Presentación de optimizacion

Extremos no restictivos de dos variables
Las derivadas parciales de primer y segundo orden son
implementadas para hallar el punto critico de funciones
vectoriales y geométricas

Ejemplo de Extremos no restrictos con dos variables
Ejemplo:
En la siguiente función f (x,y)=3x3+1.5 y 2–18xy+17 encontrar los puntos críticos y
determinar si éstos son máximos o mínimos relativos, puntos de inflexión o puntos de
silla ?
Paso (1): Calculando la primera derivada e igualándola a 0 (condición de primer orden):
fx= 9x2 – 18y = 0 y= ½ x2
fy= 3y – 18x = 0 y = 6x
Donde x = 0, x = 12, y = 0, y = 72. Así, los puntos críticos son: (0,0) y (12,72)
Paso (2): Calculando las segundas derivadas:
fxx = 18x fyy = 3 fxy = fyx = -18
Paso (3): Evaluando el punto crítico (0,0) :
fxx = ( 0, 0 ) = 18 (0) = 0 fyy = ( 0, 0 ) = 3
¿Cumple que fxx ( 0, 0 ). fyy ( 0, 0 ) > [ fxy(0,0) ]2 ? 0.3 < ( -18 )2 (No cumple)

este punto crítico no es ni máximo ni mínimo. Puesto que fxx y fyy
(evaluadas en este punto crítico) tienen signos iguales entonces es un punto de
inflexión.
Paso (4): Evaluando el punto crítico (12,72) :
fxx = ( 12, 72 ) = 18 (12) = 216 fxy = ( 12, 72 ) = 3
¿Cumple que fxx( 12, 72 ).fyy( 12, 72 ) > [ fxy(12,72) ]2 ? 216.3 > ( -18 )2 (Si cumple!)
Dado que se cumple fxx ( 12, 72 ). fyy ( 12, 72 ) > [ fxy (12,72) ]2 y además, fxx , fyy > 0
entonces el punto en análisis es un mínimo relativo.

Método de LaGrange
El método Langrangiano son unas técnicas o métodos
que se utilizan para trabajar con las funciones de varias
variables que necesitas maximizar o que necesitamos
minimizar, las cuales poseen una serie de condiciones
o restricciones, es un método que reduce los
problemas restringidos en las variables “n” es uno sin
ningún tipo de restricciones de “n + 1” variables en las
cuales las ecuaciones se pueden resolver.

Ejemplo del Método de LaGrange
Paso (1): Primero dibujamos una caja donde sus lados sean paralelos a los ejes del
sistema de referencia xyz.
Del enunciado se saca que la función que se quiere maximizar, en este caso, es la
función capacidad o volumen de una caja rectangular o de un paralelepípedo
rectangular.
Entonces debemos escribir la llamada función del volumen de la caja de acuerdo a su
expresión geométrica= xyz
Además, se identifica la condición a cumplir o la restricción, dada por la superficie que
debe poseer dicha caja, que es de 64 cm. cuadrados. Escribimos el área de la
superficie (S):
S= 2xy + 2yz + 2xz = 64
Paso (2): de la función a maximizar, la función volumen
Vx= yz
Vy= xz
Vz= xy

Paso (3): luego el gradiente de la restricción
Sx = 2y + 2z
Sy = 2x + 2z
Sz = 2x + 2y
Paso (4): La ecuación de LaGrange se escribe:
 xyxzyz ,, =λ  yxzxzy 22,22,22 
Paso (5): Se forma el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la igualación de cada
componente:
yz = λ( 2 y + 2z) …ec nº 1
xz = λ (2x + 2z) …ec nº 2
xz = λ (2x + 2y) …ec nº 3 y además
2xy + 2yz + 2xz = 64…ec nº4
Paso (6): Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales por cualquiera de los métodos
conocidos para estos casos.
En particular, en este caso se multiplicara la ec nº 1 por x, la ec nº 2 por y, la ec nº 3 por
z. quedan así las ecuaciones:
xyz = 2 λx y + 2 λx z …ec nº 5
xyz = 2 λ xy + 2 λy z …ec nº 6
xyz =2 λ xz + 2 λ yz …ec nº7

Fíjese que las tres ecuaciones poseen igual los primeros términos (xyz), así que los
igualaremos a través de ellos.
Paso (7): Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 6:
2 λx y + 2 λx z = 2 λ xy + 2 λy z
2 λx y + 2 λx z = 2 λ xy + 2 λy z
2 λx z = 2 λy z, se obtiene:
x = y
Paso (8): Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 7:
2 λx y + 2 λx z = 2 λ xz + 2 λ yz
2 λx y = 2 λ yz
x = z
Así que se tiene: x =y = z
Se escribe la ecuación nº4 en función de una sola variable:
2xy + 2yz + 2xz = 64…ec nº4, respecto de x por ejemplo, queda:
, por representar x una distancia se toma el valor
positivo, así que:

, entonces:
y el volumen máximo para la condición dada es:

Matriz jacobiana
La matriz Jacobiana es una matriz formada por las
derivadas parciales de primer orden de una función.
Una de las aplicaciones más interesantes de esta
matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la
función en un punto. En este sentido, el Jacobiano
representa la derivada de una función multivariable.

