5 Ejercicios_Diagonalizacion.pdf algebra eectronica
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ejerciicios primero ingenieria electronica de algebra
![Ejercicio 7 Sea A una matriz 6x6 cuyo polinomio característico es p( ) = (1 + )(1
)2
(2 )3
:
a) Probar que no es posible encontrar vectores linealmente independientes v1; v2; v3 en
R6
tales que Av1 = v1; Av2 = v2; Av3 = v3:
b) Si A es diagonalizable, indicar cuál es la dimensión de cada uno de los subespacios
propios S( 1), S(1) y S(2).
Solución: b) dim S( 1) = 1, dim S(1) = 2, dim S(2) = 3:
Ejercicio 8 Obtener una matriz cuyos valores propios sean 1 con multiplicidad 2 y 2
con multiplicidad 1, de modo que (1; 1; 1) y (1; 2; 1) sean vectores propios asociados a 1 y
(0; 1; 2) sea un vector propio asociado a 2.
Solución:
0
B
@
1 0 0
1
2
1
1
2
1 0 2
1
C
A :
Ejercicio 9 Sea V un R espacio vectorial y B = fe1; e2; e3; e4g una base de V.
Supongamos que T : R4
! R4
es un endomor…smo tal que los vectores v1 = e1 + e2 +
e3 +e4; v2 = e1 +e3 +e4; v3 = e2 +e3 +e4 y v4 = e1 +e2 +e3; son vectores propios asociados
a valores propios distintos. Hallar la matriz del endomor…smo T en la base fe1; e2; e3; e4g
sabiendo que
T(2e1 + e2 + 3e3 + 4e4) = 6e1 + 5e2 + 9e3 + 8e4
Solución: La matriz es
0
B
B
@
0 1 1 2
2 1 0 2
2 1 2 2
2 1 3 1
1
C
C
A
Ejercicio 10 En R3[x] se de…ne la aplicación T por T(ax3
+bx2
+cx+d) = dx3
+cx2
+
bx + a:
a) Probar que T es un endomor…smo.
b) Determinar la matriz de T en la base f1; x; x2
; x3
g :
c) Hallar una base donde la matriz asociada a T sea digonal, y calcular dicha matriz.
Solución: b) A =
0
B
B
@
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
1
C
C
A
c) Una base puede ser, por ejemplo
B = f(0; 1; 1; 0); (1; 0; 0; 1); (0; 1; 1; 0); ( 1; 0; 0; 1)g
y la matriz asociada a T en esta base es:
0
B
B
@
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1
C
C
A.](https://image.slidesharecdn.com/5ejerciciosdiagonalizacion-250217153441-a438e539/85/5-Ejercicios_Diagonalizacion-pdf-algebra-eectronica-3-320.jpg)
![b)
y1(x) = c1ex
+ c2e2x
y2(x) = c1ex
+ c3e2x
y3(x) = 3c1ex
+ c2e2x
+ c3e2x
9
=
;
8c1; c2; c3 2 R:
c)
y1(x) = 2c1sen(2x)e2x
+ 2c2 cos(2x)e2x
y2(x) = c1 cos(2x)e2x
c2sen(2x)e2x 8c1; c2 2 R:
d)
y1(x) = c1sen(3x)e x
+ c2 cos(3x)e x
y2(x) = c1 cos(3x)e x
c2sen(3x)e x 8c1; c2 2 R:
Ejercicio 18 Calcular una solución general del sistema:
y0
1 = y1 + 2y2
y0
2 = 5y1 3y2
Calcular la solución particular que cumple y1(0) = 1; y2(0) = 1:
Solución: Solución general:
y1(x) = 2e 2x
[c1 cos(3x) + c2sen(3x)]
y2(x) = e 2x
[ c1 (cos(3x) + 3sen(3x)) + c2 (3 cos(3x) sen(3x))]
8c1; c2 2 R:
Solución particular:
y1(x) = e 2x
[cos(3x) + sen(3x)]
y2(x) = e 2x
