7. Analisis de Circuitos II Elementos Basicos y Fasores.pdf

ASIGNATURA: ANÁLISIS DE CIRCUITOS II
DOCENTE: EDWING PANTOJA
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INSTITUTO TECNOLÓGICO “SEBASTIÁN OBERMAIER”
Análisis de Circuitos II
7.- Los elementos básicos y los fasores
Introducción.
En este documento se analizará la respuesta de los elementos básicos R, L y C a un voltaje o una
corriente senoidales, con especial énfasis en la forma en que la frecuencia afectará las
características “de oposición” de cada elemento.
Luego se presentará la notación fasorial para establecer un método de análisis que permita una
correspondencia directa con varios de los métodos, teoremas y conceptos presentados en los
capítulos de cd.
La derivada
Con el objetivo de comprender la respuesta de los elementos básicos R, L y C a una señal senoidal,
es necesario analizar el concepto de la derivada con cierto detalle.
Recuerde que la derivada dx/dt está definida como la razón de cambio de x con respecto al tiempo.
Si x no cambia en un instante particular, dx = 0, y la derivada será cero.
Para la forma de onda senoidal, dx/dt será cero solamente en los picos positivos y negativos (ωt =
π/2 y 2/3 π en la figura 7.1), dado que x no cambia en esos instantes. La derivada dx/dt es en realidad
la pendiente de la gráfica en cualquier instante.
Una revisión minuciosa de la forma de onda senoidal también indicará que el cambio más grande
en x ocurre en los instantes ωt = 0, π, y 2ω. La derivada, por tanto, es un máximo en estos puntos.
En 0 y 2π, x se incrementa a su mayor tasa, y la derivada posee un signo positivo dado que x se
incrementa con el tiempo.
Figura 7.1
Definición de los puntos de un senoide que tiene derivadas max y min.
En π, dx/dt disminuye a la misma tasa que se incrementó de 0 a 2π, pero la derivada posee signo
negativo dado que x disminuye con el tiempo.

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Como la tasa de cambio en 0, π y 2π es la misma, la magnitud de la derivada en estos puntos será
también la misma. Para distintos valores de ωt entre estos máximos y mínimos, la derivada existirá
y tendrá valores que van del mínimo al máximo, incluidos éstos.
Una gráfica de la derivada en la figura 7.2 muestra que: la derivada de una onda senoidal es una
onda cosenoidal.
Figura 7.2
Derivada de la senoide de la figura 7.1
El valor pico de la onda cosenoidal está relacionado directamente con la frecuencia de la forma de
onda original.
A mayor frecuencia, más pronunciada será la pendiente en el eje horizontal y mayor el valor de
dx/dt, como se muestra en la figura 7.3 para dos frecuencias diferentes.
Figura 7.3
Efecto de la frecuencia sobre el valor pico de la derivada

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Observe en la figura 7.3 que aun cuando ambas formas de onda (x1 y x2) tienen el mismo valor pico,
la función senoidal con la frecuencia más alta genera el mayor valor pico para la derivada. Además,
advierta que:
la derivada de una onda senoidal tiene los mismos periodo y frecuencia que la forma de onda
senoidal original.
Para el voltaje senoidal:
la derivada puede encontrarse directamente por diferenciación (calculo) para generar lo siguiente:
La mecánica del proceso de diferenciación no se expondrá o analizará aquí, tampoco se requerirá
para continuar con el texto. Sin embargo, observe que el valor pico de la derivada, 2πfEm, es una
función de la frecuencia de e(t), y que la derivada de la onda senoidal es una onda cosenoidal.
Respuesta de los elementos básicos R, L, y C a un voltaje o una corriente senoidales.
Ahora que estamos familiarizados con las características de la derivada de una función senoidal,
podemos analizar la respuesta de los elementos básicos R, L y C a un voltaje o una corriente
senoidales.
Resistor.
Para frecuencias de líneas de alimentación y frecuencias de hasta unos cientos de kilo Hertz, la
resistencia, para todo propósito práctico, no es afectada por la frecuencia del voltaje o la corriente
senoidales aplicados.
Figura 7.4
Determinación de la respuesta senoidal para un elemento resistivo
Para esta región de frecuencia, el resistor R de la figura 7.4 puede manejarse como una constante,
y se podrá aplicar la ley de Ohm de la siguiente forma.
Para v = Vm sen ωt,

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Donde:
Además, para una i dada,
Donde:
Una gráfica de v e i en la figura 7.5 muestra que:
Figura 7.5
El voltaje y la corriente de un elemento resistivo se encuentran en fase.
para un elemento puramente resistivo, el voltaje y la corriente a través del elemento se encuentran
en fase, con sus valores pico relacionados mediante la ley de Ohm.
Inductor.
Para la configuración en serie de la figura 7.6, el voltaje velemento del elemento ubicado en el recuadro
se opone a la fuente e, y por ello reduce la magnitud de la corriente i.
Figura 7.6
Definición de la oposición de un elemento al flujo de carga a través del elemento
La magnitud del voltaje en el elemento está determinada por la oposición del elemento al flujo de
carga, o corriente i. Para un elemento resistivo, encontramos que la oposición es su resistencia y
que velemento e i están determinados por velemento = iR.

