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Este documento presenta el uso de Matlab para analizar sistemas dinámicos. Explica cómo definir funciones de transferencia y obtener respuestas a impulsos y escalones usando la "Control System Toolbox". También muestra cómo representar mapas de polos y ceros, y trazar gráficas de respuestas temporales basadas en expresiones funcionales. Finalmente, propone un problema para deducir y graficar la respuesta a impulsos de un sistema dado por su ecuación diferencial.
![Matlab para An´alisis Din´amico de Sistemas
An´alisis Din´amico de Sistemas, curso 2006-07
7 de noviembre de 2006
1. Introducci´on
Para usar las funciones aqu´ı mencionadas se necesita Matlab con el paque-
te de Control de Sistemas (Control System Toolbox). Para obtener un listado
de todas las funciones disponibles en esta toolbox, basta ejecutar en l´ınea de
comandos de Matlab:
help control
Asimismo, para obtener una descripci´on breve del modo de uso de una funci´on
cualquiera, basta ejecutar en l´ınea de comandos:
help nombre_de_la_funcion
2. Definici´on de un sistema por su funci´on de
transferencia
Para definir un sistema por su funci´on de transferencia, se puede usar la
funci´on tf de la siguiente manera:
G=tf(num,den)
donde G ser´a la variable que contendr´a el objeto “sistema” (que adem´as se mos-
trar´a por pantalla al realizar la asignaci´on), y num y den son respectivamente
los polinomios del numerador y del denominador de la funci´on de transferencia
en el formato de representaci´on de polinomios de Matlab. Este formato consiste
en un vector que contiene los coeficientes del polinomio en orden de grado de-
creciente, siendo el de m´as a la derecha siempre el t´ermino independiente. Por
ejemplo, para definir el polinomio del denominador s3
+ 5s + 10, se escribir´ıa:
den=[ 1 0 5 10]
Obs´ervese que el segundo elemento del vector es un cero que corresponde al
t´ermino de grado 2.
Otra funci´on ´util para definir los polinomios de numerador y denominador
a partir de los ceros y los polos del sistema es poly, que crea un polinomio
(con representaci´on Matlab) a partir de un vector conteniendo sus ra´ıces, por
ejemplo:
den=poly( [ polo1 polo2 ] )
1](https://image.slidesharecdn.com/adsmatlab-150209195518-conversion-gate01/85/Ads-matlab-1-320.jpg)
![Si en ese caso fu´eramos a definir un sistema con dos polos complejos conjugados,
habr´ıamos escrito antes de la l´ınea anterior:
polo1=-5+6*j
polo2=conj(polo1)
Tambi´en existe una funci´on roots para obtener las ra´ıces a partir del polinomio.
Por ejemplo, para obtener los polos a partir del polinomio del denominador:
polos=roots(den)
3. Respuesta a impulso y escal´on unitarios
Para obtener la respuesta a impulso unitario se dispone de la funci´on impulse,
y para el escal´on unitario step. Ambas tienen como ´unico par´ametro el objeto
sistema. Por ejemplo, para el escal´on:
sis=tf([1 2],[1 2 3])
step(sis)
generar´ıa la gr´afica de la evoluci´on en el tiempo de la salida del sistema ante
una entrada escal´on unitario mostrada en la figura 1:
0 1 2 3 4 5 6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Step Response
Time (sec)
Amplitude
Figura 1: Respuesta a escal´on unitario
4. Mapa de polos y ceros
La funci´on pzmap realiza la representaci´on gr´afica de la situaci´on en el plano
complejo de los polos (cruces) y los ceros (c´ırculos) del sistema. Por ejemplo, el
siguiente c´odigo Matlab:
sis=tf([1 8.5],[1 10 61])
pzmap(sis)
2](https://image.slidesharecdn.com/adsmatlab-150209195518-conversion-gate01/85/Ads-matlab-2-320.jpg)
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- 1. Matlab para An´alisis Din´amico de Sistemas An´alisis Din´amico de Sistemas, curso 2006-07 7 de noviembre de 2006 1. Introducci´on Para usar las funciones aqu´ı mencionadas se necesita Matlab con el paque- te de Control de Sistemas (Control System Toolbox). Para obtener un listado de todas las funciones disponibles en esta toolbox, basta ejecutar en l´ınea de comandos de Matlab: help control Asimismo, para obtener una descripci´on breve del modo de uso de una funci´on cualquiera, basta ejecutar en l´ınea de comandos: help nombre_de_la_funcion 2. Definici´on de un sistema por su funci´on de transferencia Para definir un sistema por su funci´on de transferencia, se puede usar la funci´on tf de la siguiente manera: G=tf(num,den) donde G ser´a la variable que contendr´a el objeto “sistema” (que adem´as se mos- trar´a por pantalla al realizar la asignaci´on), y num y den son respectivamente los polinomios del numerador y del denominador de la funci´on de transferencia en el formato de representaci´on de polinomios de Matlab. Este formato consiste en un vector que contiene los coeficientes del polinomio en orden de grado de- creciente, siendo el de m´as a la derecha siempre el t´ermino independiente. Por ejemplo, para definir el polinomio del denominador s3 + 5s + 10, se escribir´ıa: den=[ 1 0 5 10] Obs´ervese que el segundo elemento del vector es un cero que corresponde al t´ermino de grado 2. Otra funci´on ´util para definir los polinomios de numerador y denominador a partir de los ceros y los polos del sistema es poly, que crea un polinomio (con representaci´on Matlab) a partir de un vector conteniendo sus ra´ıces, por ejemplo: den=poly( [ polo1 polo2 ] ) 1
