Algebra de boole y simplificacion logica

Circuitos Digitales
Unidad 4
Algebra de Boole y Simplificacion Lógica
Ing. Roberto Espitia Steer
E-mail:roberto.espitia@uac.edu.co
Universidad Autónoma del Caribe - 2012

Operadores y Expresiones
Booleanas

Operaciones y Expresiones Booleanas
• Addition
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1
• Multiplication
0 * 0 = 0
0 * 1 = 0
1 * 0 = 0
1 * 1 = 1

Leyes y Reglas del Algebra de
Boole

Leyes del algebra de Boole
• Ley Conmutativa
• Ley Asociativa
• Ley Distributiva

Leyes del Algebra de Boole
• Ley Conmutativa de la Suma:
A + B = B + A

• Ley Conmutativa de la Multiplicacion:
A * B = B * A

• Ley Asociativa de la Suma:
A + (B + C) = (A + B) + C

• Ley Asociativa de la Multiplicacion:
A * (B * C) = (A * B) * C

• Ley Distributiva:
A(B + C) = AB + AC

Reglas del Algebra Booleana
• Regla 1
OR Truth Table

• Regla 2
OR Truth Table

• Regla 3
AND Truth Table

• Regla 4
AND Truth Table

• Regla 5
OR Truth Table

• Regla 6
OR Truth Table

• Regla 7
AND Truth Table

• Regla 8
AND Truth Table

• Regla 9

• Regla 10: A + AB = A
AND Truth Table OR Truth Table

• Regla 11: BABAA 

• Regla 12: (A + B)(A + C) = A + BC

Floyd
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Simplificación Mediante algebra de Boole
• Muchas veces, a la hora de aplicar el álgebra booleana, hay que reducir una expresión a su
forma más simple o cambiarla a una forma más conveniente para conseguir una implementación
más eficiente.
• Este método de simplificación utiliza las reglas , leyes y teoremas del Álgebra de Boole para
manipular y simplificar una expresión.
• Una expresión booleana simplificada emplea el menor numero posible de compuertas en la
implementación de una determinada expresión.
Ejemplo: Mediante las técnicas del algebra de Boole, simplificar la siguiente expresión.

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Circuito Lógico Original Y Simplificado.
A partir de la simplificación se obtienen dos redes de puertas equivalentes:
• Se pasa de cinco a dos puertas necesarias para implementarla expresión.
• Para cualquier combinación de valores de entrada A, B y C, se obtiene siempre la
misma salida.

Teorema de DeMorgan’s
YXXY 
• Teorema 1
• Teorema 2
YXYX 
Recuerda:
“Romper la Barra,
Cambia el Signo”

Formas Estandar de Expresiones
Booleanas

Formas Estandar de Expresiones Booleanas
• Forma de suma de productos (SDP)
Ejemplo: X = AB + CD + EF
• Forma de productos de suma (PDS)
Ejemplo: X = (A + B)(C + D)(E + F)

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Aplicaciones de los teorema de Demorgan

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Ejemplos De Aplicación De Los Teoremas de
Demorgan

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Ejercicios Partiendo de Compuertas Lógicas

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Análisis Booleano de los Circuitos Lógicos
• El Álgebra de Boole proporciona una manera concisa de expresar el funcionamiento
de un circuito lógico formado por una combinación de puertas lógicas, de tal forma
que la salida puede determinarse por la combinación de los valores de entrada. Para
obtener la expresión booleana de un determinado circuito lógico, la manera de
proceder consiste en:
A. Comenzar con las entradas situadas más a la izquierda.
B. Ir avanzando hasta las líneas de salida, escribiendo la expresión para cada
compuerta.

