corriente electrica circuitos

CAPITULO II
RESISTENCIAS Y FUENTES
2.1.-INTRODUCCION.
Para determinar las propiedades de cualquier tipo de sistema es necesario
conocer las características de los componentes básicos de dicho sistema.
Los elementos básicos de los circuitos eléctricos son las resistencias y las
fuentes, por lo que en los próximos puntos se van a estudiar sus características.
Una vez conocidas dichas características, se pueden comenzar a analizar los
circuitos básicos en los que se utilizan los elementos mencionados.
2.2.-LA RESISTENCIA Y LA LEY DE OHM.
2.2.1.- Conceptos básicos.
El resistor o resistencia es el elemento circuital más simple y de mayor uso.
Se caracteriza porque su parámetro circuital más relevante es la propiedad que se
conoce con el nombre de resistencia .
Cuando los electrones pasan a través de un material, ocurren numerosas
colisiones con la celosía o red de los átomos que forman la estructura cristalina del
material. En promedio, este fenómeno se opone (o resiste) al movimiento de los
electrones. Mientras mayor sea el número de colisiones, mayor será la resistencia
que presenta el material a la circulación o paso de electrones. Estas colisiones no
son elásticas, por lo que hay pérdida de energía (desde el punto de vista de la
energía asociada con los electrones) en cada una de ellas. La reducción de energía
por unidad de carga se interpreta como caída de potencial a través del material.
La energía "perdida" se transforma en energía térmica y pasa al medio
ambiente en forma de calor.
El físico alemán Georg Simon Ohm formuló la relación corriente-voltaje
en una resistencia en el trabajo denominado "La cadena Galvánica tratada
matemáticamente", publicado en 1827. Cuando se conoció dicho trabajo, fue
calificado por algunos críticos como "una maraña de evidentes fantasías cuyo único
fin consistía en detractar la dignidad de la naturaleza".
Posteriormente recibió el merecido reconocimiento, y en su honor la
unidad de resistencia se denomina Ohm. Sin embargo, Henry Cavendish, un químico
inglés que obtuvo los mismos resultados experimentales 46 años antes, no recibió
ningún reconocimiento porque no publicó sus hallazgos.
24

2.2.2.-La Ley de Ohm.
La ley de Ohm postula que el voltaje a través de una resistencia
directamente proporcional a la corriente que circula por ella. La constante
proporcionalidad es el parámetro Resistencia del material. Dicho parámetro
acostumbra a representar con la letra R . Por lo tanto, la expresión matemática
la Ley de Ohm es:
v=Ri

es
de
se
de

(2.1)

Los signos de esta ecuación deben corresponderse con la convención de
variables presentada en la Figura 2.1.

Figura 2.1.- Convención de signos entre el voltaje y la corriente
en una resistencia.
Si se respeta esta convención de signos para los elementos pasivos, el
parámetro R debe ser siempre mayor o igual a cero.
2.2.3.- Unidades de Resistencia.
Como se indicó anteriormente, la unidad de resistencia es el Ohm y su
símbolo es la letra griega Omega ( Ω ). En el sistema MKS, la resistencia se expresa
en Ω cuando el voltaje se expresa en Voltios (V) y la corriente en amperios (A).
Un resistor o resistencia física es un elemento cuyo parámetro fundamental
es la resistencia. Los materiales que se utilizan comúnmente en la fabricación de
resistores son aleaciones metálicas y compuestos de carbono.
En cuanto al valor nominal, las resistencias que se usan en los circuitos
pueden ir de pocas décimas de ohms a millones de ohms. Para facilitar la
denominación de estas cantidades se utiliza la nomenclatura establecida en el
sistema MKS, que es aplicable a cualquiera de las variables y parámetros de los
sistemas eléctricos. Dicha nomenclatura está resumida en la Tabla 2.1. De acuerdo

25

con esto, si se necesita utilizar una resistencia de 2.000.000 Ω usualmente se
especifica como 2MΩ.
FACTOR
NOMBRE PREFIJO
SIMBOLO
Tera
T
1012
Giga
G
109
Mega
M
106
3
Kilo
K
10
mili
m
10-3
micro
µ
10-6
nano
n
10-9
-12
pico
p
10
femto
f
10-15
atto
a
10-18
Tabla 2.1.- Nomenclatura del Sistema MKS.
2.2.4.- La conductancia. Unidades.
El inverso de la resistencia R se conoce con el nombre de Conductancia y se
representa mediante la letra G. Su unidad es el Mho (ohm deletreado al revés) o el
Siemens.
2.2.5.-Característica i-v de las resistencias.
Para los componentes utilizados en circuitos eléctricos y electrónicos de no
muy alta frecuencia, el parámetro R es un parámetro concentrado, invariante en el
tiempo. Si R es una constante, la relación (2.1) es la ecuación de una recta que
caracteriza un elemento lineal.
Es usual representar gráficamente la relación entre el voltaje y la corriente
de un elemento utilizando el plano corriente-voltaje, como se muestra en la Figura
2.2.

Figura 2.2. Plano corriente-voltaje.
26

En este plano, la representación de una resistencia caracterizada por la
ecuación (2.1) es una línea recta que pasa por el origen, tal como se observa en la
Figura 2.3.

Figura 2.3. - Representación de una resistencia lineal.
La pendiente de la recta es el inverso de la resistencia, o lo que es lo mismo,
la conductancia.
Aquellos componentes cuyo parámetro de resistencia no permanece
constante para diferentes valores de la corriente, se conocen como resistencias
no lineales y su representación en el plano corriente-voltaje no es una línea recta.
Por ejemplo, una lámpara incandescente presenta la característica mostrada en la
Figura 2.4.

Figura 2.4.- Curva característica de una lámpara incandescente.
27

Hay elementos circuitales que presentan no linealidades mucho más
pronunciadas, como por ejemplo un diodo. La característica en el plano corrientevoltaje de este elemento es la mostrada en la Figura 2.5.

Figura 2.5.- Característica de un diodo.
La relación entre la corriente y el voltaje de un diodo está dada por la
ecuación (2.2).
i = Is (ev / v o -1)

(2.2)

Para poder analizar circuitos eléctricos que incluyen este tipo de
dispositivos, usualmente se trata de buscar un modelo aproximado que "idealiza"
las características fundamentales y simplifica considerablemente el desarrollo
matemático. Así por ejemplo, para un diodo se utilizan las características
simplificadas presentadas en la Figura 2.6.

Figura 2.6.- Modelos simplificados de un diodo.

28

El estudio de estos elementos no lineales se va a realizar en detalle en otros
cursos, tales como los de Electrónica. Para los cursos de Redes se va a centrar la
atención en los componentes que pueden modelarse como resistencias
concentradas, lineales e invariantes en el tiempo.
2.2.6.- Potencia en una resistencia.
La potencia instantánea suministrada a una resistencia está dada por la
relación:
p (t) = v(t) i (t)

(2.3)

Con la convención acordada para las resistencias, dado que si v(t) es positivo
i(t) también lo es, y si v(t) es negativo i(t) tiene el mismo signo, la potencia
siempre debe ser positiva (o cero).
Sustituyendo en esta expresión el valor de v(t) o el de i(t) según la Ley de
Ohm se obtiene:
p(t) = i2(t).R =

v2(t)
R

(2.4)

Por lo tanto p(t) es una función parabólica (y en consecuencia no lineal) de
i(t) o v(t) según se puede observar en la gráfica 2.7.

Figura 2.7.- Característica p(t) vs. v(t) o i(t).
Como p(t) es siempre positiva, la resistencia es un elemento pasivo (según
se había mencionado anteriormente). Este tipo de componente también se conoce
como un elemento disipativo
, ya que la energía que se le entrega se convierte en
calor. Existen otros tipos de elementos básicos, el condensador y el inductor, que
son capaces de almacenar energía y entregarla posteriormente.
29

Dado que las resistencias disipan energía cuando se encuentran conectadas
en un circuito eléctrico, al especificar un componente no basta con indicar el valor
nominal de su resistencia en Ohms, sino también es necesario conocer con
antelación la potencia máxima que va a disipar, para escoger un elemento que sea
capaz de disipar por lo menos dicha potencia, ya que en caso contrario la
temperatura del elemento se elevará considerablemente, lo cual puede producir un
cambio drástico de las características del componente e incluso su destrucción.
Las resistencias utilizadas en circuitos electrónicos como radios,
televisores, etc., presentan potencias nominales de fracciones de Watios (1/2W,
1/4 W, 1/8 W), mientras que en aplicaciones de potencia y control industrial, los
valores de la potencia nominal pueden ser del orden de cientos o miles de Watios. El
valor de la potencia nominal determina el tamaño y la construcción de cada
resistencia.
2.2.7.- Conceptos de Cortocircuito y Circuito Abierto.
Finalmente el concepto de resistencia puede usarse para definir dos términos
muy comunes en la teoría de circuitos: El Cortocircuito y el Circuito Abierto.
Un Cortocircuito es un conductor ideal entre dos puntos, y por lo tanto puede
considerarse como una resistencia de 0 Ω. A través del Cortocircuito puede
circular cualquier corriente, cuyo valor depende del resto del circuito, pero el
voltaje existente entre sus terminales siempre es cero.
Un Circuito Abierto es una interrupción en el circuito a través de la cual no
puede circular ninguna corriente. Por lo tanto puede considerarse como una
resistencia infinita cuyo voltaje entre sus terminales está definido por el resto del
circuito.

2.3.- FUENTES INDEPENDIENTES IDEALES.
Se definen como Fuentes aquellos elementos capaces de suministrar
energía a un circuito eléctrico. Se denominan Fuentes Independientes
aquellas
cuyas características no dependen de las variables de la red en la que están
conectadas, pero pueden presentar variaciones en el tiempo.
Hay dos tipos de fuentes independientes: Las Fuentes de Voltaje y las
Fuentes de Corriente. En los siguientes párrafos se definen las Fuentes de Voltaje
y de Corriente Independientes e Ideales, mientras que las Fuentes Reales y las
Dependientes se tratan en puntos posteriores.

30

2.3.1.- Fuentes de Voltaje Independientes Ideales.
La Fuente de Voltaje Independiente Ideal es un elemento de dos terminales, en
el que el voltaje entre dichos terminales en cualquier instante de tiempo es
independiente del valor o la dirección de la corriente que circula a través del mismo.
El símbolo para una Fuente de Voltaje Independiente Ideal es el presentado en la
Figura 2.8.

+
-

Vs(t)

Figura 2.8.- Símbolo de una Fuente de Voltaje Independiente Ideal.
Si el voltaje Vs es constante en el tiempo, se utiliza el símbolo mostrado en la
Figura 2.9.

+
V
-

Figura 2.9.-Símbolo de una Fuente de Voltaje Independiente Ideal
e invariante con el tiempo.
La característica de una Fuente de Voltaje en el plano v-i es la presentada en
la Figura 2.10.
A las Fuentes de Voltaje con esta característica se les denomina ideales .
Ninguna fuente real, por muy buena que sea su calidad, mantiene el voltaje
absolutamente constante entre sus terminales cuando varía la corriente que
circula por ella.
Si la fuente es variante en el tiempo, la recta se desplaza horizontalmente,
manteniendo la condición de perpendicularidad con respecto al eje v.

31

Figura 2.10.- Característica de una Fuente de Voltaje Independiente Ideal.
En la Figura 2.10 se puede observar que si el voltaje de la Fuente se anula, la
característica coincide con el eje de la corriente (i) y por lo tanto es exactamente
igual a la característica de una resistencia de valor R=0Ω, es decir, un
Cortocircuito. En consecuencia la resistencia interna de una Fuente de Voltaje Ideal
es igual a 0Ω.
Si en una Fuente de Voltaje la corriente circula del terminal negativo al
positivo, la fuente está entregando energía ya que la potencia es negativa,
mientras que en caso contrario está recibiendo energía. En la Figura 2.11 se puede
observar un circuito con dos Fuentes de Voltaje independientes, F1 y F 2.

