![Página
de
14
13
66) Demuestre,
de
ser
posible,
que:
cos−1 3
10
"
#
$
%
&
'+cos−1 2
5
"
#
$
%
&
' =
π
4
67) Si
𝑅 𝑒 = −𝜋, 𝜋 ,
determine
el
conjunto
de
verdad
del
predicado:
𝑝 𝜃 : 𝜇 𝑆𝑒𝑛 2𝜃 − 1 < 0
Respuesta:
𝐴 𝑝 𝜃 = ∅
68) Sea
el
conjunto
referencial
𝑅𝑒 = 0,2𝜋
y
los
predicados
𝑝 𝑥 : 1 − 2𝐶𝑜𝑠
!
!
= 1
y
𝑞 𝑥 : 𝑠𝑔𝑛 𝑆𝑒𝑛 2𝑥 = 0.
Determine
el
conjunto
de
verdad
𝐴[𝑝 𝑥 → 𝑞 𝑥 ].
Respuesta:
𝐴[𝑝 𝑥 → 𝑞 𝑥 ] = 0, 𝜋 ∪
!!
!
, 2𝜋
69) Sea
𝑅𝑒 = 0,2𝜋
y
el
predicado
𝑝 𝑥 : 𝑆𝑒𝑛 2𝑥 = 1 + 𝐶𝑜𝑠 2𝑥 .
Determine
el
conjunto
de
verdad
𝐴 𝑝 𝑥 .
Respuesta:
𝐴 𝑝 𝑥 =
!
!
,
!
!
,
!!
!
,
!!
!
70)
Si
𝑅 𝑒 = −𝜋, 2𝜋 ,
determine
el
conjunto
de
verdad
del
predicado:
𝑝 𝜃 : 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 𝐶𝑜𝑠(𝜃)
Respuesta:
𝐴 𝑝 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
!!! !
!
, 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
!!! !
!
71) Si
𝑅 𝑒 = −𝜋, 𝜋 ,
determine
el
conjunto
de
verdad
del
predicado:
𝑝 𝑥 : 𝑠𝑔𝑛 𝑆𝑒𝑛
𝑥
2
≥ 1
Respuesta:
𝐴 𝑝 𝜃 = 𝑥 0 < 𝑥 ≤ 𝜋
72) Resuelva
para
𝑥
en
el
intervalo
indicado:
a)
1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0,
𝑥 ∈ [0,2𝜋)
Respuesta:
𝑥 = 𝜋
b) 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0,
𝑥 ∈ ℝ!
Respuesta:
𝑥 =
!
!
4𝑛 − 3 ; 𝑛 ∈ ℕ
c)
1 + 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0,
𝑥 ∈ [0,2𝜋)
Respuesta:
𝑥 ∈
!!
!
,
!!
!
d)
1 − 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0,
𝑥 ∈ ℝ!
Respuesta:
𝑥 ∈
!
!
,
!!
!
,
!!
!
,
!"!
!
,
!"!
!
73) Resuelva
para
𝑥
en
el
intervalo
indicado:
a)
4 𝑐𝑜𝑠!
𝑥 − 3 = 0,
𝑥 ∈ [0,2𝜋)
Respuesta:
𝑥 ∈
!
!
,
!!
!
,
!!
!
,
!!!
