Aal ed1

Antología didáctica de
Álgebra Lineal para cursos
universitarios.
1ra Edición.
Por: Wilfrido González García.

Prefacio
Generales:
La obra que a continuación se presenta es un compendio de la totalidad de los
temas enunciados en la mayoría de los programas para la materia de Álgebra
Lineal, que corresponde a los títulos genéricos Matemáticas III o Matemáticas
IV del tronco común de todas las ingenierías y de un gran número de licenciaturas.
Es imprescindible mencionar que el primer capitulo de la presente obra titulado
Unidad 1: Números complejos, contiene material para un adecuado desarrollo
del curso universitario denominado Variable Compleja.
El desarrollo de la presente obra incluye diversas notas y aclaraciones originales,
hechas para orientar al profesor hacia un adecuado desarrollo de los temas.
Pretendiendo que la secuencia de estos sirva simultáneamente al estudiante para
avanzar gradualmente en la adquisición del conocimiento y el desarrollo de
habilidades para la aplicación de los conceptos de la materia mencionada.
Uno de los elementos que la presente obra contempla es el enfoque “moderno” en
la explicación de los conceptos. Esta técnica se refiere principalmente a que tanto el
alumno como el profesor relacionen 4 formas de interpretar los conceptos, los
problemas y sus soluciones.
Estas formas de análisis son:
1) Numérico.
2) Algebraico.
3) Geométrico.
4) Verbal.
Y a través del uso de estas interpretaciones dar solución a diversos problemas
teóricos y de la realidad, relacionados con diversos campos de estudio.
También se prestó particular atención al uso de “software” como una herramienta
confiable de comprobación en la solución de problemas, que por su forma resultan
difíciles de manejar numérica y algebraicamente; y para ayudar a los estudiantes
que no están familiarizados o tienen problemas con los dibujos en 3 dimensiones.
La presente obra incorpora talleres originales sobre la interpretación geométrica
de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales (2 x 2 y 3 x 3), entre otros.
Principalmente la presente obra hace mención a 1 programa de computadora:
1) Maple.
Acerca del software:
1) Maple:
Maple es una poderosa herramienta de análisis numérico por computadora y
graficación en 2 y 3 dimensiones, además de que incorpora útiles herramientas
para graficar curvas de nivel y sus mapas de contorno, así como campos de vector
gradiente entre otras. La presente obra pretende que el estudiante al final del curso
tenga una noción general de los comandos más útiles de Maple para la solución de
problemas de álgebra lineal.

Acerca del contenido: La secuencia didáctica.
En lo sucesivo denominaremos secuencia didáctica, a la sucesión de los temas de
la presente obra. La secuencia didáctica (orden de los temas, con el fin de lograr
el aprendizaje del alumno) se realizó de acuerdo al estudio comparativo de planes
de estudio de diferentes instituciones de educación superior de todo el mundo.
En la secuencia didáctica la sucesión de los temas y el avance en el conocimiento
y perfeccionamiento de estos es natural, al mismo tiempo que satisface los
objetivos curriculares específicos de la mayoría de los programas. La secuencia
didáctica tiene el propósito de lograr homogeneidad conceptual en los grupos,
optimizar la exposición instructiva de los contenidos, y facilitar al estudiante la
comprensión de los temas, así como la adaptación, relación y aplicación de los
conocimientos del álgebra lineal para resolver diversos problemas de la realidad.
Acerca del contenido: Ejercicios y demostraciones.
Además se incluyen diversas demostraciones realizadas paso a paso y un número
considerable de problemas resueltos (Álgebra lineal, Stanley I. Grossman, Quinta
edición; Álgebra lineal, David Poole; Álgebra lineal, Howard Anton) que se espera
sirvan al estudiante interesado a resolver problemas de mayor complejidad técnica,
al disponer de una gran variedad de desarrollos sintácticos originales.
Acerca del contenido: Las gráficas.
En el desarrollo de la clase de Álgebra Lineal, uno de los objetivos es que el
estudiante entienda el comportamiento de las ecuaciones lineales. Por eso se prestó
particular atención a la información gráfica y complementos visuales de la presente
obra.
En particular se incluye un taller original sobre la interpretación geométrica de las
soluciones de un sistema de ecuaciones lineales 3 x 3. Así como, diversas
demostraciones geométricas de conceptos importantes en el álgebra lineal.
Se han incluido casi 100 gráficas de alta resolución para el desarrollo y
complemento de los temas de la presente obra. Como ya se menciono un número
considerable de estas fueron realizadas con la herramienta Maple.
Además se incluyen alrededor de 50 gráficas originales, es decir, con un formato
que ninguna obra presenta y diversas ediciones a gráficos contenidos en textos de
renombre internacional.
Autor y Compilador: Wilfrido González García.
willbksb_gen@hotmail.com

TEMARIO
Unidad 1: Números complejos.
1.1 Definición y origen de los números complejos. 1
1.2 Operaciones fundamentales con números
complejos.
7
1.3 Potencias de i, módulo o valor absoluto de un
número complejo.
18
1.4 Forma polar y exponencial de un número
complejo.
21
1.5 Teorema de De Moivre: Potencias y extracción
de raíces de un número complejo.
33
1.6 Ecuaciones polinómicas. 41
Unidad 2: Sistemas de ecuaciones lineales.
2.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales. 62
2.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones
lineales y tipos de solución.
66
2.3 Interpretación geométrica de las soluciones. 70
2.4 Métodos de solución de un sistema de
ecuaciones lineales (Gauss – Jordan y
eliminación gaussiana).
89
2.5 Aplicaciones. 114
Unidad 3: Matrices y determinantes.
3.1 Definición de matriz, notación y orden. 128
3.2 Operaciones con matrices (suma, resta,
producto, producto de un escalar por una
matriz).
136
3.3 Clasificación de la matrices (triangular superior,
triangular inferior, diagonal escalar, identidad,
potencia, nilpotente, idempotente, transpuesta,
simétrica, antisimétrica, compleja, conjugada,
hermitiana y ortogonal).
151
3.4 Cálculo de la inversa de una matriz. 165
3.5 Definición de determinante de una matriz. 175
3.6 Propiedades de los determinantes. 181
3.7 Inversa de una matriz cuadrada a través de la
adjunta.
189
3.8 Solución de un sistema de ecuaciones lineales a
través de la inversa.
197
3.9 Solución de un sistema de ecuaciones lineales
por la regla de Cramer
202
3.10 Aplicación de matrices y determinantes. 206

Unidad 4: Espacios vectoriales.
4.1 Definición de espacio vectorial y sus
propiedades.
219
4.2 Definición de subespacio de un espacio vectorial
y sus propiedades.
234
4.3 Propiedades de vectores, combinación lineal,
dependencia e independencia lineal.
241
4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial. 265
4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus
propiedades.
274
4.6 Cambio de base, base ortonormal, proceso de
ortonormalización de Gram – Schmidt.
276
Unidad 5: Transformaciones lineales.
5.1 Definición de transformación lineal y sus
propiedades.
302
5.2 Ejemplos de transformaciones lineales
(reflexión, dilatación, contracción, rotación).
312
5.3 Definición de núcleo o kernel, e imagen de una
transformación lineal.
325
5.4 La matriz de una transformación lineal y
representación matricial de una transformación
lineal.
331
5.5 Transformaciones y sistemas de ecuaciones
lineales.
341
5.6 Álgebra de las transformaciones lineales. 344
5.7 Aplicaciones de las transformaciones lineales. 347
Unidad 6: Valores y vectores característicos.
6.1 Definición de valores y vectores característicos
de una matriz cuadrada.
349
6.2 Polinomio y ecuación característica. 351
6.3 Determinación de los valores y vectores
característicos de una matriz cuadrada.
361
6.4 Diagonalización de matrices, potencias y raíces
de matrices.
377
6.5 Diagonalización de matrices simétricas,
diagonalización ortogonal.
396
6.6 Formas cuadráticas. 409
6.7 Teorema de Cayley – Hamilton. 442
6.8 Aplicaciones. 449

UNIDAD 1: Números complejos.
Introducción:
Antes de iniciar el tema de números complejos es útil repasar algunos conceptos
importantes, con la intención de que el lector entienda claramente la problemática que
llevó al descubrimiento de este conjunto de números.
Álgebra: (Del árabe al – chabr, la reducción) Parte de las matemáticas que trata del
análisis de cantidades por medio de letras, números y otros símbolos.
- Un poco de historia:
Se cree que al álgebra surge en la india hacia el s. II D. C., de donde pasó a Egipto y
Grecia. Diofanto de Alejandria (s. IV) escribió el primer compendio de álgebra de la
antigüedad.
El 1er tratado árabe de álgebra fue el del cordobés Mohamed ben Muza (s. IX).
El álgebra como hoy la conocemos (con constantes, variables y signos de
correspondencia), surge hacia 1545 con el Ars Magna de Cardano, que incluía el
método general de Tartalea para resolver ecuaciones. En ese mismo siglo (s. XVI) Stifel
idea los signos + y -, Recorde el signo = y Francisco Vieta introduce las letras para
expresar cantidades, iniciándose así el álgebra moderna.
- El problema de la raíz cuadrada de (– n):
Bháskara (1114 – 1185?), matemático y astrónomo hindú. Fue el primero en dar una
exposición del sistema numérico decimal (base 10) y el primero en plantearse un
problema algebraico cuya solución estaba más allá de los números reales.
“… la multiplicación por sí misma de una afirmativa o de una negativa es siempre
una afirmativa…”
Es decir,
3(3) = 3 + 3 + 3 = 9
-3(-3) = - [(-3) + (-3) + (-3)] = - (- 3 - 3 – 3) = 9
Vislumbrando en su enunciado los razonamientos sobre el alcance de los números
conocidos en su tiempo.
Leonard Euler (1707 – 1783). Matemáticas suizo que en 1748 escribió el tratado de
análisis matemático y geometría analítica de 3 dimensiones titulado Introductio in
analysis infinitorum, en donde se dan las fórmulas que relacionan las funciones
trigonométricas con la función exponencial (e). Y también menciona por primera vez a
1

la unidad imaginaria i (i = 1 ) y al número Pi ( =
3.1415926535897932384626433832795).
“… puesto que los números concebibles son > 0, < 0, = 0; es claro que, n no se
incluyen en los números posibles. En consecuencia debemos decir que son
imposibles y de ordinario “imaginarios” pues sólo existen en la imaginación…”
Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855). Matemático alemán el más notable del siglo 19.
Fue un niño prodigio y a los 10 años descubrió el concepto de sumatoria.
En 1798, a los 20 años escribió en su disertación doctoral una demostración del
teorema fundamental del álgebra.
“… todo polinomio de grado n tiene, contando multiplicidades, exactamente n
raíces…”
Aplicando por primera vez el teorema de valor absoluto para la solución de
ecuaciones cuadráticas (de 2° grado), demostrando el hecho:
xx 2
Y formalizando su aplicación (nota del autor):
3
092


x
x
En efecto el polinomio de grado 2, tiene exactamente 2 raíces (una positiva
y una negativa, ambas reales), x = 3 cuando x > 0 y x = - 3 cuando x < 0.
092
x
Llegamos así de forma natural a la problemática que originó a los números complejos:
1
1
01
2
2



x
x
x
Cuya solución se expreso como:
ix  , usando la notación de Euler,
En sus estudios sobre el teorema fundamental del álgebra”, al hallar las diferentes
raíces de un polinomio de grado n, Gauss desarrolla el concepto de número complejo.
2

Entre 1811 y 1837 desarrolla la base de lo que sería la teoría de la variable compleja
de Cauchy.
1.1 Definición y origen de los números complejos.
- Conjunto de los números reales (R):
Conjunto de números que contiene a los números racionales, los que se pueden
expresar en la forma
q
p , donde p y q son números enteros, también son llamados
números fraccionarios o fracciones; a los números irracionales, los que no se pueden
expresar como un cociente de 2 números enteros ( .,3,5,2 5
etc ); y a los números
trascendentes, que son números que tampoco se pueden expresar como cociente
(fracción), muchos de ellos son “constantes de proporcionalidad” y surgen de relaciones
matemáticas o geométricas especiales (e, , constante de Plank, etc.).
El conjunto de los números reales se representa:
 ,...3,2,1,0,1,2,3..., R
Es claro que el intervalo para una variable real es   , .
Las operaciones válidas para el conjunto de números reales son la suma (resta) y
multiplicación (división), excepto la división sobre CERO (n/0), que no está definida.
- Conjunto de los números imaginarios (I):
Conjunto que contiene una variedad de números fuera del campo real (conjunto de los
números reales). Su unidad se denomina unidad imaginaria y es:
1i
Todo el conjunto esta formado por los múltiplos de i de la forma:
1 cci
Donde c  R, . c
- Conjunto de los números complejos (C):
También llamado campo complejo es el conjunto que se compone de los números
reales e imaginarios.
3

- Definición (números complejos):
Son los números que tienen una parte real y otra imaginaria.
Su forma general es:
biaz 
Donde:
z es un número que pertenece al conjunto C.
a y b  R.
1i (Unidad imaginaria)
a se llama parte real.
b se llama parte imaginaria.
Consideraciones (importante):
1) Cuando a  0 y b = 0, el número es un número real.
2) Cuando a = 0 y b  0, el número es un imaginario puro.
3) Cuando a  0 y b  0, el número es un número complejo.
Así, los números reales y los imaginarios (puros) son casos especiales de números
complejos.
Nota: Algunos autores llaman número imaginario a cualquier número que incluya i.
- Igualdad de 2 números complejos:
Dos números complejos a + bi, c + di son iguales si y sólo si a = c y b = d.
Por ejemplo, si:
x – 2 + 4yi = 3 + 12i
Tenemos:
x – 2 = 3 4y = 12
Ambas expresiones son iguales, sólo si:
x = 5 y = 3
Observación (Introducción al álgebra lineal, Howard Anton, 2da edición):
4

A diferencia de los números reales, en los números complejos NO EXISTE
ordenamiento según tamaño. Así los símbolos de orden >, <,  , NO se usan con
números complejos.

- Interpretación geométrica de un número complejo en forma rectangular
(Diagrama de Argand):
Los números reales pueden interpretarse como puntos sobre la recta real.
En el caso de los números complejos necesitamos representar la parte real y la parte
imaginaria, para ello usamos un sistema coordenado rectangular de 2 dimensiones,
en este caso el eje horizontal representa al conjunto de los reales y el eje vertical
representa al conjunto de los imaginarios.
El plano resultante se llama plano complejo o diagrama de Argand.
El número biaz  se representa en el plano complejo (diagrama de Argand)
como:
1) Un punto denotado como el par ordenado (a, b).
2) Un vector z cuya combinación lineal es a + bi, es decir, sus componentes son a
y b.
5

Un número complejo z se puede representar por un punto o un vector en el plano
complejo.
A la forma biaz  , también se le llama forma rectangular o “punto – vector”.
Importante:
Sea z = 4 + 3i
Re (4 + 3i) = 4 [Parte real de z]
Im (4 + 3i) = 3 [Parte imaginaria de z]
6

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.
A continuación describiremos los procedimientos para suma, resta, multiplicación y
división de números complejos de la forma biaz  .
- Suma (resta) de números complejos:
Así como la suma (resta) de vectores en R se realiza sumando las componentes
correspondientes de los vectores, la adición de números complejos se realiza
sumando las correspondientes partes reales y las correspondientes partes
imaginarias.
2
       idbcadicbia  [Suma de 2 números complejos]
Del mismo modo la sustracción de 2 números complejos es:
       idbcadicbia  [Resta de 2 números complejos]
Importante:
Note que el álgebra para los números complejos es la misma que para cualquier
“binomio”.
- Ejemplos demostrativos (Suma y resta de números complejos):
1)         iiii 7443264236 
2)         iiii 8235533553 
3)           01213853285  iiii
- Multiplicación de un número complejo por un escalar:
También la multiplicación de un número complejo por un real, se asemeja a la
operación vectorial correspondiente para R2
:
kbikabiak  )( k R.
7

- Interpretación geométrica de las operaciones fundamentales:
ebido a que las operaciones de suma, resta y multiplicación por un escalar conD
números complejos son semejantes a las correspondientes para vectores en R
2
, las
interpretaciones geométricas que conocemos son válidas para números complejos.
Recuerde: El vector resultante apunta hacia el minuendo.
8

Importante (Teoría de vectores):
Debe ser claro al lector lo siguiente:
1) La expresión 0 se escribe 0)1(  zz  zz . Donde – z se lee negativo de
z o menos z.
2) Sea z = c + di, el negativo de z es:
dicz
dicz

 )(
3) Sean 1z = a + bi y 2z = c + di, la resta 21 zz  es:
idbcazz
dicbiazz
zzzz
)()(
)()(
)(
21
21
2121



Aplicando el hecho anterior a la interpretación geométrica, tenemos:
9

La regla del triángulo (o paralelogramo) es útil, ya que, el vector resultante se
presenta como vector de posición, es decir, con punto inicial en el origen.
21 zz 
- Ejemplos demostrativos (Suma y resta de números complejos con interpretación
geométrica):
Efectúe las operaciones gráficamente y compruebe.
1)    ii 2523  
[Regla del paralelogramo para suma de vectores]
Comprobación:         222532523  iii
10

2)    ii 3154  
[Regla del triángulo para resta de vectores]
Comprobación:         iiii 2335143154 
Note en la gráfica, que en efecto el vector resultante es i23  pero este método gráfico
NO entrega un vector de posición, sólo un vector general.
3)    ii 2152  
[Regla del triángulo para suma de vectores]
Comprobación:         iiii 7125122152 
Note que este método gráfico nos entrega el vector resultante como vector de
posición.
11

- Multiplicación de números complejos:
Hasta ahora hemos encontrado un paralelismo entre los números complejos y los
vectores en R .
2
Sin embrago a continuación se definirá la multiplicación de números complejos, una
operación que no tiene análogo vectorial en R .
2
Pero el lector encontrará el procedimiento familiar, ya que, es semejante al de la
multiplicación de binomios.
Sean = a + bi y = c + di, es:1z 2z 21zz
21zz ibcadbdacbdicbiadiacdicbia )()())(( 2

Cuidado:   11
22
i
El procedimiento siempre es el mismo:
1) Multiplique cada término de a + bi por cada término de c + di.
2) Considere   11
22
i .
3) Simplifique.
Las siguientes reglas de aritmética son válidas para números complejos.
Sean = a + bi y = c + di, 2 números complejos, tenemos:1z 2z
1221 zzzz 
1221 zzzz 
    321321 zzzzzz 
    321321321 zzzzzzzzz 
  3121321 zzzzzzz 
zz 0
0)(  zz
zz )1(
- Ejemplos demostrativos (Multiplicación y potencias de números complejos):
Resuelva usando álgebra.
1)      iiiiiii 2676208158206152543 2

12

Recuerde:
esuelva usando fórmula:
)
12
i .
R
2         iiiii 815405122816214347 
Recurso:
zz 21   ibcadbdacdicbia )()( 
esuelva usando álgebra.
)
ecurso:
esuelva usando fórmula (importante):
R
3   iii 2479241634
2

R
 2
 ba
1
2
2
22


i
baba
R
              
      iiiiii
iiiiiiii
213434682342340
225915152355323553


4)
Conjugado de un número complejo:
on números de la forma a + bi, a – bi, que tienen la misma parte real y la parte
+ bi) (a – bi) [Producto de 2 números complejos conjugados]
Notación:
ea = a + bi, su conjugado es el número complejo:
-
S
imaginaria con signo diferente.
(a
-
zS
z se pronuncia “z barra”.
13

- Interpretación geométrica:
Propiedades de los conjugados complejos:
1)
-
wzwz 2)
3) wzzw 
4) Si , entones0z z
w
z
w )( .
5) z es real si y sólo si zz  .
6) z es imaginario puro si y sólo si zz  .
a establece una relación básica entre z y zEl siguiente teorem .
2
zzz 
- Demostración:
ea z = a + bi, entoncesS
       22222
zbaiababbabiabiazz 
14

- División de números complejos:
plejos, debemos multiplicar el numerador
el denominador por el “conjugado” del denominador, es decir, introduciremos el
Ejemplo demostrativo:
ese en la forma a+ bi.
Para calcular el cociente de 2 números com
y
“conjugado” como elemento neutro multiplicativo (identidad multiplicativa).
-
Resuelva el cociente y expr
i21
i43 

Solución:
os el numerador y el denominador por ii 4343  .Multiplicam
Recurso:
    bababa
ibcadbdacdicbia
z
z
z
z
z
z
biaz
















22
2
2
2
1
2
1
)()())((
i
ii
i
i
i
i
i
i
5
2
5
1
25
105
43
105
43
43
43
21
43
21
22














ota: Al igual que en los números reales NO esta definida la división sobre cero (n/0).
Demostración (procedimiento de división de números complejos):
UNIDAD 2 Y
NIDAD 3, y volver a esta demostración.
números complejos. El objetivo es definir la
ivisión como la inversa de la multiplicación.
N
-
Advertencia (Sólo estudiantes): Se recomienda al lector aprender la
U
A continuación se abordará la división de
d
sí si 0z , entonces la definición deA 2
2
1z
z 
z
, debe ser tal que
zz z21 
15

zzz 21 El procedimiento será demostrar que tiene una solución única para z si
, y luego02 z
2z
zzz 21 
1z
se definirá con este valor de z.
Si , entonces tiene una solución única, que es02 z
212
22
211 1
zz
zz

22 zzzz
z
z 
- Demostración:
y iyxz 222 yixz  , iyxz 111 Sean .
se puede escribir com
=
zzz 21  o:
=  iyx 22   yix iyx 11 
O bien
   ixyyxyyxx 2222 iyx 11
Igualando las partes reales y las imaginarias, tenemos
122 yyxxy
xyyxx

122 
Escribiendo el sistema en forma matricial, tenemos
La matriz aumentada es:













 1
1
22 y
x
yxy

  22 xyx





 
122
122
yxy
xyx
Como , hacemos0222  iyxz 02 x 2 y 0y (que es el caso más general),
de modo que el determinante
16

0
2
2
222


y
yx
2
22
 yx
x
Por el teorema de resumen sabemos que el sistema tiene solución única, puesto que su
determinante es diferente de CERO.
Resolviendo el sistema por la regla de Cramer, nos queda:
2
2
2112
2
2
2
2
2112
22
22
12
12
2
2
2121
2
2
2
2
2121
22
22
21
21
z
yxyx
yx
yxyx
xy
yx
yy
xx
y
z
yy
yx 
xxyyxxxy 
yx
xy
yx
x













Por lo tanto,
   iyxyxyyxx
z
yixz 211221212
2
1
 
Usando ibcadbdacdicbia )()())((  para simplificar
  iyxi 221 yx
z
yixz 12
2
1

212
2
1
zz
z
yixz 
Así, para se define02 z
212
22
2
2
1
2
1 1
zz
zz
z
z
z
z
z
z  












Que es la fórmula para división de números complejos.
17

1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo.
- Potencias de i:
realizar TODAS lasEste tema a pesar de su brevedad y sencillez, es fundamental para
operaciones con números complejos.
Como ya sabemos
1i [Unidad imaginaria]
videntementeE
12
i
Toda la serie de potencias de i, se desarrolla en un ciclo de longitud 4 y después los
sobre sí mismos.
, y así sucesivamente (ciclo de longitud 4).
[TODO número elevado a la potencia CERO es 1]
valores vuelven
10
i , ii 1
, 12
i , ii 3
- Demostración:
10
i
1 ii1
[Unidad imaginaria]
1112
 iii
iiii  )1(23
i y se vuelve sobre los mismos valores.
Y así sucesivamente (1, i, -1, -i,…).
1)1)(1(224
 iii
iiiii  )1(45
156
 iiiii
iiiii  )1(67
18

- Módulo o valor absoluto de un número complejo:
i un número complejo z se considera como un vector en 2
RS , la longitud del vector
agnitud o norma) se denomina módulo de z o valor absoluto de z.
Definición:
l módulo de un número complejo z = a + bi, denotado por
(m
-
zE , se define como:
22
baz 
Si b = 0, entonces z = a es un número real, y
aaz  2
Así, el módulo de z, también se llama valor absoluto de z.
- La unidad compleja:
Número complejo z = a + bi, tal que 1z .
sí, EXISTE un número infinito de combinaciones para 1zA , pero las variables a y b
s en un intervalo definido (finito).sólo pueden tomar valore
- Demostración:
22
baz 
Para que la unidad compleja EXISTA:
122
 ba
a = Parte real.
b = Parte imaginaria.
no complejo, y como a y b son variables, la ecuación
cia con centro en el origen C(0, 0) y radio r = 1.
122
 ba
122
 baUsando el pla
genera una circunferen
19

Cualquier punto (a, b) de la circunferencia unitaria , donde a y b son la
parte real e imaginaria del número complejo z = a + bi, genera una unidad compleja.
122
 ba
Es evidente que 11  a y 11  b .
- Propiedades del valor absoluto para números complejos:
1) 0z si sólo si 0z .
2) zz 
wzzw 3)
zz
11
4) 0 , entoncesSi z .
5) wzwz 
20

1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo.
Forma polar de un número complejo:
abemos que un número complejo de la forma z = a + bi, se puede representar en el
como el punto (a, b) o el vector de
omponentes a y b.
-
S
plano complejo (diagrama de Argand)
c
Este punto (a, b) puede ser expresado en coordenadas polares como (r,  ), donde
0r y    (en radianes).
c nHa ie do cosra  y sinrb  , tenemos:
   rcisirirrbiaz  )sin(cossincos
[Forma polar de z]
bservación: La forma polar de un número complejo puede expresarse conO  en
radianes o grados, pero, sea cuidadoso para que las expresiones conserven su
significado original z = a + bi. Recuerde: 2 RAD = 360°.
ro rma polar:- Interpretación geométrica de un núme complejo en fo
idente que y 






a
b
arctan22
bazr  .Resulta ev
 mide el ángulo entre el eje real positivo y el vector z.
21

- Argumento de un número complejo:
El ángulo  se denomina argumento de z y se denota por





b
z arctanarg
 a
El argumento de z NO está determinado de manera única, porque se puede sumar o
restar a  cualquier múltiplo de 2 para obtener otro valor equivalente del argumento.
Sin embargo, sólo existe un valor del argumento de z en radianes (RAD) que satisface:
 
Esta expresión se llama argumento principal de z y se puede escribir como:
 Arg z
El lector con dificultad para ubicar un vector (z = a + bi) en el plano complejo,
encontrará útil lo siguiente.
Sea z = a + bi. Entonces:





a
b
z arctanarg

si y I cuadrante.0a 0b







a
b
z arctanarg si y0a 0b IV cuadrante.
2
arg

z si 0a y (90°).0b
2
arg

z si 0a 0by (- 90°).
a
b
arctanzarg   si 0a y II cuadrante.0b
a
b
z arctanarg   si 0a y 0b III cuadrante.
y0arg z si 0a 0b (0°).
22

zarg si 0a y 0b (180°).
i NO está definido.
- Ejemplos demostra s (F a po de un o c
rese e form pol
0z , 0argS
tivo orm lar númer omplejo):
Exp n a ar z  rcis .
1) iz 1
  211 r 22
4
45
1
1
  arctan








[II cuadrante]
 135
4
3
4
 
arg z
  135sin135cos21352 icisz



















4
3
sin
4
3
cos2
4
3
2

icisz
2) iz 31
    2431
22
r
3
60
1
3
arctan

  









[III cuadrante]


 120
3
2
3
 
arg z











 





 

3
2
sin
3
2
cos2

iz
ota: , también es una respuesta válida. 2402ciszN
23

- Inte geométrica de la multiplicaciórpretación n y la división de números
omplejos en forma polar:
a forma polar de los números complejos puede ser utilizada para proporcionar
terpretaciones geométricas de la multiplicación y la división de números complejos.
todo alternativo para realizar estas operaciones en forma
olar.
Multiplicación de 2 números complejos en forma polar:
c
L
in
Además de brindarnos un mé
p
-
Sean
)sin(cos 1111  irz  y 22 )sin(cos 22  irz 
Multiplicando, tenemos:

Recurso:
bcadbdacdicbia ()())((  i)
rrzz co(cos i)cossinsin(cos)sinsins 212121212121   
Aplicando las identidades trigonométricas:
 
  212
212121
sincoscossinsin
sinsincoscoscos
 121



Obtenemos:
    21212121 sincos   irrzz
[Producto de 2 números complejos en forma polar]
Escrito en forma abreviada:
 212121   cisrrzz
Que es una forma polar del número complejo con módulo y argumento21rr 21   ,
mbién se ha demostrado que:ta
2121 zzzz 
24

  2121 argargarg zzzz 
n resumen:
“El producto de 2 números complejos en forma polar, se obtiene al multiplicar sus
módulos y sumar sus argumentos”.
fectúe las operaciones y convierta el resultado a su forma (forma
ctangular).
)
E
- Ejemplos demostrativos (Producto de números complejos en forma polar):
biaz E
re
            8sin8cos222sin22cos3 ii1
Recurso:
 212121   cisrrzzz
       30sin30cos630 i 6cisz
 iiiz 





 33333
2
1
2
3
6
2)             47in47cos273sin73cos5 ii s
ecurso:R
 212121   cisrrzzz
       120sin120cos10120 i10cisz
 iiiz 315355
2
3
2
1
10 








3)          62113132 cisciscis
ecurso:R
 212121   cisrrzzz
   iii 





 36636
2
1
2
3
1230cisz 12
25

- Interpretación geométrica:
- División de 2 números complejos en forma polar:
l cociente de 2 números complejos si 02 zE es:
    2121
22 rz
11
sincos   i
Abreviando:
rz
 21
2
1
2
1
  cis
r
r
z
z
Demostrando que:
2
1
2
1
z
z
z
z
 Si 02 z .
21
2
1
argar  garg zz
z
z






26

En resumen:
“El cociente de 2 números complejos se obtiene al divid módulos y restar sus
argumentos”.
eraciones y convierta el resultado a su forma z = a + bi (forma
ctangular).
ir sus
- Ejemplos demostrativos (cociente de números complejos en forma polar):
fectúe las opE
re
1)
    
    
 


303
21cos2
51sin51cos6
cis
i
 21sini
ecurso:R
 21
2
1
2
1
  cis
r
r
z
z
z
 iiiz 





 3
2
3
2
3
2
33
2
1
2
3
3
    
    
   


60260
2
2
18sin18cos2
78sin78cos2
ciscis
i
i
2)
Recurso:
 21
2
1
2
1
  cis
r
r
z
z
z
iiz
2
6
2
2
2
3
2
1
2 







3)
    
     

305197
184sin184cos105
ciscis
i
Recurso:
 212121   cisrrzzz
27

 21
2
1
2
1
  cis
r
r
z
z
z
 
 
   


 1353491843
4935
184105
ciscis
cis
cis
z 
  135sin135cos3 iz
iiz
2
3
2
3
2
1
2
1
3 










 iiz 



 1
2
23
2
23
2
23
Casos especiales de la multiplicación y división de 2 números complejos:-
1) El número complejo i tiene módulo 1 y argumento  90
2

, por tanto, el
producto iz tiene el mismo módulo que z, pero su argumento es  90
2

mayor
En resumen:
que el de z.
ar z por i (iz), z gira en sentido positivo trigonométrico (sentido
un ángulo de 90°”.
“Al multiplic
ntihorario)a
28

2) Como un caso especial de la división de números complejos, obtenemos una
ea
fórmula para el reciproco de un número complejo en forma polar.
S
 21
2
1
2
1
  cis
r
r
z
z
i hacemos 11 z ) y zz 2S (y por tanto 01  (  2
0)(cos 
), y si
sin irz , tenemos:
  sincos
11
i
rz

ecuerde:R
 
 



sinsin
os ccos
Forma exponencial de un número complejo:
Fórmula de Euler:
ara cualquier número real x.
[Fórmula de Euler]
Si aplicamos la fórmula de Euler, vemos a polar de un número complejo
-
-
P
xixeix
sincos 
que la form
puede ser escrita de manera más compacta como:

 i
reirz  )sin(cos
29

Este último resultado se conoce como forma exponencial de un número
complejo.
i
rez 
- Ejemplo demostrativo 1:
Exprese el número complejo de la forma z = a + bi (forma rectangular), en su forma
exponencial.
Sea z = 1 + i.
Recurso:
22
bazr 







a
b
arctan
Primero hallamos r, que como sabemos es el módulo de z.
211 22
 zr
A continuación hallamos el argumento de z.
4
1arctan
1
1
arctan  






Por lo tanto la forma exponencial de z es:
4
2
4
sin
4
cos2
 i
eii 





1
Exprese en la forma rectangular (z = a + bi) los siguientes números complejos.
a) b)
i
e 4
2 i
e

Solución:
a) Aplicando la Fórmula de Euler, tenemos:

sincos iei

Realizando las operaciones:
30

1)0(1sincos  iiei

El número complejo en forma rectangular a + bi es:
1z
b) Empleando leyes de exponentes y fórmula de Euler, tenemos:








4
2424
2 
ciseeee
ii
Realizando las operaciones:
Recurso:
2
2
2
2
2
1
2
1















 i
e
i
ee
iecise 











1
2
2
222
1
2
1
4
222
22 
 i
e
z  1
2
2 2
- Conjugado de un número complejo en forma exponencial:
Si , entonces)sin(cos 
irrez i

)sin(cos  irz 
Las identidades trigonométricas:
   coscos y    sinsin
Nos permiten expresar z como:
      
 
 i
reirz sincos
31

Entonces si , su conjugado es:
i
rez 
i
rez 

Sólo MAESTROS.
- Demostración de la fórmula de Euler:
Se demostrará que:

sincos iei

Usando las series de potencias se tiene el siguiente desarrollo para .
z
e
...
!3!2
1
32

zz
zez
Que converge para todo número real z. Además este desarrollo funciona cuando z es un
número complejo.
Las funciones seno y coseno también tienen desarrollos en series de potencias:
...
!6!4!2
1cos
...
!7!5!3
sin
642
753


xxx
x
xxx
xx
Si hacemos iz  , donde  toma valores reales, tenemos:
          ...
!5!4!3!2
1
5432


 iiii
iee iz
Con el hecho de que , , , , y así sucesivamente,
repetimos un ciclo de longitud 4 y observamos que
12
i ii 3
14
i ii 5
...
!7!6!5!4!3!2
1
765432


 iii
iei
32













 ...
!7!5!3
...
!6!4!2
1
753642



iei

sincos iei

Este resultado excepcional es conocido como fórmula de Euler.
1.5 Teorema de De Moivre: Potencias y extracción de raíces de un número
complejo.
- Potencias de un número complejo:
Si n es un entero positivo y )sin(cos  irz  , entonces el uso repetido de la
fórmula
    21212121 sincos   irrzz
[Producto de 2 números complejos en forma polar]
cuando el único actor es , produce las fórmulas para determinar las potencias
de z:
zz 1
 
 



4
3sin3cos
2sin2cos
44
33
22
cisrz
irz
irz




La demostración anterior, se conoce como teorema de De Moivre.
- Teorema de De Moivre:
Si )sin(cos  irz  y n es un entero positivo, entonces
)sin(cos  ninrz nn

También tenemos que:
nn
zz 
33

  znzn
argarg 
En resumen:
“El teorema de De Moivre dice que para obtener la n-ésima potencia de un
número complejo, elevamos su valor absoluto a la n-ésima potencia y
multiplicamos su argumento por n”.
- Ejemplo demostrativo:
Calcule : 6
1 i
Solución:
Sea , tenemosiz  1 2r y
4
45
1
1
arctan  





 [Primer cuadrante].
Su forma polar es:







4
sin
4
cos21

iiz
Usando el teorema de De Moivre:
Recurso:
   





















2
3
sin
2
3
cos8
2
3
sin
2
3
cos2
4
6sin
4
6cos21
6
36
666



iz
iz
iiz
Haciendo las operaciones, tenemos:
   iiz 81086

34

La figura nos muestra  , , …,i1  2
1 i  6
1 i .
- Extracción de las raíces n-ésimas de un número complejo:
También podemos utilizar el teorema de De Moivre para extraer las raíces n-ésimas
de números complejos.
Una raíz n-ésima del número complejo z es cualquier número complejo w, tal que:
zwn

En forma polar, tenemos que:
 
 

sincos
sincos
irz
isw


De acuerdo con el teorema de De Moivre, tenemos:
    sincossincos irninsn

Igualando los valores absolutos y los argumentos, notamos que
35

rsn

O bien
nn
n
rs
1

nn
rrs 
1
Y también


sinsin
coscos


n
n
Nota:
“2 números complejos en forma polar son iguales si y sólo si sus módulos y sus
argumentos son iguales”.
Puesto que las funciones seno y coseno tienen cada una un periodo de 2 , estas
ecuaciones implican que n y  difieren en un múltiplo entero de 2 , es decir,
 kn 2
n
k

2

Donde es un entero. Por consiguiente:k
  sincos isw 











 





 

n
k
i
n
k
rw n
 2
sin
2
cos
1
w describe las n posibles raíces n-ésimas cuando k tomas diferentes valores enteros.
Aunque hay mucho valores posibles de k. = 0, 1, 2, 3,…, n – 1 producen valores
distintos de que satisfacen
k
w
zwn

Y todas las demás elecciones de k producen replicas de estos valores.
36

En resumen:
Sea   sincos irz  y sea n un entero positivo. Entonces z tiene exactamente n
distintas raíces n-ésimas dadas por











 





 

n
k
i
n
k
rz nn
 2
sin
2
cos
11
Para k = 0, 1, 2, …, n – 1.
- Interpretación geométrica de las n raíces n-ésimas de un número complejo:
En general, la fórmula











 





 

n
k
i
n
k
rz nn
 2
sin
2
cos
1
Para k = 0, 1, 2, …, n – 1.
Implica que las n raíces n-ésimas de   sincos irz  estarán ubicadas sobre
una circunferencia de radio n
r
1
con centro en el origen de un sistema coordenado
complejo.
Además estarán espaciadas por
n
2 radianes (360°/n), entre sí.
De modo que, si podemos encontrar una raíz n-ésima de z, las n – 1 raíces n-ésimas
restantes de z pueden ser encontradas haciendo rotar la primera raíz a través de
incrementos sucesivos de
n
2 radianes.
n


2

Importante:
Si la separación angular de las n raíces n-ésimas de un número complejo es constante
(
n
2 ).
Entonces al unir los puntos (extremos de los vectores) del plano complejo que
representan a las n raíces n-ésimas¸ generamos un polígono regular de n lados.
37

Halle las 3 raíces cúbicas de -27.
Solución:
En forma polar:
  sincos2727 i
Plano complejo (Diagrama de Argand):
Las 3 raíces cúbicas de -27 están dadas por:











 





 

n
k
i
n
k
rz nn
 2
sin
2
cos
1
  










 





 

3
2
sin
3
2
cos2727 3
1
3
1  k
i
k
@ k = 0:
  iii
2
33
2
3
2
3
2
1
3
3
sin
3
cos327 3
1


























@ k = 1:
         3013sincos327 3
1
 ii 
@ k = 2:
  iii
2
33
2
3
2
3
2
1
3
3
5
sin
3
5
cos327 3
1


























Cuidado:  60300
3
5
[IV cuadrante].
38

Las 3 raíces cúbicas de -27 son:
izz
zz
izz
2
33
2
3
3
2
33
2
3
3
1
3
3
1
2
3
1
1



[Una raíz real y dos raíces complejo conjugadas]
En efecto, las 3 raíces cúbicas de -27 se encuentran igualmente espaciadas por
3
2
radianes (120°) entre sí, en torno de una circunferencia de radio 3 con centro en el
origen del plano complejo.
[Raíces cúbicas de -27]
Halle las raíces cuartas de 1.
Solución:
En vez de aplicar el teorema de De Moivre. Se observa que w = 1 es evidentemente
una raíz cuarta de 1, de modo que las 3 raíces restantes se generan haciendo girar
en incrementos sucesivos de0sin0cos1 iw 
24
2 
 radianes (90°).
39

Es claro que las raíces cuartas de 1 son:
ii  ,1,,1
Halle las raíces quintas de .iz 1
Solución:
2r






 45
41
1
arctan  [I cuadrante]
Recurso:





 

n
k
cisrz nn
 211
@ k = 0.
 92 10
1
1 cisz
Esta vez ocuparemos  , para hallar las 4 raíces restantes.
 72
5
22 

n
Por lo tanto:
 812 10
1
2 cisz
40

 1532 10
1
3 cisz
 2252 10
1
4 cisz
 2972 10
1
5 cisz
1.6 Ecuaciones polinómicas (polinomios).
Un polinomio es una función p de una sola variable x que puede escribirse en la forma:
  n
n xaxaxaaxp  ...2
210
[Polinomio general de 1 variable y grado n]
Donde , , …, son constantes0a 1a na  0na , denominadas los coeficientes de p,
y n es un entero positivo llamado grado del polinomio.
El entero n llamado grado del polinomio, se denota grad p = n. Un polinomio de
grado cero se llama polinomio constante.
Bajo la convención de que , podemos usar notación de sumatoria para expresar
p como:
10
x
  k
n
k
k xaxp 

0
Cada uno de los términos de la sumatoria se llama monomio.
Recuerde:
41

Monomio: (gr. Mónos, único y onóma, nombre)
Expresión algebraica formada por el producto de un coeficiente
numérico y una o varias letras (literales).
- Ejemplo demostrativo (Importante):
¿Cuáles de las siguientes expresiones son polinomios?
a) 2
2
2
12 xx 
Como cumple con la forma general   n
210 .
SI es un polinomio.
b) 2
3
1
2
x

Un polinomio de 1 variable de la forma general (   n
210 )
NO puede llegar a ser infinito a medida que x tiende a un valor finito,
Lim
cx 
 )(xp
Mientras que 2
3
1
2  cuando .0x
x
 tiende a
Por lo tanto NO es un polinomio.
c) 2
2x
Tenemos que
xx 22 2

Que es igual a x2 , cuando y,0x x2 , cuando 0x .
Por lo que la expresión x2 es el empalme de 2 polinomios.
Así, 2
2x NO es un polinomio.
42

d) 







x
x
e
e
3
5 3
2
ln
Según las leyes de exponentes y leyes de logaritmos, tenemos que
  xxee
e
e xx
xx
x
x
352lnln2ln2ln
2
ln 335
3
5
3353
3








 

3
532ln xx 
Coincide con la forma general (   n
210 ).
Por lo tanto, SI es un polinomio.
3
532ln xx 
e)
2
652


x
xx
El dominio de esta función es  2R , para estos valores de x, la función se simplifica
a
   3
2
23
2
652






x
x
xx
x
xx
Podemos decir que
2
652


x
xx
es un polinomio sobre su dominio.
f) x
Esta función NO puede ser un polinomio (incluso sobre su dominio ), debido a
que la diferenciación repetida de un polinomio general de 1 variable
( ) finalmente resulta CERO. Y
0x
  n
210
x NO tiene esta
propiedad.
Por lo tanto, x NO es un polinomio.
43

g)  xarccos2cos
Sabemos que el dominio de esta función es 11  x .
Sea xarccos , tal que, xcos .
Recurso:
  xarccoscosarccos 
Utilizando una identidad trigonométrica, tenemos:
    1cos22cosarccos2cos 2
 x
Retorno a la variable x:
    121cos22cosarccos2cos 22
 xx 
Es un polinomio sobre su dominio.
h)
x
e
NO es un polinomio, puesto que la derivación sucesiva, NUNCA es CERO.
- Operaciones con polinomios (REPASO).
- Igualdad de polinomios:
Dos polinomios son iguales si los coeficientes de las correspondientes potencias de x
son TODOS iguales.
Por ejemplo:
3232
3 bxaxxx 
Hay una solución única, para los valores de los parámetros:
1a y 3b
- Suma de polinomios:
La adición de 2 polinomios se obtiene al sumar entre sí los coeficientes de las
correspondientes potencias de x.
De forma general tenemos:
44

   5
3
2
21
5
3
2
21 xbxbxbxaxaxa 
      5
33
2
2211 xbaxbaxba 
          32322
311241232142 xxxxxxxx 
3
323 xx 
- Resta de polinomios:
La diferencia de 2 polinomios se obtiene al restar entre sí los coeficientes de las
correspondientes potencias de x.
   5
3
2
21
5
3
2
21 xbxbxbxaxaxa 
      5
33
2
2211 xbaxbaxba 
         32213113223 23323
 xxxxxxxx 
533 2
 xx
- Multiplicación de polinomios:
El producto de 2 polinomios, ya es familiar al lector. Sólo se multiplica cada término
del 1er polinomio por cada término del 2° polinomio.
De forma general tenemos:
   7
22
5
12
5
21
3
11
4
2
2
1
3
21 xbaxbaxbaxbaxbxbxaxa 
  7
22
5
2112
3
11 xbaxbabaxba 
Sean  2
42 xxp  y  32
321 xxxq  . Halle pq .
  322
32142 xxxxx 
45

     3223232
32132143212 xxxxxxxxxxx 
543243232
32124846242 xxxxxxxxxxx 
2912133 2345
 xxxx
Observe que
     qgradpgradpqgrad 
- División de polinomios:
Si p y q son polinomios y    pgradqgrad  , podemos obtener el cociente de
q
p .
Calcule el cociente
q
p .
q
p
xx
xxx



2
32
42
321
,    pgradqgrad  .
El método que usaremos se llama división larga.
xxx 6123 23

1411 2
 xx
224411 2
 xx
113
12324 232


x
xxxxx
2140x 
El proceso se detiene, ya que, el grado del residuo es menor que el del divisor.
El resultado se escribe:
24
2140
113
42
321
22
32





xx
x
x
xx
xxx
El resultado anterior se generaliza en el algoritmo de la división.
46

- Algoritmo de la división:
Si f y g son polinomios con    fgradggrad  , entonces existen polinomios q y r,
tales que:
       xrxqxgxf 
Donde:
 xf es el dividendo.
 xg es el divisor.
 xq es el cociente.
 xr es el residuo.
Donde ya sea que 0r , o bien,    ggradrgrad  .
- Teorema fundamental del álgebra (Importante):
Todo polinomio de grado n con coeficientes reales o complejos, tiene exactamente
(contando multiplicidades) n raíces (también llamadas CEROS) en C (conjunto de los
números complejos).
Un CERO de un polinomio f es un número a, tal que,
  0ap
El número a también es llamado una raíz de la ecuación polinomial (o polinómica):
  0xf
Es decir, para el polinomio de grado n:
  n
210
Tenemos exactamente n raíces, cada una de las cuales satisface la igualdad (o ecuación
polinómica).
  0xp
0...2
210  n
n xaxaxaa
47

La definición del teorema fundamental del álgebra es muy importante, y nos dice que
TODO polinomio (NO constante), tiene al menos una raíz (o CERO), en el conjunto
de los números complejos (C).
Importante:
NO hay un método garantizado para hallar los CEROS de un polinomio dado.
En la actualidad la problemática para hallar las raíces de una ecuación polinómica, es
pequeña (o nula) gracias a los sistemas de álgebra por computadora, como
Mathematica, Maple o Matlab.
A continuación expondremos algunos métodos algebraicos para hallar las raíces de
una ecuación polinomial.
- Teorema de las raíces racionales:
El caso de un polinomio con coeficientes enteros es particularmente interesante, a
continuación se proporcionan los criterios para hallar las raíces de una ecuación
polinomial (o CEROS del polinomio), si estas se pueden expresar como un número
racional.
Sea
  n
210
Un polinomio con coeficientes enteros y sea
b
a un número racional escrito en términos
mínimos (reducido a su mínima expresión). Si
b
a es un CERO de , entonces es
un múltiplo de a y es un múltiplo de b.
p 0a
na
Encuentre TODAS las raíces racionales de la ecuación polinómica.
04136 23
 xx
Solución:
Si
b
a es una raíz de la ecuación, entonces 6 es un múltiplo de b y – 4 es un múltiplo de
a.
 4,2,1 a  y  6,3,2,1 b
48

Si formamos TODOS los números racionales
b
a posibles con los valores encontrados,
observamos que las posibles raíces racionales son:
6
1
,
3
4
,
3
2
,
3
1
,
2
1
,4,2,1 
Sustituyendo en (uno a la vez) encontramos que04136 23
 xx
2
1
,
3
2
,2


satisfacen la igualdad.
Por lo tanto la ecuación de grado 3 tiene 3 raíces racionales que son
2
1
,
3
2
,2

 , pero,
como sólo tiene 3 raíces,
2
1
,
3
2
,2

 son TODAS las raíces de la ecuación polinómica
(o TODOS los CEROS del polinomio).
Partiendo del algoritmo de la división, cuando el residuo es cero, tenemos:
     xqxgxf 
- Teorema del factor:
Sea un polinomio y una constante. Entonces a es un CERO de si y sólo si
es un factor de .
f
a
a
xf
f
x   
     xqaxxf  [Teorema del factor]
Antes de continuar repasaremos algunas fórmulas y conceptos del álgebra
elemental.
- Ecuaciones cuadráticas:
Generalmente a las ecuaciones (ecuaciones polinómicas) de 2° (grado 2) de las forma
general
02
 cbxax
Se les denomina ecuaciones cuadráticas.
Las ecuaciones cuadráticas (de 2° grado) tienen como sabemos por el teorema
fundamental del álgebra, 2 raíces.
Sus 2 raíces están dadas por la fórmula:
49

a
acbb
x
2
42
2,1


Que se conoce como solución general de ecuaciones cuadráticas de una variable.
acb 42
 se llama discriminante de la ecuación cuadrática.
1) Si 0 , EXISTEN 2 raíces reales.42
 acb
2) Si 0 , EXISTE 1 raíz real.42
 acb
3) Si 0 , EXISTEN 2 raíces complejo conjugadas.42
 acb
- Demostración de la solución de ecuaciones de 2° grado:
Sea la forma general de la ecuación de 2° grado y una variable,
02
 cbxax
Factorizando y completando el trinomio cuadrado perfecto, tenemos:a
cx
a
b
xa 





2
c
a
b
a
b
x
a
b
xa 





 2
2
2
2
2
44
[Identidad aditiva]
c
a
b
a
b
x
a
b
xa 











 2
2
2
2
2
44
[Ley asociativa]
c
a
b
a
b
x
a
b
xa 






44
2
2
2
2
[Ley distributiva]
c
a
b
a
b
xa 






42
22
[Productos notables]
a
c
a
b
a
b
x 





 2
22
42
[Álgebra elemental]
2
22
4
4
2 a
acb
a
b
x







 [Fracciones algebraicas]
50

2
2
4
4
2 a
acb
a
b
x

 [Teorema de valor absoluto]
1ra raíz: Cuando 0
2

a
b
x :
2
2
4
4
2 a
acb
a
b
x


a
acb
a
b
x
2
4
2
2




a
acbb
x
2
42

 [1ra raíz]
1ra raíz: Cuando 0
2

a
b
x :
2
2
4
4
2 a
acb
a
b
x








2
2
4
4
2 a
acb
a
b
x


a
acb
a
b
x
2
4
2
2




a
acbb
x
2
42

 [2da raíz]
Este resultado se escribe:
a
acbb
x
2
42
2,1


Que es la solución general de ecuaciones de 2° grado y una variable.
51

- Ejemplo demostrativo 2 (Importante):
Podemos mejorar el método de ensayo-error, realizado en el ejemplo demostrativo 1
(cuando usamos el teorema de las raíces racionales) ocupando el teorema del factor
y álgebra (solución general de ecuaciones de 2° grado y 1 variable).
Encuentre TODAS las raíces de:
04136 23
 xx
Supongamos que por el teorema de las raíces racionales, hallamos que -2 es una raíz.
Ahora aplicando el teorema del factor, tenemos:
     xqaxxf  [Teorema del factor]
Por lo tanto
   xqxxx 24136 23

 xq será obtenido con el algoritmo de la división (usando el método de división
larga):
26
41362
2
23


xx
xxx
23
126 xx 
42
x
xx 22

42x 
42 x
0
Entonces:
   02624136 223
 xxxxx
Aplicamos la fórmula para resolver ecuaciones de 2° grado y una variable:
02
 cbxax
a
acbb
x
2
42
2,1


