Pasos para construir un vector o trazar un vector
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Este documento describe los conceptos fundamentales de vectores, incluyendo su dirección, magnitud, suma y resta. Explica que un vector se define por su punto de aplicación, dirección, sentido y magnitud. La suma de vectores se puede realizar gráficamente mediante un paralelogramo o desplazando un vector al extremo del otro. También cubre conceptos como producto escalar, módulo, coordenadas cartesianas y ecuación de una recta.
Pasos para construir un vector o trazar un vector
- 1. Pasos para construir un vector o trazar un vector (clasificación) Dirección Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia. Magnitudes Escalares Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que las medidas quedan correctamente expresadas por medio de un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre otras: Masa Temperatura Presión Densidad
- 2. Magnitudes vectoriales Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación. Vector Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Podemos considerarlo como un segmento orientado, en el que cabe distinguir: Un origen o punto de aplicación: A. Un extremo: B. Una dirección: la de la recta que lo contiene. Un sentido: indicado por la punta de flecha en B. Un módulo, indicativo de la longitud del segmento AB. Vectores iguales Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección. Vector libre Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra. Descomponiendo en un sistema de ejes cartesianos a+b=(axi+ayj+ azk)+(bxi+byj+ bzk)=(ax+bx)i+(ay +by)j+(az+bz)k
- 3. Vectores unitarios y componentes de un vector Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados. Suma y resta de vectores La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma: Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo. Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la "saliente", del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos vectores. Para efectuar sumas o restas de tres o más vectores, el proceso es idéntico. Basta con aplicar la propiedad asociativa. Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le denomina resultante. Suma de Vectores La suma de los vectores podemos realizarla de dos maneras diferentes, analítica y gráficamente. Procedimiento Gráfico Para sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la denominada Regla del paralelogramo, consistente en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la diagonal de ese paralelogramo, como podemos ver en el siguiente dibujo:
- 4. Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el segundo vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo del primer vector, y la suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del primer vector hasta el extremo del segundo, de la siguiente manera: Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma dirección se suman (tal y como ya hemos visto en la sección de la suma de vectores), pero vectores con sentidos opuestos se restan (tal y como se puede ver en el apartado correspondiente a la resta de vectores). A continuación tenemos un ejemplo de suma y resta de vectores. La suma de vectores goza de las siguientes propiedades: Conmutativa a+b=b+a Asociativa
- 5. (a + b) + c = a + (b + c) Elemento neutro o vector 0 a+0=0+a=a Elemento simétrico u opuesto a' a + a' = a' + a = 0 a' = -a Producto de un vector por un escalar El resultado de multiplicar un escalar k por un vector v, expresado analíticamente por kv, es otro vector con las siguientes características : 1.- Tiene la misma dirección que v. 2.- Su sentido coincide con el de v, si k es un número positivo, y es el opuesto, si k es un número negativo. 3.- El módulo es k veces la longitud que representa el módulo de v. ( Sik es 0 el resultado es el vector nulo). Analíticamente, tenemos que multiplicar el escalar por cada una de las coordenadas del vector. La representación gráfica del producto es igual a sumar el vector tantas veces como indica el escalar. Ejemplo : Producto escalar de dos vectores El producto escalar de dos vectores, expresado analíticamente como r · v, se obtiene de la suma de los productos formados por las componentes de uno y otro
- 6. vector. Es decir, dados dos vectores r y v, expresados en un mismo sistema de coordenadas: r = rxi + ryj + rzk v = vxi + vyj + vzk teniendo en cuenta que el producto escalar de los vectores : i·i=j·j=k·k=1 i·j=i·k=j·k=0 Esta operación no solo nos permite el cálculo de la longitud de los segmentos orientados que representan ( sus módulos ), sino también calcular el ángulo que hay entre ellos. Esto es posible, ya que el producto escalar también se puede hallar en función de sus módulos y del coseno del ángulo que forman mediante la fórmula : r · v = |r| · |v| ·cos (r, v) Módulo de un vector Un vector no solo nos da una dirección y un sentido, sino también una magnitud, a esa magnitud se le denomina módulo. Gráficamente: es la distancia que existe entre su origen y su extremo, y se representa por: Coordenadas cartesianas: En muchas ocasiones es conveniente tomar las componentes sobre tres direcciones mutuamente perpendiculares OX, OY y OZ que forman un sistema cartesiano tridimensional. Si tomamos tres vectores unitarios, i sobre OX, j sobre OY y k sobre OZ, entonces podemos encontrar puntos ax, ay, az sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales que:
- 7. y aplicando el teorema de Pitágoras nos encontramos con que el módulo de a es: III. Ecuación De La Recta. Ecuación de la RectaQue Pasa Por El Origen Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación con el eje x Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3. Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que:
- 8. Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l, ó y = mx (1) La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida.