0 05), por lo que podemos aceptar que la muestra de resultados de dicha
variable es aleatoria.

43


4.2. Contrastes de Normalidad
En Minitab hay varias formas de comprobar la Normalidad de una variable. Una de ellas es la
opción Stat⇒Basic Statistics⇒Normality Test.
Recordemos que para poder aplicar un contraste de Normalidad es necesario comprobar previa-
mente que la muestra de datos es aleatoria.
Con la hoja de datos Pulse.mtw hemos comprobado que la muestra de resultados de la columna
Pulse1 es aleatoria. Por tanto, podemos ahora realizar un contraste de Normalidad para ver si se puede
aceptar, con un nivel de significación de 0 05, que la variable Pulse1 es Normal. Para ello, usamos
Stat⇒Basic Statistics⇒Normality Test. En el cuadro de diálogo resultante, en Variable seleccionamos,
de la lista de variables de la izquierda, la columna ‘Pulse1’; en Percentile Lines dejamos lo que está
activado por defecto, que es None; en Tests for Normality podemos activar uno de los siguientes tres
contrastes: Anderson-Darling, Ryan-Joiner o Kolmogorov-Smirnov. Por ejemplo, vamos a activar el
último test, Kolmogorov-Smirnov. El recuadro Title vamos a dejarlo en blanco. Por último, pulsamos en
OK. El resultado es un gráfico probabilístico en el cual también está indicado el p-valor, que es mayor
que 0 15. Este p-valor es mayor que el nivel de significación elegido (0 05) y, por tanto, podemos
aceptar que la variable Pulse1 es Normal.

4.3. Contraste chi-cuadrado sobre independencia de dos
variables aleatorias
Hasta ahora se ha considerado una única variable cuyas observaciones en una población daban
lugar a ciertas hipótesis convenientes de contrastar mediante un test. Sin embargo, es frecuente el
problema de estudiar conjuntamente dos variables en los mismos individuos y preguntarse si existe o
no algún tipo de relación entre ellas, es decir, si los valores que tome una de ellas van a condicionar de
algún modo los valores de la otra. El método estadístico para responder a tal pregunta varía con el tipo
de variables implicadas. Cuando ambas son cualitativas, la técnica oportuna es el test chi-cuadrado
de Pearson; aunque este método también se puede emplear cuando las variables son cuantitativas.
En Minitab hay dos formas de aplicar este contraste, según tengamos recogidos los datos. Expli-
camos estos dos casos en los dos sub-apartados siguientes.

4.3.1. Datos en una tabla de doble entrada
Si los datos están recogidos en una tabla de doble entrada, se utiliza la opción Stat⇒Tables⇒Chi-
Square Test (Two-Way Table in Worksheet).
Vamos a hacer el siguiente ejemplo: Se desea averiguar si existe asociación entre el sexo y el uso
de la biblioteca. A tal efecto, se tomó una muestra aleatoria de 30 mujeres y 30 hombres y se les
clasificó de la siguiente manera:

usuarios no usuarios
hombres 6 24
mujeres 14 16


Para realizar este contraste con Minitab, en primer lugar tenemos que introducir la tabla de doble
entrada anterior en una nueva hoja de datos que podemos denominar Ejemplo_Independencia.mtw. Los
datos tienen que ser introducidos tal y como se muestra a continuación:

Ahora seleccionamos Stat⇒Tables⇒Chi-Square Test (Two-Way Table in Worksheet); en Columns contai-
ning the table elegimos, de la lista de variables de la izquierda, las columnas C1 y C2; es decir, ‘SI’ y
‘NO’ y pulsamos en OK. En la ventana de sesión podemos ver el resultado del p-valor, que es 0 028. Si
consideramos un nivel de significación de α = 0 01 entonces el p-valor es mayor que α, por lo que
podríamos aceptar la hipótesis nula de independencia. Pero si consideramos un nivel de significación
de α = 0 05 (que es lo usual) entonces el p-valor es menor que α, por lo que no podríamos aceptar la
hipótesis nula de independencia, aceptando entonces que existe relación entre el sexo y el uso de la
biblioteca.

4.3.2. Datos en dos (o tres) columnas
Si los datos están recogidos en dos (o tres) columnas, se utiliza la opción Stat⇒Tables⇒Cross
Tabulation and Chi-Square.

Ejemplo 1. Vamos a hacer el mismo ejemplo que en el apartado anterior, pero utilizando la opción
Stat⇒Tables⇒Cross Tabulation and Chi-Square. Para ello, en primer lugar tenemos que introducir los
datos (en la hoja de datos Ejemplo_Independencia.mtw) tal como se muestra a continuación:

Como se puede observar, hemos creado tres nuevas columnas que contienen todas las combinacio-
nes posibles de resultados de las dos variables y sus frecuencias conjuntas: la columna sexo tiene por
resultados H (hombre) y M (mujer); la columna usuario tiene por resultados SI (la persona sí es usuaria
de la biblioteca) y NO (la persona no es usuaria de la biblioteca); la columna frecuencia contiene las
frecuencias conjuntas de todas y cada una de las combinaciones posibles de los resultados de las dos
variables mencionadas.
Ahora seleccionamos Stat⇒Tables⇒Cross Tabulation and Chi-Square. En Categorical variables se tienen
que especificar las variables para las cuales vamos a hacer el test de independencia; en nuestro ejem-
plo, en For rows tenemos que seleccionar, de la lista de variables de la izquierda, la columna ‘sexo’;
en For columns tenemos que seleccionar, de la lista de variables de la izquierda, la columna ‘usuario’.
El recuadro For layers (capas) lo dejamos en blanco. En Frequencies are in tenemos que seleccionar,
de la lista de variables de la izquierda, la columna ‘frecuencia’. Pulsamos el botón Chi-Square y, en el


cuadro de diálogo resultante, dejamos activada la opción Chi-Square Analysis y pulsamos en OK. Deja-
mos lo que aparece por defecto en el cuadro de diálogo inicial y pulsamos en OK. En la ventana de
sesión podemos comprobar que los resultados del contraste de hipótesis son los mismos que antes
(p-valor=0 028) y, por tanto, las conclusiones, obviamente, son las mismas.

Ejemplo 2. Para utilizar la opción Stat⇒Tables⇒Cross Tabulation and Chi-Square no es necesario que
tengamos una columna con las frecuencias de cada combinación de resultados de dos variables; tam-
bién se puede utilizar dicha opción si solamente tenemos dos columnas que contienen los resultados
de una variable bidimensional, (xi , yi ), pero es necesario que las dos variables sean de tipo discreto,
con pocos resultados distintos; de lo contrario no se puede aplicar este contraste.
Para hacer un ejemplo de este caso, vamos a activar (o abrir) la hoja de datos Pulse.mtw. Vamos
a comprobar si existe dependencia entre las variables Smokes (la persona es fumadora o no) y Sex
(sexo). La hipótesis nula es H0 : “No existe relación entre el sexo y ser fumador o no”. Como vemos,
en la Worksheet los datos están recogidos en dos columnas (no en tres). Para realizar este contraste
seleccionamos Stat⇒Tables⇒Cross Tabulation and Chi-Square; en For rows seleccionamos la columna
‘Smokes’; en For columns seleccionamos la columna ‘Sex’; no escribimos nada en For layers (capas)
y tampoco escribimos nada en Frequencies are in. Pulsamos el botón Chi-Square y, en el cuadro de
diálogo resultante, activamos Chi-Square Analysis y Expected cell counts, y pulsamos en OK. Finalmente,
volvemos a pulsar OK en el cuadro de diálogo inicial. En la ventana de sesión aparece lo siguiente:

Como podemos observar, aparecen las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas bajo la
hipótesis nula. Podemos comprobar que estas últimas frecuencias son todas mayores o iguales que
5, por lo cual se puede aplicar esta técnica (el test chi-cuadrado de independencia). Recordemos que
este contraste solamente puede aplicarse si todas las frecuencias esperadas bajo la hipótesis nula son
mayores o iguales que 1 y, además, todas las frecuencias esperadas bajo la hipótesis nula son mayores
o iguales que 5, salvo para un 20 % como máximo. Si no ocurriera esto, Minitab nos lo especiﬁcaría en
la ventana de sesión, y por tanto el test quedaría invalidado. Como podemos ver, tenemos el resultado
del estadístico χ2 y el resultado del p-valor, que es 0 216, claramente mayor que los habituales niveles
de signiﬁcación (0 05 ó 0 01), por lo que podemos aceptar la hipótesis nula de independencia de las
dos variables aleatorias; es decir, podemos aceptar que no existe relación entre el sexo y ser fumador
o no.


Ejercicio 4.1
c) Calcula de mediana de la columna PPU.
d) Utilizando la mediana (para dicotomizar) en el contraste de las rachas, ¿se puede aceptar,
con un nivel de significación de α = 0 05, que la muestra de datos de la variable PPU
(porcentaje anual de préstamos por usuario) es aleatoria? ¿Por qué?
e) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación de α = 0 05, que la variable PPU es
Normal? ¿Por qué?
Ejercicio 4.2
c) Utilizando la media (para dicotomizar) en el contraste de las rachas, ¿se puede aceptar,
con un nivel de significación de α = 0 05, que las muestras de los datos de las variables
TR, TRF y Porcentaje TRF son aleatorias? ¿Por qué?
d) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación de α = 0 05, que las variables TR, TRF y
Porcentaje TRF son Normales? ¿Por qué?
Ejercicio 4.3 Los siguientes datos corresponden a las edades de una muestra de 10 personas que
visitan una biblioteca.

19 24 83 30 17 23 33 19 68 56

b) Guarda los datos en el archivo Edad.mtw
c) Calcula de mediana.
d) Utilizando la mediana (para dicotomizar) en el contraste de las rachas, ¿se puede aceptar,
con un nivel de significación de α = 0 05, que la muestra es aleatoria? ¿Por qué?
e) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación de α = 0 05, que la variable aleatoria
edad de las personas que visitan la biblioteca es Normal? ¿Por qué?

Ejercicio 4.4 El rector de una universidad española desea saber la opinión del profesorado en relación
con un proyecto por el cual todos los libros comprados por los departamentos se llevarían a una
biblioteca general universitaria ubicada en un edificio independiente de las facultades. Para ello,
selecciona una muestra aleatoria de 370 profesores de distintos rangos académicos (A.E.U.=
Ayudante de Escuela Universitaria, A.F.= Ayudante de Facultad, T.E.U.=Titular de Escuela
Universitaria, T.U.= Titular de Universidad, C.U.= Catedrático de Universidad). Los resultados
se reflejan en la siguiente tabla:


A.E.U. A.F. T.E.U. T.U. C.U.
en contra 30 55 95 14 12
indiferente 15 20 17 8 10
a favor 10 25 38 8 13

b) Guarda los datos en el archivo Rango-Opinion.mtw
c) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación de α = 0 01, que existe relación entre el
rango académico y la opinión de los profesores respecto del proyecto mencionado? ¿Por
qué?