    
 62
26411
2
2,1

x
52

12
71
12
491
2,1



x
En efecto las raíces que faltaban son:
2
1
1 x
3
2
2

x
Las 3 raíces de la ecuación polinómica son:
2
1
1 x
3
2
2

x 23 x
- Ecuación bicuadrada:
Ecuación (ecuación polinómica) de 4° grado de la forma general:
024
 cbxax
Cuyas 4 raíces están dadas por:
a
acbb
x
2
42
4,3,2,1


- Ecuaciones cúbicas:
Ecuación (ecuación polinómica) de tercer grado de la forma general:
023
 dcxbxax
Cuyas 3 raíces se determinan como sigue:
La ecuación , se transforma en:023
 dcxbxax
03
 qpzz
Mediante el cambio de variable
3
b
axz  .
Las 3 raíces de la ecuación son:
vuz 1
53

v
i
u
i
z
2
31
2
31
2




v
i
u
i
z
2
31
2
31
3




Siendo u y v, tales que:
23
3
232













qpq
u
23
3
232













qpq
v
3
p
uv 
Estas son las fórmulas de Cardan.
Todos los métodos algebraicos funcionan, pero si no contamos con el tiempo necesario,
la tecnología es de gran ayuda.
Por último aprenderemos a resolver ecuaciones (ecuaciones polinómicas) de la
forma:
zxn
 Cz  biaz 
Ocupando el teorema de De Moivre para la extracción de raíces de números
complejos.
Nota: Debe ser claro al lector que cada una de las n raíces x de , es compleja, es
decir, NO está exenta de ser un real o un imaginario puro.
n
x
Repasemos el teorema de De Moivre:
Sea   sincos irz  [Forma polar de z], y sea n un entero positivo. Entonces, z
tiene exactamente n distintas raíces n-ésimas dadas por:











 





 

n
k
i
n
k
rz nn
 2
sin
2
cos
11
Para k = 0, 1, 2, …, n – 1.
54

Escrito en forma abreviada:





 

n
k
cisrz nn
 211
Donde:
22
bazr 







a
b
z arctanarg
En efecto el teorema de De Moivre, satisface el teorema fundamental del álgebra.
Encuentre las 4 raíces cuartas de la ecuación polinómica:
0164
x
Escribiendo la ecuación polinómica en su forma .zxn

164
x
Escribiendo la ecuación compleja en su forma polar:
       0160sin0cos164
cisix
   4
1
016  cisx
Usando el teorema de De Moivre:





 

n
k
cisrz nn
 211
  




 

4
3600
16 4
1 k
cisx
Las 4 raíces están dadas por:
@ k = 0
         20120sin0cos2021  iicisx
55

@ k = 1
        iiiciscisx 20290sin90cos2902
4
3600
22 




 
 
@ k = 2
        2012180sin180cos21802
4
7200
23 




 
 iiciscisx 
@ k = 3
        iiiciscisx 202270sin270cos22702
4
10800
24 




 
 
Las raíces son:
21 x , ix 22  , 23 x , ix 24 
[2 raíces reales y 2 raíces imaginarias puras]
Halle las 3 raíces de la ecuación:
0643
x
Escribiendo en la forma .biaz 
643
x
En forma polar:
  180643
cisx
   3
1
18064  cisx
Aplicando el teorema de De Moivre:





 

n
k
cisrz nn
 211
56

  




 

3
360180
64 3
1 k
cisx
@ k = 0
       iiiciscisx 322
2
3
2
1
460sin60cos4604
3
180
41 










 

@ k = 1
      4014180sin180cos4
3
540
4
3
360180
42 




 





 
 iiciscisx 
@ k = 2
    




 





 
 300sin300cos4
3
900
4
3
720180
43 iciscisx
Cuidado:
300° = – 60° =
3
 [IV cuadrante]
3
arg z
ii 322
2
3
2
1
4 






Las raíces de la ecuación polinómica son:0643
x
ix 3221  , 42 x , ix 3223 
[1 raíz real y 2 raíces complejo conjugadas]
Encuentre TODAS las raíces de la ecuación polinómica:
0273
 ix
57

Escribiendo en la forma .biazxn

ix 273

En forma polar:







2
273 
cisx
3
1
2
27 













cisx





 

n
k
cisrz nn
 211
  






 

3
2
227 3
1  k
cisx
@ k = 0











 





 





 

6
sin
6
cos3
6
31

icisx
Cuidado:  30
6
 [4° cuadrante]
iix
2
3
2
33
2
1
2
3
31 






@ k = 1
  iiiciscisx 303
2
sin
2
cos3
2
3
3
2
232 































 


58

@ k = 2














 

6
7
3
3
4
233

ciscisx
Cuidado:  30210
6
7 [3er cuadrante]
 6
5arg z
iix
2
3
2
33
2
1
2
3
33 










Las raíces de la ecuación polinómica son:0273
 ix
ix
2
3
2
33
1  , ix 32  , ix
2
3
2
33
3 


[1 raíz real y 2 raíces complejas]
Sólo MAESTROS, propuesto EXAMEN:
Encuentre las raíces de la siguiente ecuación polinómica.
0344
 ix
Escribiendo en la forma .biaz 
ix 344

En forma polar:
  534
22
r





 
 87.36
4
3
arctan [IV Cuadrante]
  87.3654
cisx
   4
1
87.365  cisx
59






 

n
k
cisrz nn
 211
  




 

4
36087.36
5 4
1 k
cisx
Sugerencia: Ocupe
nn


3602
 , después de hallar la primera raíz.
@ k = 0
         
    ii
iciscisx
2393.476.1160.987.495.1
160.987.52175.95
4
87.36
5 4
1
4
1
4
1
1






 

@ k = 1
       
    ii
icisx
476.12393.987.160.495.1
987.160.57825.805 4
1
4
1
2



@ k = 2
       
    ii
icisx
2393.476.1160.987.495.1
160.987.57825.1705 4
1
4
1
3



@ k = 3
       
    ii
icisx
476.12393.987.160.495.1
987.160.57825.2605 4
1
4
1
4



En efecto los siguientes incrementos sucesivos 

 90
4
360
 .
60

Las raíces de la ecuación polinómica son:
 ix 2393.476.11 
 ix 476.12393.2 
 ix 2393.476.13 
 ix 476.12393.4 
Sólo MAESTROS, propuesto PUNTO EXTRA/TAREA (labor de investigación).
Objetivo: A pesar de los problemas del estudiante para hallar las n raíces n-ésimas de
una ecuación polinómica de grado n. Si consigue realizar está actividad será capaz de
encontrar las n raíces n-ésimas de cualquier polinomio de grado n, usando tecnología.
Maple:
solve(x^4=(4-3*I),{x});
evalf(%);
61

UNIDAD 2: Sistemas de ecuaciones lineales.
Introducción:
Muchos de los temas del álgebra lineal elemental, son una generalización de las
propiedades de la recta.
Lineal: (lat. linealis): Perteneciente a la línea.
Línea: Mat. Extensión con una sola dimensión.
Por lo tanto, antes de comenzar recordaremos los conceptos de recta y pendiente, así
como sus ecuaciones y formas generales.
Antecedentes:
Es importante que el lector conozca los orígenes del concepto de recta.
Concepto de recta: Concepto primitivo que describe el comportamiento de un rayo de
luz o un filamento cualquiera sometido a tensión.
Existen muchas y diferentes definiciones geométricas y matemáticas de la recta,
veamos algunas:
Recta general (Geometría): Línea generada por un punto que se mueve
constantemente en la misma dirección.
Recta en el plano (Geometría): Sucesión infinita de puntos, que varían con una
misma razón de cambio, llamada pendiente.
- Interpretación geométrica de la recta en el plano ( ):2
R
62

- Conceptos importantes (Recta en
2
R ):
Partiendo de la gráfica anterior, recuerde:
1) La pendiente m de una recta representa a la tangente del ángulo de
inclinación de la recta, es decir,
tanm
Recuerde: El ángulo de inclinación  cuando la recta es una función de la forma
, es la abertura entre la recta y el eje positivo de las x (eje de
la variable independiente).
 xfy 
Por lo tanto:
x
y
xx
yy
AC
OC
m






12
12
..
..
tan (Si 21 xx  ).
2) Si 012  xx y 12 yy  , la recta es vertical. Se dice que la pendiente
( tan ) es indefinida.
El ángulo de inclinación es .
2
90  
Comportamiento de la tangente:
En este caso la recta vertical es cx  , donde c es el valor en el que la recta
corta (intersecta) al eje x.
Donde , se define para una función0m   cmyygx  .
63

Nota: Para   cmyygx  , tanm . Donde  es el ángulo que abre en
sentido horario, desde el eje positivo de las y a la recta.
En general diremos que las rectas paralelas al eje y, tienen pendiente
indefinida  2
,   indefinidam .
Y las rectas paralelas al eje x, tienen pendiente CERO  0,0  m .
3) Cualquier recta (excepto una con pendiente indefinida) se puede escribir en la
forma punto – pendiente:
bmxy 
Donde es la pendiente de la recta y b es el valor de y en el que la recta corta
(intersecta) al eje y.
m
La forma punto - pendiente se puede generar de 2 formas:
a) Conociendo 1 punto y la pendiente.
b) Conociendo 2 puntos.
Y respetando la condición de que
12
12
tan
xx
yy
m


  , si la recta es una función
de x ( ). xfy 
4) 2 rectas (con ecuación diferente) son paralelas si y sólo si tienen la misma
pendiente. Algunos autores las llaman paralelas NO coincidentes.
5) Si 1m es la pendiente de la recta 1L , 2m la pendiente de la recta 2L , 01 m
y 1L y 2L , son perpendiculares, entonces:
121 mm
64

1
2
1
m
m


“2 rectas son perpendiculares si, el producto de sus pendientes es -1”.
6) Las rectas cuya ecuación es una función de la forma   bmxxfy  , son
paralelas al eje x, si 0m , es decir, by  .
2.1 Definición de sistemas de ecuaciones lineales.
Introducción:
Ecuación lineal: Ecuación polinómica de 1er grado con 1 o varias variables,
que representa rectas, planos o espacios complicados, cuyo
comportamiento asemeja al de la recta en
2
R .
Nota: Entienda por espacios complicados, regiones generales en .n
R
Sean:
,...,, cba = Constantes (pueden ser reales o complejas).
,...,, zyx = Variables.
La forma general de la ecuación lineal de 2 y 3 variables, respectivamente es:
cbyax  [Rectas]
dczbyax  [Planos]
Forma general de la ecuación lineal con número infinito de variables:
kczbyax  ... [Región de n dimensiones]
Las ecuaciones de varias variables, tienen generalmente un número infinito
de soluciones, por tanto son importantes cuando forman sistemas de ecuaciones.
Sistemas de ecuaciones (Generales): Conjunto de ecuaciones, para cuyas
incógnitas (2 o más) se pretende hallar una
solución única o conjunto de soluciones,
en común.
Los sistemas de ecuaciones más usados son los sistemas de ecuaciones lineales.
65

Definición:
Se llama sistema de ecuaciones lineales al conjunto de ecuaciones polinómicas
(varios términos sumados) de primer grado y 2 o más variables (incógnitas).
Que pueden tener una solución común, es decir, EXISTE un conjunto de
valores para las variables de un sistema de ecuaciones, que satisface
SIMULTÁNEAMENTE a TODAS las igualdades (ecuaciones) del sistema.
145
632


yx
yx
[Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas]
262
23754
9342



zyx
zyx
zyx
Estos sistemas son muy usados y se basan en que 2 rectas cualesquiera en 2
R
tienen necesariamente, 1 punto de intersección o son paralelas.
Importante:
Todas las ecuaciones polinómicas de 1er grado y 2 o más variables, tienen un
comportamiento análogo al de la recta en 2
R .
Así puede EXISTIR una región geométrica común a varias ecuaciones, que
interpretamos como la solución del sistema de ecuaciones lineales.
2.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución.
Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar según su solución en sistemas
con:
1) Solución única: EXISTE sólo un conjunto de valores, para las variables del
sistema de ecuaciones, que satisface SIMULTÁNEAMENTE a todas las
ecuaciones.
2) Número infinito de soluciones: EXISTE un número infinito de conjuntos de
valores, para las variables del sistema de ecuaciones, que satisface
SIMULTÁNEAMENTE a todas las ecuaciones.
66

3) Ninguna solución: Ningún conjunto de valores satisface
SIMULTÁNEAMENTE a todas las ecuaciones del sistema.
Importante:
a) Un sistema de ecuaciones lineales es consistente, si tiene al menos 1 solución
(o número infinito de soluciones).
b) Un sistema de ecuaciones lineales es inconsistente, si NO tiene solución.
c) Un sistema de ecuaciones lineales es incompatible, si las variables de sus
ecuaciones son diferentes.
2
4


wz
yx
Es imposible hallar un conjunto de valores que haga verdaderas
SIMULTÁNEAMENTE ambas ecuaciones.
NO EXISTE una región geométrica común.
El sistema de ecuaciones es incompatible y por tanto NO tiene solución.
d) Un sistema de ecuaciones lineales es compatible, si se puede resolver (tiene
solución única o número infinito de soluciones), por medio de las ecuaciones
que lo forman.
e) Los sistemas de ecuaciones lineales con el mismo número de ecuaciones y de
incógnitas, se llaman sistemas cuadrados.
12354
262
232754
9342




wzyx
wzyx
wzyx
wzyx
Introducción a la solución de sistemas de ecuaciones lineales.
- Solución de sistemas de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas:
Considere el sistema general de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas ( x y y ):
22221
11211
byaxa
byaxa


67

Donde:
1) son constantes (reales o complejas).ija
2) x , y son variables (también llamadas incógnitas).
3) Cada una las ecuaciones del sistema representa una recta en
2
R .
A continuación resolveremos un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2
incógnitas, ocupando álgebra y geometría.
Sea el sistema de ecuaciones lineales:
43
4
17
4
1


yx
yx
Sabemos que ambas ecuaciones representan una recta en
2
R .
Importante:
Entonces, si EXISTE un punto de intersección (que evidentemente es un punto común
a ambas rectas), los valores de las coordenadas de este punto de intersección, forman
el conjunto de valores que satisface a ambas ecuaciones SIMULTÁNEAMENTE, es
decir, el punto de intersección es la solución única del sistema de 2 ecuaciones
lineales.
Escribamos las 2 ecuaciones en su forma y = mx + b, y hallemos, si EXISTE, el punto
común a ambas rectas.
43
4
17
4
1


xy
xy
Igualando términos nos queda:
43
4
17
4
1  xx
Resolviendo la ecuación con álgebra:
4
33
4
11  x
3x
Sustituyendo en , tenemos3x 43  xy 5y .
Por lo tanto el punto de intersección es: P(3, 5).
68

La solución del sistema se escribe:
Solución única: 3x , .5y
O bien (3, 5). Algunos autores escriben U =  5,3 .
Maple:
plot([(1/4)*x+(17/4),3*x-
4],x=0..7,y=0..7,scaling=constrained);
69

2.3 Interpretación geométrica de las soluciones.
Geometría de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas (1):
abemos que cada ecuación representa una recta en
-
2
RS , entonces tenemos 3 casos de
1) Solución única: Si las rectas (en
solución, cuya interpretación geométrica es muy simple.
2
R ) NO son paralelas, EXISTE un
punto común a ambas. Este punto de intersección (x, y) es un par
ordenado que satisface a ambas ecuaciones.
2) Número infinito de soluciones: Si las rectas son múltiplos escalares
Algunos autores dicen que las rectas en
sus ecuaciones son equivalentes, es decir, ambas ecuaciones representan
a la misma recta. Entonces tenemos un número infinito de puntos (x,
y) que se suceden en una misma dirección.
2
R que componen un sistema (de 2
ecuacio
ntonces EXISTE un número infinito de puntos de intersección, es decir un
númer
ota (Múltiplos escalares):
ecuaciones y son múltiplos escalares, si existe un escalar c, tal que:
nes lineales con 2 incógnitas) con número infinito de soluciones, son paralelas
coincidentes.
E
o infinito de soluciones.
N
2 1y 2y
21 ycy 
70

[Las 2 ecuaciones representan la misma recta]
3) Ninguna solución: Si las ctas son paralelas (y NO coincidentes).
es.
re
Entonces NUNCA se intersectan, es decir, no existe un punto común a
ambas rectas y, por tanto, el sistema NO TIENE SOLUCIÓN.
No existe un par ordenado (x, y) que satisfaga a ambas ecuacion
Solución algebraica de sistemas de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas:
mas de
cuaciones.
-
2 hechos del álgebra elemental, son fundamentales para resolver siste
e
71

Hecho
aciones cualesquiera, se obtiene una
ra ecuación correcta (verdadera).
número real (escalar), entonces ka = kb.
a ecuación
ualquiera por una constante, se obtiene una 2da ecuación correcta (verdadera).
1: Si a = b y c = d, entonces a + c = b + d.
El Hecho 1 establece que si se suman 2 ecu
3
Hecho 2: Si a = b y k es cualquier
El Hecho 2 establece que si se multiplican ambos lados de un
c
Nota: El hecho 2 se cumple también si k es compleja (k  C).
- Ejemplo demostrativo 1: Un sistema con solución única.
Considere el sistema:
5
7
2
1


yxL
yxL
Por el Hecho 1 al sumar y , tenemos:1L 2L
12221  LL x
6x
Sustituyendo en o , tenemos1L 2L 1y .
ución ú ca del sistema.Así, el par ordenado (6, -1) es la sol ni
6x , 1ySolución única: .
72

O bien Solución ú (6nica: , -1).
0,y=-5..5,scaling=constrained);
Maple:
lot([x-7,-x+5],x=0..1p
- Ejemplo demostrativo 2: Un sistema con número infinito de soluciones.
Considere el sistema:
7
14222
1

 yxL
yxL
Es claro que las ecuaciones son y son .
Por lo tanto ambas ecuaciones representan la misma recta.
múltiplos escalares1L 2L  212 LL 
7 yx
Es claro que EXISTE un número infinito de pares ordenados (x, y), que
satisfacen la ecuación.
Estos pares ordenados (x, y) generan la recta 7 yx .
Cada combinación (x, y) que satisface la ecuación es un punto sobre la recta
.
Por lo tan
ara cualquier valor real
1L
7 xy
to el sistema tiene un número infinito de soluciones.
El conjunto de soluciones se puede expresar, mediante el par ordenado (x, x – 7),
combinación que representa a TODA solución para el sistema, p
de x.
Maple:
implicitplot([x-y=7,2*x-2*y=14],x=0..10,y=-5..5,scaling=constrained);
infinito de soluciones: (x, x – 7).Número
73

Nota: Más adelante aprenderemos otra forma de expresar un número infinito de
luciones.
emostrativo 3: Un sistema sin solución.
onsidere el sistema:
so
- Ejemplo d
C
1322
7
2
1


yxL
yxL
Por el Hecho 2, tenemos:
2
13
2
1 2  yxL
El nuevo sistema de ecuaciones es:
2
13
2
1
7
2
1


yxL
x
Ahora tenemos 2 rectas paralelas (NO coincid ntes), con pendiente
L y
e 1m ,
4
45   , que NO poseen ningún punto en común.
Esto es claro, corta al eje y en (0, -7); y la
ecta representada por corta al eje y en (0, - 6.5).
puesto que, la recta representada por 1L
r 2L
Por lo tanto, el sistema NO tiene solución.
Ninguna solución.
aple:
-y=7,x-y=6.5],x=0..12,y=-
..4,color=[green,blue],scaling=constrained);
M
implicitplot([x
4
74

- Teorema de resumen:
Sea el sistema general de 2 ecuaciones lineales y 2 incógnitas:
22221 byaxa
byaxa

11211 
Este sistema tiene necesariamente alguna de las siguientes características:
1) Solución única.
3) Ninguna solución
1) Tiene solución única, si y sólo si:
2) Número infinito de soluciones.
Esto es:
012212211  aaaa
2) Tiene número infinito de soluciones o ninguna solución, si y sólo si:
012212211  aaaa
- Ejercicios resueltos (1.2 Álgebra lineal, Stanley I. Grossman, Quinta edición):
13) Encuentre las condiciones sobre y , tales que, el sistema tenga una solucióna b
única.
cbyax
x

cbya 
Solución:
Ambas ecuaciones representan rectas en 2
R , entonces EXISTE una solución única, si
O son paralelas o múltiplos escalares.
[Teorema de resumen, solución única]
teorema de resumen , necesitamos:
las rectas N
Recurso:
01221  aaa2211a
Aplicando el al sistema, para tener solución única
02  ababab
Las condiciones de y , para solución única son:a b
75

0
0
b
a
14) Encuentre las condiciones sobre , y a tenga un número
infinito de soluciones.
a b c , tales que, el sistem
caybxL
cbyaxL


2
1
Solución:
[Teorema de resumen, número infinito de soluciones]
Recurso:
2211 aa 01221 aa
    bababa  22
Aplicando el teorema de resumen, para tener número infinito de soluciones,
ecesitamos:
sando productos notables:
n
022
 ba
U
   0 baba
Caso 1: Caso 2:
ba 
ba  0 ba
ba 
 0
o el Caso 2, satisfacen la ecuación, pNote que tanto el Caso 1 com ero NO pueden
ocurrir simultáneamente.
diciones para y son:Ahora sabemos que las con a b
ba  o a b
A continuación determinaremos las condiciones para .
ero infinito de soluciones, las
ectas que representan sus ecuaciones deben ser paralelas y coincidentes, es decir,
últip
ciones para y , tenemos:
c
Sabemos que para que el sistema tenga un núm
r
m los escalares.
Partiendo de las condi a b
Caso 1  ba  :
76

cayaxL
cayaxL


2
1
representa a la recta1L a
cxy  [Recta con 1m ,  45 , corta al eje y
en a
c,0 ]
representa a la recta a
cxy 2L [Recta con 1m ,  45 , corta al eje y
en a
,0 ]c
El Caso 1 sólo da infinitas soluciones en 0c .
ncidentes (ninguna solución).
o 2
Ambas ecuaciones representan a la
ecta:
Si 0c las rectas son paralelas NO coi
Cas  ba  :
cayax
cayx


2
aL 1
L
r
a
cxy  
[Recta con 1m ,  45  , corta al
je y en  a
c,0 ]e
77

El caso 2 po or si sól da un número infinito de soluciones.
e soluciones][Interpretación geométrica del conjunto d
Importante:
ara debe hacer válido al Caso 1 y al Caso 2.La condición p c
Si el Caso 1 sólo da infinitas soluciones en 0c .
Las condiciones de a , b y c , para número o dinfinit e soluciones son:
oba ba  y 0c
15) Encuentre las condiciones sobre , y , tales que, el sistema NO tenga,a b c d
solución.
daybxL
cbyaxL


2
1
Solución:
[Teorema de resumen, ninguna solución]
teorema de res
El único caso para que 2 números al cuadrado suma s sean CERO es:
Recurso:
012212211 aaa a
umen, para tener ninguna solución, necesitamos:Aplicando el
022
 ba
do
78

22
ba 
0
0


b
a
Geométricamente, para que el sistema tenga ninguna solución las rectas que
representan y deben ser paralelas NO coincidentes.1L 2L
Pero en este caso basta con hacer 0c y 0d para que las expresiones del sistema,
NO tengan sentido.
Las condiciones de a , , y , para ninguna solución son:b c d
0a 0b 0c 0d
16 – 21: Encuentre el punto de intersección (si lo hay) de las 2 rectas.
21) 543  yx 876  yx
Solución:
Si las rectas se intersectan, con sus ecuaciones podemos generar un sistema con
solución única.
876
543
2
1


yxL
yxL
Multiplicando por -2 [Hecho 2]:1L
876
10862
2
1


yxL
yxL
Sumando [Hecho 1]:212 LL 
2152 21  yLL
13333.0
15
2 y
Sustituyendo en [la ecuación más simple] tenemos:1L
79

 
48888.1
45
67
15
673
15
8
15
753
5
15
83
5
15
243





x
x
x
x
x
Comprobamos en :2L
   
88
8
45
360
8
45
42
45
402
8
15
14
45
402
8
15
27
45
676





Maple:
implicitplot([3*x+4*y=5,6*x-
7*y=8],x=1.42..1.5,y=.guatda.com/cmx.p12...16,color=[green,blue],scaling=constrained);
80

- Geometría de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas (2):
[Taller Maple]
Sabemos que cada una de la ecuaciones de un sistema de 2 ecuaciones lineales
con 2 incógnitas, representa una recta en 2
R .
Y que se tiene solución única en el punto de intersección; número infinito de
soluciones cuando las rectas son paralelas coincidentes (múltiplos escalares); y
ninguna solución cuando las rectas son paralelas NO coincidentes.
Estas situaciones se pueden generalizar a ecuaciones lineales (ecuaciones de primer
grado) y 3 o más variables (incógnitas).
La gráfica de la ecuación dczbyax  en un espacio de 3 dimensiones (
3
R ) es
un plano.
Considere el sistema general de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas:
dczbyax  [Plano 1]
hgzfyex  [Plano 2]
mlzkyjx  [Plano 3]
En donde a, b, c, d, e, f, g, h, j, k, l y m con constante reales, NO todas CERO.
Cada ecuación lineal de 3 incógnitas, representa un plano.
Cada solución es una región de 3 dimensiones, ya sea, un punto (x, y ,z) en (
3
R ) para
solución única; una recta o un plano en (
3
R ) cuando hay número infinito de
soluciones; o ninguna región en común si el sistema NO tiene solución.
81

EXISTEN 6 posibilidades:
1) Los 3 planos se intersectan en un solo punto.
Entonces EXISTE, solución única para el sistema.
Maple:
plot3d([(-2/7)*x-(5/7)*y+(113/7),(5/4)*x-
(3/4)*y+(41/4),(1/6)*x-
(5/6)*y+(91/6)],x=3.5..4.5,y=6..7,axes=boxed,color=x*x*y,sc
aling=constrained,transparency=0.2,grid=[2,2]);
82

2) Los 3 planos se intersectan en la misma recta.
Entonces cada punto sobre la recta es una solución y el sistema tiene número
infinito de soluciones.
Maple:
plot3d([x-2*y+12,(-1/14)*x-(3/14)*y+(103/14),(1/7)*x-
(4/7)*y+(58/7)],x=0..70,y=-
10..60,axes=boxed,lightmodel=light4,scaling=constrained,tra
nsparency=0,grid=[2,2]);
83

3) Los 3 planos coinciden [son paralelos coincidentes]. Entonces cada punto sobre
el plano resultante es una solución y el sistema tiene número infinito de
soluciones.
Es claro que las 3 ecuaciones son múltiplos escalares, es decir, representan al
mismo plano.
Maple:
plot3d([(-3/7)*x-(2/7)*y+(47/7),(-6/14)*x-
(4/14)*y+(94/14),(-9/21)*x-(6/21)*y+(141/21)],x=-10..10,y=-
10..10,axes=boxed,lightmodel=light4,scaling=constrained,tra
nsparency=0.7,grid=[2,2]);
84

4) 2 de los planos coinciden e intersectan a un 3er plano en una recta.
Entonces cada punto sobre la recta de intersección es una solución y el sistema
tiene número infinito de soluciones.
Note que 2 de los planos son múltiplos escalares.
Maple:
plot3d([(-3/7)*x-(2/7)*y+(47/7),(2/3)*x+(15/6)*y-(23/6),(-
6/14)*x-(4/14)*y+(94/14)],x=-10..40,y=-
25..25,axes=boxed,color=x*y,scaling=constrained,transparenc
y=0,grid=[2,2]);
85

5) Al menos 2 de los planos son paralelos y distintos [NO coincidentes].
Entonces ningún punto puede ser común a los 3 planos.
Por tanto el sistema, NO tiene solución.
plot3d([(1/3)*x+(1/9)*y+2,(1/3)*x+(1/9)*y+4],x=0..8,y=-
4..4,axes=boxed,color=x*y,scaling=constrained,transparency=.3,grid=[2,
2]);
plot3d([(1/3)*x+(1/9)*y+2,(1/3)*x+(1/9)*y+4,(1/3)*x+(1/9)*y+6],x=0..6,
y=-
3..3,axes=boxed,color=2*x*y,scaling=constrained,transparency=.3,grid=[
2,2]);
86

6) 2 de los planos coinciden en una recta L. El 3er plano es paralelo a L [y NO
contiene a L], de manera que ningún punto del 3er plano se encuentra en los 2
primeros.
Entonces el sistema, NO tiene solución. Es un sistema inconsistente.
Maple:
plot3d([(-3/7)*x-(2/7)*y+(47/7),(2/3)*x+(15/6)*y-(23/6),(-
3/7)*x-(2/7)*y+(94/7)],x=-7.5..7.5,y=-
5..10,axes=boxed,lightmodel=light4,scaling=constrained,tran
sparency=0,grid=[2,2]);
plot3d([(-3/7)*x-(2/7)*y+(47/7),(4/3)*x+(1/3)*y+(4/3),(-
3/7)*x-(2/7)*y+(94/7)],x=-6..20,y=-
13..13,axes=boxed,color=x*y,scaling=constrained,transparenc
y=0,grid=[2,2]);
87

Caso especial: Ninguna solución.
Los planos se intersectan en pares, pero no coinciden en un punto común, el sistema de
ecuaciones lineales es inconsistente (sin solución).
Note que las rectas de intersección son paralelas NO coincidentes. De NO serlo el
sistema tendría solución única.
Maple:
plot3d([(-3/7)*x-
(2/7)*y+(47/7),(4/3)*x+(1/3)*y+(4/3),(181/293)*x+(24/293)*y+(45/293)],x=-
8..16,y=-
12..12,axes=none,color=x*y,scaling=constrained,transparency=0,grid=[2,2]);
Importante:
1) Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, SIEMPRE tiene
solución única, número infinito de soluciones o ninguna solución.
2) De forma general podemos decir:
“Las ecuaciones lineales de 1er grado y 2 o más variables (incógnitas),
describen rectas, planos o espacios complicados en n
R , cuyo comportamiento
asemeja al de la recta en 2
R ”.
Es decir, las ideas en el plano xy se pueden extender a espacios más
complicados.
Recuerde: .  RyxyxR  ,|,2
88

2.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales (Gauss – Jordan y
eliminación gaussiana).
(Métodos de solución de sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
Eliminación de Gauss – Jordan y eliminación gaussiana).
Introducción:
En secciones anteriores mencionamos que los sistemas de ecuaciones lineales,
que tienen el mismo número de incógnitas y de ecuaciones se llaman sistemas
cuadrados.
Hasta ahora sólo hemos resuelto sistemas 2 x 2, es decir, 2 ecuaciones con 2
incógnitas.
Los sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas, como se puede
suponer pueden ser de cualquier tamaño, ser cuadrados o rectangulares, y tener
solución única, número infinito de soluciones o ninguna solución.
En lo sucesivo de usaran como variables , , , etc., en lugar de x, y, z,….
Esta notación se llama notación con subíndices.
1x 2x 3x
- Sistema general de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa




...
...
...
...
332211
33333232131
22323222121
11313212111

- Eliminación de Gauss – Jordan:
Para entender este método de solución de sistemas de ecuaciones lineales,
resolveremos un sistema 3 x 3 con solución única.
Pretendemos que el estudiante “comprenda” como resolver sistemas de
ecuaciones lineales más generales, en vez de memorizar una serie de pasos.
89

- Ejemplo demostrativo (importante):
Sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas: Solución única.
423
24654
18642
321
321
321



xxx
xxx
xxx
(1)
El método de eliminación de Gauss – Jordan se basa en simplificar las ecuaciones
(aplicando el Hecho 1 y Hecho 2), de manera que al final la solución del sistema se
pueda identificar de inmediato.
Buscamos 3 números , y , que satisfacen las 3 ecuaciones (igualdades).1x 2x 3x
NOTA: Se ha colocado (1) para REPRESENTAR al sistema 1 o sistema inicial, todos
los sistemas y ecuaciones sucesivos serán obtenidos aplicando los Hechos 1 y 2 del
álgebra fundamental. Entonces TODOS los sistemas que presentaremos son
EQUIVALENTES [TODOS REPRESENTAN LAS CONDICIONES DE (1)].
Solución:
Aplicando el Hecho 2, multiplicamos ambos lados de la primera ecuación de (1) por
2
1 .
423
24654
932
321
321
321



xxx
xxx
xxx
(2)
Aplicando el Hecho 2, multiplicamos ambos lados de la primera ecuación de (2) por –4
y aplicando el Hecho 1 la sumamos a la segunda ecuación.
361284 321  xxx
24654 321  xxx
1263 32
Tenemos ahora un nuevo sistema equivalente. Cada vez buscaremos ecuaciones
equivalentes más simples, hasta que la solución del sistema sea EVIDENTE.
932 321  xxx
(3)
 xx
1263 32  xx
423 321  xxx
90

Aplicando el Hecho 2, multiplicamos ambos lados de la primera ecuación de (3) por –3
y aplicando el Hecho 1 la sumamos a la tercera ecuación.
27963 321  xxx
423 321  xxx
23115 32
Generamos un nuevo sistema equivalente.
932 321  xxx
(4)
Aplicando el Hecho 2, multiplicamos ambos lados de la segunda ecuación de (4) por
3
1 .
932 321  xxx
(5)
Aplicando el Hecho 2, multiplicamos ambos lados de la segunda ecuación de (5) por 5 y
aplicando el Hecho 1 la sumamos a la tercera ecuación.
20105 32  xx
Generamos un nuevo sistema equivalente.
932 321  xxx
(6)
Aplicando el Hecho 2, multiplicamos ambos lados de la segunda ecuación de (6) por -2
y aplicando el Hecho 1 la sumamos a la primera ecuación.
Generamos un nuevo sistema equivalente. NOTE que hemos eliminado la variable
de la primera ecuación.
2x
842 32  xx
1x 13  x
932 321  xxx
 xx
1263 32

 xx
23115 32

 xx
42 32  xx
23115 32  xx
23115 32  xx
33  x
42 32  xx
33  x
91

(7)
Aplicando el Hecho 2, multiplicamos ambos lados de la tercera ecuación de (7) por 2 y
aplicando el Hecho 1 la sumamos a la segunda ecuación.
42 32  xx
Generamos un nuevo sistema equivalente. NOTE que hemos eliminado la variable
de la segunda ecuación.
3x
(8)
Aplicando el Hecho 2, multiplicamos ambos lados de la tercera ecuación de (8) por – 1
y aplicando el Hecho 1 la sumamos a la primera ecuación.
Generamos un nuevo sistema equivalente. EL RESULTADO ES EVIDENTE.
La solución única es: (4, -2, 3).
41 x 22 x 33 x
1x 13  x
1x 13  x
1x 13 x
1x 4
42 32  xx
33  x
62 3  x
2x 2 
2x 2
x 33  
33 x
1x 4

2x 2
33 x
92

[Interpretación geométrica de la solución única]
Maple:
ellow],scaling=cons
Introducción al concepto de matriz (notación matricial para el método de
A continuación resolveremos el Ejemplo demostrativo anterior por el método
de elim
na matriz es un arreglo rectangular de números.
partir del sistema:
plot3d([(-1/3)*x-(2/3)*y+3,(-2/3)*x-
(5/6)*y+4,(3/2)*x+(1/2)*y-2],x=0..4,y=-
2..2,axes=boxed,color=[red,blue,yellow,y
trained,transparency=0,grid=[2,2]);
-
eliminación de Gauss – Jordan):
inación de Gauss – Jordan, pero usando una notación que simplifica su
escritura. La notación matricial.
U
A
423
24654
18642
321
321
321



xxx
xxx
xxx
93

Generamos una matriz A, llamada matriz de coeficientes del sistema. Los
coeficientes de las variables , y serán los componentes de la matriz.1x 2x 3x












213
654
642
A Fila o renglón
Columna
- Matriz m x n (Importante):
Una matriz m x n, es la que tiene m renglones (filas) y n columnas.
Al usar notación matricial nuestro sistema original se escribe como una matriz
aumentada.










 4213
24654
18642
Hasta ahora hemos resuelto sistemas de ecuaciones basándonos en 2 hechos del
álgebra.
Cuando ocupemos notación matricial usaremos operaciones elementales con
renglones (operaciones válidas entre renglones).
- Operaciones elementales con renglones (operaciones válidas entre renglones):
1) Multiplicar (o dividir) un renglón por un número diferente de CERO.
2) Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
3) Intercambiar la posición de 2 renglones.
- Notación para operaciones entre renglones:
1) : Remplaza el i-ésimo renglón por el i-ésimo renglón multiplicado por c .
[Debe multiplicar cada número del i-ésimo renglón por ]
cRiRi 
c
2) : Sustituye el j-ésimo renglón por la suma del j-ésimo renglón
más el i-ésimo renglón multiplicado por .
cRiRjRj 
c
94

3) : Intercambiar los renglones i y j.RjRi 
4) : Las matrices son equivalentes.BA 
[Si son matrices aumentadas tienen la misma solución]
NOTA: Una matriz que NO es aumentada, NO se puede modificar, ya que, cambiaría
su SIGNIFICADO.
Importante:
El procedimiento para resolver una matriz aumentada por el método de
eliminación de Gauss – Jordan se llama, reducción de la matriz aumentada a la
forma escalonada “reducida” por renglones.
- Forma escalonada “reducida” por renglones (Importante):
Una matriz se encuentra en la forma escalonada “reducida” por renglones si
se cumplen las siguientes condiciones:
1) TODOS los renglones (si los hay) cuyos elementos (componentes) son TODOS
CERO aparecen en la parte inferior de la matriz.
2) El primer número diferente de CERO (comenzando por la izquierda) en
cualquier renglón cuyos elementos NO son TODOS CERO es 1.
3) Si 2 renglones sucesivos tienen elementos distintos de CERO, entonces el
primer 1 en el renglón de abajo está más a la derecha que el primer 1 en el
renglón de arriba.
4) Cualquier columna que contiene el primer 1 de un renglón tiene CEROS en el
resto de sus elementos (componentes).
- Ejemplos de matrices en la forma escalonada “reducida” por renglones:










100
010
001










1000
0010
0001






2100
5001






10
01










0000
6310
5201
95

- Solución de sistemas de ecuaciones lineales por eliminación de Gauss – Jordan
con notación matricial:
El sistema de ecuaciones lineales original es:
423
24654
18642
321
321
321



xxx
xxx
xxx










 4213
24654
18642
11 2
1 RR 










 4213
24654
9321
133
122
3
4
RRR
RRR














231150
12630
9321
22 3
1 RR 










 231150
4210
9321
233
211
5
2
RRR
RRR














3100
4210
1101
33 RR 









 
3100
4210
1101
322
311
2RRR
RRR


96












3100
2010
4001
[La solución es EVIDENTE]
- Eliminación de Gauss – Jordan con pivoteo:
Es importante que contemos con diversas herramientas para la solución de un
problema.
A continuación se explicará paso a paso el procedimiento de reducción por
renglones por pivoteo.
Más adelante cuando nos ocupe el estudio de matrices este procedimiento será
de gran utilidad.
Partiremos de la matriz aumentada del ejemplo anterior:










 4213
24654
18642
Pivote
Seleccionamos el componente con mayor valor absoluto, este será nuestro primer
pivote y movemos el renglón pivote hasta arriba.










 4213
18642
24654










 4213
18642
6
2
3
4
51
Dividimos el renglón pivote entre 4,
para hacer el pivote igual a 1.
Multiplicamos el renglón pivote por
-2 y -3 y lo sumamos con y ,
respectivamente.
2R 3R












 14
4
13
4
110
63
2
30
6
2
3
4
51
Volvemos a elegir pivote y lo
dividimos entre
4
11 para hacerlo 1.
97













63
2
30
11
56
11
2610
6
2
3
4
51














11
18
11
600
11
56
11
2610
11
4
11
1601
4
5
y
2
3 y lo sumamos con y ,
respectivamente.
1R 3R
dividimos entre
11











 
3100
11
56
11
2610
11
4
11
1601 Multiplicamos el renglón pivote por
11
16
y
11
respectivamente.
1R 2R











3100
2010
4001
[El resultado es EVIDENTE]
33 x41 x 22 x
NOTA: Revise el procedimiento de pivoteo, hasta entenderlo le será muy útil.
- Conceptos clave (pivoteo):
1) El pivote en cualquier renglón está a la derecha del pivote del renglón anterior.
2) El pivote hace CERO a los demás elementos (componentes) de la columna a la
que pertenece.
- Eliminación gaussiana:
El método de eliminación gaussiana resulta algunas veces más conveniente
que el de eliminación de Gauss – Jordan, ya que, las operaciones entre renglones
son menos.
Comprenderlo NO será complicado si ya domina el método de eliminación de
Gauss – Jordan, ya que, la forma de proceder es similar.
98

Importante:
El procedimiento para resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método
de eliminación gaussiana con notación matricial se llama, reducción de la matriz
aumentada a la forma escalonada por renglones.
- Forma escalonada por renglones (Importante):
Es fácil entender este concepto a través de sus ejemplos.










100
510
321












1000
8210
4611






2100
5201






10
21










0000
6310
5231
- Solución de sistemas de ecuaciones lineales por eliminación gaussiana con
notación matricial y pivoteo:
A continuación resolveremos un sistema 3 x 3 con solución única.
Sea el sistema:
1032
44
1132
321
321
321



xxx
xxx
xxx
Generamos la matriz aumentada:













10312
4114
11321 Elegimos el pivote, lo dividimos entre 4
para hacerlo 1 y lo movemos hasta
arriba.













10312
11321
1
4
1
4
11 Multiplicamos el renglón pivote por y1
respectivamente.
2R 3R
99
















8
2
7
2
30
10
4
13
4
90
1
4
1
4
11















8
2
7
2
30
9
40
9
1310
1
4
1
4
11
dividimos entre
4
2
3
y lo sumamos con .3R














3
4
3
400
9
40
9
1310
1
4
1
4
11














1100
9
40
9
1310
1
4
1
4
11
dividimos entre
3
4 para hacerlo 1.
La matriz aumentada está en su
forma escalonada por renglones.
Ya conocemos el valor de una de las incógnitas.
13 x
Ahora usamos la sustitución hacia atrás para hallar el valor de las demás incógnitas.
De (renglón 2) tenemos:2R
9
40
9
13
32
 xx
  9
401
9
13
2
x
9
27
2
x
32 x
De (renglón 1) tenemos:1R
1
4
1
4
1
321  xxx
100

    11
4
13
4
1
1 x
4
1
4
311 x
21 x
13 x21 x 32 x
- Resumen:
1) Eliminación de Gauss – Jordan:
Se reduce la matriz aumentada a su forma escalonada “reducida” por
renglones.
2) Eliminación gaussiana:
Se reduce la matriz aumentada a su forma escalonada por renglones, se
despaja el valor de la última incógnita y se usa la sustitución hacia atrás para
hallar el valor de las demás incógnitas.
- Solución de sistemas de ecuaciones lineales con número infinito de soluciones:
Hasta ahora hemos resuelto sistemas de ecuaciones lineales cuadrados (2 x 2 y
3 x 3).
Para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, ya sean, cuadrados o
rectangulares con número infinito de soluciones, usaremos el concepto de variable
libre.
- La variable libre:
La variable libre se presenta en un sistema de m ecuaciones lineales con n
incógnitas. Cuando en su matiz aumentada original o cualquiera de sus matrices
equivalentes m x n, se presenta el siguiente caso:
amn  Ra 
Donde indica el número de variables libres, presentes en el sistema.a
Algunos autores usan:
arn  Ra 
101

Donde r indica el número de renglones (ecuaciones) y como sabemos indica el
número de columnas (incógnitas).
n
Importante: [Sólo estudiantes]
El lector que no se ha familiarizado con la notación matricial puede entenderlo de la
siguiente manera:
amn  Ra 
m o r = Número de renglones (filas) = Número de ecuaciones.
n = Número de columnas = Número de incógnitas.
En general podemos decir que EXISTEN variables libres, si en un sistema de
ecuaciones el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones.
mn 
SIEMPRE que el sistema de ecuaciones presente variables libres, tiene
número infinito de soluciones.
A las variables libres se asignan generalmente las letras , , ,… oa b c s , t , .v
- Ejemplo demostrativo 1: Solución de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3
incógnitas y número infinito de soluciones.
Sea el sistema:
301272
24654
18642
321
321
321



xxx
xxx
xxx





















301272
24654
9321
301272
24654
18642
Reduciremos la matriz aumentada por renglones con pivoteo:
102










4
301272
9321
2465
Elegimos el pivote y lo dividimos entre 4
para hacerlo 1.










301272
9321
6
2
3
4
respectivamente.
2R 3R












189
2
90
3
2
3
4
30
6
2
3
4
51
Elegimos el pivote y lo dividimos entre
2
9
para hacerlo 1.










3
2
3
4
30
4210
6
2
3
4
4
3 y lo sumamos con .3R










0000
4210
6
2
3
4
51
Pero continuaremos con la eliminación de Gauss – Jordan.








4210
6
2
3
4
51
Hasta aquí hemos realizado la
eliminación gaussiana, y podemos usar la
sustitución hacia atrás.
4
5 y lo sumamos con .1R





 
4210
1101 NOTE que ya NO podemos realizar
operaciones, puesto que, NO hay pivote.
Esta última matriz aumentada equivale al sistema:
1x 13  x
42 32  xx
Tenemos un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas.
103

Aplicando el concepto de variable libre, tenemos:
amn  Ra 
123  [1 variable libre]
La variable libre es .ax 3
Nuestro nuevo sistema es:
ax
ax
24
1
2
1


Comprobamos en la primera ecuación del sistema original.
18642 321  xxx
    18624412  aaa
18681622  aaa
1818 
La solución es:
ax
ax
ax



3
2
1
24
1
Esta solución se llama solución general del sistema.
Y representa al conjunto de soluciones del sistema, para cada valor real de .ax 3
Algunos autores expresan la solución como:  333 ,24,1 xxx  .
El sistema tiene número infinito de soluciones.
NOTA (Importante):
Para cada valor real de , obtenemos una solución particular del sistema.ax 3
Por ejemplo, si 3a , la solución particular del sistema es (4, -2, 3).
No debe confundir la solución única con la solución particular. SIEMPRE que
EXISTE variable libre tenemos un número infinito de soluciones.
104

Como hemos visto, cuando tenemos número infinito de soluciones en un sistema de 3
ecuaciones lineales con 3 incógnitas, los 3 planos que forman el sistema, coinciden en
la recta de intersección pertenecen a los 3 planos, y
onstituyen un conjunto infinito de ternas ordenadas
una recta de intersección.
TODOS los puntos sobre
c  ,, xxx 321
3 ecuaciones lineales del sistema.
Entonces podemos expresar 1 x
, que satisfacen a las
333 ,24, xx , como:
tz tx 1 ty 24 
Que son las ecuaciones paramétricas de la recta de intersección.
ciones][Interpretación geométrica del número infinito de solu
Maple:
plot3d([(-1/3)*x-(2/3)*y+3,(-2/3)*x-(5/6)*y+4,(-1/6)*x-
*y+(15/6)],x=0..6,y=-
ons
(7/12)
3..3,axes=boxed,color=[red,blue,yellow,yellow],scaling=c
trained,transparency=0,grid=[2,2]);
105

- Ejemplo demostrativo 2: Solución de un sistema de 2 ecuaciones lineales con 4
incógnitas y número infinito de soluciones.
Sea el sistema:
64252
453
4321
4321


xxxx
xxxx



2



6425
41531
Reduciremos por renglones por pivoteo y eliminación de Gauss – Jordan.



 64252


41531
para hacerlo 1.
2











41531
321
2
51 Multiplicamos el renglón pivote por -1 y
lo sumamos con










114
2
10
321
2
51
2R .
Elegimos el pivote y lo dividim
2
1os entre
p










22810
321
2
51
ara hacerlo 1.
2
5 y lo sumamos con 1R .








22810
27191
La última matriz aumentada equivale al sistema:
0 NO á operaciones,
puesto que, NO hay siguiente pivote.
podemos realizar m s
719 43  xx1x 2
228 432  xxx
enemos un sistema de 2 ecuaciones con 4 incógnitas.
T
106

n am  Ra 
4 22  [2 variables libres]
Las variables libres s  Rbon yax 3 bx  a, 4 , .
solución conjunto de soluciones del sistema es:La general, que representa a TODO el
bax 7192 1
bax 282 2
ax 3
bx 4
Algunos autores expresan el número infinito de soluciones como:
 4, x34343 ,282,7192 xxxxx 
NOTA (Importante):
En un sistema de ecuaciones con 1 o varias variables libres cualquiera de las
onsiderada variable libre, pero, por comodidad elegimos las que
bran después de reducir la matriz aumentada a su forma escalonada “reducida”
XISTEN 2 tipos de sistemas de ecuaciones lineales SIN SOLUCIÓN, estos son:
1) Los sistemas INCONSISTENTES (o sistemas SIN SOLUCIÓN).
2) Los sistemas INCOMPATIBLES.
NSISTENTE.
ea el sistema:
variables puede ser c
so
por renglones.
- Sistemas de ecuaciones lineales SIN SOLUCIÓN:
E
- Un sistema de ecuaciones lineales INCO
S
432 32  xx
15762 321  xxx
1052 321  xxx
107













10521
15762
4320
Reduciremos por renglones por pivoteo y eliminación de Gauss – Jordan:





 15762



432
10521
0

para hacerlo 1.







0





432
10521
2
15
2
731
Multiplicamos el renglón pivote por -1 y
lo sumamos con 2R .











 
4320
2
5
2
310
2
15
2
731 Multiplicamos el renglón pivote por 3 y -2
y lo sumamos con y1R 3R ,
respectivamente.










1000
2
5
2
310
15801
Ahora es EVIDENTE que el sistema NO tiene solución, puesto que, la expresión
ES IMPOSIBLE1000 321  xxx  10  .
El sistema NO TIENE SOLUCIÓN, es INCONSISTENTE.
108

[Interpretación geométrica ninguna solución]
Maple:
plot3d([(-2/3)*y+(4/3),(-2/7)*x+(6/7)*y+(15/7),(-
1/5)*x+(2/5)*y+2],x=0..1,y=-
1,axes=boxed,color=[red,blue,yellow,yellow],scaling=c
Este tipo de sistemas de ecuaciones lineales SIN SOLUCIÓN, algunas veces se
lema de la realidad, sobre el
ual, se brinda información insuficiente.
Es un sistema INCOMPATIBLE, es decir, NO EXISTE relación entre los
componentes de sus ecuaciones y por lo tanto, NO pode os hallar una solución común
para sus ecuaciones.
Algunos autores dicen que el sistema, CARECE DE SENTIDO.
205
.9..0.
onstrained,transparency=0.,grid=[2,2]);
- Un sistema de ecuaciones lineales INCOMPATIBLE:
presenta al obtener las ecuaciones que describen un prob
c
Sea el sistema:
5
x
1x 3x
2x 4x 3

m
109

- Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos:
El sistema general de ecuaciones lineales m x n se llama sistema homogéneo, si
ODAS las constantes , …, son CERO.T 1 2 mb , b b
El sistema homogéneo general es:
0...
0...
2211
2222121
11211


0...21  xaxaxa
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa

Los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos, tienen 2 tipos de soluciones:
1) Solución única:
Llamada solución trivial o solución CERO, SIEMPRE es una solución del
sistema, puesto que, 0...21  nxxx SIEMPRE SATISFACE a TODAS
las igualdades de un sistema homogéneo  00  .
2) ú
es, llamadas soluc
STEN riables libres en el sistema.
Un sist
si:
[EXISTEN variables libres]
Ejemplo demostrativo 1: Sistema de ecuaciones lineales homogéneo con
SOLUCIÓN TRIVIAL (so ca
ea el sistema:
N mero infinito de soluciones:
Conjunto de solucion iones NO triviales, incluyen a la
solución trivial y se presentan cuando EXI va
Importante:
ema de ecuaciones lineales homogéneo tiene un número infinito de soluciones
mn 
-
lución úni ).
S
023
06
321
321

54
0642 321


xxx
xxx
xxx
La matriz aumentada del sistema es:
110











 0213
0654
0642
Resolveremos el sistema por eliminación de Gauss – Jordan y pivoteo.











0642
0213
0654
para hacerlo 1.



 0351




0642
021
24
3

Multiplicamos el renglón pivote por -3 y -2
y lo sumamos con y2
res
R 3R ,
pectivamente.










