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NÚMERO
Y OPERACIONES


EJE
Número y Operaciones

Los saberes que se ponen en juego

Para que los alumnos puedan aprender los saberes incluidos en los núcleos, en
la escuela tendremos que proponer situaciones de enseñanza en las que se
pongan en juego distintos aspectos de estos. Se trata de que los conocimientos
matemáticos se introduzcan en el aula asociados con los distintos problemas
que permiten resolver para luego identificarlos y sistematizarlos.
Esto es:

• Usar números naturales de una, dos, tres y más cifras, a través de su
designación oral y representación escrita, al comparar cantidades y números.
• Identificar regularidades en la serie numérica y analizar el valor posicional
en contextos significativos al leer, escribir, comparar números de una, dos, tres
y más cifras, y al operar con ellos.
• Usar las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división
con distintos significados.
• Realizar cálculos exactos y aproximados de sumas y restas con números de
una, dos y tres cifras eligiendo hacerlo en forma mental o escrita en función
de los números involucrados articulando los procedimientos personales con los
algoritmos usuales.
• Usar progresivamente resultados de cálculos memorizados (sumas de
decenas enteras, complementos a 100, dobles) y las propiedades de la adición
y la multiplicación para resolver otros.
• Explorar relaciones numéricas1 y reglas de cálculo de sumas, restas
y multiplicaciones, y argumentar sobre su validez.
• Elaborar preguntas o enunciados de problemas y registrar y organizar datos
en listas y tablas a partir de distintas informaciones.

1
Las relaciones numéricas que se exploren estarán vinculadas con los conocimientos disponibles
sobre el sistema de numeración decimal y/o las operaciones.


43

Propuestas para la enseñanza

En este apartado, intentamos precisar el alcance y el sentido de los conocimien-
tos que se priorizan en el Eje “Número y Operaciones” con ejemplos de activi-
dades para desarrollar en el aula y de producciones de los niños.
Además, presentamos posibles secuencias de enseñanza que muestran el
tipo de trabajo matemático propuesto desde el enfoque explicitado en el apar-
tado “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo”.

Para leer y escribir los números naturales
Los números naturales se usan en diferentes situaciones, por ejemplo, para
determinar la cantidad de elementos de una colección (aspecto cardinal),
para saber en qué posición se encuentra un objeto dentro de una lista ordena-
da (aspecto ordinal), y también para anticipar resultados de una transformación
en la cantidad de objetos de una colección pero sobre los cuales se tiene algu-
na información. Por ejemplo, si sabemos sumar 4 + 3 = 7 no es necesario rea-
lizar un conteo efectivo para conocer cuántos chicos hay en una plaza donde
había 4 jugando y después llegaron 3.
En 2o año/grado también se usan los números para expresar medidas. En
general, las medidas se indican con números racionales, que se escriben con
expresiones fraccionarias o decimales. En algunos casos, como al indicar que un
recorrido es de 5 baldosas o de 4 pasos, se escribe un número natural, que tam-
bién es racional (5 = 10 = … ; 4 = 400 = … ).
2 100
En cuanto a las formas de representar los números naturales, consideramos
tanto su designación oral, es decir, la forma de nombrarlos y leerlos, como su
escritura convencional con cifras. Para aprender los números, es necesario, en
principio, que los chicos los usen en diferentes situaciones y discutan las rela-
ciones que establecen entre esas dos formas de representación.
Para que los alumnos continúen avanzando en el conocimiento de la repre-
sentación de los números naturales, es necesario que ofrezcamos una amplia y
variada gama de problemas en tramos de la serie numérica cada vez más
amplios. Para dicho trabajo, es conveniente plantear situaciones como las que
se desarrollan en este apartado que den lugar a que los chicos puedan contar
de 1 en 1, de 2 en 2 y de 10 en 10, registrar cantidades y posiciones, analizar
escrituras, comparar y ordenar números en distintos intervalos de la serie.
En cuanto a las situaciones donde usen números para anticipar el resultado de
una transformación de la cantidad de elementos, desarrollaremos algunos ejemplos
en el apartado “Plantear situaciones para sumar y restar con distintos significados”.


>
44 Matemática 2

Cuando se apunte al trabajo con regularidades y se consideren distintos tra-
mos de la serie numérica, el trabajo de reflexión sobre qué se repite y qué varía
en cada uno se apoyará en la posibilidad de leer y escribir los números y a la vez
contribuirá a ampliar estos conocimientos.

Plantear situaciones para determinar cantidades y posiciones
El avance en el dominio del conteo se puede dar en la medida en que plantee-
mos situaciones que apunten a la extensión de la serie numérica, es decir que
tengan que contar hasta números más grandes que los conocidos. Estas situa-
ciones podrán requerir contar de 1 en 1 a partir de 1 o desde un número cual-
quiera, descontar desde cualquier número, y también contar de 2 en 2, de 5 en
5 o de 10 en 10. Para este último caso, se podrá proponer, por ejemplo, la
siguiente actividad, basada en un juego clásico y bastante difundido.

“El que mueve pierde”: contar de 2 en 2, de 5 en 5 y de 10 en 10
Materiales: para cada grupo, un juego de palitos chinos o 30 palitos de
madera pintados de 3 colores diferentes. A cada color se le asignará un
puntaje, por ejemplo: 2 para el rojo, 5 para el verde y 10 para el azul.
Organización del grupo: se divide la clase en grupos de 2, 3 o 4 alumnos.
Desarrollo: en cada grupo, un alumno toma con una mano todos los
palitos, los coloca en posición
perpendicular a la mesa y luego
los deja caer. Los palitos quedarán
entonces sobre la mesa,
superpuestos o no, y en distintas
posiciones. Respetando el orden de
la ronda, cada jugador levanta de a
uno los palitos sin mover los
demás. En el momento en que
mueve alguno, debe dejar el turno
al siguiente jugador. Cuando no quedan palitos sobre la mesa, cada uno
cuenta el puntaje obtenido teniendo en cuenta el valor de cada palito. Se
asigna 20 puntos extras al primero que obtiene su puntaje total.

En la primera vuelta, probablemente los chicos usarán variadas estrategias
para averiguar el puntaje total; las intervenciones tendrían que apuntar a la con-
veniencia de organizar los palitos obtenidos por colores y luego realizar el conteo.
Más adelante en el año, se puede proponer que jueguen varias vueltas y que el
conteo parta desde el número registrado en la vuelta anterior.


Eje

Número 45
y Operaciones

Otros juegos en los que hay que hacer un recuento de puntaje pueden dar
lugar al uso de distintas escalas. Por ejemplo, en un tiro al blanco donde los dife-
rentes puntajes están en el blanco y cada acierto en un sector vale 10 puntos,
en otro, 5 puntos y en el tercero, 2 puntos, o en un juego de embocar objetos
en una lata donde los distintos puntajes se asignan a los colores de los objetos
que se tiran, por ejemplo pelotitas de papel o chapitas.

También podemos presentar situaciones en las que sea necesario contar los
elementos ordenados de una colección numerosa, como las sillas ordenadas en
filas de 10 en el salón de actos, los bancos puestos de a 5 en cada mesa en el
comedor de una escuela, los ravioles en las planchas, los tutores de plantas
colocados con una distancia fija entre ellos.
Otras situaciones propicias para contar colecciones numerosas que, en prin-
cipio, no están ordenadas, son los votos de todos los alumnos de la escuela o
de varios grados cuando se elige el nombre de la biblioteca o del periódico esco-
lar, los tomates recogidos en una huerta o los troncos de árboles talados.2

3
Recomendación de lectura: se recomienda la lectura de la secuencia “El coleccionista”
desarrollada en el Cuaderno para el aula: Matemática 1, en la que los alumnos tienen que
contar “grandes colecciones” desordenadas. Las citas completas de los textos mencionados
en este Eje se encuentran en la “Bibliografía”, al final de este Cuaderno.


>
46 Matemática 2

Luego de contar los elementos de las colecciones, podemos tanto analizar los
procedimientos utilizados como las dificultades encontradas. Es probable que
algunos alumnos, al contar los elementos de 1 en 1, hayan “perdido la cuenta” en
más de una oportunidad mientras que otros pueden armar grupos o montoncitos
con los objetos, o descubrir la regularidad de los elementos en la repetición (por
ejemplo, 5 sillas por mesa o 10 butacas por fila). Así, los alumnos pueden llegar
a descubrir las ventajas de ciertos procedimientos a partir del intercambio sobre
cómo lo hizo cada uno, ya que agrupar los objetos facilita y permite que se haga
más rápido el conteo de la colección.
Convendrá también proponer situaciones en las que tenga sentido contar para
atrás o descontar, como para indicar el momento exacto para comenzar una acti-
vidad a partir de la “cuenta regresiva”, por ejemplo, prepararse para una carrera y
cuando se llega a 0 salir corriendo.

Plantear situaciones para analizar la escritura de los números
En 2o año/grado, debemos tener en cuenta que un mismo niño, al apoyarse en
la información que extraen de la forma de nombrar los números, puede repre-
sentar convencionalmente algunos números y otros de manera no convencional.
Las investigaciones didácticas muestran que el aprendizaje de la escritura
convencional de los números no sigue el orden de la serie numérica, es decir,
primero los más chicos y luego los más grandes. Los niños aprenden primero a
escribir algunos nudos o números redondos (10, 20, …, 100, 200, …, 1000,
etc.) y después se apropian de la escritura de los números que se ubican en los
intervalos entre los nudos. Veamos unos ejemplos.

En este caso, podemos preguntarnos qué sabe Diego de los números.
Conoce cómo se escriben convencionalmente algunos de dos y tres cifras (54
y 154) y también algunos nudos (400 y 500). Para escribir 354, Diego se apoya
en la información que extrae de la “numeración hablada”, el 354 se lee trescien-
tos cincuenta y cuatro, lo que da cuenta de la descomposición aditiva 300 + 50
+ 4. Entonces, Diego comienza a escribir el “trescientos” pero continúa escri-
biendo el 54 de manera convencional porque ya lo conoce.
Estas escrituras erróneas aparecen al plantear como problema la escritura
de números “grandes”, que todavía no han sido objeto de enseñanza y, en
algunos casos, subsisten aun cuando se hayan trabajado. Es posible entonces,


Eje

Número 47
y Operaciones

desde el enfoque que planteamos, aprovechar estas producciones para que
los chicos avancen en el conocimiento de la serie al confrontar las distintas
escrituras que aparecen.3
Un problema a plantear para analizar escrituras tanto si esas escrituras se
han producido en clase como si esto no ha ocurrido sería: al escribir trescien-
tos cincuenta y cuatro y cuatrocientos, unos chicos lo hicieron de este modo;
¿están bien escritos así?

Se podría generar un espacio de intercambio en el cual los alumnos pueden
explicitar y discutir sus ideas. Ellos, en general, ya saben que el 400 es mayor que
el 354 y también que los números más grandes tienen igual o más cifras, por lo
que pueden llegar a la conclusión de que si el cuatrocientos es mayor que el tres-
cientos cincuenta y cuatro, este último no puede tener mayor cantidad de cifras.
A partir de la confrontación entre las diferentes escrituras numéricas de los
alumnos y entre las argumentaciones con que ellos las fundamentan, es posi-
ble que sus hipótesis entren en contradicción y que avancen hacia la notación
convencional.

3
Recomendación de lectura: para profundizar en el conocimiento de las hipótesis de los
alumnos acerca de la escritura de los números, se recomienda la lectura de Lerner, D. y Sadovsky,
P., “El sistema de numeración. Un problema didáctico”, en: Parra, C. y Saiz, I. (comps.) (1994).


>
48 Matemática 2

Otra manera de discutir sobre este tipo de escrituras consistiría en dar “pis-
tas”, es decir, cierta información que les permita acercarse a la escritura conven-
cional. Por ejemplo, se puede escribir en el pizarrón:

y preguntar: ¿cómo se escribirá
el 330? ¿y el 340? ¿y el 350?
¿Les sirve esto para revisar
cómo está escrito el trescien-
tos cincuenta y cuatro?

En este año/grado, las actividades de análisis de la escritura de números
incluirán, por lo menos, los que tienen una, dos y tres cifras. Estas tareas podrán
plantearse a propósito de situaciones de la vida cotidiana de la escuela y que,
aunque no es frecuente que los chicos participen de su resolución, pueden ser
tomadas por el docente para generar en el grupo la necesidad de leer y escribir
números. Si bien en algunas de estas los chicos también tendrían que operar,
deberán pasar primero por una instancia de registro de cantidades y por otra de
interpretación de números.
Esto puede ocurrir, por ejemplo, si hay que hacer una compra de útiles esco-
lares o de cubiertos, vasos o platos para el comedor. En tal caso, podemos pre-
guntar qué datos son necesarios para decidir la compra, organizar maneras de
generar información, operar eventualmente con ella y registrarla. Luego, al rea-
lizar la compra y ante la caja de los platos, se podrá analizar qué datos de la
información de la etiqueta pueden ser útiles, por ejemplo, el número de platos
envasados o el número de artículo para que todos sean iguales.4

4
En el apartado “Los contextos” de “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo” de este Cuaderno
se ha reflexionado sobre los múltiples factores que determinan las decisiones que tomamos en
nuestra vida cotidiana. Por lo tanto, es conveniente que desarrollemos un intenso trabajo de análisis
de la información disponible que puede influir en la toma de decisiones cotidianas.


Eje

Números y 49
operaciones

En todos los casos, es necesario que los contextos no matemáticos en los
que trabajemos con los números tengan sentido para los alumnos. Por ejemplo:
rifas de un talonario, figuritas en un álbum, precios, distancias entre distintas
localidades.

La lectura y escritura de números también se puede asociar con el registro o
la interpretación de información que derive del trabajo en otras áreas o proyec-
tos particulares en los cuales se manejen cantidades de tres cifras, por ejem-
plo, las distancias entre ciudades en Ciencias Sociales.

