Maximos y minimos funcion de varias variables

FACULTAD:
INGENIERÍA
ESCUELA:
INGENIERÍA DE COMPUTACIÓN Y SISTEMAS
TEMA
APLICACIONES DE LA DERIVADA: MÁXIMOS Y
MÍNIMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
INTEGRANTES:
 CABALLERO CRUZ, IVONNE
 CÁRDENAS GONZÁLEZ, RAQUEL
 CORNEJO URBINA, ESTRELLITA
 GALLARDO GABRIEL, FLAVIO
 LÓPEZ DOMINGUEZ, DONATILA
 QUILICHE ZELADA, LUIS
 SEVILLANO TALAVERA, RENATO
 TIRADO CUENCA, HENRRY
DOCENTE:
 GARCIA POLANCO, LUIS
TRUJILLO-PERÚ
2015

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
II
DEDICATORIA
A nuestros padres, quienes alo largo de nuestravida
Velan por nuestro bienestar y educación
siendo nuestro apoyo en todo momento.
Ellos depositan toda su confianza
en cada reto que se nos presenta
sin dudar ni un solo momento
de nuestracapacidad.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
III
AGRADECIMIENTO
A nuestra Alma Mater Universidad Privada
Antenor Orrego y a nuestro docente
García Polanco, Luis por la enorme
paciencia al enseñarnos durante
todo el ciclo y guiarnos
en nuestro trabajo.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
IV
PRESENTACIÓN
El presente trabajo se ha realizado con el motivo de brindar información sobre
LAS APLICACIONES DE LA DERIVADAS en lo que respecta a MAXIMOSY
MINIMOS RELATIVOS ya que en nuestra carrera es esencial la matemática y muchos
alumnos no sabemos cómo realizar los ejercicios ni que teoremas aplicar o escoger que
método es el más apropiado para resolver los
Deseosos de superarnos académicamente y con la finalidad de lograr el objetivo
trazado de dar a conocer las diferentes definiciones, teoremas para así lograr que los
que tengan acceso a este material entiendan cómo se resuelve cada ejercicio y que
método es el más apropiado y fácil.
Los autores

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
V
ÍNDICE
DEDICATORIA ................................................................................................................. II
AGRADECIMIENTO........................................................................................................ III
PRESENTACIÓN.............................................................................................................. IV
INTRODUCCIÓN ...............................................................................................................6
MÁXIMOS YMÍNIMOS DEFUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.................................................................7
1. DEFINICIÓN.-.........................................................................................................7
2. DEFINICIÓN.-.........................................................................................................7
3. DEFINICIÓN.-.........................................................................................................7
4. DEFINICIÓN.-.........................................................................................................7
TEOREMA......................................................................................................................8
DEMOSTRACIÓN ..........................................................................................................8
PUNTOS CRÍTICOS......................................................................................................10
 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA........................................................10
MATRIZ HESSIANA DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES ..............................11
1. HISTORIA .............................................................................................................11
2. SIGNIFICADO DE CADA ELEMENTO DE LA MATRIZ HESSIANA ...................12
3. ENCONTRAR MÁXIMOS Y MÍNIMOS UTILIZANDO MATRICES HESSIANAS.13
4. DEFINICIÓN.-.......................................................................................................13
5. DEFINICIÓN.-.......................................................................................................14
6. DEFINICIÓN.-.......................................................................................................15
7. CRITERIO DE LA MATRIZ HESSIANA PARA LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS.....16
MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE..............................................18
1. HISTORIA .............................................................................................................18
2. DEFINICIÓN.-.......................................................................................................18
CONDICIONES DE KUHN – TUCKER.............................................................................24
1. HISTORIA .............................................................................................................24
2. DEFINICIÓN.-.......................................................................................................24
CONCEPTOS CLAVE.................................................................................................................27
ANEXOS ..........................................................................................................................29

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
6
INTRODUCCIÓN
Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de
hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo
diferencial es posible encontrar respuestas a estos problemas, que de otro modo parecían
imposibles su solución, por lo tanto en este apartado hablaremos sobre los valores
máximos y mínimos de una función de varias variables. En numerosas ocasiones
encontraremos fenómenos que dependen del valor de una sola variable (el tamaño de un
potro que varía solamente con respecto al tiempo transcurrido). Sin embargo, podremos
también enfrentarnos a situaciones en las que han de considerarse dos o más variables
Para encontrar máximos, mínimos y puntos de silla en funciones de varias variables
existen muchos métodos donde se dará a conocer de manera detallada el discriminante,
hessiano o matriz hessiana, Método de los Multiplicadores de LaGrange y una breve
reseña histórica y biográfica acerca del creador o inventor de las matrices hessianas y el
método de Método LaGrange también se detallara como encontrar máximos y mínimos
utilizando matrices hessianas ,el significado de los elementos de esta .Luego se presenta
cada paso de cómo resolver funciones de dos o más variables, haciendo uso de la
matriz hessiana, se expone ejemplos de aplicación para dicha teoría. Finalmente además
se adiciona el método de Kuhn – Tucker se expone ejemplos para la aplicación de dicho
método.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
7
MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Existen varias definiciones a continuación presentamos las más importantes
1. DEFINICIÓN.- La función 𝑓: 𝐷 𝑅2
→ 𝑅 definida en un conjunto abierto,
𝐷 𝑅2
tiene un valor máximo absoluto sobre el conjunto si existe un punto
𝑃( 𝑥0 , 𝑦0) ∈ 𝐷 tal que 𝑓( 𝑥0 , 𝑦0) ≤ 𝑓( 𝑥0 , 𝑦0), ( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 en este caso
𝑓( 𝑥0 , 𝑦0) Es el valor máximo absoluto de 𝑓 𝑒𝑛 𝐷.
2. DEFINICIÓN.- La función 𝑓: 𝐷 𝑅2
→ 𝑅 la definida en un conjunto abierto
𝐷 𝑅2
tiene un mínimo absoluto sobre el conjunto 𝐷 𝑅2
si existe un punto
𝑃( 𝑥0 , 𝑦0) ∈ 𝐷 tal que 𝑓( 𝑥0 , 𝑦0) ≤ 𝑓( 𝑥0 , 𝑦0), ( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷 en este caso
𝑓( 𝑥0 , 𝑦0) es el valor mínimo absoluto de 𝑓 𝑒𝑛 𝐷.
3. DEFINICIÓN.- La función 𝑓: 𝐷 𝑅 𝑛
→ 𝑅 definida en un conjunto abierto
𝐷 𝑅 𝑛
tiene un valor mínimo relativo en el punto 𝑥⃗0 ∈ 𝐷 si existe una bola
abierta 𝐵 (𝑥⃗0, 𝜀) 𝐷 tal que 𝑓( 𝑥⃗0) ≤ 𝑓( 𝑥⃗),∀ 𝑥⃗ ∈ 𝐵 (𝑥⃗0, 𝜀) 𝐷.
4. DEFINICIÓN.- La función 𝑓: 𝐷 𝑅 𝑛
→ 𝑅 definida en un conjunto abierto
𝐷 𝑅 𝑛
tiene un valor máximo relativo en el punto 𝑥⃗0 ∈ 𝐷 si existe una bola
abierta 𝐵 (𝑥⃗0, 𝜀) 𝐷, tal que 𝑓( 𝑥⃗) ≤ 𝑓( 𝑥⃗0),∀ 𝑥⃗ ∈ 𝐵 ( 𝑥⃗0, 𝜀) 𝐷.
OBSERVACIÓN Si la función 𝑓: 𝐷 𝑅2
→ 𝑅 es continua en un conjunto cerrado
𝐷 𝑅2
entonces existe al menos un punto donde tiene un valor máximo absoluto y al menos
un punto 𝑄 ∈ 𝐷 donde tiene un mínimo valor absoluto.
OBSERVACIÓN A los máximos y mínimos relativos de la función 𝑓: 𝐷 𝑅 𝑛
→ 𝑅 le
llamaremos extremos de la función 𝑓