0


03
2
30
0
2
13
4
11
0
2
3
4
51
4











03
2
30
0
11
2610
0
2
3
4
51














0
11
600
0
11
260
0
11
1601
1









0



00
0
11
2610
0
11
1601
1
4
5 y
2
3 y lo sumamos con R y R ,1 3
respectivamente.
Elegimos el pivote y lo dividimos reent
1
6
1
 para hacerlo 1.
11
16Multiplicamos el renglón pivote por y
11
26 y lo sumamos con 1R y R ,
tivamente.
2
respec
111






0100
00
0001





10
a solución única es: (0, 0, 0). La única solución del sistema es la solución trivial.
[Interpretación geométrica de la solución trivial]
L
Maple:
plot3d([(-1/3)*x-(2/3)*y,(-2/3)*x-
(5/6)*y,(3/2)*x+(1/2)*y],x=0..10,y=0..10,axes=normal,color=[blue,red,y
ellow],scaling=constrained,transparency=0.6,grid=[2,2]);
- Ejemplo demostrativo 2: Sistema de ecuaciones lineales homogéneo con número
de soluciones.infinito
Sea el sistema:
0611
02
321
321

0233 321 

xxx
xxx
xxx
112














06111
0233
0121 Multiplicamos el renglón pivote por -3 y 1
y lo sumamos con y
respectivamente.
2R 3R ,
Eliminamos 3R , puesto que, 32 RR  .







0
 


0590
059
0121








0590
0121 Elegimos el pivote y lo dividimos entre -9
para hacerlo 1.









0
9
510
0121 Multiplicamos el renglón pivote por -2 y
lo sumamos con 1R .








 0
9
510
0
9
11
El sistema de ecuaciones equivalente
0 NO podemos realizar más operaciones,
puesto que, NO hay siguiente pivote.
a la última matriz aumentada es:
01  x
9 31x
0
9
5
32  xx
[1 variable libre]
La solución general e
n am  Ra 
123 
La variable libre es ax 3 .
s:
 333 ,
9
5,
9
1 xxx
113

Otra forma de expresar el conjunto de soluciones del sistema es:
ax
ax
ax



2
1
9
5
9
1
Ra 
3
2.5 Aplicaciones.
- Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales (1):
A continuación se presentan ejercicios resueltos, que muestran la forma en la
que los sistemas de ecuaciones lineales pueden resolver problemas de la realidad.
traremos aplicaciones más específicas como el modelo de producto
insumo de Leontief.
0) En un zoológico hay aves (de 2 patas) y bestias (de 4 patas). Si el zoológico
bestias viven en él?
olución:
ebemos determinar la cantidad de aves y la cantidad de bestias en el zoológico.
Más adelante encon
–
- Ejercicios resueltos (1.2, Stanley I. Grossman, quinta edición):
3
contiene 60 cabezas y 200 patas.
¿Cuántas aves y cuantas
S
D
Asignaremos a cada incógnita una variable.
Número de aves x
yNúmero de bestias
Partiendo de los datos del problema generamos un sistema de ecuaciones lineales.
onsideraciones:C
1) TODOS los animales tienen 1 cabeza.
2) El número de patas de aves es 2 veces el número de aves.
3) El número de patas de bestias es 4 veces el número de bestias.
114

El sistema de ecuaciones lineales es:
20042
60


yx
yx
(1)
ultiplicando la primera ecuación de (1) por -2, tenemos:M
20042
12022


yx
yx
(2)
(2), nos queda:Sumando la 1ra y 2da ecuaciones de
802
40

y
y
Sustituyendo en la 1ra ecuación de (1):
60 yx
20
040

 6
x
x
Comprobamos en la 2da ecuación de (1):
   
20200
20016040
200404202
20042



 yx
0
n el zoológico hay:
20 aves.
40 bestias.
34) La compañía Sunrise Porcelain fabrica y platos de cerámica. Para cada taza o
ide una cantidad fija de material y la pone en la maquina que los
rma, de donde pasa al vidriado y secado. En promedio un trabajador necesita 3
minutos para iniciar el proceso de u 2 minutos para un plato. El material para
una taza cuesta 25 c y para un plato gnan $44 diarios para producir tazas y
latos.
Cuántos deben fabricarse en un día de trabajo de 8 horas en condiciones ideales?
[Condición cabezas]
[Condición patas]
E
tazas
plato un trabajador m
fo
na taza y
20 c. Se asi
p
¿
Solución:
Primero identificamos y definimos las incógnitas.
115

Las incógnitas son el número de tazas y el número de platos. Asignamos a cada
incógnita una variable.
e tazas xNúmero d
yNúmero de platos
eneramos un sistema de ecuaciones lineales, partiendo de los datos del problemG a.
cio es lineales es
(2)
Sumando la ), nos queda:
Expresamos 8 horas en minutos y los centavos en unidades enteras de moneda.
El sistema de ecua n :
ultiplicando la segunda ecuación de (1) por –12, tenemos:M

528
48023

yx
4.23  yx
1ra y 2da ecuaciones de (2
120
484. 
y
y
 
80
2403
48012023



48023 
x
x
x
yx
):Comprobamos en la 2da ecuación de (1
   
4444
442420
441202.8025.
442.25.



 yx
En un día de 8 horas en condiciones ideales se fabrican:
80 tazas.
120 platos.
ci tiempo]
(1)
48023[Condi ón  yx
442.25.  yx[Condición presupuesto]
116

Sólo MAESTROS, propuesto EXAMEN:
37) Una tienda de helados vende sólo helados con soda y malteadas. Se pone 1 oz de
jarabe y 4 oz de helado en un helado con soda; y 1 oz de jarabe y 3 oz de helado en una
malteada. Si la tienda usa 4 galones de helado y 5 cuartos de jarabe al día.
¿Cuántos helados con soda y cuantas malteadas vende?
cuarto = 32 onzas; 1 galón = 128 onzas]
Solución:
gnitas.
[1
Primero identificamos y definimos las incó
Número de helados con soda x
Número de malteadas y
eneramos un sistema de ecuaciones, cuidando que lasG unidades sean homogéneas.
ultiplicando la segunda ecuación de (1) por –4, tenemos:M
64044
51234


yx
yx
(2)
Sumando la 1ra y 2da ecuaciones de (2), nos queda:
128
128


y
y
 
32
51212834
34


1284 
512
x
x
yx
x
Comprobamos en la 2da ecuación de (1):
160
160160
16012832


160 yx
 yx
(1)
51234  yx[Condición cantidad de helado]
[Condición cantidad de jarabe]
La tienda vende:
32 helados con soda.
128 malteadas.
117

- Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales (2):
A continuación resolveremos paso a paso algunos problemas de la realidad, a
través de sistemas de ecuaciones lineales, emplearemos TODO lo aprendido hasta
ahora.
o ordenar los
correspondiente sistema de ecuaciones (o
atriz aumentada).
La siguiente tabla proporciona al lector una noción general de cóm
datos de un problema real y plantear su
m
1x 2x 3x … nx Totales
Condición 1 11a 12a 13a na1 1b
  
Condición m 1ma 2ma 3ma mna mb
l sisteE ma de ecuaciones lineales generado por la tabla anterior es:
a
mnmnmm
nn
n
nn
bxxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxax



m xa 
n
a

. .
...
...
...
32
333332
232322121
11313212111
.3211
32131
22









 n baaaa 11131211 





 mmnmmm
n
n
baaaa
baaaa
baaaa
321
33333231
22232221

- Ejemplo demostrativo: Un problema de administración de recursos.
y caza proporciona 3 tipos de comida a un lago que alberga
espacies de peces.
Cada pez de la especie 1, consume cada semana un promedio de 1 unidad del alimento
1, 1 unidad del alimento 2 y 2 unidades del alimento 3.
Cada pez de la especie 2, consume cada semana un promedio de 3 unidades del
alimento 1, 4 unidades del alimento 2 y 5 unidades del alimento 3.
Un departamento de pesca
3
118

Cada pez de la especie 3, consume cada semana un promedio de 2 unidades del
alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 5 unidades del alimento 3.
Cada semana se proporcionan al lago 25 000 unidades del alimento 1, 20 000
unidades del alimento 2 y 55 000 unidades del alimento 3.
Si se supone que los peces se comen TODO el alimento.
¿Cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?
úmero de peces “especie 3”
s datos del problema:
a matriz aumentada es:
Solución:
Primero identificamos y definimos las incógnitas.
Número de peces “especie 1” 1x
Número de peces “especie 2” 2x
N 3x
Generamos un sistema de ecuaciones lineales, partiendo de lo
L










55000552
20000141
25000231
ivoteo y Ga s – Jordan:Reducción por renglones por p us
000
000
25
20
55000552


 231
141


 20000141


25000231
2
5
2
5
200004 321
27500



1
 xxx
250003221 3  x
55000552 321
xx[Condición alimento 1]
  xxx
[Condición alimento 2]
[Condición alimento 3] 
hacerlo 1.para
Multip camos el renglón pivote por -1 y lo
sumamos con y
li
2R 3R .
119















2500
2
1
2
10
7500
2
3
2
30
27500
2
5
2
51
Eliminaremos de la matriz aumentada (equivalente) , ya que, es múltiplo escalar
, es decir, representan la misma ecuación.
Observe: .
a nueva matriz aumentada es:
2R
3Rde
32 3RR 
L








 2500
2
1
2
10
27500
2
5
2
51
2
1Elegimos el pivote y lo dividimos entre
para hacerlo 1.








 5000110
27500
2
5
2
51
2
5Multiplicamos el renglón pivote por y
lo sumamos con 1R .






 5000110
40000501
El nuevo sistema equivalente es:
Aplicando el concepto de variable li
[1 varia
La variable libre es .
a es:
400005 31x  
bre, tenemos:
x
50002 
amn  Ra 
ble libre]123 
ax 3
El conjunto de soluciones del sistem
3xx  
120

ax
ax
ax



2
1
5000
540000
Ra 
3
solución general del sistema es:La
 33 ,,540000 xxx 50003 
Ahora aplicaremos esta solución a la REALIDAD.
as consideraciones para que el conjunto de soluciones aplique en la REALIDAD son:
3) Deben coexistir las 3 especies de peces.
Entonces:
cie 3, debe oscilar en el intervalo:
L
1) No hay peces NEGATIVOS.
2) No hay peces FRACCIONARIOS.
01 x 0540000 3  x
400005 3  x
80003 x31 540000 xx
02 x 05000 3  x
50003 xx 32 5000 x
Ahora sabemos que la población de la espe
 8000,5000 80005000 3  x
Por ejemplo la solución particular @ 60003 x es:
ota:
El sistema de ecuaciones tiene un número infinito de soluciones sin embargo, al
roblema REAL sólo aplican un conjunto finito de soluciones.
XISTEN 2 999 posibles valores para .
 6000,1000,10000
N
p
321 ,, xxxE
121

- Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales (3): Modelo de insumo –
Este modelo es muy usad y sirve para determ ar la relación de
ferta – demanda de una industria.
ne n industrias.
Existen 2 tipos de demandas en cada industria, la demanda externa, es decir, la
que está fuera del sistema, por ejemplo si l sistema es un país, las demanda externa
e de otro país; y segundo la de anda interna, por ejemplo la industria
triz demanda parte de la producción de la industria de acero.
rcida sobre la i-ésima
ta la dema a interna que la j-ésima industria
jerce sobre la i-ésima industria. De manera concreta, representa el número de
sobre producción, NI sobre demanda). La
s y externas.
ntonces tidad total (de unidades de producción) que neces
producto de Leontief.
o en economía in
o
Suponga un sistema económico que tie
e
mprovien
utomoa
Suponga que ie representa la demanda externa eje
industria. Suponga que ija represen nd
ijae
unidades de producción de la industria i que se necesitan para producir una unidad de la
industria j.
Sea ix la producción de la industria i. Ahora suponga que la producción de cada
dustria es igual a su demanda (NO hayin
demanda total es igual a la suma de las demandas interna
Por ejemplo, para calcular la demanda interna de la industria 2 se observa que la
industria 1 necesita 21a unidades de producción de la industria 2 para producir una
unidad de producción (producto) propia. Si la producción de la industria 1 es x ,1
ita la121xa es la cane
industria 1 que produzca la industria 2.
Así, la demanda interna total sobre la industria 2 es:
n xaxaxa 2222121 ... n
Al igualar la demanda total a la producción de cada industria se llega al siguiente
stema de ecuaciones.si
nn
nn
xexaxaxa
xexaxaxa


...
...
222222221
111212111
a nnnnnnn xexaxax  ...2211

122

O bien:
 
 
  nnnnnn
nn
nn
exaxaxa
exaxaxa


exaxaxa  ...1 12111
1....
...1
2211
22222121
112

Este último sistema es muy importante en el análisis económico.
Ejemplo demostrativo-
si
: Modelo de insumo – producto de Leontief aplicado a un
stema económico con 3 industrias.
Suponga que las demandas externas en un sistema económico con 3 industrias son 10,
25 y 20, respectivamente.
Suponga que 2.11 a , 5.12 a , 15.13 a , 4.21 a , =.3,
ferta sea exactamente igual a la demanda.
Solución:
En este caso n = 3,
1.22 a ,
cada industria de modo que la
23a
25.31 a , 5.32 a , 15.33 a . Encuentre la producción de
o
, 1 - 85.33 a8.1 11  a , 9.1 22  a , el sistema es:
e eliminación de Gauss – Jordan y trabajando
on 5 decimales tenemos:
Al resolver el sistema por el método d
c
 81787.125100
0 





74070.11810
30442.110001
or lo tanto, la producción necesaria para que la oferta sea (aproximadamente) igual a la
:
P
demanda es
126
119
0
3
2
1


11
x
x
x
253.9.4. 321  xx
1015.5.8. 321   
x
xxx
2085.5.25. 321   xxx 
123

- Ejercicios resueltos (1.3, Stanley I. Grossman, quinta edición):
Sólo MAESTROS, propuesto EXAMEN.
38) Un viajero que acaba de regresar de Europa gastó € 30 diarios en Inglaterra, € 20
diarios en Francia y € 20 diarios en España por concepto de hospedaje. En comida gastó
€ 20 diarios en Inglaterra, € 30 diarios en Francia y € 20 en España. Sus gastos
adicionales fueron de € 10 diarios en cada país.
alcule el número de días que paso en cada país o demuestre que los registros son
incorrectos debido a que las cantidades gastadas NO son compatibles una con la otra.
Solución:
rimero identificamos y definimos las incógnitas.
Los registros de viajero indican que gasto en total € 340 en hospedaje, € 320 en comida
y € 140 en gastos adicionales.
C
P
Número de días en Inglaterra. 1x
Número de días en Francia. 2x
Número de días en España. 3x
Partiendo de los datos del problema, generamos un sistema de ecuaciones.
320203020
340202030
321
321


140101010 321  xxx
xxx
xxx
n entre 10.Simplificaremos el sistema, dividiendo cada rengló
323
34223
321
321
 22

xxx
xxx
 14111
32232
[Condición Adicionales]
[Condición Hospedaje]
[Condición Comida]
14321  xxx



 34223
 para hacerlo 1.

124




3223






14111
2
21 
3
34
3
2
3 Multiplicamos el renglón pivote por -2 y -1
y lo sumamos con y
respectivamente.
2R 3R ,










3
8
3
1
3
10
3
28
3
2
3
50
3
34
3
2
3
21
3
5Elegimos el pivote y lo dividimos entre
para hacerlo 1.





3422


 33
1
3
10
5
28
5
21
333
1
0


8
3
2Multiplicamos el renglón pivote por
y
3
1 y lo sumamos con 1R y 3R ,
respectivamente.




5
4
5
10
5
28
5
21
1515








0
0
114601
sta vez emplearemos la eliminación gaussiana.
El equivalente es:
E
sistema
15
114
15
6
3  x1x
5
28
5
2 32  xx
5
41 x
5 3
Entonces:
43 x
Usando la sustitución hacia atrás, tenemos:
 
61 x
4
15
6
15
1141 x
125

 
4
4
5
2
5
28
2
2


x
x
a solución única es: .
:
El viajero pasó 6 días en Inglaterra, 4 días en Francia y 4 días en España.
ólo MAESTROS, propuesto PUNTO EXTRA/CLASE o EXAMEN:
40) Un agente secreto sabe que 60 equipos aéreos, que consisten en aviones de combate
y bombarderos, están ocultos en cierto campo aéreo. El agente quiere determinar
cuantos de los 60 equipos son aviones de combate y cuantos bombarderos.
Existe un tipo de cohete que llevan ambos aviones; el de combate lleva 6 y el
bombardero 2.
El agente averigua que se requieren 250 cohetes para armar todos los aviones; y que se
ate que de bombarderos.
alcule el número de aviones de combate y bombarderos o muestre que la información
.
rimero identificamos y definimos las incógnitas.
úmero de bombarderos.
datos del problema, generamos un sistema de ecuaciones.
 4,4,6L
espuestaR
S
tiene el doble de aviones de comb
C
es incorrecta
Solución:
P
Número de aviones de combate. 1x
xN 2
Partiendo de los
602 21  xx
2526
021  xx
[Condición cantidad de aviones]
[Condición cantidad de bombarderos]

 12513


 6012
126

127



 12513 Ele pgimos el ivote y lo dividimos entre 3
para hacerlo 1. 6012




 6012
 1251
33
1 Multiplicamos el renglón pivote por -2 y lo
sumamos con 2R .




7010
33




33
12511
n este punto nos es claro que la información del agente es FALSA, puesto que, la
cantidad de bombarderos NO puede ser -70.
OTA: El sistema presenta solución única, pero, el problema REAL es inconsistente
SOLUCIÓN).
E
N
(SIN

UNIDAD 3: Matrices y determinantes.
Introducción:
El estudio de matrices y vectores es el corazón del álgebra lineal.
Su estudio comenzó son Sir William Hamilton (1805 – 1865), que buscaba una
nueva forma de representar objetos en el plano y en el espacio, a estos nuevos
elementos les llamo cuaterniones, nombre genérico puso a lo que hoy es un vector en
4
R , con 3 dimensiones de longitud y 1 dimensión de tiempo (r =  tzyx ,,, ).
Esta noción se desarrollo hasta la teoría de vectores que conocemos hoy.
Sus cuaterniones, al final del siglo 19 aún NO eran aceptados. Hoy casi todas
las ramas de la física clásica y moderna, así como la geometría analítica en el espacio
(cálculo multivariable), se representan con vectores.
Antecedentes:
Vector: Cantidad que tiene asociada una magnitud, dirección y sentido.
Vector en 2
R : Un vector v en el plano xy es un par ordenado de números
reales y b , llamados componentes del vector v.a
Se representa como:
ba, >v = <
De forma general podemos decir, que cualquier punto en el plano se puede representar
como un par ordenado (Cartesiano rectangular o polar).
 ba,
Y este par ordenado es el extremo de un vector de posición:
r = < >ba,
128

Representación punto – vector en 2
R :
Vector en 3
R : Terna ordenada de números reales (a, b, c), llamados
componentes del vector v, que se representa:
Interpretación geométrica del vector general v en :
3
R
Importante:
En general TODO punto (a, b, c,…, n) de n
R se puede representar como un vector de
posición de la forma:
v =  ncba ,...,,,
v = cba ,,
129

3.1 Definición de matriz, notación y orden.
Primero adaptaremos el concepto de vector a una nueva notación (forma de escritura),
llamada notación matricial.
Definición 1:
- Vector renglón de n componentes:
Se define a un vector renglón de n componentes como el conjunto ordenado de n
números (reales o complejos) escritos en la forma:
 naaa 21
O bien:
 naaa 21
Definición 2:
- Vector columna de n componentes:
Se define a un vector columna de n componentes como el conjunto ordenado de n
números (reales o complejos) escritos en la forma:














na
a
a

2
1
o bien












na
a
a

2
1
- Componentes de un vector:
En general será la primera componente, y así sucesivamente hasta (k-ésima
componente) y (n-ésima componente).
1a ka
na
- Notación matricial (Ejemplos demostrativos):
1) [3, 6] Vector renglón (2 – vector).
2) Vector columna (3 – vector).











5
1
2
3)  Vector renglón (4 – vector).4012 
130

4) Vector columna (vector nulo o vector CERO).












0
0
0
0
Advertencia (Stanley I. Grossman, Álgebra lineal, quinta edición):
La palabra ordenado en la definición de un vector es esencial.
Dos vectores con los mismos componentes, escritos en diferente orden, NO son
iguales.
Así, los vectores:
 21 y   NO son iguales.12
Los vectores surgen de diferentes maneras, NO sólo de relaciones geométricas.
Suponga que el jefe de compras de una fábrica ordena diferentes cantidades de acero,
aluminio, aceite y papel.
Para mantener el control de las cantidades a ordenar, puede ocupar un solo vector.












60
15
30
10
El vector nos indica 10 unidades de acero, 30 de aluminio, etc.
Es evidente que:












60
15
30
10
y Tienen diferente significado.












10
60
15
30
Los vectores generales pueden tener componentes reales o complejas.
Se denota al conjunto de los números reales por R y al de los números
complejos por C .
131

- El espacio
n
R (Campo real):
n
Se usa el símbolo R para denotar al conjunto de TODOS los n – vectores ,
donde cada es un número real.












na
a
a

2
1
ia
- El espacio (Campo complejo):
n
C
Se usa el símbolo para denotar al conjunto de TODOS los n – vectores ,
donde cada es un número complejo.
n
C












nc
c
c

2
1
ic
- Definición de matriz:
Una matriz A de m x n es un arreglo rectangular de mn números dispuestos en m
renglones (filas) y n columnas.





















mnmjmm
inijii
nj
nj
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A






21
21
222221
111211
[Matriz general de m x n]
- Renglones y columnas de una matriz:
El vector renglón  inii aaa 21 se llama renglón i.
El vector columna se llama columna j.














mj
j
j
a
a
a

2
1
132

- Componentes (elementos) de la matriz A:
El componente o elemento ij de A, denotado por , es el número del renglón i y
la columna j.
ija
Importante:
A menos que se indique lo contrario los componentes de una matriz A, serán
considerados números reales.
- Matriz cuadrada:
Si A es una matriz m x n, donde m = n, entonces A se llama matriz cuadrada.
- Matriz CERO:
Una matriz m x n, cuyos componentes (elementos) son TODOS CERO, se llama
matriz CERO de m x n.
- Orden de una matriz:
El orden (o tamaño) de una matriz es una descripción de los números de renglones y
columnas que tiene.
Así el orden de una matriz m x n es, en efecto, m por n, es decir, su tamaño es m
renglones por n columnas.
Una matriz cuadrada tiene orden n, puesto que, m = n.
Una matriz de 1 x n se conoce como matriz renglón (o vector renglón).
Una matriz de m x 1 se conoce como matriz columna (o vector columna).
Importante: Los vectores son casos especiales de matrices.
- Ejemplo demostrativo 1: Orden de una matriz.
a) Matriz cuadrada de 2 x 2.





24
31
b) Matriz de 3 x 2.












21
04
31
c) Matriz de 2 x 3.





203
141
133

d) Matriz cuadrada de orden 3 (o 3 x 3).












562
413
261
e) Matriz CERO de 2 x 4.





0000
0000
- Ejemplo demostrativo 2: Localización de las componentes de una matriz.
Encuentre las componentes , y de la matriz:12a 31a 22a











047
532
461
A
Asociemos A con una matriz general de 3 x 3:










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
La componente (renglón 1, columna 2) es 6.12a











047
532
461 Renglón 1
Columna 2
La componente (renglón 3, columna 1) es 7.31a











047
532
461
A
Renglón 3
Columna 1
134

La componente (renglón 2, columna 2) es -3.22a











047
532
461
A Renglón 2
Columna 2
- Igualdad de matrices:
2 matrices  ijaA  y  ijbB  son iguales, si son del mismo tamaño (orden) y las
componentes correspondientes son iguales ( ijij ba  ).
- Ejemplo demostrativo: Matrices iguales y matrices distintas.
a)








032
514
A 








661411
32113
B
Son iguales, ambas son de 2 x 3 y sus componentes correspondientes son iguales.
BA 
b)







31
02
A 




 

31
20
B
NO son iguales, tienen el mismo orden 2 x 2, pero, los componentes correspondientes
NO son TODOS iguales.
BA 
c)







10
01
A 






010
001
B
NO son iguales, A es de orden 2 x 2 y B de 2 x 3.
BA 
Las matrices y los vectores surgen en muchas situaciones prácticas.
135

- Ejemplo demostrativo: Matriz como arreglo numérico descriptivo.
Un concesionario de V. W. tiene en existencia, en una de sus sucursales:
Bora 5
Golf 2
Jetta 3
Pointer 7
Polo 1
Y las representa como matriz columna.
















1
7
3
2
5
Si el concesionario tiene 5 sucursales con los mismos productos y diferentes existencias.
Podemos generar una matriz Q que describa las existencias de los 5 productos en las 5
sucursales:

















21101
71107
62213
11322
010105
Q
Por esta razón los componentes de una matriz también se denominan entradas.
3.2 Operaciones con matrices (suma, resta, producto, producto de un escalar por
una matriz).
- Suma de matrices:
Sean  ijaA  y  ijbB  2 matrices m x n. Entonces la suma de A y B es la
matriz m x n, BA  dada por:
 
















mnmnmmmm
nn
nn
ijij
bababa
bababa
bababa
baBA




2211
2222222121
1112121111
136

Es decir, BA  es la matriz m x n que se obtiene al sumar las componentes
correspondientes de A y B.
Advertencia: La suma de 2 matrices está definida sólo cuando las matrices son del
mismo orden (tamaño).
Así, por ejemplo, NO es posible sumar las matrices:






654
321
y












74
52
01
O las matrices:






2
1
y










3
2
1
Tampoco se pueden sumar las matrices:






3
1
y  31
Se dice que las matrices que NO se pueden sumar son incompatibles (o inconformes)
bajo la suma.
- Ejemplo demostrativo: Suma de matrices.












 
















914
316
410
213
511
322
013
241
Recuerde: Sólo se pueden sumar matrices del mismo orden.
- Multiplicación de una matriz por un escalar:
Escalar: Magnitud que queda completamente definida por un número real.
Si  ijaA  es una matriz de m x n y si es un escalar, entonces la matriz m x n,
, está dada por:
c
cA
137

 













mnmm
n
n
ij
cacaca
cacaca
cacaca
cacA




21
22221
11211
Es decir,  ijcacA  es la matriz obtenida al multiplicar cada componente de
 ijaA  por .c
Importante:
Si  ijbBcA  y paraijij cab  mi ,...,2,1 y nj ,...,2,1 . Podemos decir
que A y B son múltiplos escalares.
- Ejemplo demostrativo: Múltiplos escalares de matrices.
Sea la matriz original:













7532
6413
2431
A













141064
12826
4862
2A
















3
7
3
51
3
2
2
3
4
3
11
3
2
3
41
3
1
3
1 A











0000
0000
0000
0A
- Resta de matrices:
La matriz se escribe A1 A y se denomina negativa de A, A negativa o menos
A.
138

Partiendo de este hecho si A y B son 2 matrices del mismo orden, entonces:
 BABA 
- Ejemplo demostrativo: Resta de matrices.
Sean 2 matrices del mismo orden (ambas de m x n):








562
041
A y 




 

203
113
B



























 








365
134
203
113
562
041
203
113
562
041
BA
El resultado se obtuvo restando las componentes correspondientes de B a A, es decir,
 ijij baBA 
- Propiedades de la suma (resta) y multiplicación por un escalar para matrices:
Sean A, B y C matrices de m x n; y a, b y c escalares.
1) A + 0 = 0 + A = A
2) OA = 0
3) A + B = B + A
4) A – A = -A + A = 0
5) A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C)
6) c(A+ B) = cA + cB
7) (1)A=A
8) (a + b)A = aA + bA
Sugerencia: (Sólo MAESTROS)
Puede en este punto aplicar la auto-evaluación 1.5 (Álgebra Lineal, Stanley I.
Grossman, quinta edición, pp. 56).
139

- Ejercicios resueltos (1.5, Álgebra Lineal, Stanley I. Grossman, quinta edición).
44) Considera la gráfica que une los puntos de la figura. Construya una matriz de 4 x 4
que tenga la propiedad si el punto i NO está unido por una línea con el punto j, y
si el punto i está unido por una línea con el punto j.
0ija
1ija
Solución:
Generamos una matriz con las condiciones dadas:












0100
1011
0101
0110












44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
El punto nos indica que el punto 3 SI está unido con el punto 4.4334 aa 
El punto nos indica que el punto 4 NO está unido con el punto 1.1441 aa 
Nota: Se considero que ningún punto está conectado consigo mismo, o son
CERO ( ).
iia jja
044332211  aaaa
Sólo MAESTROS, propuesto ACTIVIDAD EN CLASE.
45) Construya una matriz de 5 x 5 que represente a la figura. Considere si el
punto i NO está unido por una línea con el punto j, y
0ija
1ija si el punto i está unido por
una línea con el punto j.
140

Solución:
















00100
00011
10010
01101
01010
- Producto de matrices:
El lector puede pensar que el producto de 2 matrices de m x n,  ijaA  y
 ijbB  es la matriz m x n cuya componente ij es . Sin embargo para casi todas
las aplicaciones importantes se necesitan otro tipo de productos de matrices.
ijijba
A continuación explicaremos 2 diferentes productos de matrices:
1) El producto escalar.
2) El producto matricial.
- Producto escalar (producto punto):
Sean a y b 2 vectores (matrices).













1
21
11
ma
a
a














1
21
11
mb
b
b

El producto escalar (o producto punto) de a y b, denotado a · b está dado por:
a · b = 1121211111 ... mm bababa 
Este producto también se llama producto punto o producto interno de 2 vectores
(matrices).
Importante:
El producto punto de 2 vectores (matrices) SIEMPRE es un escalar, es decir, un
número del conjunto de los reales  R .
Advertencia: Para realizar el producto punto de 2 vectores (matrices) a y b.
Los vectores a y b deben tener el mismo número de componentes.
141

Con frecuencia se tomará el producto punto (o producto escalar) de un vector
renglón de 1 x n y un vector columna de n x 1.
a · b =   nn
n
n bababa
b
b
b
aaa 












 

 2211
2
1
21
Importante:
El producto escalar sólo está definido para matrices renglón de 1 x n (vectores) y
para matrices columna de n x 1 (vectores).
Y se puede realiza SIEMPRE que las matrices renglón o matrices columna
(vectores), tengan el mismo número de componentes.
- Ejemplo demostrativo 1: Producto escalar de 2 vectores.
Sean
a = y b =











3
2
1











4
2
3
a · b =          19432231 
- Ejemplo demostrativo 2: Producto escalar de 2 vectores.
Sean
a = y b = 6432 












3
0
2
1
a · b =             2236042312 
- Ejemplo demostrativo 3: Producto escalar de un vector de demanda y un vector
de precios.
Suponga que un fabricante produce 4 artículos. Su demanda está dada por el vector
demanda:
142

d =   4110402030 
Y los precios de cada artículo por el vector precio:
p =
14
40
18
15
20













Si se cumple la demanda. ¿Cuál es la ganancia neta?
Solución:
Es claro que el resultado es el producto punto:
p · d =             20204010184015202030 
- Propiedades del producto punto:
Sean a, b y c, 3 n – vectores y sea un escalar.c
1) a · 0 = 0
2) a · b = b · a
3) a · (b + c) = a · b + a · c
Y también: a · (b - c) = a · b - a · c
4) (c a) · b = a · (c b) = c (a · b)
- Producto matricial: Producto de 2 matrices m x n y n x p.
Sea  ijaA  una matriz m x n y  ijbB  una matriz n x p. Entonces el producto
(producto matricial) de A y B es una matriz m x p,  ijcC  , donde:
ijc (Renglón i de A) · (Columna j de B)
Es decir, el elemento ij de AB es el producto punto del reglón i de A y la columna j
de B. Si esta idea se desarrolla se tiene:
143

njinjijiij bababac  2211
Importante:
Si el número de columnas de A, es igual al número de renglones de B. Se dice que A y
B son compatibles (conformes) bajo la multiplicación.
De otro modo la operación NO se puede realizar.
Advertencia:
2 matrices se pueden multiplicar sólo si A es m x n y B es n x p, es decir, si el número
de columnas de A, es igual al número de renglones de B.
Esto es porque los componentes de  ijcC  se forman por productos punto, entre
renglones de A y columnas de B.
Y el producto punto sólo se define si las 2 matrices (vectores) tienen el mismo
número de componentes, esto es:
    pmpnnm 
Aclararemos esto con álgebra y después con ejemplos numéricos.
- Ejemplo demostrativo 1: Producto de 2 matrices generales.
Sean:
233231
2221
1211
x
aa
aa
aa
A










 y
4224232221
14131211
x
bbbb
bbbb
B 






Solución:
Podemos realizar la operación, puesto que, se cumple   pnnm  . El resultado AB
será una matriz  pm .
Procedimiento:
La matriz  ijcC  se forma:
  21121111
21
11
121111 baba
b
b
aac 






144

43
42242322
141312
233231
2221
x
x
x
bbb
bbb
aa
aa



















1211 aa

 11c


145
21
11
b
b



  22121211
22
12
121112 baba
b
b
aac 






43
11
42242321
141311
233231
2221
x
x
x
c
bbb
bbb
aa
aa
























12c
22
12
b
b
1211 aa


Recuerde: es el producto punto del renglón i de A y la columna j de B.ijc
Y repetimos en procedimiento:
  23121311
23
13
121113 baba
b
b
aac 






43
1211
42242221
141211
233231
2221
x
x
x
cc
bbb
bbb
aa
aa
























1211 aa

 13c
23
13
b
b
  24121411
24
14
121114 baba
b
b
aac 






43
131211
42232221
131211
233231
2221
x
x
x
ccc
bbb
bbb
aa
aa


















1211 aa

 14c


24
14
b
b



Haremos lo mismo con el 2° renglón de modo que:
  23221321
23
13
222123 baba
b
b
aac 







43
2221
14131211
42242221
141211
233231
1211
x
x
x
cc
cccc
bbb
bbb
aa
aa























23
13
b
b
2221 aa

23c
Seguiremos esta secuencia hasta hallar la componente:
  24321431
24
14
323134 baba
b
b
aac 






43333231
24232221
14131211
42232221
131211
23
2221
1211
x
x
x
ccc
cccc
cccc
bbb
bbb
aa
aa



















24
14
b
b



34c 3231 aa
En efecto, la matriz AB es de 3 x 4.
- Ejemplo demostrativo 2: El producto matricial NO es conmutativo.
Sean:








42
31
A y 




 

65
23
B
Halle AB y BA:





 








65
23
42
31
1 ABC
        185331
5
3
3111 





c
        166321
6
2
3112 





c
        145432
5
3
4221 





c
        286422
6
2
4222 





c
146








2814
1618
1C











 

42
31
65
23
2 BAC
















397
17
2415125
8943
2C
21 CC 
Importante: Generalmente el producto de matrices NO es conmutativo. También
puede ocurrir que AB este definido, pero, BA NO lo este.
- Ejemplo demostrativo 3: El producto de una matriz 2 x 3 y una 3 x 4 esta
definido, pero, el producto de una matriz 3 x 4 y una 2 x 3 NO.
Sean:
32
514
302
X
A 




 
 y
43
3213
4052
7417
X
B














Calcule AB y BA.









321
405
741
514
1 ABC





 3
2
7



  302
La operación se puede realizar, ya que, el número de columnas de A es igual al número
de renglones de B.
Entonces cada producto punto que define al componente de EXISTE.ijc ABC 1
  23
3
2
7
30211 











c   5
1
5
1
30212 










c 
147

  2
2
0
4
30213 










c   5
3
4
7
30214 










c
  15
3
2
7
51421 











c   6
1
5
1
51422 










c
  26
2
0
4
51423 










c   39
3
4
7
51424 










c
42
1
3926615
52523
X
C 




 












51
30
3213
40522 BAC
  7417



4
2
El producto matricial NO EXISTE, puesto que, los productos punto que
definen al componente de C
BAC 2
ijc BA2 , NO están definidos.
- Ley asociativa para la multiplicación de matrices:
Sea  ijaA  una matriz de m x n,  ijbB  una matriz de n x p y  ijcC  una
matriz de p x q, tenemos:
   CABBCAABC 
Así, es una matriz de m x q.ABC
Suponga que los productos matriciales AB, BC y CD están definidos. Entonces:
          CDABDBCADCABCDBAABCD 
148

- Leyes distributivas para la multiplicación de matrices:
Si TODAS las sumas y TODOS los productos siguientes están definidos, entonces:
  ACABCBA 
  BCACCBA 
- Ejemplo demostrativo 4: Aplicación de la multiplicación de matrices.
Observación: En el siguiente ejemplo note la importancia de la matriz m x p, resultado
de la multiplicación de 2 matrices m x n y n x p.
Valeria y Carlos son estudiantes y comparten un departamento, deben elegir en que
supermercado es más conveniente realizar las compras. Cada uno de ellos comprará
diferentes cantidades de los mismos artículos. Ocuparemos matrices para tener una
visión clara del problema y sus soluciones.
Tabla de compras:
Manzanas Toronjas Naranjas
Valeria 6 3 10
Carlos 4 8 5
Tablas de precios por unidad:
S – Market Maushan
Manzanas € .10 € .15
Toronjas € . 40 € .30
Naranjas € .10 € .20
Solución:
Si Valeria compra en S – Market, gastará:
      1.104.31.6 € 2.80
Si Valeria compra en Maushan, gastará:
      2.103.315.6 € 3.80
Si Carlos compra en S – Market, gastará:
      1.54.81.4 € 4.10
Si Valeria compra en Maushan, gastará:
149

      2.53.815.4 € 4.00
Note que el problema se resolvió con productos punto. Entonces podemos generar 2
matrices. Una matriz de demanda (D) y una matriz de precios (P). Su producto
matricial nos entregará una visión más clara de la solución.
32
584
1036
X
D 






23
2.1.
3.4.
15.1.
X
P











22
00.410.4
80.380.2
X
PD 






La siguiente tabla interpreta la matriz m x p obtenida:
S – Market Maushan
Valeria € 2.80 € 3.80
Carlos € 4.10 € 4.00
Conclusión:
Valeria debe comprar en S – Market.
Carlos debe comprar en Maushan.
- Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales:
La multiplicación de matrices tiene una aplicación importante a los sistemas de
ecuaciones lineales.
Considere un sistema general de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa




...
...
...
...
332211
33333232131
22323222121
11313212111

Como 2 matrices son iguales si y sólo si sus elementos correspondientes son iguales,
podemos sustituir al sistema de ecuaciones lineales con la siguiente ecuación
matricial.
150





























mmnmmm
nn
nn
b
b
b
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa

2
1
332211
2323222121
1313212111
...
...
...
La matriz m x 1 del lado izquierdo de la ecuación matricial se puede escribir como el
producto de 2 matrices.





































mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa





2
1
2
1
21
22221
11211
Si estas matrices se designan por , x y b respectivamente, tenemos la ecuación
matricial.
A
A x = b
Donde se llama matriz de coeficientes.A
La matriz aumentada del sistema se obtiene haciendo a b la última columna (extra) de
.A
 













mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
A




21
222221
111211
b
Como sabemos podemos ocupar el método de eliminación de Gauss – Jordan o
eliminación gaussiana, para resolver el sistema de ecuaciones lineales.
3.3 Clasificación de las matrices (triangular superior, triangular inferior, diagonal,
escalar, identidad, potencia, nilpotente, idempotente, transpuesta, simétrica,
antisimétrica, compleja, conjugada, hermitiana y ortogonal).
Sea A la matriz general de m x n. Tenemos:
151

mXnmnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A

















21
22221
11211
Cada componente puede ser llamado entrada.ija
Las entradas diagonales de A son:
nnmm aaaaa ,,...,,, 332211
Y si m = n, A es una matriz cuadrada.
33333231
232221
131211
X
aaa
aaa
aaa










[Matriz cuadrada de 3 x 3]
Una matriz cuadrada cuyas entradas NO diagonales sean TODAS CERO se
denomina matriz diagonal.
33
500
030
001
X










[Matriz diagonal de 3 x 3]
Una matriz diagonal en la que TODAS sus entradas diagonales son iguales, se llama
matriz escalar.
44
4000
0400
0040
0004
X












[Matriz escalar de 4 x 4]
152

Entienda el significado de matriz escalar:












1000
0100
0010
0001
4 [Diagonal
Principal]
Si el escalar de la diagonal principal es 1 (evidentemente el escalar que define la
matriz escalar es 1), la matriz escalar se llama matriz identidad.
44
1000
0100
0010
0001
X
I













[Matriz identidad de 4 x 4]
Podemos representar a la matriz identidad de orden n x n (o sólo orden n), como .nI
- Matriz identidad de orden n : nI
La matriz identidad de orden n (n x n), , es una matriz cuadrada, cuyos
elementos de la diagonal principal son 1 y TODOS los demás CERO.
nI
Esto es:
 ijn bI  , donde ijb {0
1 i = j
 ji
33
3
100
010
X
I








001 
55
5
10000
01000
00100
00010
00001
X
I

















Generalmente sólo se escribe I .
Si A es una matriz m x n y como sabemos es una matriz n x n (o m x m).
Entonces:
nI
153

y
AAIn  AAIm 
En aritmética matricial la matriz identidad  nI se asemeja al 1.
Nota: Las matrices pueden y deberían ser consideradas como formaciones, tanto de
vectores renglón, como de vectores columna, muchas de las convenciones y
operaciones válidas para vectores lo son para matrices.
- Matrices triangular superior y triangular inferior:
Una matriz cuadrada se llama triangular superior (inferior) cuando TODAS sus
componentes abajo (arriba) de la diagonal principal son CERO.
ija está debajo de la diagonal principal si:
ji 
ija está arriba de la diagonal principal si:
ji 
a) Las matrices U y V son triangulares superiores.









 

200
610
532
U 






20
51
V
b) Las matrices L y M son triangulares inferiores.





05
L
 00














5103
0216
0045
0002
M
Nota: La eliminación gaussiana para resolver el sistema x = b da como resultado
una matriz triangular superior, ya que, la eliminación gaussiana termina
cuando la matriz
A
A está en su forma escalonada por renglones. Y la forma
escalonada por renglones de una matriz cuadrada es triangular superior.
154

- Potencias de una matriz (matriz potencia):
Cuando A y B son 2 matrices de n x n, su producto es una matriz de n x n. Un
caso especial se presenta cuando
AB
A = B . Tiene sentido definir AAA 2
y, en general,
definir como:
k
A
AAAAK
...
Si k es un entero positivo.
De esta forma AA 1
, y .nIA 0
Si A es una matriz cuadrada y, r y son enteros NO negativos, entonces:s
1)
srsr
AAA 

2)   rssr
AA 
- Matriz idempotente:
La matriz n x n (cuadrada) es idempotente si:A
2
A A
Nota: La palabra idempotente proviene del latín “idem” que significa “lo mismo” y
“potere” que significa “tener potencia”.
- Ejemplo demostrativo: 4 matrices idempotentes de 2 x 2.
1) 






10
01
I
Comprobación:

























10
01
10
01
10
01
10
012
II
2) 





 11
22
155

Comprobación:


























 11
22
11
22
11
22
11
22
3) 







22
33
Comprobación:
































22
33
22
33
22
33
22
33
4) 




 
62
155
Comprobación:





 





 





 





 
62
155
62
155
62
155
62
155
Las 4 matrices anteriores fueron halladas de la siguiente manera:
AA 2


















2221
1211
2221
1211
2221
1211
aa
aa
aa
aa
aa
aa














2
22122121221121
221212112112
2
11
2221
1211
aaaaaaa
aaaaaaa
aa
aa
2112
2
1111 aaaa 
2212121112 aaaaa 
2122112121 aaaaa 
2
22122122 aaaa 
156

A estas últimas igualdades podemos llamarlas condiciones de idempotencia para
matrices 2 x 2.
- Matriz nilpotente:
La matriz A de n x n (cuadrada) se llama nilpotente o de potencia nula si:
0K
A k > 1
Donde:
1) es la matriz CERO de n x n.0
2) k se llama índice de nilpotencia. Es el entero k más pequeño para que .0K
A
Nota: La palabra nilpotente proviene del latín “nihil” que significa “nada” y “potere”
que significa “tener potencia o poder”.
- Ejemplo demostrativo: 4 matrices nilpotentes y su índice de nilpotencia.
1) Índice de nilpotencia = 2






00
20
A
Comprobación:



















00
00
00
20
00
202
A
2) Índice de nilpotencia = 3











000
400
310
B
Comprobación:































































000
000
000
000
400
310
000
000
400
000
400
310
000
400
310
000
400
310
3
B
157













021
005
000
C
Comprobación:

































































000
000
000
021
005
000
0010
000
000
021
005
000
021
005
000
021
005
000
3
C













0213
0021
0001
0000
Comprobación:




















































0213
0021
0001
0000
0213
0021
0001
0000
0213
0021
0001
0000
0213
0021
0001
0000










































0000
0000
0000
0000
0043
0002
0000
0000
0043
0002
0000
0000
Conclusiones:
1) TODA matriz triangular superior o triangular inferior es nilpotente.
2) El índice de nilpotencia de una matriz triangular superior o inferior de n x
n, es k = n.
- Transpuesta de una matriz (matriz transpuesta):
Sea  ijaA  una matriz de m x n. Entonces la transpuesta de A se escribe
T
A .
158

T
A es la matriz de n x m obtenida al hacer que los renglones de A sean las
columnas de
T
A .
De manera breve se puede escribir  ji
T
aA  .
mXn
naaa







  11211
mnmm
n
aaa
aaa
A








21
22221
nXm
m
T
aaa
A



  12111
mnnn
m
aaa
aaa












21
22212
Importante:
1) Si  ija es una matriz de m x n,
T
A A es una matriz de n x m.
2) Si  ija es una matriz de n x n (cuadrada), la diagonal principal de
T
A
A es la misma que la diagonal principal de A .
- Propiedades de la matriz transpuesta:
Suponga que  ijaA  es una matriz de m x n y  ijbB  es una matriz de n x p.
Entonces:
1)   AA
TT

2)   TTT
ABAB 
3) Si A y B son de m x n, entonces   TTT
BABA  .
4) Si A es invertible, entonces
T
A es invertible y    TT
AA 11 
 .
- Ejemplo demostrativo: Obtención de la transpuesta de 3 matrices.





41
A
 32  132





641
B
















512
210
432
621
C
159

Las matrices transpuestas son:







43
12T
A









 

61
43
12
T
B












5246
1132
2021
T
C
Simplemente, los renglones de son las columnas deA
T
A . O lo que es igual, las
columnas de A son los renglones de
T
A .
- Otra manera de escribir el producto escalar:
Sean a = y b = 2 vectores columna con n componentes.












na
a
a

2
1












nb
b
b

2
1
Entonces de la definición de producto punto (producto escalar), tenemos:
nnbababa   a · b =
Ahora bien a es una matriz de n x 1, de manera que a es una matriz de 1 x n, tal que:T
...2211
a  n
T
aaa 21
Entonces:
a b =  T
nn
n
n bababa
b
b
b
aaa 












...2211
2
1
21


Así, a b es una matriz (un escalar) de 1 x 1.T
Por lo tanto:
a · b = a bT
Donde a y b son 2 vectores columna de orden n (n componentes).
- Matriz simétrica:
160

La matriz A de n x n (cuadrada) se llama matriz simétrica si:
AT
A
Es decir, las columnas de A son iguales a los renglones de A .
“Una matriz cuadrada es simétrica si y sólo siA jiij aa  para TODO i y j”.
- Ejemplo demostrativo: 4 matrices simétricas.











100
010
001
I 






32
21
A













052
574
241
B















4056
0834
5372
6421
C
- Matriz antisimétrica:
Una matriz cuadrada se llama antisimétrica si:
AT
A 
Es decir, .jiij aa 
- Ejemplo demostrativo: 2 matrices antisimétricas.
Sean:





 

06
60
A y














021
201
110
B
Tenemos:
161









06
60T
A y














021
201
110
T
B
En efecto, las matrices y son antisimétricas, puesto que,A B AAT
 y
BBT
 .
Importante:
Si es una matriz real antisimétrica TODA componente en la diagonal principal
de es CERO.
A
A
De lo contrario la condición AAT
 NO se cumple, ya que, las diagonales
principales de y serían iguales.A T
A
- Matriz compleja:
La matriz de m x n, cuyos componentesA  ijaA  son números complejos
 Caij  , se llama matriz compleja.
Para describir estos componentes usaremos la notación bia  (forma rectangular).














iii
ii
iii
A
63
5355
43
[Matriz compleja]
Recuerde: Los números reales y los números imaginarios son 2 casos de
números complejos.
- Matriz conjugada y matriz transpuesta conjugada:
Si es una matriz con componentes complejos, entonces la transpuesta conjugada
de
A
A , que se denota por

A , se define como:
T
A
A
Donde A (A barra) es la matriz cuyos componentes son los conjugados complejos de
los componentes correspondientes en A y
T
A es la transpuesta de A .
162

- Ejemplo demostrativo: Una matriz transpuesta conjugada.
Sea:









ii
ii
A
232
01
Entonces:









ii
ii
A
232
01
De modo que:














i
ii
i
AA
T
0
23
21
- Propiedades de las matrices transpuestas conjugadas:
Si A y B son matrices con componentes (elementos) complejos y es cualquier
número complejo
k
 Ck  , tenemos:
1)   AA 

2)   
 BABA
3)   
 AkkA
4)   
 ABAB
- Matriz hermitiana:
Una matriz cuadrada A con componentes complejos se denomina hermitiana si:

A A
- Ejemplo demostrativo: Una matriz hermitiana.
Sea:
163















321
25
11
ii
ii
ii
A
Entonces:














321
25
11
ii
ii
ii
A
De modo que:














321
25
11
ii
ii
ii
AA
T
La matriz A es hermitiana, ya que,

 AA .
Es fácil reconocer las matrices hermitianas por inspección. Los componentes de la
diagonal principal son números reales y la imagen especular de cada componente
 ija es su conjugado complejo  jia .














321
25
11
ii
ii
ii
A
- Matriz ortogonal:
Una matriz cuadrada A (de n x n) con la propiedad
T1
A A
Se denomina matriz ortogonal.
Se pueden distinguir, ya que   1det A .
Este concepto será útil en secciones posteriores.
164

3.4 Cálculo de la inversa de una matriz.
Si A es una matriz cuadrada y si se puede encontrar una matriz B del mismo
tamaño, tal que, IBAAB  , entonces se dice que A es invertible y B se
denomina inversa de A .
La matriz es una inversa de .






21
53
B 








31
52
A
Puesto que:





















10
01
21
53
31
52
AB
Definición:
Sean A y B 2 matrices de n x n. Suponga que:
IBAAB 
Entones B se llama la inversa de y se denota porA
1
A . Entonces se tiene:
IAAAA   11
Si tiene inversa se dice que es invertible.A A
Una matriz cuadrada que NO es invertible se llama matriz singular.
- Teorema 1:
Si una matriz es invertible, entonces su inversa es única.A
Demostración:
Suponga que B y son 2 inversas de , se puede demostrar que . Por
definición tenemos:
C A CB 
IBAAB  y ICAAC 
Y por ley asociativa de la multiplicación de matrices:
   CBAACB 
165

Entonces:
    CICCBAACBBIB 
CB 
“La inversa de una matriz es única”.
- Teorema 2:
Sean A y B 2 matrices invertibles de n x n. Entonces AB es invertible y
  111 
 ABAB
  1111 
 ABCABC
- Teorema 3:
La inversa de la matriz identidad, es la matriz identidad.
1
 II
III 1
- Ejemplo demostrativo 1: Cálculo de la inversa de una matriz de 2 x 2.
Sea:









54
32
A
Calcule
1
A , si EXISTE.
Partimos del hecho:
IAAAA   11
Suponemos que
1
A EXISTE y sabemos que tiene el mismo tamaño (orden) que A ,
pero NO conocemos ninguno de sus componentes. Entonces:
166








wz
yx
A 1
Solución:
IAA 1




















10
01
54
32
wz
yx
Hacemos la multiplicación de matrices:














10
01
5454
3232
wyzx
wyzx
Igualando componentes:
132  zx
054  zx
032  wy
154
Ahora tenemos 2 sistemas de ecuaciones lineales con 2 incógnitas. Generamos 2
matrices aumentadas:








054
132
y 







154
032
Resolveremos ambos sistemas para conocer los valores de ,x y , z y .w
Si cada sistema tiene solución única, es invertible.A
Como ya vimos
1
A es única, entonces si A NO es invertible, los sistemas de
ecuaciones lineales serán inconsistentes.
Resolveremos los sistemas de ecuaciones lineales por eliminación de Gauss – Jordan
y pivoteo.








