![Instituto Universitario Aeronáutico
Matemática II
Actividad grupal Unidad I
Grupo III
Integrantes:
-Badariotti, Emanuel Leonardo
-Herrera, Paulina
-Lucero, Aldo Adrián
-Quinteros, Juan Carlos
Ejemplo con 6 letras:
Tenemos que:
A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
2
0
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
2
6
2
7
Palabra: GRUPOS
Identificación numérica de cada letra: 7 / 19 / 22 / 17 / 16 / 20
Matriz que expresa la palabra:
7 19 22
17 16 20
A = [
]
El emisor y el receptor tienen la clave para encriptar y desencriptar, en este caso la clave es:
Multiplicar la matriz del mensaje por la matriz M, para obtener la matriz B:
푀 = [
−1 2 3
0 5 1
1 2 4
]
퐴. 푀 = [
7 19 22
17 16 20
−1 2 3
0 5 1
1 2 4
] . [
15 153 128
3 154 147
] = [
] = 퐵
Por lo que el mensaje queda encriptado de la siguiente manera:
15 / 153 / 128 / 3 / 154 / 147](https://image.slidesharecdn.com/actividadgrupalfinal-140825192811-phpapp01/85/Actividad-grupal-Unidad-I-1-320.jpg)
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Matemática II
Actividad grupal Unidad I
Multiplicar la matriz B por M-1, para desencriptar el mensaje:
푀−1 =
1
31
[
−18 2 12
−1 7 −1
5 −4 4
]
퐵. 푀−1 = [
15 153 128
3 154 147
] .
1
31
[
−18 2 12
−1 7 −1
5 −4 4
7 19 22
17 16 20
] = [
]
Observar en el abecedario cuál letra corresponde a cada número
7 - G
19-R
22-U
17-P
16-O
20-S
Primer ejemplo con 9 letras:
Tenemos que:
A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
2
0
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
2
6
2
7
Palabra: LOGISTICA
Identificación numérica de cada letra: 12 /16 / 7 / 9 / 20 / 21 / 9 / 3 / 1
Matriz que expresa la palabra:
12 16 7
9 20 21
9 3 1
A = [
]](https://image.slidesharecdn.com/actividadgrupalfinal-140825192811-phpapp01/85/Actividad-grupal-Unidad-I-2-320.jpg)
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Matemática II
Actividad grupal Unidad I
El emisor y el receptor tienen la clave para encriptar y desencriptar, en este caso la clave es:
Multiplicar la matriz del mensaje por la matriz M, para obtener la matriz B:
푀 = [
−1 2 3
0 5 1
1 2 4
]
퐴. 푀 = [
12 16 7
9 20 21
9 3 1
−1 2 3
0 5 1
1 2 4
] . [
−5 118 80
12 160 131
−8 35 34
] = [
] = 퐵
Por lo que el mensaje queda encriptado de la siguiente manera:
-5 / 118 / 80 / 12 / 160 / 131 / -8 / 35 / 34
Multiplicar la matriz B por M-1, para desencriptar el mensaje:
푀−1 =
1
31
[
−18 2 12
−1 7 −1
5 −4 4
]
퐵. 푀−1 = [
−5 118 80
12 160 131
−8 35 34
] .
