Análisis vectorial
- 2. Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector. Módulo Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo. Dirección Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. Sentido Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector. Ejemplos 1) Un vector tienen de componentes (5, −2). Hallar las coordenadas de A si se conoce el extremo B(12, −3). 2) Dado el vector = (2, -1), determinar dos vectores equipolentes a , , sabiendo que A(1, -3) y D(2, 0).
- 3. Suma de matrices Dadas dos matrices del mismo orden Ay B, se llama matriz suma a la matriz que se obtiene de sumar los elementos correspondientes de Ay B. Es decir el primer elemento de Acon el primer elemento de B, el segundo de Acon el segundo de B y así sucesivamente. Es sencillo, pero si aún no lo entendiste fíjate en el ejemplo donde he marcado un elemento en cada matriz para que sea más evidente el procedimiento. Resta de matrices La resta de dos matrices Ay B, es decir (A- B), es igual a la suma de Amás el opuesto de B. Por lo tanto podemos hacer: A - B = A + (- B). En la práctica lo que se hace es cambiarle los signos a todos los elementos de la "segunda" matriz y se suma.
- 4. Por último, digamos que si se suma una matriz cualquiera con su opuesta, se obtiene la matriz nula. Multiplicación de una matriz por un escalar Cuando se trabaja con matrices, a cualquier número real se le llama escalar. El producto (multiplicación) de un escalar r y una matriz Am×nAm×n es la matriz r⋅Am×nr⋅Am×n, donde cada uno de sus elementos es r veces el elemento correspondiente de A. Es decir: Por ejemplo: Sistema de Coordenadas Rectangulares: Llamado también Sistema Cartesiano (en honor a René Descartes), es aquel sistema de referencia formado por el corte perpendicular de dos rectas numéricas en un punto denominado origen del sistema. El corte de estas rectas determina en el plano cuatro regiones cada una de las cuales se va a denominar cuadrante. En el sistema de coordenadas rectangulares, el punto de intersección de las dos rectas se le llama origen del sistema. Las rectas numéricas trazadas se van a denominar eje de abscisas y eje de las ordenadas.
- 5. 1) 2) Vectores unitarios Los vectores unitarios, son aquellos vectores cuya magnitud es la unidad y están según la parte positiva de los ejes X, Y. Un vector unitario es aquél que tiene módulo 1. puede emplearse para definir el sentido positivo de cualquier eje. Así, para los ejes cartesianos x,y,z se emplean los vectores i, j y k. Los vectores unitarios se utilizan para especificar una dirección determinada y no tienen otro significado físico. Se usan sólo por conveniencia en la descripción de una dirección en el espacio. Ejemplo: Si es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.
- 6. Ejemplo: En la figura anterior las coordenadas de son (5,4). El módulo vale: Si divido a las coordenadas (5,4) por obtendré un nuevo vector cuyas coordenadas serán el cociente de 5 y 4 entre , es decir, Comprobamos si el módulo del vector vale 1: Efectivamente el vector es unitario y tiene la misma dirección y sentido que el vector Campo Vectorial: En matemáticas, un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial. Es una expresión de cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclidiano, de la forma . Los campos vectoriales se utilizan en física, por ejemplo, para representar la velocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética. Como expresión matemática rigurosa, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad. Este es el tipo de tratamiento necesario para modelizar el espacio-tiempo curvo de la teoría general de la relatividad por ejemplo:
- 7. Ejemplo de campo vectorial no conservativo cuyo rotacional no se anula. Ejemplo
- 8. Producto de un punto: Es útil en aplicaciones físicas. Es también llamado producto interno. El producto interno de dos vectores es una cantidad escalar. Sean V= <a,b> y W=<c,d> Definimos producto punto como la operación de un producto entre el vector V y el vector W, cual el resultado de dicho producto es un escalar. El producto escalar de dos vectores en un espacio euclídeo se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que se forma. Ejemplo: 1) . . 2) . . Producto cruz : El producto cruz o producto v ectorial de dos v e ctores es otro v e ctor c uya dirección es pe rpendicular a los dos vec tores y s u se ntido s ería igual al avanc e de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:
- 9. El producto cruz se puede expresar mediante un determinante: Ejemplos Calcular el producto cruz de los vectores = (1, 2, 3) y = (−1, 1, 2).
- 10. Dados los vectores y , hallar el producto cruz de dichos vectores. Comprobar que el vector hallado es ortogonal a y . El producto vectorial de es ortogonal a los vectores y .