Ejemplo de la Matriz jacobiana
calcular la matriz jacobiana de
Paso (1): Como en nuestro caso tenemos una función la matriz jacobiana
será de orden 2 x 3, y sus elementos vienen dados por:
Paso (2): Observa que en nuestro caso las componentes de ƒ son:
𝑓1(𝑥_1,𝑥_2,𝑥_(3 ))= . 1+𝑥_2.𝑥_3) y 𝑓2(𝑥_1,𝑥_2,𝑥_3 )=2𝑥_2−5
Paso (3): Calculamos ya los elementos de la matriz jacobiana:
𝜕𝑓1
𝜕𝑥1
= 2𝑥1. (1 + 𝑥2. 𝑥3) (pues 𝑥2 y 𝑥3 actúan como constante).
= . 𝑥3 (pues 𝑥1 y 𝑥3actúan como constantes).
= (pues 𝑥2 y 𝑥1 actúan como constantes).

(pues 𝑥1no aparece en la expresión 𝑓2).
(pues al derivar respeto 𝑥1 la 𝑥3 actúa como constante).
(pues al derivar respecto 𝑥3 la 𝑥2 actúa como constante).
Paso (4): De este modo la matriz jacobiana de nuestra función ƒ es:

Condiciones de Kuhn Tucker
las condiciones de kuhn-tucker
Muchos modelos en economía son, naturalmente, formulados, como problemas de
optimización con restricciones de desigualdad.
Consideremos, por ejemplo, el problema de la elección del consumidor. No hay
ninguna razón para insistir en que un consumidor pasa toda su riqueza, por lo que su
problema de optimización se formula con restricciones de desigualdad:
x max u (x) en p · x ≤ w y x ≥ 0.
En el carácter de la función y los valores de u p y w, podemos tener p x · w
<dependiendo o p · x = w a una solución de este problema.
Un enfoque para la solución de este problema comienza por determinar cuál de estas
dos condiciones se cumple en una solución. En problemas más complejos, con más
de una restricción, este enfoque no funciona bien. Consideremos, por ejemplo, un
consumidor que se enfrenta a dos limitaciones (tal vez tiempo y dinero). Tres
ejemplos se muestran en la figura siguiente, que debe convencer de que no podemos
deducir de propiedades simples de u solo que de las limitaciones, en su caso, están
satisfechos con la igualdad en una solución.

Ejemplo de Condiciones de Kuhn Tucker
Maximizar la función de beneficio sujeto a una restricción de producción.
Maximizar : π = 64x – 2x2 + 96y - 4y2 - 13
Sujeto a : x + y ≤ 36
Paso (1): Formamos la función Lagrangiana:
π = 64x – 2x2 + 96y - 4y2 - 13 + λ(36 – x – y)
Paso (2): Por las condiciones de Kuhn-Tucker:
πx= 64 – 4x - λ ≤ 0 πy= 96 – 8y - λ ≤ 0 λ π = 36 – x – y ≥ 0
x ≥ 0 y≥ 0 λ≥ 0
x ( 64 -4x - λ ) = 0 y ( 96 – 8y - λ ) = 0 λ( 36 – x – y ) = 0

Paso (3): Se testean o revisan las condiciones de Kuhn-Tucker:
(a): Si λ, x, y > 0 entonces de las condiciones de Kuhn-Tucker llevan a:
64 -4x - λ = 0
96 – 8y - λ = 0
36 – x – y = 0
Paso (4): En forma de matriz:
Paso (5): Usando la Regla de Cramer donde:
A∣ = 12 ∣Ax∣ = 256 ∣Ay∣ = 176 ∣Aλ ∣ = -256
se obtiene que: x= 21.33 y = 14.67 λ = -21.33
Lo cual no puede ser óptimo ya que λ< 0 y contradice las condiciones de Kuhn-Tucker

(b) Si λ= 0 y x, y > 0 entonces
64 – 4x = 0 x = 16
96 – 8y = 0 y = 12
Esto da la solución correcta: x = 16, y = 12 y λ= 0, lo cual es óptimo ya que no viola
ninguna condición de Kuhn-Tucker

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