También se pueden analizar las escrituras cuando los números no se refieran
a cantidades de objetos, como en un juego de lotería con números de tres cifras
en el que uno del grupo canta los números y los demás ponen los porotos
correspondientes en los cartones.
Es frecuente que presentemos actividades de completamiento de escalas, lo
que requiere contar y descontar y también analizar las escrituras numéricas.
Para evitar que esto se convierta en una actividad tediosa y sobre la cual los
alumnos no tienen indicios de cómo la van realizando, es conveniente que ofrez-
camos una cantidad limitada de números, que los alumnos sean los que deban
descubrir de a cuánto se avanza o retrocede, e incluir algunos números interca-
lados que les permitan evaluar si los completamientos realizados fueron correc-
tos. Por ejemplo,

• Descubrí cómo está armada cada serie de números sabiendo que la
regla para pasar de cada número al siguiente es siempre la misma, y luego
completá los espacios que faltan.

410 - 415 - …… - …… - …… - 435

600 - 500 - …… - …… - 200 - ……

En actividades como las siguientes, los alumnos, además de leer y escribir
números de dos y tres cifras, escribir intervalos numéricos y encuadrar números
entre otros dos, tendrán ocasión de analizar las escrituras. Podemos plantear la
siguiente consigna para que resuelvan en pequeños grupos.


>
50 Matemática 2

• Un grupo de 10 chicos integrantes de un equipo de voleibol organizaron
una rifa para recaudar fondos para viajar al encuentro anual. El talonario
empieza en el 0 y termina en el 199. Los chicos deciden que cada uno va a
vender 20 rifas y las reparten de modo de recibir números consecutivos. El
primero recibió desde el 0 a 19. Indiquen desde qué número y hasta qué
número le corresponde a cada chico.

Al hacer la puesta en común de lo realizado por los grupos, hay que compa-
rar las respuestas de cada uno, ya que algunos habrán escrito todos los núme-
ros de cada chico y otros solo los de los extremos.
Luego se puede presentar una actividad a partir de un cuadro como el
siguiente, sugiriendo que otros alumnos también han organizado una rifa y ano-
taron en un cuadro la información del reparto de los números. Estos chicos ven-
dían 50 rifas cada uno e indicaron solo el primero y el último número del talona-
rio que recibió cada uno.

• Completá los números que faltan.

Bruno Juan Dan Luis Pepe
0-49 50-99 100 - … 150 - … … - 249

José Marco Martín Pedro Diego
…-… 300 - … …-… …-… … - 499

• Respondé.
La tía de Juan quiere las rifas con los números 424 y 205; ¿a quiénes
deberá comprárselas?

Plantear situaciones para comparar y ordenar cantidades y números
Avanzar en la comprensión del orden de la serie numérica requiere de la compara-
ción tanto de cantidades como de números de igual o diferente cantidad de cifras.
Por ejemplo, para que los chicos comparen cuatro números de tres cifras se
puede presentar el siguiente juego.

“Armando el mayor”: comparar números
Materiales: un mazo de 40 cartas con las cifras del 0 al 9 cada cuatro
jugadores.
Organización: la clase se divide en grupos de 4 alumnos.


Eje

Número 51
y Operaciones

Desarrollo: se reparten al azar 3 cartas a cada integrante y se les solicita
que cada uno arme el mayor número posible. Luego, comparan los números
logrados y se anota un punto el que armó el mayor. Al cabo de cuatro
vueltas, el ganador es el que obtiene más puntos.

Luego de jugarlo varias veces, será posible abrir un espacio de discusión para que
los alumnos expliciten las razones por las que pueden afirmar que un número es
mayor o menor que otro. En este sentido, sería interesante que queden registradas
en los cuadernos de clase algunas conclusiones como: el que tiene un número más
grande a la izquierda es mayor o cuando dos números empiezan igual nos tene-
mos que fijar en el número siguiente para saber cuál es el más grande. Esto per-
mitirá volver a ellas en el caso de que alguna nueva situación así lo requiera.
Podemos introducir variantes a este juego modificando la consigna, es decir,
se puede indicar que ganará la mano aquel que logre formar “el menor número
posible” o “un número que esté en un intervalo determinado, por ejemplo, entre
300 y 500”. Esto les permitirá arribar a nuevas conclusiones.5

Después de jugar, se pueden plantear problemas que simulan situaciones de
juego en los que deberán tener en cuenta las conclusiones a las que arribaron
en la discusión posterior.

• Martín recibió tres cartas con las cifras 3 - 5 - 7. Indicá cuál es el mayor
número y cuál el menor que puede formar.
• Con las cartas 2 - 4 - 9, escribí todos los números diferentes que se
pueden armar y ordenalos de mayor a menor.
• Nico sacó las cartas con las cifras 3 - 6 - 8. Indicá todos los números
del intervalo 500 - 800 que pudo escribir.
• Juan armó el número 973, Dani el 954 y María sacó un 9 y un 7. ¿Cuál
es la tercera carta que le tocó si formó un número que está entre el que
armó Juan y el de Dani? ¿Hay una única posibilidad?

5
En el apartado “Los contextos” de “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo” en este Cuaderno
se plantea la necesidad de articular el juego con otras actividades para que este pueda
constituirse en un recurso de enseñanza.


>
52 Matemática 2

Luego, se pueden proponer otros problemas que permitan establecer relacio-
nes del mismo tipo. Por ejemplo:

• Completá la cifra que falta para que los tres números estén ordenados
de menor a mayor
123 3_3 590

345 3_7 389

705 _04 806

Al finalizar la resolución individual, y en función de la confrontación de las res-
puestas de los alumnos, se puede generar una discusión acerca de la cantidad
de soluciones que admiten estas situaciones. Para iniciar el debate se puede
plantear: un chico me dijo que encontró tres soluciones para el segundo caso,
¿es posible? ¿Y para los otros?

Otro tipo de actividad que permite a los alumnos establecer relaciones entre los
números de un cierto intervalo seleccionado convenientemente es el siguiente.

“Averiguar el número”: establecer relaciones entre números
Organización del grupo: en equipos de hasta 4 participantes.
Desarrollo: el maestro piensa un número perteneciente a un intervalo
determinado previamente; por ejemplo, entre 0 y 100. Los participantes de
cada grupo tendrán que realizar preguntas que se puedan responder por
“sí” o por “no” para averiguar el número pensado. Cada grupo puede anotar
lo que necesite para registrar su trabajo. Esas preguntas y sus respuestas
no deben ser escuchadas por el resto de los grupos. Gana el grupo que
averigua el número con menor cantidad de preguntas.

A partir de este juego se pretende que los chicos utilicen relaciones como “es
mayor que…”, “está entre… y …”, “es menor que…”, “termina en…”, “empieza
con…”. En el transcurso, el docente podrá tomar información acerca de las rela-
ciones que usan los alumnos, es decir, cuáles tienen efectivamente disponibles
para la resolución del juego.
La representación en una banda de números o una recta numérica del inter-
valo inicial y los fragmentos que se van descartando es un modo de registro que,
si no es utilizado por los niños, puede ser introducido por el docente.


Eje

Número 53
y Operaciones

Después de dos o tres partidas, es posible pedirles que anoten las preguntas
que van haciendo, sus respuestas y los números que fueron descartando a par-
tir de ellas. Al finalizar el juego, se podrá entonces discutir respecto de cuáles
son las mejores preguntas para ganar, es decir, cuáles son las que permiten des-
cartar mayor cantidad de números.

Para conocer el sistema de numeración
El sistema de numeración decimal es un modo de representar cantidades que
tiene características propias: usa un conjunto de diez símbolos entre los cuales
el cero tiene una función especial y cada símbolo tiene un valor distinto según
la posición que ocupe en el número. Para escribir una cantidad en este sistema,
es necesario respetar algunas reglas: cuando se usa más de un símbolo, estos
se escriben en forma horizontal, y en cada posición, el valor del símbolo es 10
veces mayor que en la posición a su derecha.
Al abordar en la escuela el trabajo de interpretación y escritura de números,
habitualmente se presentan las unidades, las decenas como grupos de 10 unida-
des, las centenas como grupos de 100 unidades (o de 10 decenas), etc. Este
abordaje se centra en la idea de agrupamiento y en la descomposición del núme-
ro en unidades, decenas y centenas, según la posición de cada cifra. Así, compren-
der que 345 es 3 centenas, 4 decenas y 5 unidades implica pensar el 345 como
3 x 100, 4 x 10 y 5 x 1. Esta descomposición, aunque se escriba solo como 3 c,
4 d y 5 u es una descomposición que involucra la multiplicación y es frecuente que
se utilice antes de haber iniciado la enseñanza de la multiplicación.
Otra manera de iniciar el estudio de la serie es considerar como punto de par-
tida las ideas de los niños cuando tienen que interpretar números. Ellos, en gene-
ral, para decidir cuánto vale una cifra en cada posición, se apoyan en la forma de
nombrarlos: hay un lugar para los “dieces”, otro para los “cienes”, etcétera.
Esto puede aprovecharse para relacionar la “numeración hablada” (la forma de
decir los números) con la escrita. Así, es posible proponerles que exploren tramos de
la serie numérica escrita para establecer relaciones entre los números y analizar
regularidades. Las características que se repiten en cada tramo se dan tanto en lo
oral como en lo escrito. Por ejemplo, a 31, 32, 33, corresponden a los “treinti”: trein-
ta y uno , treinta y dos, treinta y tres. Esto no ocurre en el tramo del 11 al 15 porque
sus nombres no comienzan con “dieci” ni en el caso de los “veinti...” ya que no se aso-
cian con el 2 del mismo modo que los “treinti...” con el 3 o los “ochenti...” con el 8.
La forma de nombrar los números da lugar a pensarlos como ya planteamos,
como la suma de sus “partes”. Esta forma de descomposición, denominada adi-
tiva, resulta más adecuada a las posibilidades que tienen los niños para iniciar-
se en el conocimiento del sistema de numeración.


>
54 Matemática 2

Consideremos el siguiente cuadro como una presentación de los cien primeros
números naturales en donde es más sencillo reconocer las primeras regularidades:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100

Las regularidades de la serie numérica a la que nos referimos son las siguien-
tes: los números que aparecen escritos en la primera fila son de una cifra y van
cambiando desde 0 hasta 9. En la segunda fila, el primer número termina en 0,
el segundo en 1 y el último en 9, mientras que la primera cifra no se modifica.
Esta misma situación se repite en las filas siguientes.
Al decir los números, entonces, todos los de una fila, a partir de la del 20,
empiezan igual y terminan con la serie de uno a nueve: “veintiuno, veintidós, vein-
titrés,...”, “treinta y uno, treinta y dos, treinta y tres...”, etcétera.
En las columnas, lo que cambia es el inicio del número, mientras que la última cifra
se mantiene constante. Así, los números de la primera columna terminan en 0, en la
segunda terminan en 1, etc. Al decir los números de una columna, todos empiezan
pero terminan igual: “veintiuno, treinta y uno, cuarenta y uno”, etcétera.
La explicitación y el análisis de las regularidades de nuestro sistema de
numeración, así como la composición y descomposición aditiva de números irán
dando lugar a que los chicos elaboren la idea de valor posicional de un modo
incipiente, teniendo en cuenta que llevará varios años de la escolaridad lograr
una comprensión más acabada de esta noción.

Plantear situaciones para analizar regularidades
El trabajo respecto de las regularidades de la serie se puede continuar en 2o
año/grado con el mismo recurso utilizado en 1o, el cuadro de números de 0 a 100.


Eje

Número 55
y Operaciones

Luego, se pueden introducir nuevos cuadros para extender el estudio a otros inter-
valos numéricos, por ejemplo: de 100 a 200 o de 400 a 500 con los números
aumentando de 1 en 1, o donde los números cambien de 10 en 10 (entre 1 y 1000).6
Las diversas actividades que presentamos apuntan al reconocimiento de la
escritura de números y a la toma de conciencia del valor diferente que tiene
cada cifra en el número escrito. En este sentido, es conveniente acercar nues-
tro lenguaje al que usan los chicos al nombrar las posiciones “cienes”, “dieces” y
“unos”, pues esos son los términos significativos para ellos.
Los contextos apropiados para presentar situaciones con estos cuadros
numéricos suelen ser diferentes según el intervalo que se desee trabajar. Así,
los números de 0 a 100 pueden identificar, además de números de una rifa, las
habitaciones de un gran hotel o las posiciones en un juego de la lotería de car-
tones que se completa al sacar bolillas de una bolsa. Si se tratara de números
mayores que 100, los cuadros pueden usarse como control de la venta de talo-
narios de rifas de más números, o de las figuritas que se completan en un álbum,
o de los libros que un bibliotecario tiene inventariados en un fichero, o de un
fotógrafo que tiene su material clasificado, etcétera. 7

100 101 102 103 104 105 106 107 108 109
110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
120 121 122 123 124 125 126 127 128 129
130 131 132 133 134 135 136 137 138 139
140 141 142 143 144 145 146 147 148 149
150 151 152 153 154 155 156 157 158 159
160 161 162 163 164 165 166 167 168 169
170 171 172 173 174 175 176 177 178 179
180 181 182 183 184 185 186 187 188 189
190 191 192 193 194 195 196 197 198 199
200

6
Recomendación de lectura: según cuál sea el dominio de la serie de 1 a 100 alcanzado
por los alumnos, se puede retomar el tratamiento de este tema por medio de las propuestas
planteadas en el Cuaderno para el aula: Matemática 1, en el apartado “”Plantear situaciones
para analizar regularidades”.
7
Recomendación de lectura: para profundizar en el análisis de las actividades con cuadros
numéricos se sugiere la lectura de: Parra, C. (1992), Los niños, los maestros y los números,
Desarrollo curricular 1º y 2º grados.


>
56 Matemática 2

En este cuadro, al igual que el que va desde 0 hasta 100, los números cam-
bian de 1 en 1, la última cifra va cambiando desde 0 hasta 9 mientras la cifra
del medio se mantiene igual en 10 números seguidos antes de cambiar al
siguiente, en el que también realiza un recorrido de 0 a 9, etc. En cuanto a la ter-
cera cifra comenzando desde la derecha, se mantiene igual para las10 filas.
Luego de interactuar con el cuadro de números, es esperable que los alum-
nos comiencen a establecer ciertas relaciones que pueden ser enunciadas con
frases como en esta columna todos los números terminan en...; en esta fila
todos comienzan con...; todas las filas terminan en 9; después de los casille-
ros terminados en 9 viene uno que termina en 0; en esta fila el número del
medio es...; si bajo un casillero es lo mismo que sumar 10; si subo un casi-
llero es lo mismo que quitar 10, etcétera.

