Álgebra Vectorial

44 FISICA 1
ALGEBRA VECTORIAL
3
UNIDAD
OBJETIVOS.
 Establecer diferencias entre magnitudes escalares y
vectoriales.
 Identificar los elementos de un vector.
 Descomponer vectores en el plano y el espacio.
 Mostrar capacidad para expresar vectores en diferentes
formas.
 Emplear correctamente los vectores base o unitarios
normalizados en la forma de expresar vectores.
 Realizar operaciones con vectores gráficamente y
analíticamente.
 Comprender la importancia de los vectores en el
desarrollo y aplicación de los temas de Física.
 Reconocer en las operaciones con vectores, las
aplicaciones de la geometría elemental y de la
trigonometría, y resolver problemas mediante la
utilización de éstos métodos.
TEMA. ÁLGEBRA VECTORIAL.
1. Introducción.
2. Magnitudes Escalares y
Vectoriales.
Elementos de un vector.
Clases de vectores.
3. Componentes de un vector.
En el plano.
En el espacio.
4. Formas de Expresar un vector.
Coordenadas rectangulares.
Coordenadas Polares.
Coordenadas geográficas.
En función de sus vectores
base.
En función de su módulo y
unitario.
5. Operaciones con vectores.
Suma y resta.
Productos: Escalar y vectorial.
6. Actividad 05.
7. Ejercicios.
CONTENIDOS
Posición relativa de la Iglesia de la Loma con respecto a
Iglesia la Catedral es (1,2 km, S10°E, 28,5°).
X
Y
Z
ALGEBRA VECTORIAL

45
ALGEBRA VECTORIAL
FISICA 1 GUSTAVO SALINAS E.
ALGEBRA VECTORIAL
3.0. INTRODUCCIÓN.
Consideramos que las Ciencias Físicas son cada vez más importantes, por su valor formativo, cultural y
práctico, para una mejor ubicación en la sociedad técnico-científica contemporánea, por ésta razón, el
objeto de la Física, es el conocimiento y estudio de los fenómenos producidos en el medio que nos rodea.
Para ello, se utiliza la observación crítica y objetiva, seguida de la búsqueda de las leyes que rigen el
fenómeno, así como del proceso matemático que permite delimitar y definir dicho fenómeno estudiado.
Esto implica un conocimiento profundo de la Matemática, de la cual la física se sirve como instrumento
teórico fundamental.
La presente unidad, es puramente matemático y se ha incorporado en los últimos años a la Física por ser
esencial en el desarrollo y estudio de los fenómenos físicos, siendo muy importantes para llegar a un
conocimiento suficiente de esta ciencia, la descripción de ciertos fenómenos se lleva a cabo de una
manera más conveniente, mediante la utilización de los vectores, lo que facilitará la comprensión del
universo y de la civilización en la que vivimos, dando lugar a que el estudiante aprenda a observar,
estudiar y pensar críticamente.
Las cantidades físicas que tienen propiedades tanto numéricas como de dirección se representan por
medio de vectores. Esta unidad está dedicada principalmente al Álgebra Vectorial y a algunas
propiedades generales de los vectores. Se analizarán la adición y substracción de vectores, junto con
algunas aplicaciones simples a situaciones físicas. El análisis del producto de vectores, las propiedades
gráficas y algebraicas.
3.1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES.
Ciertos efectos o fenómenos de la naturaleza pueden ser cuantificados o medidos con el simple
conocimiento del valor numérico de la intensidad de los mismos, pero para muchos de ellos no es
suficiente describir con un valor, de ahí que para una gran variedad de fines, es conveniente clasificar las
cantidades físicas en dos clases:
3.1.1. MAGNITUD ESCALAR.- Es aquella que está definida por su magnitud o cantidad y acompañada
de una unidad de medida.
Ejemplos:
Longitud. 20 [m].
Tiempo, 5 [s]
Masa, 8,5 [kg]
Temperatura, 22°C
Superficie, 30 [m2].
3.1.2. MAGNITUD VECTORIAL.- Es aquella que queda definida por su módulo, dirección y sentido
y está acompañada de su unidad respectiva.
Ejemplos:
Peso, W

-35 j

kg-f.
Aceleración, ( 5 m/s2; S 30° E).
Velocidad, ( ji

45 ) m/s.
Fuerza, (120 N; 280°).
Desplazamiento, (230 m; N 60° O;  25°).

46 FISICA 1
ALGEBRA VECTORIAL
3.1.3. DEFINICIÓN DE VECTOR.- Al vector se le pueden dar algunas definiciones:
De acuerdo al Álgebra vectorial, Vector es la representación gráfica de una magnitud vectorial, que tiene
módulo, dirección y sentido.
Geométricamente, Vector es un segmento de recta orientado, dirigido, que determina magnitud o módulo,
dirección y sentido, al que se le coloca una flecha.
El vector es un segmento de recta de longitud proporcional a su módulo, con una flecha que indica el
sentido. Para denotarlo se utiliza letras mayúsculas y una flecha encima, pueden ser las letras del origen
y extremo o simplemente una sola letra y una flecha, de acuerdo a la (figura 3.1) se tiene: OM = A.
3.1.4. ELEMENTOS DE UN VECTOR.- Un vector está determinado por cuatro elementos o
características que siempre están presentes: Origen, módulo o magnitud, dirección y sentido.
Origen.- Es el punto de aplicación del vector, se designa por la letra “O”, como se observa en la (figura
3.1).
Módulo o Magnitud.- El módulo de un vector es un número real, que consiste en el valor que se le a
designado al vector o la distancia entre el origen y el extremo. Para designar el módulo de un vector, se
utilizan dos barras verticales a las letras o letra del vector o simplemente a las letras o letra no se le pone
la flecha, de acuerdo la figura tenemos;
OM = A = A = 6 unidades
Dirección.- Es la medida del ángulo ( ), medido en sentido antihorario a partir del eje x positivo hasta el
vector, también se utilizan los puntos cardinales, llamadas coordenadas geográficas o terrestres (Norte
Este; Norte - Oeste; ó Sur-Este, y Sur-Oeste).
Sentido.- El sentido de un vector viene dado por la flecha en el extremo del mismo. El sentido está
implícito en la dirección a y nos indica hacia donde se dirige la recta.
3.1.5. CLASES DE VECTORES.- Para el estudio de la Física se
consideran los siguientes tipos de entes matemáticos que se conocen
con el nombre de vectores:
3.1.5.1. Vector Fijo o Ligado.- Es aquel cuyo punto de aplicación es fijo.
Además determina la posición de un punto en el espacio, con respecto a
un determinado sistema de referencia, como se observa en la (figura
3.2), el vector OP.
3.1.5.2. Vector Libre.- Es aquel que su punto de aplicación se
traslada a cualquier punto del espacio sin cambiar su módulo,
dirección y sentido como se muestra en la (figura 3.3).
A

Punto de aplicación
u origen
M
O
Dirección
Sentido
Módulo = 6
Fig. 3.1
P
O
Fig. 3.2
A