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
8
TEOREMA
DEMOSTRACIÓN
Si la función 𝑓 tiene un valor máximo relativo 𝐵 (𝑥⃗0, 𝜀) 𝐷 en entonces tal que
𝑓( 𝑥⃗) ≤ 𝑓( 𝑥⃗0),∀ 𝑥⃗ ∈ 𝐵 ( 𝑥⃗0, 𝜀) 𝐷 luego lim
ℎ→0
𝑓(𝑥⃗+ℎ 𝜇⃗⃗⃗ 𝑘) −𝑓( 𝑥⃗)
ℎ
≤ 0 donde 𝜇⃗ 𝑘
= (0,0,…, 1,0…) esto es debido a que , para cada (𝑥⃗ + ℎ𝜇⃗ 𝑘) ∈ 𝐵 (𝑥⃗0, 𝜀)
se tiene 𝑓(𝑥⃗ + ℎ𝜇⃗ 𝑘) ≤ 𝑓( 𝑥⃗0) esto nos implica que ℎ > 0 se tiene que
𝑓(𝑥⃗+ℎ𝜇⃗⃗⃗ 𝑘) −𝑓( 𝑥⃗)
ℎ
≤ 0 ahora si ℎ < 0, entonces lim
ℎ→0
𝑓(𝑥⃗+ℎ𝜇⃗⃗⃗ 𝑘) −𝑓( 𝑥⃗)
ℎ
≥ 0 ,
como 𝐷 𝑘 𝑓(𝑥⃗0) existe se tiene que: 𝐷 𝑘 𝑓( 𝑥⃗0) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥⃗+ℎ𝜇⃗⃗⃗ 𝑘) −𝑓( 𝑥⃗)
ℎ
=
lim
ℎ→0
𝑓(𝑥⃗+ℎ𝜇⃗⃗⃗ 𝑘) −𝑓( 𝑥⃗)
ℎ
= 0 donde 𝐷 𝑘 𝑓( 𝑥⃗0) = 0 por lo tanto, los valores extremos de una
función 𝑓: 𝐷 𝑅 𝑛
→ 𝑅 defina en el conjunto abierto 𝐷 puede ocurrir en puntos
donde la primeras derivadas de f son ceros.
5. DEFINICIÓN.- Sea la función 𝑓: 𝐷 𝑅 𝑛
→ 𝑅 definida en un conjunto de
abierto 𝐷 𝑅 𝑛
. Los puntos 𝑥⃗0 𝐷 donde todas las derivadas parciales de primer orden de f
son ceros o no existen, se llaman puntos estacionarios o puntos críticos de 𝑓
EJEMPLO.- Hallar los puntos críticos o estacionarios de la función
𝑓 ( 𝑥, 𝑦) = 𝑥2
𝑦2
− 5𝑥2
− 8𝑥𝑦 − 5𝑦2
SOLUCIÓN
{
𝜕𝑓( 𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
= 0
𝜕𝑓( 𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
= 0
, para calcular los puntos críticos o estacionarios
{
𝜕𝑓( 𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
= 2𝑥𝑦2
− 10𝑥 − 8𝑦 = 0 … (1)
𝜕𝑓( 𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
= 2𝑥2
𝑦 − 8𝑥 − 10𝑦 = 0… (2)
Si la función 𝑓: 𝐷 𝑅 𝑛 → 𝑅 definida en conjunto abierto 𝐷 𝑅 𝑛 tiene un valor
extremo 𝑥⃗0 ∈ 𝐷 𝑦 𝐷𝑘 𝑓(𝑥⃗0) y existe entonces 𝐷 𝑘 𝑓( 𝑥⃗0) = 0,∀𝑘 = 1,2, 3, … , 𝑛

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
9
De la ecuación (1) despejamos 𝑥 =
8𝑦
2𝑦2 −10
=
4𝑦
𝑦2 −5
ahora reemplazamos en (2)
2𝑦(
4𝑦
𝑦2−5
)2
− 8(
4𝑦
𝑦2−5
)-10y=0, simplificando 𝑦( 𝑦4
− 10𝑦2
+ 9) = 0 entonces:
𝑦( 𝑦2
− 9)( 𝑦2
− 1) = 0, de donde 𝑦 = 0, 𝑦 = ±1, 𝑦 = ±3
Para 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, (0,0);para 𝑦 = 1, 𝑥 = −1, (−1, 1)
𝑦 = 1, 𝑥 = −1,(−1, 1), 𝑦 = −3, 𝑥 = −3, (−3,−3)
𝑦 = 3, 𝑥 = 3, (3,3)
Los puntos críticos son (0,0), (-1,1), (1,-1), (-3,-3), (3,3)
OBSERVACIÓN.- La condición necesaria para que una función tenga extremo relativo
en un punto, donde sus derivadas parciales existen, es que este punto sea un punto
estacionario o crítico, sin embargo esta condición no es suficiente, por ejemplo, la
función 𝑓( 𝑥, 𝑦) = 𝑦2
− 𝑥2
cuyas derivadas parciales son:
{
∂f(x,y)
∂x
= −2x = 0
∂f(x,y)
∂y
= 2y = 0
de donde 𝑥 = 𝑦 = 0
a pesar de esto la función no tiene máximo ni mínimo relativo, en este caso, a este tipo
de puntos se denominan puntos de silla.
GRÁFICA DEL LIBRO
OBSERVACIÓN.- Un punto crítico que no es de un máximo o mínimo relativo es
llamado punto silla (o de monitor).

