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- 1. República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educación Universitaria I.U.T.E.B.Sección 1-ELEC-3MFacilitador: Wilmer ColmenaresBachilleres: Mario García; C.I. 20.555.643 Efraín Hernández C.I. 22.800.373Transformaciones Lineales y Espacios Vectoriales
- 2. Un vector es una herramienta geométrica utilizado para representar una magnitud física del cual depende únicamente un módulo (o longitud) y una dirección (u orientación) para quedar definido.Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos o flechas en planos o ; es decir, bidimensional o tridimensional.
- 3. Origen.Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.Módulo.Es la longitud o tamaño del vector. Dirección.Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.Sentido.Se indica mediante unapunta de flecha situada en el extremo del vectorindicando hacia qué ladode la línea de acción se dirige el vector.Importancia en la Ingeniería EléctricaGran parte del desarrollo matemático con señales eléctricas se hace con factores y notación compleja. A efectos matemáticos un número complejo puede tratarse como un vector de dos dimensiones.
- 4. Transformaciones Lineales Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformación lineal de V en W, es una función: I iiEn otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.
- 5. Aplicación de las Transformaciones Lineales en espacios vectoriales Dada la transformación linealDeterminar todos los espacios propios asociados a sabiendo que son los únicos valores propios.
- 6. Solución: Determinemos el espacio propio asociado al valor propio V2 = { (x;y)/T(x;y)=2(x;y)}= {(x;y)/(x+y;3x-y)=2(x;y)}= {(x;y)/(-x+y;3x-3y)=(0;0)}= {(x;y)/-x+y=0= <(1;1)>Para el otro valor propio procedemos de manera similarV-2 = {(x;y)/T(x;y)=-2(x;y)}= {(x;y)/(x+y;3x-y)=-2(x;y)}= {(x;y)/(3x+y;3x+y)=(0;0)}= {(x;y)/3x+y=0}= <(1;-3)>
- 7. Método de Gauss-SeidelEn análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales.Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricial:El método de iteración Gauss-Seideles
- 8. Donde para i=jYConsiderando el sistema Ax=b, con la condición de que para i=1,…..,n Entonces podemos escribir la fórmula de iteración del método . i=1,...,n(*)
- 9. Método JacobiEn análisis numérico el método de Jacobi es un método iterativo, usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo Ax = bLa base del método consiste en construir una sucesión convergente definida iterativamente. El límite de esta sucesión es precisamente la solución del sistema. A efectos prácticos si el algoritmo se detiene después de un número finito de pasos se llega a una aproximación al valor de x de la solución del sistema.La sucesión se construye descomponiendo la matriz del sistema A en la forma siguiente:
- 10. Donde:D es una matriz diagonal.L es una matriz triangular inferior.U es una matriz triangular superior.Partiendo de Ax= b , podemos reescribir dicha ecuación como: LuegoSi aii ≠ 0 para cada i. Por la regla iterativa, la definición del Método de Jacobi puede ser expresado de la forma:
- 11. Donde k es el contador de iteración, Finalmente tenemos:Cabe destacar que al calcular xi(k+1) se necesitan todos los elementos en x(k), excepto el que tenga el mismo i. Por eso, al contrario que en el método Gauss-Seidel, no se puede sobreescribir xi(k) con xi(k+1), ya que su valor será necesario para el resto de los cálculos. Esta es la diferencia más significativa entre los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. La cantidad mínima de almacenamiento es de dos vectores de dimensión n, y será necesario realizar un copiado explícito.