A

M
O
N
A

Fig. 3.3

47
ALGEBRA VECTORIAL
3.1.5.3. Vector Deslizante.- Es aquel cuando su
punto de aplicación puede trasladarse a lo largo de
su línea de acción, sin cambiar sus características
originales como muestra la (figura 3.4).
3.1.5.4. Vectores Equivalentes.- Cuando dos vectores tienen la misma
dirección o direcciones paralelas, el mismo sentido y a pesar de ser de
diferente módulo, aunque sus puntos de aplicación sean distintos,
provocan efectos iguales, como muestra la (figura 3.5).
3.1.6. PROPIEDADES DE LOS VECTORES.- Entre las propiedades de los vectores consideramos las
siguientes:
3.1.6.1.- Igualdad de Vectores.- Dos vectores son iguales si
tienen la misma magnitud, dirección y sentido, aun cuando
tienen puntos de partida diferentes, permitiendo trasladar un
vector paralelo a sí mismo en un diagrama, sin afectarlo, como
se tiene en la (figura 3.6).
3.1.6.2. Vectores negativos u opuestos.- Son aquellos que tienen el mismo módulo, la misma dirección
pero de sentido opuesto, como se observa en la (figura 3.7). Es decir que si a un vector sumamos su
negativo y su resultado es cero: A + (-A ) = 0.
3.1.6.3. Vector Nulo.- Es un vector que tiene módulo cero, consecuentemente carece de dirección y
sentido. Es decir el punto de origen y extremo coinciden en un mismo punto.
3.1.6.4. Vector Unitario.- Es aquel vector cuyo módulo es igual a la unidad, se obtiene dividiendo el
vector para su módulo, y determina la dirección y sentido de un vector en el plano o en el espacio, para lo
cual se utilizan los vectores base o unitarios normalizados ,,, kji

para las componentes positivas de un
vector A

; Ax, Ay, Az respectivamente.
Su ecuación es: k
A
Az
j
A
Ay
i
A
Ax
A
A
A




; El módulo de todo unitario es igual a la unidad,
.1A

3.2. COMPONENTES DE UN VECTOR.
Las componentes de un vector se definen como las proyecciones sobre los ejes tomados como
referencia. Su utilidad es de gran importancia en muchos estudios de la física, al simplificar muchos de
ellos que se realizan cuando intervienen magnitudes vectoriales o efectos vectoriales supuestos.
De acuerdo a su descomposición del vector ya sea en los ejes de dos o tres dimensiones, se obtendrán
de igual modo dos o tres componentes respectivamente.
3.2.1. COMPONENTES DE UN VECTOR EN EL PLANO
Si se tiene un vector A, a partir del origen de un sistema de coordenadas rectangulares, en el PLANO XY,
se expresa como la suma de los vectores llamados componentes vectoriales, que son las proyecciones
E
D

ED

ED

A

A

B

P
Línea de acción
B

O
Fig. 3.4
P

N

O
Fig. 3.5
Fig. 3.6
Fig. 3.7

48 FISICA 1
ALGEBRA VECTORIAL
del vector A sobre los ejes x e y. La proyección del vector sobre el eje x, es la componente Ax, y la
proyección del vector sobre el eje y, es la proyección Ay, como se tiene en las (figuras 3.8, a y b).
Entonces el vector queda expresado de la siguiente forma:
Si de un vector A se conoce su módulo y su dirección es decir el ángulo que forma con el eje x positivo,
como se muestra en la (figura 3.9), se puede fácilmente determinar sus componentes rectangulares sobre
x, y sobre y, como son Ax y Ay, respectivamente, aplicando las relaciones trigonométricas.
coscos AAx
A
Ax
senAAy
A
Ay
sen
Entonces el vector en función de sus componentes rectangulares
se tiene:
yAxAA

AsenAA cos

La magnitud del vector A, es un número positivo con unidades. Su dirección, el ángulo que forma el
vector con el eje x positivo (medido en sentido antihorario) varia entre 0° y 360°. Las funciones
trigonométricas seno y coseno de varían entre –1 y 1.
Si el vector A viene expresado en sus componentes rectangulares, se tienen los siguientes casos:
a) El módulo de un vector, cuando se tienen sus componentes rectangulares, se obtiene utilizando el
Teorema de Pitágoras y se tiene:
A2 = Ax2 + Ay2.
22
AyAxAA

b) La dirección de un vector en función de sus componentes, con respecto al eje “x” positivo, se
determina utilizando la función trigonométrica tangente (tan).
Ax
Ay
tan
De lo anterior concluimos, que el vector queda determinado de dos formas:
A = Ax + Ay
x
A
Ay
AxO
yy
AAy
AxO x
y
AAy
AxO x
Fig. 3.8
b)a)
Fig. 3.9

49
ALGEBRA VECTORIAL
i) En función de sus coordenadas rectangulares. A = (Ax ; Ay)
ii) En función de su módulo y dirección respecto al eje “x” positivo, llamada coordenadas
polares, A = (A ; ).
3.2.2. COMPONENTES DE UN VECTOR EN EL ESPACIO
Considérese un vector A que actúa en el origen O de un sistema de
coordenadas rectangulares tridimensionales x, y, z., hasta el punto P.
Sin embargo, cuando A está dirigido dentro de un octante del
cuadrante x, y, z, como se observa (figura 3.10), si proyectamos el
extremo del vector sobre el plano xz, obtenemos un vector proyección
de A sobre dicho plano, cuyas componentes son Ax y Ay, como se
observa en la (figura 3.11).
Axz = Ax + Az
Además la componente Ay, y la proyección del vector en el plano xz, forman un paralelogramo como se
muestra la (figura 3.12),
entonces el vector A es la
suma de dos componentes
rectangulares:
A = Axz + Ay
A = Ax + Ay + Az
Las componentes, desde el
punto de vista algebraico, son
números reales, siendo
positivas, negativas o valor
cero. De la (figura 3.11), se
tiene que:
Ax = Axz cos , y Az = Axz sen .
De igual forma, podemos deducir de la (figura 3.13), que:
Axz = A cos , y Ay = A sen .
De ésta manera, obtenemos las expresiones siguientes para las
componentes escalares correspondientes:
Ax = Axz cos = A cos cos
Ay = A sen
Az = Axz sen = A cos sen
Así mismo demostraremos el módulo del vector en función de sus componentes rectangulares:
222
yxz AAA , pero:
222
zxxz AAA
Entonces:
2222
yzx AAAA ,
222
zyx AAAA
x
Ay
Az
Ax
P
A
O
z
y
Fig. 3.10
Fig. 3.12
Fig. 3.11
Fig. 3.13

50 FISICA 1
ALGEBRA VECTORIAL
De aquí que la magnitud de A = A, sea igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus
componentes.
3.2.1. Angulos Directores.- La orientación de un vector en el espacio, se define por los ángulos
directores coordenados x ( ), y ( ) y z ( ), medidos entre el vector y los ejes positivos x, y, y z
respectivamente. Los ángulos directivos están comprendidos entre 0° y 180°, no tienen convención de
medida, es decir no es necesario indicar el sentido de su medición, como se observa en las (figuras 3.14).
De acuerdo a los triángulos rectángulos sombreados en las (figuras 3.14), tenemos:
Cos x =
A
Ax
; x = ángulo formado entre el vector A y el eje x (+) o componente Ax (+).
Cos y =
A
Ay
; y = ángulo formado entre el vector A y el eje y (+) o componente Ay (+).
Cos z =
A
Az
; z = ángulo formado entre el vector A y el eje z (+) o componente Az (+).
A éstos ángulos se conocen como los cosenos directores del vector A.
3.2.2. Vectores bases o unitarios normalizados.- Los vectores i, j y k, se llamn vectores unitario
normalizados o vectores base, que se utilizan para designar las direcciónes de los ejes x, y y z
respectivamente como se muestra en la (figura 3.15). El sentido (o punta de la flecha) de estos vectores
se describirá analíticamente por un signo más o por un signo menos, dependiendo de si éstos apuntan a
lo largo del eje positivo o negativo de los ejes x, y y z.
Las características de estos vectores son:
VECTOR BASE MODULO DIRECCION SENTIDO
i

1i

la del eje x positivo del eje x.
j

1j

la del eje y positivo del eje y.
k

1k

la del eje z positivo del eje .
Utilizando los vectores base o unitarios normalizados para expresar un vector se tiene:
x
y
z
a)
b) c)
Figs. 3.14