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
10
PUNTOS CRÍTICOS
 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
Sea f: D ⊂ R2 R una función definida en el conjunto abierto D de tal manera que las
derivadas parciales primeras y segundas de f sean continuas en la relación abierta.
Contienes un punto (a,b) tal que
𝜕𝑓(𝑎,𝑏)
𝜕𝑥
= 0 𝑦
𝜕𝑓(𝑎,𝑏)
𝜕𝑦
= 0, para determinar si en dicho
punto hay un extremo relativo de f, definimos la cantidad.
∆=
𝜕2
(𝑎,𝑏)
𝜕 𝑥2 .
𝑓𝜕2
(𝑎,𝑏)
𝜕𝑦2 –(
𝜕2
𝑓(𝑎,𝑏)
𝜕𝑦𝜕𝑥
)2
i) si ∆>0 y
𝜕2𝑓(𝑎,𝑏)
𝜕𝑥2
> 0, entonces f(a, b) es un valor mínimo relativo.
ii) si ∆>0 y
𝜕2𝑓(𝑎,𝑏)
𝜕𝑥2
< 0, entonces f(a, b) es un valor máximo relativo.
iii) si ∆<0, entonces (a, b), f(a, b) es un punto de silla.
iv) si ∆=0, este criterio no da información.
En forma práctica se puede recordar la formula ∆ en el criterio de la segunda derivada y
que viene lado por el determinante.
∆=|
𝜕2𝑓(𝑎,𝑏)
𝜕𝑥2
𝜕2𝑓(𝑎,𝑏)
𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝜕2𝑓(𝑎,𝑏)
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕2𝑓(𝑎,𝑏)
𝜕𝑦2
| siendo
𝜕2𝑓(𝑎,𝑏)
𝜕𝑦 𝜕𝑥
=
𝜕2𝑓(𝑎,𝑏)
𝜕𝑥 𝜕𝑦
EJEMPLO.- Determinar los extremos relativos de la función 𝑓( 𝑥, 𝑦) = 𝑥2
+ 𝑥𝑦 +
𝑦2
− 6𝑥 + 2
SOLUCIÓN
Calculando los puntos críticos o estacionarios
{
𝜕𝑓( 𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
= 2𝑥 + 𝑦 − 6 = 0
𝜕𝑓( 𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
= 𝑥 + 2𝑦 = 0
 {
𝑥 = 4
𝑦 = −2  𝑝(4, −2)
Luego el punto crítico es p (4,-2)

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
11
{
∂2
f(x,y)
∂𝑥2
= 2
∂2
f(x,y)
∂𝑦2
= 2 
∂2
f(x,y)
∂y ∂x
= 1
{
∂2
∂f(4 − 2)
∂𝑥2
= 2
∂2
f(4− 2)
∂𝑦2
= 2
∂2
f(4 − 2)
∂y∂x
= 1
Ahora aplicando el criterio de la segunda derivada
∆=
𝜕2
𝑓(4,−2)
𝜕 𝑥2 .
𝜕2
𝑓(4,−2)
𝜕 𝑦2 –(
𝜕2
𝑓(4,−2)
𝜕𝑦𝜕𝑥
)2
∆= (2)(2)− (1)2
= 4-1-3  ∆=3
Como ∆=3> 0 y
∂2
f(4−2)
∂𝑥2 = 2 > 0, entonces en el punto 𝑃(4, −2) hay un mínimo
relativo, cuyo valor mínimo es 𝒇( 𝟒,−𝟐) = 𝟏𝟎
MATRIZ HESSIANA DE UNA FUNCIÓN DE
VARIAS VARIABLES
1. HISTORIA
El hessiano, conocido también como discriminante o
matriz hessiana, fue introducido en el año de 1844 por Hess,
matemático alemán quien nació en 1811 y murió en 1874.
Esto sucedió luego de que Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-
1851) introduje jacobianos”. Lo que hizo Jacobi con de
variable de las integrales múltiples en términos de estos.
Respecto a los detalles biográficos de Ludwig
Otto Hess se sabe que nació precisamente en
Konigsberg, Alemania (actualmente Rusia) el 22 de abril
de 1811. Estudió con Jacobi en su ciudad natal (Konigsberg), donde se desempeñó
primero comomaestro de física y química; posteriormente como profesor. En 1856 se
trasladó a Heidelberg, donde permaneció doce años, antes de tomar un puesto en
Munich, donde falleció el 4 de agosto de 1874.
Ludwig Otto Hess se hizo tan famoso por una matriz que introdujo en un
artículo de 1842 referido a curvas cúbicas y cuadráticas.
Ludwig Otto Hess (1811-
1874)

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
12
2. SIGNIFICADO DE CADA ELEMENTO DE LA MATRIZ
HESSIANA
Con el objetivo de explicar cada detalle con la mayor claridad posible, se
expresa el significado de cada uno de los elementos que aparecen dentro de la matriz:
 𝒇 𝒙𝒙 Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a x
y luego ese resultado se deriva por segunda vez con respecto a x nuevamente.
 𝒇 𝒙𝒚 Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a
y y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a x.
 𝒇 𝒙𝒛 Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a
z y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a x.
 𝒇 𝒚𝒙 Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a
x y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a y.
 𝒇 𝒚𝒚 Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a y
y luego ese resultado se deriva por segunda vez con respecto a y nuevamente.
 𝒇 𝒚𝒛 Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a z
y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a y.
 𝒇 𝒛𝒙 Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a x
y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a z.
 𝒇 𝒛𝒚Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a y
y luego ese resultado se deriva por segunda vez pero ahora con respecto a z.
 𝒇 𝒛𝒛Significa que se deriva la función original por primera vez con respecto a z
y luego ese resultado se deriva por segunda vez con respecto a z nuevamente.
NOTA: Tome en cuenta que las siguientes se denominan derivadas mixtas o cruzadas
y si existen son iguales: 𝒇 𝒙𝒚 = 𝒇 𝒚𝒙, 𝒇 𝒙𝒛 = 𝒇 𝒛𝒙, 𝒇 𝒚𝒛 = 𝒇 𝒚𝒛