Ejercicio 4.5 Un profesor de estadística de un Grado en Información y Documentación quiere estu-
diar la mejor forma de obtener un buen resultado en la asignatura y para ello solicita la cola-
boración de los alumnos durante varios cursos académicos planteándoles el siguiente esquema:
al final del primer parcial califica a todos los alumnos según los resultados del examen en A
(sobresaliente y notable), B (aprobado) y C (suspenso); luego les pide que contesten cuál ha
sido su método de trabajo ante la signatura (I= sólo estudia teoría, II= sólo estudia problemas,
III= estudia teoría y problemas). Conocidos los resultados, el profesor construye la siguiente
tabla:

Método de trabajo
I II III
A 15 12 65
Calificación B 58 70 85
C 40 102 53

b) Guarda los datos en el archivo Calificacion-Metodo.mtw
c) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación de α = 0 05, que la calificación es inde-
pendiente del método de trabajo empleado? ¿Por qué?

Ejercicio 4.6 En una determinada facultad se considera una muestra de 807 alumnos y se realiza
una encuesta para saber cuántas horas diarias dedica cada alumno al estudio en la biblioteca,
obteniéndose la siguiente tabla de resultados:

Curso de la licenciatura
1o 2o 3o 4o 5o
menos de 1 hora 18 20 32 77 96
o
N de horas entre 1 y 3 horas 22 35 90 83 50
más de 3 horas 60 70 80 60 14


b) Guarda los datos en el archivo Curso-Tiempo.mtw
c) ¿Se puede aceptar, con un nivel de signiﬁcación de α = 0 05, que existe relación entre el
curso al que pertenece el alumno y el tiempo que dedica al estudio en la biblioteca? ¿Por
qué?

5
Contrastes paramétricos en una
población

5.1. Contrastes sobre la media
El contraste de hipótesis sobre una media sirve para tomar decisiones acerca del verdadero valor
poblacional de la media de una variable aleatoria.

5.1.1. Contraste sobre la media cuando la desviación típica
poblacional es conocida
Esta técnica es válida solamente si la muestra es aleatoria y la población es Normal o el tamaño
muestral, n, es grande (en la práctica, n ≥ 30).
Para hacer este test hay que seleccionar Stat ⇒Basic Statistics ⇒1-Sample Z. Esta opción también
nos da el intervalo de confianza para la media poblacional, µ.
Abrimos el archivo de datos Pulse.mtw. Vamos a suponer que conocemos el valor de la desviación
típica poblacional de la variable Pulse1 (pulso antes de correr), σ = 10 pulsaciones por minuto.
Comprobemos si se puede aceptar, con un nivel de significación de α = 0 05, que el pulso medio
poblacional antes de correr es mayor que 70 pulsaciones por minuto. Si µ denota la media poblacional
de la variable X=Pulso antes de correr, el contraste es H0 : µ ≤ 70 frente a H1 : µ > 70.
En el capítulo anterior ya hemos comprobado que la muestra de resultados de la variable Pulse1 es
aleatoria. Además, el tamaño muestral es grande (n = 92). Por tanto, podemos utilizar este procedi-
miento estadístico.
Seleccionamos la opción Stat ⇒Basic Statistics ⇒1-Sample Z. En Samples in columns seleccionamos,
de la lista de variables de la izquierda, la columna o columnas para las cuales se va a realizar este tipo
de contraste; en nuestro caso, ‘Pulse1’. Dejamos desactivada la opción Summarized data. En Standard
deviation tecleamos el valor de la desviación típica poblacional, σ, que suponemos que es 10. Activa-
mos Perform hypothesis test y en Hypothesized mean especificamos el valor, µ0 , con el que se compara la

51


media poblacional, que es 70. Si pulsamos el botón Options nos aparece un nuevo cuadro de diálogo
con las siguientes opciones:

Confidence level: Por defecto se muestra un intervalo de confianza al 95 % para la media poblacional
µ. Se puede introducir un valor entre 1 y 99 para solicitar otro nivel de confianza. En nuestro
caso, podemos dejar lo que aparece por defecto, es decir, 95.
Alternative: Aquí se especifica cuál es la hipótesis alternativa: less than significa que la hipótesis
alternativa es H1 : µ < µ0 , not equal significa que la hipótesis alternativa es H1 : µ = µ0 y
greater than significa que la hipótesis alternativa es H1 : µ > µ0 . Tengamos en cuenta que con
la opción less than el intervalo de confianza para la media será del tipo (−∞, b), con la opción
not equal el intervalo de confianza para la media será del tipo (a, b) y con la opción greater than
el intervalo de confianza para la media será del tipo (a, +∞). En nuestro caso, tenemos que
seleccionar greater than ya que la hipótesis alternativa es H1 : µ > 70.

Podemos comprobar, en la ventana de sesión, que el p-valor es 0 003, claramente menor que el ni-
vel de significación, α = 0 05. En consecuencia, rechazamos la hipótesis nula y, por tanto, aceptamos
la hipótesis alternativa; es decir, aceptamos que la media poblacional de la variable Pulse 1 es mayor
que 70 pulsaciones por minuto. El intervalo de confianza al 95 % para la media poblacional, asociado
a este contraste de hipótesis, es (71 15, +∞).

También se puede realizar este contraste de hipótesis si sabemos el tamaño muestral y el resultado
de la media muestral. Veámoslo con un ejemplo:
En el volumen de Julio de 1992 de Economics Abstracts, la media del número de palabras por
resumen es 79 56, con una varianza de 615 04. Se extrae una muestra aleatoria simple de 30 resúmenes
escritos en alemán y se observa que la media del número de palabras por resumen es 67 47. Se quiere
decidir si existe una diferencia significativa entre la media de palabras por resumen de los escritos en
alemán y la media de palabras por resumen de todos los de este volumen.
Vamos a suponer que la varianza del número de palabras por resumen de los escritos en alemán
coincide con la varianza del número de palabras por resumen de todos los de este volumen. Así pues,
los datos que tenemos son los siguientes:
µ0 = 79 56 ,
√
σ 2 = 615 04 ⇒ σ = 615 04 = 24 8 ,
X = 67 47 ,
n = 30 .

La variable observada en la población no puede ser Normal pues es discreta, pero como el tamaño
muestral es 30, entonces podemos aplicar esta técnica. Así pues, consideramos el siguiente contraste
de hipótesis:
H0 : µ = 79 56 ,
H1 : µ = 79 56 .
Seleccionamos la opción Stat ⇒Basic Statistics ⇒1-Sample Z. Activamos la opción Summarized data,
con lo cual se desactiva automáticamente la opción Samples in columns. En Sample size tenemos que
teclear el tamaño muestral, que es 30 y en Mean tenemos que teclear el resultado de la media muestral,
que es 67,47. En Standard deviation tecleamos el valor de la desviación típica poblacional, σ, que su-
ponemos que es 24,8. Activamos Perform hypothesis test y en Hypothesized mean especificamos el valor,


µ0 , con el que se compara la media poblacional, que es 79,56. Pulsamos en Options y, en el cuadro de
diálogo resultante, en Alternative seleccionamos not equal puesto que nuestra hipótesis alternativa es
H1 : µ = 79 56.
Podemos comprobar, en la ventana de sesión, que el p-valor es 0 008, claramente menor que los
niveles de significación usuales (α = 0 05 ó α = 0 01). En consecuencia, rechazamos la hipótesis
nula y, por tanto, aceptamos que existe diferencia significativa entre la media del número de palabras
por resumen en alemán y la media del número de palabras por resumen de todos ellos. El intervalo de
confianza al 95 % para la media poblacional, asociado a este contraste de hipótesis, es (58 60, 76 34).

5.1.2. Contraste sobre la media cuando la desviación típica
poblacional es desconocida
Igual que en el apartado anterior, esta técnica es válida solamente si la muestra es aleatoria y la
población es Normal o el tamaño muestral, n, es grande (en la práctica, n ≥ 30).
Para realizar este contraste paramétrico hay que seleccionar Stat ⇒Basic Statistics ⇒1-Sample t. La
manera de utilizar esta opción es la misma que la explicada en el apartado anterior.
Con el archivo de datos Pulse.mtw, veamos si se puede aceptar, con un nivel de significación de
α = 0 05, que el pulso medio poblacional antes de correr es igual a 71 pulsaciones por minuto. Lo
que queremos comprobar es si la media poblacional de la variable Pulse1 es igual a 71 pulsaciones
por minuto, suponiendo ahora desconocida la desviación típica poblacional (lo cual es cierto). Si µ
denota la media poblacional de la variable Pulse1, el contraste es H0 : µ = 71 frente a H1 : µ = 71.
Podemos comprobar, en la ventana de sesión, que el p-valor es 0 107, claramente mayor que el
nivel de significación, α = 0 05, por lo que podemos aceptar la hipótesis nula; es decir, aceptamos
que la media poblacional del número de pulsaciones por minuto antes de correr es igual a 71. El
intervalo de confianza al 95 % para la media poblacional de dicha variable es (70 59, 75 15).

También se puede realizar este contraste de hipótesis si sabemos el tamaño muestral, el resultado
de la media muestral y el resultado de la desviación típica corregida muestral. Veámoslo con un
ejemplo:
El número medio de libros por estante de una biblioteca es 24. Extraída una muestra de 91 estantes
de libros de matemáticas se obtiene una media de 25 libros, con una desviación típica corregida de 1 5.
Queremos decidir si existe diferencia significativa entre el número medio de libros de matemáticas
por estante y el número medio de libros por estante.
La variable X = “Número de libros de matemáticas por estante” no puede ser Normal porque es
discreta; pero como n = 91 ≥ 30 entonces se puede utilizar este procedimiento.
Los datos conocidos son:
µ0 = 24 ,
S = 1 5,
X = 25 ,
n = 91 .

El contraste de hipótesis que vamos a hacer es el siguiente:

H0 : µ = 24 ,
H1 : µ = 24 .


Seleccionamos la opción Stat ⇒Basic Statistics ⇒1-Sample t. Activamos la opción Summarized data,
con lo cual se desactiva automáticamente la opción Samples in columns. En Sample size tenemos que
teclear el tamaño muestral, que es 91, en Mean tenemos que teclear el resultado de la media muestral,
que es 25, y en Standard deviation tenemos que teclear el resultado de la desviación típica corregida
muestral, que es 1,5. Activamos Perform hypothesis test y en Hypothesized mean especificamos el valor,
µ0 , con el que se compara la media poblacional, que es 24. Pulsamos en Options y, en el cuadro de
diálogo resultante, en Alternative seleccionamos not equal puesto que nuestra hipótesis alternativa es
H1 : µ = 24.
Podemos comprobar, en la ventana de sesión, que el p-valor es 0, el mínimo posible y, por su-
puesto, claramente menor que los niveles de significación usuales (α = 0 05 ó α = 0 01). En conse-
cuencia, rechazamos la hipótesis nula y, por tanto, aceptamos que existe diferencia significativa entre
el número medio de libros de matemáticas por estante y el número medio de libros por estante. El
intervalo de confianza al 95 % para la media poblacional, asociado a este contraste de hipótesis, es
(24 688, 25 312).

5.2. Contrastes sobre la varianza
El contraste de hipótesis sobre una varianza sirve para tomar decisiones acerca del verdadero valor
poblacional de la varianza de una variable aleatoria. Minitab realiza el contraste solamente en el caso
en el que la media poblacional es desconocida.
Esta técnica es válida solamente si la muestra es aleatoria y la población es Normal.
Para hacer el contraste de hipótesis sobre una varianza poblacional hay que seleccionar Stat ⇒Basic
Statistics ⇒1 Variance. Esta opción también se utiliza para realizar un test sobre la desviación típica
poblacional.
En el capítulo anterior ya hemos comprobado que la muestra de resultados de la variable Pulse1 (del
archivo de datos Pulse.mtw) es aleatoria, y que la variable Pulse1 es Normal. Por tanto, podemos utilizar
este procedimiento estadístico para comprobar si se puede aceptar, con un nivel de significación de
α = 0 05, que la varianza poblacional del pulso antes de correr es menor que 130 pulsaciones al
cuadrado. Si σ 2 denota la varianza poblacional de la variable X=Pulso antes de correr, el contraste
es H0 : σ ≥ 130 frente a H1 : σ 2 < 130.
Seleccionamos, por tanto, la opción Stat ⇒Basic Statistics ⇒1 Variance. En el cuadro de diálogo
resultante, arriba a la derecha, seleccionamos Enter variance (si quisiéramos realizar un contraste sobre
la desviación típica poblacional, seleccionaríamos Enter standard deviation); en Samples in columns se
selecciona, de la lista de variables de la izquierda, la columna o columnas para las cuales se va a
realizar este tipo de contraste; en nuestro caso se selecciona ‘Pulse1’. Dejamos desactivada la opción
2
Summarized data. Activamos Perform hypothesis test y en Hypothesized variance se especifica el valor, σ0 ,
con el que se compara la varianza poblacional, que es 130. Si pulsamos el botón Options nos aparece
un nuevo cuadro de diálogo con las siguientes opciones:

Confidence level: Por defecto se muestra un intervalo de confianza al 95 % para la varianza pobla-
cional σ 2 . Se puede introducir un valor entre 1 y 99 para solicitar otro nivel de confianza. En
nuestro caso, podemos dejar lo que aparece por defecto, es decir, 95.
alternativa es H1 : σ 2 < σ0 , not equal significa que la hipótesis alternativa es H1 : σ 2 = σ0 y
2 2

greater than significa que la hipótesis alternativa es H1 : σ 2 > σ0 . Tengamos en cuenta que con
2


la opción less than el intervalo de confianza para la varianza será del tipo (−∞, b), con la opción
not equal el intervalo de confianza para la varianza será del tipo (a, b) y con la opción greater than
el intervalo de confianza para la varianza será del tipo (a, +∞). En nuestro caso, tenemos que
seleccionar less than ya que la hipótesis alternativa es H1 : σ 2 < 130.

Podemos comprobar, en la ventana de sesión, que el p-valor (para el método Standard) es 0 338,
claramente mayor que el nivel de significación, α = 0 05. En consecuencia, aceptamos la hipótesis
nula y, por tanto, no podemos aceptar la hipótesis alternativa; es decir, no podemos aceptar que la
varianza poblacional del pulso antes de correr es menor que 130 pulsaciones al cuadrado. El intervalo
de confianza al 95 % para la varianza poblacional, asociado a este contraste de hipótesis (con el méto-
do Standard), es (−∞, 158). El intervalo de confianza al 95 % para la desviación típica poblacional,
asociado a este contraste de hipótesis (con el método Standard), es (−∞, 12 6).

También se puede realizar este contraste de hipótesis si sabemos el tamaño muestral y el resultado
de la varianza corregida muestral. Veámoslo con un ejemplo:
Se sabe que las calificaciones en la asignatura A es una variable Normal de media y varianza
desconocidas. Se extrae una muestra aleatoria simple de 81 alumnos de la asignatura A, obteniéndose
una media de 6 8 puntos, con una varianza corregida de 1 69 puntos al cuadrado, en las calificaciones
de dichos alumnos. Sabemos que la varianza de las calificaciones en otra asignatura B es de 2 6 puntos
al cuadrado. Queremos saber si la verdadera varianza de las calificaciones en la asignatura A es menor
que la varianza en las calificaciones en la asignatura B.
Como la varianza corregida muestral es S 2 = 1 69 < 2 6, esta evidencia debe ser compatible con
la hipótesis alternativa. Así pues, vamos a realizar el siguiente contraste:

H0 : σ 2 ≥ 2 6 ,
H1 : σ 2 < 2 6 .

Seleccionamos la opción Stat ⇒Basic Statistics ⇒1 Variance. En el cuadro de diálogo resultante,
arriba a la derecha, seleccionamos Enter variance. Activamos la opción Summarized data, con lo cual se
desactiva automáticamente la opción Samples in columns. En Sample size tenemos que teclear el tamaño
muestral, que es 81, y en Sample variance tenemos que teclear el resultado de la varianza corregida
muestral, que es 1,69. Activamos Perform hypothesis test y en Hypothesized variance se especifica el valor,
2
σ0 , con el que se compara la varianza poblacional, que es 2,6. Pulsamos en Options y, en el cuadro
de diálogo resultante, en Alternative seleccionamos less than puesto que nuestra hipótesis alternativa es
H1 : σ 2 < 2 6.
Podemos comprobar, en la ventana de sesión, que el p-valor es 0 006, claramente menor que los
niveles de significación usuales (α = 0 05 ó α = 0 01). En consecuencia, rechazamos la hipótesis
nula y, por tanto, aceptamos que la varianza de las calificaciones en la asignatura A es menor que la
varianza de las calificaciones en la asignatura B. El intervalo de confianza al 95 % para la varianza
poblacional, asociado a este contraste de hipótesis, es (−∞, 2 24).

5.3. Contrastes sobre la proporción
Supongamos una población en la que observamos una característica que sólo tiene dos resultados
o modalidades, que podemos denominar éxito y fracaso. Sea p la proporción poblacional de éxitos.


Para hacer el contraste de hipótesis sobre la proporción poblacional de éxitos, p, hay que selec-
cionar Stat ⇒Basic Statistics ⇒1 Proportion. Esta opción también nos da el intervalo de confianza para
p.
Recordemos que en la hoja de datos Pulse.mtw la variable Smokes tenía solamente dos resultados:
1=Sí fuma, 2=No fuma. Vamos a comprobar si se puede aceptar, con un nivel de significación de
α = 0 05, que el porcentaje poblacional de fumadores es menor que 35 %; es decir, si la proporción
poblacional de fumadores es menor que 0 35. El contraste es H0 : p ≥ 0 35 frente a H1 : p < 0 35.
Seleccionamos la opción Stat ⇒Basic Statistics ⇒1 Proportion. En el cuadro de diálogo resultante,
en Samples in columns seleccionamos, de la lista de variables de la izquierda, la columna ‘Smokes’;
dejamos desactivada la opción Summarized data; activamos Perform hypothesis test y en Hypothesized
proportion especificamos el valor, p0 , con el que comparamos la proporción poblacional, que es 0,35.
Si pulsamos el botón Options nos aparece un nuevo cuadro de diálogo con las siguientes opciones:

Confidence level: Por defecto se muestra un intervalo de confianza al 95 % para la proporción po-
blacional p. Se puede introducir un valor entre 1 y 99 para solicitar otro nivel de confianza. En
nuestro caso, podemos dejar lo que aparece por defecto, es decir, 95.
alternativa es H1 : p < p0 , not equal significa que la hipótesis alternativa es H1 : p = p0 y greater
than significa que la hipótesis alternativa es H1 : p > p0 . Tengamos en cuenta que con la opción
less than el intervalo de confianza para la proporción será del tipo (−∞, b), con la opción not
equal el intervalo de confianza para la proporción será del tipo (a, b) y con la opción greater than
el intervalo de confianza para la proporción será del tipo (a, +∞). En nuestro caso, tenemos
que seleccionar less than ya que la hipótesis alternativa es H1 : p < 0 35.

Podemos comprobar, en la ventana de sesión, que el p-valor es 1, el máximo posible y, por supues-
to, claramente mayor que el nivel de significación, α = 0 05. En consecuencia, aceptamos la hipótesis
nula y, por tanto, no podemos aceptar que la proporción poblacional de fumadores es menor que 0 35;
es decir, no podemos aceptar que el porcentaje poblacional de fumadores es menor que 35 %. El in-
tervalo de confianza al 95 % para la proporción poblacional, asociado a este contraste de hipótesis, es
(−∞, 0 774287).

También se puede realizar el contraste de hipótesis sobre una proporción poblacional si sabemos
el tamaño muestral y el número de éxitos en la muestra. Veámoslo con un ejemplo:
Deseamos conocer la postura de los bibliotecarios frente a la informatización de las bibliotecas.
Para ello, preguntamos a 150 de ellos (elegidos aleatoria e independientemente) sobre este tema,
obligándoles a manifestarse a favor o en contra. El resultado es que 82 se manifiestan a favor y con-
siguientemente, 68 en contra. ¿Es compatible este resultado con que la proporción de bibliotecarios
(en el colectivo total) a favor de informatizar las bibliotecas es la misma que la proporción de biblio-
tecarios en contra?
Sea p la proporción de bibliotecarios (en el colectivo total) a favor de informatizar las bibliotecas.
El contraste que hemos de realizar es H0 : p = 0 5 frente a H1 : p = 0 5. Seleccionamos la opción
Stat ⇒Basic Statistics ⇒1 Proportion. En el cuadro de diálogo resultante, activamos la opción Summa-
rized data, con lo cual se desactiva automáticamente la opción Samples in columns. En Number of events
tenemos que teclear el número de éxitos en la muestra, que es 82 y en Number of trials tenemos que
teclear el tamaño muestral, que es 150. Activamos Perform hypothesis test y en Hypothesized proportion
especificamos el valor, p0 , con el que se compara la proporción poblacional, que es 0,5. Pulsamos en


Options y, en el cuadro de diálogo resultante, en Alternative seleccionamos not equal puesto que nuestra
hipótesis alternativa es H1 : p = 0 5.
Podemos comprobar, en la ventana de sesión, que el p-valor es 0 288, claramente mayor que los ni-
veles de significación usuales (α = 0 05 ó α = 0 01). En consecuencia, aceptamos la hipótesis nula y,
por tanto, aceptamos que la proporción de bibliotecarios (en el colectivo total) a favor de informatizar
las bibliotecas es la misma que la proporción de bibliotecarios en contra. El intervalo de confianza al
95 % para la proporción poblacional, asociado a este contraste de hipótesis, es (0 463428, 0 628026).

