4esoma-b_sv_es_ud01_so.pdf

4 Unidad 1| Números reales
1 Números reales
LEE Y APRENDE
¿Qué representan los números de los 10 primeros versos?
Los números de los primeros versos son los primeros decimales del número Pi.
¿Qué quiere decir la autora al afirmar ¡Oh, qué corta es la cola del cometa…!?
La autora considera que la cola de un cometa es pequeña comparada con el número de decimales del número Pi.
ANALIZA Y REFLEXIONA
¿Qué características tiene el número Pi? ¿A qué conjuntos de números pertenece?
El número Pi tiene infinitos decimales que no siguen ningún patrón numérico.
El número Pi pertenece al conjunto de los números irracionales.
¿Conoces algún otro número con las mismas características?
Respuesta libre.
Actividades propuestas
1. Señala si los siguientes números son racionales o irracionales.
a) 5,372 727 272… c) 3,545 445 444 5…
b) 0,127 202 002 000… d) 8,666 126 712 67…
a) Racional c) Irracional
b) Irracional d) Racional
2. Indica todos los conjuntos numéricos a los que puedan pertenecer estos números.
3
; 2; 1,2525...; 2,010010001...; 4; 0,26
5
− −

Enteros: –4 Irracionales: − 2 ; 2,010010001…
Racionales: –4;
3
5
; 1,2525…;

0,26 Reales: Todos
3. Di si estas frases son verdaderas o falsas.
a) Todo número decimal es racional. c) El número –1 pertenece al intervalo ( )
3
25, 8
− − .
b) El número
12
3
pertenece a , , y .
    d) Existe la fracción 3,414114111411114...
a
b
=
a) Verdadera. c) Falsa, porque ( ) ( )
− − = − −
3
25, 8 5, 2
b) Verdadera, porque =
12
2
3
d) Falsa, porque 3,414114… es un número irracional.

Números reales | Unidad 1 5
4. Calcula estos valores absolutos.
a) │–7 + 2│ c) ││–5│–│–8││
b) │7 – │–9││ d) ││–9│+│2│ · │–5││
a) │–7 + 2│= │–5│ = 5 c) ││–5│–│–8││ = │5 – 8│ = │–3│ = 3
b) │7 – │–9││ = │7 – 9│ = │–2│ = 2 d) ││–9│+│2│·│–5││ = │9 + 2 · 5│ = │9 + 10│ = │19│ = 19
5. Aproxima 10 = 3,162 277 66… con tres cifras significativas y calcula el error absoluto y el error relativo.
3,162 277 66… ≈ 3,16
EA = |3,162 277 66 – 3,16| = 0,002 277 66
0,002 277 66
0,000 720 259 0,07 %
3,162 277 66
R
E
⇒
= = ⇒
6. Actividad resuelta.
7. Encuentra todos los números x que verifican estas igualdades.
a) │x – 1│ = 2 b) │x + 2│ = 5 c) │3 – x│ =
4
5
a) Como │x – 1│ = 2 = d(x, 1), se buscan los números que distan 2 unidades de 1.
x = 1 + 2 = 3 y x = 1 – 2 = –1
b) Como │x + 2│ = │x – (–2)│ = 5 = d(x, –2), se buscan los números que distan 5 unidades de –2.
x = –2 + 5 = 3 y x = –2 – 5 = –7
c) Como │3 – x│ =
4
5
= d(3, x) = d(x, 3), se buscan los números que distan
4
5
unidades de 3.
x = 3 +
4
5
=
19
5
y x = 3 –
4
5
=
11
5
8. Representa en la recta real los números
7
2
, 12 , 2 3 .
9. ¿Qué es mayor, 6 o
7
3
? Para averiguarlo, representa estos números en la recta real.
7
6
3
>

10. Escribe como semirrectas o intervalos las siguientes desigualdades.
a) x ≥ –3 c) x < 7 y x > –8 e) 7 < x y x ≥ 9
b) –5 ≤ x < 7 d) 8 > x f) x < –3 y x ≥ 1
a) [–3, +∞) c) (–8, 7) e) [9, +∞)
b) [–5, 7) d) (–∞, 8) f) ∅
11. Expresa con desigualdades y gráficamente los siguientes intervalos y semirrectas.
a) [–1, +∞) c) (–∞, 3)
b) (–2, 0] d) [4, 8]
a) [–1, +∞) = {x ∈ / x ≥ –1} c) (–∞, 3) = {x ∈ / x < 3}
b) (–2, 0] = {x ∈ / –2 < x ≤ 0} d) [4, 8] = {x ∈ / 4 ≤ x ≤ 8}
12. Señala si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas.
a) E[1, 2] = [–1, 3] c) E(–2, 3) = (–5, 0)
b) E(0, 1) = [–1, 1] d) E(4, 2) = (3, 5]
a) Verdadera c) Falsa, porque E(–2, 3) = (–5, 1)
b) Falsa porque E(0, 1) = (–1, 1) d) Falsa, porque E(4, 2) = (2, 6)
13. En el siglo XII, el matemático indio Bhaskara aseguró que: 8 2 18
+ =
Dibuja un segmento de longitud 8 2
+ y otro de longitud 18 , y compruébalo.
14. Responde en cada caso, expresando el resultado como un intervalo y como una desigualdad.
a) ¿Qué números reales están a la vez en los intervalos (–7, 5] y [–6, 3]?
b) ¿Qué números enteros están a la vez en las semirrectas (–∞, –2] y (–6, +∞]?
a) [–6, 3] = {x ∈ / –6 ≤ x ≤ 3}
b) {–5, –4, –3, –2} = { }
/ 5 2
x x
∈ − ≤ ≤ −

15. Escribe los siguientes números como potencias cuya base sea un número primo.
a) 8, 125, 243, 1024, 2401
b)
1 1 1 1 1
, , , ,
625 343 256 81 32
a) 8 = 23
; 125 = 5
2
; 243 = 3
5
; 1024 = 2
10
; 2401 = 7
4
b) 4
1
5
625
−
= ; 3
1
7
343
−
= ; 8
1
2
256
−
= ; 4
1
3
81
−
= ; 5
1
2
32
−
=

16. Haz estas operaciones con potencias.
a) 4
–3
· 4
2
: (4)
–1
b)
3 2
3 9
4 8
−
   
⋅
   
   
c)
2
2
3 1
5
5
−
−
 
 
 
 
 
 
 
a) 4
–3
· 4
2
: (4)
–1
= 4
0
= 1
b)
3 2
3 2 2 2 6 4
3 3 6
3 9 2 3 2 3
3
4 8 3 2 3 2
−
   
   
⋅ = ⋅ = ⋅ =
   
   
       
c)
2
2 4
3 3 3 4
1 1
5 5 5 5 5
5 5
− −
− − −
 
   
= ⋅ = ⋅ =
 
   
   
 
 
18. Calcula x en cada una de estas igualdades.
a) 2 · 162
· 32
–7
= 2
x
c) 10
2x
· 10 000 = 0,001
b) 3 · 27
2
· 9
–7
= 3
x
d) 100
2x
·
1
1000
= 0,1
–2
a) 2 · 16
2
· 32
–7
= 2 · 2
8
· 2
–35
= 2
–26
⇒ x = –26
b) 3 · 27
2
· 9
–7
= 3 · 3
6
· 3
–14
= 3
–7
⇒ x = –7
c) 10
2x
· 10 000 = 0,001 ⇒ 10
2x
· 10
4
= 10
–3
⇒ 10
2x + 4
= 10
–3
⇒ 2x + 4 = –3
7
2
x
⇒ =
−
d) 100
2x
·
1
1000
= 0,1
–2
⇒ 10
4x
· 10
–3
= 10
2
⇒ 10
4x – 3
= 10
2
⇒ 4x – 3 = 2
5
4
x
⇒ =
19. Simplifica al máximo estas expresiones.
a)
( )
3
2 2
3
4 10 10
12 10
−
−
⋅ ⋅
⋅
b)
( )
5
2
9
25 10 121
11 75 10
−
−
⋅ ⋅
⋅ ⋅
a)
( )
3
2 2 6 2
3 3
4 10 10 10 10
12 10 3 10
− −
− −
⋅ ⋅ ⋅
= =
⋅ ⋅
1
30
b)
( )
5
2 2 10 2
9 2 9
25 10 121 5 10 11 11 11
11 75 10 11 3 5 10 3 10 30
−
−
− −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
20. Expresa como potencia de 10 y opera.
a)
( )
3
2 2
5
0,0001 100
0,1 10000 10
−
−
⋅
⋅ ⋅
b)
( )
( )
2
2 6
5
1 3
0,0001 10
1000 10
−
−
− −
⋅
⋅
a)
( ) ( )
−
− −
− − −
⋅ ⋅
= =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
3 6
2 2 4 4
30
5 1 4 5
0,0001 100 10 10
10
0,1 10000 10 10 10 10
b)
( )
( )
4
4 6
10
5
3 3
10 10
10
10 10
−
−
−
⋅
=
⋅
22. ¿Qué es mayor 3111
o 17
14
?
Ayuda: piensa en 16 y 32 y ten en cuenta que 3111
< 32
11
y 16
14
< 17
14
.
31
11
< 32
11
= (2
5
)
11
= 2
55
=
( )
14
4
56 14
2
2 16
2 2 2
= = < 16
14
< 17
14
Por tanto, 3111
< 17
14

