Metodos de optimizacion
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Este documento explica el método de Lagrange para encontrar valores extremos de una función sujeto a restricciones. Explica que el método establece una ecuación vectorial que relaciona el gradiente de la función con el de la restricción y λ. También presenta un ejemplo de aplicar el método para encontrar los valores máximos y mínimos de una función sobre un círculo. Luego introduce la matriz jacobiana y las condiciones de Kuhn-Tucker antes de concluir con extremos no restringidos de funciones de dos variables.
Metodos de optimizacion
- 1. Prof: Diógenes Rodríguez Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño” Extensión Porlamar Prof: Diógenes Rodríguez Rawson Salazar C.I: 19.116.109 Optimización de Sistemas y Funciones Porlamar, 05 de Junio de 2014 Realizado por: Rawson Salazar C.I: 19.116.109 Optimización de Sistemas y Funciones
- 2. METODO DE LAGRANGE Este es un método que permite encontrar valores extremos, máximos o mínimos (maximizar o minimizar) de una función general ( )zyxf .. sometida o sujeta a alguna condición o restricción de la forma ( ) kzyxg =,, . El método establece una ecuación en función de las condiciones o restricciones que debe cumplir la función, en todo caso se resuelve una ecuación vectorial de la forma: gf ∇=∇ λ , para cuando hay una sola condición a cumplir y para cualquier n variables. Para cuando la función debe cumplir dos restricciones se tiene: ( )zyxf .. , las restricciones son: ( ) ( ) 21 ,,,,, kzyxhkzyxg == . Entonces la ecuación queda: hgf ∇+∇=∇ µλ , para cuando hay dos condiciones a cumplir. Se debe resolver el sistema de ecuaciones dadas a través de la ecuación vectorial y además la condición o condiciones formarán parte de ese sistema a resolver. Cuando se tiene una función de tres variables restringida por ( ) kzyxg =,, , el procedimiento general se puede establecer así: • Identificar la función de donde se desea hallar el valor máximo o mínimo, esta se llama función a optimizar, a la que se desea hallar los valores extremos. • Identificar la o las restricciones a cumplir por la función. • Hallar el gradiente de la función: ( )zyxf ..∇ • Hallar el gradiente de la restricción: ( )zyxg ..∇ • Formar la ecuación vectorial: • Formar el sistema de ecuaciones que incluya las condiciones las condiciones. • Determinar todos los valores x, y, z y λ que satisfagan gf ∇=∇ λ y ( ) kzyxg =,, . • Evaluar todos los puntos ( )zyx ,, del resultado anterior en la función ( )zyxf ,, . El mayor de los valores será el valor máximo de la función y el más pequeño es el valor mínimo de la función.
- 3. Ejemplo: ¿Cuáles son los valores máximos y mínimos que puede tener una la función ( ) 22 2, yxyxf += , sobre el círculo 122 =+ yx ? Solución: Se pide calcular los valores extremos de la función ( ) 22 2, yxyxf += sujeta a la restricción ( ) 1, 22 =+= yxyxg Calculamos los gradientes: ( )yxf 4,2=∇ ( )yxg 2,2=∇ Las ecuaciones de Lagrange pueden escribirse: xx 22 λ= ……ec nº 1 yy 24 λ= ……ec nº 2 122 =+ yx ……ec nº3 Partiendo de la ecuación Nº 1 se tiene: xx 22 λ= 022 =− xx λ ( ) 012 =− λx 0=x y 1=λ , entonces se verifican estos dos valores en las otras ecuaciones. Si x=0 en la ec nº4 se obtiene: 1±=y
- 4. Luego si 1=λ , en la ec nº2 se tiene y=0, y luego en la ec nº3, 1±=x Como consecuencia, ( )yxf , tal vez tiene valores extremos en los puntos: • (0,1) • (0,-1) • (1,0) • (-1,0) Al evaluar a ( )yxf , en esos cuatro puntos se encuentra que: o ( ) ( ) ( ) 1)0,1( 10,1 21,0 21,0 =− = =− = f f f f Por consiguiente, hay dos valores máximos en los puntos (0,1); (0,-1) y dos valores mínimos en los puntos: (1,0) y (-1,0). MATRIZ JACOBIANA La matriz Jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el Jacobiano representa la derivada de una función multivariable. Supongamos F: Rn → Rm es una función que va del espacio euclidiano n- dimensional a otro espacio euclidiano m-dimensional. Esta función está determinada por m funciones reales: y1(x1,..., xn),..., ym(x1,..., xn). Las derivadas parciales de estas (si existen) pueden ser organizadas en una matriz m por n, la matriz Jacobiana de F: Ejemplo:
- 7. EXTREMOS NO RESTRICTOS CON DOS VARIABLES