Una primera actividad que se puede presentar con el cuadro anterior consis-
te en tapar algunos números, por ejemplo: 104, 112, 129, 137, 154, 173, 185 y
preguntar: ¿cuáles son los números tapados? ¿Cómo se dieron cuenta?
La consigna no solo requiere que los alumnos escriban o nombren cuál es el
número: también es importante que fundamenten cómo se dieron cuenta a
qué número corresponde cada casillero. Por ejemplo, algunos chicos podrían
afirmar: es el 154 porque viene después del 153 y/o antes del 155; porque
está en la fila del ciento cincuenta y conté cuatro lugares; porque está en la
fila del 150 y en la columna de los que terminan con 4. Es a partir de la con-
frontación de las argumentaciones que se podrán generar discusiones acerca
de la conveniencia de utilizar una u otra estrategia de acuerdo con el número en
cuestión. Por ejemplo, comenzar a contar desde 100 puede resultar eficaz para
averiguar los números más pequeños que estén tapados (104 o 112), pero no
cuando se trata de números más grandes como el 185.

Para continuar, se pueden proponer tablas con menos información presen-
tando un cuadro con los números que encabezan las filas y las columnas, como
el siguiente.


Eje

Número 57
y Operaciones

• Completá los casilleros marcados.

300 301 302 303 304 305 306 307 308 309
310
320
330
340
350
360
370
380
390
400

Por ejemplo, para escribir 346, los chicos pueden establecer relaciones entre
los números que encabezan la fila y la columna: está en la fila de los que empie-
zan con 3 y 4 y la columna de los que terminan con 6.
Otras consignas que es posible proponer con el mismo cuadro son las que siguen.

• Ubicá el 344 y todos los números que lo rodean.
• Escribí los cinco números que siguen al 388.
• Completá la columna de los que terminan en 7.

Ya avanzados en el trabajo, podemos presentarles aún menos información,
proporcionando solo fragmentos de cuadros para completar a partir de un dato
correcto con consignas tales como las siguientes.

• En esta parte de un cuadro de 187
números completá los casilleros
remarcados.


>
58 Matemática 2

• En esta parte de un cuadro de 500 502 503
números encontrá los “intrusos”, es
decir, aquellos que no están bien 510 514
ubicados sabiendo que el número
remarcado está en el lugar que le 515
corresponde.
542

Al presentar estos recortes de cuadros, es necesario hacer hincapié en que se
presenta solo una parte de un cuadro y no un cuadro de cinco por cinco, pues de
lo contrario pueden suponer que en el lugar del 510 tendría que estar el 505.

En 2o año/grado, es conveniente que las actividades se realicen también en
cuadros en los que las variaciones entre casilleros vecinos en sentido horizontal
sean de 10 en 10, como el siguiente.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
200 210 220 230 240 250 260 270 280 290
300 310 320 330 340 350 360 370 380 390
400 410 420 430 440 450 460 470 480 490
500 510 520 530 540 550 560 570 580 590
600 610 620 630 640 650 660 670 680 690
700 710 720 730 740 750 760 770 780 790
800 810 820 830 840 850 860 870 880 890
900 910 920 930 940 950 960 970 980 990
1000

Este cuadro se puede hacer en un afiche y colgarlo en el aula a la vista de
todos para que los chicos puedan recurrir a él cuando necesiten obtener infor-
mación al escribir distintos números.
A partir del mismo cuadro se pueden proponer diferentes preguntas: ¿qué
cambia en el número cuando se aumenta de a 10? ¿Qué cambia en el núme-
ro cuando se baja un casillero? ¿Qué números del cuadro pueden ayudar para
saber si ochocientos quince está bien escrito de la siguiente manera: 815? o
¿Les sirve saber cómo se escribe 810, 820, 830 para escribir 815?


Eje

Número 59
y Operaciones

Teniendo en cuenta que los conocimientos numéricos de un grupo escolar son
siempre heterogéneos es conveniente que propongamos, además de tareas
iguales para todos los niños, otras diferenciadas para que cada uno pueda avan-
zar de acuerdo con sus conocimientos disponibles. Así, mientras algunos grupos
pueden trabajar completando lugares en el cuadro incompleto, otros pueden
hacerlo con fragmentos de cuadros, y, en este último caso, con tres o cuatro
números como información o solo con uno.
En todas las situaciones, es necesario que, durante la clase, interactuemos con
diferentes alumnos y también que promovamos la interacción de ellos entre sí. Al
exponer en las puestas en común cómo pensó cada uno para resolver, todos pue-
den descubrir estrategias nuevas. Además, es necesario buscar semejanzas y
diferencias entre las estrategias empleadas para precisar sus características, deli-
mitar sus posibilidades de uso y, tal vez, utilizarlas en nuevas situaciones.

Plantear situaciones para componer y descomponer números
Continuando el trabajo realizado en 1er año/grado, presentamos propuestas para
que los alumnos realicen composiciones y descomposiciones aditivas de núme-
ros y, también, para que se inicien en la descomposición multiplicativa. Estas
actividades se pueden plantear en una variedad de contextos.
Algunos de ellos son los que proporcionan los juegos con dinero o aquellos en los
que se van sumando puntos, como los de emboque, tiro al blanco o dados, etcétera.
En el caso de usar el dinero, una cantidad se expresa mediante la suma de
los valores de los billetes y monedas. Para trabajar con la composición de los
números en el sistema decimal conviene elegir solo billetes de $ 100, $ 10 y
monedas de $ 1, como se verá en la secuencia que presentamos.
En el caso de los juegos de emboque o tiro al blanco, las composiciones de can-
tidades tendrán como sumandos los valores que demos a cada tiro o dado. Así, por
ejemplo, si queremos que el puntaje total resulte como suma de cienes, dieces y
unos, o productos donde intervienen esos números, en un blanco con tres regiones
circulares concéntricas podemos restringir los valores de cada región a 1, 10 y 100.
Por ejemplo, 143 puntos pueden ser:

– la suma del valor de cada uno de los tiros: 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1;
– la suma de los totales de puntaje de cada círculo: 100 + 40 + 3;
– el total de cada círculo expresado como producto entre el puntaje de cada uno
y el número de tiros en él: 1 x 100 + 4 x 10 + 3 x 1.


>
60 Matemática 2

Antes de iniciar el trabajo con descomposiciones aditivas o multiplicaciones
del tipo descrito, se puede proponer un juego como el siguiente, que permite a
los chicos avanzar en el conocimiento de un número por medio de las diferen-
tes formas de escribirlo con adiciones de números cualesquiera.

“Tutti fruti de cálculos”: escribir números con sumas y restas
Materiales: por alumno, una tabla para completar con 9 columnas y 8 filas.
Se usa una fila por mano.
Organización del grupo: se juega en grupos de cuatro jugadores.
Desarrollo: por turno, un jugador va contando “para adentro” y otro del
grupo debe decir “alto ahí”. Cuando esto ocurre, el que contaba dice el
último número al que llegó. Luego, todos escriben el número cantado en la
primera columna y deben completar la primera fila de todas las columnas
con cuentas de sumar o restar que den ese número. El primero que termina
dice “basta” y el resto de los integrantes interrumpe su tarea solo si ya han
escrito por lo menos cuatro cuentas. Por último, se procede a asignar
puntos del siguiente modo: las cuentas cuyo resultado no sea el número
cantado valen 0, las que sean compartidas por dos o más chicos valen 5
puntos, y las no repetidas valen 10 puntos.
Gana el jugador que, al cabo de 4 vueltas, obtuvo el mayor puntaje.

Secuencia para componer y descomponer números: “El juego del cajero” 8
Los propósitos de esta secuencia son: utilizar descomposiciones aditivas y mul-
tiplicativas ligadas con la numeración, comprender y utilizar las reglas de la
numeración oral, y hacer funcionar los cambios 10 por 1 en dos niveles: diez
monedas de 1 se cambian por un billete de 10, y diez billetes de 10 se cambian
por uno de 100. En las primeras actividades, las descomposiciones y cambios
se hacen con las monedas y billetes, sin que los alumnos tengan que registrar
los valores pues están escritos en estos.

8
Adaptación de una actividad propuesta en el libro Apprentissages numériques et résolution de
problémes. Cours préparatoire, del Grupo ERMEL (1991).


Eje

Número 61
y Operaciones

Actividad 1
Los materiales 9 para cada grupo de 4 niños son: 30 monedas de $ 1; 30 bille-
tes de $ 10; 6 billetes de $ 100. Los billetes y monedas pueden ser fotoco-
piados de billetes auténticos o extraídos de algún juego de mesa, o fabricado
con rectángulos de papel de diferentes tipos o colores. El cajero debe tener
tres cajas para guardar las distintas clases de billetes y 22 cartones, cada uno
con un número del 8 al 30.
La clase se organiza en grupos de 4 niños. En cada grupo se nombra un
alumno que será el cajero y que tiene los billetes de $ 1, $ 10 y $ 100.
Se juegan tres vueltas y será ganador el que tenga menos dinero al
finalizar. Por turno, cada alumno del grupo que no es cajero va extrayendo un
cartón y pidiendo al cajero la cantidad de dinero expresada allí, especificándole
qué billetes desea. Cada chico conserva los cartones y los billetes que extrajo.
Al finalizar las tres vueltas, cada uno dice cuánto dinero tiene.

Si un alumno extrae, por ejemplo, el cartón que dice 27, puede pedir 27 bille-
tes de $ 1, o 1 de $ 10 y 17 de $ 1 o 2 de $ 10 y 7 de $ 1.
Para averiguar el total, los chicos suelen usar procedimientos diferentes:
agrupar los billetes según su valor, contar cuántos billetes de cada clase tiene y
sumar, o agrupar y pedir cambio al cajero por billetes más grandes, o hacer la
suma con los números escritos en los cartones.
Cuando todos los grupos tengan un ganador, podemos organizar la puesta
en común de los diferentes procedimientos para calcular el total de ganancias,
pidiendo a los niños que los expliciten. Es conveniente insistir en la verifica-
ción de la actividad preguntando si los cambios son correctos, si hay una
correspondencia entre el total y los billetes, y entre el total con los números
de los cartones, e invitando a los niños a controlar el dinero que han ganado
de las dos maneras.10
Por último, podemos proponer al conjunto de la clase una actividad para
resolver en el cuaderno, con preguntas como las siguientes.

9
Estos materiales se pueden obtener de Chemello, G. (coord.), Agrasar, M. y Chara, S. (2001).
10
En el apartado “La gestión de la clase”, de “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo” de este
Cuaderno, precisamos el sentido de los intercambios grupales en las puestas en común.


>
62 Matemática 2

• Mariana ha extraído los cartones que dicen 15, 20 y 8. Ella dice que en
total ha obtenido 42. ¿Es correcto?
• Lucio tiene los siguientes billetes y monedas. ¿Cuánto dinero tiene?

• Sumando sus cartones, Melisa ha obtenido 56. ¿Qué billetes puede ser
que tenga? Escribí distintas posibilidades.
• Los cartones de Carolina suman 66. ¿Qué billetes tiene? Proponé dos
posibilidades.

Actividad 2
Una vez que los alumnos conocen el juego, es posible avanzar para lograr que
el total que se gane pueda pasar el 100. Para ello, la partida será de cinco
turnos por niño. A continuación, se pueden volver a proponer actividades de
cuaderno similares a las anteriores.

Actividad 3
Se trata de una actividad de comunicación en la que cada grupo de alumnos
tendrá que elaborar e interpretar un mensaje. La clase se organiza en una
cantidad par de grupos, por ejemplo, 6. En la primera parte de la clase, todos
los grupos elaboran un mensaje y, luego, cada uno intercambiará su mensaje
con otro grupo previamente establecido.
El material que proponemos armar para cada grupo consiste en un sobre con
una cierta cantidad de billetes y monedas. Por ejemplo, que contengan
respectivamente las cantidades siguientes: dos sobres con $ 43, dos con $ 56
y dos con $ 133. Cada par de sobres con la misma cantidad de dinero
formada con billetes distintos será entregada al par de grupos que intercam-
biarán los mensajes. Así, los sobres pueden tener:

$ 43 { 3 billetes de 10 y 13billetes de 1.1.
4 billetes de 10 y 3
billetes de

4 billetes de 10 y 16 billetes de 1.
$ 56 { 3 billetes de 10 y 26 billetes de 1.
1 billete de 100, 3 de 10 y 3 de 1.
$ 133 { 1 billete de 100, 2 de 10 y 13 billetes de 1.


Eje

Número 63
y Operaciones

Les damos un sobre con una cierta cantidad de billetes y una posible consigna
para la tarea sería: Deben escribir un mensaje al otro grupo que diga cuánto
dinero tienen ustedes y cuántos billetes de cada clase, para que ellos
formen después la misma cantidad de dinero con los mismos billetes.
Luego de recibir el mensaje, el otro grupo tiene que reunir en un sobre
vacío que le vamos a dar lo mismo que hay en el sobre de ustedes.
Después se reúnen para ver si los dos sobres tienen los mismos billetes.
No vale dibujar los billetes en el mensaje.
Los mensajes que podrían escribir serían, por ejemplo, como los siguientes:

Indica el valor de cada uno de los billetes sin incluir signos de suma.

Suma los valores de los distintos billetes.

Indica la cantidad de cada tipo de billete.

Cuando los grupos comprueban que los sobres tienen la misma cantidad de
dinero y de billetes, el docente propone una puesta en común, de modo de arri-
bar a conclusiones como las siguientes:
– Una cantidad de dinero se puede formar con distintos billetes.
– Hay una manera de formar la cantidad de dinero con billetes de 10 y de 1 que
se obtiene “mirando las cifras” de la cantidad a formar; en los ejemplos del juego,
esa descomposición es la que utiliza la menor cantidad de billetes posibles.
– Para obtener otra descomposición de más billetes, hay que cambiar 1 billete
de 10 por 10 monedas de $ 1, con lo cual se obtiene una descomposición con
9 billetes más.


>
64 Matemática 2

Con los registros de cada uno de los grupos, podremos proponerles que
encuentren parecidos y diferencias entre las distintas escrituras. En los dos pri-
meros casos, el armado del 43 se apoya en los aspectos aditivos del número y,
en la última, comienzan a aparecer los aspectos multiplicativos (3 de 10 + 13
de 1, es 3 x 10 + 13 x 1). No pretendemos que los alumnos reconozcan los
aspectos multiplicativos de nuestro sistema de numeración, sino que empiecen
a utilizarlos al resolver problemas.

Actividad 4
Se propone el mismo juego que en la Actividad 2 con la siguiente variante: en
cada pedido, el cajero no puede dar más de 9 billetes de una misma clase
y el pedido se realiza por escrito. Se trata de lograr que al finalizar la clase,
en la síntesis colectiva, se llegue a la idea de que mirando la escritura del
número sobre el cartón se sepa lo que hay que pedir al cajero. Cuando se
extrae un cartón como el 23, por ejemplo, se podría pedir 1 billete de $ 10 y
13 de $ 1 o 2 billetes de $ 10 y tres de $ 1, pero solo esta última forma
respeta la restricción.
Luego, podemos plantear ejercicios sistemáticos en el cuaderno, escribiendo
algunos números en el pizarrón y que los niños escriban los billetes que hay
que pedirle al cajero.

Actividad 5
Por medio de los problemas que siguen se busca descomponer los números
aditiva y multiplicativamente. En estos será necesario poner en común de qué
manera la escritura convencional del número informa acerca de algunas
descomposiciones.

• Joaquín le pide al cajero del banco cambio de $ 1000. Le pide diez
billetes de $ 10 y el resto, de $ 100. Mariana, en cambio, le pide cambio de
$ 1000, pero todo en billetes de $ 100. ¿Qué billetes le dará el cajero a
cada uno? Completalo en la siguiente tabla.

Billetes de 100 Billetes de 10 Billetes de 1

Joaquín
Mariana


Eje

Número 65
y Operaciones

• Nicolás pide que le paguen los $ 130 en billetes de $ 10. ¿Cuántos
billetes le dará el cajero?
• ¿Cómo formar $ 500 con 3 billetes de $ 100 y el resto de $ 10?
• ¿Cómo formar $ 500 con 3 billetes de $ 100, 15 de $ 10 y el resto de
$ 1?
• Laura tiene 3 billetes de $ 100 y tiene que pagar justo $ 135. Va a pedir
cambio al banco, pero quiere la menor cantidad posible de billetes. ¿Qué
billetes le darán?

En las primeras actividades de esta secuencia, los chicos componen núme-
ros hasta 30 con diferentes sumandos. También hacen sumas, manipulando
billetes o no según sus conocimientos, que no van a superar el 90 en la prime-
ra y el 150, en la segunda. En la tercera, los alumnos establecerán relaciones
entre dos maneras de formar una cantidad, siendo una de ellas la composición
donde hay tantos “dieces” y “unos” como indica el número. En la cuarta, conti-
núan trabajando con esta descomposición, respondiendo a la restricción de no
tener más de 9 billetes de cada tipo, con lo que cada número se puede relacio-
nar con su descomposición multiplicativa (es posible pensar 3 de 10 y 5 de 1
como 3 x 10 + 5 x 1, sin escribirlo aún de esta forma). En la quinta, se vuelve
sobre estas descomposiciones, pero sin usar los billetes.
La secuencia, entonces, permite que los alumnos avancen en su comprensión
de nuestro sistema de numeración. Su desarrollo puede pensarse a lo largo de
varias semanas de clase, como parte de una unidad de trabajo en la que se
incluyan otras actividades.
También puede retomarse en 3o o 4o años/grados trabajando fundamental-
mente sobre situaciones hipotéticas y ampliando el campo numérico.

Teniendo en cuenta que estas actividades de composición y descomposición
se puedan realizar en una variedad de contextos, proponemos a continuación
una actividad de juego de emboque, que también da lugar a que los alumnos
establezcan relaciones aditivas y multiplicativas. Plantear situaciones para el
mismo conocimiento en nuevos contextos favorece que las relaciones estable-
cidas se independicen de ellos y, por lo tanto, se favorece la posibilidad de su
transferencia a otras situaciones.
Una opción de juego es la siguiente:


>
66 Matemática 2

“A embocar”: componer y descomponer números con sumas
Materiales: una lata, una mesa y cinco pelotitas o bollitos de papel
encintados para cada grupo.
Organización de la clase:
grupos de 4 a 6 jugadores.
Desarrollo: cada jugador
debe tirar las cinco pelotitas y
anotar el puntaje obtenido al
caer. Por cada acierto adentro
de la lata, se obtienen 100
puntos; si caen sobre la
mesa, 10 puntos, y si caen en
el piso, 1 punto. Al cabo de
cuatro vueltas de cinco tiros
cada una, deberán averiguar
quién es el ganador
calculando el total de puntos
obtenidos.

Luego de jugar varias veces, se podrán presentar situaciones para resolver en
los cuadernos tales como las que siguen.

• Juan anotó su puntaje en una tabla como la de abajo. Completá donde
corresponda.
100 10 1 Total

1er tiro 3 1 1
2o tiro 1 1 3
3er tiro 2 1 2
4o tiro 4 401
5o tiro 50

• Según los puntajes obtenidos, indicá cuántas pelotitas cayeron en cada
lugar.
100 10 1 Total

Martín 302
Nico 320
Tati 41
Dana 140


Eje

Número 67
y Operaciones

Según los conocimientos disponibles de los alumnos, es posible plantear el
mismo juego con solo dos niveles de puntajes, 10 para el emboque en la lata y
1 para el fuera de ella, o incorporando más latas con valores diferentes: 1000,
100, 10 y 1, respectivamente.

Para operar al resolver problemas con distintos procedimientos
Respecto de las cuatro operaciones básicas con números naturales (suma,
resta, multiplicación y división), debemos considerar en la enseñanza dos aspec-
tos: por un lado, los procesos que llevan a la construcción de los diferentes algo-
ritmos de cada operación y, por otro, los distintos significados a los que pueden
asociarse en los problemas que resuelven. Se sugiere abordar ambos aspectos
a la vez, en una misma unidad didactica, ya que los procedimientos que los alum-
nos ponen en juego frente a un problema están ligados a la interpretación que
ellos hacen de la situación.11
Es importante señalar que, con un mismo cálculo, se pueden resolver proble-
mas aritméticos de diferente complejidad para el alumno, pues en cada caso se
deben establecer relaciones distintas, por ejemplo, cuando se trata de restar
23 – 14 para la resolución de los problemas siguientes.

– En el colectivo están viajando 23 pasajeros; bajan 14; ¿cuántos pasajeros
siguen viaje?
– En el aula de 2o hay 23 varones y 14 chicas; ¿cuántos varones más que
chicas hay?
– Para ganar en el juego necesito 23 puntos; si ya tengo 14, ¿cuántos puntos
más debo obtener?

La misma cuenta de restar tiene significados diferentes: en el primer caso,
está asociada con el significado de sacar una cantidad de otra; en el segundo,
con el de comparar dos colecciones y, en el último caso, se resta para averiguar
lo que le falta a una cantidad para llegar a otra.

11
En el apartado “Los contextos”, de “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo” de este Cuaderno,
hemos planteado la importancia de que los enunciados incluyan preguntas que aludan a
situaciones reales o verosímiles.


>
68 Matemática 2

El tipo de números involucrados y el lugar de la incógnita12 son otros elemen-
tos del problema que, para los chicos, cambian el nivel de dificultad al resolverlos.
Presentar múltiples situaciones para resolver y reflexionar acerca de la diver-
sidad de significados de cada operación facilitará la comprensión de los alcan-
ces y límites de cada una de estas.
Es importante señalar que las categorías que aquí mencionamos son de uso
didáctico y apuntan a enriquecer nuestra mirada sobre los problemas que es
necesario presentar.

Plantear situaciones para sumar y restar con distintos significados
Las operaciones de suma y resta con números naturales deben constituirse
paulatinamente para los alumnos en un recurso disponible que resuelve situa-
ciones con distintos significados. Para ello, presentaremos un conjunto de pro-
blemas que denominamos “aditivos”, pues para solucionarlos se puede recurrir a
una suma o a una resta como procedimientos más económicos. Los alumnos
podrán resolver estos problemas de distintas formas y, luego, es conveniente
discutir si alguna de ellas es más eficaz.
Para 2o año/grado, por ejemplo, podremos plantear problemas para:
– calcular el costo de una compra o el puntaje total en un juego de varias
manos (unir);
– calcular cuánto hay que pagar si algo que costaba un valor aumenta de
precio, o la cantidad de revistas que alguien tiene si antes de su cumpleaños
poseía una cantidad y le regalaron otra (agregar);
– determinar cuánto dinero quedó después de hacer una compra o cuántas
bolitas quedaron después de perder algunas (quitar);
– averiguar cuánto más cuesta un producto que otro o qué diferencia de edad
tienen varios hermanos entre sí (diferencia);
– determinar si es posible agregar un artículo más a la compra, sabiendo que
se dispone de una cierta cantidad de dinero;
– o en cuánto puede aumentar la altura de un camión para poder pasar por
debajo de un puente (complemento).
Para la resolución de estas situaciones, los alumnos pueden, según la inten-
ción del docente al plantear el problema, manejar diversos materiales que esta-

12
En el apartado “Los significados”, en “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo” de este Cuaderno se
desarrollan con más detalles los diferentes significados que pueden asociarse con una misma noción.


Eje

Número 69
y Operaciones

rán disponibles para quienes los requieran. Por ejemplo, chapitas u otros ele-
mentos de desecho con el fin de representar las cantidades, o réplicas de
monedas y billetes para actuar de manera efectiva, pagando, dando vueltos y
realizando canjes. Los chicos también pueden usar otras representaciones,
como son las escrituras de diverso tipo, incluyendo dibujos como números suel-
tos o sumas o restas.13
Los niños de 2o año/grado suelen reconocer sin dificultad la posibilidad de
usar la resta en un problema donde significa “quitar”, pero les resulta más com-
plejo reconocer que se puede usar esa operación en los problemas de compa-
ración con significado de “complemento” o “diferencia”. En 1o, probablemente
resolvían estos últimos problemas con sumas y, en 2o, se podrá debatir con
ellos si alguna cuenta de restar permite obtener un resultado que sea respues-
ta al problema. En todos los casos, el tipo de procedimiento de resolución que
utilizarán los alumnos y la conveniencia de cada uno de ellos dependerá de los
números involucrados en cada situación.14
Consideremos algunos de los procedimientos que podrían utilizar los chicos al
resolver un problema como el siguiente en el tienen que completar la información.

• Del total de 200 sillas que necesito para completar el salón para la fiesta
del 25 de Mayo tengo 185. Me faltan … sillas.

Probablemente, la mayoría de los niños resolverá este caso pensando
cuánto le falta a 185 para llegar a 200. Algunos alumnos recurrirán al conteo
desde 185, 186, 187… así hasta el 200; otros utilizarán ciertos resultados
memorizados, como, por ejemplo: 185 + 5 = 190, 190 + 10 = 200 y, luego,
185 + 5 + 10 = 200. Después de que los niños hayan resuelto el problema, se
podrá promover la comparación de los procedimientos de conteo y sumas suce-
sivas. En este caso, los procedimientos resultan económicos.

13
Recomendación de lectura: se puede encontrar un interesante análisis sobre el uso de
material concreto en la enseñanza de las operaciones en 1er año/grado en el material de la
Secretaría de Educación de la Municipalidad de la Ciudad de Buenos Aires, Pensando en la
enseñanza. Preguntas y respuestas, Buenos Aires, Secretaría de Educación de la Municipalidad
de la Ciudad de Buenos Aires. En Internet:
http://www.buenosaires.gov.ar/educacion/docentes/planeamiento/txareas_mate.php
14
Recomendación de lectura: para ampliar la información sobre la complejidad de las
situaciones de la suma y la resta, se recomienda la lectura del primer capítulo de
Las operaciones en el Primer Ciclo. Aportes para el trabajo en el aula, de Broitman, C.
(1999), Buenos Aires, Novedades Educativas.


>
70 Matemática 2

Para que los procedimientos que no implican la resta resulten más complica-
dos, es posible modificar los números que intervienen en el problema. El enun-
ciado transformado podría ser como el que sigue.

• Del total de 238 sillas que necesito para colocar en el salón, tengo 173.
Me faltan … sillas.

Si aún se mantiene la suma como procedimiento de resolución, el docente
podrá preguntar: ¿es posible resolver esta situación con una resta? o bien
comentar: un alumno resolvió esta situación haciendo 238 – 173; ¿es correc-
to el procedimiento que usó?

Es posible plantear otras actividades para trabajar problemas de sumas y res-
tas a partir del uso de la calculadora. Si bien este uso a veces se cuestiona con
el argumento de que de este modo los chicos no aprenderán a calcular, el tipo
de problemas en los que presentamos esta herramienta mostrará claramente
que no se trata de reemplazar el trabajo que es posible desarrollar con los algo-
ritmos. Se trata, en cambio, de desplegar un trabajo de anticipación de resulta-
dos que puede ser verificado rápidamente.
Conocer el funcionamiento de la calculadora demanda una serie de activida-
des iniciales. Los niños espontáneamente suelen interrogarnos o probar con qué
tecla se enciende y con cuál se apaga, cuáles son las teclas de las diferentes
operaciones, intentan borrar si se equivocan o preguntan el significado de dife-
rentes teclas aunque no las utilicen.
Después de estas actividades, los alumnos podrán empezar a resolver proble-
mas para aprender más sobre las operaciones o sobre el sistema de numeración.
Por ejemplo, es posible plantear problemas que permitan analizar la relación
entre la suma y la resta cuando se tienen como datos dos cantidades, como en
el siguiente ejemplo.

• Buscá usando la calculadora qué número hay que sumarle a 17 para
obtener 30.

Luego de que se resuelven problemas de este tipo, se puede dar lugar a una
reflexión en la que los alumnos expliciten la relación entre la suma 17 + … = 30
y la resta 30 – 17 = ... Muchos pueden encontrar el número realizando sumas par-
ciales hasta llegar al solicitado, como, por ejemplo, 17 + 5 + 5 + 2 + 1. Otros niños
pueden reconocer que es posible hacer 30 – 17. Es factible que la relación entre
estos procedimientos sea objeto de trabajo para todos los alumnos.


Eje

Número 71
y Operaciones

Con la intención de que los niños resuelvan problemas para los cuales la resta
es un medio de resolución se puede presentar el siguiente problema.

• Buscá en la calculadora un cálculo de resta cuyo resultado sea 75.

Es importante destacar que, en este caso, los chicos inician la exploración
con la calculadora conociendo el resultado del cálculo, entonces podríamos
preguntarnos cuál es el propósito de plantear esta actividad. Pues bien: pre-
tendemos que los alumnos piensen la resta como una operación que permite
averiguar la diferencia entre dos números. Al proponer, el uso de la calculado-
ra como forma de búsqueda de dicho cálculo, estamos inhibiendo en los chi-
cos el empleo de otros procedimientos, como el uso del papel o el conteo de
uno en uno. En cambio, ante este problema, los chicos anticipan un cálculo y
luego de realizarlo efectivamente con la calculadora, comienzan a hacer recti-
ficaciones de alguno de los números en función del resultado obtenido. Otros
alumnos descubrirán que el cálculo puede encontrarse sumando cualquier
número al 75 y luego escribiendo el resultado menos el número agregado.
Serán necesarios varios problemas similares para que toda la clase recurra a
la resta para resolverlos.

Hemos planteado también que es conveniente presentar problemas “moviendo”
el lugar de la incógnita. Por ejemplo, consideremos los siguientes enunciados.

– Juan tiene 22 estampillas nuevas y ya pegó 8. Ahora le falta pegar…
– Juan tiene algunas estampillas nuevas para su colección. Ya pegó 8
y le falta pegar 14 . ¿Cuántas estampillas nuevas tiene?
– Juan tiene 22 estampillas nuevas. Pegó algunas y le falta pegar 14.
¿Cuantas pegó ya?

Con el primer problema, se apunta a averiguar la cantidad final luego de una
transformación negativa. Como se produce una disminución en la cantidad ini-
cial de 12 estampillas, es fácil reconocer la resta como el procedimiento más
conveniente.
Si, en cambio, proponemos el segundo problema, el dato a averiguar está en
el estado inicial, es decir, en cuántas estampillas tenía al comienzo. La transfor-
mación es positiva, ya que por el regalo recibido aumentó esta colección inicial;
sin embargo, no es tan habitual que los alumnos reconozcan que si en el proble-
ma se produce una transformación positiva la resta puede ser un procedimien-
to posible y económico.


>
72 Matemática 2

En el tercer problema, se conoce el estado inicial y el estado final y se debe
buscar la transformación que es negativa y se puede hallar a partir de la resta.
Es ciertamente importante que los alumnos resuelvan gran cantidad de
problemas en los cuales las incógnitas se presenten en distintos lugares y las
transformaciones sean positivas y negativas para que no establezcan relaciones
lineales y estereotipadas, como, por ejemplo: si me regalan tengo que sumar o
si perdí tengo que restar. Será el análisis de los datos y de las relaciones que se
establecen entre sí lo que permitirá a los chicos elegir, entre diversos procedi-
mientos posibles, alguno más económico.

Al proponer una variedad de problemas, hemos planteado que uno de los
aspectos que cambian su complejidad es el tipo de números involucrados.
Si los alumnos de 2o resuelven los problemas aditivos y sustractivos utilizan-
do procedimientos gráficos como los que se explicitan en el Cuaderno para el
aula: Matemática 1, siempre teniendo en cuenta las diferencias entre los alum-
nos, podremos promover el pasaje a los procedimientos numéricos aumentando
el tamaño de los números involucrados para que el dibujo de todos los elemen-
tos resulte un procedimiento poco económico.

A modo de cierre de este apartado, queremos subrayar algunas cuestiones.
La organización de los alumnos en la clase para la resolución de problemas
puede realizarse de diversas maneras, y no siempre en forma individual.
Combinar opciones es una práctica frecuente y puede ser un camino fructífero.
Así, en algunos casos se puede comenzar proponiendo directamente un
trabajo en pequeños grupos y en otras oportunidades pedir inicialmente la reso-
lución individual de las situaciones para que todos los chicos se involucren en la
resolución, por cierto, de diversas maneras. El encuentro del pequeño grupo, en
un segundo momento, puede tener sentido en la medida en que contrasten los
procedimientos de resolución utilizados por cada uno e identifiquen entre ellos
el o los más convenientes. Es decir, que comiencen a comparar los resultados
obtenidos y descarten los procedimientos errados para que luego empiecen a
discutir sobre las coincidencias y las diferencias.
En la puesta en común, entre todos, se puede continuar trabajando sobre los
distintos procedimientos: los más frecuentes, los más largos, los más seguros,
etc. Si centramos la “mirada” en coincidencias o diferencias entre procedimien-
tos, esta última trama suele ser de gran riqueza, para lo cual, sabemos por
experiencia, no es necesario que todos los grupos expongan. Nuestra habitual
recorrida nos habrá dado pistas sobre la variedad de procedimientos en uso y
podremos, sobre esa base, llegar a los que resulten interesantes para una dis-


Eje

Número 73
y Operaciones

cusión entre los chicos. Preguntas del estilo: ¿quiénes usaron un procedimien-
to diferente? suelen ser organizadoras de este diálogo sobre las estrategias
puestas en juego.

Plantear situaciones para multiplicar y dividir con distintos significados
Para abordar la multiplicación, también es conveniente incluir problemas que
hagan referencia a distintos significados. Recurriremos con ese propósito a un
conjunto de problemas que denominamos multiplicativos, es decir, aquellos
que pueden resolverse con una multiplicación o con una división como proce-
dimientos más económicos.
¿Qué significados sería posible abordar en 2o año/grado? Los problemas que
usualmente se presentan se pueden denominar casos sencillos de proporciona-
lidad, e incluyen aquellos que admiten una organización rectangular de los ele-
mentos. Por otro lado, los problemas denominados de combinatoria, se introdu-
cen en 2o año/grado, pero se abordarán con mayor profundidad en 3º.
Es habitual iniciar este trabajo con problemas de proporcionalidad sencillos.
Por ejemplo, si conocemos que 1 chocolate tiene 4 tabletas y queremos saber
cuántas tabletas tienen 6 chocolates iguales para repartirlos entre amigos, se
está planteando un problema en el que uno de los datos –la cantidad de table-
tas de uno de los chocolates– es una constante de proporcionalidad. Otra posi-
bilidad sería averiguar cuántas tabletas tienen 3 chocolates si conocemos que
en 6 chocolates hay 24 tabletas, y si, en este caso, se cumple que 3 chocola-
tes, que es la mitad de 6 chocolates, tendrán la mitad de 24, o sea 12. En
ambas resoluciones es posible usar distintas propiedades de la proporcionali-
dad, y aunque en este Ciclo no se trata de hacer un trabajo específico para
reconocerlas, sí es conveniente que empiecen a utilizarlas intuitivamente para
resolver problemas.
Los problemas que remiten a organizaciones rectangulares son también
problemas de proporcionalidad pero, en este caso, los elementos se presen-
tan ordenados en filas o columnas, por ejemplo, si sabemos que en cada fila
se colocan 5 sillas y queremos averiguar cuántas sillas necesitamos para com-
pletar 4 filas.
Los problemas de combinatoria son aquellos en los que hay que combinar
elementos de diferentes colecciones. Por ejemplo: para ir a un baile de dis-
fraces, dos hermanas encontraron tres vestidos de diferentes colores –rojo,
amarillo y azul– y dos sombreros, uno con plumas y otro con moño. Se fue-
ron probando la ropa de todas las maneras posibles para ver cuál les gusta-
ba más. Lo que se les pide a los chicos que averigüen es cuántas maneras
diferentes de vestirse encontraron.


>
74 Matemática 2

Analicemos ahora algunos procedimientos que suelen usar los alumnos que
aún no disponen de recursos de cálculo multiplicativo para resolver estos pro-
blemas.15 Por ejemplo, un problema como el que sigue:

• Si para armar un auto necesito 4 ruedas, para armar 5 autos
necesitaré … ruedas.

Llega a 20 luego de haber efectuado el conteo.

Reemplaza cada rueda por un palito y luego realiza el conteo.

Llega a 20 como resultado de sumar 4 + 4 + 4 + 4 + 4.

15
En el apartado “La gestión de la clase”, en: “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo” de este
Cuaderno señalamos la necesidad de promover la diversidad de producciones y de analizarlas
con todo el grupo.


Eje

Número 75
y Operaciones

Se apoya en procedimientos de cálculo dominados por él.

Suele ser frecuente y también parte del proceso constructivo que algunos chi-
cos intenten resolver esta situación haciendo 5 + 4. Su elección puede interpretar-
se en función de considerar que la suma, seguramente, ha sido un procedimiento
eficaz hasta ese momento, e intentan generalizarlo sin poder aún reconocer lo
que es distinto en este nuevo tipo de problema. Constituye parte del mismo pro-
ceso que los chicos tiendan a no reconocer que los números involucrados son
magnitudes que corresponden a cantidades diferentes (autos y ruedas).
Para generar un espacio en el cual puedan reconocer el cálculo adecuado, se
puede escribir en el pizarrón 4 + 5 y 4 + 4 + 4 + 4 + 4 y decirles por ejemplo:
diferentes chicos escribieron estos cálculos para resolver esta situación, expli-
quen con cuál están de acuerdo y por qué.

Para que los chicos avancen en el establecimiento de relaciones de semejan-
zas y diferencias entre la suma y la multiplicación, tanto desde el cálculo como
en el nivel de los significados, podemos también proponer otras situaciones. Por
ejemplo, una actividad de producción de mensajes como la siguiente que permi-
te, a la vez, introducir el signo x.
Organizamos la clase en una cantidad par de grupos con 3 o 4 alumnos y
entregamos a cada grupo una cantidad de sobres iguales que contengan la
misma cantidad de fichas. Por ejemplo, para un grupo, 4 sobres con 5 fichas,
para otro, 7 sobres con 3 fichas, etc. A continuación, se les solicita: Escriban un


>
76 Matemática 2

mensaje, lo más corto posible, para que otro grupo averigüe cuántos sobres
recibieron y cuántos fichas tiene cada uno. En el mensaje no pueden incluir
dibujos.16

Luego, cada par de grupos intercambia los mensajes elaborados y cada equi-
po debe interpretarlo y decir cuántos sobres de cuántas fichas había recibido el
otro grupo inicialmente.
A partir de la reflexión en torno de los mensajes, que podrían estar escritos
en lenguaje coloquial “5 sobres de 3 fichas cada uno” o bien en lenguaje sim-
bólico como “3 + 3 + 3 + 3 + 3” se puede explicar que, con el propósito de abre-
viar estos cálculos de sumandos iguales, se usa el signo x y escribimos 5 x 3.

Con la misma intención, también es posible plantear la siguiente situación y
hacer que la resuelvan en pequeños grupos.

• Indicá con cuál de estos cálculos resolverías cada uno de los siguientes
problemas.

3+2+4 5+5+5

5x3 3+5 3+3+3+3+3

– María tiene 3 primos varones y 5 mujeres. ¿Cuántos primos tiene?

– En la calesita hay 5 autitos y se sentaron 3 chicos en cada auto.
¿Cuántos chicos se sentaron en autos?

– En el campamento, cada chico llevó golosinas para compartir con los
compañeros de la carpa. Nicolás trajo 3 caramelos, Bruno 2 chupetines y
Marcos 4 chocolates; ¿cuántas golosinas tienen?

16
Tomado de Ermel (1986).


Eje

Número 77
y Operaciones

En el intercambio posterior, y tomando en cuenta las respuestas de los distin-
tos grupos, se espera que los chicos logren reconocer, por un lado, que hay
sumas que se pueden expresar como una multiplicación y que la escritura corres-
pondiente es 5 x 3 y, por otro, que hay otras sumas que no pueden expresarse
como multiplicación porque sus sumandos no son iguales, como en 3 + 2 + 4.
Luego podrá iniciarse el reconocimiento de la propiedad conmutativa a partir
de una actividad en la que los alumnos discutan la diferencia entre
5 x 3 y 3 x 5, expresando ambos productos como sumas diferentes, pero de
igual resultado.

Otra actividad posible consiste en presentar tarjetas dibujadas para que los
niños indiquen la operación conveniente para averiguar la cantidad de elemen-
tos presentes en cada una.

• Escribí un cálculo que te permita averiguar cuántos lápices hay en cada
tarjeta.

Para presentar problemas de proporcionalidad, podremos también organizar
la información en tablas que requieran que los chicos las completen. Por ejem-
plo, si les planteamos la siguiente situación.

• Un fabricante de rodados arma cada mes distintas cantidades de
bicicletas y triciclos. Para registrar la cantidad de ruedas que tiene que
fabricar hace marcas en tablas como las siguientes. Completá las tablas.

Bicicletas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ruedas 2 4

Triciclos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ruedas 3 6


>
78 Matemática 2

En el intercambio que luego promoveremos podremos preguntar cómo pensa-
ron para completar las tablas. Las verbalizaciones de diferentes niños frente a este
problema dan cuenta de los procedimientos que ponen en juego. En varias opor-
tunidades hemos escuchado a los chicos afirmar: para cada nuevo triciclo, le
pongo 3 ruedas más, o yo voy sumando 3 en cada casillero y completo la tabla,
o al doble de triciclos, el doble de ruedas: O bien: yo uso la escala del 3: 3, 6,
9… Todas las formas de resolver son adecuadas y en ese momento se puede des-
tacar la posibilidad de encontrar diferentes maneras para pensar la solución.

En este año/grado aún no resulta necesario organizar el repertorio de pro-
ductos en las “tablas de multiplicar”. Sin embargo, una vez que los niños hayan
explorado una variedad suficiente de problemas y descubierto distintos produc-
tos, será conveniente registrar los resultados que se conocen y organizar esta
información para tenerla disponible al resolver nuevos problemas. Es más, algu-
nas maneras de organizar estos productos permiten poner en evidencia deter-
minadas relaciones que facilitan la memorización. Por ejemplo:


Eje

Número 79
y Operaciones

Algunos contextos que remiten a organizaciones rectangulares de los ele-
mentos son los timbres en los porteros eléctricos, los asientos en el teatro, las
baldosas en un piso, etc. En este sentido, se puede solicitar a los alumnos:

• Averiguá la cantidad de baldosas necesarias para completar un piso
como el del dibujo.

Algunos niños podrán dibujar las baldosas y luego contarlas; otros apelarán
a la suma de baldosas que hay en cada fila (5 + 5 + 5 + 5) o en cada colum-
na (4 + 4 + 4 + 4 + 4). Es esperable que, a partir del trabajo realizado y del
aumento de la cantidad de baldosas, con uno de los números de dos cifras
como en 15 x 6 o en 34 x 5 encuentren en la multiplicación un procedimiento
más económico que la suma.
Este tipo de problemas puede variarse cambiando el lugar de la incógnita,
dando el producto y pidiendo que encuentren posibles factores, lo que implica
relacionar la multiplicación con la división. Por ejemplo, se puede pedir a los
alumnos que armen un piso rectangular con 18 baldosas. Al confrontar las diver-
sas producciones, ya sean gráficas o con forma de cálculos, empezarán a tomar
conciencia de la variedad de respuestas posibles (2 x 9, 3 x 6, etc.).

También para la iniciación en la división es conveniente incluir problemas que
nos permitan abordar diferentes significados: los de reparto y los de partición.
Estos problemas surgen de cambiar de lugar la incógnita de la multiplicación.
En los problemas de reparto, se conoce la cantidad total de elementos a repartir
y la de partes, pero no cuántos elementos corresponden a cada una de las partes.
Teniendo en cuenta que los repartos pueden ser equitativos o no, es necesario que
presentemos enunciados de problemas con el fin de que los niños analicen si es con-
dición el realizar un reparto en partes iguales. Por ejemplo:

• Tengo 16 libros para repartir en 4 estantes. ¿Cuántos libros
colocaré en cada uno?


>
80 Matemática 2

Esta situación admite variadas respuestas ya que se pueden colocar 8 en
uno, 4 en otro y 2 en cada uno de los restantes. También se pueden repartir en
6, 5, 4 y 3, ya que no hay nada en el enunciado que indique que el valor de cada
parte deba ser el mismo.
En el caso de que los alumnos resuelvan la situación colocando en cada
estante 4 libros, una posible intervención que cuestiona dicha resolución sería:
un alumno de otro 2o lo resolvió colocando 3, 5, 2 y 6, respectivamente; ¿está
bien lo que hizo? ¿Por qué? Luego de un espacio de discusión, es posible pedir
que indiquen qué modificaciones podrían hacer al enunciado para que el repar-
to equitativo de libros sea una condición.
Otro aspecto a considerar de un modo colectivo es qué se hace cuando,
luego de efectuado el reparto, sobran elementos. Nos referimos aquí a los pro-
blemas en los que el resto es diferente de cero. Discutir si lo que sobra puede
seguir repartiéndose o no supone considerar la naturaleza de los números invo-
lucrados: ya que no es lo mismo que sobren chocolates o libros.
Los niños de 2o año/grado estarán en condiciones de resolver problemas de
reparto utilizando distintos procedimientos. Por ejemplo, como en estos casos
los chicos podrán resolver un problema como el siguiente, con los procedimien-
tos que se indican. 17

• Para un juego, se deben repartir 20 cartas en partes iguales entre 4
jugadores. ¿Cuántas cartas recibirá cada uno?

Recurre a la representación gráfica para efectuar el reparto de 1 en 1 y luego cuenta cuántas
cartas le dio a cada jugador.

17
En el apartado “Las representaciones” en “Enseñar Matemática en el Primer Ciclo” de este
Cuaderno comentamos sobre la evolución de las representaciones que usan los alumnos.


Eje

Número 81
y Operaciones

Sustituye el dibujo de las cartas por palitos y continúa igual que en el primer caso.

Utiliza el número 1 para representar cada una de las cartas que se reparten.

Tanteando, prueba con diferentes sumas sucesivas hasta llegar a 20.

Dijimos que en algunos problemas la división se asocia con una partición.
Por ejemplo:

• Tengo 20 cartas y quiero darle 4 a cada uno de mis amigos. ¿Para
cuántos amigos me alcanzan?

Las cantidades en juego son las mismas que en el problema anterior, pero, en
este caso, se conoce el valor de cada parte (4 cartas a cada amigo) y se


>
82 Matemática 2

pregunta por la cantidad en las que puede repartirse la colección (en el ejemplo,
de cartas). En este tipo de problemas, los alumnos no pueden recurrir al proce-
dimiento de repartir de a uno los elementos. En cambio, podrán utilizar estrate-
gias de resolución como las siguientes.

Realiza restas sucesivas: va quitando de a 4 tantas veces como necesita hasta arribar al resultado.

Cuenta de 4 en 4 hasta llegar a 20.

En el caso de organización rectangular de los elementos, también se pueden
plantear problemas donde la división tenga ambos significados. El primero de los
siguientes problemas será necesario pensarlo como una partición, pero el
segundo se podrá pensar como un reparto:

– Para un acto debemos acomodar 48 asientos en filas de 8 asientos cada
una. ¿Cuántas filas deberemos armar?
– Para un acto debemos acomodar 48 asientos en 8 filas. ¿Cuántos asientos
tendrá cada fila?


Eje

Número 83
y Operaciones

En 2o año/grado no es conveniente avanzar en la resolución de estos proble-
mas de división utilizando el algoritmo convencional de la división. Esto respon-
de a dos motivos: por un lado, los chicos aún no han incorporado un repertorio
de cálculos que permita resolver ese algoritmo y, por otro, los problemas que les
presentaremos no justifican su uso ya que tendrán números pequeños.
Es importante presentar, en los diferentes momentos del año, situaciones que
requieran de las distintas operaciones para su resolución y no trabajar exclusi-
vamente con aquellas que apunten a la operación que se está abordando en un
período determinado.
Por otro lado, en el conjunto de problemas que se presentan para usar cada
operación con distintos significados, es interesante incluir algunos en los cua-
les la información esté vinculada con la vida cotidiana, ya sea por medio de
recortes de diario con publicidades de ofertas, facturas o comprobantes que
informan sobre lo comprado, boletos, calendarios y otros, es decir, distintos por-
tadores de datos numéricos referidos a contextos que resulten familiares a
nuestros chicos. En el apartado “Para trabajar con la información” desarrollare-
mos algunos ejemplos.

Para calcular de diferentes formas
Un propósito de toda la escolaridad es el trabajo con variados procedimientos y
técnicas de cálculo de modo que, a lo largo del tiempo, los alumnos puedan ir
disponiendo de un repertorio memorizado de cálculos, de diferentes maneras de
hacerlos por escrito y de un uso inteligente de la calculadora. Si pretendemos
que esto sea posible para todos los chicos, es necesario que destinemos un
tiempo importante del trabajo en el aula para que se identifiquen las diferentes
estrategias personales de resolución, se expliciten y, luego, se sistematicen. De
este modo, favoreceremos que puedan volver a utilizarlas en nuevas situaciones.
Si bien este tipo de cálculo interviene en la resolución de distintos problemas
y se encuentra presente como herramienta útil frente a variadas situaciones
–tal como lo hemos planteado en el apartado anterior–, también debe ser aborda-
do como “objeto de estudio” en sí mismo.
Una idea importante es que un mismo cálculo puede resolverse con diferen-
tes procedimientos y que el más rápido y económico para un caso puede no
serlo para otro; esto dependerá de los números que intervengan. A diferencia del
algoritmo convencional que todos realizamos de la misma manera, el cálculo al
que nos estamos refiriendo admite una diversidad de estrategias que pueden
coexistir en el aula. Y, en este sentido, el que resulte más “cómodo” para un
alumno puede no serlo para otro.


>
84 Matemática 2

Los algoritmos tienen, entonces, un nuevo lugar en la enseñanza: son formas
de cálculo con las que culmina un trabajo previo de producción y análisis de dis-
tintos procedimientos originales de los mismos alumnos.18

Plantear situaciones para pasar de los distintos procedimientos
para sumar y restar a los algoritmos usuales
El dominio de los algoritmos tradicionales es el punto de llegada de un trabajo
a largo plazo. En un comienzo, para la suma y la resta se plantean situaciones
como las ya presentadas en el año anterior y que los chicos resolvieron elabo-
rando distintos procedimientos personales.19
En este año/grado, avanzaremos con números más grandes, lo que también
dará lugar a la producción de diferentes procedimientos numéricos originales.
Veamos algunas producciones de alumnos.

– Para la suma:

18
Recomendación de lectura: para ampliar la propuesta sobre cálculo mental, se recomienda la
lectura de “El Cálculo mental” en Parra, C. (1994).
19
Tal como se ha planteado en el apartado “Las representaciones”, en “Enseñar Matemática
en el Primer Ciclo” de este Cuaderno, cuando el alumno produce una solución, utiliza
representaciones personales que pueden o no coincidir con las convencionales.


Eje

Número 85
y Operaciones

– Para la resta:

Para que esta variedad de procedimientos sea posible, debemos proponer
paralelamente actividades cuyo fin sea que los alumnos memoricen un conjun-
to de resultados de cálculos, como suma de dígitos, de decenas y de cente-
nas enteras. En la medida en que estos conocimientos estén disponibles, los
chicos podrán elaborar esos diferentes procedimientos y tener, además, al
aprender el algoritmo, algún control sobre los resultados.

Resulta de particular interés generar espacios de puesta en común para
que los chicos compartan los distintos procedimientos utilizados y expliquen
cómo los han pensado. Se apunta a que los alumnos conozcan otros procedi-
mientos, analicen en qué se parecen y se diferencian, y puedan así realizar cada
vez procedimientos más avanzados. Primero, en relación con la pertinencia, es
decir, si el procedimiento permite llegar o no al resultado correcto. En otro
momento, y de acuerdo con la cantidad de pasos, la reflexión podrá girar en
torno de la economía de tiempo o de esfuerzo de los distintos procedimientos.
Es importante que, en las distintas ocasiones, promovamos el análisis de proce-
dimientos tanto acertados como erróneos. Si algún procedimiento determinado
no surgiera espontáneamente en el grupo y resultara interesante su análisis, se
puede presentar como realizado por otros alumnos.
Cuando los niños resuelven sumas y restas con diversos procedimientos,
están usando las propiedades conmutativa y asociativa de las operaciones
como instrumentos. Sin embargo, en este Ciclo no es conveniente aún “poner-


>
86 Matemática 2

les nombre”. En la medida en que analicemos las producciones de los alumnos,
podremos reconocer los conocimientos matemáticos que ellos usan en forma
implícita para poder intervenir adecuadamente. Por ejemplo, es probable que
desde 1er año/grado, los niños hayan usando en forma indistinta 3 + 4 y 4 + 3,
pero pueden haber considerado que 2 + 8 es más difícil que 8 + 2. Del mismo
modo, en 2o, pueden usar 70 + 20 más fácilmente que 20 + 70 ó 23 + 7 en
lugar de 7 + 23.
Una intervención posible frente al uso de la propiedad de manera espontá-
nea es plantear una actividad de investigación donde se discuta si en una cuen-
ta de sumar siempre es posible cambiar el orden de los números sin que cam-
bie el resultado, o cuál de los sumandos conviene poner primero para facilitar el
cálculo. Así, es posible que las propiedades se utilicen como reglas prácticas que
el grupo acepta y que, más adelante, serán explicitadas como tales.

Otros problemas donde las propiedades funcionan como instrumento de reso-
lución de manera implícita son aquellos en los que los alumnos deben construir
procedimientos originales para resolver cálculos o explicar los propuestos por
otros. En ellos, si fuera necesario, podrán cambiar los números de lugar para aso-
ciarlos según les convenga en función de los cálculos que tengan memorizados.
Es decir, los alumnos estarán usando las propiedades conmutativa y asociativa.
Por ejemplo:

Aquí, además de conmutar, utilizan las sumas que dan 10 para realizar este
cálculo de manera más rápida.


Eje

Número 87
y Operaciones

Veamos otro ejemplo donde los alumnos descomponen los números, conmu-
tan y asocian usando resultados conocidos de sumas de decenas enteras.

Progresivamente, debemos plantear situaciones más complejas que inviten a
los alumnos a buscar estrategias más claras y económicas, entre las que se
hallan los algoritmos convencionales. En un principio, el pasaje a la “cuenta para-
da” no debe estar tan alejado de las producciones que son del dominio de los
niños. En este sentido, procedimientos como los que se muestran a continua-
ción podrían resultar “algoritmos intermedios” entre los cálculos horizontales y la
cuenta convencional.