[cos(3x) 2sen(3x)]](https://image.slidesharecdn.com/5ejerciciosdiagonalizacion-250217153441-a438e539/85/5-Ejercicios_Diagonalizacion-pdf-algebra-eectronica-6-320.jpg)
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- 1. Universidad de Oviedo EPI Gijón Dpto. Matemáticas Algebra Lineal Problemas Curso 2018-2019 — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — 5. Diagonalización Ejercicio 1 En R diagonalizar las matrices: a) A = 4 4 1 4 ; b) B = 0 @ 1 2 2 2 1 2 2 2 3 1 A ; c) C = 0 @ 0 7 6 1 4 0 0 2 2 1 A ; d) D = 0 B B @ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C C A : Solución: a) D = 2 0 0 6 ; siendo P = 2 2 1 1 : b) D = 0 @ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 A ; siendo P = 0 @ 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 A : c) D = 0 @ 2 0 0 0 1 0 0 0 1 1 A ; siendo P = 0 @ 4 9 5 2 3 1 1 2 2 1 A : d) D = 0 B B @ 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 1 C C A ; siendo P = 0 B B @ 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 C C A : Ejercicio 2 Calcular la potencia n-ésima de A = 0 @ 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 A : Solución: An = 0 B B B B @ 2 3 ( 1)n + 2n 3 2n 3 ( 1)n 3 2n 3 ( 1)n 3 2n 3 ( 1)n 3 2 3 ( 1)n + 2n 3 2n 3 ( 1)n 3 2n 3 ( 1)n 3 2n 3 ( 1)n 3 2 3 ( 1)n + 2n 3 1 C C C C A :
- 2. Ejercicio 3 En C diagonaliza las siguientes matrices: A = 0 @ 2 0 0 0 0:8 0:6 0 0:6 0:8 1 A B = p 3 2 1 2 1 2 p 3 2 ! C = 0 @ i 0 0 0 p 2 2 p 2 2 0 p 2 2 p 2 2 1 A : Solución: D = 0 @ 2 0 0 0 0:8 + 0:6i 0 0 0 0:8 0:6i 1 A ; siendo P = 0 @ 1 0 0 0 1 1 0 i i 1 A : D = p 3+i 2 0 0 p 3 i 2 ! ; siendo P = 1 1 i i : D = 0 B B B B @ i 0 0 0 p 2 2 + p 2 2 i 0 0 0 p 2 2 p 2 2 i 1 C C C C A ; siendo P = 0 @ 1 0 0 0 1 1 0 i i 1 A : Ejercicio 4 Decide si las siguientes matrices son o no diagonalizables en R y en C A = 0 @ 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 A B = 0 @ 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 A C = 2 p 2 3 1 3 1 3 2 p 2 3 ! : Solución: A no es diagonalizables ni en R ni en C: B es diagonalizables en R y en C: C no es diagonalizables en R y si lo es en C: Ejercicio 5 ¿ Bajo qué condiciones sobre los parámetros a, b y c es la matriz A = 0 @ 1 a 1 0 1 b 0 0 c 1 A diagonalizable? Solución: Sólo diagonaliza si c 6= 1 y a = 0. Ejercicio 6 En R3 se consideran las bases B1 = fv1; v2; v3g y B2 = fw1; w2; w3g tales que w1 = v1; w2 = v1 +v2 y w3 = v3 y los endomor…smos T1 y T2 cuyas matrices asociadas respecto de las bases B1 (en el espacio de partida R3 ) y B2 (en el espacio de llegada R3 ) son, respectivamente, A1= 0 @ 1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 A y A1= 0 @ 1 1 0 0 1 0 0 0 2 1 A. Estudiar si dichos endomor…smos son diagonalizables. Solución: T1 no es diagonalizable, T2 sí lo es.