Figura 2.11.-Circuito con Fuentes de Voltaje Independientes Ideales.
Para determinar la potencia en cada una de las Fuentes se deben realizar los
siguientes cálculos:
Al aplicar la Ley de los Voltajes de Kirchhoff se obtiene:
32

12V-VR -10V=0
De donde:

VR = 2V

(2.5)
(2.6)

Aplicando la Ley de Ohm se obtiene:
i=

2V
1Ω

=2A

(2.7)

Una vez conocida la corriente que circula por el circuito, se puede calcular la
potencia en todos los componentes. Así:
En la Fuente F1:

P F 1 = -12 V x 2 A = - 24 W

(2.8)

En la Fuente F2:

P F 2 = 10 V x 2 A = 20 W

(2.9)

En la Resistencia R:

P R = (2 A)2 x 1Ω = 4 W

(2.10)

La Fuente F 1 está entregando 24 W, de los cuales 4 W se disipan en la
resistencia de 1Ω mientras que 20 W se le entregan a la fuente de 10 V, la cual no
los disipa sino que los almacena, convirtiéndolos en otra forma de energía. El
esquema anterior puede representar la recarga de una batería (F 2) en el momento
que el voltaje de la misma estaba en 10 V. Es conveniente observar que la potencia
recibida total es igual a la potencia entregada.
2.3.2- Fuentes de Corriente Independientes Ideales.
La Fuente de Corriente Ideal es un elemento de dos terminales que se
caracteriza porque la corriente que circula por el mismo (en magnitud y sentido) en
cualquier instante de tiempo es independiente del valor o polaridad del voltaje
existente entre los terminales del elemento. El símbolo para una Fuente de
Corriente Independiente Ideal es el presentado en la Figura 2.12.

Figura 2.12.- Símbolo de una Fuente de Corriente Independiente Ideal.
33

La característica de una Fuente de Corriente ideal en el plano v-i se puede
observar en la Figura 2.13.

Figura 2.13.- Característica de una Fuente de Corriente Independiente Ideal.
El calificativo de ideal se debe a los mismas razones presentadas para las
fuentes de voltaje.
Si la corriente de la Fuente se anula, la característica coincide con el eje del
voltaje (v) y por lo tanto es exactamente igual a la característica de una
resistencia de valor R=∞, es decir, un Circuito Abierto. En consecuencia la
resistencia interna de una Fuente de Corriente Ideal es igual a infinito.
Si en una Fuente de Corriente, el voltaje entre sus terminales es tal que la
corriente entra por el terminal negativo, la fuente entrega energía, mientras que
en el caso contrario recibe energía. En la Figura 2.14 se puede observar un circuito
con dos Fuentes de Corriente, I1 e I2.

Figura 2.14.- Circuito con Fuentes de Corriente Independientes Ideales.
Para determinar la potencia en cada una de las Fuentes se deben realizar los
siguientes cálculos:
Al aplicar la Ley de las Corrientes de Kirchhoff se obtiene:
34

5 A-i R -3 A=0
De donde:

(2.11)

iR = 2 A

(2.12)

VR = 2 A x 1 Ω = 2 V

(2.13)

Una vez conocido el voltaje entre los terminales del circuito, se puede
calcular la potencia en todos los componentes. Así:
En la Fuente I1: PI 1 = - 2 V x 5 A = - 10 W

(2.14)

En la Fuente I2: PI 2 = 2 V x 3 A = 6 W

(2.15)

En la Resistencia R: PR = (2 A)2 x 1Ω = 4 W

(2.16)

La Fuente I1 está entregando 10W, de los cuales 4W se disipan en la
resistencia y 6W se entregan a la fuente I2, que no los disipa sino que los almacena.
Como en el caso anterior, es conveniente observar que la potencia recibida total es
igual a la potencia entregada.
2.4.-APLICACIONES DE LA LEY DE OHM Y LAS LEYES DE KIRCHHOFF A
CIRCUITOS CON FUENTES Y RESISTENCIAS.
Una vez conocidos los elementos básicos, es posible analizar algunos
circuitos simples, obtenidos al interconectar los elementos antes mencionados.
Para ello debe hacerse uso de la Ley de Ohm y las Leyes de Kirchhoff. A
continuación se presentan tres ejemplos.
2.4.1.-Ejemplo Nº 1.
En el circuito mostrado en la Figura 2.15, determinar el valor del voltaje Vx,
indicar si X es un elemento activo o pasivo, hallar el valor de la resistencia R 2 y
calcular la potencia en todos los componentes del circuito.
Para comenzar, se puede escribir la Ley de los Voltajes de Kirchhoff en el
lazo más externo del circuito.
10 V - 37 V + Vx + 60V = 0
De donde:

Vx = -33v

35

(2.17)
(2.18)

Figura 2.15.- Circuito del Ejemplo Nº 1.
A continuación se pueden aplicar la Ley de Ohm y la Ley de Kirchhoff de las
Corrientes para determinar el valor de i 2 e iR .
En la resistencia R 1: i1 =

10V
= 5A
2Ω

En la resistencia R 3:

i3 =

En el nodo C :

60V
= 15A
4Ω

5 A + i 2 + 8 A = 15 A

De donde:

(2.19)

(2.20)
(2.21)

i2 = 2A
5 + 2 = iR = 7A

En el nodo A:

(2.22)
(2.23)

Este resultado indica que el elemento X es un elemento activo, ya que para la
polaridad definida en el circuito, la corriente es positiva y el voltaje es negativo.
Por lo tanto dicho elemento está entregando potencia, cuya magnitud se puede
determinar mediante la siguiente relación:
P X = -33 V x 7 A = -231 W

(2.25)

Para calcular el valor de la resistencia R 2 se aplica la Ley de los Voltajes de
Kirchhoff a la malla que se encuentra a la izquierda del circuito:
VR 2 = 10 V
Y aplicando la Ley de Ohm:

R2 =

10V
= 5Ω
2A

(2.26)
(2.27)

Finalmente para calcular las potencias en todos los elementos del circuito es
necesario conocer los voltajes y corrientes en cada uno de ellos. La única variable
36

que falta por determinar es el voltaje existente entre los terminales de la fuente
de corriente. Aplicando la ley de los Voltajes de Kirchoff a la alla más a la derecha
del circuito se tiene:
VI = 60 V

(2.28)

A continuación se calcula la potencia entregada o disipada por cada elemento:
P R 1 = (5 A)2 x 2 Ω = 50W

(2.29)

P R 2 = (2 A)2 x 5 Ω = 20W

(2.30)

P R 3 = (15 A)2 x 4 Ω = 900W

(2.31)

P V = -37 V x 7 A = -259W

(2.32)

P X = -33 V x 7 A = -231W

(2.33)

P I = -8 A x 60 V = -480W

(2.34)

Potencia entregada total = -970W

(2.35)

Potencia consumida total = 970W

(2.36)

En el circuito mostrado en la Figura 2.16, el voltaje V1 es igual a 3 V.
Determinar el valor de la Fuente de Corriente Is y la potencia en todos los
elementos del circuito.
I1 =

V1
3V
=
= 1A
R1
3Ω

V2= 2Ω x 1A = 2V

37

(2.37)

(2.38)

Aplicando la Ley de los Voltajes de Kirchhoff en la malla de la izquierda se
obtiene:
V1 + V2 = V3
De donde:

V3 = 2V + 3V = 5V

Aplicando la Ley de Ohm:

I3 =

V3
5V
=
= 1A
I3
5Ω

(2.39)
(2.40)
(2.41)

A continuación se aplica la Ley de Kirchhoff de las Corrientes en el nodo A:
Is = I1 + I3 = 2A

(2.42)

Una vez obtenido el valor de la Fuente de Corriente Is, se aplica la Ley de los
Voltajes de Kirchhoff y la Ley de Ohm para calcular el voltaje entre los terminales
de dicha Fuente:
Vs = V4 + V3 + V5

(2.43)

V4 = Is x 1Ω = 2V

(2.44)

V5 = Is x 4Ω = 8V

(2.45)

Vs = 2V + 5V + 8V = 15V

(2.46)

Finalmente se puede calcular la potencia entregada o consumida por cada
elemento:
P s = -15 V x 2 A = -30W
38

(2.47)

P R 1 = (1 A)2 x 3 Ω = 3W

(2.48)

P R 2 = (1 A)2 x 2 Ω = 2W

(2.49)

P R 3 = (1 A)2 x 5 Ω = 5W

(2.50)

P R 4 = (2 A)2 x 1 Ω= 4W

(2.51)

P R 5 = (2 A)2 x 4 Ω = 16W

(2.52)

P R Total = 30W

(2.53)

La potencia entregada por la Fuente de Corriente Is es igual a la potencia
total disipada por las cinco resistencias.
En el circuito mostrado en la Figura 2.17, determinar el valor de la corriente
Ir y la potencia en cada elemento de la red.
Para hallar el voltaje sobre la resistencia del circuito, basta aplicar la Ley de
Kirchhoff de los Voltajes al lazo más externo:
Vr =V1 - V 4 = 2 V - (- 3 V) = 5 V
Vr
= 2,5 A
Y aplicando la Ley de Ohm: Ir =
2Ω

(2.54)
(2.55)

A continuación se pueden calcular las variables de la red. En el nodo B:
I4 =I3 - I r = 3 A - 2,5 A = 0,5 A

(2.56)

I1 =I2 +I3 - I r = 2 A + 3 A - 2,5 A = 2,5 A

(2.57)

En el nodo A:

Aplicando la Ley de Kirchhoff de los voltajes en el lazo inferior izquierdo se
obtiene:
V2 = V1= 2 V
Y al aplicar la misma Ley en el lazo inferior derecho se halla:
39

(2.58)

V3 =V2 - V 4 = 2 V - (- 3 V) = 5 V

(2.59)

Las potencias entregadas y disipadas en cada uno de los elementos de la red
son las siguientes:
P r = (2,5 A)2 x 2 Ω = 12,5 W

(2.60)

P V1 = 2 V x 2,5 A = 5 W

(2.61)

P I 2 = -2 A x 2 V = -4 W

(2.62)

P I 3 = -5 V x 3 A = -15 W

(2.63)

P V4 = -(-3 V) x 0,5 A = 1,5 W

(2.64)

Como en todos los ejemplos, la suma de las potencias recibidas (19W) es
igual a la suma de las potencias entregadas (-19 W). Este hecho no es una
coincidencia, sino la manifestación práctica de un caso particular del Teorema de
Tellegen, cuyo enunciado completo se encuentra en un Capítulo posterior.
La aplicación de este Teorema permite comprobar si los resultados obtenidos
al analizar un circuito eléctrico son los correctos, ya que si no se cumple que la
suma de las potencias entregadas es igual a la suma de las potencias recibidas, es
evidente que se cometió un error en la determinación de algunos de los voltajes o
corrientes del circuito.
40

2.5.- FUENTES NO IDEALES.
En el mundo real no es posible diseñar fuentes independientes de voltaje o
corriente que presenten las características v-i especificadas para las fuentes
ideales descritas en el punto 2.3. En los siguientes párrafos se va a analizar el
comportamiento de las Fuentes Independientes Reales.
2.5.1.- Fuentes de Voltaje Independientes Reales.
Cuando a una Fuente de Voltaje Independiente Real se le conecta una
resistencia de carga, a medida que aumenta la corriente que circula por dicha
resistencia, el voltaje entre los terminales de la fuente se reduce. Como ejemplo de
este fenómeno, la Tabla 2.2 presenta las mediciones realizadas en un circuito como
el mostrado en la Figura 2.18, cuando se varía la resistencia de carga desde R=∞
hasta 1 Ω .

Figura 2.18.- Fuente de Voltaje Real.

R
v
i
∞
10,0 V
0 mA
100 KΩ
10,0 V
0,10 mA
10 KΩ
9,99 V
1,00 mA
1 KΩ
9,90 V
9,90mA
100 Ω
9,09 V
90,91 mA
50 Ω
8,33 V
166,67 mA
20 Ω
6,67 V
333,33 mA
10 Ω
5,00 V
550,00 mA
1Ω
0,909 V
909,09 mA
Tabla 2.2.- Mediciones del voltaje y la corriente sobre la resistencia de carga de
una Fuente de Voltaje Real.
Evidentemente si la Fuente de Voltaje de 10V fuese ideal, al conectarle una
resistencia de 1Ω suministraría una corriente de 10A. Sin embargo la fuente bajo
análisis presenta una diferencia de potencial entre sus terminales de 0,909V
cuando se conecta una resistencia de 1Ω como carga y la corriente que circula por
dicha carga es de 909,09 mA.

41

Un modelo adecuado para representar el comportamiento de las Fuentes de
Voltaje Reales consiste en considerar que la fuente real está formada por una
fuente ideal y una resistencia en serie, tal como se muestra en la Figura 2.19.

