Econometria

Manual de Econometría
Alfonso Novales
April 29, 2003

Contents
1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Algunos conceptos estadísticos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Medidas de posición y medidas de dispersión . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 La media muestral como predictor . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 La desviación típica como indicador de volatilidad . . . . . 7
2.2 Medidas de asociación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Contrastación de hipótesis estadísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1 Contrastes de Normalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Contrates de asociación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Tratamiento de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.1 Ajuste estacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 Tasas de variación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.3 Estimación de componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 El modelo lineal simple de regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.1 Descripción del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.1.1 Nube de puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.2 Estimación por mínimos cuadrados (ordinarios) . . . . . . . . . . 15
5.2.1 Representación gráfica de la recta de regresión estimada . 15
5.3 Propiedades del estimador de mínimos cuadrados ordinarios . . . 15
5.4 Residuos del modelo. Gráficos de residuos . . . . . . . . . . . . . 16
5.4.1 Estimación de la varianza del término de perturbación . . 17
5.5 Cuando los coeficientes del modelo de regresión cambian a lo largo
de la muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.5.1 Cambio estructural en los coeficientes del modelo de regresión 18

5.5.2 Variación gradual en los coeficientes del modelo . . . . . . 21
5.6 Algunos modelos de regresión sencillos . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.6.1 El modelo constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.6.2 El modelo con variables en desviaciones respecto a la media 23
5.6.3 El modelo con tendencia determinista lineal y cuadrática . 24
5.6.4 Modelos no lineales en las variables . . . . . . . . . . . . . 25
5.7 ¿Cómo especificar un modelo de regresión? . . . . . . . . . . . . . 26
5.7.1 ¿Debe incluirse una constante en el modelo de regresión? . 26
5.7.2 ¿Debemos estimar en valores originales o en logaritmos de
las variables? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.7.3 ¿Debe estimarse el modelo con variables en niveles o en
diferencias? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.7.4 La frecuencia de observación de las variables . . . . . . . . 27
6 Contrastes de hipótesis en el modelo de regresión lineal simple . . . . . 30
6.1 Significación estadística versus precisión . . . . . . . . . . . . . . 30
6.1.1 ¿Se hace una variable más o menos significativa? . . . . . . 32
6.1.2 ¿Cómo puede discutirse qué variable es más relevante en
una regresión? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7 Correlación versus causalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8 Variables no estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8.1 Características de una variable estacionaria . . . . . . . . . . . . . 32
8.2 Tendencias deterministas y tendencias estocásticas . . . . . . . . . 33
8.3 Regresión espúrea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8.3.1 Regresión espúrea bajo tendencias deterministas . . . . . . 38
8.3.2 Regresión espúrea bajo tendencias estocásticas . . . . . . . 39
8.4 Tratamiento de tendencias deterministas . . . . . . . . . . . . . . 42
8.5 Ejercicios de simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8.6 Tendencias estocásticas y raíces unitarias . . . . . . . . . . . . . . 44
8.7 Contrastes de raíz unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.8 Cointegración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.8.1 Contraste de cointegración . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.8.2 Contraste de hipótesis sobre la relación de cointegración es-
timada por mínimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.8.3 Correlación y cointegración . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.8.4 Variables cointegradas: un ejemplo . . . . . . . . . . . . . 48
8.8.5 El modelo de corrección de error . . . . . . . . . . . . . . . 49
8.8.6 El contraste de cointegración de Johansen . . . . . . . . . 51

2

8.8.7 Aspectos comunes a varias variables temporales: tendencias
comunes, volatilidad común. . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.8.8 ¿Qué hacer en presencia de variables con tendencias estocás-
ticas (raíces unitarias)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
9 Matrices de covarianzas no escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9.1 Detección de la autocorrelación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9.2 Tratamiento de la autocorrelación. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9.3 El estimador de mínimos cuadrados generalizados . . . . . . . . . 54
9.4 Detección de la heteroscedasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9.5 Contraste de igualdad de varianza entre submuestras . . . . . . . 54
9.6 Tratamiento de la heteroscedasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . 54
10 El modelo de regresión lineal múltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
10.1 Estimación por mínimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
11 Propiedades del estimador de mínimos cuadrados. . . . . . . . . . . . . 60
12 Bondad de ajuste del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
13 Contrastes de hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
14 Matrices de covarianzas no escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
14.1 Comparación de estimadores de la regresión múltiple y la regresión
simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
14.2 Regresión particionada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
15 Grado de ajuste del modelo de regresión múltiple . . . . . . . . . . . . 77
15.1 Coeﬁcientes de correlación parcial y de determinación parcial . . . 78
16 Colinealidad entre variables explicativas en un modelo de regresión . . . 80
16.1 Efectos de la colinealidad entre variables explicativas . . . . . . . 81
16.2 Detección de la colinealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
16.3 Tratamiento de la colinealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
16.3.1 Regresión ortogonalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
16.3.2 Otros tratamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
17 Predicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
18 Modelos univariantes de series temporales . . . . . . . . . . . . . . . . 88
18.1 Primeros conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
18.1.1 Procesos estocásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
18.1.2 Funciones de autocorrelación simple y parcial . . . . . . . 88
18.2 Procesos autoregresivos, AR(p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
18.2.1 El modelo AR(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
18.2.2 El modelo AR(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
18.3 Procesos de medias móviles, MA(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3

18.4 Procesos mixtos, ARMA(p,q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
18.5 Procesos integrados ARIMA(p,d,q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
18.6 Predicción con modelos univariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
18.6.1 Predicción con modelos AR(p) . . . . . . . . . . . . . . . . 88
18.6.2 Predicción con modelos MA(q) . . . . . . . . . . . . . . . 88
18.6.3 Predicción con modelos ARMA(p,q) . . . . . . . . . . . . 88
18.6.4 Predicción con modelos ARIMA(p,d,q) . . . . . . . . . . . 88
18.7 Estimación de modelos univariantes de series temporales . . . . . 88
18.7.1 Estimación de modelos autoregresivos . . . . . . . . . . . . 88
18.7.2 Estimación de modelos de medias móviles . . . . . . . . . 88
18.7.3 Estimación de modelos ARMA(p,q) y ARIMA(p,d,q) . . . 88
19 El procedimiento de variables instrumentales . . . . . . . . . . . . . . . 88
19.1 Correlación entre variables explicativas y término de error . . . . 88
19.2 Errores de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
20 Modelos dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
20.1 Colinealidad entre variables explicativas . . . . . . . . . . . . . . 88
20.2 Estimación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
20.2.1 Perturbación sin autocorrelación . . . . . . . . . . . . . . . 88
20.2.2 Perturbación con autocorrelación . . . . . . . . . . . . . . 88
21 Simultaneidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
21.1 Identiﬁcación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
21.2 Estimación de una ecuación del sistema . . . . . . . . . . . . . . . 88

4

1. Introducción
Ha sido tradicional dejar muchas decisiones a los métodos estadísticos.
La discusión importante es si el investigador debe plantear su investigación
incorporando sus creencias a priori o, por el contrario, la investigación ha de ser
aséptica en ese sentido, no debiendo estar condicionada en ningún aspecto por las
creencias iniciales del investigador.

2. Algunos conceptos estadísticos básicos
2.1. Medidas de posición y medidas de dispersión
Media, media ponderada, mediana, moda, varianza, desviación típica. Medidas
alternativas de volatilidad.
La media, muestral o poblacional, es la constante con respecto a la cual el
error cuadrático medio de la variable aleatoria es menor. Conveniencia de su
utilización.

2.1.1. La media muestral como predictor
La esperanza matemática de una variable tiene una propiedad de gran impor-
tancia: es la constante alrededor de la cual la variable aleatoria experimenta
ﬂuctuaciones de menor tamaño. Análogamente, dada una determinada muestra,
la media muestral es la constante con respecto a la cual la variable experimenta
unas menores desviaciones. Es decir, si nos plantemos resolver el probelma,
£ ¤
M in F (a) ≡M in E (X − a)2
a a

donde la incógnita es la constante a, la solución es a = µ. El valor mínimo
de la función objetivo es: F (µ) = V ar(X). Dada una determinada muestra de
tamaño n, la solución al problema,
n
X£ ¤
M in F (a) ≡ (Xi − a)2
a
1

viene dada por a = x. El valor mínimo de la función objetivo es: F (¯) =
¯ x
V ar(X), varianza muestral de X.
Quizá sorprendentemente, esta propiedad tiene implicaciones en relación con
la predicción: un ejercicio de predicción consiste en anticipar un valor de una

5

variable Xt en un instante futuro t0 , xt0 a partir de observaciones temporales
ˆ
x1 , x2 , ..., xT , T < t0 . Por supuesto que una predicción no se verá exactamente
corroborada por los datos futuros: el dato que se reciba en el instante t0 , xt0 ,
podrá exceder de la previsión xt0 que efectuamos en el instante T , o ser inferior a
ˆ
la misma. Lo que el investigador quiere es que su método de predicción garantice
que el error que espera cometer sea el menor posible. no tendría sentido utilizar
un método de predicción que incumpla esta propiedad, pues equivaldría a creer
que existe algún método de predicción alternativo con una expectativa de error
inferior. Ahora bien, como el error de predicción (deﬁnido como la diferencia entre
valor realizado y valor anticipado, xt0 − xt0 ) que se materialice en t0 puede ser
ˆ
positivo o negativo, es razonable buscar un método de predicción que minimice la
expresión,
£ ¤
M in E (xt0 − xt0 )2
ˆ (2.1)
xt0
ˆ

Ahora bien, si la variable X tiene una distribución de probabilidad constante
en el tiempo, como ocurriría si estamos considerando una muestra aleatoria simple,
y en ausencia de tendencias, cambios estructurales en media, etc., la propiedad
anterior nos sugiere que el mejor procedimiento de predicción será,

xt0 = x
ˆ ¯

Por tanto, si hemos de predecir un valor futuro de una variable aleatoria, sin
disponer de datos de la misma, su esperanza matemática, si es conocida, minimiza
el Error Cuadrático Medio entre todas las predicciones posibles. Si conocemos
únicamente la media muestral, pero no disponemos de los datos individuales, dicha
media muestral tiene una propiedad análoga a la que acabamos de enunciar.
Tan importante es esta propiedad que la media muestral debe utilizarse como
referencia con respecto a la cual tratar de obtener una predicción mejor. Cuando
decimos que una variable es impredecible, no nos referimos a que su predicción
es cero, o que no puede obtenerse, sino a que propondremos como predicción su
media muestral, sin hacer ningún cálculo adicional. Lo importante es observar que,
si se conoce la esperanza matemática de la variable, o se dispone de una media
muestral, éstas son predicciones sencillas de obtener, y aceptables, al menos en
ausencia de información adicional.
Como matiz puede añadirse que, si el criterio a minimizar cuando se calcula
una predicción no es el ECM como en (2.1) , sino el Arror Absoluto Medio de la
predicción,

6

M in E | xt0 − xt0 |
ˆ (2.2)
xt0
ˆ

entonces la predicción debe ser la Mediana poblacional, o la mediana muestral,
si se dispone de dicha información, xt0 = M ediana(x).
ˆ
Hay que resaltar, sin embargo, que, con más información que simplemente la
media muestral, el investigador puede aspirar a obtener una predicción mejor que
la proprcionada por la media muestral; para ello, deberá sustituir el promedio
muestral por la esperanza condicional ET xt0 . Si por ejemplo, el investigador cree
que la variable que pretende predecir obedece una estructura AR(1), entonces la
predicción que minimiza el Error Cuadrático Condicional Medio vendrá dada por
ET xt0 = ρ(t0 −T ) xT , como vimos al examinar este tipo de procesos. La varianza
condicional no es nunca superior a la varianza incondicional y es, en la mayoría
de los casos, muy inferior. La media muestral minimiza la varianza incondicional,
mientras que ET xt0 minimiza la varianza condicional, alcanzando un resultado
menor de este criterio y, por tanto, preferible.
El modo en que puede utilizarse la información muestral detallada disponible
para obtener el valor numérico dela varianza condicional ET xt0 es el objeto de
XXX.

2.1.2. La desviación típica como indicador de volatilidad
Ha sido tradicional en el análisis de datos económicos utilizar la desviación típica
como medida de volatilidad de una variable. Esto es especialmente cierto en
el analisis de datos financieros, donde, aunque recientemente se han introducido
otras medidas de volatilidad, el uso de la desviación típica es todavía habitual.
Esta práctica se deriva de la interpretación directa de la desviación típica,como la
desviación promedio entre los valores que toma una determinada variable aleato-
ria, y su valor medio. Sin embargo, existen múltiples situaciones en las que tal
caracterización de la volatilidad puede proporcionar una imagen engañosa de lo
que el investigader pretende medir.
Tomamos como punto de partida la idea de que, al medir volatilidad, el inves-
tigador pretende cuantificar el tamaño medio de las fluctuaciones que experimenta
una determinada variable aleatoria. La simple lectura de esta afirmación debería
sugerir al lector que, como posible definición de volatilidad, resulta fundamen-
talmente incompleta. Las fluctucaioens que experimenta una variable aleatoria
no pueden estudiarse si no se define previamente el valor que sirve de referencia
respecto al cual medir dichas fluctuaciones.

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En una primera lectura, podría pensarse que es evidente que la pretensión es
la de cuantificar las fluctuaciones que experimenta una variable aleatoria respecto
a su nivel medio. Esta es la idea que subyace al uso de la desviación típica como
medida de volatilidad; sin embargo, es fácil ver que existen situaciones en que
dicha utilización no está totalmente justificada:
• Cambio estructural en media: supongamos una variable X que es constante
a lo largo de cada una de las dos submuestras enque podemos dividir el
período muestral. Es decir, X=µ1 en la primera parte de la muestra, y
X=µ2 en la segunda parte de la muestra. En muchos sentidos, podríamos
decir que esta variable es constante, y ha experimenatdo una volatilidad
nula a lo largo del intervalo muestral, si bien es verdad que en el instante t0
se produjo un cambio estructural, de carácter permanente, en el nivel medio
de la variable. Si no se tiene en cuenta dicho cambio en la media, la varianza
de X resulta ser no nula, mientras que si tenemos en cuenta el cambio en
media, la varianza que calculemos será cero.
• Presencia de una tendencia determinista: supongamos una variable X que
crece a una tasa media de γ, a la vez que experimenta fluctuaciones alrede-
dor de dicha tasa media de crecimiento. En este caso, la varianza muestral
de la variables, así como su desviación típica, serán importantes, y tanto
más elevadas cuanto mayor sea la tendencia o tasa de crecimiento γ. Esta
situación es muy frecuente en Economía en general y en Finanzas en par-
ticular, y se utiliza la desviación típica como indicador de volatilidad. Hay
dos dificultades que suelen ignorarse: una, que, en presencia de endencia,
carecemos de valor central de referencia. En presencia de una tendencia o
crecimiento constante γ, el valor medio tenderá a ser el valor que tomó la
variable hacia el período central de la muestra, pero no es representativo de
los valores muestrales de la variable: la primera parte de la muestra tenderá
a estar por debajo de la media, estando la segunda parte de la muestra por
encima de la media muestral; en tal situación la media muestral no es un
valor representativo de la variable y, en consecuencia, no tiene mucho sentido
calcular el tamaño de las fluctuaciones alrededor de dicha media. En este
contexto, el tamaño medio de las fluctuaciones alrededor de la media será,
en realidad, un indicativo de la magnitud de γ, la tasa media de crecimiento
o tendencia determinista.
Este es un caso donde debemos distinguir entre corto y largo plazo: a largo
plazo, el uso de la desviación típica podría estar justificado, si entendemos que la

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tendencia media de crecimiento γ será eventualmente sustituida por un descenso
en la variable, y la sucesión de un ciclo u oscilación de período amplio, que termi-
naría justificando el cálculo de un valor central de referencia. La volatilidad a corto
plazo será el tamaño medio de las fluctuaciones alrededor de la tendencia deter-
minista. Por tanto, tendría plena justificación extraer de la variable el crecimiento
tendencial, que había que estimar previamente, y calcular el tamaño medio de las
fluctuaciones que experimente el componente que resulta tras la extracción de la
tendencia determinista.
Una vez más, no se trata de discutir cuál es el modo correcto de proceder; más
bien, hay que entender que estamos hablando de estimar características diferentes
y, alguna de ellas puede no estar estadísticamente justificada. De acuerdo con la
discusión anterior, medir la volatilidad mediante la desviación típica de una vari-
able con tendencia determinista, tiene poca justificación. Esto es especialmente
cierto en el análisis financiero: en un período en que el precio de un activo exper-
imente un sólido crecimiento, su avrianza muestral resultará relativamente alta,
por lo que podría concluirse que ofrece un riesgo importante; en consecuencia, a
pesar de su sostenida rentabilidad (variación porcentual en precio), un inversor
podría decidir no incorporarlo en su cartera; este análisis sería incorrecto.

2.2. Medidas de asociación
Coeficiente de correlación. Coeficiente de correlación parcial.

3. Contrastación de hipótesis estadísticas
Uno de los procedimientos básicos dela inferencia estadística es la contrastación
de hipótesis, mediante el cual el investigador pretende conocer el grado en que la
información muestral de que dispone es compatible con una determinada hipóte-
sis. La hipótesis quee contrasta, denominada hipótesis nula, hace referencia a una
determinada característica de la distribución de probabilidad de la que procede
la información muestral disponible. Así, la hipótesis nula, denotada como H0 ,
puede ser del tipo: H0 : ”La población de la que se extrajo la muestra es Nor-
mal” o referirse a valores numéricos para algún parámetro de dicha distribución
de probabilidad poblacional, como H0 : ”La esperanza matemática poblacional es
igual a 10”: H0 : µ = 10, ó ”La varianza poblacional es igual a 25”: H0 : σ 2 = 25,
ó ambas propiedades a la vez: H0 : µ = 10, σ 2 = 25. Generalmente, los contrastes
anteriores se realizan bajo el supuesto de que el carácter de la distribución de

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probabilidad poblacional es conocido, por ejemplo, Normal. Este tipo de con-
trastes son contrastes paramétricos, puesto que se basan en la estimación de al-
gunos parámetros de la distribución de probabilidad poblacional. El investigador
no debe olvidar nunca que las propiedades de estos contrastes dependen de que
sea correcta la hipótesis que se haya establecido acerca del tipo de distribución
poblacional de la que se extrajo la muestra disponible, así como del carácter de
dicha muestra (muestra aleatoria simple). Un contraste que tiene muy buenas
propiedades XXXX
Existen contrastes no paramétricos, que no precisan de la estimación de parámet-
ros poblaiconales, ni descansan en ningún supuesto acerca de la distribución de
probabilidad poblacional, que son de un enorme interés en el análisis de datos
económicos, a pesar de ser poco habituales. Son contrastes cuyas propiedades son
muy robustas (es decir, continúan siendo válidas total o aproximadamente) con in-
dependencia del tipo de distribución poblacional. Una segunda razón que confiere
enorme interés a los contrates no paramétricos es que nos permiten discernir el
grado en que son válidas hipótesis que no pueden representarse en térmios de val-
ores numéricos para los parámetros de la distribución de probabilidad poblaiconal.
Así, en el primero de los ejemplos mantes mencionados, queremos contrastar la
hipótesis de que la población de la que se extrajo la muestra sigue una distribu-
ción Normal. Por supuesto, que también podría contrastarse la hipótesis nula
de que obedecve una distribución t de Student, o chi-cuadrao, o cualquier otra.
Asimismo, podemos contrastar la hipótesis de que dos muestra proceden de igual
distribución de probabilidad, sin necesidad de especficar de qué tipo es ninguna
de ellas.
Un tipo de contraste de gran interés para las cuestiones examinadas en el
trabajo específico econométrico estriba en el grado de asociacin entre variables.
Precisamente la Econometría consiste en el cnojunto de métodos estadísticos que
permiten asignar valores numéricos a los coeficientes de un modelo que trata de
representar la relación existente entre un conjunto de variables económicas. Es,
por tanto, un análisis de tipo paramétrico; una vez asigndaos valores numéricos a
los parámetros del modelo, generalmente se llevarán a cabo contrastes paramétri-
cos de hipótesis, utilizando los valores numéricos estimados. Existen, asimismo,
contrates no paramétricos que, sin necesidad de pasar por una fase de estimación,
permiten discutir si la evidencia muestral es consistente con la hipótesis de que dos
variables determinadas están relacionadas entre sí. Es tan fácil llevar a cabo este
tipo de contrastes que deberían formar parte, como paso previo a la estimación
de todo modelo econmétrico. No sería razonable que las conclusiones de tales

10

contrastes dictaminen la relación de variables que deben incluirse en un modelo
econométrico, pero es sumamente iliustrativo compementar la información pro-
porcionada por ambos tipos de contrastes. En definitivia, como proponíamos en
la Introducción a este texto, precisamente por su naturaleza probabilística, los
métodos estadísticos no deben utilizarse de manera dogmática. En definitiva, se
trata de examinar la cuestión que está siendo objeto de análisis en un determinado
estudio, a la luz de la información muestral disponible, desde diversas ópticas, con
el objeto de proporcionar distintos tipos de evidencia. Por supuesto que en la gen-
eralidad de los casos, esas distintas perspectivas no serán todas consistentes entre
sí. Debe esperarse del investigador que proporcione toda la informcaion gener-
ada en relación con la cuestión que definía la investigación, para que cada lector
pueda extraer sus propias conclusiones. En un contexto probabilístico no existen
las verdades absolutas, y un detemrinado análisis puede conducir a conclusiones
diferentes.
En un contraste paramétrico se establece, como confrontación a la hipótesis
nula, una hipótesis alternativa. La forma que adopte dicha hipótesis no es ir-
relevante en cuanto a la resolución del contraste de hipótesis. Como ejemplo,
tomando como un hecho cierto que la distribución de probabilidad poblacional
es Normal, y qeu la varianza de dicha distribución es conocida, un investigador
puede desear contrastar la hipótesis nula H0 : µ = 10, frente a la hipótesis al-
ternativa H1 : µ 6= 10. En este caso, la hipótesis nula es simple, por cuanto que
incluye un único valor posible para la esperanza matemática poblaiconal, mientras
que la hipótesis alternativa es compuesta, por cuanto que incluye todo un rango
de valores, todos los distintos del incluido en la hipótesis nula. Este contraste
tiene, por tanto, otra característica, y es que el conjunto de valores incluidos en
ambas hipótesis cubre todo el espacio paramétrico. Un contraste diferente, con
la misma hipótesis nula, sería aquél que considerase como hipótesis alternativa,
0
H1 : µ < 10. Esta es la hipótesis que debería especificar un investigador que sabe
que, dada la naturaleza del problema con el que trata, existen razones teóricas
para creer que el valor numérico de µ no puede exceder de 10. Cuando se dispone
de dicha información, el último contraste descrito, que restringe el rango de valores
numéricos en la hipótesis alternativa fijando 10 como cota superior, tiene mejores
propiedades que el primero de los contrastes, que no establecía tal relación. En
la mayoría de las aplicaciones económicas, se dispone de información de este tipo,
por lo que el investigador debe especificar cuidadosamente no sólo la hipótesis
nual que contrasta, sino también la hipótesis que considera como alternativa,
de modo que su contraste de hipótesis tenga las mejores propiedades posibles.