- 3. Ejercicio 7 Sea A una matriz 6x6 cuyo polinomio característico es p( ) = (1 + )(1 )2 (2 )3 : a) Probar que no es posible encontrar vectores linealmente independientes v1; v2; v3 en R6 tales que Av1 = v1; Av2 = v2; Av3 = v3: b) Si A es diagonalizable, indicar cuál es la dimensión de cada uno de los subespacios propios S( 1), S(1) y S(2). Solución: b) dim S( 1) = 1, dim S(1) = 2, dim S(2) = 3: Ejercicio 8 Obtener una matriz cuyos valores propios sean 1 con multiplicidad 2 y 2 con multiplicidad 1, de modo que (1; 1; 1) y (1; 2; 1) sean vectores propios asociados a 1 y (0; 1; 2) sea un vector propio asociado a 2. Solución: 0 B @ 1 0 0 1 2 1 1 2 1 0 2 1 C A : Ejercicio 9 Sea V un R espacio vectorial y B = fe1; e2; e3; e4g una base de V. Supongamos que T : R4 ! R4 es un endomor…smo tal que los vectores v1 = e1 + e2 + e3 +e4; v2 = e1 +e3 +e4; v3 = e2 +e3 +e4 y v4 = e1 +e2 +e3; son vectores propios asociados a valores propios distintos. Hallar la matriz del endomor…smo T en la base fe1; e2; e3; e4g sabiendo que T(2e1 + e2 + 3e3 + 4e4) = 6e1 + 5e2 + 9e3 + 8e4 Solución: La matriz es 0 B B @ 0 1 1 2 2 1 0 2 2 1 2 2 2 1 3 1 1 C C A Ejercicio 10 En R3[x] se de…ne la aplicación T por T(ax3 +bx2 +cx+d) = dx3 +cx2 + bx + a: a) Probar que T es un endomor…smo. b) Determinar la matriz de T en la base f1; x; x2 ; x3 g : c) Hallar una base donde la matriz asociada a T sea digonal, y calcular dicha matriz. Solución: b) A = 0 B B @ 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 C C A c) Una base puede ser, por ejemplo B = f(0; 1; 1; 0); (1; 0; 0; 1); (0; 1; 1; 0); ( 1; 0; 0; 1)g y la matriz asociada a T en esta base es: 0 B B @ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 C C A.
- 4. Ejercicio 11 En el espacio M2(R) se considera el subespacio E = hBi donde B = 1 2 0 1 ; 0 2 0 0 ; 1 1 1 1 y el endomor…smo T : E ! E de…nido como sigue A = x y z x ! T(A) = 0 3y z 2 3z y 2 0 a) Hallar la matriz asociada a T respecto de la base B. b) Hallar Ker(T) e Im(T): c) Calcular una base de E en la cuál la matriz asociada sea diagonal. Solución: a) A = 0 @ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A b) Ker(T) = h( 1; 1; 0)Bi = 1 0 0 1 y T(E) = Im(T) = h(1; 1; 1)B; (0; 1; 0)Bi = 0 3 1 0 ; 0 2 0 0 : c) BD = f( 1; 1; 0)B; ( 1; 1; 1)B; (1; 0; 1)Bg = 1 0 0 1 ; 0 1 1 0 ; 0 1 1 0 Ejercicio 12 Sea T un endomor…smo de…nido sobre el espacio vectorial E. Probar que si es valor propio de T, entonces p lo es del endomor…smo Tp , y que si T es automor…smo, T 1 tiene por valores propios los inversos de los valores propios de T. Ejercicio 13 La k-ésima generación de una población animal consiste en xk hembras e yk machos. La generación siguiente depende de la actual de acuerdo con el sistema: xk+1 = 0:8 xk + 0:7 yk yk+1 = 0:2 xk + 0:3 yk Se pide: a) Escribir el sistema dinámico dado en notación matricial. b) Estimar la población después de la tercera generación si al principio hay 300 hembras y 100 machos. c) Calcular la población a largo plazo. d) Decir cuál es el sexo predominante a largo plazo. Solución: a) Denotando por Zk = xk yk 8k 2 N [ f0g : Zk = 0:8 0:7 0:2 0:3 Zk 1 = Ak x0 y0 = Ak 300 100 8k 2 N b) Z2 = A2 300 100 = 311 89 c) Ak = PDk P 1 ; siendo D = 0:1 0 0 1 y P = 1 7 2 1 1 de donde:
- 5. Zk = 1 7 2 1 1 10 k 0 0 1 2 9 7 9 2 9 2 9 300 100 = 100 9 10 k + 28 10 k + 8 d) lim k!1 Zk = 2800 9 800 9 ; luego el sexo dominante será el de las hembras. Ejercicio 14 Determinar si existe algún valor c 2 R tal que la función y(x) = 1 2 +2ex2 sea solución del problema de Cauchy y0 = x + 2xy y(1) = c . Solución: c = 2e 1 2 . Ejercicio 15 Se considera el sistema de ecuaciones diferenciales siguiente: y0 1 = 65y1 + 42y2 y0 2 = 99y1 64y2 Se pide: a) Comprobar que ! v 1 = (2; 3) y ! v 2 = ( 7; 11) son vectores propios de la matriz de coe…cientes del sistema. b) Hallar una solución que satisfaga la condición inicial Y (0) = (y1(0); y2(0)) = ( 14; 22): c) Hallar una solución que satisfaga la condición inicial Y (0) = (y1(0); y2(0)) = ( 3; 5): d) Hallar una solución que satisfaga la condición inicial Y (0) = (y1(0); y2(0)) = (9; 14): Solución: b) y1(x) = 14ex ; y2(x) = 22e x : c) y1(x) = 4e2x 7e x ; y2(x) = 6e2x + 11e x : d) y1(x) = 2e2x + 7e x ; y2(x) = 3e2x 11e x : Ejercicio 16 Se considera el sistema de ecuaciones diferenciales siguiente: y0 1 = y2 y0 2 = y1 Se pide: a) Demostrar que (y1(x); y2(x)) = (cos(x); sen(x)) es una solución del sistema. b) Demostrar que (y1(x); y2(x)) = ( sen(x); cos(x)) es una solución del sistema. c) Hallar una solución que satisfaga la condición inicial Y (0) = (y1(0); y2(0)) = (0; 1): d) Hallar una solución que satisfaga la condición inicial Y (0) = (y1(0); y2(0)) = (1; 1): Solución: c) y1(x) = sen(x); y2(x) = cos(x): d) y1(x) = cos(x) sen(x); y2(x) = sen(x) + cos(x): Ejercicio 17 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales: a) 8 < : y0 1 = 3y1 + y2 + y3 y0 2 = y1 3y2 + y3 y0 3 = y1 + y2 3y3 b) 8 < : y0 1 = 3y1 + y2 y3 y0 2 = y1 + 3y2 y3 y0 3 = 3y1 + 3y2 y3 c) y0 1 = 2y1 + 4y2 y0 2 = y1 + 2y2 d) y0 1 = y1 + 3y2 y0 2 = 3y1 y2 Solución: a) y1(x) = c1e x + c2e 4x y2(x) = c1e x + c3e 4x y3(x) = c1e x c2e 4x c3e 4x 9 = ; 8c1; c2; c3 2 R:
- 6. b) y1(x) = c1ex + c2e2x y2(x) = c1ex + c3e2x y3(x) = 3c1ex + c2e2x + c3e2x 9 = ; 8c1; c2; c3 2 R: c) y1(x) = 2c1sen(2x)e2x + 2c2 cos(2x)e2x y2(x) = c1 cos(2x)e2x c2sen(2x)e2x 8c1; c2 2 R: d) y1(x) = c1sen(3x)e x + c2 cos(3x)e x y2(x) = c1 cos(3x)e x c2sen(3x)e x 8c1; c2 2 R: Ejercicio 18 Calcular una solución general del sistema: y0 1 = y1 + 2y2 y0 2 = 5y1 3y2 Calcular la solución particular que cumple y1(0) = 1; y2(0) = 1: Solución: Solución general: y1(x) = 2e 2x [c1 cos(3x) + c2sen(3x)] y2(x) = e 2x [ c1 (cos(3x) + 3sen(3x)) + c2 (3 cos(3x) sen(3x))] 8c1; c2 2 R: Solución particular: y1(x) = e 2x [cos(3x) + sen(3x)] y2(x) = e 2x [cos(3x) 2sen(3x)]