Econometria aplicada con gretl

Econometría básica Aplicada con Gretl

ISBN: 978-84-692-4355-8

Mª Victoria Esteban González
M. Paz Moral Zuazo
Susan Orbe Mandaluniz
Marta Regúlez Castillo
Ainhoa Zarraga Alonso
Marian Zubia Zubiaurre

08-09

Econometr´ B´sica Aplicada con Gretl
ıa a

Autores:
M. Victoria Esteban
M. Paz Moral
Susan Orbe
Marta Reg´lez
u
Ainhoa Zarraga
Marian Zubia

Departamento de Econom´ Aplicada III. Econometr´ y Estad´
ıa ıa ıstica
Facultad de Ciencias Econ´micas y Empresariales
o
Universidad del Pa´ Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea
ıs

Contenido

1. Gretl y la Econometr´
ıa 1
1.1. Introducciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 1
1.2. ¿Qu´ es la Econometr´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e ıa? 1
1.2.1. ¿Para qu´ sirve la Econometr´
e ıa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Un estudio econom´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 5
1.4. Los datos y su manejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.1. Fuentes de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.2. El software econom´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 8
1.5. Introducciń a Gretl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 10
1.5.1. An´lisis descriptivo de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 13
1.5.2. Relaciones entre variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6. Ejercicio para practicar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Modelo de Regresiń Lineal Simple
o 23
2.1. Introducciń. Un ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 23
2.2. Elementos del modelo de regresiń simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 25
2.3. Hip´tesis b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o a 26
2.3.1. Resumen: modelo de regresiń lineal simple con hip´tesis b´sicas . . . . .
o o a 30
2.4. Estimaciń por M´
o ınimos Cuadrados Ordinarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.1. El criterio de estimaciń m´
o ınimo-cuadr´tico . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 32
2.4.2. Propiedades de los estimadores MCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.3. La estimaciń MCO en Gretl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 34
2.4.4. Propiedades de la recta m´
ınimo-cuadr´tica . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 36
2.4.5. La precisiń de la estimaciń y la bondad del ajuste . . . . . . . . . . . .
o o 38
2.5. Contrastes de hip´tesis e intervalos de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 41
2.5.1. Contrastes de hip´tesis sobre β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 41

i

SARRIKO-ON 8/09 Econometr´ B´sica Aplicada con Gretl
ıa a

2.5.2. Intervalos de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6. Resumen. Presentaciń de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 45
2.7. Ejercicios para practicar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3. Modelo de Regresiń Lineal M´ ltiple
o u 49
3.1. Introducciń. Un ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 49
3.2. Estimaciń de M´
o ınimos Cuadrados Ordinarios utilizando Gretl . . . . . . . . . . 51
3.3. An´lisis de los resultados mostrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 52
3.3.1. Coeficientes estimados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.2. Desviaciones t´
ıpicas e intervalos de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.3. Significatividad individual y conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4. Bondad de ajuste y selecciń de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 65

4. Contrastes de restricciones lineales y predicciń
o 73
4.1. Contrastes de restricciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2. Contrastes utilizando Gretl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3. Estimaciń bajo restricciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 82
4.4. Estad´
ısticos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.5. Predicciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 86

5. Errores de especificaciń en la elecciń de los regresores
o o 95
5.1. Introducciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 95
5.2. Efectos de omisiń de variables relevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 96
5.3. Efectos de inclusiń de variables irrelevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
o

6. Multicolinealidad 109
6.1. Multicolinealidad perfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2. Multicolinealidad de grado alto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7. Variables Cualitativas 123
7.1. Introducciń. Un ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
o
7.2. Modelo con una variable cualitativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.2.1. Incorporaciń de variables cuantitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
o

ii

ıa a SARRIKO-ON 8/09

7.3. Modelo con dos o m´s variables cualitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
a
7.3.1. Varias categor´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
ıas
7.3.2. Varios conjuntos de variables ficticias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.4. Contraste de cambio estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.4.1. Cambio estructural utilizando variables ficticias . . . . . . . . . . . . . . . 138

Apńdice A
e 145
A.1. Repaso de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
A.1.1. Una variable aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
A.1.2. Dos o m´s variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
a
A.1.3. Algunas distribuciones de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
A.2. Repaso de inferencia estad´
ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
A.2.1. Estimaciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
o
A.2.2. Contraste de hip´tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
o

Apńdice B
e 167
B.1. Otros recursos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Bibliograf´
ıa 171

iii

ıa a

iv

Figuras

1.1. Diagrama de dispersiń superficie-precio de pisos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 3
1.2. Pantalla inicial de Gretl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Aãdir datos: hoja de c´lculo de Gretl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n a 10
1.4. Fin de carga de datos con hoja de c´lculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 11
1.5. Fichero con datos de tres variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6. Cuadro de descripciń de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 12
1.7. Fichero con descripciń de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 13
1.8. Histograma de frecuencias relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.9. Iconos de la sesiń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 14
1.10. Tipos de asimetr´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa 17
1.11. Diagrama de dispersiń superficie-precios (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 19
1.12. Diagramas de dispersiń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 20

2.1. Selecciń de un fichero de muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 23
2.2. Diagrama de dispersiń precio-superficie de viviendas . . . . . . . . . . . . . . . .
o 24
2.3. Precio de los pisos de Bilbao versus superficie habitable . . . . . . . . . . . . . . 27
2
2.4. Modelo Yi = α + β × 5 + ui , con SX = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5. Ejemplos de realizaciones de u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6. Ejemplos de distribuciń de Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 29
2.7. Modelo de regresiń simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 31
2.8. Funciń de regresiń poblacional y funciń de regresiń muestral . . . . . . . . .
o o o o 32
2.9. Ventana de especificaciń del modelo lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 34
2.10. Ventana de resultados de estimaciń MCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 34
2.11. Ventana de iconos: recuperar resultados estimaciń . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 35
2.12. Gr´ficos de resultados de regresiń MCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a o 36
2.13. Residuos MCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.14. Criterio de decisiń del contraste de significatividad individual . . . . . . . . . .
o 42

v

ıa a

3.1. Gr´fico de residuos por n´mero de observaciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a u o 53
3.2. Gr´fico de residuos contra la variable F2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 54
3.3. Gr´fico de la variable estimada y observada por n´mero de observaciń . . . . .
a u o 54
3.4. Gr´fico de la variable estimada y observada contra F2 . . . . . . . . . . . . . . .
a 55

5.1. Gr´fico de los residuos del Modelo (5.2) por observaciń . . . . . . . . . . . . . .
a o 99
5.2. Gr´fico de los residuos del Modelo (5.2) sobre F2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
a
5.3. Gr´ficos de los residuos del Modelo (5.1) sobre observaciń y sobre F2 . . . . . . 102
a o

7.1. Cambio en ordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.2. Cambio en ordenada y en pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

A.3. La funciń de densidad normal y el histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
o
A.4. Ejemplos de distribuciń normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
o
A.5. Simulaciń 1: histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
o
A.6. Distribuciń normal bivariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
o
A.7. Funciń de densidad de la distribuciń Chi-cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . 152
o o
A.8. Funciń de densidad de la distribuciń F-Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
o o
A.9. Funciń de densidad de la distribuciń t-Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
o o
A.10.Sesgo y varianza de estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
A.11.Ejemplos de distribuciń de estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
o
A.12.Ejemplo 1: Resultado y distribuciń del estad´
o ıstico bajo H0 . . . . . . . . . . . . 160
o ıstico bajo H0 . . . . . . . . . . . . 163
o ıstico bajo H0 . . . . . . . . . . . . 165

vi

Tablas

1.1. Datos sobre precio de vivienda ocupada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Distribuciń de frecuencias del precio de 50 pisos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 15
1.3. Estad´
ısticos descriptivos del precio de 50 pisos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4. Estad´
ısticos descriptivos del conjunto de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5. Matriz de coeficientes de correlaciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 21

2.1. Conjunto de datos incluidos en data3.1 House prices and sqft . . . . . . . . . . . 24
2.2. Residuos de la regresiń MCO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 36
2.3. Estad´
ısticos descriptivos de variables de la FRM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4. Matriz de correlaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
o ˆ ˆ
2.5. Estimaciń de varianzas y covarianza de α y β. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6. Estimaciń por intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 44

3.1. Modelo (3.1). Datos de caracter´
ısticas de viviendas . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
o ˆ
3.2. Modelo (3.1). Estimaciń de la matriz de covarianzas de β . . . . . . . . . . . . . 59
3.3. Modelo (3.1): Estimaciń por intervalo de los coeficientes. . . . . . . . . . . . . .
o 60

4.1. Datos para el estudio de la Funciń de Inversiń . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o o 79
4.2. Datos en t´rminos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 79
4.3. Resultados de estimaciń obtenidos para los distintos modelos. . . . . . . . . . .
o 90

5.1. Modelos (5.1) y (5.2) estimados para el precio de la vivienda . . . . . . . . . . . 98
5.2. Modelos estimados para el precio de la vivienda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3. Modelos estimados para el Consumo de Gasolina en Estados Unidos . . . . . . . 106

6.1. Modelos estimados para el Consumo de Gasolina en Estados Unidos . . . . . . . 120

0

Tema 1

Gretl y la Econometr´
ıa

1.1. Introducciń
o

Estas notas se dirigen a aquellas personas interesadas en aprender a interpretar informacińo
estad´ıstica sobre la realidad econ´mica. La herramienta b´sica es un modelo econom´trico que
o a e
conjuga los esquemas te´ricos sobre el funcionamiento de la Econom´ con las tćnicas estad´
o ıa e ısti-
cas de an´lisis de datos. Un modelo puede tener una estructura muy compleja, pero nos cen-
a
tramos en el modelo m´s sencillo, y que da nombre a la asignatura, el modelo de regresiń
a o
lineal general. Este modelo explica el comportamiento de una unica variable econ´mica o de
´ o
otra ´
ındole m´s general.
a
Por otro lado, este curso tiene un carćter totalmente aplicado, en el que los ejemplos prćti-
a a
cos sirven para introducir los conceptos estad´ ıstico-econom´tricos. As´ una parte importante
e ı,
del curso se dedica a estudiar casos prćticos, en los que el estudiante aprender´ a manejar un
a a
software econom´trico y a interpretar adecuadamente los resultados obtenidos. El paquete eco-
e
nom´trico a utilizar es Gretl; se trata de software de libre uso, fćil de manejar y que tiene acceso
e a
a las bases de datos que se estudian en muchos libros de introducciń al an´lisis econom´trico.
o a e
Este primer tema se organiza de la siguiente forma: la secciń 2 presenta la disciplina que nos
o
ocupa, la Econometr´ La secciń 3 describe un ejemplo de estudio econom´trico, destacando
ıa. o e
cu´les son los elementos que integran un modelo econom´trico. La secciń 4 se ocupa de los datos
a e o
econ´micos, sus caracter´
o ısticas, las principales fuentes de obtenciń de datos y los programas
o
inform´ticos que sirven para almacenar y procesar los datos. El software Gretl se introduce en
a
el apartado 5, en el que se incluye el esquema de una primera sesiń prćtica de uso de Gretl.
o a

1.2. ¿Qu´ es la Econometr´
e ıa?

En la toma de decisiones de carćter econ´mico suele ser muy util disponer de informaciń
a o ´ o
en forma de datos cuantitativos. Por ejemplo, a la hora de elegir unos estudios universitarios
podemos guiarnos por nuestras preferencias personales, pero tambiń por factores como las
e
expectativas de salario en la rama elegida o la facilidad con la que esperamos conseguir un
empleo. Si se trata de la compra-venta de un piso, nos interesa conocer la situaciń del mercado
o
inmobiliario. Para ello podemos recopilar datos de precios y de algunas caracter´ ısticas de los
pisos que puedan influir en el precio como, por ejemplo, su tamaõ o si es una vivienda usada
n
que necesita reforma. Supongamos que en la secciń de anuncios de un peri´dico local aparecen
o o

1

ıa a

Indicador Tamaõ
n Precio A reformar Indicador Tamaõ
n Precio A reformar
1 55 210,354 no 26 110 476,600 no
2 59 309,520 no 27 110 456,769 no
3 60 366,617 no 28 115 500,643 no
4 60 299,304 si 29 125 619,000 no
5 60 369,650 no 30 135 645,253 no
6 65 273,460 si 31 135 625,000 no
7 65 155,000 si 32 140 522,800 si
8 70 228,384 no 33 150 390,660 no
9 70 246,415 no 34 150 504,850 si
10 70 255,000 si 35 150 715,204 no
11 75 150,253 si 36 150 570,000 si
12 77 352,800 no 37 160 751,265 no
13 80 366,000 si 38 180 583,000 si
14 80 298,000 si 39 180 738,000 no
15 80 312,530 no 40 180 552,931 si
16 83 240,400 no 41 190 691,200 no
17 85 278,569 si 42 195 811,400 no
18 91 390,658 no 43 200 691,000 si
19 92 216,364 si 44 200 1110,000 no
20 100 402,600 no 45 230 961,620 no
21 100 272,300 si 46 230 661,000 no
22 100 360,607 no 47 240 841,417 no
23 100 570,000 no 48 240 588,992 si
24 100 480,809 no 49 245 841,400 si
25 100 186,314 si 50 250 1051,000 no

Tabla 1.1: Datos sobre precio de vivienda ocupada

los siguientes datos sobre 50 pisos en venta en el centro de una ciudad:

• Precio del piso, en miles de euros.

• Tamaõ del piso, en metros cuadrados h´biles.
n a

• Estado del piso: si necesita reforma o est´ para entrar a vivir.
a

Estos datos aparecen en la Tabla 1.1. En base a esta informaciń, si nos ofrecen un piso de 100
o
m 2 reformado a un precio de 525000e, dir´ ıamos que el piso parece caro ya que su precio supera
el promedio de precios de los pisos de estas caracter´
ısticas incluidos en la muestra:

402, 6 + 360, 607 + 570 + 480, 809
= 453, 504 miles de euros
4

Sin embargo, ¿qu´ podemos decir si se tratara de un piso de 90 m2 a reformar? ¿O de un piso
e
de 50 m 2 reformado? No tenemos datos para replicar el procedimiento anterior. Un econ´metra
o
podr´ ayudar a dar respuesta a estas cuestiones. En el Gr´fico 1.1, que representa conjuntamente
ıa a
el precio y el tamaõ de cada piso, se ve un patrń o relaciń estable entre tamaõ de un piso y
n o o n
su precio. Esta relaciń se puede trasladar a un modelo util para responder a las preguntas que
o ´
planteamos. Las tćnicas econom´tricas nos permiten cuantificar, a partir del modelo y los datos,
e e

2


la influencia que tiene el tamaõ del piso o su estado en el precio del mismo. La respuesta podr´
n ıa
ser, por ejemplo: La estimaciń del precio medio de un piso a reformar de 90 m2 es de 297350
o
euros, aunque el precio puede oscilar entre 152711 y 441989 euros a un nivel de confianza del
90 %. Adem´s, si se trata de un piso reformado, la estimaciń del precio medio se incrementa
a o
en m´s de 100000 euros, siendo factibles precios entre 210521 y 556639 euros.
a

1200

1100

1000

900

800
precio (miles euros)

700

600

500

400

300

200

100
50 100 150 200 250
Superficie (m2)

Gr´fico 1.1: Diagrama de dispersiń superficie-precio de pisos
a o

La Econometr´ es una rama de la Econom´ que utiliza la estad´
ıa ıa ıstica para medir o cuantificar
las relaciones existentes entre variables econ´micas. Es una materia interdisciplinar que utiliza
o
la teor´ econ´mica, la matem´tica, la estad´
ıa o a ıstica y los m´todos computacionales. En palabras
e
de Ramanathan (2002):

En t´rminos sencillos, la econometr´ se ocupa de la aplicaciń de m´todos es-
e ıa o e
tad´
ısticos a la econom´ A diferencia de la estad´
ıa. ıstica econ´mica, que es princi-
o
palmente datos estad´ısticos, la econometr´ se distingue por la unificaciń de teor´
ıa o ıa
econ´mica, instrumentos matem´ticos y metodolog´ estad´
o a ıa ıstica. En t´rminos m´s
e a
generales, la econometr´ se ocupa de (1) estimar relaciones econ´micas, (2) con-
ıa o
frontar la teor´ econ´mica con los datos y contrastar hip´tesis relativas al compor-
ıa o o
tamiento econ´mico, y (3) predecir el comportamiento de variables econ´micas.
o o

1.2.1. ¿Para qu´ sirve la Econometr´
e ıa?

El objetivo de un estudio econom´trico es comprender mejor un fen´meno econ´mico y, como
e o o
resultado, poder realizar predicciones de la evoluciń futura del fen´meno de inter´s. El instru-
o o e
mento b´sico es el modelo, que ayuda a entender las relaciones entre variables econ´micas y
a o
sirve para evaluar los efectos de distintas medidas o pol´
ıticas econ´micas. Algunos ejemplos en
o
los que la Econometr´ puede ser de utilidad son los siguientes:
ıa

• Un analista del mercado de activos puede estar interesado en analizar y cuantificar la
relaciń entre el precio de un activo y distintas caracter´
o ısticas de la empresa que ofrece ese
activo as´ como del estado general de la econom´
ı ıa.

• Los directivos de una empresa elćtrica pueden estar interesados en analizar los factores
e
que afectan a la demanda de electricidad.

3

ıa a

• El grupo de grandes superficies comerciales puede estar interesado en cuantificar el efecto
de distintos niveles de publicidad sobre sus ventas y sus beneficios.

• El servicio de estudios del Ministerio de Econom´ y del Banco de Espaã o del Banco
ıa n
Central Europeo quiere analizar el impacto de las pol´ıticas monetarias y fiscales sobre el
desempleo, la inflaciń, las exportaciones e importaciones, los tipos de inter´s, etc.
o e

• Si un organismo quiere implementar pol´ ıticas para corregir, por ejemplo, la discriminaciń
o
salarial por sexo, en primer lugar debe conocer cu´les son los principales factores determi-
a
nantes del problema y, en segundo lugar, analizar las posibles medidas a tomar, estudiando
cu´les pueden ser los efectos de dichas medidas.
a

• Un gobierno regional puede necesitar previsiones sobre la evoluciń de la poblaciń para
o o
planificar la necesidad de servicios sociales y las necesidades de financiaciń que conllevan.
o
Tambiń debe tener informaciń precisa sobre su capacidad de financiaciń, por lo que le
e o o
interesa disponer de predicciones relativas a la recaudaciń impositiva.
o

• Si una persona quiere contratar un pr´stamo, le interesa conocer cu´l va a ser la evoluciń
e a o
de los tipos de inter´s.
e

En los ultimos aõs hemos asistido a una mayor difusiń y utilizaciń de los m´todos econom´tri-
´ n o o e e
cos gracias, entre otras razones, a la mayor disponibilidad y calidad de los datos y al desarrollo
de los m´todos de computaciń. Adem´s, la aplicaciń de la Econometr´ no se restringe al
e o a o ıa
a
´mbito estrictamente econ´mico, sino que proporciona procedimientos de estudio de datos que
o
pueden aplicarse al campo de las Ciencias Sociales. Por ejemplo, para:

• Analizar si el endurecimiento de las penas, como la introducciń de la pena de muerte,
o
tiene como consecuencia la disminuciń de la tasa de criminalidad.
o

• Analizar la efectividad de las medidas de seguridad vial, como el carnet por puntos, en la
reducciń del n´mero de muertes en accidentes de tr´fico.
o u a

• Predecir los resultados de una competiciń deportiva como, por ejemplo, el n´mero de
o u
goles que marcar´ la selecciń de Inglaterra en un mundial de f´tbol.
a o u

• Analizar cu´l puede ser el efecto sobre los votantes en las pr´ximas elecciones de una deter-
a o
minada medida, por ejemplo, prohibir fumar en lugares p´blicos, legalizar los matrimonios
u
entre personas del mismo sexo, etc.

• Estudiar si hay diferencias en el voto dependiendo de si se trata de elecciones locales,
regionales o europeas.

• Analizar si las medidas restrictivas sobre la publicidad de tabaco y alcohol reducen el
consumo de estos productos.

Los comienzos de la Econometr´ pueden situarse en la dćada de los treinta del siglo pasado.
ıa e
Su coincidencia en el tiempo con la Gran Depresiń no es casual: como consecuencia de ´sta,
o e
los economistas de la ´poca estaban interesados en poder predecir los ciclos econ´micos que
e o
observaban. Entre ellos destaca Keynes, que defend´ la intervenciń del gobierno en la actividad
ıa o
econ´mica para mitigar estas crisis. As´ los primeros econ´metras se ocuparon de dar respuesta
o ı, o
a problemas macroecon´micos con objeto de asesorar a los gobiernos en la implantaciń de
o o
pol´
ıticas econ´micas.
o

4


En un comienzo, se aplicaron a los datos econ´micos m´todos estad´
o e ısticos que ya hab´ sido uti-
ıan
lizados en ciencias naturales. Sin embargo, estos m´todos no pod´ reproducirse mim´ticamente
e ıan e
en el ´mbito econ´mico, sino que hab´ que adaptarlos o desarrollar nuevos m´todos de acuerdo
a o ıa e
a las caracter´
ısticas propias que poseen las variables socioecon´micas. As´ en la econometr´ se
o ı, ıa
han desarrollado dos grandes ´reas: la econometr´ te´rica, cuyo objetivo es desarrollar m´todos
a ıa o e
de estudio y an´lisis de datos y determinar sus propiedades, y la econometr´ aplicada, que se
a ıa
ocupa de utilizar estos m´todos para responder a los problemas de inter´s en la prćtica. En
e e a
estas notas ponemos mayor ńfasis en la parte aplicada. Se trata de proporcionar al alumno las
e
herramientas necesarias para que sea capaz de llevar a cabo un proyecto aplicado. Para ello, es
indispensable dedicar tiempo al conocimiento de los m´todos e instrumentos b´sicos del an´lisis
e a a
econom´trico, ya que son el requisito previo para una buena aplicaciń prćtica.
e o a

1.3. Un estudio econom´trico
e

Uno de nuestros objetivos espec´ ıficos es que, al final del curso, el estudiante debe ser capaz de
estructurar y desarrollar un trabajo de investigaciń. Hoy d´ una persona que disponga de un
o ıa,
ordenador en su casa puede llevar a cabo un pequeõ proyecto econom´trico. As´ un estudio
n e ı,
econom´trico consta de las siguientes etapas, Heij , de Boer, Franses, Kloer y Dijk (2004):
e

• Formulaciń del problema. Se trata de determinar la cuestiń de inter´s. Debemos plantear
o o e
de forma precisa las preguntas que nos interesa responder. Por ejemplo, si se trata de cono-
cer la situaciń del mercado inmobiliario en una ciudad, podemos plantearnos la siguiente
o
pregunta: ¿cu´l es el precio de los pisos en esa ciudad y qu´ factores lo determinan? La
a e
teor´ econ´mica puede ayudarnos a enfocar el problema, a determinar qu´ variables estń
ıa o e a
involucradas y cu´l puede ser la relaciń entre ellas.
a o

• Recolecciń de datos estad´
o ısticos relevantes para el an´lisis. En el ejemplo anterior, es fćil
a a
recolectar datos sobre el precio de pisos, su tamaõ y otras caracter´
n ısticas que pueden
influir en su precio (ver Tabla 1.1). Los resultados del an´lisis van a depender en gran
a
medida de la calidad de los datos. Sin embargo, no siempre es sencillo obtener los datos
relevantes para el an´lisis. Podemos encontrar problemas como la ausencia de algń dato,
a u
cambios en la definiciń de una variable, fallos en el m´todo de recogida, tener una cantidad
o e
insuficiente de datos o no disponer de informaciń relativa a una variable.
o

• Formulaciń y estimaciń del modelo. De la uniń de las teor´ y cuestiones planteadas
o o o ıas
en la primera etapa con los datos se llega a un modelo econom´trico. Por ejemplo,
e
podemos plantear que, en media, el precio de un piso, Y , depende de su tamaõ, X. Un
n
posible modelo econom´trico que recoge esta teor´ es:
e ıa

Y |X ∼ N (α + βX, σ 2 )

Es decir, el precio de los pisos dado un tamaõ, por ejemplo 100 m2 , se distribuye alrededor
n
de su media α + β100 segń una normal de varianza σ 2 . Al formular el modelo hemos
u
elegido la forma funcional de la relaciń entre las variables y la naturaleza estoc´stica de
o a
la variable de inter´s o end´gena, Y . El objetivo es obtener un modelo relevante y util
e o ´
para dar respuesta a nuestros objetivos.
El siguiente paso es la estimaciń de los par´metros desconocidos de la distribuciń y que
o a o
son de inter´s para el an´lisis. En el ejemplo del precio de los pisos, interesan los par´metros
e a a

5

ıa a

de su media, α y β. La estimaciń consiste en utilizar los datos y toda la informaciń
o o
relevante para aprender algo sobre los par´metros desconocidos. En la interpretaciń de
a o
los resultados de estimaciń es importante tener en cuenta que no conocemos el valor de
o
los par´metros, por lo que unicamente vamos a hacer afirmaciones del tipo “con un 95 % de
a ´
confianza, el aumento del impuesto sobre carburantes no afecta al consumo de gasolina”.
Existen muchos m´todos de estimaciń. La elecciń entre uno u otro depende de las pro-
e o o
piedades del modelo econom´trico seleccionado. Es decir, una mala selecciń del modelo
e o
tambiń influye en la validez de las estimaciones. Un curso introductorio de Econometr´
e ıa,
como este, se suele centrar en el estudio del modelo de regresiń lineal y su estimaciń
o o
mediante m´ınimos cuadrados ordinarios, que son instrumentos sencillos y muy utiles en la
´
prćtica.
a

• An´lisis del modelo. Se trata de estudiar si el modelo elegido es adecuado para recoger el
a
comportamiento de los datos. Por ejemplo, si es correcto asumir que el tamaõ del piso
n
influye en su precio, si la relaciń lineal entre ambas variables es correcta, etc. Consiste en
o
una serie de contrastes diagn´sticos que valoran si el modelo est´ correctamente especifi-
o a
cado, es decir, si los supuestos realizados son v´lidos. Si es necesario, se modifica el modelo
a
en base a los resultados obtenidos en los contrastes.

• Aplicaciń del modelo. Una vez obtenido un modelo correcto, se utiliza para responder a
o
las cuestiones de inter´s.
e

Dado que para la realizaciń de un proyecto econom´trico es necesario conocer dńde obtener
o e o
los datos y manejar un software espec´ıfico de an´lisis econom´trico, vamos a extendernos un
a e
poco en estos dos puntos.

1.4. Los datos y su manejo

¿C´mo se obtienen datos econ´micos? No proceden de experimentos controlados sino que los
o o
economistas, al igual que otros investigadores del campo de las Ciencias Sociales, obtienen los
datos de la observaciń de la realidad. En un experimento controlado, como los realizados en
o
laboratorios, el investigador tiene control sobre las condiciones del estudio. Por ejemplo, para
analizar el efecto de un fertilizante, podemos aplicar distintas dosis de fertilizante sobre un con-
junto de sembrados, controlando tambiń el grado de humedad o la luz que recibe cada planta.
e
Adem´s, se puede repetir el experimento, manteniendo las mismas condiciones o alterando al-
a
gunas como las dosis o el grado de humedad. Obviamente, aunque las cantidades elegidas sean
exactamente las mismas, no esperamos que el resultado, por ejemplo, el crecimiento de las plan-
tas, sea idńtico entre experimentos porque las semillas utilizadas son distintas o porque hay
e
pequeõs errores de medida. Estas diferencias naturales en los resultados de los experimentos se
n
conocen como variaciones muestrales.
Los datos obtenidos de experimentos controlados son t´ ıpicos de las Ciencias Naturales y se co-
nocen como datos experimentales. Los datos que son resultado de un proceso que tiene lugar
en la sociedad, y que no es controlable por una o varias personas, se conocen como datos no
experimentales. Esta caracter´
ıstica ha sido un factor importante en el desarrollo de las tćnicas
e
econom´tricas y debemos tenerlo en cuenta en la interpretaciń de los resultados.
e o

6


Clasificaciń de los datos econ´micos. Los datos econ´micos pueden ser de diferentes tipos,
o o o
lo que va a determinar el an´lisis que realicemos. Una primera clasificaciń distingue entre datos
a o
cuantitativos, aqu´llos que toman valores num´ricos dentro de un rango de valores, como precio
e e
o tamaõ de un piso, y datos cualitativos, que aparecen como categor´ o atributos, como por
n ıas
ejemplo el sexo, la profesiń o el estado de un piso. Los seis primeros temas de este curso se
o
centran en el an´lisis de datos cuantitativos. El tema siete considera situaciones en las que algń
a u
factor explicativo es cualitativo.
Una segunda clasificaciń distingue entre datos de series temporales y datos de secciń cruzada.
o o
Los primeros se refieren a observaciones recogidas en sucesivos momentos de tiempo, normal-
mente regulares, como aõs, trimestres o meses. Ejemplos de datos temporales son el Producto
n
Interior Bruto (PIB) de la Contabilidad Nacional trimestral, el n´mero mensual de afiliacio-
u
nes a la Seguridad Social o el valor diario del IBEX35. Los segundos se refieren a valores que
toman diferentes agentes en un momento del tiempo, por ejemplo, la poblaciń desempleada
o
en el aõ 2005 en cada uno de los pa´
n ıses de la Uniń Europea (UE), el salario medio en cada
o
sector industrial en el 2006 o el gasto realizado en libros de texto por un conjunto de familias
en septiembre pasado. Tambiń es posible tener una combinaciń de datos de secciń cruzada y
e o o
series temporales, por ejemplo, las puntuaciones obtenidas por los estudiantes de Econometr´ ıa
en los cursos 2004-05, 2005-06 y 2006-07. Cuando se encuesta a los mismos individuos a lo largo
del tiempo, como la tasa de paro y el crecimiento del PIB desde 1990 hasta 2006 para los 25
pa´ de la UE, se conocen con el nombre de datos de panel o datos longitudinales. En este curso
ıses
nos centraremos en el an´lisis de datos de secciń cruzada. Las tćnicas que utilicemos tambiń
a o e e
se pueden aplicar en series temporales, aunque en ocasiones su estudio es m´s complejo.
a
Una tercera clasificaciń se establece en funciń del nivel de agregaciń. Se conocen como datos
o o o
microecon´micos o microdatos los referidos al comportamiento de agentes econ´micos como
o o
individuos, familias o empresas. Un ejemplo es la Encuesta de Poblaciń Activa, elaborada por
o
el INE y publicada en http://www.ine.es/prodyser/micro epa.htm. Los datos macroecon´micos
o
o macrodatos son los datos referidos a ciudades, regiones o naciones que son resultantes de
la agregaciń sobre agentes individuales, como son los resultados de la Contabilidad Nacional.
o
Por ejemplo, la Contabilidad Nacional Trimestral de Espaã, elaborada tambiń por el INE y
n e
publicada en http://www.ine.es/inebmenu/mnu cuentas.htm.

1.4.1. Fuentes de datos

Encontrar y recopilar datos no es siempre sencillo. En ocasiones es muy costoso coleccionar los
datos adecuados a la situaciń y manejarlos. Sin embargo, esta tarea se ha visto favorecida en
o
los ultimos aõs por la mejora en la recogida de datos y el hecho de que muchos organismos
´ n
permiten acceder a sus bases de datos en la World Wide Web. Algunos organismos que publican
datos macroecon´micos son:
o

• Instituto Vasco de Estad´
ıstica (EUSTAT): http://www.eustat.es.

• Banco de Espaã: http://www.bde.es → Estad´
n ısticas. Tambiń publica el Bolet´ es-
e ın
tad´
ıstico mensual y el Bolet´ de coyuntura mensual.
ın

• Instituto Nacional de Estad´ıstica (INE): http://www.ine.es → Inebase o Banco tempus.
Estń disponibles, por ejemplo, los resultados de la encuesta de poblaciń activa, la Con-
a o
tabilidad Nacional o el bolet´ estad´
ın ıstico mensual. Adem´s, en enlaces se encuentran
a
otras p´ginas web de servicios estad´
a ısticos.

7

ıa a

• EUROSTAT: Es la Oficina Estad´ ıstica de la Uniń Europea, se encarga de verificar y
o
analizar los datos nacionales recogidos por los Estados Miembros. El papel de Eurostat
es consolidar los datos y asegurarse de que son comparables utilizando una metodolog´ ıa
homogńea. La informaciń en t´rminos de tablas estad´
e o e ısticas, boletines estad´
ısticos e
informativos, incluso documentos de trabajo papers se puede encontrar en la direcciń: o
http://europa.eu.int/comm/eurostat.

• Organizaciń para la Cooperaciń y Desarrollo Econ´mico (OCDE): http://www.oecd.org,
o o o
Statistical portal, statistics. Estń disponibles algunas series de las publicaciones Main
a
Economic Indicators (mensual) o Comercio internacional.

• Fondo Monetario Internacional (FMI): http://www.imf.org. Para obtener datos sobre un
amplio conjunto de pa´
ıses tambiń se puede consultar su publicaciń Estad´
e o ısticas Fi-
nancieras Internacionales (mensual y anual).

Muchos manuales de Econometr´ incluyen una base de datos que se analizan en el texto co-
ıa
mo ilustraciń a la materia. En este curso utilizaremos principalmente los datos incluidos en
o
Ramanathan (2002), que estń accesibles como archivos de muestra en Gretl.
a

1.4.2. El software econom´trico
e

El desarrollo de los ordenadores ha permitido almacenar una gran cantidad de datos, a la vez
que ha facilitado su manejo. Existen en la actualidad un amplio conjunto de paquetes para
el an´lisis econom´trico que realizan complejas operaciones mediante unas instrucciones muy
a e
sencillas. Si los datos estń disponibles en papel, las hojas de c´lculo, como EXCEL, son un
a a
instrumento sencillo para introducir y preparar los datos y realizar operaciones sencillas. Sin
embargo, en general es conveniente utilizar programas econom´tricos espec´
e ıficos. Algunos de los
m´s populares en los cursos de Econometr´ son:
a ıa

• EViews, desarrollado por Quantitative Micro Software, contiene una amplia gama de
tćnicas de an´lisis econom´trico. Muchos manuales de Econometr´ contienen un CD
e a e ıa
con ejemplos prćticos en Eviews. Su p´gina web con la informaciń del programa es
a a o
http : //www.eviews.com.

• SHAZAM, elaborado en la Universidad British of Columbia (Canad´), incluye tćnicas
a e
para estimar muchos tipos de modelos econom´tricos. M´s informaciń se puede obtener
e a o
en http : //shazam.econ.ubc.ca, donde se puede ejecutar el programa remotamente.

• Gretl, acrńimo de Gnu Regression, Econometric and Time Series (Biblioteca Gnu de
o
Regresiń Econometr´ y Series Temporales), elaborado por Allin Cottrell (Universidad
o ıa
Wake Forest). Es software libre, muy fćil de utilizar. Tambiń da acceso a bases de datos
a e
muy amplias, tanto de organismos p´blicos, como el Banco de Espaã, como de ejemplos
u n
recogidos en textos de Econometr´ ıa.

• RATS, acrńimo de Regression Analysis of Time Series. Contiene una amplia gama de
o
tćnicas de an´lisis econom´trico con especial dedicaciń al An´lisis de Series Temporales.
e a e o a
Su web es: http : //www.estima.com

• R, software libre para c´mputo estad´
o ıstico y gr´ficos. Consiste en un lenguaje, un entorno
a
de ejecuciń, un debugger y la habilidad de correr programas guardados en archivos de
o

8


tipo script. Su diseõ fue influenciado por dos lenguajes existentes: S y Scheme. P´gina
n a
web: http : //www.r − project.org

Un objetivo de este curso es que el estudiante se familiarice con el uso de programas econom´tri-
e
cos. Por su sencillez y accesibilidad, en este curso introductorio se utiliza el programa Gretl para
estudiar casos prćticos. En la p´gina
a a

http : //gretl.sourcef orge.net/gretl− espanol.html

se encuentra toda la informaciń en castellano relativa a la instalaciń y manejo del programa.
o o
El manual, en ingl´s, se encuentra en la carpeta en/.
e
Junto con el programa se pueden cargar los datos utilizados como ejemplos de aplicaciones eco-
nom´tricas en los siguientes libros de texto Davidson y Mackinnon (2004), Greene (2008), Gu-
e
jarati (1997), Ramanathan (2002), Stock y Watson (2003), Verbeek (2004), Wooldridge (2003).
Al instalar Gretl autom´ticamente se cargan los datos utilizados en Ramanathan (2002) y Greene
a
(2008). El resto se pueden descargar de la p´gina:
a

http : //gretl.sourcef orge.net/gretl− data.html

en la opciń textbook datasets. Este curso se estructura sobre casos prćticos presentados en
o a
Ramanathan (2002) y en Wooldridge (2003) y ejercicios a resolver con ayuda de Gretl. La uniń
o
de teor´ y prćtica permiten al alumno un autoaprendizaje tanto de los contenidos b´sicos del
ıa a a
curso de Econometr´ B´sica como de la utilizaciń del software Gretl.
ıa a o

9

ıa a

1.5. Introducciń a Gretl
o

La primera sesiń con el programa Gretl consiste en una prćtica guiada en la que se aprender´ a
o a a
crear un fichero, introducir los datos de la Tabla 1.1 y realizar un an´lisis descriptivo.
a
Preparaciń del fichero. Al ejecutar Gretl, aparece la siguiente ventana principal:
o

Gr´fico 1.2: Pantalla inicial de Gretl
a
Como todav´ no se ha cargado ningń fichero, varias opciones del men´ principal, en gris claro,
ıa u u
no estń disponibles. Los datos a analizar no estń incluidos en la base de Gretl, por lo que
a a
vamos a la opciń Archivo → Nuevo conjunto de datos Control+N. Completamos la informaciń
o o
que va solicitando el programa:
• n´mero de observaciones, en la Tabla 1.1 se incluyen 50 pisos. Pinchar en Aceptar.
u
• El tipo de datos que utilizamos. En este caso, marcamos de secciń cruzada y Adelante.
o
• Si el paso anterior se ha realizado correctamente, confirmamos la estructura del conjunto
de datos pinchando en Aceptar. Al pinchar en Atr´s se recupera s´lo la ventana de tipo de
a o
datos, por lo que esta opciń no permite corregir un error en el n´mero de observaciones.
o u
• En la ultima ventana marcaremos S´ queremos empezar a introducir los datos.
´ ı
• En la siguiente ventana escribimos el Nombre de la primera variable, por ejemplo m2.
No se pueden utilizar la letra n, acentos ni m´s de 15 caracteres para nombrar a las
˜ a
variables. Tras Aceptar, se abre una hoja de c´lculo, de modo que en la pantalla aparece:
a

Gr´fico 1.3: Aãdir datos: hoja de c´lculo de Gretl
a n a
Para incluir los datos de la variable m2, vamos a la celda correspondiente, por ejemplo la primera,
y pinchamos sobre ella con la tecla izquierda del ratń; tras teclear la cifra, 55, damos a la tecla
o

10


Entrar. Si por error no tecleamos algń dato, por ejemplo, la segunda observaciń de 59 m2 , nos
u o
situaremos en la fila posterior, en este caso en el primer dato de 60 m2 , y vamos a observaciń
o
→insertar obs. Se crea una nueva fila en blanco por encima de la anterior. Para guardar las
modificaciones en la sesiń de trabajo hay que pinchar en Aplicar.
o
Podemos aãdir m´s variables con la opciń Variable →Aãdir del men´ de la hoja de c´lculo.
n a o n u a
Por ejemplo, creamos una nueva variable que denominamos Reforma. Esta variable es cualitativa,
por lo que asociamos a la situaciń a reformar = s´ el valor 0 y a la otra opciń, a reformar =
o ı o
no el valor 1. Una vez que se han incluido todos los datos, vamos a Aplicar y Cerrar la hoja
de c´lculo. Si no hab´
a ıamos guardado los ultimos cambios realizados, al cerrar la hoja de c´lculo
´ a
aparece un cuadro que nos pide confirmar los cambios. Las series creadas deben aparecer as´ enı
la pantalla:

¡OJO!

Gr´fico 1.4: Fin de carga de datos con hoja de c´lculo
a a

Es recomendable guardar los datos ya incorporados en un fichero de datos Gretl mediante
la opciń del men´ principal Archivo →Guardar datos. En el siguiente cuadro aãdimos el
o u n
directorio y el nombre del fichero de datos, por ejemplo, pisos. Por defecto, grabar´ los datos
a
con la extensiń gdt. Para usar estos datos en una sesiń posterior, s´lo hay que pinchar dos
o o o
veces sobre el fichero.
Con frecuencia, los datos estń almacenados en otra hoja de c´lculo, como EXCEL. Por ejemplo,
a a
en el fichero EXCEL pisos.xls se encuentran las variables m2 y precio de la Tabla 1.1. Aãdir
n
los datos de precio al fichero de Gretl es muy sencillo. Una vez abierto el fichero pisos.gdt, hay
que:

• Utilizar la opciń del men´ principal Archivo →Aãdir datos →EXCEL . . . .
o u n

• Dar el nombre y ubicaciń del fichero EXCEL, pisos.xls.
o

• Dar la celda a partir de la cual hay que empezar a importar los datos. En este caso la
variable precio empieza en la celda B1, donde est´ su nombre, e importaremos los datos
a
desde columna 2, fila 1. Para aãdir las dos variables, m2 y precio, comenzar´
n ıamos a
importar datos en columna 1, fila 1. Finalmente, hay que pinchar en Aceptar.

Para comprobar si no hay errores en los datos vamos a Datos →seleccionar todos y luego
activamos la hoja de c´lculo mediante Datos →Editar valores o bien mostramos los datos en
a
pantalla con Datos →Mostrar valores →Todas las variables. Debe aparecer la siguiente ventana:
11

ıa a

¡OJO! * = LOS CAMBIOS NO SE HAN GUARDADO

Gr´fico 1.5: Fichero con datos de tres variables
a

Una vez que los datos se han cargado correctamente, los almacenamos en el mismo fichero pi-
sos.gdt pinchando en Archivo →Guardar datos. Una vez guardadas las modificaciones, en la
pantalla de Gretl aparece el nombre del fichero sin el asterisco *.

Notas explicativas. Al crear un fichero, nos interesa incluir notas explicativas del trabajo ya
realizado. En Gretl es posible aãdir esta informaciń en dos apartados, uno general y otro
n o
espec´ıfico de cada variable. Es posible aãdir una breve descripciń de cada variable y que
n o
aparezca como etiqueta descriptiva junto con el nombre de la variable. Por ejemplo, aãdiremos
n
la nota informativa sobre la interpretaciń de la variable Reforma:
o
Valor 0 si el piso est´ para reformar, valor 1 si est´ reformado
a a
Marcamos con el ratń la variable y vamos a Variable→editar atributos. El cuadro siguiente en
o
el apartado descripciń escribimos el texto y pinchamos en Aceptar (ver Gr´fico 1.6).
o a

Gr´fico 1.6: Cuadro de descripciń de variables
a o

Las etiquetas descriptivas son utiles para saber la fuente de datos o las unidades de medida. Por
´
ejemplo, para la variable precio y m2 aãdiremos las siguientes etiquetas descriptivas:
n

12


Variable Etiqueta descriptiva Nombre a mostrar en gr´ficos
a
precio Precio de pisos en miles de euros Precio (miles euros)
m2 Tamaõ de pisos en metros cuadrados
n Superficie (m2)

La opciń Datos →Editar informaciń da lugar a un cuadro que permite aãdir texto informa-
o o n
tivo, por ejemplo,
Datos utilizados en el tema 1 de An´lisis de regresiń con Gretl
a o
Finalmente, la opciń Datos →Ver descripciń permite visualizar la informaciń de la estructura
o o o
del conjunto de datos junto con las notas explicativas aãdidas. Si todo el proceso se ha realizado
n
correctamente, en pantalla debe aparecer el siguiente cuadro:

LOS ÚLTIMOS CAMBIOS SE HAN GUARDADO

Gr´fico 1.7: Fichero con descripciń de variables
a o

1.5.1. An´lisis descriptivo de una variable
a

Una vez incorporados los datos, vamos a obtener una visiń general de los mismos. El objetivo del
o
an´lisis descriptivo es resumir un conjunto de datos, extrayendo las caracter´
a ısticas e informaciń
o
m´s relevante para el estudio. En primer lugar, sintetizaremos la informaciń de cada una de
a o
las variables y en una segunda etapa, obtendremos una primera idea de las relaciones existentes
entre las variables. Para ello se utilizan gr´ficos y n´meros-resumen conocidos como estad´
a u ısticos
descriptivos 1 . El an´lisis descriptivo de una unica variable que proporciona Gretl se encuentra en
a ´
la opciń variable del men´ principal; un resumen de este an´lisis se obtiene en el men´ auxiliar
o u a u
que aparece al pinchar con la tecla derecha del ratń sobre la variable.
o
El gr´fico m´s utilizado para resumir datos de secciń cruzada de una unica variable econ´mica
a a o ´ o
es el histograma, que aparece con la opciń del men´ auxiliar Gr´fico de frecuencias. Se trata
o u a
de un diagrama de barras que en el eje horizontal o abscisa representa los valores de la variable
divididos en intervalos. Sobre cada intervalo se dibuja una barra, cuya superficie refleja el n´mero
u
de observaciones que pertenecen a dicho intervalo. Si, por ejemplo, pinchamos con la tecla derecha
del ratń sobre la variable precios y vamos a Gr´fico de frecuencias, aparece el cuadro de opciones
o a
del histograma en la que fijamos:
1
Este apartado es un resumen de los conceptos m´
ınimos relevantes. Explicaciones m´s detalladas se encuentran
a
en manuales como Pe˜ a y Romo (1997).
n

13

ıa a

• N´mero de intervalos: Por defecto aparecen 7 intervalos, que es un n´mero entero pr´xi-
u √ u o
mo a N , siendo N el n´mero de observaciones, en este caso 50.
u
• Valor m´ ınimo intervalo izquierdo y grosor del intervalo: todos los intervalos deben tener
la misma amplitud. Por defecto, se eligen de manera que el punto central o marca de clase
de los intervalos primero y ultimo sean, respectivamente, los valores m´
´ ınimo y m´ximo
a
que toma la variable en el conjunto de datos.

0.3

0.25

Frecuencia relativa

0.2

0.15

0.1

0.05

0
0 200 400 600 800 1000 1200
precio

Gr´fico 1.8: Histograma de frecuencias relativas
a

Usando las opciones estńdar de Gretl obtenemos el Gr´fico 1.8. Si pinchamos sobre el gr´fico,
a a a
se despliega un men´ auxiliar que permite hacer cambios en el gr´fico (editar ) o guardarlo en
u a
diversos formatos (portapapeles, postcript, etc). La opciń guardar a sesiń como icono guarda
o o
el gr´fico a lo largo de la sesiń de Gretl. Es decir, una vez cerrada la ventana del gr´fico, se
a o a
recupera pinchando en el cuarto s´ ımbolo de la barra de herramientas situada en parte inferior
derecha de la ventana principal (vista iconos de sesiń) y, a continuaciń, pinchando dos veces
o o
en el icono gr´fico 1.
a

BARRA DE HERRAMIENTAS
Gr´fico 1.9: Iconos de la sesiń
a o
Para ver la tabla con la distribuciń de frecuencias representada en el histograma, hay que
o
marcar la variable correspondiente e ir a la opciń Variable →Distribuciń de frecuencias. Por
o o
ejemplo, la tabla de distribuciń de frecuencias de la variable precio es:
o

14


Distribuciń de frecuencias para precio, observaciones 1-50 n´mero
o u
de cajas = 7, media = 489,858, desv.t´p.=237,416
ı

intervalo punto medio frecuencia rel acum.
< 230,23 150,25 6 12,00% 12,00% ****
230,23 - 390,19 310,21 15 30,00% 42,00% **********
390,19 - 550,15 470,17 9 18,00% 60,00% ******
550,15 - 710,11 630,13 11 22,00% 82,00% *******
710,11 - 870,06 790,08 6 12,00% 94,00% ****
870,06 - 1030,0 950,04 1 2,00% 96,00%
>= 1030,0 1110,0 2 4,00% 100,00% *

Tabla 1.2: Distribuciń de frecuencias del precio de 50 pisos
o

En la primera columna aparecen los intervalos en que se han dividido los valores que toma la
variable precio y la segunda incluye el punto medio o marca de clase del intervalo. La columna
frecuencia es lo que se conoce como frecuencia absoluta de un intervalo, es decir, el n´merou
de pisos con precio en ese intervalo. Por ejemplo, en la Tabla 1.1 hay 15 pisos cuyo precio se
encuentra entre 230232e y 390190e. La columna, rel, contiene la frecuencia relativa de cada
intervalo, es decir, la fracciń de observaciones que hay en cada tramo. Con estas frecuencias
o
se ha construido el histograma anterior. Por ejemplo, los 15 pisos con precio en el intervalo
[230,232; 390,190) constituyen el 30 % del total de los 50 pisos. Y, como todos los intervalos
son de igual amplitud, la altura de la segunda barra del histograma es la frecuencia relativa
asociada en tanto por uno, es decir, 0,3. Si a la frecuencia relativa de un intervalo se le suman
las frecuencias relativas de los anteriores se obtiene la frecuencia relativa acumulada hasta
cada intervalo, que aparece en la columna acum. Por ejemplo, en el conjunto de pisos que
estudiamos, un 42 % de ellos tiene un precio inferior a 390190e.
La descripciń num´rica de una variable se encuentra en la opciń del mismo men´ auxiliar
o e o u
Estad´ısticos descriptivos o en el men´ principal, Variable →Estad´
u ısticos principales. El resultado
para la variable precio es la Tabla 1.3:

Estad´sticos principales, usando las observaciones 1 - 50
ı
para la variable ’precio’ (50 observaciones v´lidas)
a

Media 489,86 Desviaciń t´pica
o ı 237,42
Mediana 466,68 C.V. 0,48466
Mńimo
ı 150,25 Asimetrá
ı 0,68052
M´ximo
a 1110,0 Exc. de curtosis -0,19251

Tabla 1.3: Estad´
ısticos descriptivos del precio de 50 pisos

Esta ventana tiene un nuevo men´. La opciń Copiar permite importar la tabla a un fichero
u o
MS Word, Latex o simplemente, como aparece en pantalla (Texto plano). Estos estad´ ısticos
descriptivos reflejan algunas caracter´
ısticas de la distribuciń recogidas en el histograma. La
o
media y la mediana son medidas de posiciń, la desviaciń t´
o o ıpica y el coeficiente de variacińo
son medidas de dispersiń, mientras que la asimetr´ y exceso de curtosis son medidas de forma
o ıa
de la distribuciń.
o

15

ıa a

Las medidas de posiciń dan una idea de la situaciń o centro del conjunto de puntos. La
o o
media es el valor promedio. Si disponemos de N datos de una variable x1 , x2 , . . . , xN , la media,
o tambiń momento muestral de primer orden, se define como:
e

N
x1 + x2 + . . . + xN 1
x=
¯ = xi
N N
i=1

La media es un estad´ıstico poco robusto frente a la presencia de valores extremos: observaciones
an´malas van a tener una gran influencia en el valor que tome. Por ejemplo, si el piso n´mero
o u
50 tuviera un precio muy alto, por ejemplo, 1350 miles de euros en lugar de 1051, entonces el
precio medio aumentar´ en casi 6000 euros, situńdose en 495,84 miles de euros.
ıa a
En general, interesan estad´ ısticos cuyo valor no var´ mucho ante cambios en los valores de unas
ıe
pocas observaciones, por muy grandes que sean esas variaciones. La mediana, que es el valor cen-
tral de la distribuciń, posee esta propiedad. As´ la mediana del precio es 466, 68 miles de euros.
o ı,
Las medidas de posiciń proporcionan un valor representativo del conjunto de datos que debe
o
complementarse con una medida del error asociado. Para valorar la representatividad de este
unico valor se utilizan las medidas de dispersiń, que informan de si las observaciones estń
´ o a
poco concentradas (o muy dispersas) alrededor de su centro. Una medida sencilla es la diferencia
entre los valores m´ximo y m´
a ınimo que toman los datos en la muestra, lo que se conoce como
recorrido. Es decir,
Recorrido = M´ximo - M´
a ınimo
En el ejemplo, tenemos que el recorrido de los precios es 1110-150,25 = 959,75 miles de euros.
Esta medida s´lo tiene en cuenta dos valores, los extremos. Otras medidas se elaboran con todos
o
los datos, por ejemplo, la desviaciń t´
o ıpica, que es la ra´ cuadrada positiva de la varianza. La
ız
varianza de un conjunto de datos se define como un promedio de los cuadrados de las desviaciones
de los datos a la media. Gretl calcula la varianza, S ∗2 o Sx , como:
∗2

N
∗2 (x1 − x)2 + (x2 − x)2 + . . . + (xN − x)2
¯ ¯ ¯ 1
Sx = = (xi − x)2
¯
N −1 N −1
i=1

Por tanto, la desviaciń t´ ∗
o ıpica, Sx , se calcula segń:
u

N
∗ 1
Sx =+ (xi − x)2
¯
N −1
i=1

Varianza y desviaciń t´
o ıpica son medidas de la dispersiń de los datos alrededor de la media.
o
Tiene el valor m´
ınimo cero cuando todos los datos de la variable toman el mismo valor. La ventaja
de la desviaciń t´
o ıpica es que tiene las mismas unidades de medida que la variable original. En
a o e ∗ a
general, cuanto m´s pr´xima a cero est´ Sx , m´s concentrados estarń los datos alrededor de la
a
media y ´sta ser´ m´s representativa del conjunto de observaciones. Sin embargo, al depender Sx
e a a ∗

de las unidades de medida, no es fćil comparar su representatividad en dos conjuntos de datos.
a
Para solucionar este problema se utiliza el coeficiente de variaciń, C.V., que es una medida
o
adimensional de la dispersiń, y se define como:
o

Sx∗
C.V. = si x = 0
¯
|¯|
x

16


En el ejemplo de precios tenemos que C.V. = 0, 485 < 1, la dispersiń de los datos es pequeã
o n
en relaciń a su nivel, por lo que consideramos que la media s´ es bastante representativa del
o ı
conjunto de datos.
Media y desviaciń t´
o ıpica son los estad´ ısticos-resumen m´s conocidos. Se acompaãn de las
a n
medidas de forma, que reflejan otras caracter´ ısticas del histograma. La asimetr´ de una
ıa
distribuciń se refiere a si los datos se distribuyen de forma sim´trica alrededor de la media o
o e
no. El coeficiente de asimetr´ se define como:
ıa
N 3 1 N
1 xi − x
¯ N i=1 (xi − x)3
¯
Coeficiente de asimetr´ =
ıa = 3
N Sx Sx
i=1

con Sx = (N − 1)/N × Sx = ∗ ¯2
i (xi − x) /N . El coeficiente de asimetr´ es cero cuando los
ıa
datos se distribuyen sim´tricamente alrededor de la media, es positivo cuando la cola derecha
e
(asociada a valores por encima de la media) es m´s larga que la izquierda siendo negativo en
a
caso contrario. En el ejemplo de los precios de los pisos, observamos que la asimetr´ es positiva,
ıa
lo que se corresponde con una media mayor que la mediana, es decir, x > M ediana(X).
¯
0.25

0.2
0.2
0.18

0.16

0.15 0.14

0.12

0.1
0.1

0.08

0.06
0.05
0.04

0.02

0 0
0 5 10 15 20 25 -2 -1 0 1 2 3
Asimetra positiva Asimetra negativa

Gr´fico 1.10: Tipos de asimetr´
a ıa

El coeficiente de curtosis es una medida del apuntamiento de la distribuciń y se define:
o
N 4 1 N
1 xi − x
¯ N i=1 (xi − x)4
¯
Curtosis = = 4
N Sx Sx
i=1

Este coeficiente mide la cantidad de observaciones que se encuentran en las colas en relaciń con
o
las situadas alrededor de la media. El nivel de referencia es tres, que es el valor de la curtosis de
la distribuciń normal. As´ se define el exceso de curtosis como:
o ı,
1 N
N i=1 (xi − x)4
¯
Exc. de curtosis = 4
−3 (1.1)
Sx

Un exceso de curtosis positivo indica mayor peso de observaciones en la cola y mayor apuntamien-
to que la distribuciń normal, mientras que si es negativo indica menor n´mero de observaciones
o u
en la cola y menor apuntamiento.
Cuando tenemos un conjunto de variables, Gretl permite recoger en una unica tabla los estad´
´ ısti-
cos descriptivos de todas las variables. El proceso es el siguiente:

1. Seleccionar las variables de inter´s pinchando simultńeamente la tecla izquierda del ratń
e a o
y la tecla Control.

17

ıa a

2. Ir a Ver →Estad´ısticos principales o utilizar Estad´
ısticos descriptivos en el men´ auxiliar
u
que aparece al pinchar la tecla derecha del ratń sobre las variables seleccionadas.
o

As´ con los datos de la Tabla 1.1 se obtiene la siguiente tabla de estad´
ı, ısticos descriptivos:
ı

Variable MEDIA MEDIANA MIN MAX
m2 127,34 105,00 55,000 250,00
Reforma 0,62000 1,0000 0,00000 1,0000
precio 489,86 466,68 150,25 1110,0

Variable D.T. C.V. ´
ASIMETRIA EXC.CURTOSIS
m2 59,048 0,46370 0,67091 -0,77954
Reforma 0,49031 0,79083 -0,49445 -1,7555
precio 237,42 0,48466 0,68052 -0,19251

Tabla 1.4: Estad´
ısticos descriptivos del conjunto de datos

donde D.T. indica desviaciń t´
o ıpica, MIN es m´ ınimo y MAX denota el m´ximo. Al interpretar
a
estos resultados, hay que tener en cuenta que la variable Reforma no es una variable cuantitativa
continua, sino una variable cualitativa discreta, que s´lo toma valores 1 ´ 0.
o o

1.5.2. Relaciones entre variables

Cuando el conjunto de datos contiene, por ejemplo, dos variables cuantitativas nos interesa
estudiar la relaciń o asociaciń que existe entre ellas. En general, al analizar dos (o m´s)
o o a
variables, podemos establecer una relaciń de causalidad entre ellas. Por ejemplo, podemos
o
pensar que el precio de un piso puede ser consecuencia del tamaõ de la vivienda, pero no al rev´s.
n e
Se llama variable independiente o ex´gena, x, a la que causa el efecto y variable dependiente o
o
end´gena, y, a la que lo recibe. La relaciń entre estas variables puede estudiarse con gr´ficos
o o a
o expresarse num´ricamente mediante, por ejemplo, el coeficiente de correlaciń. Todos estos
e o
elementos del an´lisis descriptivo de un conjunto de variables se realiza con el men´ que se
a u
despliega en la opciń Ver de Gretl.
o

Representaciń gr´fica. El diagrama de dispersiń o scatterplot da una primera idea de la
o a o
relaciń entre dos variables. Es el gr´fico que representa cada punto (xi , yi ), i = 1, . . . N en el
o a
plano: la variable x aparece en el eje de abscisas y la variable y en el eje de ordenadas. Por
ejemplo, para obtener con Gretl el Gr´fico 1.11, precio sobre superficie, podemos seguir uno de
a
los siguientes pasos:

• Ver →Gr´ficos →Gr´fico X-Y (scatter) y en el cuadro Definir el gr´fico marcar:
a a a
Variable de eje X Elegir −> m2
Variables de eje Y Aãdir −> precio
n

• O bien seleccionar las variables precio y m2 pinchando simultńeamente la tecla izquierda
a
del ratń y la tecla Control e ir al men´ auxiliar, Gr´fico de dos variables XY. En el
o u a
siguiente cuadro, se selecciona la variable de la abscisa, m2.

18


Al pinchar en Aceptar aparece el Gr´fico 1.11 que, adem´s de la nube de puntos, incluye una
a a
recta-s´
ıntesis de la relaciń, la recta de regresiń m´
o o ınimo cuadr´tica que veremos m´s adelante.
a a

Precio con respecto a Superficie (con ajuste mco)
1200
Y = 44,9 + 3,49X
1100

1000

900

800
Precio (miles euros)

700

600

500

400

300

200

100
50 100 150 200 250
Superficie (m2)

Gr´fico 1.11: Diagrama de dispersiń superficie-precios (2)
a o

Al pinchar sobre el gr´fico aparece un men´ auxiliar que sirve para:
a u

• Exportar el gr´fico a ficheros en diferentes formatos en Guardar como Windows metafile
a
(EMF). . . , PNG. . . , postscript (EPS). . . , PDF. . . .

• Copiar/exportar el gr´fico a otros ficheros con Copiar al portapapeles.
a

• Guardar el fichero en la sesiń de Gretl en Guardar la sesiń como icono.
o o

• Realizar cambios en el fichero con Editar. En la pestaã Principal se controla el t´
n ıtulo
del gr´fico, el tamaõ y tipo de letra, el color de las l´
a n ıneas/puntos, el dibujo del marco
completo, la situaciń de texto explicativo de las variables representadas (posiciń de la
o o
clave) o la eliminaciń de la recta-resumen. La escala y la explicaciń de los ejes se modifica
o o
en Eje X y Eje Y. En l´ ıneas se controla la representaciń de los datos, tipo de l´
o ınea o
punto, y el texto explicativo de las variables. Etiquetas permite aãdir texto en el gr´fico
n a
y salida a fichero incluye varios formatos para guardar el gr´fico.
a

El gr´fico de dispersiń permite distinguir la posible relaciń, lineal o no, que existe entre las
a o o
variables. Se dice que hay una relaciń lineal positiva entre ambas variables cuando al
o
aumentar x, aumenta en promedio el valor de y (figura b en el Gr´fico 1.12). Diremos que hay
a
una relaciń lineal negativa entre ambas variables cuando observamos que al aumentar x,
o
disminuye en promedio el valor de y (figura c). En el ejemplo, se observa una clara relaciń lineal
o
positiva entre precio y tamaõ del piso.
n

19

ıa a

3 4
(a) Sin relación lineal (b) Relacion lineal positiva
3
2
2
1
1
Y1

Y2
0 0

-1
-1
-2
-2
-3

-3 -4
-1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6
X1 X2

3 6
(c) Relación lineal negativa (d) Relación no lineal
5
2
4
1
3
Y3

Y4

0 2

1
-1
0
-2
-1

-3 -2
-1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6
X3 X4
Gr´fico 1.12: Diagramas de dispersiń
a o

Covarianza y correlaciń. La covarianza es una medida del grado de asociaciń lineal entre
o o
dos variables. Si se tienen N pares de datos de dos variables, (x1 , y1 ) . . . (xN , yN ), la covarianza
se denota por Sxy y se define:
N
1
Sxy = cov(x, y) = (xi − x)(yi − y )
¯ ¯
N
i=1

siendo x e y las medias aritm´ticas de las variables. La covarianza depende de las unidades de
¯ ¯ e
medida de las variables, lo que no permite comparar la relaciń entre distintos pares de variables
o
medidas en unidades diferentes. En estos casos se utiliza el coeficiente de correlaciń lineal
o
entre x e y, que se define:
N
Sxy i=1 (xi − x)(yi − y )
¯ ¯
rxy = corr(x, y) = =
Sx Sy N N
i=1 (xi − x)2
¯ i=1 (yi − y )2
¯

El coeficiente de correlaciń lineal y la covarianza tienen el mismo signo: son positivos si existe
o
relaciń lineal directa o positiva (figura b en el Gr´fico 1.12), son negativos si existe relaciń
o a o
lineal inversa o negativa (figura c) y toma valor cero si x e y son independientes (figura a) o
cuando la relaciń, si existe, es no lineal (figura d). Adem´s, su valor no depende del orden en
o a
que se consideren las variables, es decir, Sxy = Syx y rxy = ryx . A diferencia de la covarianza,
el coeficiente de correlaciń es una medida adimensional de la relaciń que toma valores entre
o o
-1 y 1, −1 ≤ rxy ≤ 1: un coeficiente de correlaciń igual a uno en valor absoluto indica que las
o
variables estń relacionadas linealmente de forma exacta y los datos se sitán sobre una l´
a u ınea.

20


En Gretl, si se marcan las variables que interesan y se va a Ver →Matriz de correlaciń se obtiene
o
una tabla (matriz) con los coeficientes de correlaciń para cada par de variables consideradas.
o
El resultado para los datos de precios, tamaõ y reforma de los pisos es:
n
Coeficientes de correlaciń, usando las observaciones 1 - 50
o
valor cr´tico al 5% (a dos colas) = 0,2787 para n = 50
ı
m2 Reforma precio
1,0000 0,0440 0,8690 m2
1,0000 0,2983 Reforma
1,0000 precio

Tabla 1.5: Matriz de coeficientes de correlaciń
o

Por ejemplo, el coeficiente de correlaciń entre el precio y el tamaõ de los pisos se encuentra
o n
en la primera fila, columna tercera, (precio-m2). Es decir, rprecio,m2 = 0, 869, lo que indica
que hay una fuerte relaciń lineal positiva entre estas variables. Hay que tener en cuenta que
o
este coeficiente se define para variables cuantitativas, por lo que no lo aplicamos a la variable
Reforma.

1.6. Ejercicio para practicar

Se dispone de una base de datos para 51 observaciones en el Estado de Washington sobre el gasto
en sanidad, exphlth, y la renta disponible, income, correspondientes al aõ 19932 . Las variables
n
que se consideran son:

exphlth Gasto personal en sanidad, en billones de d´lares,
o
(Rango 0,998 - 94,178).
income Renta personal disponible, en billones de d´lares,
o
(Rango 9,3 - 64,1).

1. Describe los datos.

2. Haz el gr´fico de frecuencias de la variable exphlth. Interpr´talo.
a e

3. Haz el gr´fico de frecuencias de la variable income. Interpr´talo.
a e

4. Escribe la tabla de estad´
ısticos descriptivos de las variables exphlth e income. Interpreta
los resultados.

5. Busca el coeficiente de correlaciń entre las variables. Interpr´talo.
o e

6. Realiza un an´lisis gr´fico de las relaciń existente entre las variables. Interpreta el resul-
a a o
tado.

2
Fichero data3-2.gdt. Fuente: Statistical Abstract of U.S. (1995), recogida en Ramanathan, R. (2002), Intro-
ductory econometrics with applications, 5th. Ed., South-Western.

21

ıa a

22

Tema 2

Modelo de Regresiń Lineal Simple
o

2.1. Introducciń. Un ejemplo
o

Supongamos que nos interesa conocer la relaciń que hay entre el precio de una vivienda y
o
su superficie. Se trata de cuantificar la influencia que tiene el tamaõ de una vivienda en la
n
determinaciń de su precio de venta mediante un modelo de regresiń lineal simple. En este
o o
cap´ıtulo vamos a especificar, estimar y analizar el modelo de regresiń lineal simple. La
o
teor´ necesaria para este fin ser´ ilustrada mediante el estudio simultńeo del conjunto de datos
ıa a a
data3-1 disponible en Gretl dentro del conjunto de datos correspondiente a Ramanathan. Este
fichero contiene el precio de venta y la superficie de 14 viviendas vendidas en el ´rea de San
a
Diego. Vamos a comenzar realizando un an´lisis gr´fico.
a a

1. Accedemos a este conjunto de datos en Archivo → Abrir datos →Archivo de muestra y en
la carpeta de datos de Ramanathan seleccionamos data3-1 House prices and sqft:

Gr´fico 2.1: Selecciń de un fichero de muestra
a o

23

ıa a

Se abre un fichero que contiene tres variables, const, price y sqft. La Tabla 2.1 muestra los
valores disponibles para cada variable.

i Pi F2 i P F2

1 199,9 1065 8 365,0 1870
2 228,0 1254 9 295,0 1935
3 235,0 1300 10 290,0 1948
4 285,0 1577 11 385,0 2254
5 239,0 1600 12 505,0 2600
6 293,0 1750 13 425,0 2800
7 285,0 1800 14 415,0 3000

Tabla 2.1: Conjunto de datos incluidos en data3.1 House prices and sqft

2. En Datos →Leer informaciń aparece la siguiente descripciń del conjunto de datos:
o o
DATA3-1: Precio de venta y superficie h´bil de viviendas
a
unifamiliares en la comunidad universitaria de San Diego
en 1990.
price = Precio de venta en miles de d´lares (Rango 199.9 - 505)
o
sqft = Pies cuadrados de ´rea habitable (Rango 1065 - 3000)
a

3. Seguidamente en Variable →Editar atributos cambiamos los nombres a las variables (P y
F2 ), la descripciń (Precio de venta en miles de d´lares y Pies cuadrados h´biles) y el
o o a
nombre a mostrar (Precio, P y Superficie, F2 )

4. Guardamos los cambios en un fichero llamado datos-cap3.gdt con Archivo →Guardar datos.

5. Abrimos el diagrama de dispersiń entre las dos variables (ver el Gr´fico 2.2). En ´l ob-
o a e
servamos una relaciń lineal positiva entre P y F 2.
o

Precio, P con respecto a Superficie, F2 (con ajuste mnimo-cuadrÆtico)
550
Y = 52,4 + 0,139X

500

450

400
Precio, P

350

300

250

200

150
1500 2000 2500 3000
Superficie, F2

Gr´fico 2.2: Diagrama de dispersiń precio-superficie de viviendas
a o

24


Un modelo sencillo que recoge una relaciń lineal causa-efecto entre superficie y precio es Pi =
o
α + βF 2i . Esto quiere decir que el precio de una vivienda depende unicamente de su superficie
´
y, por lo tanto, dos viviendas de igual tamaõ deben tener exactamente el mismo precio. Esta
n
hip´tesis es poco realista porque diferencias en otras caracter´
o ısticas, como la orientaciń de la
o
casa o su estado de conservaciń, tambiń influyen en su precio. Este modelo que recoge una
o e
relaciń lineal entre unicamente dos variables se denomina modelo de regresiń lineal simple.
o ´ o

2.2. Elementos del modelo de regresiń simple
o

El modelo simple relaciona dos variables de forma lineal,

Yi = α + βXi + ui i = 1, . . . , N (2.1)

donde:

- Y es la variable a explicar, variable dependiente o end´gena, es decir, la variable
o
que estamos interesados en explicar.

- X es la variable explicativa, variable independiente o ex´gena.
o

- La ordenada α y la pendiente β del modelo son los coeficientes de la regresiń. Si
o
definimos K como el n´mero de coeficientes desconocidos a estimar, en el modelo de
u
regresiń simple tenemos K = 2 coeficientes a estimar.
o

- u es el t´rmino de error, variable aleatoria o perturbaciń.
e o

- El sub´
ındice i denota observaciń. En general, el sub´
o ındice i ser´ empleado cuando la
a
muestra contenga datos de secciń cruzada y el sub´
o ındice t cuando tengamos observaciones
correspondientes a series temporales, aunque esto no es de especial relevancia.

- N es el tama˜ o muestral, n´mero de observaciones disponibles de las variables de estudio
n u
(Y, X). Cuando tratemos con datos temporales T denotar´ el tamaõ muestral1 .
a n

El error ui se introduce por varias razones, entre las cuales tenemos:
• Efectos impredecibles, originados por las caracter´ısticas de la situaciń econ´mica o del
o o
contexto de an´lisis, y efectos no cuantificables derivados de las preferencias y los gustos
a
de los individuos o entidades econ´micas.
o

• Errores de medida producidos a la hora de obtener datos sobre las variables de inter´s.
e

• Errores de especificaciń ocasionados por la omisiń de alguna variable explicativa o bien,
o o
por las posibles no linealidades en la relaciń entre X e Y .
o

Modelo para la relaciń precio-tamaõ del piso. En este caso planteamos el siguiente modelo
o n
de regresiń lineal:
o

Pi = α + β F 2i + ui i = 1, . . . , N (2.2)

donde
1
En este cap´
ıtulo y los siguientes, por simplicidad, no reservaremos la letra may´scula para variables aleatorias
u
X y las min´sculas para realizaciones (x) sino que utilizaremos may´sculas tanto para una variable aleatoria
u u
como para su realizaciń, es decir, para los datos.
o

25

ıa a

- Pi es la observaciń i de la variable dependiente (end´gena o a explicar) precio de venta
o o
de un piso en miles de d´lares.
o

- F 2i es la observaciń i de la variable independiente (ex´gena o explicativa) ´rea habitable
o o a
del piso en pies cuadrados.

- Los dos coeficientes a estimar son α y β, y sospechamos que al menos β tiene valor positivo
ya que a mayor superficie habitable de la vivienda su precio l´gicamente se esperar´ sea
o a
mayor.

- En este modelo el t´rmino de error o perturbaciń ui recoger´ caracter´
e o ıa ısticas espec´
ıficas de
los pisos: lugar en el que se sitá, orientaciń de la casa, vistas, etc., es decir, caracter´
u o ısticas
que diferencian el precio de los pisos que tienen la misma superficie habitable.

Un primer objetivo del an´lisis econom´trico es conocer α y β, que son los par´metros de la
a e a
relaciń entre P y F 2. Del total de viviendas del ´rea objeto de estudio, tenemos una muestra
o a
con datos de N= 14 pisos. Por tanto, el objetivo del estudio es inferir, a partir de la muestra,
la relaciń precio-tamaõ de una vivienda en la poblaciń. Para llevar a cabo esta inferencia es
o n o
necesario determinar la naturaleza aleatoria de las variables que intervienen en el estudio.

2.3. Hip´tesis b´sicas
o a

El modelo (2.1) debe completarse con la especificaciń de las propiedades estoc´sticas de la
o a
variable de inter´s Y . A partir de las propiedades de Y es posible conocer las propiedades de
e
los distintos m´todos de estimaciń, elegir el mejor estimador en el modelo, realizar contrastes,
e o
etc. Las condiciones bajo las cuales vamos a trabajar en un principio se denominan hip´tesis
o
b´sicas. Bajo estas hip´tesis estimaremos y analizaremos el modelo para, finalmente, predecir
a o
Y . En una segunda etapa, podemos considerar otras situaciones, relajando algunas de estas
hip´tesis, analizando si los procedimientos de estimaciń y contraste anteriores siguen siendo
o o
v´lidos. Las hip´tesis b´sicas se refieren a los distintos elementos de la regresiń.
a o a o

• Sobre la forma funcional

1. El modelo es lineal en los coeficientes. Los modelos a estimar que consideramos son linea-
les en los coeficientes, Yi = α + βXi + ui . Sin embargo, podemos permitir no linealidades
en las variables explicativas como puede ser la especificaciń:
o

Pi = α + β (F 2i )2 + ui

en la que la superficie habitable de los pisos no influye de forma lineal sobre el precio, sino
de forma cuadr´tica.
a

• Sobre los coeficientes

2. Los coeficientes α y β se mantienen constantes a lo largo de la muestra. Vamos a conside-
rar que la influencia de las variables explicativas es estable a lo largo de la muestra. Su-
pongamos que estamos interesados en analizar, en t´rminos medios, el precio de los pisos
e

26


de Bilbao (P ) en funciń de la superficie habitable en metros cuadrados (F 2). En este caso
o
interesar´ estimar la recta central representada en el caso 1 del Gr´fico 2.3.
ıa a
No obstante, supongamos que algunos de estos pisos estń localizados en el centro de
a
Bilbao (representados en azul) y que otros estń localizados en la periferia (en rojo). El
a
caso 2 del Gr´fico 2.3 muestra esta hipot´tica situaciń: en general, para una determinada
a e o
superficie, los pisos del centro tienen mayor precio. As´ en el gr´fico es posible distinguir
ı, a
dos nubes de puntos, cada una asociada a pisos de una determinada zona. Si este fuera el
caso, estar´ıamos dispuestos a creer que existen (y debemos estimar) dos rectas centrales
(la azul y la roja) permitiendo que tanto la ordenada como la pendiente cambien a lo largo
de la muestra, dependiendo de la zona en la que se localice el piso.

Caso 1: Sin discriminar por localizaciń
o Caso 2: Discriminando por localizaciń
o
P6 P 6
E(Pi /C) = α1 + β1 F 2i
E(Pi ) = α + βF 2i
E(Pi ) = α + βF 2i
∗
∗∗ ∗∗ ∗ ∗ E(Pi /P ) = α2 + β2 F 2i
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗
∗ ∗∗ ∗
- -
F2 F2
Gr´fico 2.3: Precio de los pisos de Bilbao versus superficie habitable
a

• Sobre la variable end´gena
o

3. La variable end´gena es cuantitativa. A lo largo de este curso b´sico vamos a suponer
o a
que la variable a explicar es cuantitativa. Lo contrario, una variable end´gena cualitativa,
o
requiere m´todos de estimaciń alternativos al m´todo que se analiza en este curso.
e o e

• Sobre la variable explicativa
2
4. La variable explicativa X tiene varianza muestral SX no nula y adem´s N ≥ K = 2. Es-
a
tas hip´tesis son necesarias para poder identificar los coeficientes (ordenada y pendiente).
o
En primer lugar, si el n´mero de coeficientes a estimar fuera mayor que el n´mero de ob-
u u
servaciones disponibles en la muestra, no tenemos suficiente informaciń para poder llevar
o
a cabo la estimaciń. M´s adelante veremos que esta condiciń debe hacerse m´s estricta,
o a o a
N > 2, si adem´s de estimar los dos par´metros α y β que determinan el valor medio de
a a
Y , nos interesa estimar su variabilidad.
2
Por otra parte, si la variable explicativa tuviera varianza muestral nula (SX = 0), es
decir, si la variable explicativa tomase un valor constante, por ejemplo, Xi = 5 ∀i, la
pendiente y la ordenada no podr´ ser identificadas. Esto se debe a que la variable X es
ıan
una combinaciń lineal del t´rmino constante, X = 5 × t´rmino constante = 5 × 1 = 5. De
o e e
hecho, tal y como se puede observar en el Gr´fico 2.4, una situaciń de estas caracter´
a o ısticas
no puede explicar las variaciones de la variable de inter´s Y .
e
5. La variable ex´gena X es fija, no estoc´stica. Las observaciones del regresor X1 , . . . XN
o a
son valores fijos en muestras repetidas, es decir, suponemos que trabajamos en un con-
texto de experimento controlado. Esta condiciń implica que la variable explicativa X no
o

27

ıa a

Yi 6

-
Xi = 5
Xi

2
Gr´fico 2.4: Modelo Yi = α + β × 5 + ui , con SX = 0
a

podr´ estar medida con error. En el caso prćtico que estamos considerando, esto significa
a a
que los metros cuadrados habitables estń medidos con exactitud. En muchos casos es un
a
supuesto poco realista, pero lo utilizamos como punto de partida. El contexto en el que
la variable explicativa X tiene carćter aleatorio se estudia en textos m´s avanzados, por
a a
ejemplo, Wooldridge (2003) o Alonso et al. (2005).

6. El modelo est´ bien especificado. En general, esta hip´tesis requiere que en el modelo no
a o
se incluyan variables irrelevantes ni que se omitan variables relevantes para explicar Y . En
el contexto del modelo de regresiń simple, esto significa que la variable explicativa X es
o
la unica variable relevante para explicar y predecir la variable de inter´s Y .
´ e

• Sobre la perturbaciń
o
El t´rmino de error recoge aquellos elementos que afectan a la variable de inter´s y que no obser-
e e
vamos. Podemos hacer conjeturas sobre los valores que puede tomar, cu´les son m´s probables
a a
y cu´les menos. As´ consideramos que ui es aleatorio y tiene las siguientes propiedades.
a ı,

7. La perturbaciń tiene media cero. El error impredecible, la parte aleatoria del modelo,
o
tiene media cero. Esto implica que la parte sistem´tica del modelo (α + βXi ) puede ser
a
interpretada como el comportamiento medio a analizar, es decir, E(Yi ) = α + βXi .

8. La perturbaciń tiene varianza constante. Suponemos que la variabilidad del error se man-
o
tiene constante, var(ui ) = σ 2 , ∀i (ver caso 1 del Gr´fico 2.5). De este modo, como puede
a
verse en la distribuciń de la figura izquierda del Gr´fico 2.6, dados unos valores espec´
o a ıfi-
cos de la variable explicativa, el rango de posibles valores que puede tomar la variable
end´gena tiene la misma amplitud y la probabilidad de observar elementos alejados de la
o
media no depende del valor que tome la variable explicativa X.
En el caso contrario, estar´ ıamos hablando de perturbaciones heteroced´sticas, cuya dis-
a
persiń puede variar a lo largo de la muestra (ver caso 2 del Gr´fico 2.5). En el caso de
o a
los pisos, significar´ por ejemplo, que el rango de los precios de los pisos con menor su-
ıa,
perficie es m´s pequeõ que el de los pisos con mayor superficie habitable (ver la figura
a n
derecha en el Gr´fico 2.6). En otras palabras, los pisos pequeõs y con la misma superficie
a n
tienen los precios bastante parecidos. Sin embargo, a medida que aumenta la superficie,
la holgura crece y podemos encontrar pisos grandes de igual tamaõ a diversos precios; es
n
decir, var(ui ) es una funciń creciente en X.
o

28


Caso 1: varianza constante Caso 2: varianza creciente con Xi
ui ui
6 6

0 - 0 -
Xi Xi

? ?

Gr´fico 2.5: Ejemplos de realizaciones de u
a

Varianza constante Varianza no constante
f(u)

Y

X1
X2

X

Gr´fico 2.6: Ejemplos de distribuciń de Y
a o

9. La perturbaciń no est´ autocorrelacionada. Por el momento vamos a suponer que la corre-
o a
laciń entre dos observaciones distintas cualesquiera de la perturbaciń es cero, corr(ui , uj ) =
o o
rui ,uj = 0; ∀i = j. Esto implica que las covarianzas entre dos perturbaciones tambiń ese
cero: cov(ui , uj ) = 0, ∀i = j.

10. La perturbaciń sigue una distribuciń normal. Este ultimo supuesto, como veremos m´s
o o ´ a
adelante, no se necesita para la estimaciń ni para la obtenciń de propiedades del es-
o o
timador2 . Sin embargo es necesario para poder realizar contraste de hip´tesis o calcular
o
intervalos de confianza.

2
Esto es as´ porque el m´todo de estimaciń que se va a derivar es el de M´
ı e o ınimos Cuadrados Ordinarios. Sin
embargo, si se estimase por m´xima verosimilitud el supuesto de normalidad sobre la distribuciń de Y s´ es
a o ı
necesario para la obtenciń del estimador.
o

29

ıa a

2.3.1. Resumen: modelo de regresiń lineal simple con hip´tesis b´sicas
o o a

Abreviadamente, el modelo con las hip´tesis b´sicas mencionadas se escribe:
o a

Yi = α + βXi + ui , Xi fija y ui ∼ N ID(0, σ 2 ) ∀i

Es decir, Yi ∼ N ID(α + βXi , σ 2 ), siendo α, β y σ 2 par´metros desconocidos. En particular, nos
a
interesamos por los par´metros de la media y su interpretaciń en este modelo es:
a o

• α = E(Yi |Xi = 0): valor medio o esperado de la variable end´gena cuando el valor que
o
toma la variable ex´gena es cero.
o

∆E(Yi ) ∂E(Yi )
• β= = : un aumento unitario en la variable explicativa conlleva un aumen-
∆Xi ∂Xi
to medio de β unidades en la variable end´gena. La pendiente mide el efecto de un aumento
o
marginal en la variable explicativa sobre E(Yi ).

→ As´ volviendo a nuestro ejemplo tenemos que:
ı,
α = E(Pi |F 2i = 0) es el precio medio de venta en miles de d´lares cuando el piso dispone de
o
una superficie de cero pies habitables, que tambiń puede ser considerado como precio m´
e ınimo
de partida. En este caso, esperar´
ıamos un coeficiente nulo dado que no tiene sentido hablar de
un piso sin superficie h´bil o bien un precio de partida positivo. No obstante, aunque en este
a
contexto la ordenada no tiene en principio mucho sentido, no debemos de eliminarla a la ligera
en aras de obtener resultados fćiles de interpretar.
a
∆E(Pi )
β = indica que, cuando un piso aumenta su superficie h´bil en un pie cuadrado, su
a
∆F 2i
precio medio aumenta en β miles $.

2.4. Estimaciń por M´
o ınimos Cuadrados Ordinarios

Una vez descrito el ´mbito en el que nos vamos a mover, vamos a obtener un estimador adecuado
a
de los coeficientes del modelo de regresiń simple: el estimador de m´
o ınimos cuadrados ordinarios.
En primer lugar, obtendremos el estimador y, a continuaciń, justificaremos su uso en base a
o
sus propiedades. El modelo simple (2.1) nos indica que cada observaciń Yi es una realizaciń
o o
de una variable que tiene dos componentes: uno que depende del valor del regresor Xi , cuyo
valor observamos, y un componente residual que no observamos. Esto significa que tenemos N
igualdades con una misma estructura:

Y1 = α + βX1 + u1
.
.
.
Yi = α + βXi + ui
.
.
.
YN = α + βXN + uN

30


El Gr´fico 2.7 representa gr´ficamente una posible muestra. Los puntos (Yi , Xi ) se sitán o
a a u
distribuyen alrededor de la recta α + βXi . La desviaciń de cada punto respecto a esta recta
o
central viene dada por el valor que tome el t´rmino de error no observable ui . Por ejemplo, en el
e
Gr´fico 2.7, la perturbaciń es positiva para la primera observaciń, de modo que Y1 se encuentra
a o o
por encima de la recta central. Por otro lado, el punto (Y2 , X2 ) se encuentra por debajo de la
recta central, es decir, u2 toma un valor negativo.

Yi 6
(Y1 , X1 )
6
u1
E(Yi ) = α + βXi + E(ui )
?
=0

α 6u2
?
(Y2 ,X2 )

-
Xi

Gr´fico 2.7: Modelo de regresiń simple
a o

As´ la recta central ser´ aquella recta que se obtiene cuando el valor de la perturbaciń es cero.
ı, ıa o
Teniendo en cuenta que suponemos que la perturbaciń tiene media cero, es decir, que no tiene
o
efectos sistem´ticos sobre Y , la recta central recoge el comportamiento medio de la variable de
a
inter´s. La estimaciń de un modelo de regresiń pretende obtener una aproximaciń a esta
e o o o
recta central no observable. En t´rminos econom´tricos, queremos calcular el comportamiento
e e
medio de la variable de inter´s, α + βXi , a partir de observaciones provenientes de una muestra
e
(Y1 , X1 ), (Y2 , X2 ), . . . , (YN , XN ). Gr´ficamente, la estimaciń consiste en calcular la pendiente y
a o
la ordenada que mejor se ajusta a la nube de puntos.
Antes de proceder a la estimaciń del modelo es preciso definir algunos nuevos conceptos. La
o
recta central objeto de estimaciń se denomina Funciń de Regresiń Poblacional (FRP)
o o o
y depende de los coeficientes poblacionales desconocidos α y β. Se trata de la parte sistem´tica
a
o predecible del modelo y corresponde al comportamiento medio o esperado de la variable a
explicar:
E(Yi ) = E(α + βXi + ui ) = α + βXi + E(ui ) = α + βXi
=0

La perturbaciń del modelo recoge todo aquello que no ha sido explicado por la parte sis-
o
tem´tica del modelo y se obtiene como la diferencia entre la variable a explicar y la recta de
a
regresiń poblacional:
o
ui = Yi − α − βXi

El resultado final obtenido a partir de la informaciń que ofrece una muestra dada se define
o
como la Funciń de Regresiń Muestral (FRM). Se obtiene una vez que los coeficientes
o o
o α, ˆ
de la regresiń hayan sido estimados (ˆ β) y tambiń se conoce como modelo estimado:
e

ˆ ˆ ˆ
Yi = E(Yi ) = α + βXi

31

ıa a

El residuo mide el error cometido al estimar la variable end´gena y se define como la diferencia
o
entre la variable a explicar y la recta de regresiń muestral:
o

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ui = Yi − Yi = Yi − α − βXi = α + βXi + ui − α − βXi
ˆ (2.3)
ˆ
= (α − α) + (β − β)Xi + ui
ˆ

Este error proviene de dos fuentes: la primera, por el hecho de no poder obtener los valores de la
perturbaciń (ui ) y la segunda se debe a que la estimaciń de los coeficientes desconocidos (α, β)
o o
introduce un error adicional. Es importante, por tanto, diferenciar y no confundir el residuo con
la perturbaciń.
o

Yi 6
ˆ ˆ ˆ
Yi = α + βXi
(Y1 , X1 )
Y1
6 6
u1
ˆ
ˆ ˆ ˆ
α + βX1 = Y1 ? E(Yi ) = α + βXi
?u1
6 α + βX1
α
β
ˆ
β
α
ˆ
? -
Xi
X1

Gr´fico 2.8: Funciń de regresiń poblacional y funciń de regresiń muestral
a o o o o

En el Gr´fico 2.8 la funciń de regresiń poblacional est´ trazada en color negro as´ como los
a o o a ı
coeficientes poblacionales, la ordenada (α) y la pendiente (β). Podemos ver que el valor Yi se
obtiene como la suma del valor que toma la parte sistem´tica α + βXi (situada sobre la FRP)
a
y del valor que toma la perturbaciń ui , esto es, Yi = α + βXi + ui .
o
o o α ˆ
La funciń de regresiń muestral y los coeficientes estimados (ˆ y β) estń representados en color
a
rojo. La diferencia entre la FRP y la FRM se debe a los errores que se cometen en la estimaciń
o
o α ˆ
de los coeficientes de la regresiń (ˆ = α, β = β). Basńdonos en la FRM podemos obtener el
a
ˆ ˆ ˆ
valor del punto Yi como la suma del valor estimado de la parte sistem´tica Yi = α + βXi (situado
a
ˆ ˆ
sobre la FRM) y del valor que toma el residuo ui , esto es, Yi = Yi + ui .
ˆ

2.4.1. El criterio de estimaciń m´
o ınimo-cuadr´tico
a

Dados el modelo y una muestra, debemos decidir c´mo obtener la funciń de regresiń muestral,
o o o
o ˆ ˆ
es decir, c´mo calcular las estimaciones α y β a partir de los datos. Un m´todo muy utilizado por
e
su sencillez y buenas propiedades es el m´todo de m´
e ınimos cuadrados ordinarios. El estimador de
M´ ınimos Cuadrados Ordinarios, o MCO, de los par´metros α y β se obtiene de minimizar
a
la suma de los residuos al cuadrado:
N N N
m´
ın u2 = m´
î ın ˆ
(Yi − Yi )2 = m´
ın ˆ ˆ
(Yi − α − βXi )2 (2.4)
ˆ ˆ
α,β i=1 ˆ ˆ
α,β i=1 ˆ ˆ
α,β i=1

Las expresiones del estimador de α y β se obtienen de las condiciones de primer orden, para lo

32


cual igualamos las primeras derivadas a cero:
N
∂ ˆ2
i=1 ui
= −2 N
i=1 (Yi ˆ ˆ
− α − βXi ) = 0
∂α
ˆ
N
∂ ˆ2
i=1 ui
= −2 N
i=1 (Yi ˆ ˆ
− α − βXi )Xi = 0
ˆ
∂β

As´ obtenemos un sistema de ecuaciones, llamadas ecuaciones normales, que vienen dadas por:
ı,
N
ˆ ˆ
(Yi − α − βXi ) = 0 (2.5)
i=1
ui
N
ˆ ˆ
(Yi − α − βXi )Xi = 0 (2.6)
i=1
ui Xi

Las expresiones de los estimadores MCO para los coeficientes poblacionales α y β se obtienen
ˆ ˆ
de resolver las ecuaciones para α y β:
N ¯ ¯
ˆ i=1 (Xi − X)(Yi − Y) SXY
β = = 2 (2.7)
N ¯ 2 SX
i=1 (Xi − X)

¯ ˆ¯
α = Y − βX
ˆ (2.8)

2.4.2. Propiedades de los estimadores MCO

Necesitamos saber cu´les son las propiedades que justifican el uso de los estimadores MCO en
a
el modelo de regresiń simple bajo las hip´tesis b´sicas. Los estimadores α y β son lineales en
o o a
la perturbaciń, es decir, pueden expresarse como una combinaciń lineal de las perturbaciones
o o
u1 , . . . , uN . En segundo lugar, los estimadores MCO son variables aleatorias cuya distribuciń
o
est´ centrada alrededor del valor poblacional, esto es
a
E(ˆ ) = α
α ˆ
E(β) = β
y, por tanto, son estimadores insesgados. Y en cuanto a la precisiń, el Teorema de Gauss-
o
Markov prueba que los estimadores MCO tienen m´ ınima varianza dentro del conjunto de los
estimadores lineales (en u) e insesgados. Las varianzas y covarianza para los estimadores son las
siguientes:
N 2 ¯
X2
i=1 Xi 1
var(ˆ ) = σ 2
α = σ2 + 2 (2.9)
N N ¯
− X)2 N N SX
i=1 (Xi

ˆ 1 σ2 1
var(β) = σ 2 = 2 (2.10)
N ¯
− X)2 N SX
i=1 (Xi

¯
X ¯
σ2 X
α ˆ
cov(ˆ , β) = σ 2 − = − 2 (2.11)
N ¯
− X)2 N SX
i=1 (Xi

Ambas varianzas dependen de la dispersiń de la perturbaciń var(ui ) = σ 2 , del tamaõ muestral
o o n
y de la dispersiń del regresor X. En ambos casos, cuanto mayor sea N o la variabilidad de X,
o
2
Sx , menor es la varianza de los estimadores MCO. En cuanto a la covarianza ser´ no nula a no
a
ser que la media muestral de la variable explicativa sea cero.

33

ıa a

2.4.3. La estimaciń MCO en Gretl
o

→ Como ejemplo, calcularemos las estimaciones MCO del modelo para el precio de la vivienda,
Pi = α + βF 2i + ui , con la muestra del fichero datos-cap3.gdt. Una forma sencilla de obtener la
FRM m´ ınimo-cuadr´tica es realizar el diagrama de dispersiń en el cual la recta de regresiń
a o o
aparece en la parte superior izquierda. En el ejemplo que nos ocupa tenemos que α = 52, 4 y
ˆ
ˆ
β = 0, 139, como se puede ver en el Gr´fico 2.2.
a
Vamos a ver c´mo podemos obtener una tabla de resultados detallados. Una vez iniciada la
o
sesiń de Gretl y abierto el fichero datos-cap3.gdt, vamos a
o
Modelo →M´ ınimos cuadrados ordinarios...
Aparece la ventana donde se especifica la parte sistem´tica del modelo:
a

Gr´fico 2.9: Ventana de especificaciń del modelo lineal
a o

• Escogemos la variable dependiente, el precio de venta: en el cuadro izquierdo pinchamos
sobre P y luego Elegir − >.
• Elegimos la variable independiente, el tamaõ: en el cuadro izquierdo pinchamos sobre
n
F 2 y luego Aãdir − >. La ventana de especificaciń aparece en el Gr´fico 2.9.
n o a
Tras pinchar en Aceptar aparece la ventana de resultados del modelo (ver el Gr´fico 2.10).
a

MENÚ DEL MODELO

Gr´fico 2.10: Ventana de resultados de estimaciń MCO
a o

En esta ventana aparecen los resultados b´sicos para el an´lisis del modelo y que se explican
a a

34


detalladamente a lo largo del curso. La primera columna muestra las variables explicativas que
se han incluido en el modelo, la constante (const) y la superficie que posee la vivienda (F 2). En
la segunda columna tenemos los coeficientes estimados por MCO correspondientes a cada una
de las variables. Como ya vimos, la estimaciń de la ordenada es igual a α= 52,35 miles de
o
d´lares y la estimaciń de la pendiente es β = 0, 138750 miles $ por pie cuadrado. As´ la funciń
o o ı o
de regresiń muestral es:
o

Pi = 52, 3509 + 0,138750 F 2i (2.12)

Es decir, cuando la superficie de la vivienda aumenta en un pie cuadrado, el precio medio de
venta estimado aumenta en β × 1000 = 138, 750 d´lares. Observar que esta interpretaciń
o o
corresponde a la estimaciń del coeficiente, no al par´metro poblacional β.
o a
Esta ventana de resultados del modelo tiene un men´ con siete opciones, Archivo, Editar, Con-
u
trastes, Guardar, Gr´ficos, An´lisis y Latex, que sirven para mostrar otro tipo de resultados de
a a
estimaciń o guardarlos. Veamos algunas de estas utilidades.
o

ICONO DEL MODELO
ESTIMADO

Vista de iconos

Gr´fico 2.11: Ventana de iconos: recuperar resultados estimaciń
a o

Guardar resultados. Si en el men´ de resultados del modelo vamos a Archivo →Guardar a
u
sesiń como icono, el modelo queda guardado dentro de la carpeta USER. As´ podemos recupe-
o ı,
rarlo siempre que queramos; basta con pinchar sobre el botń iconos de sesiń, cuarto por la
o o
izquierda de la barra de herramientas (ver el Gr´fico 2.11), y en la ventana que aparece, pinchar
a
dos veces sobre el icono llamado Modelo 1. Si posteriormente estim´ramos otro modelo y lo
a
guard´ramos como icono, Gretl lo denominar´ Modelo 2.
a ıa
Algunos gr´ficos de inter´s. La opciń Gr´ficos de la ventana de resultados del modelo
a e o a
incluye distintas representaciones gr´ficas tanto de la variable end´gena de inter´s, como de su
a o e
ajuste y de los errores de su ajuste. Veamos algunos de los m´s utilizados en regresiń con datos
a o
de secciń cruzada.
o

• En Gr´ficos → Gr´fico de variable estimada y observada →contra F2 obtenemos el gr´fico
a a a
de dispersiń de las observaciones reales Pi frente a la variable explicativa F 2i junto con
o
la funciń de regresiń muestral (2.12). El resultado es la figura izquierda del Gr´fico 2.12.
o o a

• Si seleccionamos Gr´ficos →Gr´fico de residuos →contra F2, se representan los errores de
a a
ajuste ui sobre la variable explicativa F 2i , es decir, el diagrama de dispersiń de los pares
ˆ o
de puntos (F 21 , u1 ), . . . , (F 214 , u14 ), como aparece en la figura derecha del Gr´fico 2.12.
ˆ ˆ a
Podemos apreciar que los residuos se distribuyen alrededor del valor cero (u ¯ = 0) y que la

35

ıa a

Precio, P observada y estimada Residuos de la regresin (= P observada - estimada)
550 100
actual
estimada
500 80

450 60

400 40
Precio, P

residuo
350 20

300 0

250 -20

200 -40

150 -60
1500 2000 2500 3000 1500 2000 2500 3000
Superficie, F2 Superficie, F2

Gr´fico 2.12: Gr´ficos de resultados de regresiń MCO
a a o

variaciń con respecto a esta media crece a medida que aumenta el tamaõ de los pisos.
o n
Este ultimo resultado podr´ indicar que la hip´tesis b´sica de varianza constante quiz´s
´ ıa o a a
no sea aceptable.

ˆ
Variables asociadas a la regresiń. Para ver los valores que toman los ajustes Yi y los resi-
o
duos ui , debemos seleccionar An´lisis →Mostrar variable observada, estimada, residuos.
ˆ a
El resultado que obtenemos es la tabla 2.2. Podemos guardar cualquiera de estos valores selec-
cionando la opciń Guardar del men´ del modelo, tal como muestra el Gr´fico 2.13.
o u a
Rango de estimaciń del modelo: 1--14
o
Desviaciń t´pica de los residuos = 39,023
o ı

Observaciones P estimada residuos Observaciones P estimada residuos
1 199,9 200,1 −0,2 8 365,0 311,8 53,2
2 228,0 226,3 1,7 9 295,0 320,8 −25,8
3 235,0 232,7 2,3 10 290,0 322,6 −32,6
4 285,0 271,2 13,8 11 385,0 365,1 19,9
5 239,0 274,4 −35,5 12 505,0 413,1 91,9
6 293,0 295,2 −2,2 13 425,0 440,9 −15,9
7 285,0 302,1 −17,1 14 415,0 468,6 −53,6
Tabla 2.2: Residuos de la regresiń MCO.
o

ˆ
Para almacenar Pi hay que elegir Guardar →Valores estimados. Sale una ventanilla en la que, por
defecto, el valor ajustado o estimado de la variable end´gena se llama yhat1 y en la descripciń
o o
aparece valores estimados mediante el modelo 1. Dado que nuestra variable dependiente es el
precio de venta P , cambiamos de nombre a la variable y la renombramos como phat1. Si repetimos
los pasos anteriores pero escogemos Guardar →Residuos, en la ventanilla correspondiente se
nombra a los residuos como uhat1 y la descripciń es residuos del modelo 1. Una vez guardadas
o
estas dos series, las encontramos en la ventana principal junto a la variable independiente P y
la variable explicativa F 2.

2.4.4. Propiedades de la recta m´
ınimo-cuadr´tica
a

Vamos a realizar un pequeõ an´lisis de las variables que intervienen en la regresiń m´
n a o ınimo-
cuadr´tica, con objeto de estudiar las similitudes y relaciones que pueden existir entre ellas.
a

36


Gr´fico 2.13: Residuos MCO
a

ı
Variable Media Mediana Mńimo
ı M´ximo
a
P 317, 493 291, 500 199, 900 505, 000
F2 1910, 93 1835, 00 1065, 00 3000, 00
phat1 317, 493 306, 958 200, 120 468, 602
uhat1 0, 000000 −1, 1919 −53, 601 91, 8983

Variable Desv. T´p.
ı C.V. Asimetrá
ı Exc. de curtosis
precio 88, 4982 0, 278741 0, 653457 −0, 529833
F2 577, 757 0, 302344 0, 485258 −0, 672125
phat1 80, 1640 0, 252491 0, 485258 −0, 672125
uhat1 37, 4921 6, 15597e+15 1, 02687 0, 817927

Tabla 2.3: Estad´
ısticos descriptivos de variables de la FRM

Finalmente, generalizaremos estos resultados, comprobando que estas propiedades se cumplen
en cualquier regresiń lineal m´
o ınimo-cuadr´tica.
a
Comenzaremos obteniendo los estad´ ısticos descriptivos del regresor F 2, la variable end´gena P ,
o
ˆ y su residuo u en Ver →Estad´
su ajuste P ˆ ısticos principales de la ventana inicial de Gretl:
Analizando esta tabla-resumen de los datos comprobamos que:
¯
i) La media de los residuos (uhat1 ) es cero, u = 0.
ˆ
¯ ¯
ii) Las medias de la variable dependiente Pi y la estimada (phat1 ) coinciden, P = P .
iii) Los coeficientes de asimetr´ y curtosis de la variable dependiente ajustada Pi coinciden
ıa
con las de la variable independiente F 2i .
A continuaciń, vamos a analizar las relaciones lineales existentes entre estas variables. Mediante
o
Ver →Matriz de correlaciń obtenemos la siguiente matriz de correlaciones:
o
Podemos ver que:

37

ıa a

Coeficientes de correlaciń, usando las observaciones 1 - 14
o
ı
P F2 uhat1 phat1
1, 0000 0, 9058 0, 4236 0, 9058 P
1, 0000 −0, 0000 1, 0000 F2
1, 0000 −0, 0000 uhat1
1, 0000 phat1

Tabla 2.4: Matriz de correlaciones

iv) Los valores ajustados Pi y el regresor F 2i estń perfectamente correlacionados,
a
rP F 2 = 1.
v) La correlaciń entre los valores observados Pi con los valores ajustados Pi y la va-
o
riable explicativa F 2i es la misma, rP P = rP F 2 .
vi) Los residuos ui y la variable explicativa F 2i estń incorrelacionados, ruF 2 = 0.
a
vii) Los residuos ui y la variable ajustada Pi estń incorrelacionados, ruP = 0.
a
Justificaciń de estos resultados: La propiedad i) se deriva de la primera ecuaciń normal
o o
¯ = 0. Notar que la
(2.5), que nos indica que la suma de los residuos ha de ser cero, por lo que u
ˆ
primera ecuaciń normal existe s´lo si el modelo tiene t´rmino independiente y no en otro caso.
o o e
Por lo tanto, los resultados que se obtienen derivados de ella solo se cumplen en el caso de que
¯ ¯ ¯ ¯
ˆ ˆ
el t´rmino independiente exista. De u = 0 y como Y = Y + u, se obtiene la propiedad ii).
e ˆ
Las propiedades iii), iv) y v) se deben a que los valores de P se obtienen de un cambio de
ˆ ˆ
origen y escala de la variable F 2, P = α + βF 2. Esta relaciń implica que sus distribuciones de
o
frecuencias tienen las mismas las medidas de forma, estń perfectamente correlacionadas entre
a
s´ y tienen la misma correlaciń lineal frente a terceras variables.
ı o
¯
La propiedad vi) se deriva de las ecuaciones normales (2.5), que indica que u = 0, y (2.6),
ˆ
que implica que los residuos son ortogonales a la variable explicativa X, i Xi ui = 0. Como
ˆ
consecuencia, la covarianza muestral entre residuo y variable explicativa es cero:

N N
1 ¯ u ¯ 1 ¯¯
SX u
ˆ = (Xi − X)(î − u) =
ˆ Xi ui − X u = 0
ˆ ˆ
N N
i=1 i=1

y, por tanto, la correlaciń entre ambas variables es: ruX = SuX /Su SX = 0. Esto nos viene a
o ˆ ˆ ˆ
decir que en la parte del modelo que queda sin explicar, el residuo u, ya no queda nada que la
ˆ
variable ex´gena X pueda explicar o aportar en t´rminos lineales. Finalmente, basńdonos en
o e a
ˆ
ˆ
que ruX = 0 y que el ajuste Y es una transformaciń lineal de X, se demuestra la propiedad
o
o ˆ
vii), ruY = 0. De esta condiciń y dado que Yi = Yi + ui , se deriva una ultima propiedad:
ˆ ´
viii) La varianza muestral de Y puede descomponerse en dos t´rminos: la varianza explicada
e
por X y la varianza residual, es decir,

2 2 2
SY = SY + Su
ˆ ˆ

2.4.5. La precisiń de la estimaciń y la bondad del ajuste
o o

Una vez realizada las estimaciones de los coeficientes del modelo, la siguiente etapa del an´lisis
a
consiste en el an´lisis y evaluaciń de los resultados. Por ejemplo nos interesa,
a o

38


1. Obtener una medida de la precisiń en la estimaciń de α y β.
o o

2. Evaluar la calidad del ajuste a los datos, es decir, si la funciń de regresiń muestral,
o o
ˆ ˆ ˆ
Yi = α + βXi , resume bien el comportamiento observado de la variable end´gena.
o

3. Evaluar si el modelo propuesto es correcto o si hay algń error en la especificaciń del
u o
modelo, en las hip´tesis planteadas.
o

Este apartado desarrolla los puntos 1 y 2. La respuesta al punto 3 es m´s compleja, de modo
a
que el siguiente apartado introduce algunos aspectos de la evaluaciń del modelo.
o

La precisiń de la estimaciń
o o

La desviaciń t´
o ıpica de la distribuciń muestral de los estimadores es un buen indicador de
o
la precisiń. Sin embargo, habitualmente la desviaciń t´
o o ıpica de los estimadores tiene algń u
elemento desconocido. Esto sucede en este caso, como puede comprobarse en la expresiń de las
o
varianzas (2.9) y (2.10), que dependen de la varianza de la perturbaciń var(ui ) = σ 2 . Podemos
o
obtener una estimaciń de la desviaciń t´
o o ıpica sustituyendo el par´metro poblacional σ por un
a
estimador insesgado, σ. El resultado se conoce como errores t´ ıpicos de los coeficientes de
la regresiń, es decir,
o

σ
ˆ ¯
X2
Error t´
ıpico (ˆ )
α = des(ˆ )
α = √ 1+ 2
N N SX

ˆ ˆ σ 1
ˆ
Error t´
ıpico (β) = des(β) = √
N SX

Un estimador insesgado de la varianza σ 2 es:
N N
2 1 1 ˆ
σ =
ˆ u2
î = (Yi − Yi )2
N −2 N −2
i=1 i=1

donde i u2 es la suma de cuadrados residual, (o SCR), y N − 2 son los grados de liber-
î
tad que tenemos tras estimar α y β. Su ra´ cuadrada σ se conoce como error t´
ız ˆ ıpico de los
perturbaciones o error t´ıpico de la regresiń. Por tanto, la precisiń de las estimaciones de
o o
los coeficientes aumenta con el n´mero de observaciones N y la dispersiń del regresor SX y
u o
disminuye cuando crece el error t´
ıpico σ .
ˆ
De forma similar, se construye el siguiente estimador insesgado de la matriz de las varianzas y
la covarianza de los estimadores MCO:

 
1 ¯
X2 −X ¯
+
α var(ˆ )
α α ˆ
cov(ˆ , β) 
 N ¯ 2
i (Xi − X)
¯ 2
i (Xi − X)


V = = σ2 
ˆ 
β α ˆ
cov(ˆ , β) ˆ
var(β)  1 
¯
(Xi − X)2
i

→ Errores t´ ıpicos de estimaciń y estimaciń de las varianzas en Gretl. En los resultados
o o
de estimaciń del caso prćtico aparecen los siguientes valores relacionados con la precisiń:
o a o

39

ıa a

Modelo 1: estimaciones MCO utilizando las 14 observaciones 1-14
Variable dependiente: P

VARIABLE COEFICIENTE ´
DESV.TIP. ESTAD T VALOR P
const 52,3509 37,2855 1,404 0,18565
F2 0,138750 0,0187329 7,407 <0,00001***

Suma de cuadrados de los residuos = 18273,6

Desviaciń t´pica del os residuos = 39,023
o ı

La columna encabezada por DESV. T´ proporciona los errores t´
IP. ıpicos de estimaciń, es decir,
o
α ˆ
des(ˆ ) y des(β). Se observa que es m´s precisa la estimaciń del efecto marginal de la superficie
a o
del piso β que la de la ordenada α ya que su varianza estimada es menor. La desviaciń tó ıpica
ıpico σ y Suma de cuadrados de los residuos es SCR = i u2 .
de los residuos es el error t´ ˆ î
En esta tabla no aparece la estimaciń de la varianza de la perturbaciń, pero se puede calcular:
o o

o o ıpica de los residuos: σ 2 = 39, 02302 = 1522, 8.
• De su relaciń con la desviaciń t´ ˆ

• Dividiendo la suma de cuadrados de los residuos entre los grados de libertad N − 2, as´
ı

18273, 6
σ2 =
ˆ = 1522, 8
14 − 2

Tambiń es posible obtener la estimaciń de la matriz de varianzas y covarianzas de los coefi-
e o
cientes de regresiń seleccionando en el men´ del modelo An´lisis →Matriz de covarianzas de
o u a
los coeficientes. El resultado para el conjunto de 14 observaciones es:
Matriz de covarianzas de los coeficientes de regresiń
o
const sqft
1390,21 -0,670583 const
3,50920e-04 sqft

ˆ ˆ
Tabla 2.5: Estimaciń de varianzas y covarianza de α y β.
o

ˆ α ˆ
es decir, var(ˆ ) = 1390, 21, var(β) = 3, 5092 × 10−4 y cov(ˆ , β) = −0, 670583.
α

Los errores t´ıpicos de estimaciń y de la regresiń dependen de las unidades de medida, es
o o
decir, las podemos reducir o agrandar cuanto queramos con s´lo cambiar de escala las variables
o
dependiente e independiente. Por otro lado, interesa tener una medida que nos indique, en la
medida de lo posible, si estamos ante unos buenos resultados de ajuste a los datos de la funciń
o
de regresiń muestral.
o

Bondad del ajuste

La medida de la bondad del ajuste que vamos a utilizar es el coeficiente de determinaciń, o
2 ´ R-cuadrado. Este coeficiente tiene la siguiente expresiń en el modelo de regresiń lineal
R o o o

40


simple:
¯
ˆ
ˆ − Yi )2
ˆ2
i ui i (Yi
R2 = rXY = 1 −
2
¯ = ¯ 2 (2.13)
i (Yi − Y )2 i (Yi − Y )

Este coeficiente mide la ganancia obtenida al pasar de un modelo sin variable explicativa X:

Yi = α + ui

a otro en el que se incluye esta variable: Yi = α + βXi + ui
Por tanto el R-cuadrado mide la proporciń de la variabilidad observada de la variable depen-
o
diente Y que se ha podido explicar por incluir de forma lineal en el modelo la variable explicativa
X. Normalmente se interpreta en porcentajes, por ejemplo, se dice que la regresiń explica el
o
100 × R 2 por ciento de la variaciń observada en Y . Es fćil comprobar que:
o a
- ınimo-cuadr´tico equivale a maximizar R2 .
El criterio m´ a
- R2 = rY Y , mide la correlaciń entre el valor observado y el valor predicho o ajustado
2
ˆ o
con la regresiń. Como 0 ≤ rY Y ≤ 1, si R2 0 diremos que el ajuste es pobre y, por el
o 2
ˆ
contrario, ser´ un buen ajuste cuando este estad´
a ıstico est´ pr´ximo a la unidad.
e o
Esta propiedad no se cumple en modelos sin t´rmino independiente, es decir, Yi =
e
βXi + ui .

→ Si analizamos el caso prćtico, vemos que el coeficiente de determinaciń aparece en la tabla
a o
de resultados de estimaciń, R-cuadrado = 0,820522. Podemos decir que este ajuste es bueno,
o
ya que la variabilidad muestral de la superficie de la vivienda (F 2) ha explicado el 82 % de la
variabilidad muestral de los precios de venta de dichas viviendas (P ).

2.5. Contrastes de hip´tesis e intervalos de confianza
o

Al proponer un modelo para el precio de los pisos hemos asumido que el tamaõ del piso es el
n
factor m´s relevante en la fijaciń de su precio. Las conclusiones que obtengamos de la estima-
a o
ciń y predicciń dependerń del cumplimiento de esta hip´tesis. Por tanto, conviene valorar si
o o a o
este supuesto es sensato. Para ello vamos a utilizar los contrastes de hip´tesis y los intervalos de
o
confianza sobre la distribuciń de los estimadores. El planteamiento es el siguiente:
o

• Si el precio de un piso no se ve afectado por su superficie, entonces su efecto marginal es
cero, luego β = 0, y diremos que la variable explicativa no es significativa o relevante para
explicar Y . Si esto es cierto, el modelo propuesto no tiene sentido y debemos reformularlo.
• Por el contrario, si el precio est´ relacionado con la superficie del piso, entonces β = 0 y
a
decimos que el regresor X es significativo o relevante para explicar (y predecir) Y .

2.5.1. Contrastes de hip´tesis sobre β
o

Contraste de significatividad individual de X. Para verificar si la variable independiente
F 2 es significativa para determinar el precio medio de la vivienda, podemos realizar un contraste.
Planteamos las siguientes hip´tesis a contrastar:
o

H0 : β = 0 (X no es significativa o relevante para explicar Y )
Ha : β = 0 (X es significativa o relevante para explicar Y )

41

ıa a

Para obtener un estad´
ıstico de contraste partimos de la siguiente variable aleatoria:

β−β
∼ t(N −K) (2.14)
des(β)

El estad´
ıstico del contraste se obtiene sustituyendo en esta variable el valor recogido en H0 :

β−0 H0
t= ∼ t(N −K)
des(β)

Es un contraste bilateral, como se observa en el siguiente gr´fico de la distribuciń del estad´
a o ıstico
bajo H0 :

Gr´fico 2.14: Criterio de decisiń del contraste de significatividad individual
a o

la regla de decisiń es la siguiente: fijado un nivel de significaciń α,
o o
- Rechazamos H0 si el valor muestral del estad´ıstico tm pertenece a la regiń cr´
o ıtica, es
decir, si es menor que −c = −t(N −K)α/2 o bien mayor que c = t(N −K)α/2 y concluimos
que la variable explicativa es relevante.
- No rechazamos H0 en otro caso, es decir, si el valor muestral tm se sitá en el intervalo
u
[−c, c] con c = t(N −K)α/2 . Concluimos que la variable X no es relevante o significativa
para explicar la variable dependiente Y .

→ Veamos si la superficie de la vivienda es un factor relevante para determinar su precio:

H0 : β = 0 β H0
t= ∼ t(14−2)
Ha : β = 0 des(β)

ıstico tm se incluye en los resultados de estimaciń, es la cuarta
El valor muestral del estad´ o
columna, encabezada por ESTAD T. Es decir,
columna COEF ICIEN T E 0, 13875
EST AD T = tm = 7, 4068 = =
columna DESV.T IP. 0, 0187329

El valor cr´
ıtico del contraste para el nivel de significaciń del 5 % es c = t(14−2)0,05/2 = 2, 179.
o
Como resultado tenemos que 7, 4068 > 2, 179, por lo que tm pertenece a la regiń cr´ o ıtica y,
en consecuencia, rechazamos H0 a un nivel de significaciń del 5 %. Podemos concluir que la
o
variable F 2 es significativa o relevante para determinar el precio medio de la vivienda. En el

42


tema siguiente, veremos c´mo la columna VALOR P de la tabla de resultados de Gretl informa
o
sobre la conclusiń del contraste.
o
Otros contrastes sobre β. Como hay evidencia estad´ ıstica de que β es distinto de cero y, por
lo tanto, la variable explicativa X es significativa, nos puede interesar saber qu´ valor puede
e
tomar. Vamos a generalizar el procedimiento de contraste anterior. Veamos dos ejemplos.

→ Ejemplo 1. Ante un aumento de la superficie de la vivienda de un pie cuadrado, ¿podr´ el
ıa
precio medio de venta de la vivienda aumentar en 100 d´lares? Planteamos el contraste:
o

H0 : β = 0, 1
Ha : β = 0, 1

Sustituyendo en la variable (2.14) el valor bajo H0 , obtenemos el estad´
ıstico de contraste:

β − 0, 1 H0
t= ∼ t(N −K)
des(β)

Hay que tener en cuenta que la columna ESTAD T de los resultados de estimaciń de Gretl,
o
corresponde al valor muestral del estad´ıstico para H0: β = 0. Por tanto, tenemos que calcular el
valor muestral del estad´
ıstico de contraste, que en este caso es:

0, 138750 − 0, 1
tm = = 2, 068
0, 0187329

El valor cr´
ıtico para α = 5 % es c = t(14−2)0,05/2 = 2, 179. Como el valor calculado cae fuera de
la regiń cr´
o ıtica, −2, 179 < 2, 068 < 2, 179, no rechazamos la H0 a un nivel de significaciń del
o
5 %. Por tanto, es posible un incremento de 100 d´lares en el precio medio de la vivienda ante
o
un aumento unitario en la superficie.

→ Ejemplo 2. Ante el mismo aumento unitario en la superficie, ¿podr´ el precio medio de
ıa
venta de la vivienda aumentar en 150 d´lares? Planteamos el contraste y, al igual que en el caso
o
anterior, llegamos al estad´
ıstico de contraste:

H0 : β = 0, 15 β − 0, 15 H0
t= ∼ t(N −K)
Ha : β = 0, 15 des(β)

El estad´
ıstico de contraste en este caso toma el valor

0, 138750 − 0, 15
tm = = −0, 6005 ⇒ −c = −2, 179 < −0, 6005 < 2, 179 = c
0, 0187329

con c = t(12)0,025 . As´ no rechazamos H0 a un nivel de significaciń del 5 % y tambiń es posible
ı, o e
que si ∆F 2 = 1, entonces el precio medio de la vivienda aumente en 150$.

Si observamos los contrastes anteriores, siempre y cuando el valor del estad´ ıstico calculado tm
est´ fuera de la regiń cr´
e o ıtica, es decir, en el intervalo [−2, 179; 2, 179] no rechazaremos la hip´tesis
o
nula propuesta.

43

ıa a

2.5.2. Intervalos de confianza

Un intervalo de confianza est´ definido por dos valores entre los cuales se encuentra el valor del
a
par´metro con un determinado nivel de confianza que se denota (1−α). Para obtener el intervalo
a
de confianza del coeficiente β, definimos el intervalo de valores que tiene una probabilidad (1−α)
en la distribuciń (2.14) asociada al estimador. As´
o ı

β−β
P rob −t(N −2)α/2 ≤ ≤ t(N −2)α/2 = 1−α
des(β)

Reordenamos en funciń del par´metro desconocido β:
o a

P rob β − t(N −2)α/2 des(β) ≤ β ≤ β + t(N −2)α/2 des(β) = 1−α

y obtenemos el intervalo de confianza (1−α) para el par´metro β. Observamos que est´ centrado
a a
en la estimaciń puntual y que se desv´ en una cantidad que est´ dada por t(N −K)α/2 veces su
o ıa a
error t´
ıpico de estimaciń, des(β). Si estimamos con muy poca precisiń, este intervalo ser´ am-
o o a
plio. Esto quiere decir que la variabilidad muestral del estimador acota a β en un intervalo m´s
a
amplio. En lo que sigue del curso emplearemos la siguiente notaciń para expresar el intervalo
o
de confianza:

ˆ ˆ
IC(β)1−α = β ± t(N −2)α/2 des(β)

El correspondiente intervalo de confianza para α se obtiene de forma similar:

IC(α)1−α = α ± t(N −2)α/2 des(ˆ )
ˆ α

→ Continuando con la prćtica, vamos a obtener los intervalos de confianza para los dos coefi-
a
cientes de regresiń. Para ello, vamos a An´lisis →Intervalos de confianza para los coeficientes.
o a
El resultado es:

t(12, .025) = 2,179

VARIABLE COEFICIENTE INTERVALO DE CONFIANZA 95%
const 52,3509 (-28,8872, 133,589)
F2 0,138750 (0,0979349, 0,179566)

Tabla 2.6: Estimaciń por intervalo
o

En esta tabla de resultados, la segunda columna ofrece las estimaciones por punto, esto es,
α = 52, 3509 y β = 0, 138750. La tercera indica los l´
ımites de los intervalos a una confianza del
95 %, esto es:
IC(α)0,95 = [−28, 887 ; 133, 587]
IC(β)0,95 = [0, 0979349 ; 0, 179566]

Por tanto, podemos afirmar con un nivel de confianza del 95 % que, ante un aumento de la
superficie de la vivienda de un pie cuadrado, el precio medio de venta de dicha vivienda aumen-
tar´ entre 97,9349 y 179,566 d´lares.
a o

44


2.6. Resumen. Presentaciń de los resultados
o

Los resultados de la estimaciń de un modelo se suelen presentar de forma resumida, incluyendo
o
tanto la recta de regresiń como un conjunto de estad´
o ısticos utiles para evaluar los resultados.
´
Una forma habitual de presentar la estimaciń es la siguiente:
o

P = 52, 3509 + 0, 138750 F 2
(des) (37,285) (0,018733)
2
N = 14 R = 0, 82 σ = 39, 023
ˆ

Bajo cada coeficiente estimado aparece su error t´ ıpico de estimaciń. Otra opciń es incluir los
o o
ısticos tm de significatividad individual o los grados de libertad. Por ejemplo,
estad´

P = 52, 3509 + 0, 138750 F 2
(estad. t) (1,404) (7,407)
2
Grados libertad = 12 R = 0, 82 σ = 39, 023
ˆ

2.7. Ejercicios para practicar

Ejercicio 1:
Se quiere analizar los costes acumulados de reparaciń de los coches Toyota (cost) en funciń
o o
de la edad del coche (age). Para realizar este ejercicio debís utilizar los datos contenidos en el
e
archivo de muestra en Gretl data3-7 de Ramanathan, Toyota station wage repairs:

1. Con los datos del fichero, rellena los valores del cuadro siguiente:

i 1 2 3 4 5 ... N
costi ...
agei ...

2. ¿Los datos son de secciń cruzada o series temporales? ¿Cu´l es el tamaõ muestral?
o a n

3. ¿Cu´l es el coste de reparaciń del cuarto coche? ¿Cuńtos aõs tiene?
a o a n

4. Obtń los estad´
e ısticos principales de las variables cost y age. Comńtalos.
e

5. ¿Cu´l es la edad media muestral de los coches?
a

6. Especifica un modelo para analizar los costes de reparaciń de los coches.
o

7. ¿Cu´l es la variable end´gena? ¿Y la explicativa? ¿Qu´ elementos de este modelo son
a o e
aleatorios?

8. Escribe la funciń objetivo a minimizar para estimar este modelo por M´
o ınimos Cuadrados
Ordinarios.

9. Escribe la Funciń de Regresiń Muestral.
o o

45

ıa a

10. ¿Cu´l es el coste estimado para el primer coche de la muestra? ¿Y el residuo?
a

11. Interpreta los coeficientes estimados. ¿Tienen los signos esperados?

12. El coche A tiene un aõ m´s que el coche B (52 semanas). ¿Cu´l es la diferencia estimada
n a a
en el coste de reparacion de uno y otro?

13. Si la edad de un coche aumenta un mes (4 semanas), ¿en cuńto se espera que incremente
a
su coste acumulado estimado?

14. ¿Cu´l es la expresiń del coeficiente de determinaciń? Interpreta el valor obtenido.
a o o

15. Estima la varianza de las perturbaciones.

16. Estima la matriz de varianzas y convarianzas de los estimadores MCO de los coeficientes
del modelo.

17. Calcula el intervalo de confianza del 95 % para el coeficiente de la variable age.

18. Contrasta la significatividad de la variable age.

19. ¿Crees que de una semana a la siguiente el coste medio acumulado de reparaciń de un
o
Toyota puede aumentar 10 d´lares?
o

20. Obtń los siguientes gr´ficos y comńtalos:
e a e

a) Los residuos a lo largo de la muestra.
b) La variable end´gena y la estimada a lo largo de la muestra.
o

Ejercicio 2:
Se dispone de una base de datos para 51 estados de E.E.U.U. sobre el gasto agregado en trans-
porte urbano (EXP T RAV ) y la renta disponible agregada (IN COM E) correspondientes al
aõ 19933 . Las variables que se consideran son:
n

EXPTRAV Gasto agregado en transporte urbano, en billones
de d´lares, (Rango 0,708 - 42,48).
o
INCOME Renta disponible agregada, en billones de d´lares,
o
(Rango 9,3 - 683,5).
POP Poblaciń, en millones,
o
(Rango 0,47 - 31,217).

1. Especifica un modelo para analizar si la renta disponible agregada explica el gasto agregado
en transporte urbano. Interpreta sus coeficientes.

2. Estima el modelo por M´ ınimos Cuadrados Ordinarios. Comenta los resultados obtenidos
en t´rminos de bondad de ajuste, significatividad y signos de los coeficientes estimados.
e
Razona si te parecen adecuados los resultados.

3. Obtń e interpreta los siguientes gr´ficos:
e a
3

46


• Gr´fico de la serie de residuos MCO.
a
• Gr´fico de residuos MCO sobre la variable P OP .
a

4. ¿Podr´ un aumento de un millń de d´lares en la renta disponible agregada producir un
ıa o o
aumento, en media, de un billń de d´lares en el gasto en transporte urbano agregado?
o o

5. Define e indica que miden las siguientes variables:
EXP T RAV IN COM E
EXP OP = y IN CP OP = .
P OP P OP

6. Regresa la variable EXP OP sobre la variable IN CP OP y un t´rmino independiente.
e

a) Interpreta los coeficientes estimados.
b) Contrasta la significatividad de la variable IN CP OP .
c) Compara los resultados de ambos modelos, ¿cu´l te parece m´s razonable?
a a

47

ıa a

48

Tema 3

Modelo de Regresiń Lineal M´ltiple
o u

o

En este tema consideramos introducir en el modelo de regresiń, adem´s del t´rmino constante,
o a e
m´s de una variable explicativa por lo que pasamos del llamado modelo de regresiń lineal simple
a o
al modelo de regresiń lineal m´ltiple.
o u
Comenzamos con el ejemplo que se ha seguido en el tema sobre el Modelo de Regresiń Lineal
o
Simple. El precio de una casa, en miles de d´lares, (P) era la variable dependiente y la variable
o
explicativa era el tamaõ de la casa o el n´mero de pies cuadrados del ´rea habitable (F2).
n u a
Ampliaremos el modelo incluyendo dos variables explicativas m´s, el n´mero de habitaciones
a u
(BEDRMS) y el n´mero de baõs (BATHS) siendo el modelo de regresiń lineal m´ltiple1
u n o u

Pi = β1 + β2 F 2i + β3 BEDRM Si + β4 BAT HSi + ui i = 1, 2, . . . , N (3.1)

El modelo de regresiń lineal general (MRLG), con K variables explicativas
o

Yi = β1 + β2 X2i + . . . + βK XKi + ui i = 1, 2, . . . , N. (3.2)

se puede escribir en notaciń matricial:
o

Y = X β + u
(N ×1) (N ×K) (K×1) (N ×1)

donde cada uno de los elementos se definen:
       
Y1 1 X21 · · · XK1 β1 u1
 Y2   1 X22 · · · XK2   β2   u2 
       
Y = .  X= . . .. .  β= .  u= . 
 . 
.  .. .
. . .
.   .
.   .
. 
YN 1 X2N · · · XKN βK uN

Por el momento, seguimos suponiendo las mismas hip´tesis b´sicas sobre el t´rmino de pertur-
o a e
baciń y sobre las variables explicativas o regresores, a saber:
o

i) E(ui ) = 0 ∀ i, E(u2 ) = σ 2
i ∀ i, E(ui uj ) = 0 ∀i = j.
1
Dado que seguimos con los mismos datos de secciń cruzada utilizamos el sub´
o ındice i = 1, . . . , N . La notaciń
o
para datos de series temporales suele ser t = 1, . . . , T .

49

ıa a

ii) La perturbaciń sigue una distribuciń normal.
o o

iii) Las variables X2 a Xk no son estoc´sticas, son fijas. Esto quiere decir que en muestras
a
repetidas de N observaciones de Yi , X2i , . . . , Xki , las variables X2i , . . . , Xki , i = 1, . . . , N
tomar´ siempre los mismos valores. Este supuesto, junto a E(ui ) = 0, implica que los
ıan
regresores y el t´rmino de perturbaciń estń incorrelacionados.
e o a

iv) Los regresores son linealmente independientes, esto quiere decir que el rango de la ma-
triz de datos de los regresores X es K tal que no tiene columnas repetidas ni unas son
combinaciones lineales de otras.

v) Adem´s se supone que se dispone de un n´mero suficiente de observaciones para estimar
a u
los par´metros βj , j = 1, . . . , K, esto es K < N .
a

Interpretaciń de cada uno de los coeficientes de regresiń:
o o

• Los par´metros βj , j = 2, . . . , K:
a
Manteniendo constante el valor del resto de variables explicativas, si Xji cambia
en una unidad, Yi se espera que cambie en media βj unidades.

• El par´metro β1 que acompaã al t´rmino constante recoge el valor esperado de la variable
a n e
dependiente cuando el resto de variables explicativas o regresores incluidos toman el valor
cero.

Siguiendo con el ejemplo, el modelo (3.1) se puede escribir en notaciń matricial:
o

Y = X β + u
(N ×1) (N ×4) (4×1) (N ×1)

donde cada uno de los elementos se definen:

       
P1 1 F 21 BEDRM S1 BAT HS1 β1 u1
 P2   1 F 22 BEDRM S2 BAT HS2   β2   u2 
     
Y = .
.  X= .
. .
. .
. .
.  β= 
 β3  u =  . 
 .   . . . .   .. 
PN 1 F 2N BEDRM SN BAT HSN β4 uN

Interpretaciń de los coeficientes:
o

• El coeficiente β1 es el valor medio esperado de aquellas viviendas que no tienen ningń pie
u
cuadrado de ´rea habitable, ni habitaciones ni baõs.
a n

• El coeficiente β2 :
Considerando dos casas con el mismo n´mero de habitaciones y de baõs, para aquella
u n
casa que tenga un pie cuadrado m´s de ´rea habitable se espera que cambie en media su
a a
precio de venta en β2 miles de d´lares.
o

Considerando dos casas con el mismo n´mero de pies cuadrados de ´rea habitable y n´mero
u a u
de baõs, para aquella casa que tenga una habitaciń m´s se espera que cambie en media
n o a
su precio de venta en β3 miles de d´lares.
o

50


Considerando dos casas con el mismo n´mero de pies cuadrados de ´rea habitable y n´mero
u a u
de habitaciones, para aquella casa que tenga un baõ m´s se espera que cambie en media
n a
su precio de venta en β4 miles de d´lares.
o

El an´lisis de regresiń m´ltiple nos permite examinar el efecto marginal de una variable
a o u
explicativa en particular, una vez hemos controlado por otras caracter´ ısticas recogidas en el
resto de variables explicativas que mantenemos constantes. Por eso a veces al resto de regresores
se les llama variables de control. Veremos m´s adelante cuńdo es importante controlar por otras
a a
variables y qu´ problemas tendremos si las omitimos.
e

3.2. Estimaciń de M´
o ınimos Cuadrados Ordinarios utilizando Gretl

Se dispone de una base de datos sobre el precio de venta de una vivienda y distintas caracter´
ısti-
cas de 14 viviendas vendidas en la comunidad universitaria de San Diego en 1990. Son datos de
secciń cruzada y las variables que se consideran son:
o
P: Precio de venta en miles de d´lares (Rango 199.9 - 505)
o
F2: Pies cuadrados de ´rea habitable (Rango 1065 - 3000)
a
BEDRMS: N´mero de habitaciones (Rango 3 - 4)
u
BATHS: N´mero de baõs (Rango 1,75 - 3)
u n
Los datos para P y F2 son los mismos que los utilizados en el ejemplo del Tema 2 sobre el modelo
de regresiń lineal simple. Adem´s tenemos informaciń sobre dos nuevas variables que vamos
o a o
a considerar incluir como explicativas en el modelo para el precio de la vivienda.
Comenzamos una sesiń en Gretl para estimar este modelo con la muestra de 14 viviendas:
o

Pi = β1 + β2 F 2i + β3 BEDRM Si + β4 BAT HSi + ui i = 1, . . . , 14

En la parte de arriba de la ventana principal de Gretl tenemos distintas opciones. Si posicionamos
el cursor podemos ir eligiendo dentro de ellas.

1. Leemos los datos que estń disponibles en Gretl como archivo de muestra:
a

Archivo → Abrir datos → Archivo de muestra

Elegir de Ramanathan el fichero data4-1 proporcionados en el cuarto cap´
ıtulo del libro de
Ramanathan (2002). Abrir.

2. Podemos ver los datos de todas las variables, que aparecen en la Tabla 3.1. Las dos primeras
columnas coinciden con los datos utilizados en el Tema 2.

3. Estimaciń por M´
o ınimos Cuadrados Ordinarios (MCO).

Modelo → M´
ınimos Cuadrados Ordinarios

Se abre una nueva ventana. Utilizando el cursor, seleccionar de la lista de variables de la
izquierda:

• La variable dependiente (P) y pulsar elegir.

51

ıa a

P F2 BEDRMS BATHS
199.9 1065 3 1.75
228.0 1254 3 2.00
235.0 1300 3 2.00
285.0 1577 4 2.50
239.0 1600 3 2.00
293.0 1750 4 2.00
285.0 1800 4 2.75
365.0 1870 4 2.00
295.0 1935 4 2.50
290.0 1948 4 2.00
385.0 2254 4 3.00
505.0 2600 3 2.50
425.0 2800 4 3.00
415.0 3000 4 3.00

Tabla 3.1: Modelo (3.1). Datos de caracter´
ısticas de viviendas

• Las variables independientes o regresores de esta especificaciń y pulsar aãdir cada
o n
vez. La variable Const es el t´rmino constante o variable que toma siempre valor uno.
e
Por defecto ya est´ incluida pero si no se quisiera poner se podr´ excluir. Simplemente
a ıa
habr´ que seleccionarla con el cursor y dar a Quitar.
ıa

Pinchar en Aceptar.
Aparece una nueva ventana con los resultados de la estimaciń2 . Iremos comentando los
o
resultados mostrados. Situando el cursor en la parte de arriba de esta ventana podremos
ver que hay distintos men´s cuyas funciones estarń asociadas a esta regresiń.
u a o

4. Hay varios formatos para guardar los resultados, como por ejemplo un formato compatible
con Microsoft Word mediante:

Editar → Copiar → RTF(Ms Word)

Abrir un documento con Microsoft Word. Elegir Ediciń → Pegar. Se pegarń todos los
o a
resultados de la ventana anterior. Guardar el documento y minimizar si se quiere volver a
utilizar m´s tarde para pegar y guardar otros resultados.
a

3.3. An´lisis de los resultados mostrados
a

En esta secciń vamos a ir comentando los resultados que nos muestra el programa cuando
o
utilizamos la opciń de estimaciń por M´
o o ınimos Cuadrados Ordinarios. Algunos de estos resul-
tados ya han sido comentados en el Tema 2 sobre el modelo de regresiń lineal simple, pero
o
nos servir´ tambiń de repaso. Una vez especificado el modelo, el programa Gretl muestra en la
a e
ventana gretl:modelo1 la siguiente informaciń sobre la estimaciń MCO del modelo con los
o o
datos del fichero elegido:
2
Recordar que esta ventana puede ser minimizada para su posible utilizaciń posterior o el modelo puede
o
guardarse en la sesiń como icono. Si la cerramos tendr´
o ıamos que volver a hacer lo mismo para obtener de nuevo
esta ventana y poder elegir dentro de las opciones asociadas a esta regresiń.
o

52


Modelo 1: estimaciones MCO utilizando las 14 observaciones 1–14

Variable Coeficiente Desv. t´
ıpica Estad´
ıstico t valor p
const 129,062 88,3033 1,4616 0,1746
F2 0,154800 0,0319404 4,8465 0,0007
BEDRMS −21,587 27,0293 −0,7987 0,4430
BATHS −12,192 43,2500 −0,2819 0,7838

Media de la var. dependiente 317,493
D.T. de la variable dependiente 88,4982
Suma de cuadrados de los residuos 16700,1
Desviaciń t´
o ıpica de los residuos (ˆ )
σ 40,8657
R2 0,835976
¯
R2 corregido 0,786769
F (3, 10) 16,9889
valor p para F () 0,000298587
Log-verosimilitud −69,453
Criterio de informaciń de Akaike
o 146,908
Criterio de informaciń Bayesiano de Schwarz
o 149,464
Criterio de Hannan–Quinn 146,671

Algunos Gr´ficos
a
En la ventana de resultados de estimaciń, Gretl nos ofrece la posibilidad de analizar el gr´fico
o a
de residuos as´ como el gr´fico de la variable observada y estimada tanto por observaciń como
ı a o
sobre las distintas variables que hay en la especificaciń del modelo. Por ejemplo elegimos
o

Gr´ficos → Gr´fico de residuos → Por n´mero de observaciń
a a u o

y obtenemos el gr´fico de los residuos del modelo estimado para el precio de la vivienda a lo largo
a
de las 14 observaciones de la muestra En el gr´fico 3.1 se observa que los residuos se disponen
a

Residuos de la regresión (= price observada − estimada)
80

60

40

20
residuo

0

−20

−40

−60
2 4 6 8 10 12 14

Gr´fico 3.1: Gr´fico de residuos por n´mero de observaciń
a a u o

alrededor del valor cero ya que esta es su media muestral. La dispersiń de estos residuos es
o
mayor para las ultimas viviendas en la muestra. Si elegimos
´

53

ıa a

Gr´ficos → Gr´fico de residuos → Contra F2
a a

obtenemos el gr´fico de los residuos sobre la variable F2. Este gr´fico muestra que la dispersiń
a a o
de los residuos alrededor de su media muestral, que es cero, aumenta a mayor valor de F2.
Esto sugiere que la hip´tesis b´sica sobre la varianza de la perturbaciń constante pueda no ser
o a o
adecuada.
Residuos de la regresión (= price observada − estimada)
80

60

40

20
residuo

0

−20

−40

−60
1500 2000 2500 3000
F2

Gr´fico 3.2: Gr´fico de residuos contra la variable F2
a a

Otro gr´fico que ilustra la bondad del ajuste de nuestro modelo relativamente a los datos obser-
a
vados, es el gr´fico de la variable estimada y observada por n´mero de observaciń. Para obtener
a u o
este gr´fico elegimos
a

Gr´ficos → Gr´fico de variable estimada y observada → por n´mero de observaciń
a a u o

De esta forma obtenemos el siguiente gr´fico
a

price observada y estimada
1100
estimada
observada
1000

900

800
price

700

600

500

400

300
2 4 6 8 10 12 14
observación

Gr´fico 3.3: Gr´fico de la variable estimada y observada por n´mero de observaciń
a a u o

En este gr´fico se puede observar el valor estimado del precio de las viviendas en la muestra,
a
dados los valores observados de las variables explicativas y el modelo estimado, en relaciń al
o
precio observado. El ajuste parece empeorar para las ultimas viviendas en la muestra. Si hacemos
´

54


el gr´fico de la variable estimada y observada contra la variable F2 que recoge el tamaõ de las
a n
viviendas

Gr´ficos → Gr´fico de variable estimada y observada → Contra F2
a a

price con respecto a sqft, observada y estimada
550
estimada
observada
500

450

400
price

350

300

250

200

150
1500 2000 2500 3000
F2

Gr´fico 3.4: Gr´fico de la variable estimada y observada contra F2
a a

En el gr´fico 3.4 se observa que el modelo se ajusta mejor a las observaciones asociadas a las
a
viviendas de menor tamaõ, ya que los valores estimados estń m´s concentrados alrededor
n a a
de los observados para esas viviendas. El ajuste es peor para viviendas de m´s de 2000 pies
a
cuadrados.

3.3.1. Coeficientes estimados

Las estimaciones obtenidas de los coeficientes que se muestran en la segunda columna estń a
asociados a cada una de las variables explicativas que figuran al lado en la primera columna.
Dadas las realizaciones muestrales de la variable dependiente Yi ≡ Pi , y explicativas, X2i ≡
F 2i , X3i ≡ BEDRM Si , X4i ≡ BAT HSi , las estimaciones se obtienen de minimizar la suma
ˆ ˆ ˆ ˆ
de cuadrados de los residuos con respecto a los coeficientes desconocidos β1 , β2 , β3 , β4 . Estos
coeficientes estimados se han obtenido de utilizar el siguiente criterio de estimaciń por el m´todo
o e
de M´ ınimos Cuadrados Ordinarios
N
m´
ın ˆ ˆ ˆ ˆ
(Yi − β1 − β2 X2i − β3 X3i − β4 X4i )2
ˆ ˆ ˆ ˆ
β1 ,β2 ,β3 ,β4 i=1

Las condiciones de primer orden de este problema resultan en cuatro ecuaciones con cuatro
inc´gnitas.
o
Yi = ˆ ˆ
N β1 + β2 ˆ
X2i + β3 ˆ
X3i + β4 X4i

Yi X2i = ˆ
β1 ˆ
X2i + β2 2 ˆ
X2i + β3 ˆ
X3i X2i + β4 X4i X2i

Yi X3i = ˆ
β1 ˆ
X3i + β2 ˆ
X2i X3i + β3 2 ˆ
X3i + β4 X4i X3i

Yi X4i = ˆ
β1 ˆ
X4i + β2 ˆ
X2i X4i + β3 ˆ
X3i X4i + β4 2
X4i

55

ıa a

Estas ecuaciones se conocen con el nombre de Ecuaciones Normales. Al igual que en el modelo
de regresiń lineal simple, la primera ecuaciń o primera condiciń asociada al t´rmino constante
o o o e
implica que la suma de los residuos debe de ser cero. El resto de ecuaciones implican que los
residuos tienen que ser ortogonales a cada una de las variables explicativas. En conjunto, estas
condiciones implican que los residuos de la estimaciń MCO estń incorrelacionados con los
o a
regresores. En t´rminos matriciales se pueden escribir como:
e
ˆ
X Y = (X X)β ⇔ ˆ
X (Y − X β) = 0 ⇔ Xu=0
ˆ

Si las cuatro ecuaciones son linealmente independientes, el rango de (X X) es igual a K = 4, y
por lo tanto existe una unica soluciń a este sistema de ecuaciones. La soluciń ser´ el estimador
´ o o a
MCO del vector de par´metros β.
a
ˆ
βM CO = (X X)−1 X Y

Sustituyendo los valores muestrales del fichero data4-1 para Y y X dar´ lugar a las estima-
ıan
ciones obtenidas de los coeficientes.
Para el modelo especificado en la ecuaciń (3.1), la relaciń estimada es
o o

Pi = 129, 062 + 0, 1548 SQFTi − 21, 588 BEDRMSi − 12, 193 BATHSi (3.3)

Aunque hemos utilizado los mismos datos para P y F2 que en el Tema 2, el incluir las dos nuevas
variables explicativas en el modelo ha hecho que las estimaciones de los coeficientes asociados al
t´rmino constante y a F2 hayan cambiado3 .
e
Esto ocurre porque las nuevas variables BEDRMS y BATHS estń correlacionadas con la ya
a
incluida F2 y su media es distinta de cero4.

Si esto no ocurriera y X3i = X4i = X2i X3i = X2i X4i = 0, las ecuaciones normales
quedar´ de la siguiente forma
ıan
Yi ˆ ˆ
= N β1 + β2 X2i ⇔ ˆ ˆ
(Yi − β1 − β2 X2i ) = 0

Yi X2i ˆ
= β1 ˆ
X2i + β2 2
X2i ⇔ ˆ ˆ
(Yi − β1 − β2 X2i )X2i = 0

Yi X3i ˆ
= β3 2 ˆ
X3i + β4 X4i X3i

Yi X4i ˆ
= β3 ˆ
X3i X4i + β4 2
X4i
3
En el caso de considerar un MRLS solamente con F2 adem´s de la constante se obten´
a ıa

P = 52, 3509 + 0, 138750 F2
(37,285) (0,018733)

T = 14 ¯
R2 = 0, 8056 F (1, 12) = 54, 861 σ = 39, 023
ˆ
(Desviaciones t´
ıpicas entre parńtesis)
e

4
Usando las observaciones 1 - 14, la matriz de correlaciones entre BEDRMS, BATHS y F 2 es
F2 BEDRMS BATHS
1, 0000 0, 4647 0, 7873 F2
1, 0000 0, 5323 BEDRMS
1, 0000 BATHS

Variable Media
y las medias muestrales de BEDRMS y BATHS son: BEDRMS 3, 64286
BATHS 2, 35714

56


ˆ ˆ
Dadas esas condiciones, las dos ultimas ecuaciones no dependen de β1 ni de β2 y las dos primeras
´
ecuaciones normales coinciden con las que se obten´ en el Tema 2 para el modelo de regresiń
ıan o
lineal simple. Por lo tanto, en ese caso se obtendr´ la misma soluciń para β
ıa o ˆ1 y β2 que en el
ˆ
MRLS inlcuyendo solamente el t´rmino constante y F 2 ≡ X2 y entonces las mismas estimaciones
e
de esos coeficientes. Por lo tanto, en general no da lo mismo incluir o no otras variables en el
modelo a la hora de estimar el efecto de una variable sobre la variable dependiente.
Interpretaciń de los coeficientes estimados.
o
El coeficiente estimado que acompaã a la variable F2, variable que recoge el tamaõ total de la
n n
vivienda, es positivo y parece ser el signo adecuado. Si consideramos dos viviendas con el mismo
n´mero de baõs y habitaciones, parece razonable pensar que aquella con mayor ´rea habitable
u n a
tenga un precio mayor. Esto indica que las habitaciones serń m´s grandes.
a a
Los signos de los coeficientes asociados a BEDRMS y BATHS son negativos. Podemos pensar
que si aumenta el n´mero de habitaciones o el n´mero de baõs, esto indicar´ una vivenda m´s
u u n ıa a
lujosa y por lo tanto deber´ de aumentar el valor de la vivienda. Pero hay que tener en cuenta
ıa
que a la hora de interpretar un coeficiente de regresiń asociado a uno de los regresores estamos
o
manteniendo constante el resto de variables explicativas.
Si la misma superficie habitable se tiene que dividir para poder incluir una nueva habitaciń, el
o
resultado ser´ que cada habitaciń ser´ m´s pequeã. El signo del coeficiente estimado indica que
a o a a n
un comprador medio valora negativamente tener m´s habitaciones a costa de un menor tamaõ
a n
de ´stas. Lo mismo se puede interpretar en el caso del coeficiente que acompaã a BATHS.
e n
Interpretaciń de los coeficientes estimados:
o

ˆ
• El coeficiente estimado β1 = 129, 062 indica el precio medio estimado en miles de euros, de
aquellas viviendas que no tienen ningń pie cuadrado de ´rea habitable, ni habitaciones
u a
ni baõs.
n

ˆ
• El coeficiente estimado β2 = 0, 154800:
Considerando dos casas con el mismo n´mero de habitaciones y de baõs, para aquella
u n
casa que tenga un pie cuadrado m´s de ´rea habitable se estima que en media su precio
a a
de venta se incremente en 154.800 d´lares.
o

ˆ
• El coeficiente estimado β3 = −21, 5875:
Si aumenta el n´mero de habitaciones, manteniendo constante el tamaõ de la vivienda y
u n
el n´mero de baõs, el precio medio se estima disminuir´ en 21.588 d´lares.
u n a o

ˆ
• El coeficiente β4 = −12, 1928:
Manteniendo el tamaõ de la vivienda y el n´mero de habitaciones constante, aãdir un
n u n
baõ completo m´s significa tener habitaciones m´s pequeãs, por lo que el precio medio
n a a n
se estima disminuir´ en 12.193 d´lares.
a o

¿Se mantendr´ el signo del coeficiente que acompa˜ a a BEDRMS si no incluimos
ıa n
la variable F2 ni BATHS?
Pues seguramente no, porque en ese caso no estamos controlando por esa variable en la regre-
siń, y como hemos visto F2 y BEDRMS estń correlacionados. Por lo tanto m´s habitaciones
o a a
implicar´ mayor superficie de piso, y por lo tanto m´s precio en media. Lo mismo ocurrir´ si
ıa a ıa
solamente incluimos BATHS. Ahora bien, ¿qu´ ocurrir´ si excluimos solamente F2 y dejamos
e ıa

57

ıa a

las otras dos variables explicativas? Veremos las implicaciones que tiene omitir o no controlar
por variables relevantes en un tema posterior.
Estimaciń del incremento medio en el precio de la vivienda ante cambios en las
o
variables explicativas.
Utilizando los resultados (3.3) de la estimaciń del modelo (3.1), si manteniendo el n´mero de
o u
baõs tenemos dos habitaciones m´s y aumenta el ´rea habitable en 500 pies cuadrados, el
n a a
cambio en el precio medio estimado de una vivienda ser´ de 34.224 d´lares, esto es
a o

Pi = 0, 1548 F2i − 21, 588 BEDRMSi =
(0, 1548 × 500) − (21, 588 × 2) = 34, 224 miles de d´lares
o

3.3.2. Desviaciones t´
ıpicas e intervalos de confianza

Por el momento nos hemos centrado en la interpretaciń de las estimaciones puntuales. Pero
o
tambiń tenemos que tener en cuenta que estas estimaciones son realizaciones muestrales de
e
un estimador, que es una variable aleatoria. Por lo tanto, pueden estar sujetas a variaciń o
muestral ya que distintas muestras puedan dar lugar a distintas realizaciones muestrales. Estas
estimaciones de un mismo vector de par´metros β estarń distribuidas con mayor o menor
a a
variaciń alrededor de su valor poblacional siguiendo cierta distribuciń de probabilidad.
o o
Bajo las hip´tesis b´sicas que hemos enumerado al principio de este tema, el valor poblacional
o a
a o ˆ
del vector de par´metros β es la media de la distribuciń ya que βM CO es un estimador insesgado.
Su distribuciń es una Normal y la matriz de varianzas y covarianzas viene dada por la expresiń
o o
ˆM CO ) = σ 2 (X X)−1 . Esto se suele denotar como
V (β

ˆ
βM CO ∼ N (β, σ 2 (X X)−1 ) (3.4)

La varianza de las perturbaciones, σ 2 , es un par´metro desconocido. Un estimador insesgado de
a
la misma bajo las hip´tesis b´sicas es
o a

uu
ˆˆ
σ2 =
ˆ
N −K
ˆ
donde u = Y −X βM CO es el vector de residuos. El programa, en la ventana gretl:modelo1 muestra
ˆ
las realizaciones muestrales de la suma de cuadrados de los residuos (SCR), u u = 16700, 1 y de
√ ˆˆ
o ıpica de los residuos σ 2 = 40, 8657.
la desviaciń t´ ˆ
Un estimador insesgado, bajo las hip´tesis b´sicas, de la matriz de varianzas y covarianzas de
o a
ˆM CO es
β

ˆ ˆ
V (βM CO ) = σ 2 (X X)−1
ˆ

En la ventana de resultados de la estimaciń del modelo por MCO, gretl:modelo1, podemos
o
o ˆ ˆ
obtener la realizaciń muestral de este estimador V (βM CO ) = σ 2 (X X)−1 eligiendo:
ˆ

An´lisis → Matriz de covarianzas de los coeficientes
a

Se abre una nueva ventana, gretl:covarianzas de los coeficientes, donde se muestra la es-
timaciń de las varianzas (elementos de la diagonal principal) y covarianzas (elementos fuera
o
o ˆ
de la diagonal principal) de los coeficientes de regresiń β, como se muestra en la Tabla 3.2.
Dado que es una matriz sim´trica, solamente aparecen los valores por encima de la diagonal
e

58


Matriz de covarianzas de los coeficientes
const F2 BEDRMS BATHS
7797, 47 0, 670891 −1677, 1 −1209, 3 const
0, 00102019 −0, 0754606 −0, 995066 F2
730, 585 −356, 40 BEDRMS
1870, 56 BATHS

ˆ
Tabla 3.2: Modelo (3.1). Estimaciń de la matriz de covarianzas de β
o

principal. La ra´ cuadrada de los elementos de la diagonal principal son los mismos valores que
ız
los mostrados en la tercera columna de la ventana gretl:modelo1. Por ejemplo, la varianza
ˆ ˆ
estimada del coeficiente β2 asociado a F2 es var(β2 ) = 0, 00102019 y su ra´ cuadrada es su
ız
desviaciń t´ ˆ
o ıpica estimada des(β2 ) = 0, 0319404.
Tambiń podemos obtener estimaciones de las covarianzas entre los coeficientes estimados. Por
e
ˆ ˆ
ejemplo, la covarianza estimada entre los coeficientes β2 asociado a F2 y β4 asociado a BAT HS
ˆ ˆ ˆ
es igual a cov(β2 , β4 ) = −0, 995066.
Intervalos de confianza:
Seguidamente vamos a ver c´mo podemos obtener intervalos de confianza para cada coeficiente
o
individual. ¿Qu´ nos indican estos intervalos? ¿Cu´l es su utilidad?
e a
Bajo las hip´tesis b´sicas, se puede demostrar que la variable aleatoria
o a
ˆ
βj − βj
∼ t(N − K) (3.5)
ˆ
des(βj )

ˆ
donde des(βj ) es la desviaciń t´ ˆ
o ıpica estimada del estimador βj y t(N −K) denota la distribuciń
o
t de Student de (N − K) grados de libertad. Esto es v´lido para cualquiera de los coeficientes
a
βj , j = 1, . . . , K.
Denotamos por c = t(N −K)α/2 la ordenada de la distribuciń t de Student con N − K grados
o
de libertad, tal que deja a la derecha una probabilidad de α/2, esto es P (t > c) = α/2. Esto
implica que:

ˆ
βj − βj
P r −c ≤ ≤c =
ˆ
des(βj )

ˆ ˆ ˆ ˆ
P rob βj − c des(βj ) ≤ βj ≤ βj + c des(βj ) = 1 − α (3.6)

Por lo tanto, un intervalo de confianza del (1 − α) por ciento para un coeficiente cualquiera βj
viene dado por

ˆ ˆ
IC(βj )1−α = βj ± c des(βj )

El c´lculo de los intervalos de confianza para los coeficientes de regresiń del modelo se conoce
a o
con el nombre de estimaciń por intervalo. Un intervalo de confianza nos dice que, con
o
probabilidad (1 − α) se estima que el par´metro βj estar´ dentro de ese rango de valores. Este
a a
intervalo puede ser demasiado amplio, y esto depender´ de la precisiń con la que estimemos los
a o
ˆ
par´metros recogido en des(βj ). Es importante tener en cuenta que la validez de estos intervalos
a
de confianza depende de que se satisfagan las hip´tesis b´sicas.
o a

59

ıa a

Siguiendo con el ejemplo del modelo (3.1) para el precio de la vivienda, Gretl nos permite obtener
directamente los intervalos de confianza del 95 por ciento para los coeficientes. El resultado
mostrado en la Tabla 3.3 se obtiene eligiendo en la ventana gretl:modelo1

An´lisis → Intervalos de confianza para los coeficientes
a

Variable Coeficiente Intervalo de confianza 95 %
bajo alto
const 129,062 −67,690 325,814
F2 0,154800 0,0836321 0,225968
BEDRMS −21,587 −81,812 38,6376
BATHS −12,192 −108,56 84,1742

Tabla 3.3: Modelo (3.1): Estimaciń por intervalo de los coeficientes.
o

A su vez, utilizando los resultados mostrados en la ventana gretl:modelo1


ıpica Estad´
ıstico t valor p
const 129,062 88,3033 1,4616 0,1746
F2 0,154800 0,0319404 4,8465 0,0007∗∗∗
BEDRMS −21,587 27,0293 −0,7987 0,4430
BATHS −12,192 43,2500 −0,2819 0,7838

podemos obtener intervalos de confianza para cada uno de los coeficientes, dado un nivel de
confianza (1 − α), por ejemplo del 95 por ciento5 . Los intervalos de confianza obtenidos son:

β1 : 129, 0620 ± (2, 228 × 88, 3033)
β2 : 0, 1548 ± (2, 228 × 0, 0319404)
β3 : −21, 5875 ± (2, 228 × 27, 0293)
β4 : −12, 1928 ± (2, 228 × 43, 2500)

El intervalo de confianza adem´s se puede utilizar para contrastar la hip´tesis de que el par´metro
a o a
βj tome determinado valor. Si el valor del par´metro bajo la hip´tesis nula est´ dentro del
a o a
intervalo de confianza, no podemos rechazar esa hip´tesis al nivel de significaciń α. Dada la
o o
muestra y nuestra especificaciń del modelo, no podemos rechazar con una confianza del 95 por
o
ciento, excepto para el par´metro asociado a F2, que el coeficiente asociado a cada una de estas
a
variables sea igual a cero ya que este valor est´ dentro del intervalo de confianza. ¿Quiere decir
a
entonces que el valor poblacional de cada uno de esos par´metros es cero? La respuesta es NO,
a
ya que por esa misma regla de tres el par´metro βj deber´ de tomar cada uno de los valores en
a ıa
el intervalo.
5
Al 95 por ciento de confianza, (α/2 = 0, 025), el valor en las tablas de la distribuciń t de Student con 10
o
grados de libertad es c = t(10)0,025 = 2, 228. Recordar que Gretl permite acceder a algunos valores tabulados
de distintas distribuciones, Normal, t-Student, Chi-cuadrado, F de Snedecor. En la ventana principal gretl en
Herramientas → Tablas estad´ ısticas. En el caso de la t de Student hay que introducir los grados de libertad (gl).
Los valores mostrados corresponden a los valores de α/2 de 0,10-0,05-0,025-0,01-0,001.