1
31
−18 2 12
−1 7 −1
5 −4 4
[
] = [
12 16 7
9 20 21
9 3 1
]
Observar en el abecedario cuál letra corresponde a cada número
12- L
16- O
7 - G
9 - I
20- S
21- T
9 - I
3 - C
1 - A](https://image.slidesharecdn.com/actividadgrupalfinal-140825192811-phpapp01/85/Actividad-grupal-Unidad-I-3-320.jpg)
![Instituto Universitario Aeronáutico
Matemática II
Actividad grupal Unidad I
Segundo ejemplo con 9 letras:
Tenemos que:
A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
2
0
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
2
6
2
7
Palabra: ASTEROIDE
Identificación numérica de cada letra: 1 /20 / 21 / 5 / 19 / 16 / 9 / 4 / 5
Matriz que expresa la palabra:
1 20 21
5 19 16
9 4 5
퐴 = [
]
El emisor y el receptor tienen la clave para encriptar y desencriptar, en este caso la clave es:
Multiplicar la matriz del mensaje por la matriz M, para obtener la matriz B:
푀 = [
−1 2 3
0 5 1
1 2 4
]
1 20 21
5 19 16
9 4 5
퐴. 푀 = [
] . [
−1 2 3
0 5 1
1 2 4
] = [
20 144 107
11 137 98
−4 48 51
] = 퐵
Por lo que el mensaje queda encriptado de la siguiente manera:
20 / 144 / 107 / 11 / 137 / 98 / -4 / 48 / 51
Multiplicar la matriz B por M-1, para desencriptar el mensaje:
푀−1 =
1
31
[
−18 2 12
−1 7 −1
5 −4 4
]
20 144 107
11 137 98
−4 48 51
퐵. 푀−1 = [
] .
1
31
[
−18 2 12
−1 7 −1
5 −4 4
1 20 21
5 19 16
9 4 5
] = [
]](https://image.slidesharecdn.com/actividadgrupalfinal-140825192811-phpapp01/85/Actividad-grupal-Unidad-I-4-320.jpg)
![Instituto Universitario Aeronáutico
Matemática II
Actividad grupal Unidad I
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
−18
31
2
31
13
31
−1
31
7
31
−1
31
5
31
−4
31
5
31
Puede expresarse a la matriz inversa como el producto de un escalar por una matriz, para
simplificar las posteriores operaciones
퐴−1 =
1
31
. [
−18 2 13
−1 7 −1
5 −4 5
]](https://image.slidesharecdn.com/actividadgrupalfinal-140825192811-phpapp01/85/Actividad-grupal-Unidad-I-6-320.jpg)
Actividad grupal Unidad I
- 1. Instituto Universitario Aeronáutico Matemática II Actividad grupal Unidad I Grupo III Integrantes: -Badariotti, Emanuel Leonardo -Herrera, Paulina -Lucero, Aldo Adrián -Quinteros, Juan Carlos Ejemplo con 6 letras: Tenemos que: A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 2 6 2 7 Palabra: GRUPOS Identificación numérica de cada letra: 7 / 19 / 22 / 17 / 16 / 20 Matriz que expresa la palabra: 7 19 22 17 16 20 A = [ ] El emisor y el receptor tienen la clave para encriptar y desencriptar, en este caso la clave es: Multiplicar la matriz del mensaje por la matriz M, para obtener la matriz B: 푀 = [ −1 2 3 0 5 1 1 2 4 ] 퐴. 푀 = [ 7 19 22 17 16 20 −1 2 3 0 5 1 1 2 4 ] . [ 15 153 128 3 154 147 ] = [ ] = 퐵 Por lo que el mensaje queda encriptado de la siguiente manera: 15 / 153 / 128 / 3 / 154 / 147
- 2. Instituto Universitario Aeronáutico Matemática II Actividad grupal Unidad I Multiplicar la matriz B por M-1, para desencriptar el mensaje: 푀−1 = 1 31 [ −18 2 12 −1 7 −1 5 −4 4 ] 퐵. 푀−1 = [ 15 153 128 3 154 147 ] . 1 31 [ −18 2 12 −1 7 −1 5 −4 4 7 19 22 17 16 20 ] = [ ] Observar en el abecedario cuál letra corresponde a cada número 7 - G 19-R 22-U 17-P 16-O 20-S Primer ejemplo con 9 letras: Tenemos que: A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 2 6 2 7 Palabra: LOGISTICA Identificación numérica de cada letra: 12 /16 / 7 / 9 / 20 / 21 / 9 / 3 / 1 Matriz que expresa la palabra: 12 16 7 9 20 21 9 3 1 A = [ ]