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20142 s matdeber5
- 1. Página de 14 1 ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CURSO DE NIVELACIÓN 2014 (2S) CAPÍTULO: T R I G O N O M E T R Í A D E B E R 5 4.1 Ángulos y sus medidas 1) Defina: a) Semirrecta. b) Ángulo. c) Grado sexagesimal. d) Radián. e) Ángulos coterminales. f) Ángulos consecutivos. g) Ángulos adyacentes. h) Ángulos complementarios. i) Ángulos suplementarios. j) Ángulos opuestos por el vértice. 2) Dos ángulos complementarios son siempre agudos. a) Verdadero b) Falso Respuesta: a) 3) Dos ángulos suplementarios son siempre agudos. a) Verdadero b) Falso Respuesta: b) 4) Dos ángulos opuestos por el vértice siempre son complementarios. a) Verdadero b) Falso Respuesta: b) 5) Dos ángulos opuestos por el vértice siempre son suplementarios. a) Verdadero b) Falso Respuesta: b) 6) Dos ángulos son adyacentes si son consecutivos y son suplementarios. Respuesta: a) 7) La medida del ángulo suplementario de x es igual a 123o . Calcule la medida del ángulo x y la medida de su ángulo complementario. Respuesta: 57o , 33o 8) Si la medida de 8 ángulos congruentes es igual a 180o , calcule la medida de cada ángulo en radianes. Respuesta: π/8
- 2. Página de 14 2 9) Transforme cada ángulo de grados sexagesimales a radianes y ubíquelos en el cuadrante respectivo. a) 420 ° b) 2000° c) –300° d) –100° e) –510° f) 240° Respuesta: a) 7π/3, b) 100π/9, c) –5π/3, d) –5π/9, e) –17π/6, f) 4π/3 10) Transforme cada ángulo de radianes a grados sexagesimales y ubíquelos en el cuadrante respectivo. a) ! ! radianes b) !! ! radianes c) − !! ! radianes d) − !! ! radianes e) !! ! radianes f) !! ! radianes Respuesta: a) 60o , b) 120o , c) –225o , d) –630o , e) 210o , f) 150o 4.2 Funciones trigonométricas elementales 11) Determine, sin usar calculadora, el valor numérico de las siguientes expresiones: a) 𝑐 𝑜𝑠 225! b) 𝑡 𝑎𝑛 150! c) 𝑠 𝑒𝑛 − ! ! d) 𝑠 𝑒𝑐 !! ! e) 𝑐 𝑜𝑡 !! ! f) 𝑐 𝑠𝑐 300! g) 𝑠 𝑒𝑛 315! h) 𝑐 𝑜𝑠 −150! Respuesta: 𝑎) − ! ! , 𝑏) − ! ! , 𝑐) − ! ! , 𝑑) − 2, 𝑒) − 1, 𝑓) − ! ! ! , 𝑔) − ! ! , ℎ) − ! ! 12) Especificando los resultados parciales, calcule el valor numérico de: 𝑐𝑜𝑠 300! + 𝑠𝑒𝑛 330! + 𝑡𝑎𝑛 −135! Respuesta: 1 13) Especificando los resultados parciales, calcule el valor numérico de: 3cos π 6 ! " # $ % &+ sen 5π 6 ! " # $ % &− tan π 3 ! " # $ % & Respuesta: 3 +1 2 14) Especificando los resultados parciales, calcule el valor numérico de: 𝑐𝑜𝑠 2𝜋 3 +tan 5𝜋 4 𝑠𝑒𝑛 5𝜋 3 Respuesta: − ! !
- 3. Página de 14 3 15) Especificando los resultados parciales, calcule el valor numérico de: 2sen2 π 6 ! " # $ % &cos2 π( ) 4tan π 4 ! " # $ % &sen2 3π 4 ! " # $ % & Respuesta: ! ! 16) Determine los valores de las funciones trigonométricas del ángulo 𝛼 definido por el punto P, el origen de coordenadas y el semieje 𝑋 positivo. a) 𝑃 = (0,1) Respuesta: 𝑠 𝑒𝑛 𝛼 = 1 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 0 𝑡𝑎𝑛 𝛼 𝑒𝑠𝑡á 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑡 𝛼 = 0 𝑠𝑒𝑐 𝛼 𝑒𝑠𝑡á 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑐𝑠𝑐 𝛼 = 1 b) 𝑃 = (6, −7) Respuesta: 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = − ! !" !" 