11

Lamentablememnte, este hecho no suele tenerse en cuenta, estableciéndose con
demaisad frecuencia hipótesis del tipo H1 : µ 6= 10. No sólo el contraste se re-
0
suelve de distinta manera, según sea ésta o H1 la hipótesis alternativa; además,
cmoo hemos mencionado, las propiedades del contraste son distintas, y mejoran
si introducimos en la definición del mismo, información procedente del modelo
teórico que sea, por tanto, incuestionable.

• En un contraste de hipótesis, se rechaza la hipótesis nula cuando la infor-
mación muestral es: i) significativamente contraria a la hipótesis nula, ii) a
la vez que es favorable a la hipótesis alternativa.

Este principio, absolutamente básico en la teoría estadística de contrastación
de hipótesis, también suele ignorarse con demasiada frecuencia. Por ejemplo, uno
de las actuaciones incorrectas en el análisis estadístico de datos económicos, que se
produce con cierta frecuencia, se refiere a ocasiones en que la información muestral
es contraria al rango de valores numéricos contenidos en la hipótesis nula, pero aún
más contraria al rango considerado bajo la hipótesis alternativa. Este sería el caso
0
si al confrontar H0 frente a H1 obtenemos que la media muestral, un estadístico
muestral que es estimador eficiente de la esperanza matemática, resulta ser igual
a 22, por ejemplo. Otro ejemplo (crecimiento monetario e inflación)
En tal caso, los métodos estadísticos de contrastación de hipótesis conducirán
a no rechazar la hipótesis nula, a pesar de que la información muestral es contraria
a la misma. Cuando esto sucede, es muy frecuente comprobar que el investigador
concluye que su hipótesis nula es válida (con éste u otro calificativo de simialres
connotaciones). Sin embargo, estamos en una situación donda información mues-
tral es contraria a dicha hipótesis nula; lo que el investigador debería hacer en
este caso es reconocer este hecho, cuestionar la validez de su hipótesis nula, pero
cuestionar asimismo el razonamiento que le llevó a establecer la hipótesis alterna-
tiva de su contraste, pues la información muestral ha sido aún más contraria a la
misma.
En cuanto a la resolución de los contrastes paramétricos de hipótesis, es pre-
ciso llevar a cabo previamente un ejercicio de estimación que proporcione una
estimación numérica ˆ (x1 , x2 , ..., xn ) a partir del cálculo del valor numérico que
θ
toma un determinado estimador ˆ del parámetro o vector de parámetros θ me-
θ
diante el que se define la hipótesis nula. Recordemos que un estimador es una
función de la información muestral; evidentemente, no todas las funciones de
la información muestral, es decir, todos los estimadores posibles, tienen buenas
propiedades estadísticas. Para llevar a cabo el contraste de hipótesis es preciso

12

que la distribución de probabilidad del estadístico ˆ (x1 , x2 , ..., xn ) dependa del
θ
parámetro o parámetros incluidos en la hipótesis nula. Por ejemplo,....
A su vez, el contraste de hipótesis tendrá buenas propiedades si: i) ambas
hipótesis están correctamente establecidas, ii) los supuestos sobre los que se condi-
ciona el contraste, que pueden referirse al tipo de distribución poblacional, así
como al valor numérico de alunos parámetros que no aparecen explícitamente
en el contraste, sean correctos, iii) el estadístico utilizado en la resolución del
contraste tenga buenas propiedades estadísticas.
Cuando la hipótesis nula es simple, es decir, incluye un único valor numérico,
0
y la hipótesis alternativa es del tipo H1 , la resolución del contraste se lleva a cabo
mediante la construcción de un intervalo de confianza alrededor del valor numérico
del estimador, utilizando la distribución de probabilidad del mismo. Así, llegamos
a una afirmación del tipo,
h ³ ´ i
α=P a≤g θ ˆ (X) , θ ≤ b (3.1)
donde α, un número positivo próximo a 1, es el nivel de confianza del contraste.
El contraste se resuelve despejando el valor teórico del parámetro desconocido
θ dentro de la expresión anterior, para obtener una igualdad del tipo,
h i
α = P h1 (ˆ (X)) ≤ f (θ) ≤ h2 (ˆ (X))
θ θ (3.2)

donde h1 (ˆ (X)), h2 (ˆ (X)) son números reales que dependen de: i) el valor
θ θ
numérico del estimador ˆ (x1 , x2 , ..., xn ) en la muestra disponible, ii) el supuesto
θ
acerca de la distribución poblacional, iii) el nivel de confianza (o el nivel de sig-
nifcación) escogidos para el contraste.
En esta expresión, dada una determinada muestra, el valor numérico del esti-
mador ˆ (X) es conocido, por lo que puede comprobarse si se satisfacen o no las
θ
desigualdades,
¡ ¢
h1 (ˆ (X)) ≤ f θ0 ≤ h2 (ˆ (X))
θ θ (3.3)

donde hemos sustituido el valor desconocido de θ por el valor numérico incluido
en la hipótesis nula, θ 0 . S
Bajo el supuesto que se ha hecho acerca de la distribución de probabilidad
poblacional, y de los valores numéricos de los parámetros que se han supuesto
conocidos (si haya alguno), la probabilidad de que el valor numérico de la función
f (θ) caiga fuera del intervalo (3.3) es de 1-α y, por tanto, pequeña. Es decir,

13

éste sería un suceso poco probable; si para θ = θ 0 , la función f (θ) incumple las
cotas definidas en (3.3) diremos que dicho valor del parámetro θ es poco verosímil,
rechazando, en consecuencia, la hipótesis nula.
A modo de ejemplo, recordemos cómo se lleva a cabo un contraste de hipótresis
acerca del valor numérico de la esperanza matemática de una población Normal
cuya varianza se supone conocida. El punto de partida es la propiedad de la
media muestral de tal población, que sigue una distribución asimismo Normal,
con la misma esperanza matemática que la población, y con una varianza igual
a la varianza poblacional dividida por el tamaño muestral. Así, si la población
es X ∼ N (µ, 25), la media muestral es una variable aleatoria con distribución
x ∼ N (µ, 25 ). Por tanto, si se trabaja a un nivel del confianza del 95%, por
¯ n
ejemplo, tendremos,
· ¸
x−µ
¯
0, 95 = P −1, 96 ≤ √ ≤ 1, 96
5/ n
donde hemos utilizado el hecho de que x − µ ∼ N (0, 25 ) y √ −µ ∼ N(0, 1).
¯ n
x
¯
25/n
Esta igualdad es la correspondiente a (3.1) , donde el parámetro poblacional sobre
el que se establece el contraste es la esperanza matemática, θ = µ; el estimador
ˆ (x1 , x2 , ..., xn ) = x = 1 Pn xi es la media muestral, α = 0, 95, y a = −1, 96; b =
θ ¯ n i=1
1, 96.
De esta igualdad, obtenemos,
· ¸ · ¸
5 5 5 5
0, 95 = P −1, 96 √ − x ≤ −µ ≤ 1, 96 √ − x = P x − 1, 96 √ ≤ µ ≤ x + 1, 96 √
¯ ¯ ¯ ¯
n n n n
5
que es una igualdad análoga a (3.2) , con h1 (¯) = x − 1, 96 √n , h2 (¯) = x +
x ¯ x ¯
5
1, 96 √n , f (µ) = µ.
En definitiva, nos queda comprobar si cuando se introduce en esta última
igualdad el valor de µ que define la hipótesis nula, la cadena de desigualdades
se satisface o no. Supongamos que en la muestra disponible, de tamaño 400, se
ha calculado para la variable X una media muestral x = 7, 5;en consecuencia, el
¯
intervalo anterior es: 0, 95 = P [7, 0 ≤ µ ≤ 8, 0] .

3.1. Contrastes de Normalidad
3.2. Contrates de asociación
Antes de proceder a la estimación de un modelo específico que establezca una
relación paramétrica entre dos variables, conviene explorar la posible existencia

14

de una relación entre ellas por los procedimientos estadísticos disponibles. Uno
de ellos son los contrastes no paramétricos. Como ya hemos comentado ante-
riormente, una de las virtudes de este tipo de análisis es que su validez y, en
particular, los umbrales críticos que debe sobrepasar el estadístico que define el
contraste, no dependen de ningún supuesto acerca de la distribución de proba-
bilidad seguida por las variables cuya relación se trata de caracterizar. Frente
a otros procedimientos que forman el núcleo tradicional de la Econometría, esto
es una ventaja pues, en el caso de los últimos, la Normalidad de la variable cuyo
comportamiento se pretende explicar es clave. Como, además, el supuesto de Nor-
malidad acerca de la distribución de probabilidad de una variable económica es
mucha veces rechazado, resulta que las buenas propiedades de las estimaciones de
un modelo econométrico quedan muchas veces en cuestión. Por eso es conveniente
su uso en combinación con otro tipo de procedimientos estadísticos, especialmente
si sus propiedades no precisan tal hipótesis.

4. Tratamiento de datos
4.1. Ajuste estacional
4.2. Tasas de variación
4.3. Estimación de componentes

5. El modelo lineal simple de regresión
5.1. Descripción del modelo
5.1.1. Nube de puntos
5.2. Estimación por mínimos cuadrados (ordinarios)
5.2.1. Representación gráfica de la recta de regresión estimada
5.3. Propiedades del estimador de mínimos cuadrados ordinarios
Generalmente, estamos muy interesados en contratar hipótesis de distinto tipo: a)
si una variable explicativa contiene información significativa acerca de la variable
dependiente, b) si el coeficiente de imapacto de una determinada variable es igual
a 1, c) si dos variables explicativas tienen el mismo coeficiente, etc...
Sin embargo, aunque los coeficientes del modelo de regresión son constantes,
si bien desconocidas, sus estimaciones, por cualquier procedimiento que podamos

15

utilizar, son aleatorias, pues son función de la muestra que utilicemos, que es
aleatoria. Si el modelo que estamos estimando es correcto, como hemos de
suponer, la perturbación aleatoria del mismo, ut , otorga naturaleza asimismo
aleatoria a la variable dependiente, yt . Esto significa que si cambiamos por ejem-
plo el período muestral que utilizamos en la estimación, la realización de dicha
perturbación, es decir, sus valores numéricos, serán diferentes, con lo que las ob-
servaciones de yt también los erán, y la estimación de los parámetros diferirá de
la obtenida con otro período muestral. Asimismo, si cambiamos la frecuencia de
observación de los datos, de diaria a mensual, por ejemplo tomando el último dato
de cada mes, la muestra cambia, y con ella, las estiamciones de los coeficientes de
las variables explicativas en el modelo.
Siendo variables aleatorias, nos interesa que los estimadores tengan ciertas
propiedades deseables, lo cual dependerá del procedimiento de estimación uti-
lizado, y de lasc aracterísticas del modelo que estamos estimando. Las principales
propiedades en que podemos estar interesados son: insesgo, eficiencia y consis-
tencia.
El insesgo consiste en que la esperanza matemática del estimador coincida
con el verdadero valor numérico del coeficiente que estamos estimando. Un esti-
mador eficiente es un estimador de mínima varianza. El procedimiento de mínimos
cuadrados proporciona el estimador lineal de mínima varianza, si bien pueden ex-
istir otros estimadores no lineales de varianza todavía menor. Un estimador es
consistente si, al aumentar el tamaño muestral, converge en probabilidad al ver-
dadero valor del parámetro desconocido que se está estimando. Se dice entonces
que su límite en probabilidad es dicho parámetro. Bien podría ocurrir que el esti-
mador fuese sesgado en muestra pequeñas, pero si es consistente, dicho sesgo irá
reduciéndose si ampliamos el tamaño muestral. El estimador de mínimos cuadra-
dos no es siempre consistente. El estimador de máxima verosimilitud lo es, pero
siempre que la hipótesis acerca de la distribución de probabilidad en que se basa,
sea correcta, sobre lo que no se puede tener seguridad.

5.4. Residuos del modelo. Gráficos de residuos
Los residuos del modelo, a veces denominados los errores del modelo de regresión,
son aquél componente de la variable dependiente que no está explicado por los
valores que toma la variable independiente o explicativa. En consecuencia, los
residuos ut se calculan a partir de la expresión,
ˆ

ˆ ˆ
yt = β 0 + β 1 xt + ut
ˆ

16

de la que se obtiene,

ˆ ˆ
ut = yt − β 0 − β 1 xt
ˆ

en el caso de datos de serie temporal, y

ˆ ˆ
ui = yi − β 0 − β 1 xi
ˆ

en el caso de datos de sección cruzada.
Gráficamente, si volvemos a la nube de puntos que representa la posible
relación entre x e y, y dibujamos sobre ella la recta de regresió n, el residuo
no es sino la distancia vertical entre la altura (ordenada) de cada punto de la
nube, y la altura que le correspondería de acuerdo con la recta de regresión esti-
mada. Dicha altura debe tomarse con signo, de modo que el residuo es positivo
cuando el punto de la nube está por encima de la recta de regresión estimada, y
negativo cuando el punto queda por debajo de la recta de regresión estimada.

5.4.1. Estimación de la varianza del término de perturbación
5.5. Cuando los coeficientes del modelo de regresión cambian a lo largo
de la muestra
Supongamos que se dispne de datos de serie temporal, y que el coficiente que
mide la relación entre las variables x e y, es decir, la pendiente del modelo, ha
variado a lo largo del tiempo. Es claro que un procedimiento de estimación como
mínimos cuadrados nos proporcina un único valor numérico de dicho coeficiente
y, por tanto, cobra pleno interés únicamente bajo el supuesto de que dicho valor
nmérico ha permanecido constante a lo largo del período muestral.
Sin embargo, en la mayoría de las aplicaciones económicas que pueden consid-
erarse, tal supuesto parece demasiado restrictivo pues, más bien, el valor numérico
de dicha elasticida habrá variado a lo largo de la muestra. ¿Qué proporciona en
tal caso el método de mínimos cuadrados? Lo primero que debemos entender es
que el investigador no observa en ningún caso si el coeficiente ha variado en el
tiempo o no, dado que no observa el valor numérico de dicho coeficiente. Esta es,
precisamente, la razón que le mueve a estimar su valor numérico.
En muchas situaciones, sin embargo, el investigador puede tener fundadas
creencias acerca de que se han producido variaciones en el mismo. Por ejemplo,
muchas veces se afirma que la capacidad de la política monetaria para controlar la
inflación se ha reducido significativamente recientemente; tal afirmación se debe

17

a la observación, en datos reales, de que una fuerte expansión monetaria solía
venir acompañada de un claro repunte inflacionista, mientras que, más reciente-
mente, un robusto cecimeinto monetario puede ser compatible con una inflación
contenida.
En una situación de tal tipo, un procedimiento de estimación como MCO pro-
porciona como valor numérico del parámetro un promedio de los valores numéri-
cos que ha tomado durante el intervalo de tiempo correspondinte a la muestra de
datos disponible. Por tanto, resulta de suma importancia el modo en que el coe-
ficiente ha variado en el tiempo, como vamos a ver en los ejercicios de simulación
siguientes.

5.5.1. Cambio estructural en los coeficientes del modelo de regresión
Supongamos que el coeficiente ha sido constante enla primera mitad de la muestra
e igual a 0,5, mientars que en la segunda mitad de la muestra ha sido asimismo
constante, e igual a 1,5. El estimador de mínimos cuadrados proporcionaría en-
ˆ
tonces una estimación en torno a 1,0. En realidad, β 1 = 1, 0 no es representativo
de lo que ha ocurrido en ningún momento de la muestra, como ilustra el gráfico
XX.
Este tipo de situaciones puede conducir a impresiones engañosas, como ocur-
riría si en una parte de la muestra la pendiente ha sido positiva, invirtiéndose el
signo de la relación entre x e y en la segunda mitad de la muestra. Si en ambas
partes el valor numérico de la pendiente ha sido el mismo, cambiando únicamente
ˆ
su signo, la estimación resultante será próxima a β 1 = 0, 0, sugiriendo la ausen-
cia de relación entre ambas variables. Tal conclusión será bastante errónea, pues
habría existido una relación, posiblemente bastante exacta entre x e y a lo largo
de toda la muestra, pero el signo de la misma habría cambiado de la primera a la
segunda submuestra, conduciendo a la equívoca estimación mencionada.
Que la estimación proporcionada por un procedimeitno del tipo de MCO sea
un promedio de los verdaderos valores numéricos (no observados) de la pendiente,
no debe tomarse en el sentido de que es la media aritmetica de dichos valores
numéricos. Sin embargo, tal intuición es aproximadamente correcta. Así, por
ejemplo, si en el primer tercio de la muestra la pendiente hubiese sido β 1 = −1, 0, y
en las dos terceras partes finales de la muestra la pendiente hubiese sido β 1 = 1, 0,
ˆ
la estimación numérica del parámetro no seria muy diferente de β 1 = 0, 33, como
correspondería a la media aritmética de los verdaderos valores, ponderados por el
número de observaciones a los que aplica cada uno de ellos.

18

Ejercicios de simulación
• Ejercicio 1: Simule 300 observaciones de un camino aleatorio N(10,25) como
datos muestrales de la variable explicativa x. Utilizando un valor numerico
de -1,0 para la pendiente, e ignorando el término de preturbación del mod-
elo, simule los 100 primeros datos para la variable dependiente y. Luego,
utilice un valor igual a 1,0 para la pendiente y genere los datos ficticios
correspondientes a las observaciones 101 a 300 de la variable dependiente.
Estime el modelo de regresión simple con dichos datos.
Comentario: Al ejecutar el programa XXX, el lector comprobará que la esti-
mación de la pendiente del modelo se comporta de acuerdo con lo comentado en
la sección previa.
Es recomendable ejecutar el programa varias veces, para obtener así un con-
junto de estimaciones numéricas de dicho parámetro. En ningún caso se obtendrá
estimaciones próximas al verdadero valor de la pendiente, que es de +1,0 en una
parte de la muestra, y de -1,0 en la otra, sino más bien un promedio, ponderado de
acuerdo con el número de datos u observaciones en el que la pendiente ha tomado
uno u otro valor numérico.
El lector puede comprobar que, si aumenta la longitud muestral, las estima-
ciones que obtiene al ejecutar repetidas veces el programa, se aproximan aún más
al promedio que cabría esperar, dado el porcentaje de datos con pendiente igual
a +1,0 ó -1,0.
Los estadísticos resultantes de la estimación presentan toda la apariencia de
proceder de un problema estadístico de relación entre dos variables aleatorias. Sin
embargo, es muy importante observar que el problema que acabamos de estimar
es, en realidad, puramente determinista. No hay en el mismo ningún componente
estocástico o aleatorio pues, no hemos utilizado un lemento de perturbación. En
nuestra simulación, la relación entre las variables x e y es, en todos los perídos
exacta, no faltando ninguna otra variable, ni estando sujeta a ningún elemento de
error impredecible.
Es precisamente el hecho de tratar como constante un coeficiente del mod-
elo que no lo es, lo que produce la apariencia de ser un problema de naturaleza
estocástica. Considerar tal supuesto (erróneo, aunque no lo sabíamos), es com-
parable a introducir una perturbación estocástica en el verdadero modelo, que
incorporaría la variación temporal en la pendiente.
En dicha estimación, aparentemente estadística, obtenemos un R-cuadrado
reducido, junto con una pendiente estimada que resulta estadísticamente signi-
ficativa, si juzgamos por su estadístico tipo-t.

19

Existe asimismo evidencia de autocorrelación en los residuos, como sugiere
el estadístico Durbin-Watson. La presencia de autocorrelación es, en principio,
sorprendete, pues hemos generado una variable x con estructura de ruido blanco
y, por tanto, sin autocorrelación y la variable y presenta una dependencia ex-
acta y estrictamente contemporánea con ella. Por tanto, no hay ni estructuras
de autocorrelación, ni estructuras dinámicas que pudieran producirla. Los in-
dicios de autocorrelación provienen del cambio estructural que se produce en el
valor numérico de la pendiente. En el programa se calculan las funciones de
autocorrelación simple de ambas variables del modelo; mientras que la variable
independiente (explicativa) no presenta autocorrelación, como corresponde a su
estructura de ruido blanco que hemos utilizado en su generación, la función de au-
tocorrelación de la variable dependiente sugiere indicios claros de autocorrelación.
En realidad, esta variable, por construcción, carece de autocorrelación, lo que
sugiere una llamada de atención al uso indiscriminado de las funciones de auto-
correlación para detectar autocorrelación serial en una variable o en los residuos
de una regresión.
El gráfico XX que representa las observaciones de la variable dependiente junto
con los residuos dela regresión muestra la similitud entre ambas variables, loque
es, evidentemente, sinónimo de una relación estimada pobre, a pesar de la signifi-
cación estadística de la pendiente del modelo. De hecho, puede observarse que
la desviación típica de los residuos es similar a la desviación típica dela variable
dependiente, lo que significa, como ya discutimos en la Sección XX, que el modelo
no tiene una capacidad explicativa importante. Nuevamente, es importante apre-
ciar que ello ocurre junto con una valor claramente significativo del estadístico
F (F = T.R2 ) de significación conjunta de la regresión estimada. Esta aparien-
cia de validez del modelo, de acuerdo con los estadísticos habituales es, en este
caso, falsa, lo que constituye una impoirtante llamada de atención sobre el uso
indiscutido de contrastes de hipótesis..
De modo análogo, el gráfico XX, que presenta los valores observados de la
variable dependiente, junto con sus valores ajustados, muestra que el ajuste no
se adecúa en modo alguno al comportamiento de la variable que pretendíamos
explicar con el modelo, y que ha experiemntado un cambio estructural entre la
primera y la segunda submuestras. Por el contrario, precisamente porque hemos
impuesto una pendiente constante a lo largo de toda la muestra, los valores ajus-
tados, que utilizan dicho valor constante de la pendiente, dibujan un compor-
tamiento constante, promedio, durante toda la muestra, que no representa ade-
cuadamente ninguna de las dos submuestras.

20

• Simule asimismo con perturbación. Construya un gráfico de varianza de la
perturbación y varianza de la distribución de la pendiente estimada para un
número de observaciones muestrales dado.

