29 Pp Ejercicios Resueltos De Integrales(1)

TABLA DE INTEGRALES

INTRO. LA INTEGRAL DEFINIDA

En los dos temas anteriores se ha hecho el estudio de las primitivas
de una función, descubriendo distintos procedimientos para el
cálculo de primitivas, es decir, se han encontrado las integrales
indefinidas de funciones sencillas. Sin embargo no quedan claros ni
su significado ni su utilidad. Éstos son los objetivos de este tema,
para lo cual se dará la interpretación que Riemann, matemático
alemán, dio a conocer en el siglo XIX.

El cálculo de áreas de figuras como el cuadrado, el rectángulo, el rombo,
etc., además de sencillo tiene un claro significado: el área de una figura
es un número que coincide con el de cuadrados de lado unidad que
recubren exactamente la figura. Se puede cuestionar entonces si
cualquier figura tiene área y cómo se calcula.

Para responder a esta cuestión se puede empezar por tomar una función
muy sencilla, por ejemplo f(x) = x, dibujarla en un sistema de ejes
cartesianos y tratar de calcular el área de la superficie limitada por la
función, el eje de abscisas y la ordenada correspondiente a la abscisa x
= 1.

Evidentemente, la superficie es un triángulo rectángulo de base 1 y altura
también la unidad, por tanto su área es 1/2.

Es claro que este problema carece de toda dificultad. No obstante, se
puede aprovechar su simplicidad para intentar obtener algo útil en otros
casos menos sencillos.

Si se divide el intervalo [0,1] en, por ejemplo, cuatro intervalos de igual
longitud: [0, 1/4], [1/4, 2/4], [2/4, 3/4], [3/4, 4/4], y se trazan rectángulos
como se observa en la figura, la suma de las áreas de los rectángulos
rayados es menor que el área del triángulo; mientras que la suma de las
áreas de los rectángulos punteados, exceden al área del triángulo.

Calculando estas áreas se obtiene:

Al área por defecto, 0,375, le falta mucho para llegar a 0,5; y el área por
exceso, 0,625, se encuentra considerablemente lejos de 0,5.

Ahora bien, si se divide en muchas más partes el intervalo [0, 1],
parece lógico que las diferencias que han resultado en el caso anterior,
tenderán a disminuir. Si se divide ahora el intervalo [0, 1] en n intervalos
de longitud 1/n, la superficie que se «desperdicia» es menor, si n > 4.

Área por defecto :

Área por exceso:

Como los numeradores son progresiones aritméticas, el resultado es:

Además,

Todo ello pone de manifiesto que al dividir el intervalo [0, 1] en un
número infinitamente grande de intervalos iguales, el área por defecto
coincide con el área por exceso y ambas con el área del recinto que se
está calculando.

Partición de un intervalo [a, b]
Una partición del intervalo [a, b] es una colección de intervalos
contenidos en [a, b], disjuntos dos a dos (sin ningún punto en común) y
cuya unión es [a,b]. La partición de un intervalo queda determinada por
los extremos de los nuevos intervalos, y por esto, la partición se suele
expresar nombrando dichos extremos. En la figura, la partición de
[a, b] es:

Estos extremos se suelen escribir en orden creciente,

a = x0 < x1 < x2 < x3 < x4 < x5 = b

• Ejemplo de partición

Función escalonada
Sea f una función definida en un intervalo [a, b ] y tomando valores en

R, f:[a,b] → R;f es una función escalonada cuando existe una partición
del intervalo [a, b] de modo que f toma valores constantes en el interior
de cada uno de los intervalos de la partición.

• Ejemplos de funciones escalonadas

1. La función f: [-3, 4] → R definida por:

La partición asociada a f(x) es P = {-3, 2, 4} y en cada intervalo la
función es constante.

Obsérvese que para cada función escalonada existe una infinidad de
particiones asociadas. Por ejemplo, {-3, -2,0, 2, 3, 4} es otra partición
asociada a f, ya que la función toma valores constantes en cada intervalo
de la partición.

2. El ejemplo más representativo de función escalonada es la función
parte

La imagen de un número cualquiera mediante E[x] es el mayor número
entero que es menor o igual que el número del que se parte.

Así,
E [3,105] = 3
E [5] = 5
E [-3,001] = -4
E [-1,5401] = -2
E [7,32] = 7
E [-1,52] = -2

De una función escalonada sólo van a interesar los valores que toma
en el interior de cada intervalo que compone la partición, no
considerando el valor que toma en los extremos.