23. Expresa en notación científica.
a) La distancia media de Plutón al Sol: 5 913 500 000 km
b) La masa de un átomo de hidrógeno: 0,000 000 000 000 000 000 000 001 661 g
a) 5 913 500 000 km = 5,9135 · 109
km
b) 0,000 000 000 000 000 000 000 001 661 gr = 1,661 · 10–24
g
24. Copia en tu cuaderno y completa:
Escritura
decimal
Escritura n · 10
p Notación
científica
Escritura
decimal
Escritura n · 10
p Notación
científica
25 000 000 ●●● ●●● 25 000 000 25 · 10
6
2,5 · 10
7
0,000 0043 ●●● ●●● 0,000 0043 43 · 10
–7
4,3 · 10
–6
●●● 29 · 10
–3
●●● 0,029 29 · 10
–3
2,9 · 10
–2
●●● 438 · 10
5
●●● 43 800 000 438 · 10
5
4,38·10
7
●●● ●●● 3,48 · 10
–4
0,000 348 348 · 10
–6
3,48 · 10
–4
●●● ●●● 1,3 · 10
5
130 000 13 · 10
4
1,3 · 10
5
25. María tiene que dar la respuesta de una actividad en notación científica, pero el profesor le dice que su
respuesta no está bien. ¿Cuál es la respuesta correcta en notación científica?
La respuesta correcta sería 0,25 · 10
16
= 2,5 · 10
15
.
27. Si a = 2,3 · 108
, b = 5,1 · 10
7
, c = 4,6 · 10
– 5
, resuelve las siguientes operaciones y escribe el resultado en
notación científica.
a) a + b b) a · b c) a · c d)
a
c
a) a + b = 2,3 · 108
+ 5,1 · 10
7
= 2,3 · 10
8
+ 0,51 · 10
8
= 2,81 · 10
8
b) a · b = (2,3 · 108
) · (5,1 · 10
7
) = 11,73 · 10
15
= 1,173 · 10
16
c) a · c = (2,3 · 10
8
) · (4,6 · 10
–5
) = 10,58 · 10
3
= 1,058 · 10
4
d)
8
13 12
5
2,3 10
0,5 10 5 10
4,6 10
a
c −
⋅
= = ⋅ =
⋅
⋅
28. Actividad interactiva.
29. Calcula mentalmente y escribe en tu cuaderno el valor de los siguientes radicales.
a) 55
1 d) 40
1
− g) 5
32
b) 4
81 e) 3
1000
− h) 4
0,0001
c) 6
64
− f) 36
− i) 4
81
−
a) 1 d) No es real. g) 2
b) ±3 e) –10 h) ±0,1
c) –2 f) –6 i) No es real.

30. Expresa los siguientes radicales como potencias y simplifícalos.
a) 3
729 c) 125 e) 10
81
b) 4
1024 d) 6
8 f) 12
15 625
a) ( )
1
3 6 2
3
729 3 3 9
= = = c) ( )
1
3 2
125 5 5 5
= = e) ( )
2
1
10 5
4 5
10
81 3 3 9
= = =
b) ( )
5
1
4 10 5
2
4
1024 2 2 2 4 2
= = = = d) ( )
1
6 3 6
8 2 2
= = f) ( )
1
1
6
12 2
12
15 625 5 5 5
= = =
31. Calcula el valor de las siguientes potencias.
a)
3
2
25 c)
2
3
343 e) 0,25
16 g) 0,3
27

b)
5
2
49 d)
4
3
125 f) 0,75
81 h) 625
0,25
a) ( )
3 3
2
2 2
25 5 125
= = c) ( )
2 2
3
3 3
343 7 49
= = e) ( )
1
0,25 4 4
16 2 2
= = g) ( )
1
0,3 3 3
27 3 3
= =

c) ( )
5 5
2
2 2
49 7 16 807
= = d) ( )
4 4
3
3 3
125 5 625
= = f) ( )
3
0,75 4 4
81 3 27
= = h) 625
0,25
= ( )
1
4 4
5 5
=
32. Expresa como un solo radical.
a) 3 3
3
2 3 4
⋅ ⋅ c) ( )
4
5
5
3 : 27
b) 4 4 4
4 : 2 8
⋅ d) 3 6
512 64
⋅
a) ⋅ ⋅ =
3 3 3
3
2 3 4 24 c) ( )
4
5 5
5
5 5
4 3
3 : 27 3 : 3 3
= =
b) 4 4 4 4
4 : 2 8 16 2
⋅ = = d) 3 6 6 6
6 9 6 15 5
512 64 2 2 2 2 4 2
⋅ = ⋅ = = =
33. Aplica las propiedades de los radicales y simplifica las siguientes expresiones.
a)
4 3
4 b)
3
8 c)
3 4 6
2 d)
2
3
64
 
 
 
a)
4 3 24 12
2
4 2 2
= = b)
3 12 4
3
8 2 2
= = c)
3 4 4
6
2 2
= d)
2
3 6 12 2
64 2 2 4
 
= = =
 
 
34. Explica cómo expresiones tan distintas como 2
0,5
, 2 y
1
6
8 pueden ser equivalentes.
( )
1 3 1
1
3 0,5
6 6 2
6
8 2 2 2 2 2
= = = = =
36. Reduce a índice común y ordena de mayor a menor los siguientes radicales.
a) 4
4 , 8
8 , 6
6
b) 5
5 , 2 , 10
20
a) 24 24 24
4 6 12 4 4
4 4 2 2 4
= = = ⋅ , 24
24
8 3 9
8 8 2
= = y 24 24
6 4 4 4
6 6 2 ·3
= = ⇒ 4
8 6
8 6 4
< <
b)
5 10
5 25
= y
10
2 32
= ⇒ 10 5
20 5 2
< <

37. Escribe las siguientes expresiones de la forma que se indica en cada caso.
a) Con radicales:
2
3
x , ( )
2
1
3
8x y ( )
1
3
3 a
+
b) Con exponentes fraccionarios: 3 3
3 2
2 , y
a x a b
+
a)
2
3 2
3
x x
= ,
2
1 2
3
2 2
3 3
8 8 64
x x x
 
= =
 
 
y ( )
1
3
3
3 3
a a
+ = +
b) ( )
1
3 2 2 3
2 2
a a
= ,
1
3 6 6
x x x
= = y
1
1 1 3
3 2 2
a b a b
 
+ = +
 
 
38. ¿Cuál es el error en esta falsa igualdad? ( )4 8
2 4
1 1 1 1
⋅
− = − = =
La propiedad fundamental no está bien aplicada en este caso, pues esta solo es válida si el radicando es mayor o
igual que cero y, en este caso, no lo es.
39. Demuestra las propiedades de los radicales utilizando exponentes fraccionarios.
1. ( )
1 1 1
n n n
n n n
ab ab a b a b
= = ⋅ = ⋅ 4. ( ) ( )
1 1
m m
m
n
n m m
n n n
a a a a a
 
= = = =
 
 
2.
1
1
1
n
n
n
n
n
n
a a a a
b b b
b
 
= = =
 
 
5. ( )
1
1 1 1
n
n m m n m
n m n m
a a a a a
⋅
⋅
 
= = = =
 
 
3. Si a ≥ 0,
1 m
m n
n m
n m n
a a a a
⋅
⋅
= = =
40. Extrae factores y simplifica al máximo estos radicales.
a) 3000 b) 3
600 c) 4
810
a) 2
3000 10 30 10 30
= ⋅ = b)
3
3 3
3
600 2 75 2 75
= ⋅ = c)
4
4 4
4
810 2 3 5 3 10
= ⋅ ⋅ =
41. Introduce factores dentro de cada radical.
a) 3 5 b) 3 2
4 2
a a c) 4
3 5
5 3
a) 2
3 5 3 5 45
= ⋅ =
b) 3 3 3
2 3 3 2 5
4 2 4 2 128
a a a a a
= =
c) = = =
4 3
4 4
4 4
4 3
3 5 3 ·5 3 27
5 3 5 ·3 5 125
42. Efectúa las siguientes operaciones.
a) 8 27
⋅ b) 3 5
4 392
⋅ c) 4
2187 : 108 d) ( )
6
3
12 : 32 : 2
a) 3 3
8 27 2 3 2 3 2 3 6 6
⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =
b) ( )
3
15 15 15 15 15 15
15
3 5 5 3 10 3 2 10 9 6 19 6 4 6
15 15
4 392 4 392 2 2 7 2 2 7 2 7 2 2 7 2 1882 384
⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =
c) ( )
4
2
4 4 4 4
4 4 2 7 2 3 7 4 6
4 4
4
3 3
2187 : 108 2187 : 108 3 : 2 3 3 : 2 3
2 2
= = ⋅ = ⋅ = =
d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
3 2
6 6
6 6
6 6 6 6
3 3 2 2 5 6 3 10
6 6 6
3
3 3
12 : 32 : 2 12 : 32 : 2 2 3 : 2 : 2 2 3 : 2 : 2
2 2
 
= =
⋅ =
⋅ =
=
 
 