60


3.3.3. Significatividad individual y conjunta

Contrastes de significatividad individual

Uno de los principales objetivos de un primer an´lisis de regresiń es la de contrastar si son
a o
o no estad´ısticamente relevantes los factores que hemos considerado como explicativos de la
variable dependiente en cuestiń, dada la especificaciń de nuestro modelo. Podemos considerar
o o
individualmente cada regresor y contrastar:
H0 : βj = 0
Ha : βj = 0
donde la hip´tesis nula implica que, dada la especificaciń del modelo una vez se ha controlado
o o
por el resto de factores incluidos como variables explicativas, el efecto marginal de la variable
Xj sobre el valor medio de la variable dependiente es cero.
Dado que en la hip´tesis alternativa se contempla la posibilidad de que el coeficiente, de ser
o
distinto de cero, pueda ser indistintamente negativo o positivo, el contraste es a dos colas.
Normalmente en estos contrastes, conocidos con el nombre de contrastes de significatividad
individual, se considera esta alternativa.
El estad´
ıstico de contraste y su distribuciń bajo la hip´tesis nula es:
o o
ˆ
βj H0
tj = ∼ t(N − K) (3.7)
des(βˆj )

ıstico, tm , ¿c´mo decidimos si rechazar o no la
Una vez obtenido el valor muestral del estad´ j o
hip´tesis nula?
o

• Se elige un nivel de significaciń α que indicar´ nuestra elecciń de la probabilidad de
o ıa o
error de tipo I (rechazar la hip´tesis nula cuando esta fuera cierta) o tamaõ del contraste.
o n
Obtenemos el valor cr´ ıtico o umbral c = t(N −K)α/2 tal que P r(tj > c) = α/2.

• Rechazamos la hip´tesis nula a un nivel de significaciń α, si en valor absoluto la realizaciń
o o o
muestral del estad´ ıtico |tm | > c. No rechazamos la hip´tesis
ıstico es mayor que el valor cr´ j o
nula en caso contrario.

Si no se rechaza la hip´tesis nula, en el lenguaje econom´trico se dice que la variable que
o e
acompaã al coeficiente en cuestiń no es significativa o que el coeficiente no es significativamente
n o
distinto de cero al α por ciento de significaciń. Si por el contrario se rechaza la hip´tesis nula,
o o
se dice que la variable es significativa o que el coeficiente es significativamente distinto de cero.
Otra forma de llevar a cabo el contraste es utilizar el valor-p. Este valor es una probabilidad e
indica cu´l ser´ el menor nivel de significaciń que se tendr´ que elegir para rechazar la hip´tesis
a ıa o ıa o
nula, dada la realizaciń muestral del estad´
o ıstico. Si el contraste es a dos colas, el valor-p es dos
veces el ´rea a la derecha de la realizaciń muestral del estad´
a o ıstico en valor absoluto, en la
distribuciń de ´ste bajo la hip´tesis nula, esto es
o e o

valor-p = 2 Pr(tj > tm |H0 )
j

Si el contraste es a una cola, el valor-p ser´ el ´rea a la derecha de la realizaciń muestral del
ıa a o
estad´ıstico en valor absoluto, en la distribuciń de ´ste bajo la hip´tesis nula, esto es P r(tj >
o e o
tm |H0 ). A mayor valor-p, mayor ser´ la probabilidad de error de tipo I si elegimos rechazar la
j ıa

61

ıa a

hip´tesis nula. Luego a mayor valor-p menor evidencia contra la hip´tesis nula y por el contrario
o o
a menor valor-p mayor evidencia contra la hip´tesis nula.
o
¿Cu´l ser´ la regla de decisiń del contraste mirando al valor-p?
a a o
Rechazar la hip´tesis nula si el valor-p es menor que el nivel de significaciń elegido y no
o o
rechazarla en caso contrario.
Esta es exactamente la misma regla de decisiń que antes. Elegido un nivel de significaciń, si
o o
el valor muestral es mayor en valor absoluto que el valor cr´ıtico c, querr´ decir que dos veces la
a
probabilidad que deja a la derecha el valor muestral es m´s pequeõ que ese nivel de significaciń.
a n o
Siguiendo con nuestro ejemplo, vamos a comentar qu´ nos indican la cuarta y quinta columna
e
que aparec´ en la ventana de resultados de la estimaciń por MCO del modelo (3.1) gre-
ıan o
tl:modelo1.


ıpica Estad´
ıstico t valor p
const 129,062 88,3033 1,4616 0,1746
F2 0,154800 0,0319404 4,8465 0,0007∗∗∗
BEDRMS −21,587 27,0293 −0,7987 0,4430
BATHS −12,192 43,2500 −0,2819 0,7838

Los valores obtenidos en la cuarta columna se obtienen de dividir los correspondientes valores
de la segunda y tercera columnas esto es, la estimaciń del coeficiente dividida por su desviaciń
o o
t´
ıpica estimada. Esta ser´ la realizaciń muestral del estad´
ıa o ıstico tj bajo la hip´tesis nula de que
o
el valor poblacional del par´metro βj asociado a esa variable es igual a cero.
a
La quinta columna es el valor-p asociado a cada coeficiente, siendo el contraste de significatividad
individual a dos colas. Habitualmente se eligen como niveles de significaciń el 1 %, 5 % y 10 %
o
siendo el 5 % el m´s utilizado. Gretl indica con uno, dos o tres asteriscos cuando se rechaza la
a
hip´tesis nula al 10 %, al 5 %, o al 1 % respectivamente.
o
En este caso solamente es significativa la variable F2 al 1 % y se indica con tres asteriscos. El
valor-p asociado a esta variable es m´s pequeõ que 0,01 y por lo tanto que 0,05 y que 0,1.
a n
Para el resto de coeficientes no se rechazar´ la hip´tesis nula. Los coeficientes asociados al
ıa o
t´rmino constante, BEDRMS y BATHS no ser´ significativamente distintos de cero ni siquiera
e ıan
al 10 %. El valor-p asociado es mayor que 0,1. Estos valores oscilan entre 0,175 y 0,784 por lo
que, si rechaz´semos la hip´tesis nula de que cada uno de estos coeficientes es cero, habr´ desde
a o ıa
un 17,5 a un 78,4 por ciento de probabilidad de cometer el error de rechazar esa hip´tesis siendo
o
cierta.
Si miramos a los valores cr´
ıticos en cada uno de estos niveles de significaciń tenemos que:
o

α = 0, 01 t(10)0,005 = 3, 169
α = 0, 05 t(10)0,025 = 2, 228
α = 0, 1 t(10)0,05 = 1, 812

ısticos tm en valor absoluto
Excepto en el caso de la variable F2, el valor muestral de los estad´ j
es m´s pequeõ que cualquiera de estos valores cr´
a n ıticos. Por lo tanto solamente se rechaza la
hip´tesis nula de que el coeficiente asociado a la variable SQFT sea igual a cero. Esto parece
o

62


indicar que dado que el n´mero de habitaciones y de baõs est´ ya recogido en el tamaõ de la
u n a n
vivienda, una vez incluimos esta variable el tener m´s o menos habitaciones o baõs no tiene un
a n
efecto marginal significativo en el precio medio de ´sta. Lo normal es tener una vivienda con un
e
n´mero de habitaciones y baõs proporcional a su tamaõ.
u n n
Esto mismo concluimos mirando a los intervalos de confianza, aunque en ese caso el nivel de
significaciń elegido s´lo fue del 5 por ciento.
o o

Contraste de significaciń conjunta
o

Otro estad´ ıstico que se muestra en la ventana de resultados de la estimaciń es el valor del
o
estad´
ıstico F (3, 10) = 16,9889 con valor-p = 0, 000299. ¿Qu´ hip´tesis nula se est´ contrastando?
e o a
¿C´mo se calcula este estad´
o ıstico?
La hip´tesis nula que se est´ contrastando es que conjuntamente todos lo coeficientes, excepto
o a
el asociado al t´rmino constante, sean cero. En nuestro ejemplo en concreto
e
H0 : β2 = β3 = β4 = 0
Ha : alguna de las igualdades no se cumple
Este estad´ıstico se puede considerar como un contraste general de bondad de ajuste del modelo.
Si la hip´tesis nula no se rechaza podemos concluir que ninguna de las variables en conjunto
o
puede explicar la variaciń en el precio de la vivienda. Esto significa que es un modelo muy
o
pobre y que debiera de ser reformulado.
Estamos excluyendo de la hip´tesis nula el par´metro que acompaã al t´rmino constante. El
o a n e
modelo bajo la hip´tesis nula, al que llamaremos Modelo Restringido es:
o

Modelo Restringido Pi = β1 + ui i = 1, 2, . . . , N (3.8)

Este modelo incluye solamente un t´rmino constante como regresor y le compararemos con el
e
Modelo No Restringido (3.1). El estimador MCO del par´metro β1 en el modelo restringido es
a
aqu´l que
e
N
m´
ın ˆ
(Yi − β1 )2
ˆ
β1 i=1

En este caso tenemos solamente un par´metro a estimar por lo que s´lo hay una ecuaciń normal,
a o o
ˆ
Yi = N β1 (3.9)
i

cuya soluciń es
o

ˆ 1 ¯
β1,R = Yi = Y
N
i

El coeficiente estimado que acompaã al t´rmino constante nos recoge simplemente la me-
n e
dia muestral de la variable dependiente. El residuo correspondiente al modelo restringido es
ˆ ¯
ui,R = Yi − β1,R = Yi − Y , por lo que la suma de cuadrados residual coincide con la suma
ˆ
de cuadrados total o variaciń total de la variable dependiente. Esto implica que la suma de
o
cuadrados explicada o variaciń explicada con la estimaciń de este modelo (3.8) es nula
o o

SCRR = u2 =
î,R (Yi − Y )2 = SCT ⇒ SCER = 0
i i

63

ıa a

Por ultimo, y teniendo en cuenta como se define el coeficiente de determinaciń R2
´ o

ˆ2
i ui
R2 = 1 − ¯
i (Yi − Y )2

para este modelo el coeficiente de determinaciń es igual a cero6 . Dado que en el modelo solamen-
o
te incluimos un regresor que no var´ ´ste no puede explicar variaciń o varianza de la variable
ıa, e o
dependiente. Si estimamos con Gretl el modelo (3.8) obtenemos los siguientes resultados:


ıpica Estad´
ıstico t valor p
const 317,493 23,6521 13,4234 0,0000

Suma de cuadrados de los residuos 101815,
Desviaciń t´
σ 88,4982
R2 0,000000
¯
Grados de libertad 13
o 166,216
o 166,855

Podemos comprobar que la estimaciń del coeficiente que acompaã al t´rmino constante coin-
o n e
cide con la media muestral de la variable dependiente (P ¯ = 317, 493). La desviaciń t´
o ıpica de los
residuos coincide con la desviaciń t´
o ıpica de la variable dependiente, ya que la suma de cuadrados
residual coincide con la suma de cuadrados total, SCRR = i u2 = i (Yi − Y )2 = 101815, y
î,R
tambiń los grados de libertad de ambas, T − K = T − 1 = 13. Por lo tanto,
e

ˆ2
i ui,R − Y )2
i (Yi
= = 88, 4982
13 13

Por ultimo, el coeficiente de determinaciń R2 es igual a cero.
´ o
Un estad´ıstico general de contraste de restricciones lineales es aqu´l que compara las sumas
e
de cuadrados de residuos de la estimaciń del modelo restringido y del modelo no restringi-
o
do, teniendo en cuenta los grados de libertad en la estimaciń de cada modelo,(glR ) y (glN R )
o
respectivamente 7
(SCRR − SCRN R )/q H0
F = ∼ F(q, N − K) (3.10)
SCRN R /(N − K)
donde q = (glR − glN R ) es el n´mero de restricciones bajo la hip´tesis nula y N − K = glN R .
u o
Si dividimos numerador y denominador por la suma de cuadrados total SCT y utilizamos los
siguientes resultados:
2
6 ¯ i ui,R
ˆ
Esto es as´ dado que i u2 = i (Yi − Y )2 ⇒ RR = 1 −
ı î,R 2
¯ 2 = 1 − 1 = 0.
i (Yi −Y )
7
En temas posteriores veremos la utilizaciń de este estad´
o ıstico para contrastar otro tipo de restricciones
lineales.

64


a) 1 − R2 = SCRN R / SCT y en este caso 1 − RR = 1 − 0 = 1.
2

b) glR − glN R = (N − 1) − (N − K) = K − 1 que es el n´mero de restricciones bajo la hip´tesis
u o
nula.

el estad´
ıstico general (3.10) nos queda para este contraste en concreto igual a

R2 /(K − 1) R2 (N − K) H0
F = 2 = 2 (K − 1) ∼ F(K − 1, N − K) (3.11)
(1 − R )/(N − K) (1 − R )

En nuestro ejemplo sobre el precio de la vivienda, K − 1 = 3 que es el n´mero de restricciones
u
bajo la hip´tesis nula y N − K = 14 − 4 = 10. Dado el resultado mostrado F (3, 10) = 16, 9889
o
(valor p = 0, 000299), si consideramos el valor-p se rechazar´ la hip´tesis nula a cualquier nivel
ıa o
de significaciń razonable, en particular al α = 0, 05 ya que este valor es mayor que el valor-p
o
obtenido. Si utilizamos el valor cr´ ıtico F(3,10)0,05 = 3, 71 obtenemos el mismo resultado ya que
el valor muestral del estad´ıstico es mayor que el valor cr´ ıtico. Esto indica que al menos uno de
los coeficientes, aparte del asociado al t´rmino constante, es distinto de cero.
e
Aunque hemos utilizado en esta secciń el coeficiente de determinaciń en relaciń al estad´
o o o ıstico
de significaciń conjunta, en la siguiente secciń vamos a hablar de su utilizaciń junto con
o o o
el coeficiente de determinaciń corregido y otros estad´
o ısticos para la selecciń entre distintos
o
modelos.

3.4. Bondad de ajuste y selecciń de modelos
o

En los temas anteriores se ha presentado el coeficiente de determinaciń como una medida de
o
bondad de ajuste que es invariante a unidades de medida8 . Este coeficiente se define como la
proporciń de variaciń explicada por la regresiń del total de variaciń a explicar en la muestra
o o o o
de la variable dependiente. Si hay t´rmino constante en el modelo,
e

ˆ − Y )2
¯ ˆ2
i (Yi i ui
R2 = ¯ 2 =1− ¯ 2 0 ≤ R2 ≤ 1
i (Yi − Y ) i (Yi − Y )

Este indicador tiene que ser considerado como uno m´s a tener en cuenta a la hora de valorar
a
si un modelo es adecuado, pero no debemos darle m´s importancia de la que tiene. Obtener
a
un valor del R 2 cercano a 1 no indica que nuestros resultados puedan ser fiables. Por ejemplo,

podemos tener problemas de no satisfacerse alguna hip´tesis b´sica y nuestra inferencia no ser
o a
v´lida.
a
Por otro lado, obtener un valor m´s o menos alto del coeficiente de determinaciń puede estar
a o
influido por el tipo de datos que estemos analizando. Normalmente con datos de series tempora-
les, donde las variables pueden presentar tendencias similares en el tiempo, es fćil obtener R2
a
altos, mientras que con datos de secciń cruzada eso no suele ocurrir ya que normalmente las
o
variables presentan mayor dispersiń.
o
Por otro lado, si queremos utilizar el R2 para comparar distintos modelos, estos deben de tener
la misma variable dependiente ya que as´ tendrń igual suma de cuadrados total. Ań as´ esta
ı a u ı,
medida adolece del problema de aumentar su valor al aãdir una nueva variable explicativa, sea
n
8
Esto no ocurre con otras medidas como puede ser la desviaciń t´
o ıpica de los residuos, σ = SCR/N − K)
ˆ
ya que la suma de cuadrados de los residuos no es invariante a un cambio de escala en las variables.

65

ıa a

cual sea su aportaciń al modelo. Adem´s no tiene en cuenta que hay que estimar un nuevo
o a
par´metro con el mismo n´mero de observaciones.
a u
Para tener en cuenta este problema se suele utilizar el R2 corregido por grados de libertad. Esta
medida tiene en cuenta los grados de libertad tanto de la suma de cuadrados residual, (N − K),
como de la suma de cuadrados total, (N − 1). Se define como

u2 /(N − K)
î N −1
¯
R2 = 1 − =1− (1 − R2 ) ¯
− ∞ < R2 ≤ R2
¯ 2
(Yi − Y ) /(N − 1) N −K

¯
El R2 puede disminuir si el incluir una nueva variable no compensa la p´rdida de grados de
e
libertad al tener que estimar un nuevo par´metro9 . El coeficiente de determinaciń corregido
a o
R¯ 2 no tomar´ valores mayores que el R2 pero s´ puede tomar valores negativos. Esto ultimo
a ı ´
indicar´ que el modelo no describe adecuadamente el proceso que ha generado los datos.
ıa
Hasta el momento hemos ido comentado los resultados que normalmente se muestran en la
estimaciń de un modelo. Una forma de presentarlos es la siguiente:
o

P = 129, 062 + 0, 154800 F2 − 21, 5875 BEDRMS − 12, 1928 BATHS
(estad. t) (1,462) (4,847) (−0,799) (−0,282)
2 ¯2
N = 14 R = 0, 8359 R = 0, 7868 F (3, 10) = 16, 989

Una alternativa a presentar los estad´
ısticos t de significatividad individual, aunque suele ser lo
m´s habitual, es mostrar las desviaciones t´
a ıpicas estimadas de los coeficientes o los valores p
correspondientes.
Otros criterios de selecciń de modelos que muestra Gretl son los criterios de informaciń de
o o
Akaike (AIC), Bayesiano de Schwarz (BIC) y de Hannan-Quinn (HQC). Estos criterios se calcu-
lan en funciń de la suma de cuadrados residual y de algń factor que penalice por la p´rdida de
o u e
grados de libertad. Un modelo m´s complejo, con m´s variables explicativas, reducir´ la suma
a a a
de cuadrados residual pero aumentar´ el factor de penalizaciń. Utilizando estos criterios se
a o
escoger´ aquel modelo con un menor valor de AIC, BIC o HQC. Normalmente no suelen dar
ıa
la misma elecciń, siendo el criterio AIC el que elige un modelo con mayor n´mero de par´metros.
o u a

Selecciń de un modelo para el precio de la vivienda.
o

Vamos a continuar con nuestro ejemplo sobre el precio de la vivienda y comparar distintas es-
pecificaciones, para seleccionar una especificaciń entre varias propuestas. Para ello, utilizamos
o
distintos indicadores que hemos visto hasta ahora, significatividad individual, conjunta, coefi-
cientes de determinaciń y criterios de informaciń. Podemos considerar que estos indicadores
o o
nos ayudan a valorar la especificaciń en t´rminos de la contribuciń de las variables explicativas
o e o
incluidas en el modelo 10 .

Vamos a estimar las siguientes especificaciones o modelos alternativos para explicar el precio de
la vivienda:
9
Se puede demostrar que si el valor absoluto del estad´ ıstico t de significatividad individual asociado a una
¯
variable es menor que la unidad, eliminar esta variable del modelo aumentar´ el R2 mientras que si es mayor que
a
la unidad lo reducir´.a
10
Estos no son los unicos indicadores. Por ejemplo, analizar el gr´fico de residuos o utilizar diversos contrastes de
´ a
algunas de las hip´tesis b´sicas son elementos importantes a la hora de evaluar los resultados de la especificaciń
o a o
y estimaciń de un modelo.
o

66


Modelo 1 Pi = β1 + β2 F 2i + ui
Modelo 2 Pi = β1 + β2 F 2i + β3 BEDRM Si + ui
Modelo 3 Pi = β1 + β2 F 2i + β3 BEDRM Si + β4 BAT HSi + ui
Modelo 4 Pi = β1 + β3 BEDRM Si + β4 BAT HSi + ui

Estos cuatro modelos difieren en las variables explicativas incluidas. El Modelo 3 es el m´s a
general e incluye al resto de modelos. Esto quiere decir que cada uno de los restantes se obtiene
imponiendo una o m´s restricciones sobre los coeficientes de este modelo. En este caso son
a
restricciones de exclusiń, es decir que algń coeficiente o coeficientes son iguales a cero. A este
o u
tipo de modelos se les llama modelos anidados. Los resultados de la estimaciń del Modelo 3
o
con Gretl son los siguientes:


ıpica Estad´
ıstico t valor p
const 129,062 88,3033 1,4616 0,1746
F2 0,154800 0,0319404 4,8465 0,0007
BEDRMS −21,587 27,0293 −0,7987 0,4430
BATH −12,192 43,2500 −0,2819 0,7838

Desviaciń t´
σ 40,8657
R2 0,835976
¯
F (3, 10) 16,9889
valor p para F () 0,000298587
o 146,908
o 149,464

El Modelo 1 es el m´s reducido y tambiń est´ incluido en los modelos 2 y 3, no as´ en el 4.
a e a ı
Estos son los resultados de su estimaciń:
o

67

ıa a


ıpica Estad´
ıstico t valor p
const 52,3509 37,2855 1,4041 0,1857
F2 0,138750 0,0187329 7,4068 0,0000

Desviaciń t´
σ 39,0230
R2 0,820522
¯
o 144,168
o 145,447

El Modelo 2 est´ anidado en el 3. Los resultados de la estimaciń de este modelo se muestran
a o
a continuaciń:
o


ıpica Estad´
ıstico t valor p
const 121,179 80,1778 1,5114 0,1589
F2 0,148314 0,0212080 6,9933 0,0000
BEDRMS −23,910 24,6419 −0,9703 0,3527

Desviaciń t´
σ 39,1185
R2 0,834673
¯
F (2, 11) 27,7674
valor p para F () 5,02220e-05
o 145,019
o 146,936

68


Finalmente el Modelo 4 solamente est´ anidado en el modelo 3. Los resultados de la estimaciń
a o
por MCO son:


ıpica Estad´
ıstico t valor p
const 27,2633 149,652 0,1822 0,8588
BEDRMS −10,137 46,9811 −0,2158 0,8331
BATHS 138,795 52,3450 2,6515 0,0225

Desviaciń t´
σ 71,3037
R 2 0,450706
¯
F (2, 11) 4,51285
valor p para F () 0,0370619
o 161,829
o 163,746

Comparaciń de los resultados para los modelos 1,2 y 3.
o

• Se observa que a medida que se introducen m´s variables explicativas, la suma de cuadrados
a
residual va disminuyendo y el coeficiente de determinaciń R2 aumenta.
o

• En t´rminos del coeficiente de determinaciń R2 , en el Modelo 1 el tamaõ de la vivienda
e o n
(F2) explica el 82, 1 % de la variaciń en los precios de la vivienda, pasando a ser de un
o
83, 6 % al incluir el n´mero de habitaciones (BEDRMS) y n´mero de baõs (BATHS).
u u n

• A medida que se incluyen m´s variables explicativas, primero BEDRMS y luego BATHS,
a
o ¯
el coeficiente de determinaciń corregido R2 disminuye y la desviaciń t´
o ıpica de los resi-
duos aumenta 11 . Esto indica que la ganancia en un mayor valor del R2 o menor suma de

cuadrados residual no se compensa en ningń caso por la p´rdida de grados de libertad.
u e

• En cuanto a la significatividad individual, en los tres modelos la unica variable significativa
´
a los niveles de significaciń habituales es F2
o 12 . As´ una vez hemos controlado por el
ı,
tamaõ de la vivienda, las variables BEDRMS y BATHS no afectan significativamente el
n
precio de la vivienda.

• El estad´
ıstico F de significaciń conjunta seãla en los tres casos no aceptar la hip´tesis nula
o n o
de que todos los coeficientes excepto el asociado al t´rmino constante son igual a cero. Al
e
menos hay un coeficiente que es significativamente distinto de cero. Por lo obtenido en los
11
Notar que los estad´
ısticos t asociados a cada coeficiente son menores que uno en valor absoluto.
12
Por ejemplo, con nivel de significaciń del 5 por ciento los valores cr´
o ıticos ser´ para el modelo 1 t(12)0,025 =
ıan
2, 179, para el Modelo 2 t(11)0,025 = 2, 201 y para el Modelo 3 t(10)0,025 = 2, 228.

69

ıa a

contrastes de significatividad individual, sabemos que ´ste es el coeficiente que acompaã
e n
a F2.
Si nos fijamos, a medida que vamos del Modelo 1 al 3, el valor muestral del estad´ ıstico
F disminuye. Esto es l´gico, ya que este estad´
o ıstico es funciń del R2 pero tambiń de los
o e
grados de libertad. Otra vez estar´ recogiendo que, a medida que aumenta el n´mero de
ıa u
par´metros a estimar K, las diferencias en R2 son demasiado pequeãs para compensar
a n
la disminuciń en el ratio (N − K)/(K − 1). Ahora bien, en general, las diferencias en el
o
estad´ıstico F no son relevantes. Lo que es de inter´s es el resultado del contraste.
e

• Si consideramos los criterios de informaciń AIC, BIC y HQC, de los tres modelos el elegido
o
¯
es el Modelo 1, reafirmando lo que indica el R2 . La ganancia en un mejor ajuste, o una
menor suma de cuadrados residual, no es suficiente para compensar el factor que penaliza
en funciń de grados de libertad.
o
Dado que el tamaõ de la vivienda depende del n´mero de habitaciones y de baõs, este
n u n
resultado parece indicar que una vez se controla por F2 indirectamente esta variable incluye
casi todo lo que pueden aportar BEDRMS y BATHS.

¿Qu´ ocurre con el Modelo 4?
e
En este modelo no hemos incluido la variable F2, que en el an´lisis anterior era la variable que
a
m´s explica el precio de la vivienda y hemos dejado las variables que no eran significativas una
a
vez que inclu´
ıamos esta variable. Podr´ıamos argumentar que de esta forma se podr´ analizar el
ıa
efecto de BEDRMS y BATHS, ya que F2 parec´ recoger la informaciń relevante de estas dos
ıa o
variables.
Si lo comparamos con el Modelo 3, que es en el que est´ anidado el Modelo 4, se obtiene
a
menor valor de R ¯
2 y R2 , mayor valor de AIC, BIC y HQC, mayor suma de cuadrados residual

y mayor desviaciń t´
o ıpica de los residuos. Todos ellos seãlan en la misma direcciń siendo,
n o
en t´rminos de estos criterios, peor modelo el 4. Vemos que el omitir F2 empeora mucho el
e
ajuste sin compensar por la ganancia en grados de libertad. Adem´s cambia sustancialmente la
a
estimaciń y la significatividad del coeficiente que acompaã a BATHS, pasando la estimaciń
o n o
de signo positivo a negativo y ser significativamente distinto de cero al 5 % de significaciń.
o
¿Qu´ puede estar ocurriendo? ¿Serń esta estimaciń y este contraste fiables si hemos omitido
e a o
una variable que parece ser relevante? ¿Se verń afectadas las propiedades del estimador MCO
a
por esta omisiń? Todo esto lo veremos en el tema de error de especificaciń.
o o


Ejercicio 1:
El Departamento de Sanidad de E.E.U.U. quiere estudiar la relaciń entre el gasto sanitario agre-
o
gado en billones de d´lares (exphlth), la renta personal disponible agregada tambiń en billones
o e
de d´lares (income), el porcentaje de poblaciń que supera los 65 aõs en el aõ 2005 (seniors)
o o n n
y la poblaciń en millones (pop). Para ello encarga un estudio a dos becarios de la facultad de
o
Econ´micas de Harvard poniendo a su disposiciń datos de 2005 para dichas variables sobre 51
o o

70


estados americanos13 .

1. Escribe la ecuaciń del modelo que te permita analizar la influencia de las variables expli-
o
cativas income, seniors y pop sobre la variable exphlth.

2. Interpreta los coeficientes del modelo anterior.

3. Estima la ecuaciń propuesta por MCO. Interpreta los coeficientes estimados del modelo.
o
¿Son sus signos coherentes con la teor´ econ´mica?
ıa o

4. Contrasta la significatividad individual de las variables explicativas del modelo. Escribe
los supuestos necesarios sobre la perturbaciń para que los estad´
o ısticos tengan validez.

5. Contrasta la significatividad conjunta de las variables explicativas.

6. Interpreta el coeficiente de determinaciń del modelo.
o

7. Obtń los siguientes gr´ficos y comenta la informaciń que te proporcionan:
e a o

a) Gr´fico de la serie de residuos MCO.
a
b) Gr´fico de residuos MCO sobre la variable pop.
a
c) Gr´fico de residuos MCO sobre la variable income.
a

Ejercicio 2:
Se quiere analizar la demanda de helado de mediados del siglo pasado en un estado de EEUU.
Para ello se dispone de una base de datos de 30 observaciones recogidos cada cuatro semanas
durante los aõs 1951 a 1953, concretamente desde el 18 de marzo hasta el 11 de julio14 . Las
n
variables que se consideran son:

Q Consumo per capita de helado en pintas, (Rango 0,256 - 0,548)
P Precio por pinta de helado en d´lares, (Rango 0,26 - 0,292)
o
I Renta familiar disponible semanal, en d´lares (Rango 76 - 96)
o
F Temperatura media en grados Fahrenheit, (Rango 24 - 72)

1. Dado que no se est´ acostumbrado a las unidades de medida americanas y sabiendo que
a
una pinta equivale a 0,473 litros, un grado cent´
ıgrado son 1,8 grados Fahrenheit y que
el d´lar est´ a 0,766 euros, cambia las unidades de las variables de forma que estń en
o a e
unidades espaõlas.
n

2. Especifica un modelo en el que relaciones el consumo de helado (Q) con el precio (P), la
renta (I) y el cuadrado de la temperatura (F 2 ).

3. Interpreta los coeficientes del modelo.
13
14
Fichero data9-1.gdt. Fuente: Datos del art´ ıculo de Hildreth, C. y J. Lu (1960), “Demand relations with
autocorrelated disturbances”, Technical Bulletin No 2765, Michigan State University, recogida en Ramanathan,
R. (2002), Introductory econometrics with applications, 5th. Ed., South-Western.

71

ıa a

4. Estima el modelo por M´ ınimos Cuadrados Ordinarios (MCO). ¿Son los signos de los coe-
ficientes estimados los esperados?

5. Si la temperatura media de las cuatro primeras semanas hubiese aumentado un grado
cent´
ıgrado mantenińdose constantes los valores del resto de las variables, ¿en cuńto esti-
e a
mas la variaciń del consumo per capita de helados correspondiente a ese mismo periodo?
o
¿Y si la temperatura en ese periodo hubiera sido de 25 grados cent´ ıgrados? ¿Y si hubiera
sido de 40 grados cent´ıgrados?

6. Comenta los resultados obtenidos en cuanto a la significatividad de las variables y la
bondad de ajuste.

7. Si la renta disponible semanal aumentara en un euro mantenińdose constantes las dem´s
e a
variables:

a) ¿En cuńto estimas que se incremente la demanda de helados semanal?
a
b) ¿Es posible que dicho incremento fuera de un mililitro?

72

Tema 4

Contrastes de restricciones lineales y
predicciń
o

4.1. Contrastes de restricciones lineales

En el Tema 3 hemos estudiado la forma m´s comń de realizar los contrastes de significatividad
a u
individual y el contraste de significatividad conjunta sobre los coeficientes que acompaãn an
las variables explicativas en un modelo de regresiń lineal general. Estos contrastes son los
o
m´s habituales y en general cualquier programa econom´trico, como tambiń es el caso de
a e e
Gretl, muestra por defecto los valores de los estad´
ısticos correspondientes para contrastar estas
restricciones en el mismo output de estimaciń.
o
En ocasiones, adem´s de ´stas, tambiń podemos estar interesados en contrastar hip´tesis que
a e e o
implican otro tipo de restricciones lineales en los coeficientes poblacionales del modelo. En
general, podemos denotar la hip´tesis nula y la alternativa como:
o
H0 : R · β = r
(q × K) (K × 1) (q × 1)

Ha : Rβ = r

siendo q el n´mero de restricciones bajo la hip´tesis nula y K el n´mero de par´metros en el
u o u a
modelo no restringido. La hip´tesis alternativa implicar´ que al menos una de las igualdades
o ıa
no se satisface 1.

Por ejemplo en el modelo sobre el precio de la vivienda que hemos visto ya en temas anteriores,
Pi = β1 + β2 F 2i + β3 BEDRM Si + β4 BAT HSi + ui (4.1)
podemos expresar de esta forma los siguientes contrastes:

1. Contraste de significaciń individual de la variable BEDRM S: H0 : β3 = 0
o
 
β1
 β2 
H0 : Rβ = r ⇒ 0 0 1 0  
 β3  = 0
β4
1
Cuidado que esto no es lo mismo que todas las igualdades no se satisfagan.

73

ıa a

2. Contraste de significaciń conjunta: H0 : β2 = β3 = β4 = 0
o
 
 β1  

0 1 0 0   0
β
H0 : Rβ = r ⇒  0 0 1 0   2  =  0 
 β3 
0 0 0 1 0
β4

3. Contraste de un subconjunto de coeficientes igual a cero, por ejemplo los que acompaãn
n
a las variables BEDRMS y BATHS: H0 : β3 = β4 = 0

 
β1
0 0 1 0  β2  0
H0 : Rβ = r ⇒  
0 0 0 1  β3  = 0
β4

Podemos ilustrar el inter´s de contrastar otro tipo de restricciones lineales en el siguiente modelo
e
para la inversiń agregada de un pa´
o ıs,

IN V ERRt = β1 + β2 t + β3 P N BRt + β4 IN T ERESt + β5 IN F LACIONt + ut (4.2)

donde las variables implicadas son:
INVERR: Inversiń agregada,, en t´rminos reales.
o e
t: Tiempo t = 1, 2, . . . , T
PNBR: Producto Nacional Bruto, en t´rminos reales.
e
INTERES: Tipo de Inter´s nominal.
e
INFLACION: Tasa de Inflaciń.
o
Adem´s de realizar los contrastes de significatividad individual y conjunta, podr´
a ıamos estar
interesados en contrastar las siguientes restricciones lineales:

1. H0 : β3 = 1, la propensiń marginal a invertir es igual a 1, esto es, si aumenta el PNB real
o
en una unidad, la inversiń aumentar´ en la misma proporciń, manteniendo el valor del
o a o
resto de variables constante.
 
β1
 β2 
 
H0 : Rβ = r ⇒ 0 0 1 0 0  β3 =1
 
 β4 
β5

2. H0 : β4 + β5 = 0, los inversores tienen en cuenta el tipo de inter´s real. Esto es, la inversiń
e o
no variar´ si un aumento del tipo de inter´s nominal viene acompaãdo por un aumento
a e n
de la misma magnitud de la tasa de inflaciń, manteniendo el resto de factores constantes.
o
 
β1
 β2 
 
H0 : Rβ = r ⇒ 0 0 0 1 1  β3  = 0
 
 β4 
β5

74


3. H0 : β2 = 0, β3 = 1, β4 + β5 = 0. Contraste conjunto de las dos restricciones anteriores
adem´s de la restricciń de que la inversiń en media no presenta una tendencia lineal.
a o o
 
  β1  
0 1 0 0 0  β2 
 0
H0 : Rβ = r ⇒  0 0 1 0 0  β3 = 1 
 
0 0 0 1 1  β4  0
β5

El siguiente estad´
ıstico, conocido como estad´ıstico F de Wald, se puede utilizar para contrastar
una o m´s restricciones lineales en el contexto de un MRLG. Esta forma de realizar el contraste
a
solamente requiere estimar el modelo sin restringir.
Como ya hemos visto en el Tema 3, bajo las hip´tesis b´sicas la distribuciń del estimador MCO
o a o
ˆ ∼ N (β, σ 2 (X X)−1 ). Por lo tanto, dado que R es una matriz de
del modelo sin restringir es: β
constantes de rango q, se tiene que bajo la hip´tesis nula:
o

ˆ
Rβ ∼ N ( r , σ 2 R(X X)−1 R ) (4.3)
(q × 1) (q × 1)
(q×q)

Utilizando este resultado y el estimador σ 2 = Tu u del par´metro σ 2 , tenemos que el estad´
ˆ ˆ ˆ
−K a ıstico
de contraste y su distribuciń bajo la hip´tesis nula es el siguiente:
o o

ˆ ˆ
(Rβ − r) [R(X X)−1 R ]−1 (Rβ − r)/q H0
F = ∼ F(q, T − K) (4.4)
u u/(T − K)
ˆˆ

ˆ
Si no es cierta la H0 , la diferencia (Rβ −r) ser´ grande por lo que el estad´
a ıstico F tomar´ valores
a
grandes en ese caso. Rechazaremos la H0 con un nivel de significatividad α si el valor muestral
del estad´ıstico es mayor que el valor cr´ ıtico, F > F(q, T − K)α , no rechazando H0 en caso
contrario.

4.2. Contrastes utilizando Gretl

En esta secciń vamos a utilizar Gretl para contrastar las restricciones vistas en los ejemplos
o
anteriores utilizando ese estad´
ıstico. En general, una vez que hemos le´ los datos de las variables
ıdo
de inter´s la forma de proceder es la siguiente:
e

• Especificar y estimar por MCO el modelo sin imponer las restricciones o el modelo no
restringido en Modelo ⇒ M´ ınimos cuadrados ordinarios

• En la ventana donde se muestran los resultados de la estimaciń del modelo no restringido,
o
gretl: modelo1 elegir Contrastes ⇒ Restricciones lineales

• Dentro de la ventana que aparece gretl: restricciones lineales podemos escribir las restric-
ciones a contrastar.
Cada restricciń del conjunto de restricciones tiene que ir en una l´
o ınea como una ecuaciń,
o
donde a la izquierda del signo igual tiene que ir la combinaciń lineal de los par´metros y a
o a
la derecha el valor num´rico correspondiente. Los par´metros en la restricciń se denotan
e a o

75

ıa a

de la forma bJ donde J representa la posiciń en la lista de regresores comenzando por
o
J= 1. Lo que nosotros hemos denotado en el MRLG como β1 , coeficiente que normalmente,
aunque no necesariamente, acompaã a la constante, en Gretl se denomina b1, nuestro β2
n
es b2, β3 es b3 y as´ sucesivamente con todos los coeficientes del modelo.
ı

En el ejemplo del modelo para el precio de la vivienda, que hemos utilizado en el Tema 3,
vamos a contrastar la hip´tesis de que conjuntamente variaciones en el n´mero de habitaciones y
o u
el n´mero de baõs, manteniendo el tamaõ de la vivienda constante, no influyen en el precio de
u n n
la vivienda. Vamos a denotar los coeficientes como Gretl lo har´ suponiendo que al especificar
ıa,
el modelo mantenemos el mismo orden en el listado de variables explicativas

Pi = β1 + β2 F 2i + β3 BEDRM Si + β4 BAT HSi + ui (4.5)

Una vez estimado el modelo con Modelo ⇒ M´ ınimos cuadrados ordinarios, en la ventana de
resultados de la estimaciń gretl:modelo1 seleccionamos con el cursor
o

Contrastes ⇒ Restricciones lineales

Aparecer´ la ventana gretl: restricciones lineales. Dentro de la ventana escribimos
a
b3=0
b4=0
Al seleccionar Aceptar en esta ventana obtenemos los siguientes resultados:

Conjunto de restricciones
1: b[BEDRMS] = 0
2: b[BATHS] = 0

Estad´stico de contraste:
ı

F(2, 10) = 0,471106, con valor p = 0,637492

Estimaciones restringidas:

VARIABLE COEFICIENTE DESV.T´P.
I ESTAD T VALOR P
const 52,3509 37,2855 1,404 0,18565
F2 0,138750 0,0187329 7,407 <0,00001
BEDRMS 0,000000 0,000000 indefinido
BATHS 0,000000 0,000000 indefinido

o ı

No rechazamos la hip´tesis nula al nivel de significaciń por ejemplo del 5 % ya que el valor
o o
p = 0, 637492 > 0, 05. Si miramos a las tablas de la distribuciń F con 2 y 10 grados de libertad,
o
eligiendo en la ventana principal de Gretl

Herramientas → Tablas estad´
ısticas → F con gln 2 y gld 10

obtenemos la siguiente informaciń,
o

76


Valores cr´ticos aproximados de F(2, 10)
ı
10% en la cola derecha 2,92
5% 4,10
1% 7,56

De igual forma vemos que, para los tres niveles de significaciń del 1, 5 y 10 % no se rechaza
o
la hip´tesis nula, ya que el valor muestral del estad´
o ıstico es menor que el valor cr´
ıtico corres-
pondiente. Adem´s tambiń se muestran las estimaciones del modelo restringido bajo esas dos
a e
restricciones. Notar que los coeficientes que acompaãn a BEDRMS y BATHS son igual a cero
n
y sus desviaciones t´
ıpicas tambiń. La razń es que esos coeficientes no son estimaciones ya que
e o
toman un valor dado conocido.
Cuando las restricciones a contrastar son simplemente de exclusiń de uno o m´s regresores del
o a
modelo de partida, otra forma de llevar a cabo este contraste en Gretl es elegir en el men´ de
u
la ventana de estimaciń del modelo de partida,
o

Contrastes ⇒ Omitir variables

Seguidamente en la ventana que surge, gretl: contrastes del modelo, se seleccionan las va-
riables que acompaãn a los coeficientes que bajo la hip´tesis nula son cero. En el ejemplo en
n o
concreto que estamos viendo, ser´ elegir las variables BEDRMS y BATHS. Al pulsar Aceptar se
ıa
muestra una nueva ventana con la estimaciń del modelo restringido bajo esas dos restricciones
o

Pi = β1 + β2 F 2i + ui (4.6)

que implican excluir de la regresiń a BEDRMS y BATHS,
o
Modelo Restringido: estimaciones MCO utilizando las 14
observaciones 1-14

const 52,3509 37,2855 1,404 0,18565
F2 0,138750 0,0187329 7,407 <0,00001 ***

Media de la var. dependiente = 317,493
Desviaciń t´pica de la var. dependiente. = 88,4982
o ı
o ı
R-cuadrado = 0,820522
R-cuadrado corregido = 0,805565
Grados de libertad = 12
Log-verosimilitud = -70,0842
Criterio de informaciń de Akaike (AIC) = 144,168
o
Criterio de informaciń Bayesiano de Schwarz (BIC) = 145,447
o
Criterio de Hannan-Quinn (HQC) = 144,05

Comparaciń entre el modelo restringido y no
o
restringido:

77

ıa a

Hip´tesis nula: los par´metros de regresiń son cero para las
o a o
variables
BEDRMS
BATHS

ı
F(2, 10) = 0,471106, con valor p = 0,637492

La ventaja de realizar de esta forma el contraste es que, adem´s de tener la estimaciń del
a o
modelo restringido (4.6), en esta nueva ventana tenemos otra vez todos los men´s que Gretl
u
ofrece para el an´lisis de esta nueva especificaciń2 .
a o
En esta ventana tambiń se muestra el resultado del contraste, esto es, el valor muestral del
e
estad´
ıstico F que contrasta esas dos restricciones de exclusiń, y el valor-p. Como se puede
o
observar, el resultado que se obtiene es exactamente el mismo que el que se ofrece en la ventana
gretl: restricciones lineales.
Seguidamente vamos a utilizar el ejemplo del modelo de la Funciń de Inversiń, para ilustrar
o o
otro tipo de restricciones lineales que no sean simplemente de exclusiń.
o
Escribimos el modelo no restringido


y para el an´lisis usamos los datos3 de la Tabla 4.1.
a
Las series de Inversiń y Producto Nacional Bruto en t´rminos reales, INVERR y PNBR, se
o e
han obtenido de dividir las series nominales por el IPC con aõ base en 1972 y multiplicar por
n
10−1 , tal que estń medidas en trillones de d´lares. La tasa de inflaciń se ha calculado como el
a o o
porcentaje de variaciń del IPC. Por lo tanto, los datos utilizados para estimar el modelo, son
o
finalmente los que aparecen en la Tabla 4.2.

2
a ˆ ˆ ˆ
El estimador restringido ser´ βR = βR,1 βR,2 0 0 ˆ ˆ
donde βR,1 y βR,2 son los obtenidos de la regresiń
o
excluyendo BEDRMS y BATHS.
3
Corresponden a la Tabla F3.1 publicada en Greene (2008), p.1082 y disponible en:
http://pages.stern.nyu.edu/∼wgreene/Text/econometricanalysis.htm. Fuente: Economic Report of the Pre-
sident, U.S. Government Printing Office, Washington, D.C., 1983. El IPC de 1967 es 79,06. El tipo de inter´s es
e
el promedio anual de la tasa de descuento del Banco de la Reserva Federal de Nueva York.