5.5.2. Variación gradual en los coeficientes del modelo
5.6. Algunos modelos de regresión sencillos
5.6.1. El modelo constante
Como representación analítica dle comportamiento de una variable, no cabe duda
de que el modelo estadístico más sencillo es,

yt = β 0 + ut

que especifica que, excepto por un término de perturbación de naturaleza aleato-
ria, la variable yt es constante. Con este modelo, el investigador declara la im-
posibilidad de encontrar ninguna variable que pueda explicar el comportamiento
de yt .
Puesto que la matriz de datos de la (única) variable explicativa es en este caso,

X = (1, 1, 1, ..., 1)

un vector de dimensión T, se tiene X = 1T , y recordando que 10T 1T = T,
P
y = t=T yt podemos adaptar la expresión general (XX) del estimador de
10T y t=1
mínimos cuadrados a este caso particular, teniendo,
Pt=T
ˆ −1 0 yt
β 0 = (10T 1T ) 1T y = t=1 =y
¯ (5.1)
T
de modo que la estimación de mínimos cuadrados de la constante es la media
muestral de lavariable que pretendemos explicar. En consecuencia, el residuo es,
en cada período,

ˆ ˆ
ut = yt − β 0 = yt − y
¯

es decir, el dato correspondiente, en la forma de desviación respecto a la media
muestral. Por tanto, la Suma Residual, o suma de los residuos al cuadrado es,
t=T
X
SR = u2
ˆt = (yt − y )2 = T Sy
¯ 2

t=1

21

es decir, igual al producto del tamaño muestral por la varianza muestral de
la variable dependiente yt . Por otra parte, la Suma Total es, como en cualquier
modelo de regresión,
t=T
X
ST = (yt − y )2 = T Sy
¯ 2

t=1

y, por tanto, es específico de este modelo que SR = ST. En consecuencia,
puesto que el modelo tiene una constante, se tiene: SE = ST − SR = 0. En este
modelo, la Suma Residual coincide con la Suma Total, indicador de las variaciones
en yt que se pretende explicar, por lo que la Suma Explicada es igual a cero. En
consecuencia, el R-cuadrado de la regresión es asimismo cero,
SR SE
R2 = 1 − = =0
ST ST
Esto puede parecer paradójico a primera vista; sin embargo, tiene una inter-
pretación totalmente acorde con la naturaleza del modelo de regresión. Como
discutimos en la Sección XX, aunque el modelo de regresión se especifica gen-
eralmente para relacionar los valores numéricos observados para variables yt , xt ,
en realidad, su utilización fundamental en Economía estriba en establecer alguna
inferencia acerca de la relación que pueda existir entre las variaciones que exper-
imentan las variables explicativas por un lado, y la variable dependiente por otro.
Son las fluctuaciones en ambas variables lo que fundamentalmente pretendemos
caracterizar. Como vimos al caracterizar el estimador MCO, una vez que tenemos
estimaciones numéricas para los coeficientes aosicados a las variables explicativas
del modelo, obtenemos la estimación numérica de la constante del modelo medi-
ante,

ˆ ¯ ˆ ˆ ˆ
β 0 = y − β 1 xβ 0 β 0

que relaciona las medias muestrales de todas las variables del modelo. Por
tanto, la relevancia de la constante en el modelo estriba en ajustar las distintas
medias muestrales de las variables del mismo, corrigido cada una de ellas por el
coeficiente asociado. Pero este es un ajuste generalmnente poco relevante para
el investigador, que se interesa básicamente en el modo en que variacioens en las
variables xt generan fluctuaciones en yt . Por tanto, en este modelo constante, en
que no se explican las fluctuacioens de yt , llevándose únicamente a cabo el ajuste
de medias muestrales a través de (5.1) ,es lógico que el indicador de ajuste R2

22

resulte igual a cero. Nótese, por último, que no hemos impuesto esta condición,
sino que estamosminterpretan la propiedad del modelo constante, de tener un R2
igual a cero.

5.6.2. El modelo con variables en desviaciones respecto a la media
Consideremos un modelo lineal,

yt = β 0 + β 1 x1t + β 2 x2t + ut (5.2)
cuya versión estimada es,

ˆ ˆ ˆ
yt = β 0 + β 1 x1t + β 2 x2t + ut
ˆ ˆ (5.3)
y calculemos su promedio a través de todas las observaciones muestrales. Ten-
dremos,
t=T
X t=T
X t=T
X t=T
X t=T
X
yt = ˆ ˆ
β0 + β1 ˆ
x1t + β 2 x2t + ut
ˆ (5.4)
t=1 t=1 t=1 t=1 t=1

y teniendo en cuenta la propiedad de los residuos MCO de tener suma igual a
cero, se convierte en,

¯ ˆ ˆ ¯ ˆ ¯
y = β 0 + β 1 x1 + β 2 x2 (5.5)
Restando (5.5) de (5.3) se tiene,

ˆ ¯ ˆ ¯ ˆ
yt − y = β 1 (x1t − x1 ) + β 2 (x2t − x2 ) + ut
¯ ˆ

en el que se observa que el modelo (5.2) es consistente con un modelo cuyas
variables son las de (5.2)pero medidas cada una de ellas en desviaciones respecto
a su promedio muestral; los coeﬁcientes estimados por MCO en este modelo coin-
cidirían con los que se estimarían para el modelo original, excepto por el hecho de
que el modelo en desviaciones respecto a la media carece de término constante.
Por último, los residuos MCO del modelo en desviaciones son, observación a ob-
servación, los mismos que se tendrían para el modelo en las variables originales.
La diferencia entre ambos modelos es que el modelo con las variables en desvia-
ciones respcto a la media no precisa de término constante. Es fácil entender por
qué: de acuerdo con (XX) , la estimación MCO de la constante es la diferencia
entre la media muestral de la variable dependiente y las medias muestrales de

23

las variables explicativas, cada una de ellas corregida por el coeficiente asociado.
Pero en el modelo con variables en desviaciones respecto a la media, todas las
vriables, dependiente y explicativas, tiene media muestral igual a cero. Por tanto,
la estimación MCO de una hipotética constante en dicho modelo sería igual a
cero. incluso si incluimos dicha constante, su estimación de mínimos cuadrados
será numéricamente igual a cero.

5.6.3. El modelo con tendencia determinista lineal y cuadrática
Un modelo sencillo interesante es aquél que incluye una tendencia determinista
como única variable explicativa, además del término constante,

ln yt = β 0 + β 1 t + ut (5.6)
en el que la estimación del coeficiente β 1 nos proporciona una estimación de
la tasa de crecimiento muestral de la variable yt . En efecto, si consideramos la
estructura,

yt = Aeβ 1 t (5.7)
tendremos una tasa de crecimiento dada por,
dyt /dt d (ln yt ) d (ln A + β 1 t)
= = = β1
yt dt dt
En definitiva, el modelo (5.6) no es sino la versión logarítmica de la ecuación
de crecimiento (5.7), con β 0 = ln(A), y donde el término de perturbación ut pude
recoger cualquier fluctuacion de corto plazo alrededor de la tasa de crecimeinto
constante, β 1 . Este modelo es, por tanto, apropiado cuando se pretende estimar
la tasa de crecimiento media de una variable yt a lo largo del período muestral.
Hay que tener en cuenta, sin emabrgo que el parámetro β 1 proporciona la tasa de
crecimiento, supuesta constante, entre cada dos observaciones consecutivas. Si los
datos de que disponemos son de naturaleza anual, entonces habremos estimado el
crecimiento anual de la variable. Si los datos son trimestrales, el crecimiento anual
se obtendrá a partir de la estimación de β 1 mediante γ = (1 + β 1 )4 − 1, que habre-
mos de multiplicar por 100 si queremos presentar en términos porcentuales. Si los
datos de base son de naturaleza mensual, entonces obtendremos una estimación
del crecimeinto anual a partir de γ = (1 + β 1 )12 − 1.
Este modelo de tendencia determinista lineal es también muy útil precisamente
para extraer de una variable su comportamiento de largo plazo, cuando se supone

24

que éste está bien representado por el supuesto de una tasa de crecimiento con-
stante. Así, una vez estimado el modelo (5.6) , los residuos ut nos proporcionan el
ˆ
ˆ ˆ
logaritmo de la variable yt desprovisto de tendencia, es decir, ut = ln yt − β 0 − β 1 t,
ˆ
recogiendo así el comportamiento de la variables según ﬂuctúa alrededor de su
tendencia de largo plazo. Diremos también que esta es la representación de la
variable corregida de tendencia lineal. Como hemos visto, este ejercicio, efectu-
ado sobre el logaritmo de la variable original, incorpora el supuesto implícito de
que la tasa de crecimiento de dicha variable es constante.

5.6.4. Modelos no lineales en las variables
Algunos modelos no lineales pueden tratarse de modo muy sencillo, sin necesidad
de desarrollar métodos distintos de los estudiados en los capítulos anteriores. Ello
ocurre en muchas situaciones en que el modelo presenta no linealidades exclu-
sivamente en las variables que aparecen en la relación que se pretende estimar,
como,

yt = β 0 + β 1 xt + β 2 x2 + ut
t (5.8)
que es un modelo con una única variable explicativa, que aparece tanto en su
forma original, como al cuadrado. Es interesante observar que, en este modelo,
la derivada parcial, que recoge la magnitud de los cambios inducidos en yt por un
cambio en el valor numérico de xt viene dada por,
dyt
= β 1 + 2β 2 xt
dxt
A diferencia de la que teníamos en el caso del modelo de regresión lineal simple,
que era,
dyt
= β1
dxt
y, por tanto, constante, la derivada parcial del modelo (5.8) depende del valor
numérico de la variable explicativa. Esto puede ser muy interesante en muchas
relaciones económicas, en las que es lógico pensar que el impacto que sobre yt tiene
una variación unitaria en xt depende del valor numérico de xt a partir del cual
se produce dicha variación unitaria. Así, no tendría el mismo impacto negativo
sobre el consumo un incremento de un punto en el tipo impositivo del IVA si éste

25

se produce cuando dicho tipo es del 3%, que si dicho incremento se produce a
partir de un tipo del 15%. Parece lógico que así sea.
Si las variables utilizadas en la regresión son los logaritmos naturales de las
variables para las que inicialmente obtuvimos datos, como consumo y renta,
yt = ln(Yt ), xt = ln(Xt ), estaríamos recogiendo en (5.8) la creencia en una elasti-
cidad no constante, como aparece en muchos modelos teóricos económicos. Si el
valor numérico del coeficiente β 2 es negativo, tendremos que la variable yt crece
menos que proporcionalmente con un aumento en xt , lo que correspondería a una
nube de puntos en la forma de una función cóncava, mientras que si estimamos
un valor numérico positivo para β 2 , tendremos que la variable yt crece más que
proporcionalmente con un aumento en xt , lo cual correspondería a una nube de
puntos convexa. Por contraposición, en el modelo lineal incorporamos a priori
la hipótesis de elasticidad constante, es decir, el supuesto de que la variable yt
crece proporcionalmente con xt .Sin duda que, aunque no se considera habitual-
mente, parece conveniente permitir en un priemr análisis la posibilidad de una
relación cuadrática contrastando, si se desea, la significatividad estadística del
coeficiente β 2 , si bien dicho contraste habría que verlo a la luz de la discusión
de la Seccion XX. Así, en muchas ocasiones (como puede ser si se quiere utilizar
el modelo estimado con fines predictivos) puede resultar conveniente mantener
un posible término cuadrático incluso si el coeficiente β 2 asociado aparece como
estadísticamente no significativo, en términos del habitual contraste de la t de
Student.
Queda por discutir cómo obtener estimaciones de mínimos cuadrados para este
modelo, a pesar de ser una relación no lineal entre variables. Pero este tipo de
modelos es muy sencillo de estimar, pues basta definir una nueva variable x2t = x2 t
para tener el modelo de regresión,

yt = β 0 + β 1 xt + β 2 x2t + ut (5.9)
que, como modelo lineal que es en las variables explicativas xt y x2t , estimamos
por medio de los procedimientos descritos en la Sección XX, teniendo el estimador
MCO de este modelo las propiedades habituales.

5.7. ¿Cómo especificar un modelo de regresión?
5.7.1. ¿Debe incluirse una constante en el modelo de regresión?
Consideremos el modelo de regresión simple,

26

5.7.2. ¿Debemos estimar en valores originales o en logaritmos de las
variables?
5.7.3. ¿Debe estimarse el modelo con variables en niveles o en diferen-
cias?
5.7.4. La frecuencia de observación de las variables
Muchas veces se alusión al aparente principio de que, en cualquier trabajo es-
tadístico con datos, más información es preferible a menos, por los que, un mayor
número de datos es preferible a un número inferior. En este sentido, si el in-
vestigador tiene la posibilidad de trabajar con datos mensuales de las variables
dependiente e independiente, debe utilizar estos en preferencia al uso de datos an-
uales. Esto no es en modo alguno cierto, debido al menos a dos consideraciones.

Errores de medida Por un lado, las variables económicas, especialmente si son
de carácter financiero, tienen un nivel de volatilidad potencialmente importante,
por lo que cada dato frecuente que se publica (digamos que mensual) recoge, no
sólo la evolución subyacente o verdadera de la variable que se observa, sino tam-
bién el componente de volatilidad en la misma. esto quiere decir que, al observar
una variable cada mes, los datos tienen un componente de naturaleza errática,
es decir, puramente aleatorio o impredecible, que puede venir sucedido por un
compoenente de igual naturaleza, pero signo opuesto, al mes siguiente. En con-
secuencia, si sólo observáramos el dato trimestral, que se forma bien mediante un
promedio de los trimestrales, (si la variable es un stock), o acumulando lo tres
datos mensuales correspondientes a dicho trimestre (si la variable es un flujo), una
buena parte de los componentes erráticos habrá desaparecido por compensación,
y el dato trimestral sería, muy posiblemente, más fiable, que los tres datos mensu-
ales. Algo similar puede decirse en cuanto a observar datos trimestrales o anuales.
Esta observación está detrás de la sensación que muchas veces se tiene al asistir
a la divulgación en los medios de comunicación de un nuevo dato mensual de ex-
pectativas de empresarios, inflación, etc.. No es extraño asistir, en variables tan
importantes, a un dato mensual aparentemente positivo sigue que se interpreta
como negativo, quizá uno siguiente positivo, etc.. De este modo, la avalancha de
datos frecuentes genera una incertidumbre que podría evitarse en cierta medida
si, aun recogiendo datos mensualmente, se evaluaran sólo con menos frecuencia.
Esto tiene implicaciones cuande se trata de caracterizar la relación que existe
entre variables. Si, por ejemplo, estamos interesados en analizar el modo en que

27

las expectativas de los empresarios acerca de la demanda futura incide en sus
decisiones de inversión, la presencia de los componentes erráticos en los datos que
se publican nos llevaría a estimar un modelo,

inversiń∗ = β 0 + β 1 exp ectativas∗
o t t

donde,

inversiń∗ = inversińt + εt
o t o
∗
exp ectativast = exp ectativast + ξ t

siendo εt , ξ t , los componentes erráticos a los que nos hemos referido, que supon-
dremos no relacionados, Corr(εt , ξ t ) = 0. Incluso si Corr(inversińt , exp ectativast )
o
es elevada, la presencia de εt , ξ t , hará que, generalmente, Corr(inversiń∗ , exp ectativas∗ )
o t t
sea inferior a Corr(inversińt , exp ectativast ), proporcionando un ajuste pero del
o
que habríamos tenido en ausencia de dichos componentes erráticos. Como conse-
cuencia de que sólo podemos utilizar en la regresión las medidas inversiń∗ , exp ectativas∗ ,
o t t
quizá incluso tengamos una estimación del coeficiente β 1 no significativa, debido
a la pérdida de precisión en su estimación.

Ejercicio de simulación Otra posibilidad sería examinar los datos mensu-
ales a la luz de una referencia temporal adecuada.

La frecuencia en las relaciones estructurales Otra razón por la cual no es
necesariamente preferible utilizar datos más frecuentes que menos re refiere a la
propia naturaleza de la relación que se está tratando de medir. Por ejemplo, con-
sideremos la importante relación existente entre crecimeinto monetario e inflación.
Ningún economista duda de que tal relación exista; algunos, incluso defienden la
idea de que la inflación es puramente un fenómeno monetario, estando completa-
mente determinada, por tanto, por la tasa de creciemitno de la cantidad de dinero.
Otros economistas no llegan tan lejos, pero aceptan que hay una relación positiva
entre creciemitno moentario e inflación; precisamente contrastar si dicha relación
es más o menos estrecha, o si un mayor crecimiento monetario se transmite com-
pletamente (es decir, con coeficiente β 1 = 1) a una mayor inflación, puede ser la
motivación para estimar un modelo,

inf lacińt = β 0 + β 1 crecimiento monetario + ut
o

28

Ahora bien, ¿verdaderamente creemos que un mayor crecimiento monetario
en marzo, por ejemplo, genera una mayor inflación en dicho mes? Muy pocos
economistas suscribirían tal concepto. Mucha mayor uniformidad de pareceres
encontraríamos en cuanto a creer que observado año a año, mayor crecimiento
monetario viene asociado con mayor inflación, mientras que un año en que se
instrumenta una política monetaria más restrictiva, definida por una reducción
del crecimiento monetario, es un año de inflación menor. Es decir, la proposición
conceptual que relaciona positivamente crecimiento monetario e inflación es una
proposición referente al medio o largo plazo.
Incluso con datos anuales surgirá, lógicamente, la cuestión de si un menor crec-
imeinto monetario conduce a una menor inflación ese mismo año, el año siguiente,
o en ambos. Esta será una cuestión que puede discutirse mediante los proced-
imientos econométricos y los contrastes estadísticos adecuados, y que conduce a
una investigación siempre interesante. Pero ésta es la perspectiva adecuada: en
modo alguno tiene sentido pensar que las fluctuaciones que, mes a mes, experi-
menta el crecimiento monetario se corresponden con las fluctuaciones mensuales
que se observan en la tasa de inflación. este tipo deinvestuigaciones, con datos
mensuales, están condenados al fracaso; incluso si estadísticamente detectásemos
una relación positiva, deberíamos estar dispuestos a calificarla de espúrea, en el
sentido de no ser la relación estructural que cualquier economista estaría dispuesto
a admitir entre crecimiento monetario e inflación.
Este ejemplo no debe sino sugerir que las proposiciones económicas teóricas
no dicen nada acerca de cuál es la frecuencia en la que se cumplen, y no debemos
en modo alguno inferir que una proposición teórica debe cumplirse en todo tipo
de datos. Por el contrario, cuando nos proponemos examinar empíricamente una
proposición teórica, hemos de pensar cuidadosamente acerca de la frecuencia de
datos en que esperamos que ésta se manifieste, y ello debe determinar el tipo de
datos a utilizar. El posible cumplimiento de la proposición puede apreciarse en
datos de una frecuencia pero no en datos de frecuencia diferente.

Estructura dinámica de una relación y frecuencia de observación de
los datos Un aspecto relacionado se refiere a las características dinámicas de
la relación que se está tratando de estimar: supongamos que existe una relación
entre variables económicas que tarda un mes en manifestarse. Así, con datos
mensuales, un modelo apropiado sería,

yt = β 0 + β 1 xt−1 + ut

29

afirmando en este caso que la relación es dinámica, por cuanto que no se
manifiesta contemporáneamente, esdecir, durante el mismo mes. De acuerdo con
este modelo, un incremento en xt tendería a conducir a un valor más elevado de yt
pero no este mes, sino al mes siguiente. Supongamos ahora que sólo disponemos
de datos trimestrales: por ejemplo, el dato del primer trimestre será, para ambas
variables, el promedio de los datos de enero, febrero y marzo, teniéndose las
relaciones,

yf ebrero = β 0 + β 1 xenero + uf ebrero
ymarzo = β 0 + β 1 xf ebrero + umarzo

Aunque yenero no está relacionado con xenero , xf ebrero , o xmarzo , las relaciones
existentes entre yf ebrero , ymarzo y xenero , xf ebrero son suficientes para que los datos
del primer trimestre de ambas variables,
yenero + yf ebrero + ymarzo xenero + xf ebrero + xmarzo
yprimer trimestre = , xprimer trimestre =
3 3
estén relacionados. Sin embargo, debe apreciarse que la relación será entre
lso datos de x e y correspondientes ambos al primer trimestre. En consecuencia,
una relación que con datos mensuales tenía una naturaleza dinámica, pasa a ser
estrictamente contemporánea con datos triemstrales.
Así, es importante recordar que algunas de las propiedades de una relación
econométrica dependen de la frecuencia de observación de los datos, no siendo,
por tanto, propiedades de carácter absoluto de la relación entre x e y.

6. Contrastes de hipótesis en el modelo de regresión lineal
simple
Como se ha comentado anteriormente, tres son las finalidades posibles que se
derivan de la estimación de un modelo econométrico: a) la posibilidad de con-
trastar hipótesis económicas teóricas alternativas, b) la predicción de los valores
futuros de la variable dependiente

6.1. Significación estadística versus precisión
Uno de los contrastes más habituales tras estiamr un modelo de regresión se re-
fiere a la hipótesis del tipo H0 : β = 0, con la que el investigador se pregunta si la

30

variable asciada a dicho coeficente tiene un impacto significativo sobre la variable
dependiente, cuyo comportamiento se pretende explicar. No debemos olvidar que
con ello, lo que estamos contrastando es si dicho impacto es estadísticamente signi-
ficativo, y tratando de identificar dicha característica con la existencia de un efecto
estructural significativo de la variable explicativa sobre la variables dependiente.
Pues bien, ya hemos visto que la manera de resolver el contraste de dicha
hipótesis consiste en utilizar el test t de Student, que en el caso de la hipótesis de
significación adopta la forma,
ˆ
β
∼ tT −k
ˆ
DT (β)

donde T − k denota el número de grados de libertad del modelo de regresión,
definido como la diferencia entre el número de observaciones utilizado en la esti-
mación del mismo y el número de coeficientes estimados. Por tanto, para decidir
acerca de la hipótesis nula de significación de un coeficiente β, se construye el
cociente entre la estimación numérica de dicho coeficiente y su desviación típica
estimada, y se compara con el umbral crítico de la distribución tT −k al nivel de
significación escogido de antemano.
La práctica habitual consiste en concluir que la variable explciativa x no es
relevante para explicar el comportamiento de la variable y si el valor numérico de
su estadístico t de Student es inferior al nivel crítico proporcionado por las tablas
de dicha distribución al nivel de significación deseado. Que la comparación se
establezca en términos del valor absoluto del estadístico muestral o no depende
de que el contraste sea de una o dos colas, lo cual depende a su vez de la forma
que adopte la hipótesis alternativa, según sea ésta H1 : β 6= 0, o adopte alguna de
las formas H1 : β < 0, H1 : β > 0.
La forma que adopta este contraste sugiere de modo bastante evidente que el
estadístico t puede ser inferior al umbral crítico de la distribución de referencia
ˆ
a) bien porque el valor estimado β sea pequeño incluso cuando se tie en cuenta
ˆ
el rango de variación de la variable asociada, o b) porque, aun siendo β suficiente
como para generar un impacto cuantitativo apreciable de x sobre y, dicho valor
numérico se estima con poca precisión, es decir, con una desviación típica elevada.
Mientras el primer caso corresponde a una situación en la que querríamos concluir
que, efectivamente, la variable x no es relevante para explicar y, en el segundo
caso, tal conclusión sería errónea; lo que está sucediendo en este caso es únicamente
que la muestra disponible no nos permite asignar un valor numérico concreto al

31

coficiente asociado, a pesar de que la variable x es un factor explicativo relevante
de la variable y.
A pesar de sus importantes implicaciones para el contraste de hipótesis estadís-
ticas, esta discusión se ignora con demasiada frecuencia en el trabajo empírico. Su
importancia deriva de que, como hemos ido revisando con anterioridad, existen
distintas razones que pueden implicar una pérdida de precisión en la estimación
puntual, con independencia del contenido informativo que la variable x tiene so-
bre y. Por ejemplo, aparece una pérdida de precisión apreciable cuando el valor
numérico del coeficiente β ha variado a lo largo del intervalo muestral [Recuérdese
el ejercicio de simulación XXX]. en distintos puntosEsta se
numéricamente de Con mucha frecuencia se ignora

6.1.1. ¿Se hace una variable más o menos significativa?
6.1.2. ¿Cómo puede discutirse qué variable es más relevante en una
regresión?
mayor valor numérico

mayor estadístico t

7. Correlación versus causalidad

8. Variables no estacionarias
La no estacionariedad de las variables involucradas en una regresión es uno de
las situaciones que requiere una consideración más cuidadosa en el análisis de
regresión. La ausencia de estacionariedad se produce con mucha frecuencia en
variables económicas; además, como vamos a ver, sus implicaciones en la esti-
mación de modelos de regresión pueden ser bastante negativas e importantes. Por
último, su detección y tratamiento no son siempre evidentes.

