2-1-Estatica-Indeterminados-2022-.ppt
- 2. 500 N a a b b 30° 20 mm La barra mostrada de sección cuadrada de 40 mm de lado es solicitada por la fuerza axial de 500, Determine los esfuerzos en las secciones a-a y b-b. 40 mm Ejemplo 1
- 3. 500 N a a b b 30° 20 mm 40 mm N = 500 N 500 N a a 312.5 kPa 2 500 312500 312.5 0.04 0.04 N kN A x m Ejemplo 1
- 4. 30o 500 N N = 500sen30o = 250 N V = 500cos30o = 433 N 30o b) Plano b-b 3 30 40 80 30 30 . 0.04 0.08 3.2 10 a sen b a b mm sen sen A a b x x 3 2 250 78.12 3.2 10 kN x m 3 2 433 135.31 3.2 10 kN x m Ejemplo 1 b
- 5. UNMSM Ejemplo 2 Se utilizan dos barras para sostener una carga de 50 kN, como se muestra en la figura. La barra AB tiene sección transversal son 650 mm2 y BC de 925 mm2. Ambos están hechos de acero estructural que tiene un módulo de elasticidad de 200 GPa. Determine: a. Las tensiones normales en la barra de acoplamiento AB y el puntal de tubería BC. b. El alargamiento o acortamiento de la barra de acoplamiento AB y el puntal de tubería BC. c. Los componentes horizontal y vertical del desplazamiento del punto B. d. Los ángulos a través de los cuales giran los miembros AB y BC. 1.15 m
- 6. UNMSM Ejemplo 2 Cálculo de las fuerzas internas en las barras 1.15 m F=50 kN FAB 42.61° 1. DCL
- 7. UNMSM Ejemplo 2 a. Las tensiones normales en la barra de acoplamiento AB y el puntal de tubería BC.
- 8. UNMSM Ejemplo 2 b. El alargamiento o acortamiento de la barra de acoplamiento AB y el puntal BC. δAB δBC vB 42.61° 42.61° b c a B B´
- 9. UNMSM Ejemplo 2 b. El alargamiento o acortamiento de la barra de acoplamiento AB y el puntal BC. δAB δBC 42.61° 42.61° b c a
- 10. UNMSM Ejemplo 2 c. Desplazamiento vertical de B - B´= vB B δAB δBC 42.61° 42.61° b c a vB vB B´
- 11. UNMSM Ejemplo 2 d. Los ángulos a través de los cuales giran los miembros AB y BC. sen
- 12. A O B 40° 15° Se muestra una posición particular de la biela AB y la manivela AO (θ=40°). En esta posición el embolo de sección 500 mm2 recibe una presión de 4.8 MPa y esto permite que la biela ejerce presión sobre el pasador del cigüeñal en A. Resuelva los componentes horizontal y vertical de la fuerza en A, también resuelva la fuerza dada en A a lo largo de AO y en una dirección perpendicular a AO. EJEMPLO 3 UNMSM
- 13. -6 BA = A=4.8x500x10 =2.41 kN 2.41 F 2.5 cos15 cos15 B B F F kN B 15° UNMSM EJEMPLO 3
- 14. FBA A B O 15° 40° 2.5 kN A B O 55° 1.43 kN 2.05 kN UNMSM EJEMPLO 3
- 15. -6 BA = A=4.8x500x10 =2.41 kN 2.41 F 2.5 cos15 cos15 B B F F kN B 15° UNMSM EJEMPLO 3
- 16. 2.5 kN A B O 55° 1.43 kN 2.05 kN UNMSM EJEMPLO 3
- 18. No hay suficientes ecuaciones de equilibrio para resolver todas las incógnitas en el sistema. El proceso de solución general se puede organizar en un procedimiento de cinco pasos. Paso 1 - Ecuaciones de equilibrio, las ecuaciones expresadas en términos de las fuerzas axiales desconocidas. Paso 2 - Geometría de la deformación, se evalúa para determinar cómo se relacionan las deformaciones de los miembros axiales. Paso 3 - Relaciones de fuerza-deformación, se relaciona entre la fuerza interna en un miembro axial y su alargamiento. UNMSM
- 19. Paso 4: Ecuación de compatibilidad: las relaciones fuerza-deformación se sustituyen en la ecuación de geometría de deformación para obtener una ecuación que se basa en la geometría de la estructura, pero expresada en términos de las fuerzas axiales desconocidas. Paso 5: Se resuelve las ecuaciones: las ecuaciones de equilibrio y la ecuación de compatibilidad se resuelven simultáneamente para calcular las fuerzas axiales desconocidas. UNMSM
- 20. 1.80 m 1 m 1 m A C B P La barra rígida mostrada ABC de 2 m de largo está sostenida por tres miembros como se muestra en la figura. Se aplica la carga P de 20 kN. Los miembros conectados en A y en C son barras de aluminio de sección transversal de 800 mm2 y longitud de 1.8 m. El miembro conectado en B es barra de acero de sección transversal 600 mm2 y longitud 1.8 m. Todos los miembros están conectados con pines simples. Si las tres barras están inicialmente sin tensión, determine las tensiones normales en las barras, y La desviación de la viga rígida después de la aplicación de la carga. UNMSM Ejemplo 1
- 21. P FA FC FB A B C Fy 0 F F 20 F 0 A A C B M 0 M (1.2m)F (0.60m)F (0.60m)(20kN) 0 1. Ecuaciones de equilibrio También FA=FC A B 2F F 20 0.............(1) UNMSM Ejemplo 1
- 22. P FA FC FB A C 1 B 2 L L L y L L 2. Geometría de deformación 3. Relaciones de fuerza-deformación A A B B 1 B A A B B F L F L L y L A E A E 4. Ecuación de compatibilidad A A B B A B A A B B F L F L L L A E A E por tanto: UNMSM Ejemplo 1
- 23. P FA FC FB 5. Soluciones de las ecuaciones B A A A B A B B L A E F F L A E A B B 1.8x500x70 F F 0.19F 1.8x900x200 B B B 20 2 0.19F F 20 0, F 14.40 kN 2x0.19 1 A B F 0.19F 0.19x14.40 2.8 kN UNMSM Ejemplo 1
- 24. P FA FC FB Esfuerzo en las barra A, C y B A A 4 B B 4 F 2.80 5.6 MPa A 5x10 F 14.40 16.60 MPa A 9x10 A A 1 4 6 A A B B B 4 6 B B F L 2.8x1.8 L 0.144 mm A E 5x10 x70x10 F L 24.4x1.8 L 0.144 mm A E 9x10 x200x10 Deformación de las barra A, C y B UNMSM Ejemplo 1
- 25. Ejemplo 2 UNMSM El conjunto se compone de dos barras AB y CD de diámetro 25 mm y la barra FG de diámetro 30 mm con E= 120 GPa, unidas con la placa rígida F. Si los soportes en A, C y G son rígidos, determinar el esfuerzo en las barras AB, CD y FG al aplicar las cargas mostradas.
- 26. UNMSM DCL F A R R A F A F AB FG 2R R 2x50 0 2R R 100 kN 2F F 100 kN .............(1) + - = + = + = EQUILIBRIO Ejemplo 2
- 27. UNMSM F A R R AB FG 6 AB AB AB AB AB 6 2 AB AB FG FG FG FG 6 FG FG L L ..............................................................................(2) F L 0.28F L 2.376x10 F ......(3) E A 120x10 x2 x0.025 4 F L 0.36F L E A 120x10 x p p - D = D D = = = æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø D = = 6 FG 2 4.244x10 F .........(4) x0.03 4 - = æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø DEFORMACION Ejemplo 2
- 28. UNMSM AB FG F 1.786F .............................(5) = FG FG FG AB 3.572F F 100 F 21.87 kN F 39.065 kN + = = = Las relaciones (3) y (4) igualar según la relación (2) se tiene: Ejemplo 2 Reemplazar en (1):
- 29. UNMSM AB AB CD 2 AB FG FG 2 FG F 39.065 kN 79.58 MPa A x0.025 4 F 21.87 kN 30.94 MPa A x0.03 4 s s p s p = = = = = = = Esfuerzos: Ejemplo 2
- 30. UNMSM Una barra de acero de 30 mm de diámetro se inserta en el interior de tubo de bronce de 50 mm de diámetro exterior y 40 mm de diámetro interior y se fijan a una barra rígida según se muestra en la figura, en el extremo inferior se mantienen unidas ambos elementos mediante una placa. Determine las tensiones en ambos materiales al aplicar la carga P=45 kN, para L=150 mm L P Acero E= 200 GPa Bronce E= 105 GPa, Ejemplo 4
- 32. UNMSM Deformación L P ( ) ( ) ac br ac br F F P 0 ............. 1 L L ................. 2 + - = D = D ( ) ( ) ac ac br br ac ac br br 2 ac ac br br br br ac 2 2 ac br br ac F L F L A E A E 0.03 x200 A E F L F L 4 F .. 3 L A E L 0.05 0.04 105 4 p p = æ öæ ö ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç æ öæ ö ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ = = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ è øè ø ç ç ÷ ÷ - ÷ ÷ ç ç è øè ø Ejemplo 4