054
132
 wy
167








 4
132
05 Elegimos el pivote y lo dividimos entre – 4
para hacerlo 1.










132
0
4
51 Multiplicamos el renglón pivote por – 2 y
los sumamos a .2R










1
2
10
0
4
51 Elegimos el pivote y lo dividimos entre
2










210
0
4
4
5
1R
y
los sumamos a .










210
2
501
Ahora conocemos los valores de 2 componentes de
1
A ( x y ).z
2
2
5


z
x
Resolvemos el sistema restante para hallar y y .w








154
032








032
154 Elegimos el pivote y lo dividimos entre – 4
para hacerlo 1.










032
4
1
4
51 Multiplicamos el renglón pivote por – 2 y
los sumamos a .2R










2
1
2
10
4
1
4
51 Elegimos el pivote y lo dividimos entre
2
168











110
4
1
4
4
5
1R
y
los sumamos a .










110
2
301
Los valores para y y son:w
1
2
3


w
y
Por lo tanto, la matriz inversa es:











12
2
3
2
51
A
- Ejemplo demostrativo 2: Una matriz de 2 x 2 que NO es invertible.
Sea:








42
21
A
Determine si es invertible, si lo es calcule su inversaA
1
A .
Solución:
Recurso:
IAAAA   11
Entonces:


















 10
01
42
21
wz
yx
169

Esto conduce a 2 sistemas de ecuaciones lineales:
y
Es fácil notar que ambos sistemas:
y
10 
Son inconsistentes (ninguna solución).
Conclusión:
Los sistemas de ecuaciones lineales que definen los componentes de
1
A , NO
tienen solución (son inconsistentes).
1
A NO EXISTE.
Podemos decir que, NO es invertible.A
- Cálculo de la inversa de una matriz n x n:
Considere el sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, dado por la ecuación
matricial.
Y suponga que es invertible. Entonces:A
Si A es invertible, el sistema x = b tiene solución única, dada por:A
A x = b
02  wy
142  wy
12  zx
042  zx
02 wy
142  wy
12  zx
042  zx 
A1 1
A A bx =
I 1
x = A b
x =
1
A b
x =
1
A b
170

Por eso la inversa de una matriz es única.
portante:
na matriz n x n es invertible si y sólo si su forma escalonada “reducida” por
Ejemplo demostrativo 3: Cálculo de la inversa de una matriz de 3 x 3.
ea:
Calcule
Im
U
renglones es la matriz identidad, es decir, si su forma escalonada “reducida” por
renglones tiene n pivotes.
Si la reducción por renglones de A produce un renglón de CEROS,
A NO es invertible.
-
S












213
654
642
A
1
A , si EXISTE.
olución:
aremos una matriz aumentada
S
 IAH y por medio de reducción por renglones la
ada (equivalente)convertiremos en la matriz aument  1
AI .
La notación matricial describe el procedim nto:
i la matriz
A I
1
11


 IAAA
I A
ie
S A de n x n es invertible su forma escalonada “reducida” por renglones
tendrá n pivotes.
   1
 AIIA
171











 100213
010654
001642










 100213
001642
010654










 100213
001642
0
4
10
2
3
4
respectivamente.
2R 3R














1
4
30
2
13
4
110
0
2
113
2
30
0
4
10
2
3
4
51
Dividimos el renglón pivote entre
2
3 , para hacer el pivote igual a 1.














1
4
30
2
13
4
110
0
3
1
3
2210
0
4
10
2
3
4















1
3
5
6
11100
0
3
1
3
2210
0
3
2
6
5101















1
3
5
6
11100
0
3
1
3
2210
0
3
2
6
5101















1
3
5
6
11100
2
3
11
3
13010
1
3
7
3
8001
Por lo tanto:
4
5 y
4 1R
3R
11 y lo sumamos con y
, respectivamente.
Dividimos el renglón pivote entre -1,
1 y –2 y lo sumamos con y ,
respectivamente.
1R 2R
172

















1
3
5
6
11
2
3
11
3
13
1
3
7
3
8
1
A
Comprobamos el resultado:
IAAAA   11







6
12
6









1011
2226
1416
6
11
A
[Se multiplicó la matriz por el
elemento neutro
6
6 ]















































100
010
001
600
060
006
6
1
61011
122226
61416
213
654
642
6
11
AA
- Ejemplo demostrativo 4: Una matriz de 3 x 3 que NO es invertible.
Sea:














110
752
431
A
Solución:
Haremos una matriz aumentada  IA y por medio de reducción por renglones la
convertiremos en la matriz aumentada (equivalente)  1
AI .
Recuerde: Si la reducción por renglones de A de n x n, produce un renglón de
CEROS la matriz A NO es invertible. Puesto que, A en su forma escalonada
“reducida” por renglones NO sería la matriz identidad .nI
173














100110
010752
001431













100110
001431
010752













100110
001431
0
2
10
2
7
2
51
– 1 y los sumamos a .2R
Dividimos el renglón pivote entre















100110
0
2
11
2
1
2
10
0
2
10
2
7
2
51
2
1 , para hacer el pivote igual a 1.













100110
012110
0
2
10
2
7
2
2
5
1R 3Ry 1 y lo sumamos con y ,
respectivamente.













112000
012110
035101
Tenemos un renglón de CEROS. La matriz NO puede reducirse a la matriz
identidad.
A
Por lo tanto, NO es invertible ( NO EXISTE).A 1
A
- Propiedades de las matrices invertibles:
1) Si A n x n es invertible, entonces 1
A n x n es invertible y:
  AA 
 11
174

2) Si A es una matriz invertible y c es un escalar distinto de CERO, entonces
cA es una matriz invertible y:
  11 1 
 A
c
cA
3) Si A y B son 2 marices invertibles del mismo tamaño (n x n), entonces AB
es invertible y:
  111 
 ABAB
4) Si A es una matriz invertible, entonces T
A es invertible y:
   TT
AA 11 

5) Si A es una matriz invertible, entonces n
A es invertible para TODOS los
enteros NO negativos n y:
   nn
AA 11 

3.5 Definición de determinante de una matriz.
- Determinante de una matriz de 2 x 2:
Sea:
222221
1211
x
aa
aa
A 






Su determinante es:
12212211det aaaaA  
El procedimiento es:
12212211
2221
1211
det aaaa
aa
aa
A 
Con frecuencia se denota como:Adet
175

2221
1211
aa
aa
A 
Importante:
1) El determinante  det es una función que asigna un número a una matriz
cuadrada.
2) Por el teorema de resumen sabemos que un sistema de ecuaciones lineales 2 x
2 tiene solución única si:
012212211  aaaa
Es decir, un sistema de ecuaciones lineales n x n, con matriz de coeficientes
, tiene solución única si:A
[Solución única]
0det A
Y número infinito de soluciones o ninguna solución si:
0det A
[Número infinito de soluciones o ninguna solución]
3) La matriz A es invertible si y sólo si:
0det A 
El determinante de una matriz de orden n x n, se definirá de manera
inductiva (de lo “particular” a lo “general”). Se usara lo que sabemos sobre un
determinante de 2 x 2, para definir un determinante de 3 x 3 y esto para definir uno
de 4 x 4, y así sucesivamente.
- Determinante de una matriz de n x n:
Comenzaremos definiendo el determinante de una matriz de 3 x 3.
Sea:
176












333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
*
Entonces el determinante de es:A
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11det
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
aAA 
Llamaremos menores a las matrices:






3332
2322
aa
aa






3331
2321
aa
aa






3231
2221
aa
aa
Menor: Sea A una matriz de n x n y sea la matriz de (n – 1) x (n – 1)
obtenida de eliminando el renglón i y la columna j.
ijM
A
se llama, menor ij de .ijM A
Ahora podemos expresar el determinante de como:33XA
131312121111 detdetdetdet MaMaMaAA 
Definamos ahora el determinante de una matriz de 4 x 4.A
Sea:











44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A

*
El determinante de es:A
177

141413131212
444342
343332
242322
11 detdetdet MaMaMa
aaa
aaa
aaa
aA 
Note que los signos de y son negativos.12a 14a
Una manera fácil de recordar que signo va delante de es:ijij Ma det


























Cofactor:
Sea una matriz n x n. El cofactor ij de , denotado por es:A A ijC
  ij
ji
ij MC

 1
ijij MM det
Observe que:
{  
 imparji
parji
1
1
  
 ji
1

Ahora podemos escribir el determinante de como sigue:44XA
1414131312121111det CaCaCaCaAA 
El determinante de A n x n es:
178

Escrito como sumatoria:
AAdet  nnCaCaCaCa 11131312121111  


j
jjCaAA
1
11det 
n
rocedimiento para hallar el determinante de una matriz también se
llama, por menores.
obre cualquier renglón
incluso sobre cualquier columna.
expansión de Laplace.
determinante de una matriz n x n,
El resultado anterior se conoce como expansión por cofactores a lo largo del
primer renglón (Note que por ello hemos puesto un * en A y A ).33X 44X
Nota: Este p
Importante:
Se obtendrá el mismo resultado al desarrollar por cofactores, s
e
Esta demostración se llama teorema de
- Teorema de expansión de Laplace:
 ijaA El , donde , puede ser calculado
como:
2n
ininiiiiii CaCaCaCaAA det  332211
Escrito como sumatoria:
 ijijCaAAdet

n
j 1
ue es la expansión por cofactores a lo largo del i-ésimo renglón.
Y también como:

Q
njnjjjjjjj CaCaCaCaAA  332211det
179

i 1
Que es la expansión por cofactores a lo largo de la j-ésima columna.
portante:
 ijijCaAAdet
de una matriz n x n es tedioso. Por
jemplo, para calcular un determinante de 5 x 5 se deben calcular 5 determinantes de
ten técnicas para reducir el trabajo.
- Teorema para determinantes de matrices triangulares:
Sea
n
Im
En la práctica cuando hallemos el determinante de una matriz por menores
(expansión por cofactores) elegiremos el renglón que contenga más CEROS y 1, esto
reducirá el número de operaciones.
s evidente que el cálculo del determinanteE
e
4 x 4 o 20 de 3 x 3.
Pero exis
 ijaA  una matriz n x n, triangular superior (o inferior . Entonces:
mponentes de su diagonal principal”.
- Ejemplo demostrativo 1: Cálculo del determinante de una matriz por menores.
Sea:
)
El determinante de una matriz triangular superior (o inferior), es el producto de
nnaaaaAA 332211det 
“
los co














8423
6912
4310
2531
A
423
912
531
4
823
6123
843
692
25
det A
1 231
180








43
92
2
83
62
5
84
69







23
12
2
83
62
3
82
61
3







23
12
5
43
92
3
42
91
4
     
     
     3420278121844
346181691283
2782181652472




160
202285661812381048

 
Adet 160
Afortunadamente EXISTEN técnicas para simplificar los procedimientos. En
algunos casos será sencillo hallar el determinante de una matriz.
La man inantes es mediante el empleo de la
educción por renglones. Sin embargo, NO TODAS las operaciones entre renglones
A continuación aprenderemos las propiedades de los determinantes que
necesita entender para ocupar efectivamente la reducción por renglones.
.6 Propiedades de los determinantes.3
era más eficiente de calcular determ
r
dejan el determinante sin cambios.
Sea  ijaA  una matriz de n x n (cuadrada):
1) Si tiene un renglón (columna) CERO, entoncesA
2) Si B se obtiene al intercambiar 2 renglones (columnas) de A , entonces
0det A 
AB detdet  
181

A3) Si tiene 2 renglones (columnas) iguales o múltiplos escalares, entonces
4)
0det A
Si B se obtiene al multiplic renglón (car un olumna) de por un escalar ,
ntonces
Cuidado: Si lo que busca es , tenemos
A k
e
Adetd kBet 
Adet B
k
A det
1
det  .
Además, si el escalar es
k
1 , tenemos A
k
B det
1
det  . Si busca Adet
BkA detdet 
5) Si A, B y C son idénticas excepto que el i-ésimo renglón (j-ésima columna)
de C sea la suma de los i-ésimos renglones (j-ésimas columnas) de A y B ,
entonces
C A Bdet det det 
6) Si B se obtiene al sumar un múltiplo de un renglón (columna) de A, a otro
(columna) derenglón A, entonces
triciales con determinantes.
1) Si
AB detdet 
Además, tenemos las siguientes operaciones ma
A es una matriz de n x n, entonces
2) Si
  AkkA n
detdet
A y B son matrices n x n, entonces
    BAAB detdetdet 
182

A3) Si es invertible, entonces
 A
det
1
det 1

A
4) Si 0det A , entonces A NO es invertible.
5) Para cualquier matriz A n x n (cuadrada).
- Ejemplo demostrativo 2: Uso de las propiedades de los determinantes para
simplificar los cálculos.
Halle .
T
A Adet det
Sea:














8423
6912
4310
2531
A
Adet
8
2531
423
692
t  AA
1
4310
de

ealizaremos la reducción por renglones (paso a paso), pero recuerde se trata de un
eterminante NO una matriz aumentada.
R
d
8423
6912
4310
2531

Multiplicamos 1R p r –2 –3o y y lo sumamos
on 3R y 4R .
(Propiedad 6)
y lo sumamos c
21170
2150
4310
2531



Multiplicamos 2R por –5 y –7 y lo sumamos
on 3R y 4R .
(Propiedad 6)
y lo sumamos c
183

263200
181600
4310
2531



Multiplicamos R por –2 y lo sumamos con
6)
3
4R .
(Propiedad
10000
181600
431
2531
0


plicando el teorema para determinantes de matrices triangulares, tenemos:
Ahora tenemos una matriz triangular
superior.
A
nn332211
or lo tanto
aaaaAA det 
P
160det A
n efecto obtuvimos el resultado correcto haciendo menos cálculos (Vea ejemplo
tivo 1).
calcular un determinante 4 x 4.
Calcule
E
demostra
5273 
1372
2513
4012


A
Esta vez reduciremos por columnas.

5273
1372
2513
4012




Mult
suma te.
(Prop
iplicamos la columna 2 por 2 y –4 y la
mos con la columna 1 y 4, respectivamen
iedad 6)
184

332711
273712
6511
0010


 Intercambiamos las columnas 1 y 2, y
multiplicamos el determinante por –1.
(Propiedad 2)
332117
273127
6511
0001




M s y –6 y se
su co n amente.
(P
ultiplicamo la columna 2 por –5
ma con la lum a 3 y 4, respectiv
ropiedad 6)
9957117
9957127
0011
0001




Sumamos 3R y 4R . (Pr iedad 6)
(Vea NOTA)
op
0010
9957127
0011
0001



Intercambiamos 4R y 3R , y multiplicam
determinante por –1.
os el
(Propiedad 2)
9957127
0010

Aplicando el teorema pa
0011
0001
ra determinantes de matrices triangulares, tenemos:
inferior.
nnaaaaAA det  332211
or lo tantoP
0det A
pal es CERO.
notar que
Ya que, un elemento de la diagonal princi
0det A , ya queNOTA: En este paso, el lector atento pudo
      099579957
9957
9957


185

Y los renglones son múltiplos escalares.
APodemos decir que NO es invertible.
calcular un determinante 5 x 5.
Calcule:
97315
32213
49374
65102
75321





A
Observe que si sumamos 542 RRR  , tenemos:
00000
32213
49374
65102
75321




A
Por lo tanto
0det A
Aprenderemos otro método para calcular determinantes, llamado por
utaciones. Este método es menos complicado que el cálculo por menores, y
ofrece una opción si NO se conocen las propiedades de los determinantes.
- Ejemplo demostrativo: Cálculo del determinante de una matriz 3 x 3 por
permutaciones.
Sea:
- Cálculo del determinante de una matriz por permutaciones:
perm














684
357
243
A
186

Halle AA det por permutaciones.
Solución:
Primero generamos un árbol de permutaciones e identificamos las inversiones
(cambios de orden).
Si el número de inversiones es par tenemos signo positivo (+), si el número de
inversiones es impar tenemos signo negativo (–).
Para la matriz 3 x 3, el árbol de permutaciones se genera como sigue:A
n:
bios de orden.
– 1 – 3 1 cambio de orden: 2 – 1.
n: 3 – 1 y 3 – 2.
Consideraremos cada una de las ternas anteriores (1 – 2 – 3, 1 – 3 – 2, 2 – 1 – 3, etc.).
j de
Explicació
1 – 2 – 3 es la secuencia natural, NO hay cam
1 – 3 – 2 1 cambio de orden: 3 – 2.
2
2 – 3 – 1 2 cambios de orden: 3 – 1 y 2 – 1.
3 – 1 – 2 2 cambios de orde
3 – 2 – 1 3 cambios de orden: 3 – 2, 3 – 1 y 2 – 1.
 ijaA Como el respectivo número .
s al conjunto de TODARepresentaremo S las ternas, como:
321 iii jjj 
Para las i ternas diferentes.
187

Cada conjunto 321 iii jjj  genera un producto:
Y la suma signo de la permutación,
determina la secuencia d
A continuación escribim sigue:
Realizamos las operaciones sustituyendo por su respectivo componente en la
matriz
321 321 iii jjj
aaa
de TODOS los productos diferentes usando el
el determinante.
os la secuencia del determinante, como
332211 aaa
322311 aaa
332112 aaa
A
ija
A .
312213332112322311322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaA 
                       452674833872434653 A
401124890 16872 A
30A
Comprobaremos el resultado 30A aplicando las propiedades de los
determinantes (revise los pasos hasta comprenderlos).
684
357
243



A
312312 aaa
322113 aaa
312213 aaa
188

7
30
7
360
7
5
7
130
7
3
7
51
7
684
243
7
3
7
51
7
684
243
357











A
  137
210
00
13
510
7
3
7
51
7
3
7
51 
13
7
30
7
360
13
51013




teorema para determinantes de matrices triangulares, tenemos:
A
Aplicando el
or lo tantoP
 
  
30
137
210
13det 




 
A
portante:Im
La utilidad del método de permutaciones para el cálculo de d
ue una vez que se ha desarrollado el árbol de permutaciones
eterminantes, radica en
y hallado las
aprenderemos a obtener la inversa de una matriz n x n, por medio de
artiremos de la relación que EXISTE entre la inversa y su determinante.
- Teorema 1:
le, entonces
q
inversiones de cada permutación, se tiene una fórmula para el determinante de
cualquier matriz de ese tamaño.
.7 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.3
continuaciónA
determinantes.
P
0det ASi A es invertib y
A
A
det
1
det 1

Demostración:
uponga que es invertible.AS
189

11
detdetdetdet1 
 AAAAI
Entonces:
A
A
det
1
et 1

- Teorema 2:
ea

- Teorema 2:
ea
d
A una matriz n x n. Entones:SS
ote que siN ji  , tenemos la expansión por cofactores sobre el renglón i.
o deCambiamos la n tación   ij
ji
MC

ij 1 a   ij
ji
M

ijA  1 para evitar
onfusiones en una demostración posterior.
Demostraremos que la sumatoria es CERO, cuando
c
ji  , haciendo y
para una matriz 3 x 3.
Sea:
ara una matriz de 3 x 3 la suma es:
Haciendo y , nos queda:
1i 3j
A





2
3
1






13
12
21
A
P
1i 3j
0331332123111  AaAaAa
Recuerde:   ij
ji
ij MA

 1
         0311251 
[Teorema demostrado]
{ 0 ji
det A ji 
   jninjiji AaAaAa 2211
{ ji

i

j
0
det A 
 332211 jijiji AaAaAa 
00 
190

Ahora definiremos un nuevo tip do e matriz.
- Matriz adjunta (o adjugada):
Sea A una matriz n x n y sea B :
a matriz de los cofactores de (
nXnnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
B















2
22221
11211
n

 1
A   ij
ji
L ijij MAC  1 ).
Entonces la adjunta de , denotada por , es la transpuesta deA adjA B , es decir:
- Ejemplo demostrativo 1: Matriz adjunta de una matriz general de 2 x 2.
Sea
Entonces:
dvertencia: Cuando calcule la adjunta de ( ), NO olvide transponer la
matriz de cofactores.












 n
n
T
AAA
AAA
BadjA



22212
12111
nnnn AAA 21







2221
1211
aa
aa
A




 11212212 aaA
 





 12222111 aa
A
AA
adjA
A adjAA
191

- Ejemplo demostrativo 2: Cálculo de la adjunta de una matriz de 3 x 3.
Sea:
alcule (adjunta de ).
olución:
Primero calcularemos los res.











753
110
342
A
jAad AC
S
cofacto
3
73
10
12 

A1257
75
11
11 

A 313 A
5
73
32
22 A13
75
34
21 A 223 A
7
11
31

34
 2
10
32
32 

AA
La matriz de cofactores es:
La matriz adjunta es:
Teorema 3:
Sea una matriz n x n. Entonces:
233 A














227
2513
3312
B














223
253
71312
T
BadjA
-
A
192

    IA
A
A
A
adjAA det
det000
0det00
00det0
000





















Adet

Recuerde: es un escalar.
Demostración:
Sea
Adet
    adjAAcC ij  . Entonces:
Se tiene:
Renglón i de Columna j de )
Así:






















nnnn
n
n
nnnn
n
AAA
AAA
aaa
aaa
a
C






21
22212
12111
21
22221
11211  AAAaa 

n
ijC ( A A) · (
 















jn
j
j
iniiij
A
A
A
aaaC


2
1
21
jninjijiij AaAaAaC  2211
sabemos:Y
ote que siN ji 
ij
, es la expansión por cofactores sobre el i-ésimo renglón de
, es decir, .
{ ji
ijc
i

j
0
det A
ijc

Ac detA
193

- Teorema 4:
Sea una matriz n x n. Entonces es invertible si y sólo si .
abemos que:
A A 0det A
S
    IadjAA det A
Donde es un escalar.Adet
    11
det 
 IAAadjAAA
    1
det 
 AAadjAI
    1
det 
 AAadjA
Por lo tanto, la fórmula para halar la inversa de nXnA a través de su adjunta es:
Ejemplo demostrativo 3: Cálculo de la inversa de una matriz 3 x 3 usando su
eterminante y su adjunta.
ea:
A
adjA
A
adjA
A 
det
1
-
d
S








753
342
  110A
A es invertible y si lo es calcule
1
A .Determine si
Solución:
Primero calcularemos A ; para que el lector refuerce sus conocim
mas:
ientos lo haremos de 2
eterminante aplicando propiedades de los determinantes.
2) Determinante por menores.
for
1) D
194

A1) Cálculo de aplicando propiedades de los determinantes:
Paso 1:
753
11
34

Paso 2:
2
Multiplicamos 1R por 3.
(Propiedad 4)
0
753
110
9 2
1Multiplicamos 1R por y lo sumamos
con 3R .
126
1
3

Paso 3:
(Propiedad 6)
2
510
110
126
1
9


Paso 4:
Sumamos 2R con 3R .
(Propiedad 6)3
2
300
110
9126
3
1

   3
2
3
16
3
1 









A 

6), es importante que el lector aprenda que el renglón
que da intacto y el nuevo renglón es
Nota: En el “Paso 2” (Propiedad
icR ijj cRRR  .
2) Cálculo de A por menores:









753
1
32


 10A
4
Tenemos una matriz triangular
superior.
*
195

El renglón 2 es el que tiene más CEROS y 1.
    3251210914
573 3
4232
A
triz es invertible.
Su matriz adjunta es:
[Vea Ejemplo demostrativo 2]
Por el teorema 4, sabemos:
triz es invertible.
Su matriz adjunta es:
[Vea Ejemplo demostrativo 2]
Por el teorema 4, sabemos:

Como 0det A la maComo 0det A la ma AA











2
253
71312
ajdA











2
253
71312
ajdA
 23 23
A
adjAadjA
A 
det
1
A





























3
2
3
21
3
2
3
51
3
7
3
134
223
253
71312
3
11
A
Comprobación:














































 
100
010
001
300
030
003
3
1
753
110
342
223
253
71312
3
11
AAI
,
Observaciones:
1) Como ya habrá notado para matrices n x n, si
1
3n A se calcula más
fácilmente con reducción por renglones. Sin em es útil calcular elbargo,
determinante de A para saber si A es invertible.
2) Cuando nuestra matriz se de en términos de variables. Por ejemplo:







wz
yx
A
196

La mejor manera de proceder para hallar su determinante o su inversa es a
través de determinantes por menores, de lo contrario se complica la escritura
de los cálculos.
El cálculo de determinantes por menores, también es recomendable para
matrices complejas, de tipo:









ii
ii
A
5
3
3.8 Solución de un sistema de ecuaciones lineales a través de la inversa.
Ahora aprenderemos a resolver sistemas de ecuaciones lineales, a través de la inversa.
Recordemos:
Si es invertible, el sistema x = b tiene solución única, tal que:A A
1
A bx =
Donde, será la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales, x el
vector de incógnitas y b el vector solución.
A
- Ejemplo demostrativo 1: Uso de la inversa de una matriz para resolver un
sistema de ecuaciones lineales.
Resuelva el sistema:
6342 321   xxx
432   xx
7753 321   xxx 
Recurso:
1
A bx =
Generamos la matriz de coeficientes .A
197












753
110
342
A
Emplearemos una matriz aumentada para hallar
1
A .
Algunos autores llaman a este tipo de arreglo, matriz súper aumentada.











100753
010110
001342
Por medio de operaciones entre renglones llevaremos .IA 











001342
010110
100753











001342
010110
3
100
3
7
3
51












3
201
3
5
3
20
010110
3
100
3
7
3
51













3
2
3
21100
010110
3
1
3
50401
   1
 AIIA
– 2 y los sumamos a .3R
3
5
3
2y  y lo sumamos con y
, respectivamente.
1R
3R
Dividimos el renglón pivote entre -1,
198














3
2
3
21100
010110
3
1
3
– 4 y 1 y lo sumamos con y ,
respectivamente.
1R 2R















3
2
3
21100
3
2
3
51010
3
7
3
134001
Por lo tanto:
















3
2
3
21
3
2
3
51
3
7
3
134
1
A
Sabemos que:
1
A bx =
Entonces:





































7
4
6
3
2
3
21
3
2
3
51
3
7
3
134
3
2
1
x
x
x
Haciendo operaciones:






















4
8
25
3
2
1
x
x
x
Igualando componentes, tenemos la solución del sistema de ecuaciones lineales.
251 x 82 x 43 x
199

Esta forma de resolver sistemas de ecuaciones lineales es importante, ya que,
demuestra un teorema de las matrices inversas.
1
A bx =
Pero es más eficiente el método:
Procedimiento que ya conocemos como eliminación de Gauss – Jordan.
Ahora que conocemos todos los conceptos haremos 2 demostraciones.
Considere un sistema de ecuaciones lineales n x n.
Donde, A es su matriz de coeficientes, x la matriz (vector) de incógnitas y b la
matriz (vector) solución.
Sabemos que el sistema se puede escribir:
Generando una matriz aumentada para el sistema, tenemos:
 bA
Sabemos que IAA 1
, entonces:
b
b
1
11
x
x




AI
AAA
Generando una matriz aumentada para esta última ecuación, tenemos:
 b1
AI
Por lo tanto:
A x = b
   bb 1
 AIA
   bb 1
 AIA
200

Describe el procedimiento para hallar la solución única de cualquier sistema de
ecuaciones lineales n x n (eliminación Gauss – Jordan).
Pero, también sirve para conocer
1
A .
Partimos del hecho IAA 1
.
Si desconocemos
1
A de n x n, tenemos:
A X = I
Donde X, es una matriz de n x n ( X =
1
A ).
Generamos una matriz súper aumentada. Se llama así, puesto que, X es una matriz de
n x n, NO de n x 1.
 IA
Volvemos a ocupar IAA 1
.
1
11




AIX
IAAXA
La nueva matriz súper aumentada es:
 1
AI
Por lo tanto
Es verdadero y describe el procedimiento para hallar la matriz inversa
1
A . Note la
utilidad de la matriz identidad . I
   1
 AIIA
201

3.9 Solución de un sistema de ecuaciones lineales por la regla de Cramer.
ante conocer la
rimera solución formal para sistemas de ecuaciones lineales de n x n.
al de ecuaciones lineales de 3 x 3 el método de Cramer se
esarrolla como sigue.
Sea el sistema:
Escribiendo la combinación lineal como un producto de matrices, tenemos:
hora generamos las matrices especiales , como sigue:
decir, se genera al sustituir la columna j de
El método que aprenderemos se desarrollo hacia 1750 y por la gran cantidad de
cálculos que requiere casi NO se emplea en la actualidad, pero, es interes
p
Para un sistema gener
d































3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
A jD











33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D











33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D











33231
22221
11211
3
baa
baa
baa
D
Es jD A , por la matriz (vector) solución
.
inante de 
b
Si el determ A  0det A la solución única del sistema de ecuaciones
lineales es:
1313212111 bxaxaxa   
2323222121 bxaxaxa   
333332131 bxaxaxa   2
202

A
D
x
1
1 
A
D
x 2
2 
A
D
x 3
3 
- Ejemplo demostrativo 1: Solución de un sistema de ecuaciones lineales de 3 x 3
usando regla de Cramer.
Sea el sistema:
7321   xxx
45 3 x12x
23 32  xx 
Generamos la matriz de coeficientes:














130
502
111
A
Obtendremos AA det aplicando propiedades de los determinantes.
130
502
111



Multiplicamos por –2 y lo sumamos con
.
1R
2R
130
720
111



2
1Multiplicamos por2R y multiplicamos
el determinante por 2.
130
2
710
111
2



Multiplicamos por –3 y lo sumamos con
.
2R
3R
2
1900
2
710
111
2 

superior.
203

Aplicando el teorema para determinantes de matrices triangulares, tenemos:
19
2
19
2 





A
Definimos las matrices especiales :jD














132
504
117
1D












120
542
171
2D









 

230
402
711
3D
*
**
Hallaremos 1D , 2D y 3D , esta vez por menores.
    123115822153141 D
    2410141442522 D
    3412463421223 D
Por lo tanto las soluciones son:
19
1231
1 
A
D
x
19
242
2 
A
D
x
19
343
3 
A
D
x
A continuación emplearemos la regla de Cramer para la solución de un sistema de
ecuaciones lineales con variable compleja. Donde la matriz de coeficientes es una
matriz compleja.
- Ejemplo demostrativo 2: Solución de un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2 con
variable compleja.
Observe que para sistemas de ecuaciones lineales de n x n (cuadrados), , la
regla de Cramer puede ser útil.
3n
Aplicando la regla de Cramer, resolver:
204

iyix 212  
iiyx 314    
Solución:
Primero hallaremos la matriz de coeficientes, que es este caso es una matriz compleja.








i
i
A
4
2
Hallamos AA det .
i
i
A


4
2
Recurso:
1221221122det aaaaA X 
12
i
781 A
Hallemos , y sus determinantes (1D 2D 1D y 2D ).









ii
i
D
31
221
1
    iiiiiiD 7622312211 









i
ii
D
314
21
2
    iiiiiiD 77843214312 
Por lo tanto:
i
i
A
D
x 



7
71
i
i
A
D
y 


 1
7
772
Comprobación en .iyix 212 
205

   
ii
ii
iiii
2121
21221
2112



3.10 Aplicación de matrices y determinantes.
- Teoría de gráficas:
En esta sección relacionaremos 2 áreas de la investigación matemática, la teoría
de gráficas y la teoría de matrices.
Existen muchas situaciones en la que es importante modelar las interrelaciones
entre un conjunto finito de objetos. Estas redes surgen en la realidad en muchas formas:
carreteras que conectan ciudades, rutas aéreas de enlace internacional, enlaces de
comunicación satelital o redes de Internet o telefonía celular. Además de extenderse a
otras áreas como las redes de comercio o las relaciones presa – depredador en un
ecosistema.
EXISTEN 2 formas de modelar las interrelaciones entre los elementos de una red.
1) Los grafos (gráficas de enlace general).
2) Los digrafos (gráficas de enlace dirigido).
Un grafo se compone de un conjunto finito de puntos (vértices) y un conjunto finito de
líneas (aristas), cada una de las cuales conectan 2 (NO necesariamente distintos
vértices).
Decimos que 2 vértices son “adyacentes”, si son los puntos extremos de una línea.
- Ejemplo demostrativo 1: 2 formas de representar el mismo grafo.
Ambos grafos representan las conexiones existentes entre los puntos (vértices) A, B, C
y D.
206

Podemos registrar la información de un grafo (o de un digrafo) en una matriz y
utilizar el álgebra de matrices para responder algunas cuestiones acerca de él. Este
recurso es muy útil si la red es muy grande, puesto que en forma matricial, una
computadora realizará rápidamente los cálculos.
Generalmente los vértices de un grafo se denotan por , , …, .1V 2V nV
La matriz  ijaA  de n x n que describe un grafo o digrafo se llama matriz de
adyacencia.
Definición:
Si G es un grafo de n vértices, su matriz de adyacencia es la matriz  ijaA  definida
por:
{0
1 Si EXISTE una línea entre los vértices i y j .
ija
De otro modo.
Nota: Algunos autores llaman matriz de incidencia a la matriz de adyacencia
- Ejemplo demostrativo 2: Un grafo y su matriz de adyacencia.













0001
0011
0111
1110
A
Importante:
1) La matriz de adyacencia de un grafo SIEMPRE es una matriz n x n
(cuadrada) y SIEMPRE es simétrica.
207

2) Las entradas ija en la diagonal principal son CERO, a menos que exista un
lazo o bucle en el vértice i (vea ejemplo demostrativo 2).
3) En algunas situaciones un grafo puede tener más de una línea entre un par de
vértices. En tan caso puede modificarse la definición de la matriz de
adyacencia de modo que ija sea el número de líneas entre los vértices i y j .
Definimos una trayectoria en un grafo como una sucesión de líneas que nos
permiten viajar de un vértice a otro de manera continua.
La longitud de un trayectoria es el número de líneas (aristas) que contiene,
además haremos referencia a una trayectoria con K líneas como una K – trayectoria.
En general una K – trayectoria (o K – cadena) atraviesa por n aristas (y por lo
tanto por n + 1 vértices).
Para el grafo:
Tenemos:
1) 1231 VVVV   1231 VVVV
Es una 3 – trayectoria, podemos decir que es un circuito o trayectoria cerrada, ya que,
comienza y finaliza en el mismo vértice.
2) 312214 VVVVVV   312214 VVVVVV
Es una 5 – trayectoria. Una trayectoria que incluye la misma línea (bucle) más de una
vez, se llama trayectoria redundante.
3) 413 VVV   413 VVV
Es Una 2 – trayectoria. Una trayectoria que NO incluye la misma línea más de una
vez, se llama trayectoria simple.
208

Es de gran interés poder determinar la trayectoria más corta (si la hay) que une
2 vértices de un grafo o digrafo.
Podemos utilizar las potencias de una matriz de adyacencia de un grafo para
obtener información acerca de las trayectorias de diversas longitudes entre los vértices
de un grafo.
Trabajemos con un grafo que nos es familiar.













0001
0011
0111
1110
A
Hallemos :2
A






































1110
1221
1232
0123
0001
0011
0111
1110
0001
0011
0111
1110
2
A
Examinemos la entrada . 3,2
Recurso:
a · b =   nn
n
n bababa
b
b
b
aaa 












 

 2211
2
1
21
  432433232322132123
2
aaaaaaaaA 
La única manera en la que esta expresión resulta en un número distinto de CERO, es si
por lo menos 1 de los productos es distinto de CERO.32 kk aa
209

Pero es distinto de CERO si y sólo si, tanto como son diferentes de
CERO, lo que significa que EXISTE una línea entre y , además de una línea entre
y .
32 kk aa
3V
ka2
2 V
3ka
V k
kV
De este modo puede EXISTIR al menos una, 2 – trayectoria entre los vértices 2 y 3
(vía el vértice k ).
Note que esto ocurre para y1k 2k , de manera que:
  432433232322132123
2
aaaaaaaaA 
     
Lo que nos dice que EXISTEN, dos 2 – trayectorias entre los vértices 2 y 3, vía y
(bucle).
1V
2V
Las trayectorias son:
Teorema:
     00011111
2
  
312213 VVVVVV  
@ k = 1
213312 VVVVVV 
322223 VVVVVV 
@ k = 2
223322 VVVVVV


210

Si A es la matriz de adyacencia de un grafo G, entonces la entrada de ji,  K
A
es igual al número de k – trayectorias entre los vértices i y j .
- Ejemplo demostrativo 3: La k – trayectoria más corta entre 2 vértices de un
grafo.
Halle la k – trayectoria más corta entre y .1V 5V
La siguiente tabla muestra las líneas de comunicación (bidireccional) entre las
terminales de una red de telefonía celular.
Terminal 1 2 3 4 5
1 X
2 X X X
3 X X
4 X X
5 X X
El grafo y la matriz de adyacencia correspondiente son:

















01100
10010
10010
01101
00010
A
Puesto que,   0511551  aaA
5V 1V
, NO EXISTE trayectoria simple (1 –
trayectoria) entre y .
Es evidente que la k – trayectoria más corta (si EXISTE) es una 2 – trayectoria.


















































20020
02201
02201
20030
01101
01100
10010
10010
01101
00010
01100
10010
10010
01101
00010
2
A
Notamos que     051
2
15
2
 AA entones NO HAY 2 – trayectorias entre y .1V 5V
211



































































04402
40050
40050
05503
20030
01100
10010
10010
01101
00010
01100
10010
10010
01101
00010
01100
10010
10010
01101
00010
3
A
Note que     251
3
15
3
 AA entones EXISTEN, dos 3 – trayectorias entre y
.
1V
5V
Analicemos el producto punto, que origina al componente .15a
Recurso:
a · b =   nn
n
n bababa
b
b
b
aaa 












 

 2211
2
1
21
  5515451435132512151115
3
aaaaaaaaaaA 
212
Como , para .051 kk aa 2k
EXISTEN, dos 3 – trayectorias entre V y V , vía V .1 5 2
En efecto, las dos 3 – trayectorias son:
5321 VVVV 
5421 VVVV 
En general los grafos indican las líneas de comunicación (o enlace) entre los
elementos (terminales) de una red. Cuando la comunicación es bidireccional.
En la REALIDAD se requiere alguna veces que la comunicación ocurra de un
punto a otro, pero, NO en sentido contrario (comunicación sin retorno o unidireccional).
Así las líneas de comunicación entre las terminales (vértices) de una red serán líneas
dirigidas.
              2000002100 
2
  

En este caso la gráfica de la red es un digrafo (o gráfica dirigida).
Nota: En un digrafo como la comunicación entre 2 puntos (vértices), NO SIEMPRE
ocurre en ambas direcciones. Su matriz de adyacencia (o incidencia)
generalmente NO es simétrica.
Si se presenta el caso de que la comunicación entre las terminales de una red es
SIEMPRE bidireccional es mejor usar un grafo, en vez de un digrafo.
- Ejemplo demostrativo 4: Un digrafo y su matriz de adyacencia.













0010
1010
1000
1010
A
- Ejemplo demostrativo 5: Obtención de un digrafo a partir de la matriz de
adyacencia.

















01110
10101
00010
01001
10110
A
Solución:
Como la matriz de adyacencia (o incidencia) es de 5 x 5, el digrafo tiene 5 vértices.
Halle las k – trayectorias más cortas desde a .4V 2V
Sólo analizaremos los productos punto que nos interesan  42
K
A .
213

Como , por lo tanto NO EXISTE trayectoria simple (1 –
trayectoria) desde a .
  04242  aA
4V 2V
Aunque, SI EXISTE trayectoria simple (1 – trayectoria) en sentido contrario, es decir,
desde a .2V 4V

































01110
10101
00010
01001
10110
01110
10101
00010
01001
10110
2
A
    5245424432432242124142
2
1
0
1
0
1
10101 aaaaaaaaaaA 

















                110011001142
2
A
3
Como , para ,024 kk aa 1k 3k y 5k .
EXISTEN, tres 2 – trayectorias para comunicar con , a través de los vértices ,
y .
4V 2V 1V
3V 5V
214

En efecto, las tres 2 – trayectorias son:
Recuerde:
La matriz de adyacencia de un digrafo es simétrica si y sólo si, TODAS las líneas de
comunicación fluyen en ambos sentidos. Entonces el digrafo se puede representar como
un grafo.
Sólo MAESTROS, propuesto demostración opcional CLASE.
- Interpretación geométrica del determinante de 2 x 2:
Sea . Graficamos en el plano xy los puntos (a, c) y (b, d) y trazamos
segmentos de recta de (0, 0) a cada punto. Se supone que estas 2 rectas NO son
colineales. Esto es lo mismo que suponer que (b, d) NO es un múltiplo de (a, c). Así
garantizamos .







dc
ba
A
det 0A
El área generada por A se define como el área del paralelogramo con 3 vértices en
, y . 0,0  ca,  db,
215

* Esta forma general se cumple sin importar el cuadrante de A ca, y B . db,
El área del paralelogramo es A =  OAOQ [Área = (base) (altura)].
Demostraremos que A = Adet .
Suponemos que y son diferentes de CERO.a c
Demostración:
La base del paralelogramo es 22
caOA  .
Aunque desconocemos el punto Q sabemos que el segmento OQ intersecta y es
perpendicular a BC .
Obtenemos la ecuación de la recta que pasa por el segmento BC en su forma punto –
pendiente  .bmxy 
 
 
a
A
x
a
c
y
a
bcad
x
a
c
y
d
a
bc
x
a
c
y
bx
a
c
dy
xxmyy
det
11






 




216

Ahora hallamos la ecuación de la recta que pasa por el segmento OQ. La pendiente es
c
a
.
Recuerde: Si y son las pendientes de 2 rectas, las rectas son
perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.
1m 2m
121 mm
La ecuación es:
x
c
a
y


Nuestro punto conocido sobre la recta, fue el origen 11, yx   0,0 .
Ahora hallamos el punto de intersección de las rectas que pasan por los segmentos
BC y OQ .
Igualando las ecuaciones, tenemos:
a
A
x
a
c
x
c
a det


a
A
a
c
c
a
x
det







a
A
ac
ca
x
det22





 

22
det
ca
Ac
x


22
det
ca
Ac
x



Entonces:
x
c
a
y










 22
det
ca
Ac
c
a
y
22
det
ca
Aa
y


217

El punto de intersección es 







2222
det
,
det
ca
Aa
ca
Ac
Q .
Por último obtenemos la longitud del segmento OQ y la multiplicamos por
22
caOA  , para hallar el área del paralelogramo.
2
22
2
22
detdet
















ca
Aa
ca
Ac
OQ
 
 
 
 222
22
222
22
detdet
ca
Aa
ca
Ac
OQ




 
  









 222
22
2
det
ca
ac
AOQ
 222
22
det
ca
ca
AOQ



22
1
det
ca
AOQ


22
det
ca
A
OQ


El área del paralelogramo determinado por  0,0 ,  ca, y  db, es:
A   OAOQ
A  22
22
det
ca
ca
A










A = Adet
AdetEn efecto, A = es el área del paralelogramo.
218

UNIDAD 4: Espacios vectoriales.
Introducción (Fragmento, Introducción al álgebra lineal, Howard Anton, pp. 203):
La idea de usar parejas de números (pares ordenados) para localizar puntos en el
plano 2
R y ternas ordenadas de números para localizar puntos en el espacio
tridimensional 3
R , fue explicada por primera vez a mediados del siglo 17. Al final del
siglo 19 los matemáticos y los físicos comenzaron a darse cuenta de que NO era
necesario detenerse en las ternas.
Se reconoció que las cuádruplas ordenadas de números  4321 ,,, aaaa
4
podían
considerarse como puntos en un espacio de 4 dimensiones R , las quíntuplas
como puntos en un espacio de 5 dimensiones 54321 ,,,, aaaaa  5
R , y así
sucesivamente.
A pesar de que nuestra representación geométrica se limita al espacio tridimensional,
muchos de los conceptos conocidos se pueden extender más allá del espacio de 3
dimensiones, trabajando con las propiedades analíticas y numéricas de puntos y
vectores, en vez de con las propiedades geométricas.
Antecedentes: Espacios vectoriales euclidianos.
- Vectores en el espacio n dimensional:
Si n es un entero positivo, entonces una n-ada ordenada es una sucesión de n números
reales . El conjunto de TODAS las n-adas ordenadas se denomina
espacio n dimensional (o de n dimensiones) y se denota por
 naaa ,,, 21  
n
R .
- Forma punto – vector en :
n
R
Una n-ada ordenada se puede considerar un punto general en o
un vector general definido en n dimensiones (vector en ), donde son
las componentes del vector general en , en cada uno de los n ejes dimensionales.
 naaa ,,, 21   n
R
n
n
R aaa ,,, 21 
n
R
- Espacios vectoriales euclidianos (importante):
Como sabemos un vector en de la forma r = <a, b> puede expresarse como una
combinación lineal de 2 vectores unitarios ortogonales (vectores de la base normal i
y j), tales que:
2
R
r = ai + bj
219

Del mismo modo un vector en , v = <a, b, c> puede expresarse como la
combinación lineal
3
R
v = ai + bj + ck
Donde i, j y k son 3 vectores unitarios ortogonales (vectores de la base normal i, j y
k).
Así como denominamos 2
R y 3
R al conjunto de TODOS los pares ordenados y
ternas ordenadas (respectivamente) de números reales.
Denominaremos al conjunto de vectores con componentes definidos en 2
dimensiones
2
V
 2
R de la forma general r = <a, b>, que se pueden expresar como una
combinación lineal de 2 números reales y 2 vectores de 2 dimensiones  2
R tales que,
r = ai + bj, donde el par ordenado (a, b) es el punto final de un vector de posición r =
<a, b>; e i y j son los vectores de la base normal i y j.
Caso análogo para cuyo conjunto de vectores puede representarse como una
combinación lineal de 3 números reales (escalares) y 3 vectores unitarios ortogonales
entre sí, tales que, cualquier vector de se puede representar como:
3
V
3
V
v = ai + bj + ck
Entonces podemos decir que y son espacios vectoriales, puesto que, TODOS
sus vectores cumplen la ley de composición interna para la suma y multiplicación
por un escalar.
2
V 3
V
Importante:
Cuando el conjunto de vectores se expresa como una combinación lineal de n-adas
y los vectores de la base normal i, j y k, se dice que es un espacio vectorial
euclidiano.
n
V
n
V
Si los vectores de tienen componentes sobre un conjunto cualquiera de
vectores definidos en , se dice que es un espacio vectorial general o
simplemente espacio vectorial.
n
V
n
R n
V
- Igualdad de 2 vectores en :
n
R
Sean 2 vectores u = y v = nuuu ,,, 21   nvvv ,,, 21  en , se denominan iguales
si
n
R
11 vu  , 22 vu  , … , nn vu 
220

- Suma de vectores en :
n
R
Sean 2 vectores u =  nuuu ,,, 21  y v =  nvvv ,,, 21  en , tenemos:
n
R
u + v =  nn vuvuvu  ,,, 2211 
- Multiplicación de un vector por un escalar en :
n
R
Sea u = un vector en y cualquier escalar, tenemos: nuuu ,,, 21   n
R k
k u =  nkukuku ,,, 21 
Si u = es cualquier vector en , entonces el negativo (o inverso
aditivo) de u es:
 nuuu ,,, 21   n
R
- u =  nuuu  ,,, 21 
La diferencia de vectores en se define por:
n
R
v – u = v + (- u)
O en términos de sus componentes:
v – u =  nn uvuvuv  ,,, 2211 
- Elemento neutro para vectores en :
n
R
El elemento neutro válido para vectores en es la identidad aditiva.
n
R
Despejemos el vector x de la ecuación vectorial x + u = v.
(x + u) + (-u) = v + (-u)
x + (u – u) = v – u
x = v – u
- Producto interior euclidiano:
Si u = y v = son vectores cualesquiera en , entonces
el producto interior euclidiano u · v se define por:
 nuuu ,,, 21   nvvv ,,, 21   n
R
nnvuvuvu   2211u · v =
Note que cuando n = 2 o 3, el producto interior euclidiano es el producto punto.
221

- Norma y distancia en el espacio euclidiano n dimensional.
La norma (longitud o magnitud) de un vector u =  nuuu ,,, 21  en es:
n
R
Recuerde: a · a = │a│2
.
De manera semejante la distancia entre 2 puntos U nuuu ,,, 21  y V
en se define:
 nvvv ,,, 21 
n
R
Que es el teorema de Pitágoras en n dimensiones.
- Ortogonalidad:
2 vectores u = y v = nuuu ,,, 21   nvvv ,,, 21  en , se denominan ortogonales
si
n
R
Ya que, por la definición de producto punto, tenemos:
Si  90 , 0cos  y u y v son ortogonales (perpendiculares).
- Ley de composición interna:
Una operación es válida para los elementos de un conjunto, si tiene como resultado otro
elemento del mismo conjunto.
4.1 Definición de espacio vectorial y sus propiedades.
Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, llamados vectores, junto con 2
operaciones llamadas suma (resta) y multiplicación por un escalar, que satisfacen los
siguientes 10 axiomas.
Estos axiomas permiten llamar vectores a cualquier clase (colección) de objetos que
satisfacen dichos axiomas.
│u│ = (u · u) =
2/1 22
2
2
1 nuuu  
     22
22
2
11 nn vuvuvu  d(u, v) =│u - v│=
u · v = 0
u · v = │u││v│ cos
222

Nota: Cuando hablamos de un espacio vectorial real significa que los escalares que se
usan son números reales. Entonces un espacio vectorial complejo usará
números complejos.
- Axiomas de un espacio vectorial:
1) Si x V y y V , entonces x + y V (ley de composición interna).
2) Para TODO x y y en V , (x + y) + z = x + (y + z) (ley asociativa de la suma de
vectores).
3) EXISTE un vector 0 V , tal que, para todo x V , x + 0 = 0 + x = x (identidad
aditiva).
4) Si x V , EXISTE un vector – x V , tal que, x + (- x) = 0.
5) Si x y y están en V , entonces x + y = y + x (ley conmutativa).
6) Si x V y k es un escalar, entonces k v V (ley de composición interna).
7) Si x y y están en V y k es un escalar, entonces k (x + y) = k x + k y (primera
ley distributiva).
8) Si x V y a y k son escalares, entonces (a + k )x = a x + k x (segunda ley
distributiva).
9) Si x V y a y k son escalares, entonces a (k x) = (a k )x = a k x (ley
asociativa de la multiplicación por escalares).
10) Para cada vector x V , 1x = x (identidad multiplicativa).
A continuación analizaremos diversas colecciones (conjuntos) de objetos y
determinaremos si forman o NO un espacio vectorial.
- Ejemplo demostrativo 1: El espacio .
n
R
Sea .



























 niRx
x
x
x
RV i
n
n
,,2,1,:2
1


Cada vector en es un matriz de n x 1. Según la definición de suma de matrices, x
+ y es una matriz de n x 1 si x y y son matrices de n x 1. Y haciendo
n
R
223

0 = y – x =












0
0
0
















nx
x
x

2
1
Se cumplen TODOS los axiomas de un espacio vectorial.
Entonces es un espacio vectorial.
n
R
- Ejemplo demostrativo 2: Un espacio vectorial trivial.
Sea , es decir, V sólo consiste en el número CERO. 0V
Como 00)00()00(00100  .
 0V es un espacio vectorial, comúnmente llamado espacio vectorial trivial.
- Ejemplo demostrativo 3: Un conjunto (colección) de objetos que NO es un espacio
vectorial.
Sea , es decir, V consiste sólo en el número 1.1V
NO es un espacio vectorial, ya que, viola el axioma 1) (ley de composición interna), 1
+ 1 = 2 y 2 . Basta demostrar que un axioma NO se cumple para afirmar que el
conjunto NO es un espacio vectorial, es decir, sus elementos NO pueden ser
considerados vectores.
V
- Ejemplo demostrativo 4: El conjunto de puntos en 2
R que están en una recta que
pasa por el origen constituye un espacio vectorial.
Sea   RmyxmxyyxV  ,,;:, . Donde Rm  es constante (pendiente de la
recta) y x es una variable real.
Es decir, V consiste en TODOS los puntos que están sobre la recta mxy  que pasa
por el origen y tiene pendiente m.
Para demostrar que V es un espacio vectorial, se puede verificar que se cumple cada
uno de los axiomas.
Axioma 1): Suponga que x = y y = 11, yx   22 , yx están en V . Entonces ,
y
11 mxy 
22 mxy 
224