INTEG. DEF. DE FUNC. ESCALONADA

Sea f una función escalonada definida en [a, b], y P = {a = x 0, x1, x2, ...,
xn = b} una partición de [a, b]. Si m i es el valor que toma la función f en
el intervalo (xi-1, xi) (es decir, si x ∈ (xi-1, xi), f(x) = m i ), se llama
integral de la función f en [a, b] al número

m 1(x1 - x0) + m 2(x2 - x1) + m 3(x3 - x2) + ... + m n(x n - xn-1)

Este número se simboliza por:

A los números a y b se les llama límites de integración, y la anterior
expresión se lee «integral, entre a y b, de f(x) diferencial de x».

Propiedades de la integral definida de una función escalonada
• La integral definida de una función escalonada no depende de la
partición elegida.
Esto significa que si se consideran dos particiones P y P' de una función

• Si los límites de integración, en una integral definida de una función
escalonada, coinciden, entonces

• Si en una integral definida se intercambian los límites de integración, el
valor de la i ntegral cambia de signo:

Ejercicio: cálculo de integrales definidas de funciones escalonadas
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Resolución:

• Se toma la partición asociada P = {-3, -1, 2, 4}

Resolución:

• Se toma, por ejemplo, la partición P = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}

• Por definición,

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INTEGRAL DE RIEMANN

Ahora se va a definir la integral de una función cualquiera definida en
un intervalo
[a, b] con la única condición de que esté acotada, es decir, que exista un
número M > 0, de forma que la función, en el intervalo [a, b], siempre
tome valores entre -M y M.

Volviendo al ejemplo introductorio del tema, f(x) = x, es necesario
recordar que para el cálculo del área de un triángulo se tomaron
funciones escalonadas g(x) cumpliendo g(x) ≤ f(x) para cualquier x ∈ [a,
b] y otras funciones escalonadas h(x) tales que f(x) ≤ h(x) si x ∈ [a, b]. De
todo ello resultaba que:

En general, para una función f(x) acotada, se toman todas las
funciones escalonadas g(x) por defecto, y todas las funciones
escalonadas por exceso, es decir, g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) cuando x ∈ [a, b]. En
estas condiciones, si existe un único número I que cumpla

para cualesquiera g(x) y h(x) escalonadas, que cumplan g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)
si
x ∈ [a, b], al número I se le llama integral de f(x) entre a y b.

y se lee «integral, desde a hasta b, o entre a y b, de f(x),diferencial de x.

Significado de la integral definida de una función

• Si una función positiva f(x), definida en un intervalo [a,b], es integrable
(existe su

po
r la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b.

• Si la función y = f(x) fuese negativa en el intervalo [a, b], la gráfica de la
función quedaría por debajo del eje de abscisas.

En este caso, al tomar funciones escalonadas por exceso y por
defecto, sus integrales correspondientes serían negativas, y puesto que

el
área de la región que determina una función negativa es:

Este hecho no debería llamar la atención si se tiene presente cómo está
definida la integral de una función escalonada: la suma de las áreas de
los rectángulos que determina con el eje de abscisas, si la función
escalonada es positiva y la suma de las áreas de los rectángulos que
determina con el eje de abscisas con signo menos, si la función
escalonada es negativa.

• Finalmente, si la gráfica de una función queda parte por encima, y
parte por debajo del eje de abscisas, la integral se descompondrá en
varios sumandos cuando se quiera calcular el área de la región que
delimita con el eje de abscisas en el intervalo [a, b].

En la figura adjunta, se ve claramente que:

La definición de integral de Riemann poco ayuda a su cálculo, pues es
imposible encontrar todas las funciones escalonadas por defecto y por
exceso de otra función dada. Hay, no obstante, criterios que son mucho
más útiles de cara a decidir si una función acotada es integrable o no.
Uno de ellos se obtiene con el siguiente teorema, cuya demostración se
omite por escapar de los objetivos de este libro.

Teorema
Toda función continua en un intervalo es integrable en dicho intervalo.

Si y = f(x) es una función continua definida en un intervalo [a, b ],

entonces f(x) es
Con este teorema resulta evidente la integrabilidad de funciones como
sen x, cos x, de cualquier función polinómica y, en general, de cualquier
función continua.

Aún así, todavía no hay nada que permita calcular de una manera rápida
la integral de una función f(x) definida en un intervalo [a, b].