43. Opera y simplifica.
a) 12 4 27 3 75
− + c) 7
3
32 5 18 2
2
+ −
b) 3 20 2 80 45
− − d) 5 2 5
3 3 2 2
− + ⋅ −
a) ( )
12 4 27 3 75 2 3 4 3 3 3 5 3 2 12 15 3 5 3
− + = − ⋅ + ⋅ = − + =
b) ( )
3 20 2 80 45 3 2 5 2 4 5 3 5 6 8 3 5 5 5
− − = ⋅ − ⋅ − = − − =
−
c) 7
3 3
32 5 18 2 4 2 5 3 2 8 2 6 2 15 2 8 2 13 2
2 2
+ − =⋅ + ⋅ − = + − =
d) 5 2 5
3 3 2 2 9 3 12 2 2 9 3 11 2
− + ⋅ − =
− + − =
− +
44. Racionaliza y simplifica las siguientes expresiones fraccionarias.
a)
3
6
c) 3
3
12
e)
2
5 23
−
b) 3
10
5
d)
4
7 5
−
f)
7
3 2
+
a)
3 6 3 6 6
6 2
6 6
⋅
= =
⋅
b)
( )
3 3 3
3
2
3 3 3
10 10 5 5 10 25
2 25
5
5 5 5
⋅ ⋅ ⋅
= = =
⋅
c)
( )
( )
( )
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = = = = = =
⋅
2
4
3 6 3 2
6
6
6 6 6 6 6 6
3 4 3 8 4 7 8
2
3 3 3
3 3
3 12 3 2 3
3 3 12 3 2 3 3 2 6 12 12
12 12 12 12 2
12 12
12 12
d)
( )
( ) ( )
( )
4 7 5 4 7 5
4
2 5 2 7
2
7 5 7 5 7 5
+ +
= = = +
− − ⋅ +
e)
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 5 23 2 5 23 2 5 23
2
5 23
25 23 2
5 23 5 23 5 23
+ + +
= = = = +
−
− − ⋅ +
f)
( )
( ) ( )
( )
− −
= = = −
−
+ + ⋅ −
7 3 2 7 3 2
7
7 3 7 2
3 2
3 2 3 2 3 2
45. Calcula el valor de x en la siguiente expresión: 18 50 7 2
x x
⋅ = ⋅ +
7
18 50 7 2 3 2 5 2 7 2 3 5 7
2
x x x x x x x
⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ =
−
46. Si ( )
3 1 6
a
= + y 3 6
b= − son los catetos de un triángulo rectángulo, halla la hipotenusa.
h2
= a
2
+ b
2
= ( )
( )
2
3 1 6
+ + ( )
2
3 6
− = ( ) ( )
3 1 2 6 6 9 6 6 6 3 6 6 18 9 6 6 6 36 6
h
+ + + − + =
+ + + − + = ⇒ =

48. Calcula los logaritmos en base 2 de los siguientes números.
a) –4 d) 1024
b) 2 e) 3
32
c)
1
8
f) 8 · 16 · 2
5
a) ( )
2
log 4
− : no existe d) 10
2 2
log 1024 log 2 10
= =
b) 2
log 2 1
= e)
5
3 3
2 2
5
log 32 log 2
3
= =
c) 3
2 2
1
log log 2 3
8
−
= = − f) ( ) ( )
5 3 4 5 12
2 2 2
log 8 16 2 log 2 2 2 log 2 12
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =
49. Sin utilizar la calculadora, halla la primera cifra de los siguientes logaritmos.
a) log 450 c) log 0,03 e) log5 75
b) log 37 d) log3 10 f) 2
1
log
3
a) Como log 100 = 2 y log 1000 = 3, la primera cifra de log 450 es 2.
b) Como log 10 = 1 y log 100 = 2, la primera cifra de log 37 es 1.
c) Como log 0,1 =
1
log
10
= –1, la primera cifra de log 0,03 es –1.
d) Como log3 9 = 2 y log3 27 = 3, la primera cifra de log3 10 es 2.
e) Como log5 25 = 2 y log5 125 = 3, la primera cifra de log5 75 es 2.
f) Como 2
1
log 1
2
= − y 2
1
log
4
= –2, la primera cifra de 2
1
log
3
es –1.
51. Calcula el valor de x en estas igualdades.
a) log 1 000 000 = x c) log (–100) = x e) 7
1
log
49
x
=
b) logx 0,5 = –1 d) log2 x = 5 f) 27
1
log
3
x
− =
a) x = log 1 000 000 = log 10
6
= 6 c) log (–100) no existe e) 2
7 7
1
log log 7 2
49
x
−
= ⇒ =
−
b)
1
log 0,5 1 log 1 2
2
x x x
=− ⇒ =− ⇒ = d) 5
2
log 5 2 32
x x
= ⇒ = = f)
1
3
27
1 1
log 27
3 3
x x
−
− = ⇒ = =
53. Tomando log 8 = 0,903, calcula:
a) log 80 c) log 2 e) log 64
b) log 0,8 d) log 1,25 f) log 3
800
a) log (80) = log (8 · 10) = log 8 + log 10 = 1,903 d) log 1,25 = log
10
8
= log 10 – log 8 = 0,097
b) log 0,8 = log
8
10
= log 8 – log 10 = –0,097 e) log 64 = log 8
2
= 2 · log 8 = 2 · 0,903 = 1, 806
c) log 2 = log ( )
1
3 3
2 = log
1
3
8 =
1
log8
3
= 0,301 f) ( )= + = + =
1 2
3 3 3
1 2
log 800 log8 log 10 log8 log10 0,968
3 3

54. Transforma los siguientes logaritmos en sumas y restas de log A y log B.
a) log
10
B
A
b)
3
2
log log
B
A
A
−
a) ( )
1
2
1
log log log 10 log log 10 log log 1 log
10 2
B
B A B A B A
A
= − = − − = − −
b)
1
3
2 3 2
1 5
log log log log 2log 3log log 2log 3log log 2log 3log log
2 2
B
A B A A B A A B A A B A
A
− = − − = − − = − − = −
55. Calcula 2
log 7
2 y 19
log 19 .
2 2
log 7 log 7
2 2 2 2 2
2 log log 2 log log 7 log 2 7
x x x x
= ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ =
1
2
19 19 19
1 1
log 19 log 19 log 19
2 2
= = =
57. Transforma las siguientes expresiones en sumas y restas.
a)
3 2
3
a b
X
a
= b)
3
3
100
a b
Y
c
=
a)
3 2 1
2
3 3
3
log log log log log
a b
X a b a
a
   
= = + − =
   
   
2 1 2 2
log log log log log
3 3 3 3
a b a a b
+ − = +
b) = = + − − = + − − = + − −
1
1
3
3
3 3
2
3
1 1 1
log log log log log100 log 3log log 2 log 3log log 2 log
2 2 3
100
a b
Y a b c a b c a b c
c
58. Calcula el valor de A sin usar la calculadora: log A = log 8 – 2log 3 + log 16
log A = log 8 – 2log 3 + log 16 = log 8 – log3
2
+ log 16 = log
8 16
9
⋅
= log
128
9
luego A =
128
9
59. Aplicando un cambio de base y usando la calculadora, halla los siguientes logaritmos.
a) log2 14 c) 1
2
log 12
b) log3 32 d) log5 10
a) = =
2
log14
log 14 3,8074
log2
c) 1
2
log12
log 12 3,5850
1
log
2
= = −
b) 3
log32
log 32 3,1546
log3
= = d) 5
log10
log 10 1
,4307
log5
= =
60. Halla x usando la calculadora para que se cumpla que 3
x
= 7.
3
x
= 7 ⇒ log 3
x
= log 7 ⇒ xlog 3 = log 7 ⇒
log7
1
,77
log3
x
= ≈
61. En una bolsa hay 30 bolas blancas, 20 verdes y 45 negras. Halla el porcentaje de bolas de cada color.
Blancas:
30
0,32 32 %
95
= ⇒ Verdes
20
0,21 21%
95
= ⇒ Negras
45
0,47 47 %
95
= ⇒

62. Indica el índice de variación porcentual y el porcentaje de aumento o disminución.
“Las ventas han pasado de 15 000 a 18 000 ejemplares”
18 000
1
,2 Aumento del 20 %
15 000
I
= = ⇒
63. Indica qué porcentaje aumenta o disminuye una cantidad al multiplicarla por los números siguientes.
a) 0,9 b) 1,2 c) 0,02 d) 2,02
a) Disminuye un 10 % b) Aumenta un 20 % c) Disminuye un 98 % d) Aumenta un 102 %
64. Halla el capital final en que se convierten 650 € en tres años a un interés simple del 2,25%.
2,25 3
650 1 693,875 €
100
F
C
⋅
 
= + =
 
 
65. La población de un país aumenta por término medio un 8 % anual. Si actualmente hay 20 millones de
habitantes en dicho país y el ritmo de crecimiento se considera constante, ¿qué población estimas que
tendrá dentro de 30 años?
Población en 30 años (en millones) = 20 · (1,08)30
= 201,25.
Habrá 201,25 millones de habitantes.
66. ¿Qué capital debe depositarse a un interés compuesto del 5 % para convertirse en 10 000 € al cabo de un
año?
10 000 = CI(1 + 0,05) ⇒ CI = =
+
10 000
9524 €
1 0,05
67. Un banco ofrece un interés compuesto del 6 % anual en su cuenta de ahorro con la condición de que cada
año ingreses 1000 €.
Si aceptas la oferta y retiras tu dinero a los 5 años, ¿cuánto dinero deberá entregarte el banco?
1
er
año: 1000 · 1,06 = 1060 euros
2º año: 2060 · 1,06 = 2183,6 euros
3er
año: 3183,6 · 1,06 = 3374,616 euros
4º año: 4374,616 · 1,06 = 4637,09296 euros
5º año: 5637,09296 · 1,06 = 5975,32 euros
68. Halla el capital final en que se convierten 750 € en cuatro años a un interés simple del 12 %. ¿Y si el interés
que se aplica es compuesto?
Interés simple:
12 4
750 1 1110 €
100
F
C
⋅
 
= + =
 
 
Interés compuesto: CF = 750 · (1 + 0,12)
4
= 1180,14 €
69. ¿A qué tanto por ciento anual hay que colocar 50 000 € para que se conviertan en 182 124 euros al cabo de
15 años?
182 124 = 50 000(1 + x)
15
⇒ x = 15
182 124
1
50 000
− = 0,09
Al 9 % anual