       
 
   Vxxmxx
mxmxxx
mxxmxxyxyx


x + y   
2121
2121
22112211
,
,
,,,,
Se cumple la ley de composición interna para la suma de vectores.
Axioma 4): Suponga que   Vyx , . Entonces mxy  y
      xmxmxxyx  ,,, , de manera que y yx  , V
           ,, xmxxmx 0,0x, xmxx 0.
Como 0 , es fácil demostrar los axiomas restantes.V
V es un espacio vectorial.
El conjunto de puntos , sobre una recta en yx,  2
R que pasa por el origen, pueden ser
considerados vectores.
Es fácil observar que TODOS los puntos  yx, sobre cualquier recta que pasa por el
origen, se puede expresar como un vector de posición de la forma  yx .
Maple:
plot([99999*x,2*x,x,.5*x,.3*x,0],x=-7..7,y=-
7..7,scaling=constrained,color=[red,green,blue,cyan,brown,yellow]);
225

- Ejemplo demostrativo 5: El conjunto de puntos en 2
R que están sobre una recta
que NO pasa por el origen, NO constituye un espacio vectorial.
Sea . Es decir, V es el conjunto de puntos  sobre la
recta .
  RxxyyxV  ;12:,
12  xy
 yx,
V NO es un espacio vectorial, puesto que, NO se cumple la cerradura bajo la suma
(ley de composición interna para la suma).
Demostración:
Suponga que los vectores y 11, yx  22 , yx están en V . Entonces  11, yx + =
. Si el vector del lado derecho estuviera en V , se tendría
 22 , yx
 2121 , yyxx 
2 121

  12  xxyy .
Pero, y de manera que12 11  xy 12 22  xy   22 2121  xxyy , que es una
recta diferente a la que define a V .
Por lo tanto   si2121 , yyxx  V  11, yx y  22 , yx están en V .
Además note que 0 =  NO esta en V .0,0
El conjunto de elementos en 2
R sobre cualquier recta que NO pasa por el origen, NO
forman un espacio vectorial. Es decir, los pares ordenados  yx, que constituyen a la
recta en 2
R , NO pueden considerarse vectores.
226

Es fácil observarlo:
Note que cuando decimos vectores hacemos referencia a vectores de posición.
aple:
*x+1,2*x+2],x=-3..3,y=-
[cyan,green]);
Ejemplo demostrativo 6: El conjunto de puntos en
M
plot([2
2..4,scaling=constrained,color=
3
R- que está en un plano que
ea
pasa por el origen constituye un espacio vectorial.
  RzyxcbaczbyaxzyxV  ,,,,,;0:,,
r normal es n = <a, b, c> y
S . Para el plano , el0 czbyax
vecto  0,0,00P .
Esto es, es el conjunto de puntos enV 3
R que está en el plano con vector normal n =
emostración:
uponga que y están en .
<a, b, c> y que pasa por el origen.
D
S  111 ,, zyx  222 ,, zyx V
227

ntonces + = 111 ,, zyx  222 ,, zyx  212121 ,, zzyyxx  VE , porque
          000222111212121  czbyaxczbyaxzzcyybxxa
Este resultado garantiza TODOS los axiomas.
sí, el conjunto de puntos que está en un plano en 3
RA que pasa por el origen, forma un
ODAS las ternas ordenadas sobre un plano de la forma se
en
espacio vectorial.
T  zyx ,,
zyx ,,
0 czbyax
pueden considerar un vector   3
R .
Note que el espacio vectorial tiene 2 dimensiones.V
Maple:
([(2/12)*x-(.3)*y],x=-1..5,y=-
ng=constrained,transparency
Ejemplo demostrativo 7: El espacio vectorial
ea , el conjunto de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual a
plot3d
3..3,axes=normal,color=[yellow],scali
=0.3,grid=[2,2]);
- nP .
S nPV 
n. se dice que las funciones constantes, incluyendo   0xf son polinomios de grado
CERO.
Si , entonces:
Donde cada es real. La suma de
nPP 
  01
1
1 axaxaxaxp n
n
n
n  
 
ia    xqxp  está definida de la manera usual, si
= xq 01
1
bxbxxb nn
n 
1bn  , entonces:
228

          0011
1
baxbaaxbaqxp n
n
nn  
11 xbx n
n 
Es claro que la suma de 2 polinomios de grado menor o igual a n es otro polinomio de
grado menor o igual a n (ley de composición interna).
Si se define al polinomio 0 = 0000 1
 
xxx nn
 , 0 nP .
Por último, sea   axaxp n
 0n 1
1
1 axaxn
n 
  .
or lo tanto, es un espacio vectorial.
mostrativo 8: El espacio vectorial .
denota el conjunto de TODAS las matrices de 3 x 4 con componentes
plica n por un escalar, verificamos
PP n
34M- Ejemplo de
Si 34
reales, entonces con la suma de matrices y multi ció
MV 
34M esque un espacio vectorial con 0 como la matriz CERO de 3 x 4 y  ijaA 
que también está en 34MV  .
34 es un espacio vectorial.MV
De igual de TODAS las matrices de m x n con componentes
ales, fo ara cualesquiera enteros positivos m y n.
ea .
forma un espacio vectorial.
Ejercic eal, Stanley I. Grossman, quinta edición):
– 20 Determine si el conjunto dado es un espacio vectorial, si NO lo es, dé una lista de
) con la suma y multiplicación por un escalar usuales.
olución:
es el conjunto de vectores de 2 dimensiones, tales que,
forma, mnM el conjunto
rma un espacio vectorial pre
- Ejemplo demostrativo 9: El espacio vectorial n
C .
 niCzzzzCV n
,,2,1;:,,,  S in21
n
CV 
ios resueltos (4.2, Álgebra lin
1
los axiomas que no se cumplen.
Solución ambos, propuesto EXAMEN.
  Ryxyyx  ,;0:,3
S
 yx,V representa a TODO
spacio vectorial.vector del e
229

2
RNote que el espacio vectorial corresponde a la subregión de q
un escalar de
ue corresponde al 3°
y 4° cuadrantes.
Si la multiplicación por      yx, está definida, tenemos
aso posible, ya que, .
DOS s vectores de la forma
yxyx  ,, ,
c Rk 
Pero, como 0y TO lo  yxk , , para 0k , NO pertenecen
. Adem a de 2 vectoresa V ás la sum      2,, xxyx 1, yy21211 2 xy  NO siempre
le la cerradura bajo la suma y multiplicación por un escalar.
se encuentra .
Así, NO se cump
en V
V NO es un espacio vectorial.
ólo Maestros, propuesto EXAMEN.
cuadrante en
S
2
R4) Los vectores que están en el primer .
como
Solución:
V   RyxyxyxV  ,;0,0:, .
cación por un escalar
Definimos
Rk La multipli genera vectores de la forma , pero,
, por lo que
 kykx  ,
0,0  y  kykx V ,x . Además la suma resde 2 vecto
     2 NO1212211 ,,, yyxxyxyx  siempre esta en V .
o vectorial.Por lo tanto, NO genera un espaciV
230

5) El conjunto de vectores en de la forma  xxx ,,3
R .
olución:
terpretaremos geométricamente la región que describe a
S
  RxxxxV  :,,In .
ara que sea un espacio vectorial TODOS los vectoresV  xxx ,, se encuentran sobreP
la recta en 3
R con vector paralelo v =  1,1,1 (y sus mú paltiplos escalares) y sa por
urso: r0 e la
 0,0,00P .
Rec r = + tv [Ecuación vectorial d recta en 3
R ]
as ecuaciones paramétricas son:L
tx  tz ty 
l vector 0 = , al igual que TODOS los múltiplos escalares
y la suma
  V0,0,0
  xkxx
 xxxk ,,  Rk 
  Vxxx  ,,,,
son reales
E
, puesto que en todo momento las com
rial.
ponentes del
vector  xxx ,, y pertenecen a V .
V es un espacio vecto
231

Maple:
plot3d([[t,t,t],[-1+t,-1+t,-1+t],[-20+t,-20+t,-20+t]],t= -10 ..
10,s=-2..2,axes=normal,scaling=constrained);
10) El conjunto que consiste en un solo vector  0,0 bajo las o 2
Rperaciones usuales en .
olución:S
            0,00,00,0,0,00,0,0,0  kV .
o existe cerradura bajo la suma y multiplicación por un escalar, es un espacio
vectorial.
A.
5) El conjunto de puntos en
Com V
En este caso es un espacio vectorial trivial.
Ambos, propuesto EXAMEN/PUNTO EXTR
3
R1 que están sobre la recta con ecuaciones paramétricas
ara que
1 tx , ty 2 y 1 tz .
Solución:
  RttztytxzyxV  ;1,2,1:,,
XISTE y   V0,0,0 , es decir, la recta en 3
, sea un espacio vectorial, elP
ector 0 E Rv con vector paralelo v =
o se cu pla las va
 1,2,1
pasa por P
Para que est m riables
 0,0,00 .
x , y y z , deben ser CERO simultáneamente, es
decir, par mo valor del parámetro t.a un mis
232

1
10


t
t
0
20


t
t 10 
1
t
t
Entones la recta en 3
R qu en.
NO es un espacio vectorial.
s fácil observar que los puntos
e define a V , NO pasa por el orig
V
 zyx ,,E , NO pueden ser considerados vectores
(vectores de posición).
16) con la suma definida por      1,1,, 21212211  yyxxyxyx2
R y la
multiplicación por un escalar ordinaria.
NO puede ser un espacio vectorial, ya que,
Solución:
       111111 ,1,10,0, yxyxyx  V .
sí, el conjunto de pares ordenados  yx, NO pueden ser considerados vectores y

A
       yxxyxyxyx  RyxyV  ,1,,:, 1212211 o,;12 NO es un espaci
ectorial.
unto que consiste en un son la sume definida por + =
y la multiplicación por un escalar c mo
v
18) El conj objeto
o
objeto objeto
objeto   objetoobjeto  .
es un espacio vectorial trivial, podemos considerar
Solución:
objeto0 , 000 V y 00  .
233

2ba 20) El conjunto de números reales de la forma , donde son números
c ultiplic por un escalar
de
ba,
ra ionales, bajo la suma de números reales usual y la m ación
finida sólo para escalares racionales.
Solución:






 Rsrqpbaxsq
s
r
b
q
p
abaxxV ,,,,,,;0,0,,,2:
Sea , Rxx  21 . 0 =Rbax  2111 y Rbax  2222 0200  y si
Rutku
u
t
k  ,,;0, , tenemos   22 1111a1 kbkabkkx  donde y
úmeros racionales
1ka 1kb
son n y 211 kbka do
como la m ales es u núm
 sigue sien real.
Note que tanto la suma ultiplicación de números racion n ero
racional.
vectorial y sus propiedades.
Concepto de subconjunto:
Por lo tanto V , forma un espacio vectorial.
4.2 Definición de subespacio de un espacio
-
RA  : A Res un subconjunto de . TODOS los
elementos de A pertenecen originalm nte ae R .
Así, 2
R es u espacio vectorial y puede enn t er
subconjuntos V que también son
.
V
2
R
diferentes
espacios vectoriales V , 2
RV 
Entonces decimos que es un subespacio
vectorial de 2
R .
l:- Definición de subespacio vectori
Sea
a
H un subconjunto NO vacío de un espacio vectorial y suponga queV H es en si
ones de suma y m ltiplicación por un escalar
ef s en . Entonces se dice que
un espacio vectorial bajo las operaci
 
u
inida V VH  Hd es un subespacio de , es decir,V
los e mentos del subconjuntole H pueden considerarse vec res bajo la definición de
V .
El subespacio
to
H “hereda” las propiedades del espacio vectorial “padre” V .
rimero demostraremos un resultado que facilita determinar si un subconjunto de ,
s
VP
es el realidad un ubespacio de V .
234

Teorema 1:
Un subconjunto NO vacío H d une espacio vectorial , es un subespacio de si se
reglas de cerradura (ley de composición interna).
V V
cumplen las 2
1) Si x H y y H , entonces x + y H .
2) Si x H , entonces  x H , para TODO escalar  .
Es evidente que si R , 0x = 0 H satisface los axiomas de un espacio vectorial
uy importante:
ODO subespacio de un espacio vectorial contiene al vector 0.
ote que esta condición también aplica a .
s decir, si un subconjunto
restantes.
Usando simbología de conjuntos: H .V
M
VT
VN
NO contiene al vector 0, H NO es un subespacio de VHE
(de hecho, NO es un espacio vectorial).
Note que el vector 0 en H ( H subespacio de V ), es el mi o que el vector 0 en V .sm
aremos algunos ejemplos de subespacios de espacios vectoriales.
ara cualquier espacio vectorial , el subconjunto {0} que consiste en el vector
D
- Ejemplo demostrativo 1: El subespacio trivial.
VP
CERO, es un subespacio, ya que, 0 + 0 = 0 y  0 = 0  R . Llamaremos al
bconjunto Hsu = {0}, subespacio trivial de
o ia s un subespacio en sí mismo.
ara cada espacio vectorial es un subespacio en sí mismo
V .
- Ejemplo dem strativo 2: Un espacio vector l e
V , V VVVV  , .P
Subespacios propios:
ODO espacio vectorial contiene (al menos) 2 subespacios, {0} y . Los
0 , se llaman subespacios propios.
-
V
} y V
VT
subespacios distintos a {
- Ejemplo demostrativo 3: Un subespacio propio de 2
R .
  RxmxyyxH  ;:,Sea . Sabemos que el conjunto de puntos sobre cualquier
recta en 2
R que pasa por el origen es un espacio v toec rial. Es fácil observar que
2
RH  .
235

Por lo tanto, H es un subespacio propio de 2
R .
2
El conjunto de puntos sobre cualquier recta en yx, R que pasa por el origen
 mxy  pertenece a un subconjunto de 2
R .
Las rectas que pasan por el origen son el único tipo de subespacio propio de 2
R .
- Ejemplo demostrativo 4: Un subespacio propio de 3
R .
ea   RtcbactzbtyatxzyxH  ,,,;,,:,,S .
ntonces 3
que están sobre una recta en 3
RH consiste en los vectores en R que pasa
l origen y tiene vector normal n = <a, b, c>.
E
por e
Sean x =   Hctbt 111 ,, y y =  Hcbtatat t 222 ,,
 x + y =      Httcttbtta  212121 ,,
 x =       111 ,, tctbta  H
Además 3
RH  , ya que, x + y 3
R 3
R , es decir 3
RH y  x .
Podemos escribir 3
RRH  3
.
es un de 3
H subespacio R .
236

3
R- E 5: tro subespacio propio dejemplo demostrativo O .
ea   RcbaczbyaxzyxS  ,,;0:,,S .
sí pertenecen a el conjunto de puntos sobre el plano enS 3
RA , con vector normal n =
, c> y que p por .
e
demás , puesto que las ternas ordenadas
asa  0,0,00P<a, b
Entonces S es un spacio vectorial.
33
RRS   zyx ,, de están enS 3
RA .
or lo tanto, es un subespacio deS 3
RP .
as rectas y los planos en 3
R que pasan por el origen son los 2 únicos tipos deL
subespacios propios de 3
R .
Maple:
plot3d([x,(1/6)*x-(5/6)*y,(-1/6)*x+(5/6)*y],x=-1.5..2,y=-
.5..2,axes=normal,color=x*y*x,scaling=constrained,transp rency=
id=[2,2]);
ial.
1 a
0.4,gr
Nota: TODOS los espacios vectoriales tienen un origen común, puesto que, el vector
0 pertenece (necesariamente) a cualquier espacio vectorial o subespacio de un
espacio vector
237

- Ejemplo demostrativo 6: R NO tiene subespacios propios.
Sea un subespacio de (espacio vectorial real de una dimensión). Si H {0},H R
RH  (o no se tiene un espacio vectorial).
Es decir, R NO tiene subespacios propios, no obstante RR  .
ean y , 2 subespacios de un espacio vectorial . Entonces es un
.
bserve que NO es vacío, puesto que, contiene (necesariamente) al vector 0.
ea y . Entonces como y son subespacios,
Teorema 2:
1H 2H
e V
V 21 HH S
subespacio d
Demostración:
21 HH O
x 2HH 
2 1 x1 +x
S 11 212 1 2
x +x H y H . Esto es, x +x HH
x HH 
2 2
H H
1  1 2 21  .
De ma ar,nera simil  x HH 
u
211 . Por lo tanto, se cump n los axiomas de
cerra HH  n subespacio d
le
dura y e .
cc n de 2 sube
ti 2 ubespacios de
21 , es V
El conjunto de interse ió spacios, es al menos el vector CERO 0.
- Ejemplo demostra vo: La intersección de s 3
R es un subespacio.
En 3
R sea
  RzyxzyxzyxH  ,,;02:,,1 y   RzyxzyxzyxH  ,,;032:,,2
ntonces y consisten en vectores sobre 2 planos diferentes que pasan por el
origen. Claram y
in
ometrí nalítica el espacio nos indican que el conjunto de
ón lo describe una recta en
E 1H 2H
ente H 3
1 R 3
2 RH  .
21 HH  es la tersección de los planos que pasan por el origen. Nuestros
conocimientos de ge a a en
intersecci 3
R .
Hallemos la recta de intersección usando álgebra (sistemas de ecuaciones) y teoría de
matrices.
02 
032  zyx
zyx
238

a matriz aumentada es:L





 
0321
0112
Reduciremos por renglones y eliminación de Gauss – Jordan con pivoteo.


 0321
  0112








0321
2
1
2
11 Multiplicamos el renglón pivote por
-1 y lo sumamos con R .
0
2






 
0
2
7
2
50
0
2
1
2
11 Dividimos el renglón pivote entre
2
5 , para hacer el pivote igual a 1.






 
0
5
710
0
2
1
2
11 Mu orltiplicamos el renglón pivote p
2
1 y lo sumamos con 1R .








0
5
710
0
5
101
La última matriz umentada equivale al s
NO hay siguiente pivote.
a istema.
0
5
7
0
5
1


zy
zx
Aplicando el concepto de variable libre, tenemos.
trn 
12  [1 variable libre]
Rt 
3
z  tLa variable libre es .
a recta de intersección tiene ecuaciones paramétricas.L
tz
ty
tx



5
5
7
1
239

con vector paralelo v = < 1,
5
7,
5
1 3
REs una recta en > que pasa por el origen.
Así, el conjunto de ternas ordenadas que la forman pueden considerarse vectores.
Por lo tanto, 21 HH es un subespacio de 3
R .
jercicios resueltos (4.3, Álgebra lineal, Stanley I. Grossman, quinta edición):E
2)  RyxyxyHRV  ,;:,2
 x ,
Solución:
 yx,H sobre la recta xy  , con 1m ,  45es el conjunto de pares ordenados ,
pasa por el origen. Por lo tanto, los pares ordenados  yx, se pueden considerarque
Hvectores y es un espacio vectorial
Es
.
claro, que la recta xy  esta en 2
R V .
Por lo tanto
H 
H es un subespacio de V .
3
R y una esfera).Ambos, propuesto EX N (puede saAME u r
4)   Rx , yyxyxHRV  ;1:,, 222
Solución:
Cuando una región está en 2
R o 3
R , la interpretación geométrica de esta puede ser
y útil para determinar sí los conjuntos de o ternas de números reales, pueden
rados vectores y la región constituye un espacio vectorial (o subespacio).
mu pares
ser conside
 yx,Si H es un espacio vectorial los pares ordenados en y dentro de la
circunferencia 122
 yx , con centro  0,0C y radio 1r , pueden considerarse
vectores.
Para un vector   Hyx , si 1k , Rk  , el vector  yxk H .,
H NO genera ectorial.un espacio v
H NO es un su de 2
.bespacio
ote las diferencia y subespacio.
RV 
N s entre subconjunto
240

Ambos, propuesto PUNTO EXTRA.
5) Sea   0:,,,  dwczbyaxwzyxH
s CERO. Demuestre que
. Donde son números reales
O todo
dcba ,,,2
subespacio propio de 4
RH es un , HN se llama
hiperplano en 4
R que pasa por el origen.
Solución:
La región descrita por 0 dwczbyax está definida en 4
R , por el conjunto de
puntos  zyx ,,, que satisfacen la igualw
s seme
dad
jantes a las del plano en 3
. Esta región llam da hiperplano tienea
Rpropiedade . Con la ecuación vectorial r · n = r · n
bemo
0
contiene a 0 y es claro que 4
RH s que Hsa , Los axiomas se demuestran como
en 3
R , pero, ahora los ve 4 dimensionesctores se definen con  wzx ,, .y,
H es un subespacio propio de 4
R .
De forma general podemos decir que los hiperplanos en 4
R que pasan por el origen,
son un tipo de subespacio propio de 4
R .
.3 Propiedades de vectores, combinación lineal, dependencia e independencia
ntes de continuar repasaremos algunas propiedades básicas de los vectores en
4
lineal.
2
RA y las
n
extenderemos a R .
Vector: Cualquier elemento (matemático o físico) con magnitud (longitud o
norma), dirección y sentido. Algunos ejemplos son la velocidad,
scalar: Números aritméticos y conceptos físicos a los que NO se asocia una
aceleración, fuerza.
E
dirección y se describen por completo con un valor numérico. Algunos
ejemplos son la rapidez, temperatura, capacidad, distancia, 2,  , 3 .
en 2
- Vector libre R :
ualquier segmento de recta dirigido que se
efine con 2 dimensiones. De forma general
= <a, b>.
ODOS los vectores en el plano
C
d
v
2
RT con la
misma magnitud, dirección y sentido de v,
son vectores equivalentes de v.
241

- Vector de posición en 2
R :
Cualquier vector de la forma r =<a, b> cuyo punto inicial es el origen.
- Igualdad de vectores:
Sean a = < > y b =< >, 2 vectores en321 ,, aaa 321 ,, bbb 3
R . Se dice que a y b son iguales
si y sólo si:
1a 1b 22 ba  33 ba 
ambién se cumpleT ba   y │a│ = │b│.
Note que en conformida finición de equivalent s, si a y b son
iguales pueden ser paralelos NO coincidentes.
ota: 2 vectores iguales pueden producir 2 efectos físicos diferentes.
l que:
Vectores de la base normal i, j , k:
También llamados vectores básicos canónicos, son los vectores unitarios denotados
por i, j y k, cuya dirección coincide con la dirección positiva de los ejes coordenados x,
s decir:
d con la de vectores e
N
- Vector unitario: Vector de magnitud igual a 1, ta
Ua = a/ |a|
-
y, z, respectivamente.
E
i = <1, 0, 0>
j = <0, 1, 0>
k =<0, 0, 1>
242

- Vectores de la base normal i, j, k en 3
R :
Importante:
TODOS los vectores en pueden expresarse como una combinación lineal de los
vectores i, j, k.
como el conjunto de TODOS los vectores en
3
V
Entienda 3
V 3
R donde las 3 dimensiones
n de longitud.
por un escalar:
i:
El inverso aditivo y t ne la is d n de a, pero, tiene
sentido opuesto.
a + (–a) = 0
onde 0 es el vector CERO.
so
Multiplicación-
Si Ra  , a x es paralelo a x.
S
a = 1 a x = x
│ a ││x│ = │a x│ > │x│
│ a │< 1 │ a ││x│ = │a x│ < │x│
a
│ a │> 1
a = 0 x = 0
de a es –a ie m ma magnitu y direcció
D
243

Propiedades de los vectores:
- Geometría euclidiana:
Interpretación geométrica de la suma de 3 vectores en 2
R .
Interpretación geométrica de la resta de 2 vectores en 2
R .
c = a – b
c, SIEMPRE apunta hacia el minuendo.
Note: a = c + b
Una combinación lineal en 2
R- :
el plano bidimensional euclidiano (espacio
dimensiones). Escogemos una base para este sistema de vectores
onsiderando 2 vectores NO paralelos (NO múltiplos escalares) y diferentes de CERO.
Consideremos TODOS los vectores en
euclidiano de 2
c
244

2
Ros llamaremos a y b. Cualquier otro vector c (en ) puede escribirse como unaL
combinación lineal de a y b.
Cualquier vector c expresado como una combinación lineal de 2 vectores a y b.
- Combinación lineal:
Sabemos que TODO vector v = en
Ryx , .
 cba ,, 3
R se puede escribir en la forma:
es una combinación lineal de los 3 vectores i, j, k.
efinición 1: Combinación lineal.
Sean vectores en u
- Ejemplo demostrativo 1: Una combinación lineal en
v = a i + b j + c k
v
D
nvvv ,,, 21  n espacio vectorial V . Entonces cualquier vector de la
forma:
Donde a son escalares se llama combinación lineal de vvv ,,,  .
ava nnvav 11 22
naa ,,, 21  n21
3
R .
n ,










7
7
7
E 3
R es una combinación lineal de y , ya que,
ota: Los vectores se escribieron como columna.




 4
2 


1





5




 1
3






















3
5
2
1
27
7






 147
N
245

- Ejemplo demostrativo 2: Una combinación lineal en .
Recuerde que es el conjunto de matrices de 2 x 3.
e y .
Ejemplo demostrativo 3: Combinaciones lineales en
erde es e do n. En do polinomio se puede
scrib combinación lineal de los monomios .
to
ación .
s decir, para TO v , tales q
23M
23M
En M ,




 10
2
401
3
823
23 


 






 632511391
 2
Así, 
 23
s una combinación lineal de 
 01



 391
8



 511
4








632
210
- nP .
Recu l conjunto de polinomios de gra n tonP
ir como una
P
xx,, n
x,,1 2
e
Definición 2: Conjunto generador.
Se dice que los vectores nvvv ,,, 21  en un espacio vec rial V , generan a V , si
TODO vector en V se puede escribir como una combin delineal
ue:
nvvv ,, 21 ,
DO V , existen escalares naaa ,,, 21 E
Así, el conjunto de vectores   Vvvv
v = nvava nav  2211
n ,,, 21 es el conjunto generador de .
- Ejemplo demostrativo 4: Conjunto de vectores que generan
V
2
R 3
R .y
ean i = y j = . Cualquier vector v =
Esta demostración es sencilla.



1
S
0 1


0
 21 aa en el plano 2
R se puede
y son
sobre los ejes coordenados.
expresar como una combinación lineal de i y j, en este caso los escalares 1a 2a
los componentes escalares (proyecciones escalares) de v
Así, los vectores i y j son un conjunto generador de 2
R .
v =  21,aa = 1a i + 2a j
246

De igual forma en 3
R . Cualquier vector a =  1, 32 ,aaa es una combinación lineal de
los vectores i, j, k.
tores i, j, k son un conjunto generador dePor lo tanto, los vec 3
R .
- Ejemplo demostra n + 1 vecto ue ran
Es claro que los monomios , son el conjunto generador de
Ejemplo demostrativo 6: Cuatro vectores que generan a
ecuerde: representa al conjunto de TODAS las marices reales 2 x 2.
os vectores generan a (son el conjunto
dor de
pacio generado por un conjunto de vectores.
, k vectores en un espacio vectorial . El espacio generado por
es el conjunto de combinaciones lineales d .
tivo 5: res q gene a nP .
n
xxx ,,,,1 2
 nP .
- 22M .
R M22
Como 


















 10010000
dcba
dc
 00001001ba
 00001001
L 














 10
,
01
,
00
,
00
22M ).
22M
genera
Definición 3: Es
Sean vv ,,, 21 

kv
kv,,2 
V
e v1 vv ,1 kvv ,,, 2 
Es decir,
   vavavavvvvvgen  kkk  2:,,, 21121
kv, Espacio generado por el conjun o vvgen ,, 21  to generad r .
son escalares arbitrarios.
vectorial , entonces
kvvv ,,, 21 
a =  ,, aaa = a i + a j321 1 2 + 3a k
Donde a1 kaa ,,, 2 
Teorema 1: Si kvvv ,,,  son vectores en un espacio V21
 kvvvn ,,, 21  es un subespacio de V .ge
3
R- Ejemplo demostrativo 7: El espacio generado por 2 vectores en .
Sean y . 4,1,21 v  6,1,42 v
247

Entonces       6,1,44,1,2:, 2121 aavvvvgenH 
¿Cuál es la apariencia de H?
i v = , igualando componentes se tiene  Hzyx ,, 21 42 aax  , y
onocimientos de geometría analítica en el espacio nos indican que
21 aay 
26a .
S
1
Nuestros c
4az 
H es un
plano, subespacio de 3
R .
El subespacio H
es en
ti tor que g era se descr
con 2 vector
ene 2 dimensiones, ya que, cada vec en ibev
3
R .
se ensa queHallemos el plano. Si pi  zyx ,, está fijo, entonces tenemos un sistema de 3
cuaciones con 2 incógnitas.e
xaa  21 42
yaa  21
a za 21 64











z
y
x
64
11
2
esolvemos por eliminación de Gauss – Jordan con pivoteo.
4
R










x
y
z
42
11
64
4
1 ,








 1


x
z
42
11
42
3
y
Multiplicamos el renglón pivote por 1 y -2
3Ry lo sumamos con 2R y ,
respectivamente.





2



















4
0
10
42
31
2
10
2
50
42
3
zy
zx
z
zx
zy
z

1
4
2
5










0




42
50
2
1
42
31
zy
zx
z
2
3
y
2
5 y lo sumamos con 1R y 3R ,
respectivamente.
248









yx
zx
2
3
2
2
2
3






 z
zx
500
10
01
El sistema sólo tiene solución única para:
0325  zyx
obre este plano se encuentran y TODOS los vectores que se pueden escribir como unaS
combinación lineal de  4,1,21 v y  6,1,42 v .
Teorema 2:
, entonces también genera a
ctores a un se obtiene otro
ir,
Sean 121 ,,,, nn vvvv  , n + 1 vectores que están en un espacio vectorial V . Si
nvvv ,,, 21  , genera a V 1, vv 12 ,,, nnvv 
conjunto generador
.
V . Es decir, si
conjuntose agregan 1
enerador, si
o más ve
empre que vg Vn 1
Es dec
Si


















3
2
,
2
1
genera a 2
R , entonces
  5
,
2
,
1
, también genera a 2
R . Y así para



 










 232









1
2
2

 







,
3
,
2







,
2
521
pertenezcan a
siempre que los vectores agregados al conjunto generador
R , en este caso podemos agregar TODOS los vectores definidos en 2
dim
x
.

  012
ensiones 



y
Ahora,
es un subespacio de 4










































2
8
8
,
4
0
7
,
1
1
gen , pero, NO es un subespacio de 3
R R



 3
.
En este caso el espacio generado, tiene la forma de una región sólida en 4
R [encuentre
la relación con una recta en 2
R o un plano en 3
R ].
Note que para que un conjunto generador en 4
R , pueda generar a 4
R , requiere de al
enos 4 vectores de 4 dimensiones.m
249

Ejercicios resueltos (4.4, Álgebra lineal, Stanley I. Grossman, quinta edición):
1 – 13 Determine si el conjunto dado de vectores genera el espacio vectorial dado.
2) En 2
R : 










 2
,
2
,
1
 211
Si genera a 2
R , puesto que, todos los vectores del conjunto generador pertenecen a 2
R .
Se requieren al menos 2 vectores diferentes de 2 dimensiones (no cero ni múltip
scalares) para generar a 2
los
R .e
3) En 2
R : 

















5
5
,
2
2
,
1
1
NO puede generar a 2
R . Los vectores son múltiplos escalares y generan un subespacio
de 2
R ,   RyxyxyxH  ,;:, , note que el subespacio sólo tiene una dimensión.
2
RDemostraremos que la forma del subespacio es una recta en , con ecuación yx  .
odidad, NO consideraremos el 3er vector:Por com
Generando un sistema de ecuaciones, a partir de las combinaciones lineales.
xaa 
yaa  21 2
Haciendo operaciones queda yx21 2
 0 .
4) En 3
R : 







 2,2,2




 333
 511
NO genera a 3
R 3
R, el conjunto generador dees un subespacio , pero, los vectores
n coplanares (es fácil notarlo, vea los segundos y terceros componentes de cada
vector).
m subespacio de
so
Hallare os el plano 3
R . Note como interpretamos el resultado.





 














 










 222:2,2,2 321 aaavvgen
































3
5
3
1
3
1
3
5
3
1
3
1
Consideramos fijo el punto en 3
R  zy, y generamos un sistema de 3 ecuacix, ones con
incógnitas.3
250

zaaa
yaaa
xaaa



321
321
321
333
222
5












 









 

zy
y
x
z
y
x
RRR
2
3000
222
511
333
222
511
323 2
3
n única para 0
2
3  zyEl sistema sólo tiene solució , que es un plano que pasa por el
rigen y describe al subespacio de 3
Ro generado.
5) En 3
:






























1
0
0
,
1
1
0
,
1
1
1
R
Si genera a 3
R . Los 3 vectores son diferentes y pertenecen a 3
R .
ote que para que un conjunto generador puedN a generar a 3
R , necesita al menos 3
ectores diferentes de 3 dimensiones.
ob emos con la matriz aumentada del sistema de ecuaciones generado con las
combinaciones lineales.
v
Compr ar
   zyzxz 100110111



 


yx
x
0
0
1
6) En 3








yx
x
y
x
10
01
010
001
01
001
Sólo MAESTROS, propuesto PUNTO EXTRA.
:








































5
3
7
,
1
1
1
,
2
1
3
,
1
0
2
R
e puede suponer que los vectores generan 3
RS , puesto que son diferentes y se definen
3
R .en
Nos cercioraremos con la matriz aumentada del sistema de ecuaciones generado a
partir de las combinaciones lineales.
251






 yy 1103110








































zyx
z
zx
z
y
zx
z
y
x
z
z
y
x
20000
3
5121
23110
5121
3110
23110
5121
3110
7132
5121
5121
31
7132

 10
Sólo tenemos solución única para x 02  zy .
Sobre este plano se encuentra el conjunto generador, por lo que, el espacio generado
es un subespacio de 3
R .
El conjunto NO genera a 3
R . Los vectores son coplanares.
8) En 3
R :      100,211,211 
Comprobemos que los 3 vectores en 3
R diferentes y no múltiplos escalares, NO son
coplanares.
      

100,211,211genH 
    100211211: 321 aaavv  
omo sabemos y

  Hzyx ,, 3
RH  . Considerando  zyx ,, un punto fijo, tenemos:C
zaaa
yaa
xaa



321
21
22
21

y 0001 



















z
yx
x
z
x
122
011
122
01
011
La solución es evidente. Los vectores son COPLANARES el subespacio de 3
R , esta
sobre el plano , que es un plano que pasa por el origen y por el eje z, s traza
en el plano xy es la recta
0 yx u
xy  .
3
REl conjunto NO genera a . Los vectores son coplanares.
252

12) En :
El conjunto NO puede generar a (conjunto de todas las matrices de 2 x 2), ya que,
3) En :
cualquier matriz en , v se puede escribir como una
onde
22M 










 












06
52
,
03
14
,
00
21
,
01
01
22M
la componente 22m es SIEMPRE CERO.
mbos, propuesto EXAMEN.A
23M 



























 100
000
,
010
000
,
001
,
000
,
000
0
,
000
 00010001001
1







fed
cba
v 23MSea
combinación lineal del conjunto dado.





































100
000
010
000
001
000
000
100
000
010
000
001
fedcbav
Rfedcba ,,,,, .
.
algo.
1) ¿Existe una relación especial entre los vectores y ?
e . Así 0. Es decir, el vector CERO se puede escribir como
y , es decir, los coeficientes en la
bos CERO.
2) ¿Qué tienen de especial los vectores y ?
D
El conjunto SI genera a 23M
- Dependencia e independencia lineal:
Antes de definir el concepto entendamos







2
1
1v 






4
2
2v
Se ve qu 212 2vv   21 vv
l, NO trivial deuna combinación linea
combinación lineal NO son am
1v 2v











3
2
1
1v ,











5
1
4
2v











19
8
5
3v
Aunque a simple vista no es tan evidente, es sencillo verificar 213 23 vvv  . Así
 321 23 vvv 0
253

Se ha escrito al vector CE una combinación lineal de 321 ,, vvv .
En los 2 casos se dice que los vectores d
RO como
el conjunto generador, son linealmente
ependientes.
ean , n vectores en un espacio vectorial . Entonces se dice que los
s todos
cero, tales que:
d
Definición 1: Dependencia e independencia lineal.
S n21
vectores son linealmente dependientes, si existen n escalare , NO
vvv ,,,  V
nccc ,,, 21 
 nnvcvcvc 2211 0
i los vectores NO son linealmente dependientes, se dice que son linealmente
son linealmente independientes, si la ecuación
se cumple sólo para
S
independientes.
s decir, nvvv ,,, 21 
 nnvc 0 vcv
E
c 021  nccc 2211 .
n conjunto de vectores puede ser linealmente dependiente o independiente, si
ece a un esp
2 vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes, si y sólo si uno es
ga que
U
perten acio vectorial.
eorema 1:T
múltiplo escalar del otro (colineales).
Demostración:
Primero supon 12 cv para algún escalar 0v  c . Entonces 21 vcv  = 0 y 1v y
pendientes. Ahora su 2son linealmente po ue y linealmentede nga q 1v v son2v
dependientes. Entonces existen constantes (escalares) 1c y 2c , al menos uno distinto de
cero, tales que  2211 vcvc 0. Si 01 c , entonces dividiendo entre c , se tiene1






 2
1
2
1 v
c
c
v 0, 2
1
2
1 v
c
c
v 





 , 1
2
1
2 v
c
c
v 






Es decir, 1v es un múltiplo escalar de 2v . Si 01 c , entonces 02 c y, por lo tanto,
0 .2 1v 0v
254

- Ejemplo demostrativo 1: 2 vectores linealmente dependientes en 4
R .
Los vectores y on linealmente dependientes, ya que, 12 3vv  .
ostrativo 2: 2 vectores linealmente independientes en














3
0
1
2
1v














9
0
3
6
2v

s
em 3
R .- Ejemplo d
os vectores y son linealmente independientes; si NO lo fueran existiría un
scalar
Ejemplo demostrativo 3: Determinación de la dependencia o independencia lineal






2
1
, tal que:
L
4  3






5
2
ce


















 4
2
1
3
5
2
c 
 lo cual es IMPOSIBLE.
-
de 3 vectores en 3
R .
Determine si los v ores












703
son linealmente dependientes o
independientes.
ect
Suponga que ultiplicando y sumando
nemos:
Esto lleva al sistema homogéneo de 3 ecuaciones con 3 incógnitas


















 1
0
,2
2
,2
1
 0 0. Entonces m








































0
0
7
1
0
0
2
2
3
2
1
321 ccc
te












 

0
0
73
22
31
321
21
cc
ccc
  02cc

321 ,, ccc .
0
3

0
0
73
22
2
31
21
21





cc
ccc
cc
255

Así, los vectores serán linealmente dependientes, si y sólo si, el sistema tiene
soluciones NO triviales.


  0122






0703
0021
Resolvemos por eliminación gaussiana y pivoteo.







 0122
0021
 0703
Multiplicamos el renglón pivote por 2 y -3
y lo sumamos con 2R y 3R ,
respectivamente.










 0760
0120
0021
2
1 ,




 0021 Multiplicamos el renglón pivote por – 2 y
6 y lo sumamos con 1R y 3R ,
re

0

 076
0
2
110
spectivamente.
01000







0
2
110
 0101
03 c 02 c 01 c
El sistema sólo tiene solución triv
lin almente inde
- Ejemplo demostrativo 4: Determinación de la dependencia o independencia lineal
de 3 vectores en
ial.
pendientes.eLos vectores son
3
R .
Determine si los vectores son linealmente dependientes o
independientes.
































12
6
11
,
4
0
3
,
0
3
1
256

La ecuación












0
06
4
0
0
3 321 ccc ,




















0
12
 1131
igualando componentes resulta en el
stema homogéneo.si
0
0
0
124
63
113
32
31
321





cc
cc
ccc
tada es:La matriz aumen
























 0310603

























0310
0201
0000
0310
0201
01240
01131
01240
02790
01131
01240
0
01131
La última matriz aumentada equivale al sistema (con variable libre).
tc 3tc 21  tc 32 
Una solución particular cuando es  132  .1t
EXISTE (al menos) una combinación lineal que describe al vector CERO (0).
Así, los vectores del conjunto generador son linealmente dependientes.
eorema 2:
.
Es decir, si el número de vectores es mayor que ión en l que se define el
conjunto de vectores, el conjunto es linealmente dependiente [variable libre].
T
n conjunto de n vectores en m
R siempre es linealmente dependiente si mn U
la dimens a
257

- Ejemplo demostrativo 5: 4 vectores en 3
R que son linealmente depen es.dient
ya que,
onstituyen un es definidos en 3 dimensiones (
os vectores 















 7
2
,11
18
,7
4
,3
2
son linealmente dependientes,L
















 3464
conjunto de 4 vector 3
R ).
orolario: Un conjunto de vectores linealmente independiente en
c
n
RC contiene a lo
más n vectores.
a afirmación anterior se demuestra fácilmente. Si se tiene el sistema de
s el
stema tiene número infinito de soluciones y cada solución particu ar corresponde a
una combinación lineal de la forma
mn 
l
L
ecuaciones con los escalares de la combinación lineal tiene variable libre, entonce
si
 nnvcvcvc 2211 0.
Así, los vectores son linealmente dependientes.
eorema 3:
olumnas d
nvvv ,,, 21 
T
Sea:









 n
a
aaa
A

 22221


mnmm
n
aa
aaa


21
11211
Entonces, las c e A , consideradas como vectores son linealmente
ependientes si y sólo si el sistema A cd = 0, tiene soluciones NO triviales.
quí c = .
- Ejemplo demostrativo 6: Soluciones a un sistema homogéneo escritas como
combinaciones lineales de vectores solución linealmente independientes.
ea el sistema homogéneo.











nc
c

c2
1
A
S
022 4321 
0473 4321  xxxx
x xxx
258






















1 
02410
06901
02410
02121
04173
0212
a última matriz entrega la siguiente solución:
Escribiendo el lado derecho de la ecuación como combinación lineal, tenemos:
ntonces, y son soluciones la sistema homogéneo.
Los vectores son linealmente independientes, porque NO son múltiplos escalares.
El conjunto de soluciones al sistema es un subespacio en
L

















 4
3
43
4
3
2 24
x
x
xx
x
x
x 


 



 431 69 xxx







































1
0
2
6
0
1
4
9
43
4
3
2
1
xx
x
x
x
x
E










0
1
 4
9
 2
6










1
0
4
R , generado por los
- Ejemplo demostrativo 7: 3 vectores en
vectores solución linealmente independientes.
3
R generan 3
R si su determinante es
diferente de CERO.
Los vectores      5,1,3,2,0,1,4,1,2  generan 3
01
524
101
312
R porque y, por lo
ineal nte in
Ya que, como sabemos si es la matriz de coeficientes y
tanto, son l me dependientes.
A 0det A el sistema x =b
solución única. En este caso la solución única es la solución trivial.
A
tiene
259

260
= .
Verifiquemos nuestras afirmaciones.
También x =





c2
1
y b
0





nc
c











0
0






















 0
0
2
1
2
10
1
0
0
101
2
3
2
11
0
0
101
312







 0100
2
3
2
1
05240524
sol nic solución trivial, 0321  cccEs claro que la ución ú a es la .
Veamos un espacio diferente de n
R .
Ejemplo demostrativo 8: 3 matrices linealmente independientes en
En , sean
Determine si y son linealmente dependientes o independientes.
uponga que
- 23M .
23M 



















121
101
,
032
411
,
113
201
321 AAA .
21 3, AA A
0332211  AcAcAc . En este caso 0 es la matriz CERO de 2 x 3.
ntonces:
ue la
lución al sistema es
S
E












 



 121
1
032113000
321 ccc
 01411201000

 31321321 2323 cccccccc






 3212321 42 ccccccc
Esto da un sistema de 6 ecuaciones con 3 incógnitas, es sencillo verificar q
0321  ccc , por lo tanto las matrices son linealmente
ntes.
so
independie

1 – 22 Determine si el conjunto de vectores dado es linealmente dependiente o
independiente.
2)






















7
2
4
4
1
2
El conjunto de linealmente independiente, ya que, los vectores NO son múltiplos
escalares.
6)






























0
1
1
1
1
0
1
0
1
Solución:
Si el conjunto es linealmente dependiente existen escalares , tales que:321 ,, ccc

































0
1
1
1
1
0
1
0
1
321 ccc 0
Si es la única solución, el conjunto será linealmente independiente.0321  ccc
Haciendo operaciones e igualando componentes, tenemos:
























0
0
0
21
32
31
cc
cc
cc
Que se puede expresar como un sistema homogéneo de 3 x 3.
0
0
0
21
32
31






cc
cc
cc
Definimos A :











011
110
101
A
261

0
211


A
A
Existe solución única.
Como el sistema es homogéneo la solución única es la solución trivial
l conjunto de vectores es linealmente independiente.
8)
olución:
0321  ccc .
E































8
2
1
3
1
7
2
4
3
S
























 












 


























0
15
17600
0
5
210
0
15
901
0
3
26
3
230
0
5
210
0
3
1
3
71
0
3
26
3
230
0
3
10
3
250
0
3
1
3
71
0832
0214
0
3
1
3
71
0832
0214
0173
a matriz aumentada del sistema homogéneo de n x n tiene n pivotes.
a solución es:
L
L
0321  ccc
El conjunto de vectores es linealmente independiente.
mbos, propuesto EXAMEN.
10)
efinimos una matriz con los vectores del conjunto como columnas.
A





















































1
3
0
5
1
1
4
0
2
2
0
3
1
1
2
1
D A
















1121
3121
0402
5031
A *
262

          
    0161620124420122
2253136242253132
121
321
531

112
312
503
2



A 4
* *
0A
l sistema homogéneo tiene número infinito de soluciones.
l conjunto de vectores es linealmente dependiente.
ólo MAESTROS, propuesto Examen.
12)
l conjunto es linealmente dependiente, puesto que, el número de vectores es mayor
E
E
S









































2
1
7
5
3
2
0
0
4
2
1
1
E
que la dimensión en la que se define el conjunto  mn  .
Sólo MAESTROS, propuesto PUNTO EXTRA (opción).
5) En
olución:
agamos la analogía con los procedimientos vectoriales.
1 2
2 ,1,1: xxxP 
S
H
      011 2
321  xcxcxc
Haciendo operaciones:
Arreglando términos:
02
32211  xcxccxcc
  02
32121  xcxcccc
Consideramos y buscamos escalares diferentes de CERO, tales que0x 321 ,, ccc
 
0
0
0
21
21
2
3





cc
xcc
xc
263

Generamos un sistema homogéneo.
0
0
0
21
21
3





cc
cc
c









































0100
0010
0001
0100
0010
0011
0100
0020
0011
0100
0011
Sólo existe solución trivial

 0011A
0321  ccc .
El conjunto de polinomios es linealmente independiente.
9) En
Igualando componentes tenemos el sistema homogéneo:
  1111











0110
:22M1
 01211360
Solución:






























 
00
00
01
10
21
11
13
01
60
11
4321 cccc














00
00
263 321432
431321
cccccc
cccccc
0321  ccc
0431  ccc
03 432  ccc
026 321  ccc
Generamos una matriz A , tal que
















0216
1130
111
111 0*
0
A
264

         51781418162671
016
130
101
026
110
111
021
113
110




A A
* *
*

0A
l sistema homogéneo tiene solución única 04321  ccccE .
atrices es linealmente independiente.
ith(LinearAlgebra):
,3,-1,1],[6,1,2,0]]);
eterminant(C);
e ha visto que en
El conjunto de m
Maple:
w
C := Matrix([[1,-1,1,0],[-1,0,1,1],[0
D
4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial.
2
es conveniente escribir vectores como una combinación linealRS
de los vectores i = 


0
y j = 


1
; y en 31 0
R como una combinación lineal de los
 es una base para un espacio vectorial
iamente el cio vectorial.
linealmente independiente en
vectores de la base normal i, j y k.
Definición 1: Base.
Un conjunto finito de vectores  vv ,1 nv,...,2 V
si:
1) nvvv ,...,, 21 es linealmente independiente.
2)  vvv ,...,, genera a V .
 
n21
Obv conjunto  nvvv ,...,, 21 es un espa
Todo conjunto de n vectores n
R es un base en n
R .
265

- Base canónica:
n n
RE se define:
Los vectores son las columnas de una matriz identidad




































































1
0
0
0
,,
0
1
0
0
,
0
0
1
0
,
0
0
0
1
321



neeee
ie  1I ,  neee ,,, 21 
n
es un
conjunto linealmente independiente, por lo tanto, constituye una base en R .
Esta base especial se llama base canónica en n
R .
- Ejemplo demostrativo 1: Base canónica para
generan a . Si
, entonces
22M .