Ejercicio 5.1
c) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación de 0 05, que la media poblacional del
porcentaje anual de préstamos por usuario es igual a 70? ¿Por qué?
d) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación de 0 05, que la varianza poblacional del
porcentaje anual de préstamos por usuario es igual a 140? ¿Por qué?
Ejercicio 5.2
c) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación de 0 05, que la media poblacional del
porcentaje de transacciones de referencia finalizadas es menor que 86? ¿Por qué?
d) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación de 0 05, que la desviación típica pobla-
cional del porcentaje de transacciones de referencia finalizadas es mayor que 5? ¿Por qué?
Ejercicio 5.3 En una muestra aleatoria simple de 15 individuos que consultan bases de datos, el
tiempo (en minutos) que están utilizando el ordenador para realizar esta tarea es:

22 13 17 14 15 18 19 14 17 20 21 13 15 18 17

b) Guarda los datos en el archivo Minutos.mtw
c) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación de α = 0 05, que la muestra es aleatoria?
¿Por qué?
d) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación de α = 0 05, que la variable aleatoria
“tiempo empleado en consultar bases de datos por ordenador” es Normal? ¿Por qué?
e) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación de α = 0 05, que la media poblacional
del tiempo empleado en consultar bases de datos por ordenador es mayor que 15 minutos?
¿Por qué?


f) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación de α = 0 05, que la desviación típica
poblacional del tiempo empleado en consultar bases de datos por ordenador es menor que
2 minutos? ¿Por qué?
g) Graba el proyecto con el siguiente nombre: Ejercicio5-3.mpj

Ejercicio 5.4 El número medio de libros por estante en una biblioteca es de 24 4, con una desviación
típica de 1 6. Una muestra aleatoria simple de 36 estantes de dicha biblioteca tiene una media
de 25 2 libros por estante. ¿La información proporcionada por la muestra es representativa de
toda la población?

Ejercicio 5.5 El número medio recomendado de usuarios servidos semanalmente por cada miembro
del personal de una biblioteca es de 100. En una muestra aleatoria simple de 81 miembros del
personal de las bibliotecas de una determinada región se obtiene una media de 132 88 usuarios
servidos semanalmente, con una desviación típica corregida de 55 19. ¿Las bibliotecas de dicha
región siguen la recomendación mencionada?

Ejercicio 5.6 El precio medio de los libros en rústica es de 63 4 euros, con una desviación típica de
14 8 euros. Una muestra aleatoria simple de 61 libros en rústica con ilustraciones en color tiene
un precio medio de 69 5 euros, con una desviación típica corregida de 16 6 euros.

a) ¿Permiten los datos afirmar que los libros en rústica con ilustraciones en color son más
caros que el resto de libros en rústica?
b) ¿La varianza del precio de los libros en rústica con ilustraciones en color es mayor que la
del precio de los libros en rústica?

Ejercicio 5.7 Se sabe que el número medio de veces que un artículo científico es citado durante los 5
siguientes años a su publicación es de 6 5. Se eligen aleatoria e independientemente 71 artículos
de medicina, obteniéndose una media de 7 8 citas durante los 5 siguientes años a su publicación,
con una desviación típica corregida de 2 3. ¿Se puede afirmar que durante los 5 siguientes años
a su publicación se citan más los artículos de medicina que el resto de artículos científicos?

Ejercicio 5.8 En una biblioteca desconocemos la proporción de libros escritos en español. De una
muestra aleatoria simple de 125 libros, 80 de ellos están escritos en español, y el resto en otros
idiomas. Según estos datos, ¿se puede afirmar que la proporción de libros escritos en español
en dicha biblioteca es mayor que 0 6?

Ejercicio 5.9 En una biblioteca escolar hay una proporción de libros prestados que se devuelven con
retraso. De una muestra aleatoria simple de 250 libros, 50 de ellos se han devuelto con retraso.
¿Permiten los datos afirmar que la proporción de libros prestados que se devuelven con retraso
a dicha biblioteca escolar es mayor que 0 15?

6
Contrastes paramétricos en dos
poblaciones

6.1. Comparación de dos varianzas con muestras
independientes
En el apartado siguiente vamos a estudiar el problema de la comparación de dos medias poblacio-
nales en el caso en que observemos dos variables aleatorias Normales (una en cada población), supo-
niendo que se han extraído dos muestras aleatorias (una de cada población) independientes. Veremos
en dicho apartado que necesitamos saber si las varianzas poblacionales (que serán desconocidas) son
iguales o distintas. Por este motivo estudiamos ahora el contraste de comparación de varianzas en el
caso en que desconozcamos los valores de las medias poblacionales.
Este procedimiento estadístico solamente es válido cuando las dos muestras son aleatorias y las
dos poblaciones son Normales.
Para realizar este test paramétrico hay que seleccionar Stat ⇒Basic Statistics ⇒2 Variances.

Ejemplo 1. Con el archivo de datos Pulse.mtw, comprobemos si se puede aceptar, con un nivel de
signiﬁcación de α = 0 05, que la varianza poblacional del pulso de los hombres antes de correr es
igual a la varianza poblacional del pulso de las mujeres antes de correr. Lo que se quiere es com-
parar la varianza poblacional de la variable Pulse1 para los grupos en los que la variable Sex vale 1
2 2 2 2
(Hombre) y 2 (Mujer). El contraste que tenemos que hacer es H0 : σ1 = σ2 frente a H1 : σ1 = σ2 ,
siendo X1 =“Pulso de los hombres antes de correr” y X2 =“Pulso de las mujeres antes de correr”.
Como no hay relación alguna entre el grupo de hombres y el grupo de mujeres, podemos aﬁrmar que
las muestras son independientes. Por tanto, nos encontramos ante un contraste de comparación de
dos varianzas poblacionales, con muestras independientes y medias poblacionales desconocidas. Ya
hemos comprobado, en la capítulo 4, que las dos variables, X1 y X2 , son Normales.
Para hacer este contraste seleccionamos Stat ⇒Basic Statistics ⇒2 Variances. Activamos la opción
Samples in one column, con lo cual se desactivan automáticamente las opciones Samples in different co-
lumns y Summarized data. En Samples seleccionamos, de la lista de variables de la izquierda, la columna

59


‘Pulse1’; en Subscripts seleccionamos, de la lista de la izquierda, la columna ‘Sex’. Si pulsamos el botón
Options nos aparece un nuevo cuadro de diálogo con las siguientes opciones:

Confidence level: Por defecto se muestra un intervalo de confianza al 95 % para la diferencia de
desviaciones típicas poblacionales, σ1 − σ2 . Se puede introducir un valor entre 1 y 99 para
solicitar otro nivel de confianza. En nuestro ejemplo, podemos dejar lo que aparece por defecto,
es decir, 95.
Title: Aquí se puede escribir un título para el resultado del contraste. En nuestro ejemplo, podemos
dejarlo en blanco.

Como resultado de este contraste obtenemos una nueva ventana que contiene dos gráficos y los
resultados de dos tests de hipótesis sobre comparación de dos varianzas (el test F de Snedecor y el
test de Levene). Podemos comprobar que el p-valor para el test F de Snedecor es 0 299; claramente
mayor que el nivel de significación, α = 0 05, por lo que podemos aceptar la hipótesis nula; es
decir, podemos aceptar que la varianza poblacional del pulso de los hombres antes de correr es igual
a la varianza poblacional del pulso de las mujeres antes de correr. Con el test de Levene también
aceptaríamos la hipótesis nula pues el p-valor es igual a 0 148.

Ejemplo 2. Con el archivo de datos Pulse.mtw, comprobemos si se puede aceptar, con un nivel de
significación de α = 0 05, que la varianza poblacional del pulso de los hombres después de correr
es igual a la varianza poblacional del pulso de las mujeres después de correr. Lo que se quiere es
comparar la varianza poblacional de la variable Pulse2 para los grupos en los que la variable Sex vale
2 2 2
1 (Hombre) y 2 (Mujer). El contraste que tenemos que hacer es H0 : σ1 = σ2 frente a H1 : σ1 =
2
σ2 , siendo X1 =“Pulso de los hombres después de correr” y X2 =“Pulso de las mujeres después de
correr”.
Para hacer este contraste seleccionamos Stat ⇒Basic Statistics ⇒2 Variances. Activamos la opción
‘Pulse2’; en Subscripts seleccionamos, de la lista de la izquierda, la columna ‘Sex’.
Se puede comprobar que el p-valor para el test F de Snedecor es 0 003, claramente menor que
el nivel de significación, α = 0 05, por lo que tenemos que rechazar la hipótesis nula y, por tanto,
aceptar que la varianza poblacional del pulso de los hombres después de correr es distinta de la
varianza poblacional del pulso de las mujeres después de correr. Con el test de Levene llegamos a la
misma conclusión pues el p-valor es igual a 0 011.

También se puede realizar este contraste de hipótesis si sabemos los dos tamaños muestrales y los
resultados de las dos varianzas corregidas muestrales. Veámoslo con un nuevo ejemplo:
Ejemplo 3. Supongamos que, de una muestra aleatoria de 21 personas que son socias de una biblio-
teca, la media del número de horas por semana que pasan en la biblioteca es 10, con una varianza
corregida de 9. Y para una muestra aleatoria independiente de la primera, de 16 personas que no son
socias de la biblioteca, la media es 6, con una varianza corregida de 4. ¿Existe diferencia significati-
va entre las varianzas del número de horas semanales que pasan en la biblioteca los socios y los no
socios?
Como la varianza corregida muestral en el grupo de los socios es mayor que en el grupo de los
2
no socios, entonces S1 será la varianza corregida en el grupo de los socios; es decir, X1 =“Tiempo


semanal que permanecen en la biblioteca los socios” y X2 =“Tiempo semanal que permanecen en la
biblioteca los no socios”. Hemos de suponer que las variables aleatorias X1 y X2 son Normales.
Así pues, se tienen los siguientes datos:
2
n1 = 21 , S1 = 9 ,
2
n2 = 16 , S2 = 4 .

Vamos a decidir sobre el siguiente contraste de hipótesis:
2 2
H0 : σ1 = σ2 ,
2 2
H1 : σ1 = σ2 .

Seleccionamos la opción Stat ⇒Basic Statistics ⇒2 Variances. Activamos la opción Summarized data,
con lo cual se desactivan automáticamente las opciones Samples in one column y Samples in different
columns. Dentro de First, en Sample size tenemos que teclear el tamaño muestral de la primera muestra,
que es 21, y en Variance tenemos que teclear el resultado de la varianza corregida de la primera muestra,
que es 9. Dentro de Second, en Sample size tenemos que teclear el tamaño muestral de la segunda
muestra, que es 16, y en Variance tenemos que teclear el resultado de la varianza corregida de la
segunda muestra, que es 4.
Tanto en la ventana de sesión como en el gráfico generado comprobamos que el p-valor para el test
F de Snedecor es 0 114, mayor que los niveles de significación usuales (α = 0 05 ó α = 0 01) y, por
tanto, aceptamos la hipótesis nula. En consecuencia, aceptamos que no existe diferencia significativa
entre las varianzas del número de horas semanales que pasan en la biblioteca los socios y los no
socios.