51
ALGEBRA VECTORIAL
A = Ax i

+ Ay j

Para el plano.
A = Ax i

+ Ay j

+ Az k

Para el espacio.
Una manera fácil de obtener los cosenos directores de A, es formando un
vector unitario en la dirección de A, siempre y cuando A se exprese en
forma vectorial en función de sus vectores base,
A = Ax i

+ Ay j

+ Az k

y tendremos:
k
A
Az
j
A
Ay
i
A
Ax
A
A
A




Si comparamos las componentes Ax, Ay y Az representan los cosenos directores de A.
kjiA zyx

coscoscos .
Puesto que la magnitud de un vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las
magnitudes de sus componentes, y A tiene una mganitud igual a la unidad (1), entonces se puede
deducir que:
2222
yzx AAAA
2222
coscoscos zyx AAAA
zx AyAAA 2222222
coscoscos
zyxAA 22222
coscoscos
zyx
A
A 222
2
2
coscoscos
zyx
222
coscoscos1
Esta ecuación puede ser de gran utilidad para determinar uno de los ángulos directores si se conoce los
otros dos.
3.3. FORMAS DE EXPRESAR UN VECTOR:
Las formas de expresar o escribir un vector es importante en el momento de realizar operaciones con
vectores, ya que, para tal o cual operación todos los vectores tienen que estar expresados en la misma
forma, de ahí que tenemos las siguientes formas:
3.3.1. En función de sus coordenadas rectangulares.- Si consideramos que todo vector parte del
origen de coordenadas, si damos las coordenadas del extremo del vector tenemos:
y
x
j

k

i
O
z
Fig. 3.15

52 FISICA 1
ALGEBRA VECTORIAL
A = (Ax ; Ay). Para el plano.
A = (Ax ; Ay ; Az) Para el espacio.
Ejemplos:
A = (-5 ; 6)m. Para el plano.
A = (5 ; 7 ; -4)m Para el espacio.
3.3.2. En función de coordenadas Polares.- Si se conoce el módulo del vector y el ángulo con respecto
a sus eje, se mide en sentido antihorario y además se especifíca el plano en el que está contenido,
entonces se tiene.
A = (A ; ). Para el plano.
A = ( A ; x ; y ; z) Para el espacio.
Ejemplos:
Para el plano.
A = (10 [N] ; 245°).
Para el espacio.
A = (6 [m/s]; 53° ; 120° ; 52°)
3.3.3. En función de coordenadas geográficas.- El vector viene dado por su módulo y el rumbo (puntos
cardinales, norte, sur, este y oeste), en el caso de vectores en el espacio, también se tiene el ángulo de
elevación o depresión con respecto al plano horizontal xz ( ; ).
A = (A ; rumbo). Para el plano.
A = ( A ; rumbo ; ) Para el espacio.
Ejemplos:
A = (40 [kg-f] ; N20°O). Para el plano.
A = (4 [m/s2]; S53°E ; 20° ) Para el espacio.
10 [N]
245°
A
y
xO
6 [m/s]
θx
θz
θy
z
A
y
xO
O E
S
A
20 kg-f
N
O
20° N
O
4 [m/s2
]
53°
20°
S
A
y
E
O
-Ax
Ay
(-5 ; 6)m
A
y
xO
Ax
Ay
-Az
(5 ; 7 ; -4)m
z
A
y
x
O

53
ALGEBRA VECTORIAL
3.3.4. En función de sus vectores bases.- Todo vector que tiene sus coordenadas o componentes
rectangulares, se puede escribir en función de sus vectores base, multipicando cada componente por su
respectivo unitario.
A = Ax i

+ Ay j

Para el plano.
A = Ax i

+ Ay j

+ Az k

Para el espacio.
Ejemplos:
A = ( 18 i

- 14 j

) m. Para el plano.
A = (4 i

-5 j

+ 7 k

)m/s2 Para el espacio.
3.3.5. En función de su módulo y unitario.- El vector viene expresado en módulo y acompañado de su
unitario, que bien puede estar expresado directamente o mediante un gráfico.
A = A A = A( x i

+ y j

) Para el plano.
A = A A = A( x i

+ y j

+ z k

) Para el espacio.
Ejemplos:
A = 12 [N]( 0.8 i

- 0.6 j

). Para el plano.
A = 18 [m](0.4 i

- 0.5 j

+ 0.8 k

) Para el espacio.
-14 m
18 m
j

i

A
y
xO
k

j

i

4 m/s2
- 5 m/s2
7 m/s2
7 m/s2
z
A
y
x
O
-0,6 j

0,8 i

A = 12 [N] A
y
x
O
μA(Magnitud = 1)
0,8 k

-0,5 j

0,4 i

z
A = 18 [m] μA
y
x
O
μA(Magnitud = 1)

54 FISICA 1
ALGEBRA VECTORIAL
3.4. OPERACIONES CON VECTORES:
La importancia misma de conocer el álgebra vectorial y manejárla, es su aplicación en el campo de la
Mecánica Newtoniana, ya que muchas de las magnitudes como desplazamientos, velocidades,
aceleraciones, fuerzas, momentos son otros ejemplos de de cantidades físicas que poseen magnitud y
dirección y que sepueden operar siguiendo ciertas reglas.
Las operaciones con vectores son: Suma y resta de vectores, forma analítica y gráfica. Multiplicación de
vector, como: Producto de un escalar por un vector, Producto Escalar y Producto vectorial. División de un
vecptor por un escalar.
3.4.1. SUMA Y RESTA DE VECTORES.
A la suma y resta de vectores se le considera como una sola operación llamada “Suma Algebraica”, ya
que se puede escribir la diferencia como una suma. Así por ejemplo: A – B = A + (-B ). La suma y resta
puede realizar, graficamente y analíticamente.
3.4.1.1. Suma y resta de vectores gráficamente.- Si un vector tiene módulo, dirección y sentido, la
suma oresta de vectores no obedece las reglas del álgebra ordinaria, para lo cual se den definir ciertos
procedimientos o métodos para sumar o restar, este proceso se expresa convenientemente en términos
gráficos. Para sumar y restar existen tres métodos: método del paralelogramo, método del triángulo y
método del polígono.
Método del Paralelogramo.- Para sumar o restar dos vectores, se escoge un punto de común o eje de
coordenadas y a partir de este punto se colocan los orígenes de los vectores con su mismo módulo,
dirección y sentido, luego se trazan paralelas a los vectores formando un paralelogramo, la diagonal que
parte del punto común, es el vector resultante.
Ejemplo:
Método del triángulo.- A partir de la ley del paralelogramo tenemos el método del triángulo para sumar o
restar dos vectores. Se colocan los vectores uno a continuación del otro con su mismo módulo dirección y
sentido y el vector resultante es la unión de origen del primero con el extremo del segundo.
Ejemplo:
B
A
A
B
R = A + B
A
B
R = A + B
R = A + B
B
y
x
-B
AO
R = A - B
y
x
B
AO

55
ALGEBRA VECTORIAL
Método del Polígono.- Este método sirve para sumar más de dos vectores, para lo cual se colocan los
vectores uno a continuación de otro y el resultante es la unión del origen del primer vector con el extremo
del último vector.
Ejemplo:
3.4.1.2. Suma y resta de vectores Analíticamente.- Para sumar o restar dos o más vectores
analíticamente, se puede realizar de dos formas, geometricamente y vectorialmente.
3.4.1.3. Suma y resta de vectores Geométricamente.- Este método sirve para determinar la suma o
resta de dos vectores que forman un triángulo o paralelogramo y se puede encontrar su módulo y
dirección del vector resultante, utilizando la Ley del Coseno y la Ley de Seno.
3.4.1.4. LEY DEL COSENO:
3.4.1.4.1. Cálculo del Módulo de la suma o resta de vectores por el método del triángulo.- Sean los
vectores A y B y si B forma un ángulo con la horizontal, se tiene:
Aplicando la Ley del Coseno se dice: “En todo
triángulo, cualquier lado al cuadrado es igual a
la suma de los cuadrados de los otros dos
lados menos el doble producto de los lados
adyacentes por el coseno del ángulo opuesto al
lado”. De acuerdo al triángulo de la fig. (3.16),
cuyos lados son R, A y B, tenemos:
cos2222
ABBAR
cos222
ABBAR
Donde , es el ángulo opuesto al lado R y es igual: = 180° - .
3.4.1.4.2. Cálculo del Módulo de la suma o resta de vectores por el método del paralelogramo.- Si
aplicamos la misma ley al paralelogramo formado por los vectores A y B, que forman el ángulo .
C
BA
D
C
B
A
-D
R = A + B + C - D
B
A
O
D
Bsen
Bcos
R B
A
B
P
Q O
D
Bsen
Bcos
R B
A
P
Q
R B
180° -
A Fig.3.16
Figs. 3.17
C
B
A
D
R = A + B + C + D