- 33. UNMSM Deformación L P ( ) ( ) 2 br br ac br 2 2 ac 0.03 x200 F L 4 F 1.905F .. 4 L 0.05 0.04 105 4 p p æ öæ ö ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç = = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ - ÷ ÷ ç ç è øè ø Desarrollando la relación (3), luego reemplazando en (1) ( ) br br br br 1.905F F 45 2.905F 45 F 15.50 kN Fac 29.60 kN ............. 5 + = = = = Ejemplo 4
- 34. UNMSM Deformación L P Luego las tensiones para bronce y acero son ( ) ac ac 2 ac br br 2 2 br F 29.50 41.74 MPa A 0.03 4 F 15.50 21.93 MPa A 0.05 0.04 4 s p s p = = = = = = - Ejemplo 4
- 35. UNMSM La barra rígida ABC está sostenida por varillas en A (E=105 GPa, =20x10-6 /°C, A=1500 mm2 y L1=1,4 m) y en C con (E=200 GPa, =11,7x10-6 /°C, A=1500 mm2 y L2=0,8 m), en B por pasador. Inicialmente, la barra es horizontal y las varillas verticales están libres de tensiones. Determine la tensión en cada varilla cuando la temperatura de la varilla C disminuye en 40 ° C. Desprecie el peso de la barra ABC L1 L2 Ejemplo 3
- 36. UNMSM DCL EQUILIBRIO B A C A C M =0 800F 400F F 0,5F ...................(1) S = Þ = Ejemplo 3
- 37. UNMSM DEFORMACION ( ) T -6 T C = L T 11,7x10 (800)( 40) C 0.37 mm a D D = - D = - A c =- A 2 C .......(2) 800 400 D D Þ D = - D La varilla en C estará en contracción Ejemplo 3
- 38. UNMSM COMPATIBILIDAD A T C A C 6 6 A C F.L FL 0 2 C E.A E.A 1400F 800 0,74 2F 105x1500x10 200x1500x10 8888,9F 2666,7F 0,74...........................................(3) - - æ ö é ù æ ö æ ö ÷ ç ÷ ÷ ç ç ê ú ÷ + = - - D + ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ê ú ç è ø è ø è ø ë û æ ö ÷ ç = - ÷ ç ÷ ç è ø + = En (2) T A C F.L FL C E.A E.A æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç = - D + ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø Ejemplo 3
- 39. UNMSM COMPATIBILIDAD ( ) C C C 8888,9 0,5F 2666,7F 0,74 F 104 kN + = = A 6 C C 6 F 52 34,7 MPa A 1500x10 F 104 69.33 MPa A 1500x10 s s - - = = = = = = (3) en (1) FA=52 kN Ejemplo 3
- 40. En el extremo libre D de La barra rígida ABCD se aplica la carga P de 60 kN, el apoyo en A es pasador, ademas es sostenida por las varillas BE y CF de acero de 10 mm de diámetro, el ensamble se realiza a la temperatura de 23 °C. Determine los esfuerzos y las deformaciones de las varillas y el desplazamiento del punto D cuando la temperatura se eleva a 75 °C, (Eac=200 GPa, αac=12*10-6 /°C. 40 cm 55 cm 32 cm 60 cm 75 cm A E B D C F P Ejemplo 5
- 41. Ax FBE D P Ay FCF 0 0.75 1.35 1.67 60 0............... 1 A BE CF M F F x 1.67 60 1.35 0.75 133.6 1.8 .....................(2) CF BE BE CF x F F F F Ejemplo 4
- 42. 0.75 1.35 1.67 CF BE D 0.75 ..........(3) 1.35 BE CF x Según el arreglo, la magnitud de la deformación de las barras son proporcionales CF BE A D B D’ C’ D C B’ Ejemplo 4
- 43. Solución Ax FBE D P Ay FCF ..........(4) BE BE BE FL TL EA ...........(5) CF CF CF FL TL EA Igualando las relaciones 4 con 5 y reemplazando en (3) Las deformaciones de las varillas por la carga aplicada y el cambio térmico son: 0.75 ............. 6 1.35 BE CF BE CF FL FL TL TL EA EA Ejemplo 4
- 44. Resolviendo la relación 6 6 3 6 6 3 6 0.4 11.7 10 75 23 0.4 10 10 200 10 4 0.55 11.7 10 75 23 0.55 10 10 200 10 4 BE CF F x x x F x x x De la relacion 2 reemplazando el valor de FBE en 7 5 4 5 4 2.54 10 2.43 10 3.50 10 3.35 10 ............. 7 BE CF x F x x F x 5 4 5 4 2.54 10 133.6 1.8 2.43 10 3.50 10 3.35 10 ..... 8 CF CF x x F x x F x 133.6 1.8 40.94 59.89 BE F kN 40.94 CF F kN Ejemplo 4