- 2. Si en ese caso fu´eramos a definir un sistema con dos polos complejos conjugados, habr´ıamos escrito antes de la l´ınea anterior: polo1=-5+6*j polo2=conj(polo1) Tambi´en existe una funci´on roots para obtener las ra´ıces a partir del polinomio. Por ejemplo, para obtener los polos a partir del polinomio del denominador: polos=roots(den) 3. Respuesta a impulso y escal´on unitarios Para obtener la respuesta a impulso unitario se dispone de la funci´on impulse, y para el escal´on unitario step. Ambas tienen como ´unico par´ametro el objeto sistema. Por ejemplo, para el escal´on: sis=tf([1 2],[1 2 3]) step(sis) generar´ıa la gr´afica de la evoluci´on en el tiempo de la salida del sistema ante una entrada escal´on unitario mostrada en la figura 1: 0 1 2 3 4 5 6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Step Response Time (sec) Amplitude Figura 1: Respuesta a escal´on unitario 4. Mapa de polos y ceros La funci´on pzmap realiza la representaci´on gr´afica de la situaci´on en el plano complejo de los polos (cruces) y los ceros (c´ırculos) del sistema. Por ejemplo, el siguiente c´odigo Matlab: sis=tf([1 8.5],[1 10 61]) pzmap(sis) 2
- 3. sirve para representar el mapa de polos y ceros mostrado en la figura 2, corres- pondiente al sistema con funci´on de transferencia: G(s) = s + 8,5 s2 + 10s + 61 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 Pole-Zero Map Real Axis ImaginaryAxis Figura 2: Mapa de polos y ceros 5. Representaci´on gr´afica de la respuesta tem- poral a partir de su expresi´on funcional En este apartado se pretenden dar algunas ideas b´asicas para representar la respuesta temporal de un sistema lineal a partir de la expresi´on funcional obtenida como resultado de aplicar el m´etodo de Heaviside1 . Para representar, por ejemplo, la siguiente respuesta impulsional: g(t) = 2e−t − 2e−2t − te−2t correspondiente al sistema con funci´on de transferencia: G(s) = s + 3 (s + 1)(s + 2)2 primero debe generarse la secuencia de instantes de tiempo en los que se va a evaluar la funci´on g(t) para su representaci´on: t=linspace(0,3,200); expresi´on que genera un vector fila t, que contiene 200 valores equiespaciados de tiempo desde t = 0 hasta t = 3. El valor final se obtiene por prueba y error, 1Para entender mejor las expresiones aqu´ı mostradas, deber´a consultarse el documento “Introducci´on a Matlab” 3
- 4. pero se puede comenzar con tres veces el inverso del menor valor2 de entre los a de todos los t´erminos e−at . En este caso es a = 1, y por lo tanto tmax = 3/a = 3. Una vez obtenido el vector de tiempos,la evaluaci´on de la funci´on g(t) para todos los instantes de tiempo contenidos en t es inmediato: g=2*exp(-t)-2*exp(-2*t)-t.*exp(-2*t) Obs´ervese la diferencia de uso entre el operador *, que en este caso corresponde siempre a producto de escalar por vector, y el operador .*, que corresponde al producto elemento a elemento de dos vectores. La expresi´on t*exp(-2*t), adem´as de no ser lo que se pretende, generar´ıa un error porque es el producto de dos matrices que no cumplen los requisitos dimensionales para poder llevar a cabo dicho producto: n´umero de columnas de la primera igual al n´umero de filas de la segunda. Por ´ultimo, con el comando plot se representa gr´aficamente el resultado de evaluar la funci´on: plot(t,g); representado en la figura 3, donde las etiquetas de los ejes se han colocado con las funciones xlabel e ylabel. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 tiempo, t (s) g(t) Figura 3: Respuesta a impulso representada a partir de su expresi´on funcional En caso de tener polos complejos conjugados (sea uno de ellos p, con coefi- ciente de Heaviside C), podemos tener t´erminos del tipo: sig=real(p); w=imag(p); yi=2*abs(C)*exp(sig*t).*cos(w*t+angle(C)) donde abs es la funci´on para obtener el m´odulo de un complejo, angle la fun- ci´on para obtener su argumento o ´angulo, real su parte real e imag su parte imaginaria. 2Siempre positivo: no consideramos aqu´ı sistemas inestables 4
- 5. 6. Problema propuesto Dado el sistema lineal definido por la siguiente ecuaci´on diferencial: d3 y(t) dt3 + 5 d2 y(t) dt2 + 8,25 dy(t) dt + 17y(t) = 3u(t) + du(t) dt donde y(t) es la salida y u(t) es la entrada, se pide: 1. Deducir la forma aproximada de la respuesta a impulso unitario del siste- ma dado, a partir de la distribuci´on de sus polos en el plano complejo. 2. Obtener la expresi´on matem´atica exacta en funci´on del tiempo de dicha respuesta. 3. Dibujar con Matlab la respuesta impulsional obtenida en el apartado an- terior y compararla con la que se obtiene por medio de la funci´on impulse. 5