71. ¿Cuántos años debe estar impuesto un capital si a un interés compuesto del 5 % anual se convierte en 1,25
veces el capital depositado inicialmente?
1,25CI = CI(1 + 0,05)
t
⇒
log1
,25
log1
,05
t = = 4,57
Cuatro años y medio, aproximadamente
72. ¿A qué tanto por ciento debe colocarse un capital cualquiera para duplicarlo en 15 años?
2CI = CI(1 + r)
15
⇒ 15
2 1
r
= − = 0,047
Debe imponerse al 4,7 %.
73. Halla durante cuántos años se ha colocado un capital de 2800 € a un interés simple del 5 % para obtener al
final del periodo 3920 €. ¿Y si se deposita a un interés compuesto del 5 %? ¿Qué observas?
Interés simple:
( )
1
,4 1 100
5 5
3920 2800 1 1
,4 1 8 años
100 100 5
t t
t
− ⋅
⋅ ⋅
 
= + ⇒ = + ⇒ = =
 
 
Interés compuesto: 3920 = 2800 · (1 + 0,05)t log1
,4
1
,4 1
,05 6,9 años
log1
,05
t
t
⇒ = ⇒
= =
Si se deposita a un interés compuesto se necesitan menos años para obtener el mismo beneficio.
74. Escribe tres fracciones que den lugar a números racionales con desarrollo decimal finito.
Por ejemplo,
3 7 3
1
,5; 1
,75 y 0,75
2 4 4
= = =
75. Escribe dos números irracionales cuya suma sea un número racional y dos números irracionales cuya
suma sea otro número irracional.
2 y 5 2
− son números irracionales y, su suma, 2 5 2 5
+ − = es un número racional.
0,1001000… y 0,2002000…son irracionales y, su suma, 0,1001000… + 0,2002000… = 0,3003000… es irracional.
76. Encuentra un número racional y otro irracional comprendidos entre
17
26
y
18
26
.
17 34
0,654
26 52
= ≅ y
18 36
0,692
26 52
= ≅
Un número racional comprendido entre
17
26
y
18
26
podría ser
35
52
y uno irracional, 0,6656665666656…
77. Indica todos los conjuntos numéricos a los que puedan pertenecer estos números.
2,4747…; 9
− ;
2
;
7
35
;
5
12,121121112…; –4; 3,05

Enteros: 9
− ;
35
;
5
–4 Irracionales: 12,121121112…
Racionales: 9
− ;
35
;
5
–4; 2,4747…;
2
7
; 3,05

Reales: Todos

78. En la siguiente cadena de contenidos ⊂ ⊂ ⊂
    , encuentra un número que pertenezca a cada
conjunto, pero no a los anteriores.
1∈ ⊂ ⊂ ⊂
    1
− ∈ ⊂ ⊂
  
1
2
∈ ⊂
  2 ∈ 
79. Realiza las siguientes operaciones.
a) │7 – │–9││ d) ││–3│+│–2│ · │–5││
b) ││–8│ – │10││ e)
1
3
2
− +
c) │–1+│–7│ – │–3││ f) │–9│·│5 – 3│ – │–4│: │–2│
a) │7 – │–9││ = │7 – 9│ = │–2│ = 2 d) ││–3│+│–2│ · │–5││ = │3 + 2 · 5│ = │13│ = 13
b) ││–8│ – │10││ = │8 – 10│= │–2│ = 2 e)
1 1 6 5 5
3
2 2 2 2 2
− + =− + = =
c) │–1+│–7│ – │–3││ = │–1+ 7 – 3│= │3│ = 3 f) │–9│·│5 – 3│ – │–4│: │–2│ = 9 · 2 – 4 : 2 = 18 – 2 = 16
80. Encuentra todos los valores de x que verifican las siguientes igualdades.
a) │x│ = 4 c) │x + 5│ = 2 e) │5 – x│ =
1
5
b) │x│ = –1 d) │x – 2│ = 10 f)
5
3
2
x
+ =
a) Como │x│ = 4 = d(x, 0), se buscan los números que distan 4 unidades de 0.
x = 0 + 4 = 4 y x = 0 – 4 = –4
b) No existe ningún número cuyo valor absoluto sea negativo.
c) Como │x + 5│ = │x – (–5)│ = 2 = d(x, –5), se buscan los números que distan 2 unidades de –5.
x = –5 + 2 = –3 y x = –5 – 2 = –7
d) Como │x – 2│ = 10 = d(x, 2), se buscan los números que distan 10 unidades de 2.
x = 2 + 10 = 12 y x = 2 – 10 = –8
e) Como │5 – x│ =
1
5
= d(5, x) = d(x, 5), se buscan los números que distan
1
5
unidades de 5.
x = 5 +
1
5
=
26
5
y x = 5 –
1
5
=
24
5
f) Como
5 5 5 5
3 ,
2 2 2 2
x x x d x
   
+ = + = − − = = −
   
   
, se buscan los números que distan 3 unidades de
5
2
− .
x =
5
2
− + 3 =
1
2
y x =
5
2
− – 3 =
11
2
−
81. Redondea dejando dos cifras significativas y calcula el error absoluto y el error relativo cometido con la
aproximación.
a) 3,140101… b)
4
9
c) 35
a) … ≈ ⇒
= −
= = = ⇒
0,040 101
3,140 101 3,1 3,140 101 3,1 0,040 101y 0,012 8 1
,28%
3,140 101
A R
E E
b)
= … ≈ ⇒
= − = = = ⇒
4 0,004...
0,444 0,44 0,44... 0,44 0,004... y 0,009 0,9%
9 0,44...
A R
E E
c)= … ≈ ⇒
= −
= = = ⇒
0,016 08
35 5,916 07 5,9 5,916 07... 5,9 0,016 08 y 0,002 7 0,27%
5,916 07
A R
E E

82. Interpreta │x – 2│ = │x + 1│ como una igualdad entre distancias y encuentra el único número x que la
verifica.
d(x, 2) = │x – 2│ = │x + 1│ = d(x, –1) ⇒ x = 0,5
83. Representa en la recta real
3
, 3 y 0,25.
5
−
84. Representa gráficamente los siguientes números reales y ordénalos de menor a mayor.
2 223
; 2 5; ; ; 3,15; 0,6
3 50
−π −

Representamos gráficamente los números:
Por tanto,
2 223
3,15 0,6 2 5
3 50
− < −π <= < <

85. ¿Qué intervalo equivale al entorno E[3, 7]?
E[3, 7] = [–4, 10]
86. Representa estos entornos en la recta e indica los intervalos que determinan, su centro y su radio.
a) E(2, 4) b) E[–1, 3] c) E(3, 1)
a) E(2, 4) = (–2, 6) Centro = 2 y Radio = 4
b) E[–1, 3] = [–4, 2] Centro = –1 y Radio = 3
c) E(3, 1) = (2, 4) Centro = 3 y Radio = 1

87. Relaciona en tu cuaderno las diferentes expresiones de estos intervalos y semirrectas.
[–1, 2] x > 2
(2, +∞) 0 < x < 4
(3, 6] –1 ≤ x ≤ 2
(0, 4) 3 < x ≤ 6
[–1, 2] ⇒ –1 ≤ x ≤ 2 ⇒
(2, +∞) ⇒ x > 2 ⇒
(3, 6] ⇒ 3 < x ≤ 6 ⇒
(0, 4) ⇒ 0 < x < 4 ⇒
88. Representa en la recta real el intervalo [–2, 5] y la semirrecta (3, +∞).
Existe algún intervalo de puntos común a ambos? En caso afirmativo, hállalo.
Sí existe intervalo común a ambos: ( ]
3,5
89. Marca en una recta numérica el conjunto de puntos cuya distancia al punto –2 sea:
a) Igual a 3 c) Mayor que 2 e) No menor que 2
b) Menor que 1 d) No mayor que 3 f) Entre 2 y 5
a) d)
b) e)
c) f)
91. Encuentra aquellos números x tales que │x – 3│ < 4.
Como │x – 3│ < 4 ⇒ d(x, 3) < 4, se buscan los números cuya distancia al 3 es menor que 4.
Los números son los pertenecientes al intervalo (–1, 7).
92. Escribe el intervalo formado por los números x que verifican simultáneamente:
• x está en el entorno abierto de centro 4 y radio 2.
• 1 3
x − ≤
Por la primera condición, x debe estar comprendido entre 2 y 6.
Por la segunda condición, x debe estar comprendido entre 1 + 3 = 4 y 1 – 3 = –2.
Luego se trata del intervalo (2, 4].

93. Representa en la recta real 20 y 20 .
94. Representa un segmento que mida 1 7
+ .
95. Realiza estas operaciones con potencias.
a) 9–1
· 9
2
: 9
–3
b)
4 2
2 4
:
5 25
−
   
   
   
c) 3
–3
· (9
–2
)
2
a) 9
–1
· 9
2
: 9
–3
= 9
4
b)
2
4 2 4 2 4 4 8
2 4 2 2 2 2 2
: : :
5 25 5 5 5 5 5
−
− −
 
             
= = =
 
             
 
             
 
c) 3–3
· (9
–2
)
2
= 3
–3
· 9
–4
= 3
–3
· (3
2
)
–4
= 3
–3
· 3
–8
= 3
–11
96. Simplifica al máximo estas expresiones.
a)
( )
1 4
3
2
12 10 20
50 16
−
−
−
⋅ ⋅
⋅
b)
( )
( )
2
2
4
3
18 81
6 108 24
−
−
⋅
⋅ ⋅
a)
( ) ( )
1 4 2 1 4 4 2 2 2
3 6 18 18 16
2 4
12 10 20 3 2 10 2 10 3 10 3 2 5 3 5 15
5 2 5 2 2 65536
50 16 5 10 2
− −
−
−
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = = = =
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
b)
( )
( )
( )
( )
2 4
2 2 4 3
4 4 6
3 3 3 2 3 3
18 81 2 3 3 2 8
3 729
6 108 24 2 3 2 3 2 3
− −
− −
⋅ ⋅ ⋅
= = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
97. Escribe en notación científica los siguientes números.
a) 5 182 000 000 000 c) 835 000 000 000 000
b)0,000 000 000 369 d) 0,000 000 000 003 51
¿Cuál tiene un orden de magnitud superior?
a) 5,182 · 1012
b) 3,69 · 10
–10
c) 8,35 · 10
14
d) 3,51 · 10
–12
Tiene mayor orden de magnitud el número 8,35 · 10
14
.

98. Si a = 1,4 · 10
5
, b = 0,2 · 10
7
, c = 3,7 · 10
– 5
, escribe a · b, a · c, a + b y
a
b
en notación científica.
a · b = (1,4 · 10
5
) · (0,2 · 10
7
) = 0,28 · 10
12
= 2,8 · 10
11
a · c = (1,4 · 10
5
) · (3,7 · 10
–5
) = 5,18
a + b = (1,4 · 105
) + (0,2 · 10
7
) = 0,14 · 10
6
+ 2 · 10
6
= 2,14 · 10
6
5
2
7
1
,4 10
7 10
0,2 10
a
b
−
⋅
= = ⋅
⋅
99. ¿A qué exponente hay que elevar 3 para obtener
20 20 20
1 1 1
3 3 3
     
+ +
     
     
?
20 20 20 20
19
20
1 1 1 1 3
3 3
3 3 3 3 3
−
       
+ + =
⋅ == ⇒
       
       
Hay que elevar 3 a –19.
100. Calcula el valor de k en cada caso.
a) 3 1
2
k = b) 5
2
k = − c) 343 7
k
− =
−
a)
3
1 1
2 8
k
 
= =
 
 
b) k = (–2)
5
= –32 c) 3
343 7 7 3
k
k
k
− = − =
− ⇒ =
102. Ordena de mayor a menor estos números.
a) 3
3, 10, 26 b) 5
4
2, 5, 12
a) 6 6
6
3 3 729
= = , 6 6
3
10 10 1000
= = y 6
3 6
2
26 26 676
= = ⇒ 3
10 3 26
> >
b) 20 10
10
2 2 1024
= = , 20 20
4 5
5 5 3125
= = y 20
5 4 20
12 12 20 736
= = ⇒ 5 4
12 5 2
> >
103. Calcula los valores a, b, c y d en esta igualdad: 4 6 12
10 14 81 2 3 5 7
a b c d
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
4 6 12 4 4 6 6 48 10 48 4 6
10 14 81 2 5 2 7 3 2 3 5 7 2 3 5 7 5; 24; 2; 3
a b c d
a b c d
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = = = =
104. Expresa como un solo radical.
a) 3 3
3
2 3 4
⋅ ⋅ b) 3
4
3 : 2 c) 3 6
4 2 8
⋅ ⋅ d) 3 3
512 : 200
a)
3
3 3 3
3 3
3
2 3 4 24 2 3 2 3
⋅ ⋅ = = ⋅ = c)
6 6 6 3 3
3 6 6
2 3 10 5 2
4 2 8 4 2 8 2 2 2 2
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = =
b)
3
12
12
3
4 3 4 12 12
4
3 27
3 : 2 3 : 2
2 16
= = = d)
9 6
3 3 3 3
3 3
3 2 2
512 2 2 1
512 : 200 4
200 2 5 5 25
= = = =
⋅
105. Tres de los siguientes seis números son iguales. ¿Cuáles?
5 5
A
= +
500
5
B = 2 5 5
C = 20
D = 5 5
E = 10
F =
5 5 2 5
A = + = 2 5 5 2 5 10
C = = ⋅ = 5 5 5
E
= =
500 10 5
2 5
5 5
B
= = = 20 4 5 2 5
D = = ⋅ = 10
F =
A, B y D son iguales, pues valen 2 5 .

a) 2 20 3 45 80
+ − c) 3
3 3
3 81 24 5 375
+ −
b) 3 3 3
4 16 5 54 2 250
+ − d) 27 2 32 180
− +
a) 2 2 4
2 20 3 45 80 2 2 5 3 3 5 2 5 4 5 9 5 4 5 9 5
+ − = ⋅ + ⋅ − ⋅ = + − =
b) 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 4 3 3
4 16 5 54 2 250 4 2 5 3 2 2 5 2 8 2 15 2 10 2 13 2
+ − = + ⋅ − ⋅ = + − =
c) 3 3 3
3
3 3 3 3 3 3
4 3 3
3 81 24 5 375 3 3 2 3 5 5 3 9 3 2 3 25 3 14 3
+ − = + ⋅ − ⋅ = + − =
−
d) 3 5 2 2
27 2 32 180 3 2 2 2 3 5 3 3 8 2 6 5
− + = − + ⋅ ⋅ = − +
107. Realiza las siguientes operaciones.
a) 6
4
5 3
⋅ b) 3 50 2 72 4 8
+ − c) 3
9 : 12 d) ( ) ( )
2
3
4
3 3 : 3
⋅
a) 12
6
4 12
3 2
5 3 5 3 1125
⋅ = ⋅ =
b) 2 3 2 3
3 50 2 72 4 8 3 2 5 2 2 3 4 2 15 2 12 2 8 2 19 2
+ − = ⋅ + ⋅ − = + − =
c) = = = =
⋅
2 4
3 6
6 6 6
3 6 3 6
9 3 3 1
9 : 12 3
12 2 3 2 2
d) ( ) ( )
12 12 12
3
4 12
2 6 3 8
3 3 : ( 3) 3 3 : 3 3
⋅ = ⋅ =
a) ( )
2
3 12
− b) 3
4
1
8 : 4
2
 
⋅
 
 
 
a) ( )
2
3 12 3 12 2 36 3 12 12 3
− = + − = + − = b)
2
1 3 5
3
4 3
2 4 12
1
8 : 4 2 2 : 2 2
2
− −
   
⋅ = ⋅ =
   
   
 
110. Racionaliza las siguientes expresiones.
a)
3
2 3
c) 4
5
1000
e)
2
2 3
−
b) 4
1
8
d)
2
3 7
+
f)
1 2
1 2
+
−
a)
( )
2
3 3 3 3 3 3
2 3 2
2 3 2 3
= = =
⋅
d)
( )
2 3 7
2 7 3
3 7 2
3 7
− −
= =
−
+
b)
( )
4
4 4 4
3 9
4
4 4
4 3 4
1 8 2 4 2 2
8 2
8 8 8 8
⋅
= = = =
⋅
e)
( )
( )( )
2 2 3
2 2 6
2 6
2 3
2 3 2 3 2 3
+ +
= = =− −
−
− − +
c)
4 4 4
4 4 4
3 4
5 5 5 10 5 10 10
10 2
1000 10 10
= = = = f)
( )
( )( )
2
1 2
1 2 3 2 2
3 2 2
1
1 2 1 2 1 2
+
+ +
= = =− −
−
− − +

111. Racionaliza y simplifica.
a)
6 3
6 3
+
−
b)
x y x y
x y x y
+ + −
+ − −
a)
( )
2
6 3
6 3 9 6 2
3 2 2
3 3
6 3
+
+ +
= = = +
−
b)
2 2
2 2
2
x y x y x x y x y x x y
y y
x y x y
+ + − + + − + −
= =
+ − −
112. Calcula.
a) 3 3
6 10
72 375
− b)
5 3
1 2 1 2
+
− +
a)
3 3
3 3
2 2
3 3 3
3 2
6 10 6 10 6 5 3 10 2 3 30 3 20 3
30 30
72 375 5 3
2 3
⋅ − ⋅ −
− = − = = =
3 3
3 3 2 9
3
−
b)
( ) ( )
( )( )
5 1 2 3 1 2
5 3 5 5 2 3 3 2 8 2 2
1 2 1
1 2 1 2 1 2 1 2
+ + − + + − −
+ = = = =
− −
− + − +
8 2 2
− +
113. Escribe 4
1
1 2
−
como una expresión que no tenga raíces en el denominador.
( )( )
( )( )
( )( )
4
4
4 4 4 4 4 2
4
4 3
4 4
4 4 2
1 2 1 2
1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2
1 2 2 2
1
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
+ +
+ + + + + + ⋅
= = = = = =
− − − −
−
− −
− + − +
−
114. Calcula los siguientes logaritmos.
a) log2 32 c) log3 729 e) log 1 000 000
b) 2
1
log
16
d) 3
1
log
81
f)
1
log
1000
a) log2 32 = log2 2
5
= 5 c) log3 729 = log3 3
6
= 6 e) log 1000 000 = log 10
6
= 6
b) 4
2 2
1
log log 2 4
16
−
= = − d) 4
3 3
1
log log 3 4
81
−
= = − f) 3
1
log log10 3
1000
−
= = −
115. Calcula los siguientes logaritmos.
a) 2
log 8 c) 3
3
log 243 e) 1
3
1
log
27
b) 1
2
log 32 d) 5
log 100 f) 3
1
10
log 100
a)
3
2
2 2
3
log 8 log 2
2
= = c)
5
3 3
3 3
5
log 243 log 3
3
= = e)
3
1 1
3 3
1 1
log log 3
27 3
 
= =
 
 
b) 5
1 1
2 2
log 32 log 2 5
= = − d)
2
5 5
2
log 100 log10
5
= = f)
2
3
3
1 1
10 10
1 2
log 100 log
10 3
−
−
 
= =
 
 
116. Completa los huecos mentalmente usando la definición de logaritmo.
a) log2 8 = ● b) log3 ● = 4 c) log 125 3
• =
a) log2 8 = 3 b) log3 81 = 4 c) log5 125 = 3

117. Halla el valor de x en cada caso.
a) log 16 4
x = − c) 1
7
log 3
x = − e) logx 125 = 3
b)
1
log 8
16
x = − d) 11
log 1331 x
= f) logx25 = 4
a) x
–4
= 16
1
2
x
⇒ = c)
3
3
1
7 343
7
x x
−
 
= ⇒ = =
 
 
e) x
3
= 5
3
5
x
⇒ =
b) 8 2
1
2 2
16
x x x
−
= ⇒ = ⇒ = d) 3
11 =11 3
x
x
⇒ = f) x
4
= 5
2 2
5 5
x x
⇒ = ⇒ =
118. ¿A qué número hay que elevar 5 para que dé un millón?
6
6 6
5
log10
5 10 log 10 8,584
log5
x
x x
= ⇒ = ⇒ = =
119. Si log 8 ≈ 0,9031, halla:
a) log 800 b) log 2 c) log 0,64 d) log 40 e) log 5 f) 5
log 8
a) log 800 = log 8 + log 100 = 2,9031 d) log 40 = log 10 + log 4 = 1 + 2log 2 = 1,602
b) 3
1 1
log 2 log 2 log 8 0,301
3 3
= = = e) = + ⇒ = − =
log 40 log 8 log 5 log 5 log 40 log 8 0,6989
c) log 0,64 = log 64 – log 100 = 2log 8 – 2 = –0,1938 f) = =
5 1
log 8 log8 0,1806
5
120. Escribe como un único logaritmo.
a) log 16 – log 3 + log 12 c) (log 25 + log 4) – (log 8 – log 9
b) log 18 – log 27 – log 2
a) log 16 – log 3 + log 12 = log
16 12
3
⋅
= log 64
b) log 18 – log 27 – log 2 = log
18
27 2
⋅
= log
1
3
c) (log 25 + log 4) – (log 8 – log 9) = log
25 4 9
8
⋅ ⋅
= log
225
2
121. Ordena los siguientes logaritmos aplicando su definición y sus propiedades.
1
3 4
2 3
1 1
log 10; log ; ln ; log 3
4 e
−
 
 
 
log 3
10 =
1
3
; log2
1
1
4
−
 
 
 
= 2; ln
1
e
= –
1
2
; 4
3
log 3 =
1
2
⇒ ln
1
e
< log 3
10 < 4
3
log 3 < log2
1
1
4
−
 
 
 
122. Expresa log log log log
a b c ay
b c d dx
+ + − como un solo logaritmo.
log log log log log log
a b c
a b c ay x
b c d
ay
b c d dx y
dx
⋅ ⋅
+ + − = =

123. Utilizando las propiedades de los logaritmos y siendo log x ≈ 0,70 y log y ≈ 1,18, calcula:
a) log(x
2
· y) b)
3
2
log
x
y
c) ( )
2
3
log x y
⋅
a) log (x2
·y) = log x
2
+ log y = 2 log x + log y = 2 · 0,70 + 1,18 = 2,58
b) log
3
2
x
y
= log x
3
– log y
2
= 3 log x – 2 log y = 3 · 0,70 – 2 · 1,18 = –0,26
c) ( )
2
1
2 2
3 3 3
2
1 2 1 2
log log log log log log log 0,70 1
,18 1
,14
2 3 2 3
x y x y x y x y
⋅ = + = + = + = ⋅ + ⋅ =
124. Si log2 A = C, calcula log8 A, 2
log
2 A
, y 2
1
log
A
.
2 2
8 3
2 2
log log
log
log 8 log 2 3
A A C
A
= = = 2
log
2 2
A C
= 1
2 2 2
1
log log log
A A C
A
−
= =
− =
−
125. Toma logaritmos en estas expresiones.
a)
2 3 5
4
x y z
A
t
= b)
3
2
1100x y
B
t
= c)
2
3
10
x yz
C
t
=
a) log A = log x
2
+ log y
3
+ log z
5
– log t
4
= 2 log x + 3 log y + 5log z – 4 log t
b) log B = log 11 + log 100 + log x
3
+ log y – log t
2
= log 11 + 2 + 3log x + log y – 2log t
c) = + + − − = + + − −
2 3 1
log log log log log 10 log log log 2log 1 3log
2
C x y z t x y z t
126. Expresa el segundo miembro de cada igualdad como un solo logaritmo y halla los valores de A y B.
a) log A = 3log x + 2log y – 5log z b) log B =
3
2
log x + log y –
2
3
log z – 2
a) log A = log x3
+ log y
2
– log z
5
3 2
5
x y
A
z
⇒ = b) log B = log 3
x + log y – log
3 2
z – 2
3
3 2
100
y x
B
z
⇒ =
127. Demuestra las fórmulas de logaritmo de un cociente y logaritmo de una potencia.
Cociente:
log
log
x
b
y
b
M x b M
N y b N
= ⇒ = 

= ⇒ = 
entonces
x
x y
y
M b
b
N b
−
= =
Y volviendo a usar la definición: log log log log
x y
b b b b
M
b x y M N
N
−
 
= = − = −
 
 
Potencia:
log x
b M x b M
= ⇒ = ⇒ entonces ( )
r
r x r x
M b b ⋅
= =
Y volviendo a usar la definición: ( )
log log
r
b b
M r x r M
= ⋅ = ⋅
128. ¿Qué números positivos x verifican la siguiente igualdad? (log3 x) · (logx 5) = log3 5
3 3
log log 5 log 5
log log 5 log 5
log 3 log log 3
x
x
x
x
⋅ = ⋅ = = ⇒ Todos los números positivos distintos de 1 verifican la igualdad.

130. Despeja x en estas dos expresiones.
a) A = B(1 + C)
x
b) log log
x
A B
=
a) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
log
log log
1 1 log 1 log log 1 log
log 1 log(1 )
x x x
A
A A A A B
B
A B C C C x C x
B B B C C
−
= + ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ = =
+ +
b) = ⇒ = ⇒
= = =
1
log
log log
2
log log log log
log log 2log
x
B
B B
A B x A B x
A A A
131. Tomando log 2 = 0,30 y log 3= 048, resuelve la ecuación 3x+3
= 135.
3 3
3
135 log 5
3 135 3 3 135 3 3 5 log 3 log 5 log 3 log 5
3 log 3
x x x x x
x x
+
= ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
10
log
log 5 log 10 log 2 1 0,3
2 1
,458
log 3 log 3 log 3 0,48
x
− −
= = = = =
133. ¿Qué relación ha de haber entre p y q para que se cumpla que log (p + q) = log p + log q?
} ( )
log ( ) log log
log ( ) log ( ) 1
log ( ) log log 1
p
p q p q
p q p q p q pq p pq q p q p q
p q p q p
+ = +
⇒ + = ⋅ ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ =
⋅ = + −
134. Si log (xy2
) = 1 y log(x
2
y) = 1, calcula log (xy).
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 2 2 2 2
log log log log
3log log 1 1 2
log
3 3 3 3 3 3 3
x y xy x y xy x y
xy xy
xy
⋅ + +
= = = = = = =
135. Di si son ciertas o no estas afirmaciones.
a) Entre dos números reales siempre hay otro.
b) loga x nunca es negativo.
c) loga x existe si x es negativo.
d) En (–4, –3) hay racionales, pero no enteros.
e) │x│ = –x para ciertos valores de x.
a) Verdadera c) Falsa e) Verdadera
b) Falsa d) Verdadera
136. ¿Cómo es el número 2 3
+ ? ¿Racional o irracional?
2 3
+ es un número irracional.
137. Ordena de menor a mayor los números 7
–50
, 3
–100
y 2
–150
.
( )
( )
( ) ( )
50
100 50 2 2 50
50 50
50 50 50 2 3 50 100 150 50
50
150 50 3 3 50
3 3 3 9
9 8 7 3 2 7 3 2 7
2 2 2 8
−
− − ⋅ −
− −
− − − − − − −
−
− − ⋅ −

= = = 
⇒ < < ⇒ < < ⇒ < <

= = = 


138. A, B y C son los vértices de un triángulo tales que 2 5
AB = , 3 5
BC = y 65
AC = . ¿Qué tipo de
triángulo es?
Como AB2
= 20, BC
2
= 45 y AC
2
= 65, se verifica el teorema de Pitágoras y, por tanto, el triángulo es rectángulo.
139. Dos cuadrados de lado 1 tienen un vértice común y el lado de uno de ellos está sobre la diagonal del otro,
como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área sombreada?
Por la simetría del dibujo deducimos que el triángulo pequeño de la derecha es rectángulo e isósceles. Así pues, el
área de la zona sombreada es el área de medio cuadrado menos el área de un triángulo rectángulo isósceles de
lado 2 1
− . Haciendo los cálculos obtenemos que Área =
( )
2
2 1
1
2 1
2 2
−
− =
− .
140. ¿Cuál es la última cifra de 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ … + 2015
3
?
El cubo de los números que terminan en 0 acaba en 0, el cubo de los números que terminan en 1 acaba en 1, el
de los números que terminan en 2 acaba en 8, el de los números que terminan en 3 acaba en 7, el de los números
que terminan en 4 acaba en 4, el de los números que terminan en 5 acaba en 5, el de los números que terminan
en 6 acaba en 6, el de los números que terminan en 7 acaba en 3, el de los números que terminan en 8 acaba en
2 y el de los números que terminan en 9 acaba en 9. Como del 1 al 2015 hay 201 números que acaban en 0, 202
en 1, 202 en 2, 202 en 3, 202 en 4, 202 en 5, 201 en 6, 201 en 7, 201 en 8 y 201 en 9, la última cifra de la suma
será 201 · 0 + 202 · 1 +202 · 8 + 202 · 7 + 202 · 4 + 202 · 5 + 201 · 6 +201 · 3 + 201 · 2 + 201 · 9 = 9070.
Luego la última cifra de 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ … + 2015
3
será un 0.
141. Completa la igualdad 10
–3
= 12
–3
+ 15
–3
+ ●–3
.
Llamamos x a la cifra buscada.
x–3
= 10
–3
– 12
–3
– 15
–3
=
3 3 3 6
3 3 3 3 3 6 3 3 3 6 3 3 6 3 3
1 1 1 1 1 1 2 3 5 2 27
10 12 15 2 5 2 3 3 5 2 3 5 2 3 5
⋅ − −
− − = − − = = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
( )
3 3
3
3
3
6 3 3 6 3 2
2 3
3 1 1 1 1
20 20
2 3 5 2 5 2 5 20
2 5
x
−
   
= = = = = = ⇒ =
   
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
   
⋅
Por tanto, 10
–3
= 12
–3
+ 15
–3
+ 20
–3
142. Comprueba que a
3
– b
3
= (a – b) · (a
2
+ ab + b
2
) y, utilizando esta expresión, racionaliza 3
3
1
5 2
−
.
(a – b) · (a
2
+ ab + b
2
) = a
3
+ a
2
b + ab
2
– ba
2
– ab
2
– b
3
= a
3
– b
3
.
( ) ( )
3
3 3 3 3
3 3 3 3 3
2 2
3
3 3
3
3 3
3 3
2 2
1 5 5 2 2 25 10 4 25 10 4
5 2 3
5 2 5 2 5 5 2 2
+ ⋅ + + + + +
= = =
−
− − ⋅ + ⋅ +
143. Si a, b y c son enteros positivos, ¿qué relación ha de haber entre ellos para que y
b b
a a
c c
+ sean el
mismo número?
( )
2 2
2 2 2
2
1
1
b b b b b b b b b a b
a a a a a a a a a a
c c c c c c c c c a c
   
+ = ⇒ + = ⇒ + = ⋅ ⇒ = ⋅ − ⇒ = − ⇒ =
   
    −
   

144. Si logbM = logcN = 9, ¿cuál es el valor de logbcMN?
( ) ( ) ( )
9
9 9
9
9
log
log 9log
log
log 9
log 9
log 9 log log log log
b
bc
c
bc
b c bc
MN
M b M
MN
N c N bc bc bc bc
 
= ⇒ =   
⇒ = = = =

= ⇒ = 
145. En la diana de matemáticas, puntúas si clavas el dardo en la franja
correspondiente al número del dardo. Estas son las tiradas de Ana
y Quique. ¿Quién ha obtenido más puntos?
Ana: cero fallos.
Quique: 2 fallos 10 6
;
4 3
π
∉ ∉
 
Gana Ana.
146. Un país invierte el 0,17 % del PIB en ayuda al desarrollo en vez del 0,7 % que recomienda la ONU para
erradicar la pobreza. Si el PIB del país es de 2 billones de euros al año, ¿cuánto dinero deja de destinar a
ayuda al desarrollo según las indicaciones de la ONU? (Opera en notación científica.)
2 billones = 2 · 1012
€
Dinero invertido = 12 8 9
17
2 10 34 10 € 3,4 10 €
10000
⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅
Dinero recomendado = 12 9 10
7
2 10 14 10 € 1
,4 10 €
1000
⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅
Dinero no destinado = 10 9 9 10
1
,4 10 3,4 10 10,6 10 € 1
,06 10 €
⋅ − ⋅ = ⋅ = ⋅
147. Cuando nació Sofía, sus padres depositaron 20 000 euros a su nombre al 10 % de interés compuesto.
¿Cuánto dinero tendrá Sofía cuando cumpla la mayoría de edad?
CF = 20 000 · (1 +0,1)
18
= 111 200
Al alcanzar la mayoría de edad, Sofía tendrá 111 200 €
148. Un profesor pide a la mitad de sus alumnos que operen 5 2 3
1 1
8
4 2
⋅ ⋅ desarrollando por potencias, y a la
otra mitad, por radicales. ¿Qué resultado obtendrá cada mitad de la clase?
Radicales: ( )
5 30
6 36 36
2 5
5 30
2 3 6
5 30
3 3 3
2 2 20 15
3 30 30
2 20 15
1 1 1 1 1 1 2 2 2
8 2 2 2
4 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = = =
⋅
⋅ ⋅
Potencias: ( ) ( )
2 1 6 2 36 20 15 1
1 1 1
2 1
5 2 3 2
5 3 5 3 30 30 30 30
2 2 2
3 5 3
1 1
8 8 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 2
− − − −
− − −
−
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
Se obtiene el mismo resultado, pues.
1
30 30
2 2
= .
149. Una cafetería incrementa cada año el precio de un café en un 4 %. Si actualmente cuesta 1,10 €, ¿podrías
encontrar la fórmula que relaciona el precio del café con los años transcurridos? ¿Cuánto costará el café
dentro de 5 años?
Dentro de un año el precio será 1,10 · 1,04, dentro de dos años será 1,10 · 1,042
, dentro de tres 1,10 · 1,04
3
…
Así, el precio del café dentro de x años, será 1,10 · 1,04
x
.
Aplicando dicha fórmula, dentro de 5 años, el precio del café será 1,10 · 1,04
5
= 1,34 €.
150. ¿Cuánto tiempo hay que depositar un dinero al 4 % de interés compuesto para triplicarlo?
Sea x el dinero invertido al 4 % anual a interés compuesto.
3x = x · (1 + 0,04)
t
, donde t son los años que hay que depositar el dinero.
Luego
log 3
3 1
,04 log 3 log 1
,04 log 3 log 1
,04 28,01 28 años, aproximadamente.
log 1
,04
t t
t t
= ⇒ = ⇒ =
⋅ ⇒ = = ⇒

151. Las ondas sísmicas producidas por un terremoto son: longitudinales y de propagación rápida, P, y
transversales y de menor velocidad, S. La escala de Richter mide la magnitud de un terremoto como:
M = log A + 3 log(8t) – 2,92
Donde A es la amplitud de las ondas S y t, el tiempo transcurrido, entre la aparición de las ondas P y las S.
t (s) A (mm) M
1 8 15 ●
2 15 ● 4
3 ● 45 7
a) Copia y completa la tabla en tu cuaderno.
b) Calcula la relación entre las amplitudes de dos terremotos de magnitudes 6 y 9. (Supón el mismo valor
para t.)
a)
t (s) A (mm) M
1 8 15 3,67
2 15 4,81 4
3 71,2 45 7
b) Magnitud 9: log A = 9 – 3log(8t) + 2,92
Magnitud 6: log A´= 6 – 3log(8t) + 2,92
Restando las expresiones anteriores: 3
log log ´ 3 log 3 10
´ ´
A A
A A
A A
− = ⇒ = ⇒ =
152. Dos capitales, uno doble del otro, se colocan a interés compuesto: el menor al 10 %, y el mayor, al 6 %. ¿Al
cabo de cuántos años se habrán igualado los capitales finales?
Llamamos x al capital colocado al 10 % y 2x al capital colocado al 6 %.
El capital colocado al 10 % se convertirá en CF = x(1+ 0,10)
t
y, el colocado al 6 %, CF´ = 2x(1+ 0,06)
t
.
x(1+ 0,10)t
= 2x(1+ 0,06)
t
⇒ 1,1
t
= 2 · 1,06
t
⇒ log 1,1
t
= log (2 · 1,06
t
) ⇒ t · log 1,1 = log 2 + t· log 1,06 ⇒
t · log 1,1 – t· log 1,06 = log 2 ⇒ t ·(log 1,1 – log 1,06) = log 2 ⇒0,016t = 0,301 ⇒ t = 18,81. Casi 19 años.
153. Si D = a
2
+ b
2
+ c
2
con a y b enteros consecutivos y c = a · b, D es:
A. Siempre un entero par.
B. Algunas veces un entero impar, otras no.
C. Siempre un entero impar.
D. Algunas veces un racional, otras no.
Como a y b son enteros consecutivos, entonces b = a + 1.
Luego D = a2
+ (a + 1)
2
+ a
2
(a + 1)
2
= a
2
+ a
2
+ 2a + 1 + a
2
(a
2
+ 2a + 1) = a
4
+ 2a
3
+ 3a
2
+ 2a + 1 = (a
2
+ a + 1)
2
.
Como (a
2
+ a + 1)
2
> 0, entonces D = a
2
+ a + 1.
D = a
2
+ a + 1 = a(a + 1) + 1 y, como a(a + 1) es siempre par, entonces a(a + 1) + 1 es entero impar.
Por tanto, D es entero impar.
La respuesta correcta es la C.

154. Si x verifica que
1
2
x
< y
1
3
x
> − , entonces:
A.
1
2
x > o
1
3
x < − C.
1 1
3 2
x
− < <
B.
1
3
2
x
− < < D.
1
2
x >
Si x > 0:
Las condiciones
1
x
< 2 y
1
x
> –3 son equivalentes a 1 < 2x y 1 > –3x, respectivamente; es decir,
1
2
< x y x > –
1
3
,
que, al ser x > 0, se reducen a
1
2
< x.
Si x < 0:
Las condiciones
1
x
< 2 y
1
x
> –3 son equivalentes a 1 > 2x y 1< –3x, es decir, x <
1
2
y x < –
1
3
, que, al ser x < 0,
se reducen a x < –
1
3
. Así pues, los números x que verifican las desigualdades dadas son los que verifican x >
1
2
y los que verifican x < –
1
3
.
La respuesta correcta es la A.
155. A =
6 2
4
+
y B =
2 3
2
+
verifican:
A. A2
> 1 C. A < B
B. A = B D. A > B
A
2
=
6 2 2 12
16
+ +
=
2 3
4
+
y B
2
=
2 3
4
+
.
Como A2
= B
2
y ambos son positivos, entonces A = B.
La respuesta correcta es la B.
156. Si log2 a + log2 b ≥ 6, el valor mínimo de a + b es:
A. 2 2 C. 8 2
B. 6 D. 16
log2 a + log2 b = log2 (ab) > 6, siendo a, b > 0.
Por tanto, ab > 2
6
= 64.
El valor mínimo de a + b se dará cuando ab = 64.
Si dos números tienen producto constante, su suma será mínima cuando sean iguales, es decir, a + b = 16.
La respuesta correcta es la D.