- 45. Las tensiones son: 2 2 5 2 0.01 7.84 10 4 4 F A d A x m 5 5 40.94 521 7.84 10 59.89 763 7.84 10 BE BE CF CF F MPa A x F MPa A x Ejemplo 4
- 46. Las deformaciones y desplazamiento son: 1.35 1.35 1.76 3.18 0.75 0.75 CF BE x mm 6 6 6 5 40.94 10 0.4 11.7 10 52 0.4 1.76 200 10 7.84 10 BE x x x x x mm x x x 1.67 1.67 1.76 3.94 0.75 0.75 D BE x mm Desplazamiento del punto: Ejemplo 4
- 47. Ejemplo 9 Una barra AB de aluminio está unida a otra barra de acero en la brida rígida B. Inicialmente ambas barras están libres de tensión cuando están conectados a la brida a una temperatura de 20 °C. La barra de aluminio tiene un área de sección transversal de 200 mm2, módulo de elasticidad E = 70 GPa. El acero de área 450 mm2. Determine las tensiones normales en las barras y el desplazamiento de la brida B cuando la temperatura sube a 75 °C. 30 cm 15 cm A C B UNMSM
- 48. 0 0 Fx Fac Fal Fac Fal Sean, Fac, Fal, δ1 y δ2 las fuerzas y deformaciones en el acero y aluminio respectivamente …….(1) UNMSM
- 49. Sean, Fac, Fal, δ1 y δ2 las fuerzas y deformaciones en el acero y aluminio respectivamente 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 ..........(2) 2 ..........(3) F L T L E A F L T L E A Igualando la ecuación 2 con 3 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 ..........(4) F L F L T L T L E A E A UNMSM
- 50. Ecuación de compatibilidad Resolver para F1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 L L F T L L A E A E 6 6 6 2 9 2 6 2 9 2 23.6 10 0.3 11.7 10 0.15 1 75 20 0.3 0.15 200 10 70 10 / 450 10 200 10 / x x F x m x N m x m x N m UNMSM
- 51. Ecuación de compatibilidad Resolver para F1 1 21,147.216 2 21,147.216 F N F N UNMSM
- 52. donde UA y UB son las desviaciones de los puntos A y B en la dirección + x. Los puntos donde los miembros axiales están conectados se llaman juntas. En esta estructura, A, B y C son articulaciones. En general, encontramos desviaciones en las articulaciones y alargamientos o contracciones de los miembros axiales. Como la unión A es un soporte, se conoce la desviación en A (UA = 0). Por lo tanto 30 cm 15 cm A C B UNMSM
- 54. Una varilla de acero de 20 mm de diámetro se sujeta firmemente en A en un pasador de 12 mm de diámetro que está a tensión de 68 MPa y en B en pared rígida como se muestra en la figura (E= 200 GPa, α =11.7×10-6/ °C). Calcule la caída de temperatura ΔT y el esfuerzo en la barra AB. A B Ejemplo 5 FAB- 2V=0 FAB=30.76 kN
- 55. El perno está en doble cizallamiento, el área sometida a esfuerzo cortante es dos veces el área de la sección transversal del perno de 15 mm de diámetro. 2 3 2 4 12 10 2 2 2.26 10 4 4 per per V A x d A x 4 . 68 2.26 10 15.38 V F A x x kN Ejemplo 5
- 56. El perno está en doble cizallamiento, el área sometida a esfuerzo cortante es dos veces el área de la sección transversal del perno de 15 mm de diámetro. 2 2 4 30,76 97.91 0.02 4 F F x MPa d A 4 . 68 2.26 10 15.38 V F A x x kN Ejemplo 5
- 57. 0 Fl Tl EA La deformación debe ser igual a cero. Es decir, δ = 0. 6 6 4 15.38 29.08 10 12.0 10 / C 2.26 10 200 1 F kN T C AE kPa x GPa GPa Después de que la temperatura del conjunto ha disminuido en 29.08 ° C, se induce una fuerza de tensión de F = 15.38 N (C) en la barra de acero. Esta fuerza, a su vez, tira del perno de 15 mm de diámetro, creando un esfuerzo cortante de 68 MPa en el perno. Ejemplo 5