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = ! !" !" 𝑡𝑎𝑛 𝛼 = − ! ! 𝑐𝑜𝑡 𝛼 = − ! ! 𝑠𝑒𝑐 𝛼 = !" ! 𝑐𝑠𝑐 𝛼 = − !" ! c) 𝑃 = (−3, −2) Respuesta: 𝑠 𝑒𝑛 𝛼 = − ! !" !" 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = − ! !" !" 𝑡𝑎𝑛 𝛼 = ! ! 𝑐𝑜𝑡 𝛼 = ! ! 𝑠𝑒𝑐 𝛼 = − !" ! 𝑐𝑠𝑐 𝛼 = − !" ! 17) En cada caso, determine los valores de las restantes funciones trigonométricas sabiendo que: a) 𝑠 𝑒𝑛 𝛼 = − ! ! , con 𝛼 en el tercer cuadrante. Respuesta: 𝑐 𝑜𝑠 𝛼 = − ! ! 𝑡𝑎𝑛 𝛼 = ! ! 𝑐𝑜𝑡 𝛼 = 3 𝑠𝑒𝑐 𝛼 = − ! ! ! 𝑐𝑠𝑐 𝛼 = −2 b) 𝑐 𝑜𝑠 𝛼 = ! ! , con 𝛼 en el cuarto cuadrante. Respuesta: 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = − ! ! 𝑡𝑎𝑛 𝛼 = − ! ! 𝑐𝑜𝑡 𝛼 = − ! ! ! 𝑠𝑒𝑐 𝛼 = ! ! 𝑐𝑠𝑐 𝛼 = − ! ! ! c) 𝑡 𝑎𝑛 𝛼 = 3 , con 𝛼 en el primer cuadrante. Respuesta: 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = ! !" !" 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = !" !" 𝑐𝑜𝑡 𝛼 = ! ! 𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 10 𝑐𝑠𝑐 𝛼 = !" ! 18) El valor aproximado de: 𝑐𝑜𝑠 ! ! − ! ! + ! ! − ! ! + ! ! − ! !" + ⋯ es igual a: a) 0 b) 1/2 c) 2 d) 3 e) 4 Respuesta: b)
- 4. Página de 14 4 4.3 Gráficas de funciones trigonométricas 19) Bosqueje la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 3𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 , 𝑥 ∈ −2𝜋, 2𝜋 20) Bosqueje la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 2𝜋𝑥 , 𝑥 ∈ −1,1 21) Bosqueje la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −3𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥 − ! ! , 𝑥 ∈ −2,2 22) Considerando la función del ejercicio anterior, ahora bosqueje la gráfica de: 𝑔 𝑥 = 𝑠𝑔𝑛 𝑓 𝑥 y ℎ 𝑥 = 𝜇 𝑓 𝑥 23) Bosqueje la gráfica de la función f : −4π,4π! " # $ ! " cuya regla de correspondencia es f x( )= 2e cos x( ) . Describa las características de esta función: inyectiva, sobreyectiva, biyectiva, inversible, par, impar, intervalos de monotonía, acotada, periódica. 24) Restrinja el dominio para x ∈ −2π,2π( ) y bosqueje la gráfica de f x( )= ln sen x( )( ) 25) Defina un dominio adecuado y bosqueje la gráfica de la función f x( )= e ln cos πx( )( ) 26) Considere la gráfica de una función de variable real: Su regla de correspondencia es: a) f x( )= µ sen 2x( )( ) b) f x( )= µ tan 2x( )( ) c) f x( )= µ csc 2x( )( ) d) f x( )= µ cot 2x( )( ) e) f x( )= µ sec 2x( )( ) Respuesta: a)
- 5. Página de 14 5 27) Respecto a la función de variable real f tal que f x( )= π 2 cos π x + π( )+1; x ∈ −3,5# $ % &, es FALSO que: a) f x( )≥ 0 en todo su dominio. b) Es una función acotada. c) Es creciente en el intervalo 2,3( ) d) Es decreciente en el intervalo ! ! , ! ! e) Es una función periódica. Respuesta: d) 28) El número de horas de luz natural para un área particular se puede modelar con la expresión: 𝐷(𝑡) = 5 2 𝑠𝑒𝑛 1 2 𝑡 − 𝜋 6 Donde D es el número de horas de luz natural y t es el día del año, considerando t=1 correspondiente al primero de enero. Trace la