56 FISICA 1
ALGEBRA VECTORIAL
Si consideramos el triángulo rectángulo OQP y el triángulo rectángulo DQP, de las figuras 3.17),
tenemos:
Aplicando el teorema de Pitágoras al primer triángulo tenemos:
(OP)2 = (OQ)2 + (QP)2, pero sabemos que:
OP = R; OQ = OD + DQ; pero así mismo: OD = A y DQ = Bcos (componente en x del vector B ); y QP =
Bsen (componente en y del vector B ).
R2 = (A + Bcos )2 + (Bsen )2 = A2 + 2ABcos + B2cos2 + B2sen2 , sacando factor común a los dos
últimos términos tenemos:
R2 = A2 + 2ABcos + B2(cos2 + sen2 ), pero: cos2 + sen2 = 1.
R2 = A2 + 2ABcos + B2.
R2 = A2 + B2 + 2ABcos .
cos222
ABBAR
3.4.1.4.3. Cálculo de la dirección del vector resultante.- La dirección del vector está dada por el ángulo
que forma la resultante con uno de los vectores, en este caso con el vector A y de acuerdo al triángulo
rectángulo OQP, tenemos:
R
QP
sen =
cos222
ABBA
Bsen
De igual forma en el mismo triángulo rectángulo y aplicando la función tangente tenemos:
cos
tan
BA
QP
=
cosBA
senB
.
3.4.1.5. LEY DEL SENO:
3.4.1.5.1. Cálculo del módulo y dirección de la suma o resta de vectores.- Si se tiene una gráfica de
la suma o resta de dos vectores por el método del triángulo o paralelogramo, se puede también aplicar la
Ley del Seno, para determinar analíticamente su resultante y dirección, la misma que dice: “En todo
triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”. De acuerdo a la figura
(3.18), y si se tienen los lados R, A y B y además los ángulos , y , se obtiene:
sen
R
sen
B
sen
A
3.4.1.5.2. Suma y resta de vectores vectorialmente.- Para sumar o restar dos o más vectores
vectorialmente, se puede realizar de dos formas: en función de sus componentes rectangulares y en
función de sus vectores base.
R B
180° -
A
Fig. 3.18

57
ALGEBRA VECTORIAL
3.4.1.5.3. En función de sus componentes rectangulares.- Si se tienen dos o más vectores, ya sea
en el plano o espacio, es conveniente seguir los siguientes pasos.
1.- Se trasladan todos los vectores a sumarse o restarse al
origen de coordenadas.
2.- Se descomponen los vectores en sus componentes
rectangulares, las proyecciones de los vectores en cada uno
de los ejes x, y para el plano, en los ejes x, y y z, en el caso
del espacio.
3.- Se suman sus componentes algebraicamente.
Sean los vectores de la (figura 3.19), A, B y C ;
A = (Ax ; Ay); B = (Bx ; By); C = (Cx ; Cy).
Entonces,
R = A + B + C, donde;
Para el Plano.
A = (Ax ; Ay); B = (Bx ; By); C = (Cx ; Cy). Entonces,
R = [(Ax + Bx + Cx) ; (Ay + By + Cy)]
R = (Rx ; Ry).
Para determinar el módulo del vector, se tiene:
R = 22
yx RR .
Para determinar la dirección del vector resultante de acuerdo a la (figura 3.20), tenemos:
x
y
R
R
tan .
Para el espacio.
Sean los vectores de la (figura 3.21);
A = (Ax ; Ay ; Az); B = (Bx ; By ; Bz); C = (Cx ; Cy ; Cz).
Entonces su resultante es;
R = [(Ax + Bx + Cx) ; (Ay + By + Cy) ; (Az + Bz + Cz)]
R = (Rx ; Ry ; Rz).
Para determinar el módulo del vector, tenemos:
O
Ay
Az
B
By
Bx
Bz
Cz
Cy C
A
z
y
Cx
Ax
x
By
Bx
B Ay
A
CCy
Cx
Ax
y
xO
Fig. 3.19
R
Ry
Rx
O
y
x
Fig. 3.20
Fig. 3.21

58 FISICA 1
ALGEBRA VECTORIAL
R = 222
zyx RRR .
Para determinar la dirección del vector, hay que determinar los ángulos
directores del vector con respecto a cada uno de los ejes de
coordenadas como muestra la (figura 3.22).
R
Rx
xcos ;
R
Ry
ycos ;
R
Rz
zcos .
3.4.1.5.4. En función de sus vectores base.- Si se tienen dos o más vectores, ya sea en el plano o
espacio, es conveniente seguir los siguientes pasos.
1.- Se trasladan todos los vectores a sumarse o restarse al origen de coordenadas.
2.- Se descomponen los vectores en sus componentes rectangulares, las proyecciones de los
vectores en cada uno de los ejes x, y en el caso del plano, y en los ejes x, y y z, en el caso del
espacio.
3.- Se suman sus componentes algebraicamente.
Si se tiene los vectores A, B y C,
Para el plano:
A = jAiA yx

B = jBiB yx

C = jCiC yx

Entonces su resultante es:
R = A + B + C , donde; R = [ ( jAiA yx

) + ( jBiB yx

) + ( jCiC yx

)].
R = ( )jRiR yx

.
Su módulo y dirección es:
R = 22
yx RR .
x
y
R
R
tan .
Para el espacio.
Sean los vectores;
Cx i

By j

Bx i

B
Ay j

A
C
Cy j

Ax i

y
xO
R
Ry j

Rx i

O
y
x
z
y
x
Rx
O
Ry
Rz
R
z
y
x
Fig. 3.22

59
ALGEBRA VECTORIAL
A = kAjAiA zyx

B = kBjBiB zyx

C = kCjCiC zyx

Entonces su resultante es:
R = A + B + C;
R = [ ( kAjAiA zyx

) + ( kBjBiB zyx

) +
( kCjCiC zyx

)].
R = ( )kRjRiR zyx

.
Su módulo y ángulos directores.
R = 222
zyx RRR .
R
Rx
xcos ;
R
Ry
ycos ;
R
Rz
zcos
3.4.1.5.5. Propiedades de la suma vectorial:
1.- Propiedad Conmutativa.- El orden de los vectores no altera su resultante.
A + B = B + A
2.- Propiedad Asociativa.- Si se suman primero dos vectores y luego se suma un tercero, su resultante
no cambia.
( A + B ) + C = A + ( B + C )
3.- Propiedad Distributiva Vectorial.- Si se multiplica un escalar por la suma de vectores es igual al
producto del escalar por cada vector.
m ( A + B ) = mA + mB
4.- Propiedad Distributiva Escalar.- Si se multiplica un vector por la suma de dos escalares es igual al
producto del vector por cada escalar.
A ( m + n ) = mA + nA
5.- Propiedad del Idéntico Aditivo.- Si se suma un vector con un vector nulo, su resultado es el mismo
vector.
A + 0 = A
O
Ay j