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Formato estándar de las expresiones booleanas
 Función lógica es una expresión booleana que relaciona variables lógicas directas o
complementadas por medio de operaciones AND y OR.
 Todas las expresiones booleanas, independientemente de su forma, pueden
convertirse en cualquiera de las dos formas estándar:
–Suma de productos o Suma de MinTerminos
–Producto de sumas o Producto de MaxTerminos.
 Esto posibilita que la evaluación, simplificación e implementación de las
expresiones booleana sea mucho más sistemática y sencilla

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Suma de productos o suma de Minterminos.
o •Es la suma de dos o más productos mediante la adición booleana.
o AB + ABC
o A + ABC + AC
o •Una barra no puede extenderse sobre más de una variable:
o
o El dominio de una expresión booleana es el conjunto de variables (o sus
complementos) contenido en una expresión:
o El dominio de AB + ABC es el conjunto de variables A, B, C
o •La implementación de una suma de productos simplemente requiere aplicar la
operación OR a las salidas de dos o más puertas AND:

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Producto de Sumas o Producto de Maxterms
•Es la multiplicación de dos o más términos suma.
•Una barra no puede extenderse sobre más de una variable:
Implementación de un Producto de Sumas.
La implementación de un producto de sumas requiere simplemente la aplicación de la
operación AND a las salidas de dos o más puertas OR.

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Los Mapas de Karnaugh

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Mapas de Karnaugh
• Un mapa de Karnaugh proporciona un método sistemático de simplificación de expresiones booleanas.
• Aplicado adecuadamente genera las expresiones suma de productos y producto de sumas más simples
posibles.
• Un mapa de Karnaugh es similar a una tabla de verdad, ya que muestra todos los posibles valores de las
variables de entrada y la salida resultante para cada valor.
El mapa de Karnaugh es una secuencia de celdas en la que cada celda representa un valor binario de las
variables de entrada.
• Las celdas se disponen de tal manera que la simplificación de una determinada expresión consiste en
agrupar adecuadamente las celdas.
• Los mapas de Karnaugh pueden utilizarse para expresiones de dos, tres, cuatro y cinco variables.
• El método de Quine-McClusky puede usarse para un número de variables mayor.
• Al igual que ocurría con el número de filas de una tabla de verdad, el número de celdas de un mapa de
Karnaugh es igual al número total de combinaciones de las variables de entrada.
• Para tres variables, el número de celdas necesarias es 2^3=8. Para cuatro variables, el número de celdas
es 2^4=16 celdas.

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Mapas de Karnaugh de Tres Variables
Es un conjunto de 8 celdas.
• Se utilizan A, B y C para denominar las variables, aunque se podrían usar otras letras.
• Los valores binarios de A y B se encuentran en la parte izquierda y los valores de C en la parte
superior.
• El valor de una determinada celda es:
– el valor binario de A y B, en la parte izquierda de la misma fila
– combinado con el valor de C en la parte superior de la misma columna.
Representación de un mapa de Karnaugh de tres variables vacío (matriz de 8 celdas) y con los
términos producto estándar representados para cada celda:

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Mapas de Karnaugh de Cuatro Variables
• Es un conjunto de 16 celdas.
• Se utilizan A, B, C y D para denominar las variables, aunque se podrían usar otras letras.
• Los valores binarios de A y B se encuentran en la parte izquierda y los valores de C y D en la parte
superior.
• El valor de una determinada celda es:
– el valor binario de A y B, en la parte izquierda de la misma fila
– combinado con el valor de C y D en la parte superior de la misma
Columna.
Representación de un mapa de Karnaugh de cuatro variables vacío (matriz de 16 celdas) y con los
términos producto estándar representados para cada celda:

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Adyacencia de Celdas
• Las celdas de un mapa de Karnaugh se disponen de manera que sólo cambia una única variable
entre celdas adyacentes.
• Las celdas que difieren en una única variable son adyacentes.
• En el mapa de 3 variables, la celda 010 es adyacente a la celda 000, a la 011 y a la 110.
• Las celdas cuyos valores difieren en más de una variable no son adyacentes.
• En el mapa de 3 variables, la celda 010 NO es adyacente a la celda 001, a la 111, a la 100 ni a la
101.
• Físicamente, cada celda es adyacente a las celdas que están situadas inmediatas a ella por
cualesquiera de sus cuatro lados.
• Una celda NO es adyacente a aquellas que tocan diagonalmente alguna de sus esquinas.
• Además, las celdas de la fila superior son adyacentes a las de la fila inferior y las celdas
de la columna izquierda son adyacentes a las celdas situadas en la columna derecha.
• Adyacencia de celdas en un mapa de Karnaugh de cuatro variables.
• Las flechas apuntan a las celdas adyacentes.

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Simplificación de una Suma de Productos Mediante
el Mapa de Karnaugh
• El proceso que genera una expresión que contiene el menor número posible de términos con el mínimo
número de variables se denomina minimización.
• Después de haber obtenido el mapa de Karnaugh de una suma de productos, se deben seguir tres pasos
para obtener la expresión suma de productos mínima:
– Agrupar los 1s.
– Determinar el término producto correspondiente a cada grupo.
– Sumar los términos productos obtenidos.
Agrupación de 1s
• La finalidad es maximizar el tamaño de los grupos y minimizar el número de estos grupos. Reglas:
1. Un grupo tiene que contener 1, 2, 4, 8 ó 16 celdas.
2. Cada celda de un grupo tiene que ser adyacente a una o más celdas del mismo grupo, pero no todas las
celdas del grupo tienen que ser adyacentes entre sí.
3. Incluir siempre en cada grupo el mayor número posible de 1s de acuerdo con la regla 1.
4. Cada 1 del mapa tiene que estar incluido en al menos un grupo. Los 1s que ya pertenezcan a un grupo
pueden estar incluidos en otro, siempre que los grupos que se solapen contengan 1s no comunes.

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Agrupación de 1`s

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Determinar el Término Producto
Correspondiente a Cada Grupo
1. Cada grupo de celdas que contiene 1s da lugar a un término producto compuesto por todas
las variables que aparecen en el grupo en sólo una forma (no complementada o complementada). Las
variables que aparecen complementadas y sin complementar dentro del mismo grupo se eliminan. A éstas se
las denomina variables contradictorias.
2. Determinar la operación producto mínima para cada grupo.
Determinar la operación producto mínima para un mapa de 3 variables.
I. Un grupo formado por una única celda da lugar a un término producto de tres variables.
II. Un grupo formado por 2 celdas da lugar a un término producto de dos variables.
III. Un grupo formado por 4 celdas da lugar a un término de una variable.
IV. Un grupo formado por 8 celdas indica que la expresión vale 1.
Determinar la operación producto mínima para un mapa de 4 variables.
I. Un grupo formado por una única celda da lugar a un término producto de cuatro variables.
II. Un grupo formado por 2 celdas da lugar a un término producto de tres variables.
III. Un grupo formado por 4 celdas da lugar a un término producto de dos variables.
IV. Un grupo formado por 8 celdas da lugar a un término de una variable.
V. Un grupo formado por 16 celdas indica que la expresión vale 1.

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Sumar los términos de productos obtenidos
Cuando se han obtenido todos los términos mínimos, se suman para obtener la expresión suma de
productos mínima.
Ejemplo: Determinar los productos para cada uno de los mapas de Karnaugh y escribir las
correspondientes expresiones suma de productos mínima resultante.
Solución. La expresión suma de productos mínima para cada uno de los mapas de Karnaugh es:

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Sumar los términos de productos obtenidos - EJ
Ejemplo: Mediante un mapa de Karnaugh minimizar la expresión suma
de productos siguiente:
Se indica el término producto para cada grupo y la expresión suma de productos mínima resultante
es:
Nota: esta expresión mínima es equivalente a la expresión estándar original.

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Obtención Directa del Mapa de Karnaugh
a Partir de la Tabla de Verdad
 Los 1s de la columna de salida de la tabla de verdad se trasladan directamente al mapa de
Karnaugh, a las celdas correspondientes a los valores asociados de las combinaciones de
variables de entrada.

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Minimización de un Producto de Sumas
Mediante el Mapa de Karnaugh
• Este método es similar al de la minimización de una expresión suma de productos mediante los
mapas de Karnaugh.
• En esta ocasión, los 0s representan las operaciones de suma estándar y se colocan en
el mapa de Karnaugh en lugar de los 1s.
Mapa de Karnaugh de un producto de sumas estándar.
• Por cada término suma de la expresión producto de sumas se coloca un 0 en el mapa de Karnaugh
en la celda correspondiente al valor de la suma.
• Las celdas que no tienen 0 son aquellas para las que la expresión es 1.

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Simplificación Mediante el Mapa de Karnaugh
de Expresiones Producto de Sumas
• El proceso de minimización de un producto de sumas es básicamente el mismo que para una
expresión suma de productos, excepto que ahora hay que agrupar los 0s para generar el
mínimo número de términos suma.
• Las reglas para agrupar los 0s son las mismas que para agrupar los 1s.

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