8.1. Características de una variable estacionaria
Una variable estacionaria tiene generalmente varianza finita (salvo que obedezca
a una distribución que como la Cauchy, carece de este momento); más precisa-
mente, su varianza no cambia con el paso del tiempo y, desde luego, no tiende a
infinito. una perturbación transitoria sobre una variable estacionaria tiene efectos

32

puramente transitorios; pueden durar varios períodos, pero sus efectos terminan
desapareciendo. Los valores sucesivos de su función de auocorrelación convergen
rápidamente hacia cero, excepto quizá en los retardos de carácter estacional. la
serie temporal correspondiente a una variable estacionaria no deambula durante
períodos largos de tiempo a un mismo lado de su media muestral, sino que cruza
frecuentemente dicho nivel medio. El número medio de períodos que transcurre
entre dos cruces consecutivos del nivel medio muestral es pequeño.
Por el contrario, una perturbación de carácter transitorio sobre una variable
no estacionaria tiene efectos permanentes. La función de autocorrelación de una
variable no estacionaria converge a cero muy lentamente, y su serie temporal
muestra claramente largos períodos de tiempo en que deambula sin cruzar su
nivel medio.

8.2. Tendencias deterministas y tendencias estocásticas
La ausencia de estacionariedad en variables económicas puede reflejarse mediante
la presencia de tendencias estocásticas o de tendencias deterministas en los precios
de mercado, a través de volatilidad cambiante en el tiempo, etc.. Una tendencia
estocástica es un componente estocástico cuya varianza tiende a infinito con el
paso del tiempo. Una tendencia determinista es una función exacta del tiempo,
generalmente lineal o cuadrática, lo que hace que el valor de la variable crezca o
disminuya constantemente; si la tendencia es lineal, la variable tenderá a más o
menos infinito; si la tendencia es cuadrática o de orden superior, la variable puede
estar acotada.
Si una variable presenta una tendencia determinista lineal, su valor esperado
tenderá a aumentar o disminuir continuamente, con lo que será imposible man-
tener el supuesto de que la esperanza matemática de la sucesión de variables
aleatorias que configura el proceso estocástico correspondiente a dicha variable,
es constante. En consecuencia, tampoco podrá mantenerse que la distribución de
probabilidad de dichas variables es la misma a través del tiempo. Sin embargo, si
efectuamos una correcta especificación de la estructura de dicha tendencia, podrá
estimarse y extraerse del precio, para obtener una variable estacionaria, que no
presentaría las dificultades antes mencionadas.
Mayor dificultad entraña el caso en que una variable precio incluye una ten-
dencia estocástica pues, en tal caso, su esperanza y varianza no están definidas.
La presencia de una tendencia estocástica requiere transformar la variable, gen-
eralmente en primeras diferencias temporales, o tomando las diferencias entre las

33

observaciones correspondientes a una misma estación cronológica, en el caso de
una variable estacional. La transformación mediante diferencias resulta bastante
natural en el análisis de datos financieros, por cuanto que la primera diferencia
del logaritmo de un precio, en logaritmos, es la rentabilidad del activo, loq ue hace
que la transformación logarítmica sea utilizada muy frecuentemente.
Como prácticamente ningún precio o índice financiero es estacionario, el uso
indiscriminado de un estadístico como la varianza o la desviación típica como
indicador de riesgo conduce a medidas de volatilidad sesgadas al alza. Consider-
emos un modelo muy popular en el análisis de mercados financieros, el camino
aleatorio:

yt = µ + yt−1 + εt , t = 1, 2, ...

que evoluciona a partir de un valor inicial y0 dado, donde εt es un ruido
blanco: sucesión de variables aleatorias, independientes, con media constante (que
suponemos cero), y varianza asimismo constante σ 2 . Mediante sucesivas sustitu-
ε
ciones, este proceso puede escribirse, de modo equivalente:
t
X
yt = y0 + tµ + εs
s=1

En consecuencia, un camino aleatorio yt tiene varianza creciente en el tiempo:

V ar(yt ) = tσ 2
ε

Ello se debe a que el último sumando en la representación anterior es un
ejemplo de tendencia estocástica. Cuanto mayor sea el número de observaciones
consideradas, mayor será la varianza muestral del camino aleatorio: un camino
aleatorio tiene menor varianza a lo largo de una hora que a lo largo de un día, a
lo largo de un día que a lo largo de una semana, etc..
Esto es lo que ocurrirá con la inmensa mayoría de los precios cotizados en los
mercados financieros. Aunque la presencia de tendencias estocásticas se produce
generalmente junto con estructuras más complejas que la de un camino aleatorio,
la implicación acerca de una varianza creciente con el tiempo se mantiene cuando
se añaden a ésta componentes autoregresivos o de medias móviles para yt . Para
evitarlo, caracterizamos la volatilidad de un mercado o de un activo analizando
el comportamiento de la rentabilidad que ofrece a lo largo del tiempo, no de su
precio o cotización.

34

En el ejemplo anterior, de un camino aleatorio, la tendencia estocástica aparece
debido al coeficiente unitario del retardo de yt en la ecuación que explica el compor-
tamiento de esta variable, por lo que una tendencia estocástica se conoce asimismo
como una raíz unitaria. Con más generalidad, recordemos que por la descomposi-
ción de Wald, todo proceso estacionario acepta una representación autoregresiva,
quizá de orden infinito,
∞
X
yt = α0 + αj yt−j = α (L) yt
s=1

donde L denota el operador de retardos, definido como Lj yt = yt−j. Si obten-
Q
emosQ raíces de dicho polínomio de retardos, podremos escribir, α (L) = p (1−
las i=1
ai L) q (1 − bj L − cj L2 ), donde los últimos factores tienen como raíces dos
j=1
números complejos conjugados. una raíz unitaria es un factor del primer tipo, con
ai = 1. En el lenguaje estadístico, se dice que el proceso yt tiene una raíz unitaria.
Si el proceso yt siguiese una estructura dependiente de su pasado, pero del
tipo:

yt = φ0 + φ1 yt−1 + εt t = 1, 2, ..., −1 < φ1 < 1

sus propiedades serían bastante distintas, con:

1 − φt X t
yt = φ0 1
+ φs y0 +
1 φt−s εs
1
1 − φ1 s=1

y si consideramos que el proceso ha durado infinitos períodos,

φ0 σ2
ε
E(yt ) = ; V ar(yt ) =
1 − φ1 1 − φ2
1

estarían bien definidas, son constantes, y el proceso es estacionario. Este pro-
ceso se denomina proceso autoregresivo de primer orden y en él hay que distinguir
entre momentos incondicionales, cuyas expresiones analíticas acabamos de calcu-
lar en el caso de esperanza matemática y varianza, y momentos condicionales.
donde suponemos que ut es un proceso sin autocorrelación (correlación tem-
poral consigo mismo). Es decir, Corr(ut , ut−k ) = 0 ∀k.
En estas condiciones, si ut sigue una distribución Normal ut ∼ N(0, σ 2 ), en-
u
tonces yt sigue una distribución

35

φ0 σ2
u
yt ∼ N ( , )
1 − φ1 1 − φ2
1

Esta es la distribución marginal o incondicional, de yt .
Por otra parte, condicional en la historia pasada de yt , sin incluir el dato de
fecha t, la distribu8ción de probabilidad condicional de yt es,

yt ∼ N(φ0 + φ1 yt−1 , σ 2 )
u

que tiene una menor varianza. De hecho, la varianza incondicional de yt es
tanto mayor cuanto más se acerque el parámetro φ1 a 1, creciendo dicha varianza
sin límite. Sin embargo, la varianza condicional es siempre σ 2 , con independencia
u
del valor numérico del parámetro φ1 .
La varianza condicional de yt es igual a la varianza de ut , σ 2 , mientras que la
u
varianza incondicional de yt es siempre mayor que σ 2 .
u
Además,
φ0
E(yt /yt−1 ) = φ0 + φ1 yt−1 ; E(yt ) =
1 − φ1

Como veremos más adelante, el concepto de proceso browniano está bastante
ligado al de camino aleatorio. Por tanto, la afirmación anterior es coherente con
establecer la hipótesis de que la rentabilidad de un determinado activo sigue un
proceso browniano, pero no tanto con efectuar dicha hipótesis sobre su precio.

8.3. Regresión espúrea
El problema de la regresión espúrea fue analizado por Granger y Newbold (1974),
quienes mostraron la posibilidad de que, en determinadas situaciones, estima-
ciones mínimocuadráticas de un modelo de regresión lineal que sugieren una es-
trecha relación entre variable dependiente y variables independientes, están re-
flejando, en realidad, una relación espúrea o ficticia, que en realidad no existe.
Es evidente que tal posibilidad sería extremadamente peligrosa, tanto en la es-
timacion de coeficientes de imapcto o elasticidades, como en la contrastación de
hipótesis teóricas. Lo que suele ignorarse con demasiada frecuencia es que las
condiciones para que una regresión sea espúrea se dan con mucha frecuencia en
la investigación aplicada en Economía, en general, y en Finanzas, en particular.

36

Comenzamos describiendo el tipo de dificultades a que puede dar lugar la
ausencia de estacionariedad de las variables dependiente e independiente en un
modelo de regresión lineal. Para ello, pensemos en el siguiente ejercicio: comen-
zamos simulando dos ruidos blancos independientes, εxt , εyt , t = 1, 2, ..., T, a partir
de distribuciones de probabilidad Normal, con esperanza matemática µεx , µεy (por
ejemplo, iguales a cero) y varianzas σ 2x , σ 2y ; el coeficiente de correlación muestral
ε ε
entre las series temporales resultantes será, por construcción, muy reducido, si
bien no exactamente igual a cero.
Nota: Cuanto mayor sea el tamaño muestral, más probable es que dicha cor-
relación sea igual a cero, debido a que la correlación muestral, es decir, la cor-
relación entre las dos series temporales simuladas es, por la ley de los grandes
números, un estimador consistente de su análogo poblacional, que es el coeficiente
de correlación teórico entre los dos procesos εxt , εyt , que es igual a cero. Por tanto,
al aumentar T , la distribución de probabilidad del coeficiente de correlación mues-
tral se concentra alrededor de cero.
El gráfico de ambas variables presentará una pauta oscilando alrededor de
su media muestral que, por la misma razón apuntada para el coeficente de cor-
relación, serán próximas, si bien no iguales, a µεx , µεy . Observaremos que cada
serie temporal cruza repetidamente su nivel medio. Si estimamos una regresión
del tipo:

εyt = β 0 + β 1 εxt + ut , t = 1, 2, ..., T

deberíamos obtener una estimación de β 1 no significativamente diferente de
cero, y un R2 prácticamente nulo. En efecto, salvo por el error estadístico, así
ocurre cuando llevamos a cabo un ejercicio de simulación de Monte Carlo: al 95%
de confianza, el habitual contraste tipo t rechazará la hipótesis nula de ausencia
de capacidad explicativa de εxt H0 : β 1 = 0 aproximadamente en un 5% de
los casos, y el valor mediana del coeficiente de determinación R2 para todas las
simulaciones es muy reducido. El término constante sólo resultaría significativo
si en la generación de las series temporales, hemos utilizado valores diferentes de
µεx , µεy .
Este resultado no se ve afectado significativamente en ningún otro sentido por
la presencia de tales términos constantes, ni tampoco por cambios en el valor
de las respectivas varianzas. Al variar el valor relativo de σ 2y /σ 2x tan sólo se
ε ε
observa un comportamiento algo errático del tamaño del contrate de significación
del parámetro β 0 . En definitiva, en esta primera parte del ejercicio tendremos el

37

resultado que esperaríamos: una regresión no significativa, excepto en lo relativo
al nivel escogido para el contraste.

8.3.1. Regresión espúrea bajo tendencias deterministas
A continuación, añadimos una tendencia lineal determinista a cada una de ellos,

∗
yt = at + εyt
x∗ = bt + εxt
t

donde a y b son constantes arbitrarias y t es una tendencia determinista, es
decir, una variable que aumenta cada período en una cantidad constante, ∆.
Si calculamos el coeficiente de correlación muestral entre xt e yt , apreciaremos
que es elevado. Esto es sorprendente porque, como muestran las expresiones
anteriores, cada variable es la suma de un componente de naturaleza determinista,
que no experimenta ninguna fluctuación aleatoria, y un segundo componente de
naturaleza estocástica. El coeficiente de correlación debería indicar la asociación
estadística entre ambas variables, que es lo mismo que la asociación entre sus
componentes estocásticos, es decir, entre sus innovaciones. Pero dicha correlación
debería ser, por construcción, prácticamente igual a cero, en contra del resultado
que se obtiene cuando se lleva a cabo este ejercicio de simulación. En todo caso,
tal elevada correlación no refleja ninguna relación real entre las variables, por lo
que se denomina correlación espúrea.
Como consecuencia de la misma, si se estima una regresión lineal, tomando
cualquiera de estas variables como variable dependiente y la otra como indepen-
diente,

yt = β 0 + β 1 x∗ + vt , t = 1, 2, ..., T
∗
t

los resultados cambian sustancialmente: se obtiene un R-cuadrado elevado
pues, como ya sabemos, es igual al cuadrado del coeficiente de correlación entre
ambas variables, a la vez que una pendiente β 1 aparentemente significativa, de
acuerdo con el criterio habitual de utilizar su estadístico tipo t-Student. Ambas
cosas ocurrirán en un elevado porcentaje de las simulaciones que realicemos, para
distintas series temporales de εxt , εyt , t = 1, 2, ..., T. Por consiguiente, creeríamos
que la capacidad explicativa de la variable x∗ sobre yt es muy importante. Este
t
∗

resultado es sorprendente, por cuanto que las variables yt , x∗ tienen la misma
∗
t

38

estructura estocástica que εxt , εyt , por lo que ambas relaciones deberían propor-
cionar resultados análogos. Esta apariencia ficticia de capacidad explicativa es lo
que se conoce como regresión espúrea.
El grado de correlación observado entre yt , x∗ depende de dos factores: la
∗
t
similitud entre las constantes a y b, y la relación entre ambas y las desviaciones
típicas de los ruidos blancos originales, εxt , εyt . Si, por ejemplo, fijamos el valor
numérico de b en b = 1, y vamos tomando en cada ejercicio de simulación val-
ores: a = [0, 1; 0, 5; 0, 9; 1; 3; 10; 100] el coeficiente de determinación resultante,
R2 aumenta monótonicamente con el valor de a. Es decir, la mayor correlación
no se obtiene cuando hay a ambos lados de la igualdad la misma pendiente, lo
que equivaldría a utilizar a = 1, sino que dicha correlación aumenta con a. Esto
se debe a que, según aumenta a, cada vez hay más tendencia determinista en
∗
yt , en el sentidod e ques ésta predomina sobre el componente estocástico εyt , y
dicha tendencia determinista puede explicarse muya decuadamente mediante el
componente análogo de x∗ . t

8.3.2. Regresión espúrea bajo tendencias estocásticas
En su trabajo pionero, Granger y Newbold (1974) trataron el problema de no
estacionariedad producido por la presencia de tendencias estocásticas o raíces
unitarias. Para ello, realizaron el siguiente ejercicio: a partir de la simulación de
dos ruidos blancos independientes que tendrán, por construcción, como antes, un
coeficiente de correlación muestral muy reducido, añadieron una raíz unitaria o
tendencia estocástica a cada uno de ellos,

yt = yt−1 + εyt
xt = xt−1 + εxt
obteniendo que el coeficiente de correlación entre xt e yt era muy próximo a
la unidad. Esto es sorprendente, por cuanto que, a partir de condiciones iniciales
conocidas, los valores de ambas variables en cada instante de tiempo pueden
escribirse como,
t
X
yt = y0 + εys
s=1

que indican que la evolución temporal de cada una de las variables se debe a la
acumulación temporal de sus innovaciones. Por tanto, la naturaleza estocástica de

39

cada variable está totalmente determinada por la naturaleza de sus innovaciones.
Si εxt y εyt son independientes, entonces también deberían serlo xt e yt , en contra
de los valores obtenidos para sus coeficientes de correlación muestrales en repetidas
simulaciones. En todo caso, nuevamente, tal elevada correlación no refleja ninguna
relación real entre las variables, por lo que se denomina correlación espúrea.
Si estimamos una regresión lineal entre estas variables, en cualquier orden, ten-
dremos de nuevo un R-cuadrado elevado y una pendiente significativa, de acuerdo
con el criterio habitual de utilizar su estadístico tipo t-Student, pero la evidencia
de capacidad explicativa proporcionada por esta regresión sería espúrea.
Si las series temporales obtenidas mediante simulación para las innovaciones o
ruidos blancos εxt y εyt tuviesen correlación distinta de cero, las variables xt e yt
de los ejemplos anteriores mostrarían correlaciones muestrales similares a las que
se encuentran en los ejercicios de simulación descritos. En ese caso, los elevados
coeficientes de correlación no serían tan engañosos, si bien serían numéricamente
más altos de lo que la correlación entre xt e yt haría esperar.
En un ejercicio de simulación como el descrito, Granger y Newbold encon-
traron una frecuencia aproximada de rechazos de la hipótesis nula H0 : β 1 = 0 del
76%. La frecuencia de rechazos de la capacidad explicativa global de la regresión
se eleva muy significativamente al aumentar el número de variables explicativas
independientes con estructura de ruido blanco. Nuevamente los coeficientes de
determinación son muy elevados, lo que sorprende, pues realmente, xt no explica
apenas a yt . El estadístico de Durbin-Watson habitualmente utilizado para con-
trastar ausencia de autocorrelación se reduce hacia cero, por lo que la combinación
de este hecho con un elevado R2 suele utilizarse como indicio de una regresión es-
púrea.

• Ejercicio de simulación

En espureo.xls se han generado dos series temporales correspondientes a una
población Normal N(0,1). El generador de números aleatorios de Excel produce
observaciones independientes entre sí, por lo que ambas series temporales se ob-
tienen asimismo de manera independiente. La correlación poblacional entre ellas
es cero, si bien la correlación muestral, al final de ambas variables, es de 0,0278.
Tampoco la media y desviación típica muestrales de cada variable son exacta-
mente 0 y 1, como sus valores teóricos, si bien no difieren mucho de ellos. El
coeficiente de asimetría teórico, así como el exceso de curtosis (respecto de 3.0,
que es la curtosis de toda población Normal), deberían ser ambos igual a cero lo
que, nuevamente, ocurre sólo con carácter aproximado.

40

En regresion_ori se presentan los resultados de estimar una regresión entre
las variables originalmente obtenidas por simulación, la primera de ellas actuando
como variable dependiente, la segunda como variable explicativa. El coeficiente
de determinación es el cuadrado de su coeficiente de correlación y, por tanto,
muy reducido. La estimación del coeficiente asociado a la variable explicativa
aparece como no significativamente diferente de cero, de acuerdo con el estadístico
t habitual. El gráfico que presenta el ajuste de la recta a la nube de puntos muestra
un línea sin apenas pendiente, y una nube de puntos bastante circular. Ambos
hechos reflejan una escasa correlación: una pendiente no significativa sugiere que
la variable explicativa puede cambiar de valor sin que la variable dependiente
cambie; una nube de puntos circular muestra que el rango de valores de cada una
de las dos variables asociado a un valor determinado de la otra es muy amplio. En
consecuencia, un valor numérico de cualquiera de ellas apenas nos informa acerca
del valor de la otra variable. Esta es la manifestación de la ausencia de correlación
entre ambas.
Lo contrario ocurre al estimar una regresión lineal entre las variables [regre-
sion_tend], una vez que se ha añadido una tendencia determinista a cada una de
ellas. Para ello, en la hoja Datos se han generado dos nuevas variables, sumando
una tendencia lineal a la variable Y, y 0,6 veces la misma tendencia lineal a la
variable X. Los estadísticos muestrales que aparecen al pie de dichas variables
carecen de justificación estadística, como comentaremos en una sección posterior.
Aunque el componente estocástico en ambas variables es el mismo de antes, la
nuebe de puntos entre ambas tiene un perfil totalmente distinto, siendo práctica-
mente una linea recta. Esto se debe a que el componente tendencial predomina
sobe el estocástico; como consecuencia, la regresión estimada entre ambas vari-
ables muestra un coeficiente de determinación muy próximo a la unidad. Lo
que es quizá más preocupante, es que la pendiente estimada en dicha regresión,
que es sustancialmente más elevada que la estimada con las variables originales,
aparece como claramente significativa, sugiriendo una importante capacidad ex-
plicativa a la variable independiente, contrariamentea lo que detectamos en la
primera regresión. Aquí cabe discutir si este es un resjultado razonable: podría
argumentarse que ambas variables tienen un componente tendecial importante y
que, en ese sentido, no es sorprendente que el coeficiente de determinación entre
ambas sea elevado. Es cierto, pero sólo refleja la relación entre los componentes
deterministas, que no son los que deben concentrar la atención del analista: si hay
componentes deterministas en las variables dependiente y explicativas, el analista
debería indagar las razones que explican la presencia simultánea de tales elementos

41

en las variables. Esta sería uno de los elementos del análisis; el segundo consistiría
en evaluar la relación entre los componentes estocáticos en variables dependiente
y explicativas; éste elemento es importante, pues nos proporciona información ac-
erca del impacto que sobre la variable dependiente puede tener una intervención
sobre alguna de las variables explicativas, o una alteración exógena en su valor
numérico. La dificultad con la regresión anterior estriba en que si no se lleva a
cabo este análisis por componentes, el examen mecánico de los resultados de la re-
gresión sugeriría que la variable dependiente reacciona a fluctuaciones inesperadas
en la variable explicativa, cuando no es así; tal conclusión sería un error.
Posteriormente, hemos mantenido los mismos elementos tendenciales de ambas
variables, pero hemos incrementado de manera apreciable el componente aleatorio
en ellas. Siendo tales componentes variables aleatorias de esperanza matemática
igual a cero, su tamaño queda representao por su desviación típica, que era unitaria
para ambas en las regresiones anteriores. En la hoja Datos hemos generado otras
dos variables con desviaciones típicas 20 y 30; la correlación entre ellas desciende, si
bien no de manera dramática, situándose en 0,9349. Por último, hemos mantenido
estos compoenntes estocásticos, pero reduciendo el incremento período a período
de la tendencia, que pasa de ser 1,0 a ser ahora 0,10. El coeficiente de correlación
entre ambas variables se reduce ahora a 0,2446; la regresión entre ambas variables
todavía muestra una pendiente significativamente diferente de cero de acuerdo
con el uso habitual del estadístico t, pero de manera menos evidente que antes;
el coeficiente de determinación es iguala 0, 24462 = 0, 0598, bastante reducido.
El gráfico que muestra la nube de puntos, junto con la recta ajustada, ilustra la
dificultad de precisar la pendiente de la recta que mejor se ajusta a dicha nube
de puntos, es decir, la dificultad de estimar con precisión dicha pendiente.