 00
,
00
,
10
,
01
 10010000

22M





















0
0000
01
00
00
10
00
01
321 ccc 




 010
4c 04321  cccc .
sí, el conjunto de matrices de 2 x 2 es linealmente independiente y es claro que pueden
generar a TODAS las matrices de
ra .
se p a un subespacio de
A
22M .
Las matrices forman una base para 22M .
La base se llama base canónica pa 22M
3
R .- Ejemplo demostrativo 2: Una ba ar
e ve ores que está en el plano.
Sabemos que el conjunto de vectores sobre un plano en
Encuentre una base para el conjunto d ct



 



 Rzyxzyx
z
yV ,,;032:



 



 x
3
R que pasa por el origen es un
espacio vectorial.
Si x y z se escogen arbitrariamente y
z
y



 , los vectores de V tienen la forma:
x






V
266































1
0
0
1
3
0
0
2
z
x
x
z
x










  3232 zxzzx
Así, y generan a V . Los vectores son linealmente independientes, puesto que,
NO son múltiplos escalares.
ect fo
y si










0
2
1










1
3
0
Los v ores rman una base para V .
Teorema 1:
Si  nvvv ,...,, 21 es una base para V v V , entonces existe un conjunto único de
s , tales quecalares cc ,, 2 nc,e 1
v = nnvcvcvc   21
Demostra
21
ción:
Existe al menos un conjunto de dichos escalares porque  nvv ,...,, 21v genera a .
aneras como una combinación lineal de los
ectores de la base.
v =
V
Suponga que v se puede escribir se 2 m
v
nnnn vdvdvdvcvcvc   22112211
       nnn vdcvdcvdc 222111 0
Pero son linea      nn dcdcdc  iv lmente independientes. Así, 2211 . Es
decir, .
i y
nn dcdcd  ,, 221c1
Teorema 2:
 muuu ,...,, 21  nvvv ,...,, 21
iera 2 bases en
S son bases en un espacio vectorial , entonces ;
s un espacio vectorial tienen el mismo núm
licación:
rar
V nm 
ero dedecir, cualesqu Ve
vectores.
Exp
Para gene 3
R necesitamos 3 vectores linealmente independientes definidos en 3
R
(definidos en 3 dimensiones), y así para los demás espacios vectoriales.
267

Observaciones:
1) Si el número de vectores es mayor que la dimensión en la que se definen
serán linealmente dependientes y NO forman una base para un espacio
vectorial.
2) Si el número de vectores es menor que la dimensión en la que se definen pueden
Aunque podrían ser una base de un subespacio vectorial.
ensión.
Si el e dimensión de es el
úmero de vectores en TODAS las bases y se llama espacio vectorial de dim nsión
nita. De otra manera, se llama ensión infinita.
i ={0}, entonces se dice que tiene dimensión cero.
Ejemplo demostrativo 1: La dimensión de
 mn 
generar un subespacio vectorial. Pero NO forman una base para un espacio
vectorial.
Definición 2: Dim
spacio vectorial V tiene una base finita, entonces la V
eV
espacio vectorial de dim
n
Vfi
V VS
La dimensión de V se denota por dim V .
n
R .-
omo n vectores linealmente independientes en n
R constituyen una base para n
RC , se ve
que:
dim n
R = n
uponga que dim = n. Si es un conjunto de m vectores linealmente
independientes en , entonces
Teorema 3:
V
V
muuu ,...,, 21
nm 
S
.
, los vectores son linealmente dependientes y NO forman una base.
tiene
imensión finita y
dim H
De otro modo
Teorema 4:
Sea H un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita V . Entonces H
d
 dim V
268

aple:
([(-2/9)*x-(1/3)*y],x=-6..19,y=-
strained,transparency=.1,
Ejemplo demostrativo 2: Los subespacios de
M
plot3d
6..10,axes=normal,color=x*y,scaling=con
grid=[2,2]);
3
R- .
e puede usar el teorema 4 para encontrar TODOS los subespacios de 3
RS . Sea H un
subespacio de 3
R . Existen 4 posibilidades; H = {0}, dim H = 1, dim H = 2 y dim H = 3.
Si dim H = 3, entonces H contiene una base de 3 vectores linealmente independientes
321 ,, vvv en 3
R . Pero entonces, 321 ,, vvv también forman una base para 3
R , y así, H =
,vv = 3
gen 1,v 2 3 R  3
R .3
RH  Por lo tanto, la única manera de obtener un
sube piospacio pro de 3
R es teniendo dim H = 1 o dim H = 2.
269

Si dim H = 1, entonces H (de una dimensión) tiene una base que consiste en un vector v
= . Sea x en H. Entonces x = cba ,,   cbat ,,  Rt  [puesto que  cba ,, genera a H].
Si x =  igualando componentes, tenemoszyx ,, atx  , bty  y que son las
ecuaciones paramétricas de una recta en
ctz 
3
R que pasa por el origen con vector paralelo
v= . cb,a,
Ahora, si dim H = 2 y sea v  1111 ,, cba y v  2222 ,, cba una base para H [de 2
dimensiones]. Si x =  , entonces existen números reales y t tales que
x= v + v o bien  
 H

zyx ,, s
s 1 t 2   22 ,, cb2at111 ,, cbas,, zyx  .
21
21
21
tcscz
tbsby
tasax



Sea v   ,,3  = v1 X v 2 . Entonces v3 · v1 = v · v = 0.3 2
Como x =  está en el mismo plano que v1 y v .zyx ,, 2
v · x = 03
  ,, ·  zyx ,, = 0
     212121 tcsctbsbtasazyx  
   tcbascbazyx 222111  
 zyx  (v3 · v1 ) s + (v · v ) = 03 2 t
0 zyx 
Así, si x =   Hzyx ,, , entonces 0 zyx  , lo que muestra que H es un plano
que pasa por el origen con vector normal v .3
Los único subespacios propios de 3
R son los conjuntos de vectores que están en
una recta o en un plano que pasa por el origen.
Teorema 5:
Cualesquiera n vectores linealmente independientes en un espacio vectorial V de
dimensión n constituyen una base para V .
270

– 10 Determine si el conjunto de vectores dado es una base para el espacio vectorial a
olución:
l conjunto de matrices NO puede generar a , ya que, el componente es
mbos, propuesto EXAMEN/PUNTO EXTRA.
olución:
omo tiene una base (base canónica) consistente en 4 matrices, sabemos que
ota: Podemos decir que .
l conjunto de matrices NO es una base para .
0) H =
1
que se refiere.
























70
10
60
15
00
23
00
13
:22M6) En
S
E 22M
ara
21m
siempre CERO. Así, el conjunto NO es una base p 22M .
A











 


















00
10
01
27
85
16
41
12
13
01
:22M8)
S
C 22M
cualquier base para 22M contiene a lo más 4 matrices, cualesquiera 5 (o más) matrices
en 22M son linealmente dependientes.
N  mn 
E 22M
1     3,31,1;0:, 2
 yxRyx .
Solución:
os vectores NO forman una base, puesto que, al ser múltiplos escalares son
2) Encuentre una base en
L
linealmente dependientes.
3
R1 para el conjunto de vectores en el plano
olución:
l plano que pasa por el origen, tiene vector normal v = n =
0623  zyx .
S
3  6,2,3 E .
l subespacio en H =   0623:,, 3
 zyxRzyx
itamos 2 vectores v1 y v2 en 3
3
RE se define con 2 dimensiones
(dim H = 2). Así, neces R linealmente independientes,
que sean perpendiculares a v3 .
271























































3
1
1
2
1
0
3
1
0
2
1 yx
x
Los vectores son linealmente independientes, puesto que, NO son múltiplos escalares.
os vectores
01
0
3
1
2
1
yxy
yx
y
x
L





2
1






0
1
y



 3
1






1
0
son una base para el subespacio H de 3
R definido por el
lano 0623  zyxp .
14) Encuentre una base en 3
R para el conjunto de vecto s en la recta
Soluci
re
ón:
tztytx  ,2,3 .
  tztytxRzyx  ,2,3:,, 3
se define en 1Note que el subespacio de 3
R , H =
dimensión, dim H = 1.
alquier vector múltiplo escalar del vector paralelo v =  1,2,3  es una baseEntones cu
para el subespacio H de 3
R .
16) En 4
R sea H =   0:,,  dwczbyaxz, wyx 0abcd, donde .
de 4
Ra) Demuestre que H es un subespacio .
¿Cuánto vale dim H?
olución:
b) Encuentre una base para H.
c)
S
a) H 4
R , puesto que, sus vectores  wzyx ,,, se definen en 4
R .
spacio vectorial, ya que, es un hiperplano en 4
RY H es un e que pasa por el origen.
4
H es un subespacio de R .
 wzyx ,,, 4
R3
R . Si x, y y z pueden variar libremente y .b) Procedemos como en
272































































 z
d
c
z
y
d
b
y
x
d
a
x
z
d
cy
d
bx
d
a
z
y
x
0
0
0
0
0
0
















































d
c
z
d
b
y
d
a
x
1
0
0
0
1
0
0
0
1
TODOS los vectores de la forma













































d
c
d
b
d
a
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
, 0abcd forman una base
para H.
) El subespacio H se define con una base de 3 vectores en 4
Rc .
sí, dim H = 3.
8) En
A
5
R1 encuentre una base para el hiperplano.
H =   0432:,,,, 5432154321  xxxxxxxxxx
Si varían libremente y4321 ,,, xxxx   Hxxxxx 5421 ,,,, ,3 tenemos:





















































































 4
4
3
3
2
2
1
1
4321
4
3
2
1
4
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
2
0
0
0
432 x
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
x
x
x
x





































































4
1
0
0
0
1
0
1
0
0
3
0
0
1
0
2
0
0
0
1
4321 xxxx
273

Así, los vectores forman una base para el subespacio H de
































































4
1
0
0
0
,
1
0
1
0
0
,
3
0
0
1
0
,
2
0
0
0
1
5
R sobre
el hiperplano 2 0543 4321  xxx xx .
4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.
Sabemos que existe un producto de 2 vectores en n
R que resulta en un escalar, este
producto lo conocemos como producto escalar o producto punto.
Este producto escalar también se llama producto interno.
En n
R el producto interno de 2 vectores es un escalar real. En otros espacios el
resultado del producto interno es un escalar complejo. Por esto, para incluir todos los
casos se supone que el producto interno es un número complejo.
Definición 1: Espacio con producto interno.
Un espacio vectorial complejo V se llama espacio con producto interno, si para cada
par ordenado de vectores u y v en V , existe un número complejo único (u, v), llamado
producto interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y C , entonces.
1) (v, v) 0
2) (v, v) = 0 si y sólo si v = 0
3) (u, v + w) = (u, v) + (u, w)
4) (u + v, w) = (u, w) + (v, w)
5) (u, v) = (v, u)
6) ( u, v) =  (u, v)
7) (u,  v) =  (u, v)
Recuerde: La “barra” denota complejo conjugado.
En C el producto interno (x, y) de x =n
 nxxx ,,, 21  y y =  nyyy ,,, 21  se define
(x, y) = nn yxyxyx  2211
274

- Ejemplo demostrativo 1: Producto interno de 2 vectores en .3
C
En sean x =   y y =3
C ii 34,3,1   iii  2,,2 . Entonces
(x, y) =         iiiii  234321
(x, y) =         iiiii  234321
(x, y) =     iiii 106105331 
Definición 2:
Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v están en V , entonces:
1) u y v son ortogonales si (u, v) = 0.
2) La norma de u, denotada por │u│, está dada por
│u│ = (u, u) 2
1
- Ejemplo demostrativo 2: 2 vectores ortogonales en .2
C
En los vectores2
C  i,3 y  son ortogonales porquei6,2
                0666236236,2,3  iiiiii
Definición 3: Conjunto ortonormal.
El conjunto de vectores  es un conjunto ortonormal en si:nvvv ,,, 21  V
1)   0, ji vv para .ji 
2)   1,  iii vvv
Si sólo 1) se cumple, se dice que el conjunto es ortogonal.
Importante:
Si los vectores son reales, es decir, se definen en n
R , la notación nos es más familiar.
El conjunto de vectores  en n
nvvv ,...,, 21 R es un conjunto ortonormal si:
1) 0 ji v Parav ji  .
275

2) 1 iii vvv
Teorema 1: Cualquier conjunto finito de vectores ortogonales diferentes de CERO en
un espacio con producto interno es linealmente independiente.
Teorema 2: Cualquier conjunto finito linealmente independiente en un espacio con
producto interno se puede convertir en un conjunto ortonormal, mediante
el proceso de Gram – Schmidt. En particular, cualquier espacio con
producto interno tiene una base ortonormal.
Nota: El teorema 2 nos es familiar recuerde la base i, j, k para 3
R y la definición de
producto punto.
Definición 4: Proyección ortogonal.
Sea H un subespacio del espacio con producto interno V con una base ortonormal
. Si kuuu ,,, 21   Vv  , entonces la proyección ortogonal de sobre H denotada por
, está dada por:
v
vproyH
      kkH uuvuuvuuvvproy ,,, 2211  
Para vectores reales, tenemos:
      kkH uuvuuvuuvvproy  2211
4.6 Cambio de base, base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram –
Schmidt.
- Cambio de base:
En 2
R se expresaron vectores en términos de la base canónica i = , j = . En





0
1






1
0 n
R
se definió la base canónica . Estas bases se usan ampliamente porque es
sencillo trabajar con ellas, pero en ocasiones es mejor usar otra base.
 neee ,,, 21  
Existe un número infinito de bases a escoger, ya que, en un espacio vectorial de
dimensión n cualesquiera n vectores linealmente independientes forman una base.
Aprenderemos a cambiar de una base a otra mediante el cálculo de una matriz.
276

- Ejemplo demostrativo 1: Cambio de base en 2
R .
Sean y . Entonces,






0
1
1u 






1
0
2u  211 ,uuB  es la base canónica en 2
R . Sean
y . Como y son linealmente independientes [NO son
múltiplos escalares], es una segunda base en






3
1
2v1v 





2
1
2B 
 1v

2v
 21,vv 2
R .
Sea x = un vector en





2
1
x
x 2
R .
x = =





2
1
x
x
221121
1
0
0
1
uxuxxx 











En este caso, x =  = i + j. 1x21 xx 2x
Podemos escribir:
  






2
1
1
x
x
x B
Que quiere decir que x está expresado como una combinación lineal de los vectores de
la base .1B
Como es otra base en2B 2
R , existen escalares y tales que:1c 2c
x 2211 vcvc 
  






2
1
2
c
c
x B
Para encontrar los números , se escribe la base21,cc  211 ,uuB  en términos de la
nueva base . 212 ,vvB 
211 5
3
5
2
2
1
5
3
3
1
5
2
0
1
vvu 


















212 5
1
5
1
2
1
5
1
3
1
5
1
1
0
vvu 


















277

Es decir,
 










5
3
5
2
21 B
u y  









5
1
5
1
22 B
u
Entonces:
x =    2122112211 5
1
5
1
5
3
5
2 vvxvvxuxux 
x =     221121 5
1
5
3
5
1
5
2 vxxvxx 
Así, los escalares son:
212
211
5
1
5
3
5
1
5
2
xxc
xxc


O bien:
  
































2
1
21
21
2
1
2
5
1
5
3
5
1
5
2
5
1
5
3
5
1
5
2
x
x
xx
xx
c
c
x B
Por ejemplo, si , entonces  







4
3
1Bx
 

























5
13
5
2
4
3
5
1
5
3
5
1
5
2
2Bx
Comprobación:
2121 43
1
0
4
0
1
3
4
3
2
1
5
13
3
1
5
2
5
13
5
2 uuvv 































La matriz










5
1
5
3
5
1
5
2
A se llama matriz de transición de a .1B B2
Hemos demostrado que:
    12 BB xAx 
Es sencillo generalizar este ejemplo, pero primero es necesario ampliar la notación.
Sea y nuuuB ,,, 211   nvvvB ,,, 212  , 2 bases para un espacio vectorial de
dimensión n y x . Entonces x se puede expresar en términos de ambas bases:V
278

x = y x =nnububub  2211 nnvcvcvc  2211
Donde y c son números reales y denota la representación de x como
una combinación lineal de los vectores de la base .
ib i  













n
B
b
b
b
x

2
1
1
1B
De igual manera denota la representación de x como una combinación
lineal de los vectores de la base .
 













n
B
c
c
c
x

2
1
2
2B
Ahora como es una base, cada en se puede escribir como una combinación
lineal de los vectores . Así, existe un conjunto único de escalares , para
, tales que
2B ju 1B
iv njjj aaa ,,, 21 
nj ,,2,1 
nnjjjj vavavau  2211
O sea
 















nj
j
j
Bj
a
a
a
u

2
1
2
Para cambiar de una base a otra usamos una matriz de transición.
Definición 1: Matriz de transición.
La matriz de n x n cuyas columnas están dadas porA   2Bju se llama matriz de
transición de la base a la base .1B 2B
Esto es,













nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A




21
22221
11211
      22221 BnBB
uuu
279

Nota: Si se cambia el orden en el que se escriben los vectores de la base, entonces
también debe cambiarse el orden de las columnas en la matriz de transición.
Teorema 1:
Sean y bases para un espacio vectorial V . Sea1B 2B A la matriz de transición de
a . Entonces para todo x .
1B
2B V
    12 BB xAx 
Teorema 2:
Si es la matriz de transición de a , entonces es la matriz de transición
de a .
A
2B
1B 2B 1
A
1B
Sea C la matriz de transición de a . Entonces2B 1B
    21 BB xCx 
Pero,   .  12 BB xAx 
    11 BB xCAx 
Los cual, sólo se cumple si 1
 AC  ICA  .
Este teorema hace especialmente sencillo encontrar la matriz de transición a partir de
una base canónica en neeeB ,,, 211   n
R a cualquier otra base en n
R .
Sea cualquier otra base. Sea la matriz cuyas columnas son los
vectores . Entonces es la matriz de transición de a , ya que, cada
vector está expresado ya en términos de la base canónica.
 nvvvB ,,, 212 
nvvv ,,, 21 
iv
 C
C 2B 1B
Así, la matriz de transición de a es .1B 2B 1
C
- Procedimiento para encontrar la matriz de transición de la base canónica a la
base : nvvvB ,,, 212 
1) Se escribe la matriz C cuyas columnas son nvv .v ,,, 21 
2) Se calcula 1
C . Ésta es la matriz de transición de 1B (canónica) a 2B .
280

- Ejemplo demostrativo 1: Expresión de vectores en 3
R en términos de una nueva
base.
En 3
R sea {i, j, k} y sea . Si x = , escriba x en
términos de los vectores en .
1B










































2
1
0
0
1
3
2
0
1
2B 3
R
z
y
x











2B
Primero se verifica que el conjunto es una base.2B
    0862
202
110
031



Los vectores son linealmente independientes y pertenecen a 3
R .
La matriz de transición C es:












202
110
031
C












































































8
1
4
3
4
1100
8
1
4
1
4
1010
8
3
4
3
4
1001
8
1
4
3
4
1100
010110
031301
162800
010110
031301
102260
010110
001031
102260
010110
001031
100202
010110
001031
La matriz de transición de a es:1B 2B











 
162
122
362
8
11
CA
Por ejemplo, si  











4
2
1
1Bx
281

 

















































4
7
4
1
4
1
14
2
2
8
1
4
2
1
162
122
362
8
1
2Bx
Comprobemos:






























































































4
2
1
2
7
4
7
0
0
4
1
4
3
2
1
0
4
1
2
1
0
4
7
0
1
3
4
1
2
0
1
4
1
4
2
1
- Ejemplo demostrativo 2: Conversión de una base a otra en 2
R .
Sean y 2 bases en



















1
2
1
3
1B



















3
5
4
2
2B 2
R . Si , exprese x
en términos de los vectores de .
  






2
1
1
b
b
x B
2B
Solución:
El primer paso es expresar como una combinación lineal de los vectores de . Es
decir, deben encontrarse constantes , tales que
1B 2B
22122111 ,,, aaaa


















3
5
4
2
1
3
2111 aa y 

















 3
5
4
2
1
2
2212 aa
Esto conduce a los sistemas.
134
352
2111
2111


aa
aa
134
252
2212
2212


aa
aa
Sistema 1:


















 





 
5130
2
3
2
51
134
2
3
2
51
134
352





















13
510
13
701
13
510
2
3
2
51
282

Sistema 2:





























5130
1
2
51
134
1
2
51
134
252





















13
510
26
101
13
510
1
2
51
Las soluciones son:
13
5
13
5
26
1
13
7
2221
1211


aa
aa








1010
114
26
1A
 
 
 























21
21
2
1
2
26
10
14
26
1
1010
114
26
1
bb
bb
b
b
x B
Por ejemplo, sea x = en base canónica.





4
7
Primero hallaremos .
1
4
7
B






La matriz de transición de a la base canónica es:1B






11
23
Hallaremos su inversa:

























 1
3
1
3
50
0
3
1
3
21
1011
0
3
1
3
21
1011
0123




















5
3
5
110
5
2
5
101
5
3
5
110
0
3
1
3
21
283

Así, la matriz de transición de la base canónica a es:1B









5
3
5
1
5
2
5
1
1
1
3
5
15
5
1
4
7
31
21
5
1
4
7
B

































Ahora expresaremos como una combinación lineal de los vectores de la base .





4
7
2B
221 26
20
26
41
1
3
1010
114
26
1
1
3
4
7
BBB 











































Sólo MAESTROS, ACTIVIDAD CLASE.
Comprobaremos nuestros resultados.

























4
7
1
2
1
3
3
4
7
























4
7
3
5
26
20
4
2
26
41
4
7
Teorema 3:
Sea una base del espacio vectorial V de dimensión n suponga que nvvvB ,,, 211  
     







































nn
n
n
Bn
n
B
n
B
a
a
a
x
a
a
a
x
a
a
a
x



2
1
1
2
22
12
12
1
21
11
11 ,,,
Sea













nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A




21
22221
11211
Entonces son linealmente independientes si y sólo si .nxxx ,,, 21  0det A
284

1 – 5 Escriba en términos de la base dada.2
R
y
x






2) 











 2
3
3
2
Solución:
La matriz de transición de a la base canónica en1B 2
R es:








23
32
C
1
 CA es la matriz de transición de la base canónica a .1B
Recurso:    1
 AIIA
























 1
2
3
2
50
0
2
1
2
31
1023
0
2
1
2
31
1023
0132







 










5
2
5
310
5
3
5
201
5
2
5
310
0
2
1
2
31
La matriz de transición de la base canónica en 2
R a es:1B







 
5
2
5
3
5
3
5
2
Así,
15
2
5
3
5
3
5
2
5
2
5
3
5
3
5
2
B
yx
yx
y
x
y
x























 






4) 













2
1
2
1
Solución:
R es:
285










22
11
C
1
Recurso:    1
 AIIA
























1240
0111
1022
0111
1022
0111






















4
1
2
110
4
1
2
101
4
1
2
110
0111
R a es:1B










4
1
2
1
4
1
2
1
Así,
 
  1
2
4
1
2
4
1
4
1
2
1
4
1
2
1
B
yx
yx
y
x
y
x
































6 – 10 Escriba en términos de la base dada.3
R
z
y
x











6)






























1
1
1
1
0
0
0
0
1
Solución:
La matriz de transición de la base a la base canónica en1B 3
R es:











110
100
101
C
1
Recurso:    1
 AIIA
286



































010100
110010
011001
010100
100110
001101
100110
010100
001101
R a es:1B












010
110
011
Así,
1
010
110
011
B
y
zy
yx
z
y
x
z
y
x














































8)






























 1
1
0
0
1
1
1
0
1
Solución:
La matriz de transición de la base a la base canónica en1B 3
R es:













101
110
011
C




































111200
010110
011101
101110
010110
001011
100101
010110
001011


























2
1
2
1
2
1100
2
1
2
1
2
1010
2
1
2
1
2
1001
2
1
2
1
2
1100
010110
011101
R a es:1B
287















2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1

































































zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
z
y
x
z
y
x
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
17) En R suponga que , donde . Escriba x en términos de
la base .
  







1
2
1Bx



















3
2
1
1
1B



















1
5
3
0
2B
Solución:
Primero expresaremos los vectores de en términos de los vectores de .1B 2B
Buscamos escalares , tales que22122111 ,,, aaaa



















1
5
3
0
1
1
2111 aa y 


















1
5
3
0
3
2
2212 aa
13
15
2111
21


aa
a
33
25
2212
22


aa
a
Las soluciones son:
5
2,
15
17,
5
1,
5
2
22122111  aaaa









5
2
5
1
15
17
5
2
A
Así,
 























0
3
1
1
2
5
2
5
1
15
17
5
2
2Bx
288

Es decir,
21 0
3
1
1
2
BB 














2
18) En R , , donde . Escriba x en términos de la base
.
  







1
4
1Bx









2
3




















3
7
5
2
1B



2B 





1
2
Expresamos en términos de los vectores de .1B 2B
Buscamos escalares , tales que22122111 ,,, aaaa


















 2
3
1
2
5
2
2111 aa y 

















2
3
1
2
3
7
2212 aa
52
232
2111
2111


aa
aa
32
732
2212
2212


aa
aa
Sistema 1:





























4
2
10
1
2
31
521
1
2
31
521
232



















810
1101
810
1
2
31
Sistema 2:







 








 





 
2
13
2
10
2
7
2
31
321
2
7
2
31
321
732





 








 

1310
2301
1310
2
7
2
31
289

Las soluciones son:
138
2311
2221
1211


aa
aa









138
2311
A
  





















45
67
1
4
138
2311
2Bx
- Bases ortonormales:
En n
R se vio que n vectores linealmente independientes constituyen una base. La de
uso más común es la base canónica  neeeE ,,, 21  . Estos vectores tienen 2
propiedades:
1) 0 ji e sie ji  [Son perpendiculares]
2) 1 ii e [Son unitarios]e
Definición 1: Conjunto ortonormal en n
R .
Se dice que un conjunto de vectores  kuuuS ,,, 21  en n
R es un conjunto
ortonormal si:
1) si0 ji uu ji 
2) 1 ii uu
Recordemos algunos hechos básicos del producto escalar.
Si están enwvu ,, n
R y  es un número real, entonces:
 
 
   
   vuvu
vuvu
wuvuwvu
wvwuwvu
uvvu







290

Definición 2: Longitud o norma de un vector.
Si , entonces la longitud o norma de , denotada porn
Rv  v v , está dada por
vvv 
Nota: y0vv 0vv si y sólo si v 0.
“Un conjunto de vectores es ortonormal si cualquier par de ellos es ortogonal
y cada uno tiene longitud 1”
Ahora se probará que cualquier conjunto finito de vectores ortogonales diferentes de
CERO es linealmente independiente.
Teorema 1:
Si es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de CERO,
entonces es linealmente independiente.
 kvvvS ,,, 21 
S

Demostración:
Suponga que  kk vcvcvc 2211 0. Entonces para cualquier .,,2,1 ki 
0 = 0   ikkiii vvcvcvcvcv  2211
       ikkiiiii vvcvvcvvcvvc  2211
22
21 000 iikii vccvccc  
Como 0,0  ii vv , y se tiene 0ic , para .,,2,1 ki 
Ahora se verá cómo cualquier base en n
R se puede convertir en una base ortonormal.
A continuación se describe el proceso de ortonormalización de Gram – Schmidt.
Teorema 2: Proceso de ortonormalización de Gram – Schmidt.
Sea H un subespacio de dimensión m de n
R . Entonces H tiene una base ortonormal.
Demostración:
Sea una base de H. Se probará el teorema construyendo una base
ortonormal a partir de los vectores en .
 mvvvS ,,, 21  
S
291

Antes de dar los pasos para esta construcción, se observa que un conjunto de vectores
linealmente independiente NO contiene al vector CERO.
Paso 1: Elección del primer vector unitario.
Sea
1
1
1
v
v
u 
Entonces
12
1
11
11 







 

v
vv
uu 11 u
Paso 2: Elección de un 2° vector ortogonal a .1u
Sabemos que v
v
vu
uw 2

 es ortogonal a . En este caso, env 2
R , el vector v
v
vu
2

es
la proyección de sobre .u v
Resulta que el vector w es ortogonal a v cuando y están enw v n
R para cualquier
. Observe que como es un vector unitario,2n u1   11 u12
1
1
uvu
u
uv


para cualquier
vector v .
Sea
  11222 ' uuvvv 
292

Entonces
     0' 121211121212  uvuvuuuvuvuv
De manera que es ortogonal a n, y son linealmente
independientes. 0 porque de otra manera
´2v
´2 
1 . Más aúu 1u ´2v
v    
1
1
12
1 
an m
12 v
v
uuv  , lo que
y , ya que, y serí últiplos escalares
aso 3: Elección de un 2° vector unitario.
ea
2v 
2v
uv 
[linealmente dependientes].
contradice la independencia de 1v 2v 1v
P
S
´
´
2
2
2
v
v
u 
Entonces es evidente que es un conjunto ortonormal.
uponga que se han construido los vectores
 21,uu
kuuu ,,, 21   mk S y que forman un
aso 4: Continuación del proceso.
ea
conjunto ortonormal. Se mostrará como construir 1ku .
P
S
      kkkkkkk uuvuuvuuvvv   122111111´ 
Entonces para .,,2,1 ki 
  
        ikkkiiikik
ikikik
uuuvuuuvuuuv
uuuvuvuv
 



11221
11111´

siPero 0 ij uu ji  y = 1.
or lo tanto
 ii uu 
P
  0´ 111   ikikik uvuvuv
Así, es un conjunto linealmente independiente, ortogonal y 121 ´,,,, kk vuuu 
 0.1´kv
293

294
aso 5: Fin del proceso (obtención de la base ortonormal).
ea
P
S
1
1
1
´
´


 
k
k
k
v
v
u
ntonces es un conjunto ortonormal (base ortonormal) y se
ota: Como cada es una combinación lineal de vectores
E  121 ,,,, kk uuuu 
tinuar hasta que 1k puede con .m
iu iv ,  121 ,,,, kk uuuugen 
io tiene dimensión m,es un subespacio de  vvvgen ,,,  y como cada es ac
los espacios generado
m21 p
N
s son iguales.

La demostración formal del proceso de ortonormalización de Gram –
Schmidt maneja una notación, que aunque familiar puede ser difícil de recordar.
A continuación presentamos una forma simplificada del proceso de
ortonormalización de Gram – Schmidt, que hace fácil su aplicación.
Importante:
- Resumen del proceso de ortonormalización de Gram – Schmidt.
 mvvvS ,,, 21   [Conjunto generador inicial (base general)]
1
1
1
v
v
u  [Primer vector de la base ortonormal]
 
  1122
1122
2
uuvv
uuvv
u


 [Segundo vector de la base ortonormal]
2231133
2231133
3
uuvuuvv
uuvuuvv
u


 [Tercer vector de la base ortonormal]
 121 ,,,´  kuuuS   [Base ortonormal (resultado)]
mk 1
Comprobación:
11 u [Perpendiculares]021  uu
12 u
Recuerde: , hemos usado también la notaciónuvvu   uv, .
Nota: Cuando los vectores son complejos se usa “doble barra” para indicar modulo y
no confundirlo con el valor absoluto.
Generaremos una base ortonormal partiendo de la base general dada.
Sea
   2,34,5S
Primero verificamos que los vectores del conjunto “forman” una base.
295

Los vectores son linealmente independientes, puesto que, NO son múltiplos
escalares.
Así, forman una base en 2
R .
 




41
4,
41
5
41
4,5
1
1
1
v
v
u
 
  1122
1122
2
uuvv
uuvv
u



 
41
23
41
8
41
15
41
4,
41
52,312 



 uv
   41
92,
41
11592,115
41
1
41
4,
41
5
41
23
112 



 uuv
     41
10,
41
8
41
92,
41
1152,31122
 uuvv
    41
412
41
164
41
10
41
8
22
1122  uuvv
 
  


 



41
5,
41
4
1122
1122
2
uuvv
uuvv
u









 




41
5,
41
4
41
4,
41
5´S [Base ortonormal]
Comprobación:
1
41
41
41
4
41
5
22
1 









u
[Unitarios]
1
41
41
41
5
41
4
22
2 









u
0
41
20
41
20
41
5,
41
4
41
4,
41
5
21 



 



 uu [Ortogonales]
296

      3,
2
1,0,5,1,0,3,1,2 S
Primero verificamos que el conjunto es una base.
Generamos una matriz con los vectores de como sus columnas y obtenemos su
determinante.
A S
    011
2
112
2
532
353
2
111
002












A
Los vectores son linealmente independientes. Forman una base en 3
R .
 



 


14
3,
14
1,
14
2
14
3,1,2
1
1
1
v
v
u
1122
1122
2
uuvv
uuvv
u



 
14
16
14
15
14
1
14
3,
14
1,
14
25,1,012




  uv
 7
24,
7
8,
7
16
14
3,
14
1,
14
2
14
16
112




  uuv
     7
11,
7
1,
7
16
7
24,
7
8,
7
165,1,01122
 uuvv
      378
7
1
7
11
7
1
7
16
222
1122  uuvv



 



378
11,
378
1,
378
16
1122
1122
2
uuvv
uuvv
u
2231133
2231133
3
uuvuuvv
uuvuuvv
u



  142
17
14
9
142
1
14
3,
14
1,
14
23,
2
1,013 



  uv
297

 
 28
51,
28
17,
28
34
28
51,
28
17,
14
17
14
3,
14
1,
14
2
142
17
113





  uuv
     28
33,
28
31,
28
34
28
51,
28
17,
28
343,
2
1,01133
 uuvv
 
3782
67
378
33
3782
1
378
11,
378
1,
378
163,
2
1,023






  uv
 
 756
737,
756
67,
756
1072
756
737,
756
67,
378
536
378
11,
378
1,
378
16
3782
67
223





 
 uuv
   
   
   54
11,
54
55,
54
11
756
154,
756
770,
756
154
756
737,
756
67,
756
1072
756
891,
756
837,
756
918
756
737,
756
67,
756
1072
28
33,
28
31,
28
34
2231133


 uuvuuvv
      3267
54
1
54
11
54
55
54
11
222
2231133  uuvuuvv



 



3267
11,
3267
55,
3267
11
2231133
2231133
3
uuvuuvv
uuvuuvv
u















 



 



 

3267
11,
3267
55,
3267
11
378
11,
378
1,
378
16
14
3,
14
1,
14
2
´S [Base ortonormal]
Comprobación:
1
1
1
3
2
1



u
u
u
[Unitarios]
0
0
0
32
31
21



uu
uu
uu
[Ortogonales]
298

1 – 13 Construya una base ortonormal para el espacio o subespacio vectorial dado.
2)   0:, 2
 yxRyxH
Solución:
El conjunto de vectores es un subespacio vectorial, puesto que, se describe con una recta
en 2
R que pasa por el origen.
Así, cualquier vector  , tal que,yx, xy  es una base para H .
 1,1 S  es una base para H .









 
2
1,
2
1´S es una base ortonormal para H .
Nota: El subespacio H se define con 1 dimensión ( 1dim H ).
Ambos, propuesto EXAMEN.
6)   RzyxzyxzyxH  ,,;0623:,,
Solución:
El conjunto de vectores  sobre un plano enzyx ,, 3
R que pasa por el origen es un
espacio vectorial (subespacio de 3
R ).
Si x y y pueden variar libremente y   Hzyx ,, , tenemos:




































































3
1
1
0
2
1
0
1
3
1
0
2
1
0
3
1
2
1
yx
y
y
x
x
yx
y
x
z
y
x
Los vectores











2
1
0
1
y










3
1
1
0
son linealmente independientes.


































3
1
1
0
2
1
0
1
S es una base para H .
299

Obtendremos una base ortonormal usando el proceso de ortonormalización de Gram
– Schmidt.
 



 


5
1,0,
5
2
2
5
2
1,0,1
1
1
1
v
v
u
 
  1122
1122
2
uuvv
uuvv
u



  53
1
5
1,0,
5
2
3
1,1,012





  uv
 15
1,0,
15
2
5
1,0,
5
2
53
1
112




 
 uuv
     15
4,1,
15
2
15
1,0,
15
2
3
1,1,01122  uuvv
      245
15
1
15
41
15
2
222
1122  uuvv
 
  













35
54
,
7
53
,
35
52
245
4,
245
15,
245
2
1122
1122
2
uuvv
uuvv
u













 
245
4,
245
15,
245
2
5
1,0,
5
2´S [Base ortonormal]
Note que H se define con 2 dimensiones ( 2dim H ).
Comprobación:
11 u
12 u [Unitarios] 021  uu [Ortogonales]
Además verificaremos que los vectores de la base ortonormal se encuentran sobre el
plano 0623  zyx .
@ 




 
5
1,0,
5
2
1P
  0
5
1602
5
23 










0
5
6
5
6 
00 
300

@ 





245
4,
245
15,
245
22P
0
245
46
245
152
245
23 















00 
8)   RtzyxtztytxzyxL  ,,,;,2,3:,,
Solución:
El conjunto de vectores sobre una recta en 3
R que pasa por el origen forman un espacio
vectorial.
Note que el espacio vectorial se define con 1 dimensión ( 1dim L ).
Es decir, sus bases constan de un solo vector, múltiplo escalar del vector paralelo
. 1,2,3 v
 1,2,3 S  es una base para .L









 
14
1,
14
2,
14
3´S es una base ortonormal para L .
301

UNIDAD 5: Transformaciones lineales.
5.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades.
Introducción:
Estudiaremos funciones de la forma w = F(x), donde la variable independiente
(x) es un vector en n
R y la variable dependiente (w) es un vector en m
R .
Nos centraremos en una clase especial de estas funciones llamadas transformaciones
lineales.
Antecedentes:
Función: Regla (regla de correspondencia) f que asocia a cada elemento de un
conjunto A uno y sólo uno del conjunto B . Si f asocia al elemento b con
el elemento a, se escribe  afb  y se dice que b es la imagen de a bajo
f, o que b está en función de a. El conjunto A se denomina dominio y el
conjunto B contradominio (imagen).
Comúnmente A y B son conjuntos de números reales [  RBA  ], en este
caso f se llama, función de valor real de variable real.
Otras funciones comunes ocurren cuando B es un conjunto de números reales y A es un
conjunto de vectores en n
R .
Fórmula Ejemplo Clase Descripción
Función de valor real de 1
variable real.
Función de)(xf 2
)( xxf 
R a R .
),( yxf 22
),( yxyxf 
variables reales.
Función de
2
R a R .
),,( zyxf 222
),,(
zyx
zyxf

variables reales.
Función de
3
R a R .
),,,( xxxf  22
2
2
1
21 ),,,(
n
n
xxx
xxxf
 

21 n Función de valor real de n
variables reales.
Función de
n
R R .a
302

Aclaremos la columna “descripción”.
Funciones de
2
)( xxfy 
Asocia un subconjunto de
R con un subconjunto de R .
22
),( yxyxfz 
Asocia un subconjunto de 2
R
con un subconjunto de R .
222
),,( zyxzyxfw 
Asocia un subconjunto de
n
R a m
R- :
i el dominio de una función f es n
R y el contradominio es m
RS (m y n pueden ser
iguales). Entonces f se denomina, transformación de n
R a m
R .
n m
a transformación de aR RL , se denota:
En la tabla anterior para todos los ejemplos.
ara el caso especial donde , la transformación se llama operador
3
R
con un subconjunto de R .
mn
RRf :
1m
P nm  nn
RRf :
sobre n
R .
303

Para ilustrar una forma importante en la que pueden surgir las transformaciones,
suponga que son funciones de valores reales de n variables reales.mfff ,,, 21 
 
 
 nmm
n
n
xxxfw
xxxfw
xxxfw
,,,
,,,
,,,
21
2122
2111







Estas m ecuaciones asignan un punto único  mwww ,,, 21  en m
R a cada punto
en nxxx ,,, 21   n
R . Así, definen una transformación de n
R a m
R .
Si esta transformación se denota por T , entonces mn
RRT : y
   mn wwwxxxT ,,,,,, 2121  
Expresado en forma vectorial:
T(v) = w
- Ejemplo demostrativo 1: Una transformación de 2
R a 3
R ( ).32
: RRT 
Las ecuaciones
2
2
2
13
212
211
3
xxw
xxw
xxw



Definen una transformación .32
: RRT 
Con esta transformación la imagen del punto  21, xx es
     2
2
2
1212132121 ,3,,,, xxxxxxwwwxxT 
Así, por ejemplo:
   3,6,12,1 T
- Transformaciones lineales de n
R a m
R :
En el caso de que las ecuaciones que definen la transformación
sean ecuaciones lineales la transformación se denomina transformación lineal (u
operador lineal, si ).
mn
RRT :
nm 
Así, una transformación lineal se define por ecuaciones lineales de la
forma:
mn
RRT :
304

nmnmmm
nn
nn
xaxaxaw
xaxaxaw
xaxaxaw







2211
22221212
12121111
En notación matricial:





































nmnmm
n
n
m x
x
x
aaa
aaa
aaa
w
w
w






2
1
21
22221
11211
2
1
Abreviando:
w = A x
La matriz  ijaA  se llama matriz estándar de la transformación lineal T .
Otra forma de escritura es:
  AxxTA 
- Ejemplo demostrativo 2: Una transformación lineal .34
: RRT 
Sean las ecuaciones que definen la transformación lineal:
3213
43212
43211
45
24
532
xxxw
xxxxw
xxxxw



O bien




































4
3
2
1
3
2
1
0415
1214
5132
x
x
x
x
w
w
w
Así, por ejemplo si    2,0,3,1,,, 4321 xxxx .
   8,3,12,0,3,1 T
También se usa:
   8,3,12,0,3,1 T
305

- Geometría de las transformaciones lineales:
Dependiendo de si las n – adas ordenadas se consideran puntos o vectores, el efecto
geométrico de un operador es transformar cada punto o vector ennn
RRT : n
R
en otro punto o vector en n
R .
Definición 1: Transformación lineal.
Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W , es
una función que asigna a cada vector v V un vector único T v W y que satisface,
para cada u y v en V y cada escalar  ,
  TvTuvuT  1)
  TvvT   2)
A las condiciones 1) y 2) podemos llamarlas propiedades básicas de las
transformaciones lineales.
Más adelante aprenderemos más sobre los efectos geométricos de las transformaciones
lineales.
Ejercicios resueltos (8.1, Introducción al álgebra lineal, Howard Anton, 2da ed.):
12) Considérese la base para 21,vvS   2
R , donde  1,11 v y , y sea
el operador lineal, tal que
 0,12 v 
22
: RRT 
   2,11 vT y    1,42 vT
Obtener una fórmula para y usarla para encontrar 21, xxT   3,5 T .
306

Solución:
Como sabemos este tipo de transformación (transformación lineal) se obtiene al
multiplicar por una matriz estándar, tal que,


















 1
1
2
1
dc
ba
y 

















0
1
1
4
dc
ba
Generamos 2 sistemas de ecuaciones lineales:
2
1


dc
ba
1
4


c
a
Las soluciones son:
3,1,5,4  dcba
La fórmula para una transformación lineal bajo estas condiciones en forma matricial es:
  




















2
1
2
1
21
31
54
,
x
x
w
w
xxT
O en forma de ecuaciones lineales:
212
211
3
54
xxw
xxw


O bien:
   212121 3,54, xxxxxxT 
Por ejemplo es: 3,5 T 

  


























14
35
3
5
31
54
3,5
2
1
w
w
T
Sólo MAESTROS, propuesto ACTIVIDAD CLASE/PUNTO EXTRA.
13) Considérese la base para 21,vvS  2
R , donde  1,21 v y , y sea
la transformación lineal, tal que
 3,12 v 
32
: RRT 
   0,2,11 vT  y    5,3,02 vT
Obtener una fórmula para y usarla para encontrar 21, xxT   3,2 T .
Solución:
Buscamos una matriz estándar tal que:
307




























1
2
0
2
1
fe
dc
ba




























3
1
5
3
0
fe
dc
ba
Generamos 2 sistemas de ecuaciones lineales:
02
22
12



fe
dc
ba
53
33
03



fe
dc
ba
Reacomodamos y resolvemos:
03
12


ba
ba
33
22


dc
dc
53
02


fe
fe










































 
7
110
7
301
7
110
7
602
7
110
112
170
112
031
112














































7
410
7
901
7
410
7
1802
7
410
212
470
212
331
212















 







 







 






7
1010
7
501
7
1010
0
2
11
5
2
70
0
2
11
531
0
2
11
531
012
La matriz estándar es:












105
49
13
7
1
La fórmula para esta transformación bajo las condiciones dadas es:
  





























2
1
3
2
1
21
105
49
13
7
1,
x
x
w
w
w
xxT
O bien:
   21212121 7
10
7
5,
7
4
7
9,
7
1
7
3, xxxxxxxxT 
308

Calculemos : 3,2 T
   7
20,
7
6,
7
93,2 T
14) Considérese la base para 321 ,, vvvS   3
R , donde  1,1,11 v , y
y sea el operador lineal, tal que
 0,1,12 v 


 0,0,13 v 3
R3
: RT 
   4,1,21 vT    1,0,32 vT    1,5,13 vT
Obtener una fórmula para y usarla para calcular 321 ,, xxxT   1,4,2 T .
Solución:
Buscamos una matriz estándar, tal que:
































1
1
1
4
1
2
ihg
fed
cba































0
1
1
1
0
3
ihg
fed
cba































0
0
1
1
5
1
ihg
fed
cba
Generamos los sistemas:
4
1
2



ihg
fed
cba
1
0
3



hg
ed
ba
1
5
1



g
d
a
Las soluciones son:
3,0,1,1,5,5,1,4,1  ihgfedcba












301
155
141
La fórmula para la transformación lineal  321 ,, xxxT bajo estas condiciones es:
 


































3
2
1
3
2
1
321
301
155
141
,,
x
x
x
w
w
w
xxxT
O bien:
   31321321321 3,55,4,, xxxxxxxxxxxT 
309

Calculemos  1,4,2 T :
   1,9,151,4,2 T
Sólo MAESTROS, propuesto EXAMEN/PUNTO EXTRA.
15) Considérese la base para 321 ,, vvvS  3
R , donde  1,2,11 v , y
y sea la transformación lineal, tal que
 0,9,22 v
 4,3,33 v 

2
R3
: RT 
   0,11 vT    1,12 vT    1,03 vT
Obtener una fórmula para y usarla para calcular 321 ,, xxxT   7,13,7T .
Solución:
Buscamos una matriz estándar, tal que:






















1
2
1
0
1
fed
cba






















0
9
2
1
1
fed
cba






















4
3
3
1
0
fed
cba
Generamos los sistemas:
02
12


fed
cba
192
192


ed
ba
1433
0433


fed
cba
Reagrupando, tenemos 2 sistemas de 3 x 3:
192
0433
12



ba
cba
cba
192
1433
02



ed
fed
fed



































3250
1
3
110
1121
3250
3130
1121
1092
0433
1121


































1250
3
1
3
110
0121
1250
1130
0121
1092
1433
0121
310










 





























24100
9010
41001
24100
1
3
110
1
3
501
8
3
100
1
3
110
1
3
501








































8100
3010
14001
8100
3
1
3
110
3
2
3
501
3
8
3
100
3
1
3
110
3
2
3
501








8314
24941
La fórmula para cualquier transformación lineal  321 ,, xxxT bajo estas condiciones es:
 

























3
2
1
2
1
321
8314
24941
,,
x
x
x
w
w
xxxT
O bien:
   321321321 8314,24941,, xxxxxxxxxT 
Calculemos : 7,13,7T
   3,27,13,7 T
311

5.2 Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción,
rotación).
- Operadores reflexión:
Considerar el operador que transforma a cada vector en su imagen
simétrica con respecto al eje y.
22
: RRT 
Si se hace w = T(x), entonces las ecuaciones que relacionan las componentes de x y w
son:
yxyw
yxxw


0
0
2
1
O bien, en forma matricial:


















y
x
w
w
10
01
2
1
Es claro que la matriz estándar de esta transformación es:






10
01
En general, los operadores sobre 2
R y 3
R que transforman cada vector en su imagen
simétrica con respecto a alguna recta o plano se llaman operadores reflexión.
A continuación se presentan los operadores reflexión más comunes.
Operador: Reflexión respecto al eje y.
yw
xw


2
1






10
01
312

Operador: Reflexión respecto al eje x.
yw
xw


2
1






10
01
Operador: Reflexión respecto a la recta y = x.
xw
yw


2
1



1
0



0
1
Operador: Reflexión respecto al plano xy.
zw
yw
xw



3
2
1










100
010
001
313

Operador: Reflexión respecto al plano xz.
zw
yw
xw



3
2
1











100
010
001
Operador: Reflexión respecto al plano yz.
zw
yw
xw



3
2
1










100
010
001
- Operadores dilatación y contracción:
Si es un escalar NO negativo, entonces el operador T(x) = k x sobrek 2
R o 3
R se
denomina contracción con factor k si 10  k , y dilatación con factor si .k 1k
El efecto geométrico de una contracción es comprimir cada vector, y el efecto de la
dilatación es estirar cada vector.
Una contracción comprime 2
R o 3
R uniformemente hacia el origen desde todas las
direcciones, y una dilatación estira 2
R o 3
R desde el origen hacia todas las direcciones.
314

La contracción más extrema ocurre cuando 0k , en cuyo caso T(x) = x se reduce al
operador CERO T(x) = 0, que comprime cada vector a un punto, el origen.
k
Si , entonces T(x) = k x se reduce al operador identidad T(x) = x, que deja sin
cambio cada vector.
1k
El lector familiarizado con el concepto de “por ciento” (%) entiende que equivale
al 100% del vector dado.
1k
Así, entrega un vector del 50% del tamaño del vector original. Y entrega
un vector 2 veces más largo que el vector original (200%).
5.k 2k
A continuación se muestran operadores dilatación y contracción comunes en 2
R y
3
R .
Operador: Contracción con factor sobrek 2
R .
kyw
kxw


2
1
10
0
0







k
k
k
Operador: Dilatación con factor k sobre 2
R .
kyw
kxw


2
1
1
0
0







k
k
k
315

Operador: Contracción con factor sobrek 3
R .
kzw
kyw
kxw



3
2
1
10
00
00
00











k
k
k
k
Operador: Dilatación con factor k sobre 3
R .
kzw
kyw
kxw



3
2
1
1
00
00
00











k
k
k
k
- Operadores proyección:
Considerar el operador que transforma cada vector en su proyección
ortogonal sobre el eje x.
22
: RRT 
Las ecuaciones que relacionan las componentes de x y w = T(x) son:
000
0
2
1


yxw
xyxw
316

O en forma matricial:


















y
x
w
w
00
01
2
1
Así, la matriz estándar de la transformación lineal es:






00
01
En general un operador proyección (o más precisamente un operador proyección
ortogonal) sobre 2
R o 3
R es cualquier operador que transforma cada vector en su
proyección ortogonal sobre una recta o un plano que pasan por el origen.
A continuación se muestran algunos operadores proyección sobre 2
R y 3
R .
Operador: Proyección ortogonal sobre el eje x.
02
1


w
xw



00
01
yw
w




Operador: Proyección ortogonal sobre el eje y.