6.2. Comparación de dos medias con muestras
independientes
En general, un contraste para decidir sobre la hipótesis nula H0 : µ1 = µ2 frente a la hipótesis
alternativa H1 : µ1 = µ2 es bastante frecuente y constituye uno de los primeros objetivos de cualquier
investigador que se inicia en estadística. Los métodos de resolución del problema varían según las
muestras sean independientes o apareadas, y según las varianzas poblacionales sean conocidas o des-
conocidas. Dentro del caso en que las varianzas poblacionales sean desconocidas, el método depende
de si son iguales o distintas. El caso de muestras independientes y varianzas poblacionales conocidas
no se puede hacer con Minitab. Trataremos, a continuación, el resto de los casos.

6.2.1. Comparación de dos medias con muestras independientes y
varianzas poblacionales desconocidas pero iguales
Este procedimiento solamente es válido cuando las dos muestras son aleatorias y las dos poblacio-
nes son Normales o los dos tamaños muestrales son grandes (en la práctica n1 , n2 ≥ 30).
Para realizar este test paramétrico hay que seleccionar Stat ⇒Basic Statistics ⇒2-Sample t.
Con el archivo de datos Pulse.mtw, comprobemos si se puede aceptar, con un nivel de significación
de α = 0 05, que el pulso medio poblacional de los hombres antes de correr es igual al pulso medio


poblacional de las mujeres antes de correr. Lo que se quiere es comparar la media poblacional de la
variable Pulse1 para los grupos en los que la variable Sex vale 1 (Hombre) y 2 (Mujer). El contraste
que tenemos que hacer es H0 : µ1 = µ2 frente a H1 : µ1 = µ2 , siendo X1 =“Pulso de los hombres
antes de correr” y X2 =“Pulso de las mujeres antes de correr”.
En el Ejemplo 1 de la sección 6.1 hemos comprobado que se puede aceptar que la varianza po-
blacional del pulso de los hombres antes de correr es igual a la varianza poblacional del pulso de
las mujeres antes de correr. Por tanto, nos encontramos ante un contraste de comparación de dos me-
dias poblacionales, con muestras independientes y varianzas poblacionales desconocidas pero iguales.
Aunque las variables aleatorias X1 y X2 no fuesen Normales (que sí lo son, pues lo hemos com-
probado en el capítulo 4), se puede aplicar este contraste debido a que los tamaños muestrales son
suficientemente grandes: n1 = 57 y n2 = 35.
Para hacer este contraste seleccionamos Stat ⇒Basic Statistics ⇒2-Sample t. Activamos la opción
‘Pulse1’; en Subscripts seleccionamos, de la lista de la izquierda, la columna ‘Sex’; y activamos Assu-
me equal variances ya que hemos comprobado que las varianzas poblacionales son desconocidas pero
iguales. Si pulsamos el botón Options nos aparece un nuevo cuadro de diálogo con las siguientes
opciones:
medias poblacionales, µ1 − µ2 . Se puede introducir un valor entre 1 y 99 para solicitar otro
nivel de confianza. En nuestro ejemplo, podemos dejar lo que aparece por defecto, es decir, 95.
Test difference: Aquí se pone el valor con el que se compara la diferencia de medias poblacionales,
µ0 . La hipótesis nula H0 : µ1 = µ2 es equivalente a H0 : µ1 − µ2 = 0, por lo que el valor
con el que se compara la diferencia de medias poblacionales, en este ejemplo, es cero; es decir,
µ0 = 0. En consecuencia, nosotros dejamos lo que aparece por defecto (cero).
alternativa es H1 : µ1 −µ2 < µ0 , not equal significa que la hipótesis alternativa es H1 : µ1 −µ2 =
µ0 y greater than significa que la hipótesis alternativa es H1 : µ1 − µ2 > µ0 . Tengamos en cuenta
que con la opción less than el intervalo de confianza para µ1 − µ2 será del tipo (−∞, b), con
la opción not equal el intervalo de confianza será del tipo (a, b) y con la opción greater than el
intervalo de confianza será del tipo (a, +∞). En nuestro ejemplo, tenemos que dejar lo que
aparece por defecto, que es not equal, ya que la hipótesis alternativa es H1 : µ1 = µ2 , que es
equivalente a H1 : µ1 − µ2 = 0.
Podemos comprobar, en la ventana de sesión, que el p-valor es 0 006, claramente menor que el
nivel de significación, α = 0 05, por lo que debemos rechazar la hipótesis nula y, por tanto, aceptar
la hipótesis alternativa. Aceptamos que el pulso medio poblacional de los hombres antes de correr es
distinto del pulso medio poblacional de las mujeres antes de correr. Como la media muestral del pulso
de las mujeres antes de correr (76 9) es mayor que la media muestral del pulso de los hombres antes
de correr (70 42) podríamos, incluso, aceptar que la media poblacional del pulso de las mujeres antes
de correr es mayor que la media poblacional del pulso de los hombres antes de correr. El intervalo de
confianza al 95 % para la diferencia de medias poblacionales, µ1 − µ2 , es (−10 96, −1 91).

También se puede realizar este contraste de hipótesis si sabemos los dos tamaños muestrales, los
resultados de las dos medias muestrales y los resultados de las dos desviaciones típicas corregidas
muestrales. Veámoslo con un nuevo ejemplo:


Con los datos del Ejemplo 3 (de la sección 6.1) queremos decidir si existe diferencia significativa
entre el número medio de horas semanales que permanecen en la biblioteca los socios y los no socios.
Como en dicho ejemplo hemos decidido aceptar que no existe diferencia significativa entre las
varianzas poblacionales, entonces nos encontramos ante un contraste de comparación de dos me-
dias poblacionales, con muestras independientes y varianzas poblacionales desconocidas pero iguales.
Realizaremos el siguiente contraste de hipótesis:

H0 : µ1 = µ2 ,
H1 : µ1 = µ2 .

Los datos son:
n1 = 21 , X 1 = 10 , S1 = 3 ,
n2 = 16 , X 2 = 6 , S2 = 2 .

Seleccionamos la opción Stat ⇒Basic Statistics ⇒2-Sample t. Activamos la opción Summarized data,
con lo cual se desactivan automáticamente las opciones Samples in one column y Samples in different
columns. Dentro de First, en Sample size tenemos que teclear el tamaño muestral de la primera muestra,
que es 21, en Mean tenemos que teclear el resultado de la media de la primera muestra, que es 10, y
en Standard deviation tenemos que teclear el resultado de la desviación típica corregida de la primera
muestra, que es 3. Dentro de Second, en Sample size tenemos que teclear el tamaño muestral de la
segunda muestra, que es 16, en Mean tenemos que teclear el resultado de la media de la segunda
muestra, que es 6, y en Standard deviation tenemos que teclear el resultado de la desviación típica
corregida de la segunda muestra, que es 2. Activamos Assume equal variances ya que hemos comprobado
(en el Ejemplo 3, como ya hemos dicho) que las varianzas poblacionales son desconocidas pero
iguales. Pulsamos en Options y en el cuadro de diálogo resultante dejamos lo que aparece por defecto
(Confidence level: 95, Test difference: 0, Alternative: not equal).
Podemos comprobar, en la ventana de sesión, que el p-valor es 0, el mínimo posible y, por supuesto,
menor que los niveles de significación usuales (α = 0 05 ó α = 0 01), por lo que debemos rechazar
la hipótesis nula. Aceptamos, en consecuencia, que existe diferencia significativa entre el número
medio de horas semanales que permanecen en la biblioteca los socios y los no socios. Como la media
muestral del número de horas semanales que permanecen en la biblioteca los socios (10) es mayor que
la media muestral del número de horas semanales que permanecen en la biblioteca los no socios (6)
podríamos, incluso, aceptar que la media poblacional del número de horas semanales que permanecen
en la biblioteca los socios es mayor que la media poblacional del número de horas semanales que
permanecen en la biblioteca los no socios. El intervalo de confianza al 95 % para la diferencia de
medias poblacionales, µ1 − µ2 , es (2 326, 5 674).

6.2.2. Comparación de dos medias con muestras independientes y
varianzas poblacionales desconocidas y distintas
Igual que en el apartado anterior, este procedimiento solamente es válido cuando las dos muestras
son aleatorias y las dos poblaciones son Normales o los dos tamaños muestrales son grandes (en la
práctica n1 , n2 ≥ 30).
Para realizar este test paramétrico hay que seleccionar, igual que antes, Stat ⇒Basic Statistics ⇒2-
Sample t. Hay que rellenar el cuadro de diálogo de manera similar al apartado anterior, con la salvedad
de que, en este caso, hay que desactivar la opción Assume equal variances.


de α = 0 05, que el pulso medio poblacional de los hombres después de correr es igual al pulso
medio poblacional de las mujeres después de correr. Queremos comparar la media poblacional de la
variable Pulse2 para los grupos en los que la variable Sex vale 1 (Hombre) y 2 (Mujer). El contraste
que tenemos que hacer es H0 : µ1 = µ2 frente a H1 : µ1 = µ2 , siendo X1 =“Pulso de los hombres
después de correr” y X2 =“Pulso de las mujeres después de correr”.
En el Ejemplo 2 de la sección 6.1 hemos comprobado que se puede aceptar que la varianza pobla-
cional del pulso de los hombres después de correr es distinta de la varianza poblacional del pulso de
las mujeres después de correr. Por tanto, nos encontramos ante un contraste de comparación de dos
medias poblacionales, con muestras independientes y varianzas poblacionales desconocidas y dis-
tintas. Aunque las variables aleatorias X1 y X2 no fuesen Normales, se puede aplicar este contraste
debido a que los tamaños muestrales son suficientemente grandes: n1 = 57 y n2 = 35.
Para hacer el contraste seleccionamos Stat ⇒Basic Statistics ⇒2-Sample t. Activamos la opción Sam-
ples in one column, con lo cual se desactivan automáticamente las opciones Samples in different columns y
Summarized data. En Samples seleccionamos, de la lista de variables de la izquierda, la columna ‘Pulse2’;
y en Subscripts seleccionamos, de la lista de la izquierda, la columna ‘Sex’. Si se pulsa el botón Options
aparece un cuadro de diálogo similar al ejemplo anterior. En este cuadro de diálogo dejamos lo que
aparece por defecto (Confidence level: 95, Test difference: 0, Alternative: not equal).
Podemos comprobar, en la ventana de sesión, que el p-valor es 0 007, claramente menor que el
nivel de significación, α = 0 05, por lo que debemos rechazar la hipótesis nula y, por tanto, aceptar
la hipótesis alternativa. Aceptamos que el pulso medio poblacional de los hombres después de correr
es distinto del pulso medio poblacional de las mujeres después de correr. Como la media muestral
del pulso de las mujeres después de correr (86 7) es mayor que la media muestral del pulso de los
hombres después de correr (75 9) podríamos, incluso, aceptar que la media poblacional del pulso de
las mujeres después de correr es mayor que la media poblacional del pulso de los hombres después
de correr. El intervalo de confianza al 95 % para la diferencia de medias poblacionales, µ1 − µ2 , es
(−18 65, −3 02).

6.3. Comparación de dos medias con muestras
apareadas
Este procedimiento solamente es válido cuando las dos muestras son aleatorias y la variable alea-
toria diferencia, D = X1 − X2 , es Normal o el tamaño muestral común, n, es grande (en la práctica,
n ≥ 30).
Para realizar este test paramétrico hay que seleccionar Stat ⇒Basic Statistics ⇒Paired t.
de α = 0 05, que el pulso medio poblacional antes de correr es igual al pulso medio poblacional
después de correr. Lo que se quiere es comparar la media poblacional de la variable Pulse1 con la
media poblacional de la variable Pulse2. El contraste que tenemos que hacer es H0 : µ1 = µ2 frente
a H1 : µ1 = µ2 , siendo X1 =“Pulso antes de correr” y X2 =“Pulso después de correr”. Como las
dos variables están observadas en los mismos individuos, podemos afirmar que las muestras están
relacionadas; es decir, son apareadas o asociadas. Por tanto, nos encontramos ante un contraste de
comparación de dos medias poblacionales con muestras apareadas. Aunque la variable aleatoria di-


ferencia, D = X1 − X2 , no fuese Normal, se puede aplicar este contraste debido a que los tamaños
muestrales son suficientemente grandes: n1 = n2 = n = 92.
Para hacer este contraste seleccionamos Stat ⇒Basic Statistics ⇒Paired t. Activamos la opción Sam-
ples in columns; en First sample seleccionamos, de la lista de variables de la izquierda, la columna
‘Pulse1’; en Second sample seleccionamos, de la lista de variables de la izquierda, la columna ‘Pulse2’.
Si pulsamos el botón Options nos aparece un cuadro de diálogo similar al de la opción anterior (2-
Sample t⇒Options). En este cuadro de diálogo dejamos lo que aparece por defecto (Confidence level: 95,
Test difference: 0, Alternative: not equal).
Podemos comprobar, en la ventana de sesión, que el p-valor es igual a 0, el mínimo posible y,
por supuesto, menor que el nivel de significación, α = 0 05, por lo que debemos rechazar la hipótesis
nula y, por tanto, aceptar la hipótesis alternativa. Aceptamos, por tanto, que el pulso medio poblacional
antes de correr es distinto del pulso medio poblacional después de correr. Como la media muestral
del pulso después de correr (80 00) es mayor que la media muestral del pulso antes de correr (72 87)
podríamos, incluso, aceptar que la media poblacional del pulso después de correr es mayor que la
media poblacional del pulso antes de correr. El intervalo de confianza al 95 % para la diferencia de
medias poblacionales, en este caso, es (−9 92, −4 34).

6.4. Comparación de dos proporciones

Consideramos una variable aleatoria dicotómica o dicotomizada (con resultados denominados éxi-
to y fracaso) evaluada en dos poblaciones distintas. Extraemos sendas muestras aleatorias indepen-
dientes de tamaños n1 y n2 . Queremos realizar contraste H0 : p1 = p2 frente a H1 : p1 = p2 , donde
pi es la proporción de éxitos en la población i, para i = 1, 2.
Si los resultados de la variable aleatoria dicotómica o dicotomizada son numéricos, Minitab toma
como suceso éxito al número más alto; y si los resultados son de tipo texto, Minitab toma como suceso
éxito a la cadena de texto que esté más cerca del final del alfabeto. Por ejemplo, si los resultados son SI
y NO, entonces el resultado SI sería el suceso éxito. Si los resultados son 1 y 2, entonces el resultado
2 sería el suceso éxito.
Para realizar la comparación de dos proporciones poblacionales hay que seleccionar Stat ⇒Basic
Statistics ⇒2 Proportions.
Recordemos que en la hoja de datos Pulse.mtw la variable Smokes tiene solamente dos resultados:
1=Fumador, 2=No Fumador. Por otra parte, la variable Sex también tiene solamente dos resultados:
1=Hombre, 2=Mujer. Comprobemos si se puede aceptar, con un nivel de significación de α = 0 05,
que la proporción poblacional de hombres no fumadores es igual a la proporción poblacional de
mujeres no fumadoras. Minitab toma como suceso éxito de la variable Smokes el resultado 2 (es decir,
No Fumador) pues es el resultado más alto de los dos. Lo que se quiere es comparar la proporción
poblacional de éxitos de la variable Smokes para los grupos en los que la variable Sex vale 1 (Hombre)
y 2 (Mujer). El contraste que tenemos que hacer es H0 : p1 = p2 frente a H1 : p1 = p2 .
Para hacer este contraste seleccionamos Stat ⇒Basic Statistics ⇒2 Proportions. Activamos la opción
‘Smokes’; y en Subscripts seleccionamos, de la lista de la izquierda, la columna ‘Sex’. Si pulsamos el
botón Options nos aparece un nuevo cuadro de diálogo con las siguientes opciones:


proporciones poblacionales, p1 − p2 . Se puede introducir un valor entre 1 y 99 para solicitar
otro nivel de confianza. En nuestro ejemplo, podemos dejar lo que aparece por defecto, es decir,
95.
Test difference: Aquí se pone el valor con el que se compara la diferencia de proporciones poblacio-
nales, p0 . La hipótesis nula H0 : p1 = p2 es equivalente a H0 : p1 − p2 = 0, por lo que el valor
con el que se compara la diferencia de proporciones poblacionales, en este ejemplo, es cero; es
decir, p0 = 0. En consecuencia, nosotros dejamos lo que aparece por defecto (cero).
alternativa es H1 : p1 − p2 < p0 , not equal significa que la hipótesis alternativa es H1 : p1 − p2 =
p0 y greater than significa que la hipótesis alternativa es H1 : p1 − p2 > p0 . Tengamos en cuenta
que con la opción less than el intervalo de confianza para p1 − p2 será del tipo (−∞, b), con
la opción not equal el intervalo de confianza será del tipo (a, b) y con la opción greater than el
intervalo de confianza será del tipo (a, +∞). En nuestro ejemplo, tenemos que dejar lo que
aparece por defecto, que es not equal, ya que la hipótesis alternativa es H1 : p1 = p2 , que es
equivalente a H1 : p1 − p2 = 0.

Podemos comprobar, en la ventana de sesión, que el p-valor es 0 198, mayor que el nivel de sig-
nificación, α = 0 05, por lo que debemos aceptar la hipótesis nula. Aceptamos, en consecuencia, que
la proporción poblacional de hombres no fumadores es igual a la proporción poblacional de mujeres
no fumadoras. El intervalo de confianza al 95 % para la diferencia de proporciones poblacionales,
p1 − p2 , es (−0 308592, 0 0639809).

También se puede realizar este contraste de hipótesis si sabemos los dos tamaños muestrales y el
número de éxitos en cada una de las dos muestras. Veámoslo con un ejemplo:
Con objeto de comparar dos pequeñas empresas A y B de encuadernación de libros, se extra-
jo una muestra aleatoria de 250 libros encuadernados en A y otra muestra aleatoria de 200 libros
encuadernados en B, y se encontró que 50 de los libros encuadernados en A, y 32 de los encuader-
nados en B tenían algún defecto en su encuadernación. ¿Son igualmente buenas las dos empresas de
encuadernación?
Lo que queremos comprobar es si la proporción poblacional de libros defectuosos encuadernados
en la empresa A es igual a la proporción poblacional de libros defectuosos encuadernados en la
empresa B.
Para hacer este contraste seleccionamos Stat ⇒Basic Statistics ⇒2 Proportions. Activamos la opción
Summarized data. Dentro de First, en Events tenemos que teclear el número de éxitos en la primera
muestra, que es 50, y en Trials tenemos que teclear el tamaño de la primera muestra, que es 250. Dentro
de Second, en Events tenemos que teclear el número de éxitos en la segunda muestra, que es 32, y en
Trials tenemos que teclear el tamaño de la segunda muestra, que es 200. En el cuadro de diálogo de
Options dejamos lo que aparece por defecto (Confidence level: 95, Test difference: 0, Alternative: not equal).
Podemos comprobar, en la ventana de sesión, que el p-valor es 0 269, mayor que el nivel de sig-
nificación usual (α = 0 05) por lo que debemos aceptar la hipótesis nula. Por tanto, aceptamos que
la proporción poblacional de libros defectuosos encuadernados en la empresa A es igual a la propor-
ción poblacional de libros defectuosos encuadernados en la empresa B; es decir, las dos empresas
de encuadernación son igualmente buenas. El intervalo de confianza al 95 % para la diferencia de
proporciones poblacionales, p1 − p2 , es (−0 0309929, 0 110993).


Ejercicio 6.1

c) Utilizando el test de Levene, ¿se puede aceptar, con un nivel de significación de 0 05, que
la varianza poblacional del número anual de transacciones de referencia de las bibliotecas
públicas es igual a la varianza poblacional del número anual de transacciones de referencia
de las bibliotecas universitarias? ¿Por qué?
d) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación de 0 05, que la media poblacional del nú-
mero anual de transacciones de referencia de las bibliotecas públicas es igual a la media
poblacional del número anual de transacciones de referencia de las bibliotecas universita-
rias? ¿Por qué?
e) Utilizando el test F de Snedecor, ¿se puede aceptar, con un nivel de significación de 0 05,
que la varianza poblacional del porcentaje de transacciones de referencia finalizadas de
las bibliotecas públicas es igual a la varianza poblacional del porcentaje de transacciones
de referencia finalizadas de las bibliotecas universitarias? ¿Por qué?
f) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación de 0 05, que la media poblacional del
porcentaje de transacciones de referencia finalizadas de las bibliotecas públicas es igual
a la media poblacional del porcentaje de transacciones de referencia finalizadas de las
bibliotecas universitarias? ¿Por qué?

Ejercicio 6.2 En la Tabla 9 aparece el precio, en euros, de una muestra aleatoria de 15 libros que
se prestan pocas veces (X1 ) y el precio, en euros, de una muestra aleatoria de 15 libros que se
prestan muchas veces (X2 ).

b) Guarda los datos en el archivo PrecioLibros.mtw
c) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación de 0 05, que la varianza poblacional del
precio de los libros que se prestan poco es igual a la varianza poblacional del precio de los
libros que se prestan mucho? ¿Por qué?
d) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación de 0 05, que la media poblacional del
precio de los libros que se prestan poco es igual a la media poblacional del precio de los
libros que se prestan mucho? ¿Por qué?