gráfica de esta función e indique período, amplitud y ángulo de fase. 29) Exprese la amplitud A y el período T de cada función en los problemas siguientes y grafique la función sobre el intervalo indicado: a) 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛𝑥, −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 b) 𝑦 = 3𝑐𝑜𝑠2𝑥, −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 c) 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛4𝑥, −𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 d) 𝑦 = 3 + 3𝑐𝑜𝑠 !" ! , −4 ≤ 𝑥 ≤ 4 e) 𝑦 = 4 − 2𝑐𝑜𝑠 ! ! , −4𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 4𝜋 30) Un peso de 6 libras cuelga del final de un resorte que se estira 1/3 de pie debajo de la posición del equilibrio y entonces se libera. Si la resistencia del aire y la fricción se desprecian, la distancia 𝑥, que el peso se desplaza con respecto de su posición de equilibrio en un tiempo 𝑡, medido en segundos, está dada por 𝑥 = ! ! cos (8𝑡). Exprese el período T y la amplitud A de esta función, y grafique para 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋. 31) Un generador de corriente alterna genera una corriente dada por 𝐼 = 30𝑠𝑒𝑛 120𝑡 donde t es el tiempo en segundos. ¿Cuál es la amplitud A y el período T de esta función? ¿Cuál es la frecuencia de la corriente?; es decir, ¿Cuántos ciclos (períodos) se completarán en un segundo? 32) Si el voltaje E en un circuito eléctrico tiene una amplitud de 110 voltios y un período de 1/60 segundos, y si 𝐸 = 110 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠 cuando 𝑡 = 0 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠, encuentre una ecuación de la forma 𝐸 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝐵𝑡 que entregue el voltaje para cualquier valor de 𝑡 ≥ 0. 33) La cantidad de bióxido de azufre, obtenido de la combustión de hidrocarburos, liberado hacia la atmósfera en una ciudad, varía durante el año. Suponga que el número toneladas de bióxido de azufre liberado hacia la atmósfera, en una ciudad, durante la semana 𝑛 del año está dada por: 𝐴 𝑛 = ! ! + 𝑐𝑜𝑠 !" !" ; 0 ≤ 𝑛 ≤ 104 Grafique la función en el intervalo indicado y describa lo que muestra la gráfica.
- 6. Página de 14 6 34) En los problemas siguientes, encuentra la ecuación de la forma 𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝐵𝑥 , que produzca la gráfica mostrada. a) b) c) d)
- 7. Página de 14 7 35) Bosqueje la gráfica de la función: f x( )= sgn cos 2x( )( ) x ∈ −2π,2π# $ % & 36) Bosqueje la gráfica de la función: f x( )= sen x 2 ! " # $ % & x ∈ −2π,2π) * + , 37) Bosqueje la gráfica de la función: f x( )=1− tan π − x( ) x ∈ −2π,2π# $ % & 38) Bosqueje la gráfica de la función: f x( )= µ sec x( )( ) x ∈ −2π,2π# $ % & 4.4 Funciones trigonométricas inversas 39) Determine el ángulo 𝜃 ∈ [0,2𝜋) en cada caso: a) 𝑠 𝑒𝑛 𝜃 = ! ! ; 𝑐𝑜𝑠 𝜃 < 0 b) 𝑡 𝑎𝑛 𝜃 = ! ! ; 𝐶𝑜𝑠(𝜃) < 0 c) 𝑠 𝑒𝑐 𝜃 = 3; 𝑐𝑜𝑠(𝜃) > 0 d) 𝑠 𝑒𝑐 𝜃 = − !" !" ; 𝐶𝑠𝑐(𝜃) < 0 e) 𝑠 𝑒𝑛 𝜃 = ! ! ; 𝜃 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 f) 𝑐 𝑜𝑠 𝜃 = − ! !" ; 𝜃 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 40) Si 𝑓: −1, − ! ! → −𝜋, 𝜋 tal que 𝑓 𝑥 = 2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 2), determine la regla de correspondecia de su función inversa 𝑓!! . Luego grafique la función identidad, 𝑓y 𝑓!! en el mismo plano cartesiano. Respuesta: 𝑓!! 