2
1 0






10
00
317

Operador: Proyección ortogonal sobre el plano xy.
03
2
1



w
yw
xw










000
010
001
Operador: Proyección ortogonal sobre el plano xz.
zw
w
xw



3
2
1
0










100
000
001
Operador: Proyección ortogonal sobre el plano yz.
zw
yw
w



3
2
1 0










100
010
000
318

- Operadores rotación:
Un operador que hace girar TODO vector en 2
R hasta describir un ángulo fijo se
denomina operador rotación sobre 2
R .
Considere el operador rotación que hace girar en sentido contrario a las manecillas del
reloj (sentido positivo trigonométrico) cada vector por un ángulo positivo fijo  .
Para encontrar ecuaciones que relacionen x y w = T(x), sea el ángulo  la abertura
desde el eje x positivo a x, y sea r la longitud común de x y w.
Entonces por trigonometría básica, tenemos:
cosrx  rseny 
Y
   cos1 rw    rsenw2
Usando identidades trigonométricas, tenemos:
Recurso: cos cos sen sen  bacos a b  a b
sen cos  basen a b  cos sena b


senrrsenw
senrsenrw
coscos
coscos
2
1


Como cosrx  y rseny  , tenemos:


cos
cos
2
1
yxsenw
ysenxw


T es un operador lineal, su matriz estándar es:





 


cos
cos
sen
sen
319

Operador: Rotación a través de un ángulo  .


cos
cos
2
1
yxsenw
ysenxw







 


cos
cos
sen
sen
- Ejemplo demostrativo 1: Una transformación lineal de rotación.
Si cada vector x = en





y
x 2
R se hace girar un ángulo (ángulo de rotación)
 30
6
 , entonces la imagen w bajo esa transformación es:
w =



























 













 






yx
yx
y
x
y
x
sen
sen
w
w
2
3
2
1
2
1
2
3
2
3
2
1
2
1
2
3
6
cos
6
66
cos
2
1


[+ Triángulo 30°]
Por ejemplo, la imagen del vector x = bajo esa transformación es:





1
1
w =





























 
2
31
2
13
1
1
2
3
2
1
2
1
2
3
 1,1T
1) Encontrar el dominio y el codominio de la transformación definida por las
ecuaciones, y determinar si la transformación es lineal.
a)
3212
3211
85
423
xxxw
xxxw


Solución:
El dominio es TODOS los vectores de la forma  321 ,, xxx ( 3
R ), el codominio (o
contradominio) es TODOS los vectores de la forma  3213 85,4 xxxx 2x1 23x 
( 2
R ).
320

La transformación es lineal, puesto que, se define con ecuaciones lineales.23
: RRT 
b)
213
2112
2211
3
2
xxw
xxxw
xxxw



32
: RRT  NO es una transformación lineal, puesto que, sus ecuaciones NO son
lineales.
Su dominio es 2
R y su contradominio 3
R .
5) Encontrar la matriz estándar para la transformación lineal T definida por la fórmula.
a)    21211221 ,3,,, xxxxxxxxT 
Solución:
Tenemos una transformación lineal :42
: RRT 
  































2
1
4
3
2
1
21,
x
x
hg
fe
dc
ba
w
w
w
w
xxT
Es fácil obtener los valores de los componentes de la matriz estándar.
Así, la matriz estándar es:














11
31
01
10
b)    13243214321 ,,27,,, xxxxxxxxxxxT 
Solución:
Tenemos una transformación lineal .34
: RRT 
321

 




































4
3
2
1
3
2
1
4321
0001
0110
1127
,,,
x
x
x
x
w
w
w
xxxxT












0001
0110
1127
c)    0,0,0,0,0,, 321 xxxT 

Solución:
Tenemos una transformación CERO, .53
: RRT 
 












































3
2
1
5
4
3
2
1
321
000
000
000
000
000
,,
x
x
x
w
w
w
w
w
xxxT
















000
000
000
000
000
d)    3123144321 ,,,,,,, xxxxxxxxxxT 
Solución:
Tenemos una transformación lineal .54
: RRT 
 















































4
3
2
1
5
4
3
2
1
4321
0101
0010
0100
0001
1000
,,,
x
x
x
x
w
w
w
w
w
xxxxT
322

















 0101
0010
0100
0001
1000
8) Por medio de la multiplicación matricial hallar la reflexión de  2,1 con respecto a:
a) El eje x.
b) El eje y.
c) La recta y = x.
Solución:
a)   





















2
1
2
1
10
01
2,1T
b)   


















2
1
2
1
10
01
2,1T
c)   



















1
2
2
1
01
10
2,1T
9) Usar la multiplicación matricial para encontrar la reflexión de  3,5,2  respecto al
a) Plano xy b) Plano xz c) Plano yz
a)  



































3
5
2
3
5
2
100
010
001
3,5,2T
b)  

































3
5
2
3
5
2
100
010
001
3,5,2T
c)  



































3
5
2
3
5
2
100
010
001
3,5,2T
323

Sólo MAESTROS, propuesto ACTIVIDAD/CLASE.
11) Utilizar la multiplicación matricial para encontrar la proyección ortogonal de
sobre el 3,1,2 

a) Plano xy b) Plano xz c) Plano yz
a)  
































0
1
2
3
1
2
000
010
001
3,1,2T
b)  
































3
0
2
3
1
2
100
000
001
3,1,2T
c)  
































3
1
0
3
1
2
100
010
000
3,1,2T
12) Usar la multiplicación matricial para encontrar la imagen del vector cuando
se hace girar un ángulo de
 4,3 
a)  30 b)  60 c)  45 d)  90
a)  




























 















32
2
3
2
2
33
4
3
2
3
2
1
2
1
2
3
4
3
30cos30
3030cos
4,3
sen
sen
T
[triángulo 30°]
b)  
   
   














































2
2
33
32
2
3
4
3
2
1
2
3
2
3
2
1
4
3
60cos60
6060cos
4,3
sen
sen
T
[triángulo 30°]
c)  









































 















2
2
2
27
2
1
2
7
4
3
2
1
2
1
2
1
2
1
4
3
45cos45
4545cos
4,3
sen
sen
T
[triángulo 45°]
324

d)   
















 















3
4
4
3
01
10
4
3
90cos90
9090cos
4,3
sen
sen
T
5.3 Definición de núcleo o kernel, e imagen de una transformación lineal.
La palabra kernel (núcleo) se deriva de la palabra del ingles antiguo “cyrnel”, una
forma de “corn”, que significa semilla o grano.
El kernel es el núcleo de una transformación lineal, en el sentido que lleva
información acerca de muchas de las propiedades de la transformación.
Definición 1: Núcleo e imagen de una transformación lineal.
Sean y W 2 espacios vectoriales y sea una transformación lineal.
Entonces
V WVT :
1) El núcleo de T , denotado por nuT (o Tker ), está dado por:
nuT {v V T: v = 0}
2) La imagen de T , denotada por imT o imagenT , esta dada por:
imT {T (v): v } = {wV W : w = T (v) para algún v }V
Observación 1: Sobre el núcleo.
Observe que en NO vacío porque,nuT T (0) = 0 de manera que 0 nuT para cualquier
transformación lineal T . Se tiene interés en encontrar otros vectores en V que “se
transformen” en 0.
De nuevo, observe que cuando escribimos
T (0) = 0
El cero de la izquierda esta en V y el de la derecha en W .
Observación 2: Sobre la imagen.
La imagen de T (im es simplemente el conjunto de “imágenes” de los vectores en V
jo la transformación
T )
ba T .
De hecho, si w = T (v), se dice que w es la imagen de v bajo T .
Antes de dar ejemplos de núcleos e imágenes, se demostrará un teorema útil.
325

Teorema 1:
Si es una transformación lineal, entonces:WVT :
1) nuT es un subespacio de V .
2) imT es un subespacio de W .
- Ejemplo demostrativo 1: Núcleo e imagen de un operador de proyección.
Sea definida por ,33
: RRT 





















0
y
x
z
y
x
T 3
T es el operador de proyección de R
sobre el plano xy.






















0
y
x
z
y
x
T 0











0
0
0
Entonces .0 yx
Así, eje z.   0:,, yxzyxnuT
Y = plano xy.  RyxzzyximT  ,;0:,,
Observe que y1dim nuT 2dim imT .
1 – 10 Encuentre la matriz estándar, núcleo e imagen de la transformación lineal dada.
2) 

















y
z
z
y
x
TRRT ;: 23

































z
y
x
w
w
z
y
x
T
010
100
2
1






010
100
326

El núcleo de T es:

















y
z
z
y
x
T = 0 = 





0
0
  0:,,ker  yzzyxT = eje x
1kerdim T
La imagen es:
  RyzyzimT  ,:, = plano yz
2Imdim T
4) 





















wy
zx
w
z
y
x
TRRT ;: 24





































w
z
y
x
w
w
w
z
y
x
T
1010
0101
2
1






1010
0101
El núcleo de T es:





















wy
zx
w
z
y
x
T 0 = 


0
0
  wyzxwzyxnuT  ,:,,,
La imagen de T es:
  RwzyxwyzximT  ,,,;,
327

Sólo MAESTROS, propuesto PUNTO EXTRA/CLASE.
10) ;22
: RRT  T es una rotación de
3
 .















 













 












y
x
y
x
sen
sen
w
w
y
x
T
2
1
2
3
2
3
2
1
3
cos
3
33
cos
2
1











 





2
1
2
3
2
3
2
1
3
cos
3

sen



 
3
3
cos


sen
El núcleo es:



























2
3
2
3
2
1
yx
yx
w
w
y
x
T 0 




0
0
  xyyxyxnuT 3,3:, 
Como el conjunto anterior NO EXISTE, puesto que, sus condiciones NO pueden ser
simultáneas, tenemos:
  0:,  yxyxnuT
nuT {0}
La imagen de T es:















 
 Ryx
yxyx
imT ,:
2
3
,
2
3
15) Encuentre todas las transformaciones lineales de 2
R en 2
R , tales que, la recta 0y
se transforma en la recta .0x
Solución:







0
x
v  describe el conjunto de vectores (puntos) sobre la recta .Rx  0y
Usaremos un operador rotación con
2
90   .
328


















 













 






x
xx
sen
senx
T
0
001
10
0
2
cos
2
22
cos
0 













x
x
T
0
0
 describe el conjunto de vectores (puntos) sobre la recta . 0xRx 
Es claro que el conjunto de todas las transformaciones lineales bajo esta condición es:
Rcba
x
cb
ax
T 

















,,;
0
0
0
O bien:












2
1
0 w
wx
T
kxw
w


2
1 0
 Rk 
17) Encuentre una transformación lineal tal que33
: RRT 
  02:,,  zyxzyxnuT
Solución:






















3
2
1
w
w
w
z
y
x
T 0











0
0
0
















































zyx
zyx
zyx
z
y
x
z
y
x
T
2
2
2
112
112
112
= 0











0
0
0
La transformación lineal es:
329




































zyx
zyx
zyx
w
w
w
z
y
x
T
2
2
2
3
2
1
   zyxzyxzyxzyxT     2,2,2,,
0Es claro que 0 , cuando 2










z
y
x
T











0
0
0
  zyx .
18) Encuentre una transformación lineal tal que33
: RRT 
  02:,,  zyxzyximT
Solución:
Buscamos una transformación lineal que transforme vectores de la forma en
vectores sobre el plano
3
R
z
y
x











3
3
2
1
R
w
w
w











02   zyx .
Si x y pueden variar libremente yy   3
,, Rzyx  .




































































1
1
0
2
0
10
2
0
2
yx
y
y
x
x
yx
y
x
z
y
x
Así, y son una base para










 2
0
1










1
1
0
TIm  2dim imT .
Cualquier vector de TIm se puede expresar como una combinación lineal.












































1
1
0
2
0
1
3
2
1
yx
w
w
w
z
y
x
T Ryx ,
Así, el conjunto de TODOS los vectores generador por T ( ) tiene la forma:imT

































yx
y
x
w
w
w
z
y
x
T
23
2
1
Adecuando el resultado a nuestras necesidades ( ), tenemos:33
: RRT 
330
























































yx
y
x
z
y
x
w
w
w
z
y
x
T
2012
010
001
3
2
1
O bien:
yxw
yw
xw



23
2
1
   yxyxzyxT   2,,,,
yxzLa condición se cumple, puesto que, para TODO ,










z
y
x
T 2 .
Es decir, 02  zyx .
5.4 La matriz de una transformación lineal y representación matricial de una
transformación lineal.
El lector atento notará que ya estamos familiarizados con esta notación, pero, haremos
algunas aclaraciones.
Si es una matriz de m x n y está definida porA mn
RRT : T (x) = x,A T es una
transformación lineal definida por la multiplicación de x (x n
R ) y una matriz.
Hemos llamado a matriz estándar (o matriz de transformación).A
Ahora se verá que para TODA transformación lineal de n
R en m
R existe una matriz
de m x n, tal que
A
T (x) = x xA n
R
Así, para evaluar T (x) para cualquier x n
R basta una multiplicación de matrices.
Cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se
puede representar con una matriz.
Teorema 1:
Sea una transformación lineal.mn
RRT :
Entonces EXISTE una matriz única de m x n denotada (algunos autores ocupan
), tal que
A
TA
T (x) = x xA n
R
Este teorema supone que TODO vector en n
R y m
R está expresado en términos de los
vectores de la base estándar en esos espacios.
331

Definición 1: Matriz de transformación.
La matriz (o simplementeTA A ), tal que T (x) = A x, se llama matriz de
transformación o representación matricial de T .
Nota: La matriz de transformación está definida usando las bases estándar tanto enTA
n
R como en m
R . Por esto también se llama matriz estándar. Si se usan otras
bases se obtendrá una matriz de transformación diferente.
- Ejemplo demostrativo 1: Representación matricial de una transformación de
proyección.
Encuentre la matriz de transformación correspondiente a la proyección de un
vector en
TA
3
R sobre el plano xy.
Solución:
































03
2
1
y
x
w
w
w
z
y
x
T










































0000
010
001
y
x
z
y
x
z
y
x
T [Representación matricial]
La matriz de transformación es:










000
010
001
- Ejemplo demostrativo 2: Representación matricial de una transformación de 3
R
en 4
R ( ).43
: RRT 
Defina por43
: RRT 



























zyx
zyx
zy
yx
z
y
x
T
2
2
332


















































z
y
x
w
w
w
w
z
y
x
T
211
112
110
011
4
3
2
1
[Representación matricial]
La matriz de transformación es:















211
112
110
011
- Ejemplo demostrativo 3: Representación matricial de una transformación de
rotación en 2
R .
Sabemos que si T es la función que rota a TODO vector en 2
R un ángulo  su matriz
de transformación es:
TA 




 


cos
cos
sen
sen
La representación matricial de T es:











 






y
x
sen
sen
y
x
T


cos
cos
Teorema 2:
Sean un espacio vectorial de dimensión , un espacio vectorial de dimensión
y T una transformación lineal. Sea
V
:
n W
m WV   nvvv ,,, 21 B1  una base para V y
sea una base para W . Entonces EXISTE una matriz única de
m x n, tal que
una base para W . Entonces EXISTE una matriz única de
m x n, tal que
 ww ,, 21 mw,B2  TATA
     12 BTB xAxT 
Nota: En este caso la matriz de transformación NO puede llamarse matriz
estándar.
Nota: En este caso la matriz de transformación NO puede llamarse matriz
estándar.
TATA
333

Observación:
Si ,Vx  nnvcvcvcx   2211
A
, entonces   . Sea ,
entonces es un m – vector que se denota . Así,













n
B
c
c
c
x

2
1
1












md
d
d

2
1













nc
c
c
c

2
1
cT d
  













m
B
d
d
d
xT

2
1
2
Es decir,
  mm wdwdwdxT  2211
Así, la unicidad de es relativa a las bases y . Si las bases cambian,
cambia. Si se usan bases estándar, es la matriz estándar que ya conocemos.
TA 1B 2B TA
TA
- Ejemplo demostrativo 4: Representación matricial relativa a 2 bases NO estándar
en 2
R .
Defina por . Usando las bases .
Calcule .
22
: RRT  













yx
yx
y
x
T




















2
3
1
1
21 BB
TA
Solución:
Ocuparemos TODO lo aprendido sobre cambio de base (espacios vectoriales) y lo
aplicaremos a transformaciones lineales.
R es:









21
31
A
Hallemos .1
 AC
































1110
3201
1110
0131
1110
0131
1021
0131
R a es:1B
334










11
32
C
Así,
1
32
11
32
B
yx
yx
y
x
y
x




























Y tenemos,
11
2
53322
11
32
BB
x
yx
yxyx
yxyx
yx
yx
yx
yx








































Adecuemos la información a nuestras necesidades.






















yx
yx
dc
ba
x
yx 32
2
5
   
   























ydcxdc
ybaxba
dydxcycx
bybxayax
x
yx
32
32
32
32
2
5

Generamos 2 sistemas de ecuaciones de 2 x 2.
13
52


ba
ba
03
22


dc
dc





 

































1710
601
1710
2
5
2
11
2
17
2
10
2
5
2
11
113
2
5
2
11
113
512





 

































610
201
610
1
2
11
3
2
10
1
2
11
013
1
2
11
013
212
Finalmente la matriz de transformación que buscamos es:









62
176
TA
335

Que es la matriz de transformación de T respecto a la base .




















2
3
1
1
21 BB
Nota: Para evitar confusión, a menos que se establezca lo contrario explícitamente,
SIEMPRE calcularemos respecto a la base canónica.TA
Teorema 3:
Sea una transformación lineal. Suponga que es la matriz de
transformación de
mn
RRT : C
T respecto a las bases estándar y ennS mS n
R y m
R ,
respectivamente.
Sea la matriz de transición de a la base en1A 1B nS n
R y sea la matriz de
transición de a la base en
2A
2B mS m
R .
Si denota la matriz de transformación deTA T respecto a las bases y ,
entonces
1B 2B
1
1
2 CAAAT


Más adelante se verá que dada una transformación de n
R en n
R
( ), con frecuencia es posible encontrar una basenn
RRT : B tal que la matriz de
transformación de T respecto a B es diagonal.
1 – 30 Encuentre la matriz de transformación , , de la transformación
lineal
TA nuT imT
T . A menos que se especifique lo contrario, suponga que y son bases
canónicas.
1B 2B
2) T ;32
: RR 



















yx
yx
yx
y
x
T
32
Hallemos :TA






















y
x
y
x
T
32
11
11
Así, la matriz de transformación es:
336












32
11
11
TA
Hallemos nuT ( ):Tker



















yx
yx
yx
y
x
T
32
= 0 =










0
0
0
Las condiciones son: ,0 yx 0 yx , 032  yx .
La única forma de satisfacer simultáneamente las 3 condiciones es 0 yx .
Así,
Tker {0}
Hallemos la imagen:
  RyxyxyxyximT  ,;32,,
Ocupando la información de la matriz de transformación, tenemos:
































3
1
1
,
2
1
1
genimT 2dim imT
33
: RR 
6) T ;
























zyx
zyx
zyx
z
y
x
T
363
242
2
Hallemos :TA


































z
y
x
z
y
x
T
363
242
121
Así, la matriz de transformación es:













363
242
121
TA 
Hallemos nuT :
337

























zyx
zyx
zyx
z
y
x
T
363
242
2
= 0 =










0
0
0
Evaluemos el sistema homogéneo:
21, RR y son múltiplos escalares, por lo tanto,
el sistema homogéneo tiene número infinito de
soluciones.
3R













0
0
0
363
242
121
El conjunto de soluciones se representa por
02  zyx
Si x y varían libremente y  :y  3
,, Rzyx 




































































2
1
0
1
0
1
2
0
0
2
yx
y
y
x
x
yx
y
x
z
y
x
Entonces,































2
1
0
,
1
0
1
gennuT
  RzyxzyxzyxnuT  ,,;02:,,
El núcleo corresponde al plano en 3
R , 02  zyx .
2dim nuT
Hallemos imT :
  RzyxzyxzyxzyximT  ,,;363,242,2
Por la matriz de transformación sabemos:




































































3
2
1
3
2
1
6
4
2
3
2
1
gengenimT
La imagen corresponde a la recta en 3
R con ecuaciones paramétricas,
.tztytx 3,2, 
1dim imT
338

Sólo MAESTROS, propuesto PUNTO EXTRA.
12) T ; ; ;32
: RR 


















y
yx
yx
y
x
T 2



















2
1
1
2
1B









































5
2
0
0
2
0
0
1
1
2B
Hallemos .TA
Recurso:
1
1
2 CAAAT


La matriz de transición de a es:1B 2S







21
12
1A
La matriz de transición de a es:2B 3S











500
221
001
2A









 























100500
001001
010221
100500
001001
010221
100500
010221
001001









 










 
100500
0
2
1
2
1110
010221
100500
011220
010221




































5
100100
5
1
2
1
2
1010
001001
5
100100
0
2
1
2
1110
001001
100500
0
2
1
2
1110
001001
La matriz de transición de a es:3S 2B














5
100
5
1
2
1
2
1
001
1
2A
339

La matriz de transformación para T en la base estándar es:


















y
yx
yx
y
x
T 2















 













y
x
y
yx
yx
10
12
11
2









 

10
12
11
C
Finalmente es:TA



































 













21
12
5
10
5
1
2
3
11
21
12
10
12
11
5
100
5
1
2
1
2
1
001
TA











 

5
2
5
1
10
11
5
14
11
TA
 























 













5
2
10
11
1
5
1
5
14
1
2 genimT B
340

5.5 Transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales.
Como hemos visto los conceptos de transformación y sistema de ecuaciones
se encuentran relacionados, puesto que, para una transformación de la forma:
T(x) = w
Cada componente de w se define como una función de x.
- Ejemplo demostrativo 1: La relación entre una transformación y un sistema de
ecuaciones.
Sea la transformación definida por:32
: RRT 
 











3
2
1
w
w
w
wxT   2
21, Vxxx 
Donde
2
213
2
3
12
2
11
2
2
xxw
xxw
xw



Es claramente un sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas.
Si la transformación, está definida por ecuaciones lineales se llama
transformación lineal, y las ecuaciones que la definen se puede interpretar como un
sistema de ecuaciones lineales de m x n.
Donde el conjunto de partida (le hemos llamado generalmente x) se define en
n
R y el conjunto de llegada (le hemos llamado generalmente w) se define en m
R .
Recuerde que una transformación lineal puede ser definida como una
multiplicación de matrices.
Si la transformación lineal se define T(x) = w = A x, la matriz de
transformación A es de m x n y la matriz (vector) x es de n x 1. Por la definición de
producto de matrices, tenemos que T(x) = w es una matriz (vector) de m x 1.
En otras palabras hemos generado una imagen de x definido en n
R , llamada w
definida en m
R .
Así, una transformación lineal se define por un sistema de
ecuaciones lineales de la forma:
mn
RRT :
341

mnmnmm
nn
nn
wxaxaxa
wxaxaxa
wxaxaxa







2211
22222121
11212111
En notación matricial:





































mnmnmm
n
n
w
w
w
x
x
x
aaa
aaa
aaa





2
1
2
1
21
22221
11211
Abreviando:












mmnmm
n
n
w
w
w
aaa
aaa
aaa





2
1
21
22221
11211
Hemos aclarado esta relación entre transformaciones lineales y sistemas de
ecuaciones lineales, puesto que, resulta útil poder determinar x de T(x) = w si
conocemos la matriz (vector) w.
Lo cual, se hace resolviendo un sistema de ecuaciones lineales de la forma:
mnmnmm
nn
nn
wxaxaxa
wxaxaxa
wxaxaxa







2211
22222121
11212111
- Ejemplo demostrativo 2: Hallar el vector x de T(x) = w conociendo w para
.34
: RRT 
Tomaremos el ejemplo demostrativo 2 (pp. 305) y hallaremos x  4321 ,,, xxxx 4
R si
w =   y831 24 x .
Nuestra matriz aumentada es:













80415
31214
15132
Como ( variable libre), tenemos 1 variable libre, .mn  134  mn tx 4
342

Resolvamos el sistema:

















































2
2511
2
3
2
130
111470
2
51
2
1
2
31
8415
3214
2
51
2
1
2
31
8415
3214
51132
t
t
t
t
t
t
t








































7
1632
4
7300
7
111
7
410
7
5
7
501
2
2511
2
3
2
130
7
111
7
410
2
51
2
1
2
31
t
t
t
t
t
t








































73
3264
100
73
13347
010
511
73365
001
73
3264
100
7
111
7
410
7
5
7
501
t
t
t
t
t
t
Comprobación:
 
  1
511
511
511
146365
511
273365
3
73
219
73
26647
73
213347
0
2
1
2
3
4














x
x
x
x
En efecto, bajo esta transformación:
   8,3,12,0,3,1 T
Es sencillo notar que esto es particularmente útil para operadores lineales
.nn
RRT :
343

5.6 Álgebra de las transformaciones lineales.
A continuación desarrollaremos algunas propiedades básicas de las
transformaciones lineales.
Teorema 1:
Sea una transformación lineal. Entonces para todos los vectores
en V y todos los escalares
WVT :
nv,vvvu ,,,, 21 n ,,, 21  :
1) T (0) = 0
2)     vTuTvuT  
3)        nnnn vTvTvTvvvT    22112211
Un hecho importante sobre las transformaciones lineales es que están
completamente determinadas por el efecto sobre los vectores de la base.
Teorema 2:
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base .
Sean , n vectores en W . Suponga que y son 2 transformaciones
lineales de V en W tales que
 nvvvB ,,, 21 
nwww ,,1 ,2  1T 2T
    ii wvTivT  21 para n,i 1 ,2,  . Entonces para
cualquier vector ,Vv     v 1 TTTvT 21  ; es decir, 2 .
El teorema 2 dice que si y tiene dimensión finita, entonces sólo es
necesario conocer el efecto de
WVT : V
T sobre los vectores de la base en V . Esto es, si se
conoce la imagen de cada vector básico, se puede determinar la imagen de cualquier
vector en V ( ).Vv 
Esto determina T por completo. Para ver esto, sean una base en V
y sea otro vector en V , tenemos:
nvvv ,,, 21 
v
 vT      nn vTvTvT   2211
Así, se puede calcular  vT para cualquier vector Vv  si se conocen
.     nvTvTvT ,,, 21 
Si se conoce el efecto de una transformación lineal sobre los vectores de la base,
entonces se conoce el efecto sobre cualquier otro vector.
344

Sea T una transformación lineal de 3
R en 2
R ( ) y suponga que
, y .
23
: RRT 

















3
2
0
0
1
T 
















4
1
0
1
0
T 

















3
5
1
0
0
T
Calcule .











5
4
3
T
Solución:
Se tiene .












































1
0
0
5
0
1
0
4
0
0
1
3
5
4
3
Entonces












































1
0
0
5
0
1
0
4
0
0
1
3
5
4
3
TTTT


























































22
35
15
25
16
4
9
6
3
5
5
4
1
4
3
2
3
5
4
3
T
Surge otra pregunta: si son n vectores en W , ¿Existe una
transformación lineal
nwww ,,, 21 
T tal que   ii wvT  para ni ,,2,1  ? La respuesta es sí, como
lo muestra el siguiente teorema.
Teorema 3:
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base  nvvvB ,,, 21  . Sea
un espacio vectorial que contiene los vectores . Entonces existe una
transformación lineal única tal que
W nwww ,,, 21 
WVT :   ii wvT  para ni ,,2,1  .
Observación: En los teoremas 2 y 3 los vectores NO tienen que ser
independientes y, de hecho, ni siquiera tienen que ser diferentes.
nwww ,,, 21 
Más aún, se hace hincapié en que los teoremas se cumplen si V es
cualquier espacio vectorial de dimensión finita, NO sólo n
R .
Observe también que la dimensión de W NO tiene que ser finita.
345

- Ejemplo demostrativo 2: Definición de una transformación lineal de 2
R en un
subespacio de 3
R .
Encuentre una transformación lineal de 2
R en el plano





















 032: zyx
z
y
x
W
Solución:
Sabemos que W es un subespacio definido con 2 dimensiones en 3
R ( ).2dim W
Primero hallamos los vectores básicos de W :
y pueden variar y , tenemos:3
R
z
y
x











x ySi











































1
3
0
0
2
1
32 zx
z
zx
x
z
y
x
Así, es una base para W .






























1
3
0
,
0
2
1
Adecuando la información a nuestras necesidades, tenemos:
































y
yx
x
y
x
y
x
T 32
10
32
01
346

5.7 Aplicaciones de las transformaciones lineales.
- Interpretación geométrica de la transformación de 2
R a 3
R  32
: RRT  :
Función inyectiva: Regla de correspondencia entre 2 conjuntos tal que cada elemento
del conjunto de llegada tiene como máximo un antecedente en el
conjunto de partida.
Sea V un subespacio (vectorial) de 3
R y W un subespacio de 2
R . Si es
una función inyectiva, la transformación nos brinda una interpretación de cada punto
(vector)  en
WVT :
 3
,, Rzyx  2
R .
De igual forma nos brinda una interpretación del punto (vector)
en
32
: RRT 
3
  2
Ryx  R .
- Ejemplo demostrativo: Interpretación geométrica de una transformación lineal
de 3
R en 2
R  23
: RRT  , su núcleo e imagen.
Sea T ;23
: RR  
















y
z
z
y
x
T
  0:ker  zyzyxT = eje x
1kerdim T
  RyzyzimT  ,: = plano yz
2dim imT
347

348
terpretación geométrica:In
Maple:
[[t,0,0],[0,t,s]],t=-100..100,s=-
100..100,lightmodel=light2,axes=boxed,scaling=constrained,grid=[2,2],
transparency=.3);
plot3d(

UNIDAD 6: Valores y vectores característicos.
6.1 Definición de valores y vectores característicos de una matriz cuadrada.
Introducción:
En esta unidad, para una matriz cuadrada nos preguntaremos si existen
vectores x distintos de CERO (x
A
 0) tales que, x sea justamente un múltiplo escalar
de x.
A
Si es una matriz n x n (cuadrada) y x es un vector enA n
R , entonces NO hay
ninguna relación geométrica general entre el vector x y el vector x. Sin embargo, a
menudo existen ciertos vectores x diferentes de CERO tales que, x y x so múltiplos
escalares.
A
A
Estos vectores surgen de manera natural en el estudio de las vibraciones,
sistemas eléctricos, genética, mecánica cuántica, esfuerzo mecánico y otras.
Definición: Eigenvalor y eigenvector.
Sea A una matriz de n x n con componentes reales. El número  (real o complejo) se
llama eigenvalor (valor propio o valor característico) de si existe un vector
diferente de CERO v en tal que:
A
n
C
A x =  x
El vector v 0 se llama eigenvector de correspondiente al eigenvalor A  .
Nota: El adjetivo alemán eigen significa “propio” o “característico de”.
Los eigenvalores también se llaman valores propios o valores característicos.
En este texto usaremos los 3 términos.
- Interpretación geométrica de los eigenvectores:
Si A es una matriz de n x n,  se denomina eigenvalor de si EXISTE un
vector x  0 tal que:
A
349

 AIx =  x o equivalentemente
Los vectores x  0 que satisfacen la ecuación se denominan eigenvectores de
correspondientes al eigenvalorA  .
Los eigenvalores y eigenvectores también se pueden definir para operadores
lineales en n
R ; estas definiciones son paralelas a las correspondientes para matrices.
Definición:
Si es un operador lineal, entonces el escalarnn
RRT :  se denomina eigenvalor de
T si en n
R EXISTE un vector x  0 tal que
Los vectores x  0 se llaman eigenvectores (vectores propios o vectores
característicos) de T correspondientes al eigenvalor (valor propio o valor
característico)  .
Note que si es la matriz estándar de c podemos escribir:A
De donde se deduce:
1) Los eigenvalores de T son precisamente los eigenvalores de su matriz estándar
A .
2) x es un eigenvector de T correspondiente a  si y sólo si x es un eigenvector
de A correspondiente a  .
Si  es un eigenvalor de y x es su eigenvector correspondiente, entonces x =A A
 x de modo que la multiplicación de A “transforma” x en un múltiplo escalar de sí
mismo.
En 2
R y 3
R , esto significa que la multiplicación por A “transforma” cada
eigenvector x en un vector x múltiplo escalar de si mismo.A
A x =  x
A  x = 0
T (x)  x
350

6.2 Polinomio y ecuación característica.
- Sistemas lineales de la forma x =A  x:
Muchas aplicaciones del álgebra lineal están relacionadas con sistemas de n ecuaciones
lineales con n incógnitas de la forma:
A x =  x
Donde  (lambda) es un escalar. Estos sistemas son realmente sistemas lineales
homogéneos, ya que podemos escribir:
 AI  x = 0
- Ejemplo demostrativo 1: Un sistema lineal x =A  x.
Sea el sistema:
221
121
24
3
xxx
xxx




En forma matricial:


















2
1
2
1
24
31
x
x
x
x
 [ x =  x]A
Reacomodando términos:
























0
0
24
31
2
1
2
1
x
x
x
x

351































0
0
24
31
10
01
2
1
2
1
x
x
x
x

























2
1
24
31
10
01
x
x
 0














2
1
24
31
x
x


0








24
31


 AI
El problema esencial es determinar los valores para los cuales el sistema lineal
NO tiene solución trivial; ese valor de  se llama valor característico o eigenvalor
(valor propio) de A .
Si  es un eigenvalor de , entonces las soluciones NO triviales deA
 AI  x = 0
Se denominan eigenvectores de correspondientes al eigenvalorA  .
Como sabemos el sistema homogéneo  AI  x = 0 tiene solución NO trivial (número
infinito de soluciones) si y sólo si:
  0det  AI [Ecuación característica]
Esta se denomina ecuación característica de A ; los eigenvalores de A se pueden
encontrar resolviendo esta ecuación para  .
- Ejemplo demostrativo 2: Determinación de los eigenvalores y eigenvectores de
una matriz n x n.
La ecuación característica de A es:
  0
24
31
det 





 AI [Ecuación característica]
(Vea ejemplo demostrativo 1)
O bien
012232
 
01032
  [Polinomio característico]
352

La solución de esta última ecuación (polinomio característico de A ) nos entrega los
eigenvalores de A .
01032
 
   025  
5 2
Por definición
x = 





2
1
x
x
es un eigenvector de A si y sólo si x es una solución NO trivial de  AI  x = 0, es
decir,




















0
0
24
31
2
1
x
x


@ 2




















0
0
44
33
2
1
x
x
     t 1011033
Tenemos 1 variable libre, .tx 2
Las soluciones del sistema son:
tx 1 tx 2
Así, los eigenvectores correspondientes al eigenvalor 2 son los vectores x 0
de la forma

x = 





t
t
Rt 
@ 5




















0
0
24
31
2
1
x
x






















0
0
34
34
2
1
x
x
353









034
034
Como es múltiplo escalar de , tenemos:1R 2R
     tt
4
3134034 
Las soluciones del sistema homogéneo son:
tx
4
3
1  tx 2
Así, los eigenvectores correspondientes al eigenvalor 5 son los vectores x 0 de
la forma

x =








t
t
4
3
Rt 
14) Exprese los siguientes sistemas lineales en la forma  AI  x = 0.
a)
221
121
2
2
xxx
xxx




Recurso: x =A  x


















2
1
2
1
12
21
x
x
x
x































0
0
12
21
10
01
2
1
x
x





















0
0
12
21
2
1
x
x


b)
221
121
34
32
xxx
xxx




Recurso: A x =  x
354



















2
1
2
1
34
32
x
x
x
x































0
0
34
32
10
01
2
1
x
x





















0
0
34
32
2
1
x
x


c)
221
121
35
3
xxx
xxx




Recurso: x =A  x


















 2
1
2
1
35
13
x
x
x
x
































0
0
35
13
10
01
2
1
x
x





















0
0
35
13
2
1
x
x


15) Para cada uno de los sistemas lineales de 14), encontrar
1) La ecuación característica.
2) Los eigenvalores.
3) Los eigenvectores para cada eigenvalor.
a) Sea




















0
0
12
21
2
1
x
x


La ecuación característica es:
  0det  AI
0
12
21





El polinomio característico es:
04122
 
0322
 
355

   013  
Los eigenvalores son:
3 1
@ 3




















0
0
12
21
2
1
x
x






















0
0
22
22
2
1
x
x








022
022
     t1011022 
tx 1 tx 2
la forma

x = 





t
t
Rt 
@ 1




















0
0
12
21
2
1
x
x






















0
0
22
22
2
1
x
x








022
022
356

     t 1011022
tx 1 tx 2
Así, los eigenvectores correspondientes al eigenvalor 1 son los vectores x 0 de
la forma

x = 





t
t
Rt 
b) Sea




















0
0
34
32
2
1
x
x


  0det  AI
0
34
32





012652
 
0652
 
   061  
1 6
@ 1




















0
0
34
32
2
1
x
x






















0
0
44
33
2
1
x
x
357









044
033
     t 1011033
tx 1 tx 2
Así, los eigenvectores correspondientes al eigenvalor 1 son los vectores x 0 de
la forma

x = 





t
t
Rt 
@ 6




















0
0
34
32
2
1
x
x






















0
0
34
34
2
1
x
x








034
034
     t
4
310
4
31034 
tx
4
3
1  tx 2
la forma

358

x =








t
t
4
3
Rt 
c) Sea




















0
0
35
13
2
1
x
x


  0det  AI
0
35
13





0592

042

42

2
2
0




2
2
0






2 2
@ 2




















0
0
35
13
2
1
x
x



















 
0
0
15
15
2
1
x
x





 
015
015
     t
5
110
5
11015 
359

tx
5
11  tx 2
Así, los eigenvectores correspondientes al eigenvalor 2 son los vectores x 0
de la forma

x =








t
t
5
1
Rt 
@ 2




















0
0
35
13
2
1
x
x



















 
0
0
55
11
2
1
x
x





 
055
011
   t 1011
tx 1 tx 2
la forma

x = 





t
t
Rt 
Importante (Resumen):
1) El escalar “lambda” ( ) es un eigenvalor de A si
x =  xA
360

2) El vector x 0 es un eigenvec correspondiente ator de A  si el sistema
homogéneo
 AI  x = 0
tiene soluciones NO triviales (númer infinito de soluciones).
3) La ecuación
o
  0det  AI
se llama ecuación característica de .
4) El polinomio
A
  0p se llama polinomio característico de .
) Significan lo mismo eigenvalor, valor propio y valor característico.
6) Significan lo mismo eigenvector, vector propio y vector característico.
7) Según el teorema fundamental del álgebra, contando multiplicidades TODA
.3 Determinación de los valores y vectores característicos de una matriz
ntes de continuar aprenderemos 2 teoremas importantes.
eorema 1:
ea
A
5
matriz de n x n tiene exactamente n eigenvalores.
6
cuadrada.
A
T
S  un valor propio de la matriz de n x n y seaA  vAvvE   : . Entonces
efinición: Espacio propio.
ea
E
es un subespacio de n
C .
D
S  un valor propio de . El subespacio se llama espacio propio deA
o
E A
correspondiente al valor propi  .
Teorema 2:
Sea A valores propios distintos de Auna matriz de n x n y sean m ,,, 21 
(es decir ji   si ji  ) con vector correspondientes vvv ,,, 21  .
Entonces mvv , so ealmente independientes.
es propios m
v, 21 , n lin
361

Esto es:
Procedimiento para calcular valores y vectores propios (Importante):
1) Sea encuentra
Los vectores propios correspondientes a valores propios distintos
son linealmente independientes.
-
    0det  AIp 
2) Se encuentran las raíces m ,,,1 2 de   0p
3) Se resuelve el sistema homogéneo
 AIi  x = 0
para cada valor propio i .
Ejemplo demostrativo 1: Cálculo de valores y vectores característicos de una
determinaremos los valores de
-
matriz 2 x 2.







33
24
ASea  tales que
x =A  x
a ecuación característica es:

















2
1
233
24
x
x
x
x

1






























0
0
33
24
10
01
2
1
x
x




















0
0
33
24
2
1
x
x

 
L
  0det  AI
0
33
24





061272
 
362

0672
 
   061  
61
1@




















0
0
33
24
2
1
x
x



















0
0
23
23
2
1
x
x










0
0
23
23
Resolviendo el sistema:
     t
3
210
3
21023 
Tenemos 1 variable libre,
homogéneo son:

tx 2 .
Las soluciones del sistema
tx
3
21  tx 2
dientes al eigenvalorAsí, los eigenvectores correspon 1 son los vectores x 0 de
la forma
x =









t
t
3
2
Rt 
n espacio propio de A es (@ 3














3
2
1 genEU  t ).
@ 6




















0
0
33
24
2
1
x
x



















0
0
33
22
2
1
x
x


363









0
0
33
22
   t1011 
,
Tenemos 1 variable libre tx 2 .
tx 1 tx 2
sí, los eigenvectores correspondientes al eigenvalorA 6 son los vectores x 0 de
forma
Rt

la
x = 





t
t

Un espacio propio de A e 1s  





1
genE (@





1
6 t ).
observe que y n linealmente independientes,
uesto que, NO son múltiplos escalares.
- Ejemplo demostrativo 2: Cálculo de valores y vectores característicos de una
.
ea
Determinaremos los valores de
Hagamos 







3
1v y 2 2v so
2






1
1
v 1v
p
matriz 3 x 3
S





 

112
123


 

411
A
 , tales que
x =A  x




















 

3
2
1
3
2
1
112
23
x
x
x
x
x

  411
1 x

364
























































0
0
0
112
123
411
100
010
001
3
2
1
x
x
x



































0
0
0
112
123
411
3
2
1
x
x
x



  0det  AI
0
112
123
411







       
   0841311
04234233121
2
2




 
omo sabemos la ecuación polinómica
  05511 2
 
0652
05512
23
23




  0pC tiene exactamente 3 raíces
(grad   3p ).
odidad ocuparemos software.
e(x^3- x^2-5*x+6=0,{x});
valf(%);
os valores característicos de son:
Por com
Maple:
solv 2*
e
AL
1 32
@ 1












0
02 















 

 0
112
123
41
3
1
x
x
x  1

365



































0
0
0
212
113
410
3
2
1
x
x
x
Resolviendo el sistema homogéneo:



















  00212














0
0
0
410
212
3
1
3
11
0
0
0
41
212
113
0
0
113
410









































0410
0
3
1
3
11
0
0
0
410
410
3
1
3
11
0
0
0
410
3
4
3
10
3
1
3
11





 









t
t
t
t
410
01
410
3
1
3
11
as soluciones del sistema homogéneo son:L
tx 1 tx 42 
Así, los eigenvectores correspondientes al
tx 3
eigenvalor 1 son los vectores x 0 de
=
Un espacio propio de A es (@ 1

la forma
x 




t
t
4
 t
















1
1
1 genE 


 4 t ).
@ 2



























 


0
0
0
112
123
11
3
2
x
x
x

  4 1

366



































0
0
0
112
143
413
3
2
1
x
x
x





















  0112














0
0
0
3
5
3
50
550
3
4
3
11
0
0
0
112
13
3
4
3
11
0
0
143
413
es múltiplo escalar de
Tenemos 1 variable libre, .
4
2R 3R .
tx 3





 


















  10
3
4
3
11
 


  t
t
10
01
0
0
110
101
0
0
110
3
4
3
1
0550
as soluciones del sistema homogéneo son:L
tx 1 tx 2
Así, los eigenvectores correspondientes al eigenvalor
tx 3
2 son los vectores x 0

de la forma
x = 

 t



t
t



















1
1
2 genE 
 1 t ).
@ 3

























 


0
0
0
112
123
11
3
2
x
x
x






 4 1


































0
0
0
412
113
412
3
2
1
x
x
x
367














0
0
0
412
113
412
Tenemos 1 variable libre, .
1R es múltiplo escalar de 3R .
tx 3



























 
t
t
t
t
t
t
5
2
2
50
2
112
13
2
114
13
120412

 0113
















t
t
t
t
210
01
2
2
10
2
11
tx 1 tx 22 
tx 3
3 son los vectores x 0 de
x =
Un espacio propio de

la forma
 t





t
t
2
A es (@ 1



1















 2
1
3 genE t ).
- Ejemplo demostrativo 3: Una matriz de 2 x 2 con uno de sus valores propios
igual a CERO
Sea
eterminaremos valores de
.







24
12
A

D  tales que
x =  xA
368















 
2
1
2
112
x
x
x

x

 24
































0
0
24
12
10
01
2
1
x
x





















0
0
24
12
2
1
x
x


  0det  AI
0
24
12





04442
 
042
 
  04 
40
0@
















0
0
24
12 1
x
x


 2




















0
0
24
12
2
1
x
x








024
012
lar de , tenemos:Como 1R es múltiplo esca 2R
     t
2
110
2
11012 
s

Tenemo 1 variable libre, tx 2 .
369

tx
2
11  tx 2
igenvalorAsí, los eigenvectores correspondientes al e 0 son los vectores x 0 de
la forma
x =



t




t
2
1
Rt 
 2









1
0 genE t ).
@ 4













 0
24
12
2
1
x
x





 0


















0
0
24
12
2
1
x
x






024
012
lar de , tenemos:Como 1R es múltiplo esca 2R
     t
2
110
2
11012 
s
Tenemo 1 variable libre, tx 2 .
tx
2
11  tx 2
x =

la forma


t




t
2
1
Rt 












1
4 genE  
 2
t ).
370

Teorema 3:
Los valores propios de una matriz triangular son las componentes diagonales
matriz.
n:
entonces y
como “el determinante de una matriz triangular es igual al producto de los
ponentes de la diagonal
Así, la ecuación característica:
la
Demostració
Si


A







 nn
n
n
a
aa



00
0 222
11211 

 aaa    aaa 









 


nn
n
n
a
aa
AI






00
0 222
11211
com ”.
       0det 2211  nnaaaAI  
- Ejemplo demostrativo 4: Valores propios de una matriz triangular.
Según el “teorema 3” los valores propios son:
Tiene CEROS nnaaa ,,, 2211  .
Sea








500
652
  230A [Triangular superior]
3 52
Haremos todos los cálculos como demostración del teorema 3.
uscamos valores deB  tales que
x =A  x




















3
2
1
3
2
1
500
23
x
xx 
 652 xx
0
 x




















































0
0
0
500
230
652
100
010
001
3
2
1
x
x
x

371



































0
0
0
500
230
652
3
2
1
x
x
x



  0det  AI
    0532
5
23
652







Así, los valores propios son:
00
0 
32 5
bra lineal, Stanley I. Grossman, quinta edición):
1 – 20 Calcule los valores propios y espacios pro iz dad .
camos valores de
Ejercicios resueltos (6.1, Álge
pios de la matr a
2) 


  27
 712
Solución:
Bus  tales que
A x =  x



















2
1
2
1
27
712
x
x
x
x






























0
0
27
7
10
01
2
1
x
x
 


12




















0
0
27
712
2
1
x
x


  0det  AI
0
27
712





372

04924102
 
025102
  
   055  
  05
2

El eigenvalor es:
5
@ 5



















0
0
27
712
2
1
x
x

 




















0
0
77
77
2
1
x
x








077
077
Como es múltiplo escalar de , tenemo :1R 2R s
     t1011077 
Tenemos 1 variable libre, tx 2 .
tx 1 tx 2
eAsí, los eigenvectores cor ndrespo ientes al igenvalor 5 son los vectores x 0
x = Rt

de la forma



t
t

Un espacio propio de A es 








1
genE (@ t 1
 1
5 ).
373

Sólo MAESTROS, propuesto EXAMEN/PUNTO EXTRA TAREA/ACTIVIDAD
LASE.
4
uscamos valores de
C
) 







203
427
1
  326
B  , tales que
x =A  x

































3
2
1
3
2
1
326
20
427
x
x
x
x
x
x
3























































0
0
0
326
203
427
100
010
001
3
2
1
x
x
x



































0
0
0
326
23
27
3
2
1
x
x
x


 4
  0det  AI
0
326
23
427







              
      
    
    
     
   021
023
030283
130417
03030417
024
02424332437
066412932437
066412332437
2
2
2
2









    2466417 












374

ALos valores característicos de son:
21
@ 1


































0
0
0
326
23
427
3
2
1
x
x
x



Haciendo y .


































0
0
0
426
2
426
3
2
1
x
x
x
13
xx 1 , yx 2 zx 3
023  zyx
Si x y pueden variar y .
correspondientes al eigenvalor
z   3
Rzyx 





















z
zx
x
z
y
x
23
Los eigenvectores 1 son los vectores x 0 de la
x =
El espacio generado esta vez tiene 2 vectores como base (2 dimensiones).
x =
Un espacio propio de A es .

forma









z
zx
x
23

 0z





















1
2
0
3
1
23 zxzx
x



























1
2
0
0
1
1 genE


3
375

@ 2




























 

0
0
0
326
23
427
3
2
1
x
x
x


 

esolviendo el sistema homogéneo:


































0
0
0
526
223
425
3
2
1
x
x
x
R











































0
0
0
5
1
5
20
5
2
5
40
5
4
5
21
0
0
0
526
223
5
4
5
21
0
0
0
526
223
425






































t
t
2
110
01
0
0
0
000
2
110
101
0
0
0
5
1
5
20
2
110
5
4
5
21
o son:Las soluciones del sistema homogéne
tx 1 tx
2
12 
tx 3
la forma
x =











t
t
t
2
1
(@ 2Un espacio propio de A es



 


 12 genE










2
2
t ).
376

6.4 Diagonalización de matrices, potencias y raíces de matrices.
Aprenderemos como encontrar una base para n
R integrada por eigenvectores de
una matriz A n x n. Las bases se pueden usar para iar las propiedades geométricas
e
estud
A y para simd plificar algunos cálculos. Además de surgir naturalmente en algunos
eventos de la realidad.
ag lización de ma ices:
e mostrarán 2 problemas diferentes a simple vista, pero equivalentes.
1) Problema del eigenvector: Dada una matriz
- El problema de la di ona tr
S
n x n. ¿Existe una base para n
RA
integrada por eigenvectores de
2) Problema de diagonalización (forma matricial): Dada una matriz n x n.
¿Existe una matriz invertible
A ?
A
P tal que, APP 1
sea una matriz diagonal?
efinición 1: Diagonalización.
r
D
Se dice que una matriz cuadrada A es diagonalizable si existe una matriz
inve tible P tal que, APP 1
es una matriz diagonal; se dice que la matriz P
diagonaliza a A .
a del eigenvector y el problema
e diagonalización (forma matricial) son equivalentes.
Si es una matriz de n x n, entonces las siguientes proposiciones son
) es diagonalizable.
almente independientes”.
Demos
e e es diagonalizable, entonces existe una matriz invertible
El siguiente teorema muestra que el problem
d
Teorema 1:
A
equivalentes.
Aa
b) A tiene n eigenvectores “line
tración:
Como se supon qu A P :







nnnn PPP
P


21






n
n
PPP
PPP


22221
11211
Tal que APP 1
es diagonal, por ejemplo DAPP 1
, donde
377




 









n
D






00
00
00
2
1
Por la fórmula DAPP 1
se deduce que PDAP  ; es decir,






































nnnnn
nn
nn
nnnnn
n
n
PPP
PPP
PPP
PPP
PPP
PPP
AP


















2211
2222211
1122111
2
1
21
22221
11211
00
00
00

sSi ahora nppp ,,, 21  denotan lo vectores columna de P , entonces las
columnas sucesivas de AP son pp nn p ,,2211  .,
Sin embargo, por la definición de multiplicación de matrices las columnas
sucesivas de AP son .
Así, ig umnas se tien
nApApAp ,,, 21 
ualando col e:
111 pAp  , 222 pAp  ,…, nnn ppA 
Como P es invertible, NO todos sus vectores son CERO; así se concluye que
n ,,,  eig21 son envalores de y que son los eigenvectores
orrespondientes.
Como
A nppp ,,, 21 
c
P es invertible sabemos que son linealmente
independientes. Por lo tanto,
nppp ,,, 21 
A tiene n eigenvectores linealmente independientes.
Ahora, supóngase que A tiene n eigenvectores linealmente independientes
, con los eigenvalores correspondientesnppp ,,, 21  n ,,, 21  , y sea























nnnn
n
nnnn
n
PPP
PPP
PPP
aaa
aaa
aaa








21
21
11211
21
21
11211
1p 2p np

nn

222222
378









 n
n
PP
PPP
P



22221
11211

 P
 nnnn PPP 21
la matriz cuyos vectores columna son .
Los ve olu
nppp ,,, 21 
ctores c mna del producto AP son
nApApAp ,,, 21 
Pero
111 pAp  , 222 pAp  ,…, A nnn pp 
De modo que
ue los eigenvalores
PD
PPP
PPP
PPP
PPP
PPP
AP
nnnnn
n
n
nn
nn





















































00
00
00
2
1
21
22221
1211
2222211
1122111 1
PPP nnnnn   2211
Donde D es la matriz diagonal q tiene n ,,, 21  sobre la
iagonal principal.
los vectores columna de
d
P son linealmente independientes, PComo es invertible. Así
DAPP 1
A es diagonalizable.; es decir,
Procedimien- to para diagonalizar una matriz.
Paso 1: Encontrar n eigenvectores linealmente independientes de A , por
ejemplo
Paso 2: Formar la matriz
nppp ,,, 21  .
P con como sus vectores columna.
a
nppp ,,, 21 
P so 3: Entonces, la matriz APP 1
será diagonal con n ,,, 21  como sus
elementos diagonales sucesi devos, don i es el eigenvalor correspondiente a
, para .
Para “ iento primero es necesario determinar
una matriz dada n x n tiene n eigenvalores linealmente independientes. Y luego se
as se pueden manejar a la vez
.
i
efectuar el paso 1” de este procedim
p ni ,2,1
si A
requiere un método para encontrarlos. Ambos problem
determinando las bases de los eigenespacios de A
379

Ae modo que si en total hay n vectores,D de n x n es diagonalizable y los n
vectore a o los
iagonalización
s básicos se pueden us r com tores columna de la matriz devec
Pd .
Si hay menos de n vectores básicos, la matriz A de n x n NO es diagonalizable.
demo- Ejemplo strativo 1: Encontrar una matriz P que diagonalice a n x n.
ea
allaremos valores de
A
S









 

01
121
200
A
3
Primero verificaremos que existen 3 vectores básicos para los eigenespacios de A .
H  tales que
x =A  x






























 
3
2
1
3
2
1
301
121
200
x
x
x
x
x
x




















 1 2
x
x 






















 






0
0
0
301
1
200
100
010
001
3
1x
 2
































0
0
0
301
21
0
3
2
1
x
x
x



1
2
  0det  AI
0
301
121
20






    
    2232
02232




380

   021
0232




Los valores característicos de A son:
21
@ 1

































0
0
0
301
121
20
3
2
1
x
x
x

































0
0
0
201
1
201
2
1
x
x
x

 11
 3
3R .1R es múltiplo escalar de











 






 0
0
201
111
0
0
201
111
0
0
111
201





 






















t
t2
10
01
0
0
110
201
0
0
110
201
0
0
110
111
tx 21  tx 2
Los eigenvectores correspondientes al eigenvalor
tx 3
1 son los vectores x 0 de la
forma
x =
n espacio propio de











t
t
t2
U A es (@ 1





 


 1genE

 

 1
1

 

 2
t ).
@ 2

































0
0
0
301
11
20
3
2
1
x
x



2 x
381







 03
2
x






















 0
0
101
101
202 1
x
x
aciendo y .xx 1 , yx 2 zx 3H
0
022


zx
zx
Si x y y pueden variar y .
Los eigenvectores correspondientes al eigenvalor
  3
Rzyx 






















x
y
x
z
y
x
2 son los vectores x 0 de la
forma
x =
x =
xisten 3 vectores básicos, por lo tanto, de 3 x 3 es diagonalizable, y
diagonaliza a











 x
y
x



















0
1
0
0
1
yxy
x








 1x






























0
1
0
1
02 genE 
 1
AE













101
110
21
P
0
A .
Hallaremos 1
DAPP 1
P y comprobaremos .















