Semana 8 1
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1. El documento presenta las identidades trigonométricas para ángulos compuestos y la diferencia de ángulos, incluyendo propiedades importantes como sen(α + β)sen(α-β). 2. Incluye 15 problemas resueltos como ejemplos y una sección de problemas de clase y repaso con 18 problemas para practicar diferentes conceptos. 3. El documento provee una guía detallada sobre identidades trigonométricas para ángulos compuestos y su aplicación en la resolución de problemas.
Semana 8 1
- 1. 1 Centro Preuniversitario de la UNS S-08 Ingreso Directo 1xCscxCot 1xCotxscC Zn;nRx;1xCotxCsc 1xSecxTan 1xTanxSec Zn; 2 1)(2nRx;1xTanxSec xSen1xCos xCos1xSen Rx;1xCosxSen 22 22 22 22 22 22 22 22 22 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA CEPUNS Ciclo 2015-II TRIGONOMETRÍA “Identidades Trigonométricas de Arcos Compuestos” En el presente capítulo realizaremos el estudio de las razones trigonométricas de aquellos ángulos que a su vez están constituidas por la suma o resta de otros 2 ángulos. Iniciaremos el estudio del presente capitulo con la demostración de las principales Identidades para ángulos compuestos que son: * Sen( + ) = Sen.Cos + Cos.Sen * Cos( + ) = Cos.Cos-Sen.Sen * Tg(+) = Tg Tg Tg + Tg 1 . Identidades Trigonométricas para la Diferencia de Ángulos: sen sen sen cos cos cos cos cos sen sen * Tg(-) = TgTg TgTg .1 Algunas Propiedades de Importancia a) Sen( + ).Sen(-) = Sen² - Sen² b) Tg + Tg + Tg(+).Tg.Tg = Tg(+) c) Si: + + = 180° Tg + Tg+ Tg = Tg.Tg.Tg d) Si: + + = 90° Tg.Tg +Tg.Tg + Tg.Tg = 1 e) Cos( + ).Cos(-) = cos² - Sen² f) Si: + + =180°Ctg.Ctg+Ctg.Ctg+Ctg.Ctg=1 g) 1 2 . 22 . 22 . 2 C tg B tg C tg A tg B tg A tg h) 2 . 2 . 2222 C Ctg B Ctg A Ctg C Ctg B Ctg A Ctg i) Tg - Tg - Tg( - ).Tg.Tg = Tg( - ) j) yx yxsen tgyTgx cos.cos )( k) SenySenx yxsen CtgyCtgx . )( l) SenyCosx yxCos Ctgytgx . )( m) )(... 22 xSenbaCosxbsenxa Donde: 22 ba b Sen 22 ba a Cos n) Si: Rxxbsenxaxf ;cos..)( Se cumple: 2222 )( baxfba PROBLEMAS RESUELTOS 1. Siendo: tg x y tg x y 3 2 4 2 3 5 Halle: “ tg x y ” A) 1 21 B) -1 C) 1 10 D) 1 21 E) 1 10 RESOLUCIÓN * tg( x y) tg 3 2 4 4 * tg( x y) tg 2 3 5 5 * tg x y ? tg = ? “ ” Semana Nº 8
- 2. Lic. Rodolfo Carrillo Velasquez Trigonometría. 2 Centro Preuniversitario de la UNS S-08 Ingreso Directo tg tg tg tg tg 4 5 1 1 4 5 tg 1 21 2. De la figura mostrada, calcular: tg A) 5 3 B) 55 3 C) 5 3 D) 55 3 E) 4 3 RESOLUCIÓN tg 4 5 tg 7 5 tg tg tg tg tg tg tg 1 tg 4 7 5 5 4 7 1 5 5 tg 11 5 3 25 tg 55 3 RPTA.: B PROBLEMAS DE CLASE 1. En la figura, el valor de la tg es igual a : A) 5 14 B) 3 7 C) 1 7 D) 3 14 E) 1 2 1º EXAMEN ORDINARIO – UNS 2014 - II 2. Si: 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽). 𝐶𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽) y = 𝑆𝑒𝑛(𝛽 + 𝜃). 𝑆𝑒𝑛(𝛽 − 𝜃) 𝑧 = 𝐶𝑜𝑠(𝛼 + 𝜃). 𝐶𝑜𝑠(𝛼 − 𝜃) Entonces x+y-z, es igual a: a) Cos𝛼 b) Cos𝛽 c) Cos𝜃 d) 0 e) ½ 3. Si 3𝑆𝑒𝑛𝜃 + 4𝐶𝑜𝑠𝜃 = 5, entonces el valor de 𝑀 = 𝑇𝑔 𝜃 + 1 4 A) √2 B) 3 C) 1 D) 2√3 E) 2 3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - I 4. Al reducir 𝑀 = 𝑇𝑔(2𝛼 + 𝛽) . 𝐶𝑡𝑔(𝛼 − 𝜃) , donde 𝛼, 𝛽 𝑦 𝜃 son ángulos de un triángulo. Se obtiene: A) ½ B) 1 C) -1 D) 𝑇𝑔2 𝛽 E) 𝐶𝑡𝑔2 𝛽 2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - I 5. Si: 𝑆𝑒𝑛𝛼 = 1 √5 y 𝐶𝑜𝑠𝜃 = 2 √13 , entonces el valor de 𝑘 = 𝑇𝑔(𝛼 + 𝜃) es: A) 7 5 B) 7 3 C) 7 4 D) 7 6 E) 8 3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - III 6. Calcular: E = 4.Sen(x+8º) + 7.Cos ( x+8º) A) 65 B) 67 C) 69 D) 57 E) 45 EXAMEN ORDINARIO – UNS 2013 - I 7. El valor de la expresión: ( 𝑇𝑔 80º − 𝑇𝑔10º) 𝐶𝑡𝑔70º es: 3 4 5 3 4 5 4 5 b5 b 2 b b