Az k

B
By j

Bx i

Bz k

Cz k
 Cy j

C
A
z
y
Cx i

Ax i

x
z
y
x
Rx i

O
Ry j

Rz k

R
z
y
x

60 FISICA 1
ALGEBRA VECTORIAL
6.- Propiedad del Inverso Aditivo.- La suma de un vector con su vector negativo, su resultado es nulo (
cero ).
A + ( - A ) = 0
3.4.2. MULTIPLICACIÓN DE VECTORES:
La multiplicación de vectores de diferente naturaleza permite generar cantidades físicas diferentes a la
que las generaron. Por su puesto que no se puede generalizar las reglas de multiplicación para escalares,
pues los vectores tienen a más de la magnitud una dirección y un sentido; a continuación definiremos tres
tipos de productos que se pueden efectuar entre vectores: Multiplicación de un escalar por un vector,
Producto escalar y Producto Vectorial.
3.4.2.1. MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR.
Cuando multiplicamos un escalar k por un vector A, obtenemos un nuevo vector cuyo módulo es k veces
la longitud del vector A. Este nuevo vector tiene la misma dirección del vector y su sentido será: el mismo
que el de A cuando k 0, opuesto al de A si k 0, y el vector será nulo cuando k = 0, como se observa
en la (figura 3.23).
Si k es el escalar y,
A = kAjAiA zyx

, entonces tenemos:
k veces
k.A = A + A + ........ + A
k.A = k ( kAjAiA zyx

)
k.A = kAkjAkiAk zyx

...
Propiedades de la multiplicación de un escalar por un vector:
1.- Propiedad Conmutativa.- El orden del producto del escalar por el vector no altera su resultado.
a . A = A . a
2.- Propiedad Asociativa.- Si se multiplica primero un escalar por un vector y luego se multiplica por un
segundo escalar, su resultado no cambia.
a ( b . A ) = ( a . b ) . A
3.- Propiedad Distributiva Vectorial.- Si se multiplica un escalar por la suma de vectores es igual al
producto del escalar por cada vector.
a . ( A + B ) = a .A + a .B
-B = -kA
B = kA
A
Fig. 3.23

61
ALGEBRA VECTORIAL
4.- Propiedad Distributiva Escalar.- Si se multiplica un vector por la suma de dos escalares es igual al
producto del vector por cada escalar.
( a + b ) . A = a . A + b . A
3.4.2.2. PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO.
Se define como Producto Escalar o Producto Punto de dos vectores al escalar que se obtiene al
multiplicar los módulos de los dos vectores por el Coseno del ángulo menor comprendido entre ellos.
Al producto escalar entre dos vectores A y B de la (figura 3.24), se indica colocando
entre ellos un punto ( ), y su definición se traduce en la siguiente relación:
A B = A B Cos
3.4.2.2.1. ANÁLISIS DEL ANGULO COMPRENDIDO ENTRE VECTORES.
Para analizar los diferentes casos del producto escalar, tamos en cuenta que:
Cos 0° = 1
Cos 90° = 0
Cos180° = - 1.
a) Producto Escalar de dos vectores paralelos.- Su resultado es igual al producto de sus módulo, se
presentan dos casos:
i) Es positivo si van en el mismo sentido. ii) Es negativo si tienen sentidos opuestos.
BA

BA

= A B cos 0° = A B cos 180°
= A B (1) = A B (-1)
= A B = - A B
b) Producto escalar de dos vectores perpendiculares.- El producto de dos vectores perpendiculares,
cuyo ángulo es de 90° su resultado es nulo (cero).
= A B cos 90°
= A B (0)
= 0
De lo anterior podemos concluir que:
B
A
Fig. 3.24
0°
B
A B
180°
A
A B
A B
A BA B
A B
A B
A B
A B
A B B
A
90°
k

j

i


62 FISICA 1
ALGEBRA VECTORIAL
1
1
1
kk
jj
ii



0
0
0
ik
kj
ji



c) Producto escalar de un vector por sí mismo.- El producto de un vector por sí mismo, es un caso de
vectores paralelo y su resultado es el módulo al cuadrado.
= A A cos 0°
= A2 (1)
= A2
d) Producto escalar en función de sus vectores base.
Sean los vectores:
A = kAjAiA zyx

B = kBjBiB zyx

3.4.2.2.2. PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR.
1.- El producto escalar es conmutativo:
2.- El producto escalar es distributivo por la derecha y por la izquierda, respecto a la suma.
A ( B + C ) = ( B + C ) A
A B + A C = B A + C A
3.- El producto escalar es distributivo respecto al producto de un escalar.
m (A B ) = (m A) B = A ( m B) = ( A B ) m
A A
A A
A A
A B = ( kAjAiA zyx

) ( kBjBiB zyx

)
A B = (AxBx)( ii

. ) + (AxBy)( ji

. ) + (AxBz)( ).ki

+ (AyBx)( ij

. ) + (AyBy)( jj

. ) +
(AyBz)( ).kj

+ (AzBx)( ).ik

+ (AzBy)( jk

. ) + (AzBz)( ).kk

.
A B = (AxBx)(1) + (AxBy)( 0 ) + (AxBz)( )0 + (AyBx)( 0 ) + (AyBy)(1) + (AyBz)( )0 +
(AzBx)( )0 + (AzBy)( 0 ) + (AzBz)( )1 .
A B = AxBx + AyBy +AzBz.
A B = B A

63
ALGEBRA VECTORIAL
3.4.2.2.3. APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR:
1.- Cálculo del ángulo formado por dos vectores.
Si igualamos las dos ecuaciones:
A B = A B Cos
Entonces tenemos;
A B Cos = AxBx + AyBy +AzBz.
Cos =
BA
zzyyxx BABABA
Cos =
BA
BA
2.- Cálculo de la proyección de un vector sobre otro.
La aplicación más frecuente geometricamente es el cálculo de la proyección
de un vector sobre otro, como muestra la (figura 3.25).
Según la trigonometría y de acuerdo a la (figura 3.25), la proyección del vector
B sobre A, tenemos:
Cos =
B
BA
, despejando BA,
BA = B Cos , para hacerle vector al módulo de la proyección, multiplicamos por el unitario del vector A,
por ser paralelo y estar en la misma dirección.
BA = B.cos A

. De igual forma, la proyección del vector A sobre B, tenemos:
AB = A . cos B

3. Cálculo del Trabajo en Mecánica.
Por definición de trabajo decimos que es un producto escalar de la fuerza ( F ) por el desplazamiento ( r
) o por la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento y tenemos:
W = F r = F r cos .
3.4.2.3. PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ.
El Producto Vectorial o Producto Cruz de dos vectores A y B, es un
nuevo vector C, y se escribe utilizando una cruz entre los símbolos:
A B = AxBx + AyBy +AzBz.
BA
B
A
C = A x B
B
A
Fig. 3.25
Fig. 3.26

64 FISICA 1
ALGEBRA VECTORIAL
C = A x B
Este nuevo vector tiene las siguientes características:
Módulo.- La magnitud de A x B, es igual al producto de los módulos de los
vectores por el seno del ángulo menor comprendido entre ellos.
C = A B sen
Dirección.- El nuevo vector C es perpendicular al plano determinado por los
vectores dados, como muestra la (figura 3.26).
Sentido.- El sentido se determina según reglas prácticas, como son: regla de la
mano derecha y la regla del tornillo o sacacorchos, como se observa en la (figura
3.27).
Regla de la mano derecha.- Se hace girar el primer vector hacia el segundo, con los dedos de la mano
derecha se señala el sentido de rotación, el pulgar marca el sentido del vector C.
Regla del Tornillo.- El vector A giramos hacia el vector B, ésta rotación hacemos coincidir con el giro de
un tornillo de rosca derecha, el sentido de avance del tornillo corresponde al sentido del vector C.
3.4.2.3.1. ANÁLISIS DEL PRODUCTO VECTORIAL.
Para analizar los diferentes casos del producto vectorial, tamos en cuenta que:
Sen 0° = 0
Sen 90° = 1
Sen180° = 0.
a) Producto Vectorial de dos vectores paralelos.- Su resultado es nulo (cero), se presentan dos casos:
i) Es positivo si van en el mismo sentido. ii) Es negativo si tienen sentidos opuestos.
BA