78


Aõ
n PNB nominal Inversiń nominal
o IPC Tipo de Inter´s
e

1968 73,4 133,3 82,54 5,16
1969 944,0 149,3 86,79 5,87
1970 992,7 144,2 91,45 5,95
1971 1077,6 166,4 96,01 4,88
1972 1185,9 195,0 100,00 4,50
1973 1326,4 229,8 105,75 6,44
1974 1434,2 228,7 115,08 7,83
1975 1549,2 206,1 125,79 6,25
1976 1718,0 257,9 132,34 5,50
1977 1918,3 324,1 140,05 5,46
1978 2163,9 386,6 150,42 7,46
1979 2417,8 423,0 163,42 10,28
1980 2633,1 402,3 178,64 11,77
1981 2937,7 471,5 195,51 13,42
1982 3057,5 421,9 207,23 11,02

Tabla 4.1: Datos para el estudio de la Funciń de Inversiń
o o

Aõ
n INVERR PNBR INFLACION INTERES

1968 0,161 1,058 4,40 5,16
1969 0,172 1,088 5,15 5,87
1970 0,158 1,086 5,37 5,95
1971 0,173 1,122 4,99 4,88
1972 0,195 1,186 4,16 4,50
1973 0,217 1,254 5,75 6,44
1974 0,199 1,246 8,82 7,83
1975 0,163 1,232 9,31 6,25
1976 0,195 1,298 5,21 5,50
1977 0,231 1,370 5,83 5,46
1978 0,257 1,439 7,40 7,46
1979 0,259 1,479 8,64 10,28
1980 0,225 1,474 9,31 11,77
1981 0,241 1,503 9,44 13,42
1982 0,204 1,475 5,99 11,02

Tabla 4.2: Datos en t´rminos reales
e

Primeramente creamos el fichero de datos a partir de la tabla anterior incluyendo la variable
t = 1, . . . , 15, con la opciń de Gretl
o

Archivo → Nuevo conjunto de datos

Seguidamente estimamos por MCO el modelo no restringido arriba especificado, eligiendo en el
men´ Modelo → M´
u ınimos Cuadrados ordinarios y obtenemos los siguientes resultados

79

ıa a

Variable dependiente: INVERR
Variable Coeficiente Desv. t´ıpica Estad´
ıstico t valor p
const −0,509071 0,0551277 −9,2344 0,0000
t −0,0165804 0,00197176 −8,4089 0,0000
PNBR 0,670383 0,0549972 12,1894 0,0000
INTERES −0,00232593 0,00121887 −1,9083 0,0854
INFLACION −9,40107e-05 0,00134748 −0,0698 0,9458
Desviaciń t´
σ 0,00671425
R2 0,972433
¯
F (4, 10) 88,1883
Estad´ıstico de Durbin–Watson 1,96364
Coef. de autocorr. de primer orden −0,0981367
o −103,62
o −100,07

Contrastes de restricciones lineales:

a) Contraste de que la propensiń marginal a invertir es la unidad, H0 : β3 = 1, frente a
o
la hip´tesis alternativa de que es distinto de la unidad. En la ventana gretl: modelo1
o
seleccionamos Contrastes → Restricciones lineales y en la ventana que surge escribimos
b3 = 1. Al aceptar se obtiene el siguiente resultado,
Restricciń:
o
b[PNBR] = 1
ı
F(1, 10) = 35,92, con valor p = 0,000133289


const -0,837112 0,0134320 -62,322 <0,00001 ***
t -0,0276707 0,00139136 -19,888 <0,00001 ***
PNBR 1,00000 0,000000 indefinido
INTERES -0,00311914 0,00247563 -1,260 0,23377
INFLACION -0,000342359 0,00275183 -0,124 0,90323

o ı

Se muestran tambiń las estimaciones de los coeficientes del modelo restringido, donde se
e
ha impuesto que el coeficiente que acompaã a PNBR es igual a la unidad. Como damos
n
ese valor a β3 , no estamos estimando ese coeficiente, por lo tanto su desviaciń t´
o ıpica es
cero y el estad´ıstico t no est´ definido.
a
Dado que el valor-p, asociado al valor muestral del estad´
ıstico de contraste, es m´s pequeõ
a n
que 0, 01 se rechaza la hip´tesis nula al 1 % de significaciń.
o o

80


b) Contraste de que la inversiń real responde al tipo de inter´s real, H0 : β4 + β5 = 0, frente
o e
a Ha : β4 + β5 = 0. De la misma forma que antes, en la ventana gretl: modelo1 seleccio-
namos Contrastes → Restricciones lineales. En la nueva ventana que aparece escribimos
b4+b5= 0. Al aceptar se obtiene el siguiente resultado

Restricciń:
o
b[INTERES] + b[INFLACION] = 0

ı
F(1, 10) = 3,25354, con valor p = 0,10143

const -0,505855 0,0604801 -8,364 <0,00001 ***
t -0,0170255 0,00214732 -7,929 <0,00001 ***
PNBR 0,657533 0,0598599 10,985 <0,00001 ***
INTERES -0,00133784 0,00119517 -1,119 0,28683
INFLACION 0,00133784 0,00119517 1,119 0,28683

De nuevo se muestran las estimaciones del modelo restringido. En este caso se estiman
todos los coeficientes bajo la restricciń de que β4 = −β5 . El coeficiente estimado que
o
acompaã a INTERES es el mismo valor pero con signo contrario que el obtenido para el
n
coeficiente de INFLACION. Este resultado surge de la restricciń impuesta (β4 = −β5 ).
o
De igual forma coinciden las varianzas estimadas y las desviaciones t´
ıpicas.
Dado que el valor-p, asociado al valor muestral del estad´ ıstico de contraste, es mayor que
0, 1 no se rechaza la hip´tesis nula al 10 % (ni al 5 % o 1 %) de significaciń.
o o

c) Por ultimo, realizamos el contraste conjunto de estas dos restricciones lineales, la propen-
´
siń marginal a invertir es la unidad y la inversiń real responde al tipo de inter´s real.
o o e
Esto es H0 : β3 = 1, β4 + β5 = 0 frente a la alternativa de que al menos una de ellas no se
satisface, Ha : β3 = 1, y o β4 + β5 = 0.
De nuevo, en la ventana gretl: modelo1 seleccionamos

Contrastes → Restricciones lineales

y escribimos
b3=1
b4+b5=0
Al aceptar se obtiene el siguiente resultado:

Conjunto de restricciones
1: b[PNBR] = 1
2: b[INTERES] + b[INFLACION] = 0

ı
F(2, 10) = 21,3453, con valor p = 0,000246226


81

ıa a

I ESTAD T VALOR P
const -0,851039 0,00799803 -106,406 <0,00001 ***
t -0,0289471 0,000989688 -29,249 <0,00001 ***
INTERES -0,00172664 0,00227790 -0,758 0,46308
INFLACION 0,00172664 0,00227790 0,758 0,46308

o ı

Se rechaza la hip´tesis nula al 1 % de significaciń, ya que el valor-p es menor que 0,01.
o o
Por lo tanto, al menos una de las restricciones parece no satisfacerse. Viendo los resultados
de los contrastes individuales, parece que la evidencia es contra la primera restricciń.
o

4.3. Estimaciń bajo restricciones lineales
o

El estimador resultante de minimizar la suma de los residuos al cuadrado sujeto a restricciones
lineales del tipo Rβ = r, esto es

N
m´
ın ˆ ˆ ˆ ˆ
(Yi − βR,1 − βR,2 X2i − βR,3 X3i − · · · − βR,K XKi )2
ˆ
βR i=1

sujeto a ˆ
RβR = r

se puede expresar como:

ˆ ˆ −1 ˆ
βR = β − (X X)−1 R R(X X)−1 R (Rβ − r) (4.8)
ˆ
donde β = (X X)−1 X Y es el estimador de los par´metros β sin imponer las restricciones. Dado
a
ˆ
que el estimador no restringido β se ha obtenido sin imponer que ´ste satisfaga tales restricciones,
e
en general (Rβ ˆ − r) = 0. La soluciń restringida, βR , es igual a la soluciń no restringida, β,
o ˆ o ˆ
menos un t´rmino de ajuste que tiene en cuenta en qu´ medida la soluciń no restringida no
e e o
ˆ
satisface las restricciones. Si hemos obtenido ya β podemos utilizar directemente la expresiń o
(4.8) para obtener el estimador de β restringido, es decir βˆR .

Hemos visto en la secciń anterior que el programa Gretl muestra las estimaciones del modelo
o
restringido cuando se selecciona la opciń de contrastar restricciones lineales, a la vez que el
o
valor muestral del estad´
ıstico de contraste.
Otra posibilidad es la de estimar el modelo imponiendo la o las restricciones. Cuando las res-
tricciones implican solamente la exclusiń de variables explicativas del modelo de partida, no
o
hay mayor problema en llevar a cabo la estimaciń del modelo restringido. Bien se realiza la
o
regresiń eliminando del listado de regresores esas variables o, como hemos visto antes en Gretl,
o
se puede utilizar la opciń Contrastes ⇒ Omitir variables a la vez que se contrasta.
o
Si las restricciones no son simplemente de exclusiń, entonces se pueden sustituir en el modelo de
o
partida y reorganizarlo en funciń del conjunto de (K −q) par´metros que quedan sin determinar.
o a
Una ventaja de proceder as´ es que se dispone de las mismas opciones que en la ventana de
ı
estimaciń de un modelo por m´
o ınimos cuadrados ordinarios. Por ejemplo, se pueden hacer otro
tipo de contrastes en el modelo restringido, guardar sus residuos, etc.

82


Por ejemplo, si queremos obtener el estimador de los par´metros bajo la restricciń de
a o
que la propensiń marginal a invertir sea la unidad, podemos hacerlo sustituyendo en el
o
modelo


la restricciń β3 = 1 y reorganizar tal que nos quedar´ la siguiente regresiń:
o ıa o

IN V ERRt − P N BRt = β1 + β2 t + β4 IN T ERESt + β5 IN F LACIONt + ut (4.10)

en funciń de K − q = 5 − 1 = 4 par´metros a estimar. El quinto ya est´ determinado por la res-
o a a
tricciń. Definimos una nueva variable llam´mosla R, calculada como Rt = IN V ERRt −P N BRt ,
o e
utilizando la opciń en Gretl de
o

Variable → Definir nueva variable

y en la ventana que aparece escribimos R = INVERR-PNBR. De esta forma se aãde la variable
n
R al conjunto de variables disponibles que aparecen en la ventana principal o de inicio. Segui-
damente, se realiza la regresiń de esta variable sobre la constante, t, INTERES e INFLACION
o
con Modelo → M´ ınimos cuadrados ordinarios y se obtienen los siguientes resultados:

Modelo Restringido (4.10): estimaciones MCO utilizando las 15 observaciones 1968–1982
Variable dependiente: R

ıpica Estad´
ıstico t valor p
const −0,837112 0,0134320 −62,3223 0,0000
t −0,0276707 0,00139136 −19,8875 0,0000
INTERES −0,00311914 0,00247563 −1,2599 0,2338
INFLACION −0,000342359 0,00275183 −0,1244 0,9032

Media de la var. dependiente −1,0840
Desviaciń t´
σ 0,0137184
R2 0,991501
¯
F (3, 11) 427,751
Estad´ ıstico de Durbin–Watson 0,995558
Coef. de autocorr. de primer orden. 0,441936
Log-verosimilitud 45,3774
o −82,754
o −79,922
Criterio de Hannan–Quinn −82,784

Recordamos lo que se obten´ al realizar el contraste de esa restricciń en la ventana de estima-
ıa o
ciń por MCO del modelo no restringido mediante Contrastes → Restricciones Lineales:
o
Restricciń: b[PNBR] = 1
o
Estad´stico de contraste: F(1, 10) = 35,92, con valor p = 0,000133289
ı

83

ıa a

I ESTAD T VALOR P
const -0,837112 0,0134320 -62,322 <0,00001 ***
t -0,0276707 0,00139136 -19,888 <0,00001 ***
INTERES -0,00311914 0,00247563 -1,260 0,23377
INFLACION -0,000342359 0,00275183 -0,124 0,90323
o ı

Los coeficientes estimados corresponden a las realizaciones del estimador de M´ınimos Cuadrados
Restringidos para los cuatro coeficientes que quedaban sin determinar por la restricciń4 . El valor
o
para el coeficiente de PNBR viene dado por la restricciń y es igual a la unidad. Su varianza
o
por lo tanto es igual a cero ya que su valor est´ dado.
a
Hay que notar que el R2 , y por lo tanto el corregido, obtenidos en este ajuste no son comparables
con los resultantes de estimar el modelo no restringido, ya que en este caso la Suma de Cuadrados
Total corresponde a la variable R = IN V ERR −P N BR que es el regresando de esta regresiń y o
no a IN V ERR que es realmente la variable end´gena de inter´s a explicar. Para que los R2 sean
o e
comparables entre el modelo no restringido y el restringido la Suma de Cuadrados Total tiene
que ser la misma. Veremos en la secciń siguiente los que s´ son comparables y un estad´
o ı ıstico de
contraste basado en ellos.

4.4. Estad´
ısticos equivalentes

Partimos del modelo Y = Xβ + u donde se quiere contrastar las restricciones lineales H0 :
Rβ = r. Podemos obtener la suma de los residuos al cuadrado y el coeficiente de determinaciń o
correspondientes a la estimaciń del modelo sin restringir y al modelo restringido, de la siguiente
o
forma:
ˆ ˆ 2 uu
ˆˆ
SCRN R = u u = (Y − X β) (Y − X β)
ˆˆ RN R = 1 −
(Yt − Y )2

ˆ ˆ 2 uR uR
ˆ ˆ
SCRR = uR uR = (Y − X βR ) (Y − X βR )
ˆ ˆ RR = 1 −
(Yt − Y )2
Por otra parte, utilizando las sumas de cuadrados de los residuos correspondientes a la estimaciń o
del modelo restringido y no restringido, SCRR y SCRN R respectivamente y sus grados de
libertad, glR y glN R , es posible realizar el contraste de las restricciones lineales con el siguiente
estad´ıstico:
(SCRR − SCRN R )/q H0
F = ∼ F(q, T − K) (4.11)
SCRN R /(T − K)

N´tese que los grados de libertad de la distribuciń del estad´
o o ıstico bajo la hip´tesis nula son
o
en el numerador glR − glN R = (T − (K − q)) − (T − K) = q, el n´mero de restricciones, y
u
en el denominador glN R = T − K. Se puede demostrar que este estad´ ıstico es el mismo que el
estad´ıstico anterior (4.4). La diferencia radica en que calcularlo de esta forma requiere estimar
tanto el modelo sin restringir como el restringido.
4
a ˆ ˆ ˆ ˆ
El estimador restringido ser´ βR = βR,1 βR,2 1 βR,4 βR,5 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
donde βR,1 , βR,2 , βR,4 y βR,5 , son los obteni-
dos de la regresiń bajo la restricciń de que el coeficiente que acompaã al PNBR en el modelo para la Inversiń
o o n o
real es igual a 1.

84


Su interpretaciń puede ser m´s intuitiva. Imponer restricciones en la estimaciń siempre empeo-
o a o
ra el ajuste tal que la diferencia de las sumas de cuadrados residuales del modelo restringido y no
restringido, (SCRR − SCRN R ), es mayor o igual a cero. Ahora bien, cuanto m´s grande sea esta
a
diferencia m´s evidencia habr´ de que las restricciones no sean ciertas, es decir contra la hip´te-
a a o
sis nula. Se rechazar´ esta hip´tesis nula si el valor muestral del estad´
a o ıstico es suficientemente
grande como para caer en una regiń cró ıtica establecida.
Si dividimos numerador y denominador por la suma de cuadrados total SCT = t (Yt − Y )2
ıstico en t´rminos de los coeficientes de determinaciń5 :
podemos expresar el estad´ e o
2 2
(RN R − RR )/q H0
F = 2 )/(T − K) ∼ F(q,T −K) (4.12)
(1 − RN R

El contraste se realizar´ del mismo modo que con los otros estad´
a ısticos equivalentes.
Vamos a ilustrar esta forma de realizar el contraste en el ejemplo del modelo para la inversiń o
agregada. Para realizar el contraste de la restricciń de que la propensiń marginal a invertir
o o
es igual a la unidad, utilizamos las sumas de cuadrados residuales de la estimaciń del modelo
o
restringido (4.10) y el modelo no restringido (4.9). Esto ya lo obtuvimos en la secciones anteriores.
En la ventana donde hemos realizado la regresiń en cada caso podemos guardar las sumas de
o
cuadrados residuales y aãdirlo a las variables ya definidas con Guardar → Suma de cuadrados
n
de lo residuos. En concreto se obtienen las siguientes sumas de cuadrados residuales:

SCRR = 0, 00207013 SCRN R = 0, 000450812

ıstico (4.11) obtenemos el siguiente valor muestral6 :
Sustituyendo en el estad´

(0, 00207013 − 0, 000450812)/(15 − 4) − (15 − 5)
F = = 35, 92
0, 000450812/(15 − 5)
siendo este el mismo valor que obtuvimos anteriormente con el estad´ ıstico utilizando Contrastes
→ Restricciones lineales, y por lo tanto obtenemos la misma conclusiń del contraste, se rechaza
o
la hip´tesis nula de que la propensiń marginal a invertir sea la unidad.
o o
A su vez, utilizando el dato que nos da Gretl de la Desviaciń t´
o ıpica para la variable dependiente
IN V ERR, podemos obtener la Suma de Cuadrados Total como,

SCT = (IN V ERRt − IN V ERR)2 =
= (15 − 1)(D.T. IN V ERR)2 = 14(0, 0341774)2
2
obteniendo el valor SCT = 0, 016353325. Por lo tanto la realizaciń de RR es en este caso,
o

2 uR uR
ˆ ˆ
RR = 1 − = 1 − (0, 00207013/0, 016353325) = 0, 87341
SCT
que no coincide con el que muestra la regresiń del modelo (4.10). Esta vez este valor s´ es
o ı
comparable con el valor obtenido para el coeficiente de determinaciń de estimar el modelo no
o
5
Este es el estad´
ıstico que se introdujo en el Tema 3. En ese tema se vi´ como caso particular el estad´
o ıstico de
significaciń conjunta
o

R2 /(K − 1) R2 (T − K) H0
F = 2 = ∼ F (K − 1, T − K)
(1 − R )/(T − K) (1 − R2 ) (K − 1)
2
En ese caso RR = 0
6
Se puede hacer el c´lculo con Gretl utilizando Datos → Definir nueva variable y escribiendo la f´rmula del
a o
estad´ıstico en t´rminos de los nombres asignados a las variables sumas de cuadrados residuales.
e

85

ıa a

2
restringido, RN R = 0, 972433. Se puede apreciar, como era de esperar, que el valor obtenido del
RR2 es menor que el del R2 , el ajuste empeora al imponer la restricciń. La cuestiń es si esto
o o
NR
es aceptable, con un nivel de confianza elegido, para aceptar la hip´tesis nula como cierta o no.
o
El valor del estad´
ıstico (4.12) para este caso es,
2 2
(RN R − RR )/q (0, 972433 − 0, 87341)/1
F = 2 )/(T − K) = F = (1 − 0, 972433)/(15 − 5) = 35, 92
(1 − RN R

obteniendo de nuevo el mismo valor para el estad´
ıstico y la misma conclusiń del contraste.
o

4.5. Predicciń
o

Uno de los objetivos de la econometr´ consiste en predecir. Una vez estimado un modelo que
ıa
se considera que recoge bien el comportamiento de una variable en funciń de otros factores o
o
variables explicativas, se quiere determinar con cierta confianza el valor o intervalo de valores
que puede tomar la variable dependiente, supuestos unos valores para esos factores.
Supongamos que se ha estimado el siguiente modelo7 :

Yt = β1 + β2 X2t + . . . + βK XKt + ut

con una muestra de tamaõ T , obteniendo la siguiente funciń de regresiń muestral (FRM):
n o o
ˆ ˆ ˆ ˆ
Yt = β1 + β2 X2t + . . . + βK XKt

Entonces, disponiendo de nuevas observaciones de las variables explicativas,

Xp = 1 X2p . . . XKp p ∈ {1, 2, . . . , T }

podemos utilizar el modelo estimado por MCO para predecir el valor que tomar´ la variable
a
end´gena en el periodo de predicciń p. A este proceso se le llama predicciń por punto, donde el
o o o
valor estimado para la variable end´gena Y en el periodo de predicciń se obtiene sustituyendo
o o
estos valores de las variables ex´genas en la FRM.
o
ˆ ˆ
Yp = Xp βM CO

Equivalentemente:
ˆ ˆ ˆ ˆ
Yp = β1 + β2 X2p + . . . + βK XKp .
ˆ ˆ
El error de predicciń se define como ep = Yp − Yp = −Xp (β − β) + up . Para obtener la
o
predicciń por intervalo, nos basaremos en la distribuciń del error de predicciń, ya que si up
o o o
ˆ
y β son variables aleatorias normales, el error de predicciń tambiń lo ser´:
o e a
−1
ep ∼ N (0, σ 2 ( 1 + Xp X X Xp ))

Sin embargo, en general, σ 2 es desconocido por lo que utilizaremos su estimador insesgado
propuesto en temas anteriores obteniendo el siguiente resultado:
ep
∼ t(T −K)
σ
ˆ 1 + Xp ( X X )−1 Xp
7
En lo que sigue, como siempre, se satisfacen las hip´tesis b´sicas tanto en el periodo de estimaciń como de
o a o
predicciń
o

86


A partir de este estad´
ıstico podemos obtener un intervalo con un nivel de confianza del 1 − α
alrededor de la predicciń por punto para la variable end´gena en el momento p.
o o
ˆ ˆ
IC1−α (Yp ) = Yp − t α (T −K) σep , Yp + t α (T −K) σep
ˆ ˆ
2 2

donde σep = σ 2 ( 1 + Xp ( X X )−1 Xp ).
ˆ2 ˆ
¿C´mo utilizar Gretl para predecir por punto y por intervalo?
o
Utilizaremos el ejemplo de los precios de las viviendas para analizar los pasos a seguir en el
programa Gretl.
Uno de los modelos propuestos era
Pi = β1 + β2 F 2i + β3 BEDRM Si + β4 BAT HSi + ui
Supongamos que tenemos informaciń de una nueva vivienda, por ejemplo, F 2 = 3200, BEDRM S =
o
5 y BAT HS = 3 y nos piden P = 500, en miles de euros, por ella. Mediante este modelo, po-
demos obtener una predicciń del precio que tendr´ una vivienda con estas caracter´
o ıa ısticas y
analizar si el precio solicitado es razonable o no.
Para ello, incorporamos los nuevos datos (Xp ) a la base de datos mediante

Datos → Seleccionar todos

A continuaciń, pincharemos la opciń
o o

Datos → Aãdir Observaciones
n

indicando el n´mero de observaciones que queremos aãdir, en este caso 1. En la fila correspon-
u n
diente incluimos los valores de las variables explicativas en el periodo de predicciń, en este caso
o
la observaciń 15, incorporando cada observaciń en la casilla correspondiente. Si no incorpo-
o o
ramos el valor para la variable P que es la que vamos a predecir, gretl nos mostrar´ un aviso
a
(Atenciń: hab´ observaciones perdidas). Podemos simplemente ignorarlo y darle a aceptar.
o ıa
Posteriormente, estimaremos el modelo sin considerar esta nueva observaciń (recordar que
o
inicialmente ten´
ıamos 14 observaciones en la muestra). Para ello, tenemos que especificar el
rango muestral, es decir, en la opciń
o

Muestra → Establecer rango

especificaremos del rango de observaciones de la muestra para estimar el modelo, en nuestro
caso de la 1 a la 14 y elegimos Aceptar.
Tal y como explicamos en los temas anteriores, estimaremos el modelo por MCO y en la ventana
de los resultados elegimos

An´lisis → Predicciones
a

En la nueva ventana podemos determinar el dominio de predicciń, es decir el Inicio y Fin que
o
en este caso es en ambos la observaciń n´mero 15, y tambiń cuantas observaciones se quieren
o u e
representar antes de la prediccion8 .
Los resultados que muestra Gretl son los siguientes:
8
En este caso hemos elegido todas pero esto es opcional.

87

ıa a

Para intervalos de confianza 95%, t(10, .025) = 2,228

Obs price predicciń
o desv. t´pica
ı Interv. de confianza 95%

1 199,9 207,8
2 228,0 234,0
3 235,0 241,2
4 285,0 256,3
5 239,0 287,6
6 293,0 289,2
7 285,0 287,8
8 365,0 307,8
9 295,0 311,8
10 290,0 319,9
11 385,0 355,1
12 505,0 436,3
13 425,0 439,6
14 415,0 470,5
15 479,9 55,39 356,5 - 603,3

650
price
predicción
600 Intervalo de confianza 95 por ciento

550

500

450

400

350

300

250

200

150
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

El gr´fico que se obtiene junto a los resultados muestra la serie de precios (P) observada en
a
color rojo y estimada con el modelo para las 14 observaciones anteriores a la predicciń y la
o
predicciń en color azul, junto con su intervalo de confianza en color verde.
o
La predicciń por punto del precio de una vivienda con estas caracter´
o ısticas es de 479, 905
miles de euros, mientras que la predicciń por intervalo con un nivel de confianza del 95 % es
o
(356, 5; 603, 3) en miles de euros, por lo que el precio que nos piden, que era de 500 miles de euros
por la vivienda, est´ dentro del intervalo. Este precio para una vivienda de esas caracter´
a ısticas
se aceptar´ como razonable dado nuestro modelo y la informaciń muestral utilizada para su
ıa o
estimaciń, con un nivel de confianza del 95 %.
o

88



Ejercicio 1:
Se dispone de 14 observaciones sobre precios de viviendas y sus caracter´
ısticas para la comunidad
de la Ciudad Universitaria de San Diego correspondientes a 19909 . Las variables que se consideran
son:

price Precio de venta en cientos de d´lares
o
(Rango 199,9 - 505)
sqft Superficie de la vivienda en pies cuadrados
(Rango 1065 - 3000)
bedrms N´mero de habitaciones (Rango 3 - 4)
u
baths N´mero de ba~os (Rango 1,75 - 3)
u n

Se define el siguiente modelo para determinar el precio de venta de la vivienda:

pricei = β1 + β2 sqf ti + β3 bedrmsi + β4 bathsi + ui (4.13)

1. Estima el modelo por MCO.

2. Basńdote en el modelo que has estimado, ¿en cuńto estimas que cambie el precio medio
a a
de una vivienda si, junto a un incremento de 350 pies cuadrados del ´rea habitable (sqft)
a
se le aãden una habitaciń (bedrms) y un baõ (baths) m´s?
n o n a

3. Utilizando Gretl, contrasta las siguientes restricciones lineales:

a) H0 : β3 = β4
b) H0 : β3 = 2β4

Escribe en cada caso la hip´tesis alternativa, el estad´
o ıstico utilizado y la regla de decisiń.
o
Considera realizar el contraste utilizando todas las posibilidades que dispone Gretl que
sean equivalentes.

4. Estima por MCO tres especificaciones del modelo para el precio de la vivienda, incluyendo
en todos los casos adem´s de un t´rmino constante:
a e

a) la variable bedrms (Modelo 2).
b) la variable baths (Modelo 3).
c) las variables bedrms y baths (Modelo 4).

Completa la tabla que se adjunta con los resultados de estimaciń obtenidos. Comenta
o
todos los resultados obtenidos y compara las distintas especificaciones. ¿Te parecen ra-
zonables los signos obtenidos? Razona teniendo en cuenta en cada caso qu´ recogen los
e
coeficientes.
9
Fichero data4-1.gdt. Recogido en Ramanathan, R. (2002), Introductory econometrics with applications, 5th.
Ed., South-Western.

89

ıa a

Tabla 4.3: Resultados de estimaciń obtenidos para los distintos modelos.
o

Variable dependiente:

Variables explicativas Modelo 2 Modelo 3 Modelo 4

CONSTANT ······ ······ ······
( ) ( ) ( )

BEDRMS ······ ······
( ) ( )

BATHS ······
( )

Suma de cuadrados de los residuos ······ ······ ······
Desviaciń t´
σ ······ ······ ······

R2 ······ ······ ······
¯
R2 ······ ······ ······

F de significaciń conjunta
o ······ ······ ······
Grados de libertad ······ ······ ······

Criterio de Akaike (AIC) ······ ······ ······
Criterio de Schwarz (BIC) ······ ······ ······
Criterio de Hannan-Quinn (HQC) ······ ······ ······
(*) Entre parńtesis, los estad´
e ısticos t

Ejercicio 2:
Para la realizaciń de este ejercicio utiliza el archivo de muestra greene5-1.gdt disponible en
o
gretl.10

Este archivo contiene datos de series temporales a frecuencia trimestral desde 1950:1 a 2000:4
de las siguientes variables para la econom´ americana:
ıa

realgdp Producto interior bruto real(en billones de d´lares)
o
realcons Gastos de consumo real
realinvs Inversiń real en el sector privado
o
realgovt Gasto p´blico real
u
realdpi Renta personal disponible real
cpi_u Indice de precios al consumo
M1 Stock nominal de dinero
tbilrate Tipo de inter´s (media trimestral)
e
unemp Tasa de desempleo
10
Fuente: Greene, W. (2008), Econometrics Analysis, 6th Ed., Prentice-Hall, Tabla F5.1: Macroeconomics Data
Set, Quarterly, 1950I to 2000IV, 204 Quarterly Observations Source: Department of Commerce, BEA website and
www.economagic.com.

90


pop Poblaciń (en miles)
o
infl Tasa de inflaciń (primera observaciń no disponible)
o o
realint Tipo de inter´s real ex-post = Tbilrate - Infl
e

Ten en cuenta que la primera observaciń para la variable infl no est´ disponible. Ajusta entonces
o a
el rango muestral para tener observaciones para todas las variables.
Considera la siguiente especificaciń para la funciń de Inversiń:
o o o

realinvst = β1 + β2 time + β3 realgdpt + β4 tbilratet + β5 inf lt + ut (4.14)

1. Muestra los resultados de la estimaciń del modelo por MCO. Recuerda que antes de
o
estimar tienes que aãdir una nueva variable, una tendencia temporal (time).
n

2. Utilizando las opciones de Contrastes → Restricciones lineales y Contrastes → Omitir
variables, realiza el contraste de significaciń individual para la variable realgdp.
o

3. Verifica que el valor del estad´ıstico F obtenido de esta forma, coincide con el valor del
estad´ıstico t al cuadrado que se muestra en el resultado de la estimaciń del modelo no
o
restringido.

4. De igual forma que en el segundo apartado, realiza el contraste de significaciń conjunta.
o
Verifica que el valor coincide con el que se muestra en los resultados de la estimaciń del
o
modelo no restringido.

5. Obtń la estimaciń de los par´metros del modelo para la inversiń real bajo la restricciń
e o a o o
de que los coeficientes que acompaãn al tipo de inter´s (tbilrate) y a la inflaciń (infl )
n e o
suman cero. Para ello estima directamente el Modelo Restringido incorporando la restric-
ciń. Escribe el modelo restringido y muestra los resultados de su estimaciń. ¿Qu´ recoge
o o e
esta restricciń? ¿Para qu´ sirve la variable realint?
o e

6. Para la hip´tesis nula de que los coeficientes que acompaãn al tipo de inter´s (tbilrate)
o n e
y a la inflaciń (infl ) suman cero, obtń el valor del estad´
o e ıstico basado en comparar las
sumas de cuadrados residuales del modelo restringido y no restringido. Calcula tambiń el
e
estad´
ıstico en funciń de los coeficientes de determinaciń de ambos modelos.
o o

7. Comprueba que el valor obtenido en el apartado anterior del estad´ ıstico de contraste, es el
mismo valor que el obtenido con el estad´
ıstico equivalente utilizando la opciń Contrastes
o
→ Restricciones lineales

8. Utilizando los datos del fichero greene5-1.gdt como muestra para el rango de estimaciń, o
predice el valor que tomar´ la inversiń real en el trimestre 2001:1 por punto y por intervalo
a o
(al 95 % de confianza), basando esta predicciń en las previsiones para el realgdp de 1000
o
billones de d´lares, tipo de inter´s tbilrate del 10 % e inflaciń del 4 % para 2001:1. Ten
o e o
en cuenta que los valores que tomar´ la variable time en el periodo de predicciń vienen
a o
determinados por el n´mero correspondiente de observaciń posterior al utilizado para
u o
estimar.

91

ıa a

Ejercicio 3:
Para la realizaciń de este ejercicio utiliza el archivo de muestra en gretl greene8-3.gdt. 11 Son
o
datos de series temporales para los aõs 1966 a 1985 de las siguientes variables:
n

q Producciń agregada por trabajador-hora
o
k Ratio capital/trabajo agregado
A ńdice tecnol´gico
I o

1. Se especifica un primer modelo para la funciń de producciń agregada:
o o

qt = β1 + β2 kt + ut (4.15)

Interpreta sus coeficientes.

e

e a

• Gr´fico de los residuos MCO contra el tiempo.
a
• Gr´fico de la serie estimada y observada contra el tiempo.
a

4. Obtń el gr´fico de residuos MCO sobre la variable que no ha sido incluida, el ´
e a ındice
tecnol´gico A. Comenta el gr´fico obtenido. ¿Puedes encontrar alguna relaciń con lo
o a o
encontrado en el gr´fico de residuos contra el tiempo?
a

5. Realiza el contraste de Engle para analizar si en el modelo (4.15) ser´ relevante controlar
ıa
por el cambio tecnol´gico incluyendo la variable A. Para ello calcula el estad´
o ıstico NR2,
donde R2 es el coeficiente de determinaciń de la regresiń de los residuos del modelo
o o
(4.15) sobre una constante y la variable A. ¿Qu´ evidencia se obtiene del contraste?
e

6. Se considera ampliar la especificaciń del modelo (4.15) incluyendo el ´
o ındice de cambio
tecnol´gico,
o

qt = β1 + β2 kt + β3 At + ut (4.16)

b) Contrasta la significatividad de las variables explicativas. ¿Es consistente el resultado
obtenido con la evidencia encontrada utilizando el contraste de Engle?
c) Compara los resultados de la estimaciń de los modelos (4.15) y (4.16), ¿cu´l te
o a
parece mejor? Razona tus conclusiones utilizando todos los criterios que consideres
oportunos.
d ) Realiza el contraste de las siguientes restricciones lineales en el modelo (4.16):

H0 : β2 = 1 H0 : β3 = β2 H0 : β2 = 1, β3 = 2
No olvides escribir la hip´tesis alternativa, estad´
o ıstico de contraste y criterio de deci-
siń.
o
11
Fuente: Greene, W. (2008), Econometrics Analysis, 6th Ed., Prentice-Hall, Tabla F6.3: Datos sobre cambio
tecnol´gico de Solow (1957), p. 314.
o

92


e) Utilizando los datos del fichero greene8-3.gdt como muestra para el rango de esti-
maciń, predice el valor que tomar´ la producciń agregada q por trabajador-hora
o ıa o
en el aõ 1987, por punto y por intervalo (al 95 % de confianza). Basa esta predicciń
n o
en las previsiones para el ratio capital/trabajo k de 3 unidades e ´
ındice tecnol´gico
o
A de 2 unidades.

Ejercicio 4:
Para la realizaciń de este ejercicio utiliza el archivo de muestra en gretl greene9-1.gdt.
o 12

El archivo contiene datos de secciń cruzada para 25 estados americanos sobre manufacturas de
o
equipamiento del sector transporte. Las variables consideradas son.

valadd Valor a~adido en millones de d´lares de 1957
n o
capital Capital en millones de d´lares de 1957
o
labor Trabajo en millones de d´lares de 1957
o
nfirm N´mero de empresas del sector en ese estado
u

valadd capital labor
1. Define las nuevas variables V = nf irm , K= nf irm y L= nf irm .

2. Especifica un primer modelo para la funciń de producciń por establecimiento:
o o

Vi = β1 + β2 Li + ui (4.17)


e

e a

• Gr´fico de los residuos MCO.
a
• Gr´fico de la serie estimada y observada.
a

5. Obtń el gr´fico de residuos MCO sobre la variable que no ha sido incluida, el factor capital
e a
K. Comenta el gr´fico obtenido.
a

ıa
por el factor capital incluyendo la variable K. Para ello calcula el estad´
ıstico NR2, donde
R2 es el coeficiente de determinaciń de la regresiń de los residuos del modelo (4.17) sobre
o o
una constante y la variable K. ¿Qu´ evidencia se obtiene del contraste?
e

7. Se considera ampliar la especificaciń del modelo (4.17) incluyendo el factor capital,
o

Vi = β1 + β2 Li + β3 Ki + ui (4.18)

b) Contrasta la significatividad de las variables explicativas, ¿Es consistente el resultado
12
Fuente: Greene, W. (2008), Econometrics Analysis, 6th Ed., Prentice-Hall, Tabla F14.1: Statewide Data on
Transportation Equipment Manufacturing, Fuente: A. Zellner and N. Revankar (1970, p. 249).

93

ıa a

c) Compara los resultados de la estimaciń de los modelos (4.17) y (4.18), ¿cu´l te
o a
parece mejor? Razona tus conclusiones utilizando todos los criterios que consideres
oportunos.
d ) Realiza el contraste de las siguientes restricciones lineales:
H0 : β3 = 1 H0 : β2 + β3 = 1 H0 : β1 = 0, β3 = β2

Ejercicio 5:
Para la realizaciń de este ejercicio utiliza el archivo de muestra en gretl greene10-3.gdt. 13
o
El archivo contiene datos de serie temporal de frecuencia anual para los aõs 1966 a 1985. Las
n
variables que se consideran son:

r Tipo de descuento a final de a~o, Reserva Federal de NY
n
M Oferta Monetaria M2
Y Producto Nacional Bruto, en d´lares de 1982
o

1. Se especifica un primer modelo para la demanda de dinero:

Mt = β1 + β2 Yt + ut (4.19)


e

e a

a
a

4. Obtń el gr´fico de residuos MCO sobre la variable que no ha sido incluida, el tipo de
e a
descuento r. Comenta el gr´fico obtenido.
a

ıa
por el tipo de descuento incluyendo la variable r. Para ello calcula el estad´ ıstico NR2,
donde R2 es el coeficiente de determinaciń de la regresiń de los residuos del modelo
o o
(4.19) sobre una constante y la variable r. ¿Qu´ evidencia se obtiene del contraste?
e

6. Se considera ampliar la especificaciń del modelo (4.19) incluyendo el tipo de descuento
o

Mt = β1 + β2 Yt + β3 rt + ut (4.20)

b) Contrasta la significatividad de las variables explicativas, ¿Es consistente el resultado
c) Compara los resultados del modelo (4.19) y modelo (4.20), ¿cu´l te parece mejor?
a
Razona tus conclusiones utilizando todos los criterios que consideres oportunos.

13
Fuente: Greene, W. (2008), Econometrics Analysis, 6th Ed., Prentice-Hall.

94

Tema 5

Errores de especificaciń en la elecciń
o o
de los regresores

5.1. Introducciń
o

La primera especificaciń de un modelo de regresiń implica tomar varias decisiones, a menudo
o o
previas a la confrontaciń de ´ste con los datos. Algunas de estas decisiones son:
o e

• Elecciń de la variable dependiente.
o

• Elecciń de las variables explicativas.
o

• Mediciń de las variables.
o

• Forma funcional de la relaciń. Estabilidad.
o

• Especificaciń de las propiedades del t´rmino de error.
o e

En los temas anteriores hemos especificado un modelo de regresiń donde se satisfacen una serie
o
de hip´tesis b´sicas. Algunas de estas hip´tesis pueden no mantenerse si las decisiones adoptadas
o a o
son errńeas o porque simplemente, dadas las caracter´
o ısticas de las variables del modelo y de los
datos a utilizar, estas hip´tesis pudieran no ser adecuadas. Esto puede influir negativamente en
o
las propiedades del estimador utilizado y en la inferencia, siendo las decisiones posteriores sobre
el modelo errńeas. En muchos casos la evaluaciń de un modelo puede estar influenciada por
o o
esta primera especificaciń. Por ello, es importante disponer de instrumentos o contrastes que nos
o
permitan hacer un diagn´stico sobre si son aceptables ciertas decisiones o hip´tesis adoptadas.
o o
Estos instrumentos pueden ser un an´lisis gr´fico de los residuos o contrastes estad´
a a ısticos donde
se traten de detectar problemas de mala especificaciń.o
En este tema nos vamos a centrar en ilustrar las implicaciones que pueden tener decisiones
errńeas en t´rminos de la elecciń de las variables explicativas o regresores. Para ello vamos a
o e o
proponer que conocemos el modelo correcto y consideramos separadamente dos situaciones:

a) Omisiń de variables explicativas relevantes. Analizaremos las implicaciones en el estima-
o
dor MCO y en la validez de los contrastes de significatividad. Veremos la utilizaciń del
o
gr´fico de residuos y algń contraste de mala especificaciń con algunos ejemplos emp´
a u o ıricos.

95

ıa a

b) Inclusiń de variables irrelevantes. En este caso nos interesaremos por los efectos de haber
o
incluido variables que sabemos no tendr´ que estar en el modelo. La cuestiń es c´mo
ıan o o
detectar y decidir en la prćtica qu´ variables son o no relevantes. Tambiń discutiremos
a e e
estas cuestiones utilizando un caso prćtico.
a

Aunque te´ricamente analizaremos cada uno de estos efectos por separado y asumiremos que
o
conocemos la especificaciń correcta, en la prćtica podemos tener combinados estos efectos.
o a

5.2. Efectos de omisiń de variables relevantes
o

Podemos seguir con nuestro ejemplo sobre el precio de la vivienda en el que quer´ ıamos explicar
esta variable, medida en miles de d´lares, en funciń de una serie de variables explicativas como
o o
pod´ ser el tamaõ de la vivienda F 2, el n´mero de habitaciones BEDRM S y el n´mero de
ıan n u u
baõs BAT HS. En principio, vamos a considerar que el modelo correcto para explicar el precio
n
de la vivienda es

Pi = β1 + β2 F 2i + β3 BEDRM Si + β4 BAT HSi + ui i = 1, . . . , N (5.1)

donde se satisfacen las hip´tesis b´sicas pero se estima por MCO el siguiente,
o a

Pi = β1 + β3 BEDRM Si + β4 BAT HSi + vi i = 1, . . . , N (5.2)

En el modelo considerado a la hora de estimar se ha omitido la variable F2 o tamaõ de la n
vivienda. Si esta variable es relevante entonces β2 = 0 por lo que el error vi recoger´ la variable
a
omitida, esto es vi = β2 F 2i + ui , siendo E(vi ) = β2 F 2i = 0. Luego en el modelo mal especificado
no se satisface una de las hip´tesis b´sicas. Esto a su vez implica que la covarianza entre las
o a
variables incluidas y el error del modelo (5.2) depender´ de la covarianza entre la variable
a
omitida F 2i y cada una de las incluidas BEDRM Si y BAT HSi . Si estas no son cero, esto
introducir´ un sesgo en los coeficientes estimados que ser´ funciń de estas covarianzas. El signo
a a o
del sesgo depender´ del signo del coeficiente β2 y de los signos de estas covarianzas. Se puede
a
demostrar que los sesgos de estimar por MCO β3 y β4 en el modelo (5.2) son

ˆ S23 S44 − S24 S34 ˆ S24 S33 − S23 S34
E(β3 ) − β3 = β2 2 E(β4 ) − β4 = β2 2 (5.3)
S33 S44 − S34 S33 S44 − S34

donde Sjs = ¯ ¯
i (Xji − Xj )(Xis − Xs ), siendo la covarianza muestral entre dos variables j, s
si j = s, y la varianza muestral de la variable j si j = s. Como se puede apreciar, el sesgo
en la estimaciń de ambos coeficientes depende de las covarianzas entre las variables relevante
o
excluida F 2 y cada una de las variables incluidas BEDRM S y BAT HS 1 . Adem´s depende
a
1
Si el modelo de partida correcto hubiera sido

Pi = β1 + β2 F 2i + β3 BEDRM Si + ui i = 1, . . . , N (5.4)

pero hubi´ramos considerado para estimar
e

Pi = β1 + β3 BEDRM Si + vi i = 1, . . . , N (5.5)

entonces el sesgo en estimar β3 en (5.5) ser´ simplemente
ıa

ˆ S23
E(β3 ) − β3 = β2 (5.6)
S33
El sesgo sigue dependiendo de la covarianza entre la variable omitida F 2 y la incluida BEDRM S dada por S23 .
En este caso se puede esperar que el sesgo fuera positivo ya que tanto S23 como β2 se esperan sean positivos. El

96


del coeficiente β2 que en el modelo correcto (5.1) se esperaba fuera positivo, pero la direcciń
o
del signo de cada sesgo no es clara ya que depende del signo del cociente que acompaã a n
β2 . Para que no hubiera sesgo en la estimaciń de cualquiera de estos dos coeficientes ambas
o
variables incluidas, BEDRM S y BAT HS tendr´ que estar incorreladas con el tamaõ
ıan n
de la vivienda o variable excluida, cosa poco probable en este ejemplo.
En cuanto al sesgo en la estimaciń del coeficiente que acompaã al t´rmino constante se puede
o n e
demostrar que es2

ˆ ¯ S23 S44 − S24 S34 ¯ S24 S33 − S23 S34 ¯
E(β1 ) − β1 = β2 X2 − 2 X3 − 2 X4 (5.7)
S33 S44 − S34 S33 S44 − S34

Vemos que en este caso ań siendo S23 = S24 = 0 el sesgo no se anular´ ya que todav´ depende
u ıa, ıa
¯ 2 , que generalmente no va a ser cero. De este resultado se
de la media de la variable omitida X
puede argumentar que el coeficiente que acompaã al t´rmino constante, generalmente va a
n e
recoger efectos de variables omitidas ań cuando esto no influya en la estimaciń del resto
u o
de par´metros o pendientes por estar estas variables incorreladas con las incluidas. Por ello,
a
normalmente es conveniente no excluir el t´rmino constante, a no ser que se tengan fuertes
e
razones te´ricas para hacerlo.
o
Si se estiman con sesgo los coeficientes βj , tambiń serń incorrectos los contrastes de significati-
e a
vidad individual, conjunta y otro tipo de contrastes sobre los coeficientes del modelo utilizando
estas estimaciones sesgadas. Ahora bien, ¿serń fiables los contrastes sobre las pendientes si se
a
dan las condiciones para que los estimadores de estos par´metros no sean sesgados? La respuesta
a
es que no, ya que ań dandose las condiciones de incorrelaciń entre regresores incluidos y varia-
u o
bles relevantes excluidas, el estimador de la matriz de varianzas y covarianzas de esos coeficientes
estimados seguir´ siendo sesgada. Esto se debe a que el estimador del par´metro σ 2 utilizando
a a
la suma de cuadrados residual de la estimaciń del modelo mal especificado estar´ sesgado en
o a
cualquiera de los casos.
Luego vemos que en general las consecuencias de omitir variables relevantes en la especificaciń
o
de un modelo son serias, especialmente en la inferencia.

¿C´mo detectar que esto pueda estar ocurriendo? Una primera cuestiń es tener en cuenta
o o
el modelo te´rico de inter´s y pensar qu´ variables pueden faltar en el modelo emp´
o e e ırico. Por otro
lado, podemos ayudarnos de contrastes que puedan seãlar la existencia de algń problema de
n u
mala-especificaciń3 .
o
Adem´s, el an´lisis de los residuos nos puede ayudar a ver si hemos dejado fuera factores relevan-
a a
tes. Por ejemplo, podemos ver el gr´fico de los residuos por observaciń y ver si estos presentan
a o
efecto de omitir F 2 o no controlar por el tamaõ de la vivienda en el modelo (5.5) ser´ sobreestimar el efecto
n a
marginal de tener una habitaciń m´s en la vivienda sobre el precio de ´sta. Por tanto, el n´mero de habitaciones
o a e u
estar´ tambiń de alguna forma representando el papel del tamaõ de la vivienda, que no se ha incluido en
ıa e n
el modelo. No se estimar´ con sesgo si S23 = 0, cosa que no parece factible ya que el n´mero de habitaciones
ıa u
estar´ correlacionado con el tama˜ o de la vivienda.
a n
2
Ocurre lo mismo si consideramos que el modelo estimado es (5.5) y el verdadero modelo es (5.4).
3
En este tema ilustraremos alguno de estos contrastes, aunque no todos. Incluso algunos contrastes diseãdos
n
para analizar si el t´rmino de error no est´ autocorrelacionado, puede capturar tambiń otro tipo de cuestiones
e a e
de mala especificaciń.
o

97

ıa a

algń comportamiento sistem´tico que pueda apuntar en esa direcciń.
u a o
Por ejemplo, consideremos los resultados de la estimaciń de los modelos (5.1) y (5.2) para
o
explicar el precio de la vivienda4

Variable Modelo (5.1) Modelo (5.2)
Supuestamente Correcto
CONSTANT 129,062 27,2633
(1,462) (0,182)
F2 0,1548
(4,847)
BEDRMS -21,588 -10,1374
(-0,799) (-0,216)
BATHS -12,193 138,795
(-0,282) (2,652)

Suma de cuadrados de los residuos 16700,1 55926,4
Desviaciń t´
σ 40,8657 71,3037
R2 0,836 0,450706
¯
R2 0,787 0,350834
o 16,989 4,51285
Grados de libertad 10 11
Criterio de Akaike (AIC) 146,908 161,829
Criterio de Schwarz (BIC) 149,464 163,746

Tabla 5.1: Modelos (5.1) y (5.2) estimados para el precio de la vivienda

Como ya comentamos en el cap´ ıtulo anterior, la omisiń de la variable F 2 empeora bastante
o
el ajuste tanto en t´rminos del R
e ¯
2 como del R2 , AIC y BIC. El coeficiente estimado que m´s a
ha cambiado es el que acompaã a la variable BAT HS pasando a tener signo positivo y ser
n
significativamente distinto de cero. Parece que, dado que ambas variables representan tambiń e
tamaõ de la vivienda, el efecto indirecto de la omisiń de esta variable puede estar siendo
n o
capturando m´s por el coeficiente de BAT HS que por el de BEDRM S.
a
Podemos mirar a las correlaciones entre la variable excluida F 2 y las incluidas BEDRM S y
BAT HS. En la ventana principal de Gretl donde tenemos estas variables, las seleccionamos con
el botń izquierdo del ratń, mientras mantenemos la tecla de may´sculas ⇑, y en Ver → matriz
o o u
de correlaciń obtenemos
o

Coeficientes de correlaciń, usando las observaciones 1 - 14
o
valor cr´
ıtico al 5 % (a dos colas) = 0,5324 para n = 14
F2 BEDRMS BATHS
1, 0000 0, 4647 0, 7873 F2
1, 0000 0, 5323 BEDRMS
1, 0000 BATHS

4
Los valores entre parńtesis son los correspondientes estad´
e ısticos t de significatividad individual.

98


Vemos que, aunque tanto el n´mero de habitaciones BEDRM S como el n´mero de baõs
u u n
BAT HS presenta una correlaciń positiva con la variable excluida, tamaõ de la vivienda F 2,
o n
es la variable BAT HS la que presenta una mayor correlaciń con esta ultima.
o ´
Seguidamente vamos a analizar diversos gr´ficos de los residuos del ajuste del modelo (5.2) donde
a
hemos omitido F 2 que parece ser relevante. De la estimaciń de este modelo en la ventana de
o
estimaciń gretl:modelo2 elegimos
o

Gr´ficos → Grafico de residuos → Por n´mero de observaciń
a u o

que nos muestra el gr´fico de residuos por observaciń segń estń las 14 observaciones ordenadas
a o u a
en la muestra. Lo podemos guardar posicionando el cursor dentro de la ventanta del gr´fico y
a
pinchando con el botń derecho del ratń, aparece un men´ con distintas opciones y formatos
o o u
para guardarlo.

200

150

100
residuo

50

0

-50

-100
2 4 6 8 10 12 14
observacion

Gr´fico 5.1: Gr´fico de los residuos del Modelo (5.2) por observaciń
a a o

En el gr´fico se puede apreciar que hay demasiados residuos negativos juntos al comienzo de la
a
muestra y a medida que vamos hacia las ultimas observaciones o viviendas, estos se concentran
´
m´s en la parte positiva. Si observamos la disposiciń de las viviendas en la muestra, veremos
a o
que estń ordenadas en funciń creciente del tamaõ de la vivienda. Luego los residuos negativos
a o n
estar´ asociados en general con viviendas de menor tamaõ y los positivos con viviendas de
ıan n
mayor tamaõ. Esto sugiere un comportamiento sistem´tico en la disposiciń de los residuos
n a o
alrededor de su media muestral que es cero.
El gr´fico de los residuos sobre la variable F 2 puede ayudar a ver si hay alguna relaciń. De hecho
a o
el gr´fico nos mostrar´ la recta de regresiń de los residuos sobre esta variable si es que existe
a a o
una relaciń significativa. Para obtener el gr´fico primero tenemos que guardar los residuos de
o a
la estimaciń del modelo (5.2). Para ello, en la ventana de estimaciń gretl:modelo2 elegimos
o o

Guardar → Residuos

99

ıa a

y le damos un nombre a la serie de residuos. Esta serie aparecer´ en la ventana principal gretl
a
y la podremos utilizar posteriormente. En esta misma ventana elegimos

Ver → Gr´ficos → Grafico X-Y (scatter)
a

200
Y = -112, + 0,0584X

150

100
Residuo modelo (5.2)

50

0

-50

-100
1500 2000 2500 3000
F2

Gr´fico 5.2: Gr´fico de los residuos del Modelo (5.2) sobre F2
a a

En la ventana que aparecer´ posteriormente, especificamos que variable se representa en el eje
a
de ordenadas eje X, en este caso F 2, y en el eje de abcisas o eje Y, en este caso los residuos de
la estimaciń del Modelo (5.2). En este gr´fico podemos apreciar que hay una relaciń positiva
o a o
significativa entre los residuos de la estimaciń del modelo (5.2) y la variable F 2 omitida en
o
ese modelo. De hecho, la l´ınea que aparece en el gr´fico representa la recta de regresiń de los
a o
residuos sobre esa variable. Esto indica que cierto componente residual puede ser explicado por
la variable que no hemos incluido.
Lo detectado en estos gr´ficos puede ser contrastado utilizando el siguiente contraste que se debe
a
a Engle (1982). Este contraste utiliza el R2 de la regresiń auxiliar de los residuos del modelo
o
que se est´ analizando sobre la variable o variables que sospechamos puedan ser candidatas a
a
ser incluidas en ´l por ser relevantes. En nuestro caso ser´ realizar la regresiń
e ıa o

ui = δ1 + δ2 F 2i + ξi
ˆ i = 1, . . . , N (5.8)

El estad´ıstico de contraste es N R2 donde el R2 es el coeficiente de determinaciń de esta regresiń
o o
auxiliar. La distribuciń exacta del estad´
o ıstico, bajo la hip´tesis nula de que la variable F 2 no
o
es una variable relevante a incluir en el modelo, no es conocida pero se puede aproximar por la
distribuciń χ2 con un grado de libertad5 . Esta aproximaciń ser´ mejor cuanto mayor sea el
o o a
tamaõ muestral.
n
En el ejemplo que nos ocupa esta regresiń auxiliar la podemos obtener con Gretl eligiendo
o
5
En general, los grados de libertad serń el n´ mero de regresores de la regresiń auxiliar sin contar el t´rmino
a u o e
constante.

100


Modelo → Minimos Cuadrados Ordinarios

y en la ventana que emerge elegir como variable dependiente la serie de residuos de la estimaciń
o
del modelo (5.2) que ten´ ıamos guardada y como regresores a F 2 adem´s de la constante. Los
a
resultados de esta regresiń auxiliar (5.8) para el ejemplo que nos ocupa son
o

ui = −111, 588 + 0, 0583946 F2i
(−1,995) (2,078)
2
N = 14 R = 0, 264584

Si queremos guardar el valor muestral N R2 podemos hacerlo en esa misma ventana eligiendo

Guardar → T ∗ R-cuadrado

ıstico N R2 = 3, 70417 se muestra en la ventana principal con el resto
El valor muestral del estad´
de variables. Este valor habr´ que compararlo en este caso con el valor cr´
a ıtico χ2
(1)α utilizando
en el contraste un nivel de significaciń α concreto.
o
Para buscar el valor cr´ ıtico en las tablas de la Chi-cuadrado con 1 grado de libertad podemos
elegir en la ventana principal de Gretl, Herramientas → Tablas Estad´ ısticas y en la ventana que
aparece seleccionar la chi-cuadrado especificando 1 grado de libertad. Aparece una ventana con
los valores cr´
ıticos de la distribuciń Chi-cuadrado para distintos niveles de significaciń.
o o
Tambiń podemos obtener el valor-p dado el valor muestral del estad´
e ıstico. En la ventana prin-
cipal de nuevo en Herramientas → Buscador de valores-p, y en la ventana que aparece seleccio-
nar la chi-cuadrado especificando en la primera casilla 1 grado de libertad y el valor muestral
del estad´ıstico en la segunda casilla. Aparece una ventana con la siguiente informaciń: Chi-
o
cuadrado(1): ´rea a la derecha de 3,70417 = 0,0542767 (a la izquierda: 0,945723).
a
Por lo tanto, como el valor-p obtenido es 0, 0542767 que, aunque poco, es algo mayor que 0, 05,
no se rechazar´ la hip´tesis nula de que F 2 sea una variable importante a aãdir al modelo
ıa o n
al 5 %, pero s´ al 10 % al ser el valor-p en ese caso menor que ese nivel de significaciń. Vemos
ı o
que la hip´tesis nula se rechazar´ al 10 % de significaciń ya que el valor muestral en ese caso
o ıa o
N R2 = 3, 70417 ser´ mayor que el valor cr´
ıa ıtico χ2
(1)0,1 = 2, 706, aunque no se rechazar´ al 5 %.
ıa
Luego existe cierta evidencia de que F 2 sea una variable relevante a aãdir en el modelo.
n
¿C´mo cambiar´ los gr´ficos (5.1) y (5.2) si consideramos los residuos del modelo (5.1) que
o ıan a
incluye a la variable F2? Estos corresponden a los gr´ficos de la Figura (5.3). En este caso la
a
disposiciń de los residuos positivos y negativos es m´s aleatoria alrededor de su media muestral.
o a
Por otro lado, el gr´fico de los residuos del modelo (5.1) sobre la variable F 2 ya no muestra esa
a
relaciń positiva entre ambas variables.
o

5.3. Efectos de inclusiń de variables irrelevantes
o

Supongamos ahora que el modelo correcto para el precio de la vivienda es

Pi = β1 + β2 F 2i + ui i = 1, . . . , N (5.9)

donde se satisfacen las hip´tesis b´sicas, pero incluimos en la regresiń una variable m´s que no
o a o a
es relevante, BEDRM S. El modelo que ajustamos es

Pi = β1 + β2 F 2i + β3 BEDRM Si + ui i = 1, . . . , N (5.10)

101

ıa a

80 80

60 60

40 40
Residuos del Modelo (5.1)

Residuos del Modelo (5.1)
20 20

0 0

−20 -20

−40 -40

−60 -60
2 4 6 8 10 12 14 1500 2000 2500 3000
Observación F2

Gr´fico 5.3: Gr´ficos de los residuos del Modelo (5.1) sobre observaciń y sobre F2
a a o

En este modelo se siguen satisfaciendo las hip´tesis b´sicas, ya que el valor poblacional del
o a
coeficiente que acompaã a la variable BEDRM S es cero al no ser una variable relevante, por
n
lo que el t´rmino de error no cambia. Pero en la regresiń se estimarń todos los coeficientes,
e o a
tambiń los de las variables irrelevantes y la estimaciń puntual de β3 no ser´ en general cero.
e o a
¿Qu´ consecuencias tendr´ este error de especificaciń?
e a o

ˆ
• En este caso, los estimadores de todos los coeficientes son insesgados, por lo que E(βj ) =
βj ∀j. En particular, E(βˆ3 ) = 0.

• La matriz de varianzas y covarianzas se estimar´ correctamente con el estimador habitual.
a
Por lo que tanto los intervalos de confianza como los procedimientos habituales de contraste
sobre los coeficientes βj siguen siendo v´lidos.
a

• El coste de este error de especificaciń es la p´rdida de eficiencia en la estimaciń. Si se
o e o
comparan las varianzas de los coeficientes estimados en el modelo incorrecto relativamente
al correctamente especificado, estas serń mayores en el primero. Por ejemplo, se puede
a
demostrar que esta p´rdida de eficiencia depende de la correlaciń entre F 2 y BEDRM S
e o
siendo mayor cuanto mayor sea esta correlaciń.
o
En particular, para β2 el ratio de la varianza del estimador de este coeficiente en el modelo
incorrecto (5.10) sobre la varianza del estimador en el modelo correcto (5.9) es

ˆ
var(β2 )(10) 1
= ≥1 (5.11)
var(βˆ2 )(9) 1 − ρ2
23

siendo 0 ≤ ρ2 ≤ 1 el coeficiente de correlaciń al cuadrado entre F 2 y BEDRM S.
23 o
En el caso de los datos que estamos utilizando data4-1 sobre 14 viviendas este ratio es
1/ 1 − (0, 5323)2 = 1, 4, luego hay cierta p´rdida de eficiencia en la estimaciń de
e o
β2 en el modelo (5.10) relativamente a (5.9). La inclusiń de la variable supuestamente
o
irrelevante BEDRM S hace que estimemos con menor precisiń el coeficiente β2 . Lo mismo
o
ocurre con el coeficiente β1 .

102


¿C´mo podemos detectar la presencia de variables innecesarias?
o
Una posibilidad es comenzar por un modelo relativamente general y utilizar los contrastes de
¯
significatividad individual, as´ como las medidas de bondad de ajuste R2 o los criterios de
ı
informaciń AIC o BIC por ejemplo. Estos indicadores nos pueden ayudar en la toma de esta
o
decisiń. Los resultados obtenidos de la estimaciń de los modelos (5.9) y (5.10) se muestran en
o o
la tabla (5.2)6 . Considerando que nuestro modelo de partida es el modelo m´s general, Modelo
a
(5.10), y utilizando el contraste de significatividad individual para el coeficiente que acompaãn
a BEDRM S, podr´ ıamos considerar que esta variable no es relevante en explicar la variaciń
o
en el precio de la vivienda una vez hemos incluido el tamaõ de ´sta. Eliminar esta variable
n e
¯
del modelo tambiń mejora el resto de indicadores de ajuste, mayor R2 , menores AIC y BIC.
e
Se puede observar tambiń que las desviaciones t´
e ıpicas estimadas se reducen bastante. Por otro
lado, tanto en el modelo (5.10) como en el (5.9), la variable F 2 es significativa indicando su
relevancia en explicar la variaciń en el precio de la vivienda.
o

Variable Modelo (5.9) Modelo (5.10)
supuestamente correcto
CONSTANT 52,351 121,179
(1,404) (1,511)
[37,28] [80,1778]
F2 0,13875 0,14831
(7,407) (6,993)
[0,0187] [0,0212]
BEDRMS -23,911
(-0,970)
[24,642]
Suma de cuadrados de los residuos 18273,6 16832,8
Desviaciń t´
σ 39,023 39,1185
R2 0,821 0,835
¯
R2 0,806 0,805
o 54,861 27,767
Grados de libertad 12 11
Criterio de Akaike (AIC) 144,168 145,019
Criterio de Schwarz (BIC) 145,447 146,936

Tabla 5.2: Modelos estimados para el precio de la vivienda.

La aproximaciń de ir de un modelo m´s general a uno m´s restringido suele ser m´s conveniente
o a a a
que la aproximaciń contraria. En el caso de comenzar por un modelo m´s reducido e ir aãdiendo
o a n
variables secuencialmente, decidiendo mantenerlas o no en funciń de si son o no significativas,
o
se corre el peligro de lo que se conoce con el nombre ingl´s de data mining o torturar a los datos.
e
El problema en la aproximaciń contraria es que, si el modelo de partida es demasiado general
o
y los regresores estń muy correlacionados, la precisiń con la que estimemos los par´metros
a o a
puede ser poca. Por esa falta de precisiń en la estimaciń podemos tener coeficientes no signifi-
o o
cativamente distintos de cero, no siendo capaces de identificar el efecto de esas variables ya que
la potencia de los contrastes de significaciń puede ser muy poca7 . No rechazar en ese caso la
o
6
Entre parńtesis estad´
e ısticos t y entre corchetes las desviaciones t´
ıpicas estimadas.
7
Este problema ser´ tratado m´s en detalle en el tema de Multicolinealidad.
a a

103

ıa a

hip´tesis nula no es evidencia de que esas variables no sean relevantes sino de que el contraste
o
tiene poca potencia.

104



Ejercicio 1:
Realiza exclusivamente los apartados 1 a 6
Para la realizaciń de este ejercicio utiliza el archivo greene 7-8.gdt de muestra en gretl8 El
o
archivo contiene datos de serie temporal para los aõs 1953 a 2004 de las siguientes variables
n
sobre el mercado de la gasolina en Estados Unidos:

G Consumo total de gasolina en Estados Unidos. Se obtiene de
dividir el gasto en gasolina entre el ńdice de precios al
ı
consumo
Pg ńdice de precios para la gasolina
I
Y Renta disponible per capita
Pnc ńdice de precios para coches nuevos
I
Puc ńdice de precios para coches usados
I
Ppt ńdice de precios para transporte p´blico
I u
Pd ńdice de precios agregado para bienes de consumo duradero
I
Pn ńdice de precios agregado para bienes de consumo no duradero
I
Ps ńdice de precios agregado para servicios de consumo
I
Pop Poblaciń total en Estados Unidos en millones de personas
o

1. Define una nueva variable, el gasto per c´pita Gpc, como Gpc = G/P op.
a

2. Especifica un primer modelo para la funciń de consumo de gasolina:
o

Gpct = β1 + β2 Yt + β3 P gt + ut (5.12)


3. Estima el modelo (6.3) por M´
ınimos Cuadrados Ordinarios. Comenta los resultados obteni-
dos en t´rminos de bondad de ajuste, significatividad y signos de los coeficientes estimados.
e

e a

a
a

5. Se considera ampliar la especificaciń del modelo (6.3) incluyendo otros ´
o ındices de precios.
Estima las siguientes especificaciones:

MODELO 2 Gpct = β1 + β2 Yt + β3 P gt + β4 P nct + ut

MODELO 3 Gpct = β1 + β2 Yt + β3 P gt + β4 P nct + β5 P uct + ut

MODELO 4 Gpct = β1 + β2 Yt + β3 P gt + β4 P nct + β5 P uct + β6 P dt + ut

a) Muestra en el siguiente cuadro los resultados obtenidos para cada especificaciń.
o
8
Fuente: Greene, W. (2008), Econometrics Analysis, 6th Ed., Prentice-Hall, Tabla F2.2: Source: These data
were compiled by Professor Chris Bell, Department of Economics, University of North Carolina, Asheville. Sources:
www.bea.gov and www.bls.gov.

105

ıa a

Tabla 5.3: Modelos estimados para el Consumo de Gasolina en Estados Unidos
Variable dependiente Gpc
∗
Variables Explicativas Modelo 2 Modelo 3 Modelo 4

Constant ······ ······ ······
( ) ( ) ( )

Y ······ ······ ······
( ) ( ) ( )

Pg ······ ······ ······
( ) ( ) ( )

Pnc ······ ······ ······
( ) ( ) ( )

Puc ······ ······
( ) ( )

Pd ······
( )

Desviaciń t´
σ ······ ······ ······

R2 ······ ······ ······
¯
R2 ······ ······ ······

o ······ ······ ······

(*)Valores entre parńtesis son los estad´
e ısticos t

b) Comenta los resultados mostrados en la Tabla 6.1 en t´rminos de significatividad
e
individual, conjunta, coeficiente de determinaciń y distintos criterios de selecciń de
o o
modelos.
c) ¿Consideras que alguna de las especificaciones es mejor? Razona tus conclusiones.

6. Calcula la matriz de correlaciń entre las variables de precios Pg, Pnc, Puc y Pd. ¿Crees
o
que puede haber algń problema en la estimaciń de los modelos anteriores? Interpreta
u o
los valores de la matriz.

7. Calcula el Factor de Inflaciń de Varianza y el Factor de Tolerancia para los regresores del
o
Modelo 3 y el Modelo 4. Interpreta los resultados.

106


8. ¿Qu´ conclusiones extraes?
e

9. Contrasta al 5 % en el Modelo 3, la hip´tesis nula de que los coeficientes asociados a las va-
o
riables individualmente no significativas no son significativas conjuntamente. ¿Qu´ puedes
e
concluir?

10. Contrasta al 5 % en el Modelo 4, las siguientes restricciones lineales:

a) H0 : β4 = β5
b) H0 : β3 = −β4
c) H0 : β4 = β5 = β6

Ejercicio 2:
Realiza exclusivamente los apartados 1 y 2

Se dispone de un conjunto de observaciones sobre el n´mero total de viviendas de nueva cons-
u
trucciń y sus determinantes para el periodo de 1963 a 19949 . Las variables que se consideran
o
son:

housing No total de viviendas de nueva construcciń (en miles)
o
pop Poblaciń de Estados Unidos (en millones)
o
gdp Producto interior bruto (en billones de $ de 1992)
unemp Tasa de desempleo
intrate Tipo de inter´s sobre la hipoteca de nueva vivienda
e

1. Considera una primera especificaciń (Modelo A) de la demanda de nueva vivienda, donde
o
la variable dependiente es housing y las explicativas son gdp, intrate, adem´s de incluir un
a
t´rmino constante:
e

a) Escribe el modelo te´rico que se ha estimado. Explica qu´ son cada uno de sus ele-
o e
mentos y las hip´tesis b´sicas de partida.
o a
b) Muestra los resultados de la estimaciń de este modelo.
o
c) Interpreta qu´ recoge cada uno de los coeficientes estimados y si te parecen razonables
e
los resultados obtenidos.
d ) Realiza los contrastes de significatividad individual utilizando el valor-p. Explica
qu´ es el valor-p. Razona la respuesta.
e

2. Posteriormente se decide excluir del Modelo A la variable intrate, definimos como Modelo
B al modelo resultante.

a) Obtń los resultados de su estimaciń. ¿Te parecen razonables? Razona tu respuesta.
e o
b) Explica c´mo afectar´ a la fiabilidad de los resultados obtenidos en la estimaciń del
o ıa o
Modelo B el que la variable intrate fuera relevante para explicar el total de nuevas
viviendas construidas.
9
Fichero data4-3a.gdt. Recogido en Ramanathan, R. (2002), Introductory econometrics with applications, 5th.
Ed., South-Western.

107

ıa a

3. Seguidamente se estiman dos especificaciones. Una, en la que en el Modelo B se incluye a
la variable pop y otra con todas las variables disponibles para explicar housing.

a) Indica con Modelo C y Modelo D estas dos ultimas especificaciones y muestra los
´
resultados de la estimaciń de estos dos nuevos modelos.
o
b) Valora los resultados de las cuatro especificaciones (A, B, C y D), utilizando todos
los criterios mostrados, significatividad, coeficientes de determinaciń, criterios de
o
informaciń. ¿Qu´ especificaciń te parece la m´s adecuada? ¿Por qu´? Razona tu
o e o a e
respuesta.
c) ¿Qu´ es el VIF? ¿Qu´ te indica? Calcula este factor para el Modelo D y analiza si en
e e
ese modelo hay evidencia del problema que este factor trata de detectar.
d ) Realiza el contraste de Chow en el Modelo D ¿Qu´ te indica? ¿Hay evidencia de lo
e
que el contraste trata de detectar dados los resultados obtenidos en la realizaciń del
o
contraste?

108

Tema 6

Multicolinealidad

A la hora de estimar un modelo econ´mico, los datos disponibles sobre las variables explicativas
o
o regresores pueden presentar un alto grado de correlaciń, especialmente en un contexto de
o
series temporales y con series macroecon´micas. Por ejemplo, la poblaciń y el PIB en general
o o
suelen estar altamente correlacionados. A este fen´meno se le conoce como multicolinealidad.
o
En algń caso puede que los datos de una variable se obtengan como resultado de una identidad
u
contable o de una combinaciń lineal exacta entre otros regresores. Este ultimo caso se denomina
o ´
de multicolinealidad exacta o perfecta.
Cuando dos o m´s variables explicativas en un modelo estń altamente correlacionadas en la
a a
muestra, es muy dif´ separar el efecto parcial de cada una de estas variables sobre la variable
ıcil
dependiente. La informaciń muestral que incorpora una de estas variables es casi la misma que
o
el resto de las correlacionadas con ella. En el caso extremo de multicolinealidad exacta no es
posible estimar separadamente estos efectos sino una combinaciń lineal de ellos. En este tema
o
analizaremos las implicaciones que tiene en la estimaciń por el m´todo de M´
o e ınimos Cuadrados
Ordinarios este fen´meno muestral.
o

6.1. Multicolinealidad perfecta

Dada la especificaciń del modelo y los datos de las variables, si al menos una de las variables
o
explicativas se puede obtener como combinaciń lineal exacta de alguna o algunas de las
o
restantes, diremos que existe multicolinealidad exacta o perfecta.
Consideremos el siguiente ejemplo. ¿Qu´ ocurrir´ si definimos una nueva variable F 25 que es una
e a
combinaciń lineal exacta de otra variable explicativa en el modelo, F 25 = 5×F 2 y pretendemos
o
estimar los par´metros del siguiente modelo?
a

Pi = β1 + β2 F 2i + β3 BEDRM Si + β4 F 25i + ui i = 1, 2, . . . , N (6.1)

Las variables F 25 y F 2 son combinaciń lineal exacta por lo que el rango de la matriz X es
o
3 = K − 1, menor que el n´mero de par´metros a estimar, ya que la cuarta columna se obtiene
u a
de multiplicar por 5 la segunda columna. El sistema de ecuaciones normales que se obtiene del
criterio de estimaciń del m´todo de M´
o e ınimos Cuadrados Ordinarios ser´ un sistema de cuatro
ıa
ecuaciones pero solamente tres serń linealmente independientes1 .
a
1
La notaciń utilizada es Yi ≡ Pi , X2i ≡ F 2i , X3i ≡ BEDRM Si , X4i ≡ F 25i .
o

109

ıa a

Yi = ˆ ˆ
N β1 + β2 ˆ
X2i + β3 ˆ
X3i + β4 X4i

Yi X2i = ˆ
β1 ˆ
X2i + β2 2 ˆ
X2i + β3 ˆ
X3i X2i + β4 X4i X2i

Yi X3i = ˆ
β1 ˆ
X3i + β2 ˆ
X2i X3i + β3 2 ˆ
X3i + β4 X4i X3i

Yi X4i = ˆ
β1 ˆ
X4i + β2 ˆ
X2i X4i + β3 ˆ
X3i X4i + β4 2
X4i
Si sustituimos en estas ecuaciones la relaciń lineal exacta X4i = 5X2i y reorganizamos, obte-
o
nemos:
Yi = ˆ ˆ ˆ
N β1 + (β2 + 5β4 ) ˆ
X2i + β3 X3i

Yi X2i = ˆ
β1 ˆ ˆ
X2i + (β2 + 5β4 ) 2 ˆ
X2i + β3 X3i X2i

Yi X3i = ˆ
β1 ˆ ˆ
X3i + (β2 + 5β4 ) ˆ
X2i X3i + β3 2
X3i

5[ Yi X2i = ˆ
β1 ˆ ˆ
X2i + (β2 + 5β4 ) 2 ˆ
X2i + β3 X3i X2i ]
Se puede observar que la cuarta ecuaciń es la misma que la segunda excepto por un factor
o
ˆ ˆ ˆ ˆ
de escala igual a 5. Por lo tanto, hay cuatro inc´gnitas β1 , β2 , β3 y β4 pero solamente tres
o
ecuaciones linealmente independientes. Consecuentemente, no es posible estimar de forma unica
´
todos los coeficientes del modelo. Ahora bien, las tres primeras ecuaciones si podemos resolverlas
ˆ ˆ ˆ ˆ
para β1 , β3 y la combinaciń lineal (β2 + 5β4 ). Esto mismo se puede comprobar sustituyendo
o
F 25i = 5 × F 2i en el modelo (6.1).

Pi = β1 + (β2 + 5β4 ) F 2i + β3 BEDRM Si + ui i = 1, 2, . . . , N (6.2)

Vemos que en esta regresiń son estimables de forma separada y unica los coeficientes β1 y β3
o ´
pero no β2 y β4 . El coeficiente que acompaã a F 2i recoger´ la combinaciń lineal β2 + 5β4 .
n ıa o
¿Qu´ hace el programa GRETL si hay multicolinealidad perfecta? Elimina una variable cual-
e
quiera de las que forman parte de esa relaciń exacta, mostrando el siguiente resultado.
o


Omitidas debido a colinealidad exacta: F25

I ESTAD T VALOR P
const 121,179 80,1778 1,511 0,15888
F2 0,148314 0,0212080 6,993 0,00002 ***
BEDRMS -23,9106 24,6419 -0,970 0,35274

Desviaciń t´pica de la var. dependiente. = 88,4982
o ı
o ı
Estad´stico F (2, 11) = 27,7674 (valor p = 5,02e-005)
ı
Log-verosimilitud = -69,5093
Criterio de informaciń de Akaike (AIC) = 145,019
o

110


Criterio de informaciń Bayesiano de Schwarz (BIC) = 146,936
o
Criterio de Hannan-Quinn (HQC) = 144,841

Por lo tanto, avisa de que ha eliminado una variable explicativa de la regresiń, en este caso
o
F 25, y muestra los resultados de la regresiń excluyendo esa variable. De hecho, el coeficiente
o
que acompaã a F2 podr´ considerarse como (β2 + 5β4 ). Este ha sido un ejemplo ilustrativo de
n ıa
las implicaciones que tiene el problema de multicolinealidad perfecta.

6.2. Multicolinealidad de grado alto

En general es dif´ tener en un modelo de regresiń variables explicativas o regresores que
ıcil o
no presenten cierta correlaciń muestral. La multicolinealidad, de no ser perfecta, se puede
o
considerar un problema cuando la correlaciń entre los regresores es tan alto que se hace casi
o
imposible estimar con precisiń los efectos individuales de cada uno de ellos.
o
Si la correlaciń entre la variables explicativas es alta, es comń tener los siguientes s´
o u ıntomas:

• Pequeõs cambios en los datos o en la especificaciń provocan grandes cambios en las
n o
estimaciones de los coeficientes.

• La estimaciones de los coeficientes suelen presentar signos distintos a los esperados y
magnitudes poco razonables.

• El efecto m´s pernicioso de la existencia de un alto grado de multicolinealidad es el de
a
incrementar las varianzas de los coeficientes estimados por MCO. Es decir, es dif´ estimar
ıcil
separadamente los efectos marginales o individuales de cada variable explicativa por lo
que estos se estiman con poca precisiń.2 Como consecuencia, el valor del estad´
o ıstico
para realizar contrastes de significatividad individual tiende a ser pequeõ y aumenta
n
la probabilidad de no rechazar la hip´tesis nula, por lo que se tiende a concluir que las
o
variables no son significativas individualmente. El problema no reside en que los contrastes
no sean correctos estad´ısticamente, sino en que no estimamos con suficiente precisiń estos
o
efectos individuales.

• Se obtienen valores altos del R2 ań cuando los valores de los estad´
u ısticos t de significati-
vidad individual son bajos. El problema reside en la identificaciń del efecto individual de
o
cada variable explicativa, no tanto en su conjunto. Por eso, si se realiza un contraste de sig-
nificatividad conjunta de las variables explicativas, el resultado normalmente ser´ rechazar
a
la hip´tesis nula por lo que conjuntamente son significativas aunque individualmente cada
o
una de ellas no lo sea.

Si se presentan estos s´
ıntomas se puede sospechar que el problema de multicolinealidad est´ afec-
e
tando a nuestros resultados, especialmente a la inferencia sobre los efectos individuales de cada
variable explicativa. De todas formas es importante analizar e interpretar adecuadamente los
resultados obtenidos sin tomar conclusiones precipitadamente.
¿C´mo podemos analizar si existe un problema de multicolinealidad?
o
2
Los estimadores MCO siguen siendo los de menor varianza dentro de la clase de lineales e insesgados si las
hip´tesis b´sicas se satisfacen. Luego no es un problema de p´rdida de eficiencia relativamente a otro estimador
o a e
lineal e insesgado.

111

ıa a

1) Una primera aproximaciń consiste en obtener los coeficientes de correlaciń muestral
o o
simples para cada par de variables explicativas y ver si el grado de correlaciń entre estas
o
variables es alto.
Utilizando el ejemplo de los precios de los pisos (Fichero de muestra del Ramanathan
data4-1 ) con las variables que ya analizamos en temas anteriores,

Pi = β1 + β2 F 2i + β3 BEDRM Si + β4 BAT HSi + ui

obtenemos los siguientes valores de los coeficientes de correlaciń:
o

Coeficientes de correlaciń, usando observaciones 1 - 14
o
ı

P F2 BEDRMS BATHS
1,0000 0,9058 0,3156 0,6696 P
1,0000 0,4647 0,7873 F2
1,0000 0,5323 BEDRMS
1,0000 BATHS

Como podemos observar, todas las variables explicativas presentan cierto grado de corre-
laciń dos a dos, siendo la correlaciń mayor entre F2 y BATH con un coeficiente igual a
o o
0,7873. Excepto por este valor, no parece que los coeficientes de correlaciń simple sean
o
demasiado grandes para sospechar que haya un problema de multicolinealidad. De todas
formas, aunque es condiciń suficiente para que exista este problema que todos estos coefi-
o
cientes fueran altos, lo contrario no necesariamente es cierto. Se puede dar el caso de tener
una relaciń lineal casi perfecta entre tres o m´s variables y sin embargo las correlaciones
o a
simples entre pares de variables no ser mayores que 0, 5.

2) Otra forma de detectar la multicolinealidad consiste en realizar la regresiń de cada
o
una de las variables explicativas sobre el resto3 y analizar los coeficientes de determinaciń
o
de cada regresiń. Si alguno o algunos de estos coeficientes de determinaciń (Rj
o o 2 ) son

altos, estar´ seãlando la posible existencia de un problema de multicolinealidad.
ıa n
Siguiendo con el ejemplo sobre el modelo del precio de la vivienda, esto consistir´ en
ıa
realizar las siguientes regresiones:

Modelo 1: estimaciones MCO utilizando las
14 observaciones 1-14 Variable dependiente: F2

const -657,612 809,640 -0,812 0,43389
BEDRMS 73,9671 254,175 0,291 0,77646
BATHS 975,371 283,195 3,444 0,00548 ***


3
En cada regresiń se incluye el t´rmino constante como regresor pero no como variable dependiente.
o e

112


Variable dependiente: BEDRMS

I ESTAD T VALOR P
const 2,29560 0,700852 3,275 0,00739 ***
F2 0,000103288 0,000354931 0,291 0,77646
BATHS 0,487828 0,459485 1,062 0,31113


Variable dependiente: BATHS

const 0,646527 0,583914 1,107 0,29182
F2 0,000531961 0,000154452 3,444 0,00548 ***
BEDRMS 0,190531 0,179461 1,062 0,31113


Los resultados parecen mostrar que las variaciones muestrales de las variables F 2 y BAT HS
son las m´s explicadas por el resto de variables explicativas, aunque los coeficientes de de-
a
terminaciń de esas dos regresiones no son excesivamente altos; alrededor de un 60 % de
o
la variaciń de F 2 y de BAT HS vienen explicadas por variaciones en el resto de variables
o
explicativas. Si recordamos los resultados obtenidos en el Tema 3, donde al estimar el
modelo 3 una vez que inclu´ ıamos F 2 en la regresiń, obten´
o ıamos que las variables BAT H
y BEDRM S no eran significativas. ¿Puede ser este hecho consecuencia de un problema
de multicolinealidad? ¿Podr´ ıamos tener problemas de multicolinealidad entre las varia-
bles F 2, BAT HS y BEDRM S? Vamos a utilizar algń procedimiento m´s formal para
u a
detectar si existe este problema.

3) Neter et al. (1990) consideran una serie de indicadores para analizar el grado de multico-
linealidad entre los regresores de un modelo, como por ejemplo los llamados Tolerancia
(TOL) y Factor de Inflaciń de la Varianza (VIF) que se definen:
o

1 1
V IFj = T OLj =
2
1 − Rj V IFj

2
siendo Rj el coeficiente de determinaciń de la regresiń auxiliar de la variable Xj sobre
o o
el resto de las variables explicativas y 1 ≤ V IFj ≤ ∞.
ˆ
La varianza de cada uno de los coeficientes de la regresiń MCO (βj ) de un modelo de
o
regresiń lineal general se puede expresar como:
o

ˆ σ2 1 σ2
var(βj ) = 2 = 2 V IFj
N ¯
Xji − Xj 2
1 − Rj
N ¯
Xji − Xj
i=1 i=1

2
donde βj , es el coeficiente que acompaã a la variable Xj y Rj es el coeficiente de deter-
n
minaciń de la regresiń auxiliar de la variable Xj en funciń del resto de las variables
o o o

113

ıa a

explicativas. Como vemos existe una relaciń inmediata entre el valor V IFj y la varianza
o
2
del coeficiente estimado. Cuanto m´s se acerque Rj a la unidad, es decir, cuanto mayor
a
sea la colinealidad de la variable Xj con el resto, mayor es el valor de V IFj y mayor es
la varianza del coeficiente estimado, porque tal y como hemos dicho, la multicolineali-
dad “infla” la varianza. Segń estos autores, si V IFj > 10, entonces concluiremos que la
u
colinealidad de Xj con las dem´s variables es alta.
a
La utilizaciń de los coeficientes T OL y V IF para detectar la presencia de la multicolineali-
o
dad ha recibido m´ltiples cr´
u ıticas, porque la conclusiń obtenida con estos valores no siem-
o
pre recoge adecuadamente la informaciń y problema de los datos. Tal y como hemos visto
o
anteriormente, las varianzas de los estimadores depende del V IFj , σ 2 y ¯ 2
Xji − Xj , por
lo que un alto V IFj no es condiciń suficiente ni necesaria para que dichas varianzas sean
o
elevadas ya que es posible que σ 2 sea peque˜ o o
n ¯ 2
Xji − Xj grande y se compensen.
Los indicadores T OL y V IF se pueden obtener con el programa GRETL de forma muy
sencilla. Siguiendo con el ejemplo de los precios de las viviendas, calcularemos la Inflaciń
o
de la Varianza para analizar la posible presencia de multicolinealidad. Para ello, en la
ventana de la estimaciń por MCO del modelo de inter´s, elegimos la opciń
o e o

Contrastes → Colinealidad

obteniendo la siguiente informaciń:
o

Factores de inflaciń de varianza (VIF)
o

Mńimo valor posible = 1.0
ı
Valores mayores que 10.0 pueden indicar un
problema de colinealidad

2) F2 2,651
3) BEDRMS 1,406
4) BATHS 2,900

VIF(j) = 1/(1 - R(j)^2), donde R(j) es el coeficiente de
correlaciń m´ltiple entre la variable j y las dem´s variables
o u a
independientes

Como podemos observar, segń los valores del V IFj , podr´
u ıamos concluir que no existen
problemas de multicolinealidad.

Aunque no es fćil, se pueden considerar las siguientes “soluciones” para intentar resolver el
a
problema:

• Si realmente es un problema muestral, una posibilidad es cambiar de muestra porque puede
ser que con nuevos datos el problema se resuelva, aunque esto no siempre ocurre. La idea
consiste en conseguir datos menos correlacionados que los anteriores, bien cambiando toda
la muestra o simplemente incorporando m´s datos en la muestra inicial. De todas formas,
a
no siempre resulta fćil obtener mejores datos por lo que muy probablemente debamos
a
convivir con el problema teniendo cuidado con la inferencia realizada y las conclusiones de
la misma.

114


• En ocasiones, si se incorpora informaciń a priori sobre los coeficientes del modelo desapa-
o
rece el problema. Ań as´ ser´ conveniente tener en cuenta dicha informaciń antes de la
u ı, ıa o
detecciń del problema de multicolinealidad y no posteriormente, ya que as´ estimaremos
o ı
el modelo m´s eficientemente.
a

• Quitar del modelo alguna de las variables colineales. Es una medida que puede provocar
otro tipo de problemas, ya que si la variable que eliminamos del modelo realmente s´ esı
significativa, estaremos omitiendo una variable relevante. Por consiguiente, los estimadores
de los coeficientes del modelo y de su varianza ser´ sesgados por lo que la inferencia
ıan
realizada no ser´ v´lida.
ıa a

• Existen otros m´todos de estimaciń sugeridos en la literatura econom´trica que mejorar´
e o e ıan
la estimaciń en t´rminos de eficiencia o precisiń, pero los estimadores as´ obtenidos ser´
o e o ı ıan
sesgados. Explicar estos m´todos no entran dentro de los objetivos de este curso.
e

115

ıa a


Ejercicio 1:
Se dispone de una base de datos anuales sobre las tasas de mortalidad por enfermedades coro-
ıodo de 1947 a 1980 en U.S.4 .
narias y sus determinantes para el per´

chd Tasa de mortalidad por cada 100.000 individuos de
poblaciń (Rango 321,2 - 375,4)
o
cal Consumo, per c´pita, de calcio diario en gramos (Ran
a
go 0,9 - 1,06)
unemp Tanto por ciento de fuerza de mano de obra desemplea-
da en miles de personas mayores de 16 a~os
n
(Rango 2,9 - 8,5)
cigs Consumo de cigarrillos, per c´pita, en libras de ta-
a
baco, por persona mayor de 18 a~os. Aproximadamente
n
339 cigarrillos por libra de tabaco
(Rango 6,75 - 10,46)
edfat Ingestiń de comestibles grasos y aceites, per c´pita,
o a
incluyendo manteca, margarina y mantequilla (Rango 42
- 56,5)
meat Ingestiń de carne en libras, incluyendo carne de vaca,
o
ternera, cordero y oveja (Rango 138 - 194,8)
spirits Consumo per c´pita de licores destilados, en galones
a
fiscales, para mayores de 18 a~os (Rango 1 - 2,9)
n
beer Consumo per c´pita de licor de malta en galones
a
fiscales para mayores 18 a~os (Rango 15,04 - 34,9)
n
wine Consumo per c´pita de vino, en galones fiscales, en
a
mayores de 18 a~os (Rango 0,77 - 2,65)
n

1. Especifica un modelo que explique la tasa de mortalidad por enfermedades coronarias en
el periodo 1947-1980.


3. Estima el modelo por M´
ınimos Cuadrados Ordinarios. Interpreta los par´metros estimados.
a

4. Comenta los resultados obtenidos de la estimaciń en t´rminos de bondad de ajuste, sig-
o e
nificatividad y signos de los coeficientes estimados. Razona si te parecen adecuados los
resultados.

5. Calcula la matriz de correlaciń entre las variables y comenta lo obtenido. ¿Crees que
o
puede haber algń problema?
u

a) Calcula el Factor de Inflaciń de Varianza y el Factor de Tolerancia para los regresores.
o
Interpreta los resultados.
b) ¿Conoces otra forma de detectar la multicolinealidad? Apl´
ıcala.
c) ¿Qu´ conclusiones extraes?
e
4
Fichero de datos: data4-7.gdt. Recogido en Ramanathan, R. (2002), Introductory econometrics with applica-
tions, 5th. Ed., South-Western.

116


6. Realiza un contraste de significatividad conjunta de aquellas variables que sean individual-
mente no significativas.

Ejercicio 2:
Se dispone de una base de datos anuales sobre el consumo real y sus determinantes para el
ıodo de 1959 a 1994 en U.S. 5 . Las variables que se consideran son:
per´

Ct Consumo real en billones de d´lares de 1992,
o
(Rango 1393,6-4471,1)
Yt Producto interior bruto en billones de d´lares de
o
1992 (Rango 2212,3 - 6604,2)
WAGES Salarios en billones de d´lares corrientes
o
(Rango 281,2 - 4008,3)
PRDEFL Deflactor implćito de los precios para el gasto
ı
en consumo, 1992 = 100, (Rango 22,8 - 105,1)

1. ¿Qu´ quiere decir: “Deflactor impl´
e ıcito de los precios para el gasto en consumo, 1992=100”?
2. Crea las siguientes variables:
100×W AGES
a) Salario en t´rminos reales, W =
e P RDEF L .
b) Beneficios y otras rentas del capital, P = Y − W .
3. ¿Qu´ quiere decir que las variables estń medidas en t´rminos reales?
e a e
4. Especifica un modelo para la evoluciń del consumo en funciń del salario real y los bene-
o o
ficios y otras rentas del capital, para el periodo de 1959-1994.
ınimos Cuadrados Ordinarios. Interpreta los coeficientes estimados
que acompaãn a las variables explicativas.
n
o e
resultados.
8. Calcula y comenta la matriz de correlaciń entre las variables. ¿Crees que puede haber
o
algń problema?
u
o
ıcala.
e

Ejercicio 3:
Se dispone de una base de datos anuales sobre ´ ındices de producciń y factores de producciń
o o
agr´ ıodo de 1948 a 1993 en U.S. 6 . Las variables que
ıcolas y ganaderos con base 1982, para el per´
se consideran son
5
Fichero de datos: data4-2.gdt. Recogido en Ramanathan, R. (2002), Introductory econometrics with applica-
tions, 5th. Ed., South-Western.
6
Fichero de datos: data9-5.gdt. Fuente: Economic report of the President, 1996, Tablas B-95 y B-96, recogidas
en Ramanathan, R. (2002), Introductory econometrics with applications, 5th. Ed., South-Western.

117

ıa a

year 1948-1993 (n=46)
output Producciń agrćola y ganadera
o ı
labor Factor trabajo
land Tama~o de la explotaciń
n o
machines Gasto en equipamiento
energy Energá utilizada
ı
fert Gasto en fertilizantes qu´micos
ı
seedfeed Gasto en semillas, forrajes y compra de ganado
others Otros gastos

1. ¿Qu´ quiere decir que los ´
e ındices tienen la base en el aõ 1982? Si la base no fuese la
n
misma para todos los ´ ındices ¿tendr´ sentido el an´lisis?, ¿por qu´?, ¿qu´ tendr´ que
ıa a e e ıas
hacer para solucionar tu problema?

2. Especifica un modelo doblemente logar´ ıtmico en el que relaciones el logaritmo de la pro-
ducciń con el logaritmo de todos los inputs, para analizar si los factores de producciń
o o
tenidos en cuenta son utiles para explicar o no la producciń agr´
´ o ıcola-ganadera en U.S. en
el per´
ıodo de 1948 a 1993.


4. Estima el modelo por M´ınimos Cuadrados Ordinarios. Interpreta los par´metros que acom-
a
paãn al factor trabajo y al factor tamaõ de la explotaciń.
n n o

o e
resultados.

6. Calcula la matriz de correlaciń entre las variables y comenta lo obtenido. ¿Crees que
o
puede haber algń problema?
u

o
ıcala.
e

7. Realiza un contraste de significatividad conjunta de aquellas variables que sean individual-
mente no significativas.

118


Ejercicio 5:
Para la realizaciń de este ejercicio utiliza el archivo greene 7-8.gdt de muestra en gretl7 El
o
archivo contiene datos de serie temporal para los aõs 1953 a 2004 de las siguientes variables
n
sobre el mercado de la gasolina en Estados Unidos:

G Consumo total de gasolina en Estados Unidos. Se ob-
tiene de dividir el gasto en gasolina entre el ńdi-
ı
ce de precios al consumo
Pg Indice de precios para la gasolina
Y Renta disponible per capita
Pnc Indice de precios para coches nuevos
Puc Indice de precios para coches usados
Ppt Indice de precios para transporte p´blico
u
Pd Indice de precios agregado para bienes de consumo
duradero
Pn Indice de precios agregado para bienes de consumo
no duradero
Ps Indice de precios agregado para servicios de consumo
Pop Poblaciń total en EE.UU en millones de personas
o

1. Define una nueva variable, el gasto per c´pita Gpc, como Gpc = G/P op.
a

2. Especifica un primer modelo para la funciń de consumo de gasolina:
o

Gpct = β1 + β2 Yt + β3 P gt + ut (6.3)


3. Estima el modelo (6.3) por M´
ınimos Cuadrados Ordinarios. Comenta los resultados obteni-
dos en t´rminos de bondad de ajuste, significatividad y signos de los coeficientes estimados.
e

e a

a
a

5. Se considera ampliar la especificaciń del modelo (6.3) incluyendo otros ´
o ındices de precios.
Estima las siguientes especificaciones:

MODELO 2 Gpct = β1 + β2 Yt + β3 P gt + β4 P nct + ut

MODELO 3 Gpct = β1 + β2 Yt + β3 P gt + β4 P nct + β5 P uct + ut

MODELO 4 Gpct = β1 + β2 Yt + β3 P gt + β4 P nct + β5 P uct + β6 P dt + ut

7
Fuente: Greene, W. (2008), Econometrics Analysis, 6th Ed., Prentice-Hall, Tabla F2.2: Source: These data
were compiled by Professor Chris Bell, Department of Economics, University of North Carolina, Asheville. Sources:
www.bea.gov and www.bls.gov.

119

ıa a

a) Muestra en el siguiente cuadro los resultados obtenidos para cada especificaciń.
o

Tabla 6.1: Modelos estimados para el Consumo de Gasolina en Estados Unidos
Variable dependiente Gpc
∗
Variables Explicativas Modelo 2 Modelo 3 Modelo 4

Constant ······ ······ ······
( ) ( ) ( )

Y ······ ······ ······
( ) ( ) ( )

Pg ······ ······ ······
( ) ( ) ( )

Pnc ······ ······ ······
( ) ( ) ( )

Puc ······ ······
( ) ( )

Pd ······
( )

Desviaciń t´
σ ······ ······ ······

R2 ······ ······ ······
¯
R2 ······ ······ ······

o ······ ······ ······

(*)Valores entre parńtesis son los estad´
e ısticos t

b) Comenta los resultados mostrados en la Tabla 6.1 en t´rminos de significatividad
e
individual, conjunta, coeficiente de determinaciń y distintos criterios de selecciń de
o o
modelos.
c) ¿Consideras que alguna de las especificaciones es mejor? Razona tus conclusiones.

6. Calcula la matriz de correlaciń entre las variables de precios Pg, Pnc, Puc y Pd. ¿Crees
o
que puede haber algń problema en la estimaciń de los modelos anteriores? Interpreta
u o
los valores de la matriz.

7. Calcula el Factor de Inflaciń de Varianza y el Factor de Tolerancia para los regresores del
o
Modelo 3 y el Modelo 4. Interpreta los resultados.

120


8. ¿Qu´ conclusiones extraes?
e

9. Contrasta al 5 % en el Modelo 3, la hip´tesis nula de que los coeficientes asociados a las va-
o
riables individualmente no significativas no son significativas conjuntamente. ¿Qu´ puedes
e
concluir?

10. Contrasta al 5 % en el Modelo 4, las siguientes restricciones lineales:

a) H0 : β4 = β5
b) H0 : β3 = −β4
c) H0 : β4 = β5 = β6

121

ıa a

122

Tema 7

Variables Cualitativas

o

A lo largo del curso unicamente se han especificado modelos con variables de naturaleza cuan-
´
titativa, es decir, aqu´llas que toman valores num´ricos. Sin embargo, las variables tambiń
e e e
pueden ser cualitativas, es decir, pueden tomar valores no num´ricos como categor´ clases o
e ıas,
atributos. Por ejemplo, son variables cualitativas el gńero de las personas, el estado civil, la
e
raza, el pertenecer a diferentes zonas geogr´ficas, momentos hist´ricos, estaciones del aõ, etc.
a o n
De esta forma, el salario de los trabajadores puede depender del gńero de los mismos; la tasa
e
de criminalidad puede venir determinada por la zona geogr´fica de residencia de los individuos;
a
el PIB de los pa´ puede estar influenciado por determinados acontecimientos hist´ricos como
ıses o
las guerras; las ventas de un determinado producto pueden ser significativamente distintas en
funciń de la ´poca del aõ, etc.
o e n
En este tema, aunque seguimos manteniendo que la variable dependiente es cuantitativa, vamos
a considerar que ´sta puede venir explicada por variables cualitativas y/o cuantitativas.
e

Dado que las categor´ de las variables no son directamente cuantificables, las vamos a cuan-
ıas
tificar construyendo unas variables artificiales llamadas ficticias, binarias o dummies, que son
num´ricas. Estas variables toman arbitrariamente el valor 1 si la categor´ est´ presente en el
e ıa a
individuo y 0 en caso contrario1.

1 si la categor´ est´ presente
ıa a
Di =
0 en caso contrario

En este tema estudiamos la estimaciń, interpretaciń de los coeficientes y contrastes de hip´tesis
o o o
en modelos con presencia de variables cualitativas como regresores.

7.2. Modelo con una variable cualitativa

Consideremos el caso m´s sencillo, una variable cualitativa como unico regresor del modelo.
a ´
Vamos a suponer que queremos explicar el precio de la vivienda basńdonos unicamente en si
a ´
1
Las variables ficticias pueden tomar dos valores cualesquiera, sin embargo, la interpretaciń de los coeficientes
o
es m´s sencilla si se consideran los valores 0 y 1.
a

123

ıa a

la vivienda tiene piscina o no2 . Para ello, definimos la siguiente variable ficticia:

1 si la vivienda i-´sima tiene piscina
e
P OOLi =
0 en caso contrario

Abrimos el fichero de datos data7-3 de Ramanathan (2002), que contiene datos para 14 viviendas
sobre el precio de venta de la vivienda (PRICE), pies cuadrados habitables (SQFT), n´mero u
de habitaciones (BEDRMS) y n´mero de baõs (BATHS), utilizados en cap´
u n ıtulos anteriores y
aãde una variable ficticia que toma el valor 1 si la vivienda tiene piscina y 0 en caso contrario
n
(POOL), una variable ficticia que toma el valor 1 si la vivienda tiene sala de estar y 0 en caso
contrario (FAMROOM) y una variable ficticia que toma el valor 1 si la vivienda tiene chimenea
y 0 en caso contrario (FIREPL). Seleccionamos las variables PRICE y POOL y observamos los
valores de estas dos variables:

Obs price pool

1 199,9 1
2 228,0 0
3 235,0 1
4 285,0 0
5 239,0 0
6 293,0 0
7 285,0 0
8 365,0 1
9 295,0 0
10 290,0 0
11 385,0 1
12 505,0 1
13 425,0 0
14 415,0 0

Por ejemplo, la primera vivienda de la muestra tiene un precio de 199.900 d´lares y tiene piscina
o
(ya que la variable POOL toma el valor 1), mientras que la segunda no tiene piscina (la variable
POOL toma el valor 0) y su precio de venta es de 228.000 d´lares, etc.
o

Con los datos anteriores podemos obtener fćilmente que el precio medio de la vivienda es
a
317.493 d´lares:
o

Estad´
ısticos principales, usando las observaciones 1 - 14
para la variable price (14 observaciones v´lidas)
a
Media Mediana M´
ınimo M´ximo
a
317, 49 291, 50 199, 90 505, 00

Desv. T´
ıp. C.V. Asimetr´
ıa Exc. de curtosis
88, 498 0, 27874 0, 65346 −0, 52983
2
Por simplicidad vamos a ignorar el efecto del resto de variables que afectan al precio de la vivienda.

124


Sin embargo, tambiń es posible obtener el precio medio para las viviendas que tienen piscina,
e
por un lado, y para las que no la tienen, por otro. Para ello, en primer, lugar se selecciona el precio
para aquellas viviendas con piscina. Para ello, seleccionamos la variable PRICE, pinchamos en
Muestra → Definir a partir de v. ficticia..., seleccionamos la variable POOL y aceptamos. De esta
forma hemos seleccionado el precio para aquellas viviendas que tienen piscina3 . A continuaciń, o
se obtienen los estad´ısticos principales:

Estad´
a
Media Mediana M´
ınimo M´ximo
a
337, 98 365, 00 199, 90 505, 00

Desv. T´
ıp. C.V. Asimetr´
122, 99 0, 36390 0, 15896 −1, 2798

Para seleccionar el precio de las viviendas que no tienen piscina, pinchamos en Muestra → Res-
tringir a partir de criterio, introducimos la condiciń P OOL = 0 y aceptamos. Los estad´
o ısticos
principales son los siguientes:

Estad´
a
Media Mediana M´
ınimo M´ximo
a
306, 11 290, 00 228, 00 425, 00

Desv. T´
ıp. C.V. Asimetr´
68, 959 0, 225275 0, 87575 −0, 52255

Por tanto, el precio medio de las viviendas con piscina es de 337.980 d´lares frente a los 306.110
o
de las viviendas sin piscina. Dado el modelo una vivienda con piscina es en promedio 31.869
d´lares m´s cara que la que no tiene piscina. Notar que no se estń teniendo en cuenta otros
o a a
factores que pueden afectar al precio de la vivienda (n´mero de pies cuadrados habitables,
u
n´mero de habitaciones, etc.).
u

El sencillo an´lisis anterior podemos realizarlo mediante un an´lisis de regresiń. Podemos es-
a a o
pecificar un modelo econom´trico utilizando la variable ficticia POOL como regresor, estimarlo,
e
hacer inferencia e ir incorporando otras caracter´ısticas que pueden afectar a los precios de las
viviendas. Para comenzar, consideramos el siguiente modelo de regresiń lineal simple:
o

P RICEi = α1 + α2 P OOLi + ui i = 1, . . . , 14 (7.1)

Interpretaciń y estimaciń de los coeficientes
o o
En nuestro ejemplo, la funciń de regresiń poblacional var´ en funciń de si la vivienda tiene
o o ıa o
piscina o no:
3
Para restablecer el tama˜ o muestral inicial pinchar en Muestra → Recuperar el rango completo.
n

125

ıa a

• E(P RICEi |i es una vivienda con piscina) = α1 + α2 , puesto que la variable POOL toma
el valor 1 y E(ui ) = 0.

• E(P RICEi |i es una vivienda sin piscina) = α1 , puesto que la variable POOL toma el
valor 0 y E(ui ) = 0.

Por tanto, los coeficientes se interpretan como sigue:

• α1 : precio medio de una vivienda sin piscina.

• α1 + α2 : precio medio de una vivienda con piscina.

• α2 : diferencia en el precio medio de una vivienda con piscina con respecto a una que no la
tiene.

Utilizando las ecuaciones normales que derivamos en el Tema 2 para estimar el modelo de
regresiń simple y teniendo en cuenta que al ser POOL una variable ficticia que toma valores 0
o
y 1 coincide con su cuadrado, obtenemos que los estimadores de los coeficientes del modelo (7.1)
se pueden calcular a partir de simples medias muestrales4 :

• α1 = P RICE nopool = 306,111
ˆ ⇒ precio estimado medio de las viviendas sin piscina.

• α2 = P RICE pool − P RICE nopool = 337,980 − 306,111 = 31,869
ˆ ⇒ diferencia estimada
en el precio medio de las viviendas con piscina con respecto a las que no la tienen.

En efecto, si estimamos el modelo por M´ınimos Cuadrados Ordinarios utilizando Gretl obtenemos
que las estimaciones de los coeficientes son las siguientes:

Modelo (7.1): estimaciones MCO utilizando las 14 observaciones 1–14
Variable dependiente: price

ıpica Estad´
ıstico t valor p
const 306,111 30,2077 10,1335 0,0000
pool 31,8689 50,5471 0,6305 0,5402

Desviaciń t´
σ 90,6231
R 2 0,0320632
¯
R2 corregido −0,0485982
o 167,760
o 169,038

4
P RICE pool es la media muestral del precio de las viviendas con piscina, de igual forma P RICE nopool es la
media muestral del precio de las viviendas sin piscina.