Ejercicio 6.3 En la Tabla 10 aparece el número de palabras por resumen de una muestra aleatoria de
30 artículos científicos escritos en francés (X1 ) y el número de palabras por resumen de una
muestra aleatoria de 30 artículos científicos escritos en inglés (X2 ).

b) Guarda los datos en el archivo LongitudResumenes.mtw


x1i x2i
75 110
32 30
30 45
34 69
42 46
57 53
51 97
36 43
82 42
45 37
58 48
66 45
40 105
35 61
51 57

Tabla 9

70 65 68 74 79 67 75 80 62 69
x1i 61 57 71 74 82 91 70 64 72 67
74 70 81 85 70 74 75 71 69 54
80 47 59 67 89 57 72 78 74 72
x2i 104 118 89 87 79 78 101 120 107 95
85 87 90 98 89 75 90 101 85 94

Tabla 10

c) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación de 0 05, que la varianza poblacional de la
longitud de los resúmenes de artículos escritos en francés es igual a la varianza poblacional
de la longitud de los resúmenes de artículos escritos en inglés? ¿Por qué?
d) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación de 0 05, que la media poblacional de la
longitud de los resúmenes de artículos escritos en francés es igual a la media poblacional
de la longitud de los resúmenes de artículos escritos en inglés? ¿Por qué?

Ejercicio 6.4 Dos expertos califican una muestra aleatoria de 30 libros según su calidad (1=muy
mala, 2=mala, 3=regular, 4=buena, 5=muy buena). En la Tabla 11 aparece la opinión del primer
experto (X1 ) y la opinión del segundo experto (X2 ).

b) Guarda los datos en el archivo Opinion.mtw
c) Calcula, en una nueva columna, los resultados de la variable diferencia D = X1 − X2 .


x1i x2i x1i x2i
2 1 4 4
5 4 4 3
4 5 5 4
2 3 5 3
3 3 1 2
1 5 2 5
3 3 2 3
1 3 3 2
4 2 4 1
2 5 4 2
3 2 1 3
4 3 2 4
3 3 1 2
1 3 5 5
2 5 5 2

Tabla 11

d) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación de 0 05, que la muestra de las diferencias,
di = x1i − x2i , es aleatoria? ¿Por qué?
e) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación de 0 05, que la variable diferencia, D =
X1 − X2 , es Normal? ¿Por qué?
f) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación de 0 05, que la media poblacional de
los resultados de la opinión del primer experto es igual a la media poblacional de los
resultados de la opinión del segundo experto? ¿Por qué?

Ejercicio 6.5 Elegimos al azar 30 matrimonios y observamos el número de veces que los hombres
han visitado alguna biblioteca en los tres últimos meses (X1 ) y el número de veces que las mu-
jeres han visitado alguna biblioteca en los tres últimos meses (X2 ). Los resultados se muestran
en la siguiente Tabla 12.

b) Guarda los datos en el archivo VisitasBiblioteca.mtw
f) ¿Podemos afirmar que hay diferencia significativa entre los hombres y las mujeres de los
matrimonios en cuanto al número de veces que van a la biblioteca? ¿Por qué?


x1i x2i x1i x2i x1i x2i
12 8 8 10 25 14
30 11 14 15 12 16
10 12 20 12 8 10
20 16 13 19 23 20
15 10 11 6 14 17
14 9 7 7 8 10
11 12 6 7 12 23
9 10 8 6 27 10
7 7 15 20 32 27
5 4 42 35 14 18

Tabla 12


Ejercicio 6.6 En la Tabla 13 aparece el número de usuarios diarios de la biblioteca A (variable X1 )
y el número de usuarios diarios de la biblioteca B (variable X2 ) en 10 días elegidos al azar.

x1i x2i
51 45
72 58
35 32
70 56
75 68
98 76
100 88
80 69
72 57
90 75

Tabla 13

b) Guarda los datos en el archivo UsuariosDiarios.mtw


f) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación de 0 05, que la media poblacional del
número de usuarios diarios de la biblioteca A es igual a la media poblacional del número
de usuarios diarios de la biblioteca B? ¿Por qué?

Ejercicio 6.7 Se quiere saber si la proporción de libros escritos en español es la misma en dos biblio-
tecas universitarias (la de la facultad de matemáticas y la de la facultad de filosofía). Se toma
una muestra aleatoria simple de 100 libros de la biblioteca de la facultad de matemáticas y se
encuentra que 35 de ellos están escritos en español y el resto en otros idiomas. Se extrae otra
muestra aleatoria simple de 150 libros de la biblioteca de la facultad de filosofía y se observa
que 60 están escritos en español. ¿Qué conclusión se puede extraer?

7
Contrastes no paramétricos en dos o
más poblaciones

7.1. Contraste de homogeneidad con dos o más
muestras independientes (Kruskal-Wallis)
El procedimiento que vamos a explicar se aplica cuando la variable es cualitativa ordinal o cuanti-
tativa, pero no Normal, y los tamaños muestrales son pequeños (en la práctica, alguno de ellos menor
que 30).
Observamos una variable aleatoria cuantitativa o cualitativa ordinal en r poblaciones, y extraemos
r muestras aleatorias independientes (una de cada población). El objetivo es contrastar la hipóte-
sis nula H0 : “Las r poblaciones son homogéneas” (la variable aleatoria observada tiene la misma
distribución en las r poblaciones) frente a la hipótesis alternativa H1 : “Las r poblaciones no son ho-
mogéneas”. La hipótesis nula implica que las r medias poblacionales son iguales por lo que, a veces,
se sustituye aquella hipótesis nula por ésta.
En Minitab hay varios procedimientos para realizar un contraste de homogeneidad con dos o más
muestras independientes, pero vamos a explicar el contraste de Kruskal-Wallis, que es una generaliza-
ción del test de Mann-Whitney (que también se puede usar en Minitab) para dos muestras aleatorias
independientes.
Para realizar el contraste de Kruskal-Wallis hay que seleccionar Stat ⇒Nonparametrics ⇒Kruskal-
Wallis.
Con el archivo de datos Pulse.mtw, veamos si se puede aceptar, con un nivel de signiﬁcación de
α = 0 05, que el nivel de actividad física de los hombres es igual al de las mujeres. Como la variable
Activity no es Normal y no tiene sentido comparar las medias poblacionales, tenemos que realizar un
contraste no paramétrico de homogeneidad con dos muestras independientes (la muestra de hombres
y la muestra de mujeres). La hipótesis nula se puede enunciar como H0 :“El nivel de actividad física
es el mismo para los hombres y para las mujeres” o como H0 :“La distribución de la variable Activity
es la misma en la población de los hombres y en la de las mujeres”.

73


Para hacer este contraste seleccionamos Stat ⇒Nonparametrics ⇒Kruskal-Wallis. En Response selec-
cionamos, de la lista de variables de la izquierda, la columna ‘Activity’; y en Factor seleccionamos, de
la lista de la izquierda, la columna ‘Sex’. Podemos comprobar, en la ventana de sesión, que el p-valor
es 0 305; claramente mayor que el nivel de significación, α = 0 05, por lo que podemos aceptar la
hipótesis nula; es decir, podemos aceptar que el nivel de actividad física es el mismo para los hombres
y para las mujeres.
Un ejemplo con más de dos muestras independientes podría ser el siguiente: Con el archivo de
datos Pulse.mtw, comprobemos si se puede aceptar, con un nivel de significación de α = 0 05, que
el peso medio es el mismo para los 4 niveles de actividad física (Activity=0, 1, 2 y 3). Se puede
comprobar que la variable Weight no es Normal. Además los tamaños muestrales no son grandes:
n1 = 1 para Activity=0, n2 = 9 para Activity=1, n3 = 61 para Activity=2, y n4 = 21 para Activity=3. Por
tanto, no podemos realizar un contraste paramétrico en el que se comparen las medias poblacionales.
Tenemos que realizar un contraste no paramétrico de homogeneidad con 4 muestras independientes.
La hipótesis nula es H0 :“La distribución de la variable Weight es la misma para los cuatro niveles de
actividad física”.
Para hacer este contraste seleccionamos Stat ⇒Nonparametrics ⇒Kruskal-Wallis. En Response selec-
cionamos, de la lista de variables de la izquierda, la columna ‘Weight’; y en Factor seleccionamos, de la
lista de la izquierda, la columna ‘Activity’. Podemos comprobar, en la ventana de sesión, que el p-valor
es 0 741; claramente mayor que el nivel de significación, α = 0 05, por lo que podemos aceptar la
hipótesis nula; es decir, podemos aceptar que la distribución de la variable Weight es la misma para los
cuatro niveles de actividad física.
Como hemos podido observar, para realizar este contraste con Minitab debemos tener una columna
con todos los resultados de la variable (para todos y cada uno de los individuos de todas y cada una
de las muestras) y otra columna que nos indique la muestra de la que procede cada resultado.

7.2. Contraste de homogeneidad con dos o más
muestras apareadas (Friedman)
El contraste de Friedman es similar al de Kruskal-Wallis pero en este caso las r muestras son apa-
readas (están relacionadas o asociadas). El test de Friedman se aplica cuando la variable es cualitativa
ordinal o cuantitativa, pero no Normal, y los tamaños muestrales son pequeños (en la práctica, alguno
de ellos menor que 30)
Para realizar este contraste hay que seleccionar Stat ⇒Nonparametrics ⇒Friedman.
En general, el problema suele ser el siguiente. Supongamos que estamos interesados en comparar
los efectos de r tratamientos. Se cree que hay una variable que puede interferir en nuestra capacidad
para detectar diferencias reales entre los r tratamientos. Queremos controlar esta variable extraña
mediante la construcción de bloques. Esto es, dividimos los individuos en n bloques, cada uno de
tamaño r, siendo los individuos de un mismo bloque tan iguales como sea posible respecto de la
variable extraña. Asignaremos aleatoriamente los r tratamientos a los individuos de los bloques.
Para explicar este método vamos a utilizar un ejemplo: En la Figura 14 aparece la opinión de
tres expertos respecto de la calidad de 10 libros elegidos al azar (1=muy mala, 2=mala, 3=regular,
4=buena, 5=muy buena).
Vamos a comprobar si se puede aceptar, con un nivel de significación de 0 05, que no hay diferencia
significativa entre los tres expertos respecto de su opinión sobre la calidad de los libros. Notemos que,


Figura 14

efectivamente, las tres muestras están relacionadas, pues realmente son la misma muestra (a la cual
se le ha observado tres variables distintas). La hipótesis nula es, por tanto, H0 : “No hay diferencia
significativa entre los tres expertos respecto de su opinión sobre la calidad de los libros”.
En este ejemplo tenemos 3 tratamientos (la opinión de cada uno de los 3 expertos) y 10 bloques
(cada uno de los 10 libros elegidos al azar). La variable respuesta es la opinión (de 1 a 5) de cada
experto respecto de la calidad de cada libro.
De manera análoga a lo que ocurría con el test de Kruskal-Wallis, para realizar el contraste de
Friedman con Minitab debemos tener una columna con todos los resultados de la variable respuesta
(para cada individuo de cada muestra); otra columna que nos indique la muestra de la que procede
cada resultado (tratamiento) y otra columna que nos indique el individuo (bloque). Por tanto, para
poder aplicar el contraste de Friedman no se pueden tener los datos tal y como se muestran en la
Figura 14, sino que hay que tener una columna que indique el número del tratamiento (en este caso,
el número del experto: de 1 a 3); otra columna que indique el número del bloque (en este caso,
el número del libro: de 1 a 10) y otra columna que indique la variable respuesta (de 1 a 5) para
cada combinación de resultados de las dos columnas anteriores. Los datos, por tanto, tienen que
introducirse tal y como se muestra en la Figura 15. Podemos grabar estos datos en un archivo que
denominaremos Ejemplo_Friedman.mtw.
Para realizar el contraste seleccionamos Stat ⇒Nonparametrics ⇒Friedman. En Response seleccio-
namos, de la lista de la izquierda, la columna ‘opinión (de 1 a 5)’; en Treatment seleccionamos, de la lista
de la izquierda, la columna ‘no experto’; en Blocks seleccionamos, de la lista de la izquierda, la columna
‘no libro’ y pulsamos en OK. Podemos observar, en la ventana de sesión, que el p-valor es 0 592, mayor
que el nivel de significación (α = 0 05); por tanto, aceptamos la hipótesis nula; es decir, aceptamos
que no hay diferencia significativa entre los tres expertos respecto de su opinión sobre la calidad de
los libro.

