Act. 1.2 Números complejos
- 1. 1.2 NÚMEROS COMPLEJOS. NÚMEROS NATURALE, ENTEROS, RCIONALES, IRRECIONALES, REALES Y COMPLEJOS. REAL NUMBERS AND COMPLEX NUMBERS. DE HARO LOZANO GRETEL MIXARI. 1° “A” PROCESOS INDUSTRIALES
- 2. 1 El origen de los números “En el fondo, la teoría de posibilidades es solo sentido común expresado en números.” (Pierre Simon Laplace) Los números son hoy en día algo muy necesario, y aunque podemos encontrar distintas interpretaciones o simbología dependiendo de nuestra cultura, cuentan con una larga historia detrás que cuenta con distintas corrientes. Muchas han sido las representaciones numéricas dependiendo de los pueblos, y de hecho aquellos que han desarrollado un sistema de números, puede que incluso hayan recibido la influencia de otros pueblos y ellos mismos han quedado para la historia. Quizás sea posible que cada quien hubiera desarrollado una manera de entender los números a su manera, es decir, cada civilización desarrollo su propio sistema numérico, después este se fue difundiendo, mezclando con otros y creando otro sistema numérico. Por ejemplo: Números egipcios: En Egipto se utilizaban los números para transacciones comerciales, y siempre representados en base diez usando jeroglíficos. Los números también eran utilizados por los egipcios en época de inundaciones y cuando el faraón hacia medir los campos para distribuirlos entre los campesinos y de hecho descubrieron las fracciones.
- 3. 2 Números griegos: Al no ser considerada como una única nación, en los números desarrollados por los griegos, podemos diferenciar dos sistemas. Por un lado, tenemos el sistema acrofónico, que quiere decir que los símbolos de los números vienen de la primera letra del nombre del número. También tienen el sistema Jónico que empleaba las letras minúsculas del alfabeto. Los números parecían letras y las letras poseían un valor numérico. Números indios: Números indios: En cuanto a los hindús, cabe decir que como nosotros cuentan con un sistema decimal, al contar del 0 al 9. Además, ellos fueron los que comenzaron a usar el cero. Al contar con el ábaco, y cuando que las unidades, decenas o centenas fueran cero ellos simplemente dejaban esa línea vacía. El sistema de numeración hindú, es el sistema que nosotros utilizamos actualmente, aunque evolucionado, ya que los árabes lo tomaron y lo introdujeron en Europa.
- 4. 3 Números mayas: Por último, cabe señalar que los mayas utilizaban un sistema de numeración de base 20 y de base 5. Y las representaciones de números se hacían por medio de jeroglíficos. Para los mayas los números eran importantes para medir el tiempo, por eso los números mayas tienen relación con los días, meses y años y que representan con tres símbolos, el punto que tiene valor uno, la raya que tiene valor cinco y el caracol con valor cero. Otros sistemas de numeración no posicionales Numeración egipcia Desde el inicio del uso de la escritura de los jeroglíficos. A principios del tercer milenio A. C. lo egipcios disponían del primer sistema desarrollado decimal (numeración en base a 10). No era un sistema de numeración posicional, ya qué se podían usar grandes números y también se podían realizar varias operaciones unitarias. También se lograban realizar cantidades pequeñas en fracciones unitarias. Cabe mencionar que éste es uno de los sistemas de numeración más antiguos A continuación, se muestra como se empleaban los números egipcios
- 5. 4 Supongamos que queremos expresar el número “30” en notación egipcia, de modo que esto sería igual a: Lo mismo pasa con números más grandes. Para componer el número 3244, por ejemplo, se requería de trece símbolos: tres símbolos de “mil”, dos símbolos de “cien”, cuatro símbolos de “diez” y cuatro símbolos de “unidad”.
- 6. 5 Sistema Binario: El sistema binario es un conjunto de elementos que interactúan y se relacionan entre sí y que sirve para representar textos, datos o para procesar diferentes instrucciones en una computadora o un dispositivo informático. El matemático de origen indio Pingala fue quien presentó por primera vez una descripción de un sistema de numeración binario en el siglo III a.C. en el cual representaba los números de 1 a 8 con una secuencia, que constaba de 8 trigramas y 64 hexagramas, análogos a números binarios con una precisión de 3 y 6 bits. El sistema binario fue modernizado por Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, por medio de su trabajo escrito conocido como Explicación de l’Arithmétique Binaire. Este modernizado sistema de Leibniz utilizó el 0 y 1, como se mantiene en nuestros días. En 1854, el George Boole, matemático británico, detalló un sistema lógico que se llamaría luego álgebra booleana el cual fue esencial para el desarrollo del sistema binario, principalmente en su aplicación a los circuitos electrónicos. El sistema binario funciona de la siguiente manera: El sistema binario se basa en la representación de cantidades utilizando los números 1 y 0. Por tanto su base es 2 que es el número de dígitos que tiene un sistema. Cada dígito en este sistema se llama bit. Estos números empiezan por el 0 y después el 1 y ahora tendríamos que pasar al siguiente número, que ya sería de dos cifras porque no hay más números binarios de una sola cifra. El siguiente número binario, por lo tanto, sería combinar el 1 con el 0, es decir el 10, el siguiente sería el número el 11. Hechas todas las combinaciones posibles de números binarios de 2 cifras, ya no tenemos más combinaciones por lo que construimos los de 3 cifras, y así sucesivamente. Ejemplo: 10: 2 11: 3 100: 4 101: 5 Números Naturales:
- 7. 6 El numero natural, sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal (para contar) de dicho conjunto. Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por “N”: N= (0, 1, 2, 3, …, 7, …,11, 12, 13, …) Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades. También los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto: 1°= primero, 2° segundo, 3°tercero, …, 15° decimoquinto, etc… Las operaciones de adición y multiplicación están presentes en los números naturales, por lo cual multiplicar dos números naturales da como resultado otro natural. La suma delos números naturales cumple con las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro. *Asociativa: 1+ 2 + 6 = 2 7 + 8 = 15 Conmutativa 4 + 7 + 2 = 13 2 + 4 + 7 = 13 Elemento neutro El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que fuera el número natural “a” se cumple que: a + 0 = a a + b + d + a = a + b + d
- 8. 7 Los números enteros: Un numero entero es cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales, sus opuestos (versiones negativas de los naturales) y el cero. Estos son: Los naturales o enteros positivos: +1, +2, +3, +4, +5... El cero, que no es ni positivo ni negativo. Los enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5... El conjunto de números enteros se designa por “Z”. ¿cuál es la diferencia entre un número natural y uno entero? Es muy simple, un entero abarca tantos números positivos como números negativos, mientras que los números naturales solo abarcan números positivos. ¿Cómo identificar un número entero? Para saber cuándo un número entero sólo debes tener en cuenta a los siguientes puntos: Un entero no tiene decimales ni es una fracción. Es un número natural, aunque incluye también a los negativos Númerosenteros NÚMEROS NATURALES
- 9. 8 Propiedadesde los números racionales: Llamaremos números racionales al conjunto de todas las posibles expresiones del tipo a/b, donde a y b son números enteros y b es diferente de cero. A los números racionales también se le llama números fraccionarios. Los números racionales se representan con la siguiente letra “Q”. Si obtienes el cociente de dos números enteros, el resultado puede ser un número entero, un número con decimales infinitos periódicos o un número con decimales infinitos no periódicos. Ejemplos: Infinitos periódicos: 4/9 =0.444444444 1/9 = 0.11111111 Infinitos no periódicos: 21/83 = 0.2258064516… 24/86 = 0.2790697674… Si representamos a los números racionales en la recta numérica, sería de la siguiente forma: Se le llama número racional o fracción común a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero; el término “racional” alude a “ración” o parte de un todo. La principal razón por la cual existe una diferencia entre estos dos tipos de números es la manera de representación de cada tipo. Los números enteros se representan por uno o varios dígitos que van del 0 al 9, además el número posee un signo que en caso de ser positivo se omite, mientras que los números racionales por un par de enteros, unos de los cuales es numerador y otro (no puede ser 0) que se llama denominador. También se puede utilizar un número infinito depares para representar el mismo racional, el hecho de que el número racional acepte muchas Periodo4 Infinitos no periódicos Periodo1
- 10. 9 representaciones como par de enteros, e una de las diferencias sustanciales entre los enteros y los racionales y esto lleva frecuentemente a dificultades en la comprensión y el trabajo con este tipo de números.
- 11. 10 Números irracionales Estos números fueron descubiertos en la escuela que tenía el matemático griego Pitágoras que vivió entre los años 569 y 470 a.C. Les llamaron irracionales porque iba contra sus ideas que se basaban en que todo es susceptible de expresarse en números. Pero la verdad es que estos números irracionales son tan racionales como los llamados propiamente racionales, aunque son diferentes, pues los números irracionales son inconmensurables (no medible) y no pueden expresarse en la forma racional: 𝑎 𝑏 El problema se les presentó a los pitagóricos cuando trataron de medir la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles que se les formaba en una baldosa cuadrada dividida en dos partes por una de sus diagonales. Tomando como unidad el cateto de este triángulo y aplicando el Teorema de Pitágoras, apareció el primer número irracional que es: √2 cuyo valor aproximado es 1.4142135... Los números irracionales no pueden expresarse exactamente en forma de fracción común o decimal, aunque pueden calcularse con los decimales que se deseen (no son decimales periódicos ni semiperiódicos). Propiedades Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π.
- 12. 11 Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación, siendo (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la multiplicación, (ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e). Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo, π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir ϕ×1/ ϕ = 1.
- 13. 12 Diferenciaentre las propiedadesde los números reales y los racionales. Números Reales Números Racionales Pueden tomar cualquier valor expresado en una recta numérica con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta. Incluyen números positivos, negativos, enteros, racionales, raíces cuadradas, raíces cúbicas… Siempre que se tengan dos o más números reales se pueden sumar entre sí. El resultado de sumar dos números reales es otro número real. (propiedad interna) El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado (propiedad asociativa). El orden de los sumandos no varía la suma (propiedad conmutativa) El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número (propiedad del elemento neutro). Son aquellos que pueden representarse como cociente de dos números enteros. Se representa con el símbolo “Q”. Todos los números fraccionarios son números racionales. Puede ser expresado de diferentes maneras, sin alterar su cantidad mediante fracciones equivalentes. Cuya representación decimal tiene un número determinado y fijo de cifras (racionales limitados) Sus decimales tienen un número ilimitado de cifras (periódicos). Los números racionales incluyen fracciones, enteros y números naturales.
- 14. 13 Números imaginarios En el año 1777, Leonhard Euler le dio el nombre de i, por imaginario, de manera despectiva (i = √¯-1) dando a entender que no tenían una existencia real. Gottfried Wilhelm Leibniz, en el siglo XVII, expresó "El Espíritu divino se manifestó sublimemente en esta maravilla del análisis, en este portento del mundo de las ideas, este anfibio entre el ser y el no ser, que llamamos raíz imaginaria de la unidad negativa". En 1572, Rafael Bombelli ya había realizado cálculos utilizando números imaginarios, pero sin utilizar aún la letra i, y en 1811, Jean-Robert Argand crea la representación gráfica del Plano complejo también conocida como plano de Argand. Un número imaginario se denota por bi, donde: b es un número real e i es la unidad imaginaria: √¯-1 = a i. Cada número imaginario puede ser escrito también como i·r donde r es un número real e i es la unidad imaginaria. Los valores de las potencias de la unidad imaginaria se repiten de cuatro en cuatro. Los números imaginarios permiten calcular raíces con índice par y radicando negativo. Propiedades. Partiendo de que la raíz cuadrada de cualquier número real negativo, da por resultado un número imaginario (por ejemplo: √¯-36 = √¯(-36) (-1) = √¯36 √¯-1 = 6 i ). Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo ( i² = -1 ) . Estos números extienden el conjunto de los números reales al conjunto de los números complejos. Los números imaginarios, al igual que los números reales, no pueden ser ordenados de acuerdo a su valor. Para los números imaginarios no se cumple: 1 > 0 y -1 < 0. Los números imaginarios formalmente no pertenece al conjunto de los números reales ni al conjunto de los números racionales. El número imaginario es tan real como cualquier otro natural, entero o fraccionario, ya que se ocupa igualmente para describir la realidad, y es tan racional y entendible como cualquier número irracional. Estos tienen una infinita cantidad de decimales. Al multiplicar un número complejo por la unidad imaginaria rota un ángulo e 90º, pero mantiene su valor absoluto. Uno de los valores de ii es un número real.
- 15. 14 Fractales Los fractales son figuras geométricas recursivas, ¿qué significa esto?, significa que son figuras geométricas que se repiten así mismas una y otra vez. ¿Cómo funciona? Imagínense que tenemos un triángulo equilátero y a cada uno de sus lados lo dividimos en tres partes iguales y en la parte del medio la reemplazamos por dos partes del mismo tamaño como si estuviéramos formando un diente y por cada uno de esos lados que volvemos a tener volvemos a repetir de nuevo el mismo proceso, agarramos cada uno de esos lados lo dividimos en tres partes y la parte del medio la dividimos en dos partes iguales formando otro diente más y por cada uno de los lados resultantes volvemos a repetir el proceso una y otra vez hasta el infinito. Lo que nos queda es una figura geométrica que se repite así misma una y otra vez, un fractal y no importa exactamente desde donde sea que los estemos mirando, porque se van a ver los mismos patrones repetidos una y otra vez. Lo interesante de esta figura geométrica a diferencia de las figuras geométricas clásicas es que a pesar de tener un área definida tiene lados infinitos y por lo tanto tiene un perímetro que es infinito. Este tipo de figuras geométricas existen hace muchísimo tiempo, pero la mayoría de los matemáticos no le prestaba atención porque decían que eran figuras geométricas imposibles y eran consideradas algo así como monstruos matemáticos. El tema es que puede parecer raro tener una figura con área definida y perímetro infinito es bastante común en la naturaleza, si tuviéramos que medir el perímetro de una isla como por ejemplo: la isla de gran Bretaña sería muy distinto el perímetro si lo midiéramos con reglas de 10 Km que si los medimos con reglas de 1 Km, el perímetro sería mucho mayor con las reglas de 1 km y si en vez de usar reglas de 1 Km usáramos de 1 m, el perímetro sería mucho mayor aún; esto significa que la longitud de una línea costera depende de la escala con la que se le esté midiendo, mientras mayor sea la escala mayor será la longitud. El problema con los fractales y por lo que se les considera monstruos matemáticos es que no encajan con la geometría tradicional. En la geometría tradicional es todo extremadamente regular, existen líneas, triángulos, cuadrados, círculos, esferas, pirámides, y todo el tipo de figuras geométricas que ya conocemos, pero la realidad es que es muy difícil lograr figuras geométricas tan perfectas. La realidad nos muestra figuras geométricas que son mucho más complejas y que tienen cierto tipo de rugosidad, una pared, por ejemplo, no es exactamente lisa, entonces, ¿Cuál es la figura geométrica que representa a las montañas, las nubes, las piedras o incluso un copo de nieve? Se necesita un nuevo tipo de geometría para poder explicar:
- 16. 15 “¿Cómo es que se comporta la naturaleza?”. Fue Benioit Mandelbrot (1924- 2010) el que describió lo que sería lo que hoy conocemos como la geometría fractal. Los fractales se utilizan hoy en día para muchísimas cosas como puede ser el modelado de imágenes 3D, para la medicina o para predecir sismos, entre muchísimas otras cosas más, pero los fractales no son algo nuevo, los fractales se vienen utilizando desde siempre, en la naturaleza tanto como en el arte, incluso quizás todo lo que conocemos, incluyéndonos a nosotros mismos, nuestros pensamientos o todo el universo sean parte de un gran fractal.