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
13
3. ENCONTRAR MÁXIMOS Y MÍNIMOS UTILIZANDO
MATRICES HESSIANAS
a) Tener la función original que se va a trabajar.
b) Calcular las primeras derivadas parciales de la función con respecto a cada una de
las variables que se tiene la función original.
c) Igualar a cero las derivadas que se calcularon en el inciso anterior.
d) Simultanear las ecuaciones generadas en la igualación a cero, para encontrar el
valor de cada una de las variables. Dichos valores para cada una de las variables serán
las coordenadas de los puntos críticos.
e) Una vez se tienen los puntos críticos se debe calcular las segundas derivadas
parciales en cada uno de estos puntos, para identificar los elementos de la matriz
hessiana, ya sea matriz 2 x 2 (si la función es de dos variables), 3 x 3 (si la función es
de tres variables), 4 x 4 (si la función es de cuatro variables), n x n (si la función es de
n variables).
f) Resolver el determinante de la matriz, el resultado que se obtenga será la respuesta.
g) Con la respuesta se puede clasificar el punto
4. DEFINICIÓN.- Una forma cuadrática, 𝐹: 𝑅 𝑛
→ 𝑅 es una función cuyo valor
en 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2, …, 𝑎 𝑛) es dado por: 𝐹 = (𝑎)∑ ∑ ℎ𝑖𝑗
n
i=0 𝑎𝑖 𝑎𝑗
𝑛
𝑖=0 donde H=
[ℎ𝑖𝑗]
𝑛𝑥𝑛
es una matriz simétrica de orden 𝑛𝑥𝑛 esto es:
H= [ℎ𝑖𝑗]
𝑛𝑥𝑛
=
[
ℎ11 ℎ12 … ℎ1𝑛
ℎ21 ℎ22 … ℎ2𝑛
.
.
.
ℎ 𝑛1 ℎ 𝑛2 … ℎ 𝑛𝑚
]
y 𝐻′
= 𝐻
En forma simétrica la forma cuadrática está definida por:

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
14
F( 𝑎) = 𝑎 𝐻𝑎′
= (𝑎1,… , 𝑎 𝑛)
[
ℎ11 ℎ12 … ℎ1𝑛
ℎ21 ℎ22 … ℎ2𝑛
.
.
.
ℎ 𝑛1 ℎ 𝑛2 … ℎ 𝑛𝑛
]
=
[
𝑎1
𝑎2
.
.
.
𝑎 𝑛
]
= ∑ ∑ ℎ𝑖𝑗
n
i=0 𝑎𝑖 𝑎𝑗
𝑛
𝑖=0
EJEMPLO.- Hallar la matriz correspondiente a la forma cuadrática 𝐹: 𝑅2
→ 𝑅
definida por
𝐹( 𝑥1,𝑥2) = 𝑥1
2
− 𝑥1 𝑥2 + 3𝑥2
2
SOLUCIÓN
Observar que ℎ12 es la mitad del coeficiente (-1) es decir ℎ12 = −1/2 como la
matriz es simétrica ℎ12 = ℎ21
Luego 𝐻 = [
1 −
1
2
−
1
2
3
]
EJEMPLO.- Hallar la matriz correspondiente a la forma cuadrática 𝐹: 𝑅3
→ 𝑅
definida por: 𝐹( 𝑥1 , 𝑥2, 𝑥3) = 𝑥1
2
+ 𝑥2
𝑥
+ 𝑥3
2
, 𝑥1 𝑥2 + 2𝑥13 + 6𝑥2 𝑥3
SOLUCIÓN
𝐻 =
[
1 −
1
2
1
−
1
2
1 3
1 3 1
]
5. DEFINICIÓN.- Sea 𝑓: 𝐷 ∈ 𝑅 𝑛
→ 𝑅 , una función definida en el conjunto
abierto 𝐷. Entonces la diferencial de segundo orden con respecto a las variables
Independientes 𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥 𝑛 es cero, es decir: 𝑑𝑧 = 𝑑𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
𝑑𝑥1 +
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
𝑑𝑥2
OBSERVACIÓN.- Se observa que el desarrollo de una forma cuadrática en términos de las
variables 𝑎1, 𝑎2,… , 𝑎 𝑛 corresponde a un polinomio homogéneo de grado 2, en donde los
coeficientes de los términos cuadráticos (𝑎𝑖
2
)son los elementos de la diagonal de la matriz
simétrica H, y cada coeficiente de un término rectangular 𝑎𝑖 𝑎𝑗 el doble del elemento ℎ𝑖𝑗
de la misma matriz (𝑖 ≠ 𝑗)

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
15
𝑑2
𝑧 = 𝑑2
𝑓 =
𝜕
𝜕𝑥1
(
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
𝑑𝑥1 +
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
𝑑𝑥2) 𝑑𝑥1 +
𝜕
𝜕𝑥2
(
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
𝑑𝑥1 +
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
𝑑𝑥2) 𝑑𝑥2
=
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥1
2
𝑑𝑥1 𝑑𝑥1 +
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥1 𝜕𝑥1
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥2 𝜕𝑥1
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥2
2
𝑑𝑥2 𝑑𝑥2
= ∑∑
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥𝑗
2
𝑓=1
2
𝑖=𝑡
𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥𝑗
La matriz correspondiente a esta forma cuadrática es:
𝐻 =
[
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥2
𝜕2
𝜕𝑥1 𝜕𝑥2
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥2 𝜕𝑥1
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥2
2 ]
Esta matriz H será simétrica si
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥2 𝜕𝑥1
=
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥1 𝜕𝑥2
6. DEFINICIÓN.- Consideremos la función 𝑓: 𝐷 ⊂ 𝑅 𝑛
→ 𝑅 definida en el
conjunto abierto 𝐷 tal que existen
𝜕𝑓
𝜕 𝑥1
y
𝜕2
𝑓
𝜕 𝑥 𝑖 𝜕 𝑥 𝑗
∀ 𝑝 = ( 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛) ∈ 𝐷
La forma hessiana de la función 𝑓 en el punto 𝑝 ∈ 𝐷, denotado por 𝐻 (𝑓( 𝑝))está
definida por:
𝐻(𝑓( 𝑝)) = 𝑑2
𝑓( 𝑝) = ∑ ∑
𝜕2
𝑓(𝑝)
𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥𝑗
𝑛
𝑗=𝑙
𝑛
𝑖=𝑙
𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥𝑗
Luego a la matriz hessiana de la función en el punto p será:
H (f (p))=
[
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥1
2
𝜕2
𝑓
𝜕 𝑥1 𝜕 𝑥2
…
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥1 𝜕𝑥 𝑛
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥2 𝜕𝑥1
𝜕2
𝑓
𝜕 𝑥2
2 𝑑𝑥1 …
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥2 𝜕𝑥 𝑛
.
.
.
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥 𝑛 𝜕𝑥1
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥 𝑛 𝜕𝑥2
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥 𝑛
2
]