BA

= A B sen 0° = A B sen 180°
= A B (0) = A B (0)
= 0 = 0
b) Producto vectorial de dos vectores perpendiculares.- El producto vectorial de dos vectores
perpendiculares, cuyo ángulo es de 90° su resultado es máximo igual al producto de sus módulos.
= A B sen 90°
= A B (1)
= A B
0°
B
A
B
180°
A
A x B
A x B
A x BA x B
A x B
A x B
A x B
A x B
A x B
B
A
90°
Fig. 3.27

65
ALGEBRA VECTORIAL
De lo anterior podemos concluir que:
0
0
0
kk
jj
ii



jik
ikj
kji



jki
ijk
kij



c) Producto vectorial de un vector por sí mismo.- El producto de un vector por sí mismo, es nulo (cero)
= A A sen 0°
= A2 (0)
= 0
d) Producto vectorial en función de sus vectores base.
Sean los vectores:
A = kAjAiA zyx

B = kBjBiB zyx

La expresión anterior se puede expresar en forma de determinante cuadrático de 3 x 3, por su fácil
operatividad:
C = A x B =
zyx
zyx
BBB
AAA
kji

yx
yx
BB
AA
ji

C = A x B = (AyBz - AzBy) i

+ (AzBx – AxBz) j

+ (AxBy – AyBx) k

3.4.2.3.2. PROPIEDADES DEL PRODUCTO
VECTORIAL.
1.- El producto vectorial no es conmutativo:
A x A
A x A
A x A
A x B = ( kAjAiA zyx

) x ( kBjBiB zyx

)A x B = (AxBx)( ii

) + (AxBy)( ji

) + (AxBz)( )ki

+ (AyBx)( ij

) + (AyBy)( jj

) +
(AyBz)( )kj

+ (AzBx)( )ik

+ (AzBy)( jk

) + (AzBz)( )kk

.
A x B = (AyBz - AzBy) i

+ (AzBx – AxBz) j

+ (AxBy – AyBx) k

A x B - B x A
k

j

i

A x B = (AxBx)(0) + (AxBy)( k

) + (AxBz)( )j

+ (AyBx)( k

) + (AyBy)( 0 ) +
(AyBz)( )i

+ (AzBx)( )j

+ (AzBy)( i

) + (AzBz)( )0 .
-C = - B x A
B
A
C = A x B
B
A

66 FISICA 1
ALGEBRA VECTORIAL
2.- El producto vectorial es distributivo por la derecha y por la izquierda, respecto a la suma.
A x ( B + C ) = (A x B + A x C )
3.- El producto vectorial es distributivo respecto al producto de un escalar.
m (A x B ) = (m A) x B = A x ( m B) = ( A x B ) m
3.4.2.3.3. APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL:
1.- Cálculo del área del paralelogramo formado por dos vectores.- El área de un paralelogramo
formado por los vectores es igual al módulo del producto vectorial.
Si sabemos que:
Área = base x altura
Área = A . h, pero altura de acuerdo a la (figura 3.28), es
Sen = senBh
B
h
Área = A B sen
Área = C = A x B = A B sen
2.- Cálculo del vector velocidad lineal en el movimiento circular.- El vector v de un punto que se
mueve con movimiento circular, es igual al producto vectorial del vector
velocidad angular por el vector r.
v = x r = . r sen 90°
v = . r
3.- Cálculo del vector aceleración tangencial en el movimiento circular.- El vector aceleración
tangencial at de un punto que se mueve con movimiento circular,
es igual al producto vectorial del vector aceleración angular por
el vector posición r.
at = x r = . r sen 90°
at = . r
3. Cálculo del vector aceleración centrípeta en el movimiento
circular.- El vector aceleración centrípeta ac de un punto que se
mueve con movimiento circular, es igual al producto vectorial del
vector velocidad angular por el vector velocidad lineal v.
ac = x v = . v sen 90°
ac = . v.
h
Fig. 3.28

67
ALGEBRA VECTORIAL
3.5. ACTIVIDAD N°- 05
CONTESTE:
1. Realice un esquema u organizador gráfico de todos los contenidos de la unidad.
2. Haga un resumen de las fórmulas utilizadas en esta unidad.
3. ¿En qué se diferencias las magnitudes vectoriales de las magnitudes escalares?.
4. ¿Qué es un vector?. De tres ejemplos.
5. ¿Cómo se puede determinar la magnitud de un vector?.
6. ¿Qué puede decir de los vectores que tienen el mismo vector unitario?
7. ¿Qué condición deben cumplir las cantidades físicas, para que se traten como vectores?.
8. Para determinar el unitario de un vector, no debemos necesariamente conocer el módulo de dicho
vector. Explique.
9. ¿Qué métodos se utiliza para sumar vectores gráficamente?.
10. ¿Se aplican las leyes asociativa y conmutativa a la sustracción de vectores?.
11. ¿Puede ser cero la magnitud de un vector si alguna de sus componentes es diferente de cero?.
12. ¿Puede un producto escalar ser una cantidad negativa?.
13. Se ha hecho convencional el uso de la mano derecha en la regla del producto vectorial. ¿Cuáles
serían los cambios necesarios si, en vez de ésta, se usara una convención de mano izquierda?.
14. Enumere algunas aplicaciones del producto escalar.
COMPLETE:
15.- Al par ordenado (A ; ) se le denomina coordenadas ............................................................
16.- Cuando el punto de aplicación de un vector se traslada a lo largo de su línea de acción, el vector se
llama ..............................................
17.- El vector ................................ carece de dirección y sentido.
18.- El ángulo que forma un vector con el eje positivo de las x en sentido antihorario, representa
...................................... del vector
19.- El producto vectorial i x j es .................................................. .
20.- El producto ................................ entre dos vectores nos da un escalar.
21.- Cuando se realiza el producto ........................................... entre dos vectores A y B, se obtiene un
vector C perpendicular a A y B.
22.- Complete la siguiente tabla.
 Nunca trate de elaborar las actividades solicitadas sin antes haber estudiado
los temas indicados, pues existen algunas preguntas que no podrá
realizarlas sin un adecuado conocimiento.
 En los ejercicios prácticos y de investigación que se solicitan, sea lo más
ordenado y detallista posible, ya que estas características permitirán
establecer el nivel de conocimientos adquiridos por usted.
Experimento
Determinar la suma y resta de vectores gráfica y analíticamente utilizando las leyes del seno y
coseno.
Construir y demostrar las propiedades y características de los vectores en el espacio.
AHORA A TRABAJAR