– Para la suma:

48 40 + 8 48 48
+ + +
35 30 + 5 35 35

83 70 + 13 70 + 13 = 83 + 13
70 + 10 + 3 70
80 + 3 = 83
83

– Para la resta:

75 70 + 5 Otro ejemplo: 86 80 + 6 70 + 16
– –
54 50 + 4 29 20 + 9 20 + 9

21 20 + 1 57 50 + 7


>
88 Matemática 2

Estas maneras de resolver los cálculos ponen en evidencia las relaciones
entre los números, las que permanecen implícitas en el algoritmo convencional.
Investigaciones realizadas en las aulas muestran que estas producciones son
posibles si, como mínimo, los alumnos han trabajado un año sobre las regulari-
dades del sistema de numeración, comparado cálculos “fáciles” y “difíciles”
–explicitando por qué los consideraron de un modo u otro–, y una variedad de
problemas de suma y resta en los que esas operaciones hayan tenido diferen-
tes significados.20
Solo después de un intenso trabajo sobre los procedimientos personales pro-
pios y de otros que les permita a los alumnos tener un claro control sobre el
resultado, es conveniente plantear otras actividades centradas en la articulación
de este último con el algoritmo usual basado en agrupamientos.
Por tanto, y retomando lo explicitado al comenzar en “Para calcular de dife-
rentes formas”, hoy los algoritmos usuales no son el punto de partida, sino una
de las tantas formas de cálculo; y es esperable que se conozcan luego de un
intenso trabajo de producción y análisis de distintos procedimientos originales,
sugeridos por los mismos alumnos. Es decir, que luego de desplegar el trabajo
explicitado precedentemente, podremos introducirlo explicando cómo se hace y
diciendo que es una forma de resolver esta cuenta que usan muchas personas
y solicitarles que la comparen con las que ellos conocen.

20
Recomendación de lectura: se sugiere la lectura de “Algunas reflexiones en torno a la
enseñanza de la Matemática en el Primer Ciclo de la EGB” de H. Itzcovich (coord.) (1999).


Eje

Número 89
y Operaciones

Otra opción consiste en pedirles que investiguen la manera en que los chicos
más grandes o sus familiares resuelven “estas cuentas”.
En cualquiera de las dos opciones, al hacer el análisis de los algoritmos usua-
les se debe tratar de establecer, en la medida de lo posible, relaciones con los
procedimientos construidos por ellos.
Las diferentes formas de cálculo se irán complejizando en tanto se modifi-
quen los números involucrados.

La estimación es un procedimiento que permite controlar el resultado de las
cuentas realizadas con cualquier procedimiento, lo que puede hacerse antes o
después de la operación. Por lo tanto, sea que el problema consista solo en
inventar un modo de hacer el cálculo o que se trate de un problema en contex-
to de la vida cotidiana, el control del resultado puede promoverse como un modo
de trabajar en matemática que permite asegurarse de lo realizado. De esta
manera, estaremos promoviendo que los niños consideren la razonabilidad del
resultado en función de la situación y de los datos.
Por otra parte, estimar también es un procedimiento muy utilizado en diferen-
tes contextos de la vida cotidiana en los que es suficiente efectuar un cálculo
aproximado, por ejemplo: para anticipar el dinero que debemos llevar para reali-
zar una compra de alimentos, para calcular los gastos mensuales, los ingredien-
tes que necesitaremos para preparar una comida, etc. En estos casos, se suelen
usar procedimientos diferentes a los algoritmos convencionales. Por ejemplo, en
el problema siguiente:

• Martín ahorró $ 100 y quiere saber si le alcanza para comprar elementos
para la computadora que cuestan $ 54 y $ 37.

Para realizar un cálculo aproximado, se puede encuadrar cada número –el 54
está entre 50 y 60, y el 37 entre 30 y 40– y redondear a la decena más cerca-
na, para operar con ellas. En este caso, 50 está más cerca de 54 que de 60, y
40 está más cerca de 37 que de 30; entonces, como 50 + 40 = 90, podemos
decir que con los $ 100 que ahorró Martín le alcanza, pues tendrá que gastar
aproximadamente $ 90.


>
90 Matemática 2

Además de estos problemas, es posible trabajar diferentes propuestas de
estimación como la siguiente.

• Decidí, sin hacer la cuenta, si los resultados de estos cálculos
son mayores de 50:
a) 28 + 42
b) 25 + 19

• Fundamentá tus respuestas.

En el caso a) es esperable que los niños digan: el resultado de 30 + 40 se
pasa del 50, y para el caso b) veinti y pico más un número cercano al veinte
tiene que dar cuarenta y pico, es decir, menos que cincuenta, etcétera.

Plantear juegos para memorizar cálculos
Al igual que en 1er año/grado, en 2o es necesario seguir promoviendo la prácti-
ca del cálculo mental con el objetivo de que progresivamente los alumnos reten-
gan un conjunto de resultados numéricos y de estrategias de cálculo relativos a
la adición y sustracción, como:

1er año/grado
Sumas de sumandos iguales de una cifra (1 + 1, hasta 9 + 9).
Sumas de decenas enteras iguales (10 + 10, hasta 90 + 90).
Las sumas que dan 10 (1 + 9; 2 + 8, etc.).
Sumas de números terminados en 0 que dan 100 (20 + 80).

2o año/grado
Sumas de sumandos distintos de una cifra (4 + 3, ...; 8 + 6, etc.).
Sumas de decenas (40 + 30; 70 + 60, etc.).
Complementos a 100 (80 + ... = 100; 40 + ... = 100, etc.).
Sumas y restas de múltiplos de 5 (35 + 15; 50 – 15, etc.).
Dobles y mitades (el doble de 20 es...; la mitad de 80 es...).
Sumas de decenas enteras más unidades (10 + 8; 20 + 5, etc.).

Para este tipo de actividades, y durante todo el Ciclo, hay que destinar un
tiempo considerable, por ejemplo, una clase semanal, ya que una buena prácti-
ca de cálculo mental y la reflexión sobre los procedimientos empleados es el
punto de partida de otros tipos de cálculo.


Eje

Número 91
y Operaciones

Una clase podría consistir en pedir a los alumnos que, en grupos, busquen y dis-
cutan diferentes maneras de resolver un cálculo. Luego, un representante de cada
grupo deberá socializar para el total de la clase la producción de su grupo.
Finalmente, se podrá comenzar con una instancia de análisis en la que formulare-
mos preguntas del tipo: cuál procedimiento les resultó más fácil, más rápido, etc.
para orientar el debate. La intención no es encontrar el “mejor procedimiento” sino
que cada niño encuentre la manera más “cómoda” de resolver el cálculo, a diferen-
cia del algoritmo convencional en el que todos lo resolvemos de la misma manera.
Una vía de acceso interesante para el trabajo con el cálculo mental es el
juego reglado. Pero, cabe aclarar que el juego en sí mismo no es una herramien-
ta suficiente para garantizar una situación de aprendizaje. Será nuestra intención
como docentes lo que diferencie el uso didáctico del juego de su uso social.
Para el alumno, el objetivo en el juego reglado, generalmente, será ganar. En
cambio, para el docente, será que el alumno aprenda un nuevo conocimiento.
Para ello es necesario que gestionemos momentos de análisis conjunto a
propósito del desarrollo de cada propuesta lúdica. Preguntas tales como: ¿todos
lo jugaron de la misma manera?, ¿qué estrategias utilizó cada uno?, ¿cuál les
pareció la forma más rápida?, ¿cuál permitió cometer menor cantidad de erro-
res?, etc. suelen ser típicas para orientar a los niños a que reflexionen sobre el
contenido que se pretendió abordar.

Algunas propuestas21 para construir estrategias y memorizar cálculos son las
siguientes.

“Casita del 100”: sumar números terminados en 0 y 5 que dan 100
Materiales: para cada grupo, un mazo con 40 cartas con dos de estas con
cada uno de los números terminados en 5 y en 0, desde el 5 hasta el 95,
excepto del 50, de las que debe haber 4.
Organización: la clase se podrá dividir en grupos de 4 niños.
Desarrollo: tal como se juega a la “Casita Robada”, pero teniendo en
cuenta que lo que permite levantar una carta del pozo es que sumen 100.
Es decir, que se reparten 3 cartas a cada niño y se colocan 4 boca arriba
sobre la mesa.

21
Recomendación de lectura: para ampliar el repertorio de juegos, se recomienda la consulta
del material recortable para los alumnos y material para el docente en el libro de Chemello, G.
(coord.), Agrasar, M. y Chara, S. (2001), El juego como recurso para aprender y Juega
y aprende matemática de Fuenlabrada, I. (2000).


>
92 Matemática 2

A su turno, cada jugador intentará sumar 100 entre una de sus cartas y una
de la mesa. En caso de no poder hacerlo, desecha una de sus cartas,
colocándola junto a las otras cartas sobre la mesa, boca arriba. Gana el
jugador que al final tiene más cartas en su pozo.

“Descartar 100”: calcular sumas que dan 100
Materiales: para cada grupo, el mismo mazo que para el juego anterior
y una carta cualquiera que no tenga pareja.
Organización de la clase: en grupos de 4.
Desarrollo: se reparten las 41 cartas entre los 4 jugadores sabiendo que al
primer jugador le tocará una carta de más. En un momento inicial, cada uno
debe deshacerse de todas las parejas de cartas que sumen 100. Entre todos,
verificarán que los pares armados sean correctos. A continuación, el jugador que
tiene más cartas “pide” una carta que le permita descartarse de un par. El
jugador que la tiene está obligado a entregársela pasando a ser el próximo
participante que pedirá una carta al resto del grupo. Gana el primero que se
queda sin cartas.

“El que se pasa de 100, pierde”: calcular dobles
Materiales: un dado en cuyas caras se observen los números 2, 3, 5, 7, 8 y 9.
Organización de la clase: en grupos de 2 o 3 alumnos.
Desarrollo: un jugador tira el dado y dice el doble del número obtenido.
A continuación y, siguiendo la ronda, los otros jugadores van duplicando el
número enunciado por el jugador anterior. Pierde el participante que supera
el número 100.

“El más grande pierde”: calcular + 1; – 1; + 10; – 10; + 5, y – 5
Materiales: un dado con etiquetas en cuyas caras se pueda leer
+1; –1; + 10; – 10; + 5, y – 5. Papel y lápiz para cada jugador.
Organización de la clase: en grupos de 2 o 3 alumnos.
Desarrollo: para comenzar, cada grupo elige con qué número comenzar y
lo escribe en su hoja. En su turno, cada jugador tira el dado y hace con el
número lo que se le indica. Pierde el jugador que al cabo de 5 tiros obtuvo
el número más alto.


Eje

Número 93
y Operaciones

Otro recurso interesante para trabajar las estrategias de cálculo mental y
las propiedades de las operaciones es la calculadora,22 a partir de situaciones
que exigen analizar los números involucrados y apoyarse en las relaciones
entre estos.
Por ejemplo, en 2o año/grado:

• Escribí en la calculadora el número 55. Con una única resta, logra que
aparezca 45, luego 35, luego 25, etcétera.

• Colocá el número 37. Haciendo únicamente una suma, lográ que en el
visor aparezca el número 100.

Secuencia para memorizar cálculos: “Cada punto vale diez”
En esta secuencia, se presentan actividades que permiten trabajar la memoriza-
ción de un grupo de cálculos. Nos proponemos que los alumnos reutilicen algu-
nos de los cálculos sugeridos en 1er año/grado para memorizar, es decir, las
sumas de dos dígitos iguales, las que dan 10, las de decenas enteras y unida-
des, y que los puedan usar para resolver nuevos cálculos de sumas de decenas,
por ejemplo: 80 + 50.

Actividad 1
“Guerra con dados”: sumar decenas enteras.
Materiales: dos dados por grupo.
Organización de la clase: en grupos de 4.
Desarrollo: cada alumno tira los dos dados y, teniendo en cuenta que cada
punto del mismo vale 10, dice el resultado considerando la suma obtenida.
Se anota 10 puntos el que obtiene la suma mayor. Los alumnos realizarán
un registro de todos los cálculos para decidir el ganador después de cinco
jugadas. En este caso, se apunta a que construyan un repertorio aditivo con
sumandos hasta 60: 40 + 20; 30 + 30; 50 + 10.
Luego se les solicita a los alumnos que registren en un afiche los distintos
cálculos que fueron registrando.

22
Recomendación de lectura: para profundizar en el uso de la calculadora en el aula y conocer
variedad de propuestas, se recomienda la lectura del material Matemática. Aportes didácticos
para el trabajo con la calculadora en los tres ciclos de la EGB de la Dirección General de
Cultura y Educación de la provincia de Buenos Aires (2001).


>
94 Matemática 2

Actividad 2
Esta propuesta se puede presentar a continuación de la anterior, pero si el
tiempo de atención de los chicos ya fue suficiente, se recomienda hacerlo en
otro momento. Usando los registros realizados en la Actividad 1, se les solicita
a los alumnos que en pequeños grupos armen dos columnas separando los
cálculos que les parecieron fáciles de los que les resultaron más difíciles. Es
probable que muchos niños digan “todos son fáciles”, por eso es necesario
que, previamente, generemos un espacio para aclarar entre todos a qué
llamamos “fáciles” y a qué, “difíciles”. Es esperable que consideren como
fáciles aquellos que pueden resolver más rápidamente y difíciles a aquellos en
los que deben “pensar un poco más” o no pueden resolverlos tan rápidamente.
Es condición para esta actividad que en cada grupo se pongan de acuerdo;
por lo tanto, no alcanzará con resolverlos sino que será necesario que expliciten
los procedimientos que utilizaron.
Entre los procedimientos que pueden aparecer en el debate, veremos que
algunos alumnos contarán de a 1, otros irán agregando de a 10, otros podrán
decir “como yo sé que 4 + 5 es 9, entonces 40 + 50 es 90. Si los alumnos no
lo plantearan, se podrá preguntar cuál es más fácil: 10 + 60 o 60 + 10. Es pro-
bable que los chicos que cuentan de 10 en 10 digan que es más fácil el segun-
do y los que resuelven este cálculo como una extensión de 1 + 6 y 6 + 1 los
encontrarán igualmente sencillos de resolver.

Estos juegos son fácilmente adaptables para alumnos con distintos conoci-
mientos de partida; por ejemplo, algunos grupos podrán jugar considerando
que cada punto vale 1 mientras que para otros valdrá 100; también se podrán
modificar los números de las caras del dado. En este sentido, es posible pre-
sentarlos a los chicos del Primer Ciclo en aulas de plurigrado.