Figura 2.19.- Modelo equivalente de una Fuente de Voltaje Real
Cuando no hay ninguna resistencia conectada entre los terminales de la
fuente, esto es, R=∞, no circula corriente por la resistencia interna del modelo
equivalente, Rs, y por lo tanto el voltaje medido entre los terminales de la fuente
real es el valor del voltaje de la fuente ideal Vi (10V para este ejemplo).
Al conectar resistencias de carga de valores específicos, se establece un
circuito por el que circula corriente, y según la Ley de Ohm, va a existir cierto
voltaje en la resistencia interna del modelo de la Fuente de Voltaje Real, cuya
magnitud va a depender del valor de la corriente que circule por el circuito, y por lo
tanto de la resistencia de carga conectada.
Para determinar el valor de la resistencia interna del modelo equivalente, R s,
se puede utilizar una cualquiera de las mediciones presentadas en la Tabla 2.2. Por
ejemplo, para la resistencia R=10Ω, el voltaje entre los terminales de la fuente es
de 5 V y la corriente medida en la carga es de 500 mA. Aplicando la LKV y la Ley de
Ohm se obtiene:
VR s =Vi - V R = 10 V - 5 V = 5 V
Rs =

VR s
i

=

5V
= 10Ω
500mA

(2.65)
(2.66)

Para cualquier otro par de valores de la Tabla 2.2, el resultado hubiera sido el
mismo. En resumen, la Fuente de Voltaje Real cuyas características se encuentran
en la Tabla 2.2 puede modelarse como una Fuente de Voltaje Ideal Vi de 10 V y una
resistencia interna R s de 10 Ω.
42

En general, para establecer el modelo equivalente de una Fuente de Voltaje
Real se tienen que efectuar dos mediciones entre los terminales de la misma, y
plantear un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Usualmente se procura que una de esas mediciones sea con una resistencia
de carga infinita o lo más grande posible, ya que esta medición arroja directamente
el valor del voltaje de la fuente ideal del modelo, y la segunda medición se realiza
con una carga que produzca una reducción de voltaje apreciable entre los
terminales de la fuente para tratar de minimizar los errores de apreciación,
siempre y cuando no se sobrepase la corriente máxima que puede suministrar la
fuente, (la cual debe conocerse previamente), ya que en caso contrario puede
dañarse el instrumento.
Si por alguna razón no se puede efectuar la medición con R=∞, dos
mediciones cualesquiera (v1,i 1 y v 2,i 2) proporcionan la información necesaria para
plantear el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a fin de determinar V i y
R s, tal como se indica a continuación:
 V =i x R + v
1
s
1
 i
 V i =i2 x R s + v 2

(2.67)

2.5.2.- Fuentes de Corriente Independientes Reales.
Cuando una Fuente de Corriente Independiente Real se conecta con una carga
resistiva, ocurre un fenómeno análogo al observado para las Fuentes de Voltaje
Reales. Como ejemplo de este fenómeno, la Tabla 2.3 presenta las mediciones
realizadas en un circuito como el mostrado en la Figura 2.20, cuando se varía la
resistencia de carga desde R=0 Ω hasta 100 KΩ .

Figura 2.20.- Fuente de Corriente Real.
Si la fuente de corriente de 10 mA fuese ideal, al conectarle una resistencia
de 100 KΩ el voltaje sobre la misma sería de 1000 V. Sin embargo la fuente bajo
análisis presenta una diferencia de potencial entre sus terminales de 90,9 V
cuando se conecta la resistencia de 100 KΩ como carga y por lo tanto la corriente
que circula por dicha carga es de 0,909 mA.

43

R
i
v
0Ω
10 mA
0 mV
1Ω
10 mA
10 mV
10 Ω
9,99 mA
99,9 mV
100 Ω
9,90 mA
990 mV
1 KΩ
9,09 mA
9,09 V
2 KΩ
8,33 mA
16,67 V
5 KΩ
6,67 mA
33,33 V
10 KΩ
5 mA
50 V
100 KΩ
0,91 mA
90,9 V
Tabla 2.3.- Mediciones del voltaje y la corriente sobre la resistencia de carga de
una Fuente de Corriente Real.
Un modelo adecuado para representar el comportamiento de las fuentes de
corriente reales consiste en considerar que la fuente real está formada por una
fuente ideal y una resistencia en paralelo, tal como se muestra en la Figura 2.21.

Figura 2.21.- Modelo equivalente de una Fuente de Corriente Real.
Cuando hay un cortocircuito conectado entre los terminales de la fuente,
esto es, R=0 Ω, no circula corriente por la resistencia interna del modelo
equivalente, Rp, y por lo tanto la corriente medida entre los terminales de la fuente
real es el valor de la corriente de la fuente ideal Ii (10 mA para este ejemplo).
Al conectar resistencias de carga de valores específicos, parte de la
corriente suministrada por la fuente va a circular por la resistencia del modelo
equivalente, R p, y la magnitud de dicha corriente va a depender del valor de la
resistencia de carga conectada.
Para determinar el valor de la resistencia interna del modelo equivalente, R p,
se puede utilizar una cualquiera de las mediciones presentadas en la Tabla 2.3. Por
ejemplo, para la resistencia R=10 KΩ, el voltaje entre los terminales de la fuente
es de 50 V y la corriente medida en la carga es de 5 mA. Aplicando la LKC y la Ley
de Ohm se obtiene:
44

IR p =Ii - I R = 10 mA - 5 mA = 5 mA
Rp =

VR p
IR p

=

50V
= 10 KΩ
5mA

(2.68)
(2.69)

Para cualquier otro par de valores de la Tabla 2.3, el resultado hubiera sido el
mismo. En resumen, la Fuente de Corriente Real cuyas características se
encuentran en la Tabla 2.3 puede modelarse como una Fuente de Corriente Ideal V i
de 10 mA y una resistencia interna Rp de 10 KΩ.
En general, para establecer el modelo equivalente de una Fuente de Corriente
Real se tienen que efectuar dos mediciones entre los terminales de la misma, y
plantear un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Usualmente se procura
que una de esas mediciones sea con una resistencia de carga cero o lo más
pequeña posible, ya que esta medición arroja directamente el valor del corriente de
la fuente ideal del modelo, y la segunda medición se realiza con una carga que
produzca una reducción de corriente apreciable entre los terminales de la fuente
para tratar de minimizar los errores de apreciación, siempre y cuando no se
sobrepase el voltaje máximo que puede suministrar la fuente, (el cual debe
conocerse previamente), ya que en caso contrario puede dañarse el instrumento.
Si por alguna razón no se puede efectuar la medición con R=0 Ω, dos mediciones
cualesquiera (v1,i 1 y v 2,i 2) proporcionan la información necesaria para plantear el
sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a fin de determinar I i y R p, tal como
se indica a continuación:







v1
+ i1
Rp
v2
+ i2
Ii =
Rp
Ii =

(2.70)

2.6.-EQUIVALENCIA ENTRE LOS MODELOS DE LAS FUENTES REALES.
Los dos modelos de fuentes reales analizados en el punto anterior pueden
intercambiarse
cuando se está realizando el análisis de una red para calcular las
variables de la red que no pertenecen al modelo propiamente dicho.
Para comprobar la veracidad de esta afirmación y determinar la relación
entre los parámetros de los dos circuitos equivalentes, se va a analizar el
comportamiento de dos redes idénticas, la primera de las cuales tiene como
alimentación una Fuente de Voltaje Real, modelada utilizando el circuito equivalente
formado por la Fuente de Voltaje Ideal y la resistencia en serie, y la segunda
45

alimentada por una Fuente de Corriente Real, cuyo modelo equivalente consta de
una Fuente de Corriente Ideal y una resistencia en paralelo, como se puede
observar en la Figura 2.22.

Figura 2.22.- Circuitos para establecer la equivalencia
entre las Fuentes Reales.
Dado que se desea determinar la equivalencia entre los dos modelos de las
fuentes reales, es necesario que las variables i o y v o, (y por lo tanto todas las
variables pertenecientes a cada una de las dos redes) sean iguales.
Aplicando la LKV en el Circuito 1 se obtiene:
Vi = io.R s + vo

(2.71)

Y aplicando la LKC en el Circuito 2 se obtiene:
Ii =

vo
+ io
Rp

(2.72)

Despejando vo de ambas relaciones se obtiene:
vo = V i - io x R s

(2.73)

v o = Ii x R p - i o x R p

(2.74)

Para que las variables i o y v o de las dos ecuaciones anteriores sean siempre
idénticas debe cumplirse:
Rs = Rp = Ri

(2.75)

V i = Ii x R i

(2.76)

De este análisis se puede concluir que durante el proceso de cálculo de las
variables de una red es posible sustituir el modelo equivalente de una Fuente de
46

Voltaje Real por el modelo equivalente de una Fuente de Corriente Real o viceversa,
siempre que los parámetros de los modelos estén relacionados mediante las
ecuaciones (2.75) y (2.76), sin que las variables de la red bajo estudio sufran
ninguna alteración. Como ejemplo, los dos circuitos de la Figura 2.23 son
totalmente equivalentes desde el punto de vista de las variables de la Red A.

Figura 2.23.- Ejemplo de equivalencia entre Fuentes Reales.
Es conveniente volver a resaltar que los modelos de las fuentes reales son
equivalentes, es decir, permiten obtener los mismos resultados durante el proceso
de cálculo de las variables de una red, cuando se desean determinar las variables
externas a dichos modelos, tales como i o y v o, pero deben manejarse con sumo
cuidado cuando se quieren calcular variables internas de los propios modelos,
como por ejemplo la corriente que circula por la resistencia interna, R i . En la Figura
2.24, la corriente que circula por la resistencia de 10 Ω del Circuito 1 es igual a
cero, mientras que la que circula por la resistencia de 10 Ω del Circuito 2 es igual a
0,5 A.

Figura 2.24.- Cálculos de potencia en los modelos equivalentes.
Si de las ecuaciones (2.73) y (2.74) se despeja la variable io se obtiene:
io =

Vi
vo
Ri
Ri

i o = Ii -

vo
Ri

47

(2.77)

(2.78)

Ambas ecuaciones representan una recta en el plano i-v, tal como se observa
en la Figura 2.25.

Figura 2.25.- Representación de una Fuente Real.
La gráfica de la Figura 2.25 puede utilizarse para determinar el voltaje que
aparece en los terminales de una Fuente de Voltaje Real de resistencia interna
conocida dado cualquier valor específico de la corriente de salida, o para
determinar la corriente suministrada por una Fuente de Corriente Real de
resistencia interna conocida dado cualquier valor específico del voltaje de salida.
2.7.- CONCEPTO DE EFICIENCIA.
La Eficiencia de un circuito se define como la relación porcentual entre la
Potencia de Salida, Ps, que por lo general es la potencia en la resistencia de carga,
y la Potencia de Entrada, P i , que es la potencia suministrada por la fuente
independiente. Se acostumbra a representar mediante la letra griega η.

η=

Ps
x 100%
Pi

(2.79)

En el circuito de la Figura 2.26, se pueden determinar las variables de la red
de la siguiente forma:

Figura 2.26.- Circuito para el cálculo de eficiencia.
48

V1 = If x R 1 = 5 A x 2 Ω = 10 V

(2.80)

V2 = If x R 2 = 5 A x 3 Ω = 15 V

(2.81)

Vf = V1 + V2 = 10 V + 15 V = 25 V

(2.82)

P 2 = If x V 2 = 5 A x 15 Ω = 75 W

(2.83)

P f = If x V f = 5 A x 25 V = 125 W

(2.84)

η=

P2
75W
x 100% =
x 100% = 60%
Pf
125W

(2.85)

2.8.- INTRODUCCION A LAS FUENTES DEPENDIENTES.
Las Fuentes Dependientes o fuentes controladas son fuentes de voltaje o de
corriente cuya magnitud depende del voltaje o la corriente existentes en otro
punto de la red donde están conectadas.
Hay cuatro tipos de Fuentes Dependientes:
-Fuente de Voltaje controlada por Voltaje.
-Fuente de Corriente controlada por Voltaje.
-Fuente de Voltaje controlada por Corriente.
-Fuente de Corriente controlada por Corriente.
Las Fuentes Dependientes se utilizan básicamente para representar
mediante un circuito equivalente el comportamiento de los elementos electrónicos
denominados activos .
En la Figura 2.27, la cual representa lo que se denomina el Modelo Híbrido π
de un transistor bipolar, se puede observar una Fuente de Corriente controlada por
Voltaje, mientras que en el circuito de la Figura 2.28, el cual corresponde al Modelo
de Parámetros Híbridos de la configuración Emisor Común de un transistor bipolar,
hay una Fuente de Voltaje controlada por Voltaje y una Fuente de Corriente
controlada por Corriente.
El parámetro que define la dependencia de la fuente puede tener unidades de
resistencia (Ohms) como en el caso de las Fuentes de Voltaje controladas por
Corriente, de conductancia (Siemens o Mhos) como en el caso de las Fuentes de
49

Corriente controladas por Voltaje, o ser adimensional, como en los dos casos
restantes.

Figura 2.27.- Modelo Híbrido π de un transistor bipolar.