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
16
EJEMPLO.- Hallar la matriz hessiana de la función: 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
−
7𝑥𝑦 + 5𝑥 − 3𝑧
SOLUCIÓN
{
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 2𝑥 − 7𝑦 + 5
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 2𝑦 − 7𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑧
= 2𝑧 − 3
⟹
{
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥2
= 2,
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
= −7,
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑧
= 0
𝜕2
𝑓
𝜕𝑦2
= 2,
𝜕2
𝑓
𝜕𝑦𝑑𝑥
= −7,
𝜕2
𝑓
𝜕𝑧𝜕𝑦
= 0
𝜕2
𝑓
𝜕𝑧2
= 2,
𝜕2
𝑓
𝜕𝑧𝜕𝑥
= 0,
𝜕2
𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑧
= 0
𝐻(𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧)) =
[
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥2
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑧
𝜕2
𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
𝜕2
𝑓
𝜕𝑦2
𝜕2
𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑧
𝜕2
𝑓
𝜕𝑧𝜕𝑥
𝜕2
𝑓
𝜕𝑧𝜕𝑦
𝜕2
𝑓
𝜕𝑧2 ]
= [
2 −7 0
−7 2 0
0 0 2
]
7. CRITERIO DE LA MATRIZ HESSIANA PARA LOS
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Consideremos la función 𝑓: 𝐷 ⊂ 𝑅 𝑛
→ 𝑅 , en donde sus derivadas parciales de
segundo orden son continuas en un conjunto abierto 𝐷 ⊂ 𝑅 𝑛
y sea 𝑥0 ∈ 𝐷 un punto para
el cual 𝐷1 𝑓( 𝑥0) = 0, 𝐷2 𝐹(𝑥0) = 0, … . , 𝐷 𝑛 𝑓( 𝑥0) = 0, supongamos que el determinante
de la matriz, Hessiana 𝐻(𝑓( 𝑥0)) se denota por:
△ 𝑛= [
𝐷11 𝑓( 𝑥0) 𝐷12 𝑓( 𝑥0) … 𝐷𝑙𝑛 𝑓( 𝑥0)
𝐷21 𝑓( 𝑥0) 𝐷22 𝑓( 𝑥0) … 𝐷2𝑛 𝑓(𝑥0)
𝐷 𝑛𝑙 𝑓( 𝑥 𝑜) 𝐷 𝑛2 𝑓( 𝑥0) … 𝐷22 𝑓(𝑥0)
]
Entonces
𝑥0 Corresponde a un mínimo relativo si ∆1> 0, ∆2> 0, … , ∆ 𝑛> 0, …, cuyo calor mínimo
es 𝑓(𝑥0)
𝑥0 Corresponde a un máximo relativo si ∆1< 0, ∆2> 0, ∆3< 0, …, cuyo valor máximo es
𝑓(𝑥0)

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
17
EJEMPLO.- Determinar los extremos relativos de la función
𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4𝑥 + 𝑥𝑦 − 𝑥2
𝑦2
𝑧2
− 𝑦𝑧
SOLUCIÓN
Hallaremos los puntos críticos de la función
{
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 4 + 𝑦 − 2𝑥 = 0
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0 ⟹ {
𝑥 = 3
𝑦 = 2 ⇒ 𝑝(3,2,−1)
𝑧 = −1
𝜕𝑓
𝜕𝑧
= −𝑦 − 2𝑧 = 0
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥2 = −2 𝜕2
𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
= 1 𝜕2
𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑧
= 0
𝜕
2
𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
= 1 𝜕
2
𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
= −2 𝜕
2
𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑧
= −1
𝜕2
𝑓
𝜕𝑧𝜕𝑥
= 0 𝜕2
𝑓
𝜕𝑧𝜕𝑦
= −1 𝜕2
𝑓
𝜕𝑧2 = −2
∆=
[
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥2
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕2
𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑧
𝜕2
𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
𝜕2
𝑓
𝜕𝑦2
𝜕𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑧
𝜕2
𝑓
𝜕𝑧𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑧𝜕𝑦
𝜕2
𝑓
𝜕𝑧2 ]
= [
−2 1 0
1 −2 −1
0 −1 −2
]
∆1= −2 < 0, ∆2= 3 > 0, ∆3= −4 < 0 Entonces f tiene un máximo relativo en el punto
𝑝(3,2, −1) y sus valores 𝑓(3,2, −1) = 6
EJEMPLO.- Hallar las dimensiones de una caja rectangular (cerrada) de máximo
volumen cuya
Superficie total es 𝐴𝑚2
SOLUCIÓN
Sean 𝑥, 𝑦, 𝑧las dimensiones de la caja rectangular, por lo tanto el volumen de la caja es
𝑉 = 𝑥𝑦𝑧
El área total de la caja rectangular es: 𝐴 = 2𝑥𝑦 + 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 ⟹ 𝑧 =
𝐴−2𝑥𝑦
2𝑥+2𝑦
Como 𝑉 = 𝑥𝑦𝑧 =
𝑥𝑦(𝐴−2𝑥𝑦)
2𝑥+2𝑦
, 𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑥𝑦 ≤ 𝐴
El cual se desea que sea máximo

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
18
{
𝜕𝑣
𝜕𝑥
=
𝑦2
(2𝐴−8𝑥𝑦−4𝑥2
)
(2𝑥+2𝑦)2 = 0
𝜕𝑣
𝜕𝑥
=
𝑥2
(2𝐴−8𝑥𝑦−4𝑦2
)
(2𝑥+2𝑦)
= 0
Resolviendo el sistema de ecuaciones
𝑥 = √
𝐴
6
, 𝑦 = √
𝐴
6
Es un punto crítico de V que corresponde a un máximo relativo cuyo
valor máximo es: 𝑉 =
𝐴
6
√
𝐴
6
𝑢3
Luego las dimensiones de la caja son: 𝑥 = √
𝐴
6
, 𝑦 = √
𝐴
6
, 𝑧 = √
𝐴
6
MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE
LAGRANGE
1. HISTORIA
En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange,
llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los
máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones. Este
método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k
variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser
resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada
restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange. El método dice que los puntos
donde la función tiene un extremo condicionado con k restricciones, están entre
los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como
una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones,
cuyos coeficientes son los multiplicadores.
2. DEFINICIÓN.- Supongamos que se maximiza o minimiza, una
función de dos variables 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) en donde las variables están sujetas a la
restricción 𝑔( 𝑥, 𝑦) = 0 .
Luego se construye una función introduciendo una incógnita A llamada el multiplicador
de
Lagrange. 𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝜆) = 𝑓( 𝑥, 𝑦) + 𝜆 𝑔(𝑥, 𝑦) …(1)