68 FISICA 1
ALGEBRA VECTORIAL
Concepto Magnitud vectorial Magnitud escalar
Tiempo x
Desplazamiento
Velocidad
Densidad
Masa
Posición
Longitud
Fuerza
Temperatura
Aceleración
INTERPRETE:
23.- Un estudiante de Física afirma que “la lluvia es una magnitud física de carácter vectorial porque tiene
dirección”. Refute esta afirmación.
24.- Un auto recorre 35 km. hacia el norte y luego 60 km. hacia el este y finaliza su recorrido con 25 km. al
noreste.
a) Represente gráficamente las distancias recorridas.
b) Represente gráficamente el vector desplazamiento.
25.- A continuamos enunciamos algunas situaciones para que las analice y aprenda la forma cómo se
operan los vectores:
a) Si decimos que la distancia entre la ciudad A y la ciudad B es de 322 km, y que entre la ciudad B
y la ciudad C hay 358 km. ¿Se puede suponer que la distancia que separa la ciudad A de la
ciudad C es 322 km + 358 km 0 680 km?. ¿Por qué?.
b) Supongamos que un bote navega en altamar con una velocidad de 20 km/h y el viento sopla con
una velocidad de 5 km/h. ¿Puede afirmar cuál es la velocidad resultante del bote?. ¿Por qué?.
26.- a) Demuestre que si se invierte la dirección de todas las componentes de un vector, entonces el
vector mismo invierte su dirección.
b) Demuestre que si todos los vectores de un producto vectorial se invierten, entonces el producto
vectorial no cambia.
c) Entonces, ¿ es un vector el resultado de un producto vectorial?.
27.- ¿Se debe especificar un sistema de coordenadas al a) sumar vectores, b) considerar su producto
escalar, c) considerar el producto escalar, d) determinar sus componentes.
3.6. EJERCICIOS DE APLICACIÓN.
1.- Representar gráficamente los siguientes puntos:
A(2 ; 5 ; 0); B(-1 ; -5 ; 0); C(0 ; 5 ; 3); D(6 ; 0 ; -4); E(5 ; 7 ; 8); F(-4; -6 ; -5); G(-5 ; -4 :6); H(7 ; -5 ; 3); I(-5 ;
6 ; -3).

69
ALGEBRA VECTORIAL
2.- Representar gráficamente los siguientes vectores:
A = (40 N ; 35°).
B = (10 m/s ; N30°O).
C = (20 kg-f ; 235°).
D = ( kji

568 ) m/s2.
E = ( 15 m ; S15°E).
M = ( kji

565 ) [N].
3.- Determinar el módulo y la dirección de los siguientes vectores:
4.- A continuación se dan las proyecciones de los vectores sobre los ejes x, y y z.
a) M = (4 ; 0 ;5).
b) N = (6 ; 8)
c) Q = (7 ; -5 ; 6).
d) P = (-4 ; 5 ; 3).
Exprese cada uno de los vectores en términos de:
i) Unitarios normalizados.
ii) Calcular su módulo.
iii) Calcular su unitario.
70°
50 kg-f
Q
O E
S
N
75°
12 m/s
D
x
y
50°
20 m/s2
Q
O E
S
N
60°
40 m
P
x
y

70 FISICA 1
ALGEBRA VECTORIAL
5.- La figura muestra puntos en el espacio, asumiendo que
los vectores parten del origen a los puntos indicados, trace
los vectores y escriba en términos de las proyecciones sobre
los ejes.
6.- Dados los siguientes vectores:
A = ( 7 ; 5 ; -8) N.
B = (30 kg-f ; E37°N ; 25°)
C = (15 m/s ; 215°)
D = (50 m ; 76° 120° ; z)
E = 40 m/s2 ( kji

4,07,06,0 )
F = ( kji

1425 ) N.
Expréselos en las otras formas de determinar un vector, en cada uno de los casos:
DATOS: MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS
7.- Los vectores cuyos datos se dan a continuación, parten del punto A y llegan al punto B. Determine
para cada uno de los casos:
a) Graficar los puntos y trazar el vector respectivo.
b) Expresar en términos de i

, kyj

.
c) El módulo de cada vector.
d) El unitario de cada vector.
e) Los ángulos que forman con cada uno de los ejes, x, y y z.
f) Expresar los vectores en función de su módulo y dirección.
g) Expresar los vectores en coordenadas geográficas.
1. A = (-4 ;3) B = (-5 ; 2)
2. A = (10 ; -14 ; 13) B = (-8 ; -16 ; 6)
3. A = (5 ; 3 ; 2) B = (-4 ; 10 ; -7)
DATOS: MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS

71
ALGEBRA VECTORIAL
8.- Dados los siguientes vectores:
Determinar gráficamente por los métodos estudiados las siguientes operaciones.
a) A + B
b) B - D
c) A + B - C
d) A + D + E
e) A – B + C + D - E
f) (A + B) – (C + D)
g) (B – C) + (D – E)
9.- Con los datos del ejercicio 8, determinar analíticamente, por los métodos del coseno y seno, las
siguientes operaciones.
a) B - A
b) D + E
c) E + B
d) A - C
150°
30°
E
D
CB
A

72 FISICA 1
ALGEBRA VECTORIAL
10.- Dados los vectores A y B de magnitudes 30 y 45 cm y sus unitarios son:
kjA

95,030,0
kjiB

4,070,060,0
y el vector C = kji

1275
Expresar el vector resultante de:
a) 2 A + 2
1
B - 4
1
C
b) 2 A – 5 B + 4 C
11.- Dados los vectores M = (4 ; -6 ; 0). El vector Nxz tiene de módulo 30 unidades y está en la dirección
N30°O y el vector P de módulo 15 unidades formando un ángulo de depresión de 25° y se dirige S30°E.
Encuentre el valor de las siguientes expresiones.
a) 3 M + 2 N – 4 P
b) (M + N) – P + (N – P) + M
12.- Dados los vectores: A = (3 ; 5); B = (-6 ; 7 ;5); C = (3 ; -5 ; -4) y D = ( 4 ; 5 ; -3). Determinar:
a) A B.
b) (2 A + 3 B) C .
c) El ángulo entre A y B.
d) La proyección de B sobre C.
e) A x B.
f) El módulo del producto vectorial entre A y B.
g) Los ángulos directores del producto vectorial.
h) El área del paralelogramo formado por A y B.
i) Un vector perpendicular al plano formado por A y B igual al módulo de C + D.
j) Un vector en la dirección de la bisectriz entre A y B de módulo igual a D – C.
DATOS MODELO PLANTEAMIENTO SOLUCION ANALISIS

73
ALGEBRA VECTORIAL
3.7. EJERCICIOS PROPUESTOS.
1.- Un vector cuya magnitud es 16 unidades hace un ángulo de 140° con la dirección de las x. Cuáles son
las componentes x e y de este vector?. R. –12,3 ; 10,3.
2.- Un aeroplano, volando en su ruta, ha realizado un desplazamiento con componentes Dx = –1.78 km y
Dy = 2.96 km. Determinar el módulo y la dirección del desplazamiento en coordenadas polares y
geográficas. R. (3.45 km; 121°); (3.45 km; N59°O).
3.- Dado los vectores A = 80 m/s hacia el Norte y B = 60 m/s dirigido hacia el Oeste. Determinar el
módulo, dirección y sentido en coordenadas polares y geográficas. R. (100 m/s; 53.14°) ; (100 m/s ;
N36.86°E).
4.- Una lancha va hacia el norte cruzando un lago. Después de haber
cubierto una distancia de 2 km, la lancha cambia su dirección, y
habiendo avanzado 3 km más está exactamente al Noroeste de su punto
de partida. Encuentre la dirección de la lancha cuando cambió de rumbo
y la distancia total desde el punto de partida. R. N73°O; 4,06 km
5.- Dos vectores forman un ángulo de 110°. Uno de ellos tiene 20
unidades de longitud y hace un ángulo de 40° con el vector suma de
ambos. Encontrar la magnitud del segundo vector y la del vector suma.
R. 13,7 u ; 20 u.
6.- Tres vectores situados en un plano, tienen 6, 5 y 4 unidades de
longitud. El primero y el segundo forman un ángulo de 50° mientras que
el segundo y el tercero forman un ángulo de 75°. Encontrar la magnitud
del vector resultante y su dirección con respecto al vector mayor. R. 9,92 u; 45°.
7.- Expresar el vector C = ( ji