Figura 2.28.- Modelo de Parámetros Híbridos de la
configuración Emisor Común de un transistor bipolar.
2.9.- CONEXION DE RESISTENCIAS. CONCEPTO DE RESISTENCIA EQUIVALENTE.
Hay dos formas básicas de conectar resistencias: En serie y en paralelo. En
los próximos párrafos se analiza cada uno de estos tipos de conexión y se
determina la resistencia equivalente correspondiente. Adicionalmente se va
analizar la configuración denominada Escalera y a definir la equivalencia entre dos
configuraciones clásicas: La Conexión Delta y la Conexión Estrella.
2.9.1.-Resistencias en serie.
Dos resistencias están conectadas en serie si se cumplen las dos condiciones
siguientes:
-Un terminal de cada elemento está conectado a un nodo común.
-No hay ningún otro elemento conectado a dicho nodo.
50

Cuando dos resistencias están conectadas en serie, como las mostradas en
la Figura 2.29, cumplen las siguientes propiedades:
-La corriente que circula por una de ellas es idéntica a la corriente que
circula por la otra.
-El voltaje total entre los terminales de la conexión en serie es igual a la
suma de los voltajes entre los terminales de cada una de las resistencias.

Figura 2.29.- Conexión de Resistencias en serie.
Tres o más resistencias se pueden conectar en serie aplicando las
condiciones expresadas anteriormente, tomando los elementos de dos en dos. Para
la conexión de tres o más resistencias en serie, se cumplen las dos propiedades
enunciadas anteriormente.
Cuando se tienen dos o más resistencias en serie, como se muestra en la
Figura 2.30.a, es posible sustituir ese arreglo por una resistencia equivalente
como la de la Figura 2.30.b, esto es, una resistencia que conectada en lugar del
arreglo, mantenga el mismo voltaje entre sus terminales y que por ella circule la
misma corriente que circulaba por el arreglo.

Figura 2.30.- Resistencia equivalente de un arreglo de resistencias
conectadas en serie.

51

Para determinar el valor de la resistencia equivalente del conjunto de
resistencias conectadas en serie es necesario aplicar la LKV y la ley de Ohm.
En el circuito de la Figura 2.30.a se cumple:
v0 = v1 + v2 + v3 = i0R 1 + i0R 2 + i0R 3 = i0(R 1 + R 2 +R 3)

(2.86)

Y en el circuito de la Figura 2.30.b se cumple:
v0 = i0R eq (2.87)
Por lo tanto el valor de la resistencia equivalente es:
R eq = R 1 + R 2 +R 3

(2.88)

Si hay n resistencias conectadas en serie, la expresión general de la
resistencia equivalente es:
R eq =

n

∑

Ri

(2.89)

i=1

El valor de una resistencia equivalente serie es siempre mayor que la
resistencia del componente de valor más elevado.
La potencia disipada por cada resistencia del arreglo está dada por la
siguiente expresión:
P R i = i02 R i
Por lo tanto la resistencia de mayor valor nominal disipa más potencia. La
potencia total disipada por el arreglo de resistencias en serie está dada por la
ecuación:
PRT =

n

∑

P Ri =

i=1

i02

n

∑

R i = i02 R eq

(2.90)

i=1

De esta relación se concluye que la potencia disipada por el arreglo de
resistencias en serie es igual a la disipada por la resistencia equivalente.
2.9.2.-Resistencias en Paralelo:
Se dice que dos resistencias están conectadas en paralelo si se cumplen las
dos condiciones siguientes:
52

-Un terminal de cada elemento esta conectado a un nodo común.
común.

-El segundo terminal de cada elemento esta conectado a otro nodo
Cuando dos resistencias están conectadas en paralelo, como las mostradas
en la Figura 2.31, cumplen las siguientes propiedades:
-El voltaje aplicado a cada una de ellas es el mismo.
-La corriente total del arreglo es igual a la suma de las corrientes que
circulan por cada resistencia.

Figura 2.31.- Conexión de Resistencias en paralelo.
Tres o más resistencias se pueden conectar en paralelo aplicando las
condiciones expresadas anteriormente. Para la conexión de tres o más
resistencias en paralelo, se cumplen las dos propiedades enunciadas
anteriormente.
Cuando se tienen dos o más resistencias en paralelo, como se muestra en la
Figura 2.32.a, es posible sustituir ese arreglo por una resistencia equivalente
como la de la Figura 2.32.b, esto es, una resistencia que conectada en lugar del
arreglo, mantenga el mismo voltaje entre sus terminales y que por ella circule la
misma corriente que circulaba por el arreglo.

Figura 2.32.- Resistencia equivalente de un arreglo de resistencias
conectadas en paralelo.
53

Para determinar el valor de la resistencia equivalente del conjunto de
resistencias conectadas en paralelo es necesario aplicar la LKC y la Ley de Ohm,
además de utilizar el concepto de conductancia.
En el circuito de la Figura 2.32.a se cumple:
i0 =

v0
v0
v0
1
1
1
= v0(
+
+
+
+
) = v0(G1 + G2 + G3)
R1
R2
R3
R1
R2
R3

(2.91)

Y en el circuito de la Figura 2.32.b se cumple:
i0 = v0Geq (2.92)
Por lo tanto el valor de la conductancia equivalente es:
Geq = G1 + G2 + G3

(2.93)

Si hay n resistencias conectadas en paralelo, la expresión general de la
conductancia equivalente es:
Geq =

n

∑

Gi

(2.94)

i=1

El valor de la conductancia equivalente de un arreglo de resistencias
conectadas en paralelo es siempre mayor que la conductancia del componente de
valor más elevado, por lo tanto la resistencia equivalente de dicho arreglo es menor
que la menor de las resistencias del arreglo.
Cuando solo hay dos resistencias conectadas en paralelo, la resistencia
equivalente puede calcularse utilizando la siguiente relación:
R eq =

1
1
1
+
R1
R2

=

1
R1 + R 2
R1 R2

=

R1 R2
R1 + R 2

(2.95)

Si el número de resistencias en paralelo es tres o más, es preferible utilizar
la expresión (2.94) para calcular la resistencia equivalente.
La potencia disipada por cada resistencia del arreglo está dada por la
P R i = v02 Gi = v02
54

1
Ri

(2.96)

Por lo tanto la resistencia de menor valor nominal disipa más potencia. La
potencia total disipada por el arreglo de resistencias en paralelo está dada por la
ecuación:
PRT =

n

∑

P Ri =

v02

n

∑

G i = i02 Geq

(2.97)

i=1

i=1

De esta relación se concluye que la potencia disipada por el arreglo de
resistencias en paralelo es igual a la disipada por la resistencia equivalente.
2.9.3.- Red Escalera.
La red escalera es una configuración frecuentemente utilizada en circuitos
eléctricos y electrónicos. Su estructura es la mostrada en la Figura 2.33.

Figura 2.33.- Red Escalera.
Para hallar la resistencia equivalente R eq se procede de la siguiente forma:Tal
como se puede observar en la Figura 2.33, la resistencia R 5 está en serie con la
resistencia R 6, por lo que se puede calcular la resistencia equivalente R eq1
mostrada en la Figura 3.34.a utilizando la expresión:
R eq1 = R 5 + R 6

(2.98)

Dicha resistencia equivalente está en paralelo con la resistencia R 4, por lo
tanto la resistencia equivalente R eq2 indicada en la Figura 2.34.b está dada por la
ecuación:
R eq2 =

R 4 R eq1
R 4 + R eq1
55

(2.99)

Figura 2.34.- Cálculo de la Resistencia equivalente de una Red Escalera.
Según se puede observar en la Figura 2.34.b, la resistencia Req2 está en serie
con la resistencia R 3, por lo tanto, la resistencia R eq3 mostrada en la Figura 2.34.c
está dada por la ecuación:
R eq3 = R 3 + R eq2

(2.100)

La resistencia R eq3 está en paralelo con R2, por lo que Req4 de la Figura 2.34.d
es igual a:

56

R eq4 =

R 2 R eq3
R 2 + R eq3

(2.101)

Finalmente, la resistencia equivalente total, mostrada en la Figura 2.34.e es
el equivalente de las resistencias R1 y R eq4 conectadas en serie, y por lo tanto está
dada por la ecuación:
R eq = R 1 + R eq4

(2.102)

2.9.4.- Transformaciones Delta - Estrella (∆ - Y) y Estrella - Delta (Y - ∆).
En numerosos circuitos eléctricos, (especialmente cuando se están
analizando sistemas que se identifican como trifásicos), aparecen con frecuencia
dos arreglos de resistencias, mostrados en la Figura 2.35, que se conocen como la
configuración Delta y la configuración Estrella o Y.

Figura 2.35.- Configuraciones Delta y Estrella.
Es posible determinar la relación de equivalencia entre ambas configuraciones
para sustituir una por otra según convenga cuando se está analizando un circuito.
Para establecer estas relaciones de equivalencia se procede de la siguiente forma:
Se considera que ambas configuraciones se encuentran conectadas en
sendos circuitos, cuyo efecto puede representarse mediante las fuentes de
corriente I 1, I 2 e I3, tal como se muestra en la Figura 2.36.
Las configuraciones serán equivalentes si al aplicarles el mismo tipo de
fuentes existe el mismo voltaje entre sus terminales.

57

Figura 2.36.- Circuitos para calcular la equivalencia entre las configuraciones.
A continuación se pueden escribir las siguientes relaciones:
El voltaje VA - VB cuando la fuente I3 está activa y las otras dos están
desconectadas, está dado por las siguientes ecuaciones:
Para la configuración Delta:
VA - V B = I3 (R 3 II (R 1 + R 2)) = I3

R 3 (R 1 + R 2)
R1 + R 2 + R 3

(2.103)

Para la configuración Estrella:
VA - V B = I3 (R A + R B)

(2.104)

De donde:
RA + RB =

R 3 (R 1 + R 2)
R1 + R 2 + R 3

(2.105)

Similarmente, el voltaje V B - V C cuando la fuente I 1 está activa y las otras
dos están desconectadas, está dado por las siguientes ecuaciones:

58

VB - V C = I1 (R 1 II (R 2 + R 3)) = I1

R 1 (R 2 + R 3)
R1 + R 2 + R 3

(2.106)

VB - V C = I1 (R B + R C)

(2.107)

De donde:
RB + RC =

R 1 (R 2 + R 3)
R1 + R 2 + R 3

(2.108)

Finalmente, el voltaje VC - V A cuando la fuente I 2 está activa y las otras dos
están desconectadas, está dado por las siguientes ecuaciones:
VC - V A = I2 (R 2 II (R 1 + R 3)) = I2

R 2 (R 1 + R 3)
R1 + R 2 + R 3

(2.109)

VC - V A = I2 (R A + R C)

(2.110)

De donde:
RA + RC =

R 2 (R 1 + R 3)
R1 + R 2 + R 3

(2.111)

Las ecuaciones (2.105), (2.108) y (2.111) constituyen un sistema de tres
ecuaciones que permite establecer las relaciones de las resistencias de la
configuración Estrella (R A , R B, R C) si se conocen las resistencias de la
configuración Delta (R1, R 2, R 3) o viceversa.
Para establecer las relaciones de las resistencias de la configuración Estrella
en función de las resistencias de la configuración Delta, se procede de la siguiente
manera:
Se escriben de nuevo las ecuaciones indicadas, multiplicando una de ellas,
(por ejemplo la segunda) por -1, con lo cual se obtiene el sistema de ecuaciones
mostrado a continuación:

59

 R

- R
 R


A
B

A

R 3 (R 1 + R 2)
R1 + R 2 + R 3
R 1 (R 2 + R 3)
- RC = R1 + R 2 + R 3
R 2 (R 1 + R 3)
+ RC =
R1 + R 2 + R 3
+ RB =

(2.112)

Sumando las tres ecuaciones del sistema planteado, se llega al siguiente
resultado:
R A +R B-R B-R C+R A +R C =

R 3R 1+R 3R 2-R 1R 2-R 1R 3+R 2R 1+R 2R 3
R1 + R 2 + R 3

(2.113)

De donde:
RA =

R1

R2 R3
+ R2 + R3

(2.114)

La expresión para R B se obtiene multiplicando por -1 la tercera ecuación del
sistema en lugar de la segunda, y sumando todas las ecuaciones. Dicha expresión
es:
RB =

R1

R1 R3
+ R2 + R3

(2.115)

Finalmente, la expresión para R C se obtiene multiplicando por -1 la primera
ecuación del sistema y sumando todas las ecuaciones. Dicha expresión es:
RC =

R1

R1 R2
+ R2 + R3

(2.116)

Como puede observarse, cada una de las resistencias de la configuración
Estrella puede calcularse como un cociente cuyo denominador es la suma de las
tres resistencias de la configuración Delta y cuyo numerador es igual al producto
de las dos resistencias de la configuración Delta que están conectadas al mismo
nodo que la resistencia de la configuración Estrella cuyo valor se desea determinar.
En resumen, para hallar la configuración equivalente Estrella si se conocen los
valores de las resistencias de la configuración Delta se aplica el siguiente conjunto
de ecuaciones:
RA =