Actividad 3
Se introduce como variante del juego anterior que cada alumno tire en su
turno 3 veces los dos dados y registre los valores obtenidos. Luego de cada
ronda, determinan el ganador sumando los puntos obtenidos.
En algunos casos podrán reutilizar los cálculos trabajados en la Actividad 2
al obtener el puntaje de cada vuelta pero, al aumentar la cantidad de tiros
y al obtener el puntaje total, los chicos se enfrentarán con sumas de más
números y con números mayores, por ejemplo, 40 + 90 + 110.


Eje

Número 95
y Operaciones

En el cierre de la actividad se podrá discutir sobre las distintas estrategias que
permiten resolver estos cálculos con números más grandes. En estos casos,
conmutar y asociar convenientemente los puede llevar a pensar
110 +90 = 200 y 200 + 40 = 240. Otros podrán pensar 110 + 40 = 150
y luego, considerando que 90 es lo mismo que sumar 100 y restar 10, hacer
150 + 100 – 10 = 240.

Actividad 4
Se dará lugar a la resolución de problemas que simulan situaciones
presentadas en el juego.
Por ejemplo:

• Indicá qué puntaje anotó Mariela después de cada tirada y en total.

Dado Anotó

Total

En nuevas propuestas, es posible presentar los cálculos en forma descontex-
tualizada. Por ejemplo:

• Completá los siguientes cálculos.
70 + … = 130
70 + … = 120
70 + … = 110

• ¿Qué relación podés establecer entre estos cálculos?


>
96 Matemática 2

Las cuatro actividades de la secuencia no se han pensado como cuatro clases
seguidas sino como cuatro momentos. A partir de los observado en el grupo, en
función de sus conocimientos previos y de los avances logrados, tomaremos dis-
tintas decisiones: podremos hacer las Actividades 1 y 2 en un mismo día, en días
sucesivos, y a veces volveremos a realizar la Actividad 1 luego de la Actividad 2
para que los chicos puedan implementar algunas de las estrategias discutidas.
Para contribuir a que los niños desarrollen las posibilidades de “controlar” los
resultados obtenidos en ciertas cuentas, se puede trabajar en la aproximación de
los sumandos a la decena cercana, por medio de propuestas como las que siguen.

• Marcá el resultado que más se aproxime a los cálculos siguientes.
62 + 35 90 100 120
48 + 134 170 180 200

Plantear situaciones para explorar relaciones numéricas
Además de presentar variadas actividades de cálculo, es conveniente que algu-
nas propuestas les permitan a los alumnos establecer relaciones y reglas sobre
las que se apoyarán para la resolución de nuevos cálculos. De esta manera, es
probable que amplíen el repertorio aditivo y sustractivo. Por ejemplo:

• Completá los casilleros de cada columna y después pensá con un
compañero qué le dirían a otro para que pueda resolverlos más rápido
sin hacer la cuenta.
+ 10 – 10 + 100 – 100

245 45
150 370
759 709
26 98

En los casos de sumas y restas del tipo de las planteadas en las tablas o con
+ 20, + 200, – 20, – 200, los alumnos podrán arribar a conclusiones tales como:
si sumo 10 aumenta 1 la cifra de los dieces, si sumo 100 aumenta 1 la cifra
de los cienes, etcétera.

También podemos proponerles completar tablas proporcionales elaboradas a
propósito de otros problemas resueltos con anterioridad. A partir de estas, se
podrán generar espacios de discusión sobre las relaciones entre los números


Eje

Número 97
y Operaciones

involucrados que permitan arribar a conclusiones como: para completar las
tablas fuimos dando saltos de 2 en 2, de 3 en 3, …; dentro de cada tabla
siempre sumamos el mismo número.

No de sándwiches 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
No de panes 2 4 6

No de personas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
No de sándwiches 3 6

Las conclusiones que se extraen de estas propuestas se pueden escribir en
los cuadernos o en carteles en la sala, y es conveniente considerarlas como
parte de los logros alcanzados por el grupo. De esta manera, estarán siempre
disponibles y, ante nuevas situaciones, pediremos a los chicos que busquen esas
conclusiones y evalúen si las están teniendo en cuenta.

Para trabajar con la información
Dentro de la variedad de actividades que implica resolver problemas, es impor-
tante centrarnos en el análisis de los diferentes aspectos que algunas involu-
cran: interpretar la información según el soporte en el que se presenta, ya sea
un enunciado verbal, gráfico, tabla, etc.; diferenciar los datos de las incógnitas y
seleccionar la información.
Asimismo, en este año, será posible iniciar un trabajo de recolección, organi-
zación y construcción de nueva información, en función de un contexto proble-
mático que lo requiera.

El trabajo que proponemos apunta a construir condiciones que faciliten en los
niños los procesos de comprensión de los enunciados de los problemas, y de la
tarea que pueden desarrollar para resolverlos.
En este sentido, se trata de que puedan llevar adelante una práctica diferen-
te de aquella más o menos estereotipada de búsqueda de una palabra “clave”
en el enunciado que indique la operación que permitirá resolver la situación. Por
ejemplo, los alumnos piensan que cada vez que en un problema aparece la pala-
bra “perder” hay que restar. ¿Qué tipo de situaciones problemáticas pueden ayu-
dar a cuestionar y repensar esa hipótesis de los chicos? Es necesario, entonces,
presentar enunciados como: en el torneo de salto en largo, en el primer salto,
perdieron 8 participantes y, en el segundo, otros 16. ¿Cuántos alumnos que-
daron descalificados en total?, donde para encontrar la respuesta es necesario
sumar 8 y 16, y en el enunciado aparece la palabra “perdieron”.


>
98 Matemática 2

Otra idea que usan los niños es que “todos los datos numéricos incluidos
en el enunciado de un problema deben ser usados en el orden en que apa-
recen”. En este caso, podemos proponer problemas que incluyan más datos
de los necesarios, con el fin de que los alumnos tengan que evaluar cuál o
cuáles son pertinentes para la resolución de la situación. En estas oportuni-
dades, es conveniente anticipar a los niños que hay que seleccionar los datos
que permiten responder las preguntas planteadas entre la información que
se presenta en el enunciado, para que no piensen que se trata de un proble-
ma “con trampa”.
Los chicos también suelen pensar que la respuesta a la pregunta es el resul-
tado de la cuenta que hagan. Para que esto se modifique, habrá que formular
preguntas que, por ejemplo, se respondan analizando el resto de la división,
como en el siguiente caso: para salir de paseo los maestros de 2o grado con-
tratan micros que pueden llevar 30 pasajeros. Si deben viajar 73 chicos y 3
maestros, ¿cuántos micros deben contratar? ¿Y si faltan 10 chicos?
Finalmente, otra idea que los chicos usan al resolver los problemas es que
siempre existe una única solución. En este sentido, conviene presentar proble-
mas con una, varias y ninguna respuesta posible.23

Plantear situaciones para establecer relaciones entre datos e incógnitas
El trabajo de establecer relaciones entre datos e incógnitas y el análisis del
número de soluciones obtenidas al resolverlo contribuye con la comprensión
del sentido de las operaciones. Para ello, se hace necesario presentar distintos
tipos de situaciones.
Un problema como el siguiente permite pensar varias respuestas posibles.

• En un kiosco venden helados chicos a $ 4, y grandes a $ 5. Si una
persona gastó $ 20, ¿cuántos helados pudo haber comprado?

Si a este enunciado le agregamos más información pero no preguntas, puede
servirnos para otro propósito, por ejemplo, analizar las relaciones entre las pre-
guntas y los datos necesarios para responderlas. Para ello, escribiremos el enun-

23
Explicitamos la importancia de generar condiciones para que los alumnos se enfrenten con
distintos tipos de problemas en el apartado “Las relaciones entre datos e incógnitas” en
“Enseñar Matemática en el Primer Ciclo” de este Cuaderno.


Eje

Número 99
y Operaciones

ciado en el pizarrón y por grupos tendrán que formular preguntas que se pue-
dan responder a partir del texto anterior. Además, nosotros podremos agregar
otras como las siguientes:

• ¿Quién compró más helados?
• ¿Cuáles son los helados más caros?
• En un kiosco venden helados chicos a $ 4, y grandes a $ 5.
Todos los helados cuestan $ 1 menos los días miércoles.
La abuela Rosa les compró helados chicos a sus ocho nietos el día
miércoles. Mirta gastó el sábado $ 30.
Daniel compró el domingo helados chicos para él y sus tres sobrinos.
• ¿Cuantos helados pudo haber comprado Mirta?
En un primer momento, centraremos la reflexión en si es posible o no responder
las preguntas. Para complejizar la propuesta y avanzar en el análisis de las pregun-
tas, podremos solicitar que diferencien aquellas preguntas que se contestan con
solo leer el enunciado de las que para responderlas requieren de un cálculo.

También se puede presentar una actividad similar a partir de una lámina que
contenga información numérica como:

En este último caso, esperamos que los chicos puedan avanzar en la formu-
lación de preguntas cada vez más complejas a partir de atender distintas condi-
ciones, como:


>
100 Matemática 2

- Con solo ver la lámina:
¿Cuántos caramelos te dan por $ 1?
- Relacionando datos:
¿Qué cuesta más caro: el chocolate grande o el helado chico?
- Haciendo cálculos:
¿Cuánto deberá pagar una familia que toma 2 helados grandes y dos
helados chicos?
¿Cuánto más barato es el helado chico que el grande los días miércoles?
- No se puedan contestar:
¿Cuántos caramelos se vendieron?

La misma propuesta de inventar preguntas a partir de un enunciado y de una
lámina se puede realizar mediante otros portadores de información, como listas
de precios, comprobantes de compra, programas de espectáculos, folletos publi-
citarios de distinto tipo, boletos, menús, etc. Tanto para formular las preguntas
como para responderlas, se requiere que los chicos aprendan a “leer” la informa-
ción matemática incluida y a seleccionar aquella que resulta útil. Por ejemplo, si
se trata de una entrada a un cine, se podrá preguntar: ¿a qué hora empieza la
película?, ¿en qué cine la dan?, ¿cuánto costó la entrada?, etcétera.

La experiencia de muchos docentes nos muestra que solicitar a los chicos
que inventen problemas contribuirá a que puedan seleccionar la información, a
clasificarla y a analizar la manera más conveniente de organizarla: en cuadros,
tablas o gráficos.
Un modo de instrumentar esta propuesta en el aula es solicitando a los niños
que inventen un problema que, luego de ser resuelto por otros compañeros,
deberán corregir. De esta manera, al inventar el problema, cada chico podrá anti-
cipar el tipo de operación que utilizará para la resolución. A la vez, al enfrentar la
resolución que otros desarrollaron, comprobará si su anticipación fue adecuada.
En escuelas con plurigrado, este tipo de actividad resulta muy interesante,
pues habrá aún mayor diversidad en la puesta en común de las preguntas inven-
tadas por los alumnos.24

24
Recomendación de lectura: otras actividades para trabajar con la información se encuentran
en Equipo de Matemática de Gestión Curricular ( 2000), Propuestas para el aula. Material para
docentes. Matemática EGB 1.


Eje

Número 101
y Operaciones

Plantear situaciones para obtener y organizar datos
Hemos planteado que en 2o año/grado también es posible desarrollar un traba-
jo de recolección y organización de datos. Para ello, se puede plantear alguna
pregunta que otorgue sentido a la actividad. Por ejemplo, relatar que se quieren
preparar regalitos para el Día del Niño y que se necesita saber cuántos varones
y cuántas nenas hay en cada año/grado, o que se va a hacer una campaña en
el barrio o el pueblo donde viven para pedir entre los vecinos libros que no usen
con el fin de completar las bibliotecas de 1o, 2o y 3er años/grados. Antes de
hacerlo, para poder orientar el pedido, necesitarían saber qué material y de qué
tipo dispone la escuela. Por eso, les pediremos que averigüen la cantidad de
libros que hay para 1o, 2o y 3er años/grados, según sean de cuentos, de historie-
tas, de textos escolares, etcétera.
Tendremos que debatir con los niños cuál es la manera más conveniente de
recabar la información necesaria y cómo organizar y registrar los resultados
obtenidos. Una buena posibilidad sería una tabla, como la que sigue.

Año Libros De cuentos De historietas Textos escolares Total

1O

2O

3O

Total

Preguntar a la clase qué le parece que significa “Total” en ambos lugares de
la tabla; qué datos pondrían en cada lugar; qué habría que hacer si, al recabar la
información, se encuentran con libros de un género que no se había anticipado
por ejemplo, libros para aprender a contar en 1er año/grado; cómo modificarían
esta tabla para que le sirviera a una escuela que tiene dos secciones por grado,
etc., favorecerá una mejor interpretación.


>
102 Matemática 2

Otra manera de registrar la información recolectada es pintando, en una hoja
cuadriculada, cuadraditos uno arriba del otro, o presentando la información en
un gráfico del tipo del que aparece a continuación.

Si no se hubiera realizado la recolección de información, podríamos presentar-
lo como el registro de datos de otra escuela y pedir que interpreten la infor-
mación contenida a partir de preguntas orientadoras: ¿de cuál tipo de libros tie-
nen mayor cantidad?, ¿de cuál tienen menos?, ¿podemos saber la cantidad
que hay de cada uno?, ¿cómo volcarían esta información en una tabla?,
¿podemos saber la cantidad de libros que hay en este grado?, y, luego, ¿qué
conviene utilizar en este caso: la tabla o el gráfico?, ¿por qué?


103

A modo de cierre de este apartado, es oportuno aclarar que el análisis de la
información presentada bajo diferentes formas en función de la pregunta que se
quiere responder es una práctica siempre presente en la resolución de proble-
mas. En este sentido, es una forma de trabajo a promover permanentemente en
matemática.


nap El reconocimiento y uso de relaciones espaciales en espacios
explorables o que puedan ser explorados efectivamente en la
resolución de situaciones problemáticas.

El reconocimiento de figuras y cuerpos geométricos a partir
de distintas características en situaciones problemáticas.*

La diferenciación de distintas magnitudes y la elaboración de
estrategias de medición con distintas unidades en situaciones
problemáticas.

* La complejidad de la tarea crece en función de la combinación entre la figura utilizada,
el tipo de papel y los instrumentos que se proporcionen.

2do matem2

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