Cap 004

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4.1 Ángulos y medidas
1. Un ángulo es la unión de dos semirrectas de origen común.
a) Verdadero b) Falso
2. Un ángulo queda determinado de manera única por su vértice.
3. Dos ángulos son adyacentes si son consecutivos y son suplementarios.
4. Dos ángulos suplementarios son siempre agudos.
5. Dos ángulos opuestos por el vértice siempre son complementarios.
6. Transformar cada ángulo dado de grados a radianes.
a) 30º b) 135º c) −120º d) 450º e) −540º f) 60º
a) π/6 b) −5π/4 c) 4π/3 d) π/2 e) π/12 f) 4π
7. Transformar cada ángulo dado de radianes a grados.
8. Complete la siguiente tabla:
Radianes 0
Grados
sexagesimales
60º 135º 112º 150º 15º
9. El extremo del minutero de un reloj recorre cm en tres minutos. ¿Cuál
es la longitud del minutero?
10. Determine la medida del ángulo, en el cual la medida de su suplemento es
4 veces la medida de su complemento.
11. Si la suma de las medidas de ocho ángulos congruentes es 180º. ¿Cuánto
mide dicho ángulo en radianes?
12. La medida del ángulo suplementario de x es igual a 123º. Hallar la medida
del ángulo x y la medida de su ángulo complementario.
CAPÍTULO CUATRO4 Ejercicios propuestos
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4.3 Gráficas de funciones trigonométricas
4.2 Funciones trigonométricas elementales
15. Parte de la gráfica de y= p + qcos(x) aparece a continuación. La gráfica
contiene los puntos (0,3) y (π,−1). Determine cuál de los siguientes
enunciados es verdadero:
16. Si se tiene la función f : [0,π]→ , tal que f (x)=2−1
cos(2x), entonces su
gráfica es:
14. Hallar el valor de cada expresión dada:
a) d)
c)
b) e)
13. Calcule el valor de las expresiones siguientes y represéntelas como una
fracción o radical simplificado:
d)
c) f)
e)b)
a)
c)
d)
e)
b)
a)
a) b)
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18. Graficar:
a) y = 2cos x − + 1
b) y = |sen(2x) −1| − 1
c) y = 1−tan(π − x)
d) y = 0.5 − sen(x/2)
e) y = sgn(cos(2x))
17. El siguiente diagrama muestra parte de la gráfica de una curva senoidal
f(x) = p + qsen(kx). El período es 4π, el valor mínimo es 3 y el valor
máximo es 11 (esta gráfica no está a escala). Halle el valor de:
a) p
b) q
c) k
e)
c) d)
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4.4 Funciones trigonométricas inversas
20. Sea (−1/2), y , ;
encuentre el valor de sen(α) + tan(β).
21. Encuentre el valor de cos(x) si x = arctan (4/7), x π, .
4.5 Identidades trigonométricas
23.
19. La gráfica muestra la altura h de las mareas en metros, a las t horas
pasadas la media noche en la isla de Tahini.
La altura h puede tener como modelo a la función h(t) = acos(bt) + 3.
a) Use la gráfica anterior para hallar los valores de las constantes a y b.
b)A partir del resultado anterior, calcule la altura de la marea a las 13:00.
c) ¿A qué hora estará la marea en su mínimo durante el segundo período de
8 horas?
22. Simplificar las siguientes expresiones:
c)a)
d)b)
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24. El valor de la expresión 8cos(10º)cos(20º)cos(40º) es:
a) 8cos(70º) b) 1 c) tan(10º) d) cot(10º) e) 8
27. Si π/2<x<π y sen(x)= 5/13, entonces el valor de sen(2x), es:
a) −10/13 b) 12/13 c) −12/13 d) 120/169 e) −120/169
28. La expresión: , es equivalente a:
a) sec(3x) b) sec(2x) c) −1 d) cos(3x/2) e) sec(3x/2)
30. Hallar el valor de: tan(19π/12).
32. Si tan(25º)=a, representar en términos de a la siguiente expresión:
29. La expresión que no representa una identidad trigonométrica es:
c)
a) d)
e)b)
25. El valor de cos(π/12) es:
a) b) c) d) e)
31. Hallar (gof ) (x) si f y g están deﬁnidas por las siguientes reglas de
correspondencia:
26.Si π/2<x<π y sen(x)= 5/13, entonces el valor de cos(x+π/3) es:
a) b) c) d) e)
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33. Simpliﬁcar y hallar el valor de las siguientes expresiones:
e)
35. Demuestre:
d)
a)
b)
c)
a)
d)
f)
b)
c)
f)
e)
36. Una de las siguientes expresiones no constituye una identidad trigonométrica,
identifíquela:
c)a)
b) d)
34. Demuestre:
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473pág.
37. Si π < α < 3π/2 y sen(α) = −3/5, hallar el valor de tan(2α).
38. Si tan(α)=1/7; sen(β)=1/ 10; α (0,π/2) y β (0,π/2), determine sen(α + 2β).
39. Si f (x) = 2tan(x/2); x [0, π/2], hallar el valor de f (2π/3) − f (π/2).
40. Si sen(x) = −12/13; 3π/2 ≤ x ≤ 2π, hallar el valor de cos(x + π/3).
41. Encuentre una expresión para tan(3α) en términos de tan(α).
42. Si tan(α)= −7/24 y cot(β)=3/4, π/2 < α < π, π < β < 3π/2, encuentre el valor
de cos(α + β).
43. Demostrar las siguientes identidades trigonométricas:
44. Dado que sen(x) = , donde x es un ángulo agudo, halle el valor de:
a) cos(x) b) cos(2x) c) sen(2x)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
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4.6 Ecuaciones e inecuaciones trigonométricas
45. Sea p(x): 2sen2
(x) − 7sen(x) + 3 = 0 y x [0, π], la suma de los elementos
de Ap(x) es:
a) π b) π/3 c) 5π/3 d) 7π/6 e) 2π
46. Sea p(x): sen(x) > , x (0,2π), hallar Ap(x).
47. Sea q(x): cos(x) < , x (0,2π), hallar Aq(x).
a) Halle el valor de R y la medida del ángulo α.
b) Halle el rango de f.
c) Es inversible f, ¿por qué?
d) Halle el valor de x que satisface la ecuación f (x)= 2.
48. La función f de dominio se deﬁne como f (x) = cos(x)+ 3 sen(x).
Esta función puede también expresarse de la forma f (x) = Rcos(x − α),
donde R > 0 y 0 < α < .
49. Considere el predicado p(x): 2sen2
(x)=1 − cos(x), x [0,2π]. La suma de
los elementos de Ap(x) es:
a) b) c) d) e)
50. Resuelva la ecuación 2cos2
(x) = sen(2x), siendo 0 ≤ x ≤ π.
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