𝑥 = ! ! 𝑠𝑒𝑛 ! ! − 2 ; 𝑥 ∈ −𝜋, 𝜋 41) Si 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ! ! y 𝑧 ∈ ! ! , 𝜋 , calcule 𝑐𝑜𝑠 𝑧 + 𝑡𝑎𝑛(𝑧) Respuesta: !!!! ! ! 42) Al considerar dos ángulos en el primer cuadrante, el valor numérico de la expresión trigonométrica: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 3 2 3 1 arcsenarcsensen es igual a: a) 9 245 + b) 9 245 − c) 24− d) 5 e) 1 Respuesta: a)
- 8. Página de 14 8 43) Sea la función de variable real f x( )= e−2x−3 , x ≤ − 3 2 sen π x( ), − 3 2 < x < − 1 2 log1 2 2x +3( ), x ≥ − 1 2 $ % & & & ' & & & , la regla de correspondencia de su función inversa es: a) f −1 x( )= −3−ln x( ) 2 , x ≥1 arcsen x( ) π , −1< x <1 1 2 # $ % & ' ( x −3 2 , x ≤ −1 * + , , , ,, - , , , , , b) f −1 x( )= ln x +3( ) 2 , x ≥ 3 2 arcsen x( ) 2π , −1< x < 3 2 2( ) x −1 2 , x ≤ −1 $ % & & && ' & & & & c) f −1 x( )= arcsen π x( ) 2 , x ≥1 1 2 # $ % & ' ( x −3 2 , x <1 ) * + ++ , + + + d) f −1 x( )= ln x( ) 2 , x ≥ 2 arcsen x( ) 2 , −1< x < 2 2x +1 2 , x ≤ −1 $ % & & && ' & & & &
- 9. Página de 14 9 e) f −1 x( )= −3−ln x( ) 2 , x ≤ − 3 2 arcsen x( ) π , − 3 2 < x < − 1 2 1 2 # $ % & ' ( x −3 2 , x ≥ − 1 2 * + , , , ,, - , , , , , Respuesta: a) 44) Sean dos ángulos de medidas α y β que están en el primer cuadrante, donde ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 5 2 arccosα y ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 10 3 arccosβ , entonces la medida del ángulo βα + es: a) 6 π b) 4 π c) 3 π d) 2 π e) 3 2π Respuesta: b) 45) Defina un dominio adecuado y bosqueje la gráfica de la función f x( )= arcsen 2x − 4( ) Respuesta: dom f = 3 2 , 5 2 ! " # $ % & 46) Calcule el valor solicitado en el primer cuadrante: cos arcsen x( )( ) 47) Calcule el valor solicitado en el tercer cuadrante: cos arctan x( )( ) 48) Calcule el valor solicitado en el segundo cuadrante: sen arctan − 5 3 " # $ % & ' " # $ % & ' 49) Calcule el valor solicitado en el cuarto cuadrante: arccos cos − π 6 " # $ % & ' " # $ % & ' 50) El valor aproximado de ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−+−+− ..... 1286432 coslog6 ππππππ π arcsen es: a) 0 b) 1 c) –1 d)log6 π 1 2 ! " # $ % & e) logπ 6 1 2 ! " # $ % & Respuesta: c)
- 10. Página de 14 10 51) Considere que los ángulos están en el primer cuadrante: € x = sec arccos 3 2 " # $ % & ' " # $$ % & '' € y = csc arccos 3 2 " # $ % & ' " # $$ % & '' El resultado de la suma x + y( ) es igual a: a) € 2 3 3+ 3( ) b) € 1 2 3+ 2( ) c) € 3 2 2 + 2( ) d) € 1 3 2 + 3( ) e) € 1 2 3+ 3( ) Respuesta: a) 52) Sea f : −2,2" # $ % ! 