8.4. Tratamiento de tendencias deterministas
De las dos situaciones descritas en el apartado anterior, es algo más sencilla de
tratar la presencia de tendencias deterministas, cuando se anticipa correctamente
que la presencia de las mismas es la única causa de no estacionariedad de las vari-
ables que se pretende relacionar, es decir, cuando las variables tienen estructura,

yt = α0 + α1 t + εyt (8.1)
xt = δ 0 + δ 1 t + εxt (8.2)
Para ello, hay dos posibilidades: la primera consiste en incorporar en el modelo
de regresión una tendencia determinista lineal como variable explicativa,

42

yt = α + γt + βxt + ut (8.3)
ˆ
en la que el coeficiente estimado β y su desviación típica serán, aproximada-
mente, los mismos que habríamos estimado en la regresión,

εyt = η 0 + η 1 εxt (8.4)
Esto significa que si ambas innovaciones son independientes, en la regresión
(8.3) se tendrá un coeficiente reducido en magnitud, y estadísticamente no signi-
ficativo, en términos de su estadístico t de Student.
Esto es distinto del resultado que se obtiene en la estimación de la regresión
habitual,

yt = α + βxt + ut (8.5)
cuando las variables tienena estructura (8.2), (8.1), en la que se tendría un R-
cuadrado muy elevado, una estimación numérica de β relativamente elevada, y un
estadístico t para dicho coeficiente, claramente por encima de 2,0 en valor absoluto,
sugiriendo que la capacidad de xt para explicar yt es significativa, contrariamente
a lo que, en realidad, ocurre.
La dificultad con el procedimiento que hemos sugerido es que todavía manten-
drá un R-cuadrado muy elevado, debido a la capacidad explicativa que el término
γt tiene sobre yt , debido a la presencia de una tendencia determinista en esta
última variable. este término aparecerá como claramente significativo, con un
estadístico t muy elevado.
La diferenciación elimina asimismo las tendencias deterministas, como fácil-
mente puede comprobarse algebraicamente. De este modo, si el precio de un
determinado activo tiene una tendencia temporal determinista lineal, su primera
diferencia estará libre de dicha tendencia. Un proceso con una tendencia deter-
minista cuadrática sigue trayectorias con formas parabólicas, cóncavas o convexas.
Su primera diferencia presentará una tendencia lineal, mientras que su segunda
diferencia estará libre de tendencia. Un proceso con una tendencia determin-
ista representada por un polinomio de grado tres puede tener ciclos. La primera
diferencia de este proceso tendrá una tendencia cuadrática.
Como ejemplo, consideremos:

yt = β 0 + β 1 t + β 2 t2 + εt
cuya primera diferencia es:

43

∆yt = yt − yt−1 = (β 1 − β 2 ) + 2β 2 t + (εt − εt−1 )

y su segunda diferencia:

∆2 yt = ∆yt − ∆yt−1 = yt − 2yt−1 + yt−2 = 2β 2 + (εt − 2εt−1 + εt−2 )

Por tanto, aparentemente, una solución en el caso en que sospechamos que
puede haber tendencias deterministas en las variables que pretendemos relacionar,
consistiría en estimar la posible relación entre ellas después de haber tomado
diferencias temporales. Sin embargo, con dicha transformación perdemos bastante
información acerca de las ﬂuctuaciones de corto plazo en las variables, por lo que
los procedimientos anteriormente descritos son más recomendables.

8.5. Ejercicios de simulación
• Ejercicio 1: Simule 300 observaciones de dos ruidos blancos independientes,
con distribuciones N (µx, σ 2 ), N(µy , σ 2 ), como observaciones muestrales para
x y
las innovaciones εxt , εyt . A continuación, genere observaciones para una ten-
dencia determinista t. Los valores numéricos para las variables x e y se
obtienen añadiendo la tendencia t, multiplicada por sendas constantes a, b,
a las respectivas innovaciones, para reproducir las estructuras (8.2) , (8.1).

El ejercicio consiste en comparar el coeﬁciente de correlación que se obtiene
para εxt , εyt , que será muy reducido, con el que se obtiene entre xt e yt , que
debería ser similar, pero será, sin embargo, muy elevado. En segundo lugar,
deben estimarse regresiones análogas a (8.4) , (8.5) , (8.3) .

8.6. Tendencias estocásticas y raíces unitarias
De modo análogo, un proceso puede tener asimismo varias raíces unitarias. Los
tipos de interés ya son rentabilidades, por lo que tienen, generalmente, un or-
den de no estacionariedad (es decir, un número de tendencias) menos que las
series de índices bursátiles o de precios de derivados, por ejemplo. En ocasiones,
sin embargo, algunas series de precios son no estacionarias de orden 2 (tienen 2
raíces unitarias), por lo que incluso las rentabilidades pueden ser no estacionarias,
presentando una raíz unitaria.

44

8.7. Contrastes de raíz unitaria
Si utilizamos la teoría de la cointegración, comenzaríamos llevando a cabo con-
trastes de raiz unitaria para ambas variables, que detectarían en un 95% de las
simulaciones que ambas variables son I(1).

8.8. Cointegración
Un vector z de variables de naturaleza I(1) se dicen cointegradas si existe una
combinaciónn lineal de las mismas, definida por un vector α tal que α0 z es una
variable aleatoria I(0), es decir, estacionaria. Más generalmente, se dice que un
vector z de variables cuyo máximo orden de integración es q están cointegradas
si existe una combinación lineal de las mismas, definida por un vector α tal que
α0 z es una variable aleatoria I(p), con p < q. El vector α se denomina vector de
cointegración.

8.8.1. Contraste de cointegración
Si partimos de variables yt , xt de naturaleza I(1), sus primeras diferencias, ∆yt , ∆xt
son estacionarias. Contrastaríamos entonces la cointegración de yt , xt estimando
una regresión,

yt = β 0 + β 1 xt + vt , t = 1, 2, ..., T (8.6)
y contrastando la estacionariedad de los residuos, como propusieron Engle y
Granger (1987). Sin embargo, los niveles críticos para el contraste de esta hipóte-
sis no son los mismos que para el contraste de raíces unitarias en una variable,
pues ahora, el contraste se lleva a cabo después de haber estimado el modelo de
regresión (8.6). Esto no es irrelevante: el procedimiento de mínimos cuadrados
busca los valores del espacio paramétrico (β 0 y β 1 en la regresión anterior) que
minimizan la varianza del residuo resultante, y éste tiene una varianza infinita
para los valores de β 1 que no hacen que las variables estén cointegradas. Por
tanto, si yt , xt están cointegradas, el método de MCO tenderá a seleccionar el
valor de β 1 que genera residuos estacionarios, es decir, la constante de cointe-
gración. Aunque esto es lo que pretendemos, ello significa que hay una cierta
tendencia a concluir con más frecuencia de la que debiéramos que las variables
están cointegradas. en consecuencia, los valores críticos para el contraste de raíz
unitaria de los residuos de (8.6) deben ser más elevados en valor absoluto que los
utilizados para el contraste de raíz unitaria habitual.

45

Si los residuos de esta regresión resultan ser estacionarios, decimos que las
variables yt , xt están cointegradas, siendo (8.6) la relación de cointegración entre
ambas. Esta relación sería el producto α0 z anterior después de normalizar una
de las coordenadas del vector α lo cual, evidentemente, siempre es posible. Se
interpreta como la relación de largo plazo entre ellas, alrededor de la cual exper-
imentan desviaciones a corto plazo que revierten posteriormente. Es decir, si en
un determinado período, yt está por encima del valor numérico de β 0 + β 1 xt para
ese mismo período, generalmente yt crecerá por encima de β 0 + β 1 ∆xt , de manera
que yt+1 tenderá a acercarse a β 0 + β 1 xt+1 . En el caso de dos variables yt , xt ,
decimos que β 1 es la constante de cointegración entre ambas.
En el análisis de simulación anterior, en el que generamos ambas series tem-
porales a partir de procesos independientes, este contraste nos sugerirá en una
mayoría de simulaciones que yt , xt no están cointegradas, lo que aparecerá en la
forma de residuos de naturaleza I(1) en (8.6). En tal caso, habríamos de estimar
un modelo en diferencias de ambas variables,

∆yt = β 0 + β 1 ∆xt + vt , t = 1, 2, ..., T

que arrojará un coeficiente β 1 no significativo y un coeficiente de determinación
muy reducido.
Al contrastar cointegración, estamos tratando de detectar la posible existencia
de relaciones de largo plazo entre las variables del modelo. En ese sentido, la
naturaleza del contraste sugiere el uso de una datos no necesariamente frecuentes,
y una muestra temporal suficientemente amplia. De lo contrario, predominará en
la muestra, en términos relativos, la información acerca de las fluctuaciones de
corto plazo en las variables, frente a la de su evolución tendencial, que es lo que
tratamos de detectar. Por tanto, una elección inapropiada de la muestra, ya sea
por una frecuencia alta de observación de los datos, o por el uso de un período
muestral no muy amplio, sesgará el resultado del contraste hacia la no detección
de relaciones de cointegración.
Efectuar un análisis de cointegración significa relacionar los niveles de variables
como oferta monetaria y precios, y no sus tasas de variación. Por el contrario,
basar la caracterización de la relación entre variables como las citadas utilizando
coeficientes de correlación estándar es delicado, pues puede conducir a la detección
de regresiones espúreas. El concepto de cointegración generaliza el concepto de
correlación en la dirección adecuada. La existencia de una tendencia estocástica
común generaría una relación sostenible a largo plazo entre ambas variables, lo que
hará que sus diferenciales reviertan a través del tiempo, es decir, que sean mean-

46

reverting. No tiene sentido analizar las relaciones entre los niveles de variables
I(1) si no están cointegradas.

8.8.2. Contraste de hipótesis sobre la relación de cointegración estimada
por mínimos cuadrados
Al estimar la relación anterior por mínimos cuadrados hay que tener en cuenta
que las propiedades de dicho estimador son válidas únicamente en el caso de vari-
ables estacionarias. Cuando las variables están cointegradas, el uso de mínimos
cuadrados en la estimación de la regresión esta justificado estadísticamente, pero
la distribución de probabilidad del estimador MCO no es la habitual. Por tanto,
aunque el programa de estimación que utilicemos nos proporcionará las desvia-
ciones típicas estimadas y los ratios tipo-t de cada coeficiente, estos no son válidos
en este caso, y no deben utilizarse, por ejemplo, para contrastar hipótesis sobre
los coeficientes de la relación de cointegración.
Hay muchos casos, sin embargo, en que el modelo teórico sugiere que las vari-
ables yt , xt deben estar relacionadas con un determinado valor numérico del co-
eficiente, por ejemplo, β 0 = 1, por lo que el investigador estará interesado en
contrastar dicha hipótesis. Esto puede hacerse por un procedimiento indirecto,
sustituyendo el valor teórico de β, β = β 0 en la relación entre ambas variables.
Ello significa que construimos la variable auxiliar wt = yt − β 0 xt , y contrastamos
la estacionariedad de esta variable.
Cuando se procede de este modo, es improtante repetir el contraste para val-
ores de β 0 en un entorno de β 0 , con el objeto de analizar la precisión con que
hemos identificado la constante de cointegración.

8.8.3. Correlación y cointegración
Sin embargo, correlación y cointegración no son sinónimos. El problema de cor-
relación espúrea surge entre variables no estacionarias, con independencia de que
estén o no cointegradas, luego puede haber alta correlación (de hecho, muy el-
evada) sin cointegración. Alternativamente, el hecho de que exista una relación
de largo plazo entre variables no estacionarias no impide que éstas experimenten
desviaciones respecto de la misma que, si son de apreciable magnitud, reducirán la
correlación existente entre dichas variables. Un ejemplo sería la evolución tempo-
ral de la cotización de un valor en Bolsa, analizada conjuntamente con un índice
que lo incluya, ya sea el índice de mercado, un índice de los valores más capi-
talizados, o un índice sectorial; dado que todo índice es un promedio ponderado

47

de las cotizaciones de los valores en él incluidos, cabría esperar que ambas series
temporales estuvieran correlacionadas. Sin embargo, las fluctuaciones que am-
bos experimentan a corto plazo pueden ser suficientes para que su coeficiente de
correlación sea reducido.

8.8.4. Variables cointegradas: un ejemplo
Un ejemplo típico de variables posiblemente correlacionadas pero habitualmente
no cointegradas lo constituye algunos tipos de cambio. A partir de dos vari-
ables no estacionarias, pero cointegradas, es sencillo construir dos variabls no
cointegradas, sin más que añadir en cada período a una de ellas, un incremento
no correlacionado temporalmente. Si la varianza de este componente no es muy
grande, mantendremos una correlación análoga a la inicial, que podía ser elevada;
sin embargo, por construcción, las dos variables no están cointegradas.
Ejemplo de variables cointegradas es,

xt = αx + β x wt + εxt
yt = αy + β y wt + εyt
wt = wt−1 + εt

donde zt es la tendencia común a xt e yt , siendo εxt , εyt variables aleatorias
N (0, σ 2 ), N (0, σ 2 ), sin autocorrelación. Las variables xt e yt están cointegradas,
x y
puesto que
µ ¶ µ ¶
βy βy
yt − β y /β x xt = αy − αx + εyt − εxt
βx βx
¡ ¢
que es una variable estacionaria. El vector 1, −β y /β x se denomina vector de
cointegración, y la combinación lineal ξ t = yt − β y /β x xt , que es estacionaria, es la
cuantía en la que se incumple la relación de equilibrio a largo plazo en el período
t.
Cuando el vector zt consta de n variables, con n > 2, pueden existir varias rela-
ciones de cointegración. Esto es lo que sucede, por ejempo, al considerar un vector
de tipos de interés a distinto vencimiento, dentro de un mismo mercado, ya sea el
mercado secundario de deuda pública, un mercado de swap en una determinada
divisa, etc.. En este caso, el procedimiento de Engle-Granger para estimar vec-
tores de cointegración es problemático, pues estimaremos una combinación lineal

48

de las posibles relaciones de cointegración existentes entre las variables que com-
ponen el vector. De hecho, la estimación resultante dependerá de la normalización
de coeficientes utilizada en (8.6), a diferencia de lo que ocurre en el caso de dos
variables.

8.8.5. El modelo de corrección de error
Teorema de representación de Engle y Granger
Este teorema afirma que si dos variables yt , xt de naturaleza I(1),están coin-
tegradas, sus relaciones dinámicas están caracterizadas por el modelo de corrección
de error,

m
X n
X
∆yt = αy + δ y ∆xt−i
1i + δ y ∆yt−i + γ y ξ t−1 + εyt
2i (8.7)
i=1 i=1
Xp Xq
∆xt = αx + δ x ∆xt−i +
1i δ x ∆yt−i + γ x ξ t−1 + εxt
2i
i=1 i=1

donde ξ t−1 denota la desviación del período anterior respecto de la relación
de equilibrio a largo plazo ξ t−1 = yt−1 − βxt−1 , siendo β el coeficiente de cointe-
gración entre yt y xt , y ∆ es el operador de primeras diferencias. En el modelo
de corrección de error todas las variables son estacionarias, I(0), por lo que las
propiedades habituales del estimador MCO en dicho contexto, son válidas. Los
términos γ y ξ t−1 y γ x ξ t−1 se denominan términos de corrección de error, y han de
aparecer en las ecuaciones anteriores con un determinado signo, que depende del
modo en que se haya definido el desequilibrio ξ t−1 . Con nuestra definición, ha de
tenerse γ y < 0, γ x > 0; un valor negativo de γ y indicará que períodos en que yt es
alto, es decir, superior a βxt , tenderán a venir seguidos de crecimientos relativa-
mente reducidos de dicha variable. Un valor positivo de γ x indica que siguiendo
a períodos en que yt es alto, xt tenderá a experimentar un crecimiento mayor;
la conjunción de ambos efectos hace que yt+1 tienda a aproximarse a βxt+1 . Lo
dual ocurrirá tras períodos en que yt haya sido bajo, es decir, inferior a βxt . Si
hubiéramos normalizado la relación de cointegración de otro modo, habráimos
definido el término de desequilibrio como ξ t−1 = βyt−1 − xt−1 , y los signos de los
coeficientes γ y , γ x en (8.7) deberían ser entonces los contrarios a los antes descritos.
Es fácil ver, sin embargo, que esto no es preciso: la aproximación entre am-
bas variables puede conseguirse asimismo si ambas aumentan o disminuyen si-
multáneamente, pero xt experimenta la mayor variación. Por tanto, si ambos

49

coeficientes tienen igual signo, γ x debe ser significativamente mayor que γ y en
valor absoluto. De hecho, podría ocurrir también que sólo unos de los dos co-
eficientes resulte estadísticamente significativo, lo que podría interpretarse en el
sentido de que la variable asociada soporta todo el peso del ajuste hacia la relación
de equilibrio a largo plazo.
La cointegración entre variables no lleva añadida ninguna interpretación conc-
reta en términos de causalidad entre dichas variables. De hecho, como la relación
de cointegracion puede normalizarse de distintas maneras, puede presentarse una
apariencia de causalidad en cualquiera de las dos direcciones. El modelo de cor-
rección de error muestra que, en presencia de cointegración, existe importante
causalidad entre ambas variables, en principio, con carácter bidireccional. Sólo
si algunos de los coeficientes del modelo MCE resultan ser estadísticamente no
significativos, podría hablarse de causalidad unidireccional. Si dos variables es-
tán cointegradas, al menos una de ellas causa a la otra; sin embargo, ello podría
también reflejar el efecto común de una tercera variable, no considerada en el
modelo.
Por ejemplo, al trabajar con datos de precios de contado y del futuro sobre un
determinado activo financiero, es habitual hallar un mayor número de retardos del
precio del futuro en la ecuación del contado, que viceversa, lo que sugiere que los
mercados de derivados (en este caso, de futuros), incorporan la nueva información
más rápidamente que los mercados de contado, por lo que los últimos parecen
responder a fluctuaciones en los primeros. En este tipo de ejemplos, en ocasiones
el término de corrección de error resulta no significativo en la ecuación de precios
del mercado de contado.
Cuando el vector zt incorpora más de dos variables, y existe más de una relación
de cointegración entre ellas, el modelo de corrección de error adopta una expresión
similar a la antes propuesta. La diferencia estriba en que aparecen retardos de
todas las variables, en diferencias, en todas las ecuaciones, y aparecen tantos
términos de corrección de error como relaciones de cointegración en cada una de
las ecuaciones. Dichos términos serán los valores retardados de dichas relaciones
de cointegración; la normalización esocgida afecta únicamente a la interpretación
de los valores numéricos estimados.
La búsqueda de variables cointegradas abundan en la literatura financiera,
donde trata de caracterizarse las posibles relaciones de equilibrio a largo plazo
entre precios de activos. Así, se han analizado las posibles relaciones de cointe-
gración entre tipos de cambio, entre tipos de interés dentro de una misma estruc-
tura temporal, entre mercados de contado y futuro, entre commodities, valoración

50

de divisas. También se ha utilizado este tipo de análisis para discutir el grado
de integración entre mercados de valores o de deuda, si bien parece existir más
evidencia favorable en el primer tipo de mercados. Este análisis tiene asimismo
implicaciones para la gestión ﬁnanciera: en principio, debería ser posible encontrar
una cesta reducida de valores cointegrada con el índice, lo que podría utilizarse en
la gestión pasiva de carteras. Lo mismo debería ocurrir con un pequeño conjunto
de índices sectoriales, etc..

8.8.6. El contraste de cointegración de Johansen
Si consideramos un vector autoregresivo V AR(p),

yt = A1 yt−1 + A2 yt−2 + ... + Ap yt−p + Bxt + ²t

donde yt es un vector de variables no estacionarias, I(1), xt es un vector
de variables deterministas, y ²t es unvector de innovaciones. El V AR(p) puede
escribirse,
p−1
X
∆yt = Πyt−1 + Γi ∆yt−i + Bxt + ²t
i=1

con
p p
X X
Π= Ai − I, Γi = Aj
i=1 j=i+1

8.8.7. Aspectos comunes a varias variables temporales: tendencias co-
munes, volatilidad común.
8.8.8. ¿Qué hacer en presencia de variables con tendencias estocásticas
(raíces unitarias)?
De acuerdo con la discusión que hemos llevado a cabo en las secciones anteriores,
el procedimiento a seguir en caso de presencia de raíces unitarias en las variables
de una regresión lineal simple es claro. Si tanto xt como yt son variables I(1),
es decir, tienen una raíz unitaria, entonces el tratamiento que hemos de aplicar
depende de si están o no cointegradas. Si lo están, hemos de especiﬁcar estimar
un modelo de corrección de error. Si no están cointegradas, hemos de estimar un

51

modelo en diferencias. En el ejercicio de simulación descrito, la estimación de la
relación en primeras diferencias,

∆yt = β 0 + β 1 ∆xt + vt , t = 1, 2, ..., T

arrojará un coeficiente β 1 no significativo y un coeficiente de determinación
muy reducido en la mayoría de las simulaciones.
Esto significa, entre otras cosas, que la recomendación de tratar la no esta-
cionariedad diferenciando las variables, no es correcta. Tal sugerencia es válida
cuando, existiendo raíces uniatrias en ambas variables, no están cointegradas.
Cuando están cointegradas, el modelo que se estima relaciona las variables en
diferencias, pero incorpora asimismo un término de corrección de error.
Aún así, subsisten algunos matices:

• Modelo uniecuacional: como hemos comentado anteriormente, la cointe-
gración entre variables no dice nada acerca de la posible relación de causali-
dad entre ambas. De hecho, de acuerdo con el teorema de representación de
Engle y Granger, el modelo de relación entre ambas variables es un modelo
de corrección de error, que es un modelo de dos ecuaciones, una para yt en
diferencias, y otra para xt en diferencias. En ambas aparece el término de
corrección de error retardado como una de las variables explicativas, de-
biendo esperar que tome signo opuesto en cada una de las dos ecuaciones,
según como se haya definido dicho término, por las razones antes expuestas.
Además de dicho término, aparecerán posiblemente algunos retardos de las
diferencias, tanto de xt como de yt .

Sin embargo, es práctica habitual utilizar tal representación para especificar
un modelo de regresión con una única ecuación, como proponen Engle y Granger
(19xx). Al actuar así, hemos de interpretar que estamos estimando por separado
tan sólo una de las ecuaciones del modelo de corrección de error, lo cual puede
hacernos perder eficiencia en la estimación, salvo si: a) las innovaciones en las dos
ecuaciones están incorrelacionadas, o b) las dos ecuaciones tuvieran exactamente
las mismas variables explicativas.

• ¿Qué diferencias? Ya sabemos que, en caso de cointegración, el modelo a
estiamr es una relación entre las variables xt e yt en diferencias. En muchos
casos, el investigador dispone de observaciones mensuales o trimestrales de
variables como el consumo agregado, el PIB de un país, la inversión, un

52

agregado monetario, etc. Estas variables tienen, generalmente, una raíz
unitaria, por lo que, en caso de querer relacionar dos de ellas, y en presencia
de cointegración, deberíamos estimar un modelo de corrección de error.

Sin embargo, no sólo la primera diferencia, es decir, la variación entre meses
o trimestres sucesivos, yt − yt−1 , sino la diferencia anual, yt − yt−4 en el caso de
datos trimestrales, o yt − yt−12 en el caso de datos anuales, también son variables
I(0), es decir, estacionarias. Por tanto, el modelo de corrección de error puede
especificarse en unas u otras diferencias, siempre que seamos consistentes en tratar
tanto xt como yt de igual manera. Y, sin embargo, las propiedades estadísticas
de unas u otras diferencias son bien diferentes; por ejemplo, su volatilidad es
muy distinta. Además, es perfectamente concebible que la variación anual (es
decir, la tasa interanual) de inflación esté correlacionada con la tasa internual
de crecimiento monetario, a la vez que las tasas de variación intermensuales (es
decir, mes a mes) de ambas variables, no muestren una relación significativa. Por
consiguiente, no sería lo mismo estimar un modelo de relación,

∆12 yt ≡ yt − yt−12 = β 0 + β 1 (xt − xt−12 ) + γ (yt−1 − δ 0 − δ 1 xt−1 ) + ut

que un modelo,

∆yt ≡ yt − yt−1 = β 0 + β 1 (xt − xt−1 ) + γ (yt−1 − δ 0 − δ 1 xt−1 ) + ut

de los que no cabe esperar resultados comparables. Tampoco debe pensarse
que es ésta una cuestión estadística. Por el contrario, es el propio investigador
quien debe decidir si piensa que la relación entre las variables se debe a las fluc-
tuaciones que experimentan en períodos breves de tiempo, como un mes, o en
períodos más amplios, como un año.

53

9. Matrices de covarianzas no escalares
9.1. Detección de la autocorrelación
9.2. Tratamiento de la autocorrelación.
9.3. El estimador de mínimos cuadrados generalizados
9.4. Detección de la heteroscedasticidad
9.5. Contraste de igualdad de varianza entre submuestras
9.6. Tratamiento de la heteroscedasticidad

10. El modelo de regresión lineal múltiple
Aunque hasta ahora hemos considerado únicamente modelos con una sola variable
explicativa, no hay ninguna razón para restringirse a tal situación. Además, en la
mayoría de la situaciones, el investigador creerá que hay más de una variable que
condiciona la evolución del fenómeno que pretende caracterizar. Por ejemplo, es
razonable creer que en la determinación de los tipos de interés juega un papel la
tasa de crecimiento monetario, pero también la tasa de inflación (o las expectativas
de inflación futura), e incluso el nivel de endeudamiento.
Sin embargo, el análisis que hasta ahora hemos presentado es de suma impor-
tancia, pues la mayoría de las cuestiones se extienden sin mucha dificultad al caso
en que hay varias variables explicativas en el modelo. Hay dos dificultades básicas
a que nos enfrentamos al estimar un modelo de regresión múltiple: una es la in-
terpretación de los efectos de una de las variables explicativas separadamente de
las demás. Por otro lado, la posibilidad de que la variable endógena se determine
simultáneamente con algunae las variables explicativas es indudablemente mayor
cuantas más variables explicativas se incluyen en el modelo; esto sería importante,
pues los procedimientos de estimación que hasta ahora hemos examinado no ten-
drían las propiedades que hemos descrito. Cuando hay determinación simultánea
de alguna variable explicativa con la variable dependiente del modelo de regresión
uniecuacional, el estimador de mínimos cuadrados es no sólo sesgado, sino incon-
sistente, y esto aplica a los coeficientes de todas las variables explicativas, no sólo
aquella que plantea al problema de determinación simultánea.
La razón por la que trabajamos en muchas ocasiones con modelos de regre-
sión múltiple es sencillamente, porque hay más de una variable con capacidad
explicativa significativa sobre la evolución de la variable endógena, yt . Si, en tal

54

situación, sólo explicitamos una de ellas como variables expliactivas, las restantes
estarán incluidas en el término de error, con lo que éste recogerá, además de otros
componentes, la evolución de las variables explicativas omitidas del modelo de
regresión. Con ello, su fluctuación será importante, por lo que tendrá una vari-
anza notable. La única manera de reducir dicha varianza del término de error es
haciendo explícitas todas las variables potencialmente explicativas.
El investigador nunca tiene convencimiento acerca de la capacidad explica-
tiva de un detemrinado conjunto de variables. Lo que debe hacer es estimar el
modelo con ellas, y proceder a contrastar la significación de cada una de ellas
por separado, del modo que describimos en este capítulo. En este proceso incide
negativamente la dificultad en estimar por separado el efecto de cada una de las
variables explicativas sobre la variable endógena, por lo que no puede sorprender
que dediquemos a este asunto una buena parte del capítulo.
Si, queriendo caracterizar la determinación de tipos de interés, estimamos el
modelo,

rt = β 0 + β 1 mt + β 2 π t + ut (10.1)
en el que aparecen el crecimiento monetario y la tasa de inflación como vari-
ables explicativas. El coeficiente β 1 mide el efecto sobre los tipos de interés de
un incremento (o disminución) unitario en la tasa de expansión monetaria, dada
una determinada tasa de inflación, es decir, manteniendo la tasa de inflación con-
stante. Aunque indudablemente esta es una evaluación interesante, el hecho de
que sólo sea válida en ausencia de variaciones en la tasa de inflación limita algo
su uso. En todo caso, es claro que junto con este tipo de estimaciones, nos intere-
saría disponer asimismo de una estimación del efecto que tendría dicha variación
en el crecimeinto monetario teniendo en cuanta asimismo el impacto que dicha
variación puede tener sobre la tasa de inflación.
Podría pensarse que si lo que se pretende es estimar el impacto que sobre los
tipos de interés tiene una variación unitaria en la tasa de crecimiento monetario,
podemos estimar el modelo de regresión lineal simple,

rt = β 0 + β 1 mt + vt (10.2)
Ahora bien, si el verdadero modelo es (10.1), entonces en el modelo (10.2),
la tasa de inflación forma parte del término de error. De hecho, tendríamos la
relación entre los términos de error de ambas ecuaciones,

vt = β 2 π t + ut

55

Como consecuencia, en la medida en que crecimiento monetario e inﬂación no
son independientes, la variable explicativa mt y el término de error vt en el modelo
(10.2) estarían correlacionados,

Corr(mt , vt ) = β 2 Corr(mt , π t ) + Corr(mt , ut ) = β 2 Corr(mt , π t ) 6= 0

po lo que el estimador de mínimos cuadrados de (10.2) no tendría las propiedades
que para él probamos en la sección XX. En particular, sería inconsistente.
En general, un modelo de regresión múltiple incorpora un número k de vari-
ables explicativas, ya sea con datos temporales,

yt = β 0 + β 1 x1t + β 2 x2t + ... + β k xkt + ut , t = 1, 2, ..., T (10.3)
o con datos de sección cruzada,

yi = β 0 + β 1 x1i + β 2 x2i + ... + β k xki + ui , i = 1, 2, ..., N

Es útil que consideremos inicialmente un modelo más simple,

yt = β 0 + β 1 x1t + β 2 x2t + β 3 x3t + ut (10.4)
que, al igual que hicimos en el modelo de regresión simple, podemos interpretar
en diferencias temporlaes. Para ello, escribimos el modelo en dos instantes de
tiempo sucesivos,

yt−1 = β 0 + β 1 x1t−1 + β 2 x2t−1 + β 3 x3t−1 + ut−1

y restando, con lo que tenemos,

∆yt = β 1 ∆x1t + β 2 ∆x2t + β 3 ∆x3t + ∆ut

que nos muestra que la fouctuaciçon temporal en yt puede explicarse a partir
de las variaciones temporales en x1t , x2t , x3t . Por tanto, una vez más, el modelo es
interpretado en términos de variaciones, a pesar de estimarse con datos originales,
en niveles de las variables.
Una vez que hayamos estimado el modelo, y disponiendo de datos de las vari-
ables incluidas en el msmo, podremos calcular los dos miembros de la igualdad,

ˆ ˆ ˆ
∆yt = β 1 ∆x1t + β 2 ∆x2t + β 3 ∆x3t

56

que, en realidad, no coincidirán.La diferencia entre la variación en yt y la
variación que para dicha variable se habría previsto en función de los cambios que
ˆ ˆ ˆ
han experimentado las variables explicativas, β 1 ∆x1t + β 2 ∆x2t + β 3 ∆x3t , se debe,
por supuesto, a la existencia del error o residuo, que confiamos que, en media,
no será muy grande. En todo caso, la diferencia entre los dos miembros de la
igualdad anterior será ∆ˆt .u
El término β ˆ 1 ∆x1t mide el efecto que sobre yt habría tenido la variación en
x1t si las otras dos variables explicativas no hubiesen cambiado. Sin embargo,
este es un supuesto ficticio, pues las tres variables habrán visto alterado su valor
numérico.
A pesar de ello, el ejercicio ceteris paribus puede tener interés en el diseño
de política económica. Por ejemplo, retomando el modelo (10.1), el coeficiente
ˆ
estimado β 2 nos daría el efecto que sobre los tipos de interés tendrá una variación
unitaria (positiva o negativa) en la tasa de inflación, si mantenemos inalterada
la tasa de crecimiento moenatrio. Como ésta es una variable de control de la
autoridad moneria en la puesta en práctica de la política monetaria, el ejercicio que
acabamos de describir es razonable. Incluso, una vez realizado, la propia autoridad
monetaria podría preguntarse por el impacto que sobre los tipos de interés tendría
un incremento de un punto en la tasa de inflación (que tenderá a elevar los tipos
de interés), parcialmente compensada con una mayor restricción monetaria (que
tenderá a reducir los tipos de interés), por ejemplo, recortando en dos puntos
el crecimiento monetario. Dicho impacto sobre los tipos de interés, sería, ∆rt =
ˆ ˆ ˆ
2β 1 + β 2 donde, una vez más, hay que apuntar que, muy probablemente, β 1 tomará
un valor negativo.
Si, por ejemplo, la ecuación estimada es,

rt = 4, 25 − 0, 42mt + 0, 96π t + ut
ˆ (10.5)
entonces la elevación de un punto en la tasa de inflación tendería a incrementar
los tipos de interés en 0,96. Si se reduce en dos puntos el crecimiento monetario
ˆ ˆ
el efecto combinado será mucho menor, ∆rt = 2β 1 + β 2 = −0, 84 + 0, 96 = 0, 12.
El modelo lineal de regresión especifica una relación del tipo,

yt = β 0 + β 1 x1t + β 2 x2t + ... + β k xkt + ut , t = 1, 2, ..., T

en la que se utilizan k variables para tratar de explicar el comportamiento de
la variable yt . Esta última se conoce como variable dependiente, mientras que las
variables que aparecen en el miembro derecho del modelo se denominan variables

57

explicativas. El término ut se conoce como la perturbación o término de error
del modelo, y es una variable aleatoria. También yt se considera que es una
variable aleatoria. La variable ut es el componente de yt que el modelo no puede
explicar. Se entiende que la lista de variables explicativas recoge todas las variables
que pueden estar relacionadas con yt , de modo que ut es el componente que el
investigador reconoce no poder explicar. En un modelo de regresión interesa que
este término sea lo más pequeño posible.
La expresión anterior refleja el supuesto de que disponemos de observaciones
de series temporales para cada una de las variables del modelo. Los datos de series
temporales recogen información acerca de una determinada unidad económica (un
país, un mercado financiero, etc...) en distintos instantes de tiempo, reflejando
así la evolución temporal de un conjunto de variables relativas a dicha unidad
económica. Un ejemplo sería un modelo que pretende explicar la inflación men-
sual en la zona euro utilizando como variables explicativas la tasa de crecimiento
de la M3, las variaciones en el precio del barril de petróleo, etc.. Otros ejemplos
serían: a) tratar de explicar la evolución temporal de las rentabilidades diarias
ofrecidas por una cesta IBEX35 utilizando las rentabilidades ofrecidas por una
cesta S&P500, b) explicar la evolución de la volatilidad del IBEX35 a partir de
la volatilidad del Futuro sobre el IBEX35, c) tratar de explicar la volatilidad im-
plícita en una opción put sobre Telefónica a partir de la volatilidad en la cotización
de dicha acción, etc...
En otras ocasiones, los datos disponibles no son de dicho tipo, sino de sección
cruzada, es decir, recogen información acerca de distintas unidades estadísticas,
en un mismo instante de tiempo,

yi = β 0 + β 1 x1i + β 2 x2i + ... + β k xki + ui , i = 1, 2, ..., N

aunque ambos modelos se tratan de igual modo.
Estimar el modelo consiste en asignar valores numéricos a los coeficientes
β 0 , β 1 , β 2 , ..., β k. Una vez que se dispone de dichos valores numéricos, puede cal-
cularse el residuo del modelo, mediante la expresión,

ˆ ˆ ˆ ˆ
ut = yt − β 0 + β 1 x1t + β 2 x2t + ... + β k xkt t = 1, 2, ..., T
ˆ

que tiene la misma naturaleza que los datos utilizados, es decir, será bien una
serie temporal o una sección cruzada de datos.
Un buen ajuste consiste en que los residuos sean lo menor posibles, si bien no
es evidente cómo medir el tamaño de una variable aleatoria de este tipo.

58

10.1. Estimación por mínimos cuadrados
Los datos disponibles pueden organizarse en la forma de una matriz X, de dimes-
nción Txk o Nxk para las variables explicativas, y de un vector y, de dimensión
Tx 1 o Nx 1 para la variable dependiente. Asimismo, podemos considerar el vector
u, de dimensión Tx1 o Nx 1, que contiene las T (o N ) variables aleatorias corre-
spondientes a la perturbación correspondiente a cada observación muestral. Con
ellas, el modelo de regresión lineal puede escribirse,

y = XB + u
El estimador de mínimos cuadrados ordinarios se obtiene mediante la expresión
matricial,
ˆ
β = (X 0 X)−1 X 0 y
que, como puede comprobarse, es un vector columna de dimensión kx1. Es,
por tanto, una transformación lineal de la variable dependiente y. En ese sentido,
se dice que el estimador MCO es un estimador lineal.
Este estimador proporciona un buen ajuste a los datos, en el sentido de que
los residuos que genera proporcionan la menor suma de cuadrados posible. Es
conveniente utilizar criterios como el de la suma de los cuadrados de los residuos
porque estos pueden ser positivos o negativos, de modo que su suma directa no
debe utilizarse como criterio de bondad de ajuste.
En el caso de un modelo de regresión lineal simple,

yt = β 0 + β 1 xt + ut , t = 1, 2, ..., T
este estimador se convierte en,

ˆ Cov(xt , yt ) DT (yt ) ˆ
β1 = = ρxy ¯ ˆ ¯
, β 0 = y − β 1x
V ar(xt ) DT (xt )
por lo que el coeficiente de correlación entre xt e yt está muy relacionado con
la estimación de mínimos cuadrados de la pendiente de la recta de regresión. Sin
embargo, como puede verse, dicho coeficiente de correlación debe corregirse por
la volatilidad relativa de variable dependiente e independiente. La pendiente del
modelo mide el efecto que una determinada variación en xt tiene sobre yt . Si, por
ejemplo, la correlación fuese perfecta (supngamos que de signo positivo), pero
la variable dependiente fuese el doble de volátil que la variable explicativa, el
coeficiente de correlación sería 1, pero el coeficiente del model.

59

11. Propiedades del estimador de mínimos cuadrados.
dependiente, b) si el coeficiente de imapacto de una determinada variable es igual
Sin embargo, aunque los coeficientes del modelo de regresión son constantes,
si bien desconocidas, sus estimaciones, por cualquier procedimiento que podamos
utilizar, son aleatorias, pues son función de la muestra que utilicemos, que es
aleatoria. Si el modelo que estamos estimando es correcto, como hemos de
suponer, la perturbación aleatoria del mismo, ut , otroga naturaleza asimismo
aleatoria a la variable dependiente, yt . Esto significa que si cambiamos por ejem-
plo el período muestral que utilizamos en la estimación, la realización de dicha
perturbación, es decir, sus valores numéricos, serán diferentes, con lo que las ob-
servaciones de yt también los erán, y la estimación de los parámetros diferirá de
la obtenida con otro período muestral. Asimismo, si cambiamos la frecuencia de
observación de los datos, de diaria a mensual, por ejemplo tomando el último dato
de cada mes, la muestra cambia, y con ella, las estimaciones de los coeficientes de
las variables explicativas en el modelo.
Siendo variables aleatorias, nos interesa que los estimadores tengan ciertas
propiedades deseables, lo cual dependerá del procedimiento de estimación uti-
lizado, y de lasc aracterísticas del modelo que estamos estimando. Las principales
propiedades en que podemos estar interesados son: insesgo, eficiencia y consis-
tencia.
El insesgo consiste en que la esperanza matemática del estimador coincida
con el verdadero valor numérico del coeficiente que estamos estimando. Un esti-
mador eficiente es un estimador de mínima varianza. El procedimiento de mínimos
cuadrados proporciona el estimador lineal de mínima varianza, si bien pueden ex-
istir otros estimadores no lineales de varianza todavía menor. Un estimador es
consistente si, al aumentar el tamaño muestral, converge en probabilidad al ver-
dadero valor del parámetro desconocido que se está estimando. Se dice entonces
que su límite en probabilidad es dicho parámetro. Bien podría ocurrir que el esti-
mador fuese sesgado en muestra pequeñas, pero si es consistente, dicho sesgo irá
reduciéndose si ampliamos el tamaño muestral.
El estimador de mínimos cuadrados no es siempre consistente. El estimador de
máxima verosimilitud lo es, pero siempre que la hipótesis acerca de la distribución
de probabilidad en que se basa, sea correcta, sobre lo que no se puede tener

60

seguridad.
Por construcción, el estimador MCO proporciona aquél conjunto de valores
numéricos para los coeficientes del modelo de regresión que generan unos residuos
cuya suma de cuadrados es menor. Como este es el criterio seguido para calcular
el estimador de mínimos cuadrados, tal propiedad es incuestionable, y caracteriza
a dicho estimador.

• Propiedad 1: No puede hallarse otro conjunto de valores numéricos para los
coeficientes del modelo que generen unos residuos con una suma de cuadra-
dos inferior a la obtenida a partir del estimador MCO.

Además de esta propiedad el estimador posee otras características, que exami-
namos a continuación. En todo modelo lineal de regresión, los residuos generados
por el estimador de mínimos cuadrados satisfacen las propiedades:

• Propiedad 2: Los residuos de mínimos cuadrados se relacionan con el término
de perturbación del modelo mediante,

ˆ
u = Mu

siendo M = IT − X (X 0 X)−1 X 0 , una matriz cuadrada de orden T .

• Propiedad 3: La matriz M es simétrica e idempotente

Demostración.- Inmediata, a partir de la definición de la matriz M. Por ejem-
plo,

³ ´³ ´
−1 −1
M 0 M = M M = IT − X (X 0 X) X 0 IT − X (X 0 X) X 0 =
−1 −1 −1 −1
= IT − X (X 0 X) X 0 − X (X 0 X) X 0 + X (X 0 X) X 0 X (X 0 X) X 0 = IT − X (X 0 X

Ahora podemos calcular las propiedades estadísticas (esperanza matemática y
matriz de covarianzas) del vector de residuos u, de dimensión Tx1 :
ˆ

• Propiedad 4: Si el término de perturbación satisface E(u) = 0T, V ar(u) =
σ 2 IT , se tiene E (ˆ) = 0, V ar (ˆ) = σ 2 M.
u u u u

61

Demostración.- La primera parte es inmediata a partir de la propiedad anterior.
Para probar la segunda parte, tenemos,

V ar(ˆ) = E(û0 ) = E(u0 M M 0 u) = E(u0 Mu) =
u uˆ
= tr(u0 Mu) = E(uu0 M ) = E(uu0 )M = σ 2 IT M = σ 2 M
u u

Por tanto, incluso si el término de perturbación del modelo tiene una estructura
de covarianzas sencilla, el vector de residuos tendrá una matriz de covarianzas
bastante más compleja. El vector de residuos tiene, al igual que el término de
perturbación, esperanza matemática igual a cero para cada observación muestral.

• Propiedad 5: Los residuos M CO están incorrelacionados con cada una de
las variables explicativas del modelo.

Demostración.- Si denotamos por u el vector de T residuos del modelo esti-
ˆ
mado, tenemos

ˆ
X 0 u = X 0 (y − X β) = X 0 (y − X(X 0 X)−1 X 0 y) = 0
ˆ

Esta propiedad es muy importante si recordamos la interperetación del coefi-
ciente de correlación en el sentido de que una correlación no nula entre variables
permite cierta capacidad de predecir el comportamiento de una cualquiera de ellas
a partir de los valores observados para la otra. por tanto, si los residuos del mod-
elo tuvieran correlació positiva o negativa con alguna de las variables explicativas,
significaría que la información muestral relatiuva a dicha variable permite explicar
el comportamiento del residuo, la parte de yt que hemos dejado sin explicar. Esto
definiría la estimación que hemos obtenido como ineficiente, pues no habría he-
cho uso de toda la ingformación muestral disponible. por tanto, esta ausencia de
correlación es muy deseable.

• Propiedad 6: En todo modelo de regresión que incorpora un térmion con-
state, la suma de los residuos generados por el estimador M CO es igual a
cero. Como consecuencia, su promedio es asimismo nulo.

Demostración.- Es consecuencia de la propiedad anterior, si tenemos en cuenta
que el término constante acompaña a una variable explicativa que toma un valor
igual a uno en todos los períodos.

62

• Propiedad 7: El estimador MCO es insesgado

£ ¤ £ ¤
ˆ
E(β) = E (X 0 X)−1 X 0 y = E (X 0 X)−1 X 0 (Xβ + u) =
£ ¤
= E β + (X 0 X)−1 X 0 u = β + (X 0 X)−1 X 0 E(u) = 0

• Propiedad 8: Si la matriz de covarianzas del término de perturbación es
ˆ
V ar(u) = σ 2 IT , la matriz de covarianzas del estimador M CO es: Var( β MCO ) =
u
2 0 −1
σ u (X X) .

·³ ´³ ´0 ¸ ·³ ´³ ´0 ¸
ˆ ˆ ˆ
V ar(β) = E β − E(β) β − E(β) ˆ ˆ ˆ
=E β−β β−β ˆ =
£ 0 −1 0 0 ¤
= E (X X) X uu X(X 0 X)−1 = (X 0 X)−1 X 0 E (uu0 ) X(X 0 X)−1 =
= (X 0 X)−1 X 0 V ar (u) X(X 0 X)−1 = (X 0 X)−1 X 0 V ar (u) X(X 0 X)−1

• Propiedad 9: Si la matriz de covarianzas del término de perturbación es
V ar(u) = σ 2 IT , el estimador MCO es el estimador lineal insesgado de menor
u
varianza.

˜
Demostración.- Cualquier otro estimador lineal puede escribirse, β = Ay. Si
deﬁnimos la diferencia entre las matrices que deﬁnen este estimador y el estimador
MCO,

D = A − (X 0 X)−1 X 0

tenemos,
£ ¤ £ ¤ £ ¤
˜
β = D + (X 0 X)−1 X 0 y = D + (X 0 X)−1 X 0 (Xβ + u) = DXβ+β+ D + (X 0 X)−1 X 0 u
³ ´
˜ ˜
por lo que E β = DXβ + β. El estimador β será insesgado sólo si la matriz
D satisface la propiedad DX = 0, que equivale a la propiedad AX = Ik .
Supongamos que se cumple esta propiedad. La matriz de covarianzas del
˜
estimador β es entonces,

63

·³ ´³ ´0 ¸ h¡ ¢ 0¡ ¢i
−1 0 0
˜
V ar(β) = E ˜
β−β β˜−β 0 −1 0 0
= E D + (X X) X uu D + (X X) X

= σ 2 (X 0 X)−1 + σ 2 DD0
u u

siendo el segundo sumando una matriz semidefinida positiva. En consecuencia,
˜
la diferencia entre las matrices de covarianza del estimador β y el estimador MCO
es una matriz definida positiva, lo que prueba que este último es el estimador
lineal insegado de mínima varianza.