R1

R2 R3
+ R2 + R3

RB =

R1

R1 R3
+ R2 + R3
60

RC =

R1

R1 R2
+ R2 + R3

(2.117)

Para establecer las relaciones de las resistencias de la configuración Delta
en función de las resistencias de la configuración Estrella, se procede de la
siguiente manera:
En primer lugar, se determina la sumatoria de productos ∆ definida de la
siguiente forma:
∆ = RA RB + RB RC + RC RA

(2.118)

Aplicando las expresiones de la ecuación 2.117 se obtiene:

∆=

R1 R2 R3 R3 + R 1 R2 R3 R1 + R 1 R2 R3 R2
(R 1 + R 2 +

R 3)2

=

R1 R2 R3
R1 + R 2 + R 3

(2.119)

Comparando esta expresión con la (2.114) se puede concluir:
∆ = RA R1
De donde:
R1 =

∆
RA

(2.120)

(2.121)

Comparando la expresión (2.120) con la (2.115) se concluye:
∆ = RB R2
De donde:
R2 =

∆
RB

(2.122)

(2.123)

Finalmente, comparando la expresión (2.120) con la (2.116) se concluye:
∆ = RC R3
De donde:
R3 =

∆
RC

(2.124)

(2.125)

Como puede observarse, cada una de las resistencias de la configuración
Delta puede calcularse como un cociente cuyo numerador es la suma de los
productos de las tres resistencias de la configuración Estrella tomadas dos a dos,
y cuyo denominador es igual a la resistencia de la configuración Estrella que no
está conectada a ninguno de los nodos entre los que se encuentra la resistencia de
61

la configuración Delta cuyo valor se desea determinar. En resumen, para hallar la
configuración equivalente Delta si se conocen los valores de las resistencias de la
configuración Estrella se aplica el siguiente conjunto de ecuaciones:
R1 =

R A R B+R BR C+R CR A
RA

R2 =

RB

R3 =

RC

(2.126)

2.10.- CONEXION DE FUENTES.
Una vez determinadas las conexiones de las Resistencias, se puede proceder
en forma similar con las Fuentes, tanto de Voltaje como de Corriente. En los
próximos párrafos se analizan las conexiones más frecuentes y se presenta el
Teorema de Traslación de Fuentes.
2.10.1.- Conexión Serie de Fuentes de Voltaje.
Al igual que en el caso de las Resistencias, dos Fuentes de Voltaje (ideales o
reales, dependientes o independientes) están conectadas en serie si se cumplen las
dos condiciones siguientes:
-Un terminal de cada Fuente está conectado a un nodo común.
Cuando dos o más Fuentes de Voltaje están conectadas en serie, como las
mostradas en la Figura 2.37.a, cumplen las siguientes propiedades:
-La corriente que circula por una de ellas es idéntica a la corriente que
circula por las otras.
-El voltaje total entre los terminales de la conexión en serie es igual a la
suma algebraica de los voltajes entre los terminales de cada una de las Fuentes de
Voltaje.
Debido a la segunda propiedad, el conjunto de Fuentes de Voltaje conectadas
en serie puede sustituirse por una Fuente de Voltaje equivalente, cuyo valor es
igual a la suma algebraica de las Fuentes pertenecientes al arreglo, tal como se
muestra en la Figura 2.37.b. En general, el valor de la Fuente de Voltaje equivalente
está dado por la expresión:
Veqs =

n

∑

Vi

i=1

62

(2.127)

Figura 2.37.- Conexión serie de Fuentes de Voltaje.
2.10.2.- Conexión Paralelo de Fuentes de Voltaje.
En forma similar a las Resistencias, se dice que dos Fuentes de Voltaje están
conectadas en paralelo si se cumplen las dos condiciones siguientes:
común.

-El segundo terminal de cada Fuente está conectado a otro nodo
Para este tipo de conexión hay que distinguir dos casos:
-Si las Fuentes de Voltaje son ideales, es decir su resistencia interna
es nula como en el ejemplo de la Figura 2.38.a, la conexión en paralelo sólo es
posible si se cumple:
V1 = V2

(2.128)

Si no se cumpliera esta relación, se tendría un circuito en el que el
voltaje V0 debería tener dos valores distintos simultáneamente, lo cual es
evidentemente imposible.
De lo anterior es posible concluir que dos o más Fuentes de Voltaje
ideales del mismo valor conectadas en paralelo se pueden sustituir por una sola
Fuente de Voltaje del valor correspondiente, y viceversa, esto es, una Fuente de
Voltaje ideal puede sustituirse por un arreglo de varias (tantas como se desee)
Fuentes de Voltaje ideales del mismo valor que la original, conectadas en paralelo.
63

Esta última propiedad es particularmente útil en el análisis del Teorema de
Traslación de Fuentes, que se discute en un punto posterior.

Figura 2.38.- Conexión paralelo de Fuentes de Voltaje.
-Si las Fuentes de Voltaje son reales, es decir su resistencia interna es
distinta de cero tal como se muestra en la Figura 2.38.b, al efectuar la conexión se
establece una corriente i, que es función de los valores de las Fuentes y de sus
respectivas resistencias internas, y el voltaje entre los terminales del arreglo está
dado por la siguiente expresión:
V0 =

V1 R 2 + V 2 R 1
R1 + R 2

(2.129)

2.10.3.- Conexión Paralelo de Fuentes de Corriente.
Al igual que para las Fuentes de Voltaje, se dice que dos Fuentes de Corriente
(ideales o reales, dependientes o independientes) están conectadas en paralelo si
se cumplen las dos condiciones siguientes:
común.

-El segundo terminal de cada Fuente está conectado a otro nodo
Cuando dos o más Fuentes de Corriente están conectadas en paralelo,
como las mostradas en la Figura 2.39.a, cumplen las siguientes propiedades:
-El voltaje entre los terminales de una de ellas es idéntico al voltaje
entre los terminales de las otras.
-La corriente total de la conexión en paralelo es igual a la suma
algebraica de las corrientes de cada una de las Fuentes de Corriente.
64

Debido a la segunda propiedad, el conjunto de Fuentes de Corriente
conectadas en paralelo puede sustituirse por una Fuente de Corriente equivalente,
cuyo valor es igual a la suma algebraica de las Fuentes pertenecientes al arreglo,
tal como se muestra en la Figura 2.39.b. En general, el valor de la Fuente de
Corriente equivalente está dado por la expresión:
Ieqp =

n

∑

Ii

(2.130)

i=1

Figura 2.39.- Conexión paralelo de Fuentes de Corriente.
2.10.4.- Conexión Serie de Fuentes de Corriente
Según la definición estandard, dos Fuentes de Corriente están conectadas en
serie si se cumplen las dos condiciones siguientes:
Para este tipo de conexión hay que distinguir dos casos:
-Si las Fuentes de Corriente son ideales, es decir su resistencia interna
es infinita como en el ejemplo de la Figura 2.40.a, la conexión en serie sólo es
posible si se cumple:
I1 = I2

65

(2.131)

Figura 2.40.- Conexión serie de Fuentes de Corriente.
Si no se cumpliera esta relación, se tendría un circuito en el que el la
corriente en una rama, i 0 debería tener dos valores distintos simultáneamente, lo
cual es evidentemente imposible.
De lo anterior es posible concluir que dos o más Fuentes de Corriente
ideales del mismo valor conectadas en serie se pueden sustituir por una sola
Fuente de Corriente del valor correspondiente, y viceversa, esto es, una Fuente de
Corriente ideal puede sustituirse por un arreglo de varias (tantas como se desee)
Fuentes de Corriente ideales del mismo valor que la original, conectadas en serie.
Esta última propiedad es particularmente útil en el análisis del Teorema de
Traslación de Fuentes, que se discute en un punto posterior.
-Si las Fuentes de Corriente son reales, es decir su resistencia interna
es distinta de infinito tal como se muestra en la Figura 2.40.b, al efectuar la
conexión se establece una corriente i0 , que es función de los valores de las
Fuentes y de sus respectivas resistencias internas, la cual está dada por la
i0 =

I1 R 1 + I 2 R 2
R1 + R 2

(2.132)

2.10.5.- Conexiones de Fuentes de Voltaje con Fuentes de Corriente.
En la Figura 2.41 puede observarse la conexión serie de una Fuente de Voltaje
y una Fuente de Corriente. Dada la definición de cada uno de estos tipos de
Fuentes, debe circular la corriente definida por la Fuente de Corriente en la rama
donde se encuentran ambos elementos, por lo que el circuito equivalente
correspondiente a este arreglo está constituido simplemente por la Fuente de
Corriente, tal como se puede observar en la Figura mencionada.

66

Figura 2.41.- Conexión serie de una Fuente de Voltaje
con una Fuente de Corriente.
Por su parte, la Figura 2.42 muestra la conexión paralelo de los dos tipos de
Fuentes. Nuevamente dada la definición de cada uno de dichos tipos, el voltaje
existente entre los terminales del arreglo debe ser igual al producido por la Fuente
de Voltaje, por lo que el circuito equivalente correspondiente a este arreglo está
constituido simplemente por la Fuente de Voltaje.

Figura 2.42.- Conexión paralelo de una Fuente de Voltaje
con una Fuente de Corriente.
Es conveniente recordar que estos circuitos equivalentes permiten calcular
todos los voltajes y corrientes del circuito excepto los correspondientes a las
Fuentes que sufrieron la modificación. Así por ejemplo, si una de las incógnitas de
un circuito dado es la potencia entregada por una Fuente de Voltaje y una Fuente
67

de Corriente conectadas en serie, se puede utilizar el equivalente formado
únicamente por la Fuente de Corriente para calcular todas las corrientes y voltajes
del circuito, pero una vez completados dichos cálculos, debe regresarse al circuito
original para poder determinar el verdadero voltaje entre los extremos de la Fuente
de Corriente y de esta manera calcular la potencia asociada con la misma.

2.11.- TEOREMA DE TRASLACION DE FUENTES: TEOREMA DE BLAKESLEY.
2.11.1.- Para Fuentes de Voltaje.
Se tiene una Fuente de Voltaje ideal entre dos nodos, sin ninguna resistencia
conectada en serie con la Fuente, y a uno de dichos nodos están conectadas varias
ramas, que pueden incluir cualquier tipo de componentes, tal como se muestra en
la Figura 2.43.a. El circuito es equivalente al que se obtiene cuando se desplaza la
Fuente a través del nodo hacia cada una de las otras ramas, quedando en serie con
cada uno de los componentes, según se puede observar en la Figura 2.43.b.

Figura 2.43.- Teorema de Traslación de Fuentes (Blakesley) para
Fuentes de Voltaje.
Para comprobar la validez de este Teorema, se pueden seguir los pasos
indicados en la Figura 2.44.

68

Figura 2.44.- Comprobación del Teorema de Traslación de Fuentes (Blakesley) para
Fuentes de Voltaje.
En primer lugar, la Fuente de Voltaje ideal se sustituye por tantas Fuentes de
Voltaje ideales del mismo valor conectadas en paralelo como el número de ramas
conectadas al nodo a través del cual se va a trasladar la Fuente de Voltaje. (Figura
2.44.a).
A continuación se conectan cables desde cada una de las ramas a cada una
de los nuevas Fuentes de Voltaje, según se observa en la Figura 2.44.b. La inclusión
69

de estas conexiones no modifica el circuito, porque cada uno de estos cables se
coloca entre dos puntos que se encuentran al mismo voltaje y en consecuencia no
circula ninguna corriente por las nuevas conexiones.
Como tercer paso se eliminan las conexiones entre ramas consecutivas, tal
como puede observarse en la Figura 2.44.c. Al realizar esta operación cada una de
las ramas queda conectada en serie con una de las Fuentes, lo cual es equivalente a
que la Fuente de Voltaje se traslade a través del nodo a cada una de las ramas
conectadas al mismo. De esta manera queda comprobado el Teorema de traslación
de Fuentes o Teorema de Blakesley para las Fuentes de Voltaje.
2.11.2.- Para Fuentes de Corriente.
Se tiene una Fuente de Corriente ideal en una rama, sin ninguna resistencia
conectada en paralelo con la Fuente, y entre los nodos de dicha rama están
conectadas otras ramas, que pueden incluir cualquier tipo de componentes, tal
como se muestra en la Figura 2.45.a. El circuito es equivalente al que se obtiene
cuando se desplaza la Fuente hacia cada una de las otras ramas, quedando en
paralelo con cada uno de los componentes, según se puede observar en la Figura
2.45.b.