 1
1
100
010
101
010
100
10
100
010
101
110 

















 
10
11
201001001
1
201001201
382





  101



 

111
201
1
P
Importante: NO existe ningún orden de preferencia para las columnas de





















 











101
110
201
301
121
200
101
11
201

11
DAPP




































100
020
002
101
110
201
101
222
402
P . Como el
i-ésimo elemento de la diagonal de APP 1
es un eigenvalor para el i-
ésimo vector columna de P al cam ar el orden de las columnas debi P
simplemente cambia el orden de los eigenvalores sobre la diagonal de
APP 1
.
- Ejemplo demostrativo 2: Una matriz de n x n NO diagonalizable.
Encontrar una matriz
A
P que diagonalice a
Como sabemos es una matriz triangular. Entonces sus valores propios son:








25
021A

3
001
A
21
ncontremosE
 A x = 0I 































 3
2
1
3
2
1
253
021
001
x
x
x
x
x
x




























 0
0
00
0
3

  0001001 1x












253
021
1
01 2
x
x
383



































0
0
253
021
001
3
2
1
x
x
x



0
@ 1


































0
0
0
253
021
001
3
2
1
x
x
x




































0
0
0
153
011
000
3
2
1
x
x
x
olvie do el sistema homogéneo:Res n





























0
0
3
1
3
80
3
1
3
51
0
0
011
3
1
3
51
0
0
011
153

















 








 

t
t
8
1
8
1
10
01
0
0
8
110
8
101
0
0
8
110
3
1
3
51
o son:Las soluciones del sistema homogéne
tx
8
11  tx
8
12 
tx 3
la forma
x =













t
t
t
8
1
8
1
Un espacio propio de A es









1
81 genE 1











1
8
1
(@


t ).
2@


































0
0
0
253
01
001
3
2
1
x
x



 2 x
384


































0
0
0
053
001
001
2
1
x
x
x
3

































0
0
10
01
0
0
050
001
0
0
053
001
0
0
0
053
001
001
tx 301 x 02 x
forma
x =
Un espacio propio de

la








t
0
0

A es (@ 1



 1












 0
0
2 genE t ).
es de 3 x 3 y sólo hay 2 vectores básicos
NO es diagonalizable.
Cálculo de las potencias de una matriz:
s cadas se pres tan muchos problemas en los que es
cias grandes de una matriz cuadrada.
Aprenderemos a usar la diagonalización para simplificar los cálculos.
i es una matriz n x n y
A .
A
-
En matemática apli en
necesario calcular poten
A PS es una matriz invertible, entonces:
  PAPAIAPPAPAPPPAPP 2111121 

o positivo , tenemos:kDe manera más general, para cualquier enter
  PAPAPP kk 11 

385

DAPP 1
AAsí, si es diagonalizable y es una matriz diagonal, entonces
  kkk  11
DAPPPAP 
Despejando de esta ecuación se obtiene:
La última ecuación expresa la k-ésima potencia de
k
A
1
 PPDA kk
A en términos de la k-ésima
potencia de D .
Pero calcular es fácil; por ejemplo si
- Ejemplo demostrativo 3: Cálculo de las potencias de
k
D











nd
D




00
0
0
2


d
d
0
1 0
 k
d 00











k
n
k
k
d
d




00
00 2
1


D

A n x n usando
diagonalización.
Sea
Encontrar usando diagonalización.









 

301
121
200
A
13
A
En el “ejemplo demostrativo 1” se mostró que A es diagonalizada por












101
110
201
P

386

Y que  
0201
APPD .








100
002
Recurso:
1
 PPDA kk
11313 
 PPDA
Observación: Con este método todo el trabajo consiste en diagonalizar



































101
111
201
100
020
002
101
110
201
13
13
13



































101
111
201
100
1920
008192
101
110
201
8 0

























101
111
201
108192
181920
208192









 

1638308191
819181928191
1638208190
A . Una vez
hecho esto, se puede usar para calcular cualquier potencia de A .
Así, basta cambiar el exponente de 13 a 1000.
para 1000
A
8 – 11 Hallar una matriz P que diagonalice a A , y determinar DAPP 1
.
9) 


 

16
A
 01
Solución:
rimero, encontraremos valores deP  tales que
A x =  x
387















2
1101
x
xx

  216 x



























0
0
1610
01
2
1
x
x



01




















0
0
16
01
2
1
x
x


  0det  AI
0
16
01





polinomio característico es:El
02
 1
12

1
1
1
0






1
0




11
1@




















0
0
16
01
2
1
x
x






















0
0
06
02
2
1
x
x








0
0
06
02
omo es múltiplo escalar de , tenemos:1R 2RC
388

     01001002 
tx 2 .
01 x tx 2
Así, los eigenvectores corr diespon entes al eigenvalor 1 son los vectores x 0 de
x = Rt

la forma
0

1



t








0
genE (@ 
 

1
1 t ).
@ 1














 0
16
01
2
1
x
x

 
 0


















 0
0
26
00
2
1
x
x






 026
000
esolviendo el sistema:R
     t
3
110
3
11026 
tx 2 .
tx
3
11  tx 2
sí, los eigenvectores correspondientes al eigenvalor 1 son los vectores x 0 de
x =
A
la forma








t
t
3
1
Rt 
389

Un espac
 1
io propio de A es (@ 3



 




3
1 genE t ).
La matriz es diagonalizable, puesto que, existen 2 vectores básicos.
La matriz
A
P que diagonaliza a es:
allemos
A





01
P
 13
1
PH :






























3
11
3
10
3
10
3
11
01
3
10
01
3
11
01
10
01
13
10
01
13
01


















13
01
10
01
13
3
10
10
3
11
Entonces







13
011
P

DAPP 1






































 10
01
13
01
13
01
13
01
16
01
13
01
11)
olución:
o tenemos una m triz triangular los valores propios son:









 

300
030
202
A
S
Com a
32
confianza en este teorema desarrollaremos los cálculos.Para, tener
A x =  x
390

















 3
2
3
2
300
030
x
x
  11202 xx


 x
x
@








































 











0
0
0
30
030
202
100
010
001
3
2
1
x
x
x

0


































0
0
0
300
030
202
3
2
1
x
x
x



2


































0
0
0
300
030
202
3
2
1
x
x
x


































0
0
0
100
010
200
3
2
1
x
x
x

























 
0
0



0
0
100
010
0
0
0
100
010
100
0
0
0
10
01
200
La soluciones del sistema homogéneo son:
tx 1 .
tx 1 02 x 03 x
forma

la
x = 

0




0
t

391

















0
1
2 genE


0 t ).
@ 3




























0
0
0
300
030
202
3
2
1
x
x
x






































0
0
0
000
000
201
3
2
1
x
x
x
 0201
Haciendo y .xx 1 , yx 2 zx 3
02  zx
Si x y y pueden variar y .  3
Rzyx 






















x
y
x
z
y
x
2
1
Los eigenvectores correspondientes al eigenvalor 3 son los vectores x 0 de la
forma
x =





 x
2
1






y
x
x =









 0
2
1
2
1 x


















1
0
0
1
yxy
x
bienO
x =
































0
1
0
1
0
22
yz
z
y
z
392

Como































0
1
0
1
0
2
genE3
A es de 3 x 3 y existen 3 vectores básicos. A es diagonalizable.
La matriz P que diagonaliza a A es:
allemos








 
010
1
021
 00P
1
PH .




















 






0


 
010
100
201
100
010
001
010
100
001
100
010
021
100
010
001
01
100
021
Comprobación:
Comprobemos:











010
100
201
1
P






























 
100
010
00
010
100
201
010
100
021 1
DAPP 1
18) Usando diagonalización, calcule , donde







 









 











010
100
021
300
030
202
010
100
201





















 











300
030
002
010
100
021
030
300
402
10
A
393








21
01
A

Solución:
Tenemos una matriz triangular. Así los valores propios son:
21
A x =  x
@







 221 x


 101 xx
1
 2x































0
0
21
01
10
01
2
1
x
x





















0
0
21
01
2
1
x
x


1




















0
0
21
01
2
1
x
x




















 0
0
11
00
2
1
x
x
   t1011 
,
tx 2 .Tenemos 1 variable libre
tx1 tx 2
la forma
x = Rt







t
t














1
1
1 genE t ).
394

@ 2











 01 2
1
x
  001 x

2
x

















0
0
01
01
2
1
x
   01001 
as soluciones del sistema homogéneo son:
tx 2 .
L
01 x tx 2
Así, los eigenvectores cor ndrespo ientes al eigenvalor 2 son los vectores x 0 de
forma
Rt

la
x =
0

1



t




1
0
2 genE (@
 



t )
Como es de 2 x 2 y exi ve diago lizable.
La matriz
.
A sten 2 ctores básicos. A es na
P que diagonaliza a es:
o
A







11
01
P
Hallem s 1
P .












 10101



 11
10
10
11
01
10
01
1
1011















11
01
10
01
11
10
10
11








11
011
P
Sabemos que:







20
01
D
395

1
 PPDA kk
Ahora usaremos .
11010 
 PPDA
6.5 Diagonalización de matrices simétricas, diagonalización ortogonal.
Abordaremos el problema de determ base ortonormal para


















11
01
20
01
11
01
10
10
10
A 

















11
01
10240
01
11
0110
A 





















10241023
01
11
01
10241
0110
A
n
Rinar una con el
producto interior euclidiano, integrada por eigenvectores de una matriz
Usaremos conceptos sobre matrices métricas y matrices ortogonales.
emos
existe
A n x n.
si
- Problema de la diagonalización ortogonal de una matriz:
D traremos que los 2 problemas siguientes son equivalentes.
1) Problema del eigenvector ortonormal: Dada una matriz A de n x n, ¿
una base ortonormal para n
R con el producto interior euclidiano integrada por
eigenvectores de ?
2) Problema de la diagonalización ortogonal (forma matricial): Dada una
A
matriz A de n x n, ¿existe una matriz ortogonal P tal que la matriz
APPAPP T
1
es diagonal?
En caso de que exista la matriz, entonces se dice que A es diagonalizable
ortogonalmente, y se dice que P diagonaliza ortogonalmente a
- ¿Qué m ente?
ib idad de diagonalizar
rtogonalmente una matriz , a menos que sea una matriz simétrica ( ).
ara notar este hecho suponga que
A .
Para el segundo problema es necesario considerar 2 preguntas:
atrices son diagonalizables ortogonalm
- ¿Cómo encontrar una matriz ortogonal a fin de efectuar la diagonalización?
Con respecto a la primera pregunta, se observa que NO hay pos il
A A T
AA o
P
DAPPT

396

Donde P es una matriz ortogonal y D es una matriz diagonal. Como P es ortogonal,
IPPPP TT
 , de modo que
T
PDPA 
Como T
D DD es una matriz diagonal, se tiene , de modo que al transponer ambos
miembros obtenemos:
    APDPPDPP TTTTTTT
PDAT

Así que, A debe ser simétrica.
gonalización ortogonal:
El siguiente teorema muestra que toda matriz simétrica es, de hecho,
diagonalizable ortogonalmente.
eorema 1:
ientes proposiciones son equivalentes.
e
) tiene un conjunto ortonormal de n eigenvectores.
) es simétrica.
Algunas propiedades de las matrices simétricas:
El siguiente objetivo es establecer un procedimiento para diagonalizar
renderemos un teorema sobre
igenvalores y eigenvectores de matrices simétricas.
eorema 2:
Si es una matriz simétrica, entonces:
b) Eigenvectores de eigenespacios diferentes son ortogonales.
Diagonalización de matrices simétricas:
Como una consecuencia del teorema anterior se obtiene el siguiente
imétrica.
- Condiciones para dia
T
Si A es una matriz n x n, entonces las sigu
a) s diagonalizable ortogonalmente.A
Ab
Ac
-
ortogonalmente una matriz simétrica, pero antes ap
e
T
A
a) TODOS los eigenvalores de A son números reales.
-
procedimiento para diagonalizar ortogonalmente una matriz s
Paso 1: Encontrar una base para cada eigenespacio de A .
397

Paso 2: Aplicar el proceso de ortonormalización de Gram – Schmidt a cada
base a fin de obtener una base ortonormal para cada eigenespacio.
Paso 3: Formar la matriz P cuyas columnas son los vectores básicos obtenidos
en el “paso 2”; esta matriz diagonaliza ortogonalmente a A .
La justificación de este procedimiento debe ser evidente.
Sabem nales,
ientras que la aplicación del proceso de ortonormalización de Gram – Schmidt
ue lo
sí, todo el conjunto de eigenvectores obtenidos con este procedimiento es
os que los eigenvectores de eigenespacios diferentes son ortogo
m
asegura q s eigenvectores obtenidos del mismo eigenespacio son ortonormales.
A
ortonormal.
- Ejemplo demostrativo 1: Una matriz ortogonal P que diagonaliza a A .
Sea
[Note que la matriz es simétrica]
rimero hallamos los valores característicos de .








422
242A
 224
AP
A x =  x






















3
2
1
2
1
242
224
x
x
xx
x
 3422 x




















































0
0
0
422
242
100
010
001
3
2
1
x
x
x

224


































0
0
0
422
242
224
3
2
1
x
x
x



  0det  AI
0
422
242
224







398

         
     
    
     
   082
01610
082410
424264
082441284
0424441684
042424422444
2
2
2
2
2














     28264  
Los valores característicos de son:A
82
@ 2
































0
0
0
4
242
224
3
2
1
x
x
x





 22


































0
0
0
222
222
222
3
2
1
x
x
x
   01110222 
Haciendo y .xx 1 , yx 2 zx 3
0 zyx
i x y yS pueden variar y .
ondientes al eigenvalor
  3
Rzyx 





















yx
y
x
z
y
x
Los eigenvectores corresp 2 son los vectores x 0 de la
rma

fo
399

x =
x =










 yx
y
x





























 1
1
0
1
0
1
yx
yx
y
x


Si y y z pueden variar y   3
Rzyx  .
x =































 
1
0
1
0
1
1
zy
z
y
zy
@































1
0
1
0
12 genE
1
8

































0
0
0
422
242
224
3
2
1
x
x
x






































0
0
0
422
242
224
3
2
1
x
x
x









































0
0
0
330
330
2
1
2
11
0
0
0
422
242
2
1
2
11
0
0
0
422
242
224














 








   10111







 

t
t
t
t
10
01
10
2
1
2
11
0110
0
22
1
0330
22
1
tx 3tx 1 tx 2
400

la forma











t
t
t
x =
Un espacio propio de A es




 1genE (@














1
1
8 1t .)
Comenzaremos el proceso de ortonormalización, haciendo:
plicamos el proceso de ortonormalización de Gram – Schmidt a los eigenvectores


 0 






 1
1
1v 









1
0
1
2v











1
1
1
3v
A
(básicos) correspondientes a 2 .































1
0
1
0
1
1
S
1
1
1
v
v
u 
 





 0
2
1
2
1
2
011
1u
 
  1122
1122
2
uuvv
uuvv
u




 
2
10
2
1
2
110112 



uv
   0
2
1
2
10
2
1
2
1
2
1112 



 uuv
       1
2
1
2
10
2
1
2
11011122  uuvv
  2
66
2
1
1122  uuvv
401

 
  


 



6
2
6
1
6
1
1122
1122
2
uuvv
uuvv
u
Por último aplicamos el proceso de ortonormalización de Gram – Schmidt al
igenvector (básico) correspondiente ae 8 .
 




3
1
3
1
3
1
3
111
3
3
3
v
v
u
aciendo y las columnas de21,uu 3u PH se obtiene













 11



3
1
6
0
3
1
6
1
2
1
3
1
62
P
2
Que diagonaliza ortogonalmente a A .
402

403
2 – 9 Encontrar una matriz P que diagonalice ortogonalmente a A , y determinar
APP 1
.
2) 






31
13
A [Note que la matriz es simétrica]
Solución:
Buscamos valores de  , tales que:
A x =  x


















2
1
2
1
31
13
x
x
x
x































0
0
31
13
10
01
2
1
x
x





















0
0
31
13
2
1
x
x


  0det  AI
0
31
13





  013
2

01962
 
0862
 
   042  
Los valores característicos son:
2 4
@ 2

404




















0
0
11
11
2
1
x
x








0
0
11
11
     t 1011011
tx 1 tx 2
Así, los eigenvectores correspondientes al eigenvalor 2 son los vectores x  0 de
la forma:
x = 





t
t
Rt 
Un eigenespacio de A es













1
1
2E (@ 1t ).
@ 4




















0
0
11
11
2
1
x
x








0
0
11
11
   t1011 
tx 1 tx 2
la forma:

405
x = 





t
t
Rt 













1
1
4E (@ 1t ).
A es de 2 x 2 y existen 2 vectores básicos.
A es diagonalizable.
Aplicando el proceso de ortonormalización de Gram – Schmidt a cada vector básico,
tenemos:
Recurso:
1
1
1
v
v
u 
Hagamos:







1
1
1v 






1
1
2v
Tenemos:











2
1
2
1
1u











2
1
2
1
2u
La matriz P que diagonaliza a A es:











2
1
2
1
2
1
2
1
P
Comprobaremos hallando APP 1
.
Hallemos 1
P :































01
20
2
1
2
1
11
01
10
2
1
2
1
2
1
2
1
10
01
2
1
2
1
2
1
2
1









 



















2
2
2
2
2
2
2
2
10
01
2
2
2
2
20
10
11
11
20
2
20
11

406











2
2
2
2
2
2
2
2
1
P
Comprobación:



























10
01
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
Hallemos APP 1
.











































2
1
2
1
2
1
2
1
2222
22
2
1
2
1
2
1
2
1
31
13
2
2
2
2
2
2
2
2







40
021
DAPP
4) 








32
26
A [Note que la matriz es simétrica]
Solución:
A x =  x




















2
1
2
1
32
26
x
x
x
x

































0
0
32
26
10
01
2
1
x
x





















0
0
32
26
2
1
x
x


  0det  AI

407
0
32
26





   0436  
041892
 
01492
 
   072  
2 7
@ 2




















0
0
32
26
2
1
x
x






















0
0
12
24
2
1
x
x








0
0
12
24
Como 1R es múltiplo escalar de 2R , tenemos:
     t
2
110
2
11012 
tx
2
11  tx 2
la forma:
x =








t
t
2
1
Rt 

408

















1
2
1
2E (@ 1t ).
@ 7




















0
0
32
26
2
1
x
x




















0
0
42
21
2
1
x
x






0
0
42
21
   t21021 
tx 21  tx 2
la forma:
x = 





t
t2
Rt 













1
2
7E (@ 1t ).
La matriz Q que diagonaliza a A es:







 

11
2
2
1
Q
Comprobaremos hallando AQQ 1
.
Hallemos 1
Q :

409



























 
2
11
10
2
50
11
01
10
2
2
1
11
10
01
11
2
2
1




















5
1
5
2
5
4
5
2
10
01
5
1
5
2
10
10
11










5
1
5
2
5
4
5
2
1
Q
Comprobación:






















 
10
01
5
1
5
2
5
4
5
2
11
2
2
1
Hallemos AQQ 1
.







 

















 
















 11
2
2
1
5
7
5
14
5
8
5
4
11
2
2
1
32
26
5
1
5
2
5
4
5
2







70
021
DAQQ
6.6 Formas cuadráticas.
Una expresión de la forma
cxybyax  22
Se denomina forma cuadrática en x y y . De manera similar
fyzexzdxyczbyax  222
es una forma cuadrática en x , y y z .
Resumiendo, una forma cuadrática es una suma de términos, cada uno de los cuales
tiene grado 2 en todas las variables.
Así, xyyx 235 22
 es una forma cuadrática, pero xyx  22
NO lo es.
Podemos representar las formas cuadráticas utilizando matrices como se muestra a
continuación:

410
  














y
x
bc
ca
yxcxybyax
2
222
Y
 























z
y
x
cfe
fbd
eda
zyxfyzexzdxyczbyax
22
22
22
222
Cada una tiene la forma xT
A x, donde la matriz A es simétrica.
Así, tenemos la siguiente definición general.
Definición: Forma cuadrática.
Una forma cuadrática en n variables es una función RRf n
: de la forma
Donde A es una matriz simétrica de n x n y x está en n
R . Haremos referencia a A
como “matriz asociada con f ”.
- Ejemplo demostrativo 1: Forma cuadrática asociada a una matriz.
¿Cuál es la forma cuadrática con matriz asociada 








53
32
A ?
Si x = 





2
1
x
x
, entonces
f (x) = xT
A x =     



















2
1
2121
2
1
21 5332
53
32
x
x
xxxx
x
x
xx
21
2
2
2
1
2
22121
2
1 6525332 xxxxxxxxxx 
Observe que las entradas fuera de la diagonal 32112  aa de A son combinadas para
proporcionar el coeficiente 6 de 21xx , lo cual generalmente es verdadero.
Podemos expandir una forma cuadrática en n variables xT
A x como sigue:
xT
A x = 

ji
jiijnnn xxaxaxaxa 2
22
222
2
111 
De este modo, si ji  , el coeficiente de ji xx es ija2 .
f (x) = xT
A x

411
- Ejemplo demostrativo 2: Matriz asociada a una forma cuadrática.
Sea:
  3121
2
3
2
2
2
1321 3652,, xxxxxxxxxxf 
Solución:
Los coeficientes de los términos cuadrados
2
ix van sobre la diagonal como iia ,
mientras que los coeficientes de los términos con “productos cruzados” ji xx son
repartidos entre ija y jia .
Por lo tanto














50
2
3
013
2
332
A
Así,
 321 ,, xxxf = xT
A x =  























3
2
1
321
50
2
3
013
2
332
x
x
x
xxx
En el caso de una forma cuadrática  yxf , de 2 variables, la gráfica de
 yxfz , es una superficie en 3
R .
Observe que el efecto de mantener x o y constantes es tomar una sección
transversal de la gráfica paralela a los planos yz o xz .
En general la matriz de una forma cuadrática es simétrica y por tanto
diagonalizable.
Usaremos este hecho para demostrar que, para TODA forma cuadrática
podemos eliminar los términos con productos cruzados con un cambio de variable.
Sea f (x) = xT
A x una forma cuadrática en n variables y A una matriz
simétrica de n x n, entonces EXISTE una matriz ortogonal Q tal que DAQQT
 .
Donde D es la matriz diagonal que exhibe los eigenvalores de A .
Hagamos x = Q y equivalente a y = 1
Q x = T
Q x.
La sustitución en la forma cuadrática original produce:
xT
A x = (Qy)T
A ( Qy) = yT
Q T
A Qy = yT
D y

412
Lo que es una forma cuadrática sin términos con productos cruzados, puesto que D
es diagonal.
Además, si los eigenvalores de A son n ,,, 21  , entonces Q puede seleccionarse
de modo que:











n
D





0
01
Si y =  T
nyy 1 en las nuevas variables, la forma cuadrática es:
Este proceso es llamado diagonalización de una forma cuadrática. Acabamos
de demostrar el siguiente teorema, conocido como teorema de los ejes principales.
Teorema 1: Teorema de los ejes principales.
Toda forma cuadrática puede ser diagonalizada. Específicamente, si A es la matriz
simétrica de n x n asociada con la forma cuadrática xT
A x y si Q es una matriz
ortogonal tal que DAQQT
 sea una matriz diagonal, entonces el cambio de variable
x = Qy transforma la forma cuadrática xT
A x en la forma cuadrática yT
D y, la cual
NO tiene términos con productos cruzados. Si los eigenvalores de A son n ,,, 21 
y y =  T
nyy 1 , entonces:
- Ejemplo demostrativo 3: Cambio de variable para una forma cuadrática.
Encuentre un cambio de variable que transforme la forma cuadrática
  2
221
2
121 245, xxxxxxf 
en una que NO tenga términos con productos cruzados.
Solución:
La matriz de f es







22
25
A
yT
D y =
22
11 nn yy  
xT
A x = yT
D y =
22
11 nn yy  

413
Con eigenvalores 61  y 12  . Los eigenvectores unitarios correspondientes son:











5
1
5
2
1u












5
2
5
1
2u
Así,












5
2
5
1
5
1
5
2
Q y 






10
06
D
Note que 1u “es perpendicular a” 2u ( 021 uu ).
El cambio de variable x = Q y, donde
x = 





2
1
x
x
y y = 





2
1
y
y
Convierte a f en
f (y) =     2
2
2
1
2
1
2121 6
10
06
, yy
y
y
yyyyf 












La forma cuadrática original xT
A x y la nueva forma yT
D y (a la que se hace
referencia en el teorema de los ejes principales) son “iguales” en el sentido siguiente.
Suponga que para este ejemplo, deseamos evaluar f (x) = xT
A x en x = 





3
1
.
Tenemos que
         1132314153,1
22
f
En términos de las nuevas variables, tenemos






2
1
y
y
y = T
Q x =




























5
7
5
1
3
1
5
2
5
1
5
1
5
2
De manera que
  11
5
55
5
7
5
166,
22
2
2
2
121 









 yyyyf
- Graficación de ecuaciones cuadráticas:
La forma general de una ecuación cuadrática en 2 variables x y y es

414
Donde al menos una de las constantes ba, y c es distinta de cero. Las gráficas
de tales ecuaciones cuadráticas son conocidas como secciones cónicas (o cónicas),
puesto que, pueden ser obtenidas al tomar cortes transversales de un doble cono
(rebanándolo con un plano).
Las secciones cónicas más importantes son las elipses (con las circunferencias
como un caso especial), las hipérbolas y las parábolas. TODAS estas se denominan
cónicas NO degeneradas.
[Cónicas NO degeneradas]
También es posible que una “sección transversal” de un cono resulte en un
punto simple, una línea recta o un par de rectas. Estas formas geométricas son
llamadas cónicas degeneradas.
022
 feydxcybxyax

415
Se dice que la gráfica de una cónica NO degenerada está en posición estándar
en relación con un sistema de ejes coordenados, si su ecuación puede ser expresada en
una de las siguientes formas:
Las cónicas NO degeneradas en posición estándar son:
- Elipse y circunferencia:
12
2
2
2

b
y
a
x
0, ba

416
- Parábola:
0;2
 kkxy 0;2
 kkxy
0;2
 kkyx 0;2
 kkyx
- Hipérbola:
12
2
2
2

b
y
a
x
; 0, ba 12
2
2
2

a
x
b
y
; 0, ba

417
- Ejemplo demostrativo 4: Cónicas en posición estándar.
Si es posible, escriba cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas en la forma de
una cónica en posición estándar e identifique la gráfica resultante.
a) 3694 22
 yx b) 0194 22
 yx c) 094 2
 yx
Solución:
a) La ecuación 3694 22
 yx puede ser expresada en la forma:
1
49
22

yx
[Multiplicando ambos lados de la ecuación por
36
1 ]
Elipse:
Centro C(0, 0)
Intersecta eje x  0,3
Intersecta eje y  2,0 
b) La ecuación 0194 22
 yx puede ser expresada en la forma:
194 22
 yx
149 22
 xy
1
4
1
9
1
22

xy
Hipérbola:
Centro C(0, 0)
Intersecta eje y  3
1,0 
Maple:
implicitplot([(y^2/(1/9))-(x^2/(1/4))=1],x=-3..3,
y=-3..3,color=[red],scaling=constrained);

418
c) La ecuación 094 2
 yx puede expresarse en la forma:
2
9
4 xy 
Parábola:
Vértice V(0, 0)
Abre sobre el eje x.
Crece hacia el positivo del eje y.
Eje de parábola = Eje y.
Maple:
plot([(4/9)*x^2],
x=-4..4,y=0..4,scaling=constrained,color=[red]);
Si una ecuación cuadrática contiene demasiados términos para ser expresada en
una de las formas mostradas, entonces su gráfica NO se encuentra en posición
estándar.
- Ejemplo demostrativo 5: Una elipse con traslación.
Identifique y grafique la cónica cuya ecuación es
09862 22
 yxyx
Solución:
Agrupando términos semejantes, tenemos:
    9826 22
 yyxx
    89988296 22
 yyxx
    844296 22
 yyxx
    8223
22
 yx [Multiplicando ambos lados de la ecuación por
8
1 ]
    1
4
2
8
3
22



 yx
Cuando existen términos adicionales, pero, NO hay un término xy
(término con productos cruzados), la gráfica de la cónica ha sido “trasladada
fuera de la posición estándar”.

419
Elipse con traslación:
Centro C(3, - 2)
Haciendo el cambio de variable  3´  xx y  2´  yy , tenemos:
    1
4
´
8
´
22

yx
Que es la ecuación de una elipse en posición estándar en el sistema coordenado ´´yx .
Intersecta eje ´x  0,22
Intersecta eje ´y  2,0 
Interpretación geométrica:
[Elipse con traslación]
Maple:
implicitplot([x^2+2*y^2-6*x+8*y+9=0],x=-2..8,
- Ejemplo demostrativo 6: Una elipse con rotación.
6245 22
 yxyx
Solución:
El lado izquierdo de la ecuación es una forma cuadrática, de modo que podemos
expresarla en forma matricial como:
xT
A x = 6
Donde







22
25
A
Si una ecuación cuadrática contiene un término con productos cruzados ( xy ),
entonces representa una cónica que ha sufrido una rotación.

420
En el “ejemplo demostrativo 3”, encontramos que los eigenvalores de A son 6 y
1 , y una matriz Q que diagonaliza ortogonalmente a A es












5
2
5
1
5
1
5
2
Q
Usaremos












5
1
5
2
5
2
5
1
Q
Nota: Siempre es posible reacomodar las columnas de una matriz ortogonal Q para
hacer que su determinante sea igual a 1 .
Sabemos que







60
011
DAQQAQQ T
El cambio de variable x = Qx´ convierte xT
A x = 6, en x´T
D x´ = 6 por medio de una
rotación  43.63 (IV Cuadrante).
Si x´ = 





´
´
y
x
, tenemos:
x´T
D x´ =     

















´
´
´6´
´
´
60
01
´´
y
x
yx
y
x
yx
6´6´ 22
 yx
O bien
1´
6
´ 2
2
 y
x
Que representa una elipse en el sistema coordenado ´ýx .
Para graficar esta elipse, necesitamos conocer la interpretación de los vectores







0
1
´1e y 






1
0
´2e
en el nuevo sistema coordenado ´ýx . Estos 2 vectores son los que ubican las posiciones
de los ejes ´x y ý .
Como x = Qx´, sabemos que

421





























5
2
5
1
0
1
5
1
5
2
5
2
5
1
´1Qe




























5
1
5
2
1
0
5
1
5
2
5
2
5
1
´2Qe
Donde Q [matriz de transformación] es una matriz de rotación con  43.63 .
Éstas son las columnas 1q y 2q de Q . ¡Que son los eigenvectores de A !
[Elipse con rotación]
Ahora puede ver porqué el teorema de los eje principales se llama así.
Si una matriz simétrica real A surge como la matriz de coeficientes de una
ecuación cuadrática, los eigenvectores de A dan las direcciones de los ejes
principales de la gráfica de la cónica (o de la superficie cuadrática) correspondiente.
Es posible que la gráfica de una cónica sufra tanto una rotación
como una traslación fuera de la posición estándar.

422
- Ejemplo demostrativo 7: Una elipse con rotación y traslación.
04
5
4
5
28245 22
 yxyxyx
Solución:
La estrategia es eliminar el término con productos cruzados. En forma matricial, la
ecuación es:
xT
Ax + B x + 4 = 0
Donde







22
25
A



 
5
4
5
28B
Tenemos la forma cuadrática xT
A x del “ejemplo demostrativo 6” y sabemos que
x = Q x´, donde












5
1
5
2
5
2
5
1
Q
Así
xT
A x = x´T
D x´ = 22
´6´ yx 
Además tenemos:
B x = BQx´ = ´12´4
´
´´
5
1
5
2
5
2
5
1
5
4
5
28 yx
y
x



















 
De esta forma, en términos de ´x y ´y , la ecuación dada se convierte en
04´12´4´6´ 22
 yxyx
Completando los “trinomios cuadrados perfectos”, tenemos:
66´12´64´4´ 22
 yyxx
    61´2´62´
222
 yyx
    61´62´
22
 yx
    11´
6
2´ 2
2


y
x

423
Que es una elipse con una traslación respecto a los ejes ´x y ´y . Es decir, el centro es
 1,2C en el sistema coordenado ´´yx .
Haciendo 2´´´  xx y 1´´´  yy , tenemos:
    1´´
6
´´ 2
2
 y
x
Hemos obtenido una elipse con rotación y traslación.
[Elipse con rotación y traslación]
Maple:
implicitplot([5*x^2+4*x*y+2*y^2-(28/(5^(1/2)))*x
-(4/(5^(1/2)))*y+4=0],x=0..5,

424
Ejercicios resueltos (5.5, Álgebra lineal, David Poole, 1ra ed.):
23 – 28 Evalúe la forma cuadrática f (x) = xT
A x para A y x que se dan.
23) 






43
32
A x = 





y
x
f (x) = xT
A x =     

















y
x
yxyx
y
x
yx 4332
43
32
22
4332 yxyxyx 
22
462 yxyx 
29 – 34 Encuentre la matriz simétrica A asociada con la forma cuadrática dada.
29) 21
2
2
2
1 62 xxxx 







23
31
A
31) 22
33 yxyx 











1
2
3
2
33
A
33) 323121
2
3
2
2
2
1 44225 xxxxxxxxx 














222
211
215
A
35 – 40 Diagonalice las formas cuadráticas y encuentre una matriz ortogonal Q tal que
el cambio de variable x = Q y transforme la forma dada en una que NO tenga términos
con productos cruzados.
35) 21
2
2
2
1 452 xxxx 









52
22
A
A x =  x

425




















2
1
2
1
52
22
x
x
x
x

































0
0
52
22
10
01
2
1
x
x





















0
0
52
22
2
1
x
x


  0det  AI
0
52
22





   0452  
041072
 
0672
 
   061  
1 6
@ 1




















0
0
52
22
2
1
x
x






















0
0
42
21
2
1
x
x








0
0
42
21
     t21021021 

426
tx 21  tx 2
Así, los eigenvectores correspondientes al eigenvalor 1 son los vectores x  0 de la
forma:
x = 





t
t2
Rt 













1
2
1E (@ 1t ).
@ 6




















0
0
52
22
2
1
x
x




















0
0
12
24
2
1
x
x






0
0
12
24
     t
2
110
2
11012 
tx
2
11  tx 2
la forma:
x =








t
t
2
1
Rt 













2
1
6E (@ 2t ).

427
tenemos:
Recurso:
1
1
1
v
v
u 
Hagamos:







1
2
1v 






2
1
2v
Tenemos:











5
1
5
2
1u











5
2
5
1
2u
La matriz Q que diagonaliza a A es:









 

5
2
5
1
5
1
5
2
Q y 






60
01
D
La importancia de Q es que sus vectores columna indican la dirección del sistema
coordenado (alternativo) ´´yx .
f (y) = yT
D y =    

















2
1
21
2
1
21 6
60
01
y
y
yy
y
y
yy
2
2
2
1 6yy 
Sólo MAESTROS, propuesto EXAMEN (opción).
37) 323121
2
3
2
2
2
1 16887 xxxxxxxxx 












184
814
447
A
  0det  AI

428
0
184
814
447







          
      
    
0729819
028832441499
036486327
0443243244464127
0143243214464117
23
23
2
2










Usando software (Maple 9.5), tenemos:
Maple:
solve(x^3-9*x^2-81*x+729=0,{x});
evalf(%);
91  92  93 
2
3
2
2
2
1 999 yyy 
61 – 66 Identifique la gráfica de la ecuación dada.
61) 255 22
 yx
Elipse en posición estándar:
Centro  0,0C
1
525
22

yx
63) 012
 yx
12
 xy o bien   2
1 xy 
Parábola con traslación:
Vértice  1,0 V
Crece hacia el positivo del eje y.
Eje de parábola = Eje y (x = 0).

429
65) 13 22
 yx
13 22
 yx
13 22
 xy
1
3
1
2
2

x
y
Hipérbola en posición estándar:
Vértices  1,0 
Eje de hipérbola = Eje y (x = 0)
67 – 72 Aplique una traslación de ejes para situar la cónica en posición estándar.
Identifique la gráfica, proporcione su ecuación en el sistema coordenado trasladado y
dibuje la curva.
67) 044422
 yxyx
Solución:
Completando los “trinomios cuadrados perfectos”, tenemos:
    422
44444
22
22


yx
yyxx

430
Circunferencia con traslación:
Centro  2,2C
Radio 2r
Haciendo 2´  xx y 2´  yy .
4´´ 22
yx
69) 37449 22
 yyx
 
 
  36
2
149
36
4
149
361449
1371449
2
2
22
22
22




yx
yyx
yyx
yyx
  1
9
2
1
4
2
2



yx
Haciendo xx ´ y
2
1´  yy .
1
9
´
4
´ 22

yx
Hipérbola con traslación:
Vértices  2
1,2 
Abre sobre el eje y.
Eje de hipérbola = Paralelo eje x (y =
2
1 ).

431
71) 0842 2
 yxy
 
  8224
84424
88824
2
2
2



yx
yyx
yyx
 
   2
2
2224
2284


yx
yx
   2
2
2
12  yx
Haciendo 2´  xx y 2 yý .
 2
´
2
1´ yx 
Parábola con traslación:
Vértice  2,2 V
Abre sobre el eje y.
Crece hacia el negativo del eje x.
Eje de parábola = Paralelo eje x  2y .

432
77 – 80 Identifique la cónica con la ecuación dada y proporcione su ecuación en la
forma estándar.
77) 084222228343 22
 yxyxyx
Solución:
Generamos una ecuación de la forma
xT
A x + B x + 84 = 0
Como sabemos, la dirección de los ejes rotados (sistema coordenado alternativo con
rotación) es indicada por los eigenvectores de la matriz A .
Así,









32
23
A  222228B
Hallamos los eigenvalores de A .
 AI  x = 0




















0
0
32
23
2
1
x
x



433
  0det  AI
0
32
23





  043
2

04962
 
0562
 
   051  
1 5
@ 1




















0
0
32
23
2
1
x
x






















0
0
22
22
2
1
x
x








0
0
22
22
     t1011022 
tx 1 tx 2
forma:
x = 





t
t
Rt 

434













1
1
1E (@ 1t ).
@ 5




















0
0
32
23
2
1
x
x




















0
0
22
22
2
1
x
x






0
0
22
22
     t 1011022
tx 1 tx 2
forma:
x = 





t
t
Rt 













1
1
5E (@ 1t ).
tenemos:
Recurso:
1
1
1
v
v
u 
Hagamos:

435







1
1
1v 






1
1
2v
Tenemos:











2
1
2
1
1u











2
1
2
1
2u
La matriz Q que diagonaliza ortogonalmente a A es:









 

2
1
2
1
2
1
2
1
Q y 






50
01
D
Note que 1A y 1cos 22
  sen , y sabemos que





 




cos
cos
sen
sen
R [Matriz de rotación]
El ángulo de rotación es  45 (I cuadrante).
Recuerde que los eigenvectores de A indican la dirección de los ejes ´x y ´y .
Una forma cuadrática sin términos con productos cruzados es:
xT
A x = x´T
D x´
x´T
D x´ = 22
´5´ yx 
Ahora escribiremos B x en términos de las nuevas variables ´x y ´y . Por medio del
cambio de variable x = Qx´.
B x = B Qx´
  














 

´
´
2
1
2
1
2
1
2
1
222228
y
x
  ´50´6
´
´
506 yx
y
x







La forma cuadrática original se transforma en:
084´50´6´5´ 22
 yxyx

436
084´50´5´6´ 22
 yyxx
125984125´50´59´6´ 22
 yyxx
    505´53´
22
 yx
    1
10
5´
50
3´
22



 yx
Haciendo 3´´´  xx y 5´´´  yy , tenemos:
    1
10
´´
50
´´
22

yx
Elipse con rotación y traslación:
Centro  5,3 C [En sistema coordenado alternativo ´´yx ]
Intersecta eje ´x  0,25
Intersecta eje ´y  10,0 
Maple:
implicitplot([3*x^2-4*x*y+3*y^2-
28*2^(1/2)*x+22*2^(1/2)*y+84=0],x=0..12,

437
79) 01222  xxy
Solución:
Generamos una ecuación de la forma
xT
A x + B x – 1 = 0
Como sabemos, la dirección de los ejes rotados (sistema coordenado alternativo con
rotación) es indicada por los eigenvectores de la matriz A .
Así,







01
10
A  022B
Hallamos los eigenvalores de A .
 AI  x = 0




















0
0
1
1
2
1
x
x


  0det  AI
0
1
1





012

12

12

1
1 1
@ 1

438




















0
0
1
1
2
1
x
x






















0
0
11
11
2
1
x
x
     t 1011011
tx 1 tx 2
Así, los eigenvectores correspondientes al eigenvalor 1 son los vectores x  0 de
la forma:
x = 





t
t
Rt 













1
1
1E (@ 1t ).
@ 1




















0
0
1
1
2
1
x
x






















0
0
11
11
2
1
x
x
   t1011 
tx 1 tx 2
forma:

439
x = 





t
t
Rt 













1
1
1E (@ 1t ).
tenemos:
Recurso:
1
1
1
v
v
u 
Hagamos:







1
1
1v 






1
1
2v
Tenemos:











2
1
2
1
1u











2
1
2
1
2u
La matriz Q que diagonaliza ortogonalmente a A es:









 

2
1
2
1
2
1
2
1
Q y 







10
01
D
Note que 1A y 1cos 22
  sen , y sabemos que





 




cos
cos
sen
sen
R [Matriz de rotación]
El ángulo de rotación es  45 (I cuadrante).
Recuerde que los eigenvectores de A indican la dirección de los ejes ´x y ´y .
Una forma cuadrática sin términos con productos cruzados es:
xT
A x = x´T
D x´

440
x´T
D x´ = 22
´´ yx 
Ahora escribiremos B x en términos de las nuevas variables ´x y ý . Por medio del
cambio de variable x = Q x´.
B x = B Qx´
  














 
´
´
2
1
2
1
2
1
2
1
022
y
x
  ´2´2
´
´
22 yx
y
x







La forma cuadrática original se transforma en:
01´2´2´´ 22
 yxyx
1´2´´2´ 22
 yyxx
1111´2´1´2´ 22
 yyxx
    11´1´
22
 yx
Haciendo 1´´´  xx y 1´´´  yy , tenemos:
    1´´´´
22
 yx
Hipérbola con rotación y traslación:
Centro  1,1 C [En sistema coordenado alternativo ´ýx ]
Vértices  1,0  y  1,2  [En sistema coordenado alternativo ´ýx ]
Abre sobre el eje y´.
Eje de hipérbola = Paralelo eje x´ (y´ = – 1).

441
Maple:
implicitplot([2*x*y+2*2^(1/2)*x-1=0],x=-4..4,y=-
5..3,color=[red],scaling=constrained);

6.7 Teorema de Cayley – Hamilton.
Introducción:
Existen muchos resultados interesantes sobre los valores propios de una matriz.
En esta sección se estudiara una de ellos. Que dice que cualquier matriz satisface su
propia ecuación característica.
Sea un polinomio y sea una matriz
cuadrada. Entonces las potencias de
  01
1
1 axaxaxxp n
n
n
 
  A
A están definidas y se define
  IaAaAaAAp n
n
n
01
1
1  
 
- Ejemplo demostrativo 1: Evaluación de  Ap .
Sea y .






73
41
A   35  xxxp 2
Entonces .  


























293
421
30
03
3515
205
6118
2413
352
IAAAp
La expresión es un polinomio con
coeficientes escalares definido para una matriz variable. También se puede definir un
polinomio cuyos coeficientes son matrices cuadradas de m x m por
  IaAaAaAAp n
n
n
01
1
1  
 
  n
nBBBBQ   2
210
Si A es una matriz del mismo tamaño que las matrices B , entonces se define
  n
n ABABABBAQ  2
210
Debe tenerse cuidado ya que las matrices NO conmutan bajo la multiplicación.
Teorema 1: Si  P y  Q son polinomios en la variable escalar  con coeficientes
de matrices cuadradas y si     IAQP   , entonces .  0AP
Demostración:
Si  Q está dado por la ecuación   n
nBBBBQ   2
210 , entonces
    IABBBBP n
n   2
210
13
2
2
10
2
210

 n
n
n
n BBBBABABABAB  
442

Entonces sustituyendo en lugar deA  en la última ecuación, se obtiene:
  013
2
2
10
13
2
2
10   n
n
n
n ABABABABABABABABAP 
Observación: NO se puede probar este teorema sustituyendo A para obtener
     0 AAAQAP
 
. Esto se debe a que es posible encontrar
polinomios P y  Q pero      AQAPAF  .
Ahora establezcamos el teorema principal.
- Teorema de Cayley – Hamilton:
Toda matriz cuadrada satisface su propia ecuación característica. Es decir, si
  0p es la ecuación característica de , entoncesA   0Ap .
Demostración:
Se tiene
   




















nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
IAp




21
22221
11211
det
Es claro que cualquier cofactor de  IA  es un polinomio en  . Así, la
adjunta de IA  es una matriz de n x n en la que cada componente es un polinomio en
 . Es decir:
 
     
     
     
















nnnn
n
n
ppp
ppp
ppp
IAadj




21
22221
11211
Esto significa que se puede pensar en  IAadj  como en un polinomio,  Q ,
en  cuyos coeficientes son matrices de n x n.
- Ejemplo demostrativo 2: Ilustración del teorema de Cayley – Hamilton.
Sea . Su ecuación característica es .














112
123
411
A 0652 23
 
Ahora se calcula:
443













813
1107
116
2
A









 

5316
17429
22311
3
A
 IAAA 652 23
















































 
600
060
006
5510
51015
2055
1626
22014
2212
5316
17429
22311











000
000
000
En algunas situaciones el teorema de Cayley – Hamilton es útil para calcular la
inversa de una matriz. Si existe y1
A   0Ap , entonces   01

ApA . Para ilustrar
esto, si , entonces  1
1ap n
n
n
 
   0a1a 
  001
1
1  
 IaAaAaAAp n
n
n

  01
012
2
1
11
 


AaIaAaAaAApA n
n
n

 IaAaAaA
a
A n
n
n
12
2
1
1
0
1 1
 



Observe que porque00 a Aa det0  y se supuso que A era invertible.
- Ejemplo demostrativo 3: Aplicación del teorema de Cayley – Hamilton para
calcular .1
A
Sea . Entonces














112
123
411
A   652 23
 p 3. Aquí n ,
, a , y22 a 5 60 a1
- Detalle de operaciones:
444

0
112
123
411







           
      
      
  
0652
481312
481311
1241311
4234233121
22342131121
23
23
2
2
2












 IAAA 52
6
1 21
































































531
1391
731
6
1
500
050
005
224
246
822
813
1107
116
6
1
Observe que se calculó haciendo sólo una división y calculando sólo un
determinante (al encontrar
1
A
   IAp   det ). Este método en ocasiones es muy
eficiente en una computadora.
445

Ejercicios resueltos (6.8, Álgebra lineal, Stanley I. Grossman, 5ta ed.):
1 – 9 a) Encuentre la ecuación característica   0p
1
A
de la matriz dada; b) verifique
que ; c) utilice el inciso b) para calcular .  0Ap
1) 







15
22
Solución:
a):
0
15
22





   01012  
01022
 
El polinomio   0p es:
0122
 
b)
  122
 p
  122
 AAAp
Sólo MAESTROS, propuesto ACTIVIDAD/CLASE:
Detalle de operaciones:






















115
214
15
22
15
22


























00
00
120
012
15
22
115
214
c) [Analice hasta entender]
Recurso:
  01
1
1 aaap n
n
n
 
  
446

 IaAaAaA
a
A n
n
n
12
2
1
1
0
1 1
 



 IAA 
12
11




















10
01
15
22
12
11
A


















6
1
12
5
6
1
12
1
25
21
12
1
Comprobación:

























10
01
6
1
12
5
6
1
12
1
15
22
3)













110
121
011
Solución:
a):
0
110
121
011







      
  
  
034
1144
1131
11231
11121
23
23
2
2










El polinomio   0p es:
   34 23
p
447

b)
  AAAAp 34 23

Detalle de operaciones:








































231
363
132
110
121
011
110
121
011








































594
9189
495
110
121
011
231
363
132



























8124
122412
4128
231
363
132
4



























330
363
033
110
121
011
3




















































000
000
000
330
363
033
8124
122412
4128
594
9189
495
c):
Recurso:
  01
1
1 aaap n
n
n
 
  
 IaAaAaA
a
A n
n
n
12
2
1
1
0
1 1
 



Sea:
   34 23
p
La matriz A NO es invertible ( NO EXISTE).1
A
Nota: .00 a
448

6.8 Aplicaciones.
- Modelo de crecimiento de población:
En esta sección se muestra la manera en la que se puede usar la teoría de los
valores y vectores propios para analizar un modelo de crecimiento de una población de
pájaros.
Primero se estudiará un modelo sencillo de crecimiento de población. Se supone
que cierta especie crece a una tasa constante; es decir, la población de la especie
después de un periodo (que puede ser 1 hora, una semana, un mes, un año, etc.) es un
múltiplo constante de la población del periodo anterior. Una forma de que esto suceda,
por ejemplo, es que cada generación es distinta y cada organismo produce r críos y
después muere. Si denota la población después de periodos, se puede tenernp n
1 nn rpp
Por ejemplo, este modelo puede describir una población de bacterias, donde, en
un tiempo dado, un organismo se divide en 2 organismos separados. Entonces 2r .
Sea la población inicial. Entonces0p 01 rpp  , , 012 rprrpp  0
2
pr
  0
3
0
2
3 prprrp  2rp , y así sucesivamente, de manera que
0prp n
n 
De este modo se ve que la población aumenta sin cota si 1r y disminuye a
cero si 1r . Si 1r la población permanece en un valor constante .0p
Es evidente que este modelo es simplista. Una objeción obvia es que el número
de críos producidos depende, en muchos casos, de las edades de los adultos. Por
ejemplo, en una población humana las hembras adultas de más de 50 años promedio sin
duda producirán menos niños que las hembras de 21 años promedio. Para manejar esta
dificultad, se introduce un modelo que permita agrupar por edades y asignar tasas de
fertilidad diferentes.
Se estudiará un modelo de crecimiento de la población para una especie de
pájaros. En esta población se supone que el número de pájaros hembra es igual al
número de machos. Sea la población juvenil (inmadura) de hembras en el año
y sea el número de hembras adultas en el mismo año. Algunos de los
pájaros jóvenes morirán durante el año. Se supone que cierta porción
1, njp
 1n  1, nap
 de los pájaros
jóvenes sobrevivirán para llegar a adultos en la primavera del año n . Cada hembra que
sobrevive produce huevos en la primavera, los incuban y producen, en promedio,
pájaros hembras jóvenes en la siguiente primavera. Los adultos también mueren y la
proporción de adultos que sobreviven de una primavera a la siguiente es
k
 .
Esta tasa constante de supervivencia de los pájaros NO es una suposición
simplista. Parece que ocurre en la mayoría de las poblaciones de pájaros naturales que
se han estudiado. Esto significa que la tasa de supervivencia de los adultos en muchas
449

especies de pájaros es independiente de la edad. Quizá muy pocos pájaros en su hábitat
natural sobreviven lo suficiente para exhibir los efectos de la edad. Más aún, en muchas
especies la edad de la madre parece NO influir en el número de críos.
En la notación introducida y representan, respectivamente, la
población de hembra jóvenes y adultas en el año n . Incorporando toda la información
se llega al siguiente sistema de 2 x 2:
njp , nap ,
1,,  nanj kpp
nap , 1,njp 1, nap
pn = pA n - 1
Donde pn y . Es evidente de p






na
nj
p
p
,
,








k
A
0
n = pA An – 1 que p1 = p0, p2
= A p1 = A ( A p0) = 2
pA 0, …, y así sucesivamente. Entonces
pn = A p0
donde p0 es el vector de las poblaciones iniciales de hembras jóvenes y adultas.
La ecuación pn = A p0 es parecida a la ecuac 0prn
, pero ahora se
puede distinguir entre las tasas de supervivencia de pájaros jóvenes y ad
ión
ultos.
pn 
450

Aal ed1

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (20)

Similar a Aal ed1 (20)

Último (20)

Aal ed1