• Propiedad 10: Si el término de perturbación del modelo de regresión se
distribuye: u ∼ N(0T , σ 2 IT ), entonces el estimador MCO del vector de
u
coeficientes β se distribuye,

ˆ −1
β ∼ N (β, σ 2 (X 0 X) )
u

Demostración.- Se basa en el hecho de que el vector que define el estimador
de mínimos cuadrados (de dimensión kx 1) es una transformación lineal del vector
de perturbaciones (de dimensión Tx 1)

ˆ
β = β + (X 0 X)−1 X 0 u

siendo determinista el resto de los elementos que aparecen en esta expresión.
Ello implica que el estimador de cada uno de los coeficientes sigue asimismo
una distribución Normal,

ˆ
β i ∼ N (β i , σ 2 aii ) 1 ≤ i ≤ k
u

donde aii denota el elemento i-ésimo en la diagonal de la matriz (X 0 X)−1 , que
tiene dimensión kxk.

• Propiedad 12: Si el término de perturbación del modelo de regresión se
distribuye: u ∼ N(0T , σ 2 IT ), entonces el estimador MCO del vector de
u
coeficientes β coincide con el estimador de Máxima Verosimilitud de dichos
coeficientes.

64

Demostración.- Recordemos que la función de densidad de una varaible Normal
multivariante ξ ∼ N (µ, Σ) de dimensión T es,
µ ¶
1 1 1 0 −1
f (ξ) = exp − ξ Σ ξ
(2π)T /2 | Σ |1/2 2

de modo que, si suponemos Normalidad del término de perturbación, tenemos,
µ ¶
1 1 1 0
f (u) = exp − 2 u u
(2π)T /2 (σ 2 )T /2
u
2σ u

y la verosimilitud del vector de observaciones de la variable dependiente y
resulta,
µ ¶
2 1 1 1 0
L(y, X/β, σ u ) = exp − 2 (y − Xβ) (y − Xβ)
(2π)T /2 (σ 2 )T /2
u
2σ u

donde hemos utilizado el hecho de que el Jacobiano de la transformación que
convierte el vector u en el vector y es igual a la matriz identidad de orden T , por
lo que tiene determinante igual a 1.
Por tanto, dada una muestra y, X,maximizar la función de verosimilitud re-
specto a los valores paramétricos β, σ 2 , equivale a minimizar la suma de cuadrados
u
de los residuos del modelo.
La única diferenciae striba en que el estimador M V del parámetro resulta ser,
SR
σ2 =
û
T
frente al estimador que suele calcularse en la utilización del procedimiento de
mínimos cuadrados, que es,
SR
σ2 =
û
T −k
y que suele conocerse como estimador de mínimos cuadrados de σ 2 . u
Ambos se aproximan para tamaños muestrales moderados. El estimador M V
de σ 2 es sesgado, mientras que el segundo es insesgado. El estimador M CO del
u
vector de coeficientes β alcanza la cota de Cramer-Rao (umbral inferior para la
varianza de todo estimador insesgado), lo que no le sucede al estimador M CO de
σ 2 , que excede de dicha cota, si bien no existe ningún estimador insesgado de σ 2
u u

65

que alcance dicha cota. El estimador M V de σ 2 es inferior a dicha cota, pero es
u
sesgado, como ya hemos dicho.
Este resultado es importante, por cuanto que implica que si, además de los
supuestos más básicos, de tener esperanza cero y matriz de covarianzas escalar,
añadimos el supuesto de que el término de perturbación sigue una distribución
Normal, entonces el estimador MCO tiene las mismas propiedades que el esti-
mador MV. Ahora bien, sabemos que, bajo condicioens bastante generales, el
estimador MV es eficiente; es decir, no puede encontrarse otro estimador, lineal o
no lineal, que tenga una matriz de covarianzas menor que la del estimador MV. En
términos del concepto de precisión que introdujimos en la Sección XX, no puede
encontrarse un estimador de mayor precisión que el estimador MV.
En consecuencia, la utilización del procedimiento de mínimos cuadrados está
totalmente justificada bajo el supuesto de Normalidad del término de pertur-
bación, y algo menos cuando tal supuesto no se establece. Evidentemente, no se
trata de que el investigador haga o no una hipótesis acerca del tipode distribu-
ción que sigue el término de perturbación, sino de que se preocupe acerca de si el
supusto de Normalidad es aceptable Por eso es que los contrastes de normalidad
deben tener una cierta importancia en el análisis empírico.o de regresión sería
igual a 2.
Si las variables explicativas no son deterministas, sino aleatorias, como cabe
esperar, entonces el cálculo de las propiedades del estimador de mínimos cuadrados
es algo más complejo, y sus propiedades varían. En general, el estimador será
sesgado, pero será consistente, salvo que alguna de las variables explicativas tenga
un comportamiento tendencial. Cuando aparecen tendencias, el estimador de
mínimos cuadrados es asintóticamente insesgado y eficiente,

ˆ ˆ
lim E(β) = β; lim V ar(β) = 0
T →∞ T →∞

La fuerte estructura que hemos impuesto sobre el vector de perturbaciones,
V ar(u) = σ 2 IT no es necesaria para garantizar la consistencia del estimador de
u
mínimos cuadrados.
De hecho, incluso en presencia de variables explicativas estocásticas, el esti-
mador de mínimos cuadrados todavía es insesgado si las variables explicativas es-
tén incorrelacionadas con el término de perturbación del modelo de regresión. En
realidad, todo lo que necesitamos es que la esperanza del término de perturbación,
condicional en la información proporcionadad por las variables explicativas, sea
cero: E(u/X) = 0. Esto implica la ausencia de correlación, puesto que,

66

E(X 0 u) = E [E(X 0 u/X)] = E [EX 0 (u/X)] = E [X 0 E(u/X)] = E(0) = 0

En tales condiciones, tomando esperanzas condicionales, tenemos,

£ ¤ £ ¤
ˆ
E(β/X) = E (X 0 X)−1 X 0 y/X = E (X 0 X)−1 X 0 (Xβ + u)/X =
£ ¤
= E β + (X 0 X)−1 X 0 u/X = β + (X 0 X)−1 X 0 E(u/X) = 0

Sin embargo, si bien será insesgado, el estimador MCO no será ya eﬁciente.
La consistencia del estimador M CO requiere que las variables explicativas es-
tén incorrelacionadas asintóticamente (es decir, en el límite al aumentar el tamaño
muestral) con el término de perturbación,
1 0
p lim Xu=0
T
Como
µ 0 ¶−1
ˆ = β + p lim X X X 0u
p lim β p lim )
T T
¡ 0 ¢
y si se existe el límite p lim XTX y la matriz X 0 X es invertible, entonces un
¡ 0 ¢−1
argumento de continuidad garantiza la existencia de p lim XTX . En tal caso,
1 0
p lim T X u = 0 garantiza la consistencia del estimador M CO, puesto que se tiene,

ˆ
p lim β = β
0
Dado que la matriz XTX se compone de momentos muestrales de orden 2, la
existencia del límite de dicha matriz requiere existencia de segundos momentos
para el vector de variables explicativas. La presencia de una tendencia, aun siendo
determinista, genera términos del tipo,
PT 2 PT
t=1 t t=1 txit
;
T T
cuyo límite no existirá si las restantes variables xit tienen un comportamiento
estable alrededor de un nivel de referencia.

67

En presencia de variables explicativas estocásticas, el estimador M CO no tiene
distribución Normal en muestras finitas incluso si u ∼ N(0T , σ 2 IT ). Por el con-
u
trario, bajo ciertas condiciones de regularidad, se tiene,
√ −1
ˆ
T (β − β) → N (0, σ 2 (X 0 X) )
u
d

mediante aplicación del teorema central del límite al caso en que el término
de perturbación presenta la misma distribución de probabilidad para todas las
observaciones, con esperanza nula y varianza finita, y las variables explicativas
satisfacen condiciones de existencia de moemtnos como la que antes discutimos.

12. Bondad de ajuste del modelo
Al tener los residuos media cero, es claro que debemos preocuparnos por el modo
en que oscilan alrededor de cero. En particular, lo que nos interesa es que las
desviaciones que experimentan con respecto a cero sean lo menor posibles. Es
decir, que su varianza sea lo menor posible, pero su varianza muestral es, precisa-
P
mente, proporcional a T u2 . Por otra parte, puesto que el residuo no es sino
t=1 ˆt
una componente de la variable dependiente, aquella que no podemos explicar,
tiene perfecto sentido comparar la varianza de los residuos con la de la variable
dependiente. Ambas son positivas, y su cociente será necesariamente inferior a
la unidad, de modo que oscila entre 0 y 1. Pero esto es lo que hacemos con el
coeficiente de determinación.
La bondad del ajuste del modelo de regresión se representa por el coeficiente
de determinación del modelo,
PT
2 SR ˆ2
t=1 ut
R =1− = 1 − PT
ST ¯2
t=1 (yt − y )

sonde SR denota la suma de los cuadrados de los residuos, y ST lo que cono-
cemos como Suma Total, la suma de las desviaciones al cuadrado de la variable
dependiente respecto de su media muestral. Esta suma es igual a la varianza de
yt multiplicada por el tamaño muestral.

13. Contrastes de hipótesis

68

dependiente, b) si el coeficiente de impacto de una determinada variable es igual
Para llevar a cabo contrastes de este tipo, necesitamos hacer alguna hipótesis
acerca de la distribución de probabilidad del término de error o perturbación del
modelo de regresión. Generalmente suponemos que dicho término sigue una dis-
tribución Normal, si bien esto debe contrastarse utilizando los tests paramétricos
o no paramétricos apropiados. Como hemos visto en la sección anterior, wbajo
ciertas condiciones tenemos,

ˆ −1
β ∼ N (β, σ 2 (X 0 X) )
u

en cutyo caso, cada uno de los coeficientes del modelo sigue asimismo una
distribución Normal,

ˆ
β i ∼ N (β i , σ 2 aii ) 1 ≤ i ≤ k
u

donde aii denota el elemento i-ésimo en la diagonal de la matriz (X 0 X)−1 , que
tiene dimensión kxk.
Si queremos contrastar una determinada hipótesis acerca del valor numérico
del coeficiente asociado a una determinada variable xi , 1 ≤ i ≤ k,

H0 : β i = β 0
i

podríamos utilizar esta propiedad, pues tendremos que,
ˆ
βi − β0 i
p ∼ N(0, 1)
2 aii
σu

de modo que bastaría fijar un nivel de significación para el contraste, obtener el
nivel crítico correspondiente al mismo en la tabla de una Normal(0,1), y comparar
ˆ 0
el valor numérico del estadístico √i −β iii con dicho umbral critico. Por supuesto
β
2
σu a
que el nivel crítico que obtengaos en la tabla de la N (0, 1) debe depender de que
el contraste sea de una o de dos colas, es decir, de que la hipótesis alternativa sea
del tipo,

H1 : β i 6= β 0
i

o de alguno de los tipos,

69

H1 : β i < β 0
i

ó,
H1 : β i > β 0
i

La hipótesis de significación de la variable xi , 1 ≤ i ≤ k consiste en contrastar

H0 : β i = 0

frente a una alternativa,

H1 : β i 6= 0

aunque también podría ser de una sóla cola, si tenemos información a priori
restringiendo el signo de dicho coeficiente.
Sin embargo, el contraste de hipótesis no puede llevarse a cabo de este modo
porque desconocemos el valor numérico de la varianza del término de error. Puede
sin embargo estimarse, lo cual hacemos mediante la expresión,
SR
σ2 =
û
T −k
Ahora bien, si sustituimos su valor teórico por su valor estimado, las propiedades
estadísticas del contraste de hipótesis cambian. Concretamente, habremos de uti-
lizar la propiedad,

σ2
ˆ
(T − k) u ∼ χT −k
σ2u

ˆ
independiente de β. Como consecuencia, tenemos que,
ˆ 0
β
√i −β iii
2σu a
q 2
∼ tT −k
(T − k) σu /(T − k)
ˆ
σ2 u

es decir,
ˆ
βi − β0
p 2 i ∼ tT −k
σ u aii
ˆ

70

con lo que podremos llevar a cabo contrastes como los mencionados.
Específicamente al llevar a cabo contrastes de significación, conviene que dis-
tinguir entre las situaciones en que no rechazamos la hipótesis nula de ausencia de
significación de una determinada variable porque efectivamente, no tiene capaci-
dad explicativa, de aquellos casos en que no rechazamos la hipótesis nula porque la
estimacion del coeficiente asociado a dicha variable se lleva a cabo no una precisión
reducida. Baja precisión implica una varianza elevada para el estimador de dicho
coeficiente, con lo que el valor numérico del ratio que aparece en el estadístico t de
Student será reducido, y posiblemente inferior al nivel crítico proporcionado por
las tablas. En definitiva, hay que distinguir entre los caos en que dicho ratio es
pequeño porque el numerador es pequeño, de los casos en que el ratio es reducido
porque su denominador es muy elevado.
Asimismo, conviene recordar que para rechazar una hipótesis nula, requer-
imos que la información muestral contenga evidencia significativa en contra de
la hipótesis nula y favorable a la hipótesis alternativa. Esta segunda condición
suele olvidarse con demasiada frecuencia, pero es importante, especialmente en
contrastes de una cola. En el contraste de hipótesis

H0 : β i = 0
frente a la alternativa,

H1 : β i > 0
ˆ
si obtenemos una estimación puntual β i = −3, 5 estaríamos en una situación en
que la evidencia muestral es contraria a la hipótesis nula, pero también es contraria
a la hipótesis alternativa. En tal caso, los métodos estadísticos habituales para el
contraste de hipótesis nos llevarán a no rechazar la hipótesis nula, a pesar de que
la estimación numérica del coeficiente β puede considerarse elevada. Ello se debe
a que al establecer la hipótesis alternativa, no hemos considerado la posibilidad de
que dicho coeficiente tome valores negativos, seguramente por algun conocimiento
previo o alguna razón teórica. No es que nosotros queramos o no rechazar H0 ,
sino que los pprocedimientos habituals nos llevarán a no rechazar dicha hipótesis.
En una situación así, el investigador debería cuestionar las razones que le han
llevado a establecer una hipótesis alternativa como la que hemos presentado. Si
continúa pensando que tal alternativa es razonable, deberá desechar la muestra
que ha utilizado; por el contrario, el resultado de la estimación podría en algunos
casos reconsiderar la hipótesis alternativa, estableciéndola en la forma H1 : β i 6= 0,
y volver a contrastar la hipótesis nula H0 : β i = 0 de nuevo.

71

Para llevar a cabo el contraste de hipótesis de una cola

H0 : β i = β 0
i


H1 : β i > β 0
i

utilizaríamos el hecho de que para toda variable tn se tiene,

0, 95 = P [ξ ≤ tn,α ]

siendo tn,α el nivel crítico proporcionado por las tablas de la distribución tn al
nivel de confianza α, que habremos de fijar previamente.
Por tanto, bajo el supuesto de que la hipótesis nula es cierta
" # · q ¸
ˆ
βi − β0
0, 95 = P p 2 i
≤ tn,α = P βˆ i ≤ β 0 + tn,α σ 2 aii
û
i
σ u aii
ˆ

de modo que los valores admisibles del coeficiente están por debajo de β 0 +
h i i
p p
tn,α σ 2 aii . Esto delimita una región crítica RC ≡ β 0 + tn,α σ 2 aii ; +∞ cuyo
û i û
umbral inferior es superior al valor teórico, β 0 . Es decir, rechazamos la hipótesis
i
nula si nuestra estimación, con las muestra disponible, excede de dicho umbral,
que es a su vez mayor que el valor teórico β 0 .
i
En el caso particular de que contrastemos si un coeficiente es cero, cuando la
alternativa contemplada es que tome valores únicamente positivos, rechazaremos
la hipótesis nula cuando la estimación puntual de dicho coeficiente exceda de un
p
cierto umbral estrictamente positivo, tn,α σ 2 aii . Este tipo de evidencia sería si-
û
multáneamente contraria a la hipótesis nula, y favorable a la hipótesis alternativa.
Para contrastar hipótesis más complejas, como

H0 : β 1 + β 2 = 5

frente a una alternativa como H1 : β 1 +β 2 < 5, basta tratar β 1 +β 2 −5 como una
nueva variable aleatoria z cuya varianza puede determinarse sin ningún problema
ˆ
a partir de la matriz de varianzas-covarianzas de β, y pensar en contrastar H0 :
z = 0, frente a la alternativa H1 : z = 0. Así,

72

z
∼ N (0, 1)
DT (z)

y si sustituimos en esta expresión el verdadero valor de σ 2 por su estimación,
u
z−5
tendremos DT (z) ∼ tT −k y podremos proceder a contrastar H0 .
Lo que estamos haciendo es comparar la magnitud de la holgura o incumplim-
iento de una restricción, utilizando su desviación típica como unidad de medida,
para poder decidir si dicha holgura es grande o pequeña.
Este argumento puede extender al contraste simultáneo de varias restricciones.
Calculamos para cada una de ellas su holgura, obteniendo así un vector de dimen-
sión igual al número de restricciones, cuyas coordenadas pueden ser positivas o
negativas. Igualmente, podemos pensar en obtener la matriz de covarianzas de
las restricciones, una vez que tratamos cada una de ellas como una sóla variable
aletoria, como hemos hecho en el ejemplo anterior. Finalmente, decidimos si el
vector de holguras es grande o pequeña calculando su tamaño utilizando la matriz
de covarianzas como unidad de medida,

(V ector de ho lg uras) [V ar (V ector de ho lg uras)]−1 (V ector de ho lg uras)0

que puede probarse que sigue una distribución Fq,T −k , siendo q el número de
restricciones que se contrastan.
Por ejemplo, si contrastamos las hipótesis,...
Para contrastar un conjunto de hipótesis lineales de la forma,

H0 : Rβ = r


H1 : Rβ 6= r

el estadístico,
³ ´0 ³ ´
ˆ − r [R(X 0 X)−1 R0 ]−1 Rβ − r /q
Rβ ˆ
∼ Fq,T −k
u0 u/(T − k)
ˆˆ
Utilizar este estadístico matricial es equivalente al ejercicio que hemos prop-
uesto arriba. De hecho, no es difñicil ver en el corchete central de este estadístico

73

tipo F la matriz de covarianzas del vector de holguras, donde el parámetro σ 2 u
se ha sustituido por su estimación en el denominador. Estamos, por tanto, cal-
culando el tamaño del vector de holguras, utilizando su desviación típica como
unidad de medida.
Por último, en ocasiones pueden sustituirse en el modelo las regresiones que se
pretende calcular. En ese caso, otro modo equivalente de calcular el estadístico F
anterior consiste en comparar la suma de cuadrados de los residuos que se obtienen
en el modelo sin restringir y el modelo restringido, mediante el estadístico,
(SRR − SSR) /q
SSR/(T − k)
que es idéntico al anterior y obedece, por tanto, a una distribución de proba-
bilidad Fq,T −k .
Otros estadísticos son,

(SRR − SSR)
(T − k) W ald
SRR
(SRR − SSR)
(T − k + q) M ultiplicadores de Lagrange
SRR
T (ln SRR − ln SSR) Razń de verosimilitudes
o

14. Matrices de covarianzas no escalares
Si el término de perturbación satisface las condiciones, E(uT ) = 0T , V ar(uT ):
σ 2 Σ, siendo Σ una matriz simétrica, definida positiva, T xT , el estimador M CO es
u
ˆ
insesgado, con matriz de covarianzas : Var(β MCO ) = σ 2 (X 0 X)−1 (X 0 ΣX)(X 0 X)−1 .
u
La demostración de esta propiedad es totalmente análoga a la de las Propiedades
7 y 8.
Si el término de perturbación del modelo se distribuye N (0T , σ 2 Σ) siendo Σ
u
una matriz simétrica, definida positiva, TxT, entonces el estimador MCO del
vector de coeficientes β se distribuye,
ˆ
β MCO ∼ N(β, σ 2 (X 0 X)−1 (X 0 ΣX) (X 0 X)−1 )
u

• La demostración es análoga a la realizada en la Propiedad 10, basándose
el resultado en el hecho de que, cuando las variables explicativas son deter-
ministas, el estimador M CO es una transformación lineal del vector u.

74

En estas circunstancias, el estimador M CO ya no es el estimador lineal inses-
gado de mínima varianza.

14.1. Comparación de estimadores de la regresión múltiple y la regre-
sión simple
Consideremos la estimación por mínimos cuadrados del modelo,

yt = β 0 + β 1 x1t + β 2 x2t + ut

supongamos que estimamos una regresión auxiliar,

x2t = δ 0 + δ 1 x1t + ε2t (14.1)
y construimos los residuos,

ˆ2t = x2t − ˆ0 + ˆ1 x1t ,
ε δ δ (14.2)
que, como vimos en XX, tendrán, entre otras, la propiedad Corr(ˆ2t , x1t ) = 0.
ε
Si, a continuación, estimamos el modelo de regresión simple de la variable
dependiente de interés sobre los residuos de esta regresión auxiliar,

yt = α0 + α2ˆ2t + vt
ε

tendremos (como vimos en XX),
PT
t=1 ˆ2t yt
ε
α2 = PT
ˆ
ε2
t=1 ˆ2t

Resulta sorprendente que, como puede probarse sin mucha diﬁcultad, este
estimador coincide con el estimador de mínimos cuadrados ordinarios de β 2 en
(10.4),

ˆ MCO = α2
β2 ˆ

Lo que hemos hecho es extraer de x2t el efecto de x1t debido a la correlación que,
en general, existirá entre estas variables. Así, el residuo ˆ2t mide el componente
ε
de x2t que no tiene nada en común con x1t y, de hecho, tiene correlación nula con
esta variable.

75

Este resultado se extiende al modelo más general, (10.3), en el que si estimamos
la regresión auxiliar,

x1t = α0 + α2 x2t + ... + αk xkt + ε1t , t = 1, 2, ..., T (14.3)
y utilizamos los residuos de esta regresión

ˆ1t = x1t − α0 − α2 x2t − ... − αk xkt , t = 1, 2, ..., T
ε ˆ ˆ ˆ

para estimar la regresión simple,

yt = α0 + α1ˆ1t + vt
ε (14.4)
tedremos que la estimación de mínimos cuadrados de α1 en (14.4) coincidirá
con la estimación de mínimos cuadrados de β 1 en (10.3).
Supongamos por un momento que en un determinado análisis, la variable
explicativa x1t tiene correlación cero con el resto de las variables explicativas.
Entonces, en (14.3) los coeficientes estimados deberían ser prácticamente cero, al
igual que el coeficiente de determinación de dicha ecuación.En tal caso, el residuo
ˆ1t será practicamente igual a x1t , ˆ1t ' x1t , por lo que el modelo (14.4) será
ε ε
esencialmente,

yt = α0 + α1 x1t + vt (14.5)
Pero hemos dicho que la estimación de mínimos cuadrados de α1 en esta re-
gresión coincide con la estimación de mínimos cuadrados de β 1 en (10.3). Por
tanto, cuando una variable explicativa está incorrelacionada con todas las demás,
su coeficiente puede estimarse igualmente bien en la regresión multiple completa,
o en la regresión simple de yt sobre esta única variable.
Una segunda situación en que se produce este mismo resultado es cuando la
correlación muestral entre cada una de las variables explicativas e yt es cero. La
razón es que en tal caso, las estimaciones teóricas de los coeficienets asociados a
cada una de estas variables sería cero, por lo que estimar el modelo (10.3) equivale,
al menos teóricamente, a estimar (14.5).
Es interesante saber que neste resultado puede asimismo aplicarse a bloques de
variables. Así, supongamos que en el modelo de regresión múltiple, las k variables
explicativas pueden agruparse en dos bloques, con la condición de que ninguna
variable de un bloque está correlacionada con ninguna variable del otro bloque.
Permitimos, sin embargo, que variables de un mismo bloque estén correlacionadas,

76

positiva o negativamente entre sí. Pues bien, en tal situación, los coeficientes
asociados a las variables en el primer bloque pueden estimarse en una regresión
de yt unicmente sobre este subgrupo de variables explicativas, y lo mismo puede
decirse acerca de los coeficientes asociados a las variables en el segundo bloque.