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
19
Ahora determinaremos los puntos críticos o estacionarios de F, es decir:
{
∂F(x,y,λ)
∂x
=
∂f(x,y)
∂x
+ λ
∂g(x,y)
∂x
= 0
∂F(x,y,λ)
∂y
=
∂f(x,y)
∂y
+ λ
∂g(x,y)
∂y
= 0
∂F(x,y,λ)
∂λ
= g(x,y) = 0
…(2)
Al resolver el sistema (2) se obtienen los puntos críticos o estacionarios, luego se evalúa
la función f en cada uno de los puntos críticos, el mayor valor de f es el máximo de f
sujeto a la restricción y el menor valor de f es el mínimo de f sujeto a la restricción.
EJEMPLO.- Maximizar la función 𝑓( 𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥𝑦
sometida a la restricción 𝑥2
+ 𝑦2
−
8 = 0
SOLUCIÓN
Calculando los puntos críticos, para esto definimos la función F introduciendo la
incógnita 𝜆 𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝜆) = 𝑓( 𝑥, 𝑦) + 𝜆( 𝑥2
+𝑦2
− 8) de donde 𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝜆) = 𝑒 𝑥𝑦
+ 𝜆(𝑥2
+
𝑦2
− 8)
{
𝜕𝐹
𝜕𝑥
= 𝑦𝑒 𝑥𝑦
+ 2𝜆𝑥 = 0
𝜕𝐹
𝜕𝑦
= 𝑥𝑒 𝑥𝑦
+ 2𝜆𝑦 = 0 ⟹
𝜆 = −
𝑦𝑒 𝑥𝑦
2𝑥
𝜆 = −
𝑥𝑒 𝑥𝑦
2𝑦
𝑥2
+ 𝑦2
= 8
𝜕𝐹
𝜕𝜆
= 𝑥2
+ 𝑦2
− 8 = 0
−
𝑦𝑒 𝑥𝑦
2𝑥
=
𝑥𝑒 𝑥𝑦
2𝑦
⟹ 𝑥2
= 𝑦2
, de donde 2𝑥2
= 8 ⇒ 𝑥2
= 4 ⇒ 𝑥±, 𝑦 = ±2
Luego los puntos críticos son 𝑝1(±2,±2), 𝑝(+2,±2) y como 𝑓( 𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥𝑦
⇒
𝑓(±2, ±2) = 𝑒4
𝑓(+2,±2) = 𝑒−4
Luego el valor máximo es 𝑓(±2, ±2) = 𝑒4
OBSERVACIÓN.- En algunos casos las ecuaciones de las restricciones pueden
reemplazarse en la Función que se va maximizar o minimizar así el problema se reduce a los
máximos y mínimo sin restricciones. Sin embargo este procedimiento no siempre es
factible, especialmente si la función que se va a maximizar o minimizar tiene más de dos
variables y varias restricciones.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
20
Entonces para estos casos se aplica el método de los multiplicadores de Lagrange del
modo siguiente: Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ 𝑅 𝑛
→ 𝑅 una función definida en el conjunto abierto 𝑓 tal
que existe derivadas parciales de 𝑓 hasta el segundo orden inclusive, para obtener los
extremos condicionados de 𝑧 = 𝑓( 𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥 𝑛) sujeta a las condiciones de enlace:
𝜑1( 𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥 𝑛) = 0
𝜑2 ( 𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥 𝑛) = 0
.
.
.
𝜑 𝑛( 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛) = 0 , 𝑚 < 𝑛
Se procede del siguiente modo
Construimos la función de Lagrange
𝐹( 𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥 𝑛, 𝜆1,… . , 𝜆 𝑚
) = 𝑓( 𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥 𝑛
) + 𝜆1 𝜑1
( 𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥 𝑛
)+.. . +𝜆 𝑚 𝜑 𝑚(𝑥1,𝑥2,… , 𝑥 𝑛)
Donde 𝜆1, 𝜆2,… , 𝜆 𝑚 se llaman multiplicadores de Lagrange.
Los extremos incondicionados de F (condicionados de f) se obtiene a partir de las
ecuaciones siguientes:
{
𝜕𝐹
𝜕𝑥1
= 0
𝜕𝐹
𝜕𝑥2
= 0
.
.
.
𝜕𝐹
𝜕𝑥 𝑛
= 0
𝜕𝐹
𝜕𝜆1
= 0
𝜕𝐹
𝜕𝜆2
= 0
.
.
.
𝜕𝐹
𝜕𝜆 𝑚
= 0
Sea P0 uno de estos puntos

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
21
Se construye la forma cuadrática: 𝐵( 𝑑𝑥1, 𝑑𝑥2, … , 𝑑𝑥 𝑛−𝑚) = ∑ ∑ 𝑏 𝑘𝑙 𝑑𝑥 𝑘 𝑑𝑥 𝑙
𝑛−𝑚
𝑙=1
𝑛−𝑚
𝑘=1
lo cual obtiene a partir de: 𝐴( 𝑑𝑥1, 𝑑𝑥2, …, 𝑑𝑥 𝑛) = 𝑑2
𝐹 = ∑ ∑ 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥𝑗
𝑛
𝑗=1
𝑛
𝑖=1 y de las
diferenciales de las condiciones de enlace.
{
𝑑𝜑1( 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛) = 0
𝑑𝜑2 ( 𝑥1, 𝑥2,… , 𝑥 𝑛) = 0
.
.
.
𝑑 𝜑 𝑛( 𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥 𝑛) = 0
Asociar a B su matriz correspondiente y estudiar el comportamiento en cada punto
crítico.
EJEMPLO.- Hallar los extremos condicionados de f(x,y,z) = xyz, estando ligados las
variables 𝑥, 𝑦, 𝑧 por las relaciones 𝜑1( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 − 3, 𝜑( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 − 8
SOLUCIÓN
Definiendo la función de LaGrange
𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜆, 𝛽) = 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝜆𝜑1( 𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝛽𝜑2(𝑥, 𝑦, 𝑧)
Calculando los puntos críticos
𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜆, 𝛽) = 𝑥𝑦𝑧 + 𝜆( 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 3) + 𝛽(𝑥 − 𝑦 − 𝑧 − 8)
{
𝜕𝐹
𝜕𝑥
= 𝑦𝑧 + 𝜆 + 𝛽 = 0… … (1)
𝜕𝐹
𝜕𝑦
= 𝑥𝑧 + 𝜆 − 𝛽 = 0… … (2)
𝜕𝐹
𝜕𝑧
= 𝑥𝑦 − 𝜆 − 𝛽 = 0 …… (3)
𝜕𝐹
𝜕𝜆
= 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 3 = 0 … (4)
𝜕𝐹
𝜕𝛽
= 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 − 8 = 0 … (5)
de la ecuación (1) y (3) eliminamos.
𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 = 0 ⇒ 𝑦( 𝑥 + 𝑧) = 0 ⇒ 𝑦 = 0 𝑉 𝑥 + 𝑧 = 0
si 𝑦 = 0, no existe solución, luego suponemos para 𝑦 ≠ 9se tiene 𝑧 = −𝑥 reemplazando
en la ecuación (4) y (5) se la tiene.
{
2𝑥 + 𝑦 = 3
2𝑥 − 𝑦 = 8
 𝑥 =
11
4
, 𝑦 = −
5
2
, 𝑧 = −
11
4