0, π 3 " # & $ % ' definida por f x( )= 1 3 arcsen − x 2 ! " # $ % &+ π 6 La regla de correspondencia de 1− f , es: a) f −1 : 0, π 3 " # $ % & ' ! −2,2" # % &/ f −1 x( )= −2sen 3x − π 2 ( ) * + , - b) f −1 : 0, π 3 " # $ % & ' ! −2,2" # % &/ f −1 x( )= −2sen 3x( ) c) f −1 : 0, π 3 " # $ % & ' ! −2,2" # % &/ f −1 x( )= −cos 3x( ) d) f −1 : 0, π 3 " # $ % & ' ! −2,2" # % &/ f −1 x( )= 3sen 2x( ) e) f −1 : 0, π 3 " # $ % & ' ! −2,2" # % &/ f −1 x( )= −2sen 3x + π 2 ( ) * + , - Respuesta: a) 53) Si α = arctan − 7 24 " # $ % & ' y β = arccot 3 4 ! " # $ % &, π 2 < α < π, π < β < 3π 2 , entonces el valor de cos α + β( ), es igual a: a) 4 5 b) 4 5 − c) 5 4 d) 5 4 − e) 125 44 Respuesta: c)
- 11. Página de 14 11 4.5 Identidades trigonométricas 54) Al simplificar la expresión trigonométrica: −2cot 2x( ) cos3 x( )csc x( )− sen3 x( )sec x( ) se obtiene: a) –4 b) –1 c) –1/4 d) 1 e) 2 Respuesta: b) 55) Demuestre que: 1 − 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑠𝑒𝑐(𝜃) = 𝑐𝑜𝑠!(𝜃) 1 + 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 56) Demuestre que: 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛(4𝜃) 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠(4𝜃) = 𝑡𝑎𝑛(3𝜃) 57) Demuestre las siguientes identidades: a) !!" !! !!!"(!!) !!" !! !!!"(!!) = 𝑡𝑎𝑛(6𝑥) b) 𝑐 𝑜𝑠! ! ! = ! ! 1 + 𝑐𝑜𝑠 !! ! 58) Demuestre que: 1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 2𝑐𝑜𝑠(𝑥) 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 1 59) Si 𝛼 y 𝛽 son ángulos interiores de un triángulo rectángulo, y 𝑐 𝑜𝑠 𝛼 = ! ! , calcule: 𝑠𝑒𝑛 2𝛼 − 3𝑐𝑜𝑠(2𝛽) 𝑡𝑎𝑛 𝛽 + 𝑐𝑜𝑡(𝛼) Respuesta: ! !" 60) Demuestre, de ser posible, que: !!"(!!!) !!"(!!!) = !!!!" ! !!"(!) !!!!" ! !!"(!) 61) La expresión: tan 2x( ) 1− sen x( )( ) 1+sec 2x( ) 1+ sen x( ) − sen 7x( )cos 5x( )+ 1 2csc 12x( ) , es equivalente a: a) 0 b) 1 c) sec 12x( ) d) cos 12x( ) e) cot 12x( ) Respuesta: a)
- 12. Página de 14 12 62) Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela: a) ∀x, y ∈ ! sen x + y( )= sen x( )+ sen y( )# $ % & b) ∀x, y ∈ ! 1 2 sen x − y( )+ sen x + y( )$ % & '= cos x( )sen y( ) $ % ( & ' ) c) ∀x ∈ ! cos2 x( )= 1−cos 2x( ) 2 $ % & & ' ( ) ) d) ∀x ∈ ! − 2n +1( )π,n ∈ Z{ } tan x 2 $ % & ' ( ) = 1−cos x( ) sen x( ) * + , , - . / / e) ∀x ∈ ! cos 2x( )= sen2 x( )−cos2 x( )$ % & ' Respuesta: d) 63) Demuestre, de ser posible, las siguientes identidades: a) 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝛽 𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝛽 = 1 − 𝑡𝑎𝑛𝛼 𝑡𝑎𝑛𝛽 1 + 𝑡𝑎𝑛𝛼 𝑡𝑎𝑛𝛽 b) 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝜋 3 = 4 tan 𝑥 + 3𝑠𝑒𝑐! 𝑥 𝑠𝑒𝑐! 𝑥 − 4𝑡𝑎𝑛! 𝑥 c) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos (𝑥) cos (2𝑥) − tan (𝑥) 1 − 𝑡𝑎𝑛!(𝑥) = 0 64) Demuestre, de ser posible, las siguientes identidades: a) 𝑠𝑒𝑛(𝛼) + 𝑠𝑒𝑛(2𝛼) 1 + cos (𝛼) + cos (2𝛼) = tan (𝛼) b) cos (2𝛼) = 𝑐𝑠𝑐!(𝛼) − 2 𝑐𝑠𝑐!(𝛼) c) cos (𝛼) 1 − 𝑠𝑒𝑛(2𝛼) = 1 + tan (𝛼) 1 − tan (𝛼) 4.6 Ecuaciones e inecuaciones trigonométricas 65) Si 𝑅 𝑒 = −𝜋, 2𝜋 , determine el conjunto de verdad del predicado: 𝑝 𝜃 : 𝑡𝑎𝑛 2𝜃 + 2𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 0 Respuesta: 𝐴 𝑝 𝜃 = − ! ! , − ! ! , − !! ! , ! ! , !! ! , !! ! , !!! !