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Sabemos que el voltaje en un inductor está relacionado directamente con la razón de cambio de la
corriente a través de la bobina. Por consiguiente, a mayor frecuencia, mayor será la razón de cambio
de la corriente a través de la bobina, y más grande la magnitud del voltaje. Además, encontramos
que la inductancia de una bobina determinará la razón de cambio del flujo de enlace de una bobina
para un cambio particular en la corriente a través de esta.
Mientras más alta sea la inductancia, mayor será la razón de cambio de los enlaces del flujo y mayor
el voltaje resultante en la bobina.
Por tanto, el voltaje inductivo estará directamente relacionado con la frecuencia (o, con mayor
precisión, con la velocidad angular de la corriente senoidal de ca a través de la bobina) y con la
inductancia de la bobina. Para valores crecientes de f en la figura 7.7, la magnitud de vL se
incrementará como se describió antes. Utilizando las similitudes entre las figuras 7.6 y 7.7,
encontramos que incrementos en los niveles de vL están directamente relacionados con
incrementos en los niveles de oposición en la figura 7.6. Dado que vL se incrementará tanto con ω
(= 2πf ) y L, como con L, la oposición de un elemento inductivo es como se define en la figura 7.7.
Figura 7.7
Definición de los parámetros que determinan la oposición de un inductor al flujo de carga
Ahora verificaremos algunas de las conclusiones anteriores utilizando un método más matemático
y luego definiremos algunas cantidades importantes que serán utilizadas en las secciones y capítulos
siguientes.
Figura 7.8
Investigación de la respuesta senoidal de un elemento inductivo
Para el inductor de la figura7.8, recordamos que:

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Y, al aplicar diferenciación,
Observe que el valor pico de vL está directamente relacionado con ω (= 2πf ) y L como se anticipó
en el análisis anterior.
La gráfica de vL e iL en la figura 7.9 muestra que:
para un inductor, vL adelanta a iL por 90°, o está retrasada con respecto a vL por 90°.
Figura 7.9
Para un inductor puro, el voltaje en la bobina adelanta a la corriente por 90°.
Si un ángulo de fase está incluido en la expresión senoidal de iL, tal como:
La oposición establecida por un inductor en una red de ca senoidal podrá encontrarse ahora
aplicando la ecuación:

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revelando que la oposición establecida por un inductor dentro de la red senoidal de ca está
relacionada directamente con el producto de la velocidad angular (ω = 2πf ) y la inductancia, lo que
comprueba las conclusiones anteriores.
La cantidad ωL, denominada reactancia (proveniente de reacción) de un inductor, se representa
simbólicamente por XL y se mide en ohms; es decir,
En el formato de la ley de Ohm, su magnitud puede determinarse a partir de:
La reactancia inductiva es la oposición al flujo de corriente, la cual resulta en el intercambio continuo
de energía entre la fuente y el campo magnético del inductor. En otras palabras, la reactancia
inductiva, a diferencia de la resistencia (la cual disipa energía en forma de calor), no disipa energía
eléctrica (ignorando los efectos de la resistencia interna del inductor).
Capacitor.
Regresemos ahora a la configuración en serie de la figura 7.6 e insertemos el capacitor como el
elemento de interés.
Sin embargo, para el capacitor determinaremos i para un voltaje particular en el elemento. Cuando
este método alcance su conclusión, la relación entre el voltaje y la corriente será conocida y el
voltaje de oposición (velemento) podrá determinarse para cualquier corriente senoidal i.
La investigación sobre el inductor mostró que el voltaje inductivo en una bobina se opone al cambio
instantáneo en la corriente a través de la bobina.
Para redes capacitivas, el voltaje en el capacitor está limitado por la razón a la que puede depositarse
la carga en, o liberarse por, las placas del capacitor durante las fases de carga y descarga,
respectivamente. En otras palabras, un cambio instantáneo en el voltaje en un capacitor es opuesto
por el hecho de que existe un elemento de tiempo requerido para depositar carga sobre (o liberar
carga desde) las placas de un capacitor, y V = Q/C.
Dado que la capacitancia es una medida de la razón a la que el capacitor almacena carga sobre sus
placas,
para un cambio particular en el voltaje en el capacitor, a mayor valor de capacitancia, mayor será la
corriente capacitiva resultante.

