Analisis numerico
- 1. , queremos ver como estos errores se acumulan durante el proceso. El análisis que presentamos generaliza al problema del cálculo de productos interiores. Conceptos en que se basan los Métodos Numéricos, Importancia de utilizar Métodos Numéricos. Hoy en día, las computadoras y los métodos numéricos proporcionan una alternativa para cálculos complicados. Un especialista en análisis numéricos se interesa en la creación y comprensión de buenos métodos que resuelvan problemas numéricamente, el análisis numérico es una herramienta muy útil para un ingeniero ya facilita su trabajo a la hora de cálculo de operaciones muy pequeñas y grandes, tomando en cuenta las características especiales de los instrumentos de cálculo (como calculadoras, computadoras). el cálculo numérico ha sido muy importante para el avance muy importante en todo a que va desde a economía hasta la industria aeroespacial. Cálculo Numérico y el Manejo de Errores Gracias al cálculo numérico y los manejos de errores son muy importante para todas las ramas de ingeniería en general ya que optimiza el cálculo, reduce márgenes de errores y al también importante como es reducir el costo computacional. Definición de Análisis Numérico “Consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos puramente aritméticos, tomando en cuenta las características especiales de los instrumentos de cálculo (como calculadoras, computadoras) que nos ayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo con el fin de calcular o aproximar alguna cantidad o función, para el estudio de errores en los cálculos" Números de Maquinas a Decimales. La mayoría de las computadoras hacen los cálculos aritméticos usando el sistema binario (base 2) y no el sistema decimal (base 10). Cuando se introducen números en base 10, la computadora los convierte en números en base 2 (0 quizás en base 16), lleva a cabo los cálculos en base 2 y finalmente presenta los resultados en base 10. La computadora al convertir el número en base 10 a base 2 utiliza la llamada representación de punto flotante y en muchos casos trabaja con aproximaciones de los números que quiere representar dando lugar a errores en los cálculos. Errores Absolutos y Relativos. Hasta ahora hemos estudiado alguna teoría básica de los métodos numéricos que se implementarán más adelante, suponiendo condiciones ideales para su implementación. Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su exactitud y precisión. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado con respecto a los otros. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema en particular. "El Error Absoluto es la diferencia entre el valor exacto (un número determinado, por ejemplo) y su valor calculado o redondeado, o sea el valor exacto menos el valor calculado”; debido a
- 2. que la ecuación se dio en términos del valor absoluto, el error absoluto no es negativo. Así pues, una colección (suma) de errores siempre se incrementa junta, sin reducirse. Cotas de Errores Cota de Errores Absolutos y Relativos. Normalmente no se conoce p y, por tanto, tampoco se conocerá el error absoluto (ni el relativo) de tomar p* como una aproximación de p. Se pretende encontrar cotas superiores de esos errores. Principales Fuentes de Errores. Fuentes Básicas de Errores Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que se representan los números en una PC (para comprender la naturaleza de estos errores es necesario conocer las formas en que se almacenan los números y como se llevan a cabo las sumas y restas dentro de una PC). El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que se emplea para obtener modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento). Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno finito (por ejemplo, truncando los términos de una serie). Errores de Redondeo y Truncamiento. Redondeo y Truncamiento Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los resultados de los cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos clases fundamentalmente: errores de truncamiento, que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de representar aproximadamente números exactos. En cualquier caso, la relación entre el resultado exacto y el aproximado está dada por: Valor verdadero = valor aproximado + error, de donde se observa que el error numérico está dado por: Ev = valor verdadero - valor aproximado. Donde Ev significa el valor exacto del error. La deficiencia del truncamiento o cortado, es atribuida al hecho de que los altos términos en la representación decimal completa no tienen relevancia en la versión de cortar o truncar; por lo tanto el redondeo produce un error bajo en comparación con el truncamiento o cortado. Para que obtengas información, esta es la conexión: Aritmética de Punto Flotante Error De Redondeo El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita. Cada número (real) se reemplaza por el número de máquina más cercano. Esto significa que todos los números en un intervalo local están representados por un solo número en el sistema numérico de punto flotante. "Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
- 3. y= 0, d1 d2 d3..., dk, dk+1, dk+2,. . . x 10 n. El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a y y después truncar para que resulte un número de la forma fl (y)= 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n. Error De Truncamiento "Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a: y= 0, d1 d2 d3..., dk, dk+1, dk+2,. . . x 10 n. Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto flotante de y, que se representará por fl (y), se obtiene terminando la mantisa de y en k cifras decimales. Existen dos formas de llevar a cabo la terminación. Un método es simplemente truncar los dígitos dk+1, dk+2,. . . para obtener fl (y)= 0, d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n. Este método es bastante preciso y se llama truncar el número. Errores De Una Suma Y Una Resta En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números en la computadora. Como cada suma introduce un error, proporcional al épsilon de la máquina Errores de Suma y Resta Errores De Una Suma Y Una Resta U1T1imgsuma.jpgEn esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números en la computadora. Como cada suma introduce un error, proporcional al epsilon de la máquina, queremos ver como estos errores se acumulan durante el proceso. El análisis que presentamos generaliza al problema del cálculo de productos interiores. Cálculos Estables e Inestables Estabilidad e Inestabilidad La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumenta considerablemente por el método numérico. El que un proceso sea numéricamente estable o inestable debería decidirse con base en los errores relativos, es decir investigar la inestabilidad o mal condicionamiento, lo cual significa que un cambio relativamente pequeño en la entrada, digamos del 0,01%, produce un cambio relativamente grande en la salida, digamos del 1% o más. Una fórmula puede ser inestable sin importar con qué precisión se realicen los cálculos.