7.3. Contraste chi-cuadrado sobre homogeneidad de dos
o más poblaciones
En dos o más poblaciones distintas observamos una misma variable aleatoria, y extraemos una
muestra aleatoria simple de cada población para comprobar si un determinado parámetro poblacional


Figura 15

(µ, σ 2 , . . .) toma idéntico valor en las distintas poblaciones. Pero como no se cumplen las condicio-
nes necesarias para aplicar un contraste de hipótesis paramétrico, entonces tenemos que realizar un
contraste de hipótesis no paramétrico. Sin embargo, ocurre que la hipótesis nula no se puede enunciar
como la igualdad de los parámetros poblacionales, sino que ahora debemos comprobar si la variable
aleatoria tiene la misma distribución en las dos poblaciones. Esta hipótesis se resume diciendo que
las poblaciones son homogéneas.
El contraste chi-cuadrado de homogeneidad es el mismo que el test chi-cuadrado de independencia
de variables explicado en la sección 3 del capítulo 4, aunque la hipótesis nula no sea la misma.
Para realizar este tipo de contraste en Minitab se utilizan las mismas dos opciones explicadas en la
sección 3 del capítulo 4; es decir, si los datos están recogidos en una tabla de doble entrada, se utiliza
Stat⇒Tables⇒Chi-Square Test (Two-Way Table in Worksheet), y si los datos se encuentran recogidos en dos
(o tres) columnas, se utiliza Stat⇒Tables⇒Cross Tabulation and Chi-Square.
Vamos a hacer el siguiente ejemplo: Se selecciona una muestra aleatoria simple de estudiantes de
informática de universidades privadas y otra de universidades públicas, y se les somete a una prueba


de rendimiento, caliﬁcada de 0 a 500. Los resultados son los expuestos en la tabla siguiente. Deseamos
saber si la distribución en la prueba de rendimiento es la misma para universidades privadas que para
universidades públicas.
[0,275] [276,350] [351,425] [426,500]
privadas 6 14 17 9
públicas 30 32 17 3

El objetivo es contrastar la hipótesis H0 : “La distribución de los resultados de la prueba es la misma
en las universidades públicas que en las privadas”, frente a la hipótesis H1 : “La distribución no es
la misma”.
Para realizar este contraste de homogeneidad con Minitab, en primer lugar tenemos que introdu-
cir la tabla de doble entrada anterior. Los datos tienen que ser introducidos tal como se muestra a
continuación:

Podemos guardar estos datos en un archivo denominado Ejemplo_Homogeneidad.mtw.
Ahora seleccionamos Stat⇒Tables⇒Chi-Square Test (Two-Way Table in Worksheet); en Columns contai-
ning the table elegimos, de la lista de variables de la izquierda, las columnas privadas y públicas y
pulsamos en OK. En la ventana de sesión podemos ver lo siguiente:

Recordemos que este contraste solamente puede aplicarse si todas las frecuencias esperadas bajo la
hipótesis nula son mayores o iguales que 1 y, además, todas las frecuencias esperadas bajo la hipótesis
nula son mayores o iguales que 5, salvo para un 20 % como máximo. El 20 % de las casillas sería el
20 % de 8, que es 1 6. Como solamente una de las frecuencias esperadas es menor que 5, podemos


aplicar esta técnica. El resultado del p-valor es 0 001, claramente menor que los habituales niveles de
significación (0 05 ó 0 01) por lo que rechazamos la hipótesis nula y, en consecuencia, aceptamos que
la distribución de los resultados de la prueba no es la misma en las universidades públicas que en las
privadas.

Ejercicio 7.1 El número de libros juveniles prestados en 15 días elegidos al azar en los meses de
verano (V) e invierno (I) ha sido:

V 54 61 44 50 50 54 59 54 22 58 45 30 25 29 24
I 61 46 50 17 45 31 20 54 37 38 30 42 58 44 58

¿Hay la misma demanda de libros en verano que en invierno?
Ejercicio 7.2 Una colección de libros ha sido incluida en un índice de dos formas distintas: a) fichero
de entrada simple e índice en cadena, y b) fichero de entrada múltiple e índice simple por
orden alfabético. El número de entradas en los dos ficheros para una muestra aleatoria de 12
documentos ha sido:

a) 4 3 4 4 5 4 3 3 3 5 5 2
b) 4 3 6 4 6 6 4 3 4 6 6 2

¿El número de entradas por documento depende del tipo de fichero?
Ejercicio 7.3 Se selecciona una muestra aleatoria simple de 10 bibliotecas y se observa el número
de items (libros, artículos, revistas, . . .) obtenidos y el número de items pedidos por el servicio
de préstamo interbibliotecario de cada una de ellas en el último año. Los resultados son los
siguientes:

obtenidos 920 1.274 768 608 776 874 744 484 826 2.174
pedidos 874 489 1.175 1.034 1.752 588 670 622 747 1.793

¿En toda la población de bibliotecas, el número medio de items obtenidos es igual al número
medio de items pedidos?
Ejercicio 7.4 Se eligen aleatoria e independientemente 15 alumnos del primer curso de bachillerato
y 12 alumnos del segundo curso de bachillerato, y se observa el número de libros distintos que
han pedido prestados en la biblioteca de su instituto durante un curso académico determinado.
Los resultados son los siguientes:

1o 2 7 5 9 7 10 8 6 4 3 1 6 9 10 11
o
2 10 12 3 7 9 11 7 12 14 9 8 10

¿Son iguales las medias del número de libros que los alumnos de 1o y 2o han pedido prestados
a la biblioteca del instituto durante el curso?


Ejercicio 7.5 En un volumen de libros para jóvenes se observa que, para edades comprendidas entre 9
y 11 años, 68 libros fueron escritos por hombres y 94 por mujeres; y para edades comprendidas
entre 12 y 14 años, 116 libros fueron escritos por hombres y 28 por mujeres. ¿Hay diferencia
significativa entre los dos grupos de edades respecto de la variable sexo de la persona que
escribe los libros?

Ejercicio 7.6 En un experimento se encuentra que en el año 1980 el número de citas en sociología
fue 330 y el número de citas en economía fue 299. En 1990, el número de citas en sociología
fue 414 y en economía fue 393. ¿Hay diferencia entre los dos años investigados respecto del
número de citas en sociología y economía?

Ejercicio 7.7 Los siguientes datos corresponden al número de libros científicos y de ficción prestados
a adultos residentes en dos áreas de una determinada ciudad:

científicos de ficción
área A 870 745
área B 304 251

¿Hay diferencia significativa entre las dos áreas respecto del tipo de libro demandado?

Ejercicio 7.8 Los resúmenes de Economics Abstracts se escriben en inglés, francés y alemán. Se
extraen muestras aleatorias independientes de 8 resúmenes escritos en cada uno de los tres
idiomas mencionados, observando el número de palabras por resumen, siendo los resultados
los siguientes:

inglés francés alemán
71 111 67
118 113 75
52 84 61
47 84 99
59 84 58
65 94 107
84 90 113
111 90 95

¿La extensión de los resúmenes es la misma para los tres idiomas?

Ejercicio 7.9 En una investigación sobre la transferencia de la información se recogieron los siguien-
tes datos:

grupo de trabajo en persona por teléfono otras
A 1.008 269 708
B 409 194 497
C 2.252 544 1.524


¿Hay diferencia entre los grupos de trabajo A, B y C en cuanto a los métodos empleados para
transmitir la información?

Ejercicio 7.10 Se pregunta a una muestra aleatoria de alumnos de 3o de una facultad de documen-
tación, de cuatro cursos académicos distintos, si conocen los registros MARC de la British
Library, y los resultados son los siguientes:

No Sí No responde
1994–95 37 56 24
1995–96 24 44 30
1996–97 14 34 41
1997–98 28 54 15

¿Hay diferencia significativa entre los cuatro cursos académicos con respecto a la respuesta
dada?

Ejercicio 7.11 Se eligen aleatoria e independientemente 10 estantes con libros de geografía, 10 con
libros de derecho, 10 con libros de matemáticas y 10 con libros de filosofía, y se cuenta el
número de libros por estante. Los resultados son los siguientes:

Geografía Derecho Matemáticas Filosofía
25 21 36 25
30 21 32 27
30 33 30 26
29 23 30 26
25 16 32 21
23 26 33 28
28 26 33 30
33 28 28 31
25 26 39 28
25 21 43 32

¿El número medio de libros por estante es igual para las cuatro materias?

Ejercicio 7.12 En una muestra aleatoria simple de 12 días se observa el número de libros prestados
en diferentes materias (científicos, novelas, ensayos, arte, música) siendo los resultados los
siguientes:


científicos novelas ensayos arte música
24 40 19 23 21
29 39 17 15 17
33 45 15 13 20
30 38 10 19 16
36 33 12 17 14
27 30 15 20 12
24 25 20 21 11
19 38 23 9 8
16 27 25 23 21
35 39 14 17 14
37 41 21 19 12
32 47 11 14 17

¿El número medio de libros prestados diariamente es igual en las cinco materias?

Ejercicio 7.13 En una investigación sobre el uso que los profesores de distintos departamentos hacen
de las revistas científicas, se encontró que 34 de los 50 profesores del departamento A, 22 de
los 40 profesores del departamento B y 15 de los 35 profesores del departamento C, utilizan las
revistas como ayuda en su trabajo académico (y el resto no). ¿Hay diferencia significativa entre
los tres departamentos respecto del uso que hacen de las revistas científicas?

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