- 13. Página de 14 13 66) Demuestre, de ser posible, que: cos−1 3 10 " # $ % & '+cos−1 2 5 " # $ % & ' = π 4 67) Si 𝑅 𝑒 = −𝜋, 𝜋 , determine el conjunto de verdad del predicado: 𝑝 𝜃 : 𝜇 𝑆𝑒𝑛 2𝜃 − 1 < 0 Respuesta: 𝐴 𝑝 𝜃 = ∅ 68) Sea el conjunto referencial 𝑅𝑒 = 0,2𝜋 y los predicados 𝑝 𝑥 : 1 − 2𝐶𝑜𝑠 ! ! = 1 y 𝑞 𝑥 : 𝑠𝑔𝑛 𝑆𝑒𝑛 2𝑥 = 0. Determine el conjunto de verdad 𝐴[𝑝 𝑥 → 𝑞 𝑥 ]. Respuesta: 𝐴[𝑝 𝑥 → 𝑞 𝑥 ] = 0, 𝜋 ∪ !! ! , 2𝜋 69) Sea 𝑅𝑒 = 0,2𝜋 y el predicado 𝑝 𝑥 : 𝑆𝑒𝑛 2𝑥 = 1 + 𝐶𝑜𝑠 2𝑥 . Determine el conjunto de verdad 𝐴 𝑝 𝑥 . Respuesta: 𝐴 𝑝 𝑥 = ! ! , ! ! , !! ! , !! ! 70) Si 𝑅 𝑒 = −𝜋, 2𝜋 , determine el conjunto de verdad del predicado: 𝑝 𝜃 : 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 𝐶𝑜𝑠(𝜃) Respuesta: 𝐴 𝑝 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 !!! ! ! , 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 !!! ! ! 71) Si 𝑅 𝑒 = −𝜋, 𝜋 , determine el conjunto de verdad del predicado: 𝑝 𝑥 : 𝑠𝑔𝑛 𝑆𝑒𝑛 𝑥 2 ≥ 1 Respuesta: 𝐴 𝑝 𝜃 = 𝑥 0 < 𝑥 ≤ 𝜋 72) Resuelva para 𝑥 en el intervalo indicado: a) 1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0, 𝑥 ∈ [0,2𝜋) Respuesta: 𝑥 = 𝜋 b) 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0, 𝑥 ∈ ℝ! Respuesta: 𝑥 = ! ! 4𝑛 − 3 ; 𝑛 ∈ ℕ c) 1 + 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0, 𝑥 ∈ [0,2𝜋) Respuesta: 𝑥 ∈ !! ! , !! ! d) 1 − 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0, 𝑥 ∈ ℝ! Respuesta: 𝑥 ∈ ! ! , !! ! , !! ! , !"! ! , !"! ! 73) Resuelva para 𝑥 en el intervalo indicado: a) 4 𝑐𝑜𝑠! 𝑥 − 3 = 0, 𝑥 ∈ [0,2𝜋) Respuesta: 𝑥 ∈ ! ! , !! ! , !! ! , !!! !
- 14. Página de 14 14 b) 2 𝑠𝑒𝑛! 𝑥 − 1 = 0, 𝑥 ∈ ℝ! Respuesta: 𝑥 ∈ ! ! , !! ! , !! ! , !! ! , … c) 2 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 1, 𝑥 ∈ [0,2𝜋) Respuesta: 𝑥 ∈ ! ! , !! ! , !! ! , !!! ! d) 2 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 = 3, 𝑥 ∈ ℝ! Respuesta: 𝑥 ∈ ! ! , ! ! , !! ! , !! ! , … 74) Sea Re = 0,π! " # $ y p x( ): tan 2x( )− 2sen x( )= 0 . La suma de los elementos de Ap x( ) es igual a: a) 0 b) 3 π c) π d) 3 5π e) 3 7π Respuesta: d) 75) Sea Re = 0,2π( ) y p x( ): sen x( )= cos x( ). Determine Ap x( ) 76) Sea Re = 0,π! " # $ y p x( ): 2cos2 x( )− sen 2x( )= 0. Determine Ap x( ) Respuesta: π/4, π/2 77) Sea Re = 0,2π( ) y p x( ): sen x( )> 1 2 . Determine Ap x( ) 78) Sea Re = 0,2π( ) y p x( ): cos x( )< 1 3 . Determine Ap x( ) 79) Sea Re = 0,2π! " # $ y p x( ): 2sen2 x( )=1−cos x( ) entonces la suma de los elementos de Ap x( ) es igual a: a) 8π 3 b) 3π c) 4π 3 d) 4π e) 7π 3 Respuesta: d) 80) Sea Re = 0,2π! " # $ y p x( ):sgn sen x( )cos x( )− 1 4 " # $ % & ' = 0 entonces la suma de los elementos de Ap x( ) es igual a: a) π 12 b) 2π c) π 2 d) π e) 3π Respuesta: e)