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
22
Por lo tanto 𝑃(
11
4
, −
5
2
, −
11
4
) es un punto crítico.
Luego 𝐴( 𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧) = ∑ ∑
𝜕2
𝐹
𝜕𝑥 𝑖 𝜕𝑥 𝑗
(𝑥1 = 𝑥, 𝑥1 = 𝑦, 𝑥3 = 𝑧)3
𝑗=𝑖
3
𝑖=𝑗
𝑑𝜑1(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 − 𝑑𝑧 = 0
 𝑑𝑦 = 0. 𝑑𝑥 = 𝑑𝑧 …. (1)
𝑑𝜑2( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 − 𝑑𝑧 = 0
Ahora reemplazando (1) en A (dx, dy, dz) se tiene
𝐴( 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 , 𝑑𝑧) =
𝜕2
𝐹
𝜕𝑥2
𝑑𝑥 𝑑𝑥 +
𝜕2
𝐹
𝜕𝑥𝜕𝑧
𝑑𝑥𝑑𝑧 +
𝜕2
𝐹
𝜕𝑧𝜕𝑥
𝑑𝑧𝑑𝑥 +
𝜕2
𝐹
𝜕𝑧2
𝑑𝑧𝑑𝑧
=
𝜕2
𝐹
𝜕 𝑥2 𝑑𝑥𝑑𝑥 + (
𝜕2
𝐹
𝜕𝑥𝜕𝑍
+
𝜕2
𝐹
𝜕𝑍𝜕𝑥
) 𝑑𝑥𝑑𝑥 +
𝜕2
𝐹
𝜕𝑍2 𝑑𝑥𝑑𝑥 = (
𝜕2
𝐹
𝜕𝑥2 + 2
𝜕2
𝜕𝑥𝜕𝑧
+
𝜕2
𝐹
𝜕𝑍2 ) 𝑑𝑥𝑑𝑥
= (0 + 2𝑦 + 0) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 𝐵 ( 𝑑𝑥)
Por lo tanto B(dx) = 2y dx dx , entonces
𝐵 = ( 𝑑𝑥)( 𝑝) = −5 𝑑𝑥 𝑑𝑦 < 0 . Luego 𝑃 (
11
5
, −
5
2
;
11
4
) corresponde a un máximo
condicionado de f.
EJEMPLO.- Hallar los extremos relativos de la función 𝑓( 𝑥, 𝑦) = 𝑥3
+ 𝑦3
+ 9𝑥2
3 − 3𝑦2
+
15𝑥 − 9𝑦
SOLUCIÓN
Calculando los puntos críticos de f(x,y)
{
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
= 3𝑥2
+ 18𝑥 + 15 = 0
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
= 3𝑦2
− 6𝑦 − 9 = 0
Resolviendo el sistema se tiene:
{
3( 𝑥 + 1)( 𝑥 + 5) = 0
3( 𝑦 + 1)( 𝑦 − 3) = 0
{
𝑥 = −1, 𝑥 = −5
𝑦 = −1, 𝑦 = 3
Los puntos críticos son: 𝑃1(−1,−1), 𝑃2(−1,3), 𝑃3(−5,−1), 𝑃4(−5,3).
Calculando la segunda derivada
𝜕2
𝑓( 𝑥,𝑦)
𝜕𝑥2 = 6𝑥 + 18 .
𝜕2
𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕 𝑦2 = 6𝑦 − 6.
𝜕2
𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑥
= 0

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
23
Aplicando el criterio de la segunda derivada ∆=
𝜕2
𝑓( 𝑥,𝑦)
𝜕 𝑥2 .
𝜕2
𝑓( 𝑥,𝑦)
𝜕𝑦2 − (
𝜕2
𝑓( 𝑥,𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑥
)2
Para 𝑃1(−1,−1) . ∆= (12).(−12). 0 = .144 < 0
Luego se tiene en 𝑃1(−1,−1) un punto silla para 𝑃2 (−1,3) ∆= (12).(12).0 = 144 > 0
Y como
𝜕2
𝑓(−1,3)
𝜕 𝑥2 = −12 > 0 entonces se tiene un minimo 𝑃2(−1,3) cuyo valor
minimo es 𝑓(−1,3) = −34
Para 𝑃3(−5,−1), ∆= (−12).(−12)− 0 = 144 > 0 y como
𝜕2 𝑓(−5,−1)
𝜕 𝑥2
= −12 < 0,
entonces se tiene un máximo en 𝑃3(−5,−1) cuyo valor máximo es 𝑓(−5, −1) = 30 , para
𝑃4(−5,3) ∆= (−12).(12)− 0 = −144 < 0 entonces se tiene en el 𝑃4(−5,3) un punto
de silla.
EJEMPLO.- Hallar los extremos relativos de la función 𝑧 = 𝑓( 𝑥, 𝑦) = 𝑥3
+ 𝑦3
−
15𝑥𝑦
SOLUCIÓN
Calculando los puntos críticos de la función f
{
𝜕𝑓( 𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
= 3𝑥2
− 15𝑦 = 0 … (1)
𝜕𝑓( 𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
= 3𝑦2
− 15𝑥 = 0 … (2)
De la ecuación (1) se tiene 𝑦 =
𝑥2
5
, reemplazando en (2)
3 (
𝑥4
25
) − 15𝑥 = 0  𝑥( 𝑥3
− 125) = 0 𝑥 = 0, 𝑥 = 5
Para 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑃1(0,0)punto crítico, 𝑥 = 5, 𝑦 = 5, 𝑃2(5,5) punto critico
Calculando las segundas derivadas
𝜕2
𝑓( 𝑥,𝑦)
𝜕𝑥2 = 6𝑥 ,
𝜕2
𝑓( 𝑥,𝑦)
𝜕𝑦2 = 6𝑦 ,
𝜕2
𝑓( 𝑥.𝑦)
𝜕𝑦𝑑𝑥
= −15
Aplicando el criterio de la segunda derivada
∆=
𝜕2
𝑓( 𝑥,𝑦)
𝜕𝑥2 .
𝜕2( 𝑥,𝑦)
𝜕𝑦2 − (
𝜕2
𝑓( 𝑥,𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑥
)2