Figura 2.45.- Teorema de Traslación de Fuentes (Blakesley) para
Fuentes de Corriente.
Al igual que en el caso anterior, para comprobar la validez de este Teorema,
se pueden seguir los pasos indicados en la Figura 2.46.
70

Figura 2.46.- Comprobación del Teorema de Traslación de Fuentes
(Blakesley) para Fuentes de Corriente.
En primer lugar, la Fuente de Corriente ideal se sustituye por tantas Fuentes
de Corriente ideales del mismo valor conectadas en serie como el número de ramas
conectadas entre los nodos donde se encuentra la Fuente de Corriente original.
(Figura 2.46.a).
A continuación se conectan cables desde cada una de las ramas a cada una
de los nuevas Fuentes de Corriente, según se observa en la Figura 2.46.b. La
inclusión de estas conexiones no modifica el circuito, porque cada uno de estos
cables se coloca partiendo de un nodo (A, B) en el que la corriente que entra
(proveniente de una de las nuevas Fuentes de Corriente) es igual a la corriente que
sale (correspondiente a otra de las Nuevas Fuentes con el mismo valor) y en
consecuencia no circula ninguna corriente por las nuevas conexiones. Al realizar
esta operación cada una de las ramas queda conectada en paralelo con una de las
Fuentes, lo cual es equivalente a que la Fuente de Corriente se traslade para
colocarse en paralelo con cada una de las ramas conectadas entre los nodos donde
se encontraba originalmente conectada la Fuente de Corriente. De esta manera
queda comprobado el Teorema de traslación de Fuentes o Teorema de Blakesley
para las Fuentes de Corriente.
Al aplicar este Teorema en cualquiera de sus dos casos es conveniente tener
presentes los siguientes puntos:
- El Teorema es válido tanto para fuentes independientes como
dependientes.
71

- Los circuitos equivalentes definidos por el Teorema, permiten calcular
todas las variables del circuito excepto las que están relacionadas con la Fuente
que sufrió la traslación. Así por ejemplo, si se desea conocer la potencia entregada
por una Fuente que ha sufrido una traslación, una vez que se han determinado las
corrientes y voltajes en el resto del circuito debe regresarse al circuito original
para calcular el verdadero voltaje entre los terminales de la Fuente de Corriente, o
la verdadera corriente que circula por la Fuente de Voltaje a fin de poder calcular la
potencia asociada con cada Fuente.
2.12.- CIRCUITOS SIMPLES: EL DIVISOR DE VOLTAJE Y DE CORRIENTE.
2.12.1.- El Divisor de Voltaje.
El
Voltaje.

circuito mostrado en la Figura 2.47 recibe el nombre de Divisor

de

Figura 2.47.- Divisor de Voltaje.
En dicho circuito se cumplen las siguientes relaciones:
R eq = R 1 + R 2
i=

(2.133)

V
V
=
R eq
R1 + R 2

(2.134)

V1 = R 1. i = R1

R1
V
=
V
R eq
R1 + R 2

(2.135)

V2 = R 2. i = R2

R2
V
=
V
R eq
R1 + R 2

(2.136)

Como se puede observar, en este circuito el voltaje V 1 es proporcional a R 1
mientras que V 2 es proporcional a R 2, siendo la constante de proporcionalidad la
relación V/ Req.
Así mismo, las relaciones (2.135) y (2.136) pueden interpretarse de la
siguiente forma: El voltaje sobre cada uno de los componentes pasivos del circuito,
72

(V1 y V 2), es una fracción del voltaje total V, que depende de los valores de los
componentes del circuito y es directamente proporcional al valor del componente
respectivo del divisor de voltaje.
Este tipo de relación permite calcular el voltaje existente entre los
terminales de un componente directamente, sin necesidad de realizar cálculos
adicionales de la corriente que circula por el circuito o la resistencia equivalente
total. Así por ejemplo, en el circuito de la Figura 2.48, el voltaje V0 está dado por la

Figura 2.48.- Ejemplo de Divisor de Voltaje
V0 =

5KΩ
16V = 10V.
5kΩ+3kΩ

(2.137)

2.12.2.- El Divisor de Corriente.
El circuito mostrado en la Figura 2.49 recibe el nombre de Divisor
Corriente.

de

Figura 2.49.- Divisor de Corriente.
En dicho circuito se cumplen las siguientes relaciones:
R eq =

R1 R 2
R1 + R 2
R1 R 2
R1 + R 2

(2.139)

I R eq
R2
V
=
=
I
R1
R1
R1 + R 2

(2.140)

V = I Req = I

I1 =

(2.138)

73

I2 =

I R eq
R1
V
=
=
I
R2
R2
R1 + R 2

(2.141)

Como se puede observar, en este circuito la corriente I1 es inversamente
proporcional a R 1 mientras que I2 es inversamente proporcional a R 2, siendo la
constante de proporcionalidad la relación I Req.
Así mismo, las relaciones (2.140) y (2.41) pueden interpretarse de la
siguiente forma: La corriente en cada uno de los componentes pasivos del circuito
es una fracción de la corriente total I, que depende de los valores de los
componentes del circuito y es directamente proporcional al valor del otro
componente del divisor de corriente.
Este tipo de relación permite calcular la corriente que circula por un
componente directamente, sin necesidad de realizar cálculos adicionales del voltaje
entre los terminales del circuito o la resistencia equivalente total. Así por ejemplo,
en el circuito de la Figura 2.50, la corriente I0 está dada por la siguiente expresión:

Figura 2.50.- Ejemplo de Divisor de Corriente

I0 =

4KΩ
10mA = 8mA.
4kΩ+1kΩ

(2.142)

2.13.- APLICACIONES DE LOS CONCEPTOS DE DIVISOR DE VOLTAJE Y DIVISOR
DE CORRIENTE: LOS INSTRUMENTOS DE MEDICION ANALOGICOS.
2.13.1.- Introducción.
Los instrumentos de medición analógicos básicos, el amperímetro y el
voltímetro, son ejemplos clásicos de la aplicación directa de los conceptos del
Divisor de Corriente y el Divisor de Voltaje respectivamente, mientras que el
estudio de un tercer tipo de instrumento, el óhmetro, permite aplicar varios de los
conceptos presentados en los puntos anteriores.
Actualmente hay muchos instrumentos de medición con presentación digital,
esto es, con una pantalla en la que se pueden leer los números correspondientes a
74

la medición que se está efectuando, incluyendo las unidades adecuadas, pero los
instrumentos analógicos de deflexión de agujas se siguen utilizando en
innumerables sistemas.
Los instrumentos de deflexión de aguja se basan en la utilización de un
dispositivo conocido como Galvanómetro de DÁrsonval
. Como primer paso en
el estudio de los instrumentos de medición analógicos es necesario analizar las
características de dicho dispositivo.
2.13.2.- El Galvanómetro de DÁrsonval.
La operación de este dispositivo se basa en la interacción de una corriente
eléctrica y un campo magnético. La Figura 2.51 presenta el esquema básico del
dispositivo. Los elementos básicos del Galvanómetro de DÁrsonval son:

Figura 2.51.- Galvanómetro de D'Arsonval
-Una bobina móvil, a través de la cual circula la corriente proporcional a
la magnitud de la variable que se está midiendo.
-Un imán permanente, que produce un campo magnético fijo.
-Una aguja indicadora sujeta a la bobina móvil y una escala graduada que
permite realizar la lectura de la variable bajo medición.
-Un resorte, que compensa el movimiento de la bobina móvil.
La bobina móvil se encuentra en el campo magnético fijo producido por el
imán permanente. Al circular la corriente I a través de la bobina, se produce un
campo magnético que interacciona con el producido por el imán permanente,
originando una fuerza F la cual da lugar a un torque que hace girar la bobina en un
sentido determinado. El movimiento de la bobina se encuentra regulado por el
75

resorte. Una vez definidas las magnitudes del campo magnético B, la constante del
resorte y la geometría más adecuada para que el comportamiento del dispositivo
sea lo más lineal posible, el ángulo que gira la bobina móvil y, por lo tanto la aguja
indicadora, es proporcional a la corriente I que circula por el galvanómetro.
La separación angular que existe entre el mínimo y el máximo de la escala del
galvanómetro es generalmente de 90° o un poco menos.
La posición de reposo de la aguja puede encontrarse en el centro de la escala
( lo cual permite medir corrientes negativas y positivas) o en el extremo izquierdo
(con lo cual el instrumento solo puede medir corrientes que tienen la dirección
definida como positiva). Esta configuración es la más frecuente.
La corriente máxima que puede circular por un galvanómetro depende del
diseño del mismo, pero generalmente es del orden de las decenas o cientos de
microamperios (µA). Por lo tanto el Galvanómetro de D'Arsonval es un dispositivo
capaz de medir solamente corrientes eléctricas de muy baja intensidad. Sin
embargo la mayor parte de los instrumentos de medición analógicos (amperímetros
DC y AC, voltímetros DC y AC, óhmetros, medidores de temperatura, presión,
etc.), utilizan este dispositivo como el elemento de presentación. En los próximos
puntos se analiza la forma de construir amperímetros DC, voltímetros DC y
óhmetros a partir del Galvanómetro de D´Arsonval.

2.13.3.-Diseño de un Amperímetro DC.
Un Amperímetro es un instrumento para medir corriente, y por lo tanto se
debe conectar en serie con el elemento al cual se le quiere medir la corriente que
circula por él. Así por ejemplo, para medir la corriente que circula por la resistencia
R 2 del circuito de la Figura 2.52.a, es necesario conectar el amperímetro en serie
con la misma, tal como se muestra en la Figura 2.52 b.
Un Amperímetro Ideal es un instrumento que mide la corriente que fluye a
través del mismo mientras que la caída de voltaje entre sus terminales es cero, o
en otras palabras, su resistencia interna es nula. Como es sabido, no hay
dispositivos ideales en el mundo real. El Galvanómetro de D´Arsonval es un
amperímetro que permite medir corrientes pequeñas, pero la resistencia de la
bobina nunca es nula, y por lo tanto este instrumento presenta una resistencia
interna específica, que se va a identificar como R g.

76

Figura 2.52.- Conexión de un Amperímetro DC.
Para aumentar la capacidad de medir corriente de un Galvanómetro de
D´Arsonval y convertirlo en un amperímetro de varias escalas se utiliza el principio
del Divisor de Corriente.
Si se quiere medir una corriente I, la cual es mucho mayor que la máxima
corriente que puede circular por el Galvanómetro, I m, se usa el arreglo presentado
en la Figura 2.53.

Figura 2.53.- Aplicación del principio del Divisor de Corriente
para diseñar a partir de un Galvanómetro de D'Arsonval un
Amperímetro DC de mayor escala.
La corriente I se divide en el nodo A; una parte de ella circula por el
galvanómetro, deflectando la aguja y la otra parte por la resistencia R. El valor de
R y la calibración de la escala se calculan para que la lectura sobre dicha escala se
corresponda con el verdadero valor de I. Aplicando el principio del Divisor de
Corriente al circuito de la Figura 2.53 se tiene:
ig =

R
I
R+Rg

(2.143)

Así por ejemplo, se dispone de un Galvanómetro de D'Arsonval cuya corriente
máxima, I m, es igual a 100 µA y cuya resistencia interna es de 10kΩ, y se desea
77

utilizarlo para medir una corriente que está alrededor de los 750 mA. La escala del
Galvanómetro cuenta con 10 divisiones, cada una de las cuales corresponde a
10µA. Al diseñar el Amperímetro que se necesita para realizar la medición, es
conveniente asignar como corriente máxima del nuevo instrumento un valor que
permita realizar una conversión cómoda y rápida de la escala, como por ejemplo,
1000 mA, o lo que es lo mismo, 1 A. Esto significa que cuando la corriente I sea de
1A, por el Galvanómetro circulará la corriente máxima de 100 µA. Dado que la
resistencia interna del Galvanómetro es conocida, estos datos permiten utilizar la
ecuación (2.143) para determinar el valor de la resistencia R que debe conectarse
en paralelo con el Galvanómetro. Así:
100 µA =

R
R+10kΩ

1A

(2.144)

De donde se puede deducir que R debe ser aproximadamente 1 Ω. La
resistencia interna del nuevo instrumento está dada por el paralelo de R con R g, por
lo tanto es aproximadamente igual a 1Ω. Cada una de las divisiones de la escala
corresponde ahora a 100 mA. Por lo tanto, cuando circulan 750 mA por el nuevo
Amperímetro DC, por el galvanómetro pasará una corriente dada por la siguiente
expresión:
ig =

1Ω
1
750 mA ≈
750 mA = 75 µA
1Ω+10kΩ
10000

(2.145)

Esto significa que la aguja deflecta siete divisiones y media y en consecuencia
la lectura del instrumento es de 750 mA.
Para diseñar un Amperímetro DC con varias escalas es necesario conectar
en paralelo las distintas resistencias calculadas siguiendo el procedimiento
indicado. Así por ejemplo, la Tabla 2.4 presenta las resistencias que es necesario
conectar en paralelo con el Galvanómetro especificado para tener un Amperímetro
DC cuyas escalas sean 100 µA, 1mA, 10 mA, 100 mA y 1 A, y la resistencia
interna del nuevo instrumento para cada uno de los casos. Una vez calculadas las
resistencias, es necesario determinar la potencia máxima que va a disipar cada una
de ellas para poder seleccionar los componentes adecuados. La Tabla 2.4 incluye
también esta información, de la cual se puede deducir que todas las resistencias
pueden ser de 0,5 W excepto la de 1Ω, que debe ser de 2W.
Es conveniente conocer la resistencia interna de un Amperímetro antes de
conectarlo en serie con un circuito para realizar la medición de corriente, ya que si
dicha resistencia interna no es pequeña comparada con la resistencia de la rama
donde se conecta el instrumento, la inclusión del mismo altera considerablemente
el circuito y desvirtúa la medición.