- 3. Instituto Universitario Aeronáutico Matemática II Actividad grupal Unidad I El emisor y el receptor tienen la clave para encriptar y desencriptar, en este caso la clave es: Multiplicar la matriz del mensaje por la matriz M, para obtener la matriz B: 푀 = [ −1 2 3 0 5 1 1 2 4 ] 퐴. 푀 = [ 12 16 7 9 20 21 9 3 1 −1 2 3 0 5 1 1 2 4 ] . [ −5 118 80 12 160 131 −8 35 34 ] = [ ] = 퐵 Por lo que el mensaje queda encriptado de la siguiente manera: -5 / 118 / 80 / 12 / 160 / 131 / -8 / 35 / 34 Multiplicar la matriz B por M-1, para desencriptar el mensaje: 푀−1 = 1 31 [ −18 2 12 −1 7 −1 5 −4 4 ] 퐵. 푀−1 = [ −5 118 80 12 160 131 −8 35 34 ] . 1 31 −18 2 12 −1 7 −1 5 −4 4 [ ] = [ 12 16 7 9 20 21 9 3 1 ] Observar en el abecedario cuál letra corresponde a cada número 12- L 16- O 7 - G 9 - I 20- S 21- T 9 - I 3 - C 1 - A
- 4. Instituto Universitario Aeronáutico Matemática II Actividad grupal Unidad I Segundo ejemplo con 9 letras: Tenemos que: A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 2 6 2 7 Palabra: ASTEROIDE Identificación numérica de cada letra: 1 /20 / 21 / 5 / 19 / 16 / 9 / 4 / 5 Matriz que expresa la palabra: 1 20 21 5 19 16 9 4 5 퐴 = [ ] El emisor y el receptor tienen la clave para encriptar y desencriptar, en este caso la clave es: Multiplicar la matriz del mensaje por la matriz M, para obtener la matriz B: 푀 = [ −1 2 3 0 5 1 1 2 4 ] 1 20 21 5 19 16 9 4 5 퐴. 푀 = [ ] . [ −1 2 3 0 5 1 1 2 4 ] = [ 20 144 107 11 137 98 −4 48 51 ] = 퐵 Por lo que el mensaje queda encriptado de la siguiente manera: 20 / 144 / 107 / 11 / 137 / 98 / -4 / 48 / 51 Multiplicar la matriz B por M-1, para desencriptar el mensaje: 푀−1 = 1 31 [ −18 2 12 −1 7 −1 5 −4 4 ] 20 144 107 11 137 98 −4 48 51 퐵. 푀−1 = [ ] . 1 31 [ −18 2 12 −1 7 −1 5 −4 4 1 20 21 5 19 16 9 4 5 ] = [ ]
- 5. Instituto Universitario Aeronáutico Matemática II Actividad grupal Unidad I Observar en el abecedario cuál letra corresponde a cada número 1- A 20- S 21- T 5- E 19- R 16- O 9- I 4- D 5- E Anexo: Resolución de la matriz inversa de M. *Hallar M-1 −1 2 3 0 5 1 1 2 4 | 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 −2 −3 0 5 1 1 2 4 | −1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 −2 −3 0 1 1 5 0 4 7 | −1 0 0 0 1 5 0 1 0 1 1 0 −13 5 0 1 1 5 0 0 31 5 | | −1 2 5 0 0 1 5 0 1 −4 5 1 1 0 −13 5 0 1 1 5 0 0 4 | −1 2 5 0 0 1 5 0 5 31 −4 31 5 31 F1 F2 F3 F1. (-1) F2 . 1/5 F3-F1 F1 + 2 . F2 F3 – 4. F2 F3 . 5/31 F1 + 13/5 . F3 F2 – 1/5 . F3
- 6. Instituto Universitario Aeronáutico Matemática II Actividad grupal Unidad I 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | −18 31 2 31 13 31 −1 31 7 31 −1 31 5 31 −4 31 5 31 Puede expresarse a la matriz inversa como el producto de un escalar por una matriz, para simplificar las posteriores operaciones 퐴−1 = 1 31 . [ −18 2 13 −1 7 −1 5 −4 5 ]