14.2. Regresión particionada

15. Grado de ajuste del modelo de regresión múltiple
Una vez estimados los coeficientes del modelo de regresión múltiple, y obtenidos
los valores numéricos de los residuos, la varianza residual se obtiene,

yt = β 0 + β 1 x1t + β 2 x2t + β 3 x3t + ut

1 X 2
n 2 2
Su Sy.123
σ2 =
û ui =
ˆ ˆ
=
n − 3 i=1 n−3 n−3

donde la notación que hemos introducido enla última igualdad hace referencia
a que se trata de la suma residual que resjulta al estimar una regresión en que la
variable dependiente Y aparece explicada por x1 , x2 , x3 . La Suma Residual puede
expresarse,

n
X n
X n
X n
X n
X
2
Sy.123 = 2
yi ˆ
− β0 ˆ
yi − β 1 ˆ
yi x1i − β 2 ˆ
yi x2i − β 3 yi x3i (15.1)
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1

expresión que puede expresarse matricialmente,

ˆ
Sy.123 = y 0 y − βX 0 y
2

y que puede descomponerse en la forma,
n
X
2 2
Sy = Sy.123 + (î − y )2
y ¯ (15.2)
i=1

de modo que la Suma Total, o suma de cuadrados de las desviaciones entre
las observaciones de la variable dependiente y su media, es igual a la suma de la
Suma Residual de la regresión, más la Suma Explicada por la misma.

77

El coeficiente de determinación múltiple se define,
2
2
Sy.123
Ry.123 =1− 2
Sy

que puede obtenerse sin necesidad de calcular previamente los residuos de la
P
regresión pues, utilizando (15.1) junto con Sy = n (yi − y )2 se llega a,
2
i=1 ¯

ˆ ˆ ˆ
β 1 Sx1 y + β 2 Sx2 y + β 3 Sx3 y
2
Ry.123 = 2
Sy

Por la descomposición de la Suma Residual (15.2), tenemos que el coeficiente
2
de determinación Ry.123 es positivo, y no superior a la unidad.
El coeficiente de correlación múltiple es la raíz cuadrada, con signo positivo,
del coeficiente de determinación múltiple,
s s
2 2 2
Sy.123 Sy − Sy.123
ρ2
y.123 = 1− 2
= 2
Sy Sy

15.1. Coeficientes de correlación parcial y de determinación parcial
El modelo de regresión múltiple nos permite considerar asimismo la capacidad
explicativa que cada una de las variables independientes por separado, tiene sobre
la variable dependiente, lo cual es de sumo interés para el investigador. Para ello
utilizamos los coeficientes de correlación parcial,

• Definición.- El coeficiente de correlación parcial entre Y y X1 , denotado por
ρy1.2 , en el universo de variables Y, X1 , X2 , X3 , es el coeficiente de correlación
simple entre las variables Y y X1 , una vez que se ha extraído de ellas la
influencia común que puedan tener de la variable X2 .

El coeficiente de correlación parcial entre Y y X2 , denotado por ρy2.1 , en el
universo de variables Y, X1 , X2 , X3 , se definiría análogamente. Suele interpretarse
el coeficiente ρy1.2 como el grado de correlación existente entre Y y X1 , cuando
X2 se mantiene fija, pero consideramos bastante más adecuada la interetación que
hemos dado: dicho coeficiente mide la correlación existente entre las variables Y
y X1 que no es debida a la posible influencia común que ambas avriables puedan

78

experimentar respecto de X2 . Cuando hay más de dos variables explicativas, las
posibilidades de definir coeficientes de correlación parcial se multiplican.
En el caso de dos variables explicativas,

yt = β 0 + β 1 x1t + β 2 x2t + ut

si denotamos por ρy1 , ρy2 , ρ12 los coeficientes de correlación simple entre cada
par de variables, puede probarse que,

ρy1 − ρy2 ρ12
ρy1.2 = q¡ ¢
1 − ρ2 (1 − ρ2 )
y2 12
ρy2 − ρy1 ρ12
ρy2.1 = q¡ ¢
1 − ρ2 (1 − ρ2 )
y1 12

Los coeficientes de correlación parcial pueden escribirse asimismo en términos
de varianzas muestrales. Por ejemplo, el coeficiente de correlación parcial entre
Y y X2 es igual a,
s s
2 2 2
Sy.12 Sy.1 − Sy.12
ρy2.1 = 1 − 2 = 2
Sy.1 Sy.1

que depende de la comparación entre dos sumas de cuadrados de residuos: la
que procede de la regresión múltiple de Y sobre X1 y X2 , y la correspondiente
a la regresión simple de Y sobre X1 . El coeficiente de correlación parcial entre
Y y X2 es igual a la reducción que la varianza del modelo de regresión simple se
obtiene cuando se añade al mismo, como variable explicativa adicional, la variable
2 2
X2 . Es claro que Sy.1 > Sy.12 , pues la suma residual nunca disminuye al añadir
una variable explicativa al modelo de regresión. Si, por ejemplo, X2 no aporta
2 2
explicación alguna sobre Y que no esté ya contenida en X1 , entonces Sy.1 = Sy.12
y ρy2.1 = 0, a pesar de que ρy2 habrá sido, en general, diferente de cero.
Analogámente, tendríamos, el coeficiente de correlación parcial entre Y y X1 ,
s s
2 2 2
Sy.12 Sy.2 − Sy.12
ρy1.2 = 1 − 2 = 2
Sy.2 Sy.2

Sus cuadrados son los coeficientes de determianción parcial,

79

2 2 2
2
Sy.12 Sy.2 − Sy.12
Ry1.2 = 1 − 2
= 2
Sy.2 Sy.2
2 2 2
2
Sy.12 Sy.1 − Sy.12
Ry2.1 = 1− 2 = 2
Sy.1 Sy.1

16. Colinealidad entre variables explicativas en un modelo
de regresión
En un modelo de regresión lineal múltiple, la interpretación de los coeficientes
estimados no es inmediata. De hecho, lo verdaderamente importante es entender
que hay diversas maneras de interpretar los valores numéricos obtenidos en el
proceso de estimación, no todas equivalentes.
La lectura más inmediata de la estimación de un modelo de regresión, utilizada
con excesiva frecuencia, consiste en interpretar cada coeficiente como el impacto
que la variable explicativa asociada al mismo tiene sobre la variable dependiente.
Lamentablemente, una interpretación tan directa no es siempre válida. Es fácil
ver que el valor numérico de un coeficiente como β 2 en la regresión,

yt = β 0 + β 1 x1t + β 2 x2t + β 3 x3t + ut

es la variación, positiva o negativa, según su signo, que experimentaría la
variable yt si la variable x3t aumentase en una unidad, y supuesto que ninguna
otra de las variables explicativas, alterase su valor numérico.
Ahora bien, recordemos la interpretación que llevamos a cabo acerca del sig-
nificado del coeficiente de correlación en la Sección XX. Si x3t estuviera altamente
correlacionada con x2t , ρ(x3t , x3t ) = −0, 85, por ejemplo, sería poco realista hacer
el supuesto ceteris paribus del párrafo anterior, pues el valor numérico del coe-
ficiente de correlación entre ambas variables indica que cuando una de ellas au-
menta, la otra generalmente disminuye. Por tanto, para calcular el efecto que
sobre yt tendría un aumento de una unidad en x3t , habría que restar de β 3 , que
mide el efecto directo, el producto de β 2 por el cambio producido en x2t . Este
producto mediría el efecto indirecto.
Para calcular la magnitud de la variación en x2t que cabría esperar que viniera
asociada con un aumento de una unidad en x3t , hemos de apelar nuevamente al
concepto de coeficiente de correlación,

80

σ 23
ρ(x3t , x3t ) =
σ2 σ3

16.1. Efectos de la colinealidad entre variables explicativas
No se producen efectos sobre las características globales de la regresión: R-
cuadrado, residuos numéricos, desviación típica de la perturbación, estadístico
de significación global de la regresión, etc.
Consideremos un modelo de regresión con las variables medidas en desviaciones
respecto a su valor medio,

yt = β 1 x1t + β 2 x2t + ut
˜ ˜ ˜

A partir de la matriz de covarianzas muestral entre las variables explicativas
del modelo de regresión,
µ ¶ µ ¶
var(x1 ) cov(x1 , x2 ) a b
V ar(X) = = , a, c > 0, b Q 0,
cov(x1 , x2 ) var(x2 ) b c

obtenemos la matriz de covarianzas de los estimadores MCO del modelo de
regresión múltiple,
µ ¶−1 µ 2 c b
¶ µ ¶
ˆ MCO ) = σ 2 a b σ ac−b2 −σ 2 ac−b2 2 1 c −b
V ar(β = b a =σ
b c −σ 2 ac−b2 σ 2 ac−b2 ac − b2 −b a

1. Que las variables explicativas del modelo de regresión estén altamente cor-
relacionadas significa que, en valor absoluto, su coeficiente de correlación
(covarianza dividido entre producto de desviaciones típicas) sea próximo a
b2
la unidad o, lo que es equivalente, que ac esté próximo a la unidad. Esto
implica, evidentemente, que b2 es aproximadamente igual al producto ac.

Una primera consecuencia es que el determinante de la matriz de covarianzas
de las variables explicativas, ac − b2 , será próximo a cero, es decir, dicha matriz
de covarianzas es próxima a ser singular. Como el inverso de dicho determinante
ˆ
aparece como un factor común en V ar(β MCO ), se tiene que tanto las varianzas
de los estimadores MCO como sus covarianzas, son numéricamente elevadas. Por
ejemplo, con una matriz de covarianzas entre variables,

81

µ ¶
4 6.2 6.2
V ar(X) = , Corr(x1 , x2 ) = p = . 98031
6.2 10 (4) (10)
tenemos una matriz de covarianzas entre estimadores MCO,
µ ¶−1 µ ¶
ˆ 4 6.2 19. 231 −11. 923
V ar(β MCO ) = 3.0 =
6.2 10 −11. 923 7. 6923
con,
√ √
ˆ
DT (β 1 ) = ˆ
19. 231 = 4. 3853, DT (β 2 ) = 7. 6923 = 2. 7735
1. Por tanto, se produce una pérdida de precisión en las estiamciones, al au-
mentar las desviaciones típicas de los estimadores MCO. En este caso, por
tanto, estimamos con una baja precisión no porque existan variaciones en el
valor de los coeficientes, sino porque las variables asociadas están altamente
correlacionadas, positiva o negativamente.
2. Como discutimos en la Sección XX al hablar de los contrastes de hipóte-
sis estadísticas, la pérdida de precisión tiene implicaciones importantes en
cuanto a efectuar contrastes acerca de valores numéricos con dichos coefi-
cientes, por cuanto que la menor precisión, que es equivalente a una mayor
varianza estimada termina plasmándose en intervalos de confianza más am-
plios. Esto hace mucho más fácil que el valor numérico que se contrasta en
una hipótesis nula simple caiga dentro de dicho intervalo, no rechánzadose,
en consecuencia, dicha hipótesis nula. En este caso, que mla hipótesis nula
no se rechace no se debe necesariamente a que el valor hipotético del coe-
ficiente sea muy similar al valor estimado, sino a que la desviación típica
asociada a este ultimo es muy grande, lo que puede ampliar el intervalo de
confianza asociado de manera muy importante. En definitiva, como vimos
en su momento, la menor precisión en la estimación viene asociada a una
pérdida de potencia en la contrastación de hipotesis estadísticas.
3. Otra consecuencia de la correlación entre variables explicativas es que la
correlación entre coeficientes estimados, − √b tendrá signo contrario al de
ac
la correlación entre las variables explicativas x1 , x2 , y será cercano a 1 en
valor absoluto. Si las variables explicativas están positivamente correla-
cionadas, entonces los estimadores MCO de sus coeficientes asociados están
negativamente correlacionados. En el ejemplo anterior,

82

³ ´ −11. 923
ˆ ˆ
Corr β 1 , β 2 = p = −. 98029
(19. 231) (7. 6923)

Ello quiere decir que, mientras que, a lo largo de la muestra, las dos variables
tienden a estar simultáneamente por encima o por debajo de sus respectivas me-
dias muestrales, las estimaciones numéricas de sus coeficientes estarán una por
encima de su media, y otra por debajo. Esto significa que el procedimiento tiende
a sobre-estimar uno de dichos coeficientes y a sub-estimar el otro, sin que, por
supuesto, sepamos cuál de ellos está en cada situación. Pero además, que su
correlación sea elevada implica que tendremos una seria dificultad en distinguir
³ ´
ˆ ˆ
entre una colección de posibles pares de estimaciones β 1 , β 2 , que se distinguen
ˆ
unas de otras porque las que tienen un valor mayor de β 1 , tienen un valor inferior
ˆ
de β 2 . Este es un problema que se conoce como de falta de identificación en la
estimación del modelo econométrico.
Como hemos visto, el efecto de la colinealidad es aumentar las varianzas de
los estimadores de mínimos cuadrados, así como sus covarianzas. En general, las
correlaciones entre coeficentes son asimismo elevadas. Esto significa no sólo que
exista una tendencia a que cada coeficiente individual tienda a aparecer como
estadísticamente no significativo, sino que, además, es difícil estimar numérica-
mente cada coeficiente por separado. Es lógico esperar que así sea: si dos variables
x2 y x3 están positivamente correlacionadas, entonces las dos tienden a desviarse
en igual dirección respecto a sus medias muestrales. Por tanto, ambas tienden a
estar simultáneamente por encima o por debajo de sus respectivas medias; por
consiguiente, la misma capacidad explicativa genera la combinación β 2 x2 +β 3 x3
que la combinación (β 2 + θ)x2 +(β 3 − φ) x3 . Es decir, puesto que ambas variables
se mueven generalmente en igual sentido, existen proporciones θ y φ de ambas
variables que toman valores numéricos muy similares, compensándose entre sí. Por
consiguiente, ambas combinaciones tomarán aproximadamente los mismos valores
numéricos. Como esta sustitución entre las variables x2 y x3 puede llevarse a cabo
en cuanlquier cuantía, siempre que se respete la proporción dada por θ/φ, identi-
ficar con precisión por separado los valores numéricos de los parámetros β 2 y β 3
resulta muy difícil.

83

16.2. Detección de la colinealidad
Puesto que la colinealidad se refiere a la presencia de corficientes de correlación
de elevados en magniotud entre las variables explciativas, nada mejor para detec-
tar esta situación que examinar dichos coeficientes de correlación en la muestra.
Aunque parezca sorprendente, hay distintos procediemitnos que deben seguirse,
pues son todos ellos de una enorme sencillez.

1. En primer lugar, el cálculo dedichos coeficientes de correlación entre todos
los pares de variables explicativas; en el modelo del ejemplo anterior, hay
tan sólo uno de tales pares.

2. En segundo lugar, deben examinarse las nubes de puntos entre tales pares de
variables; como dijimos en su momento, un gráfico tan simple como una nueb
de puntos nos proporciona una perspectiva muestral completa, a diferencia
del único valor numérico proporcionado por un coeficiente de correlación
muestral. por ejemplo, en una nube de puntos podemos percibir que lo que
aparece como un coeficiente de correlacion muestral sólo moderado, se debe
a la existencia de ua submuestra, de reducida magnitud, enla que las dos
variables en cuestión se desconectan, existiendo en el resto de la muestra
una relación estrecha entre ambas.

3. En tercer lugar, pueden calcularse los valores propios de la matriz de covari-
anzas de las variables observadas. Como hemos visto en el ejemplo anterior,
en presencia de colinealidad, dicha matriz estará cercana a la singularidad,
lo que se ha de reflejar en que el menor de los valores propios debe ser
muy inferior al mayor de los mismos. Ha de tenerse en cuenta que todos
los valores propios de dicha matriz serán no negativos, como corresponde
a una matriz de covarianazs, que es semi-definida positiva. Por otra parte,
el determinante de una matriz cuadrada es igual al producto de sus valores
propios, y ha de ser cercano a cero si la matriz es casi singular. para que
el producto de los valores propios sea cercano a cero, es necesario que se
cumpla la relación citada entre el menor y el mayor de todos ellos.

4. Por último, pueden estimarse regresiones parciales entre pares de variables
explicativas. El R-cuadrado de dichas regresiones será el coeficiente de cor-
relación entre ambas, al cuadrado, por lo que la estimación de estas regre-
siones auxiliares engloban como caso particular a la primera de nuestras sug-
erencias. De este modo, obtenemos información adicional útil, especialmente

84

a través de los residuos de cada regresión, cuyo examen nos proporciona el
componente de una de las variables explicativas que no está explicado por
la utilizada como variable explicativa en la regresión auxiliar.

5. Sensibilidad a variaciones en un número reducido de observaciones mues-
trales.

16.3. Tratamiento de la colinealidad
Como hemos visto, uno de los dos problemas producidos por la colinealidad entre
las variables explicativas del modelo de regresión estriba en la dificultad de inter-
pretar separadamente cada uno de los coeficientes estimados. Concretamente, no
podemos interpretar el valor numérico de un coeficiente estimado como el efecto
de la variable explicativa asociada sobre la variable dependiente.

16.3.1. Regresión ortogonalizada
Puesto que una de las dificultades generadas por la colinealidad entre variables
explicativas estriba en la dificultad de interpretar los valores numéricos estimados
para los coeficientes del modelo de regresión, uno de los posibles tratamientos
de la colinealidad consiste en modificar las variables explicativas del modelo, de
modo que las nuevas variables sean incorrelacionadas entre sí.
Para ello, el investigador debe comenzar estableciendo un ranking de impor-
tancia entre las variables explicativas originales, entendiendo por ello, su creencia
acerca de la capacidad explicativa individual de cada una de ellas respecto a la
variable dependiente. La primera de dichas variables en importancia se conserva
inalterada. A continuación, se estima una regresión lineal de la variable que ocupa
el segundo puesto en el ranking, sobre la primera,

x2t = δ 0 + δ 1 x1t + ε2t (16.1)
los residuos de dicha regresión van a sustituir a la segunda variable. Dichos
residuos son el componente de x2t que no está explicada por x1t ; además, por
construcción, están incorrelacionados con x1t , ρ(ε2t , x1t ) = 0. A continuación, se
estima una regresión de la tercera variable sobre las dos primeras; por construc-
ción, los residuos de mínimos cuadrados de dicha regresión tienen correlación nula
con x1t y con x2t , y se procede de este modo hasta llegar a la variable colocada
en el último lugar del ranking.

85

Para establecer el ranking inicial, el investigador puede servirse de regresiones
parciales de la variable dependiente sobre cada una de las variables explicativas
originales. El R2 de dichas regresiones, las desviaciones típicas residuales, así
como un examen gráfico de los residuos de cada una de ellas, será generalmente
suficiente para establecer dicho ranking. La única dificultad en este análisis surge
si hay duda entre dos variables acerca de cuál de ellas asignar alguno de los
primeros lugares del ranking; esto sería importante, pues si dos variables tienen
una capacidad explicativa similar, elevada en ambos casos, entonces la variable
que resultase menos favorecida en la selección sería sustituída por lo residuos
en una regresión de dicha variable por la que se seleccionó como prioritaria en
el ranking, y dichos residuos tendrán una capacidad explicativa muy reducida,
debido a que estas dos variables eran originalmente muy similares.
En otras palabras, si dudamos entre seleccionar x1t o x2t para ocupar el primer
lugar en el ranking.....
De este modo, alteramos la regresión inicial por otra,

yt = β 0 + β 1 x1t + β 2 ε2t + β 3 ε3t + ut (16.2)
donde ε2t y ε2t denotan los residuos de las regresiones auxiliares, (16.1) y

x3t = ϕ0 + ϕ1 x1t + ϕ2 x2t + ε3t , (16.3)

ˆ2t = x2t − ˆ0 + ˆ1 x1t ,
ε δ δ (16.4)

ˆ3t = x3t − ϕ0 − ϕ1 x1t + ϕ2 x2t ,
ε ˆ ˆ ˆ (16.5)
En esta regresión, el coeficiente de correlación entre dos variables explicativas
cualesquiera es cero. Por ejemplo, si consideramos ε2t y ε3t , tenemos que ε3t tiene
correlación nula con x1t y con x2t , mientras que ε2t es una combinación lineal de x1t
y x2t ; en consecuencia, el coeficiente de correlación entre ε2t y ε3t es igual a cero.
Por tanto, a diferencia de lo que ocurría en la regresión original, los coeficientes
estimados en (16.2) pueden interpretarse como el impacto, positivo o negativo,
que se tendría sobre yt si la variable asociada, digamos que ε3t , aumenta en una
unidad.
La estrategia propuesta habría resuelto, por tanto, el problema de interpretación
de los coeficientes individuales estiamdos; sin embargo, surge otra dificultad ev-
idente, y es que el investigador no está interesado en estimar el impacto que
sobre yt puede tener una variación unitaria en ε3t , sino en la variable original, x3t .

86

Sin emabrgo, no todo está perdido: supongamos que, una vez estimada (16.2) el
investigador dispone de datos yt , x1t ,x2t y x3t . Sustituiría,

x2t = δ 0 + δ 1 x1t + ε2t (16.6)
ε3t = x3t − (ˆ 0 + ϕ1 x1t + ϕ2 x2t )
ϕ ˆ ˆ (16.7)

en (16.2) , obteniendo XXX.

16.3.2. Otros tratamientos
Regresión cresta

Componentes principales

17. Predicción
Como mínimo, una variable puede predecirse a partir de su valor medio muestral.

87

18. Modelos univariantes de series temporales
18.1. Primeros conceptos
18.1.1. Procesos estocásticos
18.1.2. Funciones de autocorrelación simple y parcial
18.2. Procesos autoregresivos, AR(p)
18.2.1. El modelo AR(1)
18.2.2. El modelo AR(2)
18.3. Procesos de medias móviles, MA(q)
18.4. Procesos mixtos, ARMA(p,q)
18.5. Procesos integrados ARIMA(p,d,q)
18.6. Predicción con modelos univariantes
18.6.1. Predicción con modelos AR(p)
18.6.2. Predicción con modelos MA(q)
18.6.3. Predicción con modelos ARMA(p,q)
18.6.4. Predicción con modelos ARIMA(p,d,q)
18.7. Estimación de modelos univariantes de series temporales
18.7.1. Estimación de modelos autoregresivos
18.7.2. Estimación de modelos de medias móviles
18.7.3. Estimación de modelos ARMA(p,q) y ARIMA(p,d,q)

19. El procedimiento de variables instrumentales
19.1. Correlación entre variables explicativas y término de error
19.2. Errores de medida

20. Modelos dinámicos
20.1. Colinealidad entre variables explicativas
20.2. Estimación
88
20.2.1. Perturbación sin autocorrelación
20.2.2. Perturbación con autocorrelación

21. Simultaneidad
21.1. Identiﬁcación
21.2. Estimación de una ecuación del sistema

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