78

ESCALA
100 µA
1 mA
10 mA
100 mA
1A

Valor de R
1,1 kΩ
100 Ω
10 Ω
1Ω

R i Amperímetro
10 kΩ
1 kΩ
100 Ω
10 Ω
1Ω

Potencia de R
1 mW
10 mW
100 mW
1W

Tabla 2.4.- Valores de R para diseñar un Amperímetro DC de 5 escalas
con un Galvanómetro de D'Arsonval de 100 µA y 10 KΩ.
2.13.4.-Diseño de un Voltímetro DC.
Un Voltímetro es un instrumento para medir voltaje, y por lo tanto se debe
conectar en paralelo con el elemento al cual se le quiere medir el voltaje existente
entre sus terminales. Así por ejemplo, para medir el voltaje en la resistencia R 2 del
circuito de la Figura 2.54.a, es necesario conectar el voltímetro en paralelo con la
misma, tal como se muestra en la Figura 2.54 b.

Figura 2.54.- Conexión de un Voltímetro DC.
Un Voltímetro Ideal es un instrumento que mide el voltaje entre dos
terminales mientras que la corriente que circula por él es cero, o en otras
palabras, su resistencia interna es infinita. Tal como se comentó anteriormente, no
hay dispositivos ideales en el mundo real. El Galvanómetro de D´Arsonval por su
parte es un instrumento que permite medir corrientes pequeñas. ¿Qué hacer para
convertirlo en Voltímetro? Ya se expresó previamente que la resistencia de la
bobina nunca es nula, y por lo tanto cuando circula corriente por el Galvanómetro
existe un voltaje entre sus terminales, el cual es directamente proporcional a la
corriente que circula por el instrumento. Si el Galvanómetro se conecta en paralelo
con el elemento sobre el que se quiere medir el voltaje, la corriente que circule por
él producirá una deflexión de la aguja proporcional al voltaje entre sus terminales,
por lo que se puede calibrar la escala para leer directamente el voltaje entre los
79

extremos del instrumento. Ahora bien, si la resistencia interna es R g y la corriente
máxima es Im, el máximo voltaje entre sus terminales está dado por el producto V m
= R g Im.
Para aumentar la capacidad de medir voltaje de un Galvanómetro de
D´Arsonval y convertirlo en un voltímetro de varias escalas se utiliza el principio
del Divisor de Voltaje.
Si se quiere medir un voltaje V, el cual es mucho mayor que el máximo voltaje
que puede aplicarse entre los extremos del Galvanómetro, V m, se usa el arreglo
presentado en la Figura 2.55.

Figura 2.55.- Aplicación del principio del Divisor de Voltaje
para diseñar a partir de un Galvanómetro de D'Arsonval un
Voltímetro DC de mayor escala.
El voltaje V aplicado entre los terminales del arreglo hace que circule una
corriente I g que debe ser menor o igual que la máxima corriente que puede circular
por el Galvanómetro, Im, y que va a producir una deflexión de la aguja del
Galvanómetro proporcional al voltaje total aplicado, V. Si se quiere que para un
valor específico de V en el Galvanómetro se produzca la máxima deflexión, lo cual
significa que el voltaje entre los terminales del mismo es Vm, el valor de la
resistencia R se calcula aplicando el principio del Divisor de Voltaje al circuito de la
Figura 2.55:
Vm =

Rg
V
R+Rg

(2.146)

Así por ejemplo, se dispone del Galvanómetro de D'Arsonval especificado
anteriormente, cuya corriente máxima, I m, es igual a 100 µA y cuya resistencia
80

interna es de 10kΩ, y se desea utilizarlo para medir un voltaje que está alrededor
de los 75 V. La escala del Galvanómetro cuenta con 10 divisiones, cada una de las
cuales corresponde a 10µA. Al diseñar el Voltímetro que se necesita para realizar
la medición, es conveniente asignar como voltaje máximo del nuevo instrumento un
valor que permita realizar una conversión cómoda y rápida de la escala, como por
ejemplo, 100 V. Esto significa que cuando el voltaje aplicado sea de 100 V, por el
Galvanómetro circulará la corriente máxima de 100 µA, y el voltaje entre los
terminales del dispositivo será de 1 V. Dado que la resistencia interna del
Galvanómetro es conocida, estos datos permiten utilizar la ecuación (2.146) para
determinar el valor de la resistencia R que debe conectarse en serie con el
Galvanómetro. Así:
1V=

10kΩ
R+10kΩ

100 V

(2.147)

De donde se puede deducir que R debe ser 990 KΩ. La resistencia interna del
nuevo instrumento está dada por la suma de R con Rg, por lo tanto es igual a 1000
KΩ ó 1 MΩ. Cada una de las divisiones de la escala corresponde ahora a 10 V. Por
lo tanto, cuando el voltaje aplicado al nuevo Voltímetro DC es de 75 V, el
galvanómetro
tendrá entre sus terminales un voltaje dado por la siguiente
expresión:
Vg =

10 KΩ
990 KΩ+10 KΩ

75 V = 0,75 V

(2.148)

En consecuencia, la corriente que circula por el Galvanómetro es igual a:
Ig =

0.75 V
= 75 µA
10 KΩ

(2.149)

Esto significa que la aguja deflecta siete divisiones y media y por lo tanto la
lectura del instrumento es de 75 V.
Para diseñar un Voltímetro DC con varias escalas es necesario conectar en
serie con el dispositivo las distintas resistencias calculadas siguiendo el
procedimiento indicado. Así por ejemplo, la Tabla 2.5 presenta las resistencias que
es necesario conectar en serie con el Galvanómetro especificado para tener un
Voltímetro DC cuyas escalas sean 1 V, 10 V, 100 V y 1000 V, así como la
resistencia interna del nuevo instrumento para cada uno de los casos. Una vez
calculadas las resistencias, es necesario determinar la potencia máxima que va a
disipar cada una de ellas para poder seleccionar los componentes adecuados. La
Tabla 2.5 incluye también esta información, de la cual se puede deducir que todas
las resistencias pueden ser de 0,5 W.

81

ESCALA
1V
10 V
100 V
1000 V

Valor de R
90 KΩ
990 KΩ
9990 KΩ

R i Voltímetro
10 KΩ
100 KΩ
1000 KΩ
10000 KΩ

Potencia de R
0,9 mW
9,9 mW
99,9 mW

Tabla 2.5.- Valores de R para diseñar un Voltímetro DC de 4 escalas
con un Galvanómetro de D'Arsonval de 100 µA y 10 KΩ.
Es conveniente conocer la resistencia interna de un Voltímetro antes de
conectarlo en paralelo con un circuito para realizar la medición de voltaje, ya que si
dicha resistencia interna no es grande comparada con la resistencia de la rama
donde se conecta el instrumento, la inclusión del mismo altera considerablemente
el circuito y desvirtúa la medición. Para ello los fabricantes de voltímetros
acostumbran a especificar el parámetro conocido como característica
ohmios/voltio
del instrumento , la cual se define como la relación entre la
resistencia total del voltímetro y el voltaje máximo que puede aplicarse para una
escala determinada, esto es:
R
Ω
= i
V
VT

(2.150)

Si se aplica esta definición al Galvanómetro básico, se puede deducir que la
característica ohmios/voltio del instrumento es igual al inverso de la corriente
máxima que puede circular por el dispositivo, ya que se cumple:
Ω
Rg
1
=
=
V
Vm
Im

(2.151)

Si el fabricante proporciona la característica ohmios/voltio del instrumento,
se puede calcular la resistencia interna correspondiente a cada escala
multiplicando dicha característica por el voltaje máximo de la escala. Así por
ejemplo, el voltímetro diseñado con el Galvanómetro especificado anteriormente
tiene una característica ohmios/voltio igual a:
Rg
1
KΩ
=
= 10
Vm
Im
V

(2.152)

Por lo tanto, la resistencia en la interna del voltímetro en la escala de 10 V
es igual a:
10

KΩ
x 10 V = 100 KΩ
V
82

(2.153)

Este valor se puede constatar en la Tabla 2.5. Para calcular la resistencia
interna correspondiente a cualquiera de las otras escalas se procede en forma
similar.
2.13.5.-Diseño de un Ohmetro.
Las resistencias son elementos pasivos, por lo tanto para medir la magnitud
del parámetro que las caracteriza hace falta contar con un elemento activo que le
suministre energía al circuito en el que se va a conectar la resistencia bajo
medición, y por el que debe circular una corriente capaz de producir en el
Galvanómetro una deflexión que esté relacionada con la cantidad que se quiere
medir.
2.56.

El circuito básico de un óhmetro de una escala es el mostrado en la Figura

Figura 2.56.- Circuito básico de un óhmetro.
Usualmente la batería V es una pila comercial de 1,5 V. Cuando R med es igual
a infinito, no circula corriente por el circuito, por lo tanto el extremo izquierdo de
la escala del óhmetro corresponde a Rmed = ∞. Por otra parte cuando R med es igual
a cero, por el circuito va a pasar la máxima corriente que puede soportar el
Galvanómetro, por lo que el extremo derecho corresponde a R med = 0. Esta es la
condición que debe tomarse en cuenta para determinar el valor de R. Por lo tanto:
V = Im (R + Rg )

(2.154)

Si se cuenta con una pila comercial de 1,5 V y se dispone del Galvanómetro
de D'Arsonval definido anteriormente (Rg = 10 KΩ, I m = 100 µA), puede diseñarse
un óhmetro básico de una sola escala cuya resistencia R se calcula de la siguiente
manera:
83

1,5V = 100 µA (R + 10KΩ)

(2.155)

De esta ecuación se obtiene R = 5 KΩ. El resto de la escala puede calcularse
teóricamente, relacionando la corriente que va a pasar por el circuito con el valor
de R med correspondiente. La tabla 2.6 muestra la relación entre la escala del
Ohmetro básico y la del Galvanómetro de D'Arsonval.
ESCALA DEL
ESCALA DEL
OHMETRO
GALVANOMETRO
1 KΩ
93,7 µA
2 KΩ
88,2 µA
5 KΩ
75,0 µA
10 KΩ
60,0 µA
20 KΩ
42,9 µA
50 KΩ
23,1 µA
100 KΩ
13,0 µA
200 KΩ
6,98 µA
500 KΩ
2,91 µA
1000 KΩ
1,48 µA
TABLA 2.6.- Relación entre la escala del óhmetro básico y la
del Galvanómetro de D'Arsonval.
Con un diseño de este estilo, la escala del óhmetro es única, tal como se
mencionó anteriormente. Esto se debe a que en el circuito hay una sola incógnita
(R) y por lo tanto se le puede imponer una sola condición ( corriente máxima cuando
R med = 0).
Si se quiere tener un óhmetro con varias escalas que permitan realizar las
mediciones dentro de un rango donde el instrumento presente la mayor sensibilidad
posible dependiendo del valor de la resistencia bajo medición, es necesario disponer
de un circuito que tenga dos incógnitas para poder imponer dos condiciones. Una de
dichas condiciones debe ser siempre la utilizada en el diseño realizado, esto es, que
la corriente es máxima cuando R med = 0. La segunda condición es la que define el
rango del instrumento. Por ejemplo, la resistencia correspondiente a la mitad de la
escala del Galvanómetro (Rm) es Rmed = R m = 1 KΩ.
Hay dos configuraciones posibles para contar con un circuito con dos
incógnitas, cuyos circuitos pueden observarse en la Figura 2.57.