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Además, la ecuación fundamental que relaciona el voltaje en un capacitor con la corriente de un
capacitor [i = C(dv/dt)] indica que:
para una capacitancia en particular, mientras mayor sea la razón de cambio de voltaje en el
capacitor, mayor será la corriente capacitiva.
Por supuesto, un incremento en la frecuencia corresponderá a un incremento en la razón de cambio
del voltaje en el capacitor y con un incremento en la corriente del capacitor.
La corriente de un capacitor, por tanto, está relacionada directamente con la frecuencia (o, de nuevo
más específicamente, con la velocidad angular) y con la capacitancia del capacitor.
Un incremento en cualquier cantidad dará por resultado un incremento en la corriente del capacitor.
Sin embargo, para la configuración básica de la figura 7.10, estamos interesados en determinar la
oposición del capacitor según se encuentra relacionada con la resistencia de un resistor y qL para el
inductor. Dado que un incremento en la corriente corresponde a una disminución en la oposición,
e iC es proporcional a ω y C, la oposición de un capacitor estará inversamente relacionada con ω (=
2πf ) y C.
Figura 7.10
Definición de los parámetros que determinan la oposición de un capacitor al flujo de la carga
Ahora verificaremos, de la misma forma que hicimos con el inductor, algunas de las conclusiones
anteriores utilizando un enfoque más matemático. Para el capacitor de la figura 7.11, recordamos
que:
Figura 7.11
Investigación de la respuesta de un senoide a un elemento capacitivo

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Y, al aplicar la diferenciación,
Observe que el valor pico de iC está directamente relacionado con ω (= 2πf ) y C, como se anticipó.
Figura 7.12
La corriente de un elemento puramente capacitivo adelanta al voltaje de un elemento por 90o
La gráfica de vC e iC en la figura 14.12 muestra que:
para un capacitor en donde iC sobrepasa a vC por 90°, o vC se retrasa por 90° con respecto a iC.
Si el ángulo de fase está incluido en la expresión senoidal para vC, tal como:
lo cual concuerda con los resultados obtenidos líneas arriba.
La cantidad 1/ωC, denominada la reactancia de un capacitor, se representa simbólicamente por XC
y puede medirse en ohms; es decir,

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En formato de la ley de Ohm, su magnitud puede determinarse a partir de:
La reactancia capacitiva es la oposición al flujo de carga, la cual da por resultado el intercambio
continuo de energía entre la fuente y el campo eléctrico del capacitor. Al igual que el inductor, el
capacitor no disipa energía de ninguna forma (ignorando los efectos de la resistencia de fuga).
En los circuitos recién considerados, la corriente se entregaba en el circuito inductivo, y el voltaje
en el circuito capacitivo. Esto se realizó con el fin de evitar el uso de integración para encontrar las
cantidades desconocidas. En el circuito inductivo,
Más adelante, deberemos considerar un método para analizar circuitos de ca que nos permitirá
resolver cualquier cantidad desconocida con una entrada senoidal sin tener que utilizar integración
directa o diferenciación.
Es posible determinar si una red con uno o más elementos es predominantemente capacitiva o
inductiva observando la relación de fase entre el voltaje y la corriente de entrada.
Si la corriente de fuente adelanta al voltaje aplicado, la red es predominantemente capacitiva, y si
el voltaje aplicado adelanta a la corriente de fuente, la red es en su mayoría inductiva.
Dado que ahora contamos con una ecuación para la reactancia de un inductor o un capacitor, no
será necesario utilizar derivadas o integrales en los ejemplos que se considerarán. Con la simple
aplicación de la ley de Ohm, Im Em/XL (o XC), y teniendo presente la relación de fase entre el voltaje
y la corriente para cada elemento, será suficiente para completar los ejemplos.

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Ejemplo 7.1
Se indica el voltaje en un resistor. Encuentre la expresión senoidal para la corriente si el resistor es
de 10 Ω. Trace las curvas para v e i.
Solución.
a. utilizando:
Las curvas están dadas en la figura 7.13
Figura 7.13 (a)
a. utilizando:
Las curvas están dadas en la figura 7.14
Figura 7.13 (b)

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Ejemplo 7.2
Se proporciona la corriente a través de un resistor de 5 Ω.
Encuentre la expresión senoidal para el voltaje en el resistor para i = 40 sen (377t + 30°).
Solución.
Utilizando:
Ejemplo 7.3
Se proporciona la corriente a través de una bobina de 0.1 H. Encuentre la expresión senoidal para
el voltaje en la bobina. Trace las curvas v e i.
a. Utilizando:
Utilizando:
Las curvas están trazadas den la figura 7.15
Figura 7.15 (a)

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b.
Las curvas están trazadas en la figura 7.16
Figura 7.16 (b)
Ejemplo 7.4
A continuación, se presenta el voltaje en una bobina de 0.5 H. ¿Cuál es la expresión senoidal para la
corriente?
Solución:
Ejemplo 7.5
A continuación, se proporciona el voltaje en un capacitor de 1 µF. ¿Cuál es la expresión senoidal
para la corriente? Trace las curvas de i y v.

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Solución:
Utilizando:
Utilizando:
Las curvas están trazadas en la figura 7.17
Figura 7.17
Ejemplo 7.6
Se proporciona la corriente a través de un capacitor de 100 µF. Encuentre la expresión senoidal para
el voltaje en el capacitor.
Solución:

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Ejemplo 7.7
Para los siguientes pares de voltajes y corrientes, determine si el elemento involucrado es un
capacitor, un inductor o un resistor, y calcule el valor de C, L o R si se proporciona suficiente
información. (observe la figura 7.18).
Soluciones:

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