912 ) en:
a) Coordenadas rectangulares.
b) Coordenadas polares.
c) Coordenadas geográficas.
d) Función de su módulo y unitario.
8.- Expresar el vector D = (17 m; S32°O). En:
a) Coordenadas polares.
b) Coordenadas rectangulares.
c) Función de sus vectores base.
d) Función de su módulo y unitario.
R. a) (17m ; 238), b) (-9.01 ; -14.42)m, c) ji

42.1401.9( ), d) 17m( ji

85.053.0 ).
9.- Expresar el vector F = 120 km ( jim

488,0 ) en:
a) Función de sus vectores base.
b) Coordenadas rectangulares.
c) Coordenadas polares.
d) Coordenadas geográficas.
10.- Si C = ( -200 ; 200)m/s; D = ( 500m/s ; N70°E) y E = 400 m/s( ji

764.0654.0 ). Hallar
gráficamente y analíticamente: C – D – E.
11.- Un avión vuela de la ciudad A a la ciudad B, en una dirección Este y recorre 800 millas. En la parte
siguiente del viaje el avión vuela de la ciudad B a la ciudad C, en una dirección de 40° hacia el Noreste y
recorre 600 millas. Cuál es el desplazamiento resultante del avión entre la ciudad A y la Ciudad C?. R. 1
200 millas al E. y 386 millas al norte; R = ( ji

3601260 ) millas.
12.- El vector A tiene las componentes x, y, z de 8, 12 y - 4 unidades, respectivamente, a) Escriba una
expresión vectorial para A, en notación de vectores unitarios, b) Obtenga una expresión en términos de
vectores unitarios para un vector B que mida la cuarta parte de la longitud de A y apunte en la misma
dirección que A. c) Obtenga una expresión en términos de vectores unitarios para un vector C que sea
O
C
3 km
B
N-O
N
45°
2 km
A

74 FISICA 1
ALGEBRA VECTORIAL
tres veces más largo que A y apunte en la dirección opuesta a la de A. R. a) A = ( kji

4128 ); b)
A/4 = B = ( kji

32 ); c) C = 3 A = ( kji

123624 ).
13.- Dados los vectores D = ( 5 km; 63°), E = ( -7 ; -1) km, y F = ( 4 km; S70°E). Determinar:
a) 2D + E + 3F.
b) E – D – 2F.
c) D E.
d) D – ( E x F ).
e) La proyección de E sobre D.
f) El ángulo comprendido entre E y F.
g) El área del paralelogramo formado por los vectores D y E.
R. a) ( ji

81.382.8 ) km; b) ( ji

79,279.16 ) km; - 20,35; ( kji

35,1346,427,2 ); e)
( ji

63,385,1 ); f) 151,90°; g) 28,95 km2.
14.- Dados los vectores E = ( 70 kgf; Oeste), F = ( 50 kgf ; SE), G = 80 kgf( ji

6,08,0 ), y H =
( ji

3825 ) kgf. Determinar:
a) 4
1 F + 3E - 2
1 G + 2H.
b) ( E – G ) x ( F + H )
c) ( H + E ) ( G – F ).
d) ( E F ) + ( G H ).
e) ( G x H ) – ( E x F ).
f) La proyección de E sobre G.
g) El ángulo comprendido entre E y F.
h) El área del paralelogramo formado por los vectores H y E.
15.- Dadas las coordenadas de los vectores, A = ( 3 ; 4 ; 7) y B = ( 4 ; 2 ; -4). Determinar.
a) La suma de A + B.
b) El módulo y los ángulos directores de A + B.
c) Comprobar si son perpendiculares A y B.
d) El producto escalar entre A y B.
e) La proyección de A sobre B.
f) El producto vectorial entre A y B.
g) El área del paralelogramo formado por los vectores A y B.
h) Un vector perpendicular al plano formado por los vectores de módulo 60 N.
i) Un vector en la dirección de la bisectriz formada por A y B de módulo 100 N.
16.- Los cubos de la figura tienen 12 cm de arista a partir de ellos encuentre:
a) El valor de la expresión: 3AC + 2KC - KE - 3
1 HC
b) El ángulo entre GF y HA
c) EL vector proyección JE sobre DF
d) Un vector perpendicular a GK y KC, verifique la perpendicularidad
del vector encontrado.
R. a) R = ( kji

523248 ), b) = 75,03°, c) No existe
proyección ya que entre JE DF hay ángulo recto. d) M =
( kji

144144144 ), los vectores son perpendiculares.
17.- Encontrar el ángulo formado por la velocidad y la aceleración en
el instante en que la rapidez es 30 m/s en la dirección N30°O y en un
ángulo de elevación de 45°. La aceleración es de 5 m/s2 en la
dirección ( kjci

4,06,0 ).
R. = 117,064°.
18.- Dos pistoleros A y B se encuentran sobre el mismo plano horizontal. B se encuentra respecto a A en
el punto (-4; 0 ; -5) metros. El pistolero B lanza una moneda en la línea de la dirección (S 40° E), ángulo
K
J I
H
G F
E
D
B
A
CO
y
x
z

75
ALGEBRA VECTORIAL
de elevación de 60° y cuando recorre una distancia de 30 metros es impactada por una bala del pistolero
A. determinar:
a) La dirección del disparo.
b) El vector unitario paralelo a la dirección del lanzamiento de la
moneda.
19.- En la figura Determinar:
a).- La posición geográfica de L con respecto a Q.
b).- La proyección de OQ sobre QL.
c).- El unitario de V = LN - 2PQ
20.- Dados los puntos A(2, 1, 2); B(5, -1, 4) y C(7,2,1). Determinar
los siguientes vectores:
a). D paralelo a AB y de módulo 15N.
b). E perpendicular al triángulo ABC y módulo 20.
c). F de módulo 10 u y paralelo a la bisectriz del ángulo ABC.
d). G en la dirección de AC y con módulo igual al módulo de la proyección de AB sobre BC.
e). Determinar "m" para que Q = kjmi

5 sea perpendicular al vector AB.
f). El vector H = kjbia

5 que sea paralelo a BC.
R. a ) D = ( kji

28,728,79,10 ([N], b) E = ( kj

14,1414,14 ),
c) F = ( kji

27,127,184,9 ), d) G = ( kji

25,025,023,1 ), e) Q = ( kji

5,65 ),
f) H = ( kji

5532,3 ).

76 FISICA 1
ALGEBRA VECTORIAL
3.8. AUTOEVALUACION.
1: VERDADERO FALSO:
1.- El módulo de cualquier vector unitario es uno ? . ( )
2.- Vector fijo es cuando su punto de aplicación se mueve de un lugar otro? ( )
3.- Función lineal es cunado su gráfica es una recta?. ( )
4.- El ángulo director es el comprendido entre el eje positivo y el vector?. ( )
2: COMPLETAR EL SIGUIENTE ORGANIZADOR GRAFICO:
3: SELECCIÓN MULTIPLE:
5.- El valor de los ángulos directores varía entre: ( )
a.- 0o y 360o.
b.- 0o y 180o.
c.- 0o y 90o.
d.- Ninguna.
6.- Sea A = (4m; 0o) y B = (3m; 90º), la operación correcta es: ( )
a.- A + B = (7 m; 53º ).
b.- A + B = (6 m; 53º )
c.- A + B = (5 m; 53º ).
d.- A + B = (5 m; 37º ).
4: ENSAYO :
7.- Dadas las coordenadas de los vectores, A = ( 3 ; 4 ; 7) y B = ( 8 ; 2 ; -4). Determinar.
a) El producto escalar entre A y B.
b) La proyección de A sobre B.
c) El producto vectorial entre A y B.
d) Un vector perpendicular al plano formado por los vectores de módulo 60 N.
e) Un vector en la dirección de la bisectriz formada por A y B de módulo 100 N.
Elementos
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
Vector deslizante
…………………
…………………
…………………
…………………
Vector Unitario
Vector
son sonson
es
sus

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