84

Figura 2.57.- Configuraciones para un óhmetro de varias escalas.
Con la primera configuración, el valor de la resistencia que se le puede
asignar a la posición de media escala del óhmetro (R m) es siempre mayor que la
resistencia interna del Galvanómetro, ya que como se verá posteriormente, en
caso contrario el valor de R resultaría negativo, mientras que con la segunda
configuración, a Rm se le pueden asignar valores tanto mayores como menores que
la resistencia interna del dispositivo, dentro de los límites que se van a determinar
durante el análisis de dicha configuración. A continuación se presenta el análisis
correspondiente a cada una de las configuraciones.
85

2.13.5.1.-Diseño de un Ohmetro de valor a media escala específico utilizando
la primera configuración.
Como puede observarse en la Figura 2.57.a, el circuito de la primera
configuración puede reducirse a un circuito equivalente que contiene los elementos
Veq y R eq. La razón para definir un circuito como el original y su equivalente es la
siguiente: A partir del circuito equivalente se puede establecer un sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas (Veq y R eq) que satisfaga las dos condiciones de
diseño indicadas anteriormente. Ahora bien, es relativamente sencillo escoger una
resistencia comercial cuyo valor se aproxime al valor de R eq que resulte de este
análisis matemático, pero las pilas comerciales presentan un rango muy restringido
de valores, y para este tipo de diseño solo se puede contar con pilas de 1,5 V, de
las que se pueden usar una o varias en serie, según convenga. Por lo tanto para
poder ajustar el circuito real al valor del voltaje V eq obtenido al resolver el sistema
de ecuaciones, es necesario seleccionar un valor de voltaje V (correspondiente al
valor de las pilas) que sea mayor que V eq y calcular un divisor de voltaje de tal
forma que entre los terminales de la resistencia R 2 exista el voltaje
correspondiente para obtener el Veq deseado. La relación existente entre los
valores V eq y R eq y los elementos del circuito original se tratará formalmente en un
capítulo posterior cuando se analice el Teorema de Thévenin. Durante el presente
análisis se van a establecer unas relaciones aproximadas entre V eq y R eq por una
parte y los valores de R1, R 2 y R por otra.
A partir del circuito equivalente de la primera configuración se puede escribir
un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, imponiendo las condiciones antes
mencionadas. Así, cuando R med = 0, por el circuito debe circular la corriente
máxima permitida por el Galvanómetro y cuando R med = R m, la corriente debe ser
igual a la mitad de dicha corriente máxima. Por lo tanto :
Veq = ( R eq + R g) I max


Imax
Veq = ( R eq + R g + R m)

2

(2.156)

Despejando los valores de Req y V eq se obtiene:
R eq = R m - Rg

(2.157)

Veq = R m Imax

(2.158)

De la ecuación (2.157) se concluye que la resistencia que se tiene que
seleccionar como lectura de media escala (R m) debe ser mayor que la resistencia
interna del Galvanómetro (Rg) tal como se había mencionado anteriormente, ya que
86

en caso contrario la resistencia R eq tendría un valor negativo, lo cual no es
físicamente posible.
Una vez determinados los valores de Req y V eq es necesario hallar los valores
de R, R 1 y R 2, ya que éstos son los verdaderos componentes del circuito del
óhmetro correspondiente a la primera configuración.
Analizando cuidadosamente el circuito original se observa que la corriente
que va a circular por el lazo de la derecha va a depender de la resistencia R med que
se esté midiendo, y que en principio, estas variaciones van a tener influencia sobre
el voltaje existente entre los terminales de la resistencia R 2. Ahora bien, si los
valores de las corrientes que van a circular por el lazo donde se encuentra el
Galvanómetro (Ig) son mucho menores que la corriente que circula por la fuente V y
la resistencia R 1 (IR ), puede considerarse que la corriente por R 2 es prácticamente
igual a la de R1 y por lo tanto el voltaje sobre R2 es independiente de las variaciones
de Ig. La condición que debe imponerse para que la aproximación anterior sea válida
es que la corriente IR sea mucho mayor que Imax . Un criterio adecuado es
seleccionar I R 100 veces mayor que I max , pero si los valores de R 1 y R 2 calculados
con este criterio no resultan convenientes, puede probarse con otras relaciones
(80, 50, 20, etc). Al aplicar este criterio, el valor de la resistencia R es igual a R eq.
Por lo tanto para concluir el diseño solo falta determinar los valores de R 1 y R 2.
Dichos valores pueden calcularse planteando el siguiente sistema de ecuaciones:
R2
Veq = V

R1 + R 2

IT = 1 0 0 I max =

R1

V
+ R2

(2.159)

En este sistema de ecuaciones V es el valor de la pila comercial que se va a
utilizar en el instrumento, y debe ser por supuesto mayor que V eq. Por lo tanto si
Veq es menor que 1,5V, se escoge una sola pila de este valor; si Veq está
comprendido entre 1,5V y 3V, es necesario utilizar dos pilas comerciales
conectadas en serie, y así sucesivamente. Una vez seleccionado el valor de V, se
pueden obtener los valores correspondientes a R 1 y R 2 en función de V, V eq e I max .
Las ecuaciones resultantes son:

R1 =

V - V eq
V - R m I max
=
100 I max
100 I max

(2.160)

R2 =

Veq
100 I max

(2.161)

=

R m I max
R
= m
100 I max
100
87

En resumen, para diseñar un óhmetro con la primera configuración, utilizando
un Galvanómetro que tenga una resistencia interna R g y cuya corriente máxima sea
Imax , de forma tal que la lectura a media escala sea R m, (valor que debe ser mayor
que R g), se debe aplicar el siguiente procedimiento:
a) Seleccionar un valor de V comercial que sea mayor que Rm Imax .

(2.162)

b) R = R m - Rg

(2.163)

c) R 1 =

V - R m I max
100 I max

(2.164)

d) R2 =

Rm
100

(2.165)

Si el factor de 100 en las ecuaciones (2.164) y (2.165) produce valores muy
bajos para R1 y R 2, puede probarse con factores menores. Para finalizar el diseño
debe determinarse la potencia disipada por cada una de las tres resistencias
calculadas.
Como ejemplo, se va a diseñar un óhmetro cuya lectura a media escala sea de
20 KΩ utilizando para ello un Galvanómetro cuya corriente máxima es de 100 µA
y cuya resistencia interna es de 10 KΩ. Aplicando el procedimiento explicado se
tiene:
a) El valor de la pila comercial debe ser mayor de 20 KΩ x 100 µA, esto es,
2V, por lo tanto se van a utilizar dos pilas comerciales en serie de 1,5V cada una,
lo cual da un valor de V igual a 3V. Por lo tanto:
V = 3V

(2.166)

b) R = R m - Rg = 20 KΩ - 10 KΩ = 10 KΩ.

(2.167)

c) R 1 =

V - R m I max
3V - 20 KΩ x 100 µA
=
100 I max
100 x 100 µA

d) R2 =

Rm
20 KΩ
=
100
100

= 100 Ω

= 200 Ω

(2.168)

(2.169)

La potencia máxima en cada resistencia es la siguiente:
88

P R = Imax 2 R = (100 µA)2 10 KΩ = 0,1 mW

(2.170)

P R 1 = (100 Imax )2 R 1 = (10 mA)2 100 Ω = 10 mW

(2.171)

P R 2 = (100 Imax )2 R 2 = (10 mA)2 200 Ω = 20 mW

(2.172)

Dados estos resultados, todas las resistencias pueden escogerse de 1/2 o
1/4 de Watio. La figura 2.58 presenta el circuito completo del óhmetro diseñado
utilizando la primera configuración.

Figura 2.58.- Diseño de un óhmetro de 20 KΩ a media escala
utilizando la primera configuración, a partir de un
Galvanómetro de 10 KΩ y 100 µA.
2.13.5.2.-Diseño de un Ohmetro de valor a media escala específico utilizando
la segunda configuración.
A partir del circuito presentado para la segunda configuración en la Figura
2.57.b se pueden plantear las siguientes ecuaciones:

89

Cuando Rmed es igual a cero, por el Galvanómetro debe circular la corriente
Imax , y por la resistencia R b circula una corriente I 1 de valor desconocido. Al aplicar
la Ley de Kirchhoff de los Voltajes al lazo inferior se obtiene:
V = I max R g + R b I1

Imax

(2.173)

Donde V es una pila de valor comercial. La corriente I 1 está relacionada con
mediante el divisor de corriente dado por la siguiente ecuación:
Imax = I1

Ra
Ra + R g

(2.174)

Cuando Rmed es igual a R m, por el Galvanómetro debe circular la mitad de la
corriente máxima, I max /2, y por la resistencia R b circula una corriente I 2 de valor
desconocido. Al aplicar la Ley de Kirchhoff de los Voltajes al lazo inferior se
obtiene:
V=

Imax
R g + R b I2 + R m I2
2

(2.175)

La corriente I 2 está relacionada con I max /2 mediante el divisor de corriente
dado por la siguiente ecuación:
Ra
Imax
= I2
2
Ra + R g

(2.176)

Las ecuaciones (2.173), (2.174), (2.175) y (2.176) forman un sistema de
cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas (Ra, R b, I 1 e I 2) a partir del cual se pueden
calcular los valores de interés para diseñar un óhmetro utilizando la segunda
configuración (R a y R b). A partir de las ecuaciones (2.174) y (2.176) se puede
deducir:
I1 = 2 I2

(2.177)

Sustituyendo esta relación en la ecuación (2.173) se obtiene:
V = I max R g + R b 2 I2

90

(2.178)

Las ecuaciones (2.178) y (2.175) forman un sistema de dos ecuaciones con
dos incógnitas (I2 y R b) tal como se puede observar a continuación:
V = I max R g + R b 2 I 2


Imax
Rg + R b I 2 + R m I 2
V =

2

(2.179)

De donde se obtiene:
Rb =

V - I m a x Rg
Rm
V

I2 =

V
2 Rm

(2.180)

(2.181)

La ecuación (2.180) indica que para que el diseño sea realizable es necesario
que el voltaje V sea mayor que I max R g, es decir, que la pila comercial tenga un
voltaje superior al máximo voltaje que puede haber entre los extremos del
Galvanómetro.
Para determinar el valor de la resistencia R a se sustituye la ecuación (2.181)
en la (2.176), de donde se obtiene:
Ra =

Im a x R g
Rm
V - I m a x Rm

(2.182)

Esta ecuación impone una segunda condición al diseño, que puede expresarse
de la siguiente forma:
Rm <

V

(2.183)

Imax

Si esta condición no se cumple, el valor de la resistencia R a debería ser
negativo, lo cual es físicamente imposible.
En resumen, para diseñar un óhmetro con la segunda configuración, utilizando
un Galvanómetro que tenga una resistencia interna R g y cuya corriente máxima sea
Imax , de forma tal que la lectura a media escala sea R m, (valor que debe ser menor
que V/I max ), se debe aplicar el siguiente procedimiento:
91

a) Seleccionar un valor de V comercial que sea mayor que Rg Imax .

(2.184)

b) R a =

Im a x R g
Rm
V - I m a x Rm

(2.185)

c) R b =

V - I m a x Rg
Rm
V

(2.186)

Para completar el diseño debe determinarse la potencia disipada por cada una
de las resistencias calculadas.
Como ejemplo, se va a diseñar un óhmetro cuya lectura a media escala sea de
100 Ω utilizando para ello un Galvanómetro cuya corriente máxima es de 100 µA
y cuya resistencia interna es de 10 KΩ. Aplicando el procedimiento explicado se
tiene:
a) El valor de la pila comercial debe ser mayor de 10 KΩ x 100 µA, esto es,
1V, por lo tanto se va a utilizar una pila comercial de 1,5V, esto es:
V = 1,5 V

(2.187)

b) R a =

Im a x R g
100 µA 10 KΩ
Rm =
V - I m a x Rm
1.5 V - 100 µA 100 Ω

c) R b =

V - I m a x Rg
1.5 V - 100µA 10 KΩ
Rm =
V
1.5 V

100 Ω = 67,1 Ω

100 Ω = 33,3 Ω

(2.188)

(2.189)

La potencia máxima en cada resistencia es la siguiente:
V
- Imax )2 R a = 14,9 mW
P R a = ( I1 - Imax )2 R a = (
Rm
P R b = (I1)2 R b = (

V 2
) R b = 7,4 mW
Rm

(2.190)

(2.191)

Dados estos resultados, las dos resistencias pueden escogerse de 1/2 o 1/4
de Watio. La figura 2.59 presenta el circuito completo del óhmetro diseñado
utilizando la segunda configuración.

92

Figura 2.59.- Diseño de un óhmetro de 100 Ω a media escala
utilizando la segunda configuración, a partir de un
Galvanómetro de 10 KΩ y 100 µA.
Para finalizar, puede agregarse el comentario de que cuando se montan los
circuitos correspondientes a cada una de las dos configuraciones analizadas, no se
coloca exactamente el valor de la resistencia R obtenido para la primer
configuración ni el de la resistencia R b obtenido para la segunda, sino que se
conectan resistencias de valores inferiores a los calculados y se completan
colocando potenciómetros (resistencias variables) en serie. De esta forma, a
medida que se va descargando la pila comercial, puede irse ajustando la resistencia
total de cada uno de los circuitos para poder cumplir con la condición de que cuando
la resistencia de medición es cero, por el Galvanómetro debe circular la máxima
corriente I max .

93

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