126


Que coinciden con las calculadas utilizando los valores obtenidos en ambas submuestras mediante
los Estad´
ısticos Principales:

P RICE i = 306, 111 + 31, 869P OOLi i = 1, . . . , 14
(estad. t) (10,13) (0,63)

El modelo (7.1) no es la unica especificaciń correcta posible para explicar las variaciones del
´ o
precio de la vivienda en funciń de si tiene piscina o no. Al igual que hemos definido la variable
o
ficticia POOL, podemos crear la variable NOPOOL, tomando el valor 1 si la vivienda no tiene
piscina y 0 en caso contrario. Con esta nueva variable podemos especificar los dos modelos
siguientes:
P RICEi = γ1 + γ2 N OP OOLi + ui i = 1, . . . , 14 (7.2)

P RICEi = β1 P OOLi + β2 N OP OOLi + ui i = 1, . . . , 14 (7.3)

La interpretaciń de los coeficientes se har´ de forma an´loga a como hemos visto para el
o ıa a
modelo (7.1). Notar que la equivalencia entre los coeficientes de los distintos modelos (7.1), (7.2)
y (7.3) es la siguiente:

• E(P RICEi |i es una vivienda con piscina) = α1 + α2 = γ1 = β1

• E(P RICEi |i es una vivienda sin piscina) = α1 = γ1 + γ2 = β2

Una especificaciń que no ser´ adecuada es la siguiente:
o ıa

P RICEi = α + β1 P OOLi + β2 N OP OOLi + ui i = 1, . . . , 14

ya que si analizamos la matriz de datos X para este modelo observamos que la suma de la segunda
y tercera columnas es igual a la primera y tendr´ıamos un problema de multicolinealidad exacta,
por lo que la matriz X X no ser´ invertible. En estas circunstancias no se podr´ obtener una
ıa ıa
unica soluciń para α, β
´ o ˆ ˆ1 y β2 del sistema de ecuaciones normales.
ˆ

 
1 1 0
 1 0 1 
 
 1 1 0 
 
 1 0 1 
 
 1 0 1 
 
 1 0 1 
 
 
 1 0 1 
X= 
 1 1 0 
 
 1 0 1 
 
 1 0 1 
 
 1 1 0 
 
 1 1 0 
 
 1 0 1 
1 0 1

127

ıa a

Contraste de hip´tesis
o
Los contrastes de hip´tesis se realizan con la metodolog´ estudiada en los cap´
o ıa ıtulos previos. Por
ejemplo, si quisi´ramos contrastar en el modelo (7.1) si hay diferencias significativas en el precio
e
medio de la vivienda entre aqu´llas que tienen piscina y las que no, la hip´tesis de contraste es
e o
H0 : α2 = 0.5 Este contraste se puede realizar utilizando el estad´ ıstico t habitual cuyo valor-p es
0,5402, por lo que no se rechaza la hip´tesis nula para un nivel de significaciń del 5 %, es decir,
o o
el precio medio de la vivienda no es significativamente diferente por el hecho de tener piscina.
Alternativamente, se puede realizar el contraste utilizando el estad´ ıstico F basado en las sumas
de cuadrados de los residuos siendo en este caso el modelo (7.1) el modelo no restringido mientras
que el modelo restringido es P RICEi = α1 + ui i = 1, . . . , 14.

7.2.1. Incorporaciń de variables cuantitativas
o

En el modelo (7.1) el unico regresor para explicar el precio de la vivienda es una caracter´
´ ıstica
cualitativa, el hecho de tener o no piscina sin embargo, en un modelo pueden convivir variables
cualitativas y cuantitativas. Vamos a comenzar aãdiendo un regresor cuantitativo, la variable
n
SQFT (n´mero de pies cuadrados habitables de la vivienda) y manteniendo la variable ficticia
u
POOL afectando a la ordenada.

Cambio en la ordenada

Suponer que el precio de la vivienda unicamente depende de si tiene piscina o no es poco realista,
´
por lo que aãdimos como regresor a la variable cuantitativa SQFT (n´mero de pies cuadrados
n u
habitables de la vivienda) de la siguiente manera:
P RICEi = α1 + α2 P OOLi + β SQF Ti + ui i = 1, . . . , 14 (7.4)

Estimaciń e interpretaciń de los coeficientes:
o o
La funciń de regresiń poblacional se puede expresar como:
o o

• E(P RICEi |i es una vivienda con piscina) = α1 + α2 + β SQF Ti
• E(P RICEi |i es una vivienda sin piscina) = α1 + β SQF Ti

Por tanto podemos interpretar α1 como el precio esperado de una vivienda sin piscina y cero
pies cuadrados, α2 como el diferencial en el precio esperado en una vivienda por el hecho de
tener piscina, manteniendo el n´mero de pies cuadrados habitables constante. A igual n´mero
u u
de pies cuadrados habitables el hecho de tener piscina se puede considerar una mejora en la
vivienda por lo que ser´ preferida, as´ tener piscina es una caracter´
ıa ı ıstica que sube el precio de
la vivienda y esperar´
ıamos que α2 tuviese signo positivo. Finalmente interpretamos β como la
variaciń en el precio esperado de una vivienda por incrementar su superficie en un pie cua-
o
drado. Esperar´ıamos signo positivo, a mayor superficie mayor precio esperado para la vivienda.
Gr´ficamente, obtenemos dos rectas con igual pendiente, β, y distinta ordenada como podemos
a
observar en el Gr´fico 7.1:
a

5
Equivalentemente, H0 : γ2 = 0 ´ H0 : β1 = β2 para los modelos (7.2) y (7.3), respectivamente.
o

128


price
α1 + α2 + βsqf t

α1 + βsqf t
α1 + α2

α1

sqf t

Gr´fico 7.1: Cambio en ordenada
a

El resultado de la estimaciń del modelo (7.4) por M´
o ınimos Cuadrados Ordinarios es:


ıpica Estad´
ıstico t valor p
const 22,6728 29,5058 0,7684 0,4584
pool 52,7898 16,4817 3,2029 0,0084
sqft 0,144415 0,0141849 10,1809 0,0000

Desviaciń t´
σ 29,3186
R 2 0,907132
¯
F (2, 11) 53,7238
o 136,944
o 138,861

El modelo estimado es:

P RICE i = 22, 673 + 52, 790P OOLi + 0,144 SQF Ti
(estad. t) (0,768) (3,203) (10,181)

donde se puede observar que ambos regresores son significativos para explicar el precio medio
de la vivienda y tienen los signos adecuados6 . Por tanto, existen diferencias significativas en el
precio medio de la vivienda que tiene piscina con respecto a la que no la tiene.
Los coeficientes estimados se interpretan como sigue:

• α1 = 22, 673 ⇒ el precio medio estimado de las viviendas sin piscina y con cero pies
ˆ
cuadrados habitables es 22.673 d´lares.
o
6
El valor de los estad´
ısticos t para los coeficientes de ambos regresores es superior al valor cr´
ıtico de una
distribuciń t de Student de N − K = 14 − 3 = 11 grados de libertad para un nivel de significaciń del 5 %, que
o o
es 2,201.

129

ıa a

• α2 = 52, 790 ⇒ se estima que entre dos viviendas con el mismo n´mero de pies cuadrados
ˆ u
habitables el precio medio de una con piscina es 52.790 d´lares m´s caro que el de una sin
o a
piscina.
ˆ
• β = 0, 144 ⇒ el precio medio estimado de una vivienda se incrementa en 144 d´lares al
o
aumentar en un pie cuadrado habitable la vivienda.

Cambio en la ordenada y en la pendiente

Tambiń es posible pensar que la variaciń en el precio de las viviendas ante el incremento
e o
en un pie cuadrado habitable sea diferente para aqu´llas que tienen piscina. En este caso se
e
especifica el siguiente modelo, donde la variable ficticia POOL afecta tanto a la ordenada como
a la pendiente de la recta:

P RICEi = α1 + α2 P OOLi + β1 SQF Ti + β2 P OOL · SQF Ti + ui i = 1, . . . , 14 (7.5)

La interacciń P OOL · SQF T mide el n´mero de pies cuadrados habitables para las viviendas
o u
que tienen piscina, mientras que toma el valor 0 para las que no la tienen.

Estimaciń e interpretaciń de los coeficientes:
o o
Una vez definida la interacciń P OOL · SQF T en Gretl, estimamos el modelo (7.5):
o

ıpica Estad´ıstico t valor p
const 77,1332 25,6379 3,0086 0,0131
pool −82,648 39,7759 −2,0779 0,0644
sqft 0,116667 0,0125934 9,2641 0,0000
pool· sqft 0,0722955 0,0203274 3,5566 0,0052

Desviaciń t´
σ 20,4321
R 2 0,958997
¯
F (3, 10) 77,9615
o 127,499
o 130,055

La funciń de regresiń poblacional se puede expresar como:
o o

• E(P RICEi |i es una vivienda con piscina) = α1 + α2 + (β1 + β2 )SQF Ti

• E(P RICEi |i es una vivienda sin piscina) = α1 + β1 SQF Ti

El par´metro poblacional α1 se interpreta como el precio esperado de una vivienda sin piscina y
a
con cero pies cuadrados habitables. α2 mide el diferencial en el precio esperado de una vivienda

130


con cero pies cuadrados habitables por el hecho de tener piscina. Esperar´ ıamos que ambos
coeficientes tuviesen signo positivo por las razones argumentadas anteriormente.
β1 se interpreta como la variaciń en el precio esperado de una vivienda sin piscina por in-
o
crementar su superficie en un pie cuadrado habitable mientras que β2 mide el diferencial en
la variaciń en el precio esperado de una vivienda ante un incremento de su superficie en un
o
pie cuadrado por el hecho de tener piscina. Esperar´ıamos que ambos coeficientes tuviesen signo
positivo, a mayor superficie de la vivienda mayor precio esperado. Si adem´s la vivienda tiene
a
piscina el cambio en el precio esperado por pie cuadrado m´s de superficie ser´ mayor ya que la
a a
posesiń de piscina es una mejora.
o
La representaciń gr´fica corresponde a dos rectas que var´ tanto en el punto de corte con el
o a ıan
eje de ordenadas como en la pendiente:

price
α1 + α2 + (β1 + β2 )sqf t

α1 + β1 sqf t

α1 + α2
α1

sqf t
Gr´fico 7.2: Cambio en ordenada y en pendiente
a

Interpretaciń de los coeficientes estimados:
o

• α1 = 77, 133 ⇒ el precio medio estimado de las viviendas que no tienen piscina y con cero
ˆ
pies cuadrados habitables es 77.133 d´lares.
o

• α2 = −82, 648 ⇒ entre dos viviendas con 0 pies cuadrados habitables el precio medio
ˆ
estimado de una con piscina es 82.648 d´lares m´s barato que el de una sin piscina.
o a
ˆ
• β1 = 0, 117 ⇒ al incrementar en un pie cuadrado la superficie habitable, el precio medio
estimado de una vivienda sin piscina aumenta en 117 d´lares.
o
ˆ
• β2 = 0, 072 ⇒ al incrementar en un pie cuadrado la superficie habitable, el precio medio
estimado de una vivienda con piscina aumenta en 72 d´lares.
o

o

La hip´tesis nula para contrastar si tener piscina influye significativamente en el precio medio
o
de las viviendas es H0 : α2 = β2 = 0. El resultado del contraste es:

131

ıa a

Contraste de omisiń de variables –
o
Hip´tesis nula: los par´metros son cero para las variables
o a
pool
poolsqft
Estad´
ıstico de contraste: F (2, 10) = 16,886
con valor p = P (F (2, 10) > 16,886) = 0,000622329

por lo que se rechaza la hip´tesis nula para un nivel de significaciń del 5 % y por lo tanto tener
o o
piscina es una variable significativa para explicar el precio de las viviendas.
Tambiń se puede contrastar mediante un contraste de significatividad individual si el incremento
e
en un pie cuadrado de superficie afecta al precio de manera diferente segń la vivienda tenga
u
o no piscina, para ello podemos contrastar H0 : β2 = 0. Como vemos en los resultados de
la estimaciń del modelo este coeficiente es significativo, como esper´bamos la influencia de
o a
la superficie habitable de una vivienda en su precio var´ si la vivienda tiene piscina o no.
ıa
Por otro lado, α2 no tiene el signo esperado y a su vez no es significativo a nivel individual,
ˆ
aparentemente el hecho de incluir la variable ficticia en la pendiente ha restado significatividad
a la discriminaciń en la ordenada.
o

7.3. Modelo con dos o m´s variables cualitativas
a

Al igual que ocurr´ con los regresores cuantitativos sobre una variable end´gena pueden influir
ıa o
m´s de una variable cualitativa. Por ejemplo en el precio de una vivienda podr´ influir no s´lo
a ıa o
el hecho de tener o no piscina, su superficie habitable, el n´mero de habitaciones, el n´mero de
u u
baõs, si no tambiń si tiene o no chimenea, si tiene o no ascensor o la zona de la ciudad donde
n e
est´ situada.
e

7.3.1. Varias categor´
ıas

Supongamos que creemos que la zona de la ciudad donde est´ situada la vivienda es un de-
e
terminante de su precio. Pensemos por ejemplo en precios de viviendas situadas en una gran
ciudad en la que podemos distinguir como zonas a la zona centro, zona norte, zona sur, zona
este y zona oeste. En general el centro de las ciudades es una zona valorada por ser el centro
neur´lgico econ´mico-comercial y el resto de zonas se valorar´ en funciń del tipo de viviendas
a o a o
que recoja y sus comunicaciones, por ejemplo en una ciudad como Madrid esperar´ ıamos mayor
precio en el centro, norte y oeste que en el sur o en el este que agrupan a barrios, en general, con
menor nivel econ´mico y peor comunicados. Para el ejemplo necesitamos definir cinco variables
o
ficticias una para cada zona ya que la situaciń geogr´fica de la vivienda la hemos dividido en
o a
cinco categor´ıas7.

Definimos las siguiente variables:

1 si la vivienda i-´sima est´ situada en la zona centro
e a
D1i =
0 en caso contrario
1 si la vivienda i-´sima est´ situada en la zona norte
e a
D2i =
0 en caso contrario
7
En el ejemplo anterior la vivienda ten´ o no piscina, solo hab´ dos casos posibles y por tanto s´lo hab´ dos
ıa ıa o ıa
categor´
ıas.

132


1 si la vivienda i-´sima est´ situada en la zona sur
e a
D3i =
0 en caso contrario
1 si la vivienda i-´sima est´ situada en la zona este
e a
D4i =
0 en caso contrario
1 si la vivienda i-´sima est´ situada en la zona oeste
e a
D5i =
0 en caso contrario

Si adem´s de la situaciń geogr´fica de la vivienda creemos que la superficie habitable influye
a o a
en su precio podemos definir, por ejemplo, el siguiente modelo:

P RICEi = α1 D1i + α2 D2i + α3 D3i + α4 D4i + α5 D5i + β SQF Ti + ui
i = 1, . . . , N (7.6)

Donde β se interpreta de la forma habitual y α1 se interpreta como el precio esperado de una vi-
vienda con cero pies cuadrados situada en la zona centro, as´ αi i = 1, . . . , 5 se interpretan como
ı
el precio esperado de una vivienda con cero pies cuadrados situadas en la zona correspondiente,
centro, norte, sur, este u oeste.
En la especificaciń (7.6) se ha optado por no incluir t´rmino independiente en el modelo e incluir
o e
las cinco variables ficticias para no incurrir en un problema de multicolinealidad exacta como se
expuso en el punto anterior pero, podr´ ıamos especificar un modelo con t´rmino independiente
e
siempre y cuando dejemos fuera una de las variables ficticias o categor´ para no tener dicho
ıas
problema. Por ejemplo una especificaciń alternativa ser´
o ıa:

P RICEi = α + α2 D2i + α3 D3i + α4 D4i + α5 D5i + β SQF Ti + ui
i = 1, . . . , N (7.7)

En el modelo anterior la interpretaciń del par´metro poblacional β no var´ α se interpreta
o a ıa,
como el precio esperado de una vivienda con cero pies cuadrados situada en la zona centro,
αi i = 2, . . . , 5 se interpretan como el diferencial en el precio esperado de una vivienda, a igual
superficie habitable, por estar situada en la zona norte, (sur, este y oeste respectivamente) con
respecto a una vivienda situada en la zona centro. Qu´ variable ficticia (o categor´ dejemos
e ıa)
fuera no es relevante siempre y cuando interpretemos adecuadamente los par´metros. Natural-
a
mente podemos afectar las variables ficticias a la variable cuantitativa como en el caso anterior
siempre y cuando no incurramos en multicolinealidad exacta.

o
Para contrastar en el modelo (7.6) que por ejemplo no existen diferencias significativas en el
precio medio de la vivienda por su situaciń la hip´tesis de contraste es H0 : α1 = α2 = α3 =
o o
α4 = α5 . Hip´tesis que podemos contrastar utilizando el estad´
o ıstico F basado en las sumas de
cuadrados de los residuos siendo en este caso el modelo (7.6) el modelo no restringido mientras
que el modelo restringido ser´ P RICEi = α1 +β SQF Ti +ui
ıa i = 1, . . . , N . El mismo contraste
puede llevarse a cabo en el modelo (7.7) con la hip´tesis H0 : α2 = α3 = α4 = α5 = 0 siendo
o
el modelo no restringido el modelo (7.7) y el restringido P RICEi = α + β SQF Ti + ui i=
1, . . . , N .

133

ıa a

7.3.2. Varios conjuntos de variables ficticias

Supongamos que ampliamos el modelo (7.4) incorporando regresores que podr´ explicar el
ıan
precio de la vivienda como por ejemplo el n´mero de habitaciones, el n´mero de baõs, que la
u u n
vivienda tenga sala de estar o no y que tenga chimenea o no. Las dos primeras son variables
ficticias que pueden definirse as´
ı:

1 si la vivienda i-´sima tiene chimenea
e
F IREP Li =
0 en caso contrario
1 si la vivienda i-´sima tiene sala de estar
e
F AM ROOMi =
0 en caso contrario

Mientras que el n´mero de baõs y el n´mero de habitaciones se definen como en los temas
u n u
anteriores:
BEDRM S n´mero de habitaciones de la vivienda i-´sima
u e
BAT HS n´mero de cuartos de baõ de la vivienda i-´sima
u n e

Con todas ellas podemos definir el siguiente modelo para explicar el precio de la vivienda:

P RICEi = γ1 + γ2 P OOLi + γ3 F AM ROOMi + γ4 F IREP Li
+β1 SQF Ti + β2 BEDRM Si + β3 BAT HSi + ui i = 1, . . . , 14 (7.8)

Donde lo primero a notar es que en el modelo (7.8), afectando a la ordenada, conviven tres
conjuntos de variables ficticias con dos categor´ cada una, el hecho de tener o no piscina, el
ıas
hecho de tener o no chimenea y el hecho de tener o no sala de estar, de las cuales s´lo se incluye
o
una de cada conjunto y se mantiene el t´rmino independiente.
e
Esta forma de definir el modelo es muy c´moda ya que sigue manteniendo los resultados de
o
los modelos con t´rmino independiente y permite una fćil interpretaciń de los coeficientes que
e a o
acompaãn a las variables ficticias. As´ γi i = 2, 3, 4 recogen el diferencial en el valor esperado de
n ı,
una vivienda por el hecho de poseer la caracter´ ıstica correspondiente mantenińdose constante
e
el resto de variables.
El resultado de la estimaciń es:
o


ıpica Estad´
ıstico t valor p
const 39,0571 89,5397 0,4362 0,6758
pool 53,1958 22,0635 2,4110 0,0467
famroom −21,344 42,8734 −0,4979 0,6338
firepl 26,1880 53,8454 0,4864 0,6416
sqft 0,146551 0,0301014 4,8686 0,0018
bedrms −7,0455 28,7363 −0,2452 0,8134
baths −0,263691 41,4547 −0,0064 0,9951

134


Desviaciń t´
σ 35,8773
R2 0,911504
¯
F (6, 7) 12,0166
valor p para F () 0,00221290
o 144,269
o 148,743

La interpretaciń de los coeficientes estimados es la siguiente:
o

• γ1 = 39, 057: el precio medio estimado de las viviendas sin piscina, baõs, habitaciones,
ˆ n
sala de estar ni chimenea y con 0 pies cuadrados habitables es de 39.057 d´lares.
o

• γ2 = 53, 1958: la diferencia estimada en el precio medio de las viviendas con piscina con
ˆ
respecto a las que no la tienen, siendo iguales en el resto de caracter´
ısticas (pies cuadrados
habitables, n´mero de habitaciones, n´mero de baõs, existencia de sala de estar y/o
u u n
chimenea) es de 53.196 d´lares.
o

• γ3 = −21, 34: el precio medio estimado de una vivienda con sala de estar es 21.340 d´lares
ˆ o
inferior al de una sin sala de estar, siendo idńticas en el resto de caracter´
e ısticas. Esto se
debe a que, al mantener constante el n´mero de pies cuadrados de la vivienda y el n´mero
u u
de habitaciones y baõs, incluir una sala de estar har´ que el resto de habitaciones o baõs
n a n
sean de menor tamaõ.n

• γ4 = 26, 188: el precio medio estimado de una vivienda con chimenea es 26.188 d´lares
ˆ o
m´s caro que el de una sin chimenea, siendo idńticas en el resto de caracter´
a e ısticas.
ˆ
• β1 = 0, 147: el precio medio estimado de una vivienda se incrementa en 147.000 d´lares al
o
aumentar en 1 pie cuadrado habitable su superficie, permaneciendo constantes el n´mero
u
de baõs y habitaciones y el resto de caracter´
n ısticas de la vivienda.
ˆ
• β2 = −7, 046: el precio medio estimado de una vivienda disminuye en 7.046 d´lares alo
aumentar en 1 el n´mero de habitaciones, permaneciendo constantes el n´mero de baõs
u u n
y los pies cuadrados habitables y el resto de caracter´
ısticas de la vivienda. Esto se debe a
que las habitaciones serń de menor tamaõ .
a n
ˆ
• β3 = −0, 264: el precio medio estimado de una vivienda disminuye en 264 d´lares al
o
aumentar en 1 el n´mero de baõs, permaneciendo constantes el n´mero de habitaciones
u n u
y los pies cuadrados habitables el resto de caracter´
ısticas de la vivienda. De nuevo, las
habitaciones serń de menor tamaõ.
a n

135

ıa a

o
Para contrastar, por ejemplo, que no existen diferencias significativas en el precio medio de la
vivienda por el hecho de tener chimenea, se realiza un contraste de significatividad individual
de la variable FIREPL. En este caso, observando el valor-p correspondiente, 0,6416, se puede
concluir que a un nivel de significaciń del 5 %, no existen diferencias significativas en el precio
o
medio de una vivienda por el hecho de tener chimenea.

Si comparamos los modelos (7.4) y (7.8), ninguna de las variables aãdidas en el ultimo modelo
n ´
es significativa individualmente a ¯
8 . Adem´s, el R2 es inferior. El contraste de significatividad

conjunta para las variables aãdidas se puede realizar con el estad´
n ıstico F basado en las sumas
de cuadrados residuales de los modelos restringido (modelo (7.4)) y no restringido (modelo (7.8)).
En este caso, el resultado es:

Contraste de omisiń de variables –
o
Hip´tesis nula: los par´metros son cero para las variables
o a
bedrms
baths
famroom
firepl
Estad´ıstico de contraste: F (4, 7) = 0,0864517
con valor p = P (F (4, 7) > 0,0864517) = 0,983881

por lo que no se rechaza la hip´tesis nula de que las variables aãdidas al modelo (7.4) son
o n
conjuntamente no significativas. Al omitir dichas variables el modelo mejora en cuanto a la
¯
significaciń de sus coeficientes y el R2 . Por tanto, manteniendo las variables POOL y SQFT, la
o
inclusiń del resto (FIREPL, FAMROOM, BATHS, BEDRMS) no aãde capacidad explicativa
o n
al modelo.

7.4. Contraste de cambio estructural

En ocasiones puede ocurrir que la relaciń entre la variable dependiente y los regresores cambie
o
a lo largo del periodo muestral, es decir, puede que exista un cambio estructural. Por ejemplo,
si estamos analizando el consumo de tabaco y durante el per´ ıodo muestral se ha producido una
campaã de salud p´blica informando sobre los peligros que conlleva el consumo de tabaco,
n u
podemos pensar que tras dicha campaã el comportamiento de la demanda de tabaco haya
n
cambiado, reducińdose significativamente. Si esto ocurre no podemos especificar una unica
e ´
funciń de demanda para todo el per´
o ıodo muestral si no que deber´ıamos especificar dos funciones,
una hasta la campaã antitabaco y otra para el per´
n ıodo siguiente. Por tanto, ante sospechas de
que exista un cambio estructural, debemos de contrastar la estabilidad de los par´metros de
a
nuestra relaciń.
o
El contraste de cambio estructural, llamado habitualmente contraste de Chow, puede realizarse
de manera sencilla mediante el estad´ ıstico de sumas de cuadrados de los residuos sin m´s que
a
8
Un problema a˜ adido es que tenemos un bajo tamaõ muestral, T=14, y hemos aumentado significativamente
n n
el n´ mero de par´metros a estimar, K=7, por lo que tenemos muy pocos grados de libertad.
u a

136


especificar adecuadamente el modelo restringido y el no restringido. Tambiń podemos llevarlo
e
a cabo utilizando variables ficticias. Veamos un ejemplo.
El fichero data7-19 contiene datos para 1960-1988 sobre la demanda de tabaco y sus determi-
nantes en Turqu´ Las variables de inter´s para el ejemplo son las siguientes:
ıa. e

Q: consumo de tabaco por adulto (en kg).
Y : PNB real per c´pita en liras turcas de 1968.
a
P : precio real del kilogramo de tabaco, en liras turcas.
D82: variable ficticia que toma valor 1 a partir de 1982.
A mediados de 1981 el gobierno turco lanza una campaã de salud p´blica advirtiendo de los
n u
peligros de salud que conlleva el consumo de tabaco. Nuestro objetivo es determinar si existen
cambios en la demanda de tabaco tras la campaã institucional en cuyo caso la especificaciń:
n o
LnQt = α + βLnYt + γLnPt + ut t = 1960, . . . , 1988 (7.9)
no es correcta para todo el per´
ıodo muestral y deber´
ıamos especificar dos ecuaciones:
LnQt = α1 + β1 LnYt + γ1 LnPt + u1t t = 1960, . . . , 1981 (7.10)
LnQt = α2 + β2 LnYt + γ2 LnPt + u2t t = 1982, . . . , 1988 (7.11)

Si existe cambio estructural rechazar´
ıamos H0 : α1 = α2 , β1 = β2 y γ1 = γ2
Este contraste podemos llevarlo a cabo utilizando el estad´ıstico F basado en las sumas de cua-
drados de los residuos siendo en este caso el modelo restringido el recogido en la ecuaciń (7.9)
o
mientras que el modelo no restringido est´ constituido por las ecuaciones (7.10) y (7.11). Utili-
a
zando Gretl una vez abierto el fichero de datos y tomado las correspondientes transformaciones
estimar´
ıamos el modelo (7.9) por MCO y en la ventana de resultados de la estimaciń elegimos:
o

Contrastes −→ Contraste de Chow

A la pregunta Observaciń en la cual dividir la muestra contestar´
o ıamos 1982 y la correspon-
diente devoluciń es:
o

Modelo (7.9): estimaciones MCO utilizando las 29 observaciones 1960-1988
Variable dependiente: lnQ

ıpica Estad´
ıstico t valor p
const −4,58987 0,724913 −6,332 0,00001∗∗∗
lnY 0,688498 0,0947276 7,268 0,00001∗∗∗
lnP 0,485683 0,101394 −4,790 0,00006∗∗∗

Desviaciń t´
o ıpica de la var. dependiente. = 0,108499
Desviaciń t´
o ıpica de los residuos = 0,0604187
Estad´ıstico F (2, 26) = 32,148 (valor p < 0,00001)
Estad´ıstico de Durbin-Watson = 1,00057
Coef. de autocorr. de primer orden. = 0,489867

137

ıa a

Log-verosimilitud = 41,8214
Criterio de informaciń de Akaike (AIC) = -77,6429
o
Criterio de informaciń Bayesiano de Schwarz (BIC) = -73,541
o
Criterio de Hannan-Quinn (HQC) = -76,3582

Contraste de Chow de cambio estructural en la observaciń 1982 -
o
Hip´tesis nula: no hay cambio estructural
o
Estad´
ıstico de contraste: F(3, 23) = 20,1355
con valor p = P(F(3, 23) > 20,1355) = 1,25619e-006

El estad´ıstico calculado es Fc = 20, 135 > F0,05(3,23) por lo que rechazamos H0 para un nivel de
significatividad del 5 %, es decir existe cambio estructural, la campaã institucional ha tenido
n
efecto y la demanda de tabaco en Turqu´ de 1960 a 1988 queda especificada por las ecuaciones
ıa
(7.10) y (7.11). Los resultados de la estimaciń m´
o ınimo cuadr´tica de estas ecuaciones son los
a
siguientes:

LnQt = −5, 024 + 0, 735 LnYt − 0, 381 LnPt t = 1960, . . . , 1981
(estad. t) (−10,614) (11,587) (−4,227)
SCR1 = 0, 01654
LnQt = 8, 837 − 0, 953 LnYt + 0, 108LnPt t = 1982, . . . , 1988
(estad. t) (2,170) (−1,941) (0,654)
SCR2 = 0, 00965

7.4.1. Cambio estructural utilizando variables ficticias

Alternativamente, el contraste anterior podr´
ıamos haberlo realizado mediante la variable ficticia
D82 especificando el siguiente modelo donde t = 60, . . . , 88:

LnQt = β1 + β2 LnYt + β3 LnPt + β1 D82t + β2 D82t · LnYt + (7.12)
+β3 D82t · LnPt + ut (7.13)

En el cual, si existe cambio estructural rechazar´ ıamos H0 : β1 = β2 = β3 = 0. De nuevo el
contraste puede realizarse con el estad´ıstico F habitual de sumas residuales donde el modelo no
restringido es el (7.13) y el modelo restringido es

LnQt = β1 + β2 LnYt + β3 LnPt + ut (7.14)

Utilizando Gretl, el proceso despu´s de abierto el fichero de datos, tomado logaritmos y cons-
e
truido las interacciones D82 · LnY y D82 · LnP , ser´ estimar´
ıa: ıamos el modelo (7.13) por MCO
y en la ventana de resultados de la estimaciń har´
o ıamos

Contrastes −→ Omitir variables

elegir´
ıamos D82, D82 · LnY y D82 · LnP y obtendr´
ıamos el siguiente resultado:

Variable dependiente: lnQ

138


ıpica Estad´
ıstico t valor p
const −4,58987 0,724913 −6,332 0,00001∗∗∗
lnY 0,688498 0,0947276 7,268 0,00001∗∗∗
lnP 0,485683 0,101394 −4,790 0,00006∗∗∗

Desviaciń t´
o ıpica de la var. dependiente. = 0,108499
Desviaciń t´
o ıpica de los residuos = 0,0604187
Estad´ıstico F (2, 26) = 32,148 (valor p < 0,00001)
Estad´ıstico de Durbin-Watson = 1,00057
Coef. de autocorr. de primer orden. = 0,489867
Log-verosimilitud = 41,8214
Criterio de informaciń de Akaike (AIC) = -77,6429
o
Criterio de informaciń Bayesiano de Schwarz (BIC) = -73,541
o
Criterio de Hannan-Quinn (HQC) = -76,3582

Comparaciń entre el modelo (7.13) y el modelo (7.14):
o
Hip´tesis nula: los par´metros de regresiń son cero para las variables
o a o
D82
D82Y
D82P
Estad´ıstico de contraste: F(3, 23) = 20,1355, con valor p = 1,25619e-006
De los 3 estad´ısticos de selecciń de modelos, 0 han mejorado.
o

Dado el valor-p rechazamos la hip´tesis nula para un nivel de significatividad del 5 % y existe
o
cambio estructural. La demanda de tabaco en Turqu´ de 1960 a 1988 queda mejor especificada
ıa
por el modelo (7.13). O lo que es lo mismo las ecuaciones (7.10) y (7.11) si no utilizamos
la variable ficticia D82 en la especificaciń del modelo. Notar que ambas especificaciones son
o
idńticas, son dos formas alternativas y por lo tanto equivalentes de especificar la demanda de
e
tabaco en Turqu´ para ese periodo temporal.
ıa


Ejercicio 1:
Se dispone de una base de datos sobre el precio de venta y distintas caracter´ ısticas de 224
viviendas pertenecientes a dos ´reas residenciales del condado de Orange en California (USA),
a
Dove Canyon y Coto de Caza 9 . Dove Canyon es una zona de viviendas relativamente pequeãs n
construidas alrededor de un campo de golf. Coto de Caza es un ´rea de mayor nivel de vida
a
aunque m´s rural con viviendas m´s grandes. Las variables que se consideran son:
a a

salepric Precio de venta de la vivienda en miles de d´lares
o
sqft Tama~o de la vivienda en pies cuadrados
n
age Edad de la vivienda en a~os
n
9
Ed., South-Western.

139

ıa a

city 1 si est´ en Coto de Caza, 0 si est´ en Dove Canyon
a a

1. Especifica un primer modelo (Modelo 1) para analizar si el tamaõ y la edad de la vivienda
n
son factores que explican o no el precio de la vivienda.

2. Interpreta los coeficientes del modelo.

ınimos Cuadrados Ordinarios. Interpreta los coeficientes estimados.

4. Comenta los resultados obtenidos en t´rminos de bondad de ajuste, significatividad y
e
signos de los coeficientes estimados. Razona si te parecen adecuados los resultados.

5. Introduce como variable explicativa en el modelo la variable city (Modelo 2). Interpreta el
coeficiente que la acompaã.
n

6. Estima el Modelo 2 por MCO. Comenta los resultados y compara estos con los obtenidos
en el Modelo 1. ¿Ha mejorado la especificaciń? Razona tu respuesta.
o

7. Obtń el gr´fico de los residuos de la estimaciń MCO del Modelo 2. ¿Qu´ te sugiere este
e a o e
gr´fico? Comenta si crees que existe algń problema de mala especificaciń.
a u o

8. Utilizando el Modelo 2, obtń e interpreta los siguientes gr´ficos.
e a

• Gr´fico de la serie de residuos MCO.
a
• Gr´fico de residuos MCO sobre la variable age.
a
• Gr´fico de residuos MCO sobre la variable sqf t.
a

Ejercicio 2:
Se quiere estudiar la relaciń entre el salario (W ) y las horas trabajadas (H ). Para ello se dispone
o
de observaciones de secciń cruzada para 8 individuos, mujeres y hombres, por lo que tambiń
o e
se dispone de la informaciń del sexo del individuo a trav´s de una variable ficiticia (S ) que
o e
toma el valor 1 si el individuo es Mujer y 0 si es Hombre.

Considera el siguiente modelo:

Wi = β1 + β2 Hi + ui (7.15)

1. Edita en Gretl un archivo con los siguientes datos a utilizar en el ejercicio:

W H S
170 40 0
180 50 0
165 30 0
165 40 0
105 50 1
95 35 1
100 40 1
90 35 1

2. Muestra los resultados de la estimaciń del Modelo (7.15) y comenta los resultados. ¿Te
o
parecen los esperados?

140


3. Contrasta la significatividad individual de las variables explicativas del modelo. Escribe
los supuestos necesarios sobre la perturbaciń para que los estad´
o ısticos tengan validez.

4. Contrasta la significatividad conjunta de las variables explicativas.

5. Interpreta el coeficiente de determinaciń del modelo.
o

6. Obtń el gr´fico de residuos. Teniendo en cuenta que las primeras cuatro observaciones
e a
son hombres y las siguientes cuatro son mujeres, ¿qu´ te sugiere el gr´fico?
e a

ıa
por el sexo, incluyendo la variable ficticia S. Para ello calcula el estad´
ıstico NR2, donde R2
es el coeficiente de determinaciń de la regresiń de los residuos del modelo (7.15) sobre
o o
una constante y la variable S. ¿Qu´ te sugiere el contraste?
e

8. Dado el resultado del contraste y lo analizado en el gr´fico de residuos, ¿c´mo cambiar´ la
a o ıas
especificaciń del modelo (7.15)? Estima esa nueva especificaciń incluyendo en el modelo
o o
la variable que recoge el sexo y comenta los resultados. Compara los resultados obtenidos
de estimar ambos modelos.

9. ¿Cu´l es el sesgo en la estimaciń del efecto de las horas trabajadas sobre el salario si se
a o
elige la especificaciń del modelo (7.15) y la correcta es la del modelo que incluye el sexo?
o
¿Qu´ signo esperas que tenga ese sesgo?
e

Ejercicio 3:
Para la realizaciń de este ejercicio utilizamos el fichero smoke del libro de Wooldridge (2003),
o
Introductory Econometrics. A Modern Approach, que tenís como archivo de muestra en gretl10 .
e
Son datos para 807 individuos varones residentes en distintos estados americanos en el aõ 1979.
n
Las variables que estń en este fichero son:
a

educ A~os de escolarizaciń
n o
cigpric Precio de un paquete de cigarrillos en centavos
white Variable ficticia que es igual a la unidad si el
individuo es blanco, cero en otro caso.
age Edad del individuo en a~os
n
income Renta anual, en d´lares
o
cigs Cigarrillos fumados al dá
ı
restaurn Variable ficticia que es igual a la unidad si una
persona reside en un estado donde hay restricciones
al tabaquismo en los restaurantes, cero en otro caso.
lincome log(income)
agesq Edad al cuadrado
cigpric log(cigprice)

Considera la siguiente especificaciń:
o

lincomei = β1 + β2 cigsi + β3 educi + β4 agei + β5 agesqi + ui i = 1, . . . , 807 (7.16)

1. Muestra los resultados de la estimaciń por MCO del Modelo (7.16).
o
10
Wooldrige, J. M. (2003), Introductory Econometrics. A Modern Approach, 2sd. Ed., South-Western.

141

ıa a

2. Comenta los resultados obtenidos sobre la bondad de ajuste, los signos de los coeficientes
estimados y su significatividad. ¿Puedes justificar el signo del coeficiente estimado que
acompaã a la variable cigs?
n

3. ¿Hay evidencia de que la relaciń entre la variable lincome y age sea cuadr´tica, mante-
o a
niendo constante el resto de las variables explicativas? Muestra los resultados del contraste
utilizado para tus conclusiones.

4. Incluye la variable restaurn en la ecuaciń (7.16). Interpreta el par´metro asociado a la
o a
variable. Estima el modelo y contrasta si la existencia de restricciones al consumo de tabaco
en los restaurantes aumenta significativamente el logaritmo de la renta familiar anual.

5. Incluye la variable white en el modelo correspondiente al apartado anterior. Interpreta el
par´metro asociado a la variable. Contrasta si la raza es una variable significativa para
a
explicar a la variable lincome.

6. Propń y estima un modelo que permita contrastar que el n´mero medio de cigarrillos
o u
fumados al d´ var´ con la raza del individuo. Realiza el contraste.
ıa ıa

7. F´ıjate en los valores de la variable cigs, esta variable est´ discriminando entre individuos
a
fumadores y no fumadores. Utilizando la variable cigs construye una variable ficticia que
tome valor 1 si el individuo es fumador y cero en otro caso. ¿Dir´ que ambas varia-
ıas
bles estń perfectamente correlacionadas? Calcula la correlaciń entre ambas variables.
a o
Interpreta el resultado.

8. Suponiendo que la variable lincome s´lo depende de las variables educ y age. Contrasta la
o
posibilidad de que la funciń de renta anual sea distinta para aquellos individuos fumadores
o
respecto de los que no lo son.

9. Escribe una secciń de conclusiones donde finalices proponiendo una especificaciń sen-
o o
sata para el logaritmo de la renta familiar anual teniendo en cuenta todos los resultados
anteriores.

142


Ejercicio 4:
Se dispone de una base de datos sobre sistemas de televisiń por cable y sus determinantes para
o
101 ciudades estadounidenses. Las primeras cuarenta observaciones corresponden a 1979 y las
ultimas 61 observaciones corresponden a 199411 . Las variables que se consideran son:
´

sub El n´mero de suscriptores de cada sistema
u
(en miles)(Rango 1 - 462)
homes El n´mero de hogares conectados a cada sistema
u
(en miles) (Rango 1,7 - 1201,09)
inst Cuota de instalaciń en d´lares (Rango 5,95 - 75)
o o
svc Cuota mensual de cada sistema (Rango 5,08 - 24,93)
cblchanl N´mero de se~ales de televisiń llevadas por cada
u n o
sistema de cable (Rango 6 - 120)
tvchanl N´mero de se~ales de televisiń recibidas
u n o
(Rango 3 - 15)
pcincome Renta per c´pita para cada mercado de televisiń
a o
con cable, en d´lares (Rango 7,683 - 28,597)
o
D 1 para 1994 y 0 para 1979

1. Para la especificaciń:
o

subi = β1 + β2 homesi + β3 insti + β4 svci + β5 cblchanli
+β6 tvchanli + β7 pcincomei + ui i = 1, . . . , 101 (7.17)

Contrasta, sin utilizar la variable D, si existe un comportamiento distinto en 1979 que en
1994 en la determinaciń del n´mero de suscriptores de cada sistema.
o u

2. Como consecuencia de los resultados del contraste, ¿c´mo especificar´ un modelo para
o ıas
el n´mero de suscriptores?
u

3. Repite el contraste realizado utilizando la variable D.

4. Restringe la muestra a las observaciones de 1979.

a) Analiza si las variables homes, inst, svc, cblchanl, tvchanl y pcincome son individual
y conjuntamente significativas para explicar la evoluciń del n´mero de subscriptores
o u
de cada sistema.
b) Propń una especificaciń realista para el n´mero de suscriptores de cada sistema en
o o u
1979.

5. Restringe ahora la muestra a las observaciones correspondientes al aõ 1994 y repite el
n
an´lisis realizado en el apartado anterior.
a

6. Dados los resultados obtenidos para los aõs 1979 y 1994, ¿te parece sorprendente lo
n
obtenido en el primer apartado?

11
Ed., South-Western.

143

ıa a

144

Apńdice A
e

A.1. Repaso de probabilidad

Las variables econ´micas tienen un componente sistem´tico y otro aleatorio, ya que con ante-
o a
rioridad a su observaciń no podemos predecir con certeza los valores que van a tomar. Este
o
apartado revisa los conceptos de probabilidad que aplicaremos este curso: qu´ es una variable
e
aleatoria o estoc´stica, cu´les son sus propiedades y, finalmente, se presentan las distribuciones
a a
de probabilidad m´s usuales.
a

A.1.1. Una variable aleatoria

Una variable aleatoria, que denotamos por X, es aquella cuyo valor no es conocido con ante-
rioridad a su observaciń. La probabilidad es un medio para expresar la incertidumbre sobre el
o
resultado. Se distinguen dos tipos de variables aleatorias: discretas, cuando el conjunto de todos
sus posibles valores es finito o infinito numerable, y continuas, cuando el conjunto de realiza-
ciones es infinitamente divisible y, por tanto, no numerable. Por ejemplo, la superficie de una
vivienda es una variable continua mientras que el n´mero de baõs es una variable discreta. En
u n
general, en este curso nos ocuparemos de variables continuas.
Si X es una variable discreta, podemos asignar una probabilidad p(xi ) = P rob(X = xi ) a cada
posible resultado xi . El conjunto de probabilidades, que se denomina funciń de probabilidad,
o
debe cumplir que p(xi ) ≥ 0 y i p(xi ) = 1.
Si X es continua, la probabilidad asociada a cualquier punto en particular es cero, por lo que nos
referimos a la probabilidad de que X tome valores en un intervalo [a, b]. La funciń de densidad
o
f (x) de una variable aleatoria continua X es una funciń tal que
o

b
P robabilidad(a ≤ X ≤ b) = f (x) dx
a

Es decir, el ´rea por debajo de la funciń entre dos puntos a y b es la probabilidad de que la
a o
variable tome valores en el intervalo [a, b] (ver panel izquierdo del Gr´fico A.3). La funciń de
a o
densidad toma valores no negativos, f (x) ≥ 0, y el ´rea total por debajo de la funciń es la
a o
∞
unidad, −∞ f (x)dx = 1.
Un ejemplo de variable aleatoria continua es la distribuciń normal. Su funciń de densidad
o o
tiene forma de campana (ver panel izquierdo del Gr´fico A.3). Es muy utilizada en la prćtica
a a
para modelar variables que se distribuyen sim´tricamente alrededor de un valor central, con
e
mucha probabilidad acumulada en valores cercanos a dicho punto central y poca en valores
alejados.

145

ıa a

Gr´fico A.3: La funciń de densidad normal y el histograma
a o

El panel derecho del Gr´fico A.3 ilustra la relaciń entre la funciń de densidad y el histograma
a o o
de los datos. Tal y como mencionan Peã y Romo (1997): “La funciń de densidad constituye
n o
una idealizaciń de los histogramas de frecuencia o un modelo del cual suponemos que proceden
o
las observaciones. El histograma representa frecuencias mediante ´reas; an´logamente, la fun-
a a
ciń de densidad expresa probabilidades por ´reas. Adem´s, conserva las propiedades b´sicas del
o a a a
histograma: es no negativa y el ´rea total que contiene es uno. ”
a
La distribuciń de una variable aleatoria puede resumirse utilizando medidas de posiciń (me-
o o
dia, mediana y moda), dispersiń (varianza, desviaciń t´
o o ıpica y coeficiente de variaciń) o forma
o
(coeficiente de asimetr´ y coeficiente de curtosis). Estos conceptos se definen de forma similar a
ıa
los utilizados para resumir las caracter´
ısticas de un conjunto de datos. Definiremos los elementos
que utilizaremos a lo largo del curso.

La media o valor esperado, µ, de una variable aleatoria X se define como el promedio ponderado
de todos los posibles valores que puede tomar X, donde la ponderaciń es la probabilidad de
o
cada valor. Si la variable es continua se define:
∞
µ = E(X) = x f (x)dx
−∞

donde E se conoce como el operador de esperanzas matem´ticas o, simplemente, esperanzas. La
a
media recoge el centro de gravedad sobre el que se distribuye la variable. As´ cuanto mayor sea
ı,
la media, mayor es el valor que se espera que tomen las realizaciones del experimento (ver panel
izquierdo del Gr´fico A.4).
a

La varianza de una variable aleatoria X es su momento central, o respecto a la media, de orden
2. Es decir,
var(X) = σX = E[(X − µ)2 ] ≥ 0
2

La varianza es una medida de dispersiń de la distribuciń. Su ra´ cuadrada positiva se conoce
o o ız
como desviaciń t´
o ıpica o desviaciń estńdar de la variable aleatoria X, es decir:
o a

des(X) = σX = var(X)

El panel derecho del Gr´fico A.4 muestra que cuanto menor es la varianza de la variable, mayor
a
es la probabilidad concentrada alrededor de la media.

146


Distinta media y σ = 1 Distinta dispersiń y µ = 6
o

Gr´fico A.4: Ejemplos de distribuciń normal
a o

Distribuciń normal estńdar. La distribuciń normal se caracteriza por el valor de su
o a o
media y su varianza. Si Z es una variable aleatoria normal de media igual a 0 y varianza igual
a la unidad, se dice que Z es una variable normal estńdar y se denota Z ∼ N (0, 1). Existen
a
tablas de esta distribuciń que a cada posible resultado z le asigna la probabilidad acumulada
o
hasta ese punto, P rob(Z ≤ z).
En general, si X es una variable normal con media µ y varianza σ 2 se denota X ∼ N (µ, σ 2 ). Dado
que la transformaciń Z = (X − µ)/σ es una normal estńdar, con la tabla de esta distribuciń
o a o
normal se obtiene la probabilidad acumulada P rob(X ≤ x).

Ejercicio 1: simulaciń normal estńdar. Crea un conjunto de datos artificiales
o a
(N =250 observaciones), generados a partir de variables aleatorias normales estńdar
a
independientes. El proceso es el siguiente:

1. En Gretl, crea el conjunto de datos siguiendo los pasos: Archivo →Nuevo con-
junto de datos, en N´mero de observaciones: escribe 250, elige la estructura de
u
datos de secciń cruzada y pincha en No desea empezar a introducir los valores.
o
Se crea un conjunto de datos con dos variables que genera Gretl autom´ticamen-
a
te: la constante const y la variable ´
ındice index, que toma valores 1,2,3,...,250.
2. Crea una serie de 250 realizaciones independientes de una variable normal con:
Aãdir →Variable aleatoria →Normal ...
n
Aparece un cuadro titulado gretl: variable normal donde debes indicar el nombre
de la variable, su media y su desviaciń t´
o ıpica σ. Por ejemplo, para generar
observaciones de una variable que llamamos z1 y que se distribuye como una
N(0,1), escribimos:
z1 0 1
Tras pinchar en Aceptar, en la ventana principal de Gretl aparece la variable
creada, z1, con la nota explicativa z1 = normal().
3. Repitiendo el paso 2, crea una nueva realizaciń de la normal estńdar y ll´mala
o a a
z2.
4. Haz dos gr´ficos, uno con z1 y otro con z2, sobre la variable ´
a ındice con la opciń:
o
Ver →Gr´ficos →Gr´fico X-Y (scatter). Observa sus caracter´
a a ısticas comunes:

147

ıa a

los datos oscilan en torno al valor cero, y la mayor parte de ellos se encuentra
en el intervalo (-2, 2).
5. Compara el histograma de las frecuencias relativas con la funciń de densidad
o
normal. Para ello debes situar el cursor sobre una de las variables y seguir la
ruta:
Variable →Gr´fico de frecuencias →contra la normal
a
El resultado es un gr´fico similar (no idńtico) al Gr´fico A.5.
a e a
0.4
Estadstico para el contraste de normalidad: z1
Chi-cuadrado(2) = 2,893, valor p = 0,23543 N(-0,031699 1,0189)

0.35

0.3

0.25
Densidad

0.2

0.15

0.1

0.05

0
-3 -2 -1 0 1 2 3
z1

Gr´fico A.5: Simulaciń 1: histograma
a o

En este gr´fico aparece el histograma junto con la funciń de densidad de la
a o
distribuciń normal de media µ = 0, 1087 y desviaciń t´
o o ıpica σ = 1, 0055. Estos
valores aparecen en la parte superior derecha del gr´fico y se eligen en funciń
a o
de la media y varianza de los datos.
Ejercicio 2: simulaciń normal general. En el mismo fichero crea dos series de
o
datos:
• x3= 250 datos generados con una variable normal de media 25 y desviaciń o
ıpica 6 (es decir, σ 2 = 36). En Aãdir →Variable aleatoria →Normal ... escribir
t´ n
x3 25 6.
• x4, generados a partir de una distribuciń normal de media 50 y desviaciń
o o
t´
ıpica 0.
Haz el gr´fico de los datos sobre la variable index y su distribuciń de frecuencias
a o
frente a la normal. ¿Hay algń problema al crear o representar la distribuciń de x4?
u o
¿Por qu´?e

Ejercicio 3: transformaciń lineal. Se trata de construir una nueva serie de datos,
o
que llamaremos z3 y que se define a partir de la variable x3 del ejercicio anterior:
x3 − 25
z3 =
6
1. Pincha en la opciń Aãdir →Definir nueva variable.
o n
2. En la siguiente ventana escribe el nombre de la nueva serie y su f´rmula de
o
c´lculo, es decir z3=(x3-25)/6.
a
Si has realizado el proceso correctamente, en la ventana principal de Gretl aparece
la variable creada, z3. Haz el histograma de z3, comparńdola con la de la variable
a
inicial x3. Compara sus estad´ ısticos descriptivos, en particular, las medias y las
varianza. ¿Cambian mucho?

148


A.1.2. Dos o m´s variables aleatorias
a

Para responder a preguntas relativas a dos o m´s variables aleatorias debemos conocer su funciń
a o
de densidad conjunta. Si las variables aleatorias X e Y son discretas, a cada posible par de
resultados (xi , yj ) podemos asignar una probabilidad p(xi , yj ). El conjunto de probabilidades es
la funciń de probabilidad conjunta, cumplińdose que 0 ≤ p(xi , yj ) ≤ 1 y i j p(xi , yj ) = 1.
o e
Si las variables aleatorias son continuas, su distribuciń conjunta se recoge mediante la funciń
o o
de densidad conjunta f (x, y). Si las dos variables siguen una distribuciń normal, la forma t´
o ıpica
de su funciń de densidad conjunta se encuentra en el Gr´fico A.6.
o a

Gr´fico A.6: Distribuciń normal bivariante
a o
El volumen total recogido bajo esta superficie es la masa de probabilidad total que es igual a la
unidad, es decir, x y f (x, y) dx dy = 1. Adem´s, la funciń no toma valores negativos, f (x, y) ≥
a o
0. As´ el volumen debajo del rectńgulo definido por dos puntos (a, b) mide la probabilidad de
ı, a
que X tome valores por debajo de a e Y por debajo de b. Es decir,
a b
P robabilidad(X ≤ a, Y ≤ b) = f (x, y)dx dy
−∞ −∞

Por ejemplo, el volumen recogido bajo la superficie marcada en el Gr´fico A.6 es la probabilidad
a
de que X ≤ −2 e Y ≤ 4,5. La funciń de densidad marginal de cada variable puede obtenerse
o
mediante integraciń. As´
o ı:
∞ ∞
f (x) = f (x, y) dy f (y) = f (x, y) dx (A.18)
−∞ −∞

La distribuciń conjunta de dos variables aleatorias se puede resumir mediante:
o

• El centro de gravedad de cada variable, es decir, las medias (µX , µY ), que se obtienen de
las distribuciones marginales (A.18).

• Medidas de dispersiń de cada variable alrededor de su media, por ejemplo, las varianzas
o
2 2
de X e Y , σX y σY , que se derivan de las distribuciones marginales (A.18).

• Medida de la relaciń lineal entre las dos variables aleatorias, para lo que se utiliza la
o
covarianza σXY :
cov(X, Y ) = σXY = E[(X − µX )(Y − µY )]

149

ıa a

o bien el coeficiente de correlaciń entre las variables,
o

σXY
corr(X, Y ) = ρXY = ∈ [−1, 1]
σX σY

Covarianza y correlaciń de las variables aleatorias tienen una interpretaciń similar a sus
o o
hom´logas en los datos. As´ si σXY = ρXY = 0 se dice que las variables X e Y estń
o ı, a
incorrelacionadas.

La distribuciń conjunta se resume en el vector de medias µ y la matriz de varianzas y covarianzas
o
Σ ´ V:
o
var(X) cov(X, Y ) 2
σX σXY
µX
µ= Σ= = 2
µY cov(X, Y ) var(Y ) σXY σY

Distribuciń condicionada. Al estudiar un conjunto de variables, interesa evaluar la posibi-
o
lidad de que un suceso ocurra dado que otro suceso ha tenido lugar. Por ejemplo, ¿cu´l es la
a
probabilidad de que una mujer casada y con hijos en edad escolar participe en el mercado de
trabajo? La probabilidad condicionada permite responder este tipo de preguntas. Si las va-
riables son discretas, se define la distribuciń condicional de Y dado que la variable aleatoria X
o
toma el valor xi como:

P rob(Y = yj , X = xi ) p(xi , yj )
P rob(Y = yj |X = xi ) = =
P rob(X = xi ) j p(xi , yj )

para P rob(X = xi ) > 0

Si las variables son continuas, se define la funciń de densidad de Y condicionada a que la
o
variable aleatoria X tome el valor x (para f (x) > 0):

f (x, y)
f (y|X = x) =
f (x)

De esta forma se obtiene una nueva distribuciń, con las propiedades ya vistas. Los momentos
o
de inter´s de esta distribuciń se denominan media y varianza condicionada de Y para el valor
e o
dado de X = x, y se denotan E(Y |X = x) y var(Y |X = x).

Independencia. Dos variables aleatorias X y Y son estad´ ısticamente independientes o estń
a
independientemente distribuidas si conocido el valor que toma una de ellas, no aporta ninguna
informaciń sobre el valor que puede tomar la segunda. Si las variables X e Y son independientes,
o
entonces su funciń de densidad conjunta puede descomponerse segń:
o u

f (x, y) = f (x) × f (y) − ∞ < x, y < ∞

Adem´s, se tiene que f (y|X = x) = f (y). Se demuestra que si X e Y son independientes,
a
entonces Cov(X, Y ) = 0. Tambiń se demuestra que, si las variables X e Y se distribuyen
e
conjuntamente segń una normal y Cov(X, Y ) = 0, entonces X e Y son independientes.
u

150


M´s de dos variables. Los resultados anteriores se pueden generalizar a un conjunto de n
a
variables, X1 , X2 , . . . , Xn , que se recogen en un vector
 
X1
 X2 
 
X= . 
 . . 
Xn

La distribuciń conjunta de estas variables se resume en el vector de medias E(X) ´ µ y la
o o
matriz de varianzas y covarianzas V (X) ´ ΣX . As´
o ı:

   
E(X1 ) µ1
 E(X2 )   µ2 
   
E(X) = µ =  . = .  y
 .
.   .
. 
E(Xn ) µn
   2

var(X1 ) cov(X1 , X2 ) . . . cov(X1 , Xn ) σ1 σ1,2 . . . σ1,n
 cov(X1 , X2 ) var(X2 ) . . . cov(X2 , Xn )   σ1,2 σ22
. . . σ2,n 
   
ΣX =  . . .. . = . . .. . 
 .
. .
. . .
.   .
. .
. . .
. 
2
cov(X1 , Xn ) cov(X2 , Xn ) ... var(Xn ) σ1,n σ2,n . . . σn

donde ΣX es una matriz cuadrada de orden n, sim´trica y definida no negativa. Esto implica
e
2
que los elementos de la diagonal principal son no negativos, σi ≥ 0, ∀i.
Si las variables son mutuamente independientes, entonces estń incorrelacionadas, es decir, σi,j =
a
0, ∀i = j, por lo que la matriz ΣX es diagonal:
 2 
σ1 0 . . . 0
 2 
 0 σ2 . . . 0 

ΣX =  . 
. .. . 
 . . .
. . . . 
0 0 . . . σn 2

Si, adem´s, X1 , . . . , Xn siguen la misma distribuciń,
a o con la misma media y la misma varianza:
   2 
µ σ 0 ... 0
 µ   
   0 σ2 . . . 0 
E(X) =  .  ΣX =  .
 . . ..

. =σ I
2
 . 
.  . .
. . 
. .
µ 0 0 . . . σ2

entonces se dice que son variables aleatorias idńtica e independientemente distribuidas con
e
media µ y varianza σ 2 y se denota X ∼ iid(µ, σ 2 ), ∀i = 1, . . . , n.
i

Si X1 , . . . , Xn son variables aleatorias normales, se dice que el vector X sigue una distribuciń
o
normal multivariante, y queda caracterizada por su vector de medias µ y su matriz de va-
rianzas y covarianzas ΣX . Se denota X ∼ N (µ, ΣX ). Si adem´s las variables son independientes,
a
con media y varianza comń, se denota Xi ∼ N ID(µ, σ 2 ), i = 1, . . . , n.
u
Adem´s de la distribuciń normal, a lo largo del curso utilizaremos otras distribuciones, todas
a o
ellas relacionadas con la distribuciń normal. Veamos sus propiedades.
o

151

ıa a

Gr´fico A.7: Funciń de densidad de la distribuciń Chi-cuadrado
a o o

A.1.3. Algunas distribuciones de probabilidad

La distribuciń Chi-cuadrado. Si (Z1 , . . . , Zn ) son variables aleatorias independientes con
o
distribuciń normal estńdar, es decir, Zi ∼ N ID(0, 1), se dice que X = n Zi2 es una variable
o a i=1
aleatoria chi-cuadrado de n grados de libertad y se denota X ∼ χ2 (n). Para valores negativos
de X, f (x) = 0 y la forma general de su funciń de densidad se recoge en el Gr´fico A.7.
o a
Es una distribuciń asim´trica, con media igual a n y varianza 2n. Existen tablas que propor-
o e
cionan la probabilidad acumulada hasta un punto P rob(X ≤ x), es decir, el ´rea rayada del
a
gr´fico, en funciń de los grados de libertad, n.
a o

Ejercicio 4: transformaciń no lineal. Siguiendo el procedimiento del ejercicio
o
3, crea una nueva serie de datos, y = z12 + z22 + z32 . En este caso debes escribir:

y = z1ˆ 2 + z2ˆ 2 + z3ˆ 2

Haz la representaciń gr´fica de la distribuciń de frecuencias de esta variable frente
o a o
a la normal. El histograma que obtengas tendr´ un patrń bastante diferente a
a o
la distribuciń normal. ¿Puedes justificar el resultado? ¿Con qu´ distribuciń la
o e o
comparar´ ıas?

La distribuciń F de Snedecor. Si Z1 ∼ χ2 (n1 ) y Z2 ∼ χ2 (n2 ) y adem´s se distribuyen
o a
independientemente, entonces la distribuciń X = (n2 /n1 )(Z1 /Z2 ) se conoce como distribuciń
o o
F de n1 , n2 grados de libertad y se escribe:

Z1 /n1
X= ∼ F(n1 , n2 )
Z2 /n2

El Gr´fico A.8 muestra su funciń de densidad para distintos grados de libertad.
a o
La probabilidad se acumula en la parte positiva de la recta real, x > 0. A medida que aumentan
los grados de libertad del denominador, n2 → ∞, la distribuciń de n1 F(n1 , n2 ) converge a la
o
2 (n ).
distribuciń χ 1
o

La distribuciń t de Student. Si Z ∼ N (0, 1) e Y ∼ χ2 (n) y adem´s, Z e Y se distribuyen
o a
independientemente, entonces la distribuciń de X = Z/ Y /n se denomina distribuciń t de
o o

152


Gr´fico A.8: Funciń de densidad de la distribuciń F-Snedecor
a o o

Student de n grados de libertad y se denota:
Z
X= ∼ t(n)
Y /n
El Gr´fico A.9 incluye ejemplos de la funciń de densidad de la t-Student comparńdolas con la
a o a
distribuciń normal estńdar:
o a

Gr´fico A.9: Funciń de densidad de la distribuciń t-Student
a o o

Se trata de una distribuciń sim´trica alrededor de 0. Para n > 1, la media de la distribuciń
o e o
es cero y para n > 2 su varianza es igual a n/(n − 2). Esta distribuciń tiene las colas m´s
o a
gruesas que la normal, es decir, su exceso de curtosis es positivo, pero, a medida que aumentan
sus grados de libertad, la distribuciń t converge a la normal estńdar.
o a

A.2. Repaso de inferencia estad´
ıstica

Supongamos que interesa conocer cu´l es el salario medio de los reciń licenciados. Se trata
a e
de una poblaciń o conjunto de individuos muy amplio, por lo que se recoge la informaciń
o o
unicamente de una muestra o un subconjunto de reciń licenciados seleccionados al azar. Con esta
´ e
informaciń, ¿qu´ es posible inferir del salario esperado de un reciń licenciado? Para responder
o e e
a esta pregunta y, en general, saber usar los datos para examinar conjeturas y relaciones sobre
la poblaciń repasaremos algunos conceptos de inferencia estad´
o ıstica.
El objetivo de la inferencia estad´
ıstica es aprender determinadas caracter´
ısticas de una poblaciń
o
a partir del an´lisis de una muestra. La poblaciń es un conjunto bien definido de elementos que
a o

153

ıa a

son el objeto del estudio, por ejemplo, el conjunto de familias de un pa´ el conjunto de viviendas
ıs,
de una ciudad o los clientes de una empresa de telecomunicaciones. La muestra est´ formada
a
por un subconjunto representativo de elementos de la poblaciń. o
Una vez definida la poblaciń, hay que especificar un modelo para los datos que recoja las carac-
o
ter´ısticas poblacionales que interesan. En Econometr´ suponemos que los datos y1 , y2 , . . . , yN
ıa
son realizaciones de N variables aleatorias cuya distribuciń conjunta depende de varios par´me-
o a
tros desconocidos Θ. Un modelo para los datos especifica las caracter´ ısticas generales de la
distribuciń junto con el vector de par´metros desconocidos Θ. Por ejemplo, supongamos que
o a
nos interesa conocer el precio medio del metro cuadrado de un piso en una ciudad y la muestra
est´ formada por 50 pisos. Suponemos que los valores recogidos del precio por m2 de los 50 pisos,
a
y1 , . . . , y50 , son realizaciones de variables normales idńtica e independientemente distribuidas.
e
Por tanto, el modelo especificado para los datos es:

Yi ∼ N ID(µ, σ 2 )

Los par´metros que determinan la distribuciń son la media y la varianza del precio del m2 ,
a o
que son desconocidos, es decir, Θ = (µ, σ 2 ). Adem´s, la media es el par´metro de inter´s en el
a a e
estudio y queremos aprender sobre ella a partir de los datos.
En grandes l´ıneas, aplicaremos dos herramientas de la estad´ ıstica, la estimaciń y el contraste de
o
hip´tesis. En la estimaciń se trata de calcular posibles valores para par´metros de inter´s, por
o o a e
ejemplo, una elasticidad o el precio medio por metro cuadrado de la vivienda. En el contraste de
hip´tesis hay que establecer una hip´tesis o conjetura espec´
o o ıfica sobre la poblaciń, por ejemplo,
o
que no hay discriminaciń salarial por sexo o que el estado de un piso es un factor determinante
o
de su precio, y analizar los datos para decidir si la hip´tesis es correcta.
o

A.2.1. Estimaciń
o

El objetivo de la estimaciń es aproximar el valor de un conjunto de par´metros desconocidos
o a
de una distribuciń a partir de las observaciones muestrales de la misma. Denotaremos como θ
o
a un par´metro desconocido y Θ = (θ1 , θ2 , . . . , θK ) a un vector de K par´metros desconocidos.
a a
Un estad´ ıstico es una funciń de los datos, g(y1 , . . . , yN ). Un estimador puntual de θ es un
o
estad´ıstico que pretende ser un aproximaciń al par´metro desconocido y se denota por θ. Por
o a ˆ
ejemplo, la media de los datos puede ser un estimador de la media de una variable aleatoria y
la varianza de los datos un estimador de su varianza. Es decir,
N N
1 2 ∗2 1
µ=y=
ˆ ¯ yi σ =
ˆ Sy = (yi − y )2
¯
N N −1
i=1 i=1

Un estimador es una regla que est´ definida antes de que los datos se observen. El valor num´rico
a e
que se obtiene al aplicarlo a los datos se denomina estimaciń. Por ejemplo, la estimaciń de la
o o
media del precio por metro cuadrado de un piso con la muestra de la Tabla 1.1 es:
3, 82 + 5, 246 + . . . + 3, 434 + 4, 20
µ=
ˆ = 3, 91 miles de euros
50
Es decir, se estima que el precio de un piso oscila alrededor de 3910 euros/m2 . Sin embargo,
¿qu´ confianza podemos tener en este resultado? Por ejemplo, ¿valorar´
e ıamos igual esta cantidad
si se hubiera calculado con una muestra de 5 observaciones? La respuesta obvia es NO, sino que
consideramos m´s fiables los resultados con 50 datos que con 5. Por tanto, un estimador (y sus
a
estimaciones) deben complementarse con una medida de su fiabilidad o precisiń.o

154


Un estimador es una variable aleatoria que depende de las variables Yi , i = 1, . . . , N . Su distri-
buciń de probabilidad se denomina distribuciń muestral o distribuciń emp´
o o o ırica del estimador.
En el ejemplo anterior, si Yi ∼ N ID(µ, σ 2 ), entonces el estimador µ = y es una combinaciń
ˆ ¯ o
lineal de N variables normales independientes, por lo que su distribuciń muestral es:
o

µ = y ∼ N (µ, σ 2 /N )
ˆ ¯ (A.19)

La media muestral se distribuye alrededor de la media poblacional y se concentra m´s probabi-
a
lidad alrededor de µ cuanto mayor es N (es decir, menor es la varianza). Por tanto, hay mayor
probabilidad de obtener una estimaciń cercana a µ con 50 datos que con N = 5. En este caso,
o √
es sensato utilizar como indicador de la precisiń la desviaciń t´
o o ıpica σ/ N : menor desviaciń
o
t´
ıpica indica mayor precisiń. Normalmente, σ es desconocido, por lo que sustituimos su valor
o
∗
poblacional por el correspondiente muestral, Sy . La estimaciń de la desviaciń t´
o o ıpica de la
distribuciń muestral de y ,
o ¯
∗
√
σy = Sy = Sy / N
ˆ¯ ¯

se conoce como error t´ıpico de y . √ el ejemplo del precio del m2 , obtenemos que el error
¯ En
t´
ıpico de estimaciń es 0, 993341/ 50 = 0, 14. Es fćil comprobar que si obtuvi´ramos los
o a e
mismos valores √ y y Sy con una muestra de 5 observaciones, el error t´
de ¯ ıpico se triplicar´
ıa,
Sy = 0, 993341/ 5 = 0, 44 miles de euros.
¯

Ejercicio 5. Estimaciń de la media y la varianza del precio por m2 de un
o
piso.

1. Abre el fichero de datos de Gretl pisos.gdt.

2. Crea la variable precio por metro cuadrado, que denotaremos pr m2 :

a) Usa las opciń definir nueva variable que est´ en el men´ Aãdir o en
o a u n
Variable.
b) En la nueva ventana escribe nombre de la nueva variable = f´rmula, es
o
decir,
pr m2 = precio/m2

3. Una vez creados los nuevos datos, las estimaciones de la media, m, y la desvia-
ciń t´
o ıpica, S, se obtienen de la tabla de estad´
ısticos descriptivos. La estimaciń
√ o
de la varianza es el cuadrado de S. El error t´
ıpico de estimaciń es S/ 50.
o

Ejercicio 6: Estimaciń de media y varianza. Utilizando la opciń de estad´
o o ısti-
cos descriptivos o estad´
ısticos principales, obtń las medias y las desviaciones t´
e ıpicas
de z1, z2, x3 y x4 generados en el ejercicio 1. Completa la siguiente tabla, incluyendo
junto con los momentos poblacionales las estimaciones que has obtenido, es decir,
correspondientes los momentos muestrales.

155

ıa a

Modelo 1 µ= σ=
Muestra: z1 Estimaciń =
o Estimaciń =
o

Modelo 2 µ= σ=
Muestra: z2 Estimaciń =
o Estimaciń =
o

Modelo 3 µ= σ=
Muestra: x3 Estimaciń =
o Estimaciń =
o

Modelo 4 µ= σ=
Muestra: x4 Estimaciń =
o Estimaciń =
o

Criterios para comparar estimadores

Para un problema determinado existen distintos m´todos de estimaciń y, obviamente, unos son
e o
mejores que otros. En algunos casos, distintos m´todos pueden dar lugar a un mismo estimador
e
de un par´metro. Es posible elegir entre distintos m´todos de estimaciń basńdonos en ciertas
a e o a
propiedades de la distribuciń muestral del estimador. En general, buscamos los estimadores que
o
m´s se aproximen a los verdaderos valores. As´ exigimos que los estimadores cumplan una serie
a ı,
ˆ
de propiedades basadas en una medida de la distancia entre θ y θ. En este curso nos fijamos en
tres propiedades: insesgadez, eficiencia y el error cuadr´tico medio m´
a ınimo.

Insesgadez. Un estimador es insesgado si la media de su distribuciń emp´
o ırica es el verdadero
valor del par´metro, es decir,
a
ˆ
E(θ) = θ
ˆ
Si se pudieran obtener todas las posibles realizaciones muestrales de θ, el promedio de todas
estas estimaciones ser´ el valor del par´metro. Es una propiedad deseable porque indica que si
ıa a
o ˆ
un estimador es insesgado, el error de estimaciń, θ − θ, se anula en promedio. Un ejemplo de
estimador insesgado de la media poblacional de una distribuciń normal es y , ya que de (A.19)
o ¯
tenemos que E(¯) = µ. Un estimador insesgado de la varianza de una distribuciń es la varianza
y o
muestral, S 2 .
En caso contrario, se dice que el estimador es sesgado. Se define el sesgo de un estimador como
ˆ ˆ
Sesgo(θ) = E(θ) − θ. La parte izquierda del Gr´fico A.10 representa las distribuciones de 3
a
ˆ ˆ
estimadores de un mismo par´metro, θ: el estimador θ1 es insesgado; θ2 , tiene sesgo negativo,
a
ˆ
es decir, en promedio subestima el valor del par´metro; finalmente el sesgo de θ3 es positivo, es
a
decir, este estimador en promedio sobrevalora el valor del par´metro.
a

Eficiencia. Si nos fijamos unicamente en los estimadores insesgados, nos interesa establecer un
´
criterio para elegir un estimador dentro de esta clase de estimadores. En la parte derecha del
Gr´fico A.10 se representa la distribuciń de dos estimadores, ambos insesgados. Claramente,
a o
el estimador con menor varianza, θ ˆ1 , tiene una probabilidad menor de obtener realizaciones
ˆ
alejadas del verdadero valor del par´metro. Por tanto, se considera que θ1 supera al estimador
a
ˆ2 y se dice que θ1 es m´s eficiente que θ2 .
θ ˆ a ˆ

156


Gr´fico A.10: Sesgo y varianza de estimadores
a
En general, si un estimador es el que tiene menor varianza dentro de una clase de estimadores
se dice que es el estimador eficiente dentro de esa clase. As´ se dice que un estimador θ es
ı, ˆ
˜
eficiente dentro de la clase de estimadores insesgados si no hay otro estimador insesgado θ con
una varianza menor:
˜ ˆ
var(θ) ≥ var(θ) ˜
∀θ insesgado
Por ejemplo, la media de los datos es un estimador eficiente dentro de la clase de estimadores
insesgados de la media poblacional µ de una variable normal. Es decir, se demuestra que, si
Yi ∼ N ID(µ, σ 2 ), i = 1, . . . , N , entonces para todo estimador insesgado de µ, µ con E µ = µ:
˜ ˜
σ2
var(¯) =
y ≤ var(˜)
µ
N
Si se trata de estimar un conjunto de K par´metros Θ, se dice que un estimador insesgado Θ
a
˜ ˜
es m´s eficiente que otro estimador insesgado Θ si la diferencia [V (Θ) − V (Θ)] es una matriz
a
semidefinida positiva. Esto implica que cada elemento de Θ tiene una varianza menor o igual
˜
que el correspondiente elemento de Θ.

Error cuadr´tico medio Aunque la insesgadez es una propiedad deseable, esto no implica
a
que un estimador insesgado siempre sea preferible a uno sesgado. El Gr´fico A.11 ilustra una
a
ˆ ˆ
situaciń en la que un estimador insesgado θ1 puede descartarse frente a otro sesgado, θ2 . El
o
ˆ
estimador θ1 tiene mucha varianza, por lo que tiene una probabilidad mayor de obtener errores
o a ˆ
de estimaciń m´s grandes que el estimador con menor varianza, θ2 , aunque este sea sesgado.

Gr´fico A.11: Ejemplos de distribuciń de estimadores
a o

Esto sugiere utilizar como criterio de elecciń de estimadores una medida del error del estimador.
o
Se define el error cuadr´tico medio de un estimador:
a
ˆ ˆ ˆ ˆ
ECM (θ) = E[(θ − θ)2 ] = var(θ) + [sesgo(θ)]2

157

ıa a

que se descompone en un t´rmino de varianza y otro de sesgo. As´ entre un conjunto de esti-
e ı,
madores se elige aquel que tiene menor error cuadr´tico medio.
a

A.2.2. Contraste de hip´tesis
o

Como ya se mencion´, uno de los objetivos de la Econometr´ es el de contrastar hip´tesis.
o ıa o
Por ejemplo, nos planteamos si los datos del precio del m2 de la vivienda son compatibles con
una determinada distribuciń con media 3000 euros/m2 . En un contraste de hip´tesis se trata
o o
de establecer si la diferencia entre la hipot´tica media poblacional (en el ejemplo, 3000 e) y la
e
media muestral (3910 e) se debe unicamente a la naturaleza aleatoria de los datos.
´
Un contraste de hip´tesis tiene tres etapas (Ramanathan, 2002): (1) Formulaciń de dos hip´te-
o o o
sis opuestas; (2) derivaciń de un estad´
o ıstico de contraste y su distribuciń muestral; y (3)
o
determinaciń de un criterio de decisiń para elegir una de las dos hip´tesis planteadas.
o o o
Una hip´tesis estad´
o ıstica es una afirmaciń sobre la distribuciń de una o varias variables alea-
o o
torias. En un contraste se trata de decidir cu´l, entre dos hip´tesis planteadas, es la que mejor
a o
se adecá a los datos. La hip´tesis de inter´s se denomina hip´tesis nula, H0 , mientras que
u o e o
la hip´tesis frente a la que se contrasta se llama hip´tesis alternativa, Ha . En el ejemplo,
o o
consideramos que el precio del m2 es una variable aleatoria normal y planteamos la hip´tesis o
nula de que la media de Y sea igual a 3 (miles e) frente a la alternativa de que no lo sea, es decir,
H0 : µ = 3 frente a Ha : µ = 3
Normalmente, la hip´tesis nula es una hip´tesis simple, es decir, s´lo se plantea un valor para µ.
o o o
La hip´tesis alternativa suele ser una hip´tesis compuesta, que especifica un intervalo de valores.
o o
En el ejemplo, Ha es la negaciń de H0 y se dice que es un contraste bilateral o a dos colas. Si
o
la hip´tesis alternativa se especifica Ha : µ < 3, o bien Ha : µ > 3, se dice que el contraste es
o
unilateral o a una cola.
La elecciń entre las hip´tesis se basa en un estad´
o o ıstico de contraste, que es una funciń de
o
los datos que mide la discrepancia entre estos y H0 . Por ejemplo, en el contraste bilateral sobre
la media, se define la siguiente medida de la discrepancia:
y−3
¯
Sy
¯

Esta discrepancia, que utilizaremos como estad´ ıstico de contraste, no depende de las unidades
de medida y tiene en cuenta la diferencia entre los datos (resumidos en y ) y el valor establecido
¯
en H0 . Adem´s, debe conocerse la distribuciń de esta variable aleatoria cuando la hip´tesis
a o o
nula es correcta. En el ejemplo, se demuestra que si los datos y1 , y2 , . . . , yN son una muestra
aleatoria de un conjunto de variables Yi ∼ N ID(µ, σ 2 ) ∀i, con µ y σ 2 desconocidas, entonces:
y−µ
¯
∼ t(N − 1)
Sy
¯

y sustituyendo µ = 3, tenemos la distribuciń muestral del estad´
o ıstico bajo H0 :
y − 3 H0
¯
t= ∼ t(N − 1) (A.20)
Sy
¯

Este estad´
ıstico se aplica mucho en la prćtica y se denomina estad´
a ıstico t de la media.
Finalmente, para determinar el criterio de decisiń del contraste se divide el conjunto de
o
posibles resultados del estad´
ıstico de contraste en dos zonas, la regiń cr´
o ıtica y su comple-
mentaria. Se rechaza H0 cuando el valor del estad´ ıstico obtenido con la muestra tm pertenece

158


a la regiń cr´
o ıtica. El punto de partida para establecer la regiń cr´
o ıtica es que se rechaza H0 si
la discrepancia entre datos y H0 es grande. En el contraste bilateral, se rechazar´ H0 si y se
ıa ¯
alejara mucho del valor establecido en H0 , lo que para el estad´ıstico implica que:
y−3
¯
|tm | = >c (A.21)
Sy
¯

donde c es la discrepancia m´xima que estamos dispuestos a asumir y se denomina valor cr´
a ıtico.
En caso contrario, si |t m | ≤ c, no se rechaza la hip´tesis nula. El valor de c depende de la
o
distribuciń del estad´
o ıstico de contraste cuando H0 es cierta y del error que estemos dispuestos
a aceptar. En un contraste siempre existe la posibilidad de cometer los siguientes errores:

• Rechazar la hip´tesis nula cuando ´sta es cierta, que se llama error tipo I. El nivel de
o e
significaciń o tamaõ de un contraste es la probabilidad de incurrir en el error tipo I y
o n
se denota por α.

• No rechazar la hip´tesis nula cuando ´sta es falsa, llamado error tipo II. La potencia de
o e
un contraste es la probabilidad de no cometer un error tipo II.

Deseamos cometer el menor error, pero no es posible eliminar los dos errores simultńeamente, es
a
decir, que el tamaõ sea 0 y la potencia igual a 1. En general, disminuir el error tipo I lleva consigo
n
un aumento del error tipo II. Por ejemplo, no cometemos error tipo I si decidimos no rechazar
nunca la hip´tesis nula; pero la potencia del contraste ser´ 0 porque tampoco rechazaremos H0
o ıa
cuando sea falsa. Daremos m´s importancia al error tipo I, por lo que elegiremos el tamaõ del
a n
contraste; los niveles m´s habituales son 10 %, 5 % y 1 %. Para el tamaõ elegido, trataremos de
a n
utilizar el contraste con mayor potencia.

Ejemplo: zona cr´ ıtica en un contraste bilateral sobre la media de una distribuciń normal.
o
Veamos c´mo se determina el valor cr´
o ıtico c en el ejemplo sobre la media del precio. El tamaõ
n
α es la probabilidad de rechazar H0 cuando ´sta es cierta. Como (A.21) es la condiciń para
e o
rechazar y (A.20) es la distribuciń del estad´
o ıstico cuando H0 es cierta, esto implica que:

α = P rob(|t| > c) cuando el estad´
ıstico t ∼ t(N − 1)

En este caso, rechazaremos H0 si el valor del estad´ ıstico t obtenido con los datos es un valor
poco probable en la distribuciń del estad´
o ıstico bajo H0 .

Este gr´fico muestra la distribuciń del estad´
a o ıstico si
H0: µ = 3 es cierta. La regiń cr´
o ıtica es la zona pun-
teada en las dos colas de la distribuciń, de modo
o
que en cada cola se acumula una probabilidad α/2.
As´ c es la ordenada de la distribuciń t(N − 1)
ı, o
que deja en la cola derecha una probabilidad α/2.
Por ejemplo, para α = 0, 05 y N = 50, entonces,
c = 2, 01 y se rechaza H0 al nivel de significaciń del
o
5 % si |tm | > 2, 01.

Ejemplo 1: Contraste sobre la media del precio por m2 en Gretl.
Suponiendo que la variable precio por metro cuadrado pr m2 sigue una distribuciń
o
normal, contrasta H0: µ = 3 frente a Ha: µ = 3. Los pasos son los siguientes:

159

ıa a

1. C´lculo del valor muestral del estad´
a ıstico t = (¯ − 3)/Sy , siendo y la media
y ¯ ¯
muestral de pr m2:
√
tm = 50(3, 9144 − 3)/0, 99341 = 6, 51

Se obtiene con la siguiente opciń de Gretl:
o
Herramientas →Calculadora de estad´ ısticos de contraste
En la siguiente ventana elige la pestaã media y en ella:
n
• Marca la opciń Utilice una variable del conjunto de datos.
o
• Selecciona la variable pr m2. Aparecerń los estad´
a ısticos descriptivos que
intervienen en el c´lculo de t
a m . En este caso:
media muestral: 3,9144
desv. t´
ıpica: 0,99341
tamaõ muestral :
n 50
• Escribe la hip´tesis nula a contrastar: H0: media = 3.
o
• Comprueba que la opciń Suponer que la desv. t´
o ıpica es un valor poblacional
no est´ activada y pincha en Aplicar.
a
El resultado es la tabla y el Gr´fico A.12. En el gr´fico se representa la distri-
a a
buciń del estad´
o ıstico bajo H0 , en este caso t(49), junto con el valor muestral
del estad´
ıstico (la l´
ınea verde).
Hip´tesis nula: media poblacional = 3
o Tama~o muestral: n = 50
n
Media muestral = 3,91439, desv. t´pica = 0,993407
ı
Estad´stico de contraste: t(49) = (3,91439 - 3)/0,140489 = 6,50864
ı
valor p a dos colas = 3,83e-008 (a una cola = 1,915e-008)
0.5
Distribucin muestral t(49)
Estadstico de contraste

0.4

0.3

0.2

0.1

0
-6 -4 -2 0 2 4 6
Desviaciones tpicas

Gr´fico A.12: Ejemplo 1: Resultado y distribuciń del estad´
a o ıstico bajo H0

En este caso tenemos que el valor muestral del estad´ıstico cae en la cola su-
perior, en una intervalo de valores poco probable si H0 es cierta. Por tanto,
rechazaremos la hip´tesis nula. Pero calcularemos exactamente la regiń cr´
o o ıti-
ca.
2. Regiń cr´
o ıtico c se obtiene con la opciń de
ıtica o zona de rechazo. El valor cr´ o
Gretl Herramientas →Tablas estad´ ısticas.
En la nueva ventana hay que elegir la pestaã de la variable t y en el siguiente
n
cuadro hay que rellenar:
• gl = grados de libertad n, en este caso 49
• probabilidad en la cola derecha = α/2. Fijamos un nivel de significaciń o
del 5 %, por lo que escribimos 0,025.
Tras pinchar en Aceptar, obtenemos el siguiente resultado:

160


t(49) probabilidad en la cola derecha = 0,025
probabilidad complementaria = 0,975
probabilidad a dos colas = 0,05

Valor cr´tico = 2,00958
ı

Interpretaciń: P rob(t > 2, 00958) = 0, 025 o bien P rob(X < 2, 00958) = 0, 975.
o
Por tanto, el valor cr´
ıtico con alpha = 5 % es igual a c = 2, 00958.
3. Aplicaciń de la regla de decisiń. Como |6, 51| > c, al nivel de significaciń
o o o
del 5 %, se rechaza la hip´tesis de que el precio medio sea igual a 3000e fren-
o
te a la alternativa. Cierra las ventanas de calculadora de estad´
ısticos y tablas
estad´
ısticas.

Ejemplo: regiń cr´
o ıtica en el contraste unilateral sobre la media de una distribuciń normal.
o
En los estudios econom´tricos a veces se plantean contrastes a una cola. Por ejemplo, en estudios
e
sociales interesa analizar si hay discriminaciń salarial, de modo que las mujeres perciben salarios
o
m´s bajos que los hombres. Habitualmente, se contrasta la hip´tesis nula de que la media del
a o
salario que perciben las mujeres es igual al salario medio de los hombres frente a la hip´tesis
o
alternativa de que la media del salario es mayor en el grupo de hombres.
En el estudio del precio del m2 , supongamos que interesa contrastar si la media es tres o mayor,
por lo que planteamos las hip´tesis:
o
H0 : µ = 3 frente a Ha : µ > 3
√
Al mantenerse la misma hip´tesis nula, el estad´
o ıstico de contraste es (A.20), t = N (¯ − 3)/Sy ,
y
que bajo H0 sigue una distribuciń t(N − 1). La hip´tesis alternativa determina el criterio de
o o
decisiń. Rechazaremos H0 cuando la discrepancia tome valores alejados de H0 y compatibles
o
con Ha , es decir, cuando t tome valores positivos grandes. La regiń cr´
o ıtica est´ definida por la
a
condiciń t > c. El valor cr´
o ıtico c se determina por:

α = P rob(t > c) cuando el estad´
ıstico t ∼ t(N − 1)

La regiń cr´
o ıtica del contraste es la zona pun-
teada en una cola de la distribuciń, la derecha.
o
As´ c es la ordenada de la distribuciń t(N − 1)
ı, o
que acumula en la cola derecha una probabilidad
α.
Por ejemplo, si α = 0, 05 y N = 50, entonces
el nivel cr´
ıtico es c = 1, 67655 (usar herramienta
de tabla estad´ ıstica de Gretl) y no se rechaza H0
al nivel de significaciń del 5 % si tm < 1, 67655.
o

En general, se usan las expresiones rechazar o no rechazar H0 . Esto es as´ porque en un contraste
ı
mantenemos la H0 mientras no haya suficiente evidencia en contra. Los datos pueden rechazar
la hip´tesis, pero no pueden probar que H0 sea correcta, por lo que no se dice que se acepta H0 .
o
No rechazar H0 significa que los datos no son capaces de mostrar su falsedad.

Ejemplo 2: Contraste de igualdad de varianzas. Los datos que estamos anali-
zando sobre precio de la vivienda incluye dos tipos de viviendas:

161

ıa a

• Viviendas a reformar, es decir, es necesario realizar un gasto adicional para
acondicionar la vivienda.
• Viviendas acondicionadas para entrar a vivir.

Es posible que el precio medio de las viviendas a reformar y reformadas sigan patrones
diferentes. Esto implica que la distribuciń del precio de los dos tipos de vivienda es
o
distinta. Por tanto, consideramos el siguiente modelo:

• El precio por metro cuadrado de la vivienda que no necesita reforma, Y1 sigue
2
una distribuciń normal de media µ1 y varianza σ1 .
o
• El precio por metro cuadrado de la vivienda a reformar, Y2 sigue una distribu-
2
ciń normal de media µ2 y varianza σ2 .
o
• Ambas variables Y1 e Y2 son independientes.

Vamos a contrastar si la varianza es la misma en ambas distribuciones frente a que
sea menor en el grupo de pisos a reformar. Por tanto, planteamos el contraste de
hip´tesis:
o
2 2 2 2
H0 : σ1 = σ2 frente a Ha : σ1 > σ2
El procedimiento de contraste consiste en comparar las dos varianzas muestrales,
∗2 ∗2
S1 y S2 , que son estimadores insesgados de las respectivas varianzas poblacionales.
∗2 ∗2 ∗2
Valores cercanos de S1 y S2 , o ratios S1 /S2 ∗2 1, apoyan H0 . El estad´
ıstico de
contraste y su distribuciń bajo H0 son:
o
∗2
S1 H0
F = ∗2 ∼ F(N1 − 1, N2 − 1)
S2
donde N1 es el n´mero de pisos que no necesita reforma y N2 el n´mero de pisos a
u u
∗2 ∗2
reformar. Dada Ha , rechazamos H0 si el ratio S1 /S2 est´ muy por encima de 1. La
a
regiń cr´
o ∗2 ∗2
ıtica, por tanto, est´ definida por S1 /S2 > c, siendo c el valor cr´
a ıtico. Los
pasos para realizar el contraste con Gretl son:
1. Seleccionar el subconjunto de pisos que no necesitan reforma. En el fichero de
datos pisos.gdt son las observaciones para las que la variable Reforma = 1. En
Gretl, seleccionamos la submuestra que cumple esta condiciń si:
o
a) Vamos a Muestra →Definir a partir de v. ficticia.
b) En la nueva ventana aparece como opciń Reforma y pinchamos en Aceptar
o
Si el proceso es correcto, en la parte inferior de la pantalla de Gretl aparece
el mensaje Sin fecha: rango completo n=50; muestra actual n=31. Ahora s´lo o
trabajamos con los datos de pisos que no necesitan reforma: si consultamos los
datos en Datos →Mostrar valores ahora s´lo aparece la informaciń de los 31
o o
pisos que pertenecen a esta clase.
2. Crear la serie de datos y1 que incluye unicamente los precios por m2 de los pisos
´
reformados: en Aãdir →Definir nueva variable... escribimos y1 = pr m2.
n
3. Seleccionar el subconjunto formado por los pisos que necesitan reforma, es decir,
caracterizados por Reforma = 0 :
a) Vamos a Muestra →Restringir, a partir de criterio.
b) En la nueva ventana escribimos el criterio de selecciń:
o
Reforma =0
c) Pinchamos en Reemplazar restricciń actual y luego en
o
Aceptar.

162


Ahora debe aparecer Sin fecha: rango completo n=50; muestra actual n=19.
4. Crear la serie de datos y2 de precios por m2 de pisos no reformados: en Aãdir
n
→Definir nueva variable... escribimos y2 = pr m2.
5. Recuperar la muestra completa en Muestra →Recuperar rango el completo.
Comprobamos que las series y1 e y2 no tienen errores editando los datos de
estas series. Las celdas de y1 estarń vac´ en pisos no reformados y lo rec´
a ıas ıpro-
co para y2.
ıstico F m en Herramientas →Calculadora
6. Calcular el valor muestral del estad´
de estad´
ısticos de contraste →2 varianzas. En la siguiente ventana rellenamos
los datos:
- Marcar Utilice una variable del conjunto de datos y seleccionar y1.
Aparecen los estad´ ∗2
ısticos necesarios de y1: S1 = 0, 77702 y N1 = 31

Aparecen los estad´ ∗2
ısticos necesarios de y2: S2 = 0, 70340 y N2 = 19

- Comprobar la marca en Mostrar el gr´fico de la distribuciń muestral y
a o
Aplicar.
El resultado es una tabla y un gr´fico con la distribuciń del estad´
a o ıstico bajo
H0 , F(30, 18) y el valor muestral del estad´
ıstico.

Hip´tesis nula: Las varianzas poblacionales son iguales
o
Muestra 1: n = 31, varianza = 0,777054
Muestra 2: n = 19, varianza = 0,703402
Estad´stico de contraste: F(30, 18) = 1,10471
ı
valor p a dos colas = 0,8436 (a una cola = 0,4218)
1.2
Distribucin muestral F(30, 18)

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

a o ıstico bajo H0

7. El gr´fico anterior sugiere que no rechazaremos H0 . Calculamos la regiń cr´
a o ıtica:
se trata de un contraste a una cola, por tanto, buscamos c tal que 0, 05 =
P rob(F > c). Vamos a Herramientas →Tablas estad´ ısticas →F.
Los grados de libertad del numerador son gln 30 y los del denominador, gld 18.
Finalmente, la probabilidad en la cola derecha es 0,05. El resultado es:
F(30, 18) probabilidad en la cola derecha = 0.05
probabilidad complementaria = 0.95
Valor cr´tico = 2.10714
ı
Por tanto, si α = 5 %, entonces c = 2, 107.

163

ıa a

8. Conclusiń del contraste: F m = 1, 10 < 2, 11, por tanto, al nivel de significaciń
o o
del 5 % no rechazamos la hip´tesis de igualdad de varianzas entre los dos tipos
o
de viviendas.

Ejemplo 3: Contraste de igualdad de medias. Vamos a contrastar la hip´tesis o
de que el precio medio del piso es mayor en los pisos reformados. Suponiendo que
el precio por m2 de los dos tipos de pisos son variables independientes, ambas con
distribuciń normal de igual varianza, σ 2 y medias diferentes, µ1 y µ2 .
o
Para contrastar la hip´tesis anterior, planteamos
o H0: µ1 = µ2 frente a Ha: µ1 > µ2 .
El procedimiento de contraste se basa en la comparaciń de las dos medias muestra-
o
les, y1 y y2 . Pequeãs diferencias entre ellas apoyan la H0 . El estad´
¯ ¯ n ıstico de contraste
y su distribuciń bajo H0 son:
o
y1 − y2
¯ ¯ H0
t= ∼ t(N1 + N2 − 2)
S 1/N1 + 1/N2
donde S 2 es el estimador de la varianza comń utilizando todos los datos:
u
N1 N2
1
S= (y1i − y1 )2 +
¯ (y2i − y2 )2
¯
N1 + N2 − 2
i=1 i=1

Dada Ha , rechazamos H0 si la diferencia y1 − y2 es grande. La regiń cr´
¯ ¯ o ıtica, por
tanto, est´ definida por t > c, siendo c el valor cr´
a ıtico.
Aplicamos el procedimiento de contraste a los datos en Gretl. Las dos series de datos
y1 e y2 se crean segń lo descrito en el ejemplo 2. A continuaciń debemos:
u o

ıstico tm en Herramientas →Calculadora
1. Calcular el valor muestral del estad´
de estad´
ısticos de contraste →2 medias. En la siguiente ventana rellenamos los
datos:
Aparecen los estad´ ∗
ısticos de y1: y1 = 4, 3040, S1 = 0, 88150675 y N1 = 31
¯

Aparecen los estad´ ∗
ısticos de y2: y2 = 3, 278717, S2 = 0, 83869 y N2 = 19
¯

- Marcar Suponer desviaciń t´
o ıpica poblacional comń.
u

- Marcar Mostrar el gr´fico de la distribuciń muestral y pinchar en Aplicar.
a o
El resultado es una tabla y un gr´fico con la distribuciń t(50 − 2) y el valor
a o
muestral del estad´
ıstico.

Hip´tesis nula: Diferencia de medias = 0
o
Muestra 1: n = 31, media = 4,304, d.t. = 0,881507
desviaciń t´pica de la media = 0,158323
o ı
Intervalo de confianza 95% para la media:
3,98066 a 4,62734

Muestra 2: n = 19, media = 3,27872, d.t. = 0,838691

164


desviaciń t´pica de la media = 0,192409
o ı
Intervalo de confianza 95% para la media:
2,87448 a 3,68295

ı
t(48)= (4,304-3,27872)/0,252229 =4,0649
valor p a dos colas = 0,0001774 (a una cola = 8,871e-005)

0.5
Distribucin muestral t(48)

0.4

0.3

0.2

0.1

0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Desviaciones tpicas

a o ıstico bajo H0

2. Definir la regiń cr´
o ıtica: se trata de un contraste a una cola, por tanto, buscamos
c tal que 0, 05 = P rob(t > c). Vamos a Herramientas →Tablas estad´ ısticas →t,
grados de libertad gl 48 y para α = 5 %, obtenemos c = 1, 229.
3. Resultado del contraste: 4, 06496 > 1, 229, por tanto, al nivel de significaciń
o
del 5 % rechazamos la hip´tesis nula de igualdad de medias. Es decir, los datos
o
apoyan la hip´tesis de que el precio del m2 es mayor en los pisos reformados.
o

165

ıa a

166

Apńdice B
e

B.1. Otros recursos

• Algunos organismos institucionales que publican datos macroecon´micos son:
o

• Banco Central Europeo: http://www.ecb.int/

• Banco de Espaã: http://www.bde.es → Estad´
n ısticas

• Banco Mundial: http://www.worldbank.org

• Bolsa de Madrid: http://www.bolsamadrid.es

• Economic and Social Data Series: Gu´ a recursos de datos de libre acceso:
ıa
http://www.esds.ac.uk/internacional/access/access.asp

• EUROSTAT: Oficina Estad´ ıstica de la Uniń Europea:
o
http://europa.eu.int/comm/eurostat

• Fondo Monetario Internacional (FMI): http://www.imf.org

• Instituto Nacional de Estad´
ıstica (INE): http://www.ine.es → Inebase o Banco tempus

• Instituto Vasco de Estad´
ıstica (EUSTAT): http://www.eustat.es

• Organizaciń para la Cooperaciń y Desarrollo Econ´mico (OCDE): http://www.oecd.org
o o o

• Software estad´
ıstico y/o econom´trico:
e

• Eviews, http : //www.eviews.com.

• SHAZAM, http : //shazam.econ.ubc.ca

• Gretl, http : //gretl.sourcef orge.net

• RATS, http : //www.estima.com

• R, http : //www.r − project.org

167

ıa a

• Links a libros de Econometr´ y/o Estad´
ıa ıstica.

• Greene, W. (2008), Econometric Analysis, http://prenhall.com/greene

• Gujarati, D. (1997), Econometr´ b´sica,
ıa a
http://www.mhhe.com/economics/mhhe

• Hill, R. C. Griﬃths, W.E. y G. G. Judge (2001), Undergraduate Econometrics,
http://eu.he.wiley.com/WileyCDA

• Kennedy, P. (1992), A Guide to Econometrics.,

• Ramanathan, R. (2002), Introductory Econometrics with applications,
http://weber.ucsd.edu/∼rramanat/embook5.htm

• Verbeek, M. (2004), A Guide to Modern Econometrics,

• Wooldridge, J. M. (2003), Introductory Econometrics. A Modern Approach,
http://wooldridge.swcollege.com/

• Algunos libros de Econometr´ y/o Estad´
ıa ıstica que incluyen CD con datos para resolver ejer-
cicios:

• Alonso, A., Fern´ndez, F. J. e I. Gallastegui (2005), Econometr´ Prentice-Hall, Madrid
a ıa,

• Ramanathan, R. (2002), Introductory Econometrics with Applications, 5a edn., South-
Western, Mason, Ohio.

• Stock, J. y M. Watson (2003), Introduction to Econometrics, Addison-Wesley, Boston.

• Verbeek, M. (2004), A Guide to Modern Econometrics, 2a edn., John Wiley, England.

• Wooldridge, J. M. (2003), Introductory Econometrics. A Modern Approach, 2a edn., South-

• Datos

• http : //www.nber.org/data index.html

• http : //www.estadief.minhac.es/

• http : //f isher.osu.edu/f in/osudown.htm

• http : //econ.queensu.ca/jae/

• http : //www.psidonline.isr.umich.edu/data/

• http : //www.census.gov/

168


• Revistas de Econom´
ıa

• http : //www.revecap.com. Revista de Econom´ Aplicada
ıa

• http : //www.revistaestudiosregionales.com. Revista de Estudios Regionales

• http : //www.f unep.es/invecon/sp/sie.asp. Investigaciones Econ´micas
o

• http : //www1.euskadi.net/ekonomiaz. Ekonomiaz

169

ıa a

170

Bibliograf´
ıa

Bibliograf´ B´sica:
ıa a
Ramanathan, R. (2002), Introductory Econometrics with Applications, 5th. edn., South-Western,
Mason, Ohio.

Bibliograf´ recomendada en los temas del curso:
ıa
Alonso, A., Fernńdez, F. J. e I. Gallastegui (2005), Econometr´ Prentice-Hall, Madrid.
a ıa,
Davidson, D. y J. Mackinnon (2004), Econometric Theory and Methods, Oxford University
Press, New York.
Engle, R. F. (1982), “A general approach to Lagrangian Multiplier Modelo Diagnostics”, Jour-
nal of Econometrics, vol. 20, pp. 83-104.
Greene, W. (2008), Econometric Analysis, 6a edn., Prentice-Hall, New Jersey.
Gujarati, D. (1997), Econometr´ B´sica, 4a edn., McGraw-Hill, Mexico.
ıa a
Heij, C., de Boer, P., Frances, P., Kloek, T. y H. Van Dijk (2004), Econometric Methods
with Applications in Business and Economics, Oxford University Press, Oxford.
Neter, J., Wasserman, W. y M. H. Kutner (1990), Applied Linear Statistical Models, 3a
edn., M.A: Irwin, Boston.
Pe˜ a, D. y J. Romo (1997), Introducciń a la Estad´
n o ıstica para las Ciencias Sociales, McGraw-
Hill, Madrid.
Stock, J. y M. Watson (2003), Introduction to Econometrics, Addison-Wesley, Boston.
Verbeek, M. (2004), A Guide to Modern Econometrics, 2a edn., John Wiley, England.
Wooldridge, J. M. (2003), Introductory Econometrics. A Modern Approach, 2a edn., South-

Bibliograf´ Complementaria:
ıa
Fernńdez, A., Gonz´lez, P., Reg´ lez, M., Moral, P. y M. V. Esteban (2005), Ejercicios
a a u
de Econometr´ 2a edn., MacGraw-Hill, serie Schaum, Madrid.
ıa,

171

ıa a

Hill, R. C. Griﬃths, W.E. y G. G. Judge (2001), Undergraduate Econometrics, 2a edn.,
John Wiley and Sons, Inc., England.
Johnston, J. y J. Dinardo (2001), M´todos de Econometr´ Vicens Vives, Barcelona.
e ıa,
Kennedy, P. (1992), A Guide to Econometrics., 3a edn., Blackwell, Oxford.
Maddala, G. S. (1996), Introducci´n a la Econometr´ 2a edn., McGraw-Hill, M´xico.
o ıa, e
Novales, A. (1993), Econometr´ 2a edn., McGraw-Hill, Madrid.
ıa,
Pindyck, R.S. y D.L. Rubinfeld (1998), Econometric Models and Economic Forecast, 4a
edn., McGraw-Hill, New York.

172

Econometria aplicada con gretl

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