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Sea una función y = f(x) integrable en el intervalo [a, b], por tanto, tiene

sentido y existe

A partir de f(x) se define una nueva función G de la siguiente forma:

Obsérvese que se ha llamado t a la variable de la función G para no
confundirla con la variable x de la función f.

En estas condiciones, si t0 ∈ [a, b] es un punto en el que la función f es
continua, la función G es derivable en t0 y el valor de la derivada en t0
es G'(t0) = f(t0). Es decir, la derivada de la función G en un punto

coincide con el valor de f en ese mismo punto, o lo que es lo mismo, si la
función f es continua, la función G es una primitiva de la función f.

El teorema fundamental del cálculo pone todo a punto para encontrar un
método que permita resolver las integrales definidas de un modo
sencillo. Basta, para ello, con utilizar la importante consecuencia que de
él se deriva y que se conoce como Regla de Barrow.

Regla de Barrow
Si y = f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y F(x) una
función definida en [a,b], derivable y primitiva de f(x), es decir, F'(x) = f(x)
para cualquier x ∈ (a, b), entonces

Este resultado es conocido, frecuentemente, por «segunda parte del
teorema fundamental del cálculo». Es obligado hacer notar que, para
resolver una integral definida de una función continua, basta con
encontrar una primitiva de la función, sustituir en ella los límites de
integración superior e inferior respectivamente y restar ambos valores.

Claro es que, aunque la regla de Barrow dé un método para el cálculo de
integrales definidas, no siempre es fácil encontrar las primitivas de una
función.

Conviene observar también que como F(b) - F(a) es un número, es decir,
no depende de la variable x, y que si F(x) es una primitiva de f(x), F(t) es
una primitiva de f(t), f(u) es una primitiva de f(u), etc., todas las
expresiones siguientes tienen el mismo significado:

Ejercicio: cálculo de áreas
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• Calcular el área encerrada por la curva y = x2, el eje de abscisas y las
rectas
x = 1 y x = 2.

Resolución:

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Dos propiedades fundamentales de la integral definida
Las dos propiedades fundamentales del cálculo de primitivas siguen
siendo válidas en el cálculo de integrales definidas:

1. Si K es un número real cualquiera,

APLICACIONES DE LA INTEGRAL

Cálculo del área de la superficie que determinan dos curvas al
cortarse

Si en un intervalo (a, b) dos funciones f(x) y g(x) cumplen que f(x) ≥
g(x), entonces

representa el área de la superficie que encierran las dos curvas.

En la figura, se ha llamado A, B, C y D a las áreas de las cuatro regiones
que dos curvas f(x) y g(x) determinan con el eje de abscisas. Teniendo
en cuenta que C es el área de una zona situada por debajo del eje X:

Para calcular el área encerrada por dos curvas se han de seguir,
primeramente, estos pasos:

• Se trazan las curvas.

• Se señalan los puntos en los que se cortan las curvas.

• Se determina la zona de la que hay que calcular el área.

• Dependiendo de los resultados que se obtengan en los tres puntos
anteriores, se procede a calcular las áreas de distintas zonas, entre los
límites de integración apropiados.Así, por ejemplo, en la figura anterior la
zona encerrada entre las dos curvas es B + C.
Para calcular su área se procede así:

Para obtener el área de la zona B + C hay que restar las áreas de A y D
y sumar el área de C.

(En C se pone el signo - delante porque al estar g(x) entre c y d por
debajo del eje X su integral sería negativa.) Por tanto:

Ejercicio: cálculo de áreas
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• Hallar el área de la superficie que determinan las curvas f(x) = 4x - x2
y g(x) = x.

Resolución:

1. Trazado de las curvas:

2. Puntos de corte de las dos curvas:

3. La zona de la que hay que calcular el área es la zona coloreada. Si se
llama A al área de la parábola entre x = 0 y x = 3 B al área del triángulo
que determinan la recta
y = x, el eje de abscisas y la recta x = 3 y S el área que se quiere
calcular, es evidente que

S=A-B

El área también se podría haber calculado así:

‚ Calcular el área de la superficie que encierran las curvas f(x) = 6x - x2
y
g(x) = x2 - 2x.

Resolución:

1. Trazado de las curvas:

• Máximos y mínimos de f(x):

• Máximos de mínimos de g(x):

2. Puntos de corte de f(x) y g(x):

Puntos (0, 0) y (4,8)

3. Se ha de calcular el área de la zona rayada.
Puesto que en el intervalo (0, 4) f(x) > g(x), el área pedida es:

ƒ Calcular el área del círculo de radio r .

