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- 1. MÉTODO DE BOUSSINESQ Existen varios tipos de superficies cargadas que se aplican sobre el suelo. Para saber de qué manera se distribuyen los esfuerzos aplicados en la superficie al interior de la masa de suelo se debe aplicar la solución del matemático francés Joseph Boussinesq (1883) quién desarrolló un método para el cálculo de incremento de esfuerzos (esfuerzos inducidos) en cualquier punto situado al interior de una masa de suelo. La solución de Boussinesq determina el incremento de esfuerzos como resultado de la aplicación de una carga puntual sobre la superficie de un semi-espacio infinitamente grande; considerando que el punto en el que se desea hallar los esfuerzos se encuentra en un medio homogéneo, elástico e isotrópico. A continuación se detalla el significado de las hipótesis realizadas por Boussinesq. Estas definiciones son realizadas para el contexto específico de incremento de esfuerzos. Semiespacio infinitamente grande. Significa que la masa de suelo está limitada en uno de sus lados mientras que se extiende infinitamente en las otras direcciones. Para el caso de suelos, la superficie horizontal es el lado limitante. Figura. Bulbo de presión para una fundación cuadrada (Coduto, 1998).
- 2. Material homogéneo. Un material se considera homogéneo cuando presenta las mismas propiedades a lo largo de todos sus ejes o direcciones. Cuando se trabaja con suelos, esta hipótesis se refiere solamente a que el módulo de elasticidad, módulo cortante y el coeficiente de Poisson deben ser constantes; lo que implica la no existencia de lugares duros y lugares blandos que afecten considerablemente la distribución de esfuerzos. Sin embargo, es posible admitir la variación del peso unitario de un lugar a otro. Debido a que el suelo no es un material completamente homogéneo, el tomar en cuenta esta hipótesis introduce siempre algún porcentaje de error. Material isotrópico. Significa que tanto el módulo de elasticidad, módulo cortante y el coeficiente de Poisson son los mismos en todas las direcciones. La mayoría de los suelos cumplen con este criterio, pero existen materiales, tales como los lechos rocosos sedimentarios que no lo cumplen. Material con propiedades lineales elásticas de esfuerzo-deformación. Significa que a cada incremento de esfuerzos está asociado un incremento correspondiente de deformación. Esta hipótesis implica que la curva esfuerzo-deformación es una línea recta que no ha alcanzado el punto de fluencia. La solución original de Boussinesq (1885) para la determinación del incremento de esfuerzos en el punto A de la Figura, debido a una carga puntual P aplicada en la superficie; fue realizada Inicialmente para el sistema de coordenadas polares . Figura Solución de Boussinesq para el sistema de coordenadas polares.
- 3. TEORIA DE BOUSSINESQ. Esta teoría supone una masa de suelo homogénea, elástica e isótropa que se extiende indefinidamente por debajo de una superficie de la masa. El incremento del esfuerzo vertical, ACZ, a la profundidad z y a una distancia horizontal r del punto de aplicación de la carga Q, se calcula por medio de la formula siguiente. Figura: (Esfuerzos provocados en un punto de una masa de suelo por una carga concentrada en un sistema homogéneo) Donde: P = Carga concentrada actuante x, y, z = Coordenadas del punto en que se calculan los esfuerzos r = Distancia radial del origen al eje donde se calculan los esfuerzos
- 4. Las hipótesis para las cuales se desarrolló la fórmula de Boussinesq, están lejos de representar realmente una masa de suelo, no obstante, simplifica el análisis matemático que impone dicha masa. La teoría de Boussinesq es pues sólo aplicable en un espacio semi-infinito homogéneo elástico, como puede ser el análisis de una prueba de placa en una terracería o la carga de una llanta en un pavimento delgado. Por lo que no es aplicable a un pavimento con una sección que puede decirse típica. La carga concentrada produce en el medio un estado de esfuerzos y desplazamientos que evidentemente es simétrico respecto al eje de aplicación de la carga. Las ecuaciones de Navier o de la deformación, que expresan las condiciones de equilibrio en función de las componentes del vector desplazamiento, son En donde υ es el módulo de Poisson, G el módulo de rigidez las fuerzas de masas y el sistema coordenado ortogonal de referencia. Cuando se transmite un esfuerzo al suelo por medio de la cimentación, este se distribuye en todas direcciones, pero conforme se aleja de la cimentación, el incremento de esfuerzo tiende a cero. El primer análisis que realiza Boussinesq es considerar la acción de una carga puntual, con lo anterior obtuvo las ecuaciones siguientes:
- 5. ∆σ: incremento de esfuerzo p: carga puntual I: valor de influencia Z: profundidad a la cual se desea conocer el incremento de esfuerzo. r: tiene el mismo concepto que z pero se mide en un plano horizontal. CARGA LINEAL Teniendo la ecuación para carga puntual, Boussinesq desplazo la carga puntual en línea recta en pequeños incrementos, realizando la integración numérica genera una carga lineal. ECUACIONES: CARGA RECTANGULAR
- 6. ECUACIONES: CARGA UNIFORME EN UN ÁREA CIRCULAR Boussinesq hace girar una carga lineal en pequeños incrementos hasta generar un círculo, realizando la integración de dicho espacio, se obtuvo una ecuación que determina el incremento de esfuerzos al centro de un área circular. ESQUEMA
- 7. REPRESENTACION DE LA DISTRIBUCION DE LA CARGA POR UNA LLANTA RESPUESTA DEL PAVIMENTO
- 8. VEREMOS COMO BOUSSINEQ REALIZO LA DEMOSTRACIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS La carga de la rueda simple equivalente, P, se transmite a la superficie del pavimento por el neumático como una presión vertical uniforme (σc). Entonces, los esfuerzos se distribuyen por la estructura del pavimento para producir un esfuerzo vertical reducido a nivel de la subrasante de (σz). Conforme a esta teoría, el esfuerzo normal (σz) que obra sobre una partícula situada a una profundidad (z) a partir de la superficie y a una distancia (r) de la carga concentrada es: También se lo puede plantear de la siguiente manera:
- 9. Donde: σc = Presión de contacto z = Profundidad medida desde la superficie donde se requiere obtener la presión vertical (σz) r = Radio de la superficie de contacto de la llanta con el pavimento Según esta ecuación, el esfuerzo normal σz es independiente de las características del suelo. Los pavimentos flexibles se estructuran al considerar que los módulos de elasticidad de las capas que los constituyen tienen un valor menor, a medida que se localizan a mayor profundidad. Por este motivo el efecto causado por la presión de un neumático sobre el pavimento disminuirá conforme aumente la altura ( h ) del mismo. En la figura indicada a continuación se aprecia la variación de la presión vertical (σz ) en un pavimento. Figura: Distribución de tensiones medio semi – infinito (Boussinesq)
- 10. Figura: Distribución de presiones medio semi – infinito (Boussinesq) El esfuerzo vertical varía con la profundidad, al cambiar los valores de las cargas y las presiones. Las formas de distribución de (σz) hacia la subrasante dependen de la relación de módulos de elasticidad del pavimento y el suelo natural, donde determinará el tipo de pavimento a diseñar. La presión ejercida por un neumático σc es del orden de 0.2 a 0.7 MPa, el cuál es un valor elevado para ser soportado por el suelo natural; por tal razón la calzada debe distribuir esta presión para llevarla a un nivel tolerable a través de los modelos que trabajan las siguientes hipótesis: 1. La carga aplicada a la calzada se esquematiza por una presión σc sobre un círculo de radio r. 2. El suelo natural de soporte se supone elástico con un módulo de elasticidad E2, y por un coeficiente de Poisson υ2. Este suelo solo puede resistir, sin deformarse exageradamente, un esfuerzo vertical admisible σz no mayor a σadm, inferior a la presión σc.
- 11. Figura: Difusión del esfuerzo vertical σz 3. Se busca que a una profundidad H del suelo la presión vertical esté suficientemente difusa para no poder pasar el esfuerzo admisible σadm. Boussinesq resolvió este problema al proponer que a una profundidad z el esfuerzo vertical σZ, es igual a:
- 12. Con este Ejemplo boussinesq demuestra: Si se supone que a nivel del suelo de soporte el esfuerzo vertical admisible σadm es igual σc/10, el espesor es H, la relación H/r será:
- 15. A partir de esta hipótesis Bussinesq, concluye que: - σz es proporcional a σc, e independiente de E2. - El espesor H de la calzada es proporcional al radio del círculo de la carga ejercida por la rueda equivalente. - Si el esfuerzo admisible σadm sobre el suelo de soporte es menor que la presión de contacto σc, se procede a adoptar espesores altos para disipar la presión de contacto aplicada ya que a mayor espesor llegará menor presión vertical a nivel de la subrasante. 4. Se puede adoptar como H al espesor de la calzada, E1 módulo de elasticidad de la estructura (pavimento) y E2 al módulo de elasticidad del suelo de soporte. E1 será superior al módulo E2, por lo que el espesor H’ que corresponde al espesor afectado por la relación de módulos será obtenida de la siguiente manera: CONCLUSIONES Esta Teoría es muy útil para determinar el incremento de esfuerzo vertical (el esfuerzo vertical) de una carga puntual, y no solamente de este tipo de carga también una carga distribuida, rectangular etc. La teoría nos facilita el cálculo en el estudio de los esfuerzos pero el cual no toma en cuenta otros factores que afectan o pueden afectar a los esfuerzos por lo general los medios donde se trabaja son anisótropos. REFERENCIAS www.monografias.com www.academia.edu/.../PAVIMENTOS_FLEXIBLES._PROBLEMÁTICA Manual de carreteras 2 Luis Bañon Blázquez