- 3. Lic. Rodolfo Carrillo Velasquez Trigonometría. 3 Centro Preuniversitario de la UNS S-08 Ingreso Directo A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - I 8. Sabiendo que: Halle: tg(x + y + z) a) 1 b)-1 c) d) e) 9. Si Tanα y Tanβ son las raíces de la ecuación: 2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0 Calcular el valor de: Tan(α + β) a) -1/5 b) 1/5 c) -5 d) 5 e) 1 10. Si 2Sen5x = 3Sen3x Calcular el valor de: E = 25Cot2 4x − Cot2 x a) 2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 11. En un triángulo ABC, se sabe que: TanA − 1 = TanB = TanC + 1 Calcular el valor: E = TanA + Tan2 B + Tan3 C a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 20 12. Si se cumple: Tan2 α − Tan2 β + 2Tan2 αTan2 β = 2 Además: Tan(α − β) = 3 Calcular el valor de: Tan(α + β) a) ½ b) 2/3 c) 3/2 d) 2 e) 3 13. Calcular el valor aproximado de: E = 4√6Sen52° + Cos7° a) 7,1 b) 7,2 c) 7,3 d) 8,3 e) 8,7 14. Del grafico mostrado, calcular Tanx 45˚ 2 5 14 x a)1/3 b) ½ c) ¾ d) 1 e) 4/3 15. En el grafico mostrado se cumple que: α + β + θ = 180° ¿A que es igual? E = Tanα + Tanβ + Tanθ β α θ x a) Senx b) Cosx c) Tanx d)Cotx e) Secx 16. De un triángulo ABC, reducir: P = SenA. Sen(B − C) + SenB. Sen(C − A) + SenC. Sen(A − B) a) -1 b) 2 c) 1 d) 3 e) 0 17. Si: sennmsennm ).().( ; determinar: tg tg a) n m b) m n c) n m d) m n e) nm nm 18. Si Tan(x + a). Tan(x − a) = Tan2 b ¿A que es igual? E = Tan(x + b)Tan(x − b) a) Tan2 a b)Tan2 b c)Tan2 x d)Cot2 a e)Cot2 x PROBLEMA DE REPASO 1. Dado el cuadrado ABCD, calcule “K” a) 1 b) 2 c)3 d) ½ e) 3/2 2. Si: xCtgCalcularxTg 28 5 ; 2 1 14 a) 1 b)2 c)3 d) ½ e) 1/3 3. Determina el valor mínimo de F, si 1 cot(3x 2y 5z) 3 1 cot(2x 3y 6z) 2 1 5 1 6 1 7
- 4. Lic. Rodolfo Carrillo Velasquez Trigonometría. 4 Centro Preuniversitario de la UNS S-08 Ingreso Directo F = a(Senx - cosx) +b(Senx + cosx); 0 < a < b a) 22 ba b) ab 2 1 c) ba. d) a + b e) 22 2 ba 4. Del gráfico, calcular: a) – 4 b) – 8 c)–16 d)- 9 e)32 5. Si: 0.cos)(.)( coxyxnmsenysenxnm ; determinar: )cos( )cos( yx yx M a) n m b) m n c) n m d) m n e) nm. 6. Si: 3 2 20 tg ; calcular: 5 tg a) 1/5 b) 1/3 c) 3 d) 5 e) 6 7. Si: º10º.2532º10º25)( tgtgtgtgyxtg Y 2 .0)( yx tgCalcularyxtg a) 2326 b) 2326 c) 2326 d) 2326 e) 2326 8. Si se sabe que: cotx y coty son las raíces de la ecuación: ax2 + bx + c = 0 Hallar: tg(x + y) A) B) C) D) E) 9. En un triángulo ABC, se cumple que: SenC SenB SenA .2 y CosC CosB CosA .2 Calcular Sen 2A a) 12 1 b) 12 1 c) 2 2 d) 12 e) 12 10.Del gráfico calcular Siendo AB = 1; AE = 3; EC = 2. A) 3/37 B) 5/41 C) 3/41 D) 2/9 E) 3/7 11. Del gráfico mostrado calcular . A) 10 B) 8 C) 12 D) 6 E) 15 12.Si: tg(5+ 3)= 5 . . . (1) tg(5– 3)= 2 . . . (2) Calcular: k=tg(10)+Ctg(6) A) B) C) D)3 E) 13.Si , se pide hallar: A) 1/5 B)1/7 C)1/9 D) 1/11 E) 1/13 14.Si x + y + z = , se pide reducir: TgyTgzTgzTgxTgyTgx E . 2 . 2 . 2 A) 1 B) 2 C) 6 D) E) ½ 15.Evaluar: S= tg22º+tg23º+tg22º.tg23º A) tg 22º B) tg 23º C) 2tg 22º D) 2tg 23º E) 1 16.Si: kCosSen º12º12.3 , Calcular: º27cosº27 senW a) k 2 2 b) k 4 2 c) 5 k d) k 6 2 e) k 2 2 Tan 37º A B C D P b c a a b c a c b c a b b a c Tg( ) Tg 7 9 25 9 3 11 26 9 1 1 tg y tg 3 4 E tg