Resolución:

• Para simplificar se supondrá la ecuación de la circunferencia de centro
(0, 0) y radio r:

• Para más comodidad, y sin que ello afecte a la solución del problema,
se calculará el área del cuarto de círculo situado en el primer cuadrante.
El área total será cuatro veces el área anterior. Por otro lado, la ecuación
del cuarto de circumferencia en el primer cuadrante es y = pues la
ordenanza es positiva en el primer cuadrante. De todo lo dicho se
deduce que el área del círculo es:

• Para resolver esta integral se hace el cambio de variable
x = r sen t dx = r · cos t
Los nuevos límites de integración se obtienen como sigue:

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Volúmenes de sólidos
• Sea un sólido cualquiera en el espacio de volumen V, e imagínese
una recta L con un punto de referencia O que corte longitudinalmente al
sólido. Se supone, por último, que el sólido está completamente
contenido entre dos puntos de la recta que distan, respectivamente, a y b
unidades de longitud del punto O.

• Elegido un punto cualquiera x del intervalo [a, b], se hace pasar un
plano perpendicular a la recta L por el p unto x. Se llamará V(x) al
volumen de la parte del sólido comprendido entre a y x; y A(x) al área de
la sección que produce el plano en el sólido. En estas condiciones, es
claro que V(a) = 0 y V(b) = V.

• Tomado otro punto de L, x + h, muy próximo a x, V(x + h ) - V(x) es el
volumen de un cilindro de base A(x) y altura h, y por consiguiente su
volumen es A(x) · h.

Se debe observar, de una manera intuitiva, que la función A(x) es
continua, puesto que al tomar h infinitamente pequeño, x + h está
infinitamente próximo a x y, por consiguiente, A(x + h) es prácticamente
igual a A(x). Es por esto por lo que en el «cilindro» de bases A(x) y A(x +
h) se consideró que ambas eran iguales.

Es decir, V(x + h) - V(x) = A(x) · h

Dividiendo entre h,

En definitiva, V'(x) = A(x) y puesto que V(b) = V y V(a) = 0, V = V(b) -
V(a), y por el teorema fundamental del cálculo,

Esta fórmula permite calcular el volumen de cualquier sólido siempre que
se pueda determinar, en cada punto, el área de la sección que produce
un plano perpendicular que pasa por ese punto. El plano es
perpendicular a una recta elegida que atraviese el sólido.

Ejercicio: cálculo de volúmenes
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• Calcular el volumen de un cilindro de radio r y altura h.

Resolución:

• Si el radio de la base es r y la altura h, se elige como recta L la que
coincide con el eje del cilindro, y como punto de referencia O el centro de
una de las bases.

• Al cortar el cilindro por un plano perpendicular a la recta L por cualquier
punto x, el área de la sección producida es un círculo de radio r . Por
tanto, A(x) = πr 2.

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Volúmenes de cuerpos de revolución
Dada una función continua y = f(x), positiva, definida en un intervalo
[a, b], al hacer girar la gráfica de la función alrededor del eje de abscisas,
genera un cuerpo en el espacio llamado de revolución.

Al cortar por un plano perpendicular al eje de abscisas por un punto x, la
sección que aparece es un círculo de radio f(x), por lo que su área es:

Según lo estudiado en el apartado anterior, el volumen del cuerpo es:

Ejercicio: cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

• Calcular el volumen de una esfera de radio r.

Resolución:

• Al hacer girar un cuarto de circunferencia, de centro el origen de
cordenadas y radio r, alrededor del eje de abscisas, se genera una

semiesfera. El volumen de la esfera será el doble del volumen de la
semiesfera.

• La ecuación de la circunferencia es x2 + y2 = r2. Despejando y2:

y2 = r2 - x2, [f(x)]2 = y2 = r2 - x2

• El volumen de la esfera es entonces:

‚ Calcular el volumen de un cono recto de altura h y radio de la base r.

Resolución:

• Si en un sistema de ejes cartesianos se dibuja un triángulo de vértices
(0, 0),
(h, 0) y (h, r ), al hacer girar sobre el eje OX la recta determinada por (0,
0) y (h, r ), se genera un cono de altura h y radio de la base r .

• La ecuación de la recta que pasa por (0, 0) y (h, r ) es

• El volumen del cono es entonces:

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