Encuentra el error
157. La profesora ha pedido resolver este problema por parejas:
Si a y b son números reales positivos, simplifica la expresión
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
a b ab a b ab
E
a b ab a b ab
+ + − + −
=
+ + + + −
Alicia y Pedro transforman la expresión teniendo en cuenta el cuadrado de un binomio.
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2
2
a b a b a b a b b b
E
a b a b a a
a b a b
+ − − + − −
= = = =
+ + −
+ + −
• Pedro comprueba con a = 5 y b = 2 que el resultado es correcto:
2 2 2 2
2 2 2 2
5 2 2 5 2 5 2 2 5 2 49 9 4 2
10 5
49 9
5 2 2 5 2 5 2 2 5 2
+ + ⋅ ⋅ − + − ⋅ ⋅ −
= = =
+
+ + ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅
En efecto, obtuvo el resultado esperado
2
5
b
a
=
• Alicia comprueba el resultado con otros valores, a = 5, b = 7.
2 2 2 2
2 2 2 2
5 7 2 5 7 5 7 2 5 7 144 4 10 5
14 7
144 4
5 7 2 5 7 5 7 2 5 7
+ + ⋅ ⋅ − + − ⋅ ⋅ −
= = =
+
+ + ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅
Pero según esta simplificación que han
realizado debería haber obtenido
7
5
b
a
= .
¿Dónde está el error?
La expresión no es cierta si b > a. En este caso ( )
2
a b b a
− =− y el desarrollo sería:
( ) 2
2
a b b a a a
E
a b b a b b
+ − −
= = =
+ + −

PONTE A PRUEBA
¿Como cuánto?
Actividad resuelta
Publicidad engañosa
Un anuncio televisivo propone cuatro tipos de ofertas a los clientes de unos grandes almacenes.
1. Estudia cada una de las ofertas y di cuál es la mejor si quieres comprar 2, 3, 4, 5 o 6 productos iguales.
2 artículos 3 artículos 4 artículos 5 artículos 6 artículos
Descuento oferta 3 x 2 0 % 33,33 % 25 % 20 % 33,33 %
Descuento oferta 50% 25 % 16,66 % 25 % 20 % 25 %
Descuento oferta 20% 20 % 13,33 % 20 % 16 % 20 %
Descuento oferta 30% 20 % 30 % 22,5 % 18 % 30 %
2. La publicidad da a entender que la oferta descuento 20% es la más conveniente.
a) ¿Es cierto en todos los casos?
b) ¿Qué ventajas puede tener sobre las otras?
a) No es cierto siempre. Por ejemplo, si se compran 3 artículos iguales es la oferta menos conveniente.
b) Esta oferta tiene la ventaja de que se hace un descuento del 20% únicamente comprando dos artículos. Aún
así, incluso en este caso, hay otra oferta mejor (50%).
El logaritmo del amoniaco
Las siglas pH significan “potencial de hidrógeno”. Se trata de una escala que mide cómo de ácida o básica es
una sustancia. Los ácidos fuertes, como el ácido sulfúrico, tienen altas concentraciones de iones de hidrógeno,
y las soluciones alcalinas fuertes, como la sosa cáustica, tienen concentraciones bajas. La concentración de
una sustancia se expresa como el número de moles por litro. Por ejemplo, el vinagre tiene 0,001 mol/l. Para
evitar trabajar con números tan pequeños, en 1909 el químico danés Sørensen construyó una escala logarítmica
para medir las concentraciones: el pH. El pH es el opuesto del logaritmo de la concentración de moles de iones
de hidrógeno.
pH (vinagre) = –log 0,001 = –log(10–3
) = 3
• Si el pH = 7, se dice que la sustancia es neutra. ● Si el pH < 7, es ácida. ● Si el pH > 7, es básica.
Por ejemplo, el pH del amoniaco es 12, y el del vino, 4.
1. La concentración mínima es de 10–14
moles/litro. ¿Cuál es el valor máximo que puede tomar el pH?
El valor máximo que puede tomar el pH es –log (10
–14
) = 14.
2. Considera el amoniaco, el vino y el vinagre.
a) ¿Cuáles de ellos son básicos y cuáles ácidos?
b) ¿Cuál es la concentración de moles por litro en cada uno de ellos?
c) ¿Cuántas veces es mayor la concentración de iones de hidrógeno en el amoniaco que en el vino?
a) El amoniaco es básico y, el vino y el vinagre, ácidos.
b) La concentración del amoniaco es 10–12
moles/litro, la del vino, 10
–4
, y la del vinagre, 10
–3
.
c) La concentración del amoniaco es 10
–4
: 10
–12
= 10
8
veces mayor que la del vino.

3. ¿Cuántas veces es más ácida una sustancia cuyo pH es 2 que una cuyo pH es 4?
Como la acidez de la sustancia que tiene pH 2 es 10
–2
y de la que tiene pH 4 es 10
–4
, es 100 veces más ácida.
4. Para el cuerpo humano son corrosivas las sustancias con un pH menor que 3,5, y son cáusticas aquellas
con un pH superior a 11,5. Relaciona el pH con las sustancias e indica cuáles no son adecuadas para el
cuerpo humano.
Zumo de limón Café Leche Dentífrico Lejía
pH = 5 pH = 6,5 pH = 2,3 pH = 9,9 pH = 13
pH limón = 2,3; pH café = 5; pH leche = 6,5; pH dentífrico = 9,9; pH lejía = 13
El amoniaco y la pasta de dientes no son sustancias adecuadas para el cuerpo humano.
AUTOEVALUACIÓN
1. Representa en la recta real
5
3
y 13 . ¿Son racionales o irracionales?
5 2
1
3 3
= + es racional. 13 es irracional.
2. Un número real x cumple |x – 2| < 3. Describe los posibles valores de x gráficamente, con intervalos y
mediante desigualdades.
|x – 2| < 3 ( 1
,5) 1 5
x x
⇔ ∈ − ⇔ − < < ⇔
3. Escribe en notación científica el resultado de: (0,26 · 10
–4
) ⋅ (8,53 · 10
9
)
2
+ 7,2 · 10
13
(0,26 · 10
–4
) ⋅ (8,53 · 10
9
)
2
+ 7,2 · 10
13
= (0,26 · 10
–4
) ⋅ (72,7609 · 10
18
) + 7,2 · 10
13
= 18,917834 · 10
14
+ 7,2 · 10
13
=
1,8917834 · 1015
+ 0,072 · 10
15
= 1,9637834 · 10
15
4. Realiza las operaciones y simplifica el resultado.
a) 3 5
2 : 3 c)
4
3
2
 
 
 
b) 4
3 2
⋅ d) 4 50 3 128 5 72
− +
a) 15 15 15
3 5 5 3 5 3
2 : 3 2 : 3 2 3−
= = ⋅
b) 4
4 4 4
2
3 2 3 2 18
⋅ = ⋅ =
c)
4
6 3
3 3
4 2
2 2 2 4
 
= = =
 
 
d) 4 50 3 128 5 72 20 2 24 2 30 2 26 2
− + = − + =

a) ( ) ( )
18 20 2 5
− ⋅ − c) ( )
2
12 3
+
b) 2 48 3 675 588
− + d) ( ) ( )
2 8 3 2
+ ⋅ −
a) ( ) ( )
18 20 2 5 16 5 10
− ⋅ − = −
b) 2 48 3 675 588 8 3 45 3 14 3 23 3
− + =
− + =
−
c) ( )
2
12 3 12 3 2 36 27
+ = + + =
d) ( ) ( )
2 8 3 2 6 2 2 6 2 4 2 4 2
+ ⋅ − = − + − = +
6. Calcula el valor de x en estas igualdades.
a) 4x
= (2
–3
)
5
b) ( )
5 25
x
= c) 0,001
–5
· 100
x
= 0,01
5
d) 0,25
x
= 16
a) 4
x
= (2
–3
)
5
⇒ 2
2x
= 2
–15
7,5
x
⇒ =
− c) 5 5 15 2 10
0,001 100 0,01 10 10 10 12,5
x x
x
− −
⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
−
b) ( ) 2
2
5 25 5 5 4
x
x
x
= ⇒ = ⇒ = d) 2
0,25 16 4 4 2
x x
x
−
= ⇒ = ⇒ =
−
7. Racionaliza estas expresiones.
a)
4
8
b) 3
1
12
c)
1
7 3
+
a)
4 4 8 8 2 2
2
8 2 2
8
= = = = b)
3 3 3
2
3
1 12 2 18 18
12 12 6
12
= = = c)
1 7 3
4
7 3
−
=
+
8. Sabiendo que log 2= 0,301…., calcula:
a) log 5 b) log 20 c) log 16 d) log5 2
a) log 5 = log 10 – log 2= 0,699 c) log 16 = 4log 2 = 1,204
b) log 20 = log 2 + log 10 = 1,301 d) 5
log 2 0,301
log 2 0,431
log 5 0,699
= = =
9. Toma logaritmos en la expresión
3
3 2
7 4
2
x y z
A
t
= .
3 3
3 2 3 2
7 7
4 4
2 2
2 3
log log log 3log log log 2log
7 4
x y z x y z
A A A x y z t
t t
= ⇒ = ⇒ = + + −
10. Elimina los logaritmos en la expresión
1 2
log log log 8log
5 9
A x y z
= + − .
5 5
2 2
9 9
5 2 8
9
8 8
1 2
log log log 8log log log log log log log
5 9
x y x y
A x y z A x y z A A
z z
⋅ ⋅
= + − ⇒ = + − ⇒ = ⇒ =

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