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
24
Para 𝑃1(0.0) , ∆𝑃1(0,0) = (0)(0)− (−15)2
= −225 < 0 , entonces 𝑃1(0.0) un punto
silla para 𝑃2(5,5), ∆P2(5,5) = (30)(30)− 225 = 650 > 0 y como
𝜕2
𝑓(5,5)
𝜕 𝑥2 = 30 > 0,
entonces ∃ minimo relativo en el punto 𝑃2(5,5) cuyo valor minimo es 𝑓(5.5) = −125
CONDICIONES DE KUHN – TUCKER
1. HISTORIA
Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (también conocidas como las condiciones
KKT o Kuhn-Tucker) son condiciones necesarias y suficientes para que la solución de
un problema de programación matemática sea óptima. Se dice estas son una
generalización del método de los multiplicadores de Lagrange.
Condiciones de Kuhn-Tuvker fue desarrollado por Albert William Tucker y
complementada por Harold Kuhn, quien permitió mejoras en el proceso, pero se le
adjudico un papel secundario.
2. DEFINICIÓN.- Las condiciones de KUHN – TUCKER, establece que:
un punto (x, y) es un máximo local de f(a,b) cuando g(x,y) ≤ 0, solamente si existe un
valor no negativo de λ tal que λ y (x,y) satisface las condiciones de KUHN – TUCKER.
{
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
− λ
𝜕𝑔( 𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
= 0
𝜕𝑔( 𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
− λ
𝜕𝑔( 𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
= 0
λ g(x,y) = 0 o′
𝑔(𝑥, 𝑦) ≤ 0
Estos últimos es suficiente si 𝑓(𝑥, 𝑦)es cóncava hacia arriba y 𝑔(𝑥, 𝑦)es cóncava arriba
, debido a que un punto máximo de 𝑓(𝑥, 𝑦)es un punto mínimo de resultados también se
puede aplicar para minimizar una función cóncava según una restricción también
cóncava hacia arriba, para el caso en la que la restricción de la forma 𝑔(𝑥, 𝑦) ≥ 0
entonces 𝑔(𝑥, 𝑦)debe ser cóncava hacia abajo.
EJEMPLO.- Obtener los máximos y mínimos de la función f(x,y)= 3x2+4y2-xy, sujeta
a la restricción 2x+ y=21
SOLUCIÓN
Sea F(x,y, λ) = f(x,y) – λ g(x,y),de donde resulta

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
25
F(x,y, λ) = 3x2+4y2- xy - λ (2x+ y − 21), calculando las derivadas
{
𝜕𝐹
𝜕𝑥
= 6𝑥 − 𝑦 − 2 λ = 0
𝜕𝐹
𝜕𝑦
= 8𝑦 − 𝑥 − λ = 0
𝜕𝐹
𝜕λ
= −(2𝑥 + 𝑦 − 2 1) = 0
Entonces {
λ =
6𝑥−𝑦
2
λ = 8𝑦 − 𝑥
entonces y=
8𝑥
7
Como 2x + y – 21 = 0 entonces 2x +
8𝑥
7
= 21 de donde {
x = 8.5
y = 4
entonces P(8.5, 4)
𝜕2𝐹
𝜕𝑥2
= 6 ,
𝜕2𝐹
𝜕𝑌2
= 8 ,
𝜕2𝐹
𝜕𝑥𝜕𝑌
= −1
∆*=
𝜕2𝐹
𝜕𝑥2
.
𝜕2𝐹
𝜕𝑌2
− (
𝜕2𝐹
𝜕𝑥𝜕𝑌
)2= (6) (8) – (-1)2 = 47 > 0 y como
𝜕2𝐹
𝜕𝑥2
= 6>0 y
𝜕2𝐹
𝜕𝑌2
= 8 > 0
Entonces (8.5, 4) es un mínimo restringido de f(x,y).
EJEMPLO.- El costo de producción C, es una función de las cantidades producidas x
e y de dos tipos de artículos, está dado por C=6x2 + 3y2 para minimizar tal costo ¿Qué
cantidad de cada uno de los dos artículos debe producirse si: x + y ≥ 18?
SOLUCIÓN
Aplicando KUHN – TUCKER, con g(x,y) = x + y – 18≥ 0
{
𝜕
𝜕𝑥
(6x2 + 3y2) − λ
𝜕
𝜕𝑥
(x + y – 18) = 0
𝜕
𝜕𝑦
(6x2 + 3y2) − λ
𝜕
𝜕𝑦
(x + y – 18) = 0 , 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 KUHN – TUCKER
λ(x + y – 18) = 0
x + y – 18 ≤ 0
{
12𝑥 − λ = 0
6𝑦 − λ = 0
λ( x + y – 18) = 0
Entonces {
λ = 12x
λ = 6y
λ = 0 ⌄ x + y – 18 = 0
I λ=0 entonces x=y=0 donde el punto P(0,0) no satisface la condición de KUHN
– TUCKER, 0 + 0 – 18 ≠0 por lo tanto el punto P (0,0) no es óptimo.
x + y – 18 = 0 Entonces x + 2x – 18 = 0
Entonces x= 6 , y= 12

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
26
Como el punto P(6,12) satisface la condición KUHN – TUCKER 6 +12 – 18 = 0 ≥ 0
entonces el punto P(6,12) es óptimo .
Como f(x,y)=6x2 + 3y2 es cóncava hacia arriba, luego el punto P(6,12) se tiene un
mínimo en la producción que se encuentra bajo la retención X +Y – 18 ≥ 0.
La condición de Kuhn-Tucker se desarrolló
principalmente para trabajar en la solución de
problemas de programación lineal, mientras que la
de LaGrange se adapta a una mayor cantidad de
casos, incluyendo casos rutinarios o de
cotidianidad.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
27
CONCEPTOSCLAVE
1. VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN
Se llama valores extremos de una función a sus máximos y mínimos.
2. PUNTO CRÍTICO
a) Un punto crítico se caracteriza, geométricamente, porque la gráfica de la
función en ese punto está momentáneamente horizontal, es constante.
b) Un punto crítico x1, se caracteriza, algebraicamente, porque la primera derivada
de la función vale cero cuando se evalúa en él: f(x1) = 0.
c) Una función f(x) tiene puntos críticos en los valores x del dominio que hacen que
la primera derivada valga cero.
3. VALOR MÁXIMO
Geométricamente, un valor máximo es el más alto en una curva. Se llama
máximo local si es el punto más alto sólo de una región. Si lo es en todo el dominio, se
llama máximo absoluto.
4. VALOR MÍNIMO
Geométricamente, un valor mínimo es el más bajoen una curva. Se llama
mínimo local si es el punto más bajo sólo de una región. Si lo es en todo el dominio, se
llama mínimo absoluto.
5. En la región en que f(x) tiene un máximo, cambia de ser creciente a decreciente,
cuando recorremos el eje X de izquierda a derecha.
6. En la región en que f(x) tiene un mínimo, cambia de ser decreciente a creciente,
cuando recorremos el eje X de izquierda a derecha.
7. Geométricamente, un punto de inflexión se localiza donde la gráfica de la
función cambia de ser cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba o viceversa, si existe
la tangente en ese punto.
8. En la región en que f(x) tiene un punto de inflexión, no cambia su carácter
creciente o decreciente, cuando recorremos el eje X de izquierda a derecha.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
28
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Alfonzo A. (07 de diciembre de 2013) Condiciones de Kuhn Tucker y LaGrange
97 Recuperado el 28 de junio de 2015, de
http://es.slideshare.net/andreaalfonzosanchez/condiciones-de-kuhn-tucker-y-lagrange-
97
Espinoza E. (2000) Análisis Matemático III Para Estudiantes De Ciencias e
Ingeniería (3° edición), Perú Editorial Servivios Gráficos J.J
Mary A. (01 de junio de 2013) Discriminante o hessiano Recuperado el 28 de
junio de 2015, de http://es.slideshare.net/maryanabella/discriminante-ohessiano

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