Sistemas Numéricos
- 1. Sistemas Numéricos NUMERACIÓN Sistema de símbolos o signos utilizados para expresar los números. Las primeras formas de notación numérica consistían simplemente en líneas rectas, verticales u horizontales; cada una de ellas representa el numero 1. Por lo que este sistema era extremadamente engorroso para manejar grandes números y para hacer operaciones. Ya en el año 3400 a.C. en Egipto y Mesopotamia se utilizaba un símbolo específico para representar el número 10. En la notación cuneiforme de babilonia el símbolo utilizado para el 1, era el mismo para el 60 y sus potencias.; el valor del símbolo venía dado por su contexto. En la antigua Grecia coexistieron dos sistemas de numeración paralelos. El primero de ellos estaba basado en las iniciales de los δ (PI); el 10 con la letra πnúmeros, el número 5 se indicaba con la letra (chi) y el 1000 conχ (eta); el 1000 con la letra η(delta) el 100 con la letra (mu). En el segundoµla letra sistema eran usadas todas las letras del alfabeto griego más otras tres tomadas del alfabeto fenicio como guarismos. La ventaja de este sistema era que con poca cantidad de números se podían expresar grandes cifras; pero había que saberse de memoria un total de 27 símbolos. Numeración Romana Este sistema (tan bien conocido por nosotros) tuvo el mérito de ser capaz de expresar los números del 1 al 1.000.000 con solo siete símbolos: I para el 1, V para el 5, X para el 10, L para el 50, C para el 100, D para el 500 y M para el 1000. Es importante acotar que una pequeña línea sobre el número multiplica su valor por mil. En la actualidad los números romanos se usan para la historia y con fines decorativos. La numeración romana tiene el inconveniente de no ser práctica para realizar cálculos escritos con rapidez. Numeración Arábiga El sistema corriente de notación numérica que es utilizado hoy y en casi todo el mundo es la numeración arábiga. Este sistema fue desarrollado primero por los hindúes y luego por los árabes que introdujeron la innovación de la notación posicional; en la que los números cambian su valor según su posición. La notación posicional solo es posible si existe un número para el cero. El guarismo 0 permite distinguir entre 11, 101 y 1001 sin tener que agregar símbolos adicionales. Además todos los números se pueden expresar con sólo diez guarismos, del 1 al 9 más el 0. La notación posicional ha facilitado muchísimo todos los tipos de cálculos numéricos por escrito. SISTEMAS NUMÉRICOS En matemáticas, varios sistemas de notación que se han usado o se usan para representar cantidades abstractas denominadas números. Un sistema numérico está definido por la base que utiliza. La base de un sistema numérico es el número de símbolos diferentes o guarismos, necesarios para representar un número cualquiera de los infinitos posibles en el sistema.
- 2. A lo largo de la historia se han utilizado multitud de sistemas numéricos diferentes. Valores posicionales La posición de una cifra indica el valor de dicha cifra en función de los valores exponenciales de la base. En el sistema decimal, la cantidad representada por uno de los diez dígitos -0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9- depende de la posición del número completo. Para convertir un número n dado en base 10 a un número en base b, se divide (en el sistema decimal) n por b, el cociente se divide de nuevo por b, y así sucesivamente hasta obtener un cociente cero. Sistema binario El sistema binario desempeña un importante papel en la tecnología de los ordenadores. Los números se pueden representar en el sistema binario como la suma de varias potencias de dos. Ya que sólo se necesitan dos dígitos; el sistema binario se utiliza en ordenadores y computadoras. Números Palabra o símbolo utilizado para designar cantidades o entidades, que se comporten como cantidades. Es la expresión de la relación existente entre una cantidad y otra magnitud que sirve de unidad. Se pueden considerar números todos aquellos conceptos matemáticos para los cuales se definen dos operaciones, de adición y multiplicación, cada una de las cuales obedece a las propiedades conmutativa y asociativa. CONJUNTOS NUMERICOS Números Naturales Dicho en términos muy simples, los números naturales son los que sirven para contar. El conjunto de los números naturales tiene las siguientes propiedades: • Al conjunto de los números naturales pertenecen el 0 y el 1. • Si se suma a un natural el número 1 el resultado es otro número natural. • Por lo tanto el conjunto de los naturales es un conjunto infinito. • Las propiedades enunciadas anteriormente constituyen el Axioma de Inducción Completa. Números Enteros El conjunto de números enteros, es también infinito. Son parejas de números naturales (x,y), cuya resta x-y define un número entero. Por ejemplo: la pareja (7,3) define el entero positivo 4 ya que 7 - 3 = 4. la pareja (2,4) define el entero negativo -2 ya que 2 - 4 = -2.
- 3. Existe un isomorfismo entre parte del conjunto de los números enteros y el de los números naturales; ya que el conjunto de los naturales es el de los enteros positivos. Al conjunto de los enteros también pertenece el 0 que está definido por todas aquellas parejas de naturales iguales (1,1) ; (56,56) ; etc. Números Racionales El conjunto de números racionales está integrado por parejas de números enteros cuyos elementos se dividen entre sí. A este conjunto también pertenece el 0, que está definido por todas aquellas fracciones que tienen al 0 por numerador. Los racionales serán positivos o negativos según sea el signo de cada uno de los integrantes de las parejas que los definen. Así será que parejas de enteros de igual signo definirán un racional positivo; y parejas de enteros de distinto signo definirán un racional negativo. No existen racionales cuyo denominador sea 0. Números Reales El campo de los números reales es más amplio que el de los racionales; ya que incluye números que no están formados por parejas de enteros. Por ejemplo la no es un )πrelación que existe entre una circunferencia y su diámetro (número racional. Se trata de un conjunto también infinito. Siempre entre dos números reales hay otro número real; de ahí que se asocie al conjunto de los números reales con una recta